hydra uli que

Cours dhydraulique gnrale

Ministre De LEnseignement suprieur et de la recherche scientifique Centre Universitaire de Bechar


Ralis par Mr ABDELAZIZ Redha

Anne Universitaire 2005-2006


Avant propos

Ce cours est destin aux tudiants de graduation spcialiss en gnie civil du centre

universitaire de Bechar et qui a pour objectif de donner un aspect gnral sur lhydraulique

qui est une science qui tudie tous les phnomnes et lois qui sintresse leau.

Lhydraulique est une branche de la mcanique des fluides dont lequel la majorit des lois et

quations rencontres sinspirent de cette discipline.

Gnralement on troue lhydraulique dans plusieurs domaines de lingnieur telle que :

Lalimentation en eau potable, lassainissement, lirrigation, le drainage, le traitement des

eaux, lpuration des eaux et les ouvrages hydrauliquesetc.

Limportance de ltude de lhydraulique devient de plus en plus grande cause des

problmes rencontrs dans la pratique comme : le coups de blier dans les conduites, les

ondes de crue, les inondations, la remont et pollution des nappes souterrainesetc.

Cet ouvrage est compos de dix chapitres et qui donne une vision gnrale sur lhydraulique

et qui touche la majorit des points critiques que lingnieur besoin.


Table de matire

Introduction gnrale

Introduction 1 Historique de lhydraulique 1

Chapitre I : Caractristique physique et proprits des fluides I-1. Dfinition dun fluide 3 I-2. Masse volumique 3 I-3. Poids spcifique 3 I-4. Compressibilit volumtrique des liquides 4 I-5. Module dlasticit 4 I-6. Viscosit 4 I-7. Viscosit cinmatique 5 I-8. Tension superficielle 5 Exercices 5

Chapitre II : Hydrostatique II-1. Introduction 7 II-2. Pression en un point 7 II-3. Proprits de la pression hydrostatique 7 II-4. Equation fondamentale de lhydrostatique 8 II-5. Surface dgale pression 11 II-6. Diffrents types de pression 12 II-7. Appareils de mesure de la pression 13 II-8. Loi des vases communicants 13 II-9. Reprsentation graphique de la pression 14 II-10. Forces de pressions sur les parois 14 II-11. Flottement des corps dans un liquide 19 II-12. Caractristiques dun corps flottant 20 II-13. Stabilit des corps flottants 21 Exercices 22

Chapitre III : Cinmatique des liquides III-1. Introduction 26 III-2. Mouvement dun liquide 26 III-3. Equation de continuit 28 III-4. Fonction de courant 30 III-5. Interprtation physique dune fonction de courant 30 III-6. Ecoulement irrotationnel 31 III-7. Potentiel des vitesses 32 III-8. Ecoulement potentiel plan 33 Exercices 34


Chapitre IV : Hydrodynamique des liquides

IV-1. Introduction 36 IV-2. Hydrodynamique des liquides parfaits 36 IV-3. Hydrodynamique des liquides rels 40 Exercices 45

Chapitre V : Les rgimes dcoulement V-1. Introduction 48 V-2. Exprience de Reynolds 48 V-3. Rpartition des vitesses en coulement laminaire 49 V-4. Rpartition des vitesses en coulement turbulent 50 Exercices 51

Chapitre VI : Le courant liquide VI-1. Introduction 52 VI-2. Quantit de mouvement 52 VI-3. Energie cintique 53 VI-4. Couche limite 54 VI-5. Quantit de mouvement dans le cas dun courant liquide 57 VI-6. Perte de charge totale 58 Exercices 60

Chapitre VII : Ecoulement par les orifices, ajutages et dversoirs VII-1. Introduction 62 VII-2. Orifice en mince paroi non noy 63 VII-3. Orifice en mince paroi noy 64 VII-4. Ecoulement par les ajutages 65 VII-5. Ecoulement en charge variable 67 VII-6. Ecoulement par les dversoirs 69 Exercices 71

Chapitre VIII : Les rseaux de distribution VIII-1. Rseaux maills 73 VIII-2. Rseaux ramifis 76 Exercices 76

Chapitre IX : Ecoulement surface libre IX-1. Introduction 79 IX-2. Rgime uniforme 79 IX-3. Rgime non uniforme 81 Exercices 92


Chapitre X : Ressaut hydraulique

X-1. Introduction 95 X-2. Types de ressaut 95 X-3. Equation fondamentale du ressaut parfait 96 X-4. Fonction du ressaut hydraulique 98 X-5. Dtermination des profondeurs conjugues du ressaut 99 X-6. Pertes de charges dues au ressaut 100 X-7. Longueur du ressaut 101 Exercices 101


INTRODUCTION A LHYDRAULIQUE

Introduction Aussi ancien que la civilisation, humaines, lhydraulique est une science qui commande et dirige toute utilisation de leau. Lhydraulique traite les lois de lquilibre et du mouvement des liquides et tablit des modes dapplications de ces lois la rsolution des problmes pratiques. Cette activit est utilise dans de nombreux domaines, parmi lesquels on cite : Les amnagements hydrolectriques, lhydraulique fluvial, lhydraulique maritime, lhydraulique urbaine, lhydraulique agricole, lhydraulique souterraine et les commandes hydraulique. Historique de lhydraulique Ds lantiquit et 4000 ans avant lre chrtienne, de nombreux tmoignages de lexistence douvrage hydraulique notamment : En Egypte o on t dcouverts des ouvrages dirrigation et des canaux dassainissement de la valle du nil. En Msopotamie, la rgion arros par le tigre et lEuphrate se prtait galement lutilisation des eaux pour lirrigation. En Inde et au Pakistan, des fouilles on rvle lexistence de bains aliments par des tuyaux et se dversant dans des canalisations souterraines. En Iran et au moyen orient, des galeries souterraines de captage des nappes de faible profondeur pour les besoins dirrigation. En Afrique du nord, les foggaras des oasis saharienne. En dfinitive lhydraulique de lantiquit reste un art sans aucune Base scientifique, en dehors du principe dapproximations successives vers le but cherch. Le dveloppement ultrieur de lhydraulique repose essentiellement sur lamlioration des outils mathmatiques et sur les notions de la mcanique. On considre que le premier ouvrage scientifique consacr aux problmes de lhydraulique et le trait des corps flottants par Archimde (287-212 av. J-C). Lonard de Vinci , savant universellement connus (1452-1519) crivit un ouvrage intitul Sur le mouvement et la mesure de leau . G.Galille (1564-1642) examina les lois principales sur la chute des corps. Evanglista Torricelli (1508-1647) lve de G.Galille, applique les lois du matre au mouvement des liquides. Blaise Pascal (1623-1662) apporta ainsi une trs importante contribution lhydraulique en donnant la forme dfinitive de lhydrostatique. Newton (1642-1727), formula en 1668 lhypothse sur le frottement interne dans le liquide. Cependant lapparition de lhydraulique en tant que science avec une base thorique solide nest devenu possible quaprs les ouvrages de : Daniel Bernoulli (1700-1782), qui publia en 1738 son ouvrage Hydrodynamique dans lequel il exposa une quation appele lquation de Bernoulli. Lonard Euler (1707-1783), qui fonda dfinitivement la science de lhydrodynamique et les quations qui rgissent lcoulement dun fluide non visqueux. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) qui dveloppa largement les travaux dEuler.


Pierre-Simon Laplace (1749-1827) contemporain de Lagrange dveloppa surtout la mcanique cleste. Ces travaux donnant une pousse au dveloppement rapide de lhydraulique. Il faut souligner les mrites des savants : Antoine Chzy (1718-1798) qui tudia le mouvement uniforme des liquides. Adhmar Barr de Saint Venant (1797-1886) qui tudia lcoulement non permanent. Henri-Emile Bazin (1829-1917) qui tudia le mouvement uniforme et lcoulement par les dversoirs. Osborne Reynolds (1842-1912) dont lapport dans lapport dans ltude du mouvement laminaire et turbulent. Cette science maintenant tant ses frontires au del de son domaine traditionnel. La recherche hydraulique se dveloppe trs largement dans les laboratoires industriels et universitaires. Aux outils traditionnels tels que les essais sur modles rduits, sont venues sajouter les techniques de simulation numrique sur ordinateur.


CHAPITRE I

CARACTERISTIQUE PHYSIQUES ET PROPRIETE DES FLUIDES

I-1. Dfinition dun fluide Un fluide peut tre considr comme tant form d'un grand nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit et qui peut s'couler. On distingue les fluides aqueux comme leau, le ptrole, lessence, le mercure, etc. et les fluides gazeux comme les gaz. Les fluides aqueux noccupent pas tout lespace dune capacit comme le fond les gaz. Ils peuvent avoir une surface libre en contact avec un milieu gazeux (le plus souvent cest latmosphre). Ils sont peu compressible et sont volume change peu la temprature et de la pression, alors que le volume des fluides gazeux change dune faon notable en fonction de la temprature et de la pression. Le fluide aqueux est mobile, il est caractris par une fluidit et adopte le forme du rcipient ou il est vers. Dans ce cours, nous allons examiner seulement les fluides aqueux, en les appelant simplement liquides et en premier chef leau. I-2. La masse volumique Cest le rapport de la masse du liquide (M) son volume (W).

WM=

Le liquide est considr comme homogne si sa masse volumique est gales en tous les points. Les diffrents liquides ont les diffrentes valeurs de la masse volumique. La masse volumique de leau ordinaire pure ne diffre pratiquement pas de celle de leau distille et elle est prise pour les calculs hydrauliques gale 1000 . 3/ mkg Au chauffage, la masse volumique de leau dont la valeur maximale est observe 4c diminue dune faon insignifiante. Au chauffage de leau jusqu 30c, diminue de 0,47 %, cest pourquoi dans les calculs pratiques la masse volumique de leau peut tre considre constante. I-3. Le poids spcifique On appelle poids spcifique dun liquide homogne le rapport de la force due la masse du liquide son volume :

WG=

le poids spcifique et la masse volumique sont lis de la faon suivante :


gWgMWG .. ===

Dans ces expressions, g est lacclration de la pesanteur. Le poids spcifique de leau change peu en fonction de la temprature, comme dailleurs la masse volumique, et dans les calculs on le prend constant. I-4. La compressibilit volumtrique du liquide CElle est gal la variation relative du volume survenue la variation de la pression dune unit autrement dit :

WdW

dpdpWdW

C .1==

ou W : est le volume initial du liquide la pression atmosphrique. dW : est la diminution du volume du liquide laugmentation de la pression de dp. I-4. Le module dlasticit K Cest la grandeur inverse du coefficient de compressibilit volumtrique. I-5. La viscosit Les liquides ont les proprits de rsister aux efforts tangentiels qui tendent faire dplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres. Cette proprit sappelle viscosit. La viscosit se manifeste par le fait quau dplacement des couches du liquide voisines naissent des forces de frottement interne entre les couches. Par suite du frottement, la couche la plus rapide entrane la couche de liquide plus lente et vice versa. Newton proposa une hypothse conformment laquelle la force de frottement interne T dans un liquide ne dpend pas de la pression mais proportionnelle la surface de contact des couches, la vitesse relative du mouvement des couches et des fonction de la nature du liquide. La vracit de lhypothse de Newton fut dmont par N.Ptrov, qui avait propos la formule suivante pour la contrainte tangentielle lors dun coulement laminaire :

dyduST . +==

ou : cest la contrainte tangentielle. T : cest la force de frottement interne. S : cest la surface de contact de deux couches voisines. : cest la viscosit dynamique du liquide. du : cest la diffrence de vitesses de deux couches en contact. dy : cest la distance entre ces deux couches suivant la normale par rapport au sens de lcoulement.

dydu : cest le gradient de vitesse.


I-6. La viscosit cinmatique Cest le rapport de la viscosit dynamique la masse volumique du liquide :

=

La viscosit cinmatique de leau la pression atmosphrique peut tre calcule laide de la formule empirique de Poiseuille (en stokes) :

2.000221,0.0337,010178,0

tt ++= ou t :cest la temprature en C. I-7. La tension superficielle Les particules du liquides se trouvant sa surface libre en contact avec un milieu gazeux sont soumises laction des forces dattraction. Cest pourquoi toute la surface libre du liquide se trouve en tat dune tension superficielle uniforme qui dpend de la tempratures et en diminuant avec son accroissement. Exercice N 01 Un fluide de viscosit dynamique gale 4.88 x et une densit de 0.913, se trouve entre deux plaques superposes dont la plaque infrieure est fixe et la plaque suprieure se trouve en mouvement avec une vitesse de 1.125 m/s (Fig.1-1).

310 2/. mskg

- Calculer le poids spcifique de ce liquide ? - Calculer le gradient de vitesse dans les A et B et la contrainte tangentielle ?

Fig.1-1

75 mm V

A

B

V=1.125 m/sY

Solution

- La densit eaudliqeauliqd .

== =liq 0.913 x 9810 = 8956.53 3/mkg


- Puisque la variation des vitesses est linaire donc le gradient des vitesses dv/dy est toujours constant et est gale a : v/y = 1.125/0.075 = 15 . 1s-La contrainte tangentielle

dydv/. = =4.88 x x15=0.0732 310 2/mkg Exercice N 02 Un cylindre de 12 cm de rayon tourne lintrieur dun cylindre fixe de mme axe et de 12.6 cm de rayon. La longueur des deux cylindre est de 30 cm (Fig.1-2). - Dterminer la viscosit du liquide qui remplit lespace entre les deux cylindres sil est ncessaire dappliquer un couple de 9.0 cm.kg pour maintenir la vitesse angulaire 60 tr/min. Solution : -La vitesse tangentielle du cylindre intrieur gale r.w = 0.12 x 2 x =0.755 m/s. puisque la distance entre les deux cylindres est petite, on peut admettre que le gradient des vitesses est rectiligne, donc : dv/dy = 0.755/(0.126-0.12) =125.83 1set dune autre part en a le couple appliqu = le couple rsistant 0.09 = Ls.. 0.09 = 123,0).30,0..2.( rmoy

2/ 15,3 mkg= et on aura la viscosit dynamique :

. = dy/dv = 0.025 2/. mskg Exercice N 3 Un rservoir cylindrique vertical dune hauteur h = 10 m , et dun diamtre d = 3 m. Dterminer la masse du mazoute de masse volumique qui peut tre dverser dans ce rservoir a une temprature t = 15 , si la temprature augmente jusqu' 40, le coefficient thermique du liquide

30 / 920 mkg=

01/c 0.0008 =t et llargissement des paroi est ngligeable.


CHAPITRE II HYDROSTATIQUE

II-1. Introduction Lhydrostatique cest ltude de lquilibre du liquide et son interaction avec les corps solides. On notera que dans ce cas il ny a pas de manifestation de la viscosit. II-2. Pression en un point Examinons un corps liquide de volume limit au repos, (il nexiste pas de forces tangentielles) et divisons-le en deux parties par un plan. Rejetons une partie et remplaons son action par la force F (Fig. II-1).

S

F Fig. II-1 La pression moyenne exerce par la force F sur une unit de surface S est dfinie par lexpression suivante :

moyp

moyp = SF (II1)

La limite de ce rapport la diminution de la surface S jusqu zro exprime la pression au point donn :

SFp lim = (II2)

S 0 II-3. Proprits de la pression hydrostatique

a) La pression est toujours dirige suivant la normale intrieure vers la surface daction. b) Dans un liquide au repos, la pression est indpendante de la direction. Pour dmontrer

cette proprit, on considre un petit lment du liquide en forme de ttradre lmentaire (Fig.II-2).

dz

dy dx

Fz

Fn

Fy

Fx

C

B

A x

z

y

Fig. II-2


Le ttradre est soumis laction des forces superficielles t . zyx FFF , , e nFEn plus des ces forces il ya aussi laction des forces de masse ( pesanteur et forces dinertie). En dsignant le rapport de la rsultante des forces de masse la masse du liquide (acclration des forces de masse) par N et tenant compte du volume du ttradre W :

dzdydxW .. 61 =

On peut dfinir la rsultante comme WN Faisant la projection de toutes les forces sur laxe Ox on obtient lquation de lquilibre sous la forme suivante :

0 ),cos( =+ WNxnFF xnx (II-3) Ici, ( n,x ) est langle entre la surface ABC et laxe Ox. En dsignant la surface OBA par et en divisant lquation (II-3) par , on obtient : xS xS

xx

x

n

x

x

SWN

SxnF

SF - ),cos( = (II-4)

et comme et ),cos( xnSS nx = dzdySx ..21 = , lquation (II-4) prend la forme suivante : dxN

SF

SF

xn

n

x

x .. 31 = (II-5)

De la mme faon, on obtient les quations correspondant aux axes Oy et Oz. En passant la limite dx 0, dy 0 , dz 0 et en tenant compte de lquation (II2), on trouve :

nzyx pppp === (II-6)

par consquent, la pression hydrostatique en un point est gale dans toutes les directions. c) La pression hydrostatique dans un point donn dpend des coordonnes (position) du

point dans le volume du liquide et de la masse volumique, cest--dire : ) ,,,( zyxfp = (II-7)

II-4. Equation fondamentale de lhydrostatique Soient Ox,Oy,Oz, trois axes de coordonnes rectangulaires auxquels nous rapporterons les points de la masse liquide (fig.II-3).

O

y

x

Fig.II-3

G A

dzdyxpp ..

+

z dzdy..p

F

E

C

B

D


Considrons dans cette masse liquide, un paralllpipde rectangulaire infiniment petit. Les surfaces des faces du paralllpipde sont respectivement gales :

dzdySx . = dzdxSy . = dydxSz . =

Le paralllpipde volume se trouve en quilibre sous laction des forces de masse et des forces de pression.

dzdydxW .. =Les projections de la rsultante des forces de masse sur les axes Ox,Oy,Oz sont respectivement :

dzdydxNx ... dzdydxNy ... dzdydxNz ...

Les forces de pressions sur les six faces sont parallles aux axes, on peut donc en faire immdiatement les sommes suivant les trois directions Ox,Oy,Oz. La somme suivant Ox est gale la somme des forces de pression sexerant sur les faces ABCD et EFGH.

La somme algbrique de ces deux forces de pression suivant laxe Ox est :

dxdzdyxpdzdypdzdyp ). .. .. ( - .. +

dzdydxxp ... =

On trouverait de mme : Suivant Oy :

dzdydxyp ...

Suivant Oz :

dzdydxzp ...

Lquation dquilibre sur Ox, scrit donc :

0 ... - .... = dzdydxxpdzdydxNx

ou :

xpNx = .

En projetons galement sur les deux autres axes, on obtiendra en dfinitive :

xNxp 1 =

yNy

p 1 =

(II-8) zNz

p 1 =

ou, en notations vectorielles :

pdgraN 1 rr

= (II-9)


Le systme (II-8) peut scrire galement :

dxNdxxp

x. 1 =

dyNdyy

py. 1 =

(II-10)

dzNdzzp

z. 1 =

Additionnons les trois quations du systme (II-10) nous obtenons :

dzNdyNdxNdp zyx ++= .1 (II-11)

Cest lquation diffrentielle de la statique des liquides.

Dans le cas du repos dun liquide homogne par rapport la terre (Fig.II-4) , seule la force de gravit agit parmi les forces de masse, et on obtient :

0=xN , et 0=yN gNz =Remplaons dans lquation (II-11) on obtient :

dzgdp .1 =

Fig.II-4

dz

dy

x y

z p2

p1

z2 dx

z1

En dsignant la pression sur la face infrieure de coordonne par et sur la face suprieure de coordonne par , on peut donc crire que,

1z 1p

2z 2p

= 21

2

1

1z

z

p

p

dzgdp ou

. .2

21

1 constgpzg

pz =+=+ (II-12) Cest lquation fondamentale de la statique des liquides.


II-5. Surface dgale pression On appelle une surface dgale pression la surface dont tous les points sont soumis la mme pression. La surface du liquide en contact avec un milieu gazeux est appele surface libre, tous ses points sont soumis la mme pression extrieure . La surface libre reprsente la surface dgale pression (fig. II-5).

0 p

p0

p0+ gh1

p0+ gh1

h

h1

Fig. II-5 Dans le cas de repos par rapport au rcipient qui se dplace avec une acclration a, la pesanteurs et les forces dinertie sont diriges dans le sens oppos au dplacement (Fig.II-6). Chaque particule de masse m se trouvant en quilibre est soumise laction de la pesanteur gm et les forces dinertie am. La rsultante R nest pas verticale et doit tre perpendiculaire la surface libre parce que cette dernire est une surface de pression gale. Par consquent, la surface libre est un plan inclin par rapport lhorizontale avec un angle ) ( , autrement dit

gatg = .

gm

am

R

Fig.II-6

a En cas du repos relatif du liquide dans un rcipient qui tourne avec une vitesse angulaire autour dun axe vertical OZ, cherchons lquation de lquilibre relatif de la masse liquide par rapport au rcipient (Fig. II-7). Soit M un point de la masse liquide dans le plan XOZ. Les forces extrieurs qui agissent sur le point M par unit de masse sont le poids g et la force centrifuge x.2 . En appliquant lquation gnrale (II-11) on trouve :

) ( 2 gdzxdxdp =


Dans le plan XOZ Les surfaces de niveau 0 =dp et les courbes sont reprsentes par lquation diffrentielle :

gdzxdx 2 = 0 dont lintgrale gnrale scrit :

ctegzx

- 22

2 = (II-13)

La surface de pression gale, dans chaque point tant normale la rsultante R de ces forces est un parabolode de rvolution.

Fig.II-7 x

-g R

r

Z

X O

II-6. Diffrents type de pression II-6-1. La pression absolue ( p) Dans un point du liquide au repos la pression hydrostatique absolue est dtermine par la formule suivante :

hgpp .. 0 += (II-14) ou :

0p : cest une pression extrieure est souvent gale la pression atmosphrique qui est gnralement prise dans les calculs technique gale 98100 pa.

atmp

h : la profondeur dimmersion du point considr. II-6-2. La pression manomtrique ( ) mpElle est dfinie comme la diffrence entre la pression absolue et atmosphrique.

mp atmpp = ou

mp atmphp .g. 0 += (II-15)

Si = , la pression manomtrique est dtermine laide de lexpression suivante : 0p atmpmp = h.g. (II-16)

II-6-3. La pression du vide ( ) vpSi la pression hydrostatique absolue est infrieure la pression atmosphrique, le manque de la pression absolue par rapport celle atmosphrique est appel pression du vide :

mp patm = p (II-17)


II-7. Appareils de mesure de la pression Il existe diffrents sortes dinstruments mesurant la pression ou la diffrence de pression tel que : Le manomtre : cest un qui tube transparent en forme de U qui contient gnralement deux liquides diffrents et qui mesure la diffrence de pression absolue et atmosphrique (surpression par rapport la pression atmosphrique) au moyen dun liquide (Fig. II-8 ). P0

eau

A h

mercure

Fig.II-8

Le vacuomtre : qui mesure la diffrence de pression atmosphrique et absolue (manque de pression jusqu celle atmosphrique). Le pizomtre : cest un tube mince transparent de diamtre intrieur de 10 15mm branch sur un rcipient qui contient un liquide (Fig. II-9 ).

Pizomtre po

h

Fig II-9

Le manomtre inclin : ce type de manomtre est utilis pour augmenter la prcision dans la mesure des faibles pressions.


II-8. Loi des vases communicants Examinons deux vases remplies de liquides diffrents de masse volumique et . La surface libre des deux vases est soumis la pression (Fig. II-10).

1 2 ) ( 0p

P0 P0

h2 h1

O O Fig. II-10 Lquation dquilibre par rapport au plan O-O scrit sous la forme suivante :

1 1 0 .g.hp + = 2 20 .g.hp +Dou

1

2

2

1 =

hh (II-18)

par consquent si les pressions sur la surface libre sont gales, les hauteurs de deux liquides diffrents au-dessus du plan de sparation sont inversement proportionnelles leurs masses volumiques. II-9. Reprsentation graphique de la pression Daprs lquation fondamentale de lhydrostatique, la pression le long dune paroi verticale varie suivant une loi linaire :

hpp .g. 0 += la pression du liquide est toujours dirige suivant la normale intrieure vers le palier daction. L pure de la pression manomtrique se prsente sous la forme dun triangle et lpure de la pression absolue se prsente sous la forme dun trapze puisque la pression absolue est suprieure celle manomtrique dune valeur (Fig. II-11). 0p

p0

h

g h p0

Fig II-11

II-10. Forces de pressions sur les parois


II-10-1. Paroi plane horizontale Considrons une paroi de largeur unitaire et de surface S immerge horizontalement une profondeur h (Fig.II-12).

F

S

Fig.II.12 h La force de la pression hydrostatique sur la paroi horizontale S est la suivante :

== .SpF ). .. ( 0 Shgp +

Dans la pratique lintrt est port la force de pression manomtrique du liquide, et dans la majorit des cas la pression extrieure est gale la pression atmosphrique donc la formule de calcul de la force de pression est donne par la forme simplifi suivante :

atmpp 0 =

ShgF ... = (II-19)

Cest--dire la force de pression sur une paroi horizontale correspond au poids de la colonne de liquide de hauteur h. Suivant la formule (II-19), quelle que soit la forme des rservoirs (Fig.II-13), sils sont remplies du mme liquide, la mme hauteur h et de mme surface du fond sont soumis la mme force de pression, ceci sappelle le paradoxe hydrostatique.

h

S

S S S S Fig.II-13

II-10-2. Paroi plane en position incline Considrons une paroi de surface S et de centre de gravit C , immerge dans un liquide et incline dun angle par rapport lhorizontale (Fig. II-14).


Fig. II-14

dF

F

P

C

y yc yp

y0 y

P C

S dS

x

x xc

xp

x0

hp hc h Dcoupons de la paroi S un lment suffisamment petit , la force de pression sur llment est dtermine laide de la formule suivante :

dsds

dsygdshgdspdF .sin... ... . ===

lintensit de la force de pression agissent sur la surface S est :

===SSS

dsygdshgdFF .sin. .. Cet intgral reprsente le moment statique qui est dfini comme suit :

..sin . . SyShdsh CCS

== ou et reprsente respectivement la hauteur deau et la coordonne le long de laxe y du centre de gravit de la surface immerge.

Ch Cy

Dou lquation scrit : ShgF C...= (II-20)

Donc, la force de pression sur une surface plane orientation arbitraire est gale au produit de la surface de la paroi par la pression que subit sont centre de gravit, et est dirige suivant la normale intrieure par rapport au palier daction. Centre de pression Le point dapplication de la force F, est appel centre de pression . ),( pp yxP=Pour dterminer la coordonne du centre de pression on prend le moment de la force par rapport laxe x et on crit ainsi :

py

==SSS

dSygdSyygydF .sin. .sin.. 2 et dune autre part en a :


=S

ydF =S

pS

p dSygydFy sin

=S

pS

ydSgyydF sin donc : =

Sp ydSgy sin

S

dSyg .sin. 2 on obtient :

=py

S

S

ydS

dSy .2

lintgrale du numrateur est le moment dinertie par rapport x, tandis que lintgrale du dnominateur est le moment statique, dou :

SyIxyc

p.

= Dans les calculs, il est plus commode de remplacer le moment dinertie Ix par le moment dinertie Ixo par rapport laxe parallle celui-ci qui passe par le centre de gravit de la paroi en utilisant , cet effet, lquation suivante :

SyIxIx c.20+=

on obtient dfinitivement :

Sy

Ixyyc

cp.0+= (II-21)

II-10-3. Paroi plane verticale Considrons une paroi (A-B) de largeur unitaire et de surface S et de centre de gravit C, immerge verticalement (Fig.II-15).

S

h1

h2

F

A C P B

Fig. II-15


La variation de la pression entre les points A et B est linaire. Les pressions manomtriques aux points A et B sont respectivement :

1 .g. hp A = , 2 .g. hp B =La force de pression sur la paroi AB est applique dans son centre de gravit est :

ShgSpF c.... == (II-22) ou cest la profondeur jusquau centre de gravit. ch

/22 / ) - ( 1 2 1 hhhhc += = ) ( 2 1 hh + Donc lquation devient :

ShhgF ). .(..21

2 1 += (II-23)

La position du point dapplication est donne par lquation (II-21). II-10- 4. Paroi courb Les paroi des ouvrages hydrotechnique qui subissent une pression hydrostatique peuvent tre non seulement planes, mais galement courbes, par exemples , les vannes secteurs, les parois des rservoirs deau en charge, etc. La force hydrostatique qui sappliquent sur une surface courb peut tre obtenue par le calcul des composantes horizontales et verticale (Fig.II-16).

hc

F

Fy

Fx

Fig.II-16 Lintensit de la force F est obtenue ainsi :

2 2 yx FFF += (II-24) La composante horizontale de la force est dfinie comme suit : xF

..g. xcx ShF = (II-25) Ici est la surface de la projection dune surface courbe sur un plan perpendiculaire laxe horizontal.

xS

ch cest la profondeur dimmersion du centre de gravit de cette projection. La composante verticale est gale :


py WgF .. = (II-26) ou est le volume de corps de pression. pW Corps de pression Le corps limit par une surface courb, sa projection sur la surface libre et les plans de projection verticaux est appel corps de pression. La figure (II-17) prsente quelques exemples sur la dtermination de la surface transversale du corps de pression.

Fy

Fy

Fy

Fig.II-17 La position de la composante est dfinie comme pour les surfaces planes. La composante verticale passe par le centre de gravit du corps de pression.

xFyF

La force de pression rsultante sappliquent normalement la surface. II-11. Flottement des corps dans un liquide II- 11-1. Principe dArchimde Soit une surface ferme formant un corps solide de masse volumique et de volume W immerg dans un liquide de masse volumique

s (Fig. II-18).

p2 dS z

z2

z1

W

x

p1 dS

dz

dS

y

Fig.II-18 Les forces verticales qui agissent sur llment du volume sont dues aux pressions hydrostatiques. La rsultante de ces forces est :

gdzdSdSzzgdSppdFz )( )( 1212 === avec dz.dS = dW, dW cest un volume lmentaire. aprs intgration sur le volume W, du corps immerg on obtient :

WgdWgFW

z .. . ==


Par consquent, un corps immerg dans un liquide est soumis laction de la pousse verticale oppose en direction et gale au poids du liquide dplac par le corps :

WgF .. = (II-27)

La force F sappelle la pouss vertical. Remarque Si le poids du corps G est suprieure la pouss vertical F, le corps se noie (Fig.II-19.a). Si G = F le corps flotte en tat immerg (Fig.II-19.b) (Dans ce cas le flottement est en plong et il est en surface limmersion partielle). Si G < F le corps merge (Fig.II-19.c). F

c)

b)

a)

F

F

G

G

G

Fig.II-19 Donc la condition essentielle du flottement est exprime par :

WgFG .. == (II-28) II-12. Caractristique dun corps flottant Soit un corps symtrique qui se trouve dans les conditions dun flottement en surface (Fig.II-20).

Plan de flottement

Fig.II-20

Axe de flottement

y

D

C

Le plan de la surface libre traversant le corps sappel plan de flottement.


La profondeur denfoncement du point infrieur de la surface mouille dun corps y) est appele tirant deau. Le volume du liquide dplac par le corps est appel volume de carne. II-13. Stabilit des corps flottants La stabilit est une aptitude dun corps flottant dsquilibr de revenir en position initiale aprs que les forces provoquant linclinaison cessent dagir. Examinons la stabilit statique dun corps solide partiellement ou compltement immerg. La pousse verticale F, est gale au poids du corps G ; de plus, le centre de gravit C et le centre de pouss D, sont sur la mme verticale. Selon les positions relatives de ces deux centres, trois positions dquilibre sont possible :

1. Le centre de gravit C du corps se trouve au-dessous du centre de carne D , le couple de forces F et G tend diminuer linclinaison, par consquent la position du corps est stable (fig.II-21. a).

2. Le centre de gravit C du corps se trouve au-dessus du centre de carne D , le couple

de forces F et G tend augmenter linclinaison par consquent la position du corps nest pas stable (fig.II-21. b).

3. Si les centres C et D concident le corps inclin se trouve en quilibre et ne revient pas

en position initiale, cest dire, il est galement instable.

D

C

F

G

D

C

F

G

G

F

C D

Equilibre stable

D C

F

G

Equilibre instable a ) b )

Fig.II-21


Examinons maintenant un cas dun flottement de surface pour cela on considre un corps solide (bateau) flottant dans un liquide (Fig. II-22).Le centre de gravit C est au-dessus du centre de carne D , le corps est donc en quilibre.

D

Position Dquilibre

C

D

C M

M

C

D

Position stable Position instable Fig. II-22 On incline lgrement ce corps dun angle , le point C reste dans la mme position , par contre le point D sest dplac au point D . la ligne daction de la force dArchimde, F passant par D coupe la ligne centrale de section du corps solide au point M appel mtacentre. On distingue deux cas :

1. Si linclinaison ) ( est faible, le point M se situe au-dessus du point C. Cette position est stable et le corps solide revient sa position dquilibre initiale.

2. linclinaison ) ( est importante le point M se situe au-dessous du Si point C. Cette

position est instable et le corps solide se renverse.

Exercice N 01 Calculer la pression manomtrique dans Le point A dans un manomtre qui contient de leau et de mercure ( Fig. -01- ). Patm = 98.1 Kpa

3 13.6 mercure t / m=


Mercure

Pat

Fig. -01-

Eau A

D C

0.8 m

0.6 m

Solution La pression manomtrique en C est :

8,0.. gPC m= et dune autre part 8,0.. 6,0.. ggPAPDPC m =+==

donc en peut crire que : 8,0.. 6,0.. ggPA m =+ 6,0..8,0.. ggPA m =

6,0.81,9.10008,0.81,9.10.6,13 3 =PA / 8,100846 mNPA=

xercice N 02 E :

uile sous pression gale a PA = 135 Kpa. u dhuile dans

. -02- ). Patm = 98.1 Kpa

olution

On considre un rcipient qui contient de lhCalculer la hauteur du niveale pizomtre ( Fig

3/ 830 mkghuile =

A

2 m

huile Fig. -02-

PA=135 kpa

Patm

C D

S

2..gPAPC += 2.81,9.83010.135 3+=PC


= h =..

donc on aura :

PC / 6,151284 mNet PatmPD += PChg

gPatmPDh

h.=

81,9.830=h981006,151284

h=6,53 m Exercice N 03: Calculer la force de pression sur la vanne

-B), de largeur b = 5 m ( Fig. -03- ). atm =0.

t la rsultante des forces de pressions selon

(AP

5 m

Eau

A

B

R =2

R =2

2 m

Fig. -03-

Solution La force de pression exerce sur la vanne A-B ceslaxe x et y , elle est gale :

22 PyPxP += La force de pression selon laxe x est :

C.. ShgPx .=mhC 22

21 =+= 2105.2 mS ==

donc

La force de pression selon laxe y est :

10.2.81,9.1000=Px NPx 196200=


WgPy ..= ou W cest le volume du corps de pression

bRD

W .1.4.4. 2

+=

5.1.24.44. 2 +W

=

xercice N 04

=W 3 708.25 mPy 708,25.81,9.1000=

NPy 48,252195= et enfin la rsultante :

NP 212,319526= E :

alculer les forces de pressio et le nts dapplications dues laction de leau sur la anne rectangulaire (A-B) et la vanne triangulaire (C-D), Si la largeur b=3 m, Patm =0 (Fig.-4-).

C ns s Poiv0

45

A

B

C

D

6 m 7 m

3 m 3 m

Vanne A-B Vanne C -D

Fig. -04 -

m 3


CHAPITRE III

II-1. Introduction t ltude du mouvement des liquides sans tenir compte des

n considre donc seulement les relations entre les positions des particules liquides dans le

un liquide, deux mthodes sont employes :

II-2-1. Mthode de Lag nge ette mthode consiste suivre une particule liquide dans son mouvement. Pour cela , on onsidre a un instant initial, , une particule liquide M de coordonnes, et on suit dans son mouvement (Fig.III-1).

La position de cette particule dans le temps t, xM t est dfinit partir des variables

fonction suivantes :

(III-1)

se sont les variable de Lagrange. a voie parcourue par cette particule, est appele trajectoire. Les vitesses et les acclrations orrespondantes sont dtermines par les relations suivante :

CINEMATIQUE DES LIQUIDES ILa cinmatique des liquides cesforces qui lui donnent naissance. Otemps. III-2.Mouvement dun liquide Pour tudier le mouvement d I raC

0t ),,( 000 0 zyxMtcla

),,( z

x

trajecto re

z

i

Mt0(Mt(x, y,z)

x0, y0,z0)

y

Fig.III-1

y

indpendantes, 000 ,, zyx et t par les),,,( 0001 tzyxfx =

),,,( 0002 tzyxfy = ),,,( 0003 tzyxfz =

Lc

dtxu = , dt

yv = , dtzw = (III-2)


2

2

x

a= , dtx 2

2

y

a dty= , 2

2

z

a dtz= (III-3)

III-2-2. Mthode dEuler

ette mthode consiste fixer un point dans lespace et dtudier, en fonction du temps, ce ui ce passe en ce point. our ce faire, on considre un point ,( yxM itu une masse liquide en ouvement (Fig.II-2).

a vitesse

Cq

), z s lintrieur dP m x

y z

Ligne de courant

M(x, y,z)

V(u,v,w)

Fig.III-2

),,( wvuV

r L dune particule liquide chaque instant t peut tre obtenue partir des

z par les fonctions suivantes :

a variation totale de la vitesse selon laxe x est donne par :

variables indpendantes, x,y,),,,( 1 tzyxfu = ),,,( 2 tzyxfv = ),,,( 3 tzyxfw =

e sont les variable dEuler. s

L

dzzuuuu dyydxxdttdu +++= (III-5)

et lacclration selon laxe x est alors obtenue de la faon suivante :

dzzyxtdt uwdyuvdxuuudu +++= (III-6)


ocale et lacclration onvective.

Dune faon gnrale, la mthode dEuler e a mthode de Lagrange, pour ela nous considrons seulement les variables dEuler.

II-2-3. Lignes de courant chacun de ses points, au vecteur vitesse (Fig.III-2) et qui

es lignes de courant satisfont les quations diffrentielles suivantes :

donc lacclration totale est gale la somme de lacclration lc

st plus simple que lc ISe sont des lignes tangente enchange dun instant lautre sauf dans le cas dun coulement permanent, elles concident avec les trajectoires. L

wdz

vdy

udx == (III-7)

i on a lieu a des lignes de co rant limites par un contour ferm cest un tube de courant.

II-3. Equation de continuit t cest une quation fondamentale de la mcanique des fluides, elle

t n de la m e.

our tablir cette quation, considrons un paralllpipde lmentaire de liquide de volume x,dy,dz (Fig.III-3).

s u ILquation de continuiexprime le principe de conserva io ass Pd udydzdt

Pendant le temps dt, la masse liquide qui entre par la face ABCD est gale :

z

udydzdt

et la masse qui sort par la face EFGH est gale :

dydzdtdxxuu ) (

+ dautre par, la diffrence des masses entrant et sortant et donne par :

x O

F E

H A

B

C

y

G D

dx

dy

dz

Fig. III-3

dydzdtdxxuu ) (

+


dydzdtdxxu

Cette expression reprsente laccroissement de masse des paralllpipde travers les deux faces envisages.

e la mme manire on obtient laccroissement sur les autre faces, de sorte que total de la masse liquide dans le paralllpipde pendant le temps dt est :

Dlaccroissement

dxdydzdtzw

yv

xu )

( +

+

uisque la masse du paralllpipde est constante pendant le temps dt, cet accroissement de masse est gale laccroissement de masse volumique mu le volume, soit :

P

ltipli par

dtdxdydzt

ou lgalit :

d

) ( - zw

yv

xu

t +

+=

que lon crit gnralement sous la forme :

+

++

wyv

xu

t 0 =z (III-8)

Cest lquation de continuit pour un liquide parfait. Pour un liquide incompressible ( =cte). Lquation de continuit devient :

0 =++ zyx (III-9) ou wvu 0 =Vr div

multiplions lquation de continuit par un volum

olume on obtient : e lmentaire dW et intgrons par rapport au

v

== 0 dSVdWVdiv pW

(III-10) S

r

ou est la composante de la vitesse re la surface du volume. quation (III-10) signifie que les dbits entrant et sortant travers une surface quelconque

ar dfinition, le dbit total, Q, traversant une surface est donn par :

pV qui est perpendiculai

Lferme doivent tre gaux. P


dSVS

p . = (III-11) u U est la vitesse moyenne sur cette surface, S

II-4. Fonction de courant Dprs lquation (III-7), lquation des lignes de courant pour un coulement plan, permanent et incompressible est :

U = QS o I

0 =+ udzdx (III-12) w

Supposons quil existe une fonction ),( zx , telle que :

zu = et xw

= (III-13) a fonction , ainsi dfinie est appele fonction de courant. emplaons les quations (III-13) dans lquation des lignes de courant on obtient :

L R

0 + == ddz

zdx

x (III-14)

uisque la diffrentielle totale P d est nulle donc = cte le long dune ligne de courant. II-5. Interprtation physique de

I

On considre suivant laxe Ox deux lignes de courant, et + , voisines et spares une de lautre par une distance dn (Fig.III-4).

e dbit unitaire, q, entre ces deux lignes de courant est obtenu par

l

O

z

+u

Z2

Z1

dn

Fig.III-4

x

L

z

z1

et puisque

== dzudzq 2 z


ddzz =

dou 2

1

dq (III-15)

le dbit unit r ent deux lign e courant,

=== 12

21 et Donc on peut conclure que ai e re e d est constant

t gal . e III-6. Ecoulement irrotationnel

oit un coulement dun lment liquide de section dx dz dans le plan xz qui subit une rotation endant un temps dt (Fig.III-5).

III-6-1. Rotation Sp

dzzuu ) / ( + dxxww ) / ( + x

z

y dx

dy

u

w

dzdtz

u

x

z

dxdtx

w Fig. I-5

y

II Le taux de rotation de cet lment fluide, dx dz, autour dun axe y, en considrant le sens

ositif le sens des aiguilles dune montre est : Suivant dx :

p

xw

dxwdxxww

=+ ) ) / ( (

dz :

uivantS

zu

dzudzzuu

=+ ) ) / ( (


Le taux net de rotation reprsente la moyenne de rotation des faces dx et dz ; on le dfinit alors ainsi : ( )xwzu

= 1 y

isons de mme pour les deux autres sections dx dy et dy dz on obtient :

2

fa

= zvywx 21

= yuxv 21 z ou

) ,,( z y xr = Vrot r 21 (III-16)

) ,,( z y xr sappel le vecteur tourbillon ou vorticit du champs de vitesse qui est gale tion en bloc,

itesse angulaire la moiti du vecteur rotationnel. Ceci correspond un mouvement de rota

v r de llment liquide. II-6-2. Irrotationalit

tout point donc ISi le vecteur tourbillon est nul en

r = Vrot r 21 = 0. Ses coulements sont apPour un coulement plan en xz :

pels coulements irrotationnels.

( )xz wu = 2 y = 0 1Ce qui donne

xw

zu = II

III-7. Potentiel des vitesses

(I -17)

Dans un coulement irrotationnel, la vitesse Vr

Peut tre exprime par la fonction appele potentiel des vitesses telle que :

dgraV rr = (III-18) dont les trois composantes sont :

xu =


yv = (III-19)

zw =

Un tel coulement est dit coulement ote ie p nt l des vitesses ou plus brivement, coulement

Les lignes quipotentielles sont telles que la fonction

potentiel.

, conserve la mme valeur en tout point de chacune delles et qui sont donnes par :

), cte.,( == zyx Remplaons la fonction dans lquation de continuit pour n l uiu iq de parfait, incompressible et conservatif on obtient :

0 = 222

2

2

2

2 =+

+ zyx (III-20)

ou 0 ) ( =dgradiv r

Par consquent, un tel coulement irrotationnel satisfait lquation de Laplace 0 2 = ; la onction esf t donc harmonique.

III-8. Ecoulement potentiels, plans II-8-1. Rseau des lignes

et IDans un coulement plan en x , incompressible et irrotationnel, les composantes de la vitesse peuvent tre e

zxprimes en fonction de et

De la manire suivante :

xu = , zw

=

zu = , xw

=

relations suivantes entre les fonctions et . Daprs ses galits on constate lesx z

=

z = x

es conditions reprsentent les conditions de Cauchey-Riemannenant compte de la condition dirrotationalit dans le plan x z donne par :

C .

0 =+ zuxw

(II-21)

T


on obtient :

0 2222

2 ==+ zx (II-22)

Do lnc a fonction de courant , satisfait lquation de Laplace. Elle est par consquent aussi

ar n

au orth o

h

mo ique.

Par onc squent les lignes de courants et les lignes quipotentielles forment donc un rseog nal (Fig.III-6).

+ +

xercice N01

tes v r

- Dterminer les lignes de courant ?

erminer les trajectoires ?

- Puisque la vitesse est une fonction du temps donc lcoulement est non permanent. - Lquation des lignes de courant linstant est :

E

Un coulement est dfinie en variable dEuler par les relations suivan t: ( ) +== ktbUy aUxa,b,k tant des constantes.

- Quelle est la nature du mouvement ?

- Dt Solution

0t

Uydy

Uxdx=

ktbdy

adx= +

+= dyktbdxa 011 1

0.11 cy

ktbxa ++= ( ) ( ) CBAxktbcaxy +=+ 01 .. cest une quation dune droite.

z

x o

Fig.III-6

=


oire est : -Lquation de la traject

dtUydy

Uxdx ==

acxtcatxdta

dx 22

=+==

3

222

2 22 caabyktb ++=+2

ckt

btydtdy ++== cxkcx cest une quation dune parabole.

xercice N02 a fonction potentielle des vitesses dun coulement est donne par :

E

axy= L - Dterminer lquation de continuit ?

- Calculer la fonction du courant ? olution

-Lquation de continuit est

S

yx UUx + y

ayxUx == , axyU y ==

0=xUx , 0=y

y

don

U

c 0= yx+ UU yx

dy- yx dxd+=

axU ==yx y=

ayU ==xy x=

aydyaxdx+= on obtient finalement : ( )222 xya =

xercice N03 ELcoulement dun fluide est dfinie on coordonnes de Lagrange par :

=ou k cest une constante.

=

-Dterminer la trajectoire de la particule du fluidterminer les composantes de vitesses ?

ktkt

eyyexx

..

0

0

e ? -D


CHAPITRE IV

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES IV-1. Introduction Lhydrodynamique des liquides est ltude du mouvement des liquides en tenant compte des forces qui lui donnent naissance. En hydrodynamique, les forces de viscosit ninterviennent que pour les liquides rels. Cette

marque nous conduit donc tudier successivement :

V-2. Hydrodynamique des liquides parfait IV-2-1. Equation gnrale du mouvement

n hydrostatique, nous avons tabli les quations dquilibre dun paralllpipde lmentaire

agissant sur lunit de masse u liquide, lquation dquilibre hydrostatique scrit :

re L hydrodynamique des liquides parfait. L hydrodynamique des liquides rels.

I

Epris dans une masse liquide au repos. En considrant la force extrieure de composantes N

rzyx NNN ,, ,

d

Nprr grad 1 =

En hydrodynamique il suffit donc dajouter, au second membre, la force dinertie par unit de masse, cest--dire au signe prs, lacclration absolue, soit ar , ce qui conduit lquation fondamentale suivante :

aNp rrr = grad 1 (IV-1)

,z) fournit les trois quations suivantes :

Cette quation vectorielle projete sur les axes (x,y

tu

zuwy

uvxuNx x = . up

1

tvvwvvvuNp zyxy y =

.1

twww zy

wvxwuNz

pz =

.1 ou sous la forme suivante :

2dtx x21 xdp . N =

2

2

.1dt

ydN

yp

y =


2

2

.1dt

zdN

zp

z =

Se sont les quations gnra

lions la premire quation du systmles du mouvement appeles quations dEuler.

Multip e prcdent par dx , la seconde par dy, la troisime par dz et a e :

dditionnons, on obtient en dfinitiv

VdvdzNdyNdxNdttp +=dp(1 zyx + )

st permanent ,

Si le mouvement e tp = 0 et on aura :

VdvdzNdyNdxNdp zyx ++= 1 (IV-2)

nralement un liquide en m ment est suppos soumis la seule action de pesanteur

emplaons dans lquation (IV-2) on trouve :

G ouve

0 , =yx NN gNz - =

R

Vdvgdzdp = 1 (IV-3)

prs lintgration lquation (IV-3), scrit ainsi : a

CtegV

gz + p 2

2 =+ a constante est donc homogne une hauteur H .

ectoire dune m lcule liquide : LOn a donc, tout le long de la traj

o

CteHgVp

gz 2 2 ==++ (IV-4)

gie mcanique totale est constante en toute la ent.

Lquation de Bernoulli peut tre crite entre les deux section (1-1) et (2-2) (Fig.IV-1) de la aon suivante :

Cest lquation de Daniel Bernoulli dans le cas dun liquide parfait.

dcoule de lquation de Bernoulli que lnerIllongueur de lcoulem

f

2 2

111 =++ g

Vg

pz 2 2

222 Hg

Vg

pz =++ u o

z : hauteur de position


gp : hauteur piezomtrique

gz + : charge hydrostatique p

22

g : hauteur du la vitesse ou pression cintique.

: lnergie mcanique totale. ous les termes de lquation de Bernoulli peuvent tre reprsents graphiquement (Fig.IV-1). our un liquide non visqueux la ligne qui horizontale qui trace avec lordonn H sappelle la gne de charge .

a liaison entre les extrmits des tronons des tronons

V

HTPli

gpz +L donne la ligne

iezomtrique.

n appelle pente piezomtrique le rapport :

p Plan de charge

Ligne piezomtrique

1 2

z1

V 21 /2g V 22 /2g

p1/ g H

p2/ g

Fig.IV-1

z2 O

lgp2zgpzI p ) () ( 211 ++=

u l est la distance entre deux sections.

ube de Pito i lon immerge dans un courant liquide un tube (Fig.IV-2-a), leau monte dans le tube au-

o TSdessus de la surface libre dune hauteur :

gV

h 2 2=

Ce tube sappelle tube de Pito. Pour dterminer les vitesses locales dans le courant on utilise un pizomtre ordinaire

ant la hauteur pizomtrique et un tube de Pitot (Fig.IV-2-b).

La diffrence de niveau h dans les deux tubes est la hauteur due la vitesse

indiqu

gV2

2

.


es vitesse locales sont dtermines laide du tube de Pitot suivant la formule suivante : L

hgkV 2 = ou k est un coefficient de correction dtermin pour chaque tube par exprience.

ube de venturi e tube de venturi a pour but de mesurer le dbit partir de la dtermination de la diffrence e pression. e dispositif consiste faire passer un coulement par une contraction pour quil yaura une iminution de pression (Fig.IV-3).

quation de Bernoulli entre les section (1-1) et (2-2) pour un liquide parfait est :

TLdCd L

2 2

111 =++ g

Vg

pz 2 2z2

22

gV

gp ++

une autre part lquation de cont rit : S

ou

d inuit s c

2211 VSV =d

u

h= V 2 /2g

u

h=V 2 /2g

b) a)

Fig.IV-2

S1 S2

1 2

Fig.IV-3


)(2 )/(1

1 212

122 pp

SSV =

e dbit total, Q traversant cette conduite est : L

)(2

)/(121

212

22SS

1 ppS =

V-3. Hydrodynamique des liquides rels

ottement. Cela va nous amener dfinir la viscosit du liquide qui est associe la sistance au mouvement de glissement dune couche de particules liquide par rapport une

autre.

permet galement de la mesurer, elle est es .

, don lespace intermdiaire et

n entranant le cylindre extrieur avec une vitesse angulaire constante

VQ= (IV-5)

IDans cette partie le liquide est considr comme rel, donc il ya un effet des forces de frr

IV-3-1. Exprience de Couette Cette exprience met en vidence la viscosit etdcrite ci-d sousOn considre deux cylindres coaxiaux, de rayon peu diffrents trempli dun liquide (Fig.IV-4). E , on constate que le ylindre intrieur a tendance tourner dans le mme sens. Pour le maintenir fixe, il faut lui ppliquer un couple Cp dans le sens oppos. a distance e entre les deux cylindres tant petite devant le rayon r, on peut schmatiser exprience en considrant un plan fixe et un plan mobile se dplaant paralllement au plan xe de surface

caLlfi hrS 2= et de v sseite rV = (Fig.IV-5).

r

Cp

e h

Fig.IV-4

e

u

V= r

Plan fixe

Plan mobile

Fig.IV-5


ngentielles au contact des couches successives n quent, la force de frottement reste proportionnelle SV/e

L exprience montre lexistence de tension tade fluide et par co sSoit :

eSF V =

: est un coefficient qui exprime la viscosit dynamique du fluide, il dpend de la emprature et du tt

Oype de fluide.

n u a

pe t dfinir la force de frottement, p r unit de surface de la manire suivante :

eV =

ou e

V cest le gradient de vitesse dydu entre les deux plans et on aura

dydu =

l exprience de Couette permet de calculer la viscosit dynamique du fluide , ce qui justifie lappellation de Viscosimtre de Couette. Lunit de est . On dfinit galement le coefficient de viscosit cinmatique :

2/. msN

=

Lunit de est .

il existe des forces internes ou tension visqueuses qui vont tervenir dans les quation gnrales du mouvement.

ession analytique de ces ossible de les faire intervenir dans les quations gnrales du

mouvement. IV-3-3.Dtermination des tension visqueuses Considrons en un point M(x,y,z) du liquide un paralllpipde infiniment petit dont les artes dx, dy, dz sont parallle aux axes.

sm /2

IV-3-2. Equations dynamiques des liquides rels Dans le cas dun liquide rel, inNous nous proposons donc, en premier lieu, de prciser lexprtensions et comment il est p

Soient u,v,w les composantes de la vitesse Vr

, des liquides au point M.(Fig.IV-6). Dsignons respectivement par i et par i les composantes normales et tangentielle agissant ur ig.IV-6).

s le paralllpipde (F

1 2 3

2 1 3

2 3

1

H

E

A B

F D C

G O

Z

Y

X

Fig.IV-6


r ation angulaire sont :

Si les vitesses de dfo m

2

1 + zvyw Sur laxe ox est :Sur laxe oy est : )xwzu ( + 21Sur laxe oz est :

s la thorie

Les contraintes tangentielles sont proportionnelles aux vitesses de dformation

+ yuxv 21 Et daprs les hypothses de Stokes et Newton analogues celle de Hooke dan

lasticit on a : d

iangulaire, soit :

+= zvyw 1 ( )xwzu += 2

+ yuxv

Les contraintes normales sont des fonctions linaires des vitesses de dformation linaire, soit :

= 3i

= xu 2 1 = yv 2 2 = zw 2 3

ici, et sont des grandeurs caractristique du fluide cest la dilatation cubique.

Vdivr

= S de continuit impose que Les u :

0 == Vdiv r i le liquide est incompressible lquation q ations (IV-) devient

xu= 2 1

yv= 2 2


zw= 2 3

Pour tro muver les quations dyna iques des liquides rels, on doit ajouter les forces de iscosit par unit de masse. Pour cela, considrons les projections sur laxe ox.

Sur la face ABCD :

ur la face EFGH :

v

a) la composante 1 dydz1

dydzdxS x 1

1 +

La rsultante : dxdydzx 1

b) la composante 2

Sur la face CGHD : dx2 dy ur la face ABFE : dxdydz

S z2 La rsultante :

2 +

dzdxdyz

Sur la face BCGF :

2

c) la composante 3 Sur la face ADHE : dxdz3

dxdzdyy 3

3

+

La rsultante : dydxdzy 3

es autres composantes sont perpendiculaire ox et leur projection est donc nulle.

n dfinitive, la rsultante des forces de viscosit sur laxe ox a pour expression :

L E

dxdydzzyx 231

+

+

Remplaons 231 et , par leurs expressions on trouve : dxdydzz

uyx

u 2

2

2

2

u 2

2 ++

ou dxdydzu

ramenant cette quation lunit de masse :

u u =

Ajoutons ce terme aux quations dEuler pour les liquides parfait, on obtient en dfinitive :

udtduNx

px +=

1


vdtdvNy

py +=

1

(IV-6)

wdtdwNz

pz +=

1 ou sous la forme vectorielle :

VaFpdgrarrrr += 1 (IV-7)

u : opdgra 1 :

rforce de pression

Fr

:force extrieur ar :force dinertie rsultant du mouvement

: force de viscosit

p sent en 1822 par Navier, elle sont gnralement appeles les tokes.

l long de la trajectoire dune molcule liquide en rgime permanent et en tenant compte des forces de viscosit on peut crire :

Vr

tLes quations (IV-6) r

o s de Navier-Squati nDonc e

VdvdzNdyNdxNdp zyx + 1 += ) ( dzwdyvdxu +++ Appliquons cette quation une particule dun liquide incompressible soumise la seule action de la pesanteur ),0( gNNN zyx === , il vient :

0 )( 1 =++++ wdzvdyudxVdvgdzdp lin rtg ale le long de la trajectoire donne :

==+++ v 2+ Hwdzvdyudxgggpz Cte ) (2 e te

L rme g ++ ) ( wdzvdyudx a les dimensions dune longueur, il reprsente la perte de harge et on le signe par j. quation sc t alors :

c driL

CteHjVpz g 2 g

2 ==+++ (IV-8)

est le thorme de Daniel Bernoulli dans le cas dun liquide rel (fluidit non parfaite) et ui exprime quon tout point en mouvement permanent, la cote, la hauteur reprsentative de la ression, la hauteur reprsentative de la v se et la perte de charge forment une somme

. i dans le cas dun liquide rel peut tre crite entre les deux section (1-

Cqp itesconstanteLquation de Bernoull1) et (2-2) (Fig.IV-7) de la faon suivante :

2 2

1 Vp 2 2

222 jg

Vg

pz +++ 11 =++ ggz


raulique : et la longueur laquelle ces per o

La pente hyd cest le rapport des pertes de charges j

tes n lieu :

ljI =

Exercice N01Dans le tube d s

1Dans le tube d s

: e venturi repr ent dans la figure ci-dessous, la dnivellation du mercure du

m nomtre diffrentiel et 36 cm, la densit du mercure gale 13,6. reil si aucune nergie nest perdue entre A et B.

: e venturi repr ent dans la figure ci-dessous, la dnivellation du mercure du

m nomtre diffrentiel et 36 cm, la densit du mercure gale 13,6. reil si aucune nergie nest perdue entre A et B.

aa-Calculer le dbit deau travers lappa -Calculer le dbit deau travers lappa

Solution : Solution : Appliquons lquation de Bernoulli entre les point A et B : Appliquons lquation de Bernoulli entre les point A et B :

gVB

gPBZBg

VAg

PA++ZA .2..2. ++=

ou

22

d 75,0.2 g .2..

22

+= VAgVB

gPB

gPA

t pu SA=VB.SBe isque VA. VBVAVBVA .91 4

.0,1.4

.0,3.

22

== dune autre part en a

onc PLPR=

d ( ) ( )36,0 36,0..75,0. ++=+++ ZPAgZgPB m mg

PBg

PA 286,5.. = et on obtient lgalit suivante :

Plan de charge

Ligne piezomtrique

1 2

z1

p1/ g p2/ g

/2g

/2g

V 21

V 22

z2

j

H

Fig.IV-7

75 cm

15 cm

A .

B .

Z 36 cm 30 cm


75,0.2 - .2.9

286,5222

+= gVA

gVA

- le dbit Q=VA.SA =0,074

xercice N02 e leau circule du T vers le point W. Si la charge consomme par la turbine C-R est de 50 m

t la pression en T est de 4 bars, le diamtre de la conduite T-C=25 cm et de la conduite R-=60 cm, les pertes de charges totales dans les conduites sont les suivantes :

ntre les points T et C ntre les points W et R =

- Calculer le dbit qui circule dans le systme et les hauteurs de pression dans les points C ,R ?

olution - Calcul de dbit

n appliquant lquations de Bernoulli entre T et W

smVA /054,1= sm /3

EDeWE = gVTC .2/.2 2 E gVWR .2/.3 2

S

E

gggggg .2.2.2..2. 25 /10.44 mNbarsPT ==

remplaons dans la premire quation en trouve :

VRVTVWPW .3.250222

+++++ ZWVTPTZT2

=++

gg .2.2

t puisque

VRVT.3774,25 +=

22

e VRDR

VTDT

Q ....22 == 44

t on peu crire

VTVR .1736,0=e ( ) 222 .1736,0.23.2774,25 VTgg

VT += et /smVT /535.21= smVR 738,3=

onc le dbitd smQ /057,1535,21.25,0.432 ==

- Calcul des hauteurs de pression dans les points C et R Lquation de Bernoulli entre T et C

gVC

gVC

gPCZCg

VTg

PT.2

.2.2..2.

222 +++=++

Cote=75m

Cote=40m

T

W

C R

ZT


5+40,77-30- gPC

g .535,21 2

= 7mg

PC 496,38. = t lquation de Bernoulli entre T et R e

gggZRgg .2.2..2. +++=++ 75+40,77-30-23,637-50=

VTVRPRVTPT .2 222ZT

gPR.

mgPR 133,12. =

xercice N 03

e leau circule du rservoir vers le point C qui se trouve dans latmosphre, si les pertes de harges sont :

e A-B =

E Dc

gV

.2.9

260 et de B-C =

gV

.2.6

230 D

Calculer le debit ? alculer la pression dans le point B et tracer la ligne de charge total ?

CPatm =0

A

B

C

D1=60 cm

D2=30 cm

ZC=20 m

ZB=30 m

Patm

Fig. -05 -

ZA=40 m


CHAPITRE V LES REGIMES D ECOULEMENTS

ens avaient constat lexistence de ces diffrents rgimes, ais cest Osborne Reynolds qu il appartenait de les mettre exprimentalement en vidence

et de dgager le critre permettant de les diffrencier.

. Exprience de Reynolds V-1), consiste injecter un liquide color dans une masse

lintrieure dun tube en verre.

i on ouvre lgrement le robine commence passer lentement ans le tube en verre et ne se lange pas avec les autres couches du liquide (Fig.V-2), les gnes de courant dans le tube sont toujours rectiligne de telle sorte que la coloration reste niforme. Ce rgime sappelle Rgime laminaire.

V-1. Introduction Depuis longtemps les hydraulicim

V-2Lexprience de Reynolds (Fig.liquide en mouvement

Liquide color

Tube en verre

Vanne Vanne

Rservoir dalimentation

Fig.V-1 S t de vidange, le liquide colord mliu

Fig.V-2


coulement saccrot et on remarque des oscillations dans le tube.

augmentation ultrieur de la vitesse entranent le mlange du liquide color avec

Si on augmente louverture du robinet, la vitesse d

L les autres couches du liquide dont laquelle chaque particule est projete dans toutes les direction dune manire irrgulire et dsordonne (Fig.V-3). Ce rgime sappelle Rgime turbulent.

Fig.V-3

Si on dsigne par U la vitesse moyenne dans le tube, D le diamtre du tube et par le coefficient de viscosit cinmatique du liquide en mouvement, le nombre adimensionnel app

el nombre de Reynolds est :

UDR =

R> 232

rtition des vitesse en coulement laminaire minaire, les vitesses dcoulement ne subissent pas des

osc s e temps. Daprs les expriences, la vitesse dans une section dcoulement est gale a zro sur les parois et elle est maximale dans le centre de la conduite (Fig.V-4).

Le nombre de Reynolds peut servir caractriser le rgime dcoulement. Si R< 2320 le rgime est laminaire Si 0 le rgime est turbulent V-3. RpaDans le cas dun coulement la

illations et ne varient pas dan l

Vmax

r 0

r y

Fig.V-4


onc les vitesses de lcoulement laminaire on une forme dune parabole conformment

lexpression thorique suivante :

D

( )220 4 rrgIV = ou g : lacclration de la pesanteur I : la pente hydraulique

: la viscosit dynamique : le rayon de la conduite

r : la distance entre laxe de la conduite et le point dans lequel on veut dterminer la vitesse. Si r=0 on obtient la valeur maximale de la vitesse qui est :

0r

( )20max rgIV 4 =

gale la moiti de la vitesse maximales.

lement turbulent

autour dune certaine valeur moyenne de la e dsign par U qui est indpendante de temps (Fig.V-5).

onn du temps au point donne est appele vitesse instantan

ire que :

Les expriences montrent que dans le cas dun rgime laminaire, la vitesse moyenne U dans une conduite circulaire

max5.0 VU = V-4. Rpartition des vitesse en couLes vitesses dans un coulement turbulent sont soumises des variations (pulsations) plus ou moins rapides dans le temps. Les mesures indiquent que les pulsations se fontvitess

t (s)

u ( t )

U

Fig.V-5

La vitesse en chaque moment det on la dsigne par u . La diffrence entre la vitesse instantane et la vitesse moyenne U sappelle la vitesse de pulsation 'u .

onc on peut crD

' uUu +=

a vitesse moyenne du courant turbulent est ga : L le

= T dtuTU 1 0


Exercice N01

ans une conduite de diamtre d = 4cm, le dbit Q = 70 , la viscosit inmatique

scm /3De leau s coule dscm / 0124,0 3=c . Dterminer le rgime dcoulement et dcrire le caractre du

mouvement dun liquide color introduit au centre de la section de la conduite ? uel est le dbit quon doit transiter par la conduite pour changer le rgime dcoulement ?

- La vitesse dcoulement est :

Q Solution

scmdQ

SQv /6,54.14,3

70.4.4

22 ====

o bre de Reynolds 18060124,04.6,5Re == -Le n m

puisque Re = 1806


Un courant liquide est la runion de lensemble des filets liquides juxtaposs dans le cas dun ouvement permanent.

a quantit de mouvement dune masse liquide qui traverse llment dS de surface S avec la itesse relle V pendant lintervalle de temps dt

CHAPITRE VI LIQUIDE LE COURANT

VI-1. Introduction

mComme le filet liquide ne peut se concevoir qu avec le mouvement permanent, le courant liquide sera toujours pris dans une masse liquide en rgime permanent.

I-2. Quantit de mouvement VL

vest :

dtdSVdQdtV 2 = (VI-1)

dSVdtdtdSV 22 (VI-2)

ent fictive est :

La quantit de mouvement dune masse liquide qui traverse toute la section est :

=S S

une autre part la quantit de mouvemd

dtSUQUdt 2 = (IV-3)

u U cest la vitesse moyenne. signons par v lxes, positif, ngatif ou nul de la valeur relle de la vitesse dun filet liquide aversant la section S sur la valeur mo n peut crire :

oD

yenne U.trO

V = U+ v ou

222 2 vUvUV ++= multiplions par dS et intgrons dans toute la section :

++= dSvvdSUSUdSV 222 2 S SS

et puisque donc =S

vdS 0


+=S

dSvSUdSV 222

n divisant par :

S

SU 2e

SU

dSv

SU

dSVSS

2

2

2

2

1 +=

posons : 22

= SUdSv

S

on obtient :

1 22

+= SUdSV

S

et supposons que =+1 est appel : coefficient de quantit de mouvement ou coefficient de Boussinesq. n dfinitivE

e, la quantit de mouvement relle est :

22 = 4) dt (VI-SUdSVdtS

VI-3. Energie cintique

nergie cintique relle du courant est : L

=S2

S

dSVdtdtdQV 32 21 1 (VI-5)

Lnergie cintique fictive est :

dtQUdtQU 21 2

1 32 = (VI-6) de la mme faon que la quantit de mouvement en a :

V = U + v 32233 33 vUvvUUV +++=

multiplions par dS et intgrons dans to

dSvdSvUSUdSV 3233 3 0

ute la section S :

+++=S SS


ivisant par : SU 3d

SU

dSv

SU

dSv

SU

dSVSSS

3

3

2

2

3

3

3

1 ++=

puisque v est petite par rapport U on peut ngliger le terme : S3 . U

dSvS

3ou D

3 1 = dSVS 33

+SU

upposons que :

3 1 =+ S est appel coefficient dnergie cintique ou coefficient de Coriolis.

nergie cintique relle du courant est donc : L

=S

dtSUdSVdt 1 21 33 (VI-7) 2

n particulier lapplicatio l ique un filet liquide conduit au orme de Bernoulli. n tenant compte du coefficient de Coriolis, lquation de Bernoulli sexprime comme suit :

E n du thorme de nergie cintthE

CtejUpz g 2 g

2 =+++ Remarque

ans la pratique usuelle de lcoulement dans les conduites D 04.102.1 = , dans es aqueducs de section circulaire :L 02.101.1 = . nralement on ignore r exacte de , pour cela en le nglige et on prend G souvent la valeu

1== . I-4. Couche limite n 1904, Prandtl montr que lpure des vitesses dans le cas dun rgime turbulent est onstitue de deux zones, (Fig.VI-1).

VEc

V

Fig.VI-1


Lune com rps de lcoulement, dont les vitesses sont gales, et les forces de iscosit sont ngligeables par rapport aux forces dinertie et de turbulence. autre situe au voisinage des parois, dune paisseur

prenant le covL (Fig.VI-2) et dune vitesse qui varie

s rapidement dune valeur nu i) jusqu' une valeur finie. Dans cette ouche les forces de viscosit ne sont plus ngligeables par rapport aux forces dinertie et de rbulence, cette couche sappelle la couche limite. coulement dans la couche limite peut tre laminaire ou turbulent.

e Si on place une plaque plane et trs mince dans un liquide de vitesse (Fig.VI-3), on

marque que lpaisseur de la couche limite est nul lentre de la plaque mince, ensuite

tr l (au contact avec la paroctuL

V

Fig.VI-2

VI-4-1. Couche limite laminair

Vr

reVr

cette paisseur augmente dans la direction de la vitesse .

la nce x , lpaisseur

V

Fig.VI-3

V

x Paroi mince

A dista de la couche limite est donne par la formule approche suivante :

/.5 5 xVRx

= (VI-8) aVvec

la vitesse du courant mesure loin de la plaque. : : le co fficient de viscosit cinmatique. R

ente

(VI-8) ainsi que le nombre de Reynolds R . i R dpasse la couche limite nest plus laminaire et elle devient turbulente.

Donc on peut dire que la couche limi aprs celle laminaire.

e

: le nombre de reynolds. VI-4-2. Couche limite turbulDaprs la (Fig.VI-4) on voit clairement que la couche limite laminaire augmente dpaisseur comme le prouve lquation

65 10 a 10Ste turbulente se produit


a zone de sparation entre les deux couches s appelle zone de transition. Le point qui arque lorigine de la zone de transition sappel point de transition.

aque et le point de transition est trs petite, donc on peut

ite turbulente est :

LmLa distance entre lentre de la pladmettre que la couche limite turbulente commence lentre de la plaque mince (Fig.VI-4). Lpaisseur de la couche lim

1

+

=nn

RB

x (VI-9)

avec B : est une constante numrique. N : est un exposant qui est proportionnel au nombre de Reynolds.

es expriences montre que pour LR= 510 , on a B=0.33 et n=0.25

V

Zone laminaire

Zone de transition

Zone turbulente

Sous couche laminaire

Fig.VI-4

Les figures (VI-5) et (VI-6) reprsentent le dveloppement de la couche limite dans le cas dun rgime laminaire et turbulent.

Couche limite laminaire Rgime laminaire

Fig.VI-5 Couche limite lamin

aire

Rgime turbulent

Fig.VI-6

Couche limite turbulente

Sous couche laminaire


s t, dans une masse liquide en mouvement permanent, un filet liquide BCD limit par deux section :

(Fig.VI-7).

a thorie des quantit de mouvement de ce filet liquide exprime que la drive par rapport au somme des quantit de mouvement de cette masse liquide est gale la somme

VI-5. Quantit de mouvement dans le cas dun courant liquide Considrons au tempA

1dSAB= , 2dSCD=

B B

Ltemps de la des forces extrieures )( eF

rqui lu

hydra uli que

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