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Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 18
28 de outubro de 2008
Aula 18 Cálculo I 1
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As funções hiperbólicas
Aula 18 Cálculo I 2
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 3
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 4
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 5
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 6
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 7
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 8
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 9
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 10
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Definições e identidades
cosh(x) =ex + e−x
2, senh(x) =
ex − e−x
2, tgh(x) =
senh(x)
cosh(x),
sech(x) =1
cosh(x), cossech(x) =
1senh(x)
, cotgh(x) =cosh(x)
senh(x),
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 18 Cálculo I 11
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A função cosseno hiperbólico
Se y = f (x) = cosh(x) =ex + e−x
2, então f ′(x) =
ex − e−x
2= senh(x).
Aula 18 Cálculo I 12
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A função cosseno hiperbólico
Se y = f (x) = cosh(x) =ex + e−x
2, então f ′(x) =
ex − e−x
2= senh(x).
Aula 18 Cálculo I 13
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A função cosseno hiperbólico
Se y = f (x) = cosh(x) =ex + e−x
2, então f ′(x) =
ex − e−x
2= senh(x).
Aula 18 Cálculo I 14
![Page 15: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/15.jpg)
A catenária
Aula 18 Cálculo I 15
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A catenária
Aula 18 Cálculo I 16
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A catenária
Aula 18 Cálculo I 17
![Page 18: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/18.jpg)
A função seno hiperbólico
Se y = f (x) = senh(x) =ex − e−x
2, então f ′(x) = cosh(x) =
ex + e−x
2.
Aula 18 Cálculo I 18
![Page 19: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/19.jpg)
A função tangente hiperbólica
Se y = f (x) = tgh(x) =senh(x)
cosh(x), então f ′(x) = sech2(x) =
1cosh2(x)
.
Aula 18 Cálculo I 19
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A função secante hiperbólica
Se y = f (x) = sech(x), então f ′(x) = − sech(x) tgh(x).
Aula 18 Cálculo I 20
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Derivadas das funções hiperbólicas
Função Derivada
y = cosh(u)dydx
= senh(u) · dudx
y = senh(u)dydx
= cosh(u) · dudx
y = tgh(u)dydx
= sech2(u) · dudx
y = sech(u)dydx
= − sech(u) · tgh(u) · dudx
y = cossech(u)dydx
= − cossech(u) · cotgh(u) · dudx
y = cotgh(u)dydx
= − cossech2(u) · dudx
Aula 18 Cálculo I 21
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Bicicletas com rodas quadradas
Aula 18 Cálculo I 22
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Bicicletas com rodas quadradas
Aula 18 Cálculo I 23
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Bicicletas com rodas quadradas
Aula 18 Cálculo I 24
![Page 25: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/25.jpg)
Derivadas, funções crescentes edecrescentes
Aula 18 Cálculo I 25
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Exemplo
Aula 18 Cálculo I 26
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Exemplo
Aula 18 Cálculo I 27
![Page 28: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/28.jpg)
Exemplo
Aula 18 Cálculo I 28
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Funções crescentes e decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é crescente em umsubconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Definição
Aula 18 Cálculo I 29
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Funções crescentes e decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é crescente em umsubconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Definição
Aula 18 Cálculo I 30
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Funções crescentes e decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é crescente em umsubconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Definição
Aula 18 Cálculo I 31
![Page 32: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/32.jpg)
Funções crescentes e decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é decrescente em umsubconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
Definição
Aula 18 Cálculo I 32
![Page 33: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/33.jpg)
Funções crescentes e decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é decrescente em umsubconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
Definição
Aula 18 Cálculo I 33
![Page 34: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/34.jpg)
Funções crescentes e decrescentes
Dizemos que uma função f : D → C é decrescente em umsubconjunto S de D se
∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
Definição
Aula 18 Cálculo I 34
![Page 35: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/35.jpg)
Crescimento e decrescimento em intervalos
Seja I um intervalo contido no domínio de uma função f . Suponhaque f é diferenciável em I.
(1) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, então f é uma função crescenteno intervalo I.
(2) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, então f é uma função decrescenteno intervalo I.
Teorema
Demonstração: use o teorema do valor médio para derivadas!
Aula 18 Cálculo I 35
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Crescimento e decrescimento em intervalos
Seja I um intervalo contido no domínio de uma função f . Suponhaque f é diferenciável em I.
(1) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, então f é uma função crescenteno intervalo I.
(2) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, então f é uma função decrescenteno intervalo I.
Teorema
Demonstração: use o teorema do valor médio para derivadas!
Aula 18 Cálculo I 36
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Crescimento e decrescimento em intervalos
Seja I um intervalo contido no domínio de uma função f . Suponhaque f é diferenciável em I.
(1) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, então f é uma função crescenteno intervalo I.
(2) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, então f é uma função decrescenteno intervalo I.
Teorema
Demonstração: use o teorema do valor médio para derivadas!
Aula 18 Cálculo I 37
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Crescimento e decrescimento em intervalos
Seja I um intervalo contido no domínio de uma função f . Suponhaque f é diferenciável em I.
(1) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, então f é uma função crescenteno intervalo I.
(2) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, então f é uma função decrescenteno intervalo I.
Teorema
Demonstração: use o teorema do valor médio para derivadas!
Aula 18 Cálculo I 38
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Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 39
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Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 40
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Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 41
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Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 42
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Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 43
![Page 44: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/44.jpg)
Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 44
![Page 45: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/45.jpg)
Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 45
![Page 46: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/46.jpg)
Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 46
![Page 47: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/47.jpg)
Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 47
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Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 48
![Page 49: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/49.jpg)
Demonstração
Suponha que f ′(x) > 0 para todo x ∈ I. Devemos mostrar que se f écrescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1, x2 ∈ I, com x1 < x2,então f (x2) > f (x1). Agora:
f (x2)− f (x1) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1· (x2 − x1)
(∗)= f ′(c) · (x2 − x1),
com c ∈ (x1, x2). Note que em (∗) usamos o teorema do valor médio. Comof ′(c) > 0 e x2−x1 > 0, concluímos que f (x2)− f (x1) > 0, isto é, f (x2) > f (x1).
Um argumento análogo mostra que se f ′(x) < 0 para todo x no intervalo I,então f é decrescente em I.
Aula 18 Cálculo I 49
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Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 50
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Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 51
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Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 52
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Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 53
![Page 54: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/54.jpg)
Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 54
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Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
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Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 55
![Page 56: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/56.jpg)
Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
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2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 56
![Page 57: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/57.jpg)
Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
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2
2
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Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 57
![Page 58: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/58.jpg)
Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 58
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Exemplo
Seja y = f (x) = x + 4/x2. Calcule os intervalos onde f é crescente eos intervalos onde f é decrescente.
Solução. Temos que f ′(x) = 1 − 8/x3 = (x3 − 8)/x3. Vamos estudar o sinalda derivada:
0
0
0
2
2
2
Sinal de
x { 83
Sinal de
(x { 8)/x3 3
Sinal de
x 3
.
Como f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), vemos que f é crescenteem (−∞, 0) e f é crescente em (2, +∞). Como f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 2),vemos que f é decrescente em (0, 2).
Aula 18 Cálculo I 59
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Cuidado!
A função y = f (x) = x + 4/x2 não é crescente em (−∞, 0)∪ (2, +∞)!
Aula 18 Cálculo I 60
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Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 61
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Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 62
![Page 63: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/63.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 63
![Page 64: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/64.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 64
![Page 65: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/65.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 65
![Page 66: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/66.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 66
![Page 67: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/67.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 67
![Page 68: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/68.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 68
![Page 69: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 69
![Page 70: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 70
![Page 71: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 71
![Page 72: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/72.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 72
![Page 73: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/73.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 73
![Page 74: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/74.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 74
![Page 75: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/75.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 75
![Page 76: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 76
![Page 77: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/77.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 77
![Page 78: Humberto José Bortolossi - · PDF fileDemonstração Suponha que f0(x) > 0 para todo x 2I. Devemos mostrar que se f é crescente em I, isto é, devemos mostrar que se x1;x2 2I, com](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051720/5a7892947f8b9a852c8cb6c2/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 78
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Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 79
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Exemplo
Seja f uma função tal que f (0) = 0 e f ′(x) = x2/(1 + x2) paratodo x ∈ R. Mostre que 0 < f (x) < x para todo x > 0.
Solução. Primeiro, defina a função auxiliar g(x) = x − f (x). Agora, note que
g′(x) = 1− f ′(x) = 1− x2
1 + x2 =1
1 + x2 > 0 para todo x ∈ R.
Assim, g é crescente em [0, +∞). Como g(0) = 0 − f (0) = 0 − 0 = 0,segue-se que
0 < x ⇒ g(0) < g(x) ⇒ 0 < x − f (x) ⇒ f (x) < x .
Resta mostrar que 0 < f (x) para todo x > 0. Como f ′(x) = x2/(1 + x2) > 0para x > 0, segue-se que f é crescente em [0, +∞). Logo, como f (0) = 0,segue-se que
0 < x ⇒ f (0) < f (x) ⇒ 0 < f (x).
Aula 18 Cálculo I 80