КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

А.С. Олiйник, В.I. Сущанський

ЛЕКЦIЇ З АЛГЕБРИ

Навчальний посiбник

ВПЦ Київський унiверситет2019

Змiст

1 Побудова поля комплексних чисел . . . . . . . . . . . . . . . 82 Геометрична iнтерпретацiя комплексних чисел . . . . . . . . 103 Тригонометрична форма комплексних чисел . . . . . . . . . 114 Коренi з комплексних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Коренi з одиницi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Системи лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Матрицi, матрицi систем лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . 208 Метод Гауса розв’язування систем лiнiйних рiвнянь . . . . . 229 Арифметичнi векторнi простори . . . . . . . . . . . . . . . . 2810 Лiнiйно залежнi та незалежнi системи векторiв . . . . . . . 3011 Ранг системи векторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412 Базис арифметичного векторного простору . . . . . . . . . . 3813 Ранг матрицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114 Дослiдження систем лiнiйних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . 4615 Пiдпростори арифметичного векторного простору . . . . . . 4816 Будова множини розв’язкiв системи лiнiйних рiвнянь . . . . 5117 Перестановки та пiдстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5418 Визначники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219 Невиродженi матрицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720 Обчислення визначникiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021 Застосування визначникiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7422 Алгебра матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623 Визначник добутку матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024 Обернена матриця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8325 Елементарнi матрицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8626 Многочлени та дiї над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8827 Подiльнiсть многочленiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9128 Розклад многочленiв на незвiднi множники . . . . . . . . . 95

4

29 Коренi многочленiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9830 Основна теорема алгебри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10131 Iнтерполяцiйна задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10332 Рацiональнi дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10433 Абстрактнi векторнi простори . . . . . . . . . . . . . . . . . 10434 Iзоморфiзм векторних просторiв . . . . . . . . . . . . . . . . 10835 Координати вектора. Матриця переходу . . . . . . . . . . . . 11036 Пiдпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11337 Пряма сума пiдпросторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11738 Доповнюючий пiдпростiр i факторпростiр . . . . . . . . . . . 11939 Лiнiйнi вiдображення, ядро i образ . . . . . . . . . . . . . . 12340 Матрицi лiнiйних вiдображень . . . . . . . . . . . . . . . . . 12541 Дiї над лiнiйними вiдображеннями . . . . . . . . . . . . . . 12942 Власнi значення i власнi вектори . . . . . . . . . . . . . . . . 13143 Характеристичний многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13444 Жорданова нормальна форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13745 Дiагоналiзовнi лiнiйнi оператори . . . . . . . . . . . . . . . . 13946 Iнварiантнi пiдпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14247 Нiльпотентнi лiнiйнi оператори . . . . . . . . . . . . . . . . . 14448 Анулюючi многочлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049 Кореневi пiдпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15250 Теорема Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15751 Мiнiмальний многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152 Функцiї вiд матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16353 Лiнiйнi функцiонали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16354 Бiлiнiйнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16355 Квадратичнi функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16356 Алгебраїчнi дiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16357 Властивостi бiнарних дiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16558 Поняття напiвгрупи, моноїда, групи . . . . . . . . . . . . . . 16959 Iзоморфiзм множин з бiнарною дiєю . . . . . . . . . . . . . . 17160 Порядок елемента групи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17361 Пiдгрупи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17462 Системи твiрних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5

63 Циклiчнi групи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17864 Зображення груп пiдстановками i матрицями . . . . . . . . 18065 Класи сумiжностi. Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . 18266 Нормальнi пiдгрупи i факторгрупи . . . . . . . . . . . . . . . 18767 Гомоморфiзми груп. Теорема про гомоморфiзм . . . . . . . . 18968 Простi групи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19369 Комутант групи. Розв’язнi групи . . . . . . . . . . . . . . . . 19670 Дiя групи на множинi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20071 Спряженiсть, центр та автоморфiзми . . . . . . . . . . . . . 20472 Теореми Силова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21073 Прямий добуток груп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21774 Скiнченно породженi абелевi групи . . . . . . . . . . . . . . 22175 Скiнченнi абелевi групи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22576 Лiнiйнi зображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22977 Поняття кiльця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23478 Дiльники нуля та одиницi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23879 Iдеали кiлець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180 Факторкiльця та гомоморфiзми кiлець . . . . . . . . . . . . 24281 Подiльнiсть в кiльцях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24482 Факторiальнi кiльця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24983 Кiльця головних iдеалiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25384 Евклiдовi кiльця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25785 Кiльце цiлих гаусових чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26086 Китайська теорема про остачi . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487 Квадратичнi лишки i нелишки . . . . . . . . . . . . . . . . . 26688 Поняття поля, поле часток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26889 Простi поля, характеристика поля . . . . . . . . . . . . . . . 27190 Простi розширення полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27291 Трансцендентнi числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27692 Скiнченнi розширення полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27993 Алгебраїчнi розширення полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . 28294 Поля розкладу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28495 Алгебраїчно замкненi поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28896 Скiнченнi поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6

97 Сепарабельнi розширення полiв . . . . . . . . . . . . . . . . 29598 Нормальнi розширення полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29799 Група Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300100 Вiдповiднiсть Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7

1 Побудова поля комплексних чисел

Непорожню множину P будемо називати полем, якщо1) на нiй визначено дiї додавання i множення, якi є асоцiативними i

комутативними, а множення є дистрибутивним вiдносно додавання;2) вона мiстить такi елементи 0 i 1 такi, що додавання 0 i множення

на 1 не змiнює жоден елемент з P ;3) кожен елемент з P має протилежний елемент i кожен ненульовий

елемент з P має обернений елемент (це вiдповiдно дає змогу вiднiмативiд довiльного елемента з P будь-який iнший елемент i дiлити довiльнийелемент на довiльний ненульовий елемент).

Прикладами полiв є поле рацiональних чисел Q i поле дiйсних чиселR. Зауважимо, що множина цiлих чисел Z з дiями додавання i множення,якi на нiй визначенi, полем не є (чому?).

Задача побудови поля комплексних чисел включає в себе завданняпобудувати таке поле, яке

1) мiстить поле дiйсних чисел;2) мiстить розв’язок рiвняння x2 = −1;3) результати виконання дiй додавання i множення для комплексних

чисел, якi є дiйсними, збiгається з ранiше визначеними результатами дляних як для дiйсних чисел.

Тобто вимагається фактично так розширити поле дiйсних чисел, щобнова множина знову була полем, але вже мiстила деякий новий об’єкт —розв’язок рiвняння x2 = −1.

Означення 1. Комплексним числом називається вираз вигляду a + bi,в якому a та b — деякi дiйснi числа, а символ i позначає розв’язокрiвняння x2 = −1, тобто i2 = −1.

Запис a+ bi називають ще алгебраїчною формою комплексного числа.Для комплексного числа z = a+bi дiйсне число a називають його дiйсноючастиною i позначають Rez, а дiйсне число b називають його уявноючастиною i позначають Imz. Комплексне число, у якого уявна частинарiвна 0, ототожнюють з його дiйсною частиною (тобто воно є дiйсним, авiдтак виконана перша умова задачi). Якщо у комплексного числа дiйсна

8

частина рiвна 0, то таке число називають чисто уявним. Таким будезокрема число i (тобто виконується i друга умова задачi).

Два комплексних числа z1 = a+ bi i z2 = c+ di називаються рiвними,якщо у них рiвнi як дiйснi, так i уявнi частини, тобто z1 = z2 в томуi лише тому випадку, коли a = c i b = d. Це означає, що для кожногокомплексного числа його дiйсна та уявна частини визначенi однозначно.

Для числа z = a + bi спряженим до нього числом назвемо число z =

a− bi. Зрозумiло, що ¯z = z.Символом C позначимо множину всiх комплексних чисел. Визначимо

на цiй множинi арифметичнi дiї. Нехай z1 = a + bi i z2 = c + di — деякiкомплекснi числа. Їх сумою називається число

z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d)i.

Протилежним до числа z1 буде число −a + (−b)i. Тодi рiзниця визначає-ться рiвнiстю

z1 − z2 = z1 + (−z2) = (a− c) + (b− d)i.

Добуток комплексних чисел обчислюється за правилом

z1z2 = ac+ adi+ bci+ bdi2 = (ac− bd) + (ad+ bc)i.

Звiдси одразу одержуємо, що

z1z1 = a2 + b2,

тобто добуток комплексного числа на спряжене до нього є числом дiйсним.Якщо число z1 є ненульовим, то обернене до нього число можна обчи-

слити так:(z1)−1 =

1

z1=

z1

z1z1=

a

a2 + b2+

−ba2 + b2

i.

Тепер можемо записати правило обчислення частки, яка визначена лишепри z2 6= 0

z1

z2= z1z

−12 = (a+ bi)

(c

c2 + d2+

−dc2 + d2

i

)=ac+ bd

c2 + d2+bc− adc2 + d2

i.

9

Таким чином, сума, рiзниця i частка (якщо вона визначена) компле-ксних чисел є комплексними числами. Можна перевiрити, що операцiїдодавання i множення комплексних чисел є асоцiативними i комутатив-ними, множення є дистрибутивною операцiєю вiдносно додавання. Крiмтого, додавання до комплексного числа числа 0 не змiнює це число, якi множення на число 1. Це означає, що множина C справдi є полем,причому третя умова задачi про побудову поля комплексних чисел вико-нується. (Перевiрте всi твердження цього абзаца.)

Пiзнiше задача побудови поля комплексних чисел буде розв’язанабiльш строго i буде показано, що в певному розумiннi вона має єдинийрозв’язок.

2 Геометрична iнтерпретацiя комплексних

чисел

Розглянемо на площинi прямокутну декартову систему координат. Компле-ксному числу z = a+ bi поставимо у вiдповiднiсть точку на цiй площинi,яка має координати (a, b), тобто абсцисою цiєї точки є дiйсна частиначисла z, а ординатою — його уявна частина. Така вiдповiднiсть мiжкомплексними числами i точками площини буде взаємно однозначною,тобто кожному числу вiдповiдає єдина точка i кожнiй точцi — єдинечисло. Площину, точки якої взаємно однозначно вiдповiдають компле-ксним числам, будемо називати комплексною площиною. При цьомувiсь абсцис називають дiйсною вiссю, а вiсь ординат — уявною вiссю.Зрозумiло, що дiйсним числам вiдповiдають точки дiйсної осi, а чистоуявним — точки уявної осi.

Iнодi зручно спiвставляти числу z = a + bi не лише точку з коорди-натами (a, b), а й радiус-вектор цiєї точки, тобто вектор, початком якогоє початок координат, а кiнцем — точка (a, b) (рис.). Тодi радiус-вектор,що вiдповiдає сумi двох комплексних чисел є сумою радiус-векторiв, якiвiдповiдають доданкам.

Введемо на комплекснiй площинi полярну систему координат,вибравши її полюсом початок прямокутної декартової системи координат,

10

а полярною вiссю — додатну дiйсну пiввiсь. Тодi в полярнiй системi коор-динат положення точки визначається вiдстанню вiд неї до полюса (тобтодовжиною радiус-вектора цiєї точки) i кутом мiж полярною вiссю i радiус-вектором точки, причому додатним вiдлiком будемо вважати вiдлiк протируху стрiлки годинника (вiд додатної дiйсної до додатної уявної пiвосi).Для комплексного числа z довжину радiус-вектора точки на комплекснiйплощинi, яка йому вiдповiдає, будемо називати модулем цього компле-ксного числа i позначати |z|. Кут же мiж цим радiус-вектором i полярноювiссю назвемо аргументом числа z i позначимо arg z. Для кожного компле-ксного числа його модуль є невiд’ємним дiйсним числом i визначаєтьсяоднозначно. Поняття модуля комплексного числа узагальнює добре вiдомепоняття модуля дiйсного числа. Аргумент є числом дiйсним i визначає-ться неоднозначно. Точнiше, для ненульового комплексного числа дiйснiчисла, якi є його аргументами — це множина всiх тих дiйсних чисел, зяких будь-якi два вiдрiзняються на доданок, цiлочисельно кратний 2π.При цьому для числа 0 аргумент вважається невизначеним.

3 Тригонометрична форма комплексних чисел

Для комплексного числа z = a + bi позначимо його модуль символом r,а аргумент — символом ϕ. Враховуючи зв’язок мiж координатами точкиу прямокутнiй декартовiй та полярнiй системах координат маємо рiвностia = r cosϕ, b = r sinϕ, звiдки випливає рiвнiсть

z = r(cosϕ+ i sinϕ).

Праву частину цiєї рiвностi називають тригонометричною формою компле-ксного числа z. Якщо модуль комплексного числа дорiвнює 1, то в йоготригонометричнiй формi його, як правило, не пишуть. Для переходу дотригонометричної форми вiд алгебраїчної маємо рiвностi r =

√a2 + b2 i

cosϕ = ar , sinϕ = b

r (z 6= 0).За означенням рiвностi двох комплексних чисел, рiвнiсть

r1(cosϕ1 + i sinϕ1) = r2(cosϕ2 + i sinϕ2)

11

має мiсце тодi й лише тодi, коли r1 = r2 i ϕ1 − ϕ2 = 2πk для деякогоцiлого k.

Розглянемо тепер добуток двох чисел z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) i z2 =

r2(cosϕ2 + i sinϕ2):

z1z2 =

(r1 cosϕ1 + ir1 sinϕ1)(r2 cosϕ2 + ir2 sinϕ2) =

(r1r2 cosϕ1 cosϕ2 − r1r2 sinϕ1 sinϕ2)+

i(r1r2 cosϕ1 sinϕ2 + r1r2 cosϕ2 sinϕ1) =

r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

Якщо ж число z2 6= 0, то обернене до нього число дорiвнює

1

z2=

cosϕ2 − i sinϕ2

r2(cos2 ϕ2 + sin2 ϕ2)= r−1

2 (cos(−ϕ2) + i sin(−ϕ2)).

Звiдси для обчислення частки одержуємо

z1

z2=r1

r2(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)).

Таким чином, модуль добутку (частки) комплексних чисел дорiвнюєдобутку (частцi) модулiв множникiв, а аргумент добутку (частки) — сумi(рiзницi) аргументiв множникiв:

|z1z2| = |z1||z2|, arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2),∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

, arg

(z1

z2

)= arg(z1)− arg(z2).

Це означає, що радiус-вектор точки, яка вiдповiдає добутку z1z2 отри-мується з радiус-вектора точки, що вiдповiдає числу z1, поворотом на кутarg z2 в додатному напрямку i розтягненням у |z2| раз.

Як наслiдок з цього спостереження одержуємо зручну формулу дляпiднесення комплексного числа до цiлого степеня.

Формула Муавра. Для комплексного числа z = r(cosϕ + i sinϕ) iцiлого числа n має мiсце рiвнiсть

zn = rn(cosnϕ+ i sinnϕ).

12

Доведення. Перевiримо методом математичної iндукцiї, що рiвнiсть вико-нується для невiд’ємних степенiв n.

База iндукцiї: n = 0. Рiвнiсть є.Припустимо, що для деякого невiд’ємного n твердження про рiвнiсть

доведено i зробимо iндуктивний крок. Маємо

zn+1 = znz = (за припущенням iндукцiї) =

rn(cosnϕ+ i sinnϕ)r(cosϕ+ i sinϕ) = (за правилом множення) =

rn+1(cos(n+ 1)ϕ+ i sin(n+ 1)ϕ).

Отже, для невiд’ємних цiлих степенiв рiвнiсть має мiсце.Нехай тепер n — вiд’ємне цiле число. Тодi

zn = (z−n)−1 =1

z−n= (за щойно доведеним) =

1

r−n(cos(−n)ϕ+ i sin(−n)ϕ)= (за правилом дiлення) =

rn(cosnϕ+ i sinnϕ).

Отже, рiвнiсть перевiрено для всiх цiлих степенiв.

4 Коренi з комплексних чисел

Зафiксуємо деяке натуральне число n.

Означення 2. Коренем n-того степеня з комплексного числа z назвемотаке комплексне число ω, що ωn = z.

З означення добутку комплексних чисел маємо, що коренем n-тогостепеня з числа 0 буду саме число 0 i лише воно. Тому далi розглядаємолише ненульове число z. Запишемо його в тригонометричнiй формi:

z = r(cosϕ+ i sinϕ).

Потрiбно встановити, чи iснують коренi n-го степеня з числа z, а якщотак, то знайти їх кiлькiсть i загальний вигляд. Будемо шукати корiнь n-го

13

степеня з цього числа у тригонометричнiй формi:

ω = ρ(cos ξ + i sin ξ).

Рiвнiсть ωn = z тодi перепишеться у виглядi

ρn(cosnξ + i sinnξ) = r(cosϕ+ i sinϕ).

Вона рiвносильна рiвностям

ρn = r, nξ = ϕ+ 2πk для деякого k ∈ Z.

Тобтоρ = n

√r, ξ =

ϕ+ 2πk

nдля деякого k ∈ Z.

Позначимо

ωk = n√r

(cos

ϕ+ 2πk

n+ i sin

ϕ+ 2πk

n

), k ∈ Z

i покажемо, що числа ωk i ωl рiвнi тодi й лише тодi, коли рiзниця k − lдiлиться на n. Справдi, рiвнiсть ωk = ωl рiвносильна рiвностi

ϕ+ 2πk

n=ϕ+ 2πl

n+ 2πm,m ∈ Z,

яка, в свою чергу, рiвносильна такiй рiвностi

k − l = mn,m ∈ Z.

Це й означає, що k− l дiлиться на n. Таким чином, кожне з чисел ωk, k ∈Z, дорiвнює якомусь з чисел ωl, l = 0, 1, . . . , n− 1, якi є попарно рiзними.Пiдсумовуючи все сказане, одержимо

Твердження 1. Для ненульового комплексного числа z = r(cosϕ+i sinϕ)

i натурального n iснує рiвно n коренiв n-того степеня з числа z i вониобчислюються за формулою

ωk = n√r

(cos

ϕ+ 2πk

n+ i sin

ϕ+ 2πk

n

), k = 0, 1, . . . , n− 1.

На комплекснiй площинi кореням n-того степеня з числа z вiдповiд-ають вершини правильного n-кутника, вписаного в коло радiуса n

√|z| з

центром у початку координат.

14

5 Коренi з одиницi

Тригонометрична форма числа 1 має вигляд

cos 0 + i sin 0.

Тому для обчислення коренiв n–го степеня з одиниця отримуємо такупросту формулу

εk = cos2πk

n+ i sin

2πk

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Одним з цих коренiв буде саме число 1. Крiм того,

εk1 = εk, k = 0, 1, . . . , n− 1.

На комплекснiй площинi кореням n-того степеня з одиницi вiдповiдаютьвершини правильного n-кутника, вписаного в одиничне коло з центром упочатку координат, причому одна з вершин вiдповiдає числу 1.

Множину коренiв n-того степеня з одиницi позначимо символом Cn.Зауважимо, що ця множина збiгається з множиною розв’язкiв рiвнянняxn − 1 = 0. Сформулюємо основнi властивостi цiєї множини.

Твердження 2. 1) Добуток коренiв n-того степеня з одиницi є коренемn-того степеня з одиницi.2) Число, обернене до кореня n-того степеня з одиницi, є коренем n-того степеня з одиницi.3) Число, спряжене до кореня n-того степеня з одиницi, є коренемn-того степеня з одиницi.

Доведення. 1) Нехай z1, z2 ∈ Cn. Тодi (z1z2)n = zn1 zn2 = 1, звiдки z1z2 ∈

Cn.2) Нехай z ∈ Cn. Тодi (z−1)n = (zn)−1 = 1, звiдки z−1 ∈ Cn.3) Це твердження випливає з того, що для числа z = cosϕ + i sinϕ

з модулем одиниця спряжене до нього число z = cosϕ − i sinϕ дорiвнюєоберненому до нього z−1 = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ). Пiсля цього залишаєтьсялише застосувати попередню властивiсть.

15

Серед коренiв степеня n з одиницi важливу роль вiдiграють так званiпервiснi коренi. А саме, корiнь ε n-того степеня з одиницi називаєтьсяпервiсним коренем n-того степеня з одиницi, якщо вiн не є коренем зодиницi нiякого степеня, меншого за n, тобто εm 6= 1 для всiх натуральнихm < n. З формули Муавра одержуємо, що число ε1 = cos 2π

n + i sin 2πn є

первiсним коренем n-того степеня з 1. Також легко зрозумiти, що коженкорiнь n-того степеня з одиницi буде первiсним коренем з одиницi деякогостепеня. А саме, має мiсце

Твердження 3. Нехай d — найбiльший спiльний дiльник цiлого числа ki числа n. Тодi число εk = cos 2πk

n +i sin 2πkn є первiсним коренем степеня

nd з одиницi.

Доведення. Маємо k = dk1, n = dn1 для деяких цiлого k1 i натуральногоn1, причому числа k1 i n1 є взаємно простими. Тому аргумент числа εkдорiвнює 2πk1

n1. Звiдси за формулою Муавра εn1

k = 1. Тобто число εk єкоренем степеня n1 з одиницi.

Покажемо, що n1 є найменшим степенем, у якому εk дорiвнює одиницi.Якщо εmk = 1, то 2πk1m

n1= 2πl для деякого цiлого l. Звiдси k1m = n1l.

Враховуючи взаємну простоту чисел k1 i n1 звiдси одразу одержуємо, щоm дiлиться на n1, тобто m не може бути натуральним числом, меншим заn1.

Звiдси отримуємо таку характеризацiю первiсних коренiв n-тогостепеня з одиницi так.

Наслiдок 1. Число εk = cos 2πkn + i sin 2πk

n (k ∈ Z) є первiсним коренемn-того степеня з одиницi тодi й лише тодi, коли числа k i n є взаємнопростими.

Доведення. Нехай d — найбiльший спiльний дiльник k i n. За попереднiмтвердженням εk є первiсним коренем степеня n

d з одиницi. Але n = nd тодi

й лише тодi, коли k i n є взаємно простими числами.

Для натурального числа n визначимо число ϕ(n) як кiлькiсть нату-ральних чисел, якi не перевищують n i є взаємно простими з n. Тодi

16

отримаємо натуральнозначну функцiю натурального аргумента ϕ : N→ N,яку називають функцiєю Ойлера. З попереднього твердження тепер маємо

Наслiдок 2. Кiлькiсть первiсних коренiв степеня n з одиницi дорiвнюєϕ(n).

Наведемо тепер ще одне твердження, котре характеризує первiснiкоренi n-того степеня з одиницi.

Твердження 4. Корiнь ε n-того степеня з одиницi є первiсним коренемn-того степеня з одиницi тодi й лише тодi, коли кожен корiнь n-тогостепеня з одиницi можна отримати, пiднiсши ε до деякого натураль-ного степеня.

Доведення. Нехай ε є первiсним коренем n-того степеня з одиницi.Розглянемо числа ε, ε2, . . . , εn. Всi вони є коренями n-того степеня зодиницi. Припустимо, що вони не є попарно рiзними. Нехай εl = εm,де 1 ≤ l < m ≤ n. Це рiвносильно тому, що для натурального числа m− l,яке менше за n, має мiсце рiвнiсть εm−l = 1, тобто ε не є первiснимкоренем n-того степеня з одиницi. Суперечнiсть. Оскiльки всього є рiвноn коренiв степеня n з одиницi, звiдси маємо, всi вони мiстяться середε, ε2, . . . , εn.

Навпаки, припустимо, що число ε не є первiсним коренем n-тогостепеня з одиницi, тобто εk = 1 для деякого k < n. Виберемо довiльненатуральне m i подiлимо його з остачею на k: m = kq + r i 0 ≤ r ≤ k − 1.Тодi εm = (εk)qεr = εr. Тому, пiдносячи ε до натурального степеня, можнаотримати не бiльше k рiзних чисел. Оскiльки ж коренiв степеня n зодиницi є n, то всiх їх так отримати неможливо.

17

6 Системи лiнiйних рiвнянь

Нехай P — деяке поле. Системою k лiнiйних рiвнянь з n невiдомими надполем P будемо називати сукупнiсть виразiв вигляду

a11x1 +a12x2+ · · · +a1nxn = b1a21x1 +a22x2+ · · · +a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1x1 +ak2x2+ · · · +aknxn = bk

. (1)

Тут x1, x2, . . . , xn — це невiдомi системи, а коефiцiєнти при невiдомихaij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n, а також вiльнi члени bi, 1 ≤ i ≤ k, належать полюP . У нижньому iндексi коефiцiєнта перше число — це номер рiвняння всистемi, у якому вiн зустрiчається, а другий — номер невiдомої у цьомурiвняннi, до якої вiн вiдноситься. Наприклад, коефiцiєнт a57 є коефiцi-єнтом при невiдомiй x7 у п’ятому рiвняннi системи. При цьому натуральнiчисла k i n не залежать одне вiд одного, зокрема можуть бути рiзними.Якщо ж вони рiвнi, тобто в системi лiнiйних рiвнянь кiлькiсть рiвняньдорiвнює кiлькостi невiдомих, то таку систему називають квадратною.

Розв’язком системи лiнiйних рiвнянь (1) називається впорядкованийнабiр (γ1, . . . , γn) iз n елементiв поля P (такi набори далi будемо називатичисловими векторами довжини n), для якого виконуються рiвностi

a11γ1 +a12γ2+ · · · +a1nγn = b1a21γ1 +a22γ2+ · · · +a2nγn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1γ1 +ak2γ2+ · · · +aknγn = bk

,

тобто при пiдстановцi в кожне рiвняння системи замiсть невiдомих вiдпо-вiдних компонент розв’язку отримуємо рiвнiсть елементiв поля P .

Системи лiнiйних рiвнянь класифiкуються в залежностi вiд їх виглядута в залежностi вiд множини їхнiх розв’язкiв.

Означення 3. Система лiнiйних рiвнянь (1) називається

• однорiдною, якщо в нiй всi вiльнi члени рiвнi 0, тобто b1 = . . . =

bk = 0;

18

• неоднорiдною, якщо в нiй не всi вiльнi члени рiвнi 0, тобто середелементiв b1, . . . , bk є ненульовий;

• сумiсною, якщо вона має хоча б один розв’язок, тобто множинавсiх її розв’язкiв непорожня;

• несумiсною, якщо вона не має жодного розв’язку, тобто множинавсiх її розв’язкiв порожня;

• визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, тобто множинавсiх її розв’язкiв мiстить рiвно один елемент;

• невизначеною, якщо вона має не єдиний розв’язок, тобтомножина всiх її розв’язкiв мiстить бiльше одного елемента.

Зауважимо, що однорiдна система лiнiйних рiвнянь є сумiсною. Їїрозв’язком є нульовий вектор, тобто набiр (0, . . . , 0). Неоднорiднi жсистеми можуть як мати, так i не мати розв’язки, тобто бути як сумi-сними, так i несумiсними. Кожна сумiсна система є або визначеною, абоневизначеною.

Задача розв’язування системи лiнiйних рiвнянь полягає у встанов-леннi, чи є система сумiсною чи несумiсною, i у випадку сумiсностiсистеми у знаходженнi множини всiх її розв’язкiв, зокрема у перевiрцi,чи визначеною є система, чи невизначеною.

Теорема 1. Невизначена система лiнiйних рiвнянь над нескiнченнимполем має безлiч розв’язкiв.

Доведення. Нехай система (1) невизначена. Зафiксуємо якi-небудь два їїрозв’язки v1 = (γ1, . . . , γn) i v2 = (δ1, . . . , δn), v1 6= v2. Для кожного λ ∈ Pвизначимо числовий вектор

vλ = (λγ1 + (1− λ)δ1, . . . , λγn + (1− λ)δn).

Перевiримо, що vλ також є розв’язком системи (1). Пiдставимо компо-ненти цього вектора у перше рiвняння системи (для iнших рiвнянь пере-

19

вiрка аналогiчна):

a11(λγ1 + (1− λ)δ1) + . . .+ a1n(λγn + (1− λ)δn) =

λ(a11γ1 + . . .+a1nγn)+(1−λ)(a11δ1 + . . .+a1nδn) = λb1 +(1−λ)b1 = b1.

Покажемо тепер, що при λ1 6= λ2 розв’язки vλ1i vλ2

є рiзними. Припу-стимо, що vλ1

= vλ2. Тодi для кожного i = 1, 2, . . . , n маємо рiвнiсть

λ1γi + (1− λ1)δi = λ2γi + (1− λ2)δi,

звiдки(λ1 − λ2)(γi − δi) = 0.

Враховуючи, що v1 6= v2, тобто для деякого j (1 ≤ j ≤ n) має мiсце нерiв-нiсть γj 6= δj , звiдси негайно одержуємо, що λ1 − λ2 = 0. Це суперечитьвибору λ1, λ2.

Отже, кожному елементу поля вiдповiдає розв’язок системи, причомурiзним елементам рiзнi розв’язки. Якщо тепер припустити, що поле нескiн-ченне, то звiдси одразу одержимо, що множина розв’язкiв системи нескiн-ченна. Теорему доведено.

Таким чином, система лiнiйних рiвнянь, яка розглядається над нескiн-ченним полем, зокрема над полем Q,R або C, може не мати жодногорозв’язку (тодi вона несумiсна) або мати єдиний розв’язок (тодi вонавизначена), або мати безлiч розв’язкiв (тодi система невизначена).

7 Матрицi, матрицi систем лiнiйних рiвнянь

Нехай M — деяка непорожня множина, а числа k i n натуральнi.Матрицею розмiру k на n над множиною Ω називається прямокутнатаблиця вигляду

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

, (2)

20

у якiй елементи aij (вони називаються елементами матрицi) належатьмножинi Ω, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. Для позначення цiєї матрицiбудемо вживати також короткий запис (aij)

k,ni,j=1 або (aij)

ni,j=1, якщо

k = n. Впорядкований набiр елементiв (ai1, ai2, . . . , ain) називається i-тим рядком матрицi, 1 ≤ i ≤ k, а впорядкований набiр елементiв(a1j , a2j , . . . , akj) — j-тим стовпчиком матрицi, 1 ≤ j ≤ n. Набiр елементiв(a11, a22, . . . , amin(k,n) min(k,n)) називається (головною) дiагоналлю матрицi.Таким чином, матриця розмiру k на n — це матриця, у якої є k рядкiв in стовпчикiв. Якщо у матрицi кiлькiсть рядкiв дорiвнює кiлькостi стов-пчикiв, то таку матрицю називають квадратною. Порядком квадратноїматрицi називається число її рядкiв.

Множину всiх матриць розмiру k на n над множиною Ω позначимосимволом Mk,n(Ω), а множину всiх квадратних матриць порядку n надмножиною Ω символом Mn(Ω).

Нехай P — деяке поле. Будемо розглядати матрицi, елементи якихналежать полю P . Матриця, всi елементи якої рiвнi 0, називаєтьсянульовою матрицею i позначається символом O. Квадратна матрицяпорядку n, у якої кожен елемент головної дiагоналi дорiвнює 1, а всiiншi елементи рiвнi 0, тобто матриця виду

1 0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 · · · 1

називається одиничною матрицею порядку n i позначається En. Квадратнаматриця, у якої всi елементи, що лежать пiд головною дiагоналлю, тобтоматриця вигляду

a11 a12 a13 · · · a1n

0 a22 a23 · · · a2n

0 0 a33 · · · a3n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 · · · ann

називається верхньою трикутною матрицею. Якщо у верхньої трикутної

21

матрицi усi дiагональнi елементи рiвнi 0, то вона називається строговерхньою трикутною, а якщо всi вони рiвнi 1, то верхньою унiтрику-тнрою. Аналогiчно визначаються нижнi трикутнi, строго нижнi трикутнiта нижнi унiтрикутнi матрицi. Матриця, яка є одночасно i верхньоютрикутною, i нижньою трикутною, називається дiагональною. Тобто дiаго-нальна матриця — це квадратна матриця вигляду

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0

0 0 a33 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 · · · ann

.

Розглянемо систему лiнiйних рiвнянь вигляду (1). Матрицяa11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

називається основною матрицею системи лiнiйних рiвнянь (1), а матриця

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn bk

називається розширеною матрицею цiєї системи. Розширена матрицясистеми лiнiйних рiвнянь повнiстю визначає цю систему i тому далiсистеми лiнiйних рiвнянь будемо ототожнювати з їх розширеними матри-цями.

8 Метод Гауса розв’язування систем лiнiйних

рiвнянь

Будемо розглядати системи лiнiйних рiвнянь над полем P , а елементицього поля називатимемо числами. Двi системи з n невiдомими назвемо

22

рiвносильними, якщо множини їх розв’язкiв рiвнi, тобто кожен розв’язокоднiєї з систем є розв’язком iншої i навпаки. Загальна iдея розв’язуваннясистем лiнiйних рiвнянь полягає у поступовiй замiнi заданої системирiвносильною так, щоб врештi-решт отримати систему, розв’язати якуiстотно простiше, нiж початкову.

Назвемо елементарними такi перетворення систем лiнiйних рiвнянь:

1) перестановка двох рiвнянь системи;

2) множення рiвняння системи на ненульове число;

3) додавання до рiвняння системи iншого її рiвняння, домноженого надеяке число.

Твердження 5. Система лiнiйних рiвнянь, отримана застосуваннямелементарних перетворень до деякої системи лiнiйних рiвнянь, рiвно-сильна цiй системi.

Доведення. Для елементарних перетворень перших двох типiв твер-дження очевидне.

Нехай в системi лiнiйних рiвнянь (1) до i-того рiвняння додали j-терiвняння, домножене на λ ∈ P . Покажемо, що отримана система рiвно-сильна системi (1).

Припустимо, що v = (γ1, . . . , γn) — розв’язок системи (1). Тодi v

буде розв’язком усiх рiвнянь нової системи, крiм i-того. Пiдставимо вi-те рiвняння:

(ai1 + λaj1)γ1 + (ai2 + λaj2)γ2 + · · ·+ (ain + λajn)γn =

(ai1γ1 + ai2γ2 + · · ·+ ainγn) + λ(aj1γ1 + aj2γ2 + · · ·+ ajnγn) = bi + λbj .

Це означає, що v є розв’язком i-того рiвняння нової системи, а отже iвсiєї цiєї системи.

Припустимо тепер, що v = (γ1, . . . , γn) є розв’язком нової системи.Тодi v буде розв’язком усiх рiвнянь системи (1), окрiм i-того. Пiдставимо

23

в i-те рiвняння:

ai1γ1 + ai2γ2 + · · ·+ ainγn = ai1γ1 + ai2γ2 + · · ·+ ainγn+

λ(aj1γ1 + aj2γ2 + · · ·+ ajnγn)− λ(aj1γ1 + aj2γ2 + · · ·+ ajnγn) =

(ai1+λaj1)γ1+(ai2+λaj2)γ2+· · ·+(ain+λajn)γn−λ(aj1γ1+aj2γ2+· · ·+ajnγn) =

bi + λbj − λbj = bi.

Таким чином, v є розв’язком i-того рiвняння системи (1), а отже i всiєїсистеми (1).

Введемо тепер поняття елементарних перетворень рядкiв i стовпчикiвматрицi. Спочатку визначимо дiї додавання i множення на число длячислових векторiв довжини n. Сумою векторiв v1 = (a1, . . . , an) i v2 =

(b1, . . . , bn) називається вектор v1 + v2 = (a1 + b1, . . . , an + bn). Добу-тком вектора v = (a1, . . . , an) на число λ називається вектор λv =

(λa1, . . . , λan).

Означення 4. Елементарними перетвореннями рядкiв матрицi надполем називаються такi перетворення:

1) перестановка двох рядкiв матрицi;

2) множення рядка матрицi на ненульове число;

3) додавання до рядка матрицi iншого її рядка, домноженого надеяке число.

Аналогiчно визначаються елементарнi перетворення стовпчикiвматрицi.

Як вже зазначалось, системи лiнiйних рiвнянь можна ототожнити зїх розширеними матрицями. Це зручно зокрема для виконання елемен-тарних перетворень систем. Зрозумiло, що елементарним перетвореннямсистем лiнiйних рiвнянь вiдповiдають елементарнi перетворення рядкiвїх матриць. Тобто замiсть виконання елементарних перетворень системибудемо виконувати вiдповiднi перетворення з їх розширеними матрицями.Ключовим твердження для розв’язування як систем лiнiйних рiвнянь, такi багатьох iнших задач лiнiйної алгебри є

24

Теорема 2. Довiльну матрицю типу (k, n) над полем елементарнимиперетвореннями її рядкiв i перестановками стовпчикiв можна звестидо вигляду

1 0 · · · 0 f1m+1 · · · f1n

0 1 · · · 0 f2m+1 · · · f2n

......

. . ....

.... . .

...0 0 · · · 1 fmm+1 · · · fmn0 0 · · · 0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0 0 · · · 0

, (3)

де 0 ≤ m ≤ min(k, n).

Доведення. Нехай задано матрицю типу (k, n)a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

.

Якщо вона нульова, то все доведено. В цьому випадку m = 0.Нехай початкова матриця ненульова, тобто один з її елементiв нену-

льовий. Якщо таким елементом є елемент i-того рядка i j-того стовпчика,то переставивши перший рядок з i-тим, а перший стовпчик з j-тим, одер-жимо матрицю, в якої ненульовим є елемент першого стовпчика першогорядка. Тому можемо вважати, що елемент a11 вiдмiнний вiд 0. Виконаємопослiдовно ряд елементарних перетворень рядкiв. Спочатку домножимоперший рядок на a−1

11 . (Якщо у матрицi всього один рядок, то пiсля цьогоодержимо матрицю потрiбного вигляду.) Потiм до другого рядка додамоперший, домножений на −a21, i т.д, до k-того рядка додамо перший,домножений на −ak1. В результатi одержимо матрицю вигляду

1 b12 · · · b1n0 b22 · · · b2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 bk2 · · · bkn

.

25

Якщо матриця b22 · · · b2n. . . . . . . . . . . . . . . . .

bk2 · · · bkn

є нульовою, то все доведено. Тодi m = 1. Якщо ж вона ненульова, тозастосовуючи перетворення, аналогiчнi тим, за допомогою яких перетво-рювалася початкова матриця, отримаємо матрицю вигляду

1 b12 b13 · · · b1n0 1 c23 · · · c2n0 0 c33 · · · c3n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 ck3 · · · ckn

.

Тепер аналiзуємо матрицю c33 · · · c3n. . . . . . . . . . . . . . . . .

ck3 · · · ckn

i так далi. Врештi-решт для деякого m такого, що 0 ≤ m ≤ min(k, n),отримаємо матрицю

1 d12 · · · d1m d1m+1 · · · d1n

0 1 · · · d2m d2m+1 · · · d2n

......

. . ....

.... . .

...0 0 · · · 1 dmm+1 · · · dmn0 0 · · · 0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0 0 · · · 0

. (4)

В нiй спочатку до кожного з перших m− 1 рядкiв додаємо m-тий, домно-жений вiдповiдно на −d1m, −d2m, . . . ,−dm−1m. Одержимо матрицю, в якоїу m-тому стовпчику над дiагоналлю всi елементи рiвнi 0. Далi аналогiчноу m − 1-ому стовпчику над дiагоналлю всi елементи робимо нульовими.Нарештi, останнiм перетворенням елемент у другому стовпчику над дiаго-наллю робимо нульовим. В результатi отримуємо матрицю виду (3).

26

Наслiдок 3. Довiльна система лiнiйних рiвнянь еквiвалентна системi,основна матриця якої пiсля перестановки невiдомих має вигляд (3).

Доведення. Як уже зазначалось, виконати елементарне перетвореннясистеми лiнiйних рiвнянь — це те саме, що виконати вiдповiдне елемен-тарне перетворення рядкiв її розширеної матрицi. Крiм того, перестановканевiдомих в системi — це те саме, що перестановка стовпчикiв її основноїматрицi. Тепер, записавши розширену матрицю заданої системи лiнiйнихрiвнянь, можемо, згiдно теореми 2, звести її основну матрицю до вигляду(3). Нова основна матриця при цьому, згiдно зроблених зауважень i твер-дження 5, пiсля перестановки своїх стовпчикiв, є матрицею системи, якаеквiвалентна початковiй.

Проаналiзуємо тепер систему лiнiйних рiвнянь, основна матриця якоїмає вигляд (3). Нехай розширена матриця системи має вигляд

1 0 · · · 0 f1m+1 · · · f1n b10 1 · · · 0 f2m+1 · · · f2n b2...

.... . .

......

. . ....

0 0 · · · 1 fmm+1 · · · fmn bm0 0 · · · 0 0 · · · 0 bm+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0 0 · · · 0 bk

. (5)

Якщо m < k i серед чисел bm+1, . . . , bk знайдеться хоча б одне ненульове,то така система несумiсна. У всiх iнших випадках вона сумiсна.

Нехай система сумiсна. Визначеною вона буде тодi i тiльки тодi, колиm = n. Єдиним її розв’язком є (b1, b2, . . . , bm). Якщо ж m < n, то системає невизначеною i довiльний її розв’язок має вигляд

(b1−f1m+1γm+1−· · ·−f1nγn, . . . , bm−fmm+1γm+1−· · ·−fmnγn, γm+1, . . . , γn)

для деяких γm+1, . . . , γn ∈ P . Звiдси зокрема отримуємо, що однорiднасистема лiнiйних рiвнянь, у якої невiдомих бiльше, нiж рiвнянь, є неви-значеною.

27

Всi цi твердження безпосередньо випливають з означення розв’язкусистеми лiнiйних рiвнянь.

Отже, теорема 2 є основою методу розв’язування систем лiнiйнихрiвнянь. Вiн полягає в тому, що, виконуючи елементарнi перетвореннясистеми, отримують рiвносильну їй систему, основна матриця якої пiсляперестановки невiдомих має вигляд (3). Для нової системи застосовуютьзроблений вище аналiз i отримують повну iнформацiю про початковусистему. Цей метод розв’язування систем лiнiйних рiвнянь, а також спосiбзведення матриць до вигляду (3), запропонований у доведеннi теореми 2,називається методом Гауса. Зауважимо, що для встановлення, чи сумiснасистема, чи нi, а також для знаходження всiх її розв’язкiв основнуматрицю цiєї системи досить перетворити до вигляду (4).

9 Арифметичнi векторнi простори

Зафiксуємо поле P i натуральне число n. Розглянемо множину Pn всiхчислових векторiв довжини n над полем P :

Pn = (a1, . . . , an) : ai ∈ P, i = 1, . . . , n.

Будемо розглядати дiї додавання таких векторiв i множення їх на елементиз P (на скаляри). Нагадаємо що для векторiв v1 = (a1, . . . , an) i v2 =

(b1, . . . , bn) з Pn їх сумою називається вектор v1 + v2 = (a1 + b1, . . . , an +

bn). А добутком вектора v = (a1, . . . , an) ∈ Pn на число λ ∈ Pn називає-ться вектор λv = (λa1, . . . , λan). Тобто додавання векторiв i множення їхна скаляри здiйснюється покомнонентно.

Означення 5. Множина Pn всiх числових векторiв довжини n надполем P з покомпонентно визначеними дiями додавання векторiв iмноження їх на скаляри з P називається арифметичним (числовим)векторним простором.

Безпосередньо з означення i властивостей дiй додавання i множенняелементiв поля одержимо ряд властивостей арифметичного векторногопростору:

28

1) Дiя додавання векторiв є асоцiативною, тобто (v1 + v2) + v3 = v1 +

(v2 + v3) для довiльних векторiв v1,v2,v3.

2) Дiя додавання векторiв є комутативною, тобто v1 +v2 = v2 +v1 длядовiльних векторiв v1,v2.

3) Iснує вектор 0 = (0, . . . , 0) (вiн називається нульовим вектором)такий, що v + 0 = 0 + v = v для довiльного вектора v.

4) Для довiльного вектора v = (a1, . . . , an) iснує вектор −v =

(−a1, . . . ,−an) (вiн називається протилежним вектором) такий, щоv+(−v) = −v+v = 0. Ця властивiсть дозволяє коректно визначитидiю вiднiмання векторiв: v1 − v2 = v1 + (−v2).

5) 1v = v для довiльного вектора v.

6) (αβ)v = α(βv) для довiльних скалярiв α, β i вектора v.

7) (α+ β)v = αv + βv для довiльних скалярiв α, β i вектора v.

8) α(v1 + v2) = αv1 + αv2 для довiльного скаляра α i векторiв v1,v2.

Властивостi 1-4 є властивостями дiй додавання векторiв, властивостi 5-6— дiї множення векторiв на скаляри, а властивостi 7-8 пов’язують дiюдодавання векторiв з дiєю множення їх на скаляри.

З означень випливають також iншi властивостi. Наприклад, що 0v = 0

i (−1)v = −v для довiльного вектора v .Назвемо системою векторiв непорожнiй скiнченний впорядкований

набiр векторiв v1, . . . ,vk. Вектори у цьому наборi можуть бути рiвними.Аналогiчно будемо розглядати системи скалярiв λ1, . . . , λk. Системавекторiв v1, . . . ,vk називається пiдсистемою системи u1, . . . ,um, якщоiснують номери i1, . . . , ik, 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ m, такi, що v1 =

ui1 . . . ,vk = uik . У цьому випадку система u1, . . . ,um називається надси-стемою системи v1, . . . ,vk.

Визначимо лiнiйну комбiнацiю системи векторiв v1, . . . ,vk як векторλ1v1 + . . . + λkvk для деякої системи скалярiв λ1, . . . , λk. Якщо у цiйлiнiйнiй комбiнацiї усi скаляри рiвнi 0, то таку лiнiйну комбiнацiю нази-вають тривiальною. Якщо ж серед скалярiв є хоча б один ненульовий, то

29

її звуть нетривiальною. Тривiальна лiнiйна комбiнацiя, як легко зрозумiти,рiвна нульовому вектору.

Кажуть, що вектор u лiнiйно виражається через вектори v1, . . . ,vk,якщо iснує лiнiйна комбiнацiя системи векторiв v1, . . . ,vk, рiвна векторуu, тобто iснує система скалярiв λ1, . . . , λk така, що λ1v1 + . . .+λkvk = u.

Множина всiх векторiв, якi лiнiйно виражаються через системувекторiв v1, . . . ,vk називається лiнiйною оболонкою системи векторiвv1, . . . ,vk i позначається L(v1, . . . ,vk) або 〈v1, . . . ,vk〉. Тобто

L(v1, . . . ,vk) = λ1v1 + . . .+ λkvk : λ1, . . . , λk ∈ P.

Нульовий вектор лiнiйно виражається через будь-яку систему векторiв, атому лiнiйна оболонка завжди непорожня. Також кожен вектор системивекторiв v1, . . . ,vk лiнiйно виражається через цю систему векторiв.

10 Лiнiйно залежнi та незалежнi системи

векторiв

Розглянемо систему векторiв v1, . . . ,vk арифметичного векторногопростору Pn. Вона називається лiнiйно залежною, якщо iснує нетривi-альна лiнiйна комбiнацiя цiєї системи векторiв, рiвна нульовому вектору.В iншому випадку, тобто коли тiльки тривiальна лiнiйна комбiнацiя рiвнанульовому вектору, ця система векторiв називається лiнiйно незалежною.

Наприклад, система, що складається з єдиного вектора v, буде лiнiйнозалежною тодi й тiльки тодi, коли v = 0. Система v1,v2 є лiнiйно зале-жною в тому i лише тому випадку, коли вектори v1,v2 є пропорцiйними,тобто iснує скаляр λ такий, що v1 = λv2 або v2 = λv1.

Найпростiшi властивостi лiнiйно залежних (незалежних) системвекторiв є такими:

Твердження 6. 1) Система векторiв є лiнiйно залежною тодi йтiльки тодi, коли в нiй iснує вектор, який лiнiйно виражаєтьсячерез решту векторiв цiєї системи.

30

2) Система векторiв, яка мiстить нульовий вектор, є лiнiйно зале-жною.

3) Система векторiв, яка мiстить два рiвнi (або навiть пропор-цiйнi) вектори, є лiнiйно залежною.

4) Будь-яка пiдсистема лiнiйно незалежної системи векторiв самає лiнiйно незалежною.

5) Будь-яка надсистема лiнiйно залежної системи векторiв єлiнiйно залежною.

Доведення. Доведемо пункт 1), а iншi залишимо для перевiрки читачевi.Нехай v1, . . . ,vk — деяка система векторiв. Якщо вона є лiнiйно зале-

жною, то iснують скаляри λ1, . . . , λk, не всi рiвнi 0 i такi, що

λ1v1 + . . .+ λkvk = 0.

Нехай λi 6= 0. Тодi попередня рiвнiсть переписується у виглядi

vi = −λ1

λiv1 − . . .−

λi−1

λivi−1 −

λi+1

λivi+1 − . . .−

λkλi

vk,

звiдки одержимо, що вектор vi виражається через решту векторiв.Навпаки, нехай вектор vi виражається через решту векторiв системи

v1, . . . ,vk, тобто

vi = λ1v1 + . . .+ λi−1vi−1 + λi+1vi+1 + . . .+ λkvk

для деяких λ1, . . . , λi−1, λi+1, . . . , λk. Звiдси одержуємо рiвнiсть

λ1v1 + . . .+ λi−1vi−1 + vi + +λi+1vi+1 + . . .+ λkvk = 0,

яка й означає, що система v1, . . . ,vk лiнiйно залежна.

Для подальшого вивчення лiнiйної залежностi зручно користуватисявекторною формою систем лiнiйних рiвнянь. Розглянемо систему лiнiйнихрiвнянь

a11x1 +a12x2+ · · · +a1kxk = b1a21x1 +a22x2+ · · · +a2kxk = b2.. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. .

an1x1 +an2x2+ · · · +ankxk = bn

.

31

Позначимо стовпчики розширеної матрицi цiєї системи

v1 = (a11, a21, . . . , an1), . . . ,vk = (a1k, a2k, . . . , ank),u = (b1, b2, . . . , bn)

вiдповiдно. Виразx1v1 + . . .+ xkvk = u

називається векторною формою системи лiнiйних рiвнянь. Задана системалiнiйних рiвнянь має розв’язок тодi й лише тодi, коли вектор u лiнiйновиражається через систему векторiв v1, . . . ,vk. Навпаки, iснуваннялiнiйної комбiнацiї деякої системи векторiв, рiвної заданому вектору,еквiвалентне iснуванню розв’язку системи лiнiйних рiвнянь, стовпчикамиосновної матрицi якої є вектори заданої системи векторiв, а стовпчикомвiльних членiв — заданий вектор.

Аналогiчно лiнiйна залежнiсть системи векторiв v1, . . . ,vk еквiва-лентна iснуванню ненульового розв’язку однорiдної системи лiнiйнихрiвнянь, стовпчиками основної матрицi якої є вектори v1, . . . ,vk.

Сформулюємо важливу достатню умову лiнiйної залежностi системивекторiв.

Теорема 3. Нехай кожен вектор системи векторiв v1, . . . ,vl лiнiйновиражається через вектори системи u1, . . . ,uk i l > k. Тодi системавекторiв v1, . . . ,vl є лiнiйно залежною.

Доведення. За умовою теореми мають мiсце рiвностi

v1 = a11u1 +a21u2+ · · · +ak1ukv2 = a12u1 +a22u2+ · · · +ak2uk.. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. ..

vl = a1lu1 +a2lu2+ · · · +akluk

для деяких скалярiв aij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l. Доведемо, що iснуєвпорядкований набiр скалярiв λ1, . . . , λl, в якому не всi скаляри нульовi,такий, що

λ1v1 + . . .+ λlvl = 0.

Пiдставимо в останню рiвнiсть замiсть векторiв v1, . . . ,vl вiдповiднiлiнiйнi комбiнацiї:

λ1(a11u1 + a21u2 + · · ·+ ak1uk) + . . .+ λl(a1lu1 + a2lu2 + · · ·+ akluk) = 0.

32

Перегрупуємо доданки в лiвiй частинi рiвностi

(a11λ1 + a12λ2 + . . .+ a1lλl)u1 + (a21λ1 + a22λ2 + . . .+ a2lλl)u2 + . . .+

(ak1λ1 + ak2λ2 + . . .+ aklλl)uk = 0.

Ця рiвнiсть буде мати мiсце тодi, коли її лiва частина буде тривiальноюлiнiйною комбiнацiєю системи векторiв u1, . . . ,uk. Запишемо умови тривi-альностi

a11λ1 +a12λ2+ · · · +a1lλl = 0

a21λ1 +a22λ2+ · · · +a2lλl = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1λ1 +ak2λ2+ · · · +aklλl = 0

.

Одержали однорiдну систему лiнiйних рiвнянь вiдносно λ1, . . . , λl, уякiй,згiдно умови, рiвнянь менше, нiж невiдомих. Це означає, що такасистема лiнiйних рiвнянь є невизначеною, тобто має принаймнi один нену-льовий розв’язок. Цей розв’язок системи i є потрiбним набором λ1, . . . , λl.Теорему доведено.

Далi наводиться достатня умова лiнiйної зображуваностi вектора яклiнiйної комбiнацiї системи векторiв.

Твердження 7. Нехай v1, . . . ,vk — лiнiйно незалежна системавекторiв. Якщо для вектора u система векторiв v1, . . . ,vk,u є лiнiйнозалежною, то вектор u лiнiйно виражається через v1, . . . ,vk.

Доведення. Нехайλ1v1 + . . .+ λkvk + µu = 0,

причому серед скалярiв λ1, . . . , λk, µ є ненульовi. Якщо припустити, щоµ = 0, то зразу одержимо, що система векторiв v1, . . . ,vk є лiнiйно зале-жною, що суперечитиме умовi. Отже, µ 6= 0, звiдки

u = −λ1

µv1 − . . .−

λkµvk.

33

Має мiсце таке твердження про однозначнiсть зображення вектора яклiнiйної комбiнацiї системи векторiв, яке насправдi є критерiєм лiнiйноїнезалежностi цiєї системи векторiв.

Твердження 8. Нехай вектор u лiнiйно виражається через системувекторiв v1, . . . ,vk. Вiн виражається через цi вектори єдиним способомтодi й лише тодi, коли система векторiв v1, . . . ,vk є лiнiйно незале-жною.

Доведення. Нехай u = λ1v1 + . . .+ λkvk для деякого набору λ1, . . . , λk.Якщо u = µ1v1 + . . . + µkvk для деякого iншого набору µ1, . . . , µk, то

0 = (λ1 − µ1)v1 + . . . + (λk − µk)vk, причому остання лiнiйна комбiнацiяє нетривiальною. Звiдси випливає лiнiйна залежнiсть системи векторiвv1, . . . ,vk.

З iншого боку, якщо маємо рiвнiсть 0 = µ1v1+. . .+µkvk, в якiй лiнiйнакомбiнацiя нетривiальна, то u = (λ1 + µ1)v1 + . . . + (λk + µk)vk. Такимчином, вектор u буде виражатися через v1, . . . ,vk неоднозначно.

11 Ранг системи векторiв

Двi системи векторiв u1, . . . ,uk та v1, . . . ,vl назвемо еквiвалентними,якщо їх лiнiйнi оболонки рiвнi: L(u1, . . . ,uk) = L(v1, . . . ,vl), тобто коженвектор, який лiнiйно виражається через одну iз цих систем векторiв, вира-жається також через iншу.

Лема 1. Нехай вектор u лiнiйно виражається через систему векторiвu1, . . . ,uk, а кожен вектор системи векторiв u1, . . . ,uk лiнiйно вира-жається через систему векторiв v1, . . . ,vl. Тодi вектор u лiнiйно вира-жається через систему векторiв v1, . . . ,vl.

Доведення. За умовою u = λ1u1+. . .+λkuk та ui = αi1v1+. . .+αilvl, длядеяких скалярiв λ1, . . . , λk, αi1, . . . , αil, 1 ≤ i ≤ k. Пiдставивши в першурiвнiсть замiсть векторiв u1, . . . ,uk їх лiнiйнi вирази i перегрупувавши

34

доданки, одержимо

u =

l∑j=1

(λ1α1j + . . .+ λkαkj)vj .

Звiдси вiдразу випливає, що для еквiвалентностi систем векторiвu1, . . . ,uk та v1, . . . ,vl досить, щоб кожен вектор першої системи лiнiйновиражався через другу систему, а кожен вектор другої системи виражавсячерез першу.

Для системи векторiв v1, . . . ,vk її максимальною лiнiйно незалежноюпiдсистемою називається максимальна вiдносно включення лiнiйно неза-лежна пiдсистема цiєї системи векторiв, тобто така лiнiйно незалежнапiдсистема, яка не є пiдсистемою жодної iншої лiнiйно незалежної пiдси-стеми.

Якщо в системi векторiв v1, . . . ,vk є хоча б один ненульовий вектор,то в нiй iснує максимальна лiнiйно незалежна пiдсистема, причому необов’язково єдина.

Твердження 9. Кожен вектор системи векторiв лiнiйно виражаєтьсячерез довiльну її максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему, причомуєдиним способом.

Доведення. Лiнiйно незалежна пiдсистема системи векторiв v1, . . . ,vkбуде максимальною тодi й лише тодi, коли при включенi в неї довiль-ного iншого вектора системи v1, . . . ,vk вона перетворюється на лiнiйнозалежну систему. Звiдси, враховуючи твердження 7, одержимо, що коженвектор системи векторiв v1, . . . ,vk лiнiйно виражається через довiльну їїмаксимальну лiнiйно незалежну пiдсистему. З твердження 8 тепер вiдразуодержуємо єдинiсть такого подання.

Ключовим про максимальнi лiнiйно незалежнi пiдсистеми є

Твердження 10. У довiльних максимальних лiнiйно незалежних пiдси-стемах еквiвалентних систем векторiв мiститься однакова кiлькiстьвекторiв.

35

Доведення. Нехай u1, . . . ,uk та v1, . . . ,vl — еквiвалентнi системивекторiв. Виберемо в них максимальнi лiнiйно незалежнi пiдсистемиui1 , . . . ,uir та vj1 , . . . ,vjs вiдповiдно. Потрiбно показати, що r = s.

За означенням еквiвалентних систем векторiв кожен вектор системиui1 , . . . ,uir лiнiйно виражається через вектори системи v1, . . . ,vk. Крiмтого, усi вектори v1, . . . ,vk лiнiйно виражаються через вектори пiдсистемиvj1 , . . . ,vjs . За лемою 1 це означає, що всi вектори системи ui1 , . . . ,uirлiнiйно виражаються через вектори системи vj1 , . . . ,vjs . Якщо припу-стити, що r > s, то за теоремою 3 звiдси одержимо, що система векторiвui1 , . . . ,uir є лiнiйно залежною. Але вона лiнiйно незалежна. Тому r ≤ s.

Аналогiчно доводиться нерiвнiсть r ≥ s, звiдки маємо потрiбнурiвнiсть.

Наслiдок 4. У довiльних двох максимальних лiнiйно незалежнихпiдсистемах деякої системи векторiв мiститься однакова кiлькiстьвекторiв.

Доведення. Скористаємося щойно доведеним твердженням, врахувавши,що довiльна система векторiв еквiвалентна сама собi.

Це твердження забезпечує коректнiсть такого

Означення 6. Рангом системи векторiв v1, . . . ,vk називається кiль-кiсть векторiв у довiльнiй максимальнiй лiнiйно незалежнiй пiдси-стемi цiєї системи векторiв.

Ранг системи векторiв v1, . . . ,vk позначається

rk(v1, . . . ,vk).

Ранг системи векторiв є важливим iнварiантом системи векторiв, за допо-могою якого формулюється низка означень i тверджень лiнiйної алгебри.

Система векторiв, у якiй всi вектори є нульовими, має ранг, рiвний 0.Для всiх iнших систем векторiв ранг є натуральним числом. Безпосере-дньо за означенням з твердження 10 маємо

Наслiдок 5. Ранги еквiвалентних систем векторiв рiвнi.

36

В термiнах рангу маємо такий критерiй лiнiйної незалежностi:

Твердження 11. Система векторiв є лiнiйно незалежною тодi й лишетодi, коли її ранг дорiвнює кiлькостi векторiв у цiй системi.

Доведення. Система векторiв v1, . . . ,vk є лiнiйно незалежною тодi йтiльки тодi, коли вона сама є своєю максимальною лiнiйно незалежноюпiдсистемою. Останнє має мiсце тодi й тiльки тодi, коли rk(v1, . . . ,vk) =

k.

Аналогiчно до елементарних перетворень систем лiнiйних рiвняньта рядкiв i стовпчикiв матриць назвемо елементарними перетвореннямисистеми векторiв v1, . . . ,vk такi її перетворення:

1) перестановка двох векторiв цiєї системи;

2) множення якогось вектора системи на ненульовий скаляр;

3) додавання до вектора системи якогось iншого вектора цiєї системи,домноженого на деякий скаляр.

Лема 2. Система векторiв, отримана з системи векторiв v1, . . . ,vkзастосуванням елементарних перетворень, еквiвалентна системiвекторiв v1, . . . ,vk.

Доведення. Кожен вектор нової системи векторiв, за означенням елемен-тарних перетворень, лiнiйно виражається через вектори v1, . . . ,vk. Вiнший бiк для перетворень перших двох типiв твердження правильне.Нехай вектор vi був замiнений вектором vi + λvj для деякого скаляраλ. Тодi vi = (vi + λvj) + (−λ)vj , звiдки одержуємо, що кожен векторсистеми v1, . . . ,vk лiнiйно виражається через вектори нової системи.

Для знаходження рангу системи векторiв використовують таку теорему.

Теорема 4. Ранг системи векторiв, отриманої елементарними пере-твореннями деякої системи векторiв, дорiвнює рангу початковоїсистеми векторiв.

Доведення. Досить застосувати щойно доведену лему i наслiдок 5.

37

12 Базис арифметичного векторного простору

Систему векторiв v1, . . . ,vk арифметичного векторного простору Pn

назвемо системою твiрних цього простору, якщо кожен вектор v ∈ Pn

лiнiйно виражається через вектори цiєї системи, тобто

L(v1, . . . ,vk) = Pn.

Означення 7. Систему векторiв v1, . . . ,vk арифметичного векторногопростору Pn назвемо базисом цього простору, якщо вона є лiнiйнонезалежною системою твiрних простору Pn.

Основнi властивостi базисiв арифметичного векторного простору Pn єтакими:

Теорема 5. 1) В арифметичному векторному просторi Pn базисиiснують.

2) Кожен базис простору Pn мiстить n векторiв.

3) Кожна лiнiйно незалежна система векторiв простору Pn

мiстить не бiльше n векторiв.

4) Кожна лiнiйно незалежна система векторiв простору Pn, якаскладається з n векторiв, є його базисом.

5) У кожнiй системi твiрних простору Pn iснує пiдсистема, яка єбазисом цього простору.

6) Кожна система твiрних простору Pn, яка складається з n

векторiв, є його базисом.

7) Кожна лiнiйно незалежна система векторiв простору Pn є пiдси-стемою деякого базису цього простору.

8) Кожен вектор простору лiнiйно виражається через довiльнийбазис єдиним способом.

38

Доведення. 1) Розглянемо такi вектори у просторi Pn:

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1).

Покажемо, що система векторiв e1, e2, . . . , en є базисом. Справдi, зрiвностi

λ1e1 + λ2e2 + . . .+ λnen = 0

вiдразу маємо рiвнiсть

(λ1, λ2, . . . , λn) = (0, 0, . . . , 0),

звiдки λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Це означає, що система векторiвe1, e2, . . . , en є лiнiйно незалежною. Вона буде також i системою твiрних,бо для довiльного вектора

v = (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Pn

має мiсце рiвнiсть

v = λ1e1 + λ2e2 + . . .+ λnen.

2) Нехай v1, . . . ,vm — деякий базис простору Pn. Всi вектори цьогобазису лiнiйно виражаються через базис e1, e2, . . . , en. З припущенняm > n за теоремою 3 вiдразу випливає, що система векторiв v1, . . . ,vm єлiнiйно залежною. Але ця система є базисом, тобто лiнiйно незалежною.Отже, m ≤ n. Аналогiчно доводиться нерiвнiсть m ≥ n, звiдки одержимопотрiбну рiвнiсть m = n.

3) Нехай v1, . . . ,vm — деяка система векторiв i m > n. Кожен векторцiєї системи лiнiйно виражається через базис простору Pn. Звiдси затеоремою 3 маємо, що система векторiв v1, . . . ,vm є лiнiйно залежною.

4) Нехай v1, . . . ,vn — лiнiйно незалежна система у просторi Pn. Длядовiльного вектора v цього простору згiдно пункту 3) система векторiв

39

v1, . . . ,vm,v є лiнiйно залежною. За твердженням 7 це означає, що векторv лiнiйно виражається через вектори системи v1, . . . ,vn, звiдки одер-жуємо, що вона є системою твiрних, а вiдтак базисом простору Pn.

5) Виберемо в системi твiрних простору Pn яку-небудь її максимальнулiнiйно незалежну пiдсистему. За лемою 1 i твердженням 9 вона такожбуде системою твiрних, а отже i базисом Pn.

6) За пунктом 5) у n-елементнiй системi твiрних iснує пiдсистема, якає базисом. Але всi базиси мiстять n векторiв. Тому цiєю пiдсистемою євся початкова система твiрних.

7) Нехай v1, . . . ,vl — лiнiйно незалежна система векторiв у просторiPn. Згiдно 3) l ≤ n. Якщо l = n, то за пунктом 4) ця система векторiвє базисом. Якщо ж l < n, то iснує вектор u1, який не виражаєтьсячерез v1, . . . ,vl. Покажемо, що система векторiв v1, . . . ,vl,u1 лiнiйнонезалежна. Згiдно пункту 1) твердження 6 для цього досить довести,що жоден з векторiв цiєї системи лiнiйно не виражається через рештуїї векторiв. Для вектора u1 це виконується за вибором цього вектора.Припустимо, що для деякого i, 1 ≤ i ≤ l, має мiсце рiвнiсть

vi = λ1v1 + . . .+ λi−1vi−1 + λi+1vi+1 + . . .+ λlvl + λu1

для деяких λ1, . . . , λi−1, λi+1, . . . λl, λ ∈ Pn. Якщо у цiй рiвностi λ = 0, тоце суперечить лiнiйнiй незалежностi системи векторiв v1, . . . ,vl, а якщоλ 6= 0, то тодi вектор u1 буде лiнiйно виражатись через v1, . . . ,vl i це супе-речитиме вибору цього вектора. Отже, v1, . . . ,vl,u1 — лiнiйно незалежнасистема. Якщо l + 1 = n, то вона буде базисом. Якщо нi, то повторюємощойно наведенi мiркування i так продовжуємо доти, поки не побудуємолiнiйно незалежну систему v1, . . . ,vl,u1, . . . ,un−l, яка буде базисом.

8) Оскiльки базис — це лiнiйно незалежна система твiрних, то потрiбнавластивiсть випливає з твердження 8.

Базис e1, e2, . . . , en простору Pn iнколи називають стандартнимбазисом цього простору.

Кiлькiсть векторiв у базисi арифметичного векторного простору Pn

називається розмiрнiстю цього простору i позначається dimPn. Згiднодоведеної теореми таке визначення є коректним i dimPn = n.

40

Для довiльного вектора u ∈ Pn i базису v1,v2, . . . ,vn простору Pn

впорядкований набiр (α1, α2, . . . , αn) елементiв поля P такий, що

u = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn,

називається координатами вектора u в базисi v1,v2, . . . ,vn. За пунктом8) теореми координати вектора в довiльному базисi визначенi однозначно.

13 Ранг матрицi

Оскiльки ранг системи векторiв є важливою кiлькiсною характеристикоюцiєї системи, то на його основi буде дано визначення аналогiчної кiлькiсноїхарактеристики довiльної матрицi над полем P . Проте спочатку доведемотвердження, якi обґрунтують його коректнiсть.

Лема 3. Нехай u1, . . . ,uk та v1, . . . ,vk — такi системи векторiв, щооднорiднi системи лiнiйних рiвнянь

x1u1 + . . .+ xkuk = 0 (6)

таx1v1 + . . .+ xkvk = 0 (7)

еквiвалентнi. Тодi

rk(u1, . . . ,uk) = rk(v1, . . . ,vk).

Доведення. Нехай rk(u1, . . . ,uk) = r i rk(v1, . . . ,vk) = s. Покажемо, щоr = s.

Виберемо в системi векторiв u1, . . . ,uk деяку максимальну лiнiйнонезалежну пiдсистему. Не обмежуючи загальностi можна вважати, щотакою є пiдсистема u1, . . . ,ur (в iншому випадку досить переставитивектори). Тодi, внаслiдок лiнiйної незалежностi цiєї системи, числовийвектор (γ1, . . . , γr, 0, . . . , 0) довжини k буде розв’язком системи рiвнянь(6) тодi й лише тодi, коли γ1 = . . . = γr = 0. Оскiльки системи рiвнянь(6) i (7) еквiвалентнi, то це означає, що цей числовий вектор буде

41

розв’язком системи рiвнянь (7) тодi й лише тодi, коли γ1 = . . . = γr = 0.Звiдси випливає, що система векторiв v1, . . . ,vr є лiнiйно незалежною. Цеозначає, що r ≤ s. Аналогiчно доводиться, що r ≥ s, звiдки одержуємопотрiбну рiвнiсть r = s.

Розглянемо довiльну матрицю A розмiру n на k над полем P

A =

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ank

.

Система векторiв-рядкiв

u1 = (a11, a12, . . . , a1k), . . . ,un = (an1, an2, . . . , ank)

цiєї матрицi є системою векторiв арифметичного простору P k, а системаїї векторiв-стовчикiв

v1 = (a11, a21, . . . , an1), . . . ,vk = (a1k, a2k, . . . , ank)

є системою векторiв арифметичного простору Pn.

Означення 8. Ранг системи векторiв-рядкiв u1, . . . ,un матрицi A

називається рядковим рангом матрицi A. Ранг системи векторiв-стовпчикiв v1, . . . ,vk матрицi A називається стовпчиковим рангомматрицi A.

Матрицю розмiру k на n

AT =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1k a2k · · · ank

,

системою векторiв-рядкiв якої є система векторiв-стовпчикiв матрицi A,назвемо матрицею, транспонованою до матрицi A. З означення зрозумiло,що (AT )T = A i рядковий ранг матрицi A дорiвнює стовпчиковому рангуматрицi AT , а стовпчиковий ранг A дорiвнює рядковому рангу AT .

42

Теорема 6. Рядковий ранг матрицi дорiвнює її стовпчиковому рангу.

Доведення. Розглянемо матрицю

A =

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ank

,

u1, . . . ,un — її система векторiв-рядкiв, а v1, . . . ,vk — система її векторiв-стовчикiв. Нехай rk(u1, . . . ,un) = r i rk(v1, . . . ,vk) = s. Не обмежуючизагальностi можемо вважати, що u1, . . . ,ur — максимальна лiнiйно неза-лежна пiдсистема системи u1, . . . ,un. Це означає, що всi iншi вектори-рядки матрицi A лiнiйно виражаються через першi r рядкiв цiєї матрицi.Тобто виконавши ряд елементарних перетворень рядкiв матрицi A, отри-маємо матрицю B, першi r рядкiв якої такi ж, як у матрицi A, а всi iншiє нульовими:

B =

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ar1 ar2 · · · ark0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0

.

Однорiднi системи лiнiйних рiвнянь з основними матрицями A i B будутьеквiвалентними за твердженням 5. Оскiльки нульовi рядки матрицi одно-рiдної системи лiнiйних рiвнянь не впливають на множину розв’язкiв цiєїсистеми, то однорiдна система лiнiйних рiвнянь з матрицею

C =

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ar1 ar2 · · · ark

також еквiвалентна системi з матрицею A. Позначимо w1,w2, . . . ,wk

систему векторiв-стовпчикiв матрицi C. Зазначимо, що всi цi вектори

43

належать арифметичному векторному простору розмiрностi r, в якомулiнiйно незалежнi системи векторiв мiстять не бiльше r векторiв. Тому

rk(w1,w2, . . . ,wk) ≤ r.

Але за лемою 3

rk(w1,w2, . . . ,wk) = rk(v1,v2, . . . ,vk) = s.

Отже, s ≤ r, тобто рядковий ранг матрицi не менший за її стовпчиковийранг. Застосувавши цю властивiсть до матрицi AT отримаємо, що s ≥ r.Отже, s = r i теорему доведено.

Цю теорему називають теоремою про ранг матрицi, оскiльки вонадозволяє сформулювати

Означення 9. Спiльне значення рядкового i стовпчикового рангiвматрицi A називається рангом матрицi A i позначається rkA.

Безпосередньо з означення випливають такi властивостi рангу:

1) Pанг матрицi типу (n, k) не перевищує менше з чисел n, k.

2) Ранг матрицi дорiвнює 0 тодi й лише тодi, коли ця матриця нульова.

3) Ранг одиничної матрицi порядку n дорiвнює n.

4) Ранг матрицi дорiвнює рангу матрицi, транспонованої до неї.

5) Ранг матрицi не змiнюється пiсля виконання елементарних перетво-рень над рядками чи стовпчиками цiєї матрицi.

Сформулюємо твердження в термiнах рангу матрицi про найпростiшийвигляд, до якого елементарними перетвореннями рядкiв та стовпчикiвможна звести довiльну матрицю.

Теорема 7. Ранг матрицi дорiвнює r тодi й лише тодi, коли елемен-тарними перетвореннями рядкiв та стовпчикiв її можна звести до

44

вигляду

1 0 · · · 0 0 · · · 0

0 1 · · · 0 0 · · · 0...

.... . .

......

. . ....

0 0 · · · 1 0 · · · 0

0 0 · · · 0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0 0 · · · 0

, (8)

де кiлькiсть одиниця по дiагоналi дорiвнює r.

Доведення. Оскiльки матриця вигляду (8) має ранг r (першi r її рядкiвутворюють максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему системи рядкiвцiєї матрицi), а при елементарних перетвореннях рядкiв i стовпчикiв рангматрицi не змiнюється, то залишається довести, що довiльна матриця Aтипу (k, n) рангу r елементарними перетвореннями рядкiв i стовпчикiвзводиться до матрицi вигляду (8). За теоремою 2 її можна звести доматрицi вигляду

1 0 · · · 0 c1m+1 · · · c1n0 1 · · · 0 c2m+1 · · · c2n...

.... . .

......

. . ....

0 0 · · · 1 cmm+1 · · · cmn0 0 · · · 0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0 0 · · · 0

,

де 0 ≤ m ≤ min(k, n). Додамо тепер в цiй матрицi до j-того стовпчикаперший стовпчик, домножений на −c1j , другий стовпчик, домноженийна −c2j , i т.д. m-тий стовпчик, домножений на −cmj , m + 1 ≤ j ≤ n.Отримаємо матрицю вигляду (8) з m одиницями по дiагоналi. Її рангдорiвнює m, а з iншого боку цей ранг дорiвнює рангу матрицi A, тобто r.Отже, m = r i теорему доведено.

45

14 Дослiдження систем лiнiйних рiвнянь

Розглянемо систему лiнiйних рiвнянь з n невiдомими над полем P , запи-сану у векторнiй формi

x1u1 + . . .+ xnun = v. (9)

Однорiдну систему лiнiйних рiвнянь

x1u1 + . . .+ xnun = 0

будемо називати вiдповiдною однорiдною системою лiнiйних рiвнянь.Таким чином, у вiдповiдної однорiдної системи лiнiйних рiвнянь основноюматрицею є основна матриця початкової системи лiнiйних рiвнянь.

В термiнах рангiв матриць системи лiнiйних рiвнянь маємо такiкритерiї сумiсностi та визначеностi системи лiнiйних рiвнянь.

Теорема 8 (Кронекера-Капеллi). Система лiнiйних рiвнянь є сумiсноютодi й лише тодi, коли ранг її основної матрицi дорiвнює рангу розши-реної.

Доведення. Розглянемо систему лiнiйних рiвнянь (9). Враховуючитеорему про ранг матрицi, потрiбно довести, що ця система сумiсна тодiй лише тодi, коли

rk(v1, . . . ,vn,u) = rk(v1, . . . ,vn).

Нехай (9) — сумiсна система лiнiйних рiвнянь. Тодi вектор u лiнiйно вира-жається через v1, . . . ,vn, а тому системи векторiв v1, . . . ,vn i v1, . . . ,vn,u

еквiвалентнi, а вiдтак їх ранги рiвнi.Нехай тепер

rk(v1, . . . ,vn,u) = rk(v1, . . . ,vn).

Тодi довiльна максимальна лiнiйно незалежна пiдсистема системи векторiвv1, . . . ,vn буде максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою системивекторiв v1, . . . ,vn,u (вона лiнiйно незалежна пiдсистема i кiлькiстьвекторiв у нiй дорiвнює рангу). Це означає, що вектор u лiнiйно вира-жається через цю максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему, тобто цей

46

вектор лiнiйно виражається через v1, . . . ,vn. Це i означає, що системалiнiйних рiвнянь (9) є сумiсною.

Теорема 9. Система лiнiйних рiвнянь є визначеною тодi й лише тодi,коли ранг її основної матрицi дорiвнює рангу розширеної i дорiвнюєкiлькостi невiдомих у системi.

Доведення. З урахуванням теореми Кронекера-Капеллi система лiнiйнихрiвнянь (9) є визначеною тодi й лише тодi, коли

rk(v1, . . . ,vn,u) = rk(v1, . . . ,vn)

i вектор u виражається через вектори v1, . . . ,vn однозначно. За твердже-нням 8 це виконується тодi й лише тодi, коли

rk(v1, . . . ,vn,u) = rk(v1, . . . ,vn)

i система векторiв v1, . . . ,vn лiнiйно незалежна. За твердженням 11 цемає мiсце тодi й лише тодi, коли

rk(v1, . . . ,vn,u) = rk(v1, . . . ,vn) = n.

Теорему доведено.

Теорема 10. (Фредгольма) Квадратна система лiнiйних рiвнянь є сумi-сною при будь-яких вiльних членах тодi й лише тодi, коли вiдповiднаоднорiдна система лiнiйних рiвнянь є визначеною.

Доведення. Квадратна система лiнiйних рiвнянь (9) є сумiсною длядовiльного вектора u тодi й лише тодi, коли довiльний вектор u лiнiйновиражається через вектори v1, . . . ,vn. Враховуючи, що система рiвняньквадратна, тобто вектори v1, . . . ,vn лежать у просторi Pn розмiрностi nце має мiсце тодi й тiльки тодi, коли ця система векторiв є системоютвiрних простору Pn, тобто, за теоремою 5, є його базисом, що, за тiєюж теоремою, рiвносильно її лiнiйнiй незалежностi. Оскiльки нульовийвектор виражається через довiльну систему векторiв, то за твердженням

47

8 останнє має мiсце тодi й лише тодi, коли вiн виражається через векториv1, . . . ,vn однозначно, тобто однорiдна система лiнiйних рiвнянь

x1u1 + . . .+ xnun = 0

є визначеною. Теорему доведено.

15 Пiдпростори арифметичного векторного

простору

Означення 10. Непорожню пiдмножину V арифметичного векторногопростору Pn назвемо пiдпростором цього простору, якщо

1) для довiльних векторiв u,v з V їх сума u+v також мiститься уV ;

2) для довiльних вектора u ∈ V i скаляра λ ∈ P добуток λv нале-жить V .

Першу з цих двох вимог називають замкненiстю пiдмножини V

вiдносно додавання векторiв, а другу — замкненiстю вiдносно множенняна скаляри.

Найпростiшими прикладами пiдпросторiв простору Pn є нульовийпiдпростiр 0 i весь простiр Pn. Цi пiдпростори називають невласними,а всi iншi — власними.

Легко перевiрити, що для довiльної системи векторiв v1, . . . ,vk ∈ Pn

їхня лiнiйна оболонка L(v1, . . . ,vk) буде пiдпростором у Pn. Справдi,лiнiйна оболонка завжди мiстить нульовий вектор, а тому непорожня.Сума лiнiйних комбiнацiй

λ1v1 + . . .+ λkvk

iµ1v1 + . . .+ µkvk

системи векторiв v1, . . . ,vk рiвна

(λ1 + µ1)v1 + . . .+ (λk + µk)vk

48

i тому знову буде лiнiйною комбiнацiєю векторiв цiєї системи. Такождобуток лiнiйної комбiнацiї

λ1v1 + . . .+ λkvk

векторiв v1, . . . ,vk на скаляр λ дорiвнює

(λλ1)v1 + . . .+ (λλk)vk

i також є їх лiнiйною комбiнацiєю.

Твердження 12. Кожен пiдпростiр арифметичного векторногопростору мiстить нульовий вектор.

Доведення. Пiдпростiр V мiстить якийсь вектор v. Тодi добуток (−1)v =

−v належить V . А звiдси i сума v + (−v) = 0 належить V .

Таким чином, кожен пiдпростiр мiстить нульовий пiдпростiр i мiсти-ться у всьому просторi Pn.

Системою твiрних пiдпростору V назвемо таку систему векторiвv1, . . . ,vk ∈ V , що

V = L(v1, . . . ,vn).

Лiнiйно незалежну систему твiрних пiдпростору V назвемо базисомпiдпростору V .

Зауважимо, що ранiше введене поняття базису простору Pn збiгає-ться з поняттям базису Pn як свого пiдпростору. Для базисiв пiдпросторумає мiсце ряд властивостей, аналогiчних властивостям базисiв усьогопростору. Зокрема, має мiсце

Теорема 11. У кожному ненульовому пiдпросторi простору Pn iснуєбазис. У будь-яких двох базисах одного й того ж пiдпростору векторiвпорiвну.

Доведення. Якщо пiдпростiр V ненульовий, тобто у ньому мiстятьсяненульовi вектори, то вiн мiстить i лiнiйно незалежнi системи векторiв.Оскiльки лiнiйно незалежна система векторiв простору Pn мiстить небiльше n векторiв, то кiлькiсть векторiв у лiнiйно незалежнiй системi

49

векторiв з V також не бiльша за n. Тому V мiстить деяку максимальну закiлькiстю лiнiйно незалежну систему векторiв v1, . . . ,vm. Її максималь-нiсть означає, що приєднавши до неї довiльний iнший вектор v ∈ V ,отримаємо лiнiйно залежну систему, звiдки за твердженням 7 вектор v

лiнiйно виражається через v1, . . . ,vm. Отже, система векторiв v1, . . . ,vmє системою твiрних, а вiдтак i базисом пiдпростору V . Друге твердженнятеореми випливає з того, що кожнi два базиси пiдпростору V є еквiвален-тними лiнiйно незалежними системами векторiв.

Iснування базисiв у ненульових пiдпросторах означає, що коженпiдпростiр арифметичного векторного простору є лiнiйною оболонкоюдеякої лiнiйно незалежної системи векторiв цього простору.

Кiлькiсть векторiв у базисi пiдпростору V простору Pn називаєтьсярозмiрнiстю цього пiдпростору i позначається dimV . Доведена теоремазокрема встановлює коректнiсть цього означення.

Для довiльного пiдпростору V ⊂ Pn мають мiсце нерiвностi

0 ≤ dimV ≤ n,

причому dimV = 0 тодi й тiльки тодi, коли V = 0, а dimV = n тодi йлише тодi, коли V = Pn.

Твердження 13. Для довiльних векторiв v1, . . . ,vk ∈ Pn має мiсцерiвнiсть

dimL(v1, . . . ,vk) = rk(v1, . . . ,vk).

Доведення. Якщо всi вектори в системi v1, . . . ,vk нульовi, то як розмiр-нiсть їх лiнiйної оболонки, так i ранг системи цих векторiв рiвнi 0. Iнакшевиберемо в цiй системi векторiв яку-небудь максимальну лiнiйно неза-лежну пiдсистему. Всi iншi вектори системи v1, . . . ,vk будуть тодi черезнеї лiнiйно виражатись, а тому вона буде системою твiрних, а отже iбазисом лiнiйної оболонки системи векторiв v1, . . . ,vk. Звiдси знову маємопотрiбну рiвнiсть.

50

16 Будова множини розв’язкiв системи

лiнiйних рiвнянь

У термiнах пiдпросторiв арифметичного векторного простору опишемомножину розв’язкiв однорiдної систем лiнiйних рiвнянь.

Теорема 12. Множина всiх розв’язкiв однорiдної системи лiнiйнихрiвнянь над полем P з n невiдомими утворює в просторi Pn пiдпро-стiр розмiрностi n− r, де число r — це ранг основної матрицi заданоїсистеми.

Доведення. Нехай задано однорiдну систему лiнiйних рiвнянь

x1u1 + . . .+ xnun = 0.

Позначимо символом V множину всiх її розв’язкiв. Оскiльки однорiднасистема лiнiйних рiвнянь завжди сумiсна, то V — непорожня пiдмножинау просторi Pn.

Розглянемо довiльнi вектори u = (λ1, . . . , λn),v = (µ1, . . . , µn) ∈ V .Для їх суми u + v = (λ1 + µ1, . . . , λn + µn) маємо

(λ1 + µ1)u1 + . . .+ (λn + µn)un =

(λ1u1 + . . .+ λnun) + (µ1u1 + . . .+ µnun) = 0 + 0 = 0,

звiдки u + v ∈ V , тобто V замкнена вiдносно додавання векторiв. Дляскаляра λ ∈ P одержимо

(λλ1)u1 + . . .+ (λλn)un = λ(λ1u1 + . . .+ λnun) = λ0 = 0,

звiдки λu ∈ V , тобто V замкнена вiдносно множення на скаляри з P .Отже, V є пiдпростором у Pn.

Знайдемо його розмiрнiсть. За теоремою 2 основну матрицю початковоїсистеми лiнiйних рiвнянь елементарними перетвореннями рядкiв i пере-

51

становками стовпчикiв можна звести до вигляду

1 0 · · · 0 c1r+1 · · · c1n0 1 · · · 0 c2r+1 · · · c2n...

.... . .

......

. . ....

0 0 · · · 1 crr+1 · · · crn0 0 · · · 0 0 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · 0 0 · · · 0

, (10)

де, згiдно теореми 7, число r дорiвнює її рангу. При цьому нова матрицяпiсля перестановки стовпчикiв буде матрицею еквiвалентної системилiнiйних рiвнянь. Тому dimV дорiвнює розмiрностi пiдпростору розв’язкiводнорiдної системи лiнiйних рiвнянь з основною матрицею (10).

Зауважимо, що у випадку r = n ця система матиме лише нульовийрозв’язок, тобто розмiрнiсть пiдпростору її розв’язкiв рiвна 0 = n− r.

Нехай r < n. Розглянемо такi n− r векторiв:

v1 = (−c1r+1,−c2r+1, . . . ,−crr+1, 1, 0, 0, . . . , 0, 0)

v2 = (−c1r+2,−c2r+2, . . . ,−crr+2, 0, 1, 0, . . . , 0, 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vn−r = (−c1n,−c2n, . . . ,−crn, 0, 0, 0, . . . , 0, 1).

Безпосередньо перевiряється, що вектори v1, . . . ,vn−r є розв’язками одно-рiдної системи лiнiйних рiвнянь з матрицею (10). Ранг системи векторiвv1, . . . ,vn−r дорiвнює рангу матрицi типу (n − r, n), рядками якої є цiвектори. Але так утворена матриця мiстить лiнiйно незалежну пiдсистемуз n − r стовпчикiв, тобто її ранг дорiвнює n − r. За твердженням 11це означає, що система векторiв v1, . . . ,vn−r лiнiйно незалежна. Розгля-немо тепер довiльний розв’язок v системи з матрицею (10). Для деякихλ1, . . . , λn−r ∈ P вiн має вигляд

v = (−c1r+1λ1 − · · · − c1nλn−r, . . . ,−crr+1λ1 − · · · − crnλn−r, λ1, . . . , λn−r).

Тодiv = λ1v1 + . . .+ λn−rvn−r,

52

звiдки одержуємо, що система векторiв v1, . . . ,vn−r є базисом пiдпро-стору розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвнянь з основноюматрицею (10). Таким чином, dimV = n− r, що i треба було довести.

Базис пiдпростору розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвняньназивають фундаментальною системою розв’язкiв цiєї однорiдної системилiнiйних рiвнянь. Розв’язати однорiдну систему лiнiйних рiвнянь означаєвизначити, чи має вона лише єдиний розв’язок i якщо нi, то знайти базиспiдпростору її розв’язкiв, бо вiн iснує тодi й лише тодi, коли системаневизначена.

Доведена теорема дозволяє тепер сформулювати такий

Наслiдок 6. Фундаментальна система розв’язкiв однорiдної системилiнiйних рiвнянь мiстить n − r векторiв, де n — кiлькiсть невiдомихсистеми, а r — ранг її основної матрицi.

Для довiльних вектора v i пiдпростору W у просторi Pn визначимомножину

v +W = v + w : w ∈W.

Така множина називається лiнiйним многовидом простору Pn, визначенимвектором v i пiдпростором W . Зокрема, якщо пiдпростiр W є нульовим,то многовид v +W складається з одного вектора v.

Теорема 13. Множина усiх розв’язкiв сумiсної неоднорiдної системилiнiйних рiвнянь є лiнiйним многовидом, визначеним довiльним їїрозв’язком i пiдпростором розв’язкiв вiдповiдної однорiдної системилiнiйних рiвнянь.

Доведення. Розглянемо неоднорiдну систему лiнiйних рiвнянь над полемP :

x1u1 + . . .+ xnun = u.

Припустимо, що вона сумiсна. Позначимо символом W множину всiх їїрозв’язкiв. Зафiксуємо який-небудь розв’язок v = (λ1, . . . , λn). СимволомW0 позначимо пiдпростiр розв’язкiв вiдповiдної однорiдної системилiнiйних рiвнянь. Потрiбно довести, що W = v +W0.

53

Для довiльного розв’язку v1 = (µ1, . . . , µn) ∈ W вектор v1 − v буденалежати W0, бо

(µ1−λ1)u1+. . .+(µn−λn)un = (µ1u1+. . .+µnun)−(λ1u1+. . .+µnun) = u−u = 0.

Звiдси маємо включення W ⊆ v +W0.Аналогiчно розглянемо довiльний розв’язок w = (µ1, . . . , µn) ∈ W0.

Тодi вектор v + w буде належати W , бо

(λ1+µ1)u1+. . .+(λn+µn)un = (λ1u1+. . .+µnun)+(µ1u1+. . .+µnun) = u+0 = u.

Звiдси маємо зворотне включення W ⊇ v + W0, що й доводить потрiбнурiвнiсть.

Таким чином, множину усiх розв’язкiв сумiсної неоднорiдної системилiнiйних рiвнянь буде повнiстю описано, якщо буде вiдомо який-небудьодин її розв’язок i фундаментальну систему розв’язкiв вiдповiдної однорi-дної системи лiнiйних рiвнянь.

17 Перестановки та пiдстановки

Зафiксуємо натуральне число n. Будемо розглядати множину M =

1, . . . , n перших n натуральних чисел. Перестановкою елементiвмножини M будемо називати довiльне лiнiйне впорядкування елементiвцiєї множини. Iншими словами, перестановка — це впорядкований набiр

(α1, . . . , αn),

у якому всi елементи α1, . . . , αn належать множинiM i є попарно рiзними,тобто в цьому наборi зустрiчається кожен елемент з M , причому рiвноодин раз.

Твердження 14. Кiлькiсть всiх перестановок елементiв множини1, . . . , n дорiвнює n!.

Доведення. Обчислимо, скiлькома способами можна утворити переста-новку

(α1, α2, . . . , αn).

54

Елемент α1 може бути довiльним i тому його можна вибрати n способами.Пiсля вибору цього елемента вибирати елемент α2 треба так, щоб вiн незбiгався з α1, i для цього є n − 1 спосiб. Наступний елемент не повинензбiгатися з уже вибраними, тобто його можна взяти n − 2 способами.Продовжуючи так далi, бачимо, що останнiй елемент, αn, можна вибратиодним способом. Згiдно з комбiнаторним правилом множення це означає,що утворити перестановку можна n · (n− 1) · . . . · 1 способами, тобто всiхперестановок є n!.

Для перестановкиτ = (α1, . . . , αn)

пару елементiв (αi, αj) назвемо iнверсiєю, якщо αi > αj , але i < j.Кiлькiсть всiх iнверсiй перестановки τ будемо позначати inv(τ). Переста-новку τ будемо називати парною чи непарною в залежностi вiд того, чипарним, чи непарним є число inv(τ). Наприклад, перестановка (4, 2, 3, 1, 5)

має всього 5 iнверсiй: (4, 2), (4, 3), (4, 1), (2, 1), (3, 1), а тому є непарною.Поняття парностi буде вiдiгравати в подальшому надзвичайно важливуроль. Зауважимо, що поняття парностi аналогiчно вводиться для переста-новок довiльної лiнiйно впорядкованої множини. Корисним iнструментомдля встановлення парностi є така

Лема 4. Перестановки елементiв множини M , якi вiдрiзняються рiвнодвома позицiями, мають рiзну парнiсть.

Доведення. Розглянемо перестановки

τ1 = (α1, . . . , αi, . . . , αj , . . . , αn)

iτ2 = (α1, . . . , αj , . . . , αi, . . . , αn),

якi вiдрiзняються лише i-тою та j-тою позицiями для деяких i, j, 1 ≤ i <

j ≤ n. Позначимо r = j − i − 1, тобто мiж αi та αj в цих перестановкахрозташовано r чисел. Нехай у перестановцi τ1 число αi утворює з цимиr числами k iнверсiй, елемент αj — l iнверсiй, а m — кiлькiсть iнверсiй,якi утворює пара (αi, αj) (тобто m = 1, якщо αi > αj i m = 0, якщо

55

αi > αj). Тодi у перестановцi τ2 число αi утворює з цими r числами r− kiнверсiй, елемент αj — r− l iнверсiй, а 1−m — це кiлькiсть iнверсiй, якiутворює пара (αj , αi). Всi iншi пари елементiв (α, β) будуть iнверсiямиодночасно для обох перестановок τ1, τ2. Нехай таких iнверсiй n. Тодiinv(τ1)− inv(τ2) = k+ l+m+n−(r−k+r− l+1−m+n) = 2k+2l+2m−1

— число непарне. Отже числа iнверсiй у перестановках τ1 i τ2 мають рiзнупарнiсть, тобто самi цi перестановки мають рiзну парнiсть.

Звiдси вiдразу легко вивести таке

Твердження 15. Кiлькiсть парних перестановок елементiв множини

M дорiвнює кiлькостi непарних i дорiвнюєn!

2.

Доведення. Поставимо у вiдповiднiсть довiльнiй перестановцi

τ = (α1, α2, . . . , αn)

перестановкуτ = (α2, α1, . . . , αn).

За лемою 4 перестановки τ i τ мають рiзну парнiсть. При цьому τ1 = τ2тодi й лише тодi, коли τ1 = τ2, i ¯τ = τ . Отже, вiдповiднiсть τ 7→ τ

є бiєкцiєю множини всiх парних перестановок елементiв M i множинивсiх непарних перестановок елементiвM . Отже, кiлькiсть парних переста-новок елементiв множини M дорiвнює кiлькостi непарних i, оскiльки всiхперестановок n!, а кожна перестановка або парна, або непарна, дорiвнюєn!

2.

Визначимо тепер поняття пiдстановки.

Означення 11. Пiдстановкою на множинi будемо називати довiльнубiєкцiю з цiєї множини в себе.

Позначимо множину всiх пiдстановок на множинi Ω символом S(Ω).Якщо множина Ω є множиною M = 1, . . . , n, то замiсть позначенняS(Ω) будемо використовувати позначення Sn. Далi розглянемо властивостiмножини Sn.

56

Кожну пiдстановку π ∈ Sn можна задати за допомогою таблицi вигляду

π =

(1 2 . . . n

α1 α2 . . . αn

),

де α1 = π(1),α2 = π(2), . . . , αn = π(n). При цьому рiзнi таблицi задавати-муть рiзнi пiдстановки на множинi M . Нижнiй рядок такої таблицi, набiр(α1, . . . , αn), є перестановкою елементiв множини M . Звiдси одержуємо,що множина Sn всiх пiдстановок множиниM знаходиться у взаємно одно-значнiй вiдповiдностi з множиною всiх перестановок елементiв множиниM . Пiдстановку

π =

(1 2 . . . n

α1 α2 . . . αn

)будемо називати парною чи непарною в залежностi вiд того, парною чинепарною є вiдповiдна їй перестановка (α1, . . . , αn). Враховуючи власти-востi перестановок, вiдразу маємо

Твердження 16. 1) Кiлькiсть всiх пiдстановок множини M

дорiвнює n!.

2) Кiлькiсть всiх парних пiдстановок множини M дорiвнює кiль-

костi всiх непарних i дорiвнюєn!

2.

Множину всiх парних пiдстановок множини M позначимо символомAn.

Визначимо на множинi Sn дiю множення. А саме, для довiльних двохпiдстановок π, σ ∈ Sn їх добутком π ·σ назвемо суперпозицiю σ(π). Такимчином, у добутку π · σ спочатку дiє вiдображення π, а потiм σ. Оскiлькисуперпозицiя бiєкцiй знову є бiєкцiєю, то добуток π · σ є пiдстановкою зSn.

Теорема 14. 1) Дiя множення пiдстановок є асоцiативною, тобтодля довiльних π, σ, τ ∈ Sn має мiсце рiвнiсть

(π · σ) · τ = π · (σ · τ).

57

2) Iснує пiдстановка e ∈ Sn така, що для довiльної пiдстановки π

виконується рiвнiсть

π · e = e · π = π.

3) Для кожної пiдстановки π iснує пiдстановка σ така, що

π · σ = σ · π = e.

Доведення. 1. Для довiльного i ∈M маємо

((π · σ) · τ)(i) = τ((π · σ)(i)) = τ(σ(π(i))) = (σ · τ)(π(i)) = (π · (σ · τ))(i),

звiдки випливає необхiдна рiвнiсть для пiдстановок.2. В якостi пiдстановки e вiзьмемо тотожне вiдображення.3. Оскiльки кожна бiєкцiя має обернене вiдображення, яке також буде

бiєкцiєю, то для пiдстановки π ∈ Sn досить покласти σ = π−1.

Пiдстановку e називають тотожною пiдстановкою. Вона задаєтьсятаблицею

π =

(1 2 . . . n

1 2 . . . n

),

звiдки видно, що вона є парною (вiдповiдна перестановка не має жодноїiнверсiї). Пiдстановку π−1 називають пiдстановкою, оберненою до π.

Можна перевiрити, що дiя множення пiдстановок з Sn є комутативноютодi й лише тодi, коли n = 1 або n = 2.

Далi покажемо, що кожну пiдстановку можна подати у виглядi добуткупiдстановок спецiального вигляду.

Назвемо пiдстановку π ∈ Sn циклом довжини k, якщо iснують k

елементiв α1, . . . , αk ∈M такi, що

π(α1) = α2, π(α2) = α3, . . . , π(αk−1) = αk, π(αk) = α1,

i π(α) = α для всiх iнших α ∈ M . В цьому випадку пiдстановку π позна-чають (α1 . . . αk) (при цьому iснує k способiв позначити пiдстановку π,кожен з яких визначається першим елементом циклу, який буде записано

58

в дужках). З означення зрозумiло, що Sn мiстить цикли довжин вiд 1до n, причому єдиним циклом довжини 1 є тотожна пiдстановка. Циклиπ1, . . . , πm ∈ Sn назвемо незалежними, якщо кожен елемент множини Mє нерухомим пiд дiєю всiх, окрiм, можливо, одного iз цих циклiв.

Лема 5. Кожну пiдстановку можна розкласти в добуток незалежнихциклiв.

Доведення. Нехай π ∈ Sn. Виберемо довiльний елемент α1 ∈ M . Якщоπ(α1) = α1, то покладемо π1 = (α1). Iнакше нехай α2 = π(α1). Якщоπ(α2) = α1, то покладемо π1 = (α1α2). В iншому випадку нехай α3 =

π(α2). Продовжуючи далi, виберемо такi α1, . . . , αk ∈M , що

π(α1) = α2, π(α2) = α3, . . . , π(αk−1) = αk, π(αk) = α1.

Зауважимо, що таке k обов’язково знайдеться, бо множина M скiнченна,а π є бiєкцiєю на цiй множинi. Покладемо π1 = (α1 . . . αk). Якщо середвибраних елементiв є всi елементи множини M , то π = π1. Якщо жнi, то виберемо якийсь iнший елемент β1. Аналогiчно до π1 побудуємоцикл π2 = (β1, . . . , βl). При цьому, знову внаслiдок бiєктивностi π, циклиπ1 i π2 є незалежними. Якщо серед вибраних елементiв є всi елементимножиниM , то π = π1·π2. Якщо ж нi, то продовжуючи так далi, внаслiдокскiнченностi M , виберемо цикли π1, π2, . . . , πm такi, що кожен елемент зM буде належати рiвно одному з цих циклiв (тобто вони є незалежними)i при цьому має мiсце рiвнiсть

π = π1 · π2 · . . . · πm.

Цикл довжини 2 будемо називати транспозицiєю. Транспозицiя (ij)

мiняє мiсцями елементи i та j, а всi iншi залишає нерухомими. Обрененоюпiдстановкою до транспозицiї буде вона сама.

Теорема 15. Кожну пiдстановку можна розкласти в добуток транс-позицiй.

59

Доведення. Враховуючи лему 5, досить довести твердження теореми лишедля пiдстановки, яка є циклом.

Нехай π = (α1α2 . . . αk). Якщо k = 1, тобто пiдстановка π є тото-жною, то π = (ij) · (ij) для довiльної транспозицiї (ij). В iншому випадкубезпосередньо перевiряється, що має мiсце рiвнiсть

π = (α1α2) · (α1α3) · . . . · (α1αk).

Теорему доведено.

Охарактеризуємо зв’язок мiж парнiстю пiдстановки i розкладом її удобуток транспозицiй. Спочатку сформулюємо допомiжну лему.

Лема 6. Для довiльних пiдстановки π ∈ Sn i транспозицiї σ ∈ Snпiдстановки π та σ · π, а також π та π · σ мають рiзну парнiсть.

Доведення. Доведемо для першої пари пiдстановок. Для другої доведенняцiлком аналогiчне. Нехай

π =

(1 . . . i . . . j . . . n

α1 . . . αi . . . αj . . . αn

), σ = (i, j).

Тодi

σ · π =

(1 . . . i . . . j . . . n

α1 . . . αj . . . αi . . . αn

),

тобто перестановки, що вiдповiдають пiдстановкам π i σ ·π, вiдрiзняютьсярiвно двома позицiями. За лемою 4 це означає, що цi перестановки, авiдтак i пiдстановки π i σ, мають рiзну парнiсть.

Теорема 16. Пiдстановка є парною тодi й лише тодi, коли у кожномуїї розкладi в добуток транспозицiй кiлькiсть множникiв парна.

Доведення. Нехай маємо розклад пiдстановки у добуток транспозицiй:

π = σ1 · σ2 · . . . · σk.

Розглянемо набiр пiдстановок

π0 = e, π1 = σk · e, π2 = σk−1 · σk · e, . . . πk = π = σ1σ2 . . . σk · e.

60

За лемою 6 сусiднi пiдстановки в цьому наборi мають рiзну парнiсть.Тотожна пiдстановка є парною. Тому пiдстановка π є парною тодi й лишетодi, коли число k є парним. Теорему доведено.

З доведення видно, що для парностi пiдстановки досить iснуванняякогось її розкладу в добуток парної кiлькостi транспозицiй.

З цiєї теореми вiдразу одержуємо

Наслiдок 7. Добуток двох пiдстановок одинакової парностi є парноюпiдстановкою, а рiзної парностi — непарною. Для довiльної пiдста-новки обернена до неї пiдстановка має таку саму парнiсть.

Доведення. Якщо розкласти у добуток транспозицiй кожен з множникiв,то розклад добутку у добуток транспозицiй одержимо приписуваннямцих розкладiв, тобто число транспозицiй у розкладi добутку дорiвнюєсумi чисел транспозицiй у множниках. Обернену пiдстановку до заданої,котра розкладена в добуток транспозицiй, отримаємо, якщо запишемоцей добуток у зворотному порядку. Залишається застосувати попереднютеорему.

Для кожної пiдстановки π визначимо її знак рiвнiстю

sign(π) =

1, якщо π — парна

−1, якщо π — непарна.

З останнього твердження одразу одержуємо таку властивiсть знаку пiдста-новки:

Твердження 17. Для довiльних пiдстановок π, σ ∈ Sn мають мiсцерiвностi

sign(π · σ) = sign(π) · sign(σ)

sign(π−1) = sign(π).

Доведення. Для доведення першої рiвностi досить розглянути випадки,коли множники мають або одинакову, або рiзну парнiсть, i застосуватинаслiдок 7. Друга рiвнiсть є переформулюванням другої частини цьогонаслiдку.

61

18 Визначники

Будемо розглядати лише квадратнi матрицi над полем P . Кожнiй такiйматрицi поставимо у вiдповiднiсть деякий елемент поля P , який назвемовизначником цiєї матрицi (з означення буде видно, що його легко можнаперенести на матрицi, елементи яких належать дещо ширшому класумножин, нiж поля).

Означення 12. Визначником квадратної матрицi

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

порядку n над полем P називається елемент поля P , який позначає-ться символом det(A) або |A| i обчислюється за формулою

det(A) =∑π∈Sn

sign(π)a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n). (11)

Також для позначення визначника цiєї матрицi вживається запис∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .З означення випливає, що визначник матрицi порядку n — це сума n!

доданкiв, кожен з яких є добутком рiвно n елементiв цiєї матрицi, взятихпо одному з кожного її рядка та стовпчика, причому знак такого добуткудорiвнює знаку пiдстановки, визначеної вибором цих елементiв (ця пiдста-новка переводить номер i рядка матрицi у той номер j її стовпчика, щов добутку взято елемент i-того рядка матрицi, який стоїть саме у j-томустовпчику).

Наприклад, добуток a13a24a32a41a55 елементiв матрицi порядку 5входить у таку суму зi знаком “−”, у той час як добуток a13a24a33a41a55

не входить взагалi.

62

Для матриць порядкiв 1, 2 i 3 отримаємо такi формули для обчисленняїх визначникiв:

A = (a11), det(A) = a11.

A =

(a11 a12

a21 a22

), det(A) = a11a22 − a12a21.

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

det(A) = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32.

Приклад 1. Визначник трикутної матрицi дорiвнює добутку дiаго-нальних елементiв цiєї матрицi:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22 . . . ann.

Справдi, в розкладi (11) для такої матрицi єдиний доданок немiстить нульового множника. Цим доданком i є добуток дiагональнихелементiв матрицi. Йому вiдповiдає тотожна пiдстановка, яка єпарною.

Як видно з означення, для знаходження визначника матрицi необ-хiдно обчислювати досить велику кiлькiсть добуткiв елементiв початковоїматрицi (24 для матрицi порядку 4, 120 для матрицi порядку 5 i т.д.).Тому знаходять визначники, як правило, використовуючи їх властивостi,до розгляду найпростiших з яких ми зараз i переходимо.

Спочатку розглянемо твердження про рiвноправнiсть рядкiв та стов-пчикiв для обчислення визначника.

Твердження 18. Для довiльної квадратної матрицi A має мiсцерiвнiсть

det(AT ) = det(A).

63

Доведення. Нехай

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

.

Для довiльної пiдстановки π ∈ Sn добуток a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n) входить уформулу для обчислення det(A) зi знаком sign(π). Але цей самий добутоктакож входить i у формулу для обчислення det(AT ), причому зi знакомsign(π−1) = sign(π), оскiльки знак довiльної пiдстановки дорiвнює знакуоберненої до неї. При цьому кожен доданок у формулi для обчисленняdet(A) має саме такий вигляд для деякої пiдстановки з Sn. Таким чином,кожен доданок, присутнiй у сумi для обчислення det(A), зустрiнеться i усумi для обчислення det(AT ), i навпаки, тобто det(AT ) = det(A).

Оскiльки рядками транспонованої матрицi є стовпчики початкової, тодоведене твердження зокрема означає, що всi властивостi визначникаматрицi, сформульованi у термiнах її рядкiв, залишаються правильними,якщо їх сформулювати у термiнах стовпчикiв. Тому далi будемо розгля-дати лише твердження, якi стосуються рядкiв, пам’ятаючи про справедли-вiсть аналогiчних тверджень для стовпчикiв. Зокрема, коли будуть вико-ристовуватися тi чи iншi властивостi для стовпчикiв, будемо посилатисялише на вiдповiднi властивостi для рядкiв.

Для формулювання ряду властивостей визначника зручно iнтерпрету-вати його наступним чином. Нехай рядками матрицi

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

(12)

є система векторiв v1, . . . ,vn. Матриця A повнiстю визначається своєюсистемою векторiв-рядкiв v1, . . . ,vn, якi належать арифметичному вектор-ному простору Pn. Тодi визначник матрицi можна розглядати, як функцiювiд n змiнних, яка цiй системi векторiв ставить у вiдповiднiсть певний

64

елемент поля P . Таким чином, маємо вiдображення

det : Pn × . . .× Pn︸ ︷︷ ︸n

→ P.

Твердження 19 (нормованiсть визначника). Для стандартного базисуe1, e2, . . . , en простору Pn має мiсце рiвнiсть

det(e1, e2, . . . , en) = 1.

Доведення. Ця рiвнiсть є наслiдком прикладу 1.

Твердження 20 (полiлiнiйнiсть визначника). Для довiльних векторiвv1, . . . ,vn,u ∈ Pn i скаляра λ ∈ P мають мiсце рiвностi

det(v1, . . . , λvi, . . . ,vn) = λ det(v1, . . .vi, . . . ,vn),

det(v1, . . . ,vi + u, . . . ,vn) = det(v1, . . . ,vi, . . . ,vn) + det(v1, . . . ,u, . . . ,vn),

де 1 ≤ i ≤ n.

Доведення. Нехай векторами v1, . . . ,vn є рядки матрицi (12). Тодi

det(v1, . . . , λvi, . . . ,vn) =∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . (λaiπ(i)) . . . anπ(n) =

λ∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . aiπ(i) . . . anπ(n) = λ det(v1, . . .vi, . . .vn),

тобто перша з рiвностей має мiсце.Нехай u = (b1, b2, . . . , bn). Тодi

det(v1, . . . ,vi+u, . . . ,vn) =∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . (aiπ(i)+bπ(i)) . . . anπ(n) =

∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . aiπ(i) . . . anπ(n) +∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . bπ(i) . . . anπ(n) =

det(v1, . . . ,vi, . . . ,vn) + det(v1, . . . ,u, . . . ,vn),

тобто має мiсце i друга рiвнiсть.

65

Наслiдок 8. Визначник матрицi, у якої один з рядкiв нульовий,дорiвнює нулю.

Доведення. Нехай у матрицi A один з рядкiв є нульовим. Помножимонульовий рядок матрицi A на 0 i позначимо отриману матрицю символомB. Тодi, з одного боку, матриця не змiниться, тобто B = A i det(B) =

det(A). А з iншого, за щойно доведеним, det(B) = 0 · det(A) = 0, звiдкимаємо потрiбне твердження.

Зауважимо, що твердження, сформульоване в наслiдку, можна вивестиi безпосередньо з означення визначника.

Твердження 21 (знакозмiннiсть визначника). Для довiльних векторiвv1, . . . ,vn ∈ Pn має мiсце рiвнiсть

det(v1, . . . ,vi, . . . ,vj , . . . ,vn) = −det(v1, . . . ,vj , . . . ,vi, . . . ,vn),

де 1 ≤ i < j ≤ n.

Доведення. Нехай векторами v1, . . . ,vn є рядки матрицi (12). Тодi

det(v1, . . . ,vi, . . . ,vj , . . . ,vn) =∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . aiπ(i) . . . ajπ(j) . . . anπ(n) =

(за лемою 4) =∑π∈Sn

(−sign(π))a1π(1) . . . aiπ(j) . . . ajπ(i) . . . anπ(n) =

−∑π∈Sn

sign(π)a1π(1) . . . ajπ(i) . . . aiπ(j) . . . anπ(n) = −det(v1, . . . ,vj , . . . ,vi, . . . ,vn),

що й потрiбно було довести.

Наслiдок 9. Якщо у матрицi iснує два рiвних рядки, то її визначникдорiвнює 0.

Доведення. Нехай у матрицi A один iснують рiвнi рядки. Переставимо їхi позначимо отриману матрицю символом B. Тодi, з одного боку, матрицяне змiниться, тобто B = A i det(B) = det(A). А з iншого, за твердженням21, det(B) = −det(A), звiдки маємо потрiбне твердження.

66

Наслiдок 10. Для довiльних векторiв v1, . . . ,vn,u ∈ Pn, скаляра λ ∈ Pта чисел i, j (1 ≤ i, j ≤ n) має мiсце рiвнiсть

det(v1, . . . ,vi + λvj , . . . ,vn) = det(v1, . . .vi, . . . ,vn).

Доведення. Потрiбна рiвнiсть отримується застосуванням спочатку твер-дження 20, а потiм наслiдка 9.

Доведенi твердження про визначник трикутної матрицi i поведiнкувизначника матрицi при елементарних перетвореннях її рядкiв (а такожстовпчикiв) дозволяють знаходити визначник матрицi, зводячи її елемен-тарними перетвореннями рядкiв i стовпчикiв до трикутного вигляду.

Зауважимо, що властивостi визначника як функцiї рядкiв матрицi,сформульованi у твердженнях 19, 20, 21, однозначно його визначають.Точнiше, iндукцiєю за натуральним числом n доводиться така

Теорема 17. Єдиною функцiєю, визначеною на n-тому декартовомустепенi арифметичного векторного простору Pn зi значеннями у полiP , яка має властивостi нормованостi, полiлiнiйностi i знакозмiн-ностi, є функцiя det.

19 Невиродженi матрицi

Назвемо квадратну матрицю над полем невиродженою (неособливою),якщо її визначник не дорiвнює 0. В iншому випадку матрицю називаютьвиродженою (особливою). Має мiсце

Теорема 18. Для квадратної матрицi A такi умови є рiвносильними:

1) матриця A невироджена;

2) система векторiв-рядкiв матрицi A лiнiйно незалежна;

3) система векторiв-стовпчикiв матрицi A лiнiйно незалежна;

4) ранг матрицi A дорiвнює її порядку.

67

Доведення. Рiвносильнiсть умов 2)-4) випливає з теореми про рангматрицi та твердження 11.

Покажемо, що з 1) випливає 2). Припустимо, що рядки невиродженоїматрицi лiнiйно залежнi. Тодi за твердженням 6 iснує рядок, який лiнiйновиражається через iншi. Тобто iснує такий рядок, що додавши до ньоголiнiйну комбiнацiю iнших рядкiв, на його мiсцi отримаємо нульовий рядокi за наслiдком 8 так отримана матриця буде виродженою. Але за наслiдком10 при такому перетвореннi рядкiв визначник матрицi не змiнюється.Отже, початкова матриця також вироджена, що суперечить припущенню.

Доведемо, що з 4) випливає 1). Нехай ранг квадратної матрицiA дорiвнює її порядку. За теоремою 7 елементарними перетвореннямирядкiв i стовпчикiв цю матрицю можна звести до одиничної, визначникякої дорiвнює 1, тобто вона невироджена. Але за твердженнями 20, 21i наслiдком 10 при елементарних перетвореннях рядкiв та стовпчикiввизначник матрицi множиться на деякий ненульовий елемент поля P .Тобто невироджена матриця залишається невиродженою i навпаки. Отже,матриця A є невиродженою.

У подальшому буде сформульовано ще одну умову, рiвносильну умовамцiєї теореми.

Для невироджених матриць можна сформулювати теорему, якапосилює твердження теореми 7.

Теорема 19. Квадратна матриця є невиродженою тодi й лише тодi,коли елементарними перетвореннями лише її рядкiв (або лише стов-пчикiв), вона зводиться до одиничної.

Доведення. Оскiльки при елементарних перетвореннях рядкiв та стов-пчикiв матрицi зберiгається умова її невиродженостi, а одинична матрицяневироджена, то достатнiсть має мiсце.

Проведемо доведення необхiдностi для рядкiв. Для стовпчикiв воноаналогiчне. Iндукцiя за порядком матрицi. Для невиродженої матрицi

68

порядку 1 твердження правильне. Нехай матриця

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

невироджена, n > 1. Це означає, що всi її стовпчики ненульовi. Зокрема,в першому стовпчику є ненульовий елемент. Якщо таким елементом єелемент i-того рядка, то переставивши перший рядок з i-тим, одержимоматрицю, в якої ненульовим є елемент першого стовпчика першого рядка.Тому можемо вважати, що елемент a11 вiдмiнний вiд 0. Спочатку домно-жимо перший рядок на a−1

11 . Потiм до другого рядка додамо перший,домножений на −a21, i т.д, до n-того рядка додамо перший, домноженийна −an1. В результатi одержимо матрицю

A1 =

1 b12 · · · b1n0 b22 · · · b2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 bn2 · · · bnn

,

яка є невиродженою. Матриця

B =

b22 · · · b2n. . . . . . . . . . . . . . . . .

bn2 · · · bnn

має порядок n−1 i також є невиродженою. Справдi,якби матриця B вияви-лась виродженою, тобто її рядки були б лiнiйно залежною системою, авiдтак i рядки матрицi були б лiнiйно залежною системою, що супере-чить невиродженостi A1. Застосувавши припущення iндукцiї до матрицiB, одержуємо, що матриця A1 зводиться елементарними перетвореннямирядкiв до матрицi

A2 =

1 b12 b13 · · · b1n0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 · · · 0

.

69

Тепер, щоб отримати одиничну матрицю, залишається в отриманiйматрицi A2 додати до першого рядка другий рядок, домножений на −b12,третiй рядок, домножений на −b13, i т.д., n-тий рядок, домножений на−b1n. Теорему доведено.

20 Обчислення визначникiв

Для обчислення визначникiв, окрiм елементарних перетворень рядкiв iстовпчикiв матрицi, використовують формулу розкладу за рядком (абостовпчиком), до розгляду якої ми зараз i переходимо.

Розглянемо матрицю

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

, n ≥ 2.

Виберемо довiльнi номери i та j, 1 ≤ i, j ≤ n. Розглянемо матрицю, отри-ману з матрицi A пiсля вилучення її i-того рядка та j-того стовпчика(тобто того рядка i стовпчика, у яких знаходиться елемент aij). При цьомувзаємне розташування один вiдносно одного тих елементiв, що залишаю-ться, не змiнюється. Нова матриця є квадратною порядку n− 1. Назвемовизначник цiєї матрицi доповнюючим мiнором до елемента aij матрицi Ai позначимо його символом Mij . Алгебраїчним доповненням елемента aijназвемо добуток (−1)i+jMij i позначимо його Aij . Приєднаною матрицеюдо матрицi A називається матриця

adj(A) =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A1n A2n · · · Ann

,

тобто приєднана матриця до матрицi A одержується замiною кожногоелемента його алгебраїчним доповненням, а потiм транспонуванням отри-маної матрицi. Має мiсце

70

Теорема 20 (формула розкладу визначника за рядком). Нехай A =

(aij)ni,j=1 — матриця над полем P , n ≥ 2. Для довiльного i, 1 ≤ i ≤ n

має мiсце рiвнiсть

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin. (13)

Доведення. 1. Розглянемо спочатку матрицю

A =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

i доведемо твердження теореми для i = 1. Потрiбно довести рiвнiсть

detA = a11A11.

Враховуючи, що у першому рядку матрицi A всi елементи, починаючи здругого, рiвнi 0, за означенням визначника маємо

detA =∑

π∈Sn,π(1)=1

sign(π)a11a2π(2) . . . anπ(n) = a11

∑π∈Sn,π(1)=1

sign(π)a2π(2) . . . anπ(n).

З iншого боку

a11A11 = a11(−1)1+1M11 = a11

∑τ∈Sn−1

sign(τ)a2τ(1)+1 . . . anτ(n−1)+1.

Тепер кожнiй пiдстановцi π ∈ Sn, для якої виконана рiвнiсть π(1) = 1,поставимо у вiдповiднiсть пiдстановку τ ∈ Sn−1, яка визначається заправилом

τ(1) = π(2)− 1, . . . , τ(n− 1) = π(n)− 1.

Така вiдповiднiсть буде взаємно однозначною, причому вона зберiгаєпарнiсть. Це й доводить потрiбну рiвнiсть.

2. Нехай тепер у матрицi A всi елементи i-того рядка, крiм, можливо,елемента aij , рiвнi 0. Переставивши кожен рядок цiєї матрицi, починаючиз i-того, з попереднiм (всього i−1 перестановок), а потiм кожен стовпчик,

71

починаючи з j-того, з попереднiм (всього j − 1 перестановок), отримаємоматрицю B такого ж вигляду, як i розглянута в попередньому випадку.Тодi елементом першого рядка i першого стовпчика матрицi B стане aij ,а його доповнюючим мiнором буде Mij . Застосовуючи до неї доведенурiвнiсть, отримаємо, враховуючи знакозмiннiсть визначника,

detA = (−1)i−1+j−1 detB = (−1)i+jaijMij = aijAij .

3. Розглянемо тепер загальний випадок. Подамо i-тий рядок матрицi Aу виглядi суми n векторiв:

(ai1, ai2, . . . , ain) = (ai1, 0, . . . , 0) + (0, ai2, 0, . . . , 0) + . . .+ (0, . . . , 0, ain).

Застосовуючи тепер лiнiйнiсть визначника, а потiм отриману в попере-дньому випадку рiвнiсть до кожного з n визначникiв, у суму яких розкла-деться detA, одержимо потрiбну рiвнiсть.

Зазначимо, що на основi рiвностi (20) можна розглядати iндуктивне запорядком квадратної матрицi означення визначника.

Наступне твердження iнколи називають формулою розкладу визна-чника за чужим рядком.

Твердження 22. Нехай A = (aij)ni,j=1 — матриця над полем P , n ≥ 2.

Для довiльних i, j, 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, має мiсце рiвнiсть

ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . .+ ainAjn = 0. (14)

Доведення. Замiнимо в матрицi A j-тий рядок i-тим. Одержимо матрицюз двома рiвними рядками, а тому її визначник рiвний нулю. Застосувавшиж до цiєї матрицi формулу розкладу за j-тим рядком, одержимо потрiбнурiвнiсть.

Введемо для довiльних i, j символ Кронекера

δij =

1, якщо i = j

0, якщо i 6= j.

72

Тодi формули розкладу визначника матрицi A = (aij)ni,j=1 за рядком та

чужим рядком можна об’єднати в одну рiвнiсть:

ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . .+ ainAjn = δij detA, 1 ≤ i, j ≤ n.

Враховуючи рiвноправнiсть рядкiв та стовпчикiв при обчисленнi визна-чника, також матимемо аналогiчнi формули розкладу визначника за стов-пчиком та за чужим стовпчиком.

Формула розкладу визначника за рядком (стовпчиком) має глибокеузагальнення. Щоб його сформулювати, спочатку дамо означення мiнораматрицi. Розглянемо матрицю

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

.

Виберемо в нiй деякi m рядкiв i m стовпчикiв, 1 ≤ m ≤ min(k, n).Визначник матрицi, утвореної з вибраних елементiв, називається мiноромпорядку m цiєї матрицi. Якщо вибрано рядки з номерами i1 < i2 < . . . <

im i стовпчики з номерами j1 < j2 < . . . < jm, то вiдповiдним мiноромбуде визначник ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ai1j1 ai1j2 · · · ai1jmai2j1 ai2j2 · · · ai2jm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aimj1 aimj2 · · · aimjm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Позначимо його M(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm). Неважко переконатись, щоу матрицi типу (k, n) всього є Cmk ·Cmn мiнорiв порядку m. Самi елементиматрицi при цьому можна ототожнити з мiнорами порядку 1.

Для мiнора M(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm) квадратної матрицiпорядку n доповнюючим мiнором назвемо мiнор порядку n − m,утворений усiма елементами матрицi, якi залишилися пiсля виборумiнора M(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm). Добуток доповнюючого мiнорана (−1)i1+i2+...+im+j1+j2+...+jm назвемо алгебраїчним доповне-нням до мiнора M(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm) i позначимо йогоA(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm). Має мiсце

73

Теорема 21 (Лапласа). Нехай A — матриця порядку n i натуральнычисла i1, i2, . . . , im такi, що 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ n. Тодi

detA =∑

1≤j1<j2<...<jm≤n

M(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm)A(i1, i2, . . . , im; j1, j2, . . . , jm).

Верхньою блочно трикутною назвемо квадратну матрицю, яка маєвигляд

A1 ∗ · · · ∗O A2 · · · ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O O · · · Ak

.

для деяких квадратних матриць A1, A2, . . . , Ak, якi називають блокамицiєї матрицi. Аналогiчно визначається нижня блочно трикутна матриця.Блочно-дiагональною назвемо матрицю, яка є одночасно i верхньо iнижньо трикутною. Як простий наслiдок з теореми Лапласа одержуємо,що визначник блочно трикутної матрицi дорiвнює добутку її блокiв.

21 Застосування визначникiв

Одним iз найвiдомiших застосувань визначникiв є дослiдження за їхдопомогою квадратних систем лiнiйних рiвнянь. Розглянемо квадратнусистему лiнiйних рiвнянь над полем P

a11x1 +a12x2+ · · · +a1nxn = b1a21x1 +a22x2+ · · · +a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1 +an2x2+ · · · +annxn = bn

(15)

Її основною матрицею є матриця

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

.

74

Позначимо символом ∆ визначник матрицi A. Символом ∆i позначимовизначник матрицi, отриманої з матрицi A замiною її i-того стовпчикастовпчиком вiльних членiв заданої системи лiнiйних рiвнянь, 1 ≤ i ≤ n.Має мiсце

Теорема 22 (Крамера). Квадратна система лiнiйних рiвнянь є визна-ченою тодi й тiльки тодi, основна матриця цiєї системи невироджена.Єдиний розв’язок визначеної системи лiнiйних рiвнянь (15) має вигляд(

∆1

∆, . . . ,

∆n

∆

).

Доведення. Квадратна система лiнiйних рiвнянь за теоремою 9 будевизначеною тодi й тiльки тодi, коли ранг її основної матрицi дорiвнюєрангу розширеної i дорiвнює кiлькостi невiдомих. Це буде виконуватисьтодi й лише тодi, коли ранг її основної матрицi дорiвнює її порядку, що затеоремою 18 рiвносильно невиродженостi цiєї матрицi.

Нехай тепер система лiнiйних рiвнянь (15) визначена i єдиним їїрозв’язком є вектор

(α1, . . . , αn).

Тодi мають мiсце такi n рiвностей:

a11α1 +a12α2+ · · · +a1nαn = b1a21α1 +a22α2+ · · · +a2nαn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1α1 +an2α2+ · · · +annαn = bn

.

Зафiксуємо довiльний номер j, 1 ≤ j ≤ n. Домножимо першу з цих рiвно-стей на A1j , другу — на A2j , i так далi, n-ту — на Anj , а потiм всiотриманi рiвностi додамо:

α1(a11A1j+a21A2j+. . .+an1Anj)+. . .+αj−1(a1j−1A1j+a2j−1A2j+. . .+anj−1Anj)+

αj(a1jA1j+a2jA2j+. . .+anjAnj)+αj+1(a1j+1A1j+a2j+A2j+. . .+anj+1Anj)+. . .+

αn(a1nA1j + a2nA2j + . . .+ annAnj) = b1A1j + b2A2j + . . .+ bnAnj .

Всi суми в дужках у лiвiй частинi останньої рiвностi, крiм j-тої, рiвнiнулю за формулою розкладу за чужим стовпчиком. За формулою розкладу

75

визначника за стовпчиком j-та сума буде дорiвнювати ∆, а сума у правiй

частинi рiвностi — ∆j . Отже αj∆ = ∆j , звiдки αj =∆j

∆i теорему дове-

дено.

Ще одним важливим застосуванням визначникiв є обчислення за їхдопомогою рангу матрицi. Назвемо мiнорним рангом матрицi найбiльшийз порядкiв її ненульових мiнорiв.

Теорема 23. Мiнорний ранг матрицi дорiвнює її рангу.

Доведення. Нехай мiнорний ранг матрицi A дорiвнює r, а її рядковий рангдорiвнює s. Покажемо, що r = s.

Розглянемо якийсь ненульовий мiнор порядку r матрицi A. Виберемо тir рядкiв цiєї матрицi, з елементiв яких утворено вибраний мiнор. Припу-стимо, що цi рядки утворюють лiнiйно залежну систему. Це означає, щоранг матрицi B, утвореної з вибраних рядкiв, строго менший за r. Але тодiкожна система r стовпчикiв матрицi B є лiнiйно залежною. За критерiємневиродженостi матрицi це означає, що кожен мiнор порядку r матрицiB є нульовим. Але одним з цих мiнорiв є вибраний ненульовий мiнорматрицi A. Суперечнiсть. Отже, матриця A має r-елементну лiнiйно неза-лежну систему рядкiв i тому r ≤ s.

Виберемо якi-небудь s рядкiв матрицi A, якi утворюють лiнiйно неза-лежну систему. Тодi матриця, утворена з вибраних рядкiв, буде матиранг s. Тому в нiй знайдуться такi s стовпчикiв, якi утворюють лiнiйнонезалежну систему. За критерiєм невиродженостi матрицi це означає, щовизначник матрицi, утвореної елементами цих стовпчикiв, є ненульовим.Але цей визначник є мiнором порядку s матрицi A. Звiдси r ≥ s, а вiдтакмаємо рiвнiсть r = s.

22 Алгебра матриць

Будемо розглядати матрицi над полем P . Визначимо три арифметичнi дiїдля таких матриць: дiю множення елементiв поля P на матрицi, дiю дода-вання матриць i дiю множення матриць.

76

Для довiльного елемента λ ∈ P i матрицi

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

визначимо добуток λ ·A, поклавши

λ ·A =

λa11 λa12 · · · λa1n

λa21 λa22 · · · λa2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

λak1 λak2 · · · λakn

.

Таким чином визначається добуток довiльного елемента поля на матрицюнад цим полем.

Для довiльних двох матриць одинакового типу

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

i B =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bk1 bk2 · · · bkn

їх сумою A+B назвемо матрицю, визначену таким чином:

A+B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 + bk1 ak2 + bk2 · · · akn + bkn

.

Для матриць рiзного типу сума не визначається.Розглянемо тепер двi матрицi

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 · · · akn

i B =

b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bn1 bn2 · · · bnm

77

типiв (k, n) i (n,m) вiдповiдно. Визначимо добуток A ·B як матрицю типу(k,m) таку, що

A ·B =

c11 c12 · · · c1mc21 c22 · · · ccm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ck1 ck2 · · · ckm

,

де cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ m. Для матрицьiнших типiв добуток не визначено.

Введенi дiї мають ряд властивостей, якi аналогiчнi властивостям дода-вання i множення елементiв поля P . А саме, мають мiсце рiвностi (малимигрецькими лiтерами позначено елементи поля P , а великими латинськими— матрицi над цим полем, причому в кожному випадку розглядаютьсятакi матрицi, що вiдповiднi дiї над ними визначенi):

1) (λµ)A = λ(µA).

2) 1A = A.

3) (λ+ µ)A = λA+ µA.

4) λ(A+B) = λA+ λA.

5) A+B = B +A. (комутативнiсть додавання матриць)

6) (A+B) + C = A+ (B + C). (асоцiативнiсть додавання матриць)

7) A + O = A. (iснування нейтрального елемента вiдносно додаванняматриць однакового типу)

8) для довiльної матрицi A iснує матриця −A така, що A+ (−A) = O,причому −A = (−1)A (iснування протилежної матрицi)

9) λ(AB) = (λA)B.

10) (AB)C = A(BC). (асоцiативнiсть множення матриць)

11) для довiльної матрицi A типу (k, n) мають мiсце рiвностi EkA =

AEn = A. (iснування нейтрального елемента вiдносно множенняматриць)

78

12) A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA. (дистрибутивнiстьмноження матриць вiдносно додавання)

Доведення цих рiвностей здiйснюється за допомогою безпосереднiх обчи-слень i використання вiдповiдних властивостей дiй додавання i множенняелементiв поля. Наведемо доведення асоцiативностi множення матриць.

Нехай задано матрицi A = (aij)k,li,j=1, B = (bij)

l,mi,j=1, C = (cij)

m,ni,j=1.

Позначимо D = AB, E = DC, F = BC, G = AF . Потрiбно показати, щоE = G. Нехай D = (dij)

k,mi,j=1, E = (eij)

k,ni,j=1, F = (fij)

l,ni,j=1, G = (gij)

k,ni,j=1.

Для довiльних номерiв i, j таких, що 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n, за означеннямдобутку матриць матимемо

eij =

m∑r=1

dircrj =

m∑r=1

(l∑

s=1

aisbsr

)crj ,

gij =

l∑s=1

aisfsj =

l∑s=1

ais

(m∑r=1

bsrcrj

),

звiдки вiдразу випливає рiвнiсть eij = gij . Це й означає, що (AB)C =

A(BC).У той же час множення матриць не є комутативною дiєю. Якщо визна-

чено добуток AB, то добуток BA може бути i не визначеним, або вiн можебути визначеним, але є матрицею iншого типу, нiж AB. Але навiть якщообидва добутки визначенi i мають одинаковi типи, то й у цьому випадкувони не завжди рiвнi. Для прикладу розглянемо квадратнi матрицi другогопорядку

A =

(0 1

1 0

)i B =

(0 1

−1 0

).

Тодi

AB =

(−1 0

0 1

), BA =

(1 0

0 −1

)i AB 6= BA.

Використовуючи поняття добутку матриць, можемо ввести так звануматричну форму системи лiнiйних рiвнянь. А саме, для системи лiнiйних

79

рiвнянь a11x1 +a12x2+ · · · +a1nxn = b1a21x1 +a22x2+ · · · +a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak1x1 +ak2x2+ · · · +aknxn = bk

введемо позначення A для її основної матрицi,

x =

x1

x2

...xn

i v =

b1b2...bn

.

В цих позначеннях рiвнiстьA · x = v

називається матричною формою заданої системи лiнiйних рiвнянь.

23 Визначник добутку матриць

Основне твердження, яке зараз буде розглядатись, стосується визначникадобутку квадратних матриць однакового порядку.

Спочатку покажемо, що рядки i стовпчики добутку двох матриць єлiнiйними комбiнацiями рядкiв i стовпчикiв множникiв. Точнiше, маємiсце

Лема 7. Кожен рядок добутку матриць AB є лiнiйною комбiна-цiєю рядкiв матрицi B з коефiцiєнтами iз рядка з тим же номеромматрицi A. Кожен стовпчик матрицi AB є лiнiйною комбiнацiєю стов-пчикiв матрицi A з коефiцiєнтами зi стовпчика з тим самим номеромматрицi B.

Доведення. Доведемо твердження леми для рядкiв. Для стовпчикiв вонодоводиться аналогiчно. Нехай A = (aij)

k,ni,j=1, B = (aij)

n,mi,j=1. Зафiксуємо

довiльний номер i, 1 ≤ i ≤ k. Тодi i-тий вектор-рядок матрицi AB матиме

80

вигляд:

(

n∑s=1

aisbs1,

n∑s=1

aisbs2, . . . ,

n∑s=1

aisbsm) = (ai1b11, ai1b12, . . . , ai1b1m)+

(ai2b21, ai2b22, . . . , ai2b2m) + . . . (ainbn1, ainbn2, . . . , ainbnm) =

ai1(b11, b12, . . . , b1m) + ai2(b21, b22, . . . , b2m) + . . .+ ain(bn1, bn2, . . . , bnm),

звiдки й випливає необхiдне твердження.

Як простий наслiдок звiдси одержуємо

Твердження 23. Ранг добутку матриць не перевищує ранг кожного змножникiв.

Доведення. Оскiльки стовпчики добутку матриць є лiнiйними комбiна-цiями стовпчикiв першого множника, тобто лежать в лiнiйнiй оболонцiсистеми векторiв-стовпчикiв першого множника, то стовпчиковий рангдобутку не перевищує стовпчиковий ранг першого множника. Аналогiчнодля другого множника.

Нам знадобиться також таке допомiжне твердження:

Лема 8. Нехай A — квадратна матриця порядку n, v1,v2, . . . ,vn— система її векторiв-рядкiв. Для довiльних натуральних чиселi1, i2, . . . , in ∈ 1, 2, . . . , n має мiсце рiвнiсть

det(vi1 ,vi2 , . . . ,vin) =

0, якщо серед чисел i1, i2, . . . , in є рiвнi

signπ detA, де π =

1 2 . . . n

i1 i2 . . . in

в iншому випадку .

Доведення. Якщо серед чисел i1, i2, . . . , in є рiвнi, то у матрицi, системоювекторiв-рядкiв якої є vi1 ,vi2 , . . . ,vin , буде принаймнi два рiвних рядки iїї визначник буде дорiвнювати нулю.

Якщо ж числа i1, i2, . . . , in є попарно рiзними, то це означає, щосеред них рiвно по одному разу зустрiчається кожне з чисел з множини

81

1, 2, . . . , n. Тому серед векторiв vi1 ,vi2 , . . . ,vin по одному разу зустрiча-ються всi вектори-рядки матрицi A. Щоб отримати з матрицi A матрицю,рядками якої є vi1 ,vi2 , . . . ,vin , потрiбно виконати таку кiлькiсть переста-новок її рядкiв, якою є кiлькiсть множникiв у розкладi пiдстановки

π =

(1 2 . . . n

i1 i2 . . . in

)в добуток транспозицiй. Враховуючи теорему 16 i твердження 21 звiдсиодразу одержимо потрiбну рiвнiсть.

Теорема 24 (про визначник добутку матриць). Нехай A i B — квадратнiматрицi одного порядку. Тодi

det(A ·B) = detA · detB.

Доведення. Нехай

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

i системою векторiв-рядкiв матрицi B є v1,v2, . . . ,vn. За лемою 7 маємо

A ·B =

a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvna21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1v1 + an2v2 + · · ·+ annvn

.

Користуючись полiлiнiйнiстю визначника, послiдовно отримуємо

det(A ·B) =

n∑i1=1

a1i1 det

vi1

a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1v1 + an2v2 + · · ·+ annvn

= . . . =

n∑i1=1

n∑i2=1

. . .

n∑in=1

ai1ai2 . . . ain det

vi1vi2. . . .

vin

.

82

Тепер до кожного з nn отриманих визначникiв застосуємо лему 8. Зацiєю лемою, ненульовими доданками у цiй сумi можуть бути лише тi, якiвiдповiдають наборам i1, i2, . . . , in попарно рiзних чисел. Позначаючи длякожного такого набору символом π пiдстановку(

1 2 . . . n

i1 i2 . . . in

),

знову використовуючи лему 8, будемо мати

det(A ·B) =∑π∈Sn

a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n) det

vπ(1)

vπ(2)

. . . . . .

vπ(n)

=

∑π∈Sn

a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n)sign(π) detB =

detB∑π∈Sn

sign(π)a1π(1)a2π(2) . . . anπ(n) = detA · detB.

Теорему доведено.

24 Обернена матриця

Тут будемо розглядати тiльки квадратнi матрицi над деяким полем.

Означення 13. Оберненою матрицею до квадратної матрицi A нази-вається така матриця B, що A ·B = B ·A = E.

Таким чином, з означення вiдразу випливає, що обернена матриця доматрицi порядку n також є квадратною матрицею порядку n i їх добуток(незалежно вiд порядку множникiв) є одиничною матрицею порядку n.

Твердження 24. Якщо у матрицi A iснує обернена, то вона єдина.

Доведення. Нехай матрицi B1 i B2 — оберненi до A. Тодi, використо-вуючи поведiнку одиничної матрицi при множеннi на матрицi, асоцiатив-нiсть множення матриць та означення оберненої матрицi, маємо ланцюжок

83

рiвностей

B1 = B1 · E = B1 · (A ·B2) = (B1 ·A) ·B2 = E ·B2 = B2,

звiдки й випливає потрiбне твердження.

Обернену матрицю до матрицi A, якщо вона iснує, позначають A−1.Зазначимо, що коли у матриць A i B iснують оберненi, то i їх добутокAB також має обернену, причому (AB)−1 = B−1A−1.

Критерiй iснування оберненої матрицi встановлює така

Теорема 25. Для матрицi A iснує обернена тодi й тiльки тодi, колиA невироджена.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай для матрицi A iснує обернена матрицяA−1. За теоремою про визначник добутку матриць маємо

1 = detE = det(A ·A−1) = detA · detA−1,

звiдки вiдразу випливає, що detA 6= 0, тобто A — невироджена.Достатнiсть. Нехай матриця

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

невироджена. Якщо n = 1, то твердження правильне. Нехай n > 2.Покажемо, що матриця B = (detA)−1adj(A) буде оберненою до A. Якi ранiше, символом Aij позначається алгебраїчне доповнення до елементаaij , 1 ≤ i, j ≤ n. Тодi

B =1

detA

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A1n A2n · · · Ann

.

У добутку A ·B елемент i-того рядка j-того стовпчика буде дорiвнювати

1

detA(ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . .+ ainAjn), 1 ≤ i, j ≤ n.

84

За теоремою про розклад визначника за рядком i лемою про розкладвизначника за чужим рядком сума в дужках буде дорiвнювати δij detA.Таким чином, елемент i-того рядка j-того стовпчика матрицi A · Bдорiвнює δij , тобто A · B = E. Аналогiчно доводиться, що B · A = E.Теорему доведено.

Безпосередньо з доведення попередньої теореми виводиться

Наслiдок 11. Нехай A — невироджена матриця порядку n. Тодi

1) det(A−1) = (detA)−1.

2) Якщо n > 1, то A−1 = (detA)−1adj(A).

3) Якщо n > 1, то det adj(A) = (detA)n−1.

Розглянемо в якостi прикладу випадок невиродженої матрицi порядку2. Нехай

A =

(a b

c d

)i ad− bc 6= 0.

Тодi за цим наслiдком

A−1 =1

ad− bc

(d −b−c a

).

Поняття оберненої матрицi дозволяє зокрема отримати компактну формурозв’язку визначеної квадратної системи лiнiйних рiвнянь. А саме, нехайквадратна система лiнiйних рiвнянь

A · x = v

є визначеною, що за теоремою Крамера рiвносильно невиродженостiматрицi A. Тодi єдиний розв’язок цiєї системи буде дорiвнювати

A−1 · v.

Пiдставляючи в останнiй добуток значення оберненої матрицi через приєд-нану i виконуючи множення, отримаємо тi ж самi рiвностi для координатрозв’язку, що й у теоремi Крамера.

85

25 Елементарнi матрицi

Будемо розглядати квадратнi матрицi порядку n над полем P . Длядовiльної пари натуральних чисел i, j (1 ≤ i, j ≤ n) розглянемо матрицюIij , в якої елемент i-того рядка j-того стовпчика дорiвнює 1, а всi iншiелементи рiвнi 0. Назвемо кожну з матриць Iij (1 ≤ i, j ≤ n) матричноюодиницею. Аналогiчно вводиться поняття матричної одиницi i для матрицьдовiльного типу, не обов’язково квадратних.

Назвемо елементарними матрицями такi матрицi:

1) Ei(λ) = E + (λ− 1)Iii, 1 ≤ i ≤ n, λ ∈ P , λ 6= 0.

2) Eij = E + Iij + Iji − Iii − Ijj , 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j.

3) Eij(λ) = E + λIij , 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, λ ∈ P .

З означення одразу отримуємо, що кожна елементарна матриця отримує-ться з одиничної застосуванням рiвно одного елементарного перетворенняїї рядкiв або стовпчикiв. Точнiше, має мiсце

Твердження 25. 1) Матриця Ei(λ) отримується множенням i-тогорядка (або стовпчика) одиничної матрицi на λ.

2) Матриця Eij отримується перестановкою i-того та j-тогорядкiв (або стовпчикiв) одиничної матрицi.

3) Матриця Eij(λ) отримується додаванням до i-того рядка одини-чної матрицi її j-того рядка, домноженого на λ (або додаваннямдо рядка j-того стовпчика одиничної матрицi її i-того стов-пчика, домноженого на λ).

Звiдси вiдразу дiстаємо, що елементарнi матрицi невиродженi (боелементарнi перетворення рядкiв не змiнюють невиродженiсть матрицi).

Основною властивiстю елементарних матриць є правило, за якимзмiнюється матриця при множеннi на елементарнi матрицi. А саме,таке множення приводить до виконання елементарного перетворення надрядками чи стовпчиками матрицi.

86

Лема 9. Для довiльної матрицi A

1) добуток Ei(λ)A отримується множенням i-того рядка матрицiA на λ;

2) добуток EijA отримується перестановкою i-того та j-тогорядкiв матрицi A;

3) добуток Eij(λ)A отримується додаванням до i-того рядкаматрицi A її j-того рядка, домноженого на λ.

Доведення. Твердження перевiряється безпосереднiм множенням або єпростим наслiдком леми 7.

Аналогiчнi твердження мають мiсце для стовпчикiв, якщо елементарнаматриця домножається справа.

Звiдси вiдразу отримуємо, що оберненi до елементарних матрицьтакож будуть елементарними (вони вiдповiдають оберненим елементарнимперетворенням). А саме, мають мiсце рiвностi:

Ei(λ)−1 = Ei(λ−1), E−1

ij = Eij , Eij(λ)−1 = Eij(−λ).

Тепер можемо сформулювати основний результат про елементарнi матрицi.

Теорема 26. Кожну невироджену матрицю можна подати у виглядiдобутку елементарних.

Доведення. Нехай матриця A невироджена. За теоремою 19 iснує послi-довнiсть елементарних перетворень її рядкiв, яка зводить цю матрицюдо одиничної. За лемою 9 це означає, що iснують елементарнi матрицiE1, E2, . . . , Em такi, що

E1E2 . . . EmA = E,

звiдкиA = E−1

m . . . E−12 E−1

1 .

Але кожна з матриць E−1m , . . . , E−1

2 , E−11 є елементарною, звiдки маємо

потрiбне твердження.

87

26 Многочлени та дiї над ними

Зафiксуємо поле P . Многочленом над полем P називається вираз f(x)

виглядуa0x

n + a1xn−1 + . . .+ an−1x+ an,

у якому коефiцiєнти a0, a1, . . . , an−1, an належать P (вони називаютьсякоефiцiєнтами многочлена), n ≥ 0. Тут x — деякий символ (його нази-вають змiнною), котрий в жодному додатному степенi не належить P ,причому x0 = 1. Сам многочлен ще називають многочленом вiд x, хочавiд позначення цього символу вiн не змiнюється. Два многочлени назива-ються рiвними, якщо у них рiвнi коефiцiєнти при вiдповiдних степенях x.Якщо всi коефiцiєнти многочлена f(x) рiвнi 0, то такий многочлен нази-вається нульовим i позначається символом 0. В iншому випадку iснуєнайбiльше n таке, що коефiцiєнт многочлена f(x) при xn є ненульовим(цей коефiцiєнт називається старшим коефiцiєнтом). Воно називаєтьсястепенем многочлена f i позначається deg f . Як правило, в стандартномузаписi многочлена не пишуть його нульових коефiцiєнтiв. Степiнь нульо-вого многочлена покладається рiвним −∞. Зауважимо, що кожен много-член f(x) нульового степеня природно ототожнюється зi своїм єдинимненульовим коефiцiєнтом, тобто має вигляд f(x) = a для деякого a ∈ P ,a 6= 0, (його ще називають тотожно рiвним a). Множину всiх многочленiвнад полем P вiд x позначатимемо символом P [x].

На множинi P [x] визначимо дiї додавання i множення. Розглянемодовiльнi многочлени

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an−1x+ an

таg(x) = b0x

m + b1xm−1 + . . .+ bm−1x+ bm.

Назвемо їх сумою многочлен (f + g)(x) такий, що його коефiцiєнтом приxk є сума вiдповiдних коефiцiєнтiв многочленiв f i g, тобто ak + bk,0 ≤ k ≤ max(n,m) (якщо n < m, то an+1 = . . . = am = 0 i аналогiчнопри n > m). Таким чином, сума многочленiв степенiв n i m вiдповiдно

88

є многочленом, степiнь якого не перевищує max(n,m). Добутком много-членiв f та g назвемо такий многочлен (fg)(x), що його коефiцiєнтом приxk є

k∑i=0

aibk−i,

0 ≤ k ≤ n + m (як i ранiше, якщо n < m, то an+1 = . . . = am = 0 iаналогiчно при n > m). Отже, добуток ненульових многочленiв степенiв ni m вiдповiдно є многочленом степеня n+m, причому старший коефiцiєнттакого добутку є добутком старших коефiцiєнтiв множникiв (зрозумiло,що результатом множення на нульовий многочлен є нульовий многочлен).Звiдси зокрема випливає, що добуток ненульових многочленiв є нену-льовим многочленом.

Визначенi дiї над многочленами мають ряд властивостей. А саме, якдодавання, так i множення є асоцiативними i комутативними. Множення єдистрибутивним вiдносно додавання. Для додавання нейтральним много-членом є нульовий многочлен, а для множення — тотожно рiвний 1.Для кожного многочлена iснує протилежний, в той час як для множенняоберненi елементи iснують лише для многочленiв нульового степеня (цевипливає з того, що при множеннi ненульових многочленiв їх степенiдодаються, а вiдтак при множеннi на многочлен додатного степеня немо-жливо отримати многочлен нульового степеня). Це означає, що множинаP [x] вiдносно введених дiй додавання i множення полем не є.

Зауважимо, що для довiльного ненульового многочлена f(x) з рiвностif(x)g(x) = f(x)h(x), яка рiвносильна рiвностi f(x)(g(x) − h(x)), вiдразувипливає рiвнiсть g(x) − h(x) = 0, тобто g(x) = h(x). Це означає,що в рiвностях многочленiв можна скорочувати на ненульовий спiльниймножник.

Основоположним результатом для вивчення многочленiв є

Теорема 27 (про дiлення з остачею). Нехай f, g — довiльнi многочленинад полем P , g 6= 0. Тодi iснують i єдинi такi многочлени q i r над P ,що

f = gq + r,

причому deg r < deg g.

89

Доведення. Зафiксуємо многочлен g, deg g = m i m ≥ 0. Доведемо твер-дження теореми для довiльного многочлена f .

Спочатку доведемо iснування многочленiв q i r. Зауважимо, що увипадку deg f < deg g (зокрема f = 0) маємо рiвнiсть

f = g · 0 + f,

тобто можемо покласти q = 0, а r = f .Проведемо iндукцiю за степенем n многочлена f .Базою iндукцiї є випадок n = 0. Потрiбно розглянути лише випадок,

коли m = n = 0. Тодi f = a, а g = b для деяких a, b ∈ P , b 6= 0, i маєморiвнiсть

f = g(ab−1) + 0.

Таким чином, можемо покласти q = ab−1 i r = 0.Припустимо тепер, що твердження доведено для всiх многочленiв f ,

степенi яких меншi за n. Розглянемо многочлен f степеня n. Можнавважати, що m ≤ n. Нехай

f(x) = a0xn + . . . , g(x) = b0x

m + . . . .

Визначимо многочлен

h(x) = f(x)− (a0b−10 )xn−mg(x).

Степiнь многочлена h буде меншим за n i тому до нього можемо застосу-вати припущення iндукцiї. Таким чином, iснують многочлени q1 i r1 такi,що

h(x) = g(x)q1(x) + r1(x) i deg r1 < deg g.

Пiдставляючи в останню рiвнiсть значення h, пiсля очевидних перетво-рень отримаємо

f(x) = g(x)(q1(x) + (a0b−10 )xn−m) + r1(x).

Поклавши тепер q(x) = q1(x) + (a0b−10 )xn−m i r(x) = r1(x), отримаємо

потрiбне твердження для многочлена f .

90

Доведемо єдинiсть. Нехай

f = gq1 + r1 = gq2 + r2

для деяких многочленiв q1, q1, r1, r2, причому deg r1 < deg g i deg r2 <

deg g. Звiдси отримуємо рiвнiсть

g(q1 − q2) = r2 − r1,

причому deg(r2−r1) < deg g. Тому, враховуючи, що g 6= 0, остання рiвнiстьможлива лише тодi, коли q1 − q2 = 0, тобто q1 = q2. Звiдси r2 − r1 = 0 ir1 = r2. Теорему доведено.

27 Подiльнiсть многочленiв

Розглядаємо лише многочлени над фiксованим полем P .Кажуть, що многочлен f(x) ∈ P [x] є дiльником многочлена g(x) ∈

P [x] або, що те ж саме, многочлен g(x) дiлиться на многочлен f(x))(позначається f(x)|g(x)), якщо iснує такий многочлен h(x) ∈ P [x], щовиконується рiвнiсть

g(x) = f(x)h(x).

Згiдно означення, нульовий многочлен є дiльником лише самого себе iдiлиться на будь-який многочлен. Основними властивостями визначеноговiдношення подiльностi на множинi многочленiв є такi

1) f(x)|f(x) (рефлексивнiсть);

2) якщо f(x)|g(x) i g(x)|h(x), то f(x)|h(x) (транзитивнiсть);

3) якщо f(x)|g(x), то для довiльного многочлена h(x) f(x)|(g(x)h(x));

4) якщо f(x)|g(x) i f(x)|h(x), то f(x)|(g(x) + h(x)).

Всi вони виводяться безпосередньо з означення подiльностi i їх перевiркузалишимо читачевi для самостiйного розгляду.

91

Многочлени f(x) i g(x) називаються асоцiйованими, якщо коженз них дiлиться на iнший. Враховуючи властивостi вiдношення подiль-ностi, вiдразу отримуємо, що вiдношення асоцiйованостi є вiдношеннямеквiвалентностi на множинi P [x], тобто вся ця множина розбиваєтьсяна класи, в якi входять попарно асоцiйованi мiж собою многочлени iмногочлени з рiзних класiв не асоцiйованi. Нульовий многочлен прицьому утворює окремий клас. З транзитивностi вiдношення подiльностi намножинi многочленiв та означення асоцiйованостi отримуємо, що з умовиf |g випливає умова f1|g1 для таких многочленiв f1, g1, що f1 асоцiйо-ваний з f , а g1 асоцiйований з g. Це означає, що вiдношення подiльностiкоректно визначається на класах асоцiйованостi.

Має мiсце простий критерiй асоцiйованостi.

Твердження 26. Многочлени f(x) i g(x) є асоцiйованими тодi й лишетодi, коли iснує ненульовий елемент λ ∈ P такий, що f(x) = λg(x)

Доведення. Достатнiсть вказаної умови очевидна. Перевiримо необхi-днiсть. Досить зробити це для ненульових многочленiв. Нехай ненульовiмногочлени f(x) i g(x) є асоцiйованими, тобто f(x)|g(x) i g(x)|f(x). Тодiдля деяких многочленiв q1(x) i q2(x) мають мiсце рiвностi

f(x) = g(x)q1(x), g(x) = f(x)q2(x).

Звiдси маємо рiвнiсть

f(x) = f(x)q1(x)q2(x),

тобто q1(x)q2(x) = 1. Це означає, що обидва многочлени q1(x) i q2(x)

є многочленами нульового степеня, звiдки й отримуємо потрiбне твер-дження.

Многочлен називається унiтарним, якщо його старший коефiцiєнтдорiвнює 1. З попереднього твердження одразу маємо, що кожен нену-льовий многочлен буде асоцiйованим з рiвно одним унiтарним много-членом.

Означення 14. Найбiльшим спiльним дiльником многочленiв f, g ∈ P [x]

називається такий многочлен d ∈ P [x], що:

92

1) d|f i d|g;

2) для довiльного многочлена h ∈ P [x] з того, що h|f i h|g, випливаєh|d.

Тобто найбiльший спiльний дiльник двох многочленiв — це такий їхспiльний дiльник, який дiлиться на кожен спiльний дiльник цих много-членiв. Його степiнь буде найбiльшим серед степенiв спiльних дiльникiвзаданих многочленiв. З означення випливає, що коли один з многочленiвнульовий, то найбiльший спiльний дiльник iснує i дорiвнює iншому много-члену. В загальному випадку вiдповiдь на питання про iснування найбiль-шого спiльного дiльника дає

Теорема 28. Для довiльних многочленiв f, g ∈ P [x] iснує їх найбiльшийспiльний дiльник, причому його можна подати у виглядi mf + ng длядеяких многочленiв m,n ∈ P [x].

Доведення. Якщо хоча б один з многочленiв f i g нульовий, то твер-дження теореми виконується. Тому далi розглядаємо випадок ненульовихмногочленiв f i g.

Визначимо множину многочленiв

I = mf + ng | m,n ∈ P [x].

Вона мiстить зокрема многочлени f i g. Виберемо в нiй деякий нену-льовий многочлен d найменшого степеня.Тодi d = m0f + n0g для деякихмногочленiв m0, n0 ∈ P [x]. Покажемо, що многочлен d буде найбiльшимспiльним дiльником многочленiв f i g. Зауважимо, що вiн одразу має тойвигляд, як сказано в умовi теореми.

Подiлимо f на d з остачею:

f = qd+ r

для деяких многочленiв q, r ∈ P [x] i deg r < deg d. Звiдси

r = (1− qm0)f + (−qn0)g, тобто r ∈ I.

93

Але степiнь многочлена d є найменшим серед степенiв ненульових много-членiв з множини I. Тому многочлен r є нульовим. Звiдси d|f . Аналогiчнопоказується, що d|g.

Нехай тепер многочлен h ∈ P [x] такий, що h|f i h|g. З властивостейподiльностi випливає, що тодi h|(m0f) i h|(n0g), а вiдтак h|(m0f + nog),тобто h|d. Теорему доведено.

З означення одразу випливає, що всi найбiльшi спiльнi дiльникидвох заданих многочленiв є асоцiйованими, а многочлен, асоцiйований знайбiльшим спiльним дiльником, i сам буде найбiльшим спiльним дiль-ником. Таким чином, усi найбiльшi спiльнi дiльники утворюють класасоцiйованих многочленiв. Як зазначалось вище, якщо цей клас мiститьненульовi многочлени, то вiн мiстить єдиний унiтарний многочлен. Цеозначає, що серед найбiльших спiльних дiльникiв двох многочленiв,принаймнi один з яких є ненульовим, iснує єдиний унiтарний многочлен.Тому далi завжди можемо вважати, що найбiльший спiльний дiльниктаких многочленiв є унiтарним многочленом.

Для знаходження найбiльшого спiльного дiльника двох ненульовихмногочленiв f i g використовують схему, вiдому пiд назвою “алгоритмЕвклiда”. Опишемо її. Можна вважати, що deg f ≥ deg g. Подiлимо много-член f на многочлен g з остачею:

f = gq1 + r1, причому deg r1 < deg g.

Тодi з означення найбiльшого спiльного дiльника i властивостей подiль-ностi отримуємо, що найбiльший спiльний дiльник многочленiв f i g будетакож найбiльшим спiльним дiльником многочленiв g i r1, i навпаки.Отже, пару многочленiв f , g можна замiнити парою g, r1, сума степенiвяких є меншою за суму степенiв початкових многочленiв. Якщо r1 = 0, тошуканим найбiльшим спiльним дiльником є многочлен g. Iнакше дiлимоg на r1 з остачею i повторюємо вищенаведенi мiркування. Оскiльки накожному кроцi сума степенiв многочленiв зменшується, то рано чи пiзноостача вiд дiлення буде рiвною 0. Найбiльшим спiльним дiльником тодiбуде остання ненульова остача. Записавши результати всiх виконаних

94

дiлень з остачею i послiдовно повиражавши остачi, звiдси можемо отри-мати подання найбiльшого спiльного дiльника многочленiв f i g у виглядimf + ng.

28 Розклад многочленiв на незвiднi множники

Многочлени f i g називаються взаємно простими, якщо їх найбiльшийспiльний дiльник дорiвнює 1. Зручний критерiй взаємної простоти вста-новлює

Теорема 29. Многочлени f i g є взаємно простими тодi й тiльки тодi,коли iснують такi многочлени m i n, що mf + ng = 1.

Доведення. Необхiднiсть випливає з означення взаємної простоти iтеореми 28.

Доведемо достатнiсть. Нехай iснують такi многочлени m i n, що mf +

ng = 1 i многочлен d є найбiльшим спiльним дiльником f i g. Тодi d|f , d|g,звiдки d|(mf), d|(ng) i d|(mf + ng). Отже, многочлени d i 1 асоцiйованi,тобто многочлен 1 також є набiльшим спiльним дiльником многочленiв fi g, що й завершує доведення теореми.

Наслiдок 12. Якщо многочлени f i g, а також f i h є взаємнопростими, то й многочлени f i gh є взаємно простими.

Доведення. за теоремою 29 для деяких многочленiв m1,m2, n1, n2 маютьмiсце рiвностi

1 = m1f + n1g i 1 = m2f + n2h.

Звiдси

1 = m1f + n1g · 1 = m1f + n1g(m2f + n2h) = (m1 + n1gm2)f + (n1n2)(gh),

що за тiєю ж теоремою i означає взаємну простоту многочленiв f i gh.

Наслiдок 13. Якщо многочлени f i g взаємно простi, а многочлен h єтаким, що f |(gh), то f |h.

95

Доведення. За теоремою 29 для деяких многочленiв m,n маємо рiвнiсть

1 = m1f + n1g.

Домножимо її на h:h = (mh)f + n(gh).

Кожен з доданкiв у правiй частинi цiєї рiвностi дiлиться на f , звiдкиf |h.

Многочлен f ∈ P [x] додатного степеня називається незвiдним надполем P , якщо його не можна подати у виглядi добутку двох многочленiвдодатного степеня. Iншими словами, з рiвностi f = gh випливає, що одинз многочленiв g, h має нульовий степiнь, а iнший є асоцiйованим з f . Всiiншi многочлени додатного степеня з P [x] називаються звiдними над P .

З означення вiдразу випливає, що многочлен, асоцiйований з незвi-дним многочленом над полем P , сам буде незвiдним над P . Це означає,що незвiднiсть досить перевiряти лише для унiтарних многочленiв.

Приклад 2. Кожен многочлен першого степеня є незвiдним над полем,якому належать його коефiцiєнти. Справдi, якби такий многочлен бувзвiдним, то це означало б, що його степiнь, число 1, можна записати,як суму двох натуральних чисел, а це неможливо.

Приклад 3. Кожен многочлен другого степеня над полем дiйсних чисел,дискримiнант якого вiд’ємний, є незвiдним над полем R. Справдi, нехайf(x) = x2+bx+c ∈ R i D = b2−4c < 0. Припустимо, що такий многочлензвiдний над R, тобто

f(x) = (x+ α)(x+ β)

для деяких дiйсних чисел α, β. Тодi b = α+ β, c = αβ i

D = (α+ β)2 − 4αβ = (α− β)2 ≥ 0,

що суперечить початковому припущенню. Отже, многочлен f є незвi-дним над полем R.

96

Незвiднiсть многочлена залежить вiд поля, над яким цей многочленрозглядається. Так, многочлен f(x) = x2 + 1 є незвiдним над полемдiйсних чисел, але допускає розклад f(x) = (x − i)(x + i) над полемкомплексних чисел, тобто є над ним звiдним.

Далi буде показано, що над полем комплексних чисел нема iншихнезвiдних многочленiв, окрiм многочленiв першого степеня, а над полемдiйсних чисел всi незвiднi многочлени вичерпуються многочленамипершого степеня i многочленами другого степеня з вiд’ємним дискримi-нантом.

Лема 10. Нехай f i g — незвiднi многочлени над полем P . Тодi вониабо взаємно простi, або асоцiйованi.

Доведення. Нехай d — найбiльший спiльний дiльник многочленiв f i g.Тодi f = df1 i g = dg1 для деяких многочленiв f1, g1. З незвiдностi много-члена f випливає, що або deg d = 0, або deg d = deg f > 0. У першомувипадку це означає, що многочлени f i g є взаємно простими. А у другому,враховуючи незвiднiсть многочлена g, що deg f1 = deg g1 = 0, тобто коженз многочленiв f i g асоцiйований з d, а вiдтак f i g асоцiйованi.

Незвiднi многочлени вiдiграють роль, аналогiчну ролi простих чисел,про що свiдчить

Теорема 30. Кожен многочлен додатного степеня над полем P розкла-дається в добуток незвiдних многочленiв над P , причому такийрозклад однозначний з точнiстю до порядку множникiв та асоцiйо-ваностi.

Доведення. Нехай f(x) ∈ P [x], deg f > 0. Доведемо iснування розкладу.Проведемо iндукцiю за степенем многочлена f . Базою iндукцiї є значеннястепеня 1 i в цьому випадку сам многочлен є незвiдним. В загальномувипадку, якщо многочлен f є незвiдним, то все доведено. Iнакше iснуєрозклад f = f1f2, в якому степенi обох множникiв додатнi, а вiдтак обидваменшi за степiнь многочлена f . Тепер розглядаємо многочлени цi много-члени f1 i f2 меншого степеня i застосовуємо до них припущення iндукцiї.Домноживши розклад одного з них на розклад iншого, отримаємо розкладдля f .

97

Доведемо єдинiсть розкладу. Нехай

f = p1p2 . . . pk = q1q2 . . . ql

для деяких незвiдних многочленiв p1, p2, . . . , pk, q1, q2, . . . , ql, k, l ≥ 1.Тодi добуток q1q2 . . . qk дiлиться на многочлен p1. За лемою 10 много-член p1 або взаємно простий, або асоцiйований з кожним iз многочленiвq1, q2, . . . , ql. Якщо припустити, що вiн взаємно простий iз кожним з них,то за наслiдком 12 вiн буде взаємно простим i з їхнiм добутком, тобтоне зможе бути дiльником цього добутку i отримаємо суперечнiсть. Отже,многочлен p1 асоцiйований з, не обмежуючи загальностi, многочленом q1.Скорочуючи на p1, отримаємо рiвнiсть добуткiв незвiдних многочленiв

p2 . . . pk = q′2 . . . ql.

Продовжуючи такi мiркування далi, отримаємо рiвнiсть виду

1 = q′k+1 . . . ql або 1 = p′l+1 . . . pk,

де всi множники є незвiдними многочленами. Але така рiвнiсть немо-жлива. Це означає, що множникiв у початкових розкладах порiвну iкожному множнику одного розкладу можна поставити у вiдповiднiстьасоцiйований з ним множник iншого так, що рiзним множникам одногорозкладу вiдповiдатимуть рiзнi множники iншого. Це й завершує дове-дення теореми.

29 Коренi многочленiв

Значенням многочлена

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an−1x+ an ∈ P [x]

в точцi a ∈ P називається значення виразу

f(a) = a0an + a1a

n−1 + . . .+ an−1a+ an ∈ P.

Таким чином, кожен многочлен f ∈ P [x] визначає вiдображення з поляP в P , яке часто ототожнюють з самим цим многочленом. Зокрема, для

98

нульового многочлена i многочленiв нульового степеня це вiдображення єсталим i сам многочлен можна ототожнити з його значенням.

Коренем многочлена f ∈ P [x] називається такий елемент a ∈ P ,що f(a) = 0. Таким чином, коренем нульового многочлена є довiльнийелемент поля, а многочлени нульового степеня не мають коренiв. Зв’язокмiж вiдношенням подiльностi й поняттям кореня многочлена встановлює-ться внаслiдок такої теореми:

Теорема 31 (Безу). Значення многочлена f(x) в точцi a дорiвнюєостачi вiд дiлення f(x) на x− a.

Доведення. Подiлимо многочлен f(x) на x− a з остачею:

f(x) = (x− a)q(x) + r(x), причому deg r < deg(x− a),

тобто многочлен r(x) або нульовий, або має нульовий степiнь. Тому можнавважати, що r(x) = r ∈ P . Обчислюючи значення лiвої та правої частин вточцi a, отримуємо рiвнiсть f(a) = r, чим завершуємо доведення теореми.

Звiдси негайно отримуємо

Наслiдок 14. Елемент a ∈ P є коренем многочлена f(x) ∈ P [x] тодi йтiльки тодi, коли f(x) дiлиться на x− a.

Зокрема звiдси випливає, що елемент поля є спiльним коренем деякихдвох многочленiв тодi й лише тодi, коли вiн є коренем їх найбiльшогоспiльного дiльника.

Кiлькiсть коренiв многочлена обмежує

Теорема 32. Кiлькiсть коренiв многочлена степеня n (n ≥ 0) не пере-вищує n.

Доведення. Iндукцiя за n. При n = 0 маємо многочлен нульового степеня,у якого нема жодного кореня i тому твердження теореми справджується.

Нехай теорему доведено для всiх многочленiв, степiнь яких меншийза n. Розглянемо многочлен f(x) степеня n. Якщо вiн не має коренiв, тотвердження правильне. Iнакше виберемо деякий його корiнь a. Тодi f(x) =

99

(x− a)f1(x) для деякого многочлена f1(x) степеня n− 1. Для довiльногокореня b многочлена f(x), вiдмiнного вiд a, маємо рiвнiсть 0 = f(b) =

(b − a)f1(b). Звiдси f1(b) = 0, тобто цей корiнь буде коренем многочленаf1(x). Але за припущенням iндукцiї цей многочлен має не бiльше n − 1

кореня, звiдки й отримуємо необхiдне твердження для многочлена f .

Назвемо кратнiстю кореня a многочлена f(x) таке натуральне числоk, що (x − a)k|f(x), але (x − a)k+1 вже не є дiльником f(x). Iншимисловами, f(x) = (x − a)kf1(x) для деякого многочлена f1(x), причомуf1(a) 6= 0. Це означення є коректним завдяки наслiдку 14. При цьомутi коренi многочлена, кратнiсть яких рiвна 1, будемо називати простимикоренями, а коренi вищої кратностi — кратними. Зручно вважати, щоелементи поля, якi не є коренями многочлена, є його коренями кратностi0. Аналогiчно теоремi 32 доводиться

Теорема 33. Сума кратностей усiх коренiв ненульового многочлена неперевищує його степiнь.

Для знаходження кратностi кореня многочлена використовуєтьсяпоняття похiдної многочлена. Похiдною многочлена

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an−2x2 + an−1x+ an

називається многочлен

f ′(x) = na0xn−1 + (n− 1)a1x

n−2 + . . .+ 2an−2x+ an−1.

Таким чином, похiдна многочлена нульового степеня є нульовим много-членом, а степiнь похiдної многочлена додатного степеня на одиницюменший за степiнь цього многочлена. Використовуючи це означення,можна перевiрити рiвностi

(λf)′(x) = λf ′(x), (f+g)′(x) = f ′(x)+g′(x), (fg)′(x) = f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)

для довiльних f(x), g(x) ∈ P [x] та λ ∈ P . Звiдси iндукцiєю за доводитьсярiвнiсть

((x− a)k)′ = k(x− a)k−1, a ∈ P, k ≥ 0.

100

За деяких додаткових обмежень на поле P , яким задовольняють зокремаполя Q, R i C, має мiсце

Твердження 27. Якщо корiнь многочлена має кратнiсть k i у полi Pk 6= 0, то вiн є коренем кратностi k − 1 похiдної цього многочлена.

Доведення. Нехай елемент a ∈ P є коренем кратностi k многочлена f(x) ∈P [x]. Тодi f(x) = (x − a)kf1(x) для деякого многочлена f1(x) ∈ P [x],причому елемент a не є його коренем. Обчислимо похiдну многочленаf(x):

f ′(x) = ((x− a)k)′f1(x) + (x− a)kf ′1(x) =

k(x− a)k−1f1(x) + (x− a)kf ′1(x) = (x− a)k−1(kf1(x) + (x− a)f ′1(x)).

Для многочлена g(x) = kf1(x) + (x− a)f ′1(x) маємо g(a) = kf1(a) 6= 0. Цей означає, що a є коренем кратностi k − 1 похiдної многочлена f(x).

Згiдно домовленостi про коренi кратностi 0 це зокрема означає, щопростий корiнь многочлена не буде коренем його похiдної.

30 Основна теорема алгебри

Оскiльки довший час алгебраїчнi дослiдження зводились в основному довивчення многочленiв, то внаслiдок своєї важливостi для многочленiв,наступна теорема отримала свою назву.

Теорема 34 (основна теорема алгебри). Кожен многочлен додатногостепеня з комплексними коефiцiєнтами має комплексний корiнь.

Вiдомi численнi доведення цього результату, проте ми наведемо одинз них пiзнiше.

Наслiдок 15. 1) Кожен многочлен, незвiдний над полем комплекснихчисел, має степiнь 1.

2) Кожен многочлен додатного степеня з комплексними коефiцiєн-тами розкладається в добуток многочленiв першого степеня зкомплексними коефiцiєнтами.

101

3) Сума кратностей комплексних коренiв многочлена з компле-ксними коефiцiєнтами дорiвнює його степеневi.

Доведення. Перше твердження випливає з основної теореми алгебри танаслiдка з теореми Безу. Друге — з першого i теореми про розклад много-члена на незвiднi множники, а третє — з другого.

Звiдси можна отримати, зокрема, i опис незвiдних над полем дiйснихчисел многочленiв. Для цього зручно многочлени з дiйсними коефiцiєн-тами розглядати над полем комплексних чисел.

Лема 11. Нехай комплексне число c є коренем многочлена f(x) здiйсними коефiцiєнтами. Тодi число c також коренем цього много-члена.

Доведення. Нехай f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . . + an−1x + an ∈ R, c ∈ Ci f(c) = 0. Використовуючи властивостi операцiї переходу до спряженогокомплексного числа, маємо рiвностi

f(c) = a0cn + a1c

n−1 + . . .+ an−1c+ an =

a0cn + a1cn−1 + . . .+ an−1c+ an = a0cn + a1cn−1 + . . .+ an−1c+ an =

a0cn + a1cn−1 + . . .+ an−1c+ an = f(c) = 0 = 0,

тобто число c також є коренем многочлена f(x).

Теорема 35. Кожен многочлен додатного степеня з дiйсними коефi-цiєнтами розкладається в добуток многочленiв з дiйсними коефiцi-єнтами першого степеня та другого степеня з вiд’ємним дискримi-нантом.

Доведення. Проведемо iндукцiю за степенем многочлена. Базою iндукцiїє випадок степеня 1, для якого твердження теореми виконується.

Нехай твердження теореми доведено для усiх многочленiв, степiньяких менший за n. Розглянемо многочлен f(x) степеня n з дiйснимикоефiцiєнтами як многочлен з комплексними коефiцiєнтами. За основноютеоремою алгебри вiн має комплексний корiнь c. Якщо c ∈ R, то за

102

наслiдком з теореми Безу f(x) = (x − c)f1(x) для деякого многочленаf1(x) з дiйсними коефiцiєнтами степеня n − 1. В цьому випадку зали-шається до многочлена f1(x) застосувати припущення iндукцiї. Якщо жчисло c не є дiйсним, то за лемою 11 спряжене з ним число c 6= c такожє коренем многочлена f(x). Тодi f(x), як многочлен над полем компле-ксних чисел, дiлиться як на x − c, так i на x − c, а отже i на їх добутокg(x) = (x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2Rec x + |c|2, якийє многочленом з дiйсними коефiцiєнтами. Тобто f(x) = g(x)f1(x) длядеякого f1(x) ∈ C. Подiливши f(x) на g(x) з остачею, як многочленинад полем дiйсних чисел, i скориставшись єдинiстю частки i остачi, отри-муємо, що всi коефiцiєнти многочлена f1(x). Якщо його степiнь додатний,то застосуємо до нього припущення iндукцiї. Зауважимо також, що длядискримiнанта многочлена g(x) маємо:

D = (−2Rec)2 − 4|c|2 = 4(Rec)2 − 4((Rec)2 + (Imc)2) = −4(Imc)2 < 0,

бо число c не є дiйсним. Теорему доведено.

31 Iнтерполяцiйна задача

Зафiксуємо поле P i натуральне число n. Розглянемо n пар елементiв поляP

(a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) (16)

таких, що ai 6= aj при i 6= j. Iнтерполяцiйною задачею з n вузлами iнтер-поляцiї (16) називається задача знаходження такого многочлена f надполем P , що f(ai) = bi, 1 ≤ i ≤ n. Iснування розв’язку цiєї задачi вста-новлює

Теорема 36. Iснує єдиний многочлен степеня, меншого за n, який єрозв’язком iнтерполяцiйної задачi з n вузлами iнтерполяцiї.

Доведення. Треба довести iснування такого набору (α1, . . . , αn) ∈ Pn, щомногочлен

f(x) = α1xn−1 + . . .+ αn−1x+ αn

в точцi ai набуває значення bi, 1 ≤ i ≤ n.

103

32 Рацiональнi дроби

33 Абстрактнi векторнi простори

Зафiксуємо деяке поле P , елементи якого будемо називати скалярами.Перелiк основних властивостей, яким задовольняли дiї додавання iмноження на скаляри з P векторiв арифметичного векторного простору,матриць однакового порядку i многочленiв над полем P , є одним i тим же.Це приводить до виникнення загального поняття (абстрактного) вектор-ного простору.

Означення 15. Абстрактним векторним простором над полем P нази-вається непорожня множина V, елементи якої будемо називати векто-рами, для якої визначено

(1) дiю додавання векторiв, тобто для довiльних векторiв v1,v2 ∈ Vоднозначно визначено вектор v1 +v2 ∈ V, який називається сумоювекторiв v1 i v2,

(2) дiю множення скалярiв з P на вектори, тобто для довiльнихскаляра λ ∈ P та вектора v ∈ V однозначно визначено векторλv ∈ V, який називається добутком скаляра λ на вектор v,

i при цьому виконуються такi умови:

1) дiя додавання векторiв є асоцiативною, тобто (v1 + v2) + v3 =

v1 + (v2 + v3) для довiльних векторiв v1,v2,v3 ∈ V,

2) дiя додавання векторiв є комутативною, тобто v1 +v2 = v2 +v1

для довiльних векторiв v1,v2 ∈ V,

3) iснує вектор 0 ∈ V, який називається нульовим вектором iтакий, що v + 0 = 0 + v = v для довiльного вектора v ∈ V,

4) для довiльного вектора v ∈ V iснує вектор −v ∈ V, який нази-вається протилежним вектором до v i такий, що v + (−v) =

−v + v = 0,

104

5) 1v = v для довiльного вектора v ∈ V,

6) (αβ)v = α(βv) для довiльних скалярiв α, β ∈ P i вектора v ∈ V,

7) (α + β)v = αv + βv для довiльних скалярiв α, β ∈ P i вектораv ∈ V,

8) α(v1 + v2) = αv1 + αv2 для довiльного скаляра α ∈ P i векторiвv1,v2 ∈ V.

Властивостi 1)-8) називають аксiомами векторного простору. Зокрема,властивiсть 4) дозволяє коректно визначити дiю вiднiмання векторiв,поклавши v1 − v2 = v1 + (−v2) для довiльних v1,v2 ∈ V.

Таким чином, векторний простiр визначається полем скалярiв P , надяким вiн розглядається, непорожньою множиною векторiв V (носiємвекторного простору), i операцiями додавання векторiв та множення їхна скаляри, тобто вiдображеннями, вiдповiдно з V × V у V i з P × V у V.

З означення векторного простору вiдразу випливають такi його власти-востi.

Твердження 28. 1) У довiльному векторному просторi V нульовийвектор єдиний.

2) Для кожного вектора довiльного векторного простору V проти-лежний до нього вектор єдиний.

3) Для довiльного вектора v ∈ V вектор 0 · v є нульовим, тобто0 · v = 0.

4) Для довiльного вектора v ∈ V вектор (−1) · v є протилежним доv вектором, тобто (−1) · v = −v.

Доведення. 1) Припустимо, що два вектори 01,02 ∈ V є нульовими. Тодiз означення нульового вектора випливають рiвностi

01 = 01 + 02 = 02,

тобто нульовий вектор єдиний.

105

2) Припустимо, що для вектора v ∈ V iснує два протилежних вектори,−v1 i −v2. Тодi

−v1 = −v1+0 = −v1+(v+(−v2)) = (−v1+v)+(−v2) = 0+(−v2) = −v2,

тобто протилежний вектор єдиний.3) Маємо рiвностi

0 · v + 0 · v = (0 + 0) · v = 0 · v.

Вiднявши вiд обох її частин вектор −0 · v, отримуємо потрiбну рiвнiсть0 · v = 0.

4) З рiвностей

0 = 0 · v = (1− 1) · v = 1 · v + (−1) · v = v + (−1) · v

випливає потрiбна рiвнiсть (−1) · v = −v.

Зауважимо, що при доведеннi було використано лише аксiоми вектор-ного простору.

Приклад 4. 1) Арифметичний векторний простiр Pn є векторнимпростором над полем P .

2) Множина квадратних матриць Mn(P ) вiдносно додаванняматриць i множення їх на скаляри є векторним простором надполем P . Нульовим вектором цього простору є нульова матрицяпорядку n.

3) Множина многочленiв P [x] є векторним простором над полемP вiдносно додавання многочленiв та множення їх на скаляри.Нульовий многочлен є нульовим вектором у цьому просторi.

4) Множина C є векторним простором над полем R (або Q) вiдноснододавання комплексних чисел i множення їх на дiйснi (рацiо-нальнi) числа.

106

5) Множина всiх скрiзь визначених функцiй з R в R є векторнимпростором над R вiдносно поточкового додавання функцiй тамноження їх на дiйснi скаляри. Тотожно рiвна нулю функцiя —це нульовий вектор даного простору.

Скiнченний або нескiнченний впорядкований набiр векторiв

v1,v2, . . . ,vm, . . . ∈ V

будемо називати системою векторiв, а її пiдсистемою будемо називатисистему вигляду

vk1 ,vk2 , . . . ,vkl , . . . де k1 < k2 < . . . kl < . . .

Як i для арифметичних векторних просторiв, для абстрактних векторнихпросторiв вводиться поняття лiнiйної комбiнацiї системи векторiв:

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λmvm + . . . ∈ V

При цьому вимагається, щоб лише скiнченна кiлькiсть скалярiв була нену-льовою. Аналогiчно вводяться поняття лiнiйно залежної та лiнiйно неза-лежної системи векторiв, поняття системи твiрних i базису векторногопростору. При цьому мають мiсце такi ж властивостi лiнiйно залежних танезалежних систем векторiв, як i для арифметичних векторних просторiв.

Означення 16. Векторний простiр називається скiнченновимiрним,якщо в ньому iснує базис, який складається зi скiнченного числавекторiв. В iншому випадку векторний простiр називають нескiнчен-новимiрним.

Для скiнченновимiрного векторного простору V має мiсце твердження,аналогiчне теоремi 5. Зокрема, у довiльних двох базисах скiнченновимiр-ного векторного простору кiлькiсть векторiв є одинаковою. Вона називає-ться розмiрнiстю векторного простору i позначається символом dimV.

У векторному просторi розмiрностi n кiлькiсть векторiв у лiнiйно неза-лежнiй системi не перевищує n. Натомiсть векторний простiр буде нескiн-ченновимiрним тодi й тiльки тодi, коли в ньому iснують як завгодно великiскiнченнi системи векторiв.

107

Приклад 5. Простiр P [x] є нескiнченновимiрним, оскiльки для довiль-ного n ≥ 1 система векторiв 1, x, . . . , xn є лiнiйно незалежною.

34 Iзоморфiзм векторних просторiв

Нехай V1 i V2 — векторнi простори над полем P .

Означення 17. Бiєктивне вiдображення ϕ : V1 → V2 називаєтьсяiзоморфiзмом, якщо воно задовольняє таким двом умовам:

1) ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) для довiльних u,v ∈ V1, тобто ϕ зберiгаєдодавання;

2) ϕ(λu) = λϕ(u) для довiльних λ ∈ P , u ∈ V1, тобто ϕ зберiгаємноження на скаляри.

Якщо iснує iзоморфiзм з векторного простору V1 у простiр V2, токажуть, що простори V1 i V2 iзоморфнi. Iзоморфнi векторнi просторивiдрiзняються лише природою своїх елементiв, а не властивостями дода-вання векторiв i множення їх на скаляри. Зауважимо, що при iзоморфiзмiлiнiйно незалежна система векторiв перейде в лiнiйно незалежну систему,а лiнiйно залежна — в лiнiйно залежну. Так само образом системи твiрнихпростору буде система твiрних. Отже, образом базису при iзоморфiзмi будезнову базис.

Твердження 29. Вiдношення iзоморфiзму є вiдношенням еквiвален-тностi на множинi векторних просторiв над полем P .

Доведення. Рефлексивнiсть. Кожен векторний простiр V iзоморфний самсобi, оскiльки тотожне вiдображення на V є iзоморфiзмом.

Симетричнiсть. Нехай ϕ : V1 → V2 — iзоморфiзм векторних просторiв.Тодi обернене вiдображення ϕ−1 : V2 → V1 також буде iзоморфiзмом.Справдi, це вiдображення бiєктивне. Тому для довiльних векторiв v1,v2 ∈V2 iснують єдинi вектори u1,u2 ∈ V1 такi, що ϕ(u1) = v1 i ϕ(u2) = v2.Тодi

ϕ(u1 + u2) = v1 + v2, ϕ(λu1) = λv1, λ ∈ P,

108

звiдкиϕ−1(v1 + v2) = u1 + u2 = ϕ−1(v1) + ϕ−1(v2),

тобто ϕ−1 зберiгає додавання, i

ϕ−1(λv1) = λu1 = λϕ−1(v1),

тобто ϕ−1 зберiгає множення на скаляри.Транзитивнiсть. Нехай ϕ : V1 → V2 та ψ : V2 → V3 — iзоморфiзми

векторних просторiв. Тодi вiдображення τ : V1 → V3 таке, що τ = ψ(ϕ), єтакож iзоморфiзмом.

Таким чином, векторнi простори розбиваються на класи попарноiзоморфних мiж собою. Покажемо, що в кожному класi скiнченновимiрнихвекторних просторiв можна вибрати канонiчний представник.

Теорема 37. Кожен векторний простiр розмiрностi n над полем P

iзоморфний арифметичному векторному простору Pn.

Доведення. Нехай V — векторний простiр розмiрностi n над P . Зафi-ксуємо у просторi V деякий базис a1,a2, . . . ,an. Тодi кожен вектор v ∈ Vоднозначно запишеться у виглядi лiнiйної комбiнацiї вигляду

v = α1a1 + α2a2 + . . .+ αnan, де α1, α2, . . . , αn ∈ P.

Поставимо у вiдповiднiсть вектору v впорядкований набiр (α1, α2, . . . , αn).Так визначене вiдображення i буде iзоморфiзмом з векторного простору Vв арифметичний векторний простiр Pn.

Доведена теорема дозволяє серед скiнченновимiрних векторнихпросторiв вивчати лише арифметичнi, адже при цьому нiякi їхнi власти-востi втрачатися не будуть.

Наслiдок 16. Довiльнi два векторнi простори розмiрностi n над полемP iзоморфнi мiж собою.

Зауважимо, що при iзоморфiзмi лiнiйно незалежна система векторiвперейде у лiнiйно незалежну систему, а система твiрних одного просторуперейде у систему твiрних iншого простору. Зокрема, базис перейде убазис.

109

35 Координати вектора. Матриця переходу

Будемо розглядати n-вимiрний векторний простiр V над полем P . Зафi-ксуємо який-небудь базис цього простору:

a1,a2, . . . ,an.

Тодi довiльний вектор u ∈ V можна єдиним способом записати у виглядiлiнiйної комбiнацiї векторiв цього базису:

u = α1a1 + α2a2 + . . .+ αnan

для деяких α1, α2, . . . , αn ∈ P .

Означення 18. Впорядкований набiр скалярiв (α1, α2, . . . , αn) називає-ться координатами вектора u в базисi a1,a2, . . . ,an.

Приклад 6. 1) Нульовий вектор 0 у будь-якому базисi має коорди-нати

(0, 0, . . . , 0).

2) Вектори базису a1,a2, . . . ,an в цьому базисi мають, вiдповiдно,координати

(1, 0, 0, . . . , 0, 0)

(0, 1, 0, . . . , 0, 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

(0, 0, 0, . . . , 0, 1).

Зауважимо, що один i той же вектор у рiзних базисах має, взагалiкажучи, рiзнi координати. Проте мiж його координатами у двох базисахможна встановити певний зв’язок. Для цього вводиться наступне поняття.

Зафiксуємо два базиси простору V:

a1,a2, . . . ,an

ib1,b2, . . . ,bn.

110

Виразимо кожен вектор другого базису через вектори першого базису:

b1 =τ11a1 + τ21a2 + . . .+ τn1an

b2 =τ12a1 + τ22a2 + . . .+ τn2an

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bn =τ1na1 + τ2na2 + . . .+ τnnan.

Означення 19. Матриця

T =

τ11 τ12 · · · τ1nτ21 τ22 · · · τ2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

τn1 τn2 · · · τnn

,

називається матрицею переходу вiд базису a1,a2, . . . ,an до базисуb1,b2, . . . ,bn.

Таким чином, i-тим (1 ≤ i ≤ n) стовпчиком матрицi T є координатиi-того вектора базису b1,b2, . . . ,bn у базисi a1,a2, . . . ,an.

Зв’язок мiж базисами за допомогою матрицi переходу встановлює такарiвнiсть

b1

b2

...bn

= TT ·

a1

a2

...an

.

Твердження 30. Матриця переходу вiд одного базису векторногопростору до iншого є невиродженою, причому обернена матриця будематрицею переходу в зворотний бiк.

Доведення. Нехай T1 — матриця переходу вiд базису a1,a2, . . . ,an добазису b1,b2, . . . ,bn, а T2 — матриця переходу вiд b1,b2, . . . ,bn доa1,a2, . . . ,an. Тодi мають мiсце рiвностi

b1

b2

...bn

= TT1 ·

a1

a2

...an

i

a1

a2

...an

= TT2 ·

b1

b2

...bn

.

111

Пiдставивши кожну з цих рiвностей в iншу, отримаємоb1

b2

...bn

= TT1 · TT2 ·

b1

b2

...bn

i

a1

a2

...an

= TT2 · TT1 ·

a1

a2

...an

.

Враховуючи однозначнiсть розкладу кожного вектора через векторибазису, звiдси отримуємо рiвностi

TT1 · TT2 = TT2 · TT1 = E,

звiдки одержуємо, що кожна з матриць T1 i T2 є невиродженою, причомуT−1

1 = T2, що й потрiбно було довести.

Зауважимо, що для довiльного базису простору V кожна невиродженаматриця порядку n над P є матрицею переходу вiд цього базису додеякого iншого базису V.

Тепер сформулюємо результат про зв’язок мiж координатами вектора вдвох базисах.

Твердження 31. Нехай T — матриця переходу вiд базису a1,a2, . . . ,anдо базису b1,b2, . . . ,bn простору V, а вектор u ∈ V має в цих базисахкоординати (α1, α2, . . . , αn) i (β1, β2, . . . , βn) вiдповiдно. Тодi

α1

α2

...αn

= T ·

β1

β2

...βn

. (17)

Доведення. З рiвностей

u = (β1, β2, . . . , βn) ·

b1

b2

...bn

= (β1, β2, . . . , βn) · TT ·

a1

a2

...an

,

112

u = (α1, α2, . . . , αn) ·

a1

a2

...an

та єдиностi координат вектора в базисi випливає рiвнiсть

(α1, α2, . . . , αn) = (β1, β2, . . . , βn) · TT ,

з якої, транспонувавши, отримуємо потрiбне спiввiдношення.

Рiвнiсть (17) називають формулою змiни координат вектора при змiнiбазису.

36 Пiдпростори

Означення 20. Непорожня пiдмножина W векторного простору V надполем P називається пiдпростором простору V, якщо вона сама євекторним простором вiдносно тих самих дiй додавання векторiв тамноження їх на скаляри.

ПiдпростiрW скiнченновимiрного векторного простору V також є скiн-ченновимiрним, причому його розмiрнiсть задовольняє нерiвностi

0 ≤ dimW ≤ dimV.

При перевiрцi, чи буде певна пiдмножина векторного простору йогопiдпростором, чи нi, зручно користуватися таким критерiєм.

Твердження 32. Нехай V — векторний простiр над полем P . Пiдмно-жина W ⊂ V буде пiдпростором V тодi й лише тодi, коли:

i) W не порожня;

ii) W замкнена вiдносно додавання векторiв, тобто для довiльнихu,v ∈ W сума u + v також належить W;

113

iii) W замкнена вiдносно множення векторiв на скаляри з P , тобтодля довiльних u ∈ W, λ ∈ P добуток λu також належить W.

Доведення. Потрiбно перевiрити лише, що пiдмножина W, яка задо-вольняє вказаним умовам, сама є векторним простором над полем P ,оскiльки для кожного пiдпростору цi умови справджуються.

Перевiримо виконання третьої та четвертої аксiом векторного простору.Оскiльки W 6= ∅, то W мiстить принаймнi один вектор u. Але тодi,внаслiдок замкненостi вiдносно множення на скаляри, 0 · u = 0 ∈ W,тобто нульовий вектор мiститься у W. Аналогiчно, для довiльного u ∈ Wдобуток (−1) · u = −u також належить W, тобто для всiх векторiв зW протилежнi до них вектори також мiстяться у W. Всi iншi аксiомивекторного простору виконуються автоматично. Отже, W є пiдпросторомV.

Визначимо на множинi пiдпросторiв векторного простору V двiприроднi операцiї. Нехай W1, W2 — пiдпростори V.

Означення 21. Перетином пiдпросторiв W1 i W2 називаєтьсямножина

W1

⋂W2.

Сумою пiдпросторiв W1 i W2 називається множина

W1 +W2 = u + v : u ∈ W1,v ∈ W2.

Твердження 33. Перетин та сума двох пiдпросторiв векторногопростору V також є пiдпросторами цього векторного простору.

Доведення. Нехай W1, W2 — пiдпростори V.Їх перетин є непорожнiм, оскiльки кожен пiдпростiр мiстить нульовий

вектор, тобто 0 ∈ W1

⋂W2. Крiм того, для довiльних векторiв з перетину

їх сума та добуток на довiльний скаляр належать кожному з пiдпросторiв,звiдки отримуємо, що перетин пiдпросторiв сам є пiдпростором.

Сума пiдпросторiв W1 i W2 мiстить кожен з них, а тому непорожня.Якщо w1,w2 — довiльнi вектори, котрi належать сумi W1 i W2, то

w1 = u1 + v1, w2 = u2 + v2

114

для деяких u1,u2 ∈ W1, v1,v2 ∈ W2. Тодi

w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2) ∈ W1 +W2

i для довiльного λ ∈ P

λw1 = λu1 + λu2 ∈ W1 +W2.

Таким чином, сума пiдпросторiв W1 i W2 також є пiдпростором.

З означення випливає, що перетин пiдпросторiв W1 i W2 є макси-мальним пiдпростором, котрий одночасно мiститься як у W1, так i в W2.Разом з тим, сума W1 i W2 є мiнiмальним пiдпростором, котрий мiститьобидва цi пiдпростори.

Зауважимо також, що об’єднання двох пiдпросторiв буде пiдпросторомтодi й тiльки тодi, коли один з них мiститься в iншому.

Теорема 38 (Грасмана). Нехай W1, W2 — пiдпростори скiнченновимiр-ного векторного простору V. Тодi

dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim(W1

⋂W2). (18)

Доведення. Якщо хоча б один iз пiдпросторiв W1, W2 є нульовим, торiвнiсть правильна. Тому далi розглядаємо лише ненульовi W1, W2.

Нехай dimW1 = k, dimW2 = l, dimW1

⋂W2 = r.

У випадку r > 0 виберемо в просторi W1

⋂W2 який-небудь

базис a1, . . . ,ar. Якщо k > r, то доповнимо його до базисуa1, . . . ,ar,b1, . . . ,bk−r пiдпростору W1, а при l > r доповнимо цей базисдо базису a1, . . . ,ar, c1, . . . , cl−r пiдпростору W2. Для доведення теоремитепер досить показати, що система векторiв

a1, . . . ,ar,b1, . . . ,bk−r, c1, . . . , cl−r

є базисом пiдпростору W1 +W2.Для довiльного вектора w ∈ W1 + W2 знайдуться u ∈ W1, v ∈

W2 такi, що w = u + v. Але вектор u лiнiйно виражається черезсистему векторiв a1, . . . ,ar,b1, . . . ,bk−r, а вектор v лiнiйно виражає-ться через систему векторiв a1, . . . ,ar, c1, . . . , cl−r. Звiдси отримуємо, що

115

їх сума, тобто вектор w, лiнiйно виражається через систему векторiвa1, . . . ,ar,b1, . . . ,bk−r, c1, . . . , cl−r, тобто ця система векторiв є системоютвiрних простору W1 +W2.

Припустимо, що

α1a1 + . . .+ αrar + β1b1 + . . .+ βk−rbk−r + γ1c1 + . . . γl−rcl−r = 0.

Нехайu = α1a1 + . . .+ αrar + β1b1 + . . .+ βk−rbk−r.

Тодiu = −(γ1c1 + . . . γl−rcl−r).

Звiдси u ∈ W1

⋂W2 i тому

u = δ1a1 + . . .+ δrar.

Тому

0 = u− u = (α1 − δ1)a1 + . . .+ (αr − δr)ar + β1b1 + . . .+ βk−rbk−r.

Внаслiдок лiнiйної незалежностi вибраного базису W1 звiдси отримуєморiвностi

α1 − δ1 = . . . = αr − δr = β1 = . . . = βk−r = 0.

Тепер отримуємо рiвнiсть

α1a1 + . . .+ αrar + γ1c1 + . . . γl−rcl−r = 0.

з якої, внаслiдок лiнiйної незалежностi вибраного базису W2, отримуєморiвностi

α1 = . . . αr = β1 = . . . = βk−r = 0.

Це й означає, що система векторiв a1, . . . ,ar,b1, . . . ,bk−r, c1, . . . , cl−r єлiнiйно незалежною. Отже, вона є базисом суми W1 +W2. Теорему дове-дено.

Рiвнiсть (18) називають формулою Грасмана.

116

37 Пряма сума пiдпросторiв

Оскiльки дiя додавання векторiв у векторному просторi є асоцiативною, тодля довiльних пiдпросторiв W1,W2, . . . ,Wk векторного простору V можнавизначити їх суму, як пiдпростiр

W1 +W2 + . . .+Wk = u1 + u2 + . . .+ uk|ui ∈ Wi, 1 ≤ i ≤ k.

Означення 22. Сума пiдпросторiв W1,W2, . . . ,Wk називаєтьсяпрямою, якщо кожен вектор u з цiєї суми єдиним чином подаєтьсяу виглядi

u = u1 + u2 + . . .+ uk, ui ∈ Wi, 1 ≤ i ≤ k.

Пряму суму пiдпросторiв W1,W2, . . . ,Wk позначають символом

W1 ⊕W2 ⊕ . . .⊕Wk.

Має мiсце така

Теорема 39. Сума пiдпросторiв W1,W2, . . . ,Wk буде прямою тодi йлише тодi, коли для кожного i, 1 ≤ i ≤ k, перетин

Wi

⋂(W1 + . . .+Wi−1 +Wi+1 . . .+Wk)

є нульовим.

Доведення. Нехай вказана сума пiдпросторiв не пряма, тобто iснує векторu з цiєї суми, для якого мають мiсце розклади

u = u1 + u2 + . . .+ uk = v1 + v2 + . . .+ vk, ui,vi ∈ Wi, 1 ≤ i ≤ k,

причому для деякого j, 1 ≤ j ≤ k, виконується uj 6= vj . Звiдси маєморiвнiсть

uj − vj = (v1 −u1) + . . .+ (vj−1 −uj−1) + (vj+1 −uj+1) + . . .+ (vk −uk).

Таким чином, перетин

Wj

⋂(W1 + . . .+Wj−1 +Wj+1 . . .+Wk)

117

мiстить ненульовий вектор uj − vj .Не обмежуючи загальностi, припустимо, що перетин

W1

⋂(W2 + . . .+Wk)

ненульовий. Виберемо ненульовий вектор u, який належить цьому пере-тину. Тодi для деяких u2 ∈ W2, . . . ,uk ∈ Wk маємо рiвностi

u = u + 0 + . . .+ 0︸ ︷︷ ︸k−1

= u2 + . . .+ uk = 0 + u2 + . . .+ uk,

тобто вектор u, який належить сумi

W1 +W2 + . . .+Wk,

можна двома рiзними способами подати у виглядi суми векторiв з пiдпро-сторiв W1,W2, . . . ,Wk. Це означає, що їх сума не є прямою.

Для суми двох пiдпросторiв звiдси отримуємо такий

Наслiдок 17. Сума двох пiдпросторiв буде прямою тодi й тiльки тодi,коли їх перетин нульовий.

Для скiнченновимiрних пiдпросторiв має мiсце ще один критерiй, колиїх сума є прямою.

Теорема 40. Сума скiнченновимiрних пiдпросторiвW1,W2, . . . ,Wk будепрямою тодi й лише тодi, коли має мiсце рiвнiсть

dim(W1 + . . .+Wk) = dimW1 + . . .+ dimWk. (19)

Доведення. Нехай сумаW1+W2+. . .+Wk є прямою. Проведемо доведеннярiвностi (19) iндукцiєю за кiлькiстю просторiв k.

При k = 2 необхiдна рiвнiсть виконується внаслiдок формули Грасманата наслiдку 17.

Припустимо, що рiвнiсть (19) доведена для k−1. За теоремою Грасмана

dim(W1 +W2 + . . .+Wk) = dimW1 + dim(W2 + . . .+Wk)−

dim(W1

⋂(W2 + . . .+Wk)).

118

Але перетин пiдпростору W1 з сумою W2 + . . . + Wk є нульовим затеоремою 39. Крiм того, ця сума є прямою i для обчислення її розмiр-ностi можемо застосувати припущення iндукцiї. Звiдси вiдразу одержуємопотрiбну рiвнiсть.

Навпаки, припустимо, що для пiдпросторiв W1,W2, . . . ,Wk

рiвнiсть (19) виконується. Але тодi об’єднання базисiв цих пiдпро-сторiв буде базисом їхньої суми. Справдi, таке об’єднання завждипороджує всю суму, тобто кiлькiсть векторiв у об’єднаннi не менша зарозмiрнiсть суми. З рiвностi (19) випливає, що їх кiлькiсть в об’єднаннiдорiвнює розмiрностi суми. Звiдси вiдразу отримуємо, що кожен векторсуми пiдпросторiв W1,W2, . . . ,Wk однозначно подається у виглядi сумивекторiв з цих пiдпросторiв, тобто сума є прямою.

38 Доповнюючий пiдпростiр i факторпростiр

Будемо розглядати векторний простiр V. Нехай W — пiдпростiр просторуV.

Означення 23. Пiдпростiр U простору V називається доповнюючим доW, якщо сума пiдпросторiв W та U є прямою, причому V =W ⊕U .

При цьому пiдпростiр W буде доповнюючим до U .Враховуючи наслiдок 17, отримуємо, що пiдпростiр U буде доповню-

ючим до W тодi й лише тодi, коли перетин цих пiдпросторiв нульовий, асума дорiвнює всьому простору.

Теорема 41. Для кожного пiдпростору скiнченновимiрного простору Viснує доповнюючий пiдпростiр.

Доведення. Зафiксуємо пiдпростiр W простору V. Якщо W нульовий, тодоповнюючим до нього буде весь простiр V, а якщо W = V, то доповню-ючим пiдпростором буде нульовий.

Нехай 0 6= W 6= V. Виберемо в пiдпросторi W базис a1, . . . ,ak iдоповнимо його до базису a1, . . . ,ak,ak+1, . . .an всього простору V. Тодiпiдпростiр U , породжений векторами ak+1, . . .an, буде доповнюючим до

119

W. Справдi, об’єднання базисiв цих пiдпросторiв є базисом простору V.Тому V =W + U . Крiм того, якщо v ∈ W

⋂U , то

v = α1a1 + . . .+ αkak = αk+1ak+1 + . . .+ αnan

для деяких скалярiв α1, . . . , αn. Звiдси

0 = α1ak + . . .+ αkak − αk+1ak+1 − . . .− αnan,

тобто всi цi скаляри рiвнi 0, тобто вектор v є нульовим. Отже, перетинW⋂U нульовий. Теорему доведено.

Зауважимо, що доповнюючий пiдпростiр до пiдпростору W в загаль-ному випадку не єдиний.

Означення 24. Лiнiйним многовидом, визначеним вектором u i пiдпро-стором W, називається множина

u +W = u + w|w ∈ W.

Зауважимо, що многовид u +W мiстить як вектор u, так i пiдпростiрW.

Твердження 34. Лiнiйнi многовиди u1 + W та u2 + W рiвнi тодi йтiльки тодi коли u1 − u2 ∈ W.

Доведення. Якщоu1 +W = u2 +W,

то u1 ∈ u2 +W, тобто u1 = u2 + v для деякого вектора v ∈ W. Звiдсиv = u1 − u2 ∈ W.

Якщо ж u1 − u2 ∈ W, то для довiльного вектора v ∈ W

u1 + v = u2 + (u1 − u2) + v.

Звiдсиu1 +W ⊂ u2 +W.

Аналогiчно встановлюється зворотне включення i, таким чином, отри-муємо потрiбну рiвнiсть.

120

Отже, векторний простiр V розкладається в об’єднання многовидiв запiдпростором W. При цьому сам пiдпростiр W також є одним з такихмноговидiв.

Визначимо на множинi многовидiв за пiдпростором W дiї додавання тамноження на скаляри. А саме, для довiльних многовидiв u1 +W, u2 +Wта скаляра λ покладемо

(u1 +W) + (u2 +W) = (u1 + u2) +W

iλ(u1 +W) = (λu1) + +W.

Для так введених дiй потрiбно перевiрити коректнiсть їх визначення,тобто незалежнiсть вiд вибраних елементiв многовидiв. Нехай u1 +W =

v1 + W, u2 + W = v2 + W, тобто u1 − v1,u2 − v2 ∈ W. Тодi також(u1 + u2)− (v1 + v2) ∈ W i λu1 − λv1 ∈ W, звiдки

(u1 + u2) +W = (v1 + v2) +W

i(λu1) +W = (λv1) +W.

Цi рiвностi показують, що дiї введено коректно.

Твердження 35. Множина многовидiв за пiдпростором W вiдносновведених дiй додавання та множення на скаляри утворює векторнийпростiр.

Доведення. Зауважимо, що потрiбно перевiряти лише iснування нульо-вого та протилежного векторiв. Усi iншi умови з означення векторногопростору будуть виконуватися автоматично. З означення дiї додаваннямноговидiв випливає, що нульовим вектором буде многовид W, а длямноговиду u +W многовид −u +W буде протилежним вектором.

Побудований векторний простiр многовидiв простору V за його пiдпро-стором W називається факторпростором V за W i позначається V/W.

121

Теорема 42. Для пiдпростору W скiнченновимiрного простору Vдовiльний доповнюючий до W пiдпростiр iзоморфний факторпросторуV/W i

dimV/W = dimV − dimW.

Доведення. Нехай пiдпростiр U є доповнюючим до W. Якщо пiдпро-стiр W рiвний всьому простору V, доповнюючим до нього є нульовий,а факторпростiр складається з єдиного елемента, тобто також є нульовим.Тому досить розглядати випадок, коли W 6= V. В цьому випадку пiдпро-стiр U є ненульовим. Виберемо якийсь базис a1, . . . ,ak пiдпростору U .Покажемо, що многовиди a1 +W, . . . ,ak+W утворюють базис факторпро-стору V/W. Звiдси вiдразу випливатимуть обидва твердження теореми, бо

dimU = dimV − dimW.

Доведемо, що вибрана система векторiв є системою твiрних фактор-простору. Розглянемо довiльний многовид v+W. Оскiльки V = U +W, тоiснують вектори u ∈ U , w ∈ W такi, що v = u + w. Тодi w = v− u ∈ W iтому v +W = u +W. Але

u = α1a1 + . . .+ αkak

для деяких скалярiв α1, . . . , αk. Звiдси

u +W = α1(a1 +W) + . . .+ αk(ak +W).

Доведемо тепер, що вибрана система векторiв є лiнiйно незалежною.Припустимо тепер, що для деяких скалярiв α1, . . . , αk має мiсце рiвнiсть

α1(a1 +W) + . . .+ αk(ak +W) = 0,

тобто(α1a1 + . . .+ αkak) +W =W.

Це означає, що вектор α1a1 + . . . + αkak є нульовим. Тепер з лiнiйноїнезалежностi базису U випливає, що всi вибранi скаляри є нульовими.Теорему доведено.

122

39 Лiнiйнi вiдображення, ядро i образ

Нехай V1 i V2 — векторнi простори над полем P .

Означення 25. Вiдображення ϕ : V1 → V2 називається лiнiйним, якщо

1) ϕ зберiгає додавання, тобто ϕ(u+v) = ϕ(u) +ϕ(v) для довiльнихвекторiв u,v ∈ V1;

2) ϕ зберiгає множення на скаляри, тобто ϕ(λu) = λϕ(u) длядовiльних скаляра λ ∈ P i вектора u ∈ V1.

Прикладами лiнiйних вiдображень є iзоморфiзми векторних просторiв.Лiнiйне вiдображення є iзоморфiзмом тодi й лише тодi, коли воноє бiєктивним. Також лiнiйним буде вiдображення, яке кожен векторпростору V1 переводить у нульовий вектор простору V2. Його називаютьнульовим вiдображенням.

Якщо ϕ є лiнiйним вiдображенням, яке дiє з векторного простору V уцей же простiр V, то ϕ називають лiнiйним оператором на просторi V.

З кожним лiнiйним вiдображенням пов’язується два важливих об’єкти,якi його значною мiрою характеризують: ядро i образ лiнiйного вiдобра-ження.

Означення 26. Нехай ϕ : V1 → V2 — лiнiйне вiдображення. Ядромвiдображення ϕ називається множина

Kerϕ = u ∈ V1 : ϕ(u) = 0.

Образом вiдображення ϕ називається множина

Imϕ = v ∈ V2 : iснує u ∈ V1 такий, що ϕ(u) = v.

Iншими словами, ядром лiнiйного вiдображення ϕ : V1 → V2 є повнийпрообраз нульового вектора простору V2, а його образом — образ множиниV1.

Твердження 36. Ядро i образ лiнiйного вiдображення ϕ : V1 → V2 єпiдпросторами в просторах V1 i V2 вiдповiдно.

123

Доведення. Ядро вiдображення ϕ є непорожньою пiдмножиною просторуV1, оскiльки для нульового вектора цього простору маємо спiввiдношення

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0),

звiдки отримуємо рiвнiсть ϕ(0) = 0, яка означає, що нульовий векторлежить в ядрi. Крiм того, для довiльних векторiв u1,u2 ∈ Kerϕ та скаляраλ ∈ P маємо

ϕ(u1 + u2) = ϕ(u1) + ϕ(u2) = 0 + 0 = 0,

ϕ(λu1) = λϕ(u1) = λ · 0 = 0,

звiдки отримуємо, що сума u1 +u2 та добуток λu1 також належать Kerϕ.Отже, ядро ϕ є пiдпростором.

З означення образу лiнiйного вiдображення вiдразу випливає, що вiннепорожнiй. Нехай v1,v2 ∈ Imϕ — довiльнi вектори. Тодi для деякихu1,u2 ∈ V1 виконуються рiвностi ϕ(u1) = v1, ϕ(u2) = v2. Звiдси

ϕ(u1 + u2) = ϕ(u1) + ϕ(u2) = v1 + v2,

тобто сума v1 + v2 належать Imϕ. Для довiльного скаляра λ ∈ P

ϕ(λu1) = λϕ(u1) = λv1,

тобто добуток λv1 належать Imϕ. Таким чином, образ ϕ також є пiдпро-стором.

Означення 27. Розмiрнiсть образу лiнiйного вiдображення ϕ називає-ться рангом ϕ i позначається rkϕ. Розмiрнiсть ядра лiнiйного вiдобра-ження ϕ називається дефектом ϕ i позначається defϕ.

Лiнiйне вiдображення називається невиродженим, якщо його дефектдорiвнює нулю, тобто ядро цього лiнiйного вiдображення нульове.

124

40 Матрицi лiнiйних вiдображень

Зафiксуємо скiнченновимiрнi векторнi простори V1 i V2 над полем P .Нехай dimV1 = m, dimV2 = n. Розглянемо деяке лiнiйне вiдображенняϕ : V1 → V2. Виберемо базис в кожному з просторiв V1 i V2. Нехай

a1,a2, . . . ,am — базис просторуV1,

g1,g2, . . . ,gn — базис просторуV2.

Тепер кожен з векторiв ϕ(a1), ϕ(a2), . . . , ϕ(am) розкладемо в базисig1,g2, . . . ,gn:

ϕ(a1) =α11g1 + α21g2 + . . .+ αn1gn

ϕ(a2) =α12g1 + α22g2 + . . .+ αn2gn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ϕ(am) =α1mg1 + α2mg2 + . . .+ αnmgn.

Означення 28. Матриця

Aϕ =

α11 α12 · · · α1m

α21 α22 · · · α2m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

αn1 αn2 · · · αnm

,

називається матрицею лiнiйного вiдображення ϕ в базисахa1,a2, . . . ,am та g1,g2, . . . ,gn.

Таким чином, i-тим стовпчиком (1 ≤ i ≤ m) матрицi Aϕ є стовпчиккоординат образу i-того базисного вектора базису a1,a2, . . . ,am в базисig1,g2, . . . ,gn. Матриця Aϕ має n рядкiв i m стовпчикiв.

З означення матрицi лiнiйного вiдображення отримуємо таку рiвнiсть:ϕ(a1)

ϕ(a2)...

ϕ(am)

= ATϕ ·

g1

g2

...gn

.

125

Покажемо, як за допомогою матрицi лiнiйного вiдображення знаходитиобраз вектора пiд дiєю цього вiдображення. Розглянемо довiльний векторu ∈ V1. Нехай в базисi a1,a2, . . . ,am вiн має координати (γ1, γ2, . . . , γm),тобто

u = (γ1, γ2, . . . , γm) ·

a1

a2

...am

.

Звiдси, внаслiдок лiнiйностi вiдображення ϕ, отримуємо рiвнiсть

ϕ(u) = (γ1, γ2, . . . , γm) ·

ϕ(a1)

ϕ(a2)...

ϕ(am)

= (γ1, γ2, . . . , γm) ·ATϕ ·

g1

g2

...gn

.

Нехай координатами вектора ϕ(u) в базисi g1,g2, . . . ,gn є набiр(δ1, δ2, . . . , δn), тобто

ϕ(u) = (δ1, δ2, . . . , δn) ·

g1

g2

...gn

.

З єдиностi координат вектора у даному базисi отримуємо, що виконуєтьсярiвнiсть

(δ1, δ2, . . . , δn) = (γ1, γ2, . . . , γm) ·ATϕ .

Звiдси, переходячи до запису координат векторiв у стовпчик, отримуємо

ϕ(u) = Aϕ · u.

Отримана рiвнiсть означає, що для того, щоб знайти ядро лiнiйноговiдображення ϕ, потрiбно розв’язати однорiдну систему лiнiйних рiвнянь зматрицею Aϕ. Множина розв’язкiв цiєї системи буде множиною координатвекторiв ядра ϕ, записаних у базисi a1,a2, . . . ,am. За теоремою про будову

126

множини розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвнянь це означає, щодефект ϕ буде дорiвнювати m− rkAϕ.

Оскiльки образ лiнiйного вiдображення ϕ породжується образамибазисних векторiв a1,a2, . . . ,am, то стовпчики матрицi Aϕ будуть коор-динатами системи твiрних образу ϕ, записаних у базисi b1,b2, . . . ,bm.Максимальна лiнiйно незалежна пiдсистема в системi векторiв стовпчикiвбуде задавати базис образу ϕ. Це означає, що rkϕ = rkAϕ. Звiдси отри-муємо рiвнiсть

defϕ+ rkϕ = m.

Зауважимо, що цю рiвнiсть також можна було отримати безпосередньо,без використання матрицi лiнiйного вiдображення. А саме, вибравши вядрi вiдображення ϕ деякий базис, показати, що образи системи векторiв,яка доповнює його до базису всього простору V1, утворюють базис образуϕ.

Встановимо зв’язок мiж матрицями лiнiйного вiдображення ϕ удвох парах базисiв. Нехай у просторах V1 i V2 вибрано новi базисиb1,b2, . . . ,bm i h1,h2, . . . ,hn вiдповiдно, а вiдображення ϕ має в цихбазисах матрицю Bϕ. Позначимо матрицi переходу до цих базисiв вiдбазисiв a1,a2, . . . ,am та g1,g2, . . . ,gn символами S i T вiдповiдно. Тодiматриця T−1 буде матрицею переходу вiд базису h1,h2, . . . ,hn до базисуg1,g2, . . . ,gn i мають мiсце такi рiвностi:ϕ(b1)

ϕ(b2)...

ϕ(bm)

= BTϕ ·

h1

h2

...hn

,

b1

b2

...bm

= ST ·

a1

a2

...am

,

g1

g2

...gn

= (T−1)T ·

h1

h2

...hn

.

Скориставшись лiнiйнiстю ϕ, з другої рiвностi послiдовно отримуємоϕ(b1)

ϕ(b2)...

ϕ(bm)

= ST ·

ϕ(a1)

ϕ(a2)...

ϕ(am)

= ST ·ATϕ ·

g1

g2

...gn

= ST ·ATϕ · (T−1)T ·

h1

h2

...hn

.

127

Враховуючи, що матриця лiнiйного вiдображення у вибранiй парi базисiввизначена однозначно, звiдси отримуємо рiвнiсть BTϕ = ST ·ATϕ · (T−1)

T , зякої, транспонуючи, маємо

Bϕ = T−1 ·Aϕ · S. (20)

Формулу (20) називають формулою змiни матрицi лiнiйного вiдображенняпри змiнi базисiв.

Нехай тепер ϕ — лiнiйний оператор на n-вимiрному векторномупросторi V i a1,a2, . . . ,an — деякий базис цього простору. Матрицеюоператора ϕ в базисi a1,a2, . . . ,an називається матриця Aϕ лiнiйноговiдображення ϕ в базисах a1,a2, . . . ,an та a1,a2, . . . ,an, тобто квадратнаматриця порядку n, i-тим стовпчиком (1 ≤ i ≤ n) якої є стовпчик коор-динат образу i-того базисного вектора базису a1,a2, . . . ,am в цьому жбазисi.

Наприклад, в довiльному базисi матрицею нульового оператора буденульова матриця, а матрицею тотожного оператора id буде одиничнаматриця.

Якщо b1,b2, . . . ,bn — також є базисом простору V, в якому операторϕ має матрицю Bϕ, то з (20) випливає, що має мiсце рiвнiсть

Bϕ = T−1 ·Aϕ · T, (21)

в якiй T — матриця переходу вiд a1,a2, . . . ,an до b1,b2, . . . ,bn.Рiвнiсть (21) називається формулою змiни матрицi лiнiйного операторапри змiнi базису.

Означення 29. Квадратнi матрицi A,B порядку n називаються подi-бними, якщо iснує невироджена матриця T така, що B = T−1AT .

Твердження 37. Вiдношення подiбностi є вiдношенням еквiвален-тностi на множинi квадратних матриць порядку n.

Доведення. Кожна матриця A порядку n подiбна сама собi, оскiлькиA = E−1AE, де E — одинична матриця порядку n. Звiдси маємо рефле-ксивнiсть.

128

З рiвностi B = T−1AT отримуємо рiвнiсть A = TBT−1 =

(T−1)−1BT−1. Отже, вiдношення подiбностi симетричне.Нехай тепер B = T−1AT i C = S−1BS. Тодi

C = S−1(T−1AT )S = (TS)−1A(TS),

тобто має мiсце i транзитивнiсть вiдношення подiбностi.

Таким чином, для одного й того ж оператора ϕ його матрицi в рiзнихбазисах утворюють клас еквiвалентностi подiбних мiж собою матриць.Однiєю з головних задач при вивченнi лiнiйних операторiв є знаходженнятакого базису векторного простору, в якому цей оператор мав би якомогапростiший вигляд.

41 Дiї над лiнiйними вiдображеннями

Будемо позначати множину всiх лiнiйних вiдображень з векторногопростору V1 у простiр V2 над полем P символом Hom(V1,V2).

Означення 30. Добутком лiнiйного вiдображення ϕ ∈ Hom(V1,V2) наскаляр λ ∈ P називається вiдображення λϕ : V1 → V2, задане рiвнiстю

(λϕ)(u) = λ(ϕ(u)), u ∈ V1.

Означення 31. Сумою лiнiйних вiдображень ϕ,ψ ∈ Hom(V1,V2) нази-вається вiдображення ϕ+ ψ : V1 → V2, задане рiвнiстю

(ϕ+ ψ)(u) = ϕ(u) + ψ(u), u ∈ V1.

З цих означень вiдразу випливає, що добуток лiнiйного вiдображенняна скаляр i сума лiнiйних вiдображень також будуть лiнiйними вiдобра-женнями з простору V1 у простiр V2. Бiльше того, має мiсце

Твердження 38. Множина Hom(V1,V2) є векторним простором надполем P вiдносно введених дiй додавання вiдображень i множення їхна скаляри.

129

Доведення. Нульовим вектором простору Hom(V1,V2) буде нульовевiдображення, а протилежним для лiнiйного вiдображення ϕ буде (−1)ϕ.Перевiрка iнших аксiом здiйснюється безпосередньо за означенням i вико-ристовує вiдповiднi властивостi простору V2.

Векторний простiр Hom(V1,V2) називають простором лiнiйнихвiдображень з V1 у V2. Якщо V1 = V2, то вживається позначенняHom(V1), а отриманий у цьому випадку векторний простiр називаютьпростором лiнiйних операторiв на V1.

Якщо у скiнченновимiрних просторах V1,V2 вибрано деякi базиси, вяких лiнiйнi вiдображення ϕ,ψ ∈ Hom(V1,V2) мають матрицi Aϕ, Aψвiдповiдно, то в цих же базисах матрицею добутку λϕ буде матриця λAϕ,а матрицею суми ϕ+ψ — матриця Aϕ+Aψ. Це прямо випливає з означенняматрицi лiнiйного вiдображення.

Нехай тепер V1,V2,V3 — векторнi простори над полем P .

Означення 32. Добутком лiнiйного вiдображення ϕ ∈ Hom(V1,V2) налiнiйне вiдображення ψ ∈ Hom(V2,V3) називається вiдображення ϕψ :

V1 → V3, задане рiвнiстю

(ϕψ)(u) = ψ(ϕ(u)), u ∈ V1.

З лiнiйностi ϕ та ψ випливає, що й добуток ϕψ буде лiнiйним вiдобра-женням.

Нехай простори V1,V2,V3 є скiнченновимiрними, i в них вибранобазиси

a1,a2, . . . ,am, b1,b2, . . . ,bn, c1, c2, . . . , ck

вiдповiдно. Якщо лiнiйне вiдображення ϕ у базисах a1,a2, . . . ,am,b1,b2, . . . ,bn має матрицю Aϕ, а лiнiйне вiдображення ψ у базисахb1,b2, . . . ,bn, c1, c2, . . . , ck має матрицю Aψ, то в базисах a1,a2, . . . ,am,c1, c2, . . . , ck матрицею добутку ϕψ буде матриця AψAϕ. Справдi, для

130

вибраних базисiв справджуються рiвностiϕ(a1)

ϕ(a2)...

ϕ(am)

= ATϕ ·

b1

b2

...bn

,

ψ(b1)

ψ(b2)...

ψ(bn)

= ATψ ·

c1

c2

...ck

.

З лiнiйностi ψ тепер отримуємоψ(ϕ(a1))

ψ(ϕ(a2))...

ψ(ϕ(am))

= ATϕ ·

ψ(b1)

ψ(b2)...

ψ(bn)

= ATϕ ·ATψ ·

c1

c2

...ck

.

Транспонувавши, звiдси одержимо, що добуток матриць AψAϕ є матрицеюдобутку вiдображень ϕψ.

42 Власнi значення i власнi вектори

Нехай V — векторний простiр над полем P . Зафiксуємо лiнiйний операторϕ на просторi V.

Означення 33. Скаляр λ ∈ P називається власним значенням лiнiйногооператора ϕ, якщо iснує ненульовий вектор v ∈ V такий, що

ϕ(v) = λv. (22)

Ненульовий вектор v, для якого виконується рiвнiсть (22), називає-ться власним вектором лiнiйного оператора ϕ, що вiдповiдає власномузначенню λ.

Для довiльного скаляра λ ∈ P позначимо символом Vλ множину всiхтаких векторiв v, для яких виконується рiвнiсть (22).

Твердження 39. Множина Vλ, λ ∈ P , є пiдпростором простору V.Пiдпростiр Vλ є ненульовим тодi й тiльки тодi, коли λ є власнимзначенням оператора ϕ.

131

Доведення. Зауважимо, що для довiльного λ ∈ P для нульового векторарiвнiсть (22) виконується, тобто у множинi Vλ мiститься нульовий вектор.З означення власного значення випливає, що ця множина буде мiститиненульовi вектори тодi й лише тодi, коли λ є власним значенням оператораϕ.

Покажемо, що Vλ замкнена вiдносно додавання векторiв та множенняїх на скаляри.

Нехай u,v ∈ Vλ. Тодi

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) = λu + λv = λ(u + v),

звiдки отримуємо, що u + v ∈ Vλ.Нехай тепер u ∈ Vλ, α ∈ P . Тодi

ϕ(αu) = αϕ(u) = α(λu) = λ(αu),

звiдки αu ∈ Vλ.

Для кожного власного значення λ оператора ϕ пiдпростiр Vλ будемоназивати власним пiдпростором, що вiдповiдає власному значенню λ.

Твердження 40. Для довiльного λ ∈ P має мiсце рiвнiсть

Vλ = Ker(ϕ− λid).

Зокрема, dimVλ = def(ϕ− λid).

Доведення. Покажемо, що для довiльного вектора v ∈ V включення v ∈Vλ має мiсце тодi й тiльки тодi, коли v ∈ Ker(ϕ−λid). Справдi, включенняv ∈ Vλ має мiсце в тому й лише тому випадку, коли

ϕ(v) = λv,

тобтоϕ(v)− λv = ϕ(v)− λid(v) = (ϕ− λid)(v) = 0.

Остання рiвнiсть якраз i означає, що v ∈ Ker(ϕ− λid).

132

Таким чином, задача знаходження власних векторiв лiнiйного опера-тора зводиться до задачi знаходження ядра деякого лiнiйного оператора.Зокрема, число 0 є власним значенням лiнiйного оператора тодi й лишетодi, коли ядро цього оператора є нетривiальним, тобто оператор є виро-дженим.

Твердження 41. Для довiльних λ, µ ∈ P таких, що λ 6= µ, має мiсцерiвнiсть

Vλ⋂Vµ = 0.

Доведення. Припустимо, що ненульовий вектор v одночасно належитьобом пiдпросторам Vλ i Vµ. Тодi

ϕ(v) = λv = µv,

звiдки(λ− µ)v = 0,

що суперечить нерiвностi λ 6= µ. Твердження доведено.

Таким чином, кожен власний вектор лiнiйного оператора вiдповiдаєлише одному власному значенню.

Теорема 43. Нехай v1, . . . ,vk — власнi вектори лiнiйного оператораϕ, що вiдповiдають попарно рiзним власним значення λ1, . . . , λk. Тодiсистема векторiв v1, . . . ,vk є лiнiйно незалежною.

Доведення. Iндукцiя за кiлькiстю векторiв k.База iндукцiї: k = 1. Оскiльки вектор v1 власний, то вiн ненульовий,

а тому утворює лiнiйно незалежну систему.Припустимо, що твердження доведено для систем, що мiстять менше

k векторiв. Розглянемо лiнiйну комбiнацiю заданої системи k векторiв,рiвну нульовому вектору:

α1v1 + . . .+ αkvk = 0. (23)

Подiємо на обидвi частини рiвностi (23) оператором ϕ:

ϕ(α1v1 + . . .+ αkvk) = α1ϕ(v1) + . . . αkϕ(vk) = ϕ(0) = 0.

133

Оскiльки всi вектори v1, . . . ,vk є власними, то звiдси отримуємо рiвнiсть

α1λ1v1 + . . .+ αkλkvk = 0. (24)

Домножимо тепер рiвнiсть (23) на −λk i додамо до рiвностi (24):

α1(λ1 − λk)v1 + . . .+ αk−1(λk−1 − λk)vk−1 = 0.

Застосувавши припущення iндукцiї, отримуємо рiвностi

α1(λ1 − λk) = . . . = αk−1(λk−1 − λk) = 0.

З того, що власнi значення λ1, . . . , λk є попарно рiзними, випливаютьрiвностi

α1 = . . . = αk−1 = 0.

Пiдставивши цi значення в рiвнiсть (23), отримуємо αk = 0, оскiлькивектор vk, а тому ненульовий. Теорему доведено.

43 Характеристичний многочлен

Зафiксуємо деяке поле P . Будемо розглядати квадратнi матрицi порядкуn над цим полем.

Означення 34. Характеристичним многочленом квадратної матрицiA порядку n називається многочлен

χA(λ) = det(A− λE),

де E — одинична матриця порядку n.

Зауважимо, що визначник матрицi A − λE справдi є многочленомвiдносно λ, причому його степiнь дорiвнює порядку матрицi A.

Означення 35. Слiдом квадратної матрицi A називається сума всiх їїдiагональних елементiв.

Слiд матрицi A позначається символом trA.Основнi властивостi характеристичних многочленiв є такими.

134

Твердження 42. Нехай A — квадратна матриця порядку n. Тодi

1) старший коефiцiєнт многочлена χA(λ) дорiвнює (−1)n;

2) коефiцiєнт при λn−1 многочлена χA(λ) дорiвнює (−1)n−1trA;

3) вiльний коефiцiєнт многочлена χA(λ) дорiвнює detA;

4) характеристичнi многочлени подiбних матриць рiвнi.

Доведення. Нехай A = (aij)ni,j=1. В розгорнутому розкладi визначника

матрицi A−λE найбiльше входжень невiдомої λ, а саме n, мiстить добутокїї дiагональних елементiв, тобто

(a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ).

В кожен iнший добуток входить принаймнi два недiагональнi елементи iтому в ньому кiлькiсть входжень λ менша за n − 1. Розкривши дужки вдобутку дiагональних елементiв, отримуємо вiдразу перше твердження, апiсля зведення подiбних доданкiв — друге.

Для доведення третього твердження зауважимо, що вiльний коефi-цiєнт многочлена дорiвнює значенню цього многочлена в точцi 0. Такимчином, вiльний коефiцiєнт характеристичного многочлена матрицi A

дорiвнює χA(0) = det(A− 0 · E) = detA.Доведемо останнє твердження. Нехай матрицi A i B подiбнi, тобто для

деякої невиродженої матрицi T виконується рiвнiсть B = T−1AT . Тодi

χB(λ) = det(B − λE) = det(T−1AT − T−1(λE)T ) = det(T−1(A− λE)T ).

Заcтосувавши теорему про визначник добутку матриць та врахувавши,що визначники взаємно обернених матриць є оберненими, отримуємо, щоостаннiй визначник дорiвнює

det(T−1) · det(A− λE) · detT = det(A− λE) = χB(λ).

Отже, χB(λ) = χA(λ), що й потрiбно було довести.

Зафiксуємо тепер деякий лiнiйний оператор ϕ на n-вимiрному вектор-ному просторi V над полем P . Оскiльки матрицi цього лiнiйного операторау будь-яких базисах є подiбними, то коректним є таке означення.

135

Означення 36. Характеристичним многочленом лiнiйного оператора ϕназивається характеристичний многочлен його матрицi в довiльномубазисi.

Справдi, оскiльки характеристичнi многочлени подiбних матриць рiвнi,то незалежно вiд базису, в якому розглядається матриця оператора, хара-ктеристичний многочлен буде одним i тим же.

За допомогою характеристичного многочлена легко характеризуютьсявласнi значення лiнiйного оператора.

Твердження 43. Скаляр λ0 ∈ P буде власним значенням лiнiйногооператора ϕ тодi й тiльки тодi, коли λ0 є коренем характеристи-чного многочлена оператора ϕ.

Доведення. Зафiксуємо довiльний базис i розглянемо в ньому матрицю A

лiнiйного оператора ϕ. Скаляр λ0 ∈ P буде власним значенням оператораϕ тодi й тiльки тодi, коли оператор ϕ − λ0id є виродженим, тобто в йогоядрi мiстяться ненульовi вектори. Оператор ϕ−λ0id буде виродженим тодiй тiльки тодi, коли його матриця вироджена. Матрицею цього операторау вибраному базисi є матриця A − λ0E. Але виродженiсть цiєї матрицiякраз i означає, що визначник det(A−λ0E) рiвний нулю, тобто скаляр λ0

є коренем характеристичного многочлена χA(λ).

Наслiдок 18. Лiнiйний оператор, який дiє у n-вимiрному векторномупросторi, може мати не бiльше за n власних значень.

Доведення. Справдi, власнi значення такого оператора — це коренi йогохарактеристичного многочлена, який має степiнь n. Але кiлькiсть коренiвмногочлена не бiльша за його степiнь. Звiдси отримуємо необхiдне твер-дження.

Бiльше того, лiнiйний оператор може взагалi не мати власних значеньi власних векторiв.

Приклад 7. Розглянемо в просторi R2 лiнiйний оператор, який удеякому базисi має матрицю

A =

(0 −1

1 0

).

136

Тодi його характеристичний многочлен

χA(λ) =

∣∣∣∣∣ −λ −1

1 −λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 1

не має дiйсних коренiв, а тому оператор не має власних значень.

44 Жорданова нормальна форма

Будемо розглядати матрицi над деяким полем P .

Означення 37. Квадратну матрицю порядку k називають клiтиноюЖордана порядку k з власним значенням λ ∈ P i позначають Jk(λ),якщо в цiй матрицi всi дiагональнi елементи рiвнi λ, всi елементипершої дiагоналi, яка розташована над головною, рiвнi 1, а рештаелементiв рiвна 0.

Таким чином,

Jk(λ) =

λ 1 0 0 . . . 0 0

0 λ 1 0 . . . 0 0

0 0 λ 1 . . . 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 . . . λ 1

0 0 0 0 . . . 0 λ

.

Зокрема, J1(λ) = (λ).

Означення 38. Кажуть, що квадратна матриця має жордановунормальну форму (ЖНФ), якщо вона є блочно-дiагональною матрицею,в якої всi дiагональнi блоки є клiтинами Жордана.

137

Отже, матриця A має жорданову нормальну форму, якщо

A =

Jk1(λ1) O O . . . O O

O Jk2(λ2) O . . . O O

O O Jk3(λ3) . . . O O...

......

. . ....

...O O O . . . Jkm−1

(λm−1) O

O O O . . . O Jkm(λm)

для деяких натуральних m, k1, . . . , km та λ1, . . . , λm ∈ P . Для такоїматрицi A будемо вживати позначення

Jk1(λ1)⊕ . . .⊕ Jkm(λm).

Найпростiшими прикладами матриць, якi мають жорданову нормальнуформу, є дiагональнi матрицi. Справдi, для дiагональної матрицi

A =

λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

маємо рiвнiсть

A = J1(λ1)⊕ . . .⊕ Jn(λn).

Також матрицi, якi є клiтинами Жордана, мають жорданову нормальнуформу.

Прийнято вважати, що матрицi, якi мають жорданову нормальнуформу, є матрицями найпростiшого вигляду.

Якщо для лiнiйного оператора ϕ, який дiє в скiнченновимiрномувекторному просторi V над полем P , в деякому базисi цього просторуйого матриця має жорданову нормальну форму, то кажуть, що оператор ϕзводиться до ЖНФ. Базис, в якому матриця оператора має ЖНФ, нази-вають жордановим базисом цього оператора. Звести лiнiйний оператор доЖНФ означає знайти який-небудь його жорданiв базис i матрицю опера-тора в ньому.

138

Твердження 44. Нехай оператор ϕ в деякому базисi має матрицю A =

Jk1(λ1) ⊕ . . . ⊕ Jkm(λm). Тодi множина власних значень оператора ϕ

рiвна λ1, . . . , λm.

Доведення. Матриця A є верхньою трикутною i тому

χA(λ) = (λ1 − λ)k1 . . . (λm − λ)km ,

тобто коренями характеристичного многочлена оператора ϕ є елементиλ1, . . . , λm, i тiльки вони. Звiдси випливає потрiбне твердження.

Це твердження пояснює значення термiна “власне значення” в озна-ченнi клiтини Жордана. Адже оператор, матриця якого в деякому базисiє клiтиною Жордана Jk(λ), має єдине власне значення — λ.

45 Дiагоналiзовнi лiнiйнi оператори

Будемо розглядати лiнiйнi оператори в n-вимiрному векторному просторiV.

Для власного значення λ лiнiйного оператора ϕ назвемо його алге-браїчною кратнiстю кратнiсть λ як кореня характеристичного многочленаоператора ϕ. Геометричною кратнiстю власного значення λ будемо нази-вати розмiрнiсть власного пiдпростору Vλ.

Твердження 45. Геометрична кратнiсть довiльного власного значенняλ0 лiнiйного оператора ϕ не перевищує його алгебраїчну кратнiсть.

Доведення. Нехай геометрична кратнiсть власного значення λ0 дорiвнюєk. Виберемо базис

v1, . . . ,vk

у власному пiдпросторi Vλ0. Доповнимо його до базису

v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vn

всього простору i розглянемо в цьому базисi матрицю A лiнiйного опера-тора ϕ. Оскiльки всi вектори v1, . . . ,vk є власними, що вiдповiдають

139

власному значенню λ0, тобто ϕ(vi) = λ0vi, 1 ≤ i ≤ k, то матриця A

має вигляд:

A =

(λ0Ek B

O A1

),

де Ek — одинична матриця порядку k, A1 — квадратна матриця порядкуn− k, матриця B має розмiр k × (n− k), а O — нульова матриця розмiру(n − k) × k, тобто A є блочно-дiагональною. Тодi матриця A − λE такожє блочно-дiагональною i

χA(λ) = det(A−λEn) = det(λ0Ek−λEk)det(A1−λEn) = (λ0−λ)kχA1(λ).

Звiдси вiдразу випливає, що алгебраїчна кратнiсть λ0 не менша за k, щой потрiбно було довести.

Означення 39. Лiнiйний оператор називається дiагоналiзовним, якщоiснує базис, в якому його матриця є дiагональною.

Базис простору V, в якому дiє лiнiйний оператор ϕ, назвемо власнимбазисом оператора ϕ, якщо кожен вектор цього базису є власним векторомоператора ϕ.

Теорема 44. Для лiнiйного оператора ϕ, що дiє в n-вимiрному вектор-ному просторi V над полем P такi умови є рiвносильними:

1) у просторi V iснує власний базис оператора ϕ;

2) оператор ϕ є дiагоналiзовним;

3) характеристичний многочлен оператора ϕ розкладається над P

на лiнiйнi множники i геометрична кратнiсть кожного власногозначення оператора ϕ дорiвнює алгебраїчнiй кратностi цьоговласного значення.

Доведення. Оскiльки кожен власний вектор оператора ϕ пiд дiєю ϕ пере-ходить у вектор, кратний собi самому, то у власному базисi оператора ϕйого матриця є дiагональною. Отже, з першої умови теореми випливаєдруга.

140

Якщо у базисi v1, . . . ,vn матриця A оператора ϕ є дiагональною здiагональними елементами λ1, . . . , λn ∈ P , то характеристичний много-член такої матрицi має вигляд

(λ1 − λ) . . . (λn − λ),

тобто вiн розкладається над полем P на лiнiйнi множники, а кожневласне значення оператора ϕ є одним з дiагональних елементiв матрицiA, причому його алгебраїчна кратнiсть рiвна кiлькостi входжень цьогозначення в дiагональ матрицi A. Крiм того, з означення матрицi лiнiй-ного оператора випливає, що ϕ(vi) = λivi, 1 ≤ i ≤ n, тобто всi векторивибраного базису є власними. Це означає, що з другої умови теоремивипливає перша. При цьому для кожного власного значення в базисiбуде стiльки вiдповiдних йому власних векторiв, скiльки разiв це власнезначення зустрiчається на дiагоналi матрицi A. Звiдси отримуємо, що здругої умови теореми випливає третя.

Покажемо, що з третьої умови теореми випливає перша. Нехай хара-ктеристичний многочлен оператора ϕ має вигляд

(λ1 − λ)k1 . . . (λm − λ)km ,

для попарно рiзних елементiв λ1, . . . , λm ∈ P , тобто власними значеннямиϕ є елементи λ1, . . . , λm i їх алгебраїчнi кратностi дорiвнюють k1, . . . , kmвiдповiдно. Тодi власнi пiдпростори Vλ1 , . . . ,Vλm , що вiдповiдають цимвласним значенням, також будуть мати розмiрностi k1, . . . , km вiдповiдно,тобто сума їх розмiрностей буде рiвна n. Покажемо, що об’єднання базисiвцих власних пiдпросторiв буде базисом простору V, який i буде власнимбазисом. Для цього досить показати, що сума власних пiдпросторiв Vλ1

+

. . . + Vλmє прямою. Скористаємось теоремою 39 i покажемо, що перетин

довiльного власного пiдпростору з сумою решти власних пiдпросторiв єнульовим. Доведемо, що перетин

W = Vλ1

⋂(Vλ2 + . . .+ Vλm)

є нульовим. Для iнших перетинiв мiркування аналогiчнi. Припустимо вiдсупротивного, що деякий ненульовий вектор v належитьW. Тодi, з одного

141

боку, v є власним вектором, що вiдповiдає власному значенню λ1, а зiншого — вектор v є сумою v2 + . . . + vm, в якiй vi ∈ Vλ1

, 2 ≤ i ≤m, причому серед доданкiв є ненульовi вектори. Тобто власний векторv є сумою деяких власних векторiв, що вiдповiдають власним значеннямλ2, . . . , λm, причому для кожного такого власного значення в суму входитьне бiльше одного власного вектора, який йому вiдповiдає. Але це означає,що вектор v разом з власними векторами, сумою яких вiн є, утворюєлiнiйно залежну систему. Цi власнi вектори вiдповiдають попарно рiзнимвласним значенням i, таким чином, отримали суперечнiсть з теоремою 43.Отже, ненульовий вектор v не може належати W. Теорему доведено.

Таким чином, власний базис лiнiйного оператора є його жордановимбазисом.

46 Iнварiантнi пiдпростори

Нехай ϕ — лiнiйний оператор на векторному просторi V.

Означення 40. Пiдпростiр W простору V називається iнварiантнимдля оператора ϕ (або ϕ-iнварiантним), якщо для кожного вектораv ∈ W виконується включення ϕ(v) ∈ W.

Нульовий пiдпростiр i весь простiр V будуть iнварiантними пiдпросто-рами для довiльного лiнiйного оператора на V. Цi пiдпростори називаютьтривiальними iнварiантними пiдпросторами, а всi iншi iнварiантнi пiдпро-стори — нетривiальними.

Iнварiантними пiдпросторами для довiльного лiнiйного операторабудуть його ядро та образ. Це вiдразу випливає з означення ядра таобразу лiнiйного оператора. Зокрема, ядро i образ виродженого лiнiйногооператора є його нетривiальними iнварiантними пiдпросторами.

Крiм того, для довiльного власного значення λ лiнiйного оператораϕ вiдповiдний власний пiдпростiр Vλ буде ϕ-iнварiантним. Справдi, длядовiльного вектора v ∈ Vλ з рiвностi ϕ(v) = λv i замкненостi Vλ вiдносномноження на скаляри випливає, що ϕ(v) ∈ Vλ.

142

Для кожного ϕ-iнварiантного пiдпростору W простору V звуженняϕ|W лiнiйного оператора ϕ на W буде лiнiйним оператором на просторiW.

Припустимо, що простiр V є прямою сумою ϕ-iнварiантних пiдпро-сторiв W i U : V =W⊕U . Нехай ϕ1 — звуження оператора ϕ на пiдпростiрW, а ϕ2 — звуження ϕ на пiдпростiр U . Визначимо оператор ϕ1 ⊕ ϕ2 напросторi V за таким правилом: для довiльного вектора v ∈ V виберемоєдинi вектори w ∈ W, u ∈ U такi, що v = w + u, i покладемо

(ϕ1 ⊕ ϕ2)(v) = ϕ1(w) + ϕ2(u).

Тодi має мiсце рiвнiсть лiнiйних операторiв ϕ = ϕ1 ⊕ ϕ2. Аналогiчнийрозклад має мiсце, якщо простiр V подати у виглядi прямої суми довiльноїкiлькостi ϕ-iнварiантних пiдпросторiв. Таким чином, лiнiйний операторповнiстю визначається своїми звуженнями на iнварiантнi пiдпростори, якiутворюють прямий розклад всього простору.

Розглянемо тепер ϕ-iнварiантний пiдпростiр W n-вимiрного просторуV. Виберемо в W деякий базис

v1, . . . ,vk

i доповнимо його до базису

v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vn

всього простору V. Оскiльки

ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) ∈ W,

то координати з (k + 1)-ої до n-тої кожного з векторiв ϕ(v1), . . . , ϕ(vk) убазисi v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vn є нульовими. Це означає, що в цьому базисiматриця A оператора ϕ є блочно-трикутною, тобто має вигляд

A =

(A1 B

O A2

),

де A1 — матриця звуження оператора ϕ на пiдпростiр W в базисiv1, . . . ,vk цього пiдпростору. Пiдпростiр U , породжений векторами

143

vk+1, . . . ,vn, буде доповнюючим до W, тобто W⊕U = V. Якщо додатковоприпустити, що пiдпростiр U також є ϕ-iнварiантним, то отримаємо, щоматриця A є блочно-дiагональною, тобто має вигляд

A =

(A1 O

O A2

),

а матриця A2 — це матриця звуження оператора ϕ на пiдпростiр U вбазисi vk+1, . . . ,vn цього пiдпростору.

47 Нiльпотентнi лiнiйнi оператори

Нехай V — ненульовий векторний простiр над полем P .

Означення 41. Лiнiйний оператор ϕ ∈ Hom(V) називається нiль-потентним, якщо iснує таке натуральне число k, що оператор ϕk

є нульовим. Найменше число k з такою властивiстю називаєтьсяступенем нiльпотентностi оператора ϕ.

Найпростiшим прикладом нiльпотентного оператора є нульовийоператор. Вiн i тiльки вiн є нiльпотентним ступеня 1.

Твердження 46. Кожен нiльпотентний лiнiйний оператор є виро-дженим. Єдиним власним значенням нiльпотентного оператора є 0.

Доведення. Нехай оператор ϕ ∈ Hom(V) є нiльпотентним ступеня k.Якщо k = 1, тобто ϕ є нульовим, то Kerϕ = V. Якщо ж k > 1, тоiснує вектор v ∈ V такий, що

u = ϕk−1(v) 6= 0.

Тодi ϕ(u) = ϕk(v) = 0 i вектор u є ненульовим вектором з ядра оператораϕ. Отже, в обох випадках ядро оператора ϕ є нетривiальним, тобто ϕ євиродженим. Це означає, що 0 є власним значенням оператора ϕ, оскiлькиV0 = Kerϕ.

144

Покажемо, що оператор ϕ не має iнших власних значень, крiм 0. Нехайλ — власне значення ϕ, а u — вiдповiдний власний вектор. Тодi

0 = ϕk(u) = ϕk−1(ϕ(u)) = ϕk−1(λu) = . . . = λku.

Оскiльки вектор u ненульовий, то звiдси випливає, що λk = 0, тобтоλ = 0, що й потрiбно було показати.

Означення 42. Квадратна матриця A називається нiльпотентною,якщо iснує таке натуральне число k, що Ak = O. Найменше число k,для якого Ak = O, називається ступенем нiльпотентностi матрицi A.

Будемо далi розглядати скiнченновимiрний векторний простiр V.

Твердження 47. Лiнiйний оператор ϕ ∈ Hom(V) є нiльпотентнимступеня k тодi й лише тодi, коли в довiльному базисi простору Vйого матриця є нiльпотентною ступеня k.

Доведення. Лiнiйний оператор є нульовим тодi й лише тодi, коли в довiль-ному базисi його матриця нульова. Нехай A — матриця оператора ϕ вдеякому базисi. Тодi для довiльного натурального m матрицею оператораϕm в цьому базисi є матриця Am. Таким чином, оператор ϕm є нульовимтодi й тiльки тодi, коли матриця Am є нульовою, що й потрiбно булопоказати.

Теорема 45 (Жордана для нiльпотентного оператора). Для довiльногонiльпотентного лiнiйного оператора на скiнченновимiрному вектор-ному просторi iснує жорданiв базис.

Доведення. Нехай ϕ — нiльпотентний лiнiйний оператор на скiнченнови-мiрному просторi V. Якщо в деякому базисi його матриця A має жорда-нову нормальну форму, тобто

A = Jk1(λ1)⊕ Jk2(λ2)⊕ . . .⊕ Jkm(λm)

для деяких натуральних m, k1, k2, . . . , km, то це означає, що власнимизначеннями ϕ є λ1, . . . , λm. Але єдиним власним значенням нiльпотен-тного оператора є 0. Тому матриця оператора ϕ має вигляд

Jk1(0)⊕ Jk2(0)⊕ . . .⊕ Jkm(0). (25)

145

За означенням матрицi лiнiйного оператора, в базисi

a11,a12, . . . ,a1k1 ,a21,a22, . . . ,a2k2 , . . . ,am1,am2, . . . ,amkm

матриця оператора ϕ буде мати вигляд (27) тодi й тiльки тодi, коли будутьвиконуватися рiвностi

ϕ(a11) = 0, ϕ(a12) = a11, . . . , ϕ(a1k1) = a1k1−1,

ϕ(a21) = 0, ϕ(a22) = a21, . . . , ϕ(a2k2) = a2k2−1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ϕ(am1) = 0, ϕ(am2) = am1, . . . , ϕ(amkm) = amkm−1.

Схематично дiю оператора ϕ на векторах вибраного базису показано нарис 1. Базис, дiя оператора на векторах якого може бути задана за допо-могою такої дiаграми, називають ланцюжковим. Таким чином, для дове-дення теореми досить показати, що для нiльпотентного оператора можнавибрати ланцюжковий базис.

a1k1

a1k1−1

a12

a11

0

ϕ

ϕ

ϕ

a2k2

a2k2−1

a22

a21

0

ϕ

ϕ

ϕ

amkm

amkm−1

am2

am1

0

ϕ

ϕ

ϕ

Рис. 1.

Проведемо доведення iндукцiєю за числом k — ступенем нiльпотен-тностi оператора ϕ.

146

База iндукцiї: k = 1. В цьому випадку оператор ϕ є нульовим i длянього довiльний базис є ланцюжковим, оскiльки його матриця в довiль-ному базисi нульова.

Iндуктивний крок. Нехай ϕ — нiльпотентний оператор ступеня k > 1, iдля нiльпотентних операторiв меншого ступеня iснування ланцюжковогобазису вже доведено. Розглянемо образ оператора ϕ — пiдпростiр Imϕ.Тодi Imϕ є ненульовим ϕ-iнварiантним пiдпростором. Звуження оператораϕ на пiдпростiр Imϕ буде нiльпотентним оператором ступеня ≤ k − 1.Справдi, для довiльного вектора v ∈ Imϕ iснує вектор u такий, що v =

ϕ(u). Тодiϕk−1(v) = ϕk−1(ϕ(u)) = ϕk(v) = 0.

Тому для звуження ϕ на Imϕ можна застосувати припущення iндукцiї.Виберемо в Imϕ ланцюжковий базис

e11, e12, . . . , e1l1 , e21, e22, . . . , e2l2 , . . . , er1, er2, . . . , erlr ,

дiю оператора ϕ на якому зображено на рис. 2. Тодi dim Imϕ = l1 + l2 +e1l1

e1l1−1

e12

e11

0

ϕ

ϕ

ϕ

e2l2

e2l2−1

e22

e21

0

ϕ

ϕ

ϕ

erlr

erlr−1

er2

er1

0

ϕ

ϕ

ϕ

Рис. 2.

. . .+ lr.

147

Кожен з векторiвe1l1 , e2l2 , . . . , erlr ,

як вектор з образу оператора ϕ, має прообраз. Виберемо вектори

e1l1+1, e2l2+1, . . . , erlr+1

так, щоб

e1l1 = ϕ(e1l1+1), e2l2 = ϕ(e1l2+1), . . . , erlr = ϕ(e1lr+1).

Зауважимо, що вектори

e11, e21, . . . , er1

лежать в ядрi оператора ϕ i при цьому утворюють лiнiйно незалежнусистему. Доповнимо цю систему векторiв до базису Kerϕ:

e11, e21, . . . , er1, f1, f2, . . . , fs.

Тодi dimKerϕ = r + s.Покажемо, що система векторiв

e11, e12, . . . , e1l1 , e1l1+1, e21, e22, . . . , e2l2 , e2l2+1, . . . , er1, er2, . . . , erlr , erlr+1,

f1, f2, . . . , fs (26)

є базисом простору V. Тодi вiн буде шуканим ланцюжковим базисом,оскiльки оператор ϕ дiє на цiй системi векторiв (26) згiдно з рис. 3.

Зауважимо, що кiлькiсть векторiв у системi (27) рiвна

(l1+1)+(l2+1)+. . .+(lr+1)+s = (l1+l2+. . .+lr)+(r+s) = dim Imϕ+dimKerϕ = dimV.

Тому досить лише довести, що вона лiнiйно незалежна. Розглянемолiнiйну комбiнацiю цiєї системи, рiвну нульовому вектору:

α11e11 + α12e12 + . . .+ α1l1e1l1 + α1l1+1e1l1+1+

α21e21 + α22e22 + . . .+ α2l2e2l2 + α2l2+1e2l2+1 + . . .+

αr1er1 + αr2er2 + . . .+ αrlrerlr + αrlr+1erlr+1+

β1f1 + β2f2 + . . .+ βsfs = 0. (27)

148

e1l1

e1l1+1

e1l1−1

e12

e11

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

e2l2+1

e2l2

e2l2−1

e22

e21

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

erlr

erlr+1

erlr−1

er2

er1

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

fl

0

ϕ

f2

0

ϕ

fs

0

ϕ

Рис. 3.

Подiємо на обидвi частини цiєї рiвностi оператором ϕ. Враховуючиправило дiї ϕ на вибранi вектори (рис. 3), отримуємо рiвнiсть

α12e11 + . . .+ α1l1e1l1−1 + α1l1+1e1l1+

α22e21 + . . .+ α2l2e2l2−1 + α2l2+1e2l2 + . . .+

αr2er1 + . . .+ αrlrerlr−1 + αrlr+1erlr = 0.

Таким чином, отримали лiнiйну комбiнацiю векторiв базису пiдпросторуImϕ, рiвну нульовому вектору. Звiдси випливає, що вона тривiальна,тобто

α12 = . . . = α1l1+1 = α22 = . . . = α2l2+1 = . . . = αr2 = . . . = αrlr+1 = 0.

Тепер, пiдставивши цi значення в рiвнiсть (27), отримуємо

α11e11 + α21e21 + . . .+ αr1er1 + β1f1 + β2f2 + . . .+ βsfs = 0.

149

Отримали лiнiйну комбiнацiю векторiв базису пiдпростору Kerϕ, рiвнунульовому вектору. Звiдси випливає, що вона тривiальна, тобто

α11 = α21 = . . . = αr1 = β1 = β2 = . . . = βs = 0.

Звiдси й випливає лiнiйна незалежнiсть системи векторiв (26). Теоремадоведена.

48 Анулюючi многочлени

Нехай V — векторний простiр над полем P . Для будь-якого многочлена

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an−1x+ an ∈ P [x]

i довiльного лiнiйного оператора ϕ : V → V визначимо значення много-члена f вiд оператора ϕ рiвнiстю

f(ϕ) = a0ϕn + a1ϕ

n−1 + . . .+ an−1ϕ+ anid.

Тодi f(ϕ) також є лiнiйним оператором на просторi V. Значенням сумита добутку многочленiв вiд лiнiйного оператора будуть, вiдповiдно, сумаi добуток цих многочленiв вiд заданого оператора. Зауважимо, що длядовiльних многочленiв f(x), g(x) ∈ P [x] їх добутки (fg)(x) та (gf)(x) єрiвними i тому їх значення f(ϕ) i g(ϕ) вiд оператора ϕ також комутують.

Означення 43. Многочлен f(x) ∈ P [x] називається анулюючим длялiнiйного оператора ϕ, якщо оператор f(ϕ) є нульовим.

Якщо многочлен f(x) є анулюючим для ϕ, а многочлен g(x) дiлитьсяна f(x), то й g(x) буде анулюючим для ϕ. Справдi, для деякого многочленаh(x) виконується рiвнiсть g(x) = f(x)h(x). Тодi оператор g(ϕ) = f(ϕ)h(ϕ)

буде нульовим, як добуток операторiв, один з яких нульовий.Якщо векторний простiр V є скiнченновимiрним, i A — матриця лiнiй-

ного оператора ϕ : V → V в деякому базисi, то для довiльного многочленаf(x) ∈ P [x] матрицею оператора f(ϕ) в цьому ж базисi буде матрицяf(A). Многочлен f буде анулюючим для ϕ тодi й тiльки тодi, коли

150

матриця f(A) є нульовою. Зауважимо, що в цьому випадку обов’язковоiснує ненульовий анулюючий многочлен. Справдi, якщо dimV = n, тоdimHom(V) = n2. Тому система операторiв ϕn

2

, ϕn2−1, . . . , ϕ, id буде

лiнiйно залежною в Hom(V), оскiльки вона мiстить n2 + 1 вектор. Томуiснує нетривiальна лiнiйна комбiнацiя цiєї системи векторiв, рiвна нульо-вому вектору:

a0ϕn2

+ a1ϕn2−1 + . . .+ an2−1ϕ+ an2id = 0.

Але це означає, що ненульовий многочлен

f(x) = a0xn2

+ a1xn2−1 + . . .+ an2−1x+ an2 ∈ P [x]

є анулюючим для ϕ.Бiльше того, має мiсце

Теорема 46 (Гамiльтона-Келi). Нехай ϕ — лiнiйний оператор на n-вимiрному векторному просторi V. Тодi характеристичний многочленоператора ϕ є анулюючим для ϕ.

Доведення. Виберемо у просторi V який-небудь базис

v1, . . . ,vn.

Нехай A = (aij)nij — матриця оператора ϕ в цьому базисi. Тодi характери-

стичний многочлен ϕ рiвний χA(λ) = det(A− λE).Нехай Aij(λ) — алгебраїчне доповнення до елемента i-того рядка, j-

того стовпчика матрицi A − λE, 1 ≤ i, j ≤ n. Тодi приєднана матрицяadj(A− λE) до A− λE має вигляд adj(A− λE) = (Aji(λ))ni,j=1. З формулрозкладу визначника за рядком та чужим рядком отримуємо рiвнiсть

adj(A− λE) · (A− λE) = χA(λ) · E. (28)

Потрiбно показати, що оператор χA(ϕ) = det(A−ϕE) є нульовим. Дляцього досить пересвiдчитися, що цей оператор переводить усi векторивибраного базису простору V у нульовий вектор. З означенням матрицi

151

лiнiйного оператора маємо рiвностi

ϕ(v1) =a11v1 + a21v2 . . .+ an1vn

ϕ(v2) =a12v1 + a22v2 . . .+ an2vn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ϕ(vn) =a1nv1 + a2nv2 . . .+ annvn.

Перепишемо їх у виглядi

(a11id− ϕ)(v1) + a21v2 + . . .+ an1vn = 0

a12v1 + (a22id− ϕ)(v2) + . . .+ an2vn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1nv1 + a2nv2 + . . .+ (annid− ϕ)(vn) = 0.

Подiємо на першу рiвнiсть оператором A11(ϕ), на другу — операторомA12(ϕ), i т.д., на останню — оператором A1n(ϕ), i додамо отриманi резуль-тати:

(A11(ϕ)(a11id− ϕ) + a12A12(ϕ) + . . .+ a1nA1n(ϕ))(v1)+

(a21A11(ϕ) +A12(ϕ)(a22id− ϕ) + . . .+ a2nA1n(ϕ))(v2) + . . .+

(an1A11(ϕ) + an2A12(ϕ) + . . .+A1n(ϕ)(annid− ϕ))(vn) = 0.

З рiвностi 28 випливає, що в останнiй рiвностi на вектор v1 дiє операторχA(ϕ), а на всi iншi вектори — нульовий оператор. Таким чином,χA(ϕ)(v1) = 0. Аналогiчно доводяться рiвностi χA(ϕ)(v2) = . . . =

χA(ϕ)(vn) = 0. Теорему доведено.

49 Кореневi пiдпростори

Нехай V — векторний простiр над полем P . Зафiксуємо лiнiйний операторϕ на просторi V.

Означення 44. Кореневим вектором оператора ϕ для значення λ ∈ Pназивається такий вектор v ∈ V, що (ϕ − λid)k(v) = 0 для деякогонатурального k.

152

Для довiльного скаляра λ ∈ P позначимо символом Vλ множину всiхкореневих векторiв оператора ϕ для значенню λ ∈ P . Таким чином, зозначення кореневого вектора отримуємо рiвнiсть

Vλ =⋃k≥1

Ker(ϕ− λid)k.

Твердження 48. Нехай λ ∈ P — довiльний скаляр.

1) Множина Vλ є пiдпростором простору V.

2) Пiдпростiр Vλ мiстить пiдпростiр Vλ.

3) Пiдпростiр Vλ є ненульовим тодi й тiльки тодi, коли λ є власнимзначенням оператора ϕ.

4) Пiдпростiр Vλ є ϕ-iнварiантним.

Доведення. 1) Зауважимо, що нульовий вектор лежить у ядрi кожноголiнiйного оператора i тому є кореневим для довiльного скаляра. Отже,множина Vλ не порожня.

Припустимо, що u,v ∈ Vλ. Це означає, що для деяких натуральнихk1, k2 мають мiсце рiвностi

(ϕ− λid)k1(u) = (ϕ− λid)k2(v) = 0.

Тодi для k = maxk1, k2 маємо

(ϕ− λid)k(u + v) = (ϕ− λid)k(u) + (ϕ− λid)k(v) = 0 + 0 = 0.

Отже, u + v ∈ Vλ. Крiм того, для довiльного скаляра α ∈ P отримуємо

(ϕ− λid)k1(αu) = α(ϕ− λid)k1(u) = α0 = 0,

тобто αu ∈ Vλ. Таким чином, множина Vλ є пiдпростором.2) З рiвностi Vλ = Ker(ϕ−λid) отримуємо включення Vλ ⊂ Vλ. Звiдси

вiдразу ж випливає, що коли λ є власним значенням ϕ, то пiдпростiр Vλ

є ненульовим, оскiльки в цьому випадку пiдпростiр Vλ ненульовий.

153

3) Залишилось показати, що у випадку, коли пiдпростiр Vλ є нену-льовим, скаляр λ є власним значенням оператора ϕ. Виберемо довiльнийненульовий вектор u ∈ Vλ. Нехай k — найменше натуральне число таке,що (ϕ − λid)k(u) = 0. Якщо k = 1, то вектор u є власним вектором звласним значенням λ. Якщо ж k > 1, то вектор v = (ϕ − λid)k−1(u) єненульовим, а з рiвностi (ϕ − λid)(v) = (ϕ − λid)k(u) = 0 випливає, щовiн є власним вектором з власним значенням λ. Таким чином, значення λє власним для оператора ϕ.

4) Для довiльного вектора u ∈ Vλ розглянемо вектор ϕ(u). Нехайнатуральне число k є таким, що (ϕ− λid)k(v) = 0. Оператори (ϕ− λid)k

та ϕ є значеннями вiд оператора ϕ многочленiв (x− λ)k та x вiдповiдно iтому комутують. Звiдси одержуємо рiвностi

(ϕ− λid)k(ϕ(u)) = ϕ((ϕ− λid)k1(u)) = ϕ(0) = 0,

тобто ϕ(u) ∈ Vλ. Отже, пiдпростiр Vλ є ϕ-iнварiантним.

Означення 45. Якщо λ — власне значення оператора ϕ, то пiдпростiрVλ називається кореневим пiдпростором оператора ϕ.

Таким чином, кожен кореневий пiдпростiр оператора ϕ мiстить вiдпо-вiдний власний пiдпростiр i є ненульовим ϕ-iнварiантним пiдпростором.

Основним результатом про кореневi пiдпростори лiнiйного оператора єтака теорема.

Теорема 47. Нехай ϕ — лiнiйний оператор у скiнченновимiрномувекторному просторi V над полем P , характеристичний многочленякого розкладається над полем P на лiнiйнi множники. Тодi векторнийпростiр V розкладається в пряму суму кореневих пiдпросторiв опера-тора ϕ.

Доведення. З точнiстю до знака характеристичний многочлен оператораϕ має вигляд

χϕ(x) = (x− λ1)k1 . . . (x− λm)km ,

де λ1, . . . , λm ∈ P — попарно рiзнi. Тодi власними значеннями оператораϕ є скаляри λ1, . . . , λm, а його кореневими пiдпросторами — пiдпростори

154

Vλ1 , . . . ,Vλm . Потрiбно показати, що

V = Vλ1 ⊕ . . .⊕ Vλm .

Для кожного i, 1 ≤ i ≤ m, розглянемо многочлен fi(x) = (λi −x)−kiχϕ(x). Нехай ψi — значення многочлена fi(x) вiд оператора ϕ, аVi — образ лiнiйного оператора ψi. Для доведення теореми досить пока-зати, що має мiсце розклад

V = V1 ⊕ . . .⊕ Vm

i виконуються рiвностi Vλi = Vi, 1 ≤ i ≤ m. Доведення розiб’ємо надекiлька частин.

1) Покажемо спочатку, що Vi ⊂ Vλi , 1 ≤ i ≤ m. Для довiльноговектора u ∈ Vi виберемо такий вектор v ∈ V, що u = ψi(v). Тодi

(ϕ−λiid)ki(u) = (ϕ−λiid)ki(ψi(v)) = (ϕ−λiid)ki(fi(ϕ)(v)) = (χϕ(ϕ))(v) = 0,

оскiльки оператор χϕ(ϕ) є нульовим за теоремою Гамiльтона-Келi. Отже,вектор u є кореневим для власного значення λi, тобто u ∈ Vλi .

2) Доведемо, що має мiсце розклад V = V1 + . . . + Vm. Зауважимо,що за побудовою многочлени f1(x), . . . , fm(x) є взаємно простими в суку-пностi, тобто їх найбiльшим спiльним дiльником є одиничний многочлен.Це означає, що знайдуться такi многочлени g1(x), . . . , gm(x) ∈ P [x], дляяких буде мати мiсце рiвнiсть многочленiв

1 = g1(x)f1(x) + . . .+ gm(x)fm(x).

Обчисливши значення обох частин цiєї рiвностi вiд оператора ϕ, отри-муємо рiвнiсть операторiв

id = g1(ϕ)f1(ϕ) + . . .+ gm(ϕ)fm(ϕ) = g1(ϕ)ψ1 + . . .+ gm(ϕ)ψm.

Тепер для довiльного вектора v ∈ V отримуємо рiвностi

v = id(v) = (g1(ϕ)ψ1+. . .+gm(ϕ)ψm)(v) = ψ1((g1(ϕ))(v))+. . .+ψm((gm(ϕ))(v)),

де ψi((gi(ϕ))(v)) ∈ Vi, 1 ≤ i ≤ m. Звiдси випливає потрiбний розклад.

155

3) Покажемо, що сума V1+. . .+Vm є прямою. Для цього скористаємосьтеоремою 39. Для кожного i, 1 ≤ i ≤ m, позначимо символом Ui суму

V1 + . . .+ Vi−1 + Vi+1 + . . .+ Vm

i доведемо, що перетин Vi ∩ Ui є нульовим. Нехай v ∈ Vi ∩ Ui. Оскiлькиv ∈ Vi, то за доведеним в 1) маємо рiвнiсть

(ϕ− λiid)ki(v) = 0.

Оскiльки v ∈ Ui, то

v = v1 + . . .+ vi−1 + vi+1 + . . .+ vm,

де vj ∈ Vj , тобто vj = ψj(uj) для деякого вектора vj ∈ V, 1 ≤ j ≤ m,j 6= i. Тодi

ψi(v) = ψi(v1 + . . .+ vi−1 + vi+1 + . . .+ vm) =

ψi(v1) + . . .+ ψi(vi−1) + ψi(vi+1) + . . .+ ψi(vm) =

ψi(ψ1(u1)) + . . .+ ψi(ψi−1(ui−1)) + ψi(ψi+1ui+1)) + . . .+ ψi(ψm(vm)) =

((fif1)(ϕ))(u1) + . . .+ ((fifi−1)(ϕ))(ui−1)+

((fifi+1)(ϕ))(ui+1) + . . .+ ((fifm)(ϕ))(vm) = 0,

оскiльки кожен з многочленiв fif1, . . . , fifi−1, fifi+1, . . . , fifm дiлиться нахарактеристичний многочлен χϕ, а тому є анулюючим для оператора ϕ.Многочлени (x− λi)ki та fi(x) є взаємно простими. Тому знайдуться такiмногочлени h1(x), h2(x) ∈ P [x], що

1 = (x− λi)kih1(x) + fi(x)h2(x).

Звiдси отримуємо рiвнiсть операторiв

id = (ϕ− λiid)kih1(ϕ) + fi(ϕ)h2(ϕ) = (ϕ− λiid)kih1(ϕ) + ψih2(ϕ).

Подiємо тепер на вектор v:

v = id(v) = ((ϕ− λiid)kih1(ϕ) + ψih2(ϕ))(v) =

(h1(ϕ))((ϕ− λiid)ki(v)) + (h2(ϕ))(ψi(v)) = (h1(ϕ))(0) + (h2(ϕ))(0) = 0.

156

Отримана рiвнiсть i означає, що в перетинi Vi ∩Ui лежить лише нульовийвектор. Насправдi наведене доведення показує, що навiть в перетинi Vλi ∩Ui лежить лише нульовий вектор. Отже,

V = V1 ⊕ . . .⊕ Vm.

4) Залишається довести, що Vλi ⊂ Vi, 1 ≤ i ≤ m. Виберемо довiльнийвектор w ∈ Vλi . Оскiльки

V = Vi + Ui,

то w = v + u для деяких v ∈ Vi, u ∈ Ui. Оскiльки Vi ⊂ Vλi , то векторu = w − v буде також належати кореневому пiдпростору Vλi . Але задоведеним в 3), вектор, який одночасно належить пiдпросторам Ui та Vλi ,є нульовим. Отже, u = 0. Таким чином, w = v ∈ Vi, звiдки випливаєнеобхiдне включення. Теорему доведено.

50 Теорема Жордана

Основним результатом про будову матриць лiнiйних операторiв є така

Теорема 48 (Жордана). Нехай ϕ — лiнiйний оператор у скiнченновимiр-ному векторному просторi V над полем P , характеристичний много-член якого розкладається над полем P на лiнiйнi множники. Тодi упросторi V iснує базис, в якому матриця оператора ϕ має жордановунормальну форму, причому ця форма визначена однозначно з точнiстюдо перестановок клiтин Жордана.

Доведення. З точнiстю до знака характеристичний многочлен оператораϕ має вигляд

χϕ(x) = (x− λ1)k1 . . . (x− λm)km ,

де λ1, . . . , λm ∈ P — попарно рiзнi. Тодi власними значеннями оператораϕ будуть скаляри λ1, . . . , λm, а їх алгебраїчними кратностями — числаk1, . . . , km вiдповiдно. За теоремою 47 простiр V розкладається в прямусуму кореневих пiдпросторiв оператора ϕ:

V = Vλ1 ⊕ . . .⊕ Vλm .

157

При цьому всi кореневi пiдпростори є ϕ-iнварiантними. Це означає, щов базисi простору V, який є об’єднанням базисiв кореневих пiдпро-сторiв, матриця оператора ϕ є блочно-дiагональною, причому її дiаго-нальними блоками є матрицi звужень ϕ на кореневi пiдпростори. Томудосить довести, що в кожному кореневому пiдпросторi оператора ϕ можнавибрати базис так, щоб у цьому базисi матриця звуження ϕ на цей пiдпро-стiр мала жорданову нормальну форму.

Таким чином, задача знаходження жорданового базису для лiнiйногооператора ϕ зводиться до задачi знаходження жорданового базису длятакого лiнiйного оператора, що весь простiр V є кореневим пiдпросторомдля цього оператора, тобто iснує скаляр λ ∈ P такий, що V = Vλ. Заува-жимо, що в цьому випадку оператор ψ = ϕ − λid буде нiльпотентним.Справдi, оскiльки кожен з базисних векторiв простору V є кореневим,тобто перейде в нульовий вектор пiд дiєю деякого степеня оператора ψ, товсi базиснi вектори перейдуть в нульовий вектор пiд дiєю максимальногоз них. Отже, до оператора ψ можна застосувати теорему про нiльпотен-тний оператор i вибрати для нього жорданiв базис. Нехай в цьому базисiйого матриця має вигляд

Jl1(0)⊕ . . .⊕ Jlk(0).

Але тодi в цьому ж базисi матриця оператора ϕ = ψ + λid буде мативигляд

Jl1(λ)⊕ . . .⊕ Jlk(λ),

тобто буде мати жорданову нормальну форму, а вибраний базис будежордановим базисом для оператора ϕ. Тим самим завершується доведенняiснування жорданової нормальної форми матрицi лiнiйного оператора ϕ.

Доведемо її єдинiсть. Потрiбно довести, що для кожного власногозначення оператора ϕ кiлькiсть клiтин Жордана кожного розмiру з цимвласним значенням визначена оператором однозначно, i не залежить вiдвибору жорданового базису.

Зауважимо, що сума розмiрiв клiтин Жордана з власним значенням λ

рiвна алгебраїчнiй кратностi цього власного значення i тому не залежитьвiд вибору жорданового базису. Тому досить обмежитись випадком, коли

158

оператор ϕ має єдине власне значення, причому можна вважати, що цезначення рiвне 0, тобто ϕ є нiльпотентним. Нехай в деякому жордано-вому базисi оператора ϕ в його матрицi J є si клiтин Жордана порядкуi, i ≥ 0. Покажемо, що числа si однозначно визначаються оператором ϕ iне залежать вiд вибору жорданового базису. Зрозумiло, що розмiр клiтинЖордана у матрицi J обмежений згори (вiн не може бути бiльшим зарозмiрнiсть простору V). Нехай k — найбiльший з розмiрiв клiтин. Тодiкiлькiсть нульових стовпчикiв у матрицi J дорiвнює, з одного боку кiль-костi клiтин Жордана, в цiй матрицi, а з iншого — розмiрностi ядра опера-тора ϕ, оскiльки ненульовi стовпчики цiєї матрицi утворюють лiнiйнонезалежну систему. Таким чином, маємо рiвнiсть

s1 + s2 + . . .+ sk = dimKerϕ.

Для степенiв клiтини Жордана Jm(0) (m > 1) методом математичної iнду-кцiї встановлюються такi рiвностi

Jm(0)2 =

0 0 1 0 . . . 0 0 0

0 0 0 1 . . . 0 0 0...

......

.... . .

......

...0 0 0 0 . . . 0 0 1

0 0 0 0 . . . 0 0 0

0 0 0 0 . . . 0 0 0

, . . . , Jm(0)m−1 =

0 0 0 0 . . . 0 0 1

0 0 0 0 . . . 0 0 0...

......

.... . .

......

...0 0 0 0 . . . 0 0 0

0 0 0 0 . . . 0 0 0

0 0 0 0 . . . 0 0 0

.

Матриця ж Jm(0)m є нульовою. З того, що матриця J є блочно дiаго-нальною i її дiагональнi блоки є клiтинами Жордана, випливає, що всiїї степенi є блочно дiагональними, причому її дiагональнi блоки є степе-нями вiдповiдних дiагональних блокiв матрицi J . Зокрема це означає,що в матрицi J2 ненульових стовпчикiв стало бiльше порiвняно з кiль-кiстю ненульових стовпчикiв матрицi J на кiлькiсть клiтин Жордана вJ , порядок яких бiльший за 1. Всi ненульовi стовпчики матрицi J2 утво-рюють лiнiйно незалежну систему. Тому маємо рiвнiсть

s2 + . . .+ sk = dimKerϕ2 − dimKerϕ.

Аналогiчно отримуємо рiвностi

si + . . .+ sk = dimKerϕi − dimKerϕi−1, 1 ≤ i ≤ k.

159

Тут ϕ0 = id i dimKerϕ0 = 0. При цьому матриця Jk є нульовою.Отже, число k, тобто найбiльший з розмiрiв клiтин Жордана в матрицi J ,дорiвнює ступеневi нiльпотентностi оператора ϕ, i не залежить вiд виборужорданового базису. Таким чином,

sk = dimKerϕk − dimKerϕk−1.

Вiднявши вiд i-тої рiвностi (i+ 1)-шу, отримуємо

si = 2 dimKerϕi − dimKerϕi−1 − dimKerϕi+1, 1 ≤ i ≤ k − 1.

Отже, кiлькостi клiтин Жордана кожного можливого розмiру в матрицi Jне залежать вiд вибору жорданового базису. Теорему доведено.

Часто використовують такi наслiдки з теореми Жордана.

Наслiдок 19. Кожен лiнiйний оператор, який дiє в скiнченновимiрномупросторi над полем комплексних чисел, має в цьому просторi жорданiвбазис.

Доведення. Випливає з теореми Жордана та основної теореми алгебри,оскiльки в цьому випадку характеристичний многочлен оператора є много-членом з комплексними коефiцiєнтами i вiн розкладається над полемкомплексних чисел на лiнiйнi множники.

Наслiдок 20. Кожна квадратна матриця з комплексними елементамиподiбна матрицi, яка має жорданову нормальну форму.

Доведення. Квадратна матриця A порядку n з комплексними елементамиє матрицею деякого лiнiйного оператора ϕ у просторi Cn в стандар-тному базисi цього простору. За теоремою Жордана, в деякому базисiцей оператор задається матрицею, що має жорданову нормальну форму.Враховуючи, що матрицi одного й того ж лiнiйного оператора є подiбними,отримуємо необхiдне твердження.

Наслiдок 21. Двi квадратнi матрицi однакового порядку над полемP , що мають жорданову нормальну форму, є подiбними тодi й лишетодi, коли вони вiдрiзняються лише перестановкою клiтин Жордана.

160

Доведення. Будемо розглядати заданi матрицi, як матрицi лiнiйних опера-торiв у деякому векторному просторi. Якщо цi матрицi є подiбними, томожна вважати, що вони є матрицями одного й того ж оператора. Теперз єдиностi жорданової нормальної форми лiнiйного оператора випливаєнеобхiднiсть твердження наслiдку.

Якщо ж перестановкою дiагональних клiтин з однiєї з заданих матрицьможна отримати iншу, то це означає, що можна так переставити векторитого базису, в якому ця матриця є матрицею деякого лiнiйного оператора,що вийде базис, в якому iнша матриця буде матрицею деякого оператора.Отже, заданi матрицi є матрицями одного й того ж оператора, а тому єподiбними.

51 Мiнiмальний многочлен

Нехай V — скiнченновимiрний векторний простiр над полем P . Тодi длякожного лiнiйного оператора ϕ на просторi V iснує ненульовий анулюючиймногочлен.

Означення 46. Мiнiмальним многочленом оператора ϕ називаєтьсяанулюючий многочлен оператора ϕ, який має мiнiмальний степiньсеред ненульових анулюючих многочленiв цього оператора.

Твердження 49. Анулюючий многочлен оператора ϕ буде мiнiмальниммногочленом ϕ тодi й тiльки тодi, коли цей многочлен є дiльникомдовiльного анулюючого многочлена ϕ.

Доведення. Припустимо, що многочлен m(x) ∈ P (x) є мiнiмальниммногочленом оператора ϕ. Розглянемо довiльний анулюючий многочленf(x) ∈ P (x) цього оператора i подiлимо його з остачею на m(x):

f(x) = m(x)q(x) + r(x),

причому deg r(x) < degm(x). Тодi

f(ϕ) = m(ϕ)q(ϕ) + r(ϕ),

161

звiдки випливає, що оператор r(ϕ) є нульовим. Це означає, що многочленr(x) мусить бути нульовим, бо iнакше вiн був би ненульовим анулюючиммногочленом, що суперечило б вибору m(x). Отже, f(x) дiлиться на m(x).

В iнший бiк твердження випливає з того, що степiнь довiльного дiль-ника деякого многочлена не бiльший за степiнь самого цього много-члена.

Наслiдок 22. Характеристичний многочлен лiнiйного оператора дiли-ться на його мiнiмальний многочлен.

Доведення. Випливає з твердження 49 i теореми Гамiльтона-Келi.

Розглянемо тепер випадок, коли характеристичний многочлен опера-тора ϕ розкладається над полем P на лiнiйнi множники, тобто в деякомубазисi простору V матриця ϕ має жорданову нормальну форму, i знайдемов цьому випадку мiнiмальний многочлен ϕ.

Теорема 49. Нехай λ1, . . . , λm ∈ P — всi власнi значення оператора ϕ,а найбiльшi порядки клiтин Жордана у жордановiй нормальнiй формiоператора ϕ, що вiдповiдають цим значенням, рiвнi k1, . . . , km вiдпо-вiдно. Тодi мiнiмальним многочленом оператора ϕ буде многочлен

m(x) = (x− λ1)k1 . . . (x− λm)km .

Доведення. Доведення розпадається на двi частини.Розглянемо спочатку випадок, коли жордановою нормальною формою

оператора ϕ є клiтина Жордана Jn(λ). В цьому випадку характеристичниммногочленом ϕ буде χϕ(x) = (x − λ)n. Отже, мiнiмальним многочленомϕ буде деякий дiльник цього многочлена, тобто многочлен виду (x− λ)k,де k ≤ n. Але матрицею оператора (ϕ − λid)k у вибраному базисi будематриця

(Jn(λ)− λE)k = Jn(0)k.

Для довiльного k < n матриця Jn(0)k ненульова, а тому многочлен (x−λ)k

не є анулюючим для ϕ. Отже, в цьому випадку мiнiмальний многочленоператора ϕ збiгається з його характеристичним многочленом i дорiвнює(x− λ)n.

162

52 Функцiї вiд матриць

53 Лiнiйнi функцiонали

54 Бiлiнiйнi функцiї

55 Квадратичнi функцiї

56 Алгебраїчнi дiї

Нехай M — деяка непорожня множина, n — натуральне число, а

Mn = (m1, . . . ,mn)|mi ∈M, i = 1, . . . , n —

n-тий декартiв степiнь множини M .

Означення 47. Алгебраїчною дiєю (операцiєю) арностi n на множинiM називається вiдображення

f : Mn →M.

Iншими словами, n-арна дiя на M — це таке правило, яке кожномувпорядкованому набору (m1, . . . ,mn) (такi набори ще називають корте-жами довжини n) елементiв з M ставить у вiдповiднiсть деякий елементцiєї множини. Якщо на множинi M задано n-арну алгебраїчну дiю f ,то кажуть, що множина M є замкненою вiдносно дiї f , а бiнарна дiя fє внутрiшньою на множинi M (цим самим пiдкреслюється, що областювизначення функцiї f є множина Mn , а областю її значень — M). Алге-браїчнi дiї арностi 1 називають унарними, арностi 2 — бiнарними, арностi3 — тернарними. У подальшому ми матимемо справу переважно з бiнар-ними алгебраїчними операцiями. Для бiнарної дiї f на множинi M длязапису значення цiєї дiї на кортежi (a, b) ∈M2 замiсть позначення f(a, b)

вживають позначення afb. Найчастiше бiнарну дiю позначають одним iзсимволiв ·,+, , ∗. При цьому в першому випадку її називають множеннямi про значення a · b (iнколи опускають знак множення i пишуть просто

163

ab) говорять, як про добуток a на b, а в другому називають додаванням iзначення a+ b називають сумою a i b.

Якщо бiнарну дiю f визначено на скiнченнiй множинi M , то її зручнозадавати за допомогою таблицi Келi цiєї дiї. А саме, таблицею Келi дiїf називають квадратну матрицю, рядки i стовпчики якої занумерованiелементами множиниM , в якiй на перетинi рядка з номером a i стовпчиказ номером b стоїть значення afb, a, b ∈M .

Приклад 8. 1) Вiдображення a 7→ a−1 є унарною дiєю на множинiR+ всiх додатних дiйсних чисел.

2) Вiдображення (a, b) 7→ a + b є бiнарною операцiєю на кожнiй зчислових множин N,Z,Q,R,C.

3) Вiдображення (a, b) 7→ a − b не є бiнарною операцiєю на множинiвсiх натуральних чисел, бо область його значень рiвна множинiвсiх цiлих чисел.

4) Дiя множення матриць є бiнарною операцiєю на множинi Mn(R)

всiх квадратних матриць порядку n з дiйсними елементами, n ∈N.

5) Дiя множення пiдстановок є бiнарною операцiєю на множинi Snвсiх пiдстановок фiксованої n-елементної множини, n ∈ N.

6) Дiї додавання i множення лiнiйних операторiв є бiнарними опера-цiями на множинi всiх лiнiйних операторiв, що дiють у фiксова-ному векторному просторi.

7) Дiя множення векторiв на скаляри у векторному просторi V надполем P , V 6= P, не є бiнарною операцiєю на V , оскiльки областьїї визначення — P×V , а не V ×V . Натомiсть для кожного скаляраλ ∈ P вiдображення v 7→ λv є унарною операцiєю на просторi V .

8) Таблиця

a b

a a a

b a b

164

є таблицею Келi деякої бiнарної операцiї на множинi M = a, b.

9) Вiдображення (a, b, c) 7→ (a − b) + c є тернарною операцiєю намножинi всiх цiлих чисел.

Нехай тепер M — деяка множина, ϕm — m-арна операцiя на нiй.

Означення 48. Множина M разом з набором ϕm11 , . . . , ϕmr

r , . . . (скiн-ченним або нескiнченним) алгебраїчних операцiй на нiй називаєтьсяунiверсальною алгеброю.

Зауважимо, що термiн унiверсальна алгебра вживають також i в томувипадку, коли якiсь алгебраїчнi дiї визначенi не для всiх кортежiв вiдпо-вiдної довжини, тобто є частково визначеними вiдображеннями. Напри-клад, вiдображення a 7→ a−1 є частково визначеною унарною опера-цiєю на множинi R всiх дiйсних чисел, а набiр (R; +, ·,−1 ) — унiвер-сальною алгеброю. Iншими прикладами унiверсальних алгебр є (Z; ·,+),(N; ·,+,НСД,НСК).

Для унiверсальної алгебри (M ;ϕm11 , . . . , ϕmr

r , . . .) множину M

називають носiєм цiєї унiверсальної алгебри, а числовий вектор(m1, . . . ,mr, . . .) арностей заданих алгебраїчних дiй — її сигнатурою.Наприклад, сигнатурою унiверсальної алгебри (R; +, ·,−1 ) є (2, 2, 1).

57 Властивостi бiнарних дiй

Зафiксуємо деяку множину разом з бiнарною дiєю, на нiй визначеною:(M, ·).

Означення 49. Дiя · на множинi M називається асоцiативною, якщодля довiльних елементiв a, b, c ∈M має мiсце рiвнiсть (ab)c = a(bc).

Асоцiативними є, наприклад, дiї додавання i множення на кожнiй iзмножин N,Z,Q,R,C. В той же час дiя вiднiмання на множинi Z асоцiа-тивною не є, бо, скажiмо, (2− 2)− 1 = −1 6= 1 = 2− (2− 1).

Властивiсть асоцiативностi бiнарної дiї дозволяє говорити про добутокдовiльного скiнченного набору елементiв з M , не уточнюючи, як у ньомурозставленi дужки. А саме, має мiсце

165

Твердження 50. Для довiльного набору a1, . . . , an елементiв множиниз асоцiативною дiєю (M, ·) добуток ((a1 . . .)(. . . an)) цих елементiв здовiльним розташуванням дужок рiвний добутку

(. . . ((a1a2)a3) . . . an).

Доведення. Проведемо доведення iндукцiєю за n. При n = 3 твердженняє умовою асоцiативностi i тому виконане. Припустимо, що воно дове-дене для всiх послiдовностей, якi мають довжини, меншi за n. Нехаймаємо тепер певним чином розставленi дужки, якi визначають добуток nелементiв. Тодi для певного m < n вiн має вигляд

((a1a2 . . . am)(am+1am+2 . . . an)),

де, в силу припущення iндукцiї, добутки всерединi вiдзначених дужок незалежать вiд розставлених там дужок. Якщо m = n−1, то все доведено. Вiншому випадку, використавши умову асоцiативностi, можемо переписатипочатковий добуток таким чином:

((a1a2 . . . am)(am+1am+2 . . . an)) =

((a1a2 . . . am)((am+1am+2 . . . an−1)an) =

((a1a2 . . . am)(am+1am+2 . . . an−1))an.

Ще раз скориставшись припущенням iндукцiї, одержуємо необхiдне твер-дження.

Таким чином, запис добутку a1a2 . . . an елементiв з множиниM є коре-ктним, якщо дiя множення на нiй асоцiативна. Наприклад, для кожного зп’яти можливих добуткiв набору iз чотирьох елементiв ((ab)c)d, (ab)(cd),(a(bc))d, a((bc)d), a(b(cd)) вживається запис abcd. Також для a ∈ M уцьому випадку будемо вживати запис an для позначення добутку aa . . . a︸ ︷︷ ︸

n раз

,

n ≥ 1. Тодi для довiльних n,m ≥ 1 виконується рiвнiсть an · am = an+m.

Означення 50. Дiя · на множинi M називається комутативною, якщодля довiльних елементiв a, b ∈M має мiсце рiвнiсть ab = ba.

166

По-iншому можна сказати, що та бiнарна дiя є комутативною, для якоїне важливий порядок аргументiв.

Комутативними є дiї додавання i множення на кожнiй iз числовихмножин N,Z,Q,R,C. Натомiсть дiя множення квадратних матриць здiйсними елементами однакового порядку, бiльшого одиницi, не комута-тивна, бо(

1 1

1 0

)·

(2 1

1 0

)=

(3 1

2 1

)6=

(3 2

1 1

)=

(2 1

1 0

)·

(1 1

1 0

).

Також не є комутативною дiя множення пiдстановок з Sn при n > 2.

Означення 51. Елемент e ∈ M називається нейтральним для дiї ·на множинi M , якщо для довiльного елемента a ∈ M мають мiсцерiвностi

ae = ea = a.

Якщо ж для довiльного a ∈ M виконується лише рiвнiсть ae = a, тоелемент e називають правим нейтральним, а якщо рiвнiсть ea = a, толiвим нейтральним.

Нейтральнiсть елемента означає, що при множеннi на нього нiякийелемент множини не змiнюється. Коли дiя є комутативною, то поняттянейтрального, лiвого та правого нейтрального елементiв збiгаються.

Приклад 9. 1) Число 0 є нейтральним елементом для дiї додаванняна кожнiй з множин Z,Q,R,C.

2) Для дiї додавання на множинi N нейтрального елемента не iснує.

3) Число 1 є нейтральним елементом для дiї множення на кожнiй змножин N,Z,Q,R,C.

4) Для дiї додавання матриць з Mn(R) нейтральним елементом єнульова матриця.

5) Для дiї множення матриць з Mn(R) нейтральним елементом єодинична матриця.

167

6) Для дiї множення пiдстановок з Sn нейтральним елементом єтотожна пiдстановка.

Також iснують множини з дiями, для яких iснує лiвий нейтральний,котрий не буде правим нейтральним, i навпаки.

Твердження 51. Якщо для дiї · на множинi M iснує нейтральнийелемент, то вiн єдиний.

Доведення. Нехай iснує нейтральний елемент e1 в M . Припустимо, щоякийсь елемент e2 також є нейтральним в M . Тодi e1e2 = e2, бо елементe1 є нейтральним. Так само e1e2 = e1, бо елемент e2 є нейтральним.Отже, e2 = e1e2 = e1 i тому кожен нейтральний елемент рiвний e1, тобтонейтральний елемент єдиний.

Якщо бiнарну дiю на M названо множенням i для неї iснуєнейтральний елемент, то його називають ще одиничним елементом, а якщодiю названо додаванням, то замiсть термiну нейтральний елемент iнколивживається термiн нульовий елемент.

Припустимо тепер, що для дiї множення на M iснує нейтральнийелемент e.

Означення 52. Елемент b ∈ M називається оберненим до a ∈ M ,якщо виконуються рiвностi ab = ba = e. Якщо ж виконується лишерiвнiсть ab = e, то елемент b називають правим оберненим до a, аякщо рiвнiсть ba = e, то лiвим оберненим до a.

Обернений елемент може iснувати для кожного елемента множини M(наприклад, для кожної пiдстановки з Sn iснує обернений елемент — обер-нена пiдстановка), може iснувати не для всiх елементiв M (вiдносно дiїмноження на Z обернений iснує лише для чисел 1 та −1), але вiн iснуєпринаймнi для одного елемента з множини M — нейтрального. Такожiснують множини з дiями, в яких до деякого елемента iснує лiвий обер-нений, котрий не буде правим оберненим до нього, i навпаки.

Твердження 52. Якщо для асоцiативної дiї · на множинi M доелемента a ∈M iснує обернений елемент, то вiн єдиний.

168

Доведення. Нехай b1 ∈ M є оберненим до a. Припустимо, що якийсьелемент b2 також є оберненим до a. Тодi маємо такий ланцюжок рiвно-стей: b2 = eb2 = (b1a)b2 = b1(ab2) = b1e = b1. Перша й остання з нихмають мiсце в силу нейтральностi елемента e. Друга виконується, бо b1є оберненим до a, а четверта, бо b2 є оберненим до a. Нарештi, третявипливає з асоцiативностi множення на M . Таким чином, кожен обер-нений до a дорiвнює b1, тобто обернений до a єдиний.

Якщо ж дiя не асоцiативна, то обернених елементiв до даного можебути бiльше одного. Як приклад, розглянемо бiнарну дiю на множинi M =

a, b, c, що визначається таблицею Келi

a b c

a a b c

b b a a

c c a c

.

Для так визначеної дiї елемент a є нейтральним, а до елемента b оберне-ними будуть як b, так i c.

У випадку, коли бiнарну дiю названо додаванням, то замiсть термiнуобернений елемент вживається термiн протилежний елемент.

58 Поняття напiвгрупи, моноїда, групи

Означення 53. Множина M iз заданою на нiй бiнарною дiєю називає-ться напiвгрупою, якщо ця дiя є асоцiативною.

Множина M iз заданою на нiй бiнарною дiєю називається моно-їдом, якщо ця дiя є асоцiативною i вiдносно неї iснує нейтральнийелемент.

Множина M iз заданою на нiй бiнарною дiєю називається групою,якщо ця дiя є асоцiативною, вiдносно неї iснує нейтральний елемент iдля кожного елемента з M iснує обернений.

Таким чином, моноїд — це напiвгрупа, в якiй iснує нейтральнийелемент, а група — це моноїд, у якому кожен елемент має обернений. При

169

цьому iснують напiвгрупи, якi не є моноїдами, а також моноїди, котрi неє групами.

З визначення групи i властивостей бiнарних дiй маємо такi найпро-стiшi властивостi груп:

Твердження 53. 1) Значення добутку a1a2 . . . ak елементiв групи незалежить вiд розстановки в ньому дужок.

2) Нейтральний елемент у групi єдиний.

3) Для кожного елемента групи обернений до нього єдиний.

4) Рiвняння ax = b та xa = b вiдносно невiдомої x мають єдинийрозв’язок у групi.

5) З кожної з рiвностей ab = ac i ba = ca у групi випливає рiвнiстьb = a, тобто в групi можна скорочувати на довiльний елементяк злiва, так i справа.

Справдi, першi три властивостi прямо випливають з означення групи.Для доведення 4 зауважимо, що єдиним розв’язком рiвняння ax = b єa−1b, а рiвняння xa = b — елемент ba−1. Домноживши рiвнiсть ab = ac

злiва (а рiвнiсть ba = ca справа) на a−1, одержимо властивiсть 5.

Означення 54. Напiвгрупу (моноїд, групу) називають комутативною,якщо дiя множення у нiй є комутативною.

Комутативнi групи прийнято називати абелевими.Наведемо основнi приклади груп.

Приклад 10. 1) Кожна з числових множин Z, Q, R, C вiдносно дiїдодавання є абелевою групою, яку називають адитивною групоюцiлих, рацiональних, дiйсних та комплексних чисел вiдповiдно.

2) Вiдносно операцiї множення абелевими групами є множини всiхненульових рацiональних, дiйсних та комплексних чисел. Цiгрупи позначають Q∗, R∗, C∗ i називають мультиплiкативнимигрупами рацiональних, дiйсних та комплексних чисел вiдповiдно.

170

3) Множина GLn(P ) всiх невироджених матриць порядку n зелементами iз P (де P позначає одну з числових множин Q, R,C) є групою вiдносно операцiї множення матриць. Її називаютьповною лiнiйною групою степеня n над P . Ця група не абелевапри n ≥ 2.

4) Множина Sn всiх пiдстановок деякої n-елементної множини єгрупою вiдносно операцiї множення пiдстановок. Вона називає-ться симетричною групою степеня n. Ця група не абелева приn ≥ 3.

5) Множина всiх рухiв площини є групою вiдносно композицiї рухiв.

6) Множина всiх тих рухiв площини, вiдносно яких фiксованийна цiй площинi правильний n-кутник переходить сам у себе, єгрупою вiдносно композицiї. Ця група називається групою дiедраi позначається Dn.

7) Множина всiх комплексних коренiв степеня n з одиницi є групоювiдносно множення комплексних чисел. Її позначають Cn.

8) Множина всiх лишкiв за модулем n є групою вiдносно додаваннялишкiв. Цю групу позначають Zn.

59 Iзоморфiзм множин з бiнарною дiєю

Означення 55. Множина M1 з бiнарною дiєю ∗ називається iзомор-фною множинi M2 з бiнарною дiєю , якщо iснує така бiєкцiя ϕ :

M1 →M2, яка узгоджена з цими дiями, тобто для довiльних x, y ∈M1

має мiсце рiвнiсть ϕ(x∗y) = ϕ(x)ϕ(y). При цьому бiєкцiю ϕ називаютьiзоморфiзмом.

Для позначення того факту, що множина M1 з бiнарною дiєю ∗iзоморфна множинi M2 з бiнарною дiєю використовують запис (M1, ∗) '(M2, ).

Нехай маємо деякий iзоморфiзм ϕ з (M1, ∗) в (M2, ).

171

Твердження 54. 1) Якщо дiя ∗ є асоцiативною, то i дiя асоцiа-тивна.

2) Якщо дiя ∗ комутативна, то i дiя є комутативною.

3) Якщо в M1 iснує нейтральний елемент e1, то в M2 також iснуєнейтральний елемент, причому вiн дорiвнює ϕ(e1).

4) Якщо для елемента a ∈ M1 iснує обернений елемент b, то дляелемента ϕ(a) в M2 також iснує обернений, причому вiн дорiвнюєϕ(b).

Доведення. Доведемо 3. Нехай ϕ(e1) = e2. Покажемо, що e2 єнейтральним в M2. Для довiльного x ∈ M2 iснує i єдиний a ∈ M1 такий,що ϕ(a) = x. Тодi x e2 = ϕ(a) ϕ(e1) = ϕ(a ∗ e1) = ϕ(a) = x. Аналогiчноe2 x = x i тому e2 — нейтральний елемент M2.

Покажемо правильнiсть 4. Маємо ϕ(a) ϕ(b) = ϕ(a ∗ b) = ϕ(e1) = e2.Аналогiчно ϕ(b) ϕ(a) = e2 i тому елемент ϕ(b) є оберненим до ϕ(a).

Як наслiдок, звiдси одержуємо, що коли (M1, ∗) ' (M2, ) i (M1, ∗) єнапiвгрупою, моноїдом або групою, то i (M2, ) є вiдповiдно напiвгрупою,моноїдом або групою.

Основну властивiсть бiнарного вiдношення “'” дає

Твердження 55. Вiдношення “'” є еквiвалентнiстю на сукупностiмножин з бiнарними дiями.

Доведення. Рефлексивнiсть виконується, бо тотожне вiдображення намножинi M встановлює iзоморфiзм (M, ∗) ' (M, ∗).

Якщо бiєкцiя ϕ встановлює iзоморфiзм (M1, ∗) ' (M2, ), то оберненевiдображення, ϕ−1, встановлює iзоморфiзм (M2, ) ' (M1, ∗). Справдi, длядовiльних x, y ∈ M2 однозначно визначенi a, b ∈ M1 такi, що ϕ(a) = x iϕ(b) = y, звiдки маємо ϕ−1(x y) = ϕ−1(ϕ(a) ϕ(b)) = ϕ−1(ϕ(a ∗ b)) =

a ∗ b = ϕ−1(x) ∗ ϕ−1(y). Звiдси маємо симетричнiсть.Транзитивнiсть одержимо з того, що коли ϕ — це iзоморфiзм з (M1, ∗)

в (M2, ), а ψ — iзоморфiзм з (M2, ) в (M3, ), то суперпозицiя ψ(ϕ) єiзоморфiзмом з (M1, ∗) в (M3, ).

172

Класи еквiвалентностi за вiдношенням “'” називають абстрактнимимножинами з бiнарними дiями. При цьому, якщо такий клас складаєтьсяз напiвгруп (моноїдiв чи груп), то говорять про абстрактну напiвгрупу(моноїд чи групу).

60 Порядок елемента групи

Нагадаємо, що для елемента a групи G ранiше введено поняття йогонатурального степеня: an = aa . . . a︸ ︷︷ ︸

n

, n ≥ 1. Покладемо a0 = e i a−n =

a−1a−1 . . . a−1︸ ︷︷ ︸n

= (an)−1, n ≥ 1. Таким чином одержимо визначення цiлого

степеня елемента a. При цьому для довiльних цiлих n,m виконанi рiвностian · am = an+m i (an)m = anm.

Означення 56. Порядком елемента a називається найменше нату-ральне число n таке, що an = e. Якщо ж такого числа не iснує, токажуть, що a має нескiнченний порядок.

Зазначимо, що нейтральний елемент e i тiльки вiн має порядок 1.

Теорема 50. Нехай a — елемент порядку n, n ∈ N. Для натуральногочисла k рiвнiсть ak = e виконується тодi й лише тодi, коли n|k.

Доведення. Якщо n|k, то k = nl для деякого натурального l i ak = anl =

(an)l = el = e.Нехай тепер ak = e. Подiлимо k на n з остачею: k = nq + r, причому

0 ≤ r < n. Тодi e = ak = anq+r = (an)qar = ar, звiдки r = 0, бо iнакше nне є найменшим натуральним степенем, у якому елемент a рiвний e.

Порядком групи G називають потужнiсть множини G. Позначаютьпорядок групи G символом |G|.

Означення 57. Група G називається:перiодичною групою, якщо у нiй кожен елемент має скiнченний

порядок;

173

групою без скруту, якщо у нiй нема елементiв нескiнченногопорядку, вiдмiнних вiд одиничного;

мiшаною групою, якщо вона мiстить як елементи нескiнченногопорядку, так i неодиничнi елементи скiнченного порядку.

Теорема 51. Кожна скiнченна група є перiодичною.

Доведення. Нехай група G скiнченна. Розглянемо довiльний елемент a зG. У послiдовностi його натуральних степенiв a, a2, a3, . . . не всi елементипопарно рiзнi, бо група G скiнченна. Нехай am = an для деяких нату-ральних m,n i m < n. Домножимо цю рiвнiсть на a−m. Тодi an−m = e,тобто iснує натуральний степiнь, в якому елемент a рiвний одиничному.Отже, iснує i найменший такий степiнь, що й означає, що елемент a маєскiнченний порядок.

61 Пiдгрупи

Означення 58. Непорожня пiдмножина H групи G називаєтьсяпiдгрупою групи G, якщо вона є групою вiдносно бiнарної дiї, яказадана в G.

Iншими словами, пiдгрупа групи G — це така непорожня пiдмножинаH, яка замкнена вiдносно бiнарної дiї, вiдносно якої G є групою, для цiєїдiї в H iснує нейтральний елемент, i для кожного елемента з H оберненийдо нього також мiститься в H (тобто H є замкненою вiдносно взяття обер-неного елемента). Зауважимо, що асоцiативнiсть для множення елементiвз H буде мати мiсце автоматично, оскiльки всi можливi добутки елементiвз H є добутками цих же елементiв у G, а там асоцiативнiсть є.

Запис H < G означає, що H є пiдгрупою G.

Теорема 52. 1) Непорожня пiдмножина H групи G буде пiдгрупоюгрупи G тодi й лише тодi, коли H замкнена вiдносно множення iвзяття оберненого елемента.

2) Непорожня пiдмножина H скiнченної групи G буде пiдгрупою G

тодi й лише тодi, коли H замкнена вiдносно множення.

174

Доведення. Згiдно означення пiдгрупи потрiбно перевiрити лише доста-тнiсть наведених умов.

1) Нехай непорожня пiдмножина H групи G замкнена вiдносномноження i взяття оберненого елемента. Досить довести, що H мiститьнейтральний елемент e групи G. Оскiльки H 6= ∅, то iснує деякий h ∈ Gтакий, що h ∈ H. В силу замкненостi H вiдносно взяття оберненогоh−1 ∈ H, а внаслiдок замкненостi H вiдносно множення hh−1 = e ∈ H,що й треба було довести.

2) Нехай непорожня пiдмножина H скiнченної групи G замкненавiдносно множення. Внаслiдок першої частини теореми достатньо пока-зати, що H замкнена вiдносно взяття оберненого. Нехай елемент h ∈ Hдовiльний. Оскiльки H замкнена вiдносно множення, то всi натуральнiстепенi h мiстяться в H. Але група G скiнченна, а отже перiодична, тобтоh має скiнченний порядок. Нехай n — порядок елемента h. Якщо n = 1,то h = e i h−1 = h ∈ H, а якщо n > 1, то h−1 = hn−1 ∈ H, звiдки йодержуємо потрiбне твердження.

Зауважимо, що коли H < G, то нейтральним елементом групи H єнейтральний елемент групи G.

Легко бачити, що перетин довiльної родини пiдгруп деякої групи такожє пiдгрупою, в той час як об’єднання навiть двох пiдгруп може не бутипiдгрупою.

Приклад 11. 1) В довiльнiй групi G пiдгрупами є сама G, а такожпiдмножина E = e, яку називають тривiальною (або одини-чною) пiдгрупою. Пiдгрупу G називають невласною пiдгрупоюG. Всi iншi її пiдгрупи називають власними. Таким чином,група має єдину пiдгрупу тодi й лише тодi, коли вона мiститьєдиний елемент, тобто є одиничною групою. Задача знаходженняпiдгруп даної групи — це задача знаходження її власних нетривi-альних пiдгруп.

2) З означення пiдгрупи вiдразу випливає, що Z < Q < R < C, атакож Q∗ < R∗ < C∗.

175

3) Множина SLn(P ) всiх матриць порядку n з елементами iз P

(P = Q, R або C), у яких визначник рiвний одиницi, є пiдгрупоюGLn(P ). Її називають спецiальною лiнiйною групою степеня n

над P . Справдi, SLn(P ) непорожня (мiстить принаймнi одиничнуматрицю) i є пiдмножиною GLn(P ). Замкненiсть цiєї множинивiдносно множення i взяття оберненого випливає з теореми провизначник добутку матриць.

4) Множина An всiх парних пiдстановок деякої n-елементноїмножини є пiдгрупою симетричної групи Sn, бо добуток парнихпiдстановок є парною пiдстановкою. Група An називаєтьсязнакозмiнною групою степеня n.

5) У групi Z пiдмножина nZ = nk : k ∈ Z (n ≥ 0) є пiдгрупою.Бiльше того, кожна пiдгрупа групи Z має вигляд nZ для деякогоn ≥ 0.

6) Група Cn всiх комплексних коренiв степеня n з одиницi єпiдгрупою групи C∗.

Легко бачити, що для iзоморфiзму ϕ : G1 → G2 його звуження ϕ|Hна пiдгрупу H < G буде також iзоморфiзмом. Звiдси легко вивести, щодля iзоморфних груп множини пiдгруп знаходяться у взаємно однозначнiйвiдповiдностi, яка кожну пiдгрупу групи G1 переводить у деяку пiдгрупугрупи G2. Крiм того, ця вiдповiднiсть зберiгає теоретико-множинне вiдно-шення включення для пiдгруп.

62 Системи твiрних

Виберемо в групi G деяку непорожню пiдмножину A i нехай A−1 = a−1 :

a ∈ A — пiдмножина всiх обернених елементiв до елементiв з A. Позна-чимо символом 〈A〉 сукупнiсть усiх можливих добуткiв вигляду a1 . . . ak,де ai ∈ A ∪ A−1 для 1 ≤ i ≤ k, k ≥ 0, включаючи добуток нульовоїкiлькостi множникiв, який покладемо рiвним одиничному елементу e.Множина 〈A〉 замкнена вiдносно множення i взяття оберненого елемента

176

i тому є пiдгрупою групи G. Її називають пiдгрупою, породженою пiдмно-жиною A. З означення пiдгрупи зрозумiло, що 〈A〉 мiститься в кожнiйпiдгрупi групи G, яка мiстить пiдмножину A, тобто 〈A〉 є мiнiмальною завключенням пiдгрупою, яка мiстить пiдмножину A.

Означення 59. Непорожня пiдмножина A групи G називаєтьсясистемою твiрних групи G, якщо 〈A〉 = G. Система твiрних A групиG називається незвiдною (або мiнiмальною), якщо жодна її власнапiдмножина не є системою твiрних G.

Таким чином, пiдмножина A є системою твiрних групи G, якщо коженелемент з G можна отримати, перемножаючи лише елементи з A та їхоберненi. Незвiдною ж система твiрних є, якщо, вилучивши з неї хочаб один елемент, одержимо множину, яка не є системою твiрних. Можналегко показати, що система твiрних незвiдна тодi й лише тодi, коли жоденїї елемент не можна отримати, перемножаючи iншi елементи цiєї системитвiрних та їх оберненi.

Незвiдна система твiрних не може мiстити одиничного елемента, атакож разом з деяким елементом якийсь його цiлий степiнь, зокрема обер-нений до нього елемент.

Приклад 12. 1) В групi Z пiдмножини 1, 2, 3 є незвiднимисистемами твiрних. Таким чином, двi скiнченнi незвiднi системитвiрних однiєї й тiєї ж групи не завжди мiстять одну й ту жкiлькiсть елементiв. Насправдi для кожного натурального k вгрупi Z iснують незвiднi системи твiрних, якi мiстять рiвно k

елементiв.

2) Множини 1n : n ∈ N та 1

n! : n ∈ N є системами твiрних групиQ. Обидвi вони звiднi, бо, викинувши з кожної з них довiльну скiн-ченну кiлькiсть елементiв, одержимо систему твiрних Q. Бiльшетого, можна показати, що у групi Q кожна система твiрних єзвiдною.

3) Множина всiх елементарних матриць порядку n над P (P = Q,R або C) є системою твiрних повної лiнiйної групи GLn(P ) за

177

теоремою про розклад невиродженої матрицi в добуток елемен-тарних. Ця система твiрних звiдна.

4) Оскiльки кожну пiдстановку можна розкласти в добуток транс-позицiй, то множина всiх транспозицiй є системою твiрнихсиметричної групи Sn. Така система твiрних звiдна. Незвiднимисистемами твiрних групи Sn (n ≥ 2) будуть такi пiдмножини:(12), (13), . . . , (1n), (12), (23), . . . , (n− 1n), (12), (12 . . . n).

5) Незвiдною системою твiрних знакозмiнної групи An (n ≥ 3) ємножина таких циклiв довжини 3: (123), (124), . . . , (12n).

63 Циклiчнi групи

Означення 60. Група G називається циклiчною, якщо у неї є одноеле-ментна система твiрних.

Таким чином, група G є циклiчною, якщо у нiй iснує такий елементa, що кожен елемент з G дорiвнює деякому цiлому степеню елемента a.Такий елемент a називають твiрним елементом циклiчної групи.

З означення вiдразу випливає, що кожна циклiчна група є абелевою.Також легко перевiрити, що група порядку n є циклiчною тодi й лишетодi, коли вона мiстить елемент порядку n.

Приклад 13. 1) Тривiальна група є циклiчною.

2) Група Z є циклiчною, оскiльки має одноелементну системутвiрних: Z = 〈1〉.

3) Група Q циклiчною не є, бо її пiдгрупа, породжена рацiональнимчислом m

n (m ∈ Z, n ∈ N), не мiстить жодного такого рацiональ-ного числа p

q (p ∈ Z, q ∈ N), що q не дiлиться на n, а тому євласною пiдгрупою Q.

4) Група Cn (n ≥ 1) коренiв степеня n з одиницi є циклiчною,оскiльки серед її елементiв є первiснi коренi степеня n з одиницi.

178

Кожен такий корiнь буде одноелементною системою твiрнихгрупи Cn.

5) Група Zn циклiчна, бо Zn = 〈1〉, n ≥ 1.

З точки зору внутрiшньої структури саме циклiчнi групи є найбiльшпростими групами, про що свiдчить така теорема.

Теорема 53. Кожна пiдгрупа циклiчної групи є циклiчною групою.Для кожного дiльника порядку скiнченної циклiчної групи iснує єдинапiдгрупа цiєї групи, порядок якої рiвний цьому дiльнику.

Доведення. Нехай група G циклiчна, G = 〈a〉.Розглянемо довiльну нетривiальну пiдгрупу H групи G. Виберемо

найменше натуральне число k таке, що ak ∈ H. Покажемо, що H = 〈ak〉.Розглянемо довiльний елемент b ∈ H. Тодi b = al для деякого цiлого числаl. Подiлимо l на k з остачею: l = kq + r i 0 ≤ r < k. Тепер домножившиелемент al = akq+r = (ak)qar на елемент, обернений до (ak)q, одержимо,що ar ∈ H. Але за вибором k звiдси r = 0. Отже, b = (ak)q i томуH = 〈ak〉. Звiдси випливає перше твердження теореми.

Припустимо тепер додатково, що група G скiнченна i |G|=n. Позна-чимо символом d найбiльший спiльний дiльник чисел n i k. Тодi iснуютьцiлi числа l1, l2 такi, що d = l1n+ l2k. Тому має мiсце рiвнiсть

ad = al1n+l2k = (an)l1 · (ak)l2 = (ak)l2 ,

звiдки одержуємо, що ad ∈ H. Оскiльки d|k, то d ≤ k. Але за вибором k цеозначає, що d = k. Таким чином, H = 〈ak〉, причому k|n. Оскiльки число kвизначається за пiдгрупою H однозначно, то вiдображення, яке дiльникуm числа n ставить у вiдповiднiсть пiдгрупу 〈ak〉 (k = n

m ) порядку m групиG, буде бiєкцiєю мiж множиною дiльникiв числа n i множиною пiдгрупгрупи G, тобто має мiсце i друге твердження теореми.

Циклiчнi групи легко класифiкуються. Покажемо, що iснує рiвно однаабстрактна циклiчна група кожного допустимого порядку.

Теорема 54. 1) Кожнi двi нескiнченнi циклiчнi групи iзоморфнi мiжсобою.

179

2) Двi скiнченнi циклiчнi групи iзоморфнi тодi й тiльки тодi, коливони мають одинаковi порядки.

Доведення. 1) Нехай G та H — нескiнченнi циклiчнi групи i G = 〈a〉,H = 〈b〉. В силу нескiнченностi цих груп, жоден ненульовий степiньелементiв a i b не дорiвнює одиничному елементу вiдповiдної групи. Томувiдображення ϕ : G → H, визначене правилом ϕ(ai) = bi, i ∈ Z, єбiєктивним. Оскiльки для довiльних цiлих i, j виконанi рiвностi ϕ(ai·aj) =

ϕ(ai+j) = bi+j = bi ·bj , то ϕ є iзоморфiзмом, звiдки й маємо потрiбне твер-дження.

2) Якщо заданi скiнченнi циклiчнi групи мають рiзнi порядки, то вонине iзоморфнi, бо мiж ними не можна встановити бiєкцiю.

Нехай циклiчнi групи G та H мають порядок n (n ∈ N), причомуG = 〈a〉, H = 〈b〉. Оскiльки кожен з елементiв a та b має порядок n,то вiдображення ϕ : G → H таке, що ϕ(ai) = bi, 0 ≤ i ≤ n − 1, єбiєкцiєю. Покажемо, що ϕ — це iзоморфiзм. Виберемо довiльнi i, j такi,що 0 ≤ i, j ≤ n − 1. Якщо i + j < n, то ϕ(ai · aj) = ϕ(ai+j) = bi+j =

bi · bj . Якщо ж i + j ≥ n, то тодi i + j − n < n i ϕ(ai · aj) = ϕ(ai+j) =

ϕ(ai+j−n) = bi+j−n = bi+j = bi · bj . Отже, вiдображення ϕ узгоджене здiями i доведення завершене.

Таким чином, можна говорити про єдинiсть з точнiстю до iзомор-фiзму як нескiнченної циклiчної групи, так i циклiчної групи порядкуn. Зокрема, має мiсце

Наслiдок 23. Кожна нескiнченна циклiчна група iзоморфна групi Z.Кожна циклiчна група порядку n iзоморфна як групi Zn, так i групiCn.

64 Зображення груп пiдстановками i

матрицями

Нехай M — деяка непорожня множина. Бiєктивнi вiдображення π :

M → M будемо називати пiдстановками на множинi M . Позначимо

180

символом S(M) сукупнiсть всiх пiдстановок на множинi M . Визначимодiю множення пiдстановок з множини S(M): для довiльних π, σ ∈ S(M)

покладемо π · σ = σ(π). Тодi S(M) з так визначеним множенням єгрупою, яку називатимемо симетричною групою множини M . Пiдгрупигрупи S(M) називають групами пiдстановок на множинi M . При цьомупотужнiсть множини M називають степенем груп пiдстановок на M .Групи пiдстановок є унiверсальними, у тому розумiннi, що довiльна групаiзоморфна деякiй групi пiдстановок. А саме, має мiсце

Теорема 55. (Келi) Довiльна група G iзоморфна деякiй групi пiдста-новок на множинi G.

Доведення. Кожному елементу a групи G поставимо у вiдповiднiстьвiдображення πa : G → G, яке дiє за правилом: πa(x) = xa для довiль-ного елемента x ∈ G. Перевiримо, що πa ∈ S(G). Справдi, для довiльногоy ∈ G з рiвностей y = (ya−1)a = πa(ya−1) отримуємо, що πa є сюр’єкцiєю.Рiвнiсть πa(x1) = πa(x2) означає, що x1a = x2a, звiдки випливає рiвнiстьx1 = x2, а тому πa є iн’єкцiєю. Отже, πa — це пiдстановка множини G.

Нехай G = πg : g ∈ G. Розглянемо вiдображення ϕ : G→ G, яке дiєзгiдно рiвностi ϕ(a) = πa для кожного a ∈ G. Тодi ϕ є сюр’єктивним заозначенням G. Якщо ж ϕ(a) = ϕ(b), тобто πa = πb, то xa = xb для всiхx ∈ G. Звiдси a = b i тому ϕ є iн’єктивним. Отже, ϕ є бiєкцiєю.

Покажемо, що для довiльних a, b ∈ G правильною є рiвнiсть ϕ(ab) =

ϕ(a)ϕ(b), тобто πab = πaπb. Справдi, для довiльного x ∈ G маємо πab(x) =

x(ab) = (xa)b = πb(xa) = πb(πa(x)), звiдки й маємо необхiдну рiвнiсть.Це означає, що множина G замкнена вiдносно множення, а бiєкцiя ϕ

узгоджена з дiями множення в G i G, тобто що G є пiдгрупою S(G), аϕ — iзоморфiзм.

Побудований в доведеннi теореми Келi iзоморфiзм називають правимрегулярним зображенням групи G. Зауважимо, що у випадку скiнченноїгрупи G праве регулярне зображення встановлює iзоморфiзм G i деякоїпiдгрупи групи пiдстановок степеня, рiвного порядку групи G.

Схожiй умовi унiверсальностi задовольняють також i матричнi групи.Проте, в класi всiх скiнченних груп. Нехай P — деяке поле.

181

Теорема 56. Довiльна скiнченна група iзоморфна деякiй пiдгрупi повноїлiнiйної групи певного степеня над полем P .

Доведення. Враховуючи теорему Келi, доведення досить провести длясиметричної групи Sn.

Для довiльної пiдстановки π ∈ Sn визначимо матрицю Aπ = (aij)ni,j=1

таку, що

aij =

1, якщо π(i) = j

0, в iншому випадку, 1 ≤ i, j ≤ n.

В матрицi Aπ у кожному рядку i стовпчику стоїть рiвно одна одиниця,а всi iншi її елементи рiвнi нулю. Такi матрицi називають пiдстановковимиматрицями. Їх можна розглядати, як матрицi над будь-яким полем P .Визначник пiдстановкової матрицi Aπ дорiвнює знаку пiдстановки π (якщохарактеристика поля P рiвна 2, то цей визначник рiвний 1), тобто такаматриця невироджена. Нехай Pn — множина всiх пiдстановкових матрицьпорядку n.

З означення видно, що вiдображення ψ : Sn → Pn, задане рiвнiстюψ(π) = Aπ для π ∈ Sn, є бiєкцiєю.

Безпосередньо перемножаючи пiдстановковi матрицi, можна перевi-рити рiвнiсть Aπσ = AπAσ для довiльних π, σ ∈ Sn. Це означає, щобiєкцiя ψ узгоджена з множенням пiдстановок i матриць. Отже, ψ єiзоморфiзмом, що й треба було довести.

65 Класи сумiжностi. Теорема Лагранжа

Для довiльних непорожнiх пiдмножин A,B групи G визначимо добуток A·B = a · b : a ∈ A, b ∈ B. При цьому одноелементну множину x будемоототожнювати з самим елементом x. Також для непорожньої пiдмножиниA групи G покладемо A−1 = a−1 : a ∈ A.

Зафiксуємо тепер деяку пiдгрупу H групи G. Визначимо на G бiнарневiдношення ∼H . За означенням, для елементiв a, b ∈ G виконується a ∼Hb тодi й лише тодi, коли a = bh для деякого елемента h ∈ H.

182

Твердження 56. Вiдношення “∼H” є еквiвалентнiстю на G, причомукласом еквiвалентностi, що мiстить елемент a ∈ G є пiдмножинаaH.

Доведення. Справдi, рiвнiсть a = ae гарантує рефлексивнiсть. Далi, зрiвностi a = bh маємо b = ah−1, звiдки маємо симетричнiсть. Нарештi,з рiвностей a = bh1 та b = ch2 отримуємо рiвнiсть a = ch2h1, яка даєтранзитивнiсть.

За означенням “∼H”, для фiксованого a ∈ G множина всiх тих b ∈ G,що a ∼H b дорiвнює aH.

Означення 61. Пiдмножина aH, a ∈ G, називається лiвим класом сумi-жностi групи G за пiдгрупою H.

Два лiвi класи сумiжностi aH i bH, як класи еквiвалентностi ∼H ,або не перетинаються, або рiвнi. Останнє має мiсце тодi й лише тодi,коли b−1a ∈ H. Пiдгрупа H рiвнопотужна лiвому класу сумiжностi aH,бо вiдображення h 7→ ah встановлює мiж ними бiєкцiю (скоротивши врiвностi ah1 = ah2 одержимо h1 = h2, звiдки випливатиме iн’єктивнiсть,а сюр’єктивнiсть очевидна). Тому одержуємо, що кожнi два лiвi класисумiжностi рiвнопотужнi. Виберемо в кожному лiвому класi сумiжностiдеякий елемент — представник цього класу сумiжностi (в загальномувипадку для цього потрiбно скористатися аксiомою вибору). Сукупнiстьвсiх вибраних елементiв позначимо T i назвемо лiвою трансверсаллюгрупи G за пiдгрупою H. Тодi отримаємо розклад

G =⋃t∈T

tH

групи G у виглядi диз’юнктного об’єднання, яке називатимемо розкладомгрупи G на лiвi класи сумiжностi за пiдгрупою H. Зауважимо, що однимз лiвих класiв сумiжностi, а саме тим, який мiстить нейтральний елемент,є сама пiдгрупа H. Представником цього класу сумiжностi, як правило,вибирають нейтральний елемент.

Аналогiчно визначимо на G бiнарне вiдношення “H ∼”, для довiльнихa, b ∈ G поклавши aH ∼ b тодi й лише тодi, коли a = hb для деякого

183

елемента h ∈ H. Тодi “H ∼” також є еквiвалентнiстю, чиїми класами єпiдмножини виду Ha, якi назвемо правими класами сумiжностi групи G запiдгрупою H. Для правих класiв сумiжностi справджуються твердження,аналогiчнi сформульованим вище для лiвих, визначається поняття правоїтрансверсалi i має мiсце розклад групи G на правi класи сумiжностi запiдгрупою H. Також зазначимо, що кожен лiвий клас сумiжностi рiвнопо-тужний довiльному правому.

Твердження 57. Лiва i права i трансверсалi групи G за пiдгрупою H

мають рiвнi потужностi.

Доведення. Розглянемо лiву трансверсаль T i покажемо, що множина T−1

є правою трансверсаллю. Справдi, взявши розклад

G =⋃t∈T

tH

маємо рiвностi

G = G−1 =⋃t∈T

(tH)−1 =⋃t∈T

H−1t−1 =⋃t∈T

Ht−1,

звiдки маємо необхiдне твердження.

Означення 62. Потужнiсть лiвої (або правої) трансверсалi групи G запiдгрупою H називається iндексом пiдгрупи H в групi G.

Символом [G : H] позначимо iндекс пiдгрупи H в групi G. Iншимисловами, [G : H] — це потужнiсть фактормножини G/ ∼H (або G/H ∼).Зокрема, якщо класiв еквiвалентностi скiнченна кiлькiсть, то пiдгрупуH називають пiдгрупою скiнченного iндекса, а якщо нескiнченна, тонескiнченного. Кожна пiдгрупа скiнченної групи має скiнченний iндекс.Важливе значення для дослiдження скiнченних груп має

Теорема 57 (Лагранжа). Порядок пiдгрупи скiнченної групи є дiльникомпорядку цiєї групи. Бiльше того, для скiнченної групи G i її пiдгрупиH має мiсце рiвнiсть

|G| = [G : H] · |H|.

184

Доведення. Розглянемо розклад групи G за пiдгрупою H:

G = t1H ∪ . . . ∪ tkH.

В цiй рiвностi k = [G : H]. Оскiльки об’єднання диз’юнктне i кожен классумiжностi рiвнопотужний H, то, обчислюючи кiлькiсть елементiв злiва iсправа, маємо

|G| = |H|+ . . .+ |H|︸ ︷︷ ︸k

= [G : H] · |H|,

що i потрiбно було показати.

Неважко показати, що твердження, обернене до теореми Лагранжа, єнеправильним, тобто не для кожного дiльника порядку скiнченної групи внiй iснує пiдгрупа порядку, рiвного цьому дiльнику. Зокрема, в групi A4

порядку 12 не iснує пiдгруп порядку 6. В той же час, для циклiчних групобернене твердження має мiсце.

Наведемо два простi наслiдки з теореми Лагранжа.

Наслiдок 24. Порядок елемента скiнченної групи є дiльником порядкуцiєї групи.

Доведення. Порядок елемента групи дорiвнює порядку циклiчноїпiдгрупи, ним породженої. Застосувавши до неї теорему Лагранжа, маємонеобхiдне твердження.

Наслiдок 25. Група має рiвно двi пiдгрупи тодi й лише тодi, коли вонациклiчна простого порядку (тобто її порядок — просте число).

Доведення. Нехай порядок групи G дорiвнює p, де p — просте число.За теоремою Лагранжа пiдгрупа G може мати або порядок 1 (тодi вонаодинична), або p (тодi вона рiвна G), бо iнших дiльникiв у p немає. Отже,G має рiвно двi пiдгрупи.

Нехай неодинична група G не має власних пiдгруп. Тодi вона циклiчна,причому її твiрним елементом є будь-який неодиничний елемент, боiнакше в нiй iснує елемент, що породжує власну пiдгрупу. Тобто всiнеодиничнi елементи групи G мають порядок, рiвний порядку групи G.

185

Група G не може бути нескiнченною, бо в нескiнченнiй циклiчнiй групiє лише два твiрнi елементи. Також порядок групи G не може бути скла-деним числом, бо коли |G| = kl i k, l 6= |G|, то для довiльного твiрногоелемента a групи G порядок елемента ak дорiвнюватиме l 6= |G|. Отже,порядок групи G є простим числом.

Як ще одне застосування теореми Лагранжа, розглянемо доведеннядобре вiдомої з елементарної теорiї чисел теореми Ойлера.

Теорема 58 (Ойлера). Нехай n — натуральне число, n > 1. Для довiль-ного цiлого a, взаємно простого з n, має мiсце конгруенцiя

aϕ(n) ≡ 1 (mod n).

Доведення. У множинi Zn класiв лишкiв за модулем n розглянемо пiдмно-жину Z∗n всiх тих класiв, чиї представники взаємно простi з n. Таке озна-чення є коректним, бо для довiльного цiлого m найбiльшi спiльнi дiль-ники чисел m + n i m з числом n рiвнi. Множина Z∗n не порожня, бо1 ∈ Z∗n. Вiдносно дiї множення класiв множина Z∗n є замкненою, оскiлькидобуток цiлих чисел, взаємно простих з числом n, також буде взаємнопростим з n. Нейтральним елементом буде клас 1. Оскiльки для цiлогоm, взаємно простого з n, iснують цiлi l1, l2 такi, що 1 = l1m + l2m, то1 = l1m + l2m = l1m. З останньої рiвностi випливає, що клас l1 нале-жить множинi Z∗n, а кожен елемент цiєї множини має обернений. Отже,множина Z∗n є абелевою групою вiдносно множення класiв. Її порядок, заозначенням, дорiвнює кiлькостi натуральних чисел, якi не перевищують n,тобто ϕ(n). Оскiльки для заданого числа a вiдповiдний клас a належитьZ∗n, а тому порядок цього класу є дiльником числа ϕ(n). Таким чином,має мiсце рiвнiсть aϕ(n) = 1, яка рiвносильна потрiбнiй конгруенцiї.

Як наслiдок, звiдси випливає

Теорема 59 (Ферма). Нехай p — просте число. Для довiльного цiлого a,яке не дiлиться на p, має мiсце конгруенцiя

ap−1 ≡ 1 (mod p).

186

Доведення. Для простого p має мiсце рiвнiсть ϕ(p) = p − 1, а заданечисло a буде взаємно простим з p. За теоремою Ойлера тепер одержуємопотрiбну конгруенцiю.

66 Нормальнi пiдгрупи i факторгрупи

Нехай G — деяка група.

Означення 63. Пiдгрупа H групи G називається нормальною, якщодля кожного елемента x ∈ G має мiсце рiвнiсть xH = Hx.

Тобто для кожного елемента групи його лiвий клас сумiжностi запiдгрупою збiгається з правим класом цього елемента. Запис H C G

означає, що H є нормальною пiдгрупою в G.Нормальнi пiдгрупи ще називають iнварiнтними пiдгрупами або

нормальними дiльниками.Враховуючи, що для довiльних пiдмножин A,B ⊂ G i елемента x ∈ G

з рiвностi A = B випливають рiвностi xA = xB i Ax = Bx, маємо таке

Твердження 58. Пiдгрупа H групи G є нормальною тодi i тiльки тодi,коли для кожного елемента x ∈ G має мiсце рiвнiсть x−1Hx = H.

Доведення. Справдi, для довiльного елемента x ∈ G такi рiвностi є рiвно-сильними: Hx = xH i x−1(Hx) = x−1(xH) = (x−1x)H = eH = H.

Таким чином, щоб перевiрити, що пiдгрупа H групи G є нормальною,потрiбно переконатися, що для довiльних елементiв x ∈ G i h ∈ H справ-джується включення x−1hx ∈ H.

Приклад 14. 1) Пiдгрупи e i G є нормальними в G.

2) В абелевiй групi кожна пiдгрупа є нормальною.

3) Пiдгрупа H iндекса 2 в G буде нормальною. В цьому випадку дляx ∈ G як лiвим, так i правим класом сумiжностi цього елементабуде або множина H (якщо x ∈ H), або множина G \ H (якщоx ∈ G \H).

187

4) Пiдгрупа An має iндекс 2 в групi Sn, а тому нормальна в Sn(n > 1).

5) Пiдгрупа SLn(P ) нормальна в групi GLn(P ), P — поле, n ≥ 1.Справдi, для довiльних матриць A ∈ SLn(P ), B ∈ GLn(P ) затеоремою про визначник добутку матриць маємо:

det(B−1AB) = detB−1 detA detB = detB−1·1·detB = det(B−1B) = detE = 1,

звiдки B−1AB ∈ SLn(P ).

Зауважимо, що не кожна пiдгрупа довiльної групи G буде нормальною.Наприклад, у групi S3 циклiчна пiдгрупа H = 〈(12)〉 = e, (12) неє нормальною, бо для елемента (13) ∈ S3 маємо (13)−1(12)(13) =

(13)(123) = (23) 6∈ H.З означення нормальної пiдгрупи маємо, що для нормальної пiдгрупи

H групи G i довiльної пiдгрупи K, яка мiстить H, H буде нормальноюпiдгрупою в K.

Зафiксуємо в групi G нормальну пiдгрупу H i покажемо, як у цiйситуацiї можна побудувати нову групу. Розглянемо множину G всiх лiвих(вони одночасно є й правими) класiв сумiжностi G по H. На множинi Gвизначимо бiнарну дiю, поклавши xH · yH = (xy)H для класiв xH, yH.Насамперед перевiримо коректнiсть такого визначення, тобто його неза-лежнiсть вiд вибору представникiв класiв сумiжностi. Нехай x1 ∈ xH,y1 ∈ yH. Треба пересвiдчитись, що x1y1 ∈ xyH. За вибором x1, y1 маємоx1 = xh1, y1 = yh2 для деяких h1, h2 ∈ H. Оскiльки Hy = yH, тоh1y = yh3 для деякого h3 ∈ H. Тому x1y1 = xh1yh2 = xyh3h2 ∈ xyH, щоi треба було показати.

Для перевiрки коректностi суттєво була використана умова нормаль-ностi пiдгрупи, у випадку ж вiдсутностi цiєї умови введене вище озна-чення добутку класiв коректним не буде.

Твердження 59. Множина G iз визначеною вище дiєю множення класiвє групою.

Доведення. Асоцiативнiсть множення класiв гарантується асоцiативнiстю

188

множення в групi G:

(xHyH)zH = (xyH)zH = (xy)zH = x(yz)H = xH(yzH) = xH(yHzH)

для довiльних xH, yH, zH ∈ G.Нейтральним елементом є клас H. Нарештi, оберненим до класу xH є

клас x−1H.

Група G називається факторгрупою групи G за нормальною пiдгрупоюH i позначається G/H.

Зауважимо, що факторгрупа циклiчної групи за довiльною її пiдгрупоюбуде циклiчною групою, а факторгрупа абелевої групи за довiльною їїпiдгрупою — абелевою групою. Зрозумiло також, що факторгрупа заодиничною пiдгрупою iзоморфна самiй групi (у цьому випадку коженлiвий клас сумiжностi одноелементний i природно ототожнюється з цимелементом), а факторгрупа за самою групою одинична (вона мiститьєдиний елемент).

67 Гомоморфiзми груп. Теорема про

гомоморфiзм

Нехай G,H — деякi групи.

Означення 64. Вiдображення ϕ : G → H називається гомоморфiзмомгруп, якщо воно узгоджене з бiнарними дiями в цих групах, тобто

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)

для довiльних x, y ∈ G.

Якщо гомоморфiзм ϕ є сюр’єктивним вiдображенням, то його нази-вають епiморфiзмом, а якщо iн’єктивним, то мономорфiзмом або зану-ренням. У випадку бiєктивного вiдображення отримуємо ранiше введенепоняття iзоморфiзму. Гомоморфiзм, що дiє з деякої групи в неї саму, нази-вають ендоморфiзмом.

189

З означення видно, що для гомоморфiзмiв ϕ : G → H i ψ : H → K їхсуперпозицiя, вiдображення ψ(ϕ), буде гомоморфiзмом з G в K. Як i дляiзоморфiзмiв, для гомоморфiзму ϕ : G→ H мають мiсце такi найпростiшiвластивостi:

ϕ(eG) = eH , де eG — нейтральний елемент групи G, а eH —нейтральний елемент H;

(ϕ(x))−1 = ϕ(x−1) для довiльного елемента x ∈ G.Крiм того, якщо x ∈ G — елемент скiнченного порядку, n, то ϕ(x)

також має скiнченний порядок, k, i k|n. Для iзоморфiзму ж має мiсцерiвнiсть k = n.

Приклад 15. 1) Вiдображення G 3 x 7→ eH ∈ H є гомоморфiзмом,котрий звуть тривiальним.

2) Вiдображення Sn 3 π 7→ sign(π) є епiморфiзмом на пiдгрупу1,−1 групи R∗.

3) Правило A 7→ detA встановлює епiморфiзм з групи GLn(P ) нагрупу P ∗, P = Q, R або C.

4) Нехай HCG. Вiдображення µ : G→ G/H таке, що µ(x) = xH дляx ∈ G є епiморфiзмом, котрий називають природним гомоморфi-змом групи G на факторгрупу G/H.

Нехай ϕ : G→ H — деякий гомоморфiзм.

Означення 65. Образом гомоморфiзму ϕ називається множина

Imϕ = ϕ(x) : x ∈ G,

а ядром гомоморфiзму ϕ називається множина

Kerϕ = x ∈ G : ϕ(x) = eH.

Таким чином, образ ϕ — це повний образ множини G, а ядро — повнийпрообраз одиничного елемента з H.

Твердження 60. Для довiльного гомоморфiзму ϕ : G → H його образImϕ є пiдгрупою в H, а його ядро Kerϕ — нормальним дiльником в G.

190

Доведення. Очевидно, що Imϕ — непорожня пiдмножина в H. Розгля-немо довiльнi x, y ∈ Imϕ. Тодi x = ϕ(a), y = ϕ(b) для деяких a, b ∈ G.Звiдси xy = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab) i тому xy ∈ Imϕ. Також x−1 = (ϕ(a))−1 =

ϕ(a−1), звiдки x−1 ∈ Imϕ. Отже, Imϕ < H.Оскiльки ϕ(eG) = eH , то пiдмножина Kerϕ непорожня в G. Нехай

x, y ∈ Kerϕ — довiльнi елементи. Тодi ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = eHeH = eH ,звiдки xy ∈ Kerϕ, i ϕ(x−1) = (ϕ(x))−1 = (eH)−1 = eH , звiдки x−1 ∈Kerϕ. Таким чином, Kerϕ < G. Нарештi, для довiльних x ∈ Kerϕ ia ∈ G маємо ϕ(a−1xa) = ϕ(a−1)ϕ(x)ϕ(a) = (ϕ(a))−1eHϕ(a) = eH , звiдкиa−1xa ∈ Kerϕ. Отже, KerϕCG.

Таким чином, для довiльного гомоморфiзму ϕ з групи G визначаєтьсяфакторгрупа G/Kerϕ.

Важливим iнструментом для встановлення iзоморфностi груп є така

Теорема 60 (про гомоморфiзм груп). Нехай ϕ : G → H — гомомор-фiзм груп. Тодi G/Kerϕ ' Imϕ, причому iснує такий iзоморфiзмτ : G/Kerϕ → Imϕ, що виконується рiвнiсть ϕ = τ(µ), де µ — приро-дний гомоморфiзм, або, iнакше кажучи, має мiсце така комутативнадiаграма:

G

µ

ϕ // Imϕ

G/Kerϕ

τ

:: .

Доведення. Позначимо K = Kerϕ. Визначимо вiдображення τ : G/K →Imϕ, поклавши τ(xK) = ϕ(x) для довiльного x ∈ G.

Насамперед перевiримо коректнiсть такого визначення, тобто йогонезалежнiсть вiд вибору представника класу сумiжностi. Нехай y ∈ xK.Тодi y = xk для деякого k ∈ K i τ(yK) = ϕ(xk) = ϕ(x)ϕ(k) = ϕ(x), тобтовiдображення ϕ є сталим на класах сумiжностi i наведене визначення τ єкоректним.

З означення видно, що ϕ(x) = τ(xK) = τ(µ(x)) для довiльного x ∈ G,тобто рiвнiсть ϕ = τ(µ) виконується.

191

Покажемо, що τ — це гомоморфiзм. Маємо τ(xK · yK) = τ(xyK) =

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = τ(xK)τ(yK) для довiльних xK, yK ∈ G/K.Доведемо сюр’єктивнiсть τ . Нехай h ∈ Imϕ. Тодi iснує елемент x ∈ G

такий, що ϕ(x) = h. Тому τ(xK) = ϕ(x) = h i τ є сюр’єкцiєю.Нарештi, перевiримо iн’єктивнiсть τ . Припустимо, що для класiв сумi-

жностi xK i yK виконується рiвнiсть τ(xK) = τ(yK). Це означає, щоϕ(x) = ϕ(y), звiдки ϕ(y−1x) = eH . Тобто y−1x ∈ K. Це включення рiвно-сильне рiвностi xK = yK i таким чином отримуємо, що τ — iн’єкцiя.

Отже, вiдображення τ є шуканим iзоморфiзмом.

Приклад 16. 1) Нехай гомоморфiзм ϕ : GLn(P )→ P ∗, P = Q, R абоC, задано рiвнiстю ϕ(A) = detA, A ∈ GLn(P ). Тодi його ядромє пiдгрупа SLn(P ). Враховуючи, що Imϕ = P ∗, звiдси виводимоiзоморфiзм GLn(P )/SLn(P ) ' P ∗.

2) Для епiморфiзму ϕ : Z → Zn такого, що ϕ(k) = r, де r — остачавiд дiлення k на n, k ∈ Z, ядром є пiдгрупа nZ. Тому маємо iзомор-фiзм Z/nZ ' Zn, n ∈ N.

Теорема про гомоморфiзм дозволяє доводити iзоморфнiсть груп у рiзно-манiтних ситуацiях, з яких найбiльш важливими є такi:

Наслiдок 26. Нехай H,K — пiдгрупи групи G, причому H C G. ТодiH ∩K CK i 〈K,H〉/H ' K/H ∩K.

Доведення. Для довiльних елементiв x ∈ K та y ∈ H ∩K добуток x−1yx

лежить як у H, оскiльки y ∈ H i H C G, так i в K, бо y ∈ K i K < G.Отже, H ∩K CK.

Пiдгрупа 〈K,H〉 складається з усiх можливих добуткiв елементiвз пiдгруп K i H. Вона зокрема мiстить добуток KH. Покажемо, що〈K,H〉 = KH. В силу нормальностi H для довiльних елементiв x ∈ H,y ∈ K iснує елемент x1 ∈ H такий, що xy = yx1. Тому добуток виглядуh1k1 . . . hmkm, де hi ∈ H, ki ∈ K (1 ≤ i ≤ m), для деяких h′1, . . . , h

′m ∈ H

буде дорiвнювати добутку k1 . . . kmh′1 . . . h

′m, котрий вже мiститься в KH.

Розглянемо тепер канонiчний гомоморфiзм µ групи G на факторгрупуG/H. Тодi його звуження µ|〈K,H〉 i µ|K мають рiвнi образи , а саме —

192

пiдгрупу K/H у факторгрупi G/H. Справдi, xyH = xH для довiльнихx ∈ K, y ∈ H, звiдки Imµ|〈K,H〉 = K/H. Ядром першого з них є пiдгрупаH, а другого — перетин H ∩K. Двiчi використовуючи теорему про гомо-морфiзм, одержимо 〈K,H〉/H ' K/H ∩K.

Це твердження iнколи називають лемою про паралелограм, iлюструючийого за допомогою такого рисунку:

〈K,H〉

K

|

H

|

H ∩K

(перекресленi вiдрiзки означають iзоморфнi результати факторизування).

Наслiдок 27. Нехай H,K — нормальнi пiдгрупи групи G, причому H <

K. Тодi (G/H)/

(K/H) ' G/K.

Доведення. Визначимо вiдображення ϕ : G/H → G/K, поклавшиϕ(xH) = xK для довiльного елемента x ∈ G. Його коректнiсть випливає зтого, що для довiльного y ∈ xH маємо x−1y ∈ H, звiдки x−1y ∈ K, тобтоyK = xK.

Вiдображення ϕ є гомоморфiзмом. Це випливає з правила множенняелементiв факторгрупи. Його образом є очевидно G/K. Нарештi, ϕ(xH) =

xK = K тодi й тiльки тодi, коли x ∈ K, тобто xH ∈ K/H. Отже, ядромϕ є K/H. За теоремою про гомоморфiзм одержуємо, що (G/H)

/(K/H) '

G/K.

68 Простi групи

Неодинична група G називається простою, якщо вона не має власнихнеодиничних нормальних пiдгруп. Очевидними прикладами простих групє циклiчнi групи простих порядкiв, оскiльки вони взагалi не маютьвласних неодиничних пiдгруп. Iнших абелевих простих груп не iснує.

193

Важливий приклад скiнченних простих груп дає

Теорема 61. Знакозмiнна група An є простою тодi й лише тодi, колиn = 3 або n ≥ 5.

Доведення. Кожна з груп A1 i A2 є одиничною, тобто не простою. ГрупаA3 — циклiчна порядку три, тобто проста. В групi A4 пiдгрупа K4 єнеодиничною власною нормальною пiдгрупою, тобто група A4 не проста.Будемо далi розглядати випадок групи An для n ≥ 5.

Нагадаємо, що пiдстановка є парною тодi й лише тодi, коли вонарозкладається у добуток парної кiлькостi транспозицiй. Тому з рiвностей

(ij)(ik) = (ijk), (ij)(kl) = (ij)(ik)(ik)(kl) = (ijk)(ilk)

випливає, що кожну парну пiдстановку можна подати у виглядi добуткуциклiв довжини три, тобто множина циклiв довжини три утворює системутвiрних групи An.

Розглянемо неодиничну нормальну пiдгрупу H групи An i покажемо,що H = An. Для цього досить показати, що H мiстить усi цикли довжинитри. Виберемо в H довiльну неодиничну пiдстановку π i розглянемодекiлька випадкiв у залежностi вiд її вигляду.

Перший випадок. Пiдстановка π є циклом довжини 3, тобто π = (ijk).Переконаймося, що довiльний цикл (i1j1k1) також належить H. Розгля-немо довiльну пiдстановку σ ∈ Sn таку, що σ(i) = i1, σ(j) = j1, σ(k) = k1.Внаслiдок нерiвностi n ≥ 5, можна вибрати елементи l,m ∈ 1, 2, . . . , nтак, що l,m 6∈ i, j, k. Покладемо σ1 = σ · (lm). Тодi пiдстановки σ таσ1 мають рiзну парнiсть, тобто одна з них лежить в групi An. Тепер зрiвностей

σ−1πσ = (i1j1k1) = σ−11 πσ1

внаслiдок нормальностi H в An отримуємо, що (i1j1k1) ∈ An. Отже, H =

An.Другий випадок. Розклад пiдстановки π в добуток незалежних циклiв

мiстить цикл, довжина якого не менша за 4, тобто

π = (ijkl . . .) . . . .

194

Тодi пiдстановка

π1 = (ijk)−1π(ijk) = (jkil . . .) . . .

також належить H. При цьому в пiдстановок π та π1 iншi частинирозкладiв у добуток незалежних циклiв однаковi. Тому

π−1π1 = (ijl) ∈ H

i все зводиться до першого випадку.Третiй випадок. Розклад пiдстановки π в добуток незалежних циклiв

мiстить єдиний цикл довжини 3 i декiлька циклiв довжини 2. У цьомувипадку пiдстановка π2 є циклом довжини 3 i все зводиться до першоговипадку.

Четвертий випадок. Розклад пiдстановки π в добуток незалежнихциклiв мiстить принаймнi два цикли довжини 3 i декiлька циклiв довжини2, тобто

π = (ijk)(i1j1k1) . . . .

Тодi пiдстановка

π1 = (i1j1k)−1π(i1j1k) = (iji1)(j1kk1) . . .

також належить H. При цьому в пiдстановок π та π1 iншi частинирозкладiв у добуток незалежних циклiв однаковi. Тому

ππ1 = (ii1kjk1) . . . ∈ H

i цей випадок зводиться до другого.П’ятий випадок: π = (ij)(kl). Для довiльного елемента m ∈

1, 2, . . . , n такого, що m 6∈ i, j, k, l (такий елемент iснує, бо n ≥ 5),пiдстановка

π1 = (imj)−1π(imj) = (im)(kl) ∈ H.

Томуππ1 = (ijm) ∈ H

i цей випадок зводиться до першого.

195

Шостий, останнiй можливий випадок. В розкладi пiдстановки π вдобуток незалежних циклiв всi нетривiальнi цикли мають довжину 2,причому їх кiлькiсть не менша чотирьох:

π = (ij)(kl)(i1j1)(k1l1) . . . .

Тодi пiдстановка

π1 = ((jk)(li1))−1π(jk)(li1) = (ik)(ji1)(lj1)(k1l1) . . .

також належить H. При цьому в пiдстановок π та π1 iншi частинирозкладiв у добуток незалежних циклiв однаковi. Тому

ππ1 = (ii1l)(j1jk) ∈ H

i цей випадок зводиться до четвертого. Теорему доведено

Задача класифiкацiї скiнченних простих груп полягає в тому, щобз точнiстю до iзоморфiзму знайти всi скiнченнi простi групи. Циклiчнiгрупи простих порядкiв та знакозмiннi групи утворюють нескiнченнi серiїскiнченних простих груп. Вiдомi ще й iншi нескiнченнi серiї (так званихпростих груп лiєвого типу), а також 26 спорадичних простих груп (тобтотих, що не потрапляють до жодної з серiй). Чи є цей список скiнченнихгруп вичерпним, чи нi — залишається досi не з’ясованим, незважаючи насотнi робiт багатьох видатних математикiв.

69 Комутант групи. Розв’язнi групи

Для довiльних елементiв x, y групи G символом [x, y] позначимо добутокx−1y−1xy, який назвемо комутатором елементiв x i y. Також будемо вико-ристовувати позначення xy для добутку y−1xy.

Сформулюємо найпростiшi властивостi комутаторiв.

Твердження 61. Нехай x, y, z — довiльнi елементи групи G. Тодi

1) xy = yx[x, y];

196

2) ([x, y])−1 = [y, x];

3) [x, y]z = [xz, yz].

Доведення. 1) xy = yx(yx)−1xy = yx · x−1y−1xy = yx[x, y].

2) ([x, y])−1 = (x−1y−1xy)−1 = y−1x−1yx = [y, x].

3) [x, y]z = z−1 · x−1y−1xy · z = z−1x−1z · z−1y−1z · z−1xz · z−1yz =

= (z−1xz)−1·(z−1yz)−1·z−1xz·z−1yz = (xz)−1·(yz)−1·xz ·yz = [xz, yz].

Перша з цих рiвностей означає, що два елементи групи комутуютьтодi й лише тодi, коли їх комутатор дорiвнює одиничному елементу групи.Тому комутатор двох елементiв є iндикатором їх некомутативностi.

Означення 66. Комутантом групи G називається її пiдгрупа, поро-джена усiма комутаторами елементiв групи G.

Комутант групи G позначається одним iз символiв G′ чи [G,G]. Такимчином,

G′ = 〈[x, y] : x, y ∈ G〉.

Теорема 62. Комутант G′ групи G є нормальною пiдгрупою в G.

Доведення. Перевiримо, що для довiльних елементiв a ∈ G та b ∈ G′

добуток a−1ba = ba також належить G′.За означенням комутанта, елемент b є добутком елементiв, кожен з

яких є комутатором чи оберненим до комутатора. Але обернений до кому-татора сам є комутатором, i тому для деякого m ≥ 1 маємо

b = b1 . . . bm,

де кожен з множникiв b1, . . . , bm є комутатором. Зауважимо, що

ba = a−1(b1 . . . bm)a = (a−1b1a) . . . (a−1bma) = ba1 . . . bam,

звiдки ba ∈ G′, бо xy є комутатором, якщо x — комутатор.

197

Зауважимо, що не завжди добуток комутаторiв групи знову буде кому-татором.

Твердження 62. Група є абелевою тодi й лише тодi, коли її комутантє одиничною пiдгрупою.

Доведення. Група абелева тодi й лише тодi, коли довiльнi її елементикомутують, тобто їх комутатор дорiвнює одиничному елементу. Це рiвно-сильно тому, що система твiрних комутанта складається з одиничногоелемента, тобто вiн є одиничною пiдгрупою.

Основнi властивостi комутанта групи вiдображає

Теорема 63. Для групи G факторгрупа G/G′ є абелевою. Пiдгрупа H <

G мiстить комутант G′ тодi й лише тодi, коли H є нормальноюпiдгрупою G, а факторгрупа G/H — абелева.

Доведення. 1) Розглянемо довiльнi елементи xG′, yG′ факторгрупи G/G′,x, y ∈ G. З означення комутатора i правила множення у факторгрупi маєморiвностi

[xG′, yG′] = (xG′)−1(yG′)−1(xG′)(yG′) =

(x−1G′)(y−1G′)(xG′)(yG′) = (x−1y−1xy)G′ = [x, y]G′ = G′,

оскiльки [x, y] ∈ G′. Отже, факторгрупа G/G′ абелева.2) Нехай пiдгрупа H < G мiстить комутант G′. Покажемо, що вона є

нормальною пiдгрупою. Нехай h ∈ H, g ∈ G. Тодi

g−1hg = g−1(h−1)−1g · h−1h = [g, h−1]h ∈ H,

бо G′ < H. Отже, H C G. Тепер аналогiчно першiй частинi доведенняперевiряється, що факторгрупа G/H є абелевою.

3) Нехай тепер H — така нормальна пiдгрупа групи G, що фактор-група G/H абелева. Виберемо довiльнi елементи x, y ∈ G i покажемо, щоїх комутатор мiститься в H. Звiдси вiдразу випливатиме, що G′ < H.Оскiльки факторгрупа G/H абелева, то її елементи xH i yH комутують.Тому для комутатора цих елементiв виконанi рiвностi

[xH, yH] = (x−1H)(y−1H)(xH)(yH) = (x−1y−1xy)H = [x, y]H = H.

198

Остання з них i означає, що [x, y] ∈ H. Теорему доведено.

Твердження 63. Комутант неабелевої простої групи збiгається з цiєюгрупою.

Доведення. З того, що комутант є нормальною пiдгрупою, вiдразу одер-жуємо, що комутант простої групи або одиничний, або дорiвнює всiйгрупi. Оскiльки ж група не абелева, то її комутант рiвний початковiйгрупi.

Поняття комутанта групи є ключовим при визначеннi так званихрозв’язних груп. Сформулюємо таке

Означення 67. Для довiльної групи G її ряд комутантiв визначаєтьсяяк такий ряд пiдгруп G(0), G(1), . . . групи G, що

G(0) = G, а G(n) = [G(n−1), G(n−1)], n ≥ 1.

Групу G(n) називають n-тим членом ряду комутантiв. Таким чином,перший член ряду комутантiв — це просто комутант групи. Зрозумiло, щомають мiсце спiввiдношення

G(0) BG(1) BG(2) B . . . .

Означення 68. Групу G називають розв’язною, якщо якийсь член їїряду комутантiв є одиничною пiдгрупою групи G.

Якщо група розв’язна, то всi члени її ряду, комутантiв, починаючиз деякого номера, є одиничними пiдгрупами. Найменший такий номерназивають ступенем розв’язностi. Тривiальна група розв’язна ступеня 0.Зрозумiло, що кожна нетривiальна абелева група буде розв’язною ступеня1, тобто поняття розв’язностi узагальнює поняття абелевостi для груп.Проте iснують також i неабелевi розв’язнi групи. Наприклад, знакозмiннагрупа A4 є розв’язною ступеня 2. Її комутантом є четверна група КляйнаK4, котра, в свою чергу, є абелевою, а тому другий член ряду комутантiвгрупи A4 одиничний.

199

З твердження 63 вiдразу випливає, що кожна неабелева проста групане є розв’язною. Розв’язнi групи вiдiграють ключову роль у дослiдженнiрозв’язкiв алгебраїчних рiвнянь з однiєю змiнною.

Одним з найвiдомiших (i найскладнiших для доведення!) результатiвпро розв’язнi групи є так звана теорема про непарний порядок.

Теорема 64 (Томпсон-Фейт, 1963). Кожна скiнченна група непарногопорядку є розв’язною.

70 Дiя групи на множинi

Нехай G — це деяка група, e — її нейтральний елемент, а Ω — непорожнямножина, елементи якої будемо називати точками.

Означення 69. Кажуть, що група G дiє на множинi Ω, якщо задановiдображення з декартового добутку Ω × G в Ω, тобто для кожноїточки ω з Ω i для кожного елемента g групи G однозначно визна-чена точка з Ω, яку позначатимемо ωg, причому виконуються такi двiумови:

1) ωe = ω для довiльної точки ω ∈ Ω;

2) (ωg1)g2 = ωg1g2 для довiльної точки ω ∈ Ω i довiльних елементiвg1, g2 ∈ G.

Якщо задано дiю групи G на множинi Ω, то кожен елемент g ∈ G

визначає вiдображення g : Ω → Ω за правилом g(ω) = ωg, ω ∈ Ω. Зрiвностей

(ωg)g−1

= ωgg−1

= ωe = ω

i(ωg

−1

)g = ωg−1g = ωe = ω

для довiльної точки ω випливає, що вiдображення g−1 є оберненим доg, тобто g є бiєкцiєю на множинi Ω. Крiм того, для довiльних точкиω ∈ Ω i елементiв g1, g2 ∈ G має мiсце рiвнiсть g1g2(ω) = g2(g1(ω)),звiдки випливає, що вiдображення g 7→ g є гомоморфiзмом з групи G

200

у групу Sym(Ω). Навпаки, якщо задано деякий гомоморфiзм ϕ : G →Sym(Ω), то легко перевiряється, що правило (ω, g) 7→ (ϕ(g))(ω) визначаєдiю групи G на множинi Ω. Таким чином одержуємо, що визначення дiїгрупи G на множинi Ω рiвносильне визначенню гомоморфiзму ϕ : G →Sym(Ω). Дiю називають точною (ефективною), якщо цей гомоморфiзм єiн’єктивним, тобто кожному неодиничному елементу групи G вiдповiдаєнетотожна пiдстановка на множинi Ω.

Нехай далi група G дiє на множинi Ω. Для кожної точки з Ω визначимодвi множини. Перша з них визначається як пiдмножина в Ω.

Означення 70. Орбiтою точки ω ∈ Ω називається множина O(ω) =

ωg : g ∈ G, тобто сукупнiсть усiх точок, в якi ω може перейти пiддiєю елементiв групи G.

Iнша — як пiдмножина G.

Означення 71. Стабiлiзатором точки ω ∈ Ω називається пiдмножинаSt(ω) = g ∈ G : ωg = ω, тобто сукупнiсть усiх елементiв групи, пiддiєю яких точка m залишається нерухомою.

З умови ωe = ω одержуємо ω ∈ O(ω) i e ∈ St(ω) для кожної точки ω ∈Ω, тобто як орбiта, так i стабiлiзатор точки є непорожнiми множинами.Умова точностi дiї, як видно з означення, рiвносильна тому, що перетинусiх стабiлiзаторiв точок є одиничним.

Твердження 64. Орбiти довiльних двох точок або рiвнi, або не пере-тинаються, тобто сукупнiсть всiх орбiт є розбиттям множини Ω.

Доведення. Нехай перетин орбiт точок ω1, ω2 ∈ Ω не порожнiй, тобтоiснує така точка ω3, що

ω3 ∈ O(ω1)⋂O(ω2).

Досить показати, що O(ω1) = O(ω3) i O(ω2) = O(ω3). Перевiримо першуз цих рiвностей. Оскiльки точка ω3 лежить в орбiтi O(ω1), то ω3 = ωg1 длядеякого елемента g ∈ G. Звiдси для довiльного h ∈ G маємо

ωh3 = (ωg1)h = ωgh1 ∈ O(ω1),

201

тобто O(ω3) ⊆ O(ω1). З рiвностей

ωg−1

3 = ωgg−1

1 = ωe1 = ω1

одержуємо, що ω1 ∈ O(ω3). Тому маємо включення O(ω1) ⊆ O(ω3), звiдкий випливає потрiбна рiвнiсть.

З доведеного випливає, що для дiї G на Ω бiнарне вiдношення на Ω

“точка ω1 переходить в точку ω2 за допомогою деякого елемента g ∈ G”буде вiдношенням еквiвалентностi, а його класами еквiвалентностi якразi будуть орбiти.

Дiю групи G на множинi Ω називають транзитивною, якщо вона маєрiвно одну орбiту, тобто для довiльних точок ω1, ω2 ∈ Ω iснує елементg ∈ G такий, що ωg1 = ω2. Для кожної орбiти деякої дiї можна розглянутизвуження цiєї дiї на орбiту i отримати нову дiю, яка вже буде транзи-тивною.

Зв’язок мiж орбiтами i стабiлiзаторами встановлює

Твердження 65. Кожен стабiлiзатор є пiдгрупою групи G. Поту-жнiсть орбiти довiльної точки ω дорiвнює iндексу стабiлiзатора цiєїточки у групi G: |O(ω)| = |G : St(ω)|. Зокрема, якщо група G скiнченна,то |G| = |O(ω)| · |St(ω)|.

Доведення. Зафiксуємо точку ω ∈ Ω.Нехай g, h ∈ St(ω), тобто ωg = ωh = ω. Тодi за означенням дiї ωgh =

ωh = ω i звiдси gh ∈ St(ω). Також

ωg−1

= (ωg)g−1

= ωe = ω,

звiдки g−1 ∈ St(ω). Це означає, що стабiлiзатор St(ω) є пiдгрупою групиG.

Покажемо, що правило ωg 7→ St(ω)g встановлює взаємно однозначнувiдповiднiсть мiж точками орбiти O(ω) i правими класами сумiжностi застабiлiзатором St(ω). Коректнiсть цього означення випливає з еквiвален-тностей:

ωg = ωh ⇔ ωgh−1

= ω ⇔ gh−1 ∈ St(ω)⇔ St(ω)g = St(ω)h.

202

Iн’єктивнiсть вказаного вiдображення є наслiдком цих же еквiвалентно-стей, а його сюр’єктивнiсть очевидна. Отже, справдi |O(ω)| = |G : St(ω)|.

Якщо тепер група G скiнченна, то з рiвностi |G| = |G : St(ω)| · |St(ω)|одержимо |G| = |O(ω)| · |St(ω)|.

Якщо визначено дiю групи на деякiй множинi, то для кожної їїпiдгрупи визначено дiю на тiй самiй множинi як звуження вiдповiдноїдiї. Отриману дiю називають iндукованою.

Приклад 17. 1) Симетрична група Sn дiє на множинi Ω =

1, 2, . . . , n за правилом iπ = π(i), 1 ≤ i ≤ n, π ∈ Sn. Цю дiю нази-вають природною дiєю симетричної групи. Вона буде точною iтранзитивною. Точною i транзитивною буде також iндукованаприродна дiя знакозмiнної групи An.

2) Група дiедра Dn точно i транзитивно дiє на множинах вершин iсторiн правильного n-кутника.

3) Повна лiнiйна група GLn(C) дiє на векторному просторi Cn

векторiв-рядкiв:

vA = v ·A, v ∈ Cn, A ∈ GLn(C).

Ця дiя точна, але не транзитивна. Нульовий вектор утворюєокрему орбiту. Всi ненульовi вектори також лежать в однiйорбiтi.

Для кожного елемента g групи G, яка дiє на множинi Ω, визначимойого множину нерухомих точок як

Fix(g) = ω ∈ Ω : ωg = ω.

Ясно, що Fix(e) = Ω, а дiя буде ефективною тодi й лише тодi, колирiвнiсть Fix(g) = Ω виконується лише для одиничного елемента.

Для комбiнаторних застосувань важливе значення має

203

Лема 12 (Кошi-Фробенiус-Бернсайд). Нехай скiнченна група G дiє наскiнченнiй множинi Ω. Позначимо символом χ кiлькiсть орбiт цiєї дiї.Тодi має мiсце рiвнiсть

χ =1

|G|∑g∈G|Fix(g)|.

Доведення. Розглянемо множину M ⊂ Ω×G таку, що

M = (ω, g) : ωg = ω.

Обчислимо кiлькiсть елементiв множини M , по черзi фiксуючи першу тадругу координати елемента цiєї множини. Зауважимо, що для фiксованогоω ∈ Ω пара (ω, g) належить множинi M в тому й лише тому випадку, колиg ∈ St(ω). Якщо ж зафiксувати g ∈ G, то пара (ω, g) належить множинiM тодi й лише тодi, коли ω ∈ Fix(g). Тому маємо рiвностi

|M | =∑ω∈Ω

|St(ω)| =∑g∈G|Fix(g)|.

Тепер перепишемо першу з цих рiвностей, користуючись теоремоюЛагранжа, твердженням 65, i враховуючи розбиття множини Ω на орбiтиO1, . . . ,Oχ.

|M | =∑ω∈Ω

|St(ω)| =∑ω∈Ω

|G||G : St(ω)|

= |G|∑ω∈Ω

1

|O(ω)|=

|G|χ∑i=1

∑ω∈Oi

1

|O(ω)|= |G|

χ∑i=1

(|Oi| ·

1

|Oi|

)= |G| · χ.

Прирiвнюючи провi частини отриманих рiвностей, будемо мати потрiбнурiвнiсть.

71 Спряженiсть, центр та автоморфiзми

Для вивчення внутрiшньої будови групи важливу роль вiдiграє вiдно-шення спряженостi на групi.

204

Означення 72. Елемент g групи G називається спряженим зелементом h цiєї групи, якщо iснує такий елемент x ∈ G, що вико-нана рiвнiсть x−1gx = h.

Твердження 66. Вiдношення спряженостi на групi буде вiдношеннямеквiвалентностi.

Доведення. Рефлексивнiсть випливає з рiвностi e−1ge = g.Симетричнiсть одержуємо з того, що наслiдком рiвностi x−1gx = h є

рiвнiсть (x−1)−1hx−1 = g.Нарештi, транзитивнiсть є наслiдком того, що з рiвностей x−1gx = h

i y−1hx = f випливають рiвностi y−1hy = y−1(x−1gx)y = (xy)−1g(xy) =

f .

Класи еквiвалентностi вiдношення спряженостi на групi називаютькласами спряженостi на групi.

Класи спряженостi на групi G можна також розглядати i як орбiтидеякої дiї групи G на множинi своїх елементiв. А саме, визначимо дiюгрупи G на множинi Ω = G правилом ωg = g−1ωg, ω ∈ Ω, g ∈ G. Цесправдi буде дiя. Необхiднi умови перевiряються аналогiчно доведеннюпопереднього твердження. Таку дiю називають дiєю групи спряженнямина собi. Орбiтами цiєї дiї є класи спряжених елементiв групи G. Зокрема,звiдси i з твердження 65 випливає, що число елементiв у класi спряже-ностi скiнченної групи є дiльником порядку цiєї групи.

В якостi прикладу охарактеризуємо тепер вiдношення спряженостi насиметричних групах. Для цього введемо поняття циклового типу пiдста-новки.

Означення 73. Цикловим типом пiдстановки π ∈ Sn називаєтьсяодночлен

xj1(π)1 . . . xjn(π)

n ,

де jk(π) — кiлькiсть циклiв довжини k у розкладi пiдстановки π вдобуток незалежних циклiв, 1 ≤ k ≤ n.

205

З означення зрозумiло, що для довiльної пiдстановки π ∈ Sn має мiсцерiвнiсть

n∑k=1

kjk(π) = n.

Цикловим типом тотожної пiдстановки з Sn буде одночлен xn1 , а циклудовжини k — одночлен xk. Має мiсце

Теорема 65. Пiдстановки π, σ ∈ Sn спряженi в групi Sn тодi й лишетодi, коли їх цикловi типи рiвнi.

Доведення. Знайдемо спочатку вигляд пiдстановки, спряженої до циклу.Нехай (i1 . . . ik) — деякий цикл, τ ∈ Sn. Тодi безпосередньо перевiряєтьсярiвнiсть

τ−1(i1 . . . ik)τ = (τ(i1) . . . τ(ik)),

тобто елемент, спряжений до циклу, знову буде циклом тiєї самоїдовжини.

Нехай для пiдстановки τ виконується рiвнiсть τ−1πτ = σ. Якщопiдстановку π подати у виглядi добутку незалежних циклiв

π = π1 . . . πm,

то одержимо рiвнiсть

τ−1πτ = τ−1(π1 . . . πm)τ = (τ−1π1τ) . . . (τ−1πmτ),

причому в правiй частинi рiвностi, згiдно щойно доведеного, кожна дужкає циклом тiєї ж довжини, що й вiдповiдний множник у розкладi пiдста-новки π. Крiм того, в силу iн’єктивностi τ , цикли в цьому розкладi є неза-лежними. Таким чином, пiдстановка σ, спряжена з π, в своєму розкладiв добуток незалежних циклiв буде мати таку ж кiлькiсть циклiв кожноїдовжини, як i π. Це й означає, що цикловi типи пiдстановок π i σ рiвнi.

Припустимо тепер, що цикловi типи пiдстановок π i σ рiвнi. Тодi в їхрозкладах у добуток незалежних циклiв порiвну циклiв кожної довжини.Тому мiж незалежними циклами таких розкладiв iснує взаємно одно-значна вiдповiднiсть, яка зберiгає довжину циклу. Визначимо пiдстановку

206

τ ∈ Sn. Припустимо, що деякому циклу (i1 . . . ik) з розкладу π вiдповiдаєцикл (j1 . . . jk) з розкладу σ. Покладемо τ(i1) = j1, . . . , τ(ik) = jk. Пере-бираючи так усi цикли розкладу π, одержимо коректно визначену пiдста-новку τ , для якої виконана рiвнiсть τ−1πτ = σ. Теорему доведено.

Розглянемо тепер поняття централiзатора елемента та центру групи.

Означення 74. Централiзатором елемента g групи G називаєтьсяпiдмножина

C(g) = h ∈ G : gh = hg.

Оскiльки для елементiв g, h ∈ G рiвностi gh = hg i h−1gh = g рiвно-сильнi, то централiзатор елемента g — це стабiлiзатор точки g при дiїгрупи на собi спряженнями. Тому централiзатор C(g) елемента g — цепiдгрупа групи G.

Означення 75. Центром групи G називається пiдмножина

Z(g) = g ∈ G : gh = hg для всiх h ∈ G.

Елементи центру називаються центральними елементами групи.Елемент є центральним тодi й лише тодi, коли вiн спряжений лише самiз собою, тобто вiн утворює окрему орбiту при дiї групи на собi спряжен-нями.

Має мiсце

Теорема 66. Центр Z(G) групи G є нормальною пiдгрупою в G.

Доведення. З означення центру одержуємо рiвнiсть

Z(G) =⋂g∈G

C(g),

звiдки випливає, що центр групи, як перетин пiдгруп, є пiдгрупою.Нехай g ∈ Z(G). Для довiльного h ∈ G маємо h−1gh = h−1hg = g ∈

Z(G). Звiдси Z(G) CG.

В термiнах центру критерiй абелевостi групи має такий вигляд.

207

Твердження 67. Група є абелевою тодi й лише тодi, коли вона рiвнасвоєму центру.

Доведення. Група є абелевою тодi й лише тодi, коли кожен її елементкомутує з усiма елементами групи, тобто є центральним. Це й означає,що група дорiвнює своєму центру.

Введемо до розгляду важливий тип скiнченних груп. Нехай p —деякепросте число.

Означення 76. Скiнченну групу G називають p-групою, якщо їїпорядок є степенем числа p, тобто |G| = pn для деякого n ≥ 0.

Зауважимо, що згiдно такого означення одинична група буде p-групоюдля кожного простого p. З теореми Лагранжа випливає, що пiдгрупи iфакторгрупи p-груп також є p-групами. При дослiдженнi скiнченних групp-групи вiдiграють ключову роль. Класичним результатом про них є

Теорема 67. Центр нетривiальної p-групи є нетривiальним.

Доведення. Нехай G — нетривiальна p-група, тобто |G| = pk, k ≥ 1.Розглянемо дiю G спряженнями на собi. Тодi в кожнiй орбiтi, тобто класiспряженостi групи G, кiлькiсть елементiв є дiльником порядку групи G,а отже є степенем числа p. Таким чином, число pk є сумою чисел, кожнез яких є степенем числа p, причому принаймнi один з них є нульовим(нейтральний елемент групи спряжений лише сам собi). Звiдси одразувипливає, що в цiй сумi мусить iснувати ще один нульовий степiнь, тобтонеодиничний елемент, спряжений лише сам з собою. Вiн i буде нетри-вiльним елементом центру.

З введеними тут поняттями виявляються тiсно пов’язаними автомор-фiзми груп.

Означення 77. Автоморфiзмом групи G називається iзоморфiзм згрупи G в G.

Таким чином, автоморфiзм групи — це бiєкцiя цiєї групи в себе, якаузгоджена з груповою дiєю в нiй. Всi автоморфiзми заданої групи самiутворюють групу. А саме, має мiсце

208

Твердження 68. Множина всiх автоморфiзмiв групи G утворює групувiдносно суперпозицiї.

Доведення. Тотожне вiдображення на групi G буде автоморфiзмом. Томумножина автоморфiзмiв G не порожня. Асоцiативнiсть суперпозицiї, яквiдомо, має мiсце. Тотожний автоморфiзм буде нейтральним елементом,а оберненим елементом до заданого автоморфiзму буде обернене вiдобра-ження. Таке iснує, бо автоморфiзм є бiєкцiєю.

Групу автоморфiзмiв групи G позначають символом AutG. Легко пере-вiрити, що для довiльного автоморфiзму групи G його звуження на будь-яку її пiдгрупу буде iзоморфiзмом.

Для кожного елемента a групи G розглянемо вiдображення

Φa : G→ G,

задане рiвнiстюΦa(x) = a−1xa, x ∈ G.

Вiдображення Φa бiєктивне i є автоморфiзмом групи G, оскiльки має мiсцерiвнiсть

Φa(xy) = a−1(xy)a = (a−1xa)(a−1ya) = Φa(x)Φa(y), x, y ∈ G.

Кожен автоморфiзм групи G вигляду Φa, a ∈ G називається її внутрiшнiмавтоморфiзмом. Таким чином, внутрiшнiй автоморфiзм переводить коженелемент групи в спряжений до нього, причому за допомогою фiксованогоелемента цiєї групи. Позначимо множину внутрiшнiх автоморфiзмiв групиG символом InnG. Двi пiдмножини групи G, якi можуть бути переведенiодна в одну за допомогою деякого внутрiшнього автоморфiзму, називаютьспряженими. Зокрема, спряженi пiдгрупи є iзоморфними.

Теорема 68. Множина InnG утворює нормальну пiдгрупу в AutG, якаiзоморфна факторгрупi G/Z(G).

Доведення. Покажемо, що вiдображення

G 3 a 7→ Φa ∈ AutG

209

є гомоморфiзмом, ядром якого є центр групи G, а образом — InnG.Справдi, для довiльних a, b, x ∈ G маємо рiвностi

Φab(x) = (ab)−1x(ab) = b−1(a−1xa)b = Φb(Φa(x)) = (ΦaΦb)(x),

тобто вказане вiдображення є гомоморфiзмом. Припустимо, що елементa ∈ G лежить у його ядрi. Це буде тодi й лише тодi, коли автоморфiзм Φaє тотожним, тобто для довiльного x ∈ G мають мiсце рiвностi

Φa(x) = a−1xa = x.

Остання умова i означає, що a ∈ Z(G). Нарештi, образ побудованого гомо-морфiзму рiвний множинi InnG за її означенням, а тому InnG є пiдгрупоюв AutG. Таким чином, застосовуючи теорему про гомоморфiзм, одержуємо,що факторгрупа G/Z(G) iзоморфна InnG.

Покажемо тепер, що InnG/AutG. Нехай ψ ∈ AutG, ϕ ∈ InnG. Тодi ϕ =

Φa для деякого a ∈ G. Для довiльного елемента x ∈ G з використаннямозначення внутрiшнього автоморфiзму та гомоморфностi ψ маємо рiвностi

(ψ−1Φaψ)(x) = ψ(Φa(ψ−1(x))) = ψ(a−1ψ−1(x)a) =

(ψ(a−1))ψ(ψ−1(x))ψ(a) = (ψ(a))−1xψ(a) = Φψ(a)(x),

з яких одержуємо рiвнiсть ψ−1Φaψ = Φψ(a). Таким чином, ψ−1Φaψ ∈InnG. Теорему доведено.

Факторгрупу AutG/InnG називають групою зовнiшнiх автоморфiзмiвгрупи G i позначають OutG. Нетривiальнi елементи групи OutG називаютьзовнiшнiми автоморфiзмами групи G.

72 Теореми Силова

Для дослiдження будови скiнченної групи ключовою є iнформацiя про їїпiдгрупи. Найзагальнiшу iнформацiю про них дають теореми, сформульо-ванi нижче.

Зафiксуємо просте число p.

210

Означення 78. Силовською p-пiдгрупою скiнченної групи G називаютьтаку її p-пiдгрупу, порядок якої є взаємно простим з її iндексом.

Зафiксуємо тепер скiнченну групу G. Тодi порядок цiєї групи одно-значно записується у виглядi pkm для k ≥ 0, m ≥ 1 таких, що p i mвзаємно простi. З означення випливає, що порядок силовської p-пiдгрупигрупи G буде дорiвнювати pk. Таким чином, силовська p-пiдгрупа групиG — це її p-пiдгрупа максимального можливого порядку. Зокрема, якщоp не є дiльником |G|, то силовською p-пiдгрупою є одинична пiдгрупа. Вiншому ж випадку її iснування випливає з такої теореми.

Теорема 69 (Силова про iснування). Нехай просте число p є дiльникомпорядку групи G. Для кожного l ≥ 1 такого, що pl||G| в групi G iснуєпiдгрупа порядку pl.

Доведення. Нехай |G| = pkm, де k,m ≥ 1, i p не є дiльником m. Виберемоl таке, що 1 ≤ l ≤ k. Позначимо символом Ω множину всiх pl-елементнихпiдмножин групи G. Розглянемо дiю правими зсувами групи G на множинiΩ. А саме, для довiльних елемента g ∈ G та множини A ∈ Ω покладемоAg = xg : x ∈ A. Тодi Ag ∈ Ω, а визначене правило справдi задає дiю G

на Ω.Обчислимо кiлькiсть елементiв у множинi Ω:

|Ω| = Cpl

pkm=

(pkm)!

(pl)!(pkm− pl)!=

(pkm) · (pkm− 1) · . . . · (pkm− pl + 1)

1 · 2 · . . . · pl= pk−l ·m ·

pl−1∏i=1

pkm− ii

.

Для довiльного натурального i, 1 ≤ i ≤ pl − 1, у нескоротному записiдробу pkm−i

i нi чисельник, нi знаменник не дiляться на p, бо на коженстепiнь числа p числа i та pkm − i дiляться або не дiляться одночасно.Враховуючи простоту p, звiдси одержуємо, що число |Ω| дiлиться на pk−l,але не дiлиться на pk−l+1. Це означає, що iснує орбiта O визначеної дiїгрупи G на Ω, кiлькiсть елементiв якої також не дiлиться на pk−l+1.

Виберемо довiльну точку X ∈ O. Нехай H = St(X). Покажемо, щопiдгрупа H має порядок pl.

211

З рiвностi |G| = |H| · |O| випливає, що |H| дiлиться на pl. З рiвностiH = St(X) випливає, що для довiльних x ∈ X та h ∈ H має мiсцевключення xh ∈ X. При цьому для h1, h2 ∈ H з рiвностей xh1 = xh2

вiдразу випливає рiвнiсть h1 = h2. Тому виконується нерiвнiсть |H| ≤|X| = pl. Отже, порядок пiдгрупи H з одного боку дiлиться на pl, а зiншого — не перевищує pl. Тому |H| = pl. Теорему доведено.

Теорему Силова про iснування можна розглядати як слабку формутвердження, оберненого до теореми Лагранжа. I хоча не для кожногодiльника порядку скiнченної групи вона мiстить пiдгрупу, порядок якоїрiвний цьому дiльнику, проте для тих дiльникiв, якi є степенями простихчисел, це твердження є правильним. Як окремий випадок теореми Силовапро iснування тепер одержуємо таку класичну теорему.

Теорема 70 (Кошi). Якщо порядок скiнченної групи дiлиться на простечисло p, то в цiй групi iснує пiдгрупа порядку p.

Також можемо тепер сформулювати необхiдну й достатню умову, заякої скiнченна група буде p-групою.

Наслiдок 28. Скiнченна група є p-групою тодi й лише тодi, колипорядок кожного її елемента є степенем числа p.

Доведення. З теореми Лагранжа випливає, що у p-групi порядок кожногоелемента є степенем числа p.

В iнший бiк. Припустимо, що в скiнченнiй групi G порядок кожногоелемента є степенем числа p, але порядок самої групи дiлиться на деякепросте число q i q 6= p. Тодi група G мiстить нетривiальну силовськуq-пiдгрупу. В якiй, в свою чергу, за теоремою Лагранжа, порядки всiхелементiв є степенями q, причому iснують неодиничнi елементи. Це супе-речить початковому припущенню. Отже, порядок групи G не дiлиться нажодне просте число, вiдмiне вiд p, тобто група G є p-групою.

Цей наслiдок дозволяє говорити про поняття p-групи для довiльних,не обов’язково скiнченних, груп. А саме, групу називають p-групою, якщопорядок кожного її елемента є степенем числа p. Наприклад, p-групоюбуде квазiциклiчна група Cp∞ .

212

Позначимо символом np(G) кiлькiсть силовських p-пiдгруп скiнченноїгрупи G. Сформулюємо ще двi теореми, доведення яких зручно проводитиодночасно.

Теорема 71 (Силова про кiлькiсть). Число np(G) має вигляд lp + 1 длядеякого l ≥ 0 i є дiльником порядку групи G.

Теорема 72 (Силова про спряженiсть). Довiльнi двi силовськi p-пiдгрупискiнченної групи G є спряженими.

Доведення. У випадку p 6 ||G| силовська p-пiдгрупа групи G є одиничною,тобто єдиною, i для неї усi твердження правильнi. Нехай далi p||G|.

Доведемо перше твердження теореми про кiлькiсть.Нехай P — множина всiх силовських p-пiдгруп групи G, H ∈ P —

деяка силовська p-пiдгрупа. Тодi |P| = np(G). Розглянемо дiю групи H

на множинi P спряженнями. А саме, для довiльних h ∈ H та K ∈ Pпокладемо Kh = h−1Kh, тобто Kh є образом звуження внутрiшньогоавтоморфiзму Φh на пiдгрупу K.

При так визначенiй дiї сама група H, як елемент множини P, утворюєокрему, одноелементну орбiту. Покажемо, що iнших одноелементних орбiтне iснує. Припустимо, що пiдгрупа H1 ∈ P утворює окрему орбiту. Розгля-немо пiдгрупу H2, породжену H i H1. З рiвностi h−1H1h = H1, якамає мiсце для довiльного елемента h ∈ H, випливає, що HH1 = H1H.Тому маємо рiвнiсть H2 = HH1, тобто кожен елемент групи H2 можнаподати, як добуток вигляду aa1 для деяких a ∈ H, a1 ∈ H1. При цьомурiвнiсть aa1 = bb1 для b ∈ H, b1 ∈ H1 має мiсце тодi й лише тодi, колиa−1b = a1b

−11 , тобто iснує c ∈ H ∩H1 такий, що b = ac, b1 = c−1a1. Отже,

кiлькiсть способiв записати довiльний елемент групи H2 у виглядi aa1,де a ∈ H, а a1 ∈ H1, дорiвнює кiлькостi елементiв у перетинi H ∩ H1.Тому |H2| = |H|·|H1|

|H∩H1| . Але пiдгрупа p-групи сама є p-групою. Тому перетинH ∩ H1 є p-групою. Отже, порядок пiдгрупи H2 буде степенем p, тобтовона є p-пiдгрупою групи G. При цьому H < H2 i H1 < H2 за виборомH2. Але H i H1 — p-пiдгрупи групи G максимального можливого порядку.Тому мають мiсце рiвностi H2 = H i H2 = H1, з яких одержуємо рiвнiстьH = H1.

213

Отже, при дiї групи H на множинi P одноелементна орбiта єдина.Враховуючи, що порядок p-групи H дiлиться на кiлькiсть елементiвкожної орбiти, звiдси вiдразу одержуємо, що кiлькiсть елементiв кожноїнеодноелементної орбiти є степенем числа p. Тому число елементiв у всiхорбiтах разом при дiленнi на p дає остачу 1, що й потрiбно було показати.

Доведемо теорему про спряженiсть. Розглянемо дiю групи G намножинi P. Нехай P1 — орбiта пiдгрупи H, тобто P1 складається з усiхсиловських p-пiдгруп групи G, якi спряженi з пiдгрупою H. Потрiбнопоказати, що P1 = P. Група H також дiє на множинi P1 спряженнями.Як i вище, можна перевiрити, що така дiя має єдину одноелементнуорбiту — H. Кiлькiсть елементiв у всiх iнших орбiтах є ненульовимстепенем p. А тому для деякого s ≥ 0 маємо рiвнiсть |P1| = sp+1. Припу-стимо, що iснує силовська p-пiдгрупа L групи G така, що L ∈ P \ P1.Розглянемо дiю L на множинi P1 спряженнями. Припустивши, що ця дiямає однелементну орбiту, аналогiчно вищенаведеним мiркуванням можемовстановити, що єдиним елементом цiєї орбiти є сама L. Але це супере-чить вибору пiдгрупи L. Отже, одноелементних орбiт нема. Оскiльки L

є нетривiальною p-групою, це означає, що кiлькiсть елементiв у кожнiйорбiтi є ненульовим степенем p. Тому кiлькiсть елементiв у всiй множинiP1 буде дiлитися на p. А це вже суперечить ранiше встановленiй рiвностi|P1| = sp+ 1. Отже, такої пiдгрупи L не iснує i P1 = P.

Друге твердження теореми про кiлькiсть тепер випливає з теореми проспряженiсть, яка означає, що дiя групи G на множинi P спряженнями єтранзитивною, тобто вся множина P утворює орбiту цiєї дiї i тому числоїї елементiв є дiльником порядку групи G.

Зауважимо, що з теореми Силова про кiлькiсть вiдразу випливає, щочисло np(G) буде дiльником iндексу довiльної силовської p-пiдгрупи групиG.

З теореми Силова про спряженiсть одержуємо такий

Наслiдок 29. Силовська p-пiдгрупа скiнченної групи єдина тодi й лишетодi, коли вона нормальна.

Доведення. Справдi, пiдгрупа буде нормальною тодi й лише тодi, коли

214

вона спряжена лише сама з собою. Оскiльки кожна силовська p-пiдгрупаскiнченної групи спряжена з усiма силовськими p-пiдгрупами цiєї групи,то її спряженiсть лише з собою рiвносильна її єдиностi.

З теорем Силова можна отримувати результати такого типу:

Твердження 69. Кожна група порядку 300 не є простою.

Доведення. Нехай G — група порядку 300 = 22 · 3 · 52. За теоремоюСилова про кiлькiсть число силовських 5-пiдгруп групи G є дiльникомчисла 300

25 = 12 i конгруентне 1 за модулем 5, тобто рiвне 1 або 6. Якщовоно рiвне 1, то силовська 5-пiдгрупа є нормальною i G не проста. Припу-стимо, що таких пiдгруп 6. За теоремою Силова про спряженiсть усi вониспряженi, тобто утворюють орбiту дiї групи G спряженнями. За теоремоюпро довжину орбiти це означає, що стабiлiзатор будь-якої з цих пiдгруп(тобто її нормалiзатор у групi G) буде мати iндекс 6 у групi G. Отже, групаG мiстить пiдгрупу H iндекса 6. Розглянемо дiю G правими зсувами направих класах сумiжностi G по H. Якщо ця дiя точна, то G iзоморфнапiдгрупi S6, звiдки 300 — дiльник 720. Суперечнiсть. Тому така дiя неточна, тобто G мiстить нетривiальну нормальну пiдгрупу, а тому не єпростою.

Як приклад застосування теорем Силова при дослiдженнi скiнченнихгруп, опишемо з точнiстю до iзоморфiзму всi групи порядку 2p.

Теорема 73. Кожна група порядку 2p (p — просте) або циклiчна, абоiзоморфна групi дiедра Dp.

Доведення. Розглянемо окремо випадок, коли p = 2. Припустимо, щогрупа G порядку 4 не циклiчна. Це означає, що усi її неодиничнi елементимають порядок 2. Крiм того, добуток довiльних двох iз них не можедорiвнювати нi одиничному елементу, нi жодному iз множникiв. Отже,добуток довiльних двох неодиничних елементiв дорiвнює третьому. Отже,дiя множення в нециклiчнiй групi G визначена однозначно, а тому такагрупа iзоморфна групi D2.

Нехай тепер просте число p є непарним, а група G має порядок 2p.Силовська p-пiдгрупа групи G має порядок p, а тому є циклiчною. Нехай

215

H = 〈a〉 = e, a, . . . , ap−1 — силовська p-пiдгрупа групи G. Всi її неоди-ничнi елементи мають порядок p. Iндекс пiдгрупи H дорiвнює 2, i томувона буде нормальною, а отже i єдиною. Силовська 2-пiдгрупа групи G

має порядок 2. Нехай K = 〈b〉 = e, b — силовська 2-пiдгрупа групи G.Кiлькiсть силовських 2-пiдгруп непарна i є дiльником числа p. Отже, абовона рiвна 1, або p.

Припустимо, що K — єдина силовська 2-пiдгрупа групи G. Тодi KCG.Звiдси маємо рiвнiсть a−1ba = b, тобто елементи a i b комутують. Томупорядок їх добутку ab буде дорiвнювати найменшому спiльному кратномупорядкiв елементiв a i b. Оскiльки їх порядки, числа 2 i p, є взаємнопростими, то елемент ab має порядок 2p. Таким чином, в групi G порядку2p знайшовся елемент порядку 2p. Отже, група G є циклiчною.

Припустимо, що кiлькiсть силовських 2-пiдгруп групи G дорiвнюєp. Зауважимо, що елементи b, ba, . . . , bap−1 є попарно рiзними i томуG = KH = e, a, . . . , ap−1, b, ba, . . . , bap−1. Отже, порядок кожного зелементiв b, ba, . . . , bap−1 дорiвнює 2, тобто кожен з них породжує силов-ську 2-пiдгрупу групи G. Зокрема, маємо рiвнiсть ba · ba = e, звiдкиbab = a−1 = ap−1 i

(bab)i = baib = a−i = ap−i для всiх 1 ≤ i ≤ p− 1.

Тепер для добуткiв елементiв групи G маємо такi рiвностi:

bai · aj = bai+j = ba(i+j)(p),

ai · baj = b2 · ai · baj = b · baib · aj = bap−iaj = ba(p+j−i)(p),

bai · baj = baib · aj = ap−iaj = a(p+j−i)(p),

де 0 ≤ i, j ≤ p−1, а для цiлого числа k символом k(p) позначається остачавiд дiлення k на p. Отже, дiя множення в групi G визначена однозначно,причому вона не є циклiчною, а тому така група iзоморфна групi Dp.Теорему доведено.

Ще одним застосуванням теорем Силова є така теоретико-числова

216

Теорема 74 (Вiльсона). Натуральне число p є простим тодi й лишетодi, коли має мiсце конгруенцiя

(p− 1)! ≡ −1 (mod p).

Доведення. Нехай p — просте число. Порядок симетричної групи Spстепеня p дорiвнює p! = p · (p − 1)!. Внаслiдок простоти числа p число(p − 1)! не дiлиться на p. Тому порядок силовської p-пiдгрупи групи Spдорiвнює p, тобто кожна така пiдгрупа є циклiчною порядку p. Циклiчнапiдгрупа порядку p групи Sp породжується кожним зi своїх p−1 елементiвпорядку p. Всього група Sp мiстить (p − 1)! елементiв порядку p. Томукiлькiсть np силовських p-пiдгруп у цiй групi рiвна (p−1)!

p−1 = (p − 2)!. Затеоремою Силова про кiлькiсть np ≡ 1 (mod p). Тому маємо конгруенцiю(p−2)! ≡ 1 (mod p). Домноживши цю конгруенцiю на p−1 ≡ −1 (mod p),одержимо вказану в умовi конгруенцiю.

В iнший бiк, нехай натуральне число p є складеним. Розглянемо триможливi випадки. Якщо має мiсце рiвнiсть p = p1 · p2 i 1 < p1 < p2 < p,то (p − 1)! дiлиться на p1 · p2, тобто на p. Якщо ж p = q2 i q > 2, то(p− 1)! дiлиться на q · 2q, тобто дiлиться i на p. Нарештi, якщо p = 22, то(p− 1)! = 6. У всiх цих випадках (p− 1)! 6≡ −1 (mod p).

73 Прямий добуток груп

Конструкцiя прямого добутку груп дозволяє, з одного боку, визначатиструктуру групи на декартовому добутку множин, на яких груповi стру-ктури вже визначенi, а з iншого — задану групу розглядати, як утворенуз її пiдгруп за допомогою чiтко й природно визначеної процедури. Цезабезпечується зовнiшнiм та внутрiшнiм прямими добутками вiдповiдно.Розглянемо спочатку зовнiшнiй прямий добуток.

Нехай G1, . . . , Gn — деякi групи, n ≥ 2. На декартовому добутку G1×. . .×Gn визначимо бiнарну дiю рiвнiстю

(g1, . . . , gn) · (h1, . . . , hn) = (g1 · h1, . . . , gn · hn),

для (g1, . . . , gn), (h1, . . . , hn) ∈ G1 × . . .×Gn.

217

Асоцiативнiсть цiєї дiї вiдразу випливає з асоцiативностi бiнарних дiй,вiдносно яких множини G1, . . . , Gn є групами. Елемент

(e1, . . . , en) ∈ G1 × . . .×Gn

такий, що ei — одиниця групи Gi, 1 ≤ i ≤ n, є для неї нейтральнимелементом. Нарештi, для елемента

(g1, . . . , gn) ∈ G1 × . . .×Gn

елемент (g−11 , . . . , g−1

n ) буде оберненим. Отже, вiдносно введеної дiїдекартiв добуток G1× . . .×Gn є групою, яку називають зовнiшнiм прямимдобутком груп G1, . . . , Gn, i позначають G1 × . . .×Gn.

Нескладно перевiрити, що перехiд до прямих добуткiв зберiгає рядгрупових властивостей. Наприклад, прямий добуток абелевих груп єабелевою групою, прямий добуток скiнченних груп — скiнченна група,прямий добуток p-груп — також p-група, прямий добуток перiодичнихгруп — група перiодична. В той же час, прямий добуток циклiчних групне завжди є циклiчною групою. Наприклад, прямий добуток двох циклi-чних груп порядку 2 — це група порядку 4, у якої нема елементiв порядку4, тобто вона не циклiчна.

Тепер розглянемо внутрiшнiй прямий добуток.

Означення 79. Кажуть, що група G розкладається у (внутрiшнiй)прямий добуток своїх пiдгруп H1, . . . ,Hn, якщо виконанi такi умови:

1) G = 〈H1, . . . ,Hn〉;

2) Hi CG, 1 ≤ i ≤ n;

3) Hi ∩ 〈Hj : 1 ≤ j ≤ n, j 6= i〉 = e.

Якщо група G є абелевою, то кожна її пiдгрупа є нормальною i томудля перевiрки розкладностi такої групи в прямий добуток потрiбно пере-вiряти лише першу й останню умови з означення.

Групи, що розкладаються в прямий добуток своїх пiдгруп, можна хара-ктеризувати за допомогою такого твердження.

218

Теорема 75. Група G розкладається у прямий добуток пiдгрупH1, . . . ,Hn тодi й лише тодi, коли для довiльного елемента g ∈ G

iснують i єдинi елементи h1 ∈ H1, . . . , hn ∈ Hn такi, що g =

h1 . . . hn, причому останнiй добуток не залежить вiд порядку слiду-вання множникiв.

Доведення. Припустимо, що група G є прямим добутком пiдгрупH1, . . . ,Hn. Покажемо, що цi пiдгрупи поелементно комутують, тобтодовiльнi елементи x ∈ Hi та y ∈ Hj , де 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, комутують.Справдi, розглянемо комутатор цих елементiв [x, y] = x−1y−1xy. ОскiлькиHi CG, то i y−1xy ∈ Hi, звiдки [x, y] ∈ Hi. З того, що Hj CG, отримуємоx−1y−1x ∈ Hj , звiдки [x, y] ∈ Hj . Але Hi ∩Hj = e. Тому маємо рiвнiсть[x, y] = e, яка й означає, що елементи x та y комутують.

Виберемо тепер довiльний елемент g ∈ G. Оскiльки група G поро-джується пiдгрупами H1, . . . ,Hn, то елемент g можна подати, як добутокелементiв з цих пiдгруп. Оскiльки цi пiдгрупи поелементно комутують, тоg можна подати у виглядi добутку h1 . . . hn, в якому h1 ∈ H1, . . . , hn ∈ Hn,причому вiд перестановки множникiв вiн не змiниться. Доведемо єдинiстьтакого подання. Припустимо, що також має мiсце рiвнiсть g = f1 . . . fn,f1 ∈ H1, . . . , fn ∈ Hn. Тодi з рiвностi

h1 . . . hn = f1 . . . fn

одержуємо рiвнiсть

f−11 h1 = f2 . . . fn(h2 . . . hn)−1,

в лiвiй частинi якої стоїть добуток елементiв з пiдгрупи H1, а в правiй— з пiдгрупи 〈H2, . . . ,Hn〉. Проте перетин цих пiдгруп тривiальнийi тому f−1

1 h1 = e, тобто f1 = h1. Скоротивши, одержимо рiвнiстьh2 . . . hn = f2 . . . fn. Продовжуючи такi мiркування далi, одержуємо послi-довно рiвностi f2 = h2, . . . , fn = hn, що й потрiбно було довести.

В iнший бiк. Нехай кожен елемент групи G допускає вказане в умовiподання. Це зокрема означає, що група G породжується пiдгрупамиH1, . . . ,Hn.

219

Виберемо довiльне i, 1 ≤ i ≤ n i покажемо, що Hi C G. Розглянемоh ∈ Hi, g ∈ G. Тодi g = h1 . . . hn, де h1 ∈ H1, . . . , hn ∈ Hn. Оскiлькипiдгрупи H1, . . . ,Hn поелементно комутують, то маємо такi рiвностi

g−1hg = (h1 . . . hn)−1h(h1 . . . hn) = (h−11 h1) . . . (h−1

i hhi) . . . (h−1n hn) = h−1

i hhi,

звiдки g−1hg ∈ Hi. Отже, Hi CG.Нехай g ∈ G — такий елемент, що g ∈ Hi ∩〈Hj : 1 ≤ j ≤ n, j 6= i〉. Тодi

для деяких hj ∈ Hj , 1 ≤ j ≤ n, j 6= i маємо рiвнiсть

g = h1 . . . hi−1hi+1 . . . hn.

З припущення про єдинiсть подання елементiв групи G тепер вiдразуотримуємо, що g = g = h1 = . . . = hi−1 = hi+1 = . . . = hn. Таким чиномвсi умови з означення розкладностi групи в прямий добуток своїх пiдгрупвиконанi i G є прямим добутком H1, . . . ,Hn.

Тепер можемо сформулювати результат, який показує, що конструкцiїзовнiшнього i внутрiшнього прямого добуткiв з точнiстю до iзоморфiзмузбiгаються.

Теорема 76. 1) Зовнiшнiй прямий добуток груп G1, . . . , Gn розкла-дається у внутрiшнiй прямий добуток своїх пiдгруп, iзоморфнихG1, . . . , Gn.

2) Група G, яка розкладається у внутрiшнiй прямий добуток своїхпiдгруп H1, . . . ,Hn, iзоморфна зовнiшньому прямому добутку групH1, . . . ,Hn.

Доведення. 1) У прямому добутку G1 × . . .×Gn видiлимо n пiдмножин:

G1 = (g1, e2, . . . , en−1, en) : g1 ∈ G1,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gn = (e1, e2, . . . , en−1, gn) : gn ∈ G1.

Легко бачити, що кожна з них є нормальною пiдгрупою в прямомудобутку, причому групи Gi та Gi iзоморфнi, 1 ≤ i ≤ n. Для довiльних

220

g1 ∈ G1, . . . , gn ∈ Gn має мiсце рiвнiсть

(g1, . . . , gn) = (g1, . . . , en) · . . . · (e1, . . . , gn),

звiдки випливає, що пiдгрупи G1, . . . , Gn породжують групу G1× . . .×Gn.Якщо ж породити пiдгрупу усiма ними, крiм i-тої, то вона мiститиме тi йлише тi елементи прямого добутку, в яких i-та координата є одиничнимелементом групи Gi. Таким чином, перетин цiєї пiдгрупи з пiдгрупою Giбуде тривiальним. Отже, група G1 × . . . × Gn розкладається у прямийдобуток своїх пiдгруп G1, . . . , Gn.

2) Кожному елементу g ∈ G поставимо у вiдповiднiсть такий елемент(h1, . . . , hn) прямого добутку H1× . . .×Hn, що g = h1 . . . hn. З попередньоїтеореми випливає, що це означення коректно визначене i є бiєктивним.Оскiльки пiдгрупи H1, . . . ,Hn групи G поелементно комутують, то вонобуде також узгодженим з дiями множення в групах G i H1 × . . . × Hn.Отже, цi групи iзоморфнi, що й потрiбно було довести.

Приклад 18. 1) Прямий добуток двох скiнченних циклiчних групвзаємно простих порядкiв k i l є циклiчною групою порядку kl.

2) Мультиплiкативна група R∗ розкладається у прямий добутокпiдгруп R+ та 1,−1.

74 Скiнченно породженi абелевi групи

Група називається скiнченно породженою, якщо в нiй iснує скiнченнасистема твiрних. Такими будуть, наприклад, усi скiнченнi групи, циклiчнiгрупи. В той же час, квазiциклiчна група Cp∞ (p — просте) чи адитивнагрупа Q скiнченно породженими не є.

Далi будемо розглядати лише скiнченно породженi абелевi групи,групова дiя в яких буде називатися додаванням i позначатися символом“+”, а нейтральний елемент — символом 0. Для елемента a такої групиелемент −a — це протилежний до нього елемент, а замiсть традицiйногодля елементiв групи поняття цiлого степеня тут будемо користуватися

221

його вiдповiдником — поняттям цiлого кратного, тобто для довiльногоцiлого n маємо

na =

a+ . . .+ a︸ ︷︷ ︸n разiв

, якщо n > 0

(−a) + . . .+ (−a)︸ ︷︷ ︸−n разiв

, якщо n < 0

0, якщо n = 0

.

Нехай G — скiнченно породжена абелева група. Її скiнченнi системитвiрних будемо розглядати, як лiнiйно впорядкованi множини. Нехайa1, . . . , ak — система твiрних G. Це означає, що кожен елемент a ∈ G

можна подати у виглядi

a = n1a1 + . . .+ nkak

для деяких цiлих n1, . . . , nk. Сформулюємо твердження про правило пере-ходу до нової системи твiрних.

Лема 13. Якщо a1, a2, . . . , ak — система твiрних абелевої групи G.Тодi для довiльних цiлих n2, . . . , nk набiр b, a2, . . . , ak — також систематвiрних G, де b = a1 + n2a2 + . . .+ nkak.

Доведення. Досить показати, що елемент a1 можна виразити черезb, a2, . . . , ak. А це випливає з рiвностi a1 = b− n2a2 − . . .− nkak.

Для системи твiрних a1, . . . , ak лiнiйну форму n1x1 + . . .+nkxk, в якiйn1, . . . , nk ∈ Z, назвемо спiввiдношенням, якщо n1a1 + . . . + nkak = 0.Зауважимо, що для довiльної скiнченної системи твiрних спiввiдношенняiснує, а саме — тривiальне спiввiдношення, тобто таке, що всi його коефi-цiєнти рiвнi 0. Легко бачити, що сума спiввiдношень та добуток спiввiд-ношення на цiле число також будуть спiввiдношеннями для тiєї ж системитвiрних, що й початковi спiввiдношення.

Розглянемо випадок, коли для деякої системи твiрних групи G iснуютьнетривiальнi спiввiдношення. Оскiльки замiнивши елемент системитвiрних на протилежний до нього, знову отримаємо систему твiрних,

222

то iснують спiввiдношення, якi мають додатнi коефiцiєнти. Для кожногонатурального числа k такого, що в групi G iснують нетривiальнi спiввiд-ношення для k-елементних систем твiрних, назвемо натуральне число mk-мiнiмальним коефiцiєнтом групи G, якщо m — це найменший додатнийкоефiцiєнт у спiввiдношеннях для k-елементних систем твiрних групи G.Сформулюємо тепер основнi властивостi мiнiмальних коефiцiєнтiв.

Лема 14. Нехай n1x1 + . . .+ nkxk — таке спiввiдношення для системитвiрних a1, a2, . . . , ak абелевої групи G, що число n1 є k-мiнiмальнимкоефiцiєнтом цiєї групи. Тодi кожен з коефiцiєнтiв n2, . . . , nk дiлитьсяна n1.

Доведення. Доведемо твердження леми лише для коефiцiєнта nk, дляiнших мiркування аналогiчнi. Подiлимо nk на n1 з остачею. Одержиморiвнiсть nk = qn1 + r для деяких цiлих q, r, причому 0 ≤ r < n1. Нехайb1 = a1+qak. Тодi b1, a2, . . . , ak — система твiрних G за лемою 13. З умовиодержуємо рiвнiсть

n1b1 + n2a2 + . . .+ rak = n1a1 + n2a2 + . . .+ (qn1 + r)ak = 0.

Отже, n1x1+. . .+rxk — спiввiдношення для системи твiрних b1, a2, . . . , ak.Якщо тепер припустити, що r > 0, то це суперечитиме k-мiнiмальностiкоефiцiєнта n1. Отже, r = 0 i nk дiлиться на n1.

Лема 15. Нехай n1x1 + . . .+ nkxk, m1x1 + . . .+mkxk — спiввiдношеннядля системи твiрних a1, a2, . . . , ak абелевої групи G, причому число n1

є k-мiнiмальним коефiцiєнтом цiєї групи. Тодi коефiцiєнт m1 дiлитьсяна n1.

Доведення. Подiливши m1 на n1 з остачею, одержуємо рiвнiсть m1 =

qn1 + r для деяких цiлих q, r, причому 0 ≤ r < n1. Розглянемо спiввiдно-шення

m1x1+. . .+mkxk−q(n1x1+. . .+nkxk) = rx1+(m2−qn2)x2+. . .+(mk−qnk)xk

для системи твiрних a1, a2, . . . , ak. Серед його коефiцiєнтiв присутнiйневiд’ємний коефiцiєнт r. З k-мiнiмальностi коефiцiєнта n1 тепер вiдразувипливає, що r = 0, тобто m1 дiлиться на n1.

223

Тепер можна довести основну теорему про скiнченно породженi абелевiгрупи.

Теорема 77. Кожна скiнченно породжена абелева група розкладаєтьсяв прямий добуток циклiчних пiдгруп.

Доведення. Нехай G — скiнченно породжена абелева група. Символом r

позначимо найменше натуральне число таке, що в групi G знайдетьсясистема твiрних, яка складається з r елементiв. Проведемо доведенняiндукцiєю за числом r.

База iндукцiї, r = 1. Тодi група G є циклiчною i для неї твердженнятеореми правильне.

Нехай r > 1. Можливi два випадки.I) Для r-елементних систем твiрних групи G iснують лише тривiальнi

спiввiдношення. Виберемо в групi G деяку r-елементну систему твiрнихa1, . . . , ar. Нехай Gi = 〈ai〉, 1 ≤ i ≤ r. Покажемо, що група G розкла-дається в прямий добуток пiдгруп G1, . . . , Gr. Справдi, G = 〈G1, . . . , Gr〉,оскiльки a1, . . . , ar — система твiрних групи G. Покажемо, що для довiль-ного i, 1 ≤ i ≤ n, перетин Gi ∩ 〈Gj : 1 ≤ j ≤ n, j 6= i〉 є тривiальним. Длязручностi запису доведення проведемо у випадку i = 1, i iнших випадкахмiркування аналогiчнi. Припустимо, що елемент g ∈ G одночасно нале-жить пiдгрупам G1 та 〈G2, . . . , Gr〉. Тодi iснують цiлi числа n1, n2, . . . , nrтакi, що

g = n1a1 = n2a2 + . . .+ nrar,

звiдки одержуємо, що n1x1 − n2x2 − . . . − nrxr — спiввiдношення длясистеми твiрних a1, . . . , ar. Згiдно припущення це означає, що n1 = n2 =

. . . = nr = 0. Таким чином, g = 0, тобто перетин G1 ∩ 〈G2, . . . , Gr〉 єтривiальним. Отже, за означенням внутрiшнього прямого добутку, групаG розкладається в прямий добуток циклiчних пiдгруп G1, . . . , Gr. Заува-жимо, що в цьому випадку необхiдне твердження було отримано без вико-ристання iндуктивного припущення.

II) Для r-елементних систем твiрних групи G iснують нетривiальнiспiввiдношення. Виберемо в групi G таку r-елементну систему твiрнихb1, . . . , br, що для неї iснує нетривiальне спiввiдношення m1x1 + . . . +

224

mrxr, причому коефiцiєнт m1 є r-мiнiмальним коефiцiєнтом групи G. Залемою 14 тодi m1|m2, . . . ,m1|mr, тобто для деяких цiлих q2, . . . , qr маєморiвнiсть

m1b1 +m1q2b2 + . . .+m1qrbr = 0.

Позначимо символом c елемент b1 + q2b2 + . . . + qrbr. За лемою 13 набiрc, b2, . . . , br є системою твiрних G. Оскiльки m1c = 0, то m1x1 є спiв-вiдношенням для цiєї системи твiрних. Покажемо тепер, що група G єпрямим добутком пiдгруп H1 = 〈c〉 та H2 = 〈b2, . . . , br〉. Враховуючи, щодо пiдгрупи H2 можна застосувати припущення iндукцiї, за теоремою прохарактеризацiю прямих добуткiв це означатиме, що G є прямим добу-тком циклiчних пiдгруп. Рiвнiсть G = 〈H1, H2〉 випливає з того, що〈H1, H2〉 = 〈c, b2, . . . , br〉, а c, b2, . . . , br є системою твiрних групи G. Нехайg ∈ H1 ∩H2. Тодi для деяких цiлих n1, n2, . . . , nr маємо рiвностi

g = n1c = n2b2 + . . .+ nrbr,

звiдки одержуємо, що n1x1 − n2x2 − . . . − nrxr — спiввiдношення длясистеми твiрних c, b2 . . . , br. За лемою 15 звiдси одержуємо, що m1|n1,тобто для деякого цiлого числа q маємо рiвностi

g = n1c = (qm1)c = q(m1c) = q0 = 0.

Отже, група G є прямим добутком пiдгруп H1 i H2, що й потрiбно булодовести.

Доведена теорема разом з теоремою про опис циклiчних груп означає,що кожна скiнченно породжена абелева група має вигляд

Zn1 × . . .× Znk× Z× . . .× Z︸ ︷︷ ︸

l разiв

для деяких цiлих n1, . . . , nk ≥ 2 та k, l ≥ 0.

75 Скiнченнi абелевi групи

Сформулюємо спочатку кiлька результатiв про розкладнiсть скiнченнихциклiчних груп у прямий добуток.

225

Лема 16. Нехай G — циклiчна група порядку n, причому n = k · m,а числа k i m взаємно простi. Тодi група G розкладається у прямийдобуток циклiчних пiдгруп порядкiв k i m.

Доведення. Виберемо в групi G твiрний елемент a. Позначимо символамиH1 i H2 її пiдгрупи, породженi елементами am i ak вiдповiдно. Тодi |H1| =k, |H2| = m. Покажемо, що G розкладається у прямий добуток H1 i H2.

Оскiльки числа k i m взаємно простi, то для деяких цiлих l1, l2 вико-нується рiвнiсть 1 = l1k + l2m. Звiдси a = al1k+l2m = (ak)l1 · (am)l2 , тобтоa ∈ 〈ak, am〉. Отже, група G породжується пiдгрупами H1 i H2. Розгля-немо елемент g ∈ G такий, що g ∈ H1 ∩H2. Тодi порядок цього елементає дiльником як числа k, так i числа m. Але цi числа взаємно простi. Томупорядок g дорiвнює одиницi, тобто цей елемент є нейтральним елементомгрупи G. Таким чином, перетин пiдгруп H1 i H2 є тривiальним. Отже,G = H1 ×H2, що й потрiбно було довести.

Будемо називати скiнченну групу прiмарною, якщо вона є p-групоюдля деякого простого p.

Лема 17. Прiмарна циклiчна група не розкладається в прямий добутокнетривiальних пiдгруп.

Доведення. Нехай G — циклiчна група порядку pn, де p — просте, n ≥ 1.З теореми про пiдгрупи циклiчних груп випливає, що група G має всьогоn+1 пiдгрупу, а саме — це циклiчнi пiдгрупи порядкiв pk, 0 ≤ k ≤ n. Придля довiльних двох пiдгруп та з них, яка має бiльший порядок, мiститьiншу. Отже, в групi G не iснує двох нетривiальних пiдгруп з тривiальнимперетином, звiдки випливає потрiбне твердження.

Основна теорема про скiнченнi абелевi групи формулюється такимчином.

Теорема 78. Кожна скiнченна абелева група однозначно з точнiстю доперестановок множникiв розкладається в прямий добуток прiмарнихциклiчних пiдгруп.

226

Доведення. Нехай G — скiнченна абелева група. З основної теореми проскiнченно породженi абелевi групи випливає, що група G розкладається впрямий добуток циклiчних пiдгруп. Всi вони скiнченнi. Розкладемо теперпорядки отриманих циклiчних множникiв у добуток взаємно простихчисел i застосуємо лему 16. Звiдси одержимо iснування вказаного в умовiтеореми розкладу.

Розглянемо певнi допомiжнi пiдгрупи в групi G. А саме, для кожногопростого p позначимо символом G[p] пiдмножину всiх тих елементiвгрупи G, чиї порядки є степенями числа p. Нейтральний елемент групиG мiститься у пiдмножинi G[p]. Тому вона непорожня. Крiм того, зрiвностi (ab)k = akbk, яка має мiсце для довiльних елементiв a, b ∈ G тацiлого числа k, вiдразу випливає, що пiдмножина G[p] замкнена вiдносномноження. Отже, ця пiдмножина є пiдгрупою групи G. Вона є p-групою.В отриманому розкладi групи G в прямий добуток прiмарних циклi-чних пiдгруп виберемо всi тi пiдгрупи, котрi є p-групами. Тодi пiдгрупагрупи G, котра є їх прямим добутком, мiститься у пiдгрупi G[p]. Аледовiльний елемент, який не лежить у цьому прямому добутку, буде вжемати порядок, що не є степенем p, тобто вiн не належить G[p]. Такимчином, пiдгрупа G[p] збiгається з прямим добутком циклiчних пiдгруп, якiє p-групами i входять у прямий розклад групи G. Для доведення єдиностiрозкладу групи G тепер досить довести єдинiсть розкладу її пiдгрупи G[p]

в прямий добуток циклiчних пiдгруп.Доведення проведемо iндукцiєю за порядком пiдгрупи G[p]. Якщо її

порядок рiвний p, то потрiбне твердження має мiсце.Припустимо, що G[p] розкладається двома способами в прямий

добуток циклiчних пiдгруп:

G[p] = H1 × . . .×Hl = K1 × . . .×Km,

причому |Hi| = pri , 1 ≤ i ≤ l, |Kj | = psj , 1 ≤ j ≤ m. Покладемоrl+1 = sm+1 = 1. Враховуючи, що такi розклади розглядаються з точнiстюдо перестановок множникiв, будемо вважати, що порядки множникiв укожному з розкладiв не зростають, тобто мають мiсце нерiвностi

r1 ≥ . . . ≥ rl ≥ rl+1, s1 ≥ . . . ≥ sm ≥ sm+1.

227

Виберемо найменшi номери i0 та j0 такi, що ri0 = sj0 = 1. Тодi

ri0 = . . . = rl+1 = sj0 = . . . = sm+1 = 1.

Розглянемо в групi G[p] пiдмножину Gp p-тих степенiв усiх її елементiв,тобто

Gp = ap : a ∈ G[p].

З рiвностi apbp = (ab)p, a, b ∈ G[p], випливає, що пiдмножина Gp будепiдгрупою в G[p]. Крiм того, мають мiсце рiвностi

Gp = Hp1 × . . .×H

pl = Kp

1 × . . .×Kpm.

Використовуючи припущення iндукцiї для Gp звiдси одержуємо, що i0 =

j0 ir1 − 1 = s1 − 1, . . . , ri0−1 − 1 = sj0−1 − 1.

Звiдси та з рiвностей

|G[p]| = pr1+...rl = ps1+...sm

також маємо рiвнiстьl − i0 = m− j0.

Отже, остаточно l = m i ri = si, 1 ≤ i ≤ m, що й потрiбно було довести.

Тепер можемо пiдрахувати кiлькiсть попарно неiзоморфних абелевихгруп довiльного скiнченного порядку.

Теорема 79. Нехай n — натуральне число, n = pα11 . . . pαk

k — його кано-нiчний розклад на простi множники. Кiлькiсть попарно неiзоморфнихабелевих груп порядку n дорiвнює добутку

s(α1) · . . . · s(αk),

де для натурального числа α символом s(α) позначено кiлькiстьспособiв подати α як таку суму натуральних чисел, в якiй доданкине зростають.

228

Доведення. Двi абелевi групи одного порядку будуть неiзоморфними тодiй лише тодi, коли їх розклади в прямий добуток прiмарних циклiчнихпiдгруп неможливо отримати один з одного перестановками множникiв.Тому вказана в теоремi кiлькiсть — це i є кiлькiсть рiзних прямих добуткiвпрiмарних циклiчних груп, кожен з яких має порядок n.

76 Лiнiйнi зображення

Для дослiдження груп можна використовувати методи i результатилiнiйної алгебри. Унiверсальний спосiб для цього дає теорiя зображень.

Зафiксуємо деяке поле P i розглянемо n-вимiрний векторний простiрV над полем P . Множина всiх невироджених лiнiйних операторiв напросторi V утворює групу вiдносно дiї множення операторiв, яку позна-чимо символом GL(V ). Нехай G — деяка група.

Означення 80. Лiнiйним n-вимiрним зображенням групи G над полемP називають гомоморфiзм

F : G→ GL(V ).

Простiр V при цьому називають простором лiнiйного зображення ϕ

або G-простором. Якщо поле P є полем Q, R чи C, то говорять прорацiональнi, дiйснi чи комплекснi зображення вiдповiдно.

Лiнiйнi зображення групи G можна розглядати, як спецiальнi дiї цiєїгрупи, а саме — дiї невиродженими лiнiйними операторами на векторномупросторi.

Лiнiйне зображення F називають точним, якщо його ядро є тривi-альним. Якщо для групи G iснує точне n-вимiрне зображення над полемP для деякого натурального n, то групу G називають лiнiйною над полемP .

Зауважимо, що також використовується матрична форма лiнiйнихзображень. А саме, зафiксуємо у просторi V який-небудь базис

a1,a2, . . . ,an.

229

Тодi для довiльного лiнiйного оператора ϕ ∈ GL(V ) його матриця в цьомубазисi є невиродженою, тобто належить повнiй лiнiйнiй групi GLn(P ).Бiльше того, правило, яке кожному невиродженому лiнiйному операторуна V ставить у вiдповiднiсть його матрицю у базисi

a1,a2, . . . ,an,

є iзоморфiзмом груп GL(V ) i GLn(P ). Тому довiльне лiнiйне зобра-ження F у просторi V можна розглядати як гомоморфiзм з групи G угрупу GLn(P ). Цей гомоморфiзм ставить у вiдповiднiсть елементу g ∈ Gматрицю лiнiйного оператора F (g) в базисi

a1,a2, . . . ,an.

Означення 81. Лiнiйнi зображення F1 та F2 групи G на просторах V1 iV2 вiдповiдно називаються еквiвалентними, якщо iснує такий iзомор-фiзм векторних просторiв ρ : V1 → V2, що для кожного елемента g ∈ Gкомутативною є дiаграма

V1F1(g)−−−−→ V1yρ yρ

V2F2(g)−−−−→ V2

тобто для довiльного вектора u ∈ V1 справджується рiвнiсть

ρ(F1(g)(u)) = F2(g)(ρ(u)).

Вiдношення еквiвалентностi зображень групи — це вiдношення еквi-валентностi. У матричнiй термiнологiї зображення F1 та F2 є еквiвален-тними тодi й лише тодi, коли iснує невироджена матриця T така, що длякожного елемента g ∈ G має мiсце рiвнiсть

TF1(g) = F2(g)T.

Означення 82. Нехай F — лiнiйне зображення групи G на просторi V .Пiдпростiр U простору V називається iнварiантним вiдносно зобра-ження F групи G (або G-iнварiантним), якщо для кожного елемента

230

g ∈ G вiн є iнварiантним для лiнiйного оператора F (g), тобто длядовiльного вектора u ∈ V має мiсце включення F (g)(u) ∈ V .

Нульовий пiдпростiр та весь простiр V є G-iнварiантними, якi нази-вають тривiальними iнварiантними пiдпросторами.

Означення 83. Лiнiйне зображення групи G називається звiдним,якщо воно має нетривiальний iнварiантний пiдпростiр.

Означення 84. Лiнiйне зображення групи G на просторi V назива-ється розкладним, якщо простiр V є прямою сумою нетривiальнихiнварiантних пiдпросторiв.

З властивостей iнварiантних пiдпросторiв лiнiйних операторiввипливає, що лiнiйне зображення F групи G буде звiдним (вiдпо-вiдно, розкладним) тодi й лише тодi, коли в деякому базисi матрицiвсiх операторiв F (g), g ∈ G, є блочно-трикутними (вiдповiдно, блочно-дiагональними), причому розмiри дiагональних блокiв є рiвними для всiхцих операторiв.

Ключовим твердженням теорiї зображень є

Теорема 80 (Машке). Кожне звiдне комплексне зображення скiнченноїгрупи G є розкладним.

Доведення. Нехай F — звiдне зображення скiнченної групи G на компле-ксному просторi V . Припустимо, що нетривiальний пiдпростiр U ⊂ V єG-iнварiантним. Потрiбно показати, що для U iснує G-iнварiантний допов-нюючий пiдпростiр.

Виберемо в просторi V довiльний доповнюючий до U пiдпростiр W .Тодi має мiсце розклад

V = U ⊕W.

Розглянемо на V оператор π проектування на пiдпростiр W паралельноU . А саме, для довiльного вектора v ∈ V iснують єдинi вектори u ∈ U ,w ∈W такi, що

v = u + w.

231

Тодiπ(v) = w.

Визначимо оператор усереднення

πG =1

|G|∑g∈G

F (g)πF (g−1).

Покажемо, що для кожного елемента a ∈ G оператори F (a) та πG кому-тують. Справдi,

F (a)πG =1

|G|∑g∈G

F (a)F (g)πF (g−1) =1

|G|∑g∈G

F (a)F (g)πF (g−1)F (a−1)F (a) =

1

|G|∑g∈G

F (ag)πF ((ag)−1)F (a) = πGF (a),

оскiльки множина ag : g ∈ G рiвна G.Позначимо символом U1 образ оператора πG i покажемо, що U1 —

доповнюючий до U G-iнварiантний пiдпростiр.Доведемо G-iнварiантнiсть U1. Для довiльного вектора u ∈ U1 iснує

вектор v ∈ V такий, що πG(v) = u. Тому для кожного a ∈ G маємо

F (a)(u) = F (a)(πG(v)) = πG(F (a)(v)),

звiдки F (a)(u) ∈ U1. Таким чином, пiдпростiр U1 є G-iнварiантним.Покажемо тепер, що U1 є доповнюючим до U . Для цього потрiбно

перевiрити, що простiр V розкладається в суму U + U1, а перетин U ∩ U1

є нульовим. Для довiльного вектора v ∈ V i елемента g ∈ G маємо

v − F (g)πF (g−1)(v) = F (g)(F (g−1)(v)− πF (g−1)(v)) ∈ U,

оскiльки пiдпростiр U є G-iнварiантним, а вектор F (g−1)(v)−πF (g−1)(v)

належить пiдпростору U , бо π — проектування на W паралельно U . Томудля вектора u1 = πG(v) ∈ U1 отримуємо

v − u1 =1

|G|∑g∈G

(v − F (g)πF (g−1)(v)) ∈ U.

232

Таким чином, V = U + U1.Зауважимо, що пiдпростiр U лежить в ядрi оператора πG. Справдi, для

довiльних u ∈ U i g ∈ G внаслiдок G-iнварiантностi U маємо F (g−1)(u) ∈U . Тому π(F (g−1)(u)) = 0 i

πG(u) =1

|G|∑g∈G

(F (g)πF (g−1)(v)) = 0.

Припустимо тепер, що v ∈ U ∩U1. Тодi πG(v) = 0, оскiльки v ∈ U . Такожiснує v1 ∈ V такий, що πG(v1) = v, оскiльки v ∈ U1. Зауважимо, щотодi v1 − πG(v1) ∈ U i тому πG(v1 − πG(v1)) = 0. Тепер маємо ланцюжокрiвностей

0 = πG(v) = πG(πG(v1)) = πG(v1 − (v1 − πG(v1))) = πG(v1) = v.

Звiдси випливає, що перетин U ∩ U1 є нульовим. Теорему доведено.

Зауважимо, що для визначеного в доведеннi теореми Машке лiнiйногооператора πG векторний простiр V є прямою сумою його ядра та образу,якi є G-iнварантними пiдпросторами.

Наслiдок 30. Нехай F — зображення скiнченної групи G у компле-ксному просторi V . Тодi iснує розклад простору V в пряму сумуG-iнварiантних пiдпросторiв, в кожному з яких нема власних G-iнварiантних пiдпросторiв.

Доведення. Якщо зображення F є незвiдним, то твердження доведено.Якщо ж нi, то за теоремою Машке можна перейти до зображень групиG на просторах меншої розмiрностi. За скiнченне число крокiв отримуємонеобхiдне твердження.

Ще одним важливим результатом теорiї зображень є

Лема 18 (Шура). Нехай F1 та F2 — незвiднi комплекснi зображенняскiнченної групи G на просторах V1 i V2 вiдповiдно, а лiнiйне вiдобра-ження ρ : V1 → V2 таке, що для кожного елемента g ∈ G має мiсцерiвнiсть

ρF1(g) = F2(g)ρ.

233

Тодi зображення F1 та F2 еквiвалентнi або вiдображення ρ нульове.Якщо ж V1 = V2 i F1 = F2, то ρ = · id для деякого c ∈ C.

Доведення. Рiвнiсть ρF1(g) = F2(g)ρ, g ∈ G, означає, що ядро та образлiнiйного вiдображення ρ є G-iнварiантними пiдпросторами. З незвiдностiF1 тодi випливає, що Kerρ є нульовим пiдпростором або Kerρ = V1,а з незвiдностi F2 випливає, що Imρ є нульовим або рiвним V2. Якщопiдпростiр Kerρ нульовий, то вiдображення ρ є iн’єктивним. Якщо прицьому Imρ = V2, то ρ — бiєкцiя, а якщо образ ρ нульовий, то це можливолише тодi, коли обидва простори V1 i V2 нульовi, тобто ρ є нульовим.У випадку, коли Kerρ = V1, то ρ є нульовим. Звiдси випливає першачастина твердження леми.

Нехай V1 = V2 i F1 = F2. Тодi ρ — лiнiйний оператор на V1. Якщопростiр V1 ненульовий, то оператор ρ має власний вектор. Нехай c —власне значення лiнiйного оператора ρ. Тодi для оператора ρ− c · id справ-джуються рiвностi

(ρ− c · id)F1(g) = F2(g)(ρ− c · id), g ∈ G.

За доведеним у першiй частинi леми це означає, що оператор ρ− c · id абоневироджений, або нульовий. Але його ядро нетривiальне, бо ρ має власнiвектори з власним значенням c. Тому ρ− c · id = 0. Лему доведено.

77 Поняття кiльця

Тепер будемо розглядати множини з визначеними на них двома бiнарнимидiями.

Означення 85. Кiльцем називається непорожня множина R з двомабiнарними дiями на нiй, якi називають додаванням i множенням тапозначають символами “+” i “·” вiдповiдно, що задовольняє такимумовам:

1) для довiльних x, y, z ∈ R (x + y) + z = x + (y + z) (асоцiативнiстьдодавання);

234

2) для довiльних x, y ∈ R x+ y = y + x (комутативнiсть додавання);

3) iснує такий елемент 0 ∈ R (його називають нулем кiльця), що длядовiльного елемента x ∈ R x+ 0 = x (iснування нуля);

4) для довiльного елемента x ∈ R iснує елемент y ∈ R (його називаютьпротилежним до x i позначають −x) такий, що x+y = 0 (iснуванняпротилежного елемента);

5) для довiльних x, y, z ∈ R (x · y) · z = x · (y · z) (асоцiативнiстьмноження);

6) для довiльних x, y, z ∈ R x · (y+ z) = x ·y+x · z i (y+ z) ·x = y ·x+ z ·x(дистрибутивнiсть множення вiдносно додавання злiва i справа).

Iншими словами, непорожня множина з дiями додавання i множення єкiльцем, якщо вiдносно додавання — це абелева група, вiдносно множення— напiвгрупа i має мiсце дистрибутивнiсть множення вiдносно додаванняяк злiва, так i справа. Абелева група (R,+) називається адитивною групоюкiльця R.

Зауважимо, що так визначенi кiльця називають асоцiативними, зарахунок асоцiативностi дiї множення. Мiняючи цю умову на певну iншуумову, одержимо означення iнших типiв кiлець, а саме кiлець Лi, йорда-нових кiлець, альтернативних кiлець i т.д. Але в даному посiбнику нiякихiнших кiлець, крiм асоцiативних, розглядати не будемо, i тому далi термiн“кiльце” означатиме “асоцiативне кiльце”.

Кiльце R називається комутативним, якщо для довiльних елементiвx, y ∈ R виконується рiвнiсть x · y = y · x, тобто дiя множення в цьомукiльцi є комутативною.

Елемент e кiльця R називається правою (вiдповiдно лiвою) одиницеюцього кiльця, якщо для довiльного a ∈ R маємо ae = a (вiдповiдноea = a). Елемент кiльця R називають одиницею цього кiльця, якщо вiн єодночасно i лiвою, i правою одиницею. Кiльце, в якому iснує одиниця,називається кiльцем з одиницею. Iншими словами, кiльце з одиницею— це кiльце, в якому вiдносно множення iснує нейтральний елемент,

235

тобто вiдносно множення воно є моноїдом. Використовуючи властивостiбiнарних дiй на множинi, вiдразу отримуємо таке

Твердження 70. У кожному кiльцi нульовий елемент єдиний. Укожному кiльцi з одиницею одиничний елемент єдиний.

Одиничний елемент кiльця з одиницею позначають, як правило,символом “1”.

Наведемо основнi приклади кiлець.

Приклад 19. 1) Одноелементне кiльце 0 називається нульовимкiльцем.

2) Довiльну абелеву групу R, груповою дiєю якої є додавання,можна перетворити в кiльце, поклавши добуток довiльних двохелементiв з R рiвним 0. Так отримане кiльце називається кiльцемз нульовим множенням.

3) Кожна з числових множин Z, Q, R, C вiдносно звичайних дiйдодавання та множення є комутативним кiльцем з одиницею.Цi цiльця називають кiльцями цiлих, рацiональних, дiйсних такомплексних чисел вiдповiдно.

4) Множина Mn(R) всiх матриць порядку n з елементами iз кiльцяR є кiльцем вiдносно звичайних дiй додавання i множенняматриць. Це кiльце називають повним матричним кiльцемстепеня n над R.

5) Множина всiх функцiй дiйсної змiнної, якi набувають дiйснихзначенi i визначених на деякiй пiдмножинi A ⊂ R, є кiльцемвiдносно дiй поточкового додавання та множення функцiй.Вiдносно цих же дiй множина C(A) всiх неперервних функцiй намножинi A є кiльцем.

6) Множина R[x1, . . . , xn] усiх многочленiв вiд n змiнних x1, . . . , xn зкоефiцiєнтами з кiльця R також є кiльцем вiдносно звичайнихдiй додавання та множення многочленiв.

236

7) Множина Zn лишкiв за модулем n є комутативним кiльцем зодиницею вiдносно звичайних додавання та множення лишкiв.

Користуючись дистрибутивнiстю множення вiдносно додавання таєдинiстю протилежного елемента, легко перевiрити, що для довiльнихелементiв a, b кiльця R мають мiсце рiвностi

a · 0 = 0 · a = 0, (−a) · b = a · (−b) = −(a · b).

Звiдси зокрема випливає

Твердження 71. Якщо R є ненульовим кiльцем з одиницею, то 1 6= 0.

Доведення. Припустимо, що 1 = 0. Тодi для довiльного елемента a ∈ Rмаємо рiвностi

a = a · 1 = a · 0 = 0,

звiдки одержуємо, що кiльце R нульове. Суперечнiсть. Отже, 1 6= 0.

Таким чином, у кожному кiльцi з одиницею мiститься принаймнi дваелементи. Далi будемо розглядати лише ненульовi кiльця з одиницею.

Означення 86. Непорожня пiдмножина A кiльця R називаєтьсяпiдкiльцем, якщо вона є кiльцем вiдносно тих же дiй, вiдносно якихкiльцем є R.

Iншими словами, пiдкiльце — це пiдгрупа адитивної групи кiльця, якає замкненою вiдносно множення.

Твердження 72. Непорожня пiдмножина A кiльця R буде пiдкiльцемтодi й лише тодi, коли для довiльних елементiв a, b ∈ A елементиab, a − b також належать A, тобто A є замкненою вiдносно операцiймноження i вiднiмання елементiв.

Доведення. Необхiднiсть вказаних умов випливає з означення кiльця.Перевiримо їх достатнiсть. Оскiльки A 6= ∅, то iснує a ∈ A, звiдки a−

a = 0 ∈ A. Iз замкненостi A вiдносно вiднiмання випливає як замкненiстьвiдносно взяття протилежного елемента (для a ∈ A рiзниця 0− a = −a ∈A), так i замкненiсть вiдносно додавання (для a, b ∈ A сума a + b = a −

237

(−b) ∈ A). Таким чином, звiдси одержуємо, що пiдмножина A є пiдгрупоюадитивної групи кiльця R. Разом iз замкненiстю вiдносно множення це йозначає, що A є пiдкiльцем R.

Кожне з кiлець Z, Q, R, C можна розглядати як пiдкiльце кiльця C.Взагалi, пiдкiльця кiльця C будемо називати числовими кiльцями. Однимз важливих прикладiв числового кiльця є кiльце цiлих гаусових чиселZ[i]. Легко бачити, що

Z[i] = a+ bi : a, b ∈ Z.

Пiдкiльце комутативного кiльця саме є комутативним. Слiд заува-жити, що пiдкiльце A кiльця R з одиницею також може бути кiльцем зодиницею, яка не обов’язково рiвна одиницi початкового кiльця. Якщо жодиниця пiдкiльця A рiвна одиницi кiльця R, то A називають пiдкiльцемкiльця з одиницею. Таким чином, для кiлець з одиницею слiд розрiзнятипоняття пiдкiльця i пiдкiльця кiльця з одиницею.

Перетин довiльної родини пiдкiлець кiльця R також буде пiдкiльцем R.Для пiдкiльця A кiльця R i довiльної пiдмножини B елементiв R назвемпiдкiльцем, породженим A i B, перетин всiх пiдкiлець, що мiстять A i B(одним з них є саме R). Це кiльце є найменшим пiдкiльцем, котре мiститьA i B. Будемо його позначати A[B]. Можна показати, що пiдкiльце A[B]

складається з усiх можливих лiнiйних комбiнацiй добуткiв елементiв з Biз коефiцiєнтами iз A.

Нехай R1, R2 — деякi кiльця. На декартовому добутку R1 ×R2 визна-чимо покоординатно операцiї додавання та множення. Отримаємо новекiльце, яке називається декартовим добутком кiлець R1 i R2. Аналогiчновизначається декартiв добуток довiльної скiнченної кiлькостi кiлець. Прицьому декартiв добуток комутативних кiлець є комутативним, а декартiвдобуток кiлець з одиницею є кiльцем з одиницею.

78 Дiльники нуля та одиницi

Нехай R — це деяке кiльце.

238

Означення 87. Елемент a ∈ R називається лiвим (вiдповiдно правим)дiльником нуля, якщо iснує ненульовий елемент b ∈ R такий, що ab = 0

(вiдповiдно ba = 0). Дiльником нуля називається такий елемент a ∈ R,що a є як лiвим, так i правим дiльником нуля.

Елемент 0 будемо називати тривiальним дiльником нуля. Зрозумiло,що у комутативному кiльцi лiвий дiльник нуля буде правим дiльникомнуля, i навпаки. Тому для комутативних кiлець розглядають лише поняттядiльника нуля, не видiляючи окремо правих чи лiвих дiльникiв нуля.

Означення 88. Комутативне кiльце з одиницею без нетривiальнихдiльникiв нуля називається областю цiлiсностi.

В довiльному пiдкiльцi областi цiлiсностi нема нетривiальних дiль-никiв нуля. Тому пiдкiльце областi цiлiсностi, яке буде мiстити одиницю,також є областю цiлiсностi. Прикладами областей цiлiсностi є кiльцецiлих чисел Z, кiльце цiлих гаусових чисел Z[i], кiльце многочленiв R[x].Натомiсть, як легко переконатись, декартiв добуток ненульових кiлецьзавжди мiстить нетривiальнi дiльники нуля.

Кiльця, якi є областями цiлiсностi, можна охарактеризувати за допо-могою умови скоротностi таким чином:

Твердження 73. Комутативне кiльце R з одиницею є областю цiлi-сностi тодi й лише тодi, коли для довiльного ненульового елементаa ∈ R i елементiв b, c ∈ R з рiвностi ab = ac випливає рiвнiсть b = c.

Доведення. Нехай R — область цiлiсностi. Виберемо a, b, c ∈ R такi, щоa 6= 0 i ab = ac. Остання рiвнiсть рiвносильна такiй a · (b− c) = 0. Звiдси,оскiльки елемент a не є дiльником нуля, випливає рiвнiсть b−c = 0, тобтоb = c.

В iнший бiк. Розглянемо довiльний a ∈ R, a 6= 0. Припустимо, щодля деякого b ∈ R має мiсце рiвнiсть a · b = 0. Справджується також iрiвнiсть a · 0 = 0. З цих рiвностей, за припущенням, випливає b = 0. А цеозначає, що елемент a не є дiльником 0. Таким чином, в кiльцi R неманетривiальних дiльникiв 0, тобто воно є областю цiлiсностi.

239

Означення 89. Елемент a кiльця R називається нiльпотентним, якщодля деякого натурального числа n маємо an = 0. Найменше n таке, щоan = 0, називається ступенем нiльпотентностi елемента a.

Нульовий елемент i лише вiн є нiльпотентним елементом ступеня 1.Зв’язок мiж нiльпотентними елементами i дiльниками нуля встановлює

Твердження 74. Кожен нiльпотентний елемент є дiльником нуля.

Доведення. Нехай елемент a ∈ R є нiльпотентним ступеня n. Якщо a = 0,то твердження правильне. Припустимо, що a 6= 0. Тодi n > 1 i an−1 6= 0.Тепер з рiвностей

0 = an = a · an−1 = an−1 · a

випливає, що елемент a є як лiвим, так i правим дiльником нуля.

Обернене твердження є, взагалi кажучи, неправильним.Нехай тепер R — кiльце з одиницею.

Означення 90. Елемент a ∈ R називається лiвим (вiдповiдно правим)дiльником одиницi, якщо iснує такий b ∈ R що ab = 1 (вiдповiдноba = 1). Якщо елемент є одночасно i лiвим, i правим дiльником одиницi,то його називають дiльником одиницi.

Дiльники одиницi, а також лiвi та правi дiльники одиницi називаютьвiдповiдно оборотними елементами, оборотними справа та злiва. Длякомутативних кiлець цi поняття збiгаються i тому розглядають лишеоборотнi елементи.

Позначимо символом R∗ множину тих елементiв кiльця R, якi маютьобернений. Ця множина не порожня, бо 1 ∈ R∗ (разом з тим, 0 6∈ R∗,бо для довiльного a ∈ R маємо 0 · a = 0 6= 1). Крiм того, вона замкненавiдносно множення. Справдi, для довiльних a, b ∈ R∗ з рiвностей (ab) ·b−1a−1 = b−1a−1 · (ab) = 1 випливає, що добуток ab також мiститься в R∗,причому (ab)−1 = b−1a−1. Це означає, що вiдносно дiї множення множинаR∗ є групою, яку називають мультиплiкативною групою кiльця R.

240

79 Iдеали кiлець

Для елемента a кiльця R i пiдмножини B ⊂ R покладемо aB = ab : b ∈B. Аналогiчний змiст має позначення Ba.

Означення 91. Пiдгрупа I адитивної групи кiльця R називаєтьсяiдеалом (вiдповiдно, лiвим iдеалом чи правим iдеалом) цього кiльця,якщо для довiльного елемента a ∈ R мають мiсце включення aI ⊆ I

та Ia ⊆ I (вiдповiдно, має мiсце включення aI ⊆ I чи Ia ⊆ I).

Лiвi та правi iдеали називають ще одностороннiми iдеалами, а iдеали— двостороннiми iдеалами кiлець. Двостороннiй iдеал є лiвим та правимiдеалом одночасно. В комутативних кiльцях поняття одностороннього тадвостороннього iдеалiв не розрiзняють.

Таким чином, непорожня пiдмножина кiльця є iдеалом (лiвим iдеалом,правим iдеалом) тодi й лише тодi коли вона замкнена вiдносно додаванняi взяття протилежного елемента, а також витримує множення на елементикiльця як справа, так i злiва (злiва, справа). Єдиною вiдмiннiстю в озна-ченнях пiдкiльця й iдеала є те, що пiдкiльце витримує множення лишена елементи цього пiдкiльця, а iдеал витримує множення на елементивсього кiльця. Зауважимо, що кожен iдеал буде пiдкiльцем, але не кожнепiдкiльце є iдеалом.

Очевидними прикладами iдеалiв кiльця R є нульовий iдеал (мiститьлише елемент 0 i також позначається 0) i саме R. Цi iдеали називаютьтривiальними. Кiльце, у якого нема нетривiальних iдеалiв, називаєтьсяпростим.

Для довiльного елемента a кiльця R позначимо символом (a)

найменший iдеал, який мiстить цей елемент. Цей iдеал називаєтьсяголовним iдеалом, породженим елементом a. Легко бачити, що комута-тивного кiльця з 1 має мiсце рiвнiсть

(a) = ar : r ∈ R.

Аналогiчно можна визначити iдеал, породжений довiльною скiнченноюмножиною елементiв кiльця.

241

В кiльцi Z кожен iдеал має вигляд (n) для деякого n ≥ 0, тобто усiйого iдеали є головними.

Iдеал I кiльця R називається максимальним, якщо I 6= R i для довiль-ного iдеала J кiльця R iз включень I ⊂ J ⊂ R випливає J = R абоJ = I. Комутативне кiльце з одиницею називається локальним, якщо вономiстить єдиний максимальний iдеал. Ненульовий iдеал I кiльця R нази-вається мiнiмальним, якщо для довiльного iдеала J кiльця R iз включень0 ⊂ J ⊂ I випливає J = 0 або J = I.

На множинi iдеалiв довiльного кiльця можна визначити такi бiнарнiоперацiї, як перетин, сума i добуток.

Означення 92. Нехай I, J — iдеали кiльця R.

а) Перетин I ∩ J є iдеалом, який називається перетином iдеалiв I, J .

б) Множина I + J = a+ b : a ∈ I, b ∈ J є iдеалом, який називаєтьсясумою iдеалiв I, J .

в) Множина I ·J , яка складається з усiх можливих сум вигляду a1b1 +

. . .+ akbk, ai ∈ I, bi ∈ J (1 ≤ i ≤ k), k ∈ N, також є iдеалом, котрийназивають добутком iдеалiв I, J .

80 Факторкiльця та гомоморфiзми кiлець

Визначимо тепер поняття факторкiльця, аналогiчне поняттю факторгрупи.Нехай I — це iдеал кiльця R. Тодi I є пiдгрупою адитивної групи кiльцяR, яка є абелевою. А тому множина R/I класiв сумiжностi адитивноїгрупи кiльця R за нормальною пiдгрупою I є абелевою групою вiдноснооперацiї додавання, визначеної рiвнiстю

(a+ I) + (b+ I) = (a+ b) + I, a, b ∈ R.

Визначимо на факторгрупi R/I операцiю множення, поклавши

(a+ I) · (b+ I) = (ab) + I, a, b ∈ R.

242

Таке визначення є коректним, тобто не залежить вiд вибору представ-никiв класiв сумiжностi. Справдi, нехай a1 ∈ a + I, b1 ∈ b + I, тобтоa1 = a+ r1, b1 = b+ r2 для деяких r1, r2 ∈ I. Тодi

(a1+I)·(b1+I) = a1b1+I = (a+r1)(b+r2)+I = ab+ar2+r1b+r1r2+I = ab+I,

оскiльки ar2, r1b, r1r2 ∈ I. В цих мiркуваннях якраз i використовуєтьсяумова з означення iдеала, яка вирiзняє його серед пiдкiлець, згiдно якоїiдеал витримує множення як злiва, так i справа на елементи кiльця. Таквизначена дiя множення буде асоцiативною i дистрибутивною вiдноснододавання як злiва, так i справа. Тому R/I є кiльцем. Це кiльце назива-ється факторкiльцем кiльця R за iдеалом I. Якщо кiльце R було комута-тивним або кiльцем з одиницею, то таким буде i його факторкiльце.

Нехай R1 i R2 — довiльнi кiльця.

Означення 93. Вiдображення ϕ : R1 → R2 називається гомоморфiзмомкiлець, якщо воно узгоджене з операцiями додавання i множення в цихкiльцях, тобто для довiльних a, b ∈ R1 мають мiсце рiвностi:1) ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b);2) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).

Нехай R1 i R2 є кiльцями з одиницями 1 i e вiдповiдно. Гомоморфiзмкiлець ϕ : R1 → R2 називається гомоморфiзмом кiлець з одиницею, якщоϕ(1) = e.

Гомоморфiзм ϕ кiлець називається епiморфiзмом, мономорфiзмом чиiзоморфiзмом, якщо ϕ є сюр’єкцiєю, iн’єкцiєю чи бiєкцiєю вiдповiдно.

Кiльця R1 та R2 називаються iзоморфними (позначають R1 ' R2),якщо мiж ними iснує iзоморфiзм.

З кожним гомоморфiзмом ϕ : R1 → R2 пов’язують його ядро, тобтомножину Kerϕ = a ∈ R1 : ϕ(a) = 0, i образ, тобто множину Imϕ =

ϕ(a) : a ∈ R1.

Твердження 75. Ядро гомоморфiзму ϕ : R1 → R2 є iдеалом в R1, аобраз — пiдкiльцем у R2.

Доведення. Оскiльки кожен гомоморфiзм кiлець буде гомоморфiзмом їхадитивних груп, то ядро i образ гомоморфiзму кiлець є, вiдповiдно, ядром

243

i образом гомоморфiзму їх адитивних груп. Тому ядро i образ гомомор-фiзму ϕ є пiдгрупами вiдповiдних адитивних груп.

Нехай a ∈ Kerϕ, r ∈ R1. Тодi

ϕ(ar) = ϕ(a)ϕ(r) = 0 · ϕ(r) = 0 i ϕ(ra) = ϕ(r)ϕ(a) = ϕ(r) · 0 = 0,

звiдки ar, ra ∈ Kerϕ, тобто ядро ϕ є iдеалом в R1.Виберемо довiльнi a, b ∈ Imϕ. Тодi для деяких r1, r2 ∈ R1 виконанi

рiвностi ϕ(r1) = a, ϕ(r2) = b. Тому ϕ(r1r2) = ϕ(r1)ϕ(r2) = ab, звiдкиab ∈ Imϕ. Таким чином, образ ϕ є пiдкiльцем в R2.

Це твердження зокрема означає, що для довiльного гомоморфiзмукiлець коректно визначеним є факторкiльце за ядром цього гомоморфiзму.Має мiсце

Теорема 81 (про гомоморфiзм кiлець). Нехай ϕ : R1 → R2 — гомомор-фiзм кiлець. Тодi G/Kerϕ ' Imϕ.

Доведення. З доведення теореми про гомоморфiзм груп випливає, щовiдображення

π : R1/Kerϕ→ Imϕ,

задане рiвнiстю π(a + Kerϕ) = ϕ(a), a ∈ R1, є iзоморфiзмом адитивнихгруп кiлець R1/Kerϕ та Imϕ. З правила множення елементiв у фактор-кiльцi отримуємо, що π узгоджене з множенням у цих кiльцях, тобто єiзоморфiзмом кiлець.

81 Подiльнiсть в кiльцях

Нехай кiльце R є областю цiлiсностi, тобто комутативним кiльцем зодиницею, в якому добуток ненульових елементiв завжди ненульовий. Якбуло доведено в твердженнi 73, це означає, що в кiльцi R можна скорочу-вати на довiльний ненульовий елемент. Визначимо в R бiнарне вiдношенняподiльностi, аналогiчне класичному вiдношенню подiльностi цiлих чисел.

Означення 94. Кажуть, що елемент b областi цiлiсностi R дiлитьсяна елемент a ∈ R (елемент a є дiльником елемента b), якщо iснуєтакий елемент c ∈ R, що b = ac.

244

Запис a|b означає, що елемент a є дiльником елемента b. Основнiвластивостi вiдношення подiльностi є такими:

Твердження 76. Нехай a, b, c ∈ R. Тодi

1) a|a;

2) Якщо a|b i b|c, то a|c;

3) Якщо a|b i a|c, то a|(b+ c);

4) Якщо a|b, то a|(bc) для довiльного c ∈ R.

Доведення. 1) Випливає з рiвностi a = a · 1.

2) Якщо b = ab1 i c = bc1 для деяких b1, c1 ∈ R, то c = a(b1c1), тобтоa|c.

3) Якщо b = ab1 i c = ac1 для деяких b1, c1 ∈ R, то b + c = a(b1 + c1),тобто a|(b+ c).

4) Якщо b = ab1 для деякого b1 ∈ R, то bc = a(b1c), тобто a|(bc).

З означення подiльностi випливає, що дiльниками нульового елементає всi елементи кiльця, а дiльниками одиничного — лише оборотнi. Таксамо кожен елемент кiльця буде дiлитися на довiльний оборотний елемент.

Eлементи a, b ∈ R називаються асоцiйованими, якщо a|b i b|a. Вiдно-шення асоцiйованостi є вiдношенням еквiвалентностi на R. Справдi, зтвердження 76 випливає рефлексивнiсть та транзитивнiсть, а означенняасоцiйованостi забезпечує симетричнiсть цього вiдношення.

З транзитивностi вiдношення подiльностi випливає, що для довiльнихпар асоцiйованих елементiв a, a1 i b, b1 з умови a|b випливає a1|b1. Томувiдношення подiльностi можна коректно визначити i на класах асоцiйо-ваних елементiв.

Природним критерiєм асоцiйованостi елементiв кiльця виступає таке

Твердження 77. Елементи a, b ∈ R є асоцiйованими тодi й лише тодi,коли знайдеться такий оборотний елемент c ∈ R, що a = bc.

245

Доведення. Нехай елементи a i b є асоцiйованими. Тодi a|b i b|a, тобтоiснують такi елементи c1, c2 ∈ R, що b = ac1 i a = bc2. Звiдси a = a(c1c2).Але також a = a · 1. Скорочуючи на a, одержимо рiвнiсть c1c2 = 1. З неївипливає, що обидва елементи c1, c2 оборотнi, i все доведено.

В iнший бiк. Припустимо, що a = bc для деякого оборотного елементаc. Тодi ac−1 = bcc−1 = b. Отже, кожен з елементiв a, b дiлиться на iнший,тобто вони асоцiйованi.

Нульовий елемент кiльця буде асоцiйованим лише сам з собою, втой час як усi оборотнi елементи утворюють окремий клас асоцiйованихелементiв.

Знаючи групу оборотних елементiв кiльця, можна знаходити всiелементи, асоцiйованi iз заданим, описувати класи асоцiйованих елементiвi вибирати в кожному класi по представнику.

В кiльцi цiлих чисел Z група оборотних елементiв складається з чисел1 та −1. Тому асоцiйованими є тi i лише тi цiлi числа, якi або рiвнi, абовiдрiзняються лише знаком. Тому в кожному класi асоцiйованих елементiвiснує i єдине невiд’ємне число.

Аналогiчно, в кiльцi многочленiв R[x] група оборотних елементiв скла-дається з ненульових многочленiв нульового степеня. Тому асоцiйованимиє тi й лише тi многочлени, якi вiдрiзняються на ненульовий множник зR. Тому кожен ненульовий многочлен цього кiльця буде асоцiйованим зєдиним унiтарним многочленом.

Використовуючи поняття подiльностi, введемо для областi цiлiсностiпоняття, аналогiчнi поняттям простого i складеного цiлого числа.

Означення 95. Необоротний елемент a 6= 0 областi цiлiсностi R нази-вається розкладним, якщо iснують такi необоротнi елементи b, c ∈ R,що a = bc. Якщо ж такого розкладу не iснує, то елемент a називає-ться нерозкладним.

Iншими словами, необоротний елемент a 6= 0 буде нерозкладним, якщодля довiльних елементiв b, c ∈ R з рiвностi a = bc випливає, що лишеодин з множникiв b або c є оборотним (якби вони обидва були оборо-тними, то й a був би таким). В цьому випадку, користуючись критерiєм

246

асоцiйованостi, отримуємо, що iнший множник буде асоцiйованим з a.Тому нерозкладний елемент буде дiлитися лише на оборотнi елементи тана елементи, асоцiйованi з ним. В такому значеннi нерозкладнi елементиiнколи характеризують як такi, що мають лише тривiальнi дiльники.

Нерозкладними елементами кiльця Z будуть простi числам, а нероз-кладними елементи кiльця R[x] — незвiднi над R многочленами.

Визначимо ще один тип елементiв кiльця цiлiсностi.

Означення 96. Необоротний елемент a 6= 0 областi цiлiсностi R нази-вається простим, якщо для довiльних b, c ∈ R з того, що a|bc, випливаєa|b або a|c.

Зауважимо, що в цьому означеннi досить розглядати лише ненульовiелементи b i c, бо в iншому випадку вказана в ньому властивiсть вико-нується для довiльного елемента a. Крiм того, з означення випливає,що як тiльки простий елемент є дiльником добутку довiльної кiлькостiелементiв, не обов’язково лише двох, то вiн буде дiльником принаймнiодного зi спiвмножникiв.

Твердження 78. Кожен простий елемент є нерозкладним.

Доведення. Нехай елемент a є простим. Припустимо, що a = bc длядеяких b, c. Тодi a|bc i тому, за означенням простого елемента, a є дiль-ником одного з елементiв b, c. Не обмежуючи загальностi припустимо, щоa|b. Тому iснує d такий, що a = adc. Звiдси 1 = dc i c є оборотним. Отже,a нерозкладний.

Обернене твердження є, взагалi кажучи, неправильним.Таким чином, кожен ненульовий елемент областi цiлiсностi є

елементом одного з трьох типiв: оборотним, розкладним або нероз-кладним, а серед нерозкладних елементiв окремо видiляються простiелементи. При цьому разом з довiльним елементом властивiсть розкла-дностi, нерозкладностi чи простоти буде мати весь клас асоцiйованих зним елементiв. Це випливає з того, що вiдношення подiльностi коректновизначається на класах асоцiйованих елементiв.

Розглянемо тепер ще два (дуальних) поняття, за допомогою яких хара-ктеризуються елементи областей цiлiсностi.

247

Означення 97. Нехай a, b — елементи областi цiлiсностi R. Елементd ∈ R називається найбiльшим спiльним дiльником елементiв a, b, якщо

1) d|a i d|b;

2) для кожного d1 ∈ R з того, що d1|a i d1|b випливає d1|d.

Елемент m ∈ R називається найменшим спiльним кратним елементiвa, b, якщо

1) a|m i b|m;

2) для кожного m1 ∈ R з того, що a|m1 i b|m1 випливає m|m1.

Таким чином, найбiльший спiльний дiльник є найбiльшим елементомсеред спiльних дiльникiв вiдносно вiдношення подiльностi, а найменшеспiльне кратне — найменшим елементом серед спiльних кратних вiдносноцього вiдношення. Тому цiлком аналогiчно визначаються найбiльшийспiльний дiльник i найменше спiльне кратне довiльної сукупностiелементiв з R.

Найбiльший спiльний дiльник елементiв a, b позначають символом(a, b), а їх найменше спiльне кратне — символом (a, b). Не для кожнихдвох елементiв a, b ∈ R iснують найбiльший спiльний дiльник чинайменше спiльне кратне цих елементiв. Має мiсце

Твердження 79. Два найбiльшi спiльнi дiльники елементiв a, b ∈ R

є асоцiйованими i елемент, асоцiйований з довiльним найбiльшимспiльним дiльником елементiв a, b, сам буде їх найбiльшим спiльнимдiльником.

Доведення. Нехай обидва елементи d1, d2 ∈ R є найбiльшими спiльнимидiльниками a, b. Тодi з означення найбiльшого спiльного дiльника вiдразувипливає, що d1|d2 i d2|d1, тобто d1 i d2 асоцiйованi.

В iнший бiк, нехай d, d1 ∈ R — такi асоцiйованi елементи, що d =

(a, b). В силу транзитивностi вiдношення подiльностi маємо a|d1 i b|d1, атакож d2|d1 для кожного d2 ∈ R такого, що d2|a i d2|b. Тому d1 = (a, b).

248

Таким чином, якщо найбiльший спiльний дiльник елементiв a, b ∈ Riснує, то вiн визначений однозначно з точнiстю до асоцiйованостi. Анало-гiчне твердження має мiсце i для найменшого спiльного кратного цихелементiв.

Зв’язок мiж найбiльшим спiльним дiльником та найменшим спiльнимкратним двох ненульових елементiв встановлює

Теорема 82. Якщо для елементiв a, b ∈ R \ 0 iснує найменше спiльнекратне, то для них також iснує i найбiльший спiльний дiльник.

Доведення. Нехай m = (a, b). Оскiльки довiльне спiльне кратне елементiвa i b дiлиться на m, то m|(ab). Тому iснує d ∈ R таке, що ab = md.Зауважмо, що m 6= 0. Покажемо тепер, що d = (a, b).

Оскiльки m дiлиться i на a, i на b, то iснують елементи a1, b1 ∈ R,для яких виконуються рiвностi m = aa1 i m = bb1. Тому ab = md = aa1d

i ab = md = bb1d. Оскiльки R — область цiлiсностi, то в цих рiвностяхможна скоротити на ненульовi множники a i b вiдповiдно. Звiдси b = a1d

i a = b1d, тобто d є дiльником обох елементiв a i b.Розглянемо тепер довiльний спiльний дiльник d1 елементiв a i b. Тодi

a = d1a2, b = d1b2 для деяких a2, b2 ∈ R. Добуток d1a2b2 є спiльнимкратним елементiв a i b. Тому вiн дiлиться на m, тобто d1a2b2 = mc

для деякого c ∈ R. Домноживши останню рiвнiсть на d1, отримаємоd1a2b2d1 = ab = md = mcd1. В останнiй рiвностi можна скоротити наm. Отримаємо d = cd1, тобто d1|d. Отже, d дiлиться на кожен спiльнийдiльник елементiв a i b, тобто є їх найбiльшим спiльним дiльником.

Обернене твердження в загальному випадку є неправильним.Елементи a, b ∈ R називаються взаємно простими, якщо (a, b) = 1.

Легко бачити, що неасоцiйованi нерозкладнi елементи будуть взаємнопростими.

82 Факторiальнi кiльця

Для областi цiлiсностi R визначимо поняття розкладностi на незвiднiмножники.

249

Означення 98. Кажуть, що елемент a 6= 0 областi цiлiсностi Rрозкладається на незвiднi множники, якщо iснують u ∈ R∗ та нероз-кладнi p1, . . . , pk (k ≥ 0) такi, що

a = up1 . . . pk.

Якщо з рiвностia = up1 . . . pk = vq1 . . . ql

для v ∈ R∗ та нерозкладних q1, . . . , ql випливає, що k = l, i, пiсляналежної перенумерацiї, елементи в кожнiй з пар pi, qi (1 ≤ i ≤ k) єасоцiйованими, то кажуть, що елемент a розкладається на незвiднiмножники однозначно.

Кожен оборотний елемент допускає розклад на незвiднi множники, вякому нульова кiлькiсть незвiдних множникiв. Тому розклад для такихелементiв єдиний. Для нерозкладних елементiв розклад також iснує iмiстить лише один незвiдний множник. Оскiльки нерозкладний елементможе дiлитися лише на асоцiйованi нерозкладнi елементи, то цей розкладбуде єдиним. Для розкладних елементiв iснування розкладу в добутокнезвiдних має мiсце не завжди. З iснування ж такого розкладу так самоне завжди випливає його єдинiсть. Кiльця, для кожного ненульовогоелемента яких такий розклад iснує i вiн єдиний, утворюють важливийклас комутативних кiлець.

Означення 99. Область цiлiсностi R називають факторiальнимкiльцем (областю з однозначним розкладом), якщо кожен ненульовийелемент з R однозначно розкладається на незвiднi множники.

Областi цiлiсностi, в яких нема розкладних елементiв (наприклад,поля), будуть факторiальними кiльцями. Також факторiальними є кiльцяцiлих чисел i многочленiв вiд однiєї змiнної з дiйсними чи комплекснимикоефiцiєнтами.

Критерiй факторiальностi кiльця встановлює

Теорема 83. Область цiлiсностi R, в якiй кожен елемент розклада-ється на нерозкладнi множники, буде факторiальним кiльцем тодi йлише тодi, коли кожен нерозкладний елемент цiєї областi є простим.

250

Доведення. Нехай R — факторiальне кiльце, p ∈ R — нерозкладнийелемент. Припустимо, що ненульовi елементи a, b ∈ R є такими, щоp|ab, тобто ab = pc для деякого ненульового елемента c ∈ R. Розглянеморозклади елементiв a, b, c на незвiднi множники

a = u1p1 . . . pk, b = u2q1 . . . ql, c = u3r1 . . . rm,

де u1, u2, u3 ∈ R∗, а p1 . . . pk, q1 . . . ql, r1 . . . rm незвiднi. Пiдставляючи цiрозклади в рiвнiсть ab = pc, отримуємо

(u1u2)p1 . . . pkq1 . . . ql = u3pr1 . . . rm.

Оскiльки має мiсце єдинiсть розкладу кожного ненульового елементав добуток незвiдних, то для елемента p повинен iснувати незвiдниймножник у лiвiй частинi рiвностi, асоцiйований з ним. Цей множник будедiлитися на p, а сам вiн є дiльником того з елементiв a, b, до розкладуякого в добуток незвiдних вiн входить. Тому p буде дiльником принаймнiодного з елементiв a чи b. Отже, p є простим, що й потрiбно було довести.

Припустимо тепер, що в кiльцi R кожен нерозкладний елемент єпростим i доведемо, що для кожен ненульовий елемент a цього кiльцярозкладається в добуток незвiдних однозначно. Проведемо iндукцiю замiнiмальною кiлькiстю незвiдних множникiв, у добуток яких розкладає-ться елемент a.

Базою iндукцiї є випадок одного множника. Тодi елемент a є незвiднимi для нього однозначнiсть розкладу виконується.

Розглянемо тепер елемент a, який можна подати у виглядi

a = u1p1 . . . pnpn+1,

i припустимо, що також виконується рiвнiсть

a = u2q1 . . . qkqk+1,

де u1, u2 ∈ R∗, а елементи p1, . . . , pn+1, q1, . . . , qk незвiднi, k ≥ n ≥ 1.Оскiльки кожен незвiдний елемент в R є простим, то незвiдний елементpn+1 є простим. Вiн є дiльником добутку u2q1 . . . qk+1, а тому є дiль-ником одного з елементiв q1, . . . , qk+1 (вiн не може бути дiльником оборо-тного елемента u2, бо сам не є оборотним). Але кожен з цих елементiв

251

незвiдний, тобто його дiльниками є лише оборотнi та асоцiйованi з нимелементи. Таким чином, елемент pn+1 асоцiйований з одним iз елементiвq1, . . . , qk+1. Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що елементиpn+1 i qk+1 асоцiйованi, тобто pn+1 = uqk+1 для деякого u ∈ R∗. Скоро-чуючи тепер в рiвностi

u1p1 . . . pnuqk+1 = u2q1 . . . qkqk+1

на ненульовий елемент qk+1, одержимо рiвнiсть

(u1u)p1 . . . pn = u2q1 . . . qk.

Скориставшись припущенням iндукцiї, одержимо, що n = k i, пiсля пере-становки множникiв, елементи в кожнiй з пар pi, qi (1 ≤ i ≤ n) є асоцi-йованими. Звiдси вiдразу випливає однозначнiсть розкладу елемента a вдобуток незвiдних i, як наслiдок, факторiальнiсть кiльця R. Теорему дове-дено.

З цiєї теореми випливає, що у факторiальних кiльцях властивостiнерозкладностi та простоти елементiв є рiвносильними. Тому для факто-рiальних кiлець поняття нерозкладного елемента i простого елемента нерозрiзняють, а розклади в добуток незвiдних елементiв також називаютьрозкладами в добуток простих елементiв.

Якщо для факторiального кiльця в кожному класi асоцiйованихелементiв, всi елементи якого є нерозкладними, зафiксувати по представ-нику, то кожен ненульовий елемент буде розкладатися в добуток оборо-тного елемента i вибраних представникiв, причому розклад буде єдинимз точнiстю до перестановок множникiв. Наприклад, у кiльцi цiлих чиселтакими представниками є додатнi простi числа, а в кiльцi многочленiвз дiйсними коефiцiєнтами — унiтарнi незвiднi многочлени. Саме длятак вибраних представникiв формулюють основну теорему арифметики татеорему про розклад многочлена в добуток незвiдних.

Для елементiв факторiального кiльця, розкладених в добуток незвi-дних множникiв, iснує ефективна процедура перевiрки, чи є один з нихдiльником iншого.

252

Твердження 80. Нехай a, b — такi елементи факторiального кiльця R,що

a =u1pα11 . . . pαk

k

b =u2pβ1

1 . . . pβk

k ,

де u1, u2 ∈ R∗, p1, . . . , pk — попарно рiзнi незвiднi елементи, а αi, βi ≥ 0,1 ≤ i ≤ k. Тодi

1) a|b в тому й лише тому випадку, коли αi ≤ βi, 1 ≤ i ≤ k;

2) (a, b) = pmin(α1,β1)1 . . . p

min(α1,β1)k ;

3) (a, b) = pmax(α1,β1)1 . . . p

max(α1,β1)k .

Доведення. Достатнiсть умови для подiльностi в першому твердженнiбуде мати мiсце завжди, а її необхiднiсть випливає з однозначностiрозкладу в добуток незвiдних множникiв.

Два iншi твердження випливають з першого та означень найбiльшогоспiльного дiльника та найменшого спiльного кратного.

Наслiдок 31. Для довiльних двох елементiв факторiального кiльцяiснують їх найбiльший спiльний дiльник та найменше спiльне кратне.

Сформулюємо без доведення теорему про факторiальнiсть кiлецьмногочленiв

Теорема 84. Нехай R — факторiальне кiльце. Тодi кiльце R[x] такожє факторiальним.

Звiдси вiдразу випливає, що для довiльного n ≥ 1 кiльця Z[x1, . . . , xn]

та F [x1, . . . , xn] (F — поле) є факторiальними.

83 Кiльця головних iдеалiв

Нагадаємо, що головний iдеал, породжений елементом a комутативногокiльця R — це множина

(a) = ra : r ∈ R.

253

Сформулюємо декiлька допомiжних тверджень про зв’язок подiльностiв областi цiлiсностi з головними iдеалами в нiй.

Лема 19. Нехай a, b — елементи областi цiлiсностi R. Мають мiсцетакi твердження:

1) a|b тодi й лише тодi, коли (a) ⊃ (b);

2) a i b асоцiйованi тодi й лише тодi, коли (a) = (b);

3) a оборотний тодi й лише тодi, коли (a) = R;

Доведення. 1. За означенням вiдношення подiльностi a|b тодi й лише тодi,коли для деякого c ∈ R виконується рiвнiсть b = ac. Остання умоварiвносильна тому, що b ∈ (a), тобто (b) ⊂ (a).

2. Випливає з 1 i означення асоцiйованостi.3. Випливає з 2 i рiвностi (1) = R.

Означення 100. Область цiлiсностi називається кiльцем головнихiдеалiв, якщо кожен її iдеал є головним.

Для кiлець головних iдеалiв мають мiсце такi властивостi

Твердження 81. Нехай R — кiльце головних iдеалiв. Мають мiсце такiтвердження:

1) ненульовий елемент a ∈ R буде нерозкладним тодi й лише тодi,коли iдеал (a) є максимальним;

2) для довiльних елементiв a, b ∈ R iснує їх найбiльший спiльнийдiльник d, причому має мiсце рiвнiсть d = c1a + c2b для деякихелементiв r1, r2 ∈ R.

3) кожен нерозкладний елемент a ∈ R є простим.

Доведення. 1. Нехай елемент a є нерозкладним. Тодi a необоротний iз пункту 3 леми 19 випливає, що (a) 6= R. Нехай для iдеала I маютьмiсце включення (a) ⊂ I ⊂ R. Оскiльки в R всi iдеали є головними, тоiснує b ∈ R такий, що I = (b). Тодi з пункту 1 леми 19 отримуємо, що

254

b|a. Оскiльки a нерозкладний, то це означає, що b або оборотний, абоасоцiйований з a. Звiдси i з пунктiв 2 i 3 леми 19 випливає рiвнiсть I = R

або I = (a). Отже, iдеал (a) максимальний.В iнший бiк, нехай iдеал (a) є максимальним. Тодi (a) 6= R i a є

необоротним. Нехай для деяких b, c ∈ R має мiсце розклад a = bc. Тодib|a i (b) ⊃ (a) за пунктом 1 леми 19. З максимальностi iдеала (a) тепервипливає, що або (b) = R i тодi b ∈ R∗, або (b) = (a) i тодi a та b

асоцiйованi, звiдки c ∈ R∗. Отже, в обох випадках в розкладi елемента aв добуток присутнiй оборотний множник, тобто a є нерозкладним.

2. Розглянемо iдеали (a) та (b). За означенням суми iдеалiв

(a) + (b) = a1 + b1 : a1 ∈ (a), b2 ∈ (b) = r1a+ r2b : r1, r2 ∈ R.

Оскiльки в R всi iдеали головнi, то iснує елемент d ∈ R такий, що(a) + (b) = (d). Тодi для деяких c1, c2 ∈ R має мiсце рiвнiсть d = c1a+ c2b.Оскiльки (a) ⊂ (d) i (b) ⊂ (d), то d|a d|b. Якщо тепер d1 ∈ R —спiльний дiльник елементiв a та b, то з властивостей вiдношення подiль-ностi випливає, що d1 є дiльником суми c1a + c2b, яка рiвна d. Отже,елемент d є найбiльшим спiльним дiльником елементiв a та b, причомудля нього має мiсце потрiбний розклад.

3. Припустимо, що a|bc для деяких елементiв b, c ∈ R, причому a 6 |b.Нехай d — найбiльший спiльний дiльник елементiв a i b. Тодi (a) ⊂ (d).Оскiльки iдеал (a) максимальний, то звiдси (d) = (a) або (d) = R. Алетакож (b) ⊂ (d). Тому з рiвностi (d) = (a) випливало б включення (b) ⊂(a), тобто a|b, що суперечить припущенню. Отже, (d) = R i елементи a, b євзаємно простими, тобто c1a+c2b = 1 для деяких c1, c2 ∈ R. Домножившиостанню рiвнiсть на c, отримаємо рiвнiсть c1ac + c2bc = c, в якiй обидвадоданки в лiвiй частинi дiляться на a. Отже, a|c. Таким чином, елемент aє простим.

Подання найбiльшого спiльного дiльника d елементiв a, b у виглядid = c1a+ c2b називають його лiнiйним розкладом. З доведеного випливає,що у кiльцi головних iдеалiв найбiльший спiльний дiльник двох елементiвне лише iснує, а й лiнiйно виражається через цi елементи.

255

Встановимо зв’язок мiж факторiальними кiльцями та кiльцямиголовних iдеалiв. Спочатку доведемо допомiжну лему.

Лема 20. Нехай R — кiльце головних iдеалiв, a1, a2, . . . — така послi-довнiсть його елементiв, що мають мiсце включення

(a1) ⊂ (a2) ⊂ . . . .

Тодi iснує натуральне число m таке, що елементи am, am+1, . . . єпопарно асоцiйованими.

Доведення. Розглянемо об’єднання iдеалiв:

I =

∞⋃i=1

(ai).

Множина I буде iдеалом кiльця R. Справдi, нехай x, y ∈ I. Тодi iснуютьелементи ai, aj такi, що x ∈ (ai), y ∈ (aj). Не обмежуючи загальностiможемо вважати, що i ≥ j. За умовою леми (ai) ⊃ (aj) i тому x, y ∈ (ai).Але (ai) — це iдеал, звiдки x− y ∈ (ai) i rx ∈ (ai) для довiльного r ∈ R.

Оскiльки всi iдеали в R є головними, то iснує елемент a ∈ R такий, щоI = (a). Оскiльки a ∈ I, то iснує натуральне число m таке, що a ∈ (am).Звiдси (a) ⊂ (am) ⊂ (am+1) ⊂ . . .. Крiм того, (a) ⊃ (ak), k ≥ m. Отже,маємо рiвностi

(a) = (am) = (am+1) = . . . .

Тепер з пункту 2 леми 19 отримуємо попарну асоцiйованiсть елементiвam, am+1, . . ..

Теорема 85. Кожне кiльце головних iдеалiв є факторiальним.

Доведення. Нехай R — кiльце головних iдеалiв. Оскiльки в кiльцiголовних iдеалiв кожен нерозкладний елемент є простим, то, згiдно зтеоремою 83, для доведення факторiальностi кiльця R досить показати,що в ньому кожен ненульовий елемент розкладається в добуток нероз-кладних. Припустимо вiд супротивного, що елемент a ∈ R не має такогорозкладу. Тодi вiн не може бути нi оборотним, нi нерозкладним. Отже, aє розкладним, тобто a = a1b1 для деяких необоротних елементiв a1, b1.

256

Якби обидва цi елементи розкладалися в добуток нерозкладних, то i їхдобуток розкладався б також. Тому з елементiв a1, b1 можна вибрати той,що не розкладається в добуток нерозкладних. Не обмежуючи загальностiвважатимемо, що таким є елемент a1. Тодi a1|a i тому (a1) ⊃ (a). Елементa1 є розкладним, тобто a1 = a2b2 для деяких необоротних елементiв a2, b2.Один з них, наприклад a2, не буде мати розкладу в добуток нерозкладних.Тодi a2|a1 i тому (a2) ⊃ (a1). Продовжуючи цi мiркування, отримаємопослiдовнiсть елементiв a1, a2, . . . таку, що

(a1) ⊂ (a2) ⊂ . . . .

З леми 20 випливає, що для деякого номера m, всi елементи ai, i ≥ m,є попарно асоцiйованими. Зокрема, am = uam+1 для деякого оборотногоелемента u. З iншого боку, am = bam+1 для необоротного b. Звiдси u = b.Суперечнiсть. Теорему доведено.

Обернене твердження є неправильним. Наприклад, факторiальнекiльце Z[x] не буде кiльцем головних iдеалiв.

84 Евклiдовi кiльця

Означення 101. Область цiлiсностi R називається евклiдовимкiльцем, якщо iснує функцiя

N : R \ 0 → N ∪ 0

така, що виконуються умови:

1) для довiльних a, b ∈ R \ 0 має мiсце нерiвнiсть N(ab) ≥ N(a);

2) для довiльних a, b ∈ R, b 6= 0 iснують елементи q, r ∈ R такi, що

a = bq + r, причому r = 0 або N(r) < N(b).

Функцiю N з цього означення називають евклiдовою нормою на кiльцiR. Елементи q i r з останньої рiвностi називаються неповною часткою i

257

остачею вiд дiлення a на b вiдповiдно. Процедуру знаходження неповноїчастки i остачi називають дiленням елемента a на b з остачею. Елемент aбуде дiлитися на ненульовий елемент b тодi й лише тодi, коли остача вiддiлення a на b рiвна 0.

Зауважимо, що першу умову з означення евклiдового кiльця можнавивести з другої. Крiм того, для евклiдового кiльця евклiдова норма наньому може бути не єдина.

Приклад 20. 1) Кiльце цiлих чисел Z є евклiдовим вiдносно евклi-дової норми N(a) = |a|, a ∈ Z, a 6= 0;

2) Кiльце многочленiв F [x] над полем F є евклiдовим вiдносно евклi-дової норми N(f(x)) = deg f(x), f(x) ∈ F [x], f(x) 6≡ 0.

В термiнах евклiдової норми можна сформулювати зручну умову оборо-тностi елементiв евклiдового кiльця.

Твердження 82. Нехай R — евклiдове кiльце з евклiдовою нормою N .Тодi мають мiсце такi твердження:

1) якщо ненульовi елементи a, b ∈ R є асоцiйованими, то N(a) =

N(b);

2) елемент a ∈ R є оборотним тодi й лише тодi, коли N(a) = N(1).

Доведення. 1. Нехай ненульовi елементи a, b ∈ R є асоцiйованими, тобтоa = bu для деякого оборотного елемента u. Тодi, користуючись означеннямевклiдового кiльця, отримуємо нерiвностi N(a) = N(bu) ≥ N(b) i N(b) =

N(au−1) ≥ N(a), звiдки N(a) = N(b).2. Нехай елемент a є оборотним. Тодi a асоцiйований з 1. Рiвнiсть

N(a) = N(1) тепер випливає з 1.Припустимо тепер, що N(a) = N(1). Розглянемо довiльний елемент

b ∈ R i подiлимо його з остачею на a. Отримаємо рiвнiсть b = aq + r.Якщо припустити, що r 6= 0, то N(r) < N(a) = N(1). Але з означенняевклiдового кiльця випливає N(r) = N(r · 1) ≥ N(1). Суперечнiсть. Отже,довiльний елемент кiльця R дiлиться на a, тобто (a) = R. Тому елемент aє оборотним.

258

Зауважимо, що в загальному випадку з рiвностi норм двох елементiвевклiдового кiльця не випливає їх асоцiйованiсть. Наприклад, з рiвностiстепенiв двох многочленiв з дiйсними коефiцiєнтами не випливає асоцi-йованiсть цих многочленiв.

Має мiсце

Теорема 86. Кожне евклiдове кiльце є кiльцем головних iдеалiв.

Доведення. Нехай R — евклiдове кiльце з евклiдовою нормою N . Розгля-немо довiльний iдеал I цього кiльця. Якщо iдеал I нульовий, то I = (0) iвiн є головним. Нехай I ненульовий, тобто в ньому є ненульовi елементи.Виберемо серед них елемент d з найменшим значенням норми N i пока-жемо, що I = (d). Для цього досить показати, що довiльний елементiдеала I дiлиться на d. Припустимо вiд супротивного, що iснує елементa ∈ I, який на d не дiлиться, тобто при дiленнi його з остачею на d отри-маємо рiвнiсть a = qd+ r, в якiй r 6= 0 i N(r) < N(d). Але тодi r = a− qd,звiдки r ∈ I. Тодi нерiвнiсть N(r) < N(d) суперечить вибору елемента d.Отже, I = (d) i теорему доведено.

Обернене твердження є неправильними. Наприклад, кiльце головнихiдеалiв Z[θ], де θ = 1+i

√19

2 , евклiдовим не є.

Наслiдок 32. Кожне евклiдове кiльце є факторiальним кiльцем.

З теореми 86 випливає, що для довiльних елементiв евклiдовогокiльця iснує їх найбiльший спiльний дiльник, для якого також iснуєлiнiйний розклад. Бiльше того, як найбiльший спiльний дiльник, так iйого лiнiйний розклад можна знайти, використовуючи процедуру, вiдомупiд назвою алгоритм Евклiда. Опишемо цей алгоритм.

Нехай задано елементи a, b евклiдового кiльця R з евклiдовою нормоюN . Якщо один з них нульовий, наприклад a, то найбiльший спiльнийдiльник буде дорiвнювати b, а його лiнiйний розклад має вигляд b =

b + a. Нехай елементи a, b ненульовi. Не обмежуючи загальностi, можнавважати, що N(a) ≥ N(b). Подiлимо a на b з остачею. Одержимо рiвнiсть

a = bq1 + r1, де r1 = 0 або N(r1) < N(b).

259

З цiєї рiвностi вiдразу випливає, що кожен спiльний дiльник елементiвa, b буде також спiльним дiльником елементiв b, r1, i навпаки. Томунайбiльший спiльний дiльник елементiв a, b дорiвнює найбiльшому спiль-ному дiльнику елементiв b, r1. Якщо r1 = 0, то (a, b) = b. Якщо ж r1 6= 0,то дiлимо з остачею b на r1:

b = r1q2 + r2, де r2 = 0 або N(r2) < N(r1).

Знову, якщо r2 = 0, то (a, b) = r1. Iнакше дiлимо з остачею r1 на r2 i т.д.Оскiльки N(b) > N(r1) > N(r2) > . . ., то за скiнченне число крокiв миодержимо остачу, рiвну 0. Тодi найбiльшим спiльним дiльником елементiвa i b буде остання ненульова остача, отримана в процесi послiдовногодiлення. Крiм того, послiдовно виражаючи її через попереднi остачi, можнаотримати лiнiйний вираз для найбiльшого спiльного дiльника елементiвa, b, тобто подати його у виглядi суми l1a + l2b для деяких елементiвl1, l2 ∈ R.

85 Кiльце цiлих гаусових чисел

Теорема 87. Кiльце цiлих гаусових чисел Z[i] є евклiдовим.

Доведення. Покажемо, що функцiя

N : Z[i] \ 0 → N ∪ 0,

задана рiвнiстю

N(a+ bi) = a2 + b2, a+ bi ∈ Z[i], a+ bi 6= 0

є евклiдовою нормою.Оскiльки для кожного z ∈ Z[i] \ 0 має мiсце рiвнiсть N(z) = |z|2, а

модуль добутку комплексних чисел дорiвнює добутку їх модулiв, то першаумова з означення евклiдового кiльця виконується.

Нехай тепер z1, z2 ∈ Z[i], z 6= 0. Покажемо, що z1 можна подiлити наz2 з остачею. Цiлi гаусовi числа z1, z2 можна розглядати, як комплекснi iтому визначена їх частка z1

z2— комплексне число x + yi. Зауважимо, що

260

числа x та y є рацiональними. Виберемо тепер цiлi числа c, d, найближчiдо чисел x i y вiдповiдно. Тодi

|x− c| ≤ 1

2i |y − d| ≤ 1

2.

З рiвностi z1 = z2(x+ yi) випливає рiвнiсть

z1 = z2(c+ di) + z2((x− c) + (y − d)i).

Позначимо q = c + di i r = z2((x − c) + (y − d)i). Тодi q ∈ Z[i]. З рiвностir = z1 − z2q випливає, що також r ∈ Z[i]. Крiм того,

|r|2 = |z2|2|((x− c) + (y − d)i)|2 = |z2|2((x− c)2 + (y − d)2) ≤

|z2|2(

1

4+

1

4

)=

1

2N(z2) < N(z2).

Таким чином, або r = 0, або N(r) < N(z2). Отже, елементи q, r єнеповною часткою i остачею вiд дiлення z1 на z2. Теорему доведено.

Оскiльки N(1) = 1, то оборотними елементами кiльця Z[i] є такi йогоелементи a+ bi, для яких a2 + b2 = 1, тобто одне з чисел a, b дорiвнює 0,а iнше має модуль 1. Звiдси

Z[i]∗ = 1,−1, i,−i.

Кiльце цiлих чисел Z є пiдкiльцем кiльця Z[i]. Тому для довiль-ного простого числа p є двi можливостi: або воно залишитися простимелементом в Z[i], або воно буде розкладним елементом цього кiльця. Якийз випадкiв має мiсце залежно вiд p, описує така

Теорема 88. Просте число p ∈ Z є простим елементом кiльця Z[i] тодiй лише тодi, коли p = 4k − 1 для деякого цiлого k. Кожне з простихчисел вигляду 4k+ 1 i число 2 можна подати у виглядi суми квадратiвдвох натуральних чисел.

Доведення. Припустимо, що p є розкладним елементом кiльця Z[i].Розглянемо його розклад в добуток простих елементiв цього кiльця:

p = p1 . . . pk,

261

в якому k > 1. Переходячи до евклiдових норм, отримаємо

p2 = N(p) = N(p1 . . . pk) = |p1 . . . pk|2 = |p1|2 . . . |pk|2 = N(p1) . . . N(pk).

Оскiльки елементи p1, . . . , pk необоротнi, то |pi|2 = N(pi) > N(1) = 1,1 ≤ i ≤ k. Тепер з факторiальностi кiльця Z випливає, що у правiй частинiрiвностi

p2 = |p1|2 . . . |pk|2

всього є два множники, кожен з яких дорiвнює p, тобто k = 2, p = p1p2 i|p1|2 = |p2|2 = p. Нехай p1 = m+ ni для деяких m,n ∈ Z. Тодi

p = N(p1) = |m+ ni|2 = m2 + n2 = (m+ ni)(m− ni).

Звiдси випливає, що розкладне в Z[i] просте число p можна подати увиглядi суми квадратiв натуральних чисел.

Визначимо тепер, якi з простих чисел будуть розкладними в Z[i].Оскiльки квадрат цiлого числа або дiлиться на 4, або при дiленнi на 4

дає остачу 1, то сума квадратiв двох цiлих чисел або дiлиться на 4, абопри дiленнi на 4 дає остачу 1 чи 2. Тому просте число p вигляду 4k − 1

неможливо подати у виглядi суми квадратiв цiлих чисел i тому воно єпростим елементом кiльця Z[i].

Зауважимо, що з рiвностi 2 = (1 + i)(1 − i) випливає, що число 2 єрозкладним елементом Z[i].

Нехай просте число p має вигляд 4k+ 1 (k ∈ Z). Припустимо, що вонозалишається простим елементом у Z[i]. Досить розглянути випадок k > 0.Нехай m = (2k)!. Тодi

m = (−1)2k(2k)! = (−1)(−2) . . . (−2k) ≡ (p− 1)(p− 2) . . . (p− 2k) (mod p).

Тому

m2 ≡ (2k)!(p− 2k) . . . (p− 2)(p− 1) (mod p) ≡ (p− 1)! (mod p).

За теоремою Вiльсона (p − 1)! ≡ (−1)(mod p). Тому m2 ≡ (−1)(mod p),тобто цiле число m2 + 1 дiлиться на p. Крiм того, в Z[i] маємо розкладm2 + 1 = (m+ i)(m− i). З простоти p в Z[i] тепер випливає, що в цьому

262

кiльцi елемент p повинен бути дiльником хоча б одного з елементiв m +

i чи m − i. Але з рiвностей m + i = p(a + bi) чи m − i = p(a + bi)

(a, b ∈ Z) внаслiдок єдиностi запису комплексного числа в алгебраїчнiйформi випливають рiвностi 1 = pb чи 1 = −pb. Жодна з них неможлива всилу необоротностi p. Суперечнiсть. Отже, p є розкладним в Z[i]. Теоремудоведено.

В якостi застосування тепер можемо довести таке теоретико-числоветвердження

Теорема 89. Натуральне число n можна подати у виглядi сумиквадратiв двох цiлих чисел тодi й лише тодi, коли кожне простечисло вигляду 4k − 1 входить в канонiчний розклад числа n на простiмножники у парному степенi.

Доведення. Якщо розклад числа n на простi множники задовольняєвказанiй умовi, то n = a2p1 . . . pl, де a ∈ N, l ≥ 0, а кожне з простихчисел p1, . . . , pl або рiвне 2, або дає остачу 1 при дiленнi на 4. З теореми88 випливає, що кожне з них можна подати у виглядi суми квадратiв двохнатуральних чисел. З рiвностей

(m21 + n2

1)(m22 + n2

2) = (m1 + n1i)(m1 − n1i)(m2 + n2i)(m2 − n2i) =

((m1m2 − n1n2) + (m1n2 +m2n1)i)((m1m2 − n1n2)− (m1n2 +m2n1)i) =

(m1m2 − n1n2)2 + (m1n2 +m2n1)2

тепер випливає, що i число n можна подати у виглядi суми квадратiв двохцiлих чисел.

В iнший бiк. Нехай n = a2 + b2 для деяких цiлих чисел a, b. Якщоодне з них рiвне 0, то n є повним квадратом i для його розкладу на простiмножники твердження виконується. Нехай далi ab 6= 0. Можемо вважати,що числа a та b є взаємно простими. (В iншому випадку, подiливши обидвiчастини рiвностi n = a2 + b2 на квадрат найбiльшого спiльного дiльникачисел a та b, в її лiвiй частинi отримаємо число, яке одночасно з n задо-вольняє потрiбнiй умовi, а в правiй — суму квадратiв взаємно простихчисел). Зафiксуємо просте число p, яке входить у розклад n на простi

263

множники. Тодi

p|(a2 + b2), тобто a2 ≡ −b2 (mod p).

Оскiльки a i b взаємно простi, то p 6 |a i p 6 |b. За теоремою Ферма тодi

ap−1 ≡ 1 (mod p).

Маємо звiдси також

(ap−2b)2 = a2p−4b2 ≡ −a2p−2 (mod p) ≡ −1 (mod p).

Тому(ap−2b)4 ≡ 1 (mod p).

Це означає, що або p = 2, або в мультиплiкативнiй групi Z∗p, порядокякої дорiвнює p−1, порядок елемента ap−2b дорiвнює 4. Оскiльки порядокелемента скiнченної групи є дiльником порядку цiєї групи, то в другомувипадку число p− 1 дiлиться на 4, тобто p має вигляд 4k+ 1 для деякогонатурального k. Таким чином, в розкладi n на простi множники всiмножники вигляду 4k − 1 входять у нульовому, тобто парному степенi.Теорему доведено.

86 Китайська теорема про остачi

Вiдомо багато формулювань фундаментального твердження, яке нази-вають китайською теоремою про остачi. Наведемо одне з них.

Теорема 90 (Китайська теорема про остачi). Нехай R — комутативнекiльце з 1, а I1, . . . , In(n ≥ 2) — такi iдеали цього кiльця, що сумадовiльних двох iз них дорiвнює всьому кiльцю R. Тодi для довiльнихелементiв a1, . . . , an ∈ R iснує елемент a ∈ R такий, що a − ak ∈ Ik,1 ≤ k ≤ n.

Доведення. Розглянемо iдеали I1 та I2 . . . In. Оскiльки I1 + Ik = R, 2 ≤k ≤ n, то iснують елементи r2, . . . , rn ∈ I1 i s2 ∈ I2, . . . , sn ∈ In такi, що

1 = r2 + s2 = . . . = rn + sn.

264

Звiдси1 = (r2 + s2) . . . (rn + sn).

Розкривши дужки в правiй частинi, отримаємо рiвнiсть

1 = u1 + v1,

в якiй u1 ∈ I1, а v1 = s2 . . . sn ∈ I2 . . . In. Аналогiчно для кожного номераk, 1 ≤ k ≤ n, можна вибрати елементи uk ∈ Ik i vk ∈ I1 . . . Ik−1Ik+1 . . . Inтакi, що

1 = uk + vk.

При цьому елемент vk буде лежати в кожному з iдеалiвI1, . . . , Ik−1, Ik+1, . . . , In, бо добуток iдеалiв завжди мiститься у перетинiцих iдеалiв.

Покладемо теперa = a1v1 + . . .+ anvn.

Тодi для довiльного k, 1 ≤ k ≤ n, маємо

a− ak = a1v1 + . . . ak−1vk−1 + ak(vk − 1) + ak+1vk+1 + . . .+ anvn,

причому vk − 1 = −uk ∈ Ik. Тому всi n доданкiв у правiй частинi лежатьв Ik. Отже, a− ak ∈ Ik i теорему доведено.

Зазначимо, що доведення є конструктивним за модулем знаходженнярозкладу одиницi як суми елементiв, що належать заданим iдеалам.

Як наслiдок, сформулюємо твердження, котре також iнколи називаютькитайською теоремою про остачi.

Наслiдок 33. Для комутативного кiльця R з одиницею та таких йогоiдеалiв I1, . . . , In(n ≥ 2), що сума довiльних двох iз них дорiвнює всьомукiльцю R, має мiсце iзоморфiзм кiлець

R/(I1 ∩ . . . ∩ In) ' R/I1 × . . .×R/In.

Доведення. Визначимо вiдображення

ϕ : R→ R/I1 × . . .×R/In,

265

поклавшиϕ(x) = (x+ I1, . . . , x+ In), x ∈ R.

Тодi ϕ є гомоморфiзмом, а Kerϕ = I1 ∩ . . . ∩ In. З китайської теоремипро остачi випливає, що гомоморфiзм ϕ буде сюр’єктивним. Застосувавшитепер теорему про гомоморфiзм кiлець, отримуємо необхiдне твердження.

Як ще один наслiдок, сформулюємо класичний, теоретико-числовий,варiант китайської теореми про остачi.

Наслiдок 34. Нехай цiлi числа m1, . . . ,mn, n ≥ 2, є попарно взаємнопростими. Тодi для довiльних цiлих чисел a1, . . . , an знайдеться цiлечисло a таке, що будуть мати мiсце конгруенцiї

a ≡ a1 (mod m1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a ≡ an (mod n1).

Доведення. З попарної взаємної простоти чисел m1, . . . ,mn вiдразувипливає, що одиницю можна подати, як цiлочисельну лiнiйну комбi-нацiю будь-яких двох iз них. Таким чином, головнi iдеали, породженiцими числами, задовольняють умову китайської теореми про остачi, звiдкивiдразу одержуємо необхiдне твердження.

Оскiльки знаходження лiнiйного розкладу найбiльшого спiльного дiль-ника двох цiлих чисел є конструктивним, то i доведення теоретико-числового варiанту китайської теореми про остачi є повнiстю констру-ктивним.

87 Квадратичнi лишки i нелишки

Нехай p — непарне просте число. Для цiлого числа a розглянемо конгру-енцiю з невiдомою

x2 ≡ a (mod p)

266

або, що те ж саме, квадратне рiвняння

x2 = a

у кiльцi Zp. Якщо p|a, то воно має єдиний, а саме, нульовий розв’язок.Якщо ж a не дiлиться на p, то таке рiвняння може взагалi не матирозв’язкiв. Наприклад, в Z3 нема розв’язку в рiвняння

x2 = 2.

Якщо ж розв’язки iснують, то їх буде рiвно два. Справдi, якщо x0 ∈ Zpє розв’язком, то i −x0 буде розв’язком. При цьому x0 6= −x0. Бiльшедвох розв’язкiв це рiвняння мати не може, бо Zp не має нетривiальнихдiльникiв нуля. Тим самим приходимо до такого

Означення 102. Нехай p — непарне просте число, а цiле число a недiлиться на p. Число a називають квадратичним лишком (вiдповiдно,нелишком) за модулем p, якщо рiвняння

x2 = a

у кiльцi Zp має розв’язок (вiдповiдно, не має розв’язку).

В загальному випадку квадратичнi лишки i нелишки зручно характе-ризувати за допомогою поняття символа Лежандра. А саме,

Означення 103. Нехай p — непарне просте число, a — цiле число.Символ Лежандра (

a

p

)(читається “символ a по p”) визначається рiвнiстю:

(a

p

)=

0, якщо a дiлиться на p

−1, якщо a — квадратичний нелишок за модулем p

1, якщо a — квадратичний лишок за модулем p.

267

88 Поняття поля, поле часток

Означення 104. Полем називається ненульове комутативне кiльце зодиницею, в якому кожен ненульовий елемент має обернений.

Iншими словами, полем є така непорожня множина F з двома бiнар-ними дiями, додаваннями i множенням, визначеними на нiй, що вiдноснододавання вона є абелевою групою, вiдносно множення множина її нену-льових елементiв також є абелевою групою, а дiя множення дистрибу-тивна вiдносно додавання. Множину F вiдносно дiї додавання називаютьадитивною групою поля F , а множину F \ 0 вiдносно дiї множення —мультиплiкативною групою поля F . Позначають мультиплiкативну групуполя F символом F ∗.

З означення вiдразу випливає, що в довiльному полi є принаймнi дваелементи — 0 i 1. Всi поля є областями цiлiсностi. В кожному з них єрiвно два iдеали — нульовий i все поле.

Два поля називаються iзоморфними, якщо вони iзоморфнi, як кiльця.Пiдполем поля F називається така його непорожня пiдмножина P , яка єполем вiдносно тих самих дiй, що й F . Якщо поле P є пiдполем поля F ,то F називають розширенням поля P . Для полiв P та F запис P ⊂ F

означає, що P є пiдполем F або, рiвносильно, F є розширенням P .

Приклад 21. 1) Кожна з множин Q,R i C є полем вiдноснозвичайних дiй додавання та множення. Цi поля називаютьсяполями рацiональних, дiйсних та комплексних чисел вiдповiдно.При цьому Q ⊂ R ⊂ C. В той же час, кiльце цiлих чисел Z не єполем, бо у ньому не всi ненульовi елементи є оборотними.

2) Кiльце лишкiв Zn є полем тодi й лише тодi, коли число n єпростим.

Опишемо тепер конструкцiю, за допомогою якої для довiльної областiцiлiсностi R визначається поле, яке мiстить пiдкiльце, iзоморфне R.

Розглянемо множину M = R × (R \ 0). На цiй множинi визначимобiнарне вiдношення ‘∼’, поклавши для довiльних (a, b), (c, d) ∈M

(a, b) ∼ (c, d) тодi й лише тодi, коли ad = bc.

268

Вiдношення ‘∼’ буде вiдношенням еквiвалентностi на M . Справдi, рефле-ксивнiсть i симетричнiсть вiдразу випливають з означення. Для дове-дення транзитивностi розглянемо такi елементи (a, b), (c, d), (e, f) ∈ M ,що (a, b) ∼ (c, d), а (c, d) ∼ (e, f). Тодi ad = bc i cf = de. Домножившипершу з цих рiвностей на f i скориставшись другою, отримаємо

adf = bcf = bde.

Оскiльки d — ненульовий елемент областi цiлiсностi R, то тут можнаскоротити на d i отримати рiвнiсть af = be, яка й означає, що (a, b) ∼(f, e).

Позначимо символом F множину класiв еквiвалентностiM за вiдноше-нням ‘∼’. Для довiльного елемента (a, b) ∈M клас еквiвалентностi, якомуналежить цей елемент, будемо позначати символом a

b i називати рацiо-нальним дробом над кiльцем R. Визначимо на множинi F дiї додавання iмноження, поклавши

a

b+c

d=ad+ bc

bdi

a

b· cd

=ac

bdдля довiльних a

b ,cd ∈ F . Оскiльки в кiльцi R нема нетривiальних дiльникiв

нуля, то так визначенi сума i добуток знову будуть елементами F . Перевi-римо, що значення суми й добутку не залежать вiд вибору представникiвкласiв еквiвалентностi. Нехай

a

b,c

d,a1

b1,c1d1∈ F причому

a

b=a1

b1,c

d=c1d1.

Тодi ab1 = a1b i cd1 = c1d. Звiдси

(ad+ bc)(b1d1) = ab1dd1 + bb1cd1 = a1bdd1 + bb1c1d = (bd)(a1d1 + b1c1),

i(ac)(b1d1) = ab1cd1 = a1bc1d = (a1c1)(bd),

тобтоad+ bc

bd=a1d1 + b1c1

b1d1iac

bd=a1c1b1d1

,

що й потрiбно було довести.

269

Теорема 91. Множина F вiдносно введених дiй додавання i множенняє полем, яке мiстить пiдкiльце з одиницею, iзоморфне R.

Доведення. З означення дiй додавання i множення в F вiдразу випливаєїх асоцiативнiсть та комутативнiсть, а також дистрибутивнiсть множеннявiдносно додавання. Елементи 0

1 i 11 будуть, вiдповiдно, нулем i одиницею.

Для елемента ab ∈ F елемент −ab буде протилежним, а у випадку a 6= 0

елемент ba буде оберненим. Отже, F є полем.

Вiдображення ϕ : R→ F , задане правилом

ϕ(a) =a

1, a ∈ R,

буде мономорфiзмом кiлець. Його образ i буде iзоморфним кiльцю R.

Означення 105. Поле F називається полем рацiональних дробiв абополем часток над областю цiлiсностi R.

Можна довести, що довiльне поле, яке мiстить пiдкiльце, iзоморфне R,буде мiстити також i пiдполе, iзоморфне полю часток R. В цьому розумiннiполе часток є мiнiмальним полем, яке мiстить задану область цiлiсностiR.

Приклад 22. 1) Поле часток кiльця Z збiгається з полем рацiо-нальних чисел Q.

2) Поле часток кiльця многочленiв F [x] над полем F називаєтьсяполем рацiональних функцiй над F i позначається F (x). Коженненульовий елемент цього поля можна однозначно подати увиглядi нескоротного дробу — дробу вигляду

f(x)

g(x),

в якому f(x) i g(x) — взаємно простi многочлени над полем F ,причому старший коефiцiєнт g(x) рiвний 1.

3) Якщо область цiлiсностi R є полем, то поле часток R будеiзоморфним R.

270

89 Простi поля, характеристика поля

Означення 106. Поле називається простим, якщо воно не мiститьвласних пiдполiв.

Теорема 92. Кожне поле мiстить єдине просте пiдполе, яке iзоморфнеабо полю Q, або полю Zp для деякого простого числа p.

Доведення. Нехай F — деяке поле. Розглянемо множину його пiдполiв.Вона непорожня, бо мiстить саме поле F . Перетин усiх пiдполiв поля Fтакож буде його пiдполем. Воно просте, причому єдине просте за побу-довою.

Нехай тепер поле F є простим. Розглянемо порядок одиничногоелемента поля F у його адитивнiй групi. Можливi два випадки: вiнабо нескiнченний, або скiнченний. Якщо вiн нескiнченний, то циклiчнапiдгрупа адитивної групи поля, породжена одиницею, буде нескiнченною,а тому iзоморфною групi Z. При цьому iзоморфiзм встановлює вiдобра-ження Z 3 n 7→ n1 ∈ F . Зауважимо, що тодi ця пiдгрупа є замкненоювiдносно множення, оскiльки n1 · m1 = nm1 для довiльних цiлих n,m.Отже, поле F мiстить пiдкiльце, iзоморфне кiльцю цiлих чисел. Крiмтого, для довiльного m ∈ Z, m 6= 0, в полi F мiститься елемент (m1)−1,обернений до m1. Тодi вiдображення Q 3 n

m 7→ n1 · (m1)−1 ∈ F будемономорфiзмом. Таким чином, поле F мiстить пiдполе, iзоморфне полюQ. Оскiльки поле F є простим, то це означає, що воно дорiвнює цьомупiдполю, тобто саме є iзоморфним Q.

Нехай тепер одиниця має скiнченний порядок в адитивнiй групi поляF i вiн рiвний m. Припустимо, що цей порядок є складеним числом, тобтоm = m1m2 для деяких натуральних m1,m2 < m. Тодi з рiвностi

m1 = (m11) · (m21)

i вiдсутностi дiльникiв нуля у полi випливає, що принаймнi один зелементiв m11 чи m21 є нульовим. Але це суперечить припущенню проте, що порядок одиницi рiвний m. Отже, порядок m є простим числом.Розглянемо в полi F m-елементну пiдмножину

P = 0, 1, . . . , (m− 1)1.

271

Тодi вiдображення Zm 3 k 7→ k1 ∈ P є iн’єктивним гомоморфiзмом, тобтовстановлює iзоморфiзм мiж полем лишкiв Zm i P . Отже, F = P внаслiдокпростоти поля F , що й потрiбно було довести.

Звiдси вiдразу отримуємо

Наслiдок 35. Кожне просте поле iзоморфне або полю Q, або полю Zpдля деякого простого числа p.

Доведена теорема дозволяє сформулювати таке

Означення 107. Характеристикою поля F називається число charF ,котре рiвне 0, якщо F мiстить просте пiдполе, iзоморфне Q, i рiвнепростому числу p, якщо F мiстить просте пiдполе, iзоморфне Zp.

Поля, якi мають характеристику 0, називають полями нульової хара-ктеристики, а поля, характеристика яких бiльша за 0 — полями додатної(або простої) характеристики.

Має мiсце

Твердження 83. Поле F має характеристику 0 тодi й лише тодi, коликожен ненульовий елемент F має нескiнченний порядок в адитивнiйгрупi F . Поле F має додатну характеристику p тодi й лише тодi,коли кожен ненульовий елемент F має порядок p в адитивнiй групi F .

Доведення. З рiвностей na = n(a·1) = a·(n1) (a ∈ F , n ∈ N) випливає, щопорядок ненульового елемента a в адитивнiй групi поля дорiвнює порядкуодиницi в цiй групi. Тому досить перевiрити правильнiсть сформульованихтверджень для одиничного елемента. Але для нього цi твердження випли-вають з означення характеристики.

Таким чином, характеристика поля однозначно визначає порядки всiхйого елементiв у адитивнiй групi.

90 Простi розширення полiв

Нехай P,L — поля i P ⊂ L. Зафiксуємо довiльний елемента α ∈ L.Позначимо символом P (α) найменше пiдполе поля L, яке мiстить як поле

272

P , так i елемент α. Поле P (α) є перетином усiх розширень поля P , якiмiстять елемент α. Зрозумiло, що рiвнiсть P (α) = P виконується тодi йлише тодi, коли α ∈ P .

Означення 108. Поле P (α) називається простим розширенням поля Pза допомогою елемента α, а сам елемент α — примiтивним елементомцього розширення.

Далi ми охарактеризуємо просте розширення P (α) поля P залежно вiдвластивостей елемента α.

Означення 109. Елемент α називається алгебраїчним над P , якщоiснує ненульовий многочлен з коефiцiєнтами з поля P , коренем якого єα. В iншому випадку елемент α називається трансцендентним над P .

Для елемента α будемо називати многочлен f(x) ∈ P [x] анулюючим,якщо f(α) = 0. Таким чином, α буде алгебраїчним елементом над P тодiй лише тодi, коли для нього iснує ненульовий анулюючий многочлен надP .

Означення 110. Нехай α — алгебраїчний елемент над P . Многочленmα(x) ∈ P [x] називається мiнiмальним для елемента α, якщо йогостепiнь є найменшим серед усiх ненульових анулюючих многочленiвдля α.

Твердження 84. Нехай α — алгебраїчний елемент над P . Тодi

1) всi анулюючi многочлени для α утворюють ненульовий iдеал Ann(α)

в кiльцi многочленiв P [x];

2) для α iснує мiнiмальний многочлен, який є дiльником довiльногоанулюючого для α;

3) всi мiнiмальнi многочлени для α є попарно асоцiйованими;

4) многочлен з коефiцiєнтами з поля P є мiнiмальним для α тодi йлише тодi, коли вiн анулюючий для α i незвiдний над полем P .

273

Доведення. 1) Якщо елемент α є коренем двох многочленiв над P , товiн буде коренем i їх суми та рiзницi, а також добутку кожного з них надовiльний многочлен над P . Отже, всi анулюючi многочлени для α утво-рюють iдеал Ann(α) кiльця P [x], в котрому буде мiститися ненульовиймногочлен внаслiдок алгебраїчностi α.

2) Оскiльки в кiльцi P [x] всi iдеали є головними, то iснує много-член m(x) ∈ P [x] такий, що Ann(α) = (m(x)). Многочлен m(x) будеанулюючим для α. За визначенням головного iдеала всi елементи Ann(α)

дiляться на m(x). Звiдси випливає, що його степiнь є найменшим середненульових анулюючих многочленiв для α. Отже, m(x) буде мiнiмальнимдля елемента α.

3) Випливає з твердження 2) i означення асоцiйованих елементiвкiльця.

4) Нехай многочлен m(x) ∈ P [x] є мiнiмальним для α. Тодi вiн анулю-ючий за означенням мiнiмального. Припустимо, що m(x) = f(x)g(x) длядеяких f(x), g(x) ∈ P [x]. Тодi з рiвностi m(α) = f(α)g(α) = 0 випливаєрiвнiсть f(α) = 0 або g(α) = 0, оскiльки в полi нема нетривiальних дiль-никiв нуля. Тому один з многочленiв f чи g буде анулюючим для α i,згiдно 2) i 3), вiн буде дiлитися на m(x). Отже, один з многочленiв f чиg буде асоцiйованим з m(x), звiдки випливає незвiднiсть m(x).

Припустимо тепер, що незвiдний над P многочлен f(x) є анулюючимдля α. Тодi вiн дiлиться на довiльний мiнiмальний многочлен m(x). Алез незвiдностi f(x) тодi випливає, що m(x) або оборотний елемент кiльцяP [x], тобто многочлен нульового степеня, або асоцiйований з f(x). Много-член нульового степеня не має коренiв, а тому не може бути анулюючим.Отже, f(x) буде асоцiйованим з мiнiмальним, а тому є мiнiмальним заозначенням мiнiмального.

Таким чином, мiнiмальний многочлен для алгебраїчного елемента α

iснує i вiн єдиний з точнiстю до асоцiйованого. Якщо степiнь мiнiмальногомногочлена дорiвнює n, то елемент α називають алгебраїчним степеня n.

Тепер можемо охарактеризувати простi розширення поля.

Теорема 93. 1) Поле P (α) iзоморфне полю часток областi цiлiсностiP [α].

274

2) Якщо елемент α є трансцендентним над полем P , то простерозширення P (α) поля P iзоморфне полю рацiональних функцiйP (x).

3) Якщо ж α є алгебраїчним над P i mα(x) — його мiнiмальний много-член, то розширення P (α) iзоморфне факторкiльцю P [x]/(mα(x)).

Доведення. 1) Оскiльки поле P (α) мiстить як усi елементи з P , так iелемент α, i є замкненим вiдносно додавання i множення, то для кожногомногочлена f(x) ∈ P [x] значення f(α) є елементом поля P (α). Якщо желемент f(α) є ненульовим, то обернений до нього елемент також лежитьв P (α). Це означає, що для довiльних многочленiв f(x), g(x) ∈ P [x] таких,що g(α) 6= 0, у полi P (α) лежить елемент f(α)(g(α))−1. Множина всiхелементiв такого вигляду утворює поле, причому для f1(x), g1(x) ∈ P [x],g1(α) 6= 0, рiвнiсть

f(α)(g(α))−1 = f1(α)(g1(α))−1

рiвносильна рiвностif(α)g1(α) = f1(α)g(α).

Це означає, що поле P (α) iзоморфне полю часток областi цiлiсностi P [α].2) Нехай α є трансцендентним над P . Для кожного ненульового много-

члена f(x) ∈ P [x] значення f(α) є ненульовим елементом поля P (α) i томукiльце многочленiв над P iзоморфне кiльцю P [α]. Це й означає, що полеP (α) iзоморфне полю рацiональних функцiй над P .

3) Нехай тепер α є алгебраїчним над P i mα(x) — його мiнiмальниймногочлен. Розглянемо вiдображення ϕ : P [x]→ P (α), задане рiвнiстю

ϕ(f(x)) = f(α), f(x) ∈ P (x).

Вiдображення ϕ є гомоморфiзмом, причому в його ядрi лежать анулюючiдля α елементи, i тiльки вони, тобто ядро гомоморфiзму ϕ збiгається зiдеалом Ann(α) = (mα(x)). Покажемо, що його образ збiгається з P (α).Довiльний елемент поля P (α) має вигляд f(α)(g(α))−1 для деяких много-членiв f(x), g(x) ∈ P [x], причому g(α) 6= 0. Подiлимо g(x) на mα(x) з

275

остачею:

g(x) = q(x)mα(x) + r(x), deg r(x) < degmα(x).

Звiдси g(α) = r(α) i f(α)(g(α))−1 = f(α)(r(α))−1. Оскiльки многочленr(x) ненульовий, то вiн буде взаємно простим з незвiдним многочленомmα(x). В цьому випадку будемо мати рiвнiсть многочленiв

1 = a(x)mα(x) + b(x)r(x)

для деяких a(x), b(x) ∈ P [x]. Обчислюючи значення вiд α, одержиморiвнiсть 1 = b(α)r(α), з якої випливає, що (r(α))−1 = b(α). Тому

f(α)(r(α))−1 = f(α)b(α) = (fb)(α).

Це означає, що кожен елемент поля P (α) є значенням деякого многочленанад P вiд α, тобто гомоморфiзм ϕ є сюр’єктивним. Необхiдне твердженнятепер випливає з теореми про гомоморфiзм для кiлець.

Наслiдок 36. Якщо α є алгебраїчним над P елемент степеня n, токожен елемент поля P (α) однозначно записується як значення деякогомногочлена над P степеня, меншого за n.

Доведення. Випливає з попередньої теореми i загального виглядуелементiв факторкiльця кiльця P [x] за головним iдеалом цього кiльця.

91 Трансцендентнi числа

Означення 111. Комплексне число α називається алгебраїчним, якщовоно є коренем деякого ненульового многочлена з рацiональними коефi-цiєнтами. В iншому випадку число α називається трансцендентним.

Таким чином, алгебраїчнi та трансцендентнi числа — це, вiдповiдно,алгебраїчнi та трансцендентнi елементи поля C над полем Q.

Кожен многочлен з рацiональними коефiцiєнтами асоцiйований здеяким многочленом, всi коефiцiєнти якого цiлi. Тому в означеннi алге-браїчного та трансцендентного чисел замiсть многочленiв з рацiональними

276

коефiцiєнтами можемо розглядати лише многочлени з цiлими коефiцiєн-тами.

Оскiльки всiх многочленiв з цiлими коефiцiєнтами злiченна кiлькiстьi кожен з них може мати лише скiнченне число коренiв, то множинавсiх алгебраїчних чисел є злiченною. Добре вiдомо також, що полекомплексних чисел континуальне i тому трансцендентних чисел конти-нуум багато. Проте вказати явно приклад трансцендентного числа, вияв-ляється, не так просто. Досить нетривiальними i порiвняно не так давнознайденими є доведення трансцндентностi чисел π (вiдношення довжиникола до його дiаметра) та e (основи натурального логарифма). Будуватиiншi приклади дiйсних трансцендентних чисел дозволяє

Теорема 94 (Лiувiля). Нехай дiйсне число α є iррацiональним алгебра-їчним, тобто алгебраїчним числом степеня n ≥ 2. Тодi iснує додатнедiйсне число C таке, що для довiльного рацiонального числа p

q викону-ється нерiвнiсть ∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ > C

qn.

Доведення. Розглянемо мiнiмальний многочлен mα(x) = a0xn + . . . + an

для елемента α. Можемо вважати, що всi його коефiцiєнти є цiлимичислами. З властивостей мiнiмального многочлена випливає, що много-член mα(x) є незвiдним над полем рацiональних чисел. За теоремою Безувiн дiлиться на многочлен x− α, тобто

mα(x) = (x− α)g(x)

для деякого многочлена g(x) ∈ R[x]. Розглянемо довiльне рацiональнечисло p

q , p ∈ Z, q ∈ N. Якщо ∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ > 1,

то вказана в умовi теореми нерiвнiсть буде виконуватися для довiльногододатного числа C ≤ 1, оскiльки 1 ≥ 1

qn . Нехай∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ ≤ 1.

277

Ця нерiвнiсть рiвносильна тому, що число pq належить вiдрiзку [α− 1;α+

1]. Тому множина

A =

p

q∈ Q :

∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ ≤ 1

є обмеженою. Оскiльки многочлен g(x) визначає неперервне вiдображенняна множинi R, то образ множини A також буде обмеженою множиною,тобто iснує натуральне число M таке, що∣∣∣∣g(pq

)∣∣∣∣ ≤M для всiхp

q∈ A.

Оскiльки многочлен mα(x) незвiдний над Q, то вiн не має рацiональнихкоренiв i тому

mα

(p

q

)=

∣∣∣∣pq − α∣∣∣∣ g(pq

)6= 0.

З iншого боку ∣∣∣∣mα

(p

q

)∣∣∣∣ =|a0p

n + . . .+ anqn|qn

≥ 1

qn,

оскiльки число |a0pn+ . . .+anqn| є ненульовим i цiлим, а тому не меншим

за 1. Звiдси ∣∣∣∣pq − α∣∣∣∣ =

∣∣∣mα

(pq

)∣∣∣∣∣∣g (pq)∣∣∣ ≥1

Mqn,

причому нерiвнiсть буде строгою, оскiльки число у її правiй частинi єрацiональним, а в лiвiй — нi. Поклавши тепер C = min1, 1

M , отримуємопотрiбну нерiвнiсть.

Продемонструємо тепер, як за допомогою теореми Лiувiля можна дово-дити трансцендентнiсть тих чи iнших дiйсних чисел.

Наслiдок 37. Число α =∞∑k=1

110k! є трансцендентним.

Доведення. Зауважимо, що в десятковому записi числа α на мiсцях,номери яких дорiвнюють факторiалам натуральних чисел, стоять одиницi,а на всiх iнших мiсцях — нулi. Тому в цьому записi зустрiчаються як

278

завгодно довгi послiдовностi з нулiв, а одиниць — нескiнченно багато. Цеозначає, що десятковий запис α не буде майже перiодичним, тобто числоα є iррацiональним. Припустимо, що α є алгебраїчним числом степеня n.Тодi n ≥ 2.

Для довiльного натурального m позначимо αm =m∑k=1

110k! ∈ Q. Запи-

шемо число αm у виглядi нескоротного дробу pq . Тодi q = 10m!. Маємо

|α− αm| =∞∑

k=m+1

1

10k!≤

∞∑k=1

1

10(m+1)!·k =1

(1− 10−(m+1)!)10(m+1)!=

1

10(m+1)! − 1.

Тодi

qn|α−αm| ≤10m!n

10(m+1)! − 1=

10(m+1)!

10(m+1)! − 1·10m!(n−m+1) → 1·0 = 0 при m→∞.

Тому для довiльного додатного дiйсного числа C iснує натуральне числоm таке, що qn|α − αm| ≤ C, тобто |α − αm| ≤ C

qn , що суперечить теоремiЛiувiля. Отже, число α є трансцендентним.

92 Скiнченнi розширення полiв

Якщо поле L є розширенням поля P , то L можна розглядати, як векторнийпростiр над полем P . Розмiрнiсть векторного простору L над P нази-вають степенем розширення L ⊃ P i позначають [L : P ]. Якщо векторнийпростiр L над P є скiнченно вимiрним, то розширення L ⊃ P називаютьскiнченним. В iншому випадку це розширення називається нескiнченним.

Степенi простих розширень полiв обчислюються за допомогою такоготвердження.

Теорема 95. Нехай P (α) — просте розширення поля P . Якщо примi-тивний елемент α є трансцендентним над P , то розширення P (α) ⊃ Pє нескiнченним. Якщо ж α є алгебраїчним степеня n над P , то

279

[P (α) : P ] = n, причому елементи αn−1, . . . , 1 утворюють базис P (α)

над P .

Доведення. Нехай елемент α є трансцендентним над P . Припустимо, що[P (α) : P ] = k < +∞. Тодi k + 1 елементiв αk, . . . , α, 1 утворюють лiнiйнозалежну систему векторiв, тобто для деяких елементiв a0, . . . , ak−1, ak ∈P , серед яких обов’язково є ненульовий, виконується рiвнiсть

a0αk + . . .+ ak−1α+ ak = 0.

Це означає, що елемент α є коренем ненульового многочлена

a0xk + . . .+ ak−1x+ ak ∈ P [x],

що суперечить його трансцендентностi над P .Нехай тепер α є алгебраїчним степеня n над P . Якщо mα(x) — його

мiнiмальний многочлен, то за теоремою 93 P (α) ' P [x]/(mα(x)). Цеозначає, що кожен елемент поля P (α) можна отримати, як значення вiдα деякого многочлена над P , степiнь якого менший за n, тобто подати увиглядi лiнiйної комбiнацiї елементiв αn−1, . . . , 1 з коефiцiєнтами iз поляP . Звiдси випливає, що цi елементи утворюють систему твiрних вектор-ного простору P (α). Якби ця система твiрних була лiнiйно залежною,то це означало б, що елемент α є коренем деякого ненульового много-члена степеня < n. А це суперечить припущенню про степiнь α. Отже,система αn−1, . . . , 1 є лiнiйно незалежною, тобто утворює базис P (α),звiдки [P (α) : P ] = n.

Розглянемо випадок, коли поле L є розширенням поля P , яке, в своючергу, є розширенням поля F . Тодi ланцюг розширень F ⊂ P ⊂ L нази-вають вежею розширень полiв. Поле P в цьому випадку називають промi-жним полем вежi розширень. Аналогiчно визначається вежа розширеньдовiльної скiнченної чи навiть нескiнченної кiлькостi полiв. Важливимдля дослiдження властивостей розширень полiв є така

Теорема 96 (про вежу скiнченних розширень). Нехай F ⊂ P ⊂ L —вежа скiнченних розширень полiв. Тодi розширення F ⊂ L також єскiнченним i виконується рiвнiсть

[L : F ] = [L : P ] · [P : F ].

280

Доведення. Нехай [L : P ] = k, [P : F ] = m, f1, . . . , fk — базис векторногопростору L над полем P , а e1, . . . , em — базис векторного простору P надполем F . Для доведення теореми досить показати, що k ·m елементiв

f1e1, . . . , fke1, . . . , f1em, . . . , fkem

утворюють базис векторного простору L над полем F .Покажемо, що цi елементи є системою твiрних простору L. Нехай

α ∈ L. Оскiльки f1, . . . , fk — базис векторного простору L над полем P ,то iснують елементи β1, . . . , βk ∈ P такi, що

α = β1f1 + . . .+ βkfk.

Оскiльки e1, . . . , em — базис векторного простору P над полем F , то длякожного i, 1 ≤ i ≤ k, iснують елементи γi1, . . . , γim ∈ F такi, що

βi = γi1e1 + . . .+ γimem.

Пiдставляючи в попередню рiвнiсть, отримуємо

α = (γ11e1 + . . .+ γ1mem)f1 + . . .+ (γk1e1 + . . .+ γkmem)fk =

γ11(f1e1) + . . .+ γ1m(f1em) + . . .+ γk1(fke1) + . . .+ γkm(fkem),

звiдки отримуємо необхiдне твердження.Доведемо лiнiйну незалежнiсть системи

f1e1, . . . , fke1, . . . , f1em, . . . , fkem.

Якщо для деяких γij ∈ F , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ m, виконана рiвнiсть

0 = γ11(f1e1) + . . .+ γ1m(f1em) + . . .+ γk1(fke1) + . . .+ γkm(fkem) =

= (γ11e1 + . . .+ γ1mem)f1 + . . .+ (γk1e1 + . . .+ γkmem)fk

то з лiнiйної незалежностi f1, . . . , fk отримуємо рiвностi

γ11e1 + . . .+ γ1mem) = . . . = γk1e1 + . . .+ γkmem = 0.

З лiнiйної незалежностi e1, . . . , em тепер отримуємо, що всi γij рiвнi 0, щой потрiбно було показати. Теорему доведено.

281

Узагальнимо поняття простого розширення поля. Нехай поле L єрозширенням поля P i елементи α1, . . . , αk ∈ L. Найменше пiдполе поля L,яке мiстить як поле P , так i елементи α1, . . . , αk, назвемо скiнченно поро-дженим розширенням поля P за допомогою елементiв α1, . . . , αk. Позна-чимо його символом P (α1, . . . , αk). Має мiсце

Теорема 97. Нехай α1, . . . , αk — алгебраїчнi елементи над полем P .Тодi скiнченно породжене розширення P (α1, . . . , αk) поля P є скiн-ченним.

Доведення. З означення скiнченно породженого розширення випливає, щоми можемо розглядати вежу розширень

P ⊂ P (α1) ⊂ P (α1)(α2) = P (α1, α2) ⊂ . . . ⊂ P (α1, . . . , αk−1)(αk) = P (α1, . . . , αk).

Оскiльки кожен алгебраїчний над P елемент буде алгебраїчним наддовiльним розширенням поля P , то у цiй вежi простих розширень всiпримiтивнi елементи є алгебраїчними, а тому кожне з простих розширеньє скiнченним. Тепер необхiдне твердження вiдразу випливає з теоремипро вежу скiнченних розширень.

93 Алгебраїчнi розширення полiв

Означення 112. Розширення L поля P називається алгебраїчним,якщо кожен елемент поля L є алгебраїчним над P .

Умова алгебраїчностi для розширень випливає з умови скiнченностi,що показує

Теорема 98. Кожне скiнченне розширення поля є алгебраїчним.

Доведення. Нехай L — скiнченне розширення поля P i [L : P ] = n.Розглянемо довiльний елемент α ∈ L. Тодi система з n + 1 вектора1, α, . . . , αn буде лiнiйно залежною над P , тобто iснують елементиa0, a1, . . . , an ∈ P , не всi рiвнi 0, для яких

a0 + a1α+ . . .+ anαn = 0.

282

Це означає, що ненульовий многочлен a0 + a1x + . . . + anxn ∈ P [x] є

анулюючим для α, тобто елемнт α є алгебраїчним над полем P .

Обернене твердження є неправильним.Для алгебраїчних розширень виконується

Теорема 99 (про вежу алгебраїчних розширень). Нехай F ⊂ P ⊂ L —вежа алгебраїчних розширень полiв. Тодi розширення F ⊂ L також єалгебраїчним.

Доведення. Розглянемо довiльний елемент α ∈ L. За умовою теоремивiн є алгебраїчним над полем P , тобто є коренем деякого ненульовогомногочлена f(x) ∈ P [x]. Нехай

f(x) = a0xn + . . . an−1 + an, де a0, . . . , an−1, an ∈ P i a0 6= 0.

Всi елементи a0, . . . , an−1, an є алгебраїчними над полем F . Тому,за теоремою 97, скiнченно породжене розширення F (a0, . . . , an−1, an)

поля F є скiнченним. Крiм того, елемент α буде алгебраїчним i надполем F (a0, . . . , an−1, an). Тому просте розширення F (a0, . . . , an−1, an) ⊂F (a0, . . . , an−1, an)(α) є скiнченним. Застосувавши тепер теорему провежу скiнченних розширень, отримаємо, що розширення F ⊂F (a0, . . . , an−1, an)(α) є скiнченним. Оскiльки кожне скiнченне розши-рення є алгебраїчним, то це розширення є алгебраїчним, тобто елемент αбуде алгебраїчним над полем F , що i потрiбно було довести.

Тепер можемо довести таку

Теорема 100. Нехай L — розширення поля P . Множина всiх елементiвполя L, алгебраїчних над P , утворює пiдполе поля L.

Доведення. Оскiльки кожен елемент поля P є алгебраїчним над P , товказана в умовi множина непорожня. Потрiбно перевiрити, що воназамкнена вiдносно додавання, множення i взяття протилежного та обер-неного до ненульового елемента. Розглянемо довiльнi елементи α, β ∈ L,алгебраїчнi над P . Тодi вежа

P ⊂ P (α) ⊂ P (α)(β) = P (α, β)

283

є вежею алгебраїчних розширень. За теоремою про вежу алгебраї-чних розширень поле P (α, β) є алгебраїчним розширенням поля P . Алеелементи α + β, α · β, −α i α−1 (у випадку, коли α 6= 0) належать полюP (α, β). Тому вони є алгебраїчними над P . Отже, множина елементiв поляL, алгебраїчних над P , замкнена вiдносно додавання, множення i взяттяпротилежного та оберненого до ненульового елемента, тобто є пiдполемL. Теорему доведено.

Зауважимо, що наведене доведення не є конструктивним, тобто дляалгебраїчних елементiв α, β не будувалися анулюючi многочлени їх суми,добутку, рiзницi та частки у разi її iснування. Знаючи анулюючi много-члени елементiв α, β, їх можна знайти, проте це є окремою задачею.

Застосовуючи цю теорему до поля комплексних чисел як розширенняполя рацiональних чисел, одержуємо

Наслiдок 38. Множина всiх алгебраїчних чисел утворює поле.

Поле алгебраїчних чисел позначають символом A. Перевiримо, щорозширення Q ⊂ A є нескiнченним, тобто це розширення є прикладомалгебраїчного, але не скiнченного розширення. Справдi, нехай це розши-рення скiнченне i [A : Q] = n. Це означає, що для довiльного алгебраї-чного числа α елементи 1, α, . . . , αn утворюють лiнiйно залежну системунад полем Q, тобто для α iснує анулюючий многочлен, степiнь якого неперевищує n. Отже, це означає, що всi алгебраїчнi числа мають степiнь,не бiльший за n. Але, наприклад, число n+1

√2 буде алгебраїчним степеня

n+ 1, бо анулюючий для нього многочлен xn+1 − 2 є незвiдним над Q заознакою Айзенштайна. Отримана суперечнiсть показує, що поле алгебра-їчних чисел є нескiнченним розширенням поля рацiональних чисел.

94 Поля розкладу

Довгий час основною задачею алгебри вважалася задача знаходженнякоренiв многочленiв. Як виявилось, вона може принципово не матирозв’язку, якщо коренi шукати в деякiй наперед заданiй множинi. Зокремамногочлени, коефiцiєнти яких належать полю P , можуть не мати коренiв

284

у цьому полi. Класичними прикладами є многочлен x2 + 1, якщо йогорозглядати, як многочлен з дiйсними коефiцiєнтами, чи многочлен x2 − 2

як многочлен з рацiональними коефiцiєнтами. Можливiсть розглядатирозширення полiв дозволила обiйти таке обмеження. Має мiсце

Теорема 101 (Кронекера про символiчне приєднання кореня). Нехай P —поле i f(x) — многочлен над цим полем. Тодi iснує таке розширенняполя P , в якому многочлен f(x) має корiнь.

Доведення. Досить розглядати випадок, коли многочлен f(x) = a0xn +

a1xn−1 + . . . + an−1x + an є незвiдним над полем P (в iншому випадку

f(x) можна замiнити його довiльним незвiдним множником). Розглянемоголовний iдеал I = (f(x)) кiльця P [x], породжений многочленом f(x).Довiльний многочлен g(x) ∈ P [x] \ I буде взаємно простим з f(x), тобтодля деяких h1(x), h2(x) ∈ P [x] буде мати мiсце рiвнiсть

h1(x)f(x) + h2(x)g(x) = 1.

Звiдси випливає, що для ненульового елемента g(x) + I факторкiльцяP [x]/I в ньому iснує обернений — елемент h2(x) + I, тобто факторкiльцеP [x]/I є полем. В цьому полi множина P ′ = a + I : a ∈ P утворюєпiдполе, iзоморфне полю P . Тому можна вважати, що поле P [x]/I єрозширенням поля P . Покажемо, що многочлен f(x) у полi P [x]/I маєкорiнь. Нехай α = x+ I. Тодi

f(α) = (a0+I)(x+I)n+(a1+I)(x+I)n−1+. . .+(an−1+I)(x+I)+(an+I) = f(x)+I = I,

тобто елемент α є коренем многочлена f(x). Теорему доведено.

Зауважимо, що в доведеннi теоерми Кронекера побудовано розширенняполя, iзоморфного початковому полю, в якому вiдповiдний многочлен маєкорiнь. Але в такому випадку легко визначити розширення вже початко-вого поля, iзоморфне побудованому, для якого буде виконуватись твер-дження теореми.

Введемо тепер таке

285

Означення 113. Нехай P — поле, f(x) ∈ P [x], degf > 0. Полем розкладумногочлена f називається мiнiмальне розширення поля P , в якому цеймногочлен розкладається на лiнiйнi множники.

З теореми Кронекера випливає

Наслiдок 39. Для довiльного многочлена додатного степеня його полерозкладу iснує.

Доведення. Нехай степiнь многочлена f , коефiцiєнти якого належатьполю P , дорiвнює n > 0. За теоремою Кронекера цей многочлен має корiньв деякому розширеннi поля P . Позначимо цей корiнь α1 i розглянемопросте розширення P (α1). Якщо в цьому полi многочлен f не розкладає-ться на лiнiйнi множники, то, знову скориставшись теоремою Кронекера,приєднаємо до цього поля той корiнь α2 многочлена f , який в цьомурозширеннi не лежить. Продовжуючи цi мiркування, за не бiльше, нiжn крокiв (оскiльки кiлькiсть коренiв ненульового многочлена не бiльшаза його степiнь) побудуємо розширення P (α1, . . . , αn), де α1, . . . , αn —коренi многочлена f з урахуванням їх кратностей. В цьому розширеннiмногочлен f , розкладається на лiнiйнi множники i воно буде мiнiмальнимрозширенням з цiєю властивiстю, оскiльки всi коренi f у такому розши-реннi повиннi лежати.

Таким чином, поле розкладу многочлена можна отримати, приєднавшивсi його коренi до початкового поля. Проте ця побудова неоднозначна,оскiльки цi коренi можуть лежати у, взагалi кажучи, рiзних розширенняхпочаткового поля. Для доведення єдиностi поля розкладу многочлена зточнiстю до iзоморфiзму доведемо допомiжнi лему про єдинiсть простогоалгебраїчного розширення i теорему про iзоморфiзм полiв розкладу.

Розглянемо iзоморфнi поля P1 i P2, для яких задано iзоморфiзмσ : P1 → P2. Тодi цей iзоморфiзм продовжується до iзоморфiзму кiлецьмногочленiв P1[x] i P2[x] над цими полями, який також позначимо σ. Асаме, для довiльного многочлена f(x) = a0x

n + . . . + an ∈ P1[x] визна-чимо многочлен fσ(x) ∈ P2[x], коефiцiєнти якого є образами пiд дiєю σ

вiдповiдних коефiцiєнтiв f :

fσ(x) = aσ0x+ . . .+ aσn,

286

де для елемента a ∈ P1 символом aσ позначається його образ пiд дiєюiзоморфiзму σ. Будемо називати fσ(x) многочленом, вiдповiдним много-члену f(x).

Лема 21. Нехай P1 i P2 — iзоморфнi поля, σ : P1 → P2 — iзомор-фiзм, многочлен f(x) ∈ P1[x] — незвiдний над P1, fσ(x) — вiдповiдниййому многочлен над P2. Для довiльних коренiв α i β многочленiв f ifσ вiдповiдно iснує такий iзоморфiзм ϕ : P1(α) → P2(β), що ϕ|P1

= σ iϕ(α) = β.

Доведення. Нехай степiнь многочлена f дорiвнює n. Тодi елементиαn−1, . . . , 1 утворюють базис P1(α) над P1, а елементи βn−1, . . . , 1 — базисP2(β) над P2. Тодi вiдображення ϕ : P1(α)→ P2(β), задане рiвнiстю

ϕ(a0αn−1 + . . .+ an−1) = aσ0β

n−1 + . . .+ aσn−1,

в якiй a0, . . . , an−1 ∈ P1, буде iзоморфiзмом адитивних груп полiв P1(α)

та P2(β). Воно буде узгодженим з дiями множення в цих полях, оскiлькидобутки елементiв вказаного вигляду в обох простих розширеннях визна-чаються як значення остач при дiленнi на f(x) i fσ(x) вiдповiдно. Отже,ϕ буде шуканим iзоморфiзмом полiв.

Тепер можемо довести загальнiше твердження.

Теорема 102 (про iзоморфiзм полiв розкладу). Нехай P1 i P2 —iзоморфнi поля, σ : P1 → P2 — iзоморфiзм, f(x) — многочлен надP1, fσ(x) — вiдповiдний йому многочлен над P2. Для довiльних полiврозкладу L1 = P1(α1, . . . , αn) i L2 = P2(β1, . . . , βn) многочленiв f i fσ

вiдповiдно iснує такий iзоморфiзм ϕ : L1 → L2, що переводить коренiα1, . . . , αn у β1, . . . , βn i ϕ|P1

= σ.

Доведення. Проведемо iндукцiю за степенем заданих многочленiв.База iндукцiї, випадок степеня 1, є тривiальним, бо у цьому випадку

поля розкладу многочленiв f та fσ збiгаються з початковими полями P1 iP2.

Припустимо, що твердження доведено для многочленiв степеня <

deg f . Виберемо незвiдний множник g(x) над полем P1 многочлена f(x).

287

Тодi вiдповiдний йому многочлен gσ(x) буде незвiдним множником много-члена fσ над P2. Не обмежуючи загальностi, можемо вважати, щоα1 i β1 — коренi многочленiв g(x) i gσ(x) вiдповiдно. За лемою проєдинiсть простого алгебраїчного розширення iснує iзоморфiзм ψ полiвP1(α1) i P2(β1), звуження якого на P1 збiгається з σ i ψ(α1) = β1. Затеоремою Безу многочлен f(x) дiлиться на x−α1 над полем P1(α1), тобтоf(x) = (x − α1)h(x) для деякого многочлена h(x) ∈ P1(α1)[x]. Застосо-вуючи iзоморфiзм ψ, звiдси отримаємо рiвнiсть fψ(x) = (x − αψ1 )hψ(x),тобто fσ(x) = (x − β1)hψ(x), де hψ(x) ∈ P2(β1)[x]. Тодi поля L1 i L2

будуть полями розкладу многочленiв h(x) i hψ(x), як многочленiв надполями P1(α1) i P2(β1) вiдповiдно. Застосувавши до цих полiв розкладуприпущення iндукцiї, отримаємо необхiдне твердження.

Звiдси вiдразу випливає

Теорема 103 (про єдинiсть поля розкладу). Нехай P — поле, f(x) ∈P [x], deg f > 0. Довiльнi два поля розкладу многочлена f iзоморфнi,причому мiж ними можна встановити такий iзоморфiзм, при якомувсi елементи поля P будуть нерухомими.

Для доведення потрiбно застосувати попередню теорему для тотожногоавтоморфiзму поля P .

95 Алгебраїчно замкненi поля

Означення 114. Поле називається алгебраїчно замкненим, якщо коженмногочлен додатного степеня над цим полем має в ньому корiнь.

Далеко не кожне поле є алгебраїчно замкненим (жодне просте поле неє алгебраїчно замкненим). Тому природним є питання про iснування алге-браїчно замкнених розширень заданого поля. В зв’язку з цим вводиться

Означення 115. Алгебраїчне розширення L поля P називається алге-браїчним замиканням поля P , якщо воно є алгебраїчно замкненим.

i доводиться

288

Теорема 104 (Штейнiца). Для довiльного поля iснує, причому єдине зточнiстю до iзоморфiзму, алгебраїчне замикання цього поля.

Алгебраїчне замикання поля P буде, в певному розумiннi, макси-мальним серед алгебраїчних розширень P .

Умова алгебраїчної замкненостi поля може бути переформульованатакож в iнших термiнах:

Теорема 105. Для довiльного поля P такi умови є еквiвалентними:

1) Поле P є алгебраїчно замкненим.

2) Поле P дорiвнює своєму алгебраїчному замиканню.

3) Полем розкладу довiльного многочлена над P є саме поле P .

4) Незвiдними многочленами над P є лише многочлени першогостепеня.

5) Кожне алгебраїчне розширення поля P збiгається з самим P .

Доведення легко випливає з вiдповiдних означень.Доведемо тепер основну теорему алгебри, яка, враховуючи введене

означення, може бути сформульована так:

Теорема 106. Поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим.

Доведення. Нехай f(x) — многочлен степеня n > 0 з комплекснимикоефiцiєнтами. Не обмежуючи загальностi, можемо вважати, що старшийкоефiцiєнт f дорiвнює 1, тобто

f(x) = xn + a1xn−1 + . . .+ an−1x+ an

для деяких a1, . . . , an ∈ C.Розглянемо спочатку випадок, коли всi коефiцiєнти многочлена f(x)

є дiйсними i покажемо, що тодi вiн має комплексний корiнь. Число n

однозначно записується у виглядi 2k ·m, де k ≥ 0, а m — непарне число.Проведемо iндукцiю за числом k.

289

База iндукцiї, k = 0. У цьому випадку f(x) — многочлен непарногостепеня з дiйсними коефiцiєнтами. Покажемо, що вiн має навiть дiйснийкорiнь. Функцiя, визначена многочленом f на множинi R, є неперервноюна усiй областi визначення. Тому для iснування дiйсного кореня у много-члена f досить показати, що визначена ним функцiя набуває як додатних,так i вiд’ємних значень. Нехай натуральне число C задовольняє нерiвностi

C > max|a1|, . . . , |an|.

Тодi для довiльного дiйсного числа r такого, що |r| − 1 > C, маємо нерiв-ностi

|a1rn−1 + . . .+ an−1r + an| ≤ |a1||r|n−1 + . . .+ |an−1||r|+ |an| <

C · (|r|n−1 + . . .+ |r|+ 1) =· (|r|n − 1)

|r| − 1<|r| − 1

· |r|n < |r|n−1.

Тому для довiльного r, яке задовольняє нерiвностi r− 1 > C, звiдси отри-муємо

f(r) = rn +a1rn−1 + . . .+an−1r+an ≥ rn−|a1r

n−1 + . . .+an−1r+an| > 0

i, враховуючи непарнiсть числа n,

f(−r) = (−r)n + a1(−r)n−1 + . . .+ an−1(−r) + an ≤−rn+|a1||r|n−1+. . .+|an−1||r|+|an| = −(rn−(|a1||r|n−1+. . .+|an−1||r|+|an|)) < 0.

Тепер за теоремою про промiжне значення неперервної функцiї многочленf набуватиме значення 0 в деякiй точцi вiдрiзка [−r, r], на кiнцях якогойого значення мають протилежнi знаки.

Iндуктивний крок, нехай k > 0. Розглянемо поле розкладу P много-члена f . Випишемо усi коренi цього многочлена з урахуванням їх кратно-стей:

α1, . . . , αn.

Тодi P = R(α1, . . . , αn). Зафiксуємо дiйсне число r i розглянемо n(n−1)2

елементiв поля P :

γij = αiαj + r(αi + αj), 1 ≤ i < j ≤ n.

290

Визначимо многочлен g(x) ∈ P [x] рiвнiстю

g(x) =∏

1≤i<j≤n

(x− γij)

i покажемо, що всi його коефiцiєнти лежать в полi R. Справдi, затеоремою Вiєта кожен його коефiцiєнт є значенням симетричного много-члена з дiйсними коефiцiєнтами вiд коренiв многочлена g, тобто вiделементiв γij , 1 ≤ i < j ≤ n. Але згiдно означення цих елементiв, вiнбуде також i значенням симетричного многочлена з дiйсними коефiцi-єнтами вiд елементiв α1, . . . , αn (при довiльнiй перестановцi елементiв αелементи γ також певним чином переставляються). За основною теоремоюпро симетричнi многочлени кожен такий симетричний многочлен є много-членом вiд елементарних симетричних многочленiв з дiйсними коефiцiєн-тами. Значення цих елементарних симетричних многочленiв вiд елементiвα1, . . . , αn за теоремою Вiєта — це, з точнiстю до знака, коефiцiєнтимногочлена f , тобто дiйснi числа. Отже, кожен коефiцiєнт многочленаg є значенням деякого многочлена з дiйсними коефiцiєнтами вiд дiйснихчисел, тобто є дiйсним. Крiм того, для степеня многочлена g маємо:

deg g =n(n− 1)

2=

2km(2km− 1)

2= 2k−1(m(2km− 1)),

де число m(2km − 1) є непарним. Отже, до многочлена g ∈ R[x] можназастосувати припущення iндукцiї. За припущенням iндукцiї, многочлен gмає комплексний корiнь, тобто принаймнi один з елементiв γij , 1 ≤ i <

j ≤ n, є комплексним числом. Розглянемо тепер якi-небудь n(n−1)2 + 1

попарно рiзних дiйсних чисел, для кожного з них утворимо свiй набiрелементiв γij , 1 ≤ i < j ≤ n, i виберемо в ньому дiйсний елемент. Запринципом Дiрiхле тодi знайдуться iндекси i, j, 1 ≤ i < j ≤ n, якi будутьiндексами дiйсного елемента γij для двох рiзних дiйсних чисел r1 та r2.Таким чином, отримаємо комплекснi числа

γ′ij = αiαj + r1(αi + αj) i γ′′ij = αiαj + r2(αi + αj).

Тодi полю комплексних чисел будуть належати також елементи

αi + αj =γ′ij − γ′′ijr1 − r2

i αiαj = γ′ij − r1(αi + αj).

291

Таким чином, коефiцiєнти многочлена другого степеня

x2 − (αi + αj)x+ αiαj

є комплексними. Тому його коренi також комплекснi. Але його коренi рiвнiαi i αj , звiдки отримуємо, що коренi αi i αj многочлена f є комплексними,що й потрiбно було довести.

Тепер перейдемо до розгляду загального випадку, коли коефiцiєнтимногочлена f(x) — комплекснi. Визначимо многочлен f(x), коефiцiєнтиякого є комплексними спряженими до вiдповiдних коефiцiєнтiв много-члена f . Нехай F (x) = f(x) · f(x). За властивостей спряжених компле-ксних чисел випливає, що всi коефiцiєнти многочлена F є дiйсними.Згiдно доведеного вище вiн має комплексний корiнь α, тобто має мiсцерiвнiсть

F (α) = f(α) · f(α) = 0.

Оскiльки в полi нема нетривiальних дiльникiв нуля, то з останньоїрiвностi випливає, що α — корiнь многочлена f(x), або α — корiнь много-члена f(x). В другому випадку маємо

0 = f(α) = f( ¯α) = f(α),

тобто число α є коренем многочлена f(x). В обох випадках цей многочленмає комплексний корiнь. Теорему доведено.

З основної теореми алгебри тепер випливає, що алгебраїчне замиканняполiв дiйсних та комплексних чисел рiвне полю комплексних чисел.

Твердження 85. Алгебраїчним замиканням поля рацiональних чисел єполе алгебраїчних чисел A.

Доведення. За означенням, поле A є алгебраїчним розширенням полярацiональних чисел. Покажемо, що A алгебраїчно замкнене. Розглянемодовiльний многочлен f(x) ∈ A[x] i нехай α — який-небудь його корiнь.Тодi розширення A(α) поля A буде алгебраїчним, а за теоремою про вежуалгебраїчних розширень воно буде алгебраїчним розширенням i поля Q.Отже, α є алгебраїчним елементом над Q, тобто належить полю A, що йпотрiбно було довести.

292

96 Скiнченнi поля

Будова скiнченних полiв описується такими двома теоремами.

Теорема 107 (про мультиплiкативну групу скiнченного поля). Мульти-плiкативна група довiльного скiнченного поля є циклiчною.

Доведення. Нехай F — скiнченне поле, F ∗ — його мультиплiкативнагрупа i |F ∗| = n. Всi елементи цiєї групи мають скiнченний порядок,який є дiльником числа n. Тому визначене найменше натуральне числоk таке, що кожен елемент групи F ∗ в k-тому степенi дорiвнює 1. Цеозначає, що кожен ненульовий елемент поля F буде коренем многочленаxk − 1. Оскiльки многочлен не може мати бiльше коренiв, нiж йогостепiнь, то звiдси отримуємо рiвнiсть k = n. Обчислимо тепер число k

по-iншому. Група F ∗ є скiнченною абелевою групою i тому розкладаєтьсяв прямий добуток прiмарних циклiчних пiдгруп. Для кожного простогодiльника числа n виберемо прiмарний множник максимального порядку.Тодi число k буде дорiвнювати добутку порядкiв усiх вибраних множникiв.Оскiльки виконується рiвнiсть k = n, то це означає, що в прiмарномурозкладi групи F ∗ нема двох множникiв, якi вiдповiдають одному й томуж простому числу, тобто ця група є прямим добутком циклiчних пiдгруппопарно взаємно простих порядкiв. Отже, група F ∗ циклiчна.

Теорема 108 (про класифiкацiю скiнченних полiв). Кiлькiсть елементiвдовiльного скiнченного поля дорiвнює pn, де p — його характеристика,а n — деяке натуральне число. Для довiльних простого числа p i нату-рального числа n iснує єдине з точнiстю до iзоморфiзму скiнченне поле,яке мiстить pn елементiв.

Доведення. Нехай F — скiнченне поле, p — його характеристика. Тодiполе F є розширенням свого простого пiдполя P , iзоморфного Zp, причомускiнченним. Нехай [F : P ] = n. Тодi кожен елемент F однозначно визнача-ється впорядкованим набором iз n елементiв поля P — своїми координа-тами у якомусь фiксованому базисi F над P . Але кiлькiсть таких наборiвдорiвнює pn, звiдки й отримуємо, що кiлькiсть елементiв поля F дорiвнюєpn.

293

Зафiксуємо тепер просте число p i натуральне n. Нехай q = pn. Пока-жемо спочатку, що iснує поле з q елементiв. Розглянемо просте поле Zpi многочлен f(x) = xq − x ∈ Zp[x]. Нехай F — поле розкладу цьогомногочлена. Воно скiнченне, оскiльки є скiнченним розширенням скiн-ченного поля. Позначимо символом K множину усiх коренiв многочленаf i покажемо, що K є пiдполем поля F . Для цього досить перевiрити, щомножина K замкнена вiдносно додавання i множення. Розглянемо довiльнiкоренi α, β ∈ K. Тодi

(α+ β)q = αq +

q−1∑k=1

q!

k! · (q − k)!αkβq−k + βq = αq + βq = α+ β,

оскiльки коефiцiєнт q!k!·(q−k)! дiлиться на p, а тому дорiвнює 0 в полi

характеристики p, 1 ≤ k ≤ q − 1. Крiм того,

(α · β)q = αq · βq = α · β.

Отже, елементи α + β i α · β також є коренями многочлена f . Такимчином, множина K є пiдполем поля F . Крiм того, K мiстить усi коренiмногочлена f i лежить у його полi розкладу. Тому K = F . Знайдемо теперкiлькiсть елементiв у полi F . Для цього обчислимо похiдну многочленаf(x):

f ′(x) = qxq−1 − 1 = −1.

Звiдси отримуємо, що многочлен f(x) взаємно простий зi своєю похiдною,тобто вiн не має кратних коренiв. Отже, кiлькiсть його коренiв дорiвнюєйого степеневi, тобто числу q. Таким чином, поле F є полем iз q елементiв,що й потрiбно було довести.

Доведемо тепер, що поле iз q елементiв єдине з точнiстю до iзомор-фiзму. Нехай F — поле, |F | = q. Його просте пiдполе P iзоморфне полюZp. Розглянемо многочлен xq − x ∈ P [x]. Мультиплiкативна група поля Fмає порядок q − 1. Тому кожен ненульовий елемент α ∈ F задовольняєрiвностi αq−1 = 1, тобто рiвностi αq = α. Тому всi елементи поля F

є коренями многочлена xq − x. Отже, поле F є полем розкладу цьогомногочлена, а тому за теоремою про єдинiсть поля розкладу визначенеоднозначно з точнiстю до iзоморфiзму. Теорему доведено.

294

Єдине з точнiстю до iзоморфiзму скiнченне поле з pn елементiв нази-вають також полем Галуа i позначають GF(pn).

97 Сепарабельнi розширення полiв

Означення 116. Розширення L поля P називається сепарабельним,якщо воно алгебраїчне i для кожного елемента з поля L його мiнi-мальний многочлен не має кратних коренiв.

Не кожне алгебраїчне розширення буде сепарабельним. Проте увипадку, коли кожен незвiдний многочлен над P не має кратних коренiв,всi алгебраїчi розширення поля P є сепарабельними. Зокрема, сепара-бельними будуть довiльнi алгебраїчнi розширення полiв характеристики0. Справдi, в цьому випадку кожен незвiдний многочлен f не має кратнихкоренiв, бо вiн є взаємно простими зi своєю похiдною f ′, оскiльки їїстепiнь на одиницю менший за степiнь f .

Твердження 86. Нехай розширення L поля P є сепарабельним. Тодiдовiльне промiжне поле F є сепарабельним розширенням поля P .

Доведення. Нехай α ∈ F . Як елемент алгебраїчного розширення L поляP вiн буде алгебраїчним над P . Його мiнiмальний многочлен над P немає кратних коренiв за припущенням. Отже, розширення F ⊃ P є сепа-рабельним.

Поняття сепарабельного розширення дозволяє видiляти тi скiнченнiрозширення полiв, якi є простими. А саме, має мiсце

Теорема 109 (про примiтивний елемент). Кожне сепарабельне скiнченнерозширення поля є простим.

Доведення. Нехай скiнченне розширення L поля P є сепарабельним.Зауважимо, що у випадку, коли поле P є скiнченним, в якостi примi-тивного елемента можна взяти твiрний елемент мультиплiкативної групиполя L. Тому далi будемо розглядати лише випадок, коли поле L нескiн-ченне.

295

Зi скiнченностi розширення випливає, що iснують натуральне число kта елементи α1, . . . , αk такi, що виконана рiвнiсть L = P (α1, . . . , αk) (вякости цих елементiв можна взяти який-небудь базис L над P ). Доведемоiндукцiєю за k, що L = P (β) для деякого β ∈ L.

База iндукцiї. Випадок k = 1 є тривiальним — необхiдне твердженнявиконується.

Iндуктивний крок. Припустимо, що для розширення P ⊂P (α1, . . . , αk−1) iснує примiтивний елемент, тобто P (α1, . . . , αk−1) = P (α)

для деякого α ∈ L. Тодi L = P (α, αk). Нехай f(x), g(x) ∈ P [x] — мiнi-мальнi многочлени елементiв α i αk вiдповiдно. Позначимо коренi цихмногочленiв символами γ1, . . . , γr i δ1, . . . , δs вiдповiдно. Числа r i s бiльшiза 1, бо в iншому випадку твердження було б доведеним. Умова сепара-бельностi означає, що серед цих коренiв немає кратних. Можемо вважати,що α = γ1, а αk = δ1.

Розглянемо скiнченну кiлькiсть рiвнянь

γ1 − δ1x = γi − δjx, 1 ≤ i ≤ r, 2 ≤ j ≤ s.

Виберемо в полi P елемент c, який не буде розв’язком жодного зних. Такий вибiр можливий внаслiдок нескiнченностi поля P . Покажемотепер, що елемент β = α − cαk буде примiтивним елементом, тобтоP (β) = P (α, αk). Оскiльки β ∈ P (α, αk), то P (β) ⊂ P (α, αk). Залиша-ється довести включення в iнший бiк.

Покажемо, що αk ∈ P (β). Елемент αk є коренем многочлена g(x) ∈P [x]. Розглянемо многочлен h(x) = f(β + cx). Тодi h(x) ∈ P (β)[x]. Обчи-слимо значення цього многочлена вiд αk:

h(αk) = f(β + cαk) = f(α− cαk + cαk) = f(α) = 0.

Отже, αk також є коренем многочлена h(x). За теоремою Безу многочленx− αk є спiльним дiльником многочленiв g(x), h(x) ∈ P (β)[x]. Покажемо,що вiн є їх найбiльшим спiльним дiльником. Для цього досить показати,що жоден iнший корiнь многочлена g(x) не буде коренем h(x). Справдi,для довiльного j, 2 ≤ j ≤ s з рiвностей

h(δj) = f(β + cδj) = f(α− cαk + cδj) = 0

296

вiдразу випливає рiвнiсть

α− cαk + cδj = γi

для деякого i, 1 ≤ i ≤ r, що суперечить вибору елемента c. Такимчином, многочлен x − αk є найбiльшим спiльним дiльником многочленiвg(x), h(x) ∈ P (β)[x]. Тому iснують многочлени M(x), N(x) ∈ P (β)[x] такi,що

x− αk = M(x)g(x) +N(x)h(x).

Але всi коефiцiєнти многочленiв з правої частини цiєї рiвностi належатьполю P (β). Тому цьому полю належать i коефiцiєнти многочлена з лiвоїчастини, тобто αk ∈ P (β). Звiдси α = β + cαk ∈ P (β). Отже, P (α, αk) ⊂P (β). Теорему доведено.

98 Нормальнi розширення полiв

Назвемо алгебраїчнi над полем F елементи α i β спряженими над цимполем, якщо вони є коренями одного й того ж незвiдного над полем F

многочлена. Таким чином, спряженi елементи — це такi елементи, у якихмiнiмальнi многочлени рiвнi. З означення зрозумiло, що кожен елемент зполя F спряжений лише сам з собою.

Приклад 23. Комплекснi числа z1 i z2, як алгебраїчнi елементи надполем R є спряженими тодi й лише тодi, коли вони є коренями одногой того ж незвiдного над R многочлена. Це можливо тодi й лише тодi,коли або цей многочлен є многочленом першого степеня, тобто z1, z2 ∈R i z1 = z2, або вiн є многочленом другого степеня, тобто z1 = z2. Вобох випадках одержуємо, що z1 = z2. Таким чином, введене поняттяспряженостi узагальнює поняття спряженостi для комплексних чисел.

Введемо тепер одне з ключових понять теорiї Галуа.

Означення 117. Розширення L поля P називається нормальним, якщовоно скiнченне i для довiльного елемента з поля L всi спряженi з нимелементи над P лежать у полi L.

297

Нормальнi розширення полiв можна охарактеризувати i в iншихтермiнах. А саме

Теорема 110. Нехай поле L є скiнченним розширенням поля P . Тодiтакi умови є еквiвалентними:

1) поле L є нормальним розширенням поля P ;

2) якщо незвiдний над полем P многочлен має в полi L корiнь, то вiнрозкладається в L на лiнiйнi множники;

3) поле L є полем розкладу деякого многочлена f(x) ∈ P [x].

Доведення. 1) ⇒ 2). Якщо незвiдний над P многочлен f(x) має в полi Lкорiнь α, то всi iншi коренi цього многочлена є спряженими з α, а томутакож належать полю L. Отже, f(x) буде розкладатися в L на лiнiйнiмножники.

2) ⇒ 3). Оскiльки розширення L поля P є скiнченним, то вонобуде скiнченно породженим алгебраїчним, тобто iснують алгебраїчнiелементи α1, . . . , αn ∈ L такi, що L = P (α1, . . . , αn). Нехай много-члени f1(x), . . . , fn(x) ∈ P [x] є мiнiмальними для елементiв α1, . . . , αnвiдповiдно. Усi вони незвiднi i тому, згiдно припущення, розкладаю-ться в полi L на лiнiйнi множники. Розглянемо їх добуток, многочленg(x) = f1(x) · . . . · fn(x). Вiн також буде розкладатися в полi L на лiнiйнiмножники, тобто поле розкладу цього многочлена мiститься в L. З iншогобоку, поле L одержується приєднанням до P деяких коренiв многочленаf(x), тобто воно лежить в полi розкладу цього многочлена. Отже, поле Lрiвне полю розкладу многочлена f(x), що i потрiбно було показати.

3) ⇒ 1). Якщо поле L є полем розкладу многочлена f(x) ∈ P [x] iα1, . . . , αn — всi коренi многочлена f(x), то L = P (α1, . . . , αn). Тому длядовiльного елемента α ∈ L iснує многочлен вiд n змiнних g(x1, . . . , xn) ∈P [x1, . . . , xn] такий, що

α = g(α1, . . . , αn).

Для довiльної пiдстановки π ∈ Sn нехай

gπ(x1, . . . , xn) = g(xπ(1), . . . , xπ(n)).

298

ЯкщоSn = π1, . . . , πn!, причому π1 = id,

то для довiльної пiдстановки π ∈ Sn матимемо рiвнiсть

gπ1 , . . . , gπn! = gπ1π, . . . , gπn!π.

Це означає, що кожен симетричний многочлен вiд n! змiнних при пiдста-новцi в нього многочленiв gπ1

, . . . , gπn!буде також симетричним много-

членом вiд змiнних x1, . . . , xn. Розглянемо многочлен

h(x) =

n!∏i=1

(x− gπi(α1, . . . , αn)).

За теоремою Вiєта коефiцiєнти многочлена h(x) є значеннями симе-тричних многочленiв вiд його коренiв gπi(α1, . . . , αn) (1 ≤ i ≤ n!),тобто, враховуючи попереднє зауваження, вони є значеннями симетри-чних многочленiв вiд α1, . . . , αn. За основною теоремою про симетричнiмногочлени це означає, що кожен коефiцiєнт многочлена G(x) є значе-нням деякого многочлена вiд елементарних симетричних многочленiв вiдα1, . . . , αn, тобто, за теоремою Вiєта, застосованою до многочлена f(x),вiн є значенням деякого многочлена вiд коефiцiєнтiв многочлена f(x). Цеозначає, що всi коефiцiєнти многочлена G(x) належать полю P .

Оскiльки α = gπ1(α1, . . . , αn), то α є одним з коренiв многочлена h(x).

Таким чином, многочлени f(x) i h(x) мають спiльний корiнь, тобто вонине є взаємно простими. Тепер з незвiдностi f(x) випливає, що f(x)|h(x).Оскiльки мiнiмальний многочлен α визначений однозначно з точнiстю доасоцiйованостi, то всi елементи, спряженi з α, є коренями многочленаf(x). Отже, вони коренями многочлена h(x). Всi ж коренi h(x), за озна-ченням цього многочлена, належать полю L. Таким чином, всi елементи,спряженi з α, належать полю L. Тому L є нормальним розширенням P .Теорему доведено.

299

99 Група Галуа

Автоморфiзмом поля F називається iзоморфiзм цього поля в себе. Всiавтоморфiзми поля F утворюють групу вiдносно суперпозицiї, яку нази-вають групою автоморфiзмiв поля F i позначають AutF .

Нехай тепер поле F є розширенням поля P . Автоморфiзмом поля Fнад P називають такий автоморфiзм F , при якому кожен елемент поля Pзалишається нерухомим. Всi автоморфiзми F над P утворюють пiдгрупу вгрупi AutF . Її називають групою Галуа поля F над полем P i позначаютьGal(F, P ). Таким чином,

Gal(F, P ) = ϕ ∈ AutF : ϕ(α) = α, α ∈ P.

Для кожної пiдгрупи H групи Галуа Gal(F, P ) визначимо її множинунерухомих точок

FH = α ∈ F : ϕ(α) = α,ϕ ∈ Gal(F, P ).

З означення випливає, що множина FH є полем, причому P ⊂ FH ⊂ F .Поле FH називається полем нерухомих точок пiдгрупи H.

Наведемо основнi властивостi груп Галуа.

Твердження 87. Нехай поле F є розширенням поля P i α ∈ F — алге-браїчний над P елемент. Тодi для довiльного ϕ ∈ Gal(F, P ) елементϕ(α) є спряженим з α.

Доведення. Нехай многочлен f(x) — анулюючий для α i

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an−1x+ an, a0, a1, . . . , an−1, an ∈ P.

Оскiльки пiд дiєю ϕ всi елементи поля P нерухомi i ϕ зберiгає множенняi додавання, то

f(ϕ(α)) = a0(ϕ(α))n + a1(ϕ(α))n−1 + . . .+ an−1(ϕ(α)) + an =

ϕ(a0)(ϕ(αn)) + ϕ(a1)(ϕ(αn−1)) + . . .+ ϕ(an−1)(ϕ(α)) + ϕ(an) =

ϕ(a0αn + a1α

n−1 + . . .+ an−1α+ an) = ϕ(f(α)) = ϕ(0) = 0.

300

Отже, многочлен f(x) буде також анулюючим i для ϕ(α). Зокрема, мiнi-мальний многочлен для α буде також мiнiмальним i для ϕ(α). Звiдсивипливає, що елементи α i ϕ(α) спряженi.

Твердження 88. Нехай поле F є скiнченним розширенням поля P . Якщовiдображення ϕ : F → F зберiгає додавання i множення, а всi елементиполя P нерухомi пiд дiєю ϕ, то ϕ ∈ Gal(F, P ).

Доведення. Досить довести, що вiдображення ϕ є бiєктивним. З умовивипливає, що ϕ є лiнiйним оператором на векторному просторi F надполем P . Оскiльки цей векторний простiр є скiнченновимiрним, тобiєктивнiсть лiнiйного оператора ϕ рiвносильна його невиродженостi,тобто тривiальностi його ядра. Але для довiльного елемента a ∈ F ∗ iснуєb ∈ L∗ такий, що ab = 1. Тому ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab) = ϕ(1) = 1, звiдкивипливає, що ϕ(a) 6= 0. Отже, ядро ϕ мiстить лише нульовий елемент, щой потрiбно було показати.

Твердження 89. Нехай елемент α є алгебраїчним над полем P . Тодi

|Gal(P (α), P )| ≤ [P (α) : P ].

Доведення. Нехай m(x) ∈ P [x] — мiнiмальний многочлен елемента α.Розглянемо довiльний автоморфiзм ϕ ∈ Gal(P (α), P ). За твердженням 87елемент ϕ(α) також є коренем многочлена m(x).

Покажемо тепер, що коли для автоморфiзмiв ϕ1, ϕ2 ∈ Gal(P (α), P )

виконується рiвнiсть ϕ1(α) = ϕ2(α), то вони рiвнi. Звiдси буде випливати,що кiлькiсть елементiв у групi Галуа Gal(P (α), P ) не бiльша за степiньмногочлена m(x), а тому, за теоремою про будову простого розширення, неперевищує степiнь розширення P (α) над P . Справдi, якщо ϕ1(α) = ϕ2(α),то (ϕ−1

2 ϕ1)(α) = α, звiдки довiльний степiнь елемента α є нерухомим пiддiєю суперпозицiї ϕ−1

2 ϕ1. Оскiльки степенi елемента α утворюють базисP (α) над P , то це означає, що ϕ−1

2 ϕ1 є тотожним вiдображенням поляP (α). Звiдси ϕ1 = ϕ2, що й потрiбно було довести.

Назвемо розширення F поля P розширенням Галуа, якщо вононормальне i сепарабельне. Зокрема, кожне нормальне розширення поля

301

характеристики 0 буде розширенням Галуа. Для групи Галуа розширенняГалуа має мiсце

Теорема 111 (про порядок групи Галуа). Порядок групи Галуа розши-рення Галуа дорiвнює степеневi цього розширення.

Доведення. Нехай F є розширенням Галуа поля P i n = [F : P ]. Тодiце розширення скiнченне i сепарабельне. За теоремою про примiтивнийелемент iснує α ∈ F такий, що F = P (α). Застосувавши твердження 89,отримаємо нерiвнiсть

|Gal(F, P )| ≤ n.

Покажемо, що в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть. Для цього вкажемоn автоморфiзмiв поля F над P . Нехай m(x) ∈ P [x] — мiнiмальний много-член елемента α. Тодi його степiнь дорiвнює n i вiн незвiдний над P .Оскiльки розширення F поля P є нормальним, то всi коренi многочленаm(x) лежать у полi F . З сепарабельностi цього розширення випливає, щовсi цi коренi є коренями кратностi 1. Позначимо їх α1, . . . , αn. Для довiль-ного i, 1 ≤ i ≤ n, тепер визначимо вiдображення ϕi : F → F за такимправилом: для довiльного елемента β ∈ F покладемо

ϕi(β) = fβ(αi),

де fβ(x) ∈ P [x] — такий многочлен степеня < n, що fβ(α) = β.Зауважимо, що з теореми про будову простих розширень випливає, щовказаний многочлен iснує i єдиний, а тому таке означення є коректним. Зозначення ϕi вiдразу випливає, що всi елементи поля P нерухомi пiд дiєюцього вiдображення. Крiм того, для довiльних елементiв β, γ ∈ F маєморiвнiсть fβ(x) + fγ(x) = fβ+γ(x). Тому

ϕi(β) + ϕi(γ) = fβ(αi) + fγ(αi) = fβ+γ(αi) = ϕi(β + γ)

i ϕi зберiгає дiю додавання. Подiлимо добуток fβ(x) · fγ(x) на m(x) зостачею:

fβ(x) · fγ(x) = q(x)m(x) + r(x).

Пiдставивши в отриману рiвнiсть α, отримаємо

β · γ = fβ(α) · fγ(α) = q(α)m(α) + r(α) = r(α),

302

тобто fβγ(x) = r(x). А тепер, пiдставивши αi, матимемо

ϕi(β)·ϕi(γ) = fβ(αi)·fγ(αi) = q(αi)m(αi)+r(αi) = r(αi) = fβγ(αi) = ϕi(β·γ).

Отже, ϕi зберiгає множення. За твердженням 88 це означає, що ϕi ∈Gal(F, P ). Так як у многочлена m(x) кiлькiсть коренiв рiвна n, то звiдсивипливає, що й автоморфiзмiв у групi Галуа не менше n. Теорему дове-дено.

100 Вiдповiднiсть Галуа

Спочатку доведемо одну важливу властивiсть розширень Галуа

Теорема 112. Нехай поле F є розширенням Галуа поля P , а поле Lтаке, що P ⊂ L ⊂ F . Тодi поле F є розширенням Галуа поля L, длядовiльного α ∈ F такого, що F = P (α), виконується також F = L(α)

i |Gal(F,L)| = [F : L].

Доведення. Доведемо спочатку, що F є сепарабельним розширенням L.Нехай α ∈ F . Тодi елемент α алгебраїчний над P , а тому i над йогорозширенням L. Нехай f(x) — мiнiмальний многочлен цього елементанад полем P , а g(x) — його мiнiмальний многочлен над полем L. Алемногочлен f(x) можна розглядати i як многочлен над L. Тому, як анулю-ючий для α, вiн буде дiлитися на многочлен g(x) — мiнiмальний для αнад полем L. Оскiльки розширення P ⊂ F є сепарабельним, то многочленf(x) не має кратних коренiв. Тому i його дiльник, многочлен g(x) не можемати кратних коренiв. Отже, розширення F ⊃ L є сепарабельним.

Тепер доведемо, що F є нормальним розширенням L. Оскiльки розши-рення P ⊂ F скiнченне i сепарабельне, то за теоремою про примiтивнийелемент iснує такий елемент α ∈ F , що F = P (α). Виберемо довiльнийтакий елемент. Якщо f(x) ∈ P [x] — мiнiмальний многочлен для α, то затеоремою про характеризацiю нормальних розширень вiн розкладаєтьсянад полем F на лiнiйнi множники, тобто це поле є його полем розкладу.Розглянемо тепер многочлен f(x), як многочлен над полем L. Тодi в полiL(α) вiн розкладається на лiнiйнi множники. Оскiльки α — один з коренiв

303

цього многочлена, то L(α) буде його полем розкладу. Але L(α) ⊂ F , боL ⊂ F i α ∈ F . З того ж, що P ⊂ L, випливає F = P (α) ⊂ L(α). Отже,F = L(α), звiдки випливає друге твердження теореми. Таким чином, полеF є полем розкладу многочлена f(x) ∈ L(x). Це й означає, що розширенняF ⊃ L є нормальним, а вiдтак розширенням Галуа. Нарештi, останнєтвердження теореми про порядок групи Галуа Gal(F,L) тепер випливає зтеореми 111.

Тепер можемо довести основну теорему класичної теорiї Галуа.

Теорема 113 (основна теорема теорiї Галуа). Нехай поле F є розшире-нням Галуа поля P . Тодi мiж множиною промiжних полiв цього розши-рення i множиною пiдгруп його групи Галуа iснує взаємно однозначнавiдповiднiсть, яка обертає вiдношення включення.

Доведення. Для довiльної пiдгрупи H групи Галуа G = Gal(F, P ) її поленерухомих точок FH буде промiжним пiдполем розширення P ⊂ F . Визна-чимо вiдображення Φ з множини пiдгруп групи G у множину промiжнихпiдполiв розширення P ⊂ F , поставивши у вiдповiднiсть кожнiй пiдгрупiїї поле нерухомих точок:

Φ(H) = FH , H < G.

З того, що H1 < H2 < G випливає, що FH1 ⊃ FH2 , тобто вiдображенняΦ обертає вiдношення включення.

З iншого боку, для довiльного промiжного поля L, тобто такого поля,що P ⊂ L ⊂ F , розглянемо групу Галуа Gal(F,L) розширення L ⊂ F .Оскiльки P ⊂ L, то кожен елемент цiєї групи буде також залишатинерухомими всi елементи поля P , тобто група Gal(F,L) буде пiдгрупоюгрупи G. Визначимо тепер вiдображення Ψ з множини промiжних пiдполiврозширення P ⊂ F у множину пiдгруп групи G, поставивши у вiдповiд-нiсть кожному промiжному пiдполю групу Галуа розширення F цьогополя:

Ψ(L) = Gal(F,L), P ⊂ L ⊂ F.

З включень P ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ F випливає, що Gal(F,L1) ⊃ Gal(F,L2),тобто вiдображення Ψ також обертає вiдношення включення.

304

Залишилось показати, що визначенi вiдображення Φ та Ψ є взаємнооднозначними. Для цього досить показати, що обидвi суперпозицiї Ψ(Φ)

та Φ(Ψ) є тотожними вiдображеннями на своїх областях визначення.Розглянемо довiльну пiдгрупу H групи G. Доведемо, що Gal(F, FH) =

H. Оскiльки пiд дiєю кожного елемента з H всi елементи поля FH неру-хомi, то H < Gal(F, FH). Нехай |H| = m i

H = h1, . . . , hm.

Виберемо елемент α ∈ F — примiтивний елемент розширення P ⊂ F ,тобто такий елемент, що F = P (α). Визначимо многочлен

G(x) =

m∏i=1

(x− αhi).

Його коренями є елементи αhi , 1 ≤ i ≤ m. Пiд дiєю довiльного автомор-фiзму h ∈ H цi елементи переходять у елементи αhih, 1 ≤ i ≤ m. Алеправий зсув на групi є бiєкцiєю, тобто

H = h1h, . . . , hmh.

Звiдси випливає, що довiльний автоморфiзм з групи H переставляємiж собою коренi многочлена G(x). Тому значення довiльного симетри-чного многочлена вiд цих коренiв не змiнюється пiд дiєю такого авто-морфiзма. Отже, не змiнюються i значення елементарних симетричнихмногочленiв вiд цих коренiв. Тому, за теоремою Вiєта, не змiнюютьсяi коефiцiєнти многочлена G(x). Таким чином, коефiцiєнти цього много-члена належать полю FH . За теоремою 112 маємо рiвнiсть F = FH(α).При цьому, оскiльки многочлен G(x) ∈ FH [x] є анулюючим для α, то[F : FH ] ≤ degG = m. Але |Gal(F, FH)| = [F : FH ]. Отже, групаGal(F, FH) має порядок, не бiльший за m, i мiстить пiдгрупу H, порядокякої дорiвнює m. Звiдси випливає, що |Gal(F, FH)| = [F : FH ] = m iGal(F, FH) = H. Таким чином, суперпозицiя Ψ(Φ) є тотожним вiдобра-женням.

Розглянемо довiльне поле L таке, що P ⊂ L ⊂ F . За означеннямгрупи Галуа L ⊂ FGal(F,L). За теоремою про вежу скiнченних розширень

305

виконується рiвнiсть

[FGal(F,L) : L] · [F : FGal(F,L)] = [F : L].

За теоремою 112 [F : L] = |Gal(F,L). З iншого боку, застосувавши догрупи Gal(F,L), як пiдгрупи групи G, отриманi вище результати, отри-маємо, що |Gal(F,L)| = [F : FGal(F,L)]. Отже, [F,L] = [F : FGal(F,L)],звiдки [FGal(F,L) : L] = 1, тобто L = FGal(F,L). Таким чином, суперпо-зицiя Φ(Ψ) є тотожним вiдображенням. Теорему доведено.

Бiєктивне вiдображення двох частково впорядкованих множин, якеобертає вiдповiднi порядки називають вiдповiднiстю Галуа. Основнатеорема теорiї Галуа стверджує, що для розширення Галуа iснує вiдпо-вiднiсть Галуа мiж множинами промiжних полiв та пiдгруп групи Галуацього розширення.

Наслiдок 40. Для кожного розширення Галуа iснує лише скiнченнакiлькiсть промiжних полiв.

Доведення. Необхiдне твердження прямо випливає з основної теоремитеорiї Галуа, оскiльки множина промiжних полiв рiвнопотужна множинiпiдгруп групи Галуа. Але група Галуа скiнченна i тому має лише скiнченнечисло пiдгруп.

Теорема 114. Нехай поле F є розширенням Галуа поля P . Промiжнеполе L буде нормальним розширенням поля P тодi й лише тодi, колигрупа Gal(F,L) є нормальною пiдгрупою групи Gal(F, P ). Якщо розши-рення L ⊃ P є нормальним, то Gal(L,P ) ' Gal(F, P )/Gal(F,L).

Доведення. Нехай розширення L ⊃ P є нормальним. Визначимо вiдобра-ження f : Gal(F,L)→ Gal(L,P ), поклавши

f(ϕ) = ϕ|L, ϕ ∈ Gal(F, P ).

Таке означення є коректним, тобто ϕ|L ∈ Gal(L,P ) для ϕ ∈ Gal(F, P ),бо для довiльного α ∈ L елемент αϕ спряжений з ним над полем P i,внаслiдок нормальностi L над P , також належить полю L.

306

Вiдображення f є гомоморфiзмом груп, бо звуження суперпозицiїавтоморфiзмiв дорiвнює суперпозицiї їхнiх звужень. Його ядром є групаGal(F,L). Справдi, автоморфiзм ϕ ∈ Gal(F, P ) належить ядру f тодi йлише тодi, коли звуження ϕ|L є тотожним автоморфiзмом, тобто тодi йлише тодi, коли ϕ ∈ Gal(F,L). Оскiльки ядро гомоморфiзму є нормальноюпiдгрупою, то звiдси вiдразу отримуємо, що Gal(F,L) CGal(F, P ).

Порядок факторгрупи Gal(F, P )/Gal(F,L) дорiвнює вiдношеннюпорядкiв груп

|Gal(F, P )||Gal(F,L)|

,

яке, за теоремою про порядок групи Галуа, рiвне вiдношенню степенiврозширень

[F : P ]

[F : L].

А це вiдношення, за теоремою про вежу скiнченних розширень, дорiвнюєстепеневi [L : P ]. Отже, порядок факторгрупи Gal(F, P )/Gal(F,L)

дорiвнює степеневi розширення L ⊃ P . За теоремою про гомоморфiзмгруп, факторгрупа Gal(F, P )/Gal(F,L) iзоморфна образу гомоморфiзму f ,тобто деякiй пiдгрупi групи Галуа Gal(L,P ). Але розширення L ⊃ P будерозширенням Галуа (воно нормальне за припущенням i сепарабельне, якпромiжне поле сепарабельного розширення). Тому порядок групи ГалуаGal(L,P ) також дорiвнює степеневi розширення L ⊃ P . Це означає, що

Gal(F, P )/Gal(F,L) ' Gal(L,P ).

В iнший бiк. Припустимо, що для промiжного поля L група ГалуаGal(F,L) є нормальною пiдгрупою групи Галуа Gal(F, P ). Розглянемодовiльний елемент α ∈ L i покажемо, що кожен елемент β, спряжений зα над полем P , також належить L. Зауважимо, що з нормальностi розши-рення F ⊃ P випливає, що β ∈ F .

Для довiльних автоморфiзмiв ϕ ∈ Gal(F, P ) та ψ ∈ Gal(F,L) знормальностi Gal(F,L) в Gal(F, P ) випливає, що ϕψϕ−1 ∈ Gal(F,L).Тому

αϕψϕ−1

= α,

307

звiдкиαϕψ = αϕ.

Враховуючи означення групи Галуа i доведення основної теореми теорiїГалуа, звiдси отримуємо, що αϕ ∈ FGal(F,L) = L. Тому залишаєтьсядовести, що β = αϕ для деякого ϕ ∈ Gal(F, P ).

Розглянемо многочлен

G(x) =∏

ϕ∈Gal(F,P )

(x− αϕ).

Оскiльки правий зсув на групi є бiєкцiєю, то множина коренiв цьогомногочлена залишається iнварiантною пiд дiєю довiльного автоморфiзмуз Gal(F, P ), тобто вони переставляються пiд його дiєю. оскiльки значеннядовiльного симетричного многочлена вiд коренiв G(x) не змiнюється приперестановцi цих коренiв, то всi коефiцiєнти G(x) є нерухомими точкамипри дiї автоморфiзмiв з Gal(F, P ), тобто належать полю P . Отже, много-член G(x) ∈ P [x] i є анулюючим для α. Тому цей многочлен буде дiлитисяна мiнiмальний многочлен m(x) ∈ P [x] для α. Оскiльки пiд дiєю автомор-фiзмiв з групи Галуа елемент α переходить у спряжений до нього надполем P , то всi коренi G(x) є коренями m(x). Розкладемо тепер G(x)

на незвiднi множники. Користуючись єдинiстю розкладу та подiльнiстюG(x) на m(x), отримуємо, що G(x) є добутком деякого степеня много-члена m(x) на певнi незвiднi многочлени, не асоцiйованi з m(x). Але всiкоренi таких многочленiв повиннi бути коренями m(x), звiдки вiдразуотримуємо, що в G(x) не iснує незвiдних множникiв, вiдмiнних вiд m(x).Звiдси зокрема випливає, що множини коренiв m(x) та G(x) рiвнi. Звiдсивипливає необхiдне твердження. Теорему доведено.

308