VAN QUATERNIONENTOT VECTORANALYSEEen geschiedenis van

Green, Hamilton, Grassmann, Tait,

Maxwell, Heaviside, Gibbs,

&c.

Auteurs

Suzette Obbink, Tjebbe Hepkema, Maxim van Oldenbeek,Gerard van Beelen, Sander Beekhuis, Emile Broeders,Eveline Visee, Marianne Knoester, Lara van Zuilen,

Anne van Weerden (inclusief eindredactie)

Een essaybundel in het kader van hetSeminarium Ges hiedenis van de Ve toranalyseInstituut voor de Geschiedenis en Grondslagen

van de Wiskunde en NatuurwetenschappenMathematisch Instituut

Universiteit UtrechtAugustus 2014

Voorwoord

Green, Hamilton, Grassmann, Tait, Maxwell, Heaviside, Gibbs

Grote ontdekkingen zijn vaak het gevolg van jarenlange zoektochten naar aanleidingvan een vraag, waarna het moment van het vinden van de oplossing het Eureka-moment is.En wie daar ooit een glimp van heeft opgevangen weet dat het ‘Ik heb het gevonden’-gevoeloverweldigend is, het blijft de vinder bij zelfs als de ontdekking daarna toch tegenvalt.

Ook lijken grote ontdekkingen vaak eenvoudige geschiedenissen te hebben; de ontdek-ker was al jaren met het onderwerp bezig, en krijgt plotseling, na een enorme krachtsin-spanning in combinatie met een buitengewoon intellect, in een leven waarin hij, en steedsvaker ook zij, zich niets ontziend volkomen richtte op de Wetenschap, die ene gedachtewaardoor alle voorgaande gedachten ineens als de stukjes van een puzzel in elkaar passen.

Zo lijkt ook de geschiedenis van de ontwikkeling van de quaternionen tot de vector-analyse, het onderwerp van dit seminarium, een simpele geschiedens met een eenduidigbegin.

William Rowan Hamilton

Na een jarenlange zoektocht in een leven dat totaal gewijd is aan de wetenschap beleeftSir William Rowan Hamilton (1805-1865) 1 in 1843 een Eureka-moment. Hij was, zoalsveel wiskundigen in die tijd, op zoek naar ,,een hypercomplex getal dat gerelateerd isaan de driedimensionale ruimte op dezelfde manier waarop een regulier complex getalgerelateerd is aan de tweedimensionale ruimte. [ . . . ] Een dergelijk hypercomplex getal-systeem [respecteert] zowel associativiteit, commutativiteit, distributiviteit en de wet vanmoduli. [Het heeft] ook een unieke deler en een significante interpretatie in termen vande driedimensionale ruimte” 2.

1 Schetsen van leven en werk van Hamilton zijn voornamelijk te vinden in hoofdstuk 2, p. 14, hoofd-stuk 3, p. 31 en hoofdstuk 5, p. 80, en in hoofdstuk 6.

2 Hoofdstuk 2, p. 15. In dit hoofdstuk zijn ook de quaternionen als systeem beschreven.

Voorwoord iii

Wandelend met zijn vrouw langs het Royal Canal bij Dublin bedacht Hamilton plot-seling het systeem van de quaternionen. Hij schreef later, in een brief aan zijn jongstezoon 3, over zijn Eureka-moment dat het voelde alsof een elektrisch circuit zich plotselingsloot onder het uitstoten van een vonk, en die vonk ,,was de voorbode van vele jarenwerk”. Tot dat moment was logischerwijs aangenomen dat, waar de imaginaire getallenuit twee elementen bestaan, de uitbreiding uit drie elementen zou bestaan, maar plotselingrealiseerde hij zich dat alleen een systeem dat uit vier elementen bestaat een compleetsysteem kan zijn. Het enige dat hij ervoor moest opgeven is commutativiteit, en hoe voorde hand liggend dat nu ook mag klinken, toen was dat een hoogst ongebruikelijke stap 4.

Hamilton won een aantal prijzen voor zijn ontdekking en gaf in 1848 een serie vanvier ‘Lectures’. Onder de toehoorders was Arthur Cayley 5, die daarna, in 1845, heteerste artikel over quaternionen schreef, afgezien van Hamilton zelf 6. Hamilton wilde zijn‘Lectures’ uitbreiden tot een boek dat door studenten gebruikt zou kunnen worden, maarhet groeide uit tot een enorm boek van 873 pagina’s, ‘Lectures on Quaternions’ 7.

Hij schreef daarna een bijna even dik boek, ‘Elements of Quaternions’ 8, dat net nietaf was toen hij in 1865 op 60-jarige leeftijd stierf. Zijn oudste zoon zocht zijn papierenbij elkaar, inclusief de voorbereidingen voor de geplande maar nog ongeschreven laatstegedeelten, schreef een voorwoord en liet het boek publiceren. Hoewel beide boeken doortijdgenoten als erg moeilijk werden beoordeeld, was het tweede boek, door de goede raadvan een vriend van Hamilton, wel leesbaarder dan het eerste.

Doordat hij in dit tweede boek naast theorie ook voorbeelden geeft lijkt het voormensen die vertrouwd zijn met de huidige vectoranalyse op sommige plaatsen verrassendmodern, zoals bijvoorbeeld daar waar Hamilton met behulp van vectoren 9 de afstandtussen de aarde en een komeet, of eigenschappen van planeetbanen beschrijft 10. Maarin Hamiltons tijd was er nog geen vectoranalyse, en daarom is het vanuit het huidigegezichtspunt moeilijk voor te stellen hoe lastig zijn tijdgenoten zijn voorbeelden gevondenkunnen hebben. Ten slotte vonden sommige wetenschappers de boeken gewoon waarde-loos omdat ze principieel tegen het gebruik van quaternionen waren, zij zagen geen redenom het gebruik van de Cartesische coordinaten op te geven 11.

3 [Graves, 1885, p. 434], bibliografie hoofdstuk 6.4 Tekenend voor het ongeloof over een niet-commutatief systeem is het verhaal, [Ibid., p. 684], dat een

vriend van Hamilton, een beroemd sterrenkundige en telescoopbouwer, tegen zijn vrouw zei dat Hamiltonhem wilde wijsmaken dat vier maal drie niet gelijk was aan drie maal vier. Hamilton haalde zijn knipmestevoorschijn, boog het tot een rechte hoek, en liet zien dat als verschillende rotaties in een andere volgordeworden uitgevoerd zij verschillende resultaten opleveren.

5 Voor Cayleys standpunt ten opzichte van quaternionen zie hoofdstuk 3, p. 39 ev., voor zijn matrix-algebra vanaf 1858, en daarmee zijn aandeel in de ontwikkeling van rekenregels van matrices en vectorenzie hoofdstuk 4, p. 59 ev.

6 [Crowe, 1985, p. 35], bibliografie hoofdstuk 4.7 [Hamilton, 1853], bibliografie hoofdstuk 5.8 [Hamilton, 1866], bibliografie hoofdstuk 6.9 Deze vectoren zijn geen vectoren in de huidige zin van het woord, Hamilton gebruikte de aanduiding

‘vectoren’ voor quaternionen waarvan het reele deel op nul is gesteld zodat ze puur imaginair worden, endie daarom ‘pure quaternionen’ worden genoemd. Zie hiervoor ook voetnoot 22 op p. iv.

10 [Hamilton, 1866, pp. 733-734], bibliografie hoofdstuk 6.11 Zoals te zien in hoofdstuk 3, p. 33 ev., en zie hoofdstuk 5, p. 79 voor principiele bezwaren tegen het

gebruik van quaternionen.

iv Voorwoord

Peter Guthrie Tait

Intussen had Peter Guthrie Tait (1831-1901) 12, een student van Hamilton, ook een boekgeschreven over quaternionen, maar op verzoek van Hamilton had hij het niet gepubliceerdvoordat Hamiltons eigen boek was uitgekomen 13. Taits boek, ‘An Elementary Treatiseon Quaternions’ 14, werd veel beter ontvangen dan de boeken van Hamilton 15, en quater-nionen begonnen langzaamaan ingang te vinden in de wis- en natuurkunde, wat naast hetboek van Tait ook te danken was aan de faam van Hamilton 16. Hamilton vond het be-langrijk om met behulp van voorbeelden uit de natuurkunde het nut van quaternionen telaten zien, en had dat ook gedaan in zijn tweede boek, maar Tait doet dat veel duidelijker.Hij wijdt een heel hoofdstuk aan kinematica, en een aan fysische toepassingen, en geeftopgaven na elk hoofdstuk. Toch lijkt men ook dan al ,,meer geınteresseerd in de operatiesen methoden die Hamilton en Tait ontwikkelden dan in de Quaternionen zelf” 17.

James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879) 18 was een studiegenoot en levenslange vriend van Tait,en hij is vooral beroemd geworden vanwege de ‘Maxwell vergelijkingen’, de vier differen-tiaalvergelijkingen die samen het hele elektromagnetische veld beschrijven. Hij werd doorzijn vriend Tait aangespoord quaternionen te gebruiken, maar toch schreef hij zijn boek‘A Treatise on Electricity and Magnetism’ 19 uiteindelijk, vanwege de ‘grotere bekendheidvan Cartesische coordinaten’, in een mix van Cartesische coordinaten en quaternionen.Hij noemde zijn boek daarom ‘tweetalig’ 20.

Verder gebruikte hij wel het quaternion scalar- en vectorproduct, die bijna gelijk zijnaan het tegenwoordige in- en uitproduct 21, maar het volledige quaternionproduct gebruik-te hij nergens. Hij vond dat de quaternionen veel voordelen hadden, maar had moeitemet het feit dat het kwadraat van een quaternion, dus ook van een puur quaternion,hoeveel het ook op een vector lijkt, negatief is 22, omdat dit betekent dat ook bijvoorbeeldkinetische energie een negatieve term wordt 23.

12 Taits werk aan quaternionen wordt inhoudelijk besproken in hoofdstuk 2, p. 17 ev. Een kortebiografische schets wordt gegeven in hoofdstuk 5, p. 81.

13 Zie hoofdstuk 3, p. 33.14 [Tait, 1890], bibliografie hoofdstuk 2.15 Zie hoofdstuk 2, p. 17.16 [Crowe, 1985, p. 33], bibliografie hoofdstuk 4.17 Hoofdstuk 3, p. 45.18 Voor een korte biografische schets van Maxwell, zijn vriendschap met Tait en zijn opvatting over

quaternionen zie hoofdstuk 5, p. 77.19 [Maxwell, 1873], bibliografie hoofdstuk 1. Hierin hebben de ‘Maxwell verglijkingen’ nog niet hun

huidige vorm. Het waren oorspronkelijk 20 vergelijkingen in Cartesische coordinaten, die Maxwell in zijn‘Treatise’ al had vereenvoudigd met behulp van quaternionen.

20 Zie hoofdstuk 3, p. 34.21 Voor de huidige standaardaxioma’s door Giuseppe Peano zie hoofdstuk 4, p. 63.22 Zie hoofdstuk 2, p. 23-24, het bewijs van Stelling 2.5.1, waarin p = λl, met p een puur quaternion,

λ een scalar en l een puur eenheidsquaternion dat voldoet aan l = l1i+ l2j + l3k met |l| = 1. Uit l2 = −1volgt dat het kwadraat van p gelijk is aan −λ2.

23 Zie hoofdstuk 5, p. 77.

Voorwoord v

Oliver Heaviside en Josiah Willard Gibbs

Maxwells ‘Treatise’ werd door zowel Josiah Willard Gibbs gelezen als door Oliver Heavi-side. Door Gibbs omdat hij hoogleraar mathematische fysica was, door Heaviside omdathij onderzoek deed naar elektriciteit.

Naar aanleiding van het gebruik van quaternionen in de ‘Treatise’ schreef Josiah Wil-lard Gibbs (1839-1903) 24 in de jaren 1881-1884 een pamflet voor zijn natuurkunde studen-ten, ‘Elements of Vector Analysis’ 25; hij vond dat voor de toepassingen in de natuurkundehet quaternion als concept helemaal niet nodig was. In het korte voorwoord schrijft Gibbsdat hij alleen maar uit is op een handige notatie voor de relaties tussen vectoren en sca-lairen, en tussen vectoren onderling, die het belangrijkst waren en zich het gemakkelijkstleenden om sommige transformaties uit te leggen 26.

Hij wilde het pamflet niet publiceren omdat hij vond dat hij niets nieuws had gedaan,hij had alleen maar de nuttige onderdelen van het quaternionsysteem gebruikt zoals hetscalar en het vectorproduct, en de nabla operator, en daarvoor handiger notaties be-dacht 27. Hij stuurde het pamflet naar een heel aantal wetenschappers, waaronder OliverHeaviside 28.

Oliver Heaviside (1850-1925) 29 had intussen zijn eigen versie van vectoranalyse ont-wikkeld, dat bijna gelijk was aan dat van Gibbs, behalve dat Heaviside de notaties vanTait had aangehouden. Over de ontwikkeling van zijn vectoranalyse zei Heaviside dathij Maxwells ‘Treatise’ had gelezen, en om de quaternionen te leren gebruiken las hijde ‘Treatise on Quaternions’ van Tait. Daarin zag hij dat vectoren consistent gebruiktkonden worden, maar de vectoren, in quaternionvorm, waren niet handig voor de theorievan elektriciteit. Hij stapte dus over naar het gebruik van pure scalairen en vectoren,en gebruikte vanaf 1883 een ‘simpele vector algebra’ 30. In zijn boek ‘ElectromagneticTheory’ uit 1893 31 herformuleerde Heaviside Maxwells werk naar vectoren, waardoor devier vergelijkingen ontstonden die we nu als de ‘Maxwell vergelijkingen’ kennen 32.

Heaviside merkt verder op dat hij tot 1888 dacht dat hij de enige was die ‘vectorwerk’deed 33, totdat hij een kopie ontving van Gibbs’ pamflet, volgens Heaviside een ‘soort vangecondenseerde samenvatting van een verhandeling’. Hoewel anders van uiterlijk was hetin essentie dezelfde vector algebra en analyse als ‘waarnaar hijzelf was geleid’. Net alsGibbs zegt hij dat hij geen nieuw systeem heeft ontdekt, en dat ,,[ik mijn] systeem vanHamilton en Tait heb afgeleid door eliminatie en versimpeling, maar [ik] claim niettemineen praktische kennis van vectoren te hebben verspreid, en een door en door praktischsysteem te hebben bedacht”.

24 Korte biografische schetsen van Gibbs zijn te vinden in hoofdstuk 3, p. 37 en hoofdstuk 5, p. 78.25 [Gibbs, 1884], bibliografie hoofdstuk 4.26 Ibid., p. 1.27 Voor een voorbeeld van het verschil tussen Gibbs’ notatie en die van de Quaternionisten zie hoofd-

stuk 5, p. 78 en hoofdstuk 3, p. 44.28 Zie hoofdstuk 5, p. 78.29 Korte biografische schetsen van Heaviside zijn te vinden in hoofdstuk 3, p. 35 en hoofdstuk 5, p. 78.30 [Crowe, 1985, pp. 162-163], bibliografie hoofdstuk 4.31 [Heaviside, 1893a], bibliografie hoofdstuk 3.32 Hoofdstuk 5, p. 79.33 [Crowe, 1985, pp. 162-163], bibliografie hoofdstuk 4.

vi Voorwoord

Vectoranalyse

Maar zowel Gibbs als Heaviside waren nogal los in hun definities zodat nog niet gesprokenkon worden van de huidige moderne vectoren 34 totdat een student van Gibbs, EdwinBidwell Wilson, in 1901 een boek schreef naar aanleiding van de colleges vectoranalysevan Gibbs; ‘Vector Analysis : A Text-Book for the Use of Students of Mathematics andPhysics. Founded Upon the Lectures of J. Willard Gibbs, Ph.D., LL.D.’ 35. Dit boek,waarin hij overigens ook theorie van Heaviside verwerkte 36, zou de basis worden voorde hedendaagse vectoranalyse. Een van de redenen dat de vectoranalyse daarna goedaansloeg was dat het boek zo goed te lezen was dat het leren van de vectoranalyse als ‘niette moeilijk’ werd gezien, in tegenstelling tot het ‘moeilijke’ imago van de quaternionen 37.

Hiermee is de eenvoudige geschiedenis voltooid: Hamilton vond de quaternionen, zijnstudent Tait droeg ze over aan zijn vriend Maxwell wiens boek werd gelezen door Heavi-side en Gibbs, zij kristalliseerden uit het systeem van de quaternionen de vectoranalyse,Wilson maakte daar een goed boek van en op zijn manier gebruiken we de vectoranaly-se nog steeds.

Andere routes naar vectoranalyse

Tait vond de vectoranalyse verschrikkelijk 38 . Als gevolg van de combinatie van zijn en-thousiasme over het quaternionsysteem en zijn felle karakter 39 deed hij in 1890, in hetvoorwoord van de derde druk van zijn ‘Elementary Treatise on Quaternions’, een persoon-lijke aanval op Gibbs 40, die hij een ,,vertrager van de Quaternion vooruitgang” noemde,en ook noemde hij Gibbs’ pamflet ,,een soort hermafrodiet monster, samengesteld uit denotaties van Hamilton en Grassmann” 41.

Die laatste opmerking is verrassend; Tait suggereert dat Gibbs beınvloed is door Grass-mann, maar die kwam in deze eenvoudige geschiedenis helemaal niet voor. Inderdaadzegt Gibbs in het voorwoord van zijn pamflet dat hij Grassmanns naam wil noemenomdat de methode in het pamflet ,,in sommige opzichten dichter aansluit bij Grassmannssysteem dan bij dat van Hamilton”. Maar in 1888 schrijft Gibbs een brief 42 aan de Duitsewiskundige Victor Schlegel waarin hij als reden voor het niet publiceren van het pamfletgeeft dat hij twijfelde aan publicatie omdat hij zijn notaties nog niet helemaal duidelijkvoor ogen had, en het onwenselijk zou vinden om onnodige veranderingen aan te brengen.En vervolgens legt hij uit waarom hij Grassmanns naam heeft gebruikt in de inleiding vanhet pamflet.

34 Hoofdstuk 4, p. 62.35 [Wilson, 1901], bibliografie hoofdstuk 1.36 Ibid., p. ix.37 Zie hoofdstuk 3, p. 46.38 Zie hoofdstuk 5, p. 79.39 Ibid., p. 81.40 Heaviside werd door hem minder aangevallen dan Gibbs, waarschijnlijk omdat hij Taits en Hamiltons

notaties bleef gebruiken.41 Zie hoofdstuk 3, p. 41.42 [Crowe, 1985, pp. 152-153], bibliografie hoofdstuk 4.

Voorwoord vii

Hij was quaternionen voor het eerst tegengekomen in Maxwells ‘Treatise’, maar toenhij besloot zich deze methoden eigen te gaan maken viel het hem op dat het idee van dequaternionen zelf eigenlijk niet paste bij het onderwerp. Verder had Gibbs een artikel vanGrassmann gelezen 43, en gezien dat Grassmann een zeer eenvoudige notatie had gebruiktvoor het vectorproduct, net zoals hij dat intussen zelf ook gedaan had. Toen Gibbsdaarna de beide uitgaven van Grassmanns boek ‘Die Ausdehnungslehre’ las 44 zag hij datzijn methoden weliswaar leken op die van Hamilton, maar dat ze vrijwel gelijk warenaan die van Grasmann. Toch, schrijft Gibbs, had het werk van Grassmann geen invloedgehad op zijn werk, maar hij had zich in de inleiding van het pamflet verscholen achterGrassmanns gevestigde naam om zo veranderingen in de notaties te kunnen aanbrengenwaarvan hij aanvoelde dat Quaternionisten ze onaangenaam zouden vinden.

Blijkbaar is Grassmanns naam in 1888 al zo bekend dat Gibbs zich erachter zoukunnen, en willen, verschuilen.

Hermann Gunther Grassmann

Hermann Gunther Grassmann, (1809-1877) 45 had in 1844 een boek geschreven over eenniet-commutatief systeem dat hij ontwikkeld had en dat hij ‘Ausdehnungslehre’ noemde,met een tweede, uitgebreide, druk in 1862 46. Het was een systeem ,,voor het rekenen metvectoren dat toepasbaar was in n dimensies. [ . . . ] Het bevatte optelling van vectoren,vector differentiatie, lineaire vectorfuncties en twee manieren van vector vermenigvul-diging”. Toch werden beide boeken erg slecht verkocht, en Grassmanns systeem sloegniet aan 47.

Maar in de loop van de tijd begonnen meerdere wiskundigen het nut van zijn werk in tezien 48. Een van die wiskundigen was Hamilton, die het werk in 1852 in zijn bezit had ge-kregen, het voorwoord had gelezen en erdoorheen had gekeken. Daaruit had hij geconclu-deerd dat ‘Die Ausdehnungslehre’ zo moeilijk zou zijn dat hij ,,zelfs zou moeten leren rokenom het te lezen”, maar toen hij, in 1853, er echt in was begonnen had hij meer dan honderdpagina’s ,,met grote bewondering en interesse” gelezen 49. Hamilton stelt vast dat, ookal publiceerde Grassmann later dan hijzelf, hij zijn systeem volkomen onafhankelijk vanHamiltons eigen quaternion systeem heeft ontwikkeld. In een brief aan een bevriend wis-kundige noemt hij ‘Die Ausdehnungslehre’ ,,een onbekend, maar hoogst origineel werk” 50,en verwijst ernaar in het voorwoord van zijn ‘Lectures on Quaternions’ 51.

43 Grassmann, H. (1877). Zur Elektrodynamik. Journal fur die reine und angewandte Mathematik,83: 57-64.

44 Gibbs doelt hier op Grassmanns twee boeken: Grassmann, H.G. (1844). Die Wissenschaft derextensiven Grosse, oder die Ausdehnungslehre. Stettin: Druck und Verlag von R. Grassmann., en delatere, uitgebreide uitgave: Grassmann, H.G. (1862). Die Ausdehnungslehre : Vollstandig und in strengerForm bearbeitet. Berlin: Verlag von Th. Chr. Fr. Enslin.

45 Een korte biografische schets en bespreking van zijn werk is te vinden in hoofdstuk 5, p. 76.46 Zie voetnoot 44.47 Hoofdstuk 5, p. 76. Hier worden ook verschillende redenen gegeven voor het niet aanslaan van

Grassmanns systeem.48 Een uitgebreid overzicht van deze verandering is te vinden in [Crowe, 1985, pp, 77-95], hoofdstuk 4.49 [Graves, 1889, p. 441], bibliografie hoofdstuk 6.50 Ibid., p. 70.51 [Hamilton, 1853, p. 62 van het voorwoord], bibliografie hoofdstuk 5.

viii Voorwoord

Hij verbaast zich er openlijk over dat Grassmann niet op het idee van de quaternionenwas gekomen, en vindt Grassmann ,,zeker waardig om mij voor geweest te kunnen zijn inde ontdekking van de quaternionen” 52. In de loop van de jaren 1860 werd Grassmannswerk steeds bekender 53, en in 1877, Grassmanns sterfjaar, ontdekte Gibbs zijn werk, waser enthousiast over en gebruikte Grassmanns naam zoals gezegd in het voorwoord vanzijn pamflet.

Vector analyse zonder quaternionen

Doordat Gibbs het werk van Grassmann dichter bij zijn eigen werk vond staan dan datvan Hamilton, kan de vraag gesteld worden of quaternionen uberhaupt wel nodig warenom vector analyse te vinden. Want intussen ontwikkelde ook de vector algebra zich,helemaal naast, en onafhankelijk van, de quaternionen, hoewel dat gebeurde zonder hetgeometrische beeld dat Grassmann en Hamilton bij vectoren hadden, of ‘Strecken’ zoalsGrassmann ze noemde. De term ‘matrix’ werd in 1850 geıntroduceerd, en in 1855 hebben‘n-tuples’ een tegenwoordig herkenbare vectorvorm 54.

Rond dezelfde tijd, halverwege de jaren 1860, werd ook het werk van Grassmannsteeds bekender, zodat het makkelijk voorstelbaar is hoe deze vector algebra ook eenmeetkundige interpretatie gekregen zou kunnen hebben zonder het werk van Hamilton.Verder had Maxwell zich door Tait laten overhalen om quaternionen in zijn ‘Treatise’ opte nemen, maar dat was niet per se nodig, zonder quaternionen had hij zijn werk ookgeschreven, alleen zou het dan helemaal in Cartesische coordinaten zijn geweest.

Dat betekent dat uit Hamiltons quaternionsysteem de operatoren, met name de nablaoperator en de vector- en scalarproducten, eigenlijk veel belangrijker waren dan de quater-nionen op zich; hoewel ze de operatoren volop gebruikten, zagen zowel Maxwell, Gibbs alsHeaviside dat ze het quaternionproduct, de combinatie van het scalar- en vectorproduct,helemaal niet nodig hadden. En gezien de enorme staat van dienst die Hamilton had zouhij zijn operatoren misschien ook wel bedacht hebben zonder de quaternionen, misschienzelfs als vervolg op het werk van Grassmann.

George Green

Zo zijn er nog meer alternatieven denkbaar; Maxwell schrijft in het voorwoord van zijn‘Treatise’ dat hij, onder andere, een passende plaats heeft ingeruimd voor de wiskundigeontdekkingen van George Green (1793-18410) 55. In 1828 schreef Green ‘An Essay onthe Application of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism’waarin hij wiskundige technieken gaf om toe te passen op praktische fysische problemen.

52 [Graves, 1889, p. 442], bibliografie hoofdstuk 6. Later wordt Hamilton minder enthousiast overGrassmann, niet zozeer omdat hij het systeem niet langer ‘hoogst origineel’ zou vinden, maar omdat hijdenkt dat Grassmann toch verder van de eventuele ontdekking van de quaternionen zat dan hij eerstdacht, [Graves, 1889, p. 444], voor Hamilton natuurlijk een belangrijk maar misschien niet erg objectiefcriterium.

53 Zie hoofdstuk 5, p. 77.54 Hoofdstuk 4, § 4.4.1.55 Greens leven en werk, en daarvan specifiek de geschiedenis van de ‘stelling van Green’, zijn beschreven

in hoofdstuk 1 met een korte biografische schets op p. 3.

Voorwoord ix

In dit essay introduceert hij voor het eerst de termen ‘potentiaalfunctie’, de waardevan de potentiele energie als functie van de gebruikte coordinaten, waarvan ,,het be-staan wel bekend was maar niet benoemd” 56. Green maakt de potentiaalfunctie totbasis van zijn verhandeling over elektriciteit 57 en bewijst verder een vorm van de stel-ling die later naar hem vernoemd wordt, de ‘stelling van Green’ 58. Hij past de stellingtoe op de theorien van elektriciteit en magnetisme 59, waardoor Maxwell de stelling in1873 opneemt in zijn ‘Treatise’.

Green schreef zijn essay vijftien jaar voor de ontdekking van de quaternionen, en zijnstelling is dus in Cartesische coordinaten beschreven. Maar als bijvoorbeeld de modernevorm van de stelling, vergelijking (1.1) op pagina 3, in drie dimensies wordt uitgeschre-ven, gebruik makend van Cartesische coordinaten, en dan wordt vergeleken met dezelfdestelling in vectorvorm, dan is het wel heel duidelijk hoeveel compacter de vectorvormenmeestal zijn. Met P , Q en R de componenten van de vector F, D een al dan niet gekromdoppervlak en ∂D de rand ervan, wordt de stelling in Cartesische coordinaten:

∮

∂D

(Pdx+Qdy +Rdz) =

∫ ∫

D

(

∂R

∂y− ∂Q

∂z

)

dy dz +

(

∂P

∂z− ∂R

∂x

)

dz dx+

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dx dy, (1)

terwijl, met a het oppervlak van D en s de lijnintegraal langs de rand, de vectorvormgeschreven kan worden als:

∮

∂D

F · ds =

∫ ∫

D

(

∇× F)

· da. (2)

En omdat er in de wis- en natuurkunde steeds gezocht wordt naar vereenvoudigingen 60

geldt dus ook hiervoor dat het zeker niet lang geduurd zou hebben voordat iemand ophet idee gekomen zou zijn om het in vectorvorm te schrijven.

De ondergang van de quaternionen en hun rehabilitatie

Inderdaad zijn de quaternionen na de ‘overwinning’ van de vectoranalyse lange tijd uitbeeld geraakt, onder andere omdat de strijd zo hard gespeeld was dat over Hamiltongezegd werd dat hij de laatste tweeentwintig jaar vergooid had omdat de quaternioneneigenlijk nutteloos waren. Ook had, tot 1967, toen Michael Crowe zijn boek schreef:‘A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System’, nogniemand de geschiedenis van de vectoranalyse goed beschreven.

56 Hoofdstuk 1, p. 4.57 [Maxwell, 1873, p. 14], bibliografie hoofdstuk 1.58 Zie voor de vreemde geschiedenis van de naamgeving van de stelling hoofdstuk 1.59 Ibid., p. 4.60 Michael Crowe zegt over de vectoriele systemen dat ze eigenlijk systemen zijn van afkortingen, omdat

alles wat opgelost kan worden met vector methoden ook opgelost kan worden, hoewel omslachtiger, metCartesische methoden. Dus ,,kan de geschiedenis van vectoranalyse [in zekere zin] gezien worden als degeschiedenis van afkortingssystemen” [Crowe, 1985, p. vi], bibliografie hoofdstuk 4.

x Voorwoord

Want hoewel de vectoranalyse overal in de wis- en natuurkunde gebruikt wordt is haargeschiedenis, zoals ook beschreven in hoofdstuk 4, niet eenduidig, ze is zelfs behoorlijkingewikkeld, zeker als er gekeken wordt naar de verbanden met complexe getallen, lineairealgebra, theoretische elektriciteit etc. 61. Verder benadrukt Crowe dat vectoranalyse ‘een’vectorieel systeem is, waarvan er vele zijn ontwikkeld voor 1900.

Crowe schrijft in zijn voorwoord dat hij ervoor koos zijn studie niet zozeer te richtenop de ,,belangrijke theorema’s in de vector analyse, die overigens veelal ontstonden voor ofbuiten de vectoriele tradities”, maar op de ontwikkelingen van de vectoriele systemen zelf;naar welke systemen er waren, en welke ideeen leidden tot het ontwerpen, ontwikkelenaccepteren of afwijzen van deze systemen.

Hij brengt lijn aan in de geschiedenis van de vectoranalyse door het beschrijven vande eerste Griekse geometrie en haar invloed op de wiskundigen van de zeventiende eeuw,die de methoden toepasten op fysische problemen, de vinding van de geometrische repre-sentatie van de complexe getallen met Gauss als de bekendste van deze ontdekkers, dedaaropvolgende quaternionen van Hamilton naast de andere vroege vectoriele systemenzoals die van Grassmann, de verdediging van het quaternionsysteem en de kritiek erop,en ten slotte de ontwikkeling van de vector analyse door Gibbs en Heaviside.

In plaats van te benadrukken hoe de quaternionen het verloren van de vectoranalysegaf Crowe als eerste een nieuw en genuanceerd beeld van het ontstaan van de huidigevectoranalyse uit het quaternionsysteem. Waarna zijn genuanceerde beeld al snel weeris verworden tot het eenvoudige beeld van het ontstaan van de vectoranalyse dat we nuhebben, linea recta van quaternionen tot vectoranalyse, omdat mensen nu eenmaal slechtzijn in het onthouden van teveel nuances.

Een voorlopige conclusie van dit voorwoord zou dus kunnen zijn dat de neiging genuan-ceerde zaken terug te brengen tot een aantal simpele beelden het lot van de quaternionensterk beınvloed heeft 62. Maar elke ontwikkeling, in dit geval Crowes boek, brengt ookweer nieuwe ontwikkelingen met zich mee, waaronder bijvoorbeeld dit seminarium.

Het seminarium Geschiedenis van de Vectoranalyse

In de tijd waarin de essays in deze bundel zich afspelen waren de wis- en natuurkunde nogniet zo ver uit elkaar gegroeid als tegenwoordig 63. Daarom was het mooi dat dit semina-rium gevolgd bleek te worden door studenten wiskunde, natuurkunde, en geschiedenis enfilosofie van de natuurwetenschappen, en zelfs combinaties daarvan, en het zorgde vooreen grote variatie in de inbreng.

Er waren presentaties en opdrachten over de quaternionen van Hamilton en hun geo-metrische interpretatie op boloppervlakken, en over de toepassingen van de quaternionenop natuurkundige vraagstukken door Tait. Over hemelmechanica met behulp van de vec-toranalyse van Gibbs, over een oplossing voor distortie op telegraaflijnen door Heavisideen over de vaak akelige uitspraken die de voor- en tegenstanders van quaternionen eindnegentiende eeuw tegen en over elkaar deden.

61[Crowe, 1985, p. vi], bibliografie hoofdstuk 4.62 Want eigenlijk is het vreemd dat beide systemen niet naast elkaar konden bestaan, zie ook p. xi.63 Zie hoofdstuk 5, p. 71.

Voorwoord xi

Over Grassmanns ‘vectoren’, lijnstukken en vectorproducten en de niet-communicati-viteit van zijn systeem, over de vraag of de hoofdrolspelers in deze geschiedenis nu eigenlijkfilosofen waren of realisten, over Maxwells vergelijkingen in quaternionvorm en zijn ogen-schijnlijk simpele maar prachtige constatering dat ,,als fysische eenheden tegengesteldetekens kunnen hebben zij de maten zijn, niet van de substanties zelf, maar van de proces-sen die plaatsvinden in de substanties” 64.

En het ging over de groep van de eenheidsquaternionen die rotaties genereren vande pure quaternionen, over de contexten waarin gebeurtenissen plaatsvinden, objectievevoorkeuren en subjectieve omstandigheden, over de constatering dat vectoranalyse en hetquaternionsysteem blijkbaar niet naast elkaar konden bestaan, en over wat nu eigenlijkeen beter systeem is, vectoren of quaternionen, en wat daarvoor argumenten kunnen zijn.Over de lineaire ruimtes en de matrices die gelijktijdig, maar naast de quaternionen werdenontwikkeld en de daaruit voortvloeiende vraag hoe het kan dat matrices al bekend warenmaar vectoren blijkbaar niet, en over de stelling van Green die hij zelf nooit zo opschreef.

Steeds was duidelijk dat iedere richting, wiskunde, natuurkunde en filosofie van denatuurwetenschappen, eigen invalshoeken had, terwijl wel duidelijk was dat het ooit eenvakgebied was. Misschien is de splitsing ontstaan omdat er niet veel mensen meer zijn diehet allemaal beheersen 65, of omdat natuur- en wiskundigen toch ook een andere maniervan denken lijken te hebben. Dat laatste is misschien het beste te zien aan de manierwaarop de natuur- en wiskundigen omgaan met hun eigen, en met elkaars vakgebied.

Terwijl de natuurkundigen met hun hoofd in het heelal of juist bij elementaire deeltjeszitten, gaan zij ervan uit dat de achtergronden van de berekeningen die ze erbij uitvoerenwel goed zullen zijn omdat de wiskundigen hebben laten zien dat dat allemaal mag,waardoor de wiskunde is teruggebracht naar leren hoe je het moet aanpakken, en dan zomin mogelijk fouten maken.

Intussen kijken de wiskundigen daarnaar en vragen zich, misschien, een beetje wan-hopig af of de natuurkundigen wel weten wat ze nu eigenlijk aan het doen zijn, omdatnatuurkundigen het over vectorruimtes hebben terwijl ze eigenlijk nauwelijks een ideehebben over wat dat dan precies zijn, ze weten alleen hoe je erin kunt rekenen, en vanBanachruimtes 66 hebben ze zelfs nog nooit gehoord. En de wiskundigen zien dat je dieberekening daar misschien wel mag gebruiken, maar elk geval niet zo.

Maar als dan de wiskundigen hun theorieen en formules natuurkundig beginnen teinterpreteren schudden natuurkundigen het hoofd; neenee, dat mag wiskundig misschienwel goed klinken, maar hier mag je dat toch echt niet toepassen, dat kan toch echt niet zo.Waarop de filosofen denken aan hun omgekeerd realisme: als het wiskundig kan dan moetde natuur het wel ergens gebruiken, en zij kijken naar wat de beide groepen daarmeedoen, zo ook in dit seminarium. Dat uitte zich in een interessante vragenlijst, waaruitinderdaad bleek dat eisen aan, of waarden van, natuur- en wiskunde niet zomaar op elkaarover te zetten zijn.

En gelukkig werd tijdens het seminarium ook gepleit voor een vreedzame co-existentievan de natuur- en wiskundigen, en dat is waarschijnlijk de meest verstandige optie.

64 Maxwell, J.C. (1878). ‘Ether’. Encyclopædia Brittannica, 9 (8): 569.65 Zie hoofdstuk 4, p. 57.66 Ibid., § 4.4.4.

xii Voorwoord

De wederopstanding van de quaternionen

Ondanks dat vectoranalyse de strijd die in deze bundel is beschreven won, blijft toch,of men nu wiskundige is of natuurkundige, het intrigerende van quaternionen dat ze eencompleet systeem vormen, een eenduidig product hebben en dus ook op elkaar gedeeldkunnen worden, iets dat met vectoren niet kan, wat naast hun ‘natuurlijkheid’ voor ro-taties in drie dimensies 67 in feite de belangrijkste reden was voor de heftige verdedigingvan het quaternionsysteem. En die voorvechters krijgen alsnog gelijk, want quaternionenzijn aan hun terugkeer bezig.

Ze kwamen al voor in de basisprincipes van de quantummechnica die halverwege dejaren 1920 ontstond 68, maar tegenwoordig worden quaternionen steeds vaker toegepast 69.Ze blijken veel handiger dan gyroscopen voor het stabiel houden van bijvoorbeeld lopendehumanoide robots en satellieten, en ook worden quaternionen toegepast in 3D techniekenzoals augmented reality, waarin ze zelfs zo basaal zijn dat ze vereist zijn als vakkennisvoor solliciterende software ontwikkelaars die met augmented reality willen gaan werken.

In 1999 schreef Jack Kuipers het boek ‘Quaternions and Rotation Sequences: A Primerwith Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality’ 70, waarin hij schrijft dathij al in 1986 les gaf aan natuurkundigen en technici van een programma voor leger-helicopters in de toepassingen van de quaternionrotatieoperator als vervanger van deconventionele matrixrotatieoperator. Een recensie van dit boek door het AeronauticalJournal zegt dat het ,,waarschijnlijk het eerste moderne boek was waarin quaternionenserieus behandeld werden”.

En in 2006 schreef Andrew Hanson over de quaternion ‘revival’ het boek ‘Visuali-zing Quaternions’ 71, waarin hij onder andere een aantal voorbeelden geeft en problemenbespreekt rond navigatie, waarvoor quaternionen de oplossing bleken; ,,160 jaar geledengeıntroduceerd als een poging om complexe getallen te generaliseren naar hogere dimen-sies worden quaternionen nu erkend als een van de belangrijkste begrippen in de modernegrafische computertechnieken. Ze bieden een krachtige manier om rotaties te beschrijvenen in vergelijking met rotatiematrices gebruiken ze minder geheugen, bouwen [ze] snellerop, en zijn [ze] van nature geschikt voor efficiente interpolatie van rotaties.”

Hoewel Hamilton hier uiteraard precies hetzelfde over gedacht zou hebben had hij tochin zijn stoutste dromen niet kunnen denken dat zijn quaternionen een cruciale rol zoudengaan spelen bij robots, satellieten, computers en quantummechanica. Misschien was hijdus eigenlijk vooral zijn tijd ver vooruit.

67 Zie hoofdstuk 5, p. 79.68 Zo is de groep SU(2), die rotaties beschrijft van de elementaire deeltjes met spin half, isomorf aan

de groep van de eenheidsquaternionen S3

H, zie hoofdstuk 2, p. 28. De quaternionruimte H die door

de vier basiselementen uit Lemma 2.7.1., p. 26, wordt opgespannen is isomorf met de ruimte waarinde spin half deeltjes leven en die daarom door natuurkundigen ook ‘spinruimte’ wordt genoemd, via1 7→ 11, i 7→ iσz, j 7→ iσy, k 7→ iσx. Hierin zijn de σi de ‘Pauli matrices’ die de spinrichtingenaangeven.

69 Het zou misschien interessant zijn te onderzoeken of Crowes boek hier invloed op gehad heeft.70 Kuipers, J.B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits,

Aerospace, and Virtual Reality. Princeton: Princeton University Press.71 Hanson, A.J. (2006) Visualizing Quaternions. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers.

Voorwoord xiii

Conclusie

Gevraagd naar een eindconclusie van dit boeiend seminarium moet die luiden dat ge-schiedenis blijkbaar geen opsomming van harde feiten is, zelfs rijtjes jaartallen wordenbinnen een zeker tijdsgewricht toegevoegd of weggehaald, waarmee ook ‘Slag bij Nieuw-poort: 1600’ niet meer alleen een feit is. En ook de geschiedenis van de exacte vakkenblijkt een ‘levende’ geschiedenis te zijn zoals alle geschiedkundigen ongetwijfeld weten,maar wat voor sommige niet-geschiedkundigen toch eigenlijk verbazend is.

Het actief bekijken van de geschiedenis, zoals in dit seminarium gebeurde, maakt deonderwerpen zoveel vertrouwder, dat de gedachte ontstaat dat misschien de geschiedenisvan de eigen vakgebieden voor elke student in meer of mindere mate verplicht zoudenmoeten zijn. De student zou zich er waarschijnlijk beter bewust van zijn dat ook haar ofzijn eigen gedachten en theorieen thuishoren in deze tijd, zodat hij of zij, als ze opgevolgdworden door andere, nieuwe inzichten en theorieen, zich er niet onterecht in blijft vastbij-ten. Hoewel dat ‘onterecht’ ook weer niet helemaal vanzelfsprekend is, zoals bleek warende quaternionen weerbaarder dan gedacht zodat Hamilton en Tait zich er misschien tochterecht in vastbeten. Toch zal dat eerder uitzondering zijn dan regel.

Tegenwoordig is er veel meer aandacht voor de omstandigheden en persoonlijke drijf-veren van de spelers rond een belangrijke ontdekking, en in hoofdstuk 5 wordt ingegaanop de vraag hoe deze ontdekkingen passen binnen de context van de ontdekker. Hethoofdstuk eindigt met de opmerking dat het ,,belangrijk is om geschiedenis niet te beoor-delen met termen en gedachten uit het heden” en inderdaad zijn daders beter te begrijpendoor het beschouwen van hun context, waarbij de waarden van de daders bepaald zijndoor persoonlijke kenmerken, de sociale en politieke omstandigheden, de cultuur, en hettijdsgewricht waarin zij hun daden verrichtten.

Ook is er, nu de informatie via het internet steeds toegankelijker wordt, een andereverschuiving te zien: bijna-ontdekkers komen steeds meer voor het voetlicht. Zoals eerstde ontdekker steeds meer in zijn of haar context geplaatst werd, zo staat nu de ontdekkervaak tussen de eigenlijk-bijna-mede-ontdekkers. Voorbeelden daarvan zijn in deze bundelal te vinden; de Maxwell-vergelijkingen zijn eigenlijk de Maxwell-Heaviside vergelijkingenomdat Heaviside ze hun tegenwoordige vorm gaf, en Cayley getallen zijn eigenlijk deoctonionen van de wiskundige Graves die de broer was van de Graves die in de jaren 1880de eerste biografie van Hamilton schreef.

Die biografie bestaat uit iets meer dan 2000 bladzijden, is nu ingescand en vrij in te zienop het internet. Het eerste dat opvalt is de enorme stroom brieven, waaruit een heel goedbeeld van de schrijver ontstaat. Daarnaast is het verdrietig te beseffen dat zulke brieven erniet voor ons nageslacht zullen zijn, zij zullen het vooral met veel beelden en veel vrij inter-preteerbaar materiaal moeten doen, dat zij zullen bekijken binnen de context van hun tijd.De biografie kan op trefwoorden doorzocht worden en dat heeft, samen met de gedachtedie werd ingegeven door hoofdstuk 5, dat de biografie gelezen moet worden in de contextvan de Victoriaanse tijd, geleid tot een extra hoofdstuk aan het eind van deze bundel.

Het boek van Crowe heeft geleid tot een herwaardering van Hamiltons quaternionen,misschien is het ook tijd voor een herwaardering van Hamiltons leven.

Anne van Weerden, Utrecht, september 2014.

Inhoudsopgave

1 Green’s theorem and its development 31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Green’s essay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Green’s proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Publication and rediscovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 The first appearance of the modern version of Green’s theorem . . . . . . . 71.4 Green’s theorem in work of others . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Tait in On Green’s and other allied theorems . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Encyklopadie der mathematischen Wissenschaft . . . . . . . . . . . 91.4.4 Various works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Quaternionen 132.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Introductie over quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Moderne introductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Algebraısche paren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Quaternionen door Peter Guthrie Tait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Rotaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Appendix: Rotaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 De strijd tussen de systemen 313.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 De geschiedenis van quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Het ontstaan van quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Tait en quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.3 MacFarlane en quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Het ontstaan van de Vectoranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Argumenten van de verschillende fracties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.1 Cartesianen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2 Vectoristen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3 Quaternionisten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Het ontstaan van moderne vectoranalyse 494.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Huidig gebruik vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Oorspronkelijke motivatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Situatie in Gottingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1 Het leven van Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.2 Hilberts werk met vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Theorie van lineaire systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.1 Stelsels van lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.2 Rol van quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.3 Axiomatiseren van lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.4 Ontwikkeling Banach-ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Conclusie en discussie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Contexten 685.1 Rivaliserende Theorieen in de Wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Ontologie en Realisme in de Wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2 Interne Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.3 Externe Factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 De Casus: Vectoriele Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.1 De Zoektocht naar Driedimensionale Algebra . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 De Opkomst van de Moderne Vector Analyse . . . . . . . . . . . . . 785.2.3 De Persoonlijke Criteria en Factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.4 De Grafische Weergave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Een Victoriaans huwelijk 906.1 Sir William Rowan Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Een ogenschijnlijk simpele geschiedenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.1 Een vredige wandeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Een goed huwelijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Een verloren liefde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.4.1 Vijf zware jaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.5 Een slecht huwelijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6 Dit slechte huwelijk anders bekeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.6.1 Alcohol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.7 Voorstel voor een nieuwe biografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1. Green’s theorem and itsdevelopment

Door Suzette Obbink

1.1 Introduction

Currently, Green’s theorem is a two-dimensional integral theorem, which one can find inevery mathematical textbook. When P and Q are two continuous functions of x and y,then:

∫

(Pdx+Qdy) =

∫ ∫(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

. (1.1)

However, the original theorem presented by Green in An Essay on the MathematicalAnalysis of Electricity and Magnetism was three-dimensional. The two-dimensional ver-sion previously mentioned firstly appeared in a short paper by Cauchy, and although thisis pointed out by many historians, no one has explored when this shift occurred and whowas first to attribute the theorem presented by Cauchy to Green. The aim of this paperis to focus on the development of Green’s theorem from its appearance in Green’s essay of1828 until the beginning of the twentieth century. In order to do so, firstly Green’s essaywill be discussed. Secondly, the appearance of the modern version in Cauchy’s paper willbe examined. Lastly, a literature review is done to see in which form Green’s theoremappeared in mathematical study books along the period of 1870-1920.

To avoid ambiguity in the definitions, the term original or three-dimensional versionwill be used to refer to the theorem presented by Green in his essay, and modern ortwo-dimensional version will be used to refer to Green’s theorem as it was presented inCauchy’s paper of 1846 and known nowadays.

1.2 Green’s essay

Green was born in 1793 in Nottingham. His father was a miller, and Green worked for him.Although he was not educated at all, he was highly interested in physics, mainly electricityand magnetism. In 1824, he joined the Nottingham Subscription Library through which hehad access to some important scientific papers, for example the first work of Poisson, which

4 Hoofdstuk 1. Green’s theorem and its development

according to many historians has inspired Green to write An Essay on the MathematicalAnalysis of Electricity and Magnetism that was published in 1828 1.

The object of his essay was ‘to submit to Mathematical Analysis the phenomena ofthe equilibrium of the Electric and Magnetic Fluids, and to lay down some general prin-ciples equally applicable to perfect and imperfect conductors 2. Ironically, he is primarilyremembered for his mathematical techniques, rather than the application on the physicalsituations 3.

After the preface, Green started with the ‘introductory observations’ in which heintroduced the term potential function in verbal and mathematical terms. Although theconcept was already known, no one had named it before 4. In the third section ‘GeneralPreliminary Results’, Green described some mathematical techniques which he would useto apply to the theory of electricity and magnetism in the last two sections. Among themwas the original form of Green’s theorem that he inaugurated as follows 5:

Before proceeding to make known some relations which exist between the densityof the electric fluid at the surfaces of bodies, and the corresponding values of thepotential functions within and without those surfaces, the electric fluid being con-fined to them alone, we shall in the first place, lay down a general theorem whichwill afterwards be very useful to us.

Let U and V be two continuous functions of the rectangular co-ordinates x, y, z,whose differential co-efficients do not become infinite at any point within a solidbody of any form whatever; then will

∫

dxdydzUδV +

∫

dσU

(

dV

dw

)

=

∫

dxdydzV δU +

∫

dσV

(

dU

dw

)

. (1.2)

Here, the first integral –∫

dxdydzUδV – is taken over the volume of a solid body; thesecond integral is taken over the surface of this volume; dσ is an infinitesimal part of thesurface, and dw indicates an infinitesimal part of the normal that is directed inwards.

Green’s notation is remarkable in three ways. Firstly, he used a single integral sign forboth surface and volume integrals. Secondly, partial derivatives were indicated by roundbrackets, given that the letter d is used for both normal and partial derivatives. Lastly,he used δ to signify the Laplace operator ∇2.

1.2.1 Green’s proof

In order to prove his general theorem, Green utilized the method of integration by parts,which he firstly applied to the x-part of the following equation:

∫

dxdydz

{(

dV

dx

) (

dU

dx

)

+

(

dV

dy

) (

dU

dy

)

+

(

dV

dz

) (

dU

dz

)}

. (1.3)

1 [Cannell, 1993, p. 174]2 [Green, 1828, p. 1]3 [Cannell, 1993, p. 169]4 Ibid., pp. 170-171.5 [Green, 1828, p. 10]

1.2. Green’s essay 5

This resulted in:∫

dxdydzdV

dx

dU

dx=

∫

dydz

(

V ′′dU ′′

dx− V ′

dU ′

dx

)

−∫

dxdydzVd2U

dx2

′

, (1.4)

in which the double accent indicates the upper limit, whereas the single accent signifiesthe lower limit. dydz is an infinitesimal part of the yz-plane and dx

dwis the derivative in

the direction perpendicular to that surface. Therefore, Green argued

dydz = − dx

dwdσ′′, (1.5)

for greater values of x, with a negative sign due to the inwards defined normal. Likewise,it is seen that dydz is equal to + dx

dwdσ′ for smaller values of x. Since the sum of the

elements of dσ′ and dσ′′ constitute the whole surface, substitution gives:

∫

dydz

(

V ′′dU ′′

dx− V ′

dU ′

dx

)

= −∫

dσdx

dwVdU

dx(1.6)

where the integral over dσ extends over the whole surface, and where the increment indx corresponds with the increment in dw. In like manner, the procedure is done for they-part and z-part, resulting in:

−∫

dσV

{

dU

dx

dx

dw+dU

dy

dy

dw+dU

dz

dz

dw

}

= −∫

dσVdU

dw; (1.7)

where V and dUdw

represent the values at the surface of the body. Altogether, equation 1.3becomes

−∫

dσVdU

dw−

∫

dxdydzV δU (1.8)

after integration by parts. Finally, Green ends with 6:

Since the value of the integral just given remains unchanged when we substitute V

in the place of U and reciprocally, it is clear, that it will also be expressed by

−∫

dσUdV

dw−

∫

dxdydzUδV. (1.9)

Hence, if we equate these two expressions of the same quantity, after having changedtheir signs, we shall have

∫

dσVdU

dw+

∫

dxdydzV δU =

∫

dσUdV

dw+

∫

dxdydzUδV · · · . (1.10)

Green could use reciprocal relations due to the method of integration by parts, as it isarbitrary which part of the integral you integrate or derive. According to Cannell, Greenwas the first who used this relation in mathematical physics 7.

6 [Green, 1828, p. 12]7 [Cannell, 1993, p. 175]

6 Hoofdstuk 1. Green’s theorem and its development

1.2.2 Publication and rediscovery

Although Green’s essay contained several important ideas and methods – some still widelyused –, its publication almost passed unnoticed. Given that he worked for his father inthe mill in 1828, it is very likely that he had little contact with the scientific communityand consequently did not know how to promote his work. It can be argued that due toignorance, Green did not summarize his main results in a scientific journal, nor sent it toprominent scientists 8.

However, there are more reasons for the paper not being well-known. Firstly, it seemedthat Green did not show any interest in his own essay. This is shown by the fact that hedid not refer to his essay in later work. After his publication, Green wanted to invest moretime in the theory of physics, and consequently started a study at Cambridge University.During the 1830s, he produced nine scientific articles of which several were publishedin the Transactions of the Cambridge Philosophical Society, and therefore attracted theBritish scientific community 9. Yet, in these writings Green mentioned his essay merelytwice, and gave no indication of its importance 10. Lastly, the people who did acquaintwith Green’s essay did not appear to appreciate its importance. For example, none ofthe private subscribers who purchased the pamphlet did something with it, and GowlandHopkins, Green’s tutor during his study, received a few copies, which he had apparentlynever examined 11. From this, it can be argued that Green’s work was not acknowledgedor even seen.

However, although the publicity of Green’s essay was poor, it did not completely passunnoticed, for Robert Murphy, an Irish mathematician and physicist, referred to Greenas the originator of the term potential in his work On the Inverse Method of DefiniteIntegrals, with Physical Applications from 1832 12.

Eventually, it was William Thomson who read Murphy’s reference and was curiousabout the original paper of Green. Via his mentor – who was also Hopkins –, he receivedthe copies in 1845 and immediately saw its importance. Around the same time, Thomsonwent on a study trip to Paris and spread the work around his French colleagues, amongthem Liouville, Sturm and Chasles. Furthermore, he sent a copy to Germany to AugustCrelle, the editor of Journal fur die reine und angewandte Mathematik who published atranslation in three instalments in 1850, 1852 and 1854 13. In conclusion, it was due toWilliam Thomson that Green’s essay was known publicly in Europe 25 years after itsoriginal publication 14.

8 [Grattan-Guinness, 2005, p. 408]9 [Archibald, 1989, p. 223]

10 [Grattan-Guinness, 2005, p. 409]11 [Archibald, 1989, p. 224]12 [Archibald, 1989, p. 223], [Murphy, 1832, p. 357]13 [Grattan-Guinness, 2005, p. 410]14 [Archibald, 1989, p. 224]

1.3. The first appearance of the modern version of Green’s theorem 7

1.3 The first appearance of the modern version of

Green’s theorem

From the previous section, it is easily seen that Green’s original theorem does not cor-respond with the theorem as it is generally known, for the original theorem is three-dimensional and the modern version is two-dimensional. Although it is possible to derivethe two-dimensional form from Green’s version, there is no evidence Green himself everdid 15. Presumably, the modern version first appeared in Cauchy’s paper Sur les integralesqui s’etendent a tous les points d’une courbe fermee (‘On the integrals that extend to allthe points of a closed curve’) in Comptes rendus Academie des sciences (‘Proceedings ofthe Academy of Sciences’), a French scientific journal. According to Katz, it is no sur-prise it first occurred here, ‘since Green’s theorem is crucial in the elementary theory ofcomplex variables’ 16.

Cauchy’s paper consisted of three theorems that show remarkable properties of inte-grals over closed curves. For example, Cauchy’s first theorem appears to state that theline integral over the closed curve that surrounds a region on a plane and that is divi-ded into smaller regions by lines or curves, equals the sum of the line integrals over theboundaries of the smaller regions 17.

Currently, this is used to prove Green’s theorem, yet, Cauchy presented Green’s the-orem as an example of a ‘proposition deja connue’ (‘a theorem already known’), which isa corollary of a special case of Cauchy’s three theorems given. He stated that when (S)is the value of

∫

kds with k = X Dsx+ Y Dsy, then the following equation applies:

(S) = ±∫ ∫

(DyX −DxY ) dx dy, (1.11)

in which (S) represents the line integral along the curve that encloses the surface S; Di

signifies the derivative of i, and X and Y are continuous functions in x and y 18. Aftersubstitution, it is precisely Green’s theorem, as it is known nowadays.

As this theorem was already known according to Cauchy, it may not be striking itwas not named after Cauchy himself. However, he did not give any references, thus it isnot clear from who he got this. If Green’s essay was Cauchy’s reference, then it can beargued that he transformed it into a two-dimensional theorem, given that his total paperconsiders integrals on a plane.

Cauchy did not give any proof of the current Green’s theorem either; this was givenby Riemann in his dissertation of 1851. Just like Cauchy, Riemann did not give anyreferences while exploring the theorem.

15 [Katz, 1979, p. 149]16 Loc. cit.17 [Caucy, 1846]18 Ibid., p. 254.

8 Hoofdstuk 1. Green’s theorem and its development

1.4 Green’s theorem in work of others

Given that the original theorem was three-dimensional and the version known nowadaysis two-dimensional, there must have been a shift in definition. It seems that Green’stheorem was known as three-dimensional at first. This is confirmed by the fact thatThomson named the three-dimensional theorem after Green in his paper on peristalicinduction of electric currents of 1856 19:

’I now find that a general theorem communicated by myself [...], but, as Iafterwards (Jan. 1845) learned, first given by Green [...], leads to an affirmativeanswer to this question 20.

However, the question remains how eventually the two-dimensional version is named afterGreen. Since Cauchy and Riemann both did not refer to Green and not even mentionedhis name, it must have been another scientist who named this version after Green. Aliterature review is done to see how other prominent scientists referred to Green’s theorem,starting with Tait, a Scottish mathematical physicist, who worked closely with Thomson.

1.4.1 Tait in On Green’s and other allied theorems

In his article On Green’s and other allied theorems (1870), Tait expressed Green’s theoremthe clearest. Although he used quaternions, it is easily seen that he presented the theoremin its original form, which should be no surprise given his relation with Thomson 21:

∫ ∫ ∫

S.∇P∇P1ds = −∫ ∫ ∫

P1∇2Pds+

∫ ∫

P1S.∇PUνds =

−∫ ∫ ∫

P∇2P1ds+

∫ ∫

PS.∇P1Uνds, (1.12)

in which P and P1 are scalar functions, and S.∇PUν is the normal directed outwardscontrary to Green – this is also explains why the minus appeared in Tait’s version.

Tait also referred to an extension of the theory made by Thomson, which appeared intheir Treatise of Natural Philosophy of 1888; to which a quantity a was added that couldbe a constant or any arbitrary function 22.

Among the works that were examined in this literature review, there were two otherscientists who cited Tait and Thomson when they mentioned Green’s theorem, namelyMaxwell and an unknown scientist in the Encyklopadie der mathematischen Wissenschaft.Their work will be discussed below.

19 [Thomson, 1856, pp. 124-125]20Thomson refers to an earlier mentioned question, not relevant for this paper.21 [Tait, 1872, p. 139]22 [Thomson and Tait, 1888, pp.167-71]

1.4. Green’s theorem in work of others 9

1.4.2 Maxwell

In the first volume of his Treatise on Electricity and Magnetism, Maxwell discussed theoriginal form of Green’s theorem after referring to his essay. On the basis of a letter fromMaxwell to Tait in February 1868, it is clear that Maxwell was inspired by Thomson andTait’s work. In his Treatise, Maxwell made use of the coefficient K – a real quantity,given for each point of space, which may be positive or zero but not negative –, to givegreater generality to the statement 23. After utilizing the method of integrating by parts,he obtained the following expression, which he named Green’s theorem:

4πM =

∫ ∫ ∫

K

(

dU

dx

dV

dx+dU

dy

dV

dy+dU

dz

dV

dz

)

dxdydz, (1.13)

throughout the space within the surface S. This coefficient K was probably differentthan the earlier mentioned a that was introduced in the extention of Green’s theorem inThomson and Tait’s Treatise, since Maxwell explicitly referred to this extention later 24.

Although Maxwell was inspired by Tait, he did not use elements of the quaternionnotation until his second edition of his Treatise.

1.4.3 Encyklopadie der mathematischen Wissenschaft

In this German encyclopaedia from 1899-1916, it is firstly described that all the theoremsby which an integral over surface E is transformed into an integral over the boundary ofits surface are Green’s theorems. In a footnote, it is mentioned that this principle did notappear in Green’s essay; there, his theorem was solely introduced. However, although thetheorem appeared in both its two- and three-dimensional form in this encyclopaedia, hisessay was never referenced in a footnote after presenting one 25.

In the first place, Riemann is referenced after given the first form: ‘Green’s theoremin a plane’. It is presented like Cauchy did, namely separated and stating that

J =

∫ ∫(

∂P

∂y− ∂Q

∂x

)

dxdy, (1.14)

– the integral over closed surface E in a plane – is equal to

J = −∫

PD(x) +QD(y), (1.15)

the integral over its boundary D with a positive orientation of the curve that bounds theregion E.

23 [Maxwell, 1873, p. 108]24 [Harman, 1995, p. 886]25 [Burkhardt et al., 1916, p. 113]

10 Hoofdstuk 1. Green’s theorem and its development

After mentioning Stokes’s theorem in the next paragraph, Green’s theorem is repeatedand a special case of the theorem is given, namely ‘der spezielle Green’schen Satz inRaume’ (Green’s theorem in space) 26:

∫

∂U

∂x

∂V

∂x+∂U

∂y

∂V

∂y+∂U

∂z

∂V

∂z+

∫

U∆(V )dxdydz = (1.16)

∫

U

[

∂V

∂xcosα +

∂V

∂ycosβ +

∂V

∂zcosγ

]

dw (1.17)

Here, again no reference were made to Green; instead Thomson and Tait’s first part oftheir Treatise was referenced.

1.4.4 Various works

Green’s theorem also appeared in French work, for example in Goursat’s Cours d’analysemathematique 27 with its first edition in 1902, in which he gave Green’s theorem in thetwo-dimensional form without mentioning Cauchy’s name at all. Furthermore, Green’stheorem also occured outside Europe, e.g in the USA in Wilson’s Vector Analysis (1901) 28.Here, the three important integral theorems are given: Gauss’, Stokes’ and Green’s. Whe-reas Gauss’ and Stokes’ theorem are introduced in the way they are known nowadays,Green’s theorem is presented in its original form.

1.5 Conclusion

The aim of this paper was to show the development of Green’s theorem. It started withGreen’s essay of 1828, in which he presented a three-dimensional integral theorem, whichhe would apply on the theory of electricity and magnetism later in his essay. Although,its publication almost passed unnoticed, it was due to William Thomson that it wasrediscovered in 1845 and that it was spread over Europe. Consequently, it also occurredin France and although Cauchy did not give any references, Green’s essay was presumablyhis inspiration for writing his essay in which the two-dimensional theorem appeared thatis now widely known as Green’s theorem. Apparently, there were thus two version ofGreen’s theorem circulating since the rediscovery in 1845.

From the literature review done, it is seen that in England the original version ofGreen’s theorem was generally used since its rediscovery, which is shown by the worksof Thomson, Tait and Maxwell until at least 1888. However, their use of the three-dimensional theorem is easily understood, for Thomson was the rediscoverer of Green’soriginal essay and Tait and Maxwell were in (close) contact with him.

26 [Burkhardt et al., 1916, p. 115]27 [Goursat, 1913]28 [Wilson, 1901]

1.5. Bibliografie 11

The first time in this literature review that the two-dimensional theorem was namedafter Green, was in the German encyclopaedia Encyklopadie der mathematischen Wissen-schaft of 1895-1916. Around the same time, namely in 1902, in France the modern versionof Green’s theorem appeared as well, as was seen in Goursat’s work. From this, one mightconclude that during the turn of the century the two-dimensional result became widelyknown as Green’s theorem. However, this can only be considered as a turning point, forthe three dimensional form was also still attributed to Green, as shown by Wilson’s workand the same German encyclopaedia.

Unfortunately, it is still uncertain who was the first who named the two-dimensionalversion after Green and why this shift appeared. It may be the case that this is related tothe development of the other divergence theorems, such as Stokes’ and Gauss’, since thecurrent Green’s theorem can be derived from Stokes’ theorem. However, more researchmust be done to verify this hypothesis.

Bibliografie

[Archibald, 1989] Archibald, T. (1989). Connectivity and Smoke-Rings: Green’s SecondIdentity in Its First Fifty Years. Mathematics Magazine, 62 (4): 219–232.

[Burkhardt et al., 1916] Burkhardt, H., Wirtinger, W., and Fricke, R. (red.) (1899-1916).Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, Band 2, Analysis. Erster Teil, ErsteHalfte. Leibzig: B.G. Teubner.

[Cannell, 1993] Cannell, D.M. (1993). George Green, Mathematician and Physicist 1793-1841, The Background to his Life and Work. London: The Athlone Press.

[Caucy, 1846] Caucy, A. (1846). Sur les integrales qui s’etendent a tous les points d’unecourbe fermee. Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de l’Academie des Sciences,23: 251–255.

[Goursat, 1913] Goursat, E. (1902-1913). Cours d’Analyse Mathematique, tomes I, II,III. Paris: Gauthier-Villars.

[Grattan-Guinness, 2005] Grattan-Guinness, I. (red.) (2005). Landmark Writings inWestern Mathematics 1640-1940. Amsterdam: Elsevier.

[Green, 1828] Green, G. (1828). An Essay on the Application of Mathematical Analysisto the Theories of Electricity and Magnetism. Nottingham: Published by the Author.

[Harman, 1995] Harman, P.M. (red.) (1995). The scientific letters and papers of JamesClerk Maxwell, Volume II, 1862-1873. Cambridge: Cambridge University Press.

[Katz, 1979] Katz, V.J. (1979). The History of Stokes’ Theorem. Mathematics Magazine,52 (3): 146–156.

[Maxwell, 1873] Maxwell, J.C. (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. I.Oxford: At the Clarendon Press.

12 Hoofdstuk 1. Green’s theorem and its development

[Murphy, 1832] Murphy, R. (1832). On the Inverse Method of Definite Integrals, withPhysical Applications. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 4: 353–408.

[Tait, 1872] Tait, P.G. (1872). On Green’s and other Allied Theorems. Transactions ofthe Royal Society of Edinburgh, 26: 69–84.

[Thomson, 1856] Thomson, W. (1856). On Peristaltic Induction of Electric Currents.Proceedings of the Royal Society of London, 8: 121–132.

[Thomson and Tait, 1888] Thomson, W. and Tait, P.G. (1888). Treatise on Natural Phi-losophy part I. Cambridge: At the University Press.

[Wilson, 1901] Wilson, E.B. (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Studentsof Mathematics and Physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. New York:Charles Scribner’s Sons.

2. Quaternionen

Door Tjebbe Hepkema & Maxim van Oldenbeek

2.1 Inleiding

In dit boek bekijken we de geschiedenis van de vector analyse. Hierin hebben de quater-nionen een belangrijke rol gespeeld. In het verleden werden quaterionen gebruikt om deruimte te beschrijven. In dit hoofdstuk gaan we hier dieper op in.

We zullen ten eerste een korte introductie geven over wat quaternionen precies zijnen er een beknopte achtergrond over geven. Dit doen we omdat studenten tegenwoordigopgeleid zijn met vector analyse en nauwelijks met quaternionen. We wilden weten waar-mee Sir William Rowan Hamilton bezig was voordat hij zijn quaternionen ontdekte. Ditbehandelen we in de sectie na de introductie. Sommige studenten komen tegenwoordigwel in aanraking met quaternionen. We vroegen ons af of er een groot verschil is tussende manier waarop studenten tegenwoordig in aanraking komen met quaternionen en demanier waarop men ze vroeger onderwees. Hiervoor zullen we passages behandelen uiteen leerboek van die tijd, het einde van de 19e eeuw. Tot slot wilden we graag weten ofquaternionen tegenwoordig nog toepassingen hebben.

Bij het schrijven van dit hoofdstuk zijn we uitgegaan van een gezonde voorkennis inlineaire algebra en af en toe enige kennis van groepentheorie en topologie. Maar niets watniet bekend kan zijn voor een tweedejaars bachelorstudent wiskunde aan de UniversiteitUtrecht in de 21e eeuw.

De introductie is eigen denkwerk aangevuld met verschillende geleende feiten uit deliteratuur. De sectie over algebraısche paren is gebaseerd op een artikel van Hamilton 1.In de sectie hierop volgend bespreken we passages uit een boek van Tait, An ElementaryTreatise on Quaternions 2. In de sectie over rotaties hebben we de stelling overgenomenuit The Four Pillars Of Geometry van Stillwell 3, maar het bewijs is eigen denkwerk. Deopbouw van de appendix met de details over de rotaties is deels gebaseerd op The SpinCover van Schwartz 4 en deels op The Four Pillars Of Geometry 5. In welke mate, is inde appendix zelf aangegeven.

1 [Hamilton, 1837]2 [Tait, 1890]3 [Stillwell, 2005]4 [Schwartz, 2014]5 [Stillwell, 2005]

14 Hoofdstuk 2. Quaternionen

2.2 Introductie over quaternionen

Voor het geval u niet bekend bent met quaternionen volgt hier eerst een korte introductie,gegeven op de manier waarop studenten tegenwoordig kennis maken met quaternionen.Daarna volgen een aantal opmerkingen over hoe de getalenteerde Sir William RowanHamilton in 1843 deze quaternionen uitgevonden heeft.

2.2.1 Moderne introductie

De eerste keer dat wij als studenten wiskunde in aanraking met quaternionen kwamenwas als voorbeeld van een niet abelse groep. De groep Q8 wordt weergeven in de volgendemultiplicatie tabel:

· 1 −1 i −i j −j k −k1 1 −1 i −i j −j k −k−1 −1 1 −i i −j j −k ki i −i −1 1 k −k −j j−i −i i 1 −1 −k k j −jj j −j −k k −1 1 i −i−j −j j k −k 1 −1 −i ik k −k j −j −i i −1 1−k −k k −j j i −i 1 −1

Met dit idee van het multipliceren van i, j, k kunnen we Q8 uitbreiden tot een reeelevector ruimte H met als basis 1, i, j, k. Dan zijn quaternionen ‘vectoren’ van de vorma + bi + cj + dk met a, b, c, d ∈ R. Wanneer we bij deze vector ruimte ook het volgendeproduct definieren:

(a+ bi+ cj + dk)(a′ + b′i+ c′j + d′k) =

(aa′ − bb′ − cc′ − dd′) + (ab′ + ba′ + cd′ − dc′)i+

(ac′ + ca′ + db′ − bd′)j + (ad′ + da′ + bc′ − cb′)k.

Dit krijgen we door simpel weg haakjes weg te werken en aan te houden dat i2 = j2 =k2 = −1 en ij = k. Met dit product vinden we dat H een R-algebra is. Merk op dat C

bevat is in H.

2.2.2 Hamilton

William Rowan Hamilton werd geboren in 1805 in Dublin. Zijn oom James Hamiltononderwees hem. James merkte al snel dat Hamilton vrij intelligent was. Zo beheerste hijop zijn dertiende dertien talen en kon hij bijzonder goed rekenen 6. Later wijdde Hamiltonzijn leven aan (succesvol) onderzoek in de natuurkunde en de wiskunde en bekleedde hijeen aanzienlijke hoeveelheid belangrijke posities op wetenschappelijke instituten.

6 [Hankins, 1972]

2.3. Algebraısche paren 15

Halverwege de 19e eeuw was Hamilton aan het zoeken naar een hypercomplex getaldat gerelateerd is aan de driedimensionale ruimte op dezelfde manier waarop een regu-lier complex getal gerelateerd is aan de tweedimensionale ruimte. Het lukte niemand indie tijd om een dergelijk hypercomplex getalsysteem te vinden dat zowel associativiteit,commutativiteit, distributiviteit en de wet van moduli respecteert. Bovendien wilde menook een unieke deler en een significante interpretatie in termen van de driedimensionaleruimte. In 1878 bewees Ferdinand Georg Frobenius dat dit niet kan bestaan 7. Hamiltonkwam echter dichtbij. Met zijn quaternionen moest hij enkel de eis van commutativiteitopgeven. In 1844 schreef Hamilton een brief aan The Philosphical Magazine and Journalof Sciences waarin hij zijn quaternionen introduceerde. Hij introduceerde zijn gedachtesals volgt 8:

My train of thoughts was of this kind. Since√−1 is in a certain well-known sense,

a line perpendicular to the line 1, it seemed natural that there should be some otherimaginary to express a line perpendicular to the former; and because the rotationfrom this to this also being doubled conducts to 1, it ought also to be a square rootof negative unity, though not to be confounded with the former. Calling the oldroot, as the Germans often do, i, and the new one j, I inquired what laws ought tobe assumed for multiplying together a + ib + jc and x + iy + jz. It was natural toassume that the product

= ax − by − cz + i(ay + bx) + j(az + cx) + ij(bz + cy);

but what are we to do with ij?

Uit dit citaat blijkt dat hij op zoek was naar een uitbreiding van de complexe getallen.In de brief gaat hij na deze passage op zoek naar een waarde voor ij. Hij komt tot deconclusie dat er nog een imaginair getal k moet zijn, zodanig dat ij = −ji = k. Hiergeeft hij dus commutativiteit op.

2.3 Algebraısche paren

De theorie van de algebraısche paren van Hamilton vloeide voort uit zijn filosofie overPure Time. Deze filosofie was beınvloed door het werk van Immanuel Kant 9. Kantbeargumenteert in zijn werk Critique of Pure Reason dat de geest ruimte en tijd nodigheeft om dingen te kunnen begrijpen. Als je als persoon allerlei gebeurtenissen hebtopgeslagen, dan heb je het frame van de ruimte en tijd nodig om die gebeurtenissen tekunnen plaatsen en daaruit logische conclusies te kunnen trekken.

In tegenstelling tot de filosofie van Kant, die betrekking heeft op ruimte en tijd, gaatde filosofie van Hamilton alleen over de tijd, vandaar de naam Pure Time. Vanuit dezefilosofie heeft hij uiteindelijk de theorie van de algebraısche paren ontwikkeld.

In het artikel 10 kijkt Hamilton naar paren van momenten in de tijd. Vervolgens legthij uit wanneer paren dezelfde relatie hebben. We zullen nu in het kort uitleggen hoe

7 [Hankins, 1972]8 [Hamilton, 1844, p. 490]9 [Hankins, 1972]

10 [Hamilton, 1837]

16 Hoofdstuk 2. Quaternionen

hij van zijn algebraısche paren naar de complexe getallen gaat. Voor een gedetailleerdereuitleg verwijzen we naar 11.

Hamilton definieert de volgende relatie: stel je hebt een paar van momenten in de tijd,(A,B), deze is equivalent aan een ander paar, (C,D), als B −A = D−C. Je kan bij eenpaar van momenten een paar van tijdsstappen optellen. Dan blijft deze equivalent aanhet originele paar.

(A,B) + (t1, t1) = (A+ t1, B + t1) ∼ (A,B)

Je kan zo’n paar ook gaan schalen als volgt x(A,B) = (xA, xB). Hamilton gaat dan deschalingsfactor schrijven als een algebraısch paar, x = (x, 0). We krijgen dan (x, 0)(A,B)= (xA, xB). Dan komt de grote vraag: hoe moet je twee paren vermenigvuldigen? Ha-milton had in zijn werk al laten zien dat de paren in ieder geval linear zijn dus dat(A,B) = (A, 0) + (0, B). We kunnen het dan als volgt uitschrijven,

(x, y)(A,B) = (x, 0)(A,B) + (0, y)(A,B)

= (xA, xB) + (0, y)(A, 0) + (0, y)(0, B)

= (xA, xB + yA) + (0, y)(0, B)

We weten op dit moment niet wat we moeten doen met de laatste term (0, y)(0, B).Hamilton beredeneert dat het van de vorm (α1yB, α2yB) moet zijn om een tegenspraakte voorkomen. Er volgt dat

(x, y)(A,B) = (xA + α1yB, xB + yA+ α2yB).

De α1 en α2 zijn vermenigvuldigingsconstanten en het leek hem logisch om voor dezerespectievelijk −1 en 0 te nemen, zodat je de normale complexe vermenigvuldiging krijgt.Hij beargumenteert dit als volgt 12.

[ . . . ] we ought to take care to satisfy, if possible, the essential condition that there

shall be always one determined number-couple to express the ratio of any one de-

termined step-couple to any other, at least when the latter is not null: since this

was the very object, to accomplish which we were led to introduce the concepti-

on of these number-couples. It is easy to show that no choice simpler than the

following, [ . . . ]

Hier gaat het over de constanten −1 en 0. Zou je andere vermenigvuldigingsconstan-ten nemen dan induceert dit een automorfisme van het complexe vlak. Een reden datHamilton de complexe getallen op deze manier wilde bekijken omschreef hij als volgt 13.

In the theory of single numbers, the symbol√−1 is absurd, and denotes an

impossible extraction, or a merely imaginary number; but in the theory of

couples, the same symbol√−1 is significant, and denotes a possible extracti-

on, or a real couple, namely (as we have just now seen) the principal square-root

of the couple (−1, 0). In the latter theory, therefore, though not in the former, this

sign√−1 may properly be employed; and we may write, if we choose, for any couple

(a1, a2) whatever, (a1, a2) = a1 + a2

√−1 [ . . . ]

11 [Hamilton, 1837]12 Ibid., p. 401.13 Ibid., p. 417-418.

2.4. Quaternionen door Peter Guthrie Tait 17

Dit betekent dat Hamilton niet tevreden was met de onderbouwing van de complexegetallen. Hij wilde deze algebraısch en filosofisch funderen. Dit is hem gelukt door middelvan de algebraısche paren.

Hamilton gaat het idee van algebraısche paren ook nog uitbreiden naar triplets enn-tuples in plaats van paren. Bij het uitwerken voor triplets komt hij uiteindelijk op 27vermenigvuldigingscontanten uit. Voor mensen die hierin geınteresseerd zijn refereren wenaar het boek The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton 14.

2.4 Quaternionen door Peter Guthrie Tait

We gaan proberen een gedeelte uit het boek van Tait toe te lichten alsof we ons bevindenin de collegebanken van 1890. We vertalen het dus niet naar moderne wiskunde, maar weleggen het uit met de notatie van Tait. We laten ook een bewijs zien waarom quaternionenin het algemeen niet commuteren. Dit doen we aan de hand van het boek An ElementaryTreatise on Quaternions 15. Ondanks dat Hamilton degene was die de quaternionen heeftontwikkeld waren de boeken die hij er over schreef moeilijk leesbaar. Tait, een leerlingvan Hamilton, heeft uiteindelijk een boek geschreven die veel beter leesbaar is.

Wat ons het eerste opviel toen we het werk van Tait lazen, was dat Tait quaternionenop een heel andere manier introduceert. Tait ziet quaternionen als een rotatie in een vlak.Vervolgens laat hij zien dat de quaternionen ook te schrijven zijn als a+bi+cj+dk, zoalsHamilton dat in 16 doet.

Tait gebruikt in zijn boek ook al het begrip vector, hij ziet het als een lijnstukje vanuitde oorsprong naar een punt in de ruimte. Als we twee vectoren OA en OB hebben in deruimte dan kunnen we een operator maken die de eerste vector in de tweede verandert.Dit kan gedaan worden door als eerste de lengte van OA te veranderen zodat die gelijkwordt aan de lengte van OB. Het enige gegeven dat je hiervoor nodig hebt is de ratiovan de lengtes tussen de twee vectoren. Vervolgens kunnen we in het vlak, dat wordtopgespannen door de twee vectoren, de ene vector roteren naar de andere. Hier zijn intotaal drie gegevens voor nodig. Twee voor het vlak opgespannen door de vectoren, OBen OA, en nog een voor de hoek tussen de vectoren, OB en OA, in dat vlak. In totaalhebben we vier getallen nodig vandaar de naam quaternion.

Een quaternion q is gedefinieerd als een relatie tussen twee vectoren α, β

β = qα

merk op dat q wordt gezien als een operator en staat dus voor de α. Hij heeft dus nogniets gezegd over i, j, k. Hij ziet het puur als een operator, maar wel een operator diealleen maar werkt op een bepaald vlak. Als we hebben dat OA = α en OB = β en dequaternion β = qα, dan schrijven we ook wel q = βα−1 = β

α= OB

OA.

De schalingsfactor van een quaternion wordt de tensor genoemd en wordt genoteerdals T . De draaifactor wordt versor genoemd, deze wordt genoteerd als U . Een quaternionwordt compleet bepaald door zijn draaiing en schaling.

14 [Hamilton, 1967]15 [Tait, 1890]16 [Hamilton, 1844]

18 Hoofdstuk 2. Quaternionen

We hebben dat q = Tq.Uq = Uq.Tq, waar de punt staat voor compositie. In woorden,het maakt niet uit of we eerst draaien en dan schalen of andersom. Met het voorgaandeis de quaternion gedefinieerd alleen door de schalingsfactor, het vlak waarin de vectorenliggen en de hoek tussen de vectoren. Dus als je andere vectoren in dat vlak hebt danbewerkt de quaternion ze op dezelfde manier.

Vervolgens laat hij zien wat hij bedoelt met een inverse. Dit noemt hij in zijn stuk dereciprocal. Dit is de operator met de omgedraaide bewerkingen, dus de reciprocal van qheeft als tensor 1

Tqen als versor draaien we in hetzelfde vlak maar over negative hoek.

Tait definieert de conjugate van een quaternion q die wordt genoteerd als Kq. De-ze heeft dezelfde tensor, hetzelfde vlak, alleen draai je de andere kant op met dezelfdehoek, i.e. de versor van de conjugatie is de reciprocal van de versor. We krijgen dan devergelijkingen

Kq = (Tq)2q−1

qKq = Kq.q = (Tq)2

Dit is redelijk eenvoudig in te zien. Voor de eerste vergelijking zien we vanuit de definitiesdat de versors van Kq en q−1 gelijk zijn. We hebben dat de tensor van q−1 gelijk is aan1/(Tq) en de tensor van Kq is gelijk aan Tq. Voor de tweede vergelijking hebben we datde versor van q wegvalt tegen de versor van Kq, dus je hebt dat je enkel twee keer schaalt.

Tait beredeneert dat indien de ratio 1 is je het quaternion kunt zien als een boog opeen grootcirkel van een sfeer. We hebben dat twee verschillende bogen twee verschillendequaternionen geven, wanneer de grootcirkels niet hetzelfde zijn en dus niet in hetzelfdevlak liggen of wanneer de hoeken anders zijn. Tait geeft zo’n boog weer op de manier

OB

OA= AB⌢

.

Hiermee laat Tait zien dat quaternionen in het algemeen niet commuteren. We gaan nukijken hoe Tait dit bewezen heeft. In de volgende afbeelding geeft Tait de stelling. Hij gaatbewijzen dat de quaternionen niet commuteren door naar een bepaald soort quaternionente kijken. Namelijk alleen de versors, deze hebben schalingsfactor 1. Deze kunnen we dusopvatten als bogen op de grootcirkels 17.

54. By aid of this process, when a versor is represented as an arc of a great circle on

the unit-sphere, we can easily prove that quaternion multiplication is not generally

commutative.

Hierboven beschrijft Tait nogmaals de stelling dat quaternionen niet in het algemeencommuteren 18.Merk op, de boog kun je verschuiven over de grootcirkel zonder dat je de versor verandert.In het bovenstaande citaat legt Tait uit welke quaternionen waar op werken. Het figuurillustreert het nogmaals welke quaternionen horen bij welk vlak en grootcirkel 19.

17 [Tait, 1890, p. 37]18 Loc. cit.19 Loc. cit.

2.4. Quaternionen door Peter Guthrie Tait 19

Figuur 2.1: “Thus let q be the versor AB⌢

or OB

OA, where O is the centre of the

sphere. Take BC⌢

= AB⌢

, (which, it must be remembered, makes the points A,B,C,

lie in one great circle), then q may also be represented by OB

OA. In the same way any

other versor r may be represented by DB⌢

or BE⌢

and by OB

ODor OE

OB”

[The line OB in the figure is definite, and is given by the intersection of the planes

of the two versors.]

Now rOD = OB and qOB = OC. Hence qrOD = OC, or qr = OC

OD, and may

therefore be represented by the arc DC⌢

of a great circle.

Hier is de OB gegeven door de twee versors oftewel grootcirkels omdat de quaternionenop twee vlakken gedefinieerd zijn. We weten dat twee vlakken die de oorsprong bevattenelkaar altijd snijden in een lijn, die dan ook de oorsprong bevat. Dan krijgen we tweemogelijke punten voor OB. Je kan er gewoon een kiezen aangezien de aanpak bij beidenhetzelfde is 20.

But rq is easily seen to be represented by the arc AE⌢

. For qOA = OB and rOB =

OE, whence rqOA = OE and rq = OE

OA. Thus the versors rq and qr, though

represented by arcs of equal length, are not generally in the same plane and are

therefore unequal: unless the planes of q an r coincide.

Als je de hoek klein genoeg neemt van de quaternionen r en q dan zullen qr en rq niet perse hetzelfde zijn. Dit laatste lijkt verwarrend omdat je qr en rq niet op dezelfde vectortoepast. Maar je kan q niet op OD laten werken omdat OD niet in het juiste vlak ligt.Tait zegt dan dat ze niet per se in hetzelfde vlak liggen en niet dezelfde versor hoeven tezijn en dat ze daarom niet commuteren. De vraag is hoe je kan zien dat qr en rq nietin hetzelfde vlak liggen. Zou dit zo zijn, dan moeten A,D,C,E op dezelfde grootcirkelliggen, we nemen aan dat het allemaal verschillende punten zijn, in de volgorde ADCE.Verder hebben we ∠AOE = ∠DOC, wegens overstaande hoeken. Maar nu ga je met

20 [Tait, 1890, p. 37]

20 Hoofdstuk 2. Quaternionen

qr van D naar C en met rq ga je van A naar E maar dan kan je AE⌢

bewegen over degrootcirkel zodat deze gelijk is aan CD

⌢. Oftewel we krijgen dezelfde boog alleen ga je de

andere kant op, dus de orientatie is anders.Met het bovenstaande hebben we dat CB

⌢hoort bij Kq en BD

⌢hoort bij Kr en CD

⌢bij

K(qr) en dan krijgen we voor versors:

K(qr) = Kr.Kq.

Tait behandelt verder ook nog associativiteit, in het volgende stuk legt hij uit waarom 21:

57. Seeing thus that the commutative law does not in general hold in the multipli-cation of quaternions, let us enquire whether the Associative Law holds generally.That is if p, q, r be three quaternions, have we

p.qr = pq.r?

This is, of course, obviously true if p, q, r be numerical quanities, or even any of theimaginaries of algebra. But it cannot be considered as a truism for symbols whichdo not in general give

pq = qp.

Hier worden spherical conics voor gebruikt. Verder gaat Tait ook nog kijken naar distri-butiviteit. Voor de bewijzen hiervan refereren we naar 22.

Tait laat zien dat we de quaternionen ook kunnen schrijven op de manier zoals wijdat nu doen. Dit doet hij in 23 op twee manieren. Een is meer algebraısch en de ander ismeer visueel. Het visuele gedeelte zullen we hier toelichten 24.

65. Suppose we have a system of three mutually perpendicular unit-vectors, drawn

from one point, which we may call for shortness i,j,k. Suppose also that these are

so situated that a positive (i.e. left-handed) rotation through a right angle about i

as an axis brings j to coincide with k. The it is obvious that positive quadrantal

rotation about j will make k coincide with i; and, about k, will make i coincide

with j.

In andere woorden, we hebben een basis i, j,k met i naar het oosten j naar het noorden endan k naar boven toe. Verder betekent een positive quadrantal rotation, verder genoteerdals p.q.r., een versor met een hoek van π/2.

Het moet opgemerkt worden dat het kwadraat van iedere p.q.r. gelijk is aan −1. Alsje een vector in een vlak met een hoek van π/2 draait en vervolgens weer met π/2 draait,dan zal hij precies de andere kant op staan. Dus is de versor gelijk aan −1. Tait noemtde p.q.r. die j naar k stuurt i, de p.q.r. die van i naar j gaat noemt hij k en die van knaar i noemt hij j. Deze zet hij in het linker figuur, waaruit je de rechter vergelijkingenkunt afleiden 25.

21 [Tait, 1890, p. 38]22 Ibid.23 Ibid.24 Ibid., p. 43.25 Ibid., p. 45.

2.4. Quaternionen door Peter Guthrie Tait 21

Samen met de relaties i2 = j2 = k2 = −1 bevatten deze vergelijkingen eigenlijk alles vande quaternionen. Zoals Tait het zelf zegt 26:

[ . . . ] and thus, by comparing,

ij = −ji = k,

jk = −kj = i,

ki = −ik = j

these equations, along with

i2 = j2 = k2 = −1

contain essentially the whole of Quaternions.

We hebben nu nog twee sets i, j, k en i, j, k, maar deze zijn zo aan elkaar gerelateerddat we ze allebei voor hetzelfde kunnen gebruiken. Tait verwoordt het als volgt 27:

[ . . . ] in other words, a unit-vector when employed as a factor may be considered as

a quadrantal versor whose plane is perpendicular to the vector. (Of course it follows

that every vector can be treated as the product of a number and a quadrantal

versor.) This is one of the main elements of singular simplicity of the quaternion

calculus.

We hebben nu een quaternion gezien als een product van een tensor en een versor. Welaten nu zien dat het ook als een som kan worden opgevat. Eerst merkt Tait op dat elkeversor geschreven kan worden als qr waar q een versor is en r een reeel getal. Vervolgenszegt Tait dat elke quaternion geschreven kan worden als de macht van een vector 28.

Hence it is natural to define im as a versor which turns any vector perpendicular to

i through m right angles in the positive direction of rotation about i as an axis. Herem may have any real value whatever, whole or fractional, for it is easily seen thatanalogy leads us to interpret a negative value of m as corresponding to rotation inthe negative direction.

26 [Tait, 1890, p. 46]27 Ibid., p. 47.28 Loc. cit.

22 Hoofdstuk 2. Quaternionen

75. From this again it follows that any quaternion may be expressed as a power of

a vector. For the tensor and versor elements of the vector may be so chosen that,

when raises to the same power, the one may be the tensor and the other the versor

of the given quaternion. The vector must be, of course, perpendicular to the plane

of the quaternion.

Bekijk de quaternion OB

OA, zoals in het volgende figuur uit 29.

Teken de lijn OA door en teken BC loodrecht op OA. Dan hebben we OB = OC +CB.Maar omdat CB loodrecht op OA staat is er een versor (of zoals we nu ook mogen zeggeneen vector) die loodrecht staat op OA en CB. We kunnen dus CB = γOA schrijven enomdat OC een verlenging is van OA hebben we OC = xOA. Nu kunnen we zeggen datOB = OC + CB = xOA+ γOA. Dus we krijgen

OB

OA=xOA+ γOA

OA= x+ γ.

We kunnen dus een quaternion schrijven als een som van een getal en een vector.We hebben gezien dat we een quaternion kunnen opvatten als een rotatie in een vlak,

maar de vraag is wat er gebeurt buiten dat vlak. Als we een simpel voorbeeldje nemen,bijvoorbeeld de quaternion i, dan zorgt deze voor de rotatie in het j, k vlak met als hoekπ/2. Als we nu kijken wat het doet op de vector i+j+k door de rekenregels toe te passendie we afgeleid hebben, krijgen we i(i+ j + k) = −1 + k − j. Dan worden inderdaad dej en k component op de juiste manier gewisseld. Alleen hebben we nu opeens een reeelgedeelte en is het i gedeelte verdwenen. Toch kunnen we quaternionen gebruiken omrotaties te beschrijven in de ruimte. We moeten er alleen iets meer voor doen. Dit zullenwe in de volgende sectie op een moderne manier behandelen.

We begonnen deze sectie om te kijken hoe vroeger de quaternionen werden onderwezen.Uit het voorgaande is duidelijk dat Tait de quaternionen op een andere manier aan zijnleerlingen onderwees. Tait introduceerde het quaternion als een quotient van vectoren i.e.een operator die van een vector een andere vector maakt. Hieruit volgen uiteindelijk derekenregels die wij als definitie kennen.

2.5 Rotaties

Ondanks dat Hamiltons quaternionen niet de standaard manier zijn geworden om dedriedimensionale ruimte te beschrijven, zijn er een aantal gevallen waarbij we ze, eventueel

29 [Tait, 1890, p. 48]

2.5. Rotaties 23

in een modern jasje, goed kunnen gebruiken. Een van die gevallen is bijvoorbeeld hetbeschrijven van rotaties in de driedimensionale ruimte, R3. We kunnen laten zien dat devolgende conjugatie-afbeelding een rotatie beschrijft:

Cq : H ≃ R3 → H ≃ R

3 : p 7→ qpq−1

waarbij H de verzameling van pure quaternionen is welke isomorf is aan R3. Verder kunnenwe laten zien dat elke rotatie te beschrijven is als een dergelijke conjugatie-afbeelding. Ditis in detail uitgewerkt in appendix 2.7. We weten dan dat elke rotatie te beschrijven is alseen conjugatie-afbeelding Cq voor een bepaalde q. Maar als je een rotatie wilt beschrijvenmet een bepaalde as en hoek, dan is het prettig om te weten welke q je moet kiezen zodatCq precies die rotatie beschrijft. Dit is opgelost met de volgende stelling uit The FourPillars Of Geometry 30, die hij niet bewijst, maar wat wij hier wel zullen doen.

Stelling 2.5.1. Laat rθ,L de rotatie zijn van hoek θ om de as L gegenereerd door l =l1i + l2j + l3k met |l| = 1. Dan wordt rθ,L beschreven door de afbeelding Cq : H → H,p 7→ qpq−1, met

q = cos(θ/2) + (l1i + l2j + l3k) sin(θ/2)

Bewijs. Ten eerste weten we dat Cq een rotatie is (zie appendix 2.7), we hoeven daaromalleen te laten zien dat deze de juiste as en hoek heeft. De draai-as bestaat precies uit devectoren die worden vastgehouden door Cq. Merk op dat:

(cos(θ/2) + l sin(θ/2))(cos(θ/2) − l sin(θ/2))

= cos2(θ/2) − l2 sin2(θ/2) = cos2(θ/2) + sin2(θ/2) = 1

want

l2 = (l1i + l2j + l3k)2 = −(l21 + l22 + l23) +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

l1 l2 l3l1 l2 l3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1

Dus we hebben dat

q−1 = cos(θ/2) − (l1i + l2j + l3k) sin(θ/2)

en |q| = 1. We laten nu zien elementen λl ∈ L vastgehouden worden door Cq.

qλlq−1 = (cos(θ/2) + l sin(θ/2))λl(cos(θ/2) − l sin(θ/2))

= λ(cos(θ/2) + l sin(θ/2))(l cos(θ/2) + sin(θ/2))

= λ(l(cos2(θ/2) + sin2(θ/2)) + sin(θ/2) cos(θ/2) + l2 sin(θ/2) cos(θ/2))

= λ(l + sin(θ/2) cos(θ/2) − sin(θ/2) cos(θ/2))

= λl

30 [Stillwell, 2005, p. 161]

24 Hoofdstuk 2. Quaternionen

Stel nu dat p = p1i + p2j + p3k wordt vastgehouden door Cq. Dan p = qpq−1 en duspq = qp:

(p1i + p2j + p3k)(cos(θ/2) + (l1i + l2j + l3k) sin(θ/2))

= (cos(θ/2) + (l1i + l2j + l3k) sin(θ/2))(p1i + p2j + p3k)

Waaruit volgt dat

p cos(θ/2) +

−(p1l1 + p2l2 + p3l3) +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

p1 p2 p3

l1 l2 l3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

sin(θ/2)

= p cos(θ/2) +

−(l1p1 + l2p2 + l3p3) +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

l1 l2 l3p1 p2 p3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

sin(θ/2)

.

We zien dat alles weg valt behalve de twee determinanten. Daarom∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

l1 l2 l3p1 p2 p3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

p1 p2 p3

l1 l2 l3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

l1 l2 l3p1 p2 p3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Waaruit volgt dat∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

l1 l2 l3p1 p2 p3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0,

waarna we kunnen concluderen dat p = λl ∈ L. We concluderen dat L de draai-as vanCq is.

Wat we nu nog moeten laten zien is dat θ de hoek tussen p en Cq(p) is. We rekenenhiervoor de elementen uit op de diagonaal van de matrix Mat(Cq) van Cq in de orthonor-male basis {i, j,k}. Dat doen we door de i-term, j-term en k-term van respectievelijkCq(i), Cq(j) en Cq(k) uit te rekenen.

We rekenen daarvoor eerst uit:

li = (l1i + l2j + l3k)i = −l1 − l2k + l3j,

il = i(l1i + l2j + l3k) = −l1 + l2k − l3j,

lil = (−l1 − l2k + l3j)(l1i + l2j + l3k)

= i(−l11 + l22 + l23) + j(−2l1l2) − k(−l3l1).

We krijgen dat de i-term van lil gelijk is aan −l11 + l22 + l23. Verder:

qiq−1 = (cos(θ/2) + l sin(θ/2))i(cos(θ/2) − l sin(θ/2))

= (i cos(θ/2) + li sin(θ/2))(cos(θ/2) − l sin(θ/2))

= i cos2(θ/2) + (li − il) cos(θ/2) sin(θ/2) − lil sin2(θ/2)

= i cos2(θ/2) + (−2l2k − 2l3j) cos(θ/2) sin(θ/2) − lil sin2(θ/2).

2.6. Conclusie 25

Waardoor we zien dat de i-term van qiq−1 gelijk is aan:

cos2(θ/2) − (−l21 + l22 + l23) sin2(θ/2).

Op dezelfde manier vinden we dat:

[j-term van qjq−1] = cos2(θ/2) − (l21 + −l22 + l23) sin2(θ/2),

[k-term van qkq−1] = cos2(θ/2) − (l21 + l22 − l23) sin2(θ/2).

Waarmee we het spoor van Mat(Cq) vinden:

sp(Mat(Cq)) = 3 cos2(θ/2) − (l21 + l22 + l23) sin2(θ/2) = 3 cos2(θ/2) − sin2(θ/2)

= cos2(θ/2) + 2 cos2(θ/2) − sin2(θ/2)

= cos2(θ/2) + 2(cos(θ) + sin2(θ/2)) − sin2(θ/2)

= 1 + 2 cos(θ).

Hier gebruiken we de verdubbelingsformule cos2(θ/2) = cos(θ) + sin2(θ/2).In het algemeen geldt dat een rotatie in R3 met hoek ϕ en draai-as, opgespannen door

f1 ∈ R3, als volgt te schrijven is als matrix in een orthonormale basis {f1, f2, f3}:

1 0 00 cos(ϕ) − sin(ϕ)0 sin(ϕ) cos(ϕ)

Deze matrix heeft als spoor 1+2 cos(ϕ). Dit spoor is onafhankelijk van de gekozen ortho-normale basis. Doordat het spoor van onze matrix 1 + 2 cos(θ) is kunnen we concluderendat de hoek die onze rotatie maakt ±θ is. 31 Om het teken hoeven we ons geen zorgente maken omdat deze vast komt te liggen wanneer we een orientatie van het vlak waarinwe draaien (loodrecht op l) kiezen. Maar aangezien we deze nog niet vastgelegd hebben,kunnen we de volgorde van de basis {f1, f2, f3} en die van de basis van het vlak, loodrechtop l, zo kiezen dat het teken positief is. We concluderen dat Cq een rotatie beschrijft omdraai-as l en hoek θ.

2.6 Conclusie

We hebben gezien dat quaternionen een uitbreiding zijn van de complexe getallen met hungeometrische interpretatie, uitgevonden door Hamilton halverwege de 19e eeuw. Het doelwat Hamilton voor ogen had bij de ontwikkeling van de quaternionen was het vinden vaneen algebra waarin je de driedimensionale ruimte goed kunt beschrijven. Tegenwoordigkunnen we dit doen met lineaire algebra, in vector ruimtes met een in- en uitproduct. Wehebben verder gezien dat Hamilton voor zijn ontdekking van de quaternionen bezig was

31 Dit is een standaard methode in de lineaire algebra bij het beschrijven van de elementen van O(3).Wanneer dit is weggezakt en u enige kennis van de Franse taal heeft, raden we u aan om hoofdstuk 6.4van [Koelblen and Polo, 2012] er op na te slaan, in het bijzonder de afleiding van theoreme 6.4.18.

26 Hoofdstuk 2. Quaternionen

met algebraısche paren. Hamilton probeerde met de door hem ontwikkelde algebraıscheparen complexe getallen algebraısch en filosofisch te funderen. Dit was een belangrijkelink tussen de complexe getallen en de quaternionen. Hierna gingen we kijken of er groteverschillen zijn tussen de manier waarop studenten van toen quaternionen onderwezenkregen en zoals studenten dit tegenwoordig krijgen. Hiervoor hebben we gekeken naareen leerboek van Tait over quaternionen. Zijn manier was duidelijk anders dan de manierwaarop studenten er tegenwoordig mee in aanraking komen en zoals wij quaternionenomschrijven in de introductie. Ondanks dat de quaternionen het uiteindelijk niet gehaaldhebben om de standaard manier te worden om de driedimensionale ruimte mee te be-schrijven zijn er nog enkele moderne toepassingen. Een van deze moderne toepassingenis het beschrijven van rotaties in een driedimensionele ruimte.

2.7 Appendix: Rotaties

Het beschrijven van de rotaties met behulp van quaternionen is deels ook gedaan in 32

en 33. Hier hebben we qua opbouw en bewijzen inspiratie uit opgedaan. Wanneer weons bewijs sterk gebaseerd hebben op een van deze bronnen is dit aangegeven bij hetdesbetreffende bewijs door middel van een voetnoot.

We beginnen met het definieren van de R-algebra H van quaternionen als volgt:

H =

{(

α β−β α

)

| α, β ∈ C

}

=

{(

a+ ib c + id−c + id a− ib

)

| a, b, c, d ∈ R

}

met de gebruikelijke matrix optelling en multiplicatie.

Lemma 2.7.1. De volgende elementen vormen een basis voor H:

1 =

(

1 00 1

)

, i =

(

i 00 −i

)

, j =

(

0 1−1 0

)

, k =

(

0 ii 0

)

Bewijs. Ze zijn duidelijk linear onafhankelijk en

(

a + ib c+ id−c+ id a− ib

)

=

(

a 00 a

)

+

(

bi 00 −bi

)

+

(

0 c−c 0

)

+

(

0 didi 0

)

= a1 + bi + cj + dk.

Door de matrixen uit de basis op de gebruikelijke manier te vermenigvuldigen vindenwe dat deze quaternionen zich op dezelfde manier gedragen als we gewend zijn.

Opmerking 2.7.2. In H hebben we:

i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k.

32 [Schwartz, 2014]33 [Stillwell, 2005]

2.7. Appendix: Rotaties 27

Via de onderstaande bijectie ψ : H → R4 kunnen we elk quaternion uit H identificerenmet een element uit R4 en andersom.

ψ :

(

a + ib c+ id−c+ id a− ib

)

7→ (a, b, c, d)

Lemma 2.7.3. ψ : H → R4 is een lineair isomorfisme.

Bewijs. Laat λ ∈ R en q,p ∈ H, dan

ψ(λ(p + q)) = ψ

(

λ

((

a + bi c+ di−c+ di a− bi

)

+

(

e+ fi g + hi−g + hi e− fi

)))

= ψ

((

λ(a+ e) + λ(b+ f)i λ(c+ g) + λ(d+ h)i−λ(c+ g) + λ(d+ h)i λ(a+ e) − λ(b+ f)i

))

= (λ(a+ e), λ(b+ f), λ(c+ g), λ(d+ h))

= λ((a, b, c, d) + (e, f, g, h)) = λ(ψ(p) + ψ(q)).

Corollarium 2.7.4.

|q|2 = |ψ(q)|2 = |(a, b, c, d)|2 = a2 + b2 + c2 + d2

definieert een norm op H.

Opmerking 2.7.5.

det(q) = αα− (−ββ) = |α|2 + |β|2 = a2 + b2 + c2 + d2 = |q|2

Verder definieren we de conjugatie zoals we die gewend zijn van quaternionen, opdezelfde manier: (a+bi+cj+dk)∗ = a−bi−cj−dk. Nu volgen een aantal eigenschappenvan de vermenigvuldiging in H.

Lemma 2.7.6. Laat p, q ∈ H. Dan:

a) |pq| = |p||q|

b) (pq)∗ = q∗p∗

c) |q|2 = qq∗

Bewijs. a) |pq|2 = det(pq) = det(p) det(q) = |p|2|q|2

b) pq(pq)∗ = |pq|2 = |p|2|q|2 = pp∗|q|2 = p|q|2p∗ = pqq∗p∗ En dus (pq)∗ = q∗p∗

c) qq∗ = (a+ bi + cj + dk)(a− bi − cj − dk) = (a2 + b2 + c2 + d2) + i(−ab+ ba− cd+cd) + j(−ac + ca− db+ bd) + k(−ad + da− bc + cd) = a2 + b2 + c2 + d2 = |q|2

28 Hoofdstuk 2. Quaternionen

We hebben nu een relatie tussen H en R4. We zouden echter graag rotaties in R3 willenbeschrijven in plaats van in R4. Hiervoor kijken we naar de puur imaginaire quaternionen:

H := {q ∈ H | q∗ + q = 0} ≃ R3.

H bestaat dus uit de quaternionen van de vorm bi + cj + dk met b, c, d ∈ R. We zullenlaten zien dat de volgende afbeelding een rotatie beschrijft in R3,

Cq : H ≃ R3 → H ≃ R

3 : p 7→ qpq−1

wanneer q norm 1 heeft. Vervolgens laten we zien dat elke rotatie in R3 te beschrijvenis met de conjugatie-afbeelding van (precies twee) quaternionen (±q). We introducerenenige notatie. Laat:

S3

H:= {q ∈ H | |q| = 1}(= SU(2)).

de eenheidscirkel in H zijn en SO(3) de rotaties in R3 (i.e. SO(3) = {x ∈ GL(3,R) |xTx = I, det x = 1}).

Lemma 2.7.7. Laat q ∈ S3H, dan

Cq(H) ⊂ H

Bewijs. Merk eerst op dat wanneer |q| = 1 dan q−1 = q∗ (lemma 2.7.6). En verder dateen quaternion p ∈ H dan en slechts dan als p∗ + p = 0. We zien:

(qpq∗)∗ + qpq∗ = qp∗q∗ + qpq∗ = q(p∗ + p)q∗ = q0q∗ = 0.

We concluderen dat qpq−1 ∈ H.

Lemma 2.7.8. Laat q ∈ S3H, dan is Cq een isometrie van R3.

Bewijs. Het is duidelijk dat Cq een lineaire afbeelding is en verder dat

|Cq(p)| = |qpq∗| = |q||p||q∗| = |p|.

Stelling 2.7.9. Cq is een rotatie in R3. (Cq ∈ SO(3).)

Bewijs. Na lemma 2.7.8 hoeven we alleen nog te laten zien dat Cq orientatie behoudendis. We merken op dat de volgende afbeelding continu is:

R4 ⊃ S3 → {−1, 1} : (a, b, c, d) 7→ q 7→ Cq 7→ det Cq

waar det Cq de determinant is van de matrix horende bij de afbeelding Cq. Verder isS3 waar (a, b, c, d) uitkomt, samenhangend. Door continuıteit van Cq is het beeld eensamenhangende component van {−1, 1}. Daarom geldt dat voor alle q ∈ H det Cq of 1 of−1 is. We hebben dat det(C1) = det(id) = 1. En dus concluderen we dat voor alle q ∈ H,Cq orientatie behoudend is en dus dat het een rotatie in R3 beschrijft.

2.7. Appendix: Rotaties 29

We willen nu laten zien dat elke rotatie in R3 te beschrijven is met de conjugatie-afbeelding van (precies twee) quaternionen (±q). Dit gaan we doen door te laten ziendat er een 2-1 surjectief groepshomomorfisme is:

ϕ : S3

H→ SO(3) : q 7→ Cq

Lemma 2.7.10. ϕ is een groepshomomorfisme.

Bewijs. S3H

= SU(2) en SO(3) zijn duidelijk groepen met matrix vermenigvuldiging. Wehadden al opgemerkt dat C1 = id. Verder geldt:

Cq1q2= (q1q2)p(q1q2)

−1 = q1(q2pq2)−1q1

−1 = Cq1◦ Cq2

.

Lemma 2.7.11. ϕ is surjectief.

Bewijs. 34 Laat q ∈ S3H

een quaternion zijn van de vorm q = a + bi met a, b ∈ R. Weweten dat Ca+bi een rotatie is. Verder houdt deze de i-as vast:

Ca+bi(λi) = (a + bi)(λi)(a− bi) = (a2 + b2)λi = λi.

De reeelen a en b bepalen de hoek van de rotatie. Op deze manier krijgen we alle rotatiesom de i-as. Omdat we bij opmerking 2.7.2 gezien hebben dat i2 = j2 = k2 = −1 zienwe dat we op dezelfde manier de rotaties rondom de j-as en rondom de k-as kunnenbeschrijven met respectievelijk Ca+bj, Ca+bk. De rotaties rondom de drie assen genererenSO(3) i.e. de rotaties in R3. We concluderen dat ϕ surjectief is.

We hebben nu dus laten zien dat elke rotatie te beschrijven is met een quaternionconjugatie-afbeelding. Maar we kunnen nog een stap verdergaan. Namelijk dat elkerotatie precies door twee quaternionen conjugatie-afbeeldingen kan worden beschreven.

Lemma 2.7.12. ϕ is 2-1.

Bewijs. 35 We hebben laten zien dat ϕ een groepshomomorfisme is. Daarom geldt dat ϕ2-1 is wanneer de kern van ϕ gelijk is aan {±1}. Het is duidelijk dat {±1} ⊂ ker φ. Laatnu q ∈ ker ϕ. Dan Cq = id. Dus qpq−1 = p oftewel p en q commuteren, qp = pq. Inhet bijzonder geldt dan qi = iq, en dus:

(a + bi + cj + dk)i = i(a + bi + cj + dk)

ai − b− ck + dj = ai − b+ ck − dj

waaruit volgt dat c = d = 0. Verder moet ook gelden dat qj = jq, en dus:

(a + bi + cj + dk)j = j(a+ bi + cj + dk)

a+ bk = aj − bk

waaruit volgt dat ook b = 0. We concluderen dat q reeel is en aangezien hij norm 1 moethebben krijgen we dat q = ±1.

We hebben nu bewezen dat elke rotatie in R3 te beschrijven is met een conjugatie-afbeelding van quaternionen. En met behulp van stelling 2.5.1 weten we precies hoe.

34 Gebaseerd op [Schwartz, 2014].35 Idem

30 Hoofdstuk 2. Quaternionen

Bibliografie

[Crowe, 1967] Crowe, M.J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of theIdea of a Vectorial System. Notre Dame: Notre Dame University Press.

[Hamilton, 1837] Hamilton, W.R. (1837). Theory of Conjugate Functions, or AlgebraicCouples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of PureTime. Transactions of the Royal Irish Academy, 17: 293–422.

[Hamilton, 1844] Hamilton, W.R. (1844). On Quaternions; or on a new System of Ima-ginaries in Algebra. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine andJournal of Science, 25: 489–495.

[Hamilton, 1967] Hamilton, W.R. (1967). Preface to ‘Lectures on Quaternions’. In Hal-berstam, H. and Ingram, R.E. (red.), The Mathematical papers of Sir William RowanHamilton, volume 3: Algebra, pp. 117–155. London: Cambridge University Press.

[Hankins, 1972] Hankins, T.L. (1972). Hamilton, William Rowan. In Gillispie, C.C.(red.), Dictionary of Scientific Biography, volume 6, pp. 85–93. New York: CharlesScribner’s Sons.

[Koelblen and Polo, 2012] Koelblen, L. and Polo, P. (2012). LM270 Algebre et geometrie.Universite Pierre et Marie Curie. https://www.imj-prg.fr/~patrick.polo/L2/polyLM270-2013.pdf [Bekeken 28-07-2014].

[Schwartz, 2014] Schwartz, R. (2014). The Spin Cover. http://www.math.brown.edu/~res/M153/spin.pdf [Bekeken 10-05-2014].

[Stillwell, 2005] Stillwell, J. (2005). The Four Pillars of Geometry. New York: SpringerScience+Business Media, Inc.

[Tait, 1890] Tait, P.G. (1890). An Elementary Treatise on Quaternions, 3d ed. Cambrid-ge: At the University Press.

3. De strijd tussen de systemen

Door Gerard van Beelen & Sander Beekhuis

3.1 Inleiding

In het eind van de 19e eeuw en het begin van de 20e eeuw ontstond er strijd tussen de aan-hangers van de verschillende geometrische systemen. De aanhangers van Quaternionen,van Cartesische coordinaten en van de Vectoranalyse zijn hierin de hoofdrolspelers en deopkomst van quaternionen staat hierbij centraal. In dit essay zullen we bespreken wat destandpunten van de verschillende partijen waren, hoe het debat zich ontwikkelde en watvoor invloed dit debat heeft gehad op de populariteit en de adaptatie van de verschillendesystemen. Hiermee zullen we uiteindelijk proberen te verklaren waarom de Vectoranalyseveel meer is aangeslagen dan de quaternionen. Om dit te kunnen bespreken, zullen weechter eerst alle systemen introduceren, zodat duidelijk wordt wat de situatie was waarinde systemen zich bevonden in en in aanloop op het debat.

3.2 De geschiedenis van quaternionen

3.2.1 Het ontstaan van quaternionen

Quaternionen werden voor het eerst gepubliceerd door William Rowan Hamilton (1805-1865) in 1843. Quaternionen kunnen worden gezien als een uitbreiding op de complexegetallen. Complexe getallen bestonden al rond 1500, maar deze werden heel weinig be-studeerd, omdat men er geen nuttige toepassing voor kon vinden. Aan het eind vande 18e eeuw vonden wetenschappers, waaronder Euler, een geometrische toepassing voorcomplexe getallen. Complexe getallen konden worden gebruikt om relatief gemakkelijkrotaties in de tweede dimensie te beschrijven. Hieronder nam de interesse in complexegetallen sterk toe. Complexe getallen gaven echter alleen een geometrische representa-tie van tweede dimensies. Hamilton deed onderzoek naar complexe getallen. Zo heefthij in 1833 een belangrijk stuk gepubliceerd waarin hij de complexe getallen als algebradefinieert met optelling en vermenigvuldiging.

Hamilton is vervolgens bijna tien jaar lang op zoek geweest naar een uitbreiding vande complexe getallen naar de derde dimensie. Hij vermoedde dat dit kon door getallen vande vorm a+bi+cj te gebruiken, waarbij a het reele deel was en bi+cj het imaginaire deel.

32 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

Bij optellen en aftrekken gaf dit geen problemen. Vermenigvuldiging kreeg hij echter nietsluitend, want hij kon geen interpretatie geven van ij. In 1843 kwam hij op het idee omte stellen dat ij = k en hiermee construeerde hij een algebra die nu bekend staat als dequaternionen. Voor de vermenigvuldiging van quaternionen gelden de regels

i2 = j2 = k2 = ijk = −1

Misschien vraagt u zichzelf af waarom het nodig was om een derde term aan hetcomplexe deel te voegen. Dit was nodig omdat een algebra gesloten moet zijn ondervermenigvuldiging. Hiermee bedoelen we dat ij geschreven moet kunnen worden in devorm a+ bi+ cj. We kunnen echter inzien dat dit niet mogelijk is door alle mogelijkhedente controleren.

Indien ij = ±i, dan is iij = ±ii = ∓1 en iij = −j, dus −j = ∓1, maar j is imaginair,dus dit kan niet. Evenzo, indien ij = ±j, dan is ijj = ±jj = ∓1 en i · −1 = ∓1, i iscomplex, dus dit kan ook niet. Indien ij = ±1, dan is iij = ±i en dan is −j = i, maardan geldt dat a+ bi + cj = a+ (b− c)i en dan hebben we weer een complex getal van devorm a + bi, dus dat kan ook niet. Tenslotte als ij = 0, dan is iij=0, wat betekent dat−j = 0 en dat kan niet. Kortom, de derde term in het complexe deel was nodig om hetalgebra onder vermenigvuldiging kloppend te krijgen.

U zou echter misschien kunnen verwachten dat quaternionen alleen toepassingen heb-ben in de vierde dimensie, wat men in de 20e eeuw ook heeft geprobeerd toen men werkteaan de relativiteitstheorie. Dit is echter niet het geval. De bedoeling was immers omhiermee rotaties in de derde dimensie gemakkelijker te beschrijven. Quaternionen hebbenook toepassingen in de derde dimensie. Ook Hamilton zag dit in en dit wordt onder an-dere beschreven in een van zijn belangrijkste publicaties over quaternionen de “Lectureson quaternions”van 1851 1.

Hamilton heeft zich sterk ingezet voor het propageren van quaternionen. Hij voorspel-de dat quaternionen een sterke invloed zouden hebben op de wetenschap. Na 1843 heefthij een groot aantal papers gepubliceerd over quaternionen. In 1848 heeft hij verschillen-de lessen gegeven over quaternionen aan de Trinity College in Dublin, wat uiteindelijk debasis heeft gevormd voor zijn Lectures. Hamilton had echter gebrek aan ervaring op hetgebied van onderwijs. Zijn Lectures on Quaternions was ruim 700 pagina’s lang en het7e en laatste hoofdstuk bestond uit ruim 300 bladzijden.

Tevens werden zijn Lectures werden niet door iedere lezer begrepen. Een van deproblemen waar men tegenaan liep was de noncommunativiteit van quaternionen. Voorquaternionen geldt bijvoorbeeld dat ij = −ji. Heel veel wetenschappers waren gewendaan communativiteit bij vermenigvuldiging. Dat vermenigvuldiging niet communativitiefhoefde te zijn was iets wat niet iedereen zomaar accepteerde of begreep.

Ten slotte was het Hamiltons stijl om vele nieuwe notaties, definities en begrippen inte voeren. Dit leed wel tot kortere, compactere uitdrukkingen, maar de keerzijde was weldat zijn stijl onleesbaar werd voor sommige lezers. Zij werden overvallen door het groteaantal nieuwe notaties en begrippen. Op bijna elke pagina staat wel weer een nieuwenotatie, definitie of begrip. Er was dan naast lof ook veel kritiek op de Lectures vanHamilton. Zijn boek verkocht niet heel goed.

1 [Hamilton, 1853]

3.2. De geschiedenis van quaternionen 33

Het is daarom dat Hamilton werkte aan een nieuw boek; “Elements of Quaternions”.Dit boek werd postuum gepubliceerd in 1866; Hamilton stierf in 1865. Dit boek was762 pagina’s lang, terwijl het de bedoeling was geweest van Hamilton om dit werk kor-ter te maken, vanwege de kritiek op de lengte van zijn Lectures. In zijn Elements ofQuaternions beschreef hij de regels, de overeenkomsten met andere operaties en de toe-passingen. Hamilton heeft ook gewerkt aan biquaternionen, deze vormen een algebra in8 dimensies. Biquaternionen zijn van de vorm q1 + q2i (deze i geeft een andere com-plexe as aan als degene die we met dezelfde i bedoelen wanneer we hem in de beschrij-ving van een quaternion q = a + bi + cj + dk gebruiken), waarbij q1 en q2 quaternionenzijn. Biquaternionen komen op dezelfde manier voort uit quaternionen als quaternionenvoortkomen uit complexe getallen. We kunnen immers quaternionen ook weergeven alsw1 +w2j, waarbij w1 = a+ bi en w2 = c+ di complexe getallen zijn. Nu volgt immers datw1 + w2j = (a + bi) + (c + di)j = a+ bi + cj + dij = a+ bi + cj + dk.

3.2.2 Tait en quaternionen

Een van de belangrijkste bijdragen aan quaternionen werd geleverd door Peter GuthrieTait (1831-1901). In de jaren 60 van de 19e eeuw werkte Tait aan zijn “ElementaryTreatise on Quaternions”. Hierbij werkte hij nauw samen met Hamilton op de universiteitvan Edingburgh. Tait’s Treatise werd echter pas gepubliceerd in 1867, omdat HamiltonTait had verzocht om zijn Treatise pas te publiceren nadat Hamilton zijn Elements ofQuaternions had gepubliceerd. Toen Hamilton merkte dat hij niet heel lang meer televen had, droeg hij Tait op om Tait’s werk aan zijn Treatise zo snel mogelijk af teronden, opdat de kennis over quaternionen niet verloren zou gaan.

Tait had groot ontzag voor Hamilton en zette het onderzoek van Hamilton voort enmoedigde het gebruik van quaternionen aan voor het beschrijven van objecten in driedimensies. In de 19e eeuw bestond immers ook het Cartesische coordinaten systeem datgeıntroduceerd was door Descartes in de 17e eeuw. Dit systeem werd al veel gebruikt.Later, rond 1900 begon de vector analyse op te komen en Tait was zeer negatief over ditsysteem. Hij beledigde hierbij wetenschappers die dit systeem aanhingen zoals bijvoor-beeld Gibbs en Heaviside. En deze reageerde hier natuurlijk ook weer op, er onstond danook een felle discussie tussen Tait en andere quaternionisten, en de aanhangers van deVectoranalyse.

3.2.3 MacFarlane en quaternionen

Een van de problemen die vooral natuurkundigen hadden met quaternionen was dat i2 =j2 = k2 = −1 in plaats van +1. Dit vond men onnatuurlijk, omdat dit onder andere leedtot negatieve kinetische energie als men deze negativiteit niet corrigeerde (met een extraminteken in de formule). Dit was een van de argumenten van de Vectoranalisten tegen hetgebruik van quaternionen en voor het gebruik van vectoren, omdat hun inproduct dezevermeende onnatuurlijkheid niet had. Alexander MacFarlane (1851-1913) deed daaromin 1906 een poging om zijn eigen systeem van quaternionen te ontwerpen met i2 = j2 =k2 = 1. Dit kan worden gezien als een soort middenweg tussen Quaternionen en deVectoranalyse. Een van de nadelen van dit systeem is echter dat het niet associatief is,

34 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

wat betekent dat bijvoorbeeld geldt dat −j = ik = i(ij) 6= (ii)j = j, wat zowel voor denotatie als voor de intiutiviteit als een probleem werd ervaren. Bovendien waren zowel deaanhangers van de quaternionen en de vector analisten tegen dit systeem, omdat ze beidehun eigen systemenen beter vonden 2.

Overige noemenswaardige wetenschappers die aanhangers van Quaternionen zijn Ben-jamin Peirce (1809-1880) en Alexander McAuley (1863-1931). Peirce was een Amerikaanswiskundige en was al zeer vroeg geınteresseerd in quaternionen. Hij gaf rond 1848 al on-derwijs in op de universiteit van Harvard in de Verenigde Staten. Peirce is waarschijnlijkeen van de belangrijkste redenen geweest van de relatief grote populariteit van quaternio-nen in de Verenigde Staten in vergelijking met de rest van de wereld 3. McAuley was eenEngels wiskunde en een groot aanhanger van quaternionen. Hij was zeer fel in zijn kritiekover het gebrek aan acceptatie van quaternionen en omschakeling naar quaternionen inzijn land. Op het gebied van onderzoek naar quaternionen was hij niet erg belangrijk,maar hij heeft wel veel gewerkt aan de popularisering ervan 4.

3.3 Het ontstaan van de Vectoranalyse

In dit deel zullen we nader kijken naar het ontstaan van de moderne vectoranalyse. Wiewaren de eerste mensen die dit systeem ontwikkelden en hoe kwamen ze op hun ideeen?

De hoofdrolspelers in dit verhaal zijn Oliver Heaviside en Willard Gibbs, maar eerstzullen we Maxwell en zijn boek de Treatise on Electricity and Magnetism behandelen. Demanier waarop deze geschreven is, heeft een grote rol gehad in de ontwikkeling van deVectoranalyse door Heaviside en Gibbs.

Maxwells Treatise Maxwell studeerde net zoals Tait aan de universiteit van Edin-burgh. Er was veel contact tussen de twee. Zij discussieerden samen over verschillendeonderwerpen. Het is dan ook voornamelijk Tait geweest die Maxwell er toe heeft aange-zet om quaternionen te gaan bestuderen. Dit heeft ertoe geleid dat Maxwell later ookquaternionen in zijn werk is gaan gebruiken.

Maxwell heeft zijn Treatise op een beetje vreemde manier geschreven. Zelf noemde hijdeze manier “tweetalig”. Hij omarmde de quaternionen namelijk niet volledig, maar hijgebruikte in plaats daarvan Cartesische en quaterniontechnieken naast elkaar 5. Wanneerhij quaternionen gebruikt, is dat te categoriseren in drie categorieen

• Op een elementaire manier: hij gebruikte hele simpele vergeljkingen die zich meerop het idee van een vector toeleggen

• Op een integrale wijze: tijdens de ontwikellingen in de tekst

• Aan het eind van een hoofdstuk wordt de quaternionversie van de vergelijkingengegeven, die in componenten in dat hoofdstuk zijn afgeleid.

2 [MacFarlane, 1906]3 [Cajori, 1890]4 [McAuley, 1893]5 Zoals uiteengezet wordt in [Crowe, 1967, pp. 135-136]

3.3. Het ontstaan van de Vectoranalyse 35

De tweede categorie kwam duidelijk het minst voor. Wat opvalt is dat Maxwell hetvolledige quaternionproduct nergens gebruikt; op pagina 9 van A Treatise on Electricityand Magnetism 6 zegt hij:

As the methods of Des Cartes are still the most familiar to students of science, and

as they are really the most useful for the purposes of calculation, we shall express all

our results in the Cartesian form. I am convinced, however, that the introduction

of the ideas, as distinguished from the operations and methods of Quaternions, will

be of great use to us in the study of all parts of our subject [. . . ] (cursivering

toegevoegd)

In deze quote en de rest van het boek drukt hij, om verschillende redenen, zijn terug-houdendheid wat betreft het gebruik van quaternionen. Hij gebruikt ze wel, maar hijomarmt ze niet echt. Dit deed hij ten eerste omdat hij graag wilde dat zijn tekst tebegrijpen was voor een breed publiek en quaternionen nog niet bekend genoeg waren (inieder geval naar Maxwells mening). Daarnaast vond hij, zoals hij in de quote uitgedrukt,de ideeen van quaternionen (e.g. het vectorbegrip) goed, maar was hij niet zo tevredenmet de daadwerkelijke uitwerking van deze calculus; hij vond onder andere het feit dathet kwadraat van twee vectoren negatief was niet intuıtief. Bij notatie in componentenis dit kwadraat immers wel positief. Deze ideen gebruikte hij veelvuldig in zijn boek endeze komen voornamelijk terug in de tweede van de zojuist genoemde categorieen.

We gaan niet te diep in op hoe Maxwell over quaternionen dacht. Het is vooralbelangrijk dat hij op de hierboven beschreven manier over quaternionen schreef. Dit enhet gegeven dat zijn werk belangrijk genoeg was om gelezen te worden, heeft Heaviside enGibbs waarschijnlijk tot nadenken aangezet. Ook in prive-correspondentie was Maxwellgematigd positief over quaternionen. Hij had ze ook meer willen gebruiken in zijn Treatisemaar hij durfde dit niet aan, omdat hij bang was zijn lezer van zich te vervreemden 7.

Heaviside

Jeugd De jeugd van Oliver Heaviside verliep niet bijzonder voorspoedig. Hij was devierde zoon van een houtgraveur; een beroep wat destijds door de uitvinding van defotocamera in onbruik aan het raken was 8. Heaviside is nooit naar de universiteit gegaanen was dus autodidact. Het valt te betwijfelen of Heaviside op zijn plek zou zijn geweestop de universiteit; zijn directe stijl en zeer kritische blik zouden waarschijnlijk niet gepasthebben bij de stijl van het Britse onderwijs in die tijd 9. In plaats daarvan kreeg Heavisideeen baan als telegraafoperator, waarschijnlijk door de invloed van de echtgenoot van zijnzus 10, en het is ook vanuit deze hoek dat hij belangstelling kreeg voor de werking vanelektriciteit en magnetisme. Hij deed dan ook vaak experimenten met de apparatuur opzijn telegraafkantoor. Later in zijn leven was hij werkloos en werd hij verzorgd door zijnfamilie.

6 [Maxwell, 1873]7 [Crowe, 1967, p. 137]8 [Nahin, 2002]9 Ibid., pp. 23-24.

10 Ibid., pp. 18-20.

36 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

De ontwikkeling van vectoranalyse Over de ontwikkeling van zijn vectoranalysezegt Heaviside zelf het volgende in een kritiek van Wilsons’ Vector Analysis 11.

My own introduction to quaternions took place in quite a different manner. Max-

well exhibited his main results in quaterionic form in his treatise. I went to Prof

Tait’s treatise to get information, and to learn how to work them. I had the same

difficulties as the deceased youth [that the square of a vector is negative], but by

skipping them, was able to see that quaternionics could be employed consistently

in vectorial work. But on proceeding to apply quaternionics to the development

of electrical theory, I found it very inconvenient. Quaternions were, in its vectorial

aspects, antiphysical and unnatural, and did not harmonise with common scalar

mathematics. So I dropped out the quaternions altogether, and kept to pure scalars

and vectors, using a very simple vectorial algebra in my papers from 1883 onwards.

In dit citaat is te zien dat Heaviside zijn vectoren systeem als een soort versimpelingvan de quaternionen ziet. Aan de andere kant heeft hij ook al heel erg duidelijk doordat Vectoranalyse absoluut geen quaternionen nodig heeft om te bestaan. Dit zie jebijvoorbeeld in 12 waar hij zegt “The vector analysis I use may be described either asa convenient and systematic abbreviation of Cartesian analysis; or else, as Quaternionswithout the quaternions, and with a simplified notation harmonising with Cartesians. Inthis form, it is not more difficult, but easier to work than Cartesians.” Hierin klinkt doordat Heaviside zijn systeem misschien wel van de quaternion had afgeleid, maar dat hijdoor had dat deze quaternionen niet nodig waren voor zijn vectoranalyse.

Electromagnetic theory Zoals in de bovenstaande quote van Heaviside staat, gebruikthij vanaf 1883 zijn systeem van Vectoranalyse. Voor de verspreiding van zijn systeem waswaarschijnlijk zijn boek Electromagnetic theory het belangrijkst 13. Dit boek werd in driedelen gepubliceerd, het eerste in 1893, de tweede in 1899 en de laatste in 1912. Het eerstedeel was het belangrijkst, omdat het als eerste gepubliceerd werd en een uitgebreidebehandeling van de moderne vectoranalyse bevat 14. Het pamflet van Gibbs over zijnvectorsysteem is immers nooit officieel gepubliceerd (zie paragraaf 3.3).

In zijn boek herhaalt Heaviside de resultaten van Maxwell en breidt hij deze uit. Zoschreef hij als eerste de vergelijkingen die we tegenwoordig als de Maxwell-vergelijkingenkennen in hun moderne vorm op 15. Heaviside wilde echter de theorie in het boek op eenvectorieele manier benaderen en was daarom gedwongen om deze lezers hierin een korteintroductie te geven. Dit doet hij voornamelijk in het derde hoofdstuk van zijn boek enhiervoor neemt hij 170 pagina’s de tijd. In dit hoofdstuk legt hij niet alle en de basis vande vector analyse (scalair- en vectorproduct, lineaire vector operatoren) met voorbeeldenuit. Maar herhaalt hij ook veelvuldig wat volgens hem de voordelen van zijn vectoranalysezijn ten opzichte van zowel Cartesische Coordinaten en Quaternionen.

11 [Crowe, 1967, pp. 162-163]12 [Heaviside, 1893a, p. 135]13 Ibid.14 [Crowe, 1967, p. 169]15 Ibid., p. 176.

3.3. Het ontstaan van de Vectoranalyse 37

Gibbs

We zullen de sectie over Gibbs beginnen met een korte biografie gebaseerd op het werkvan Crowe 16. Josh Williard Gibbs is geboren in 1839. Gibbs behaalde met goede cijferszijn master in Yale. Hierna studeerde hij direct verder in de bouwkunde en behaalde hijin 1863 als eerste in de Verenigde Staten een Doctoraat hierin 17. Hierna ging hij driejaar naar Europa om daar verder te studeren en werd uiteindelijk in 1871 professor in deMathemathische Fysica op de universiteit van Yale. Dit zou hij de rest van zijn levenblijven.

In eerste instantie richtte Gibbs zich voornamelijk op de Thermodinamica. Zo schreefhij drie papers, waarvan de laatste en belangrijkste “On the Equilibrium of HetrogeneousSubstances” 18 was. Deze paper was meer dan 300 pagina’s lang en zou zeer invloedrijkblijken. Het duurde echter tot ongeveer 1890 totdat dit werk door andere wetenschapperswerd ontdekt en bekend werd. Gibbs zijn interesse in de elektrodynamica kwam paslater; hij leerde de ideeen van Maxwell waarschijnlijk kennen door het lezen van MaxwellsTreatise uit 1873 en hij startte in 1877 met het geven van een cursussen op het gebiedvan elektriciteit en magnetisme. Door zijn werk in de elektrodynamica ontwikkelde hijuiteindelijk zijn ideeen over de moderne vectoranalyse. Op dit moment was Gibbs nogniet een heel erg beroemde wetenschapper.

Gibbs vectoranalyse Tijdens zijn onderzoek naar de Elektrodynamica in de Maxwel-liaanse traditie kreeg Gibbs steeds meer het gevoel dat het systeem van quaternionen niethet handigste systeem is om deze wetten in uit te drukken. Dit is mischien beınvloeddoor de manier waarop Maxwell zijn Treatise heeft geschreven; Maxwell was immers watterughoudend en kritisch geweest in het gebruik van quaternionen (zie hoofdstuk 3.3).

In 1879 geeft Gibbs al een cursus over Vectoranalyse met toepassingen in elektriciteiten magnetisme 19. Vervolgens drukte hij in prive zijn Elements of Vector Analysis. Heteerste deel in 1881 en het tweede deel in 1884. De exemplaren publiceerde hij echterniet. In plaats daarvan stuurde Gibbs kopieen van dit werk naar meer dan 130 anderewetenschappers, waardoor dit toch een vrij goed gecirculeerd werk was.

In dit boek van Gibbs zien we voor het eerst de moderne notatie voor het scalaire- envectorproduct. Heaviside gebruikte nog een notatie die veel meer op die van de quaternio-nisten leek. Ook was Elements het eerste boek dat uitsluitend over de vectoranalyse ging.Er waren echter ook nadelen aan Gibbs boek. Volgens sommigen, waaronder Heaviside,was het boek erg beknopt waardoor het als leerboek ongeschikt was 20.

Wilson

Wilson was een student van Gibbs en heeft een boek over de Vectoranalyse geschrevenin 1901. Hij schreef dit boek op verzoek van de Yale Bicentennial Series nadat hij eenreeks colleges van Gibbs had bijgewoond. Dat Wilson deze colleges uberhaupt bijwoonde

16 [Crowe, 1967]17 Ibid., p. 151.18 [Gibbs, 1876], [Gibbs, 1878]19 [Crowe, 1967, p. 154]20 Ibid., p. 158.

38 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

was nog best een toevalligheid; in eerste instantie was hij naar Yale gegaan om aan zijnmaster met Pierpont en Piercy Smith te studeren. De decaan vond echter de drie vakkendie Wilson wilde gaan doen te weinig en verplichte een vierde vak, hij raadde hiervoor hetcollege over vector analayse van Gibbs aan. Wilson vond dit eigenlijk onzinnig, omdathij een jaar daarvoor al over quaternionen had geleerd in Harvard. Hier heeft hij ookwel profijt van gehad, want hij vond het college gemakkelijk. Dit kun je ook zien uit hetvoorwoord van zijn boek, hierin zegt hij: “My previous study of quaternions has also beenof great use” 21.

Over dit boek hebben Wilson en Gibbs slechts een gesprek gehad waarin de tweedeuitlegde dat hij vanwege andere werkzaamheden geen tijd had om te helpen. Hiernahebben Wilson en Gibbs geen contact meer gehad over het boek. Wilson schreef een langen goed te lezen boek dat hij Vector Analysis: A Text Book for the Use of Students ofMathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs noemde 22.

Dit was het eerste officieel gepubliceerde werk dat uitsluitend over de Vectoranalyseging, want Gibbs boek was nooit officieel gepubliceerd. Andere boeken in deze tijd zoalsElectromagnetic Theory van Heaviside combineerden het onderwerp van vectoranalysemet haar toepassing in de theorie van elektrodynamica.

Een van de opvallende dingen van de Vector Analysis van Wilson is hoe helder dezegeschreven is en hoe rustig de stof wordt opgebouwd. Het boek is nog steeds leesbaarvoor de moderne lezer. De notaties en noties in het boek liggen heel dicht bij de huidigevectoranalyse.

3.4 Argumenten van de verschillende fracties

In dit deel zullen we de argumenten van de quaternionisten en de moderne vectorana-listen met elkaar vergelijken. voor de volledigheid zullen we ook een aantal argumentenbespreken die de Cartesianen, voorstanders van het werken in cartesische coordinaten,aanvoerden. We zullen van alle drie de kampen een artikel of brief bespreken en soms ookdirect de weerlegging van deze argumenten bespreken. Daarnaast zullen we belangrijkeandere argumenten die niet in de uitgekozen literatuur naar voren komen los bespreken.

3.4.1 Cartesianen

De Quaternionen hadden last van een wat moeizame start (50 jaar na hun uitvindingenwerden ze niet overal gebruikt). Ondanks dat quaternionen maar langzaam werden ge-adopteerd, waren er maar weinig wetenschappers die fervent tegen vectoriele systemen -quaternionen of vectoranalyse - waren en in plaats daarvan veel meer toekomst zagen inCartesische coordinaten. De twee bekendste wetenschappers die wel tegen de vectorieelesystemen ingingen zijn echter niet de minste: Lord Kelvin en Arthur Cayley.

De argumenten voor en tegen quaternionen die in deze discussie voorkomen zijn meest-al in principe ook geldig voor of tegen de moderne vectoranalyse. Het is echter zo dat hetdebat destijds door Cayley en Tait tegen quaternionen gevoerd werd.

21 [Wilson, 1901]22 Ibid.

3.4. Argumenten van de verschillende fracties 39

Caley

Arthur Caley (1821-1895) is een beroemde Britse wiskundige die leefde. Caley heefttijdens zijn leven ongeveer 900 papers gepubliceerd en introduceerde onder andere dematrixvermenigvuldiging. Tevens legde hij de basis voor de formele groepentheorie.

Caley’s bijdrage aan het debat bestond uit een paper, Coordinates versus Quaterni-ons 23, waarin hij de quaternionen vergeleek met coordinaatnotatie. Deze paper werd injuli 1894 (vlak voor Cayley’s dood) voorgelezen op een bijeenkomst van de Royal Societyof Edinburgh. Hij beargumenteerde in deze paper dat de Quaternionen de onderliggendemechanismes verhulden in plaats van verduidelijkten. Een quaternionformule was welkort, maar om hem te begrijpen moet je hem uitschrijven, aldus Cayley.

Inhoud van de paper In de inleiding van de paper stelt Cayley dat de Quaterionenmooi en elagant zijn, maar niet erg bruikbaar. Dit doet hij door twee vergelijkingen tegeven:

My own view is that quaternions are merely a particular method, or say a theory,

in coordinates. I have the highest admiration for the notion of a quaternion; but . . .

as I consider the full moon far more beautiful then any moonlit view, so i regard the

notion of a quaternion as far more beautiful than any of its applications. As another

illustration which I gave [Tait], I compare a quaternion formula to a pocket-map — a

capital thing to put in one’s pocket, but which for use must be unfolded: the formula

to be understood must be translated into coordinates (cursivering toegevoegd).

Vervolgens lost hij twee simpele problemen op - als twee lijnstukken parallel en evenlang zijn zijn de lijnstukken die hun eindpunten verbinden dat ook, en het vinden vaneen lijnstuk OC loodrecht op twee anderen OA, OB - en vergelijkt hij hun oplossingen.Hierbij geeft hij toe dat de quaternionnotatie korter is, maar om begrepen te kunnenworden, eerst uitgeschreven moet worden.

Hierna merkt hij op dat afkorting van notatie van alle tijden is. Zo kan de conditiedat drie punten a, b, c in hetzelfde vlak liggen geschreven worden als Sabc = 0 of

a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

= 0

wat dan weer afgekort kan worden tot ∆ = (abc) = 0 in de notatie die Caley gebruikt (∆staat voor de determinant).

Tot slot sluit hij af door nog een keer zijn standpunt te herhalen

quaternions seem to me a particular and very artificial method for treating such

parts of the science of three-dimensional geometry as are most naturally discussed

by means of rectangular coordinates x, y, z.

23 [Cayley, 1897]

40 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

Standpunt Het standpunt van Cayley komt in deze paper duidelijk naar voren. Hijheeft geen hekel aan quaternionen en wil ze zelfs nog een zekere elegantie in hun korteformulering toeschrijven. Hij is echter van mening dat het echte denken in coordinatenplaats vind (en moet vinden) en dat de quaternionen vooral verbergen wat er echt gebeurt.

Hier heeft de geschiedenis Cayley ongelijk gegeven. Tegenwoordig denken mensenweliswaar niet vaak in quaternionen, maar wel in vectoren, een aanverwant systeem, zonderdaarbij terug te grijpen op de onderliggende coordinaten 24.

Reactie Tait Tait reageerde in dezelfde sessie nog op de paper van Cayley. We zullen ditantwoord hier kort bespreken. Zijn belangrijkste argument is dat een quaternion niet eenafkorting is van drie coordinaten is maar een werkelijk bestaand object. Zoals hij het zelfzegt “They are, virtually, the thing represented: and are thus antecedent to, and indepen-dent of, co-ordinates.”. Terwijl Caley ze volgens Tait beschouwt als “essentially made upof the coordinates that he regards as ‘the natural and appropiate basis of all science’ ”.

Tait geeft ook een tegenvergelijking op Caley’s ‘pocket map’ verhaal. Hij zegt datcoordinaten juist als een steam-hammer zijn. Ze zijn namelijk krachtig maar lastig omte bouwen tot iets wat een ander probleem oplost. Quaternionen daarentegen kun je,volgens Tait, juist te vergelijken met de slurf van een olifant. Sterk, multi-inzetbaar engemakkelijk in het gebruik 25.

Kelvin

Lord Kelvin, die oorspronkelijk William Thomson heette, werd geboren in 1824 en stierfin 1907. Hij heeft een groot aandeel gehad in de aanleg van de eerste trans-Atlantischetelegraafkabel. Hierom werd hij verheven tot Baron Kelvin, en hij raakte bekend als LordKelvin. De temperatuurschaal van Kelvin is naar hem genoemd.

Kelvin (toen nog Thomson) werkte samen met Tait aan de Treatise on Natural Phi-losophy, het eerste (en enige) deel van deze Treatise dat uitkwam was over mechanica in1867; deze werd heel populair. Tait wilde graag quaternionen gebruiken in dit boek, maarKelvin moest hier niks van hebben en zodoende kwamen deze er niet in 26.

Er staan een aantal pittige quotes van Kelvin in 27, zijn hoofdargument lijkt te zijndat een vectorieel systeem geen verduidelijking oplevert. Kijk bijvoorbeeld naar de uit-spraak: “I do think . . . you would find it would lose nothing by omitting the word ‘vector’throughout. It adds nothing to the clearness or simplicity of the geometry, whether oftwo or three dimensions.”

Een grappig detail is dat een van Kelvin’s favoriete theorieen door Gibbs onderuit isgehaald met behulp van vectoranalyse. Kelvin dacht dat er mogelijk elektromagnetischegolven waren die sneller gingen dan de lichtsnelheid en gaf een experiment om deze tegenereren. Gibbs rekende dit experiment door met behulp van vectoranalyse en vondalleen golven met de lichtsnelheid 28.

24Bij bepaalde takken van wiskunde, zoals functionaalanlyse, wordt het kiezen van een basis zelfs zolang mogelijk vermeden.

25 [Nahin, 2002, pp. 201-202], [Crowe, 1967, pp. 213-214]26 [Crowe, 1967, p. 119]27 [Nahin, 2002, pp. 192-193]28 Ibid., p. 203.

3.4. Argumenten van de verschillende fracties 41

3.4.2 Vectoristen

Opvallend is dat zowel Heaviside als Gibss hun systemen aan de hand van MaxwellsTreatise ontwikkelden; beide hebben deze gelezen en waren niet tevreden met de rol diequaternionen hierin hadden. Ze bekeken het gebruik van de quaternionen kritisch en zeverwijderden de, volgens hen, overbodige structuur hierin uit het systeem.

Argumenten van Gibbs

Gibbs ontwikkelde zijn vectoranalyse rond 1890, zoals uitgelegd in 3.3. Tait reageert opdeze ontwikkeling in het voorwoord van de derde druk van zijn Treatise on Quaternionsin 1890 met de volgende opmerking 29.

It is disappointing to find how little progress has recently been made with the

development of Quaternions. One cause, which has been specially active in France,

is that workers at the subject have been more intent on modifying notation, or

the mode of presentation of the fundamental principles, than on extending the

applications of the calculus, even Prof. Williard Gibbs must be ranked as one of

the retarders of Quaternion progress, in virtue of his pamphlet on Vector Analysis;

a sort of hermaphrodite monster, compounded of the notations of Hamilton and of

Grassmann.

Het moge duidelijk zijn dat Tait de verandering van notatie van Gibbs een zinlozeexercitie vond.

Deze opmerking lokte een reactie uit van Gibbs in het tijdschrift Nature van 2 april1891 30. Gibbs schreef een kalm opgestelde brief van twee pagina’s die vol staat met argu-menten voor zijn systeem van vectoranalyse. We zullen deze brief hieronder bespreken.

De brief van Gibbs in Nature 1891 Het eerste argument dat Gibbs aanvoert omde quaternionen te laten vallen is dat het quaternionproduct, het product waarvoor deVectoranalyse geen tegenhanger31, heeft geen fundamenteel geometrisch concept is. Ergeldt immers dat de som van twee quaternionen de de derde zijde van de driehoek bepaaldmet zijdes α en β. Terwijl de grootte van V αβ met de oppervlak van het parallellogramopgespannen door α en β corrospondeert en diens richting de richting loodrecht op α en βis. Daarna zegt hij dat SγV αβ correspondeert met het volume van een parallellepipedum;dit argument is minder sterk, omdat S niet los in deze formule voorkomt. Bovendienkomen Sαβ en V αβ overeen met respectievelijk de sinus en cosinus van de hoek αβ,gecombineerd met enkele andere simpele noties. Er geldt ook dat in de literatuur van dequaternionisten Sαβ en V αβ veel vaker voorkomen dan het ‘pure’ product αβ.

Knott beantwoordde dit argument in twee verschillende papers, in 1892 beargumen-teert hij dat een quaternion het resultaat is van de deling van twee verschillende vec-toren (i.e. quaternionen zonder reeel deel) en dat deling een fundamenteel concept is 32.

29 [Tait, 1890]30 [Gibbs, 1891]31De vectoranalyse heeft immers de tegenhangers α · β en α × β voor V αβ en Sαβ32 [Knott, 1892]

42 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

Later, in 1893, voegt hij daar aan toe, vooral ten opzichte van het vaker voorkomen vanSαβ en V αβ 33:

Although sin θ and cos θ occur more frequently than θ itself, we should not conclude

that θ plays no fundamental role. Similarly we should not infer that αβ is not

fundamental simply because V αβ and Sαβ occur more frequently.

Een andere reden waarom Gibbs Sαβ en V αβ fundamenteler vindt dan het quater-nionproduct, is omdat deze noties te veralgemeniseren zijn naar meer dimensies. Terwijlhet quaternionproducten allen zinnig zijn in een ruimte met vier dimensies. Hier gaatTait in zijn brief op in; zie hiervoor hoofdstuk 3.4.3

Hierna behandeld Gibbs ook rotaties. Hij merkt op dat de quaternionen met deconjugatie qpq−1 hier een handige notatie voor hebben, maar dat lineaire vector functiedeze rol ook prima kan vervullen. Daar voegt hij nog aan toe dat de lineaire vectorfunctievoor andere doeleinden sowieso moet worden behandeld.

In de rest van zijn brief heeft Gibbs het voornamelijk over notaties en beargumenteerthij de voordelen van infixoperatoren over prefixoperatoren, vooral op grond van leesbaar-heid. Hierbij haalt hij aan dat we voor normale getallen ook infixoperatoren gebruikenen dus a+ b schrijven en niet Σab. Tait gaat in zijn brief op de notatie van Gibbs in; ditzullen we verderop in paragraaf 3.4.3 behandelen.

Overige argumenten

Vectornotatie is korter Heaviside beargumenteerde dat de vectornotatie korter wasin een brief uit 1893 34. Het is belangrijk om hierbij te weten dat Heaviside een aangepastequaternion-notatie gebruikte waarin hij de S voor een scalair deel weg had laten vallen.Hij zei zowel dat ab, een van de meestgebruikte producten in de analyse, een stuk korteris dan −Sab, wat de quaternionisten moesten gebruiken voor hetelfde getal. Als dat zijnuitdrukking (α1ρ1)(β1ρ1) in plaats van S.UαUρS.UβUρ maar half zo lang en ook nogbeter leesbaar was. Merk hierbij op dat zowel α1 als Uα eenheidsvectoren in de richtingvan α zijn.

Vectors zijn beter in rotaties Waar Gibbs hierboven nog toegeeft dat de quaternio-nen een interessant middel voor rotaties zijn, is Heaviside veel kritischer. Hij schrijft overrotatie door conjugatie 35

[. . . ] but is it not also a very clumsy way of representing a rotation, to have to

use two quaternions, one to pull and the other to push, in order to turn round the

vector lodged between them? Is it not plainer to say b = ra where r is the rotator.

Heaviside maakt zijn betoog af door te zeggen dat deze gewenste ‘rotator’ een lineaireafbeelding is.

33 [Shutt, 2002]34 [Heaviside, 1893b]35 Ibid.

3.4. Argumenten van de verschillende fracties 43

3.4.3 Quaternionisten

Tait

Tait was de grootste voorvechter van quaternionen. Hij zag in quaternionen de toekomstvan de wiskundige natuurkunde; een geloof dat hij met Hamilton deelde. Hamilton schreefal in 1859 in een brief aan Tait 36:

Could anything be simpler or more satisfactory? Don’t you feel, as well as think,

that we are on a right track, and shall be thanked hereafter. Never mind when.

Tait zegt zelf in het voorwoord van de tweede editie van zijn Treatise in 1873 hetvolgende 37.

[. . . ]I have been[. . . ] surprised and delighted by so speedy a demand for a second

edition[. . . ]. There seems now at last to be a reasonable hope that Hamiltons grand

invention will soon find its way into the working world of science, to which it is

certain to render enormous services, and not be laid aside to be unearthed some

centuries hence by some grubbing antiquary.

Uit deze quote blijkt hoezeer Tait de uitvinding van de quaternionen door Hamiltonwaardeert en hoe graag hij dit systeem wil populariseren. Hij zou in zekere zin gelijkkrijgen, maar het zou het afgeleide systeem van Heaviside-Gibbs zijn, een systeem dat hijzelf niet genoeg op de quaternionen vond lijken, dat de hoofdrol ging spelen.

Merk op dat dit ook het jaar dat ook Maxwell quaternionen in zijn Treatise on Elec-tromagnetism gebruikt, en dat de moderne vectoranalyse van Heaviside en Gibbs nog nietaan de horizon is verschenen; deze begint immers na 1880 pas een rol te spelen.

Het contrast met het voorwoord van de derde editie (uit 1890) is ook opvallend, eenfragment of dit voorwoord is al geciteerd aan het begin van hoofdstuk 3.4.2. Tait isin dit derde voorwoord veel minder positief. Hij merkt hierin op dat er de laatste tijdweinig voortgang is geboekt op het gebied van quaternionen en noemt Gibbs een van de“retarders of quaternion progress”.

Brief van Tait Tait reageert snel op de hierboven besproken brief van Gibbs. Binneneen maand staat zijn antwoord The Role of Quaternions in the algebra of Vectors inNature 38.

Het eerste wat Tait in deze brief schrijft is dat in de vectoranalyse van Gibbs α×β (hetvectorproduct) niet als product wordt beschouwd, maar als ‘soort van product’. Hiermeedoelt Tait onder ander op dat deling niet mogelijk is.

Een ander kritiekpunt dat Tait naar voren brengt is dat er geen nieuwe resultaten zijnontdekt met de vectoranalyse.

Some of Prof. Gibbs’ suggested notations are very ingenious, and well calculated

to furnish short cuts to various classes of results already obtained. But they do not

seem to have led to any important extensions of such results.

36 [Nahin, 2002, p. 203]37 [Tait, 1873, pp. ix-x]38 [Tait, 1891]

44 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

Dit argument verloor natuurlijk veel kracht nadat Heaviside het eerste deel van zijn boekElectromagnetic Theory publiceerde in 1893. In dit deel herschreef hij immers Maxwell’svergelijkingen naar de vorm die we tegenwoordig kennen en hij voegde hier ook nogonderdelen aan toe 39.

Op Gibbs opmerking dat zijn vectoranalyse makkelijk is uit te breiden tot meer dimen-sies, reageert Tait door te zeggen dat hij het feit dat quaternionen “uniquely addapted toEuclidian [3-dimensional] space” zijn als een van hun belangrijkste verdienste zag. Hier-door waren ze volgens Tait extra geschikt voor gebruik in de natuurkundige wetenschap,immers “What have students of physics, as such, to do with space of more than threedimensions”.40

Ten slotte gaat Tait in op de notatie die Gibbs gebruikt, hij beargumenteert dat denotatie van de quaternionen eenvoudiger is daar deze minder haakjes nodig heeft. Hijvergelijkt bijvoorbeeld (α × β) × (γ × δ) × (ǫ × ζ) met V V (V αβV γδ)V ǫζ , en merkthierover op dat Gibbs notatie 2 extra paar haakjes nodig heeft. In een latere brief komtTait nog een keer terug op dit argument 41. Heaviside heeft geen goed woord over voordit argument en reageert met “He counted the number of symbols in certain equations.Admirable Critic!”

Overige argumenten

Quaternionen worden niet vaak genoeg gebruikt Sommige quaternionisten heb-ben het gevoel dat als de quaternionen maar vaker gebruikt zouden worden dat ze dansteeds sterker aan zouden slaan. Dit zie je al een beetje terug in Tait’s quote over “Retar-ders of quaternion progress”, maar McAuley draagt deze mening nog veel sterker uit. Hijzegt dat veel natuurkundige vastzitten in hun denken en niet lang genoeg quaternionenom te ontdekken hoe krachtig de methode is. Bovendien stellen ze zichzelf volgens hemgerust met de gedachte dat Maxwell meer ervaring met quaternionen had en ze maarbeperkt bruikbaar vond. McAuley meende ook dat de voortgang in de wiskundige na-tuurkunde grote sprongen kan maken na de algemene adoptie van quaternionen 42. In hetvolgende hoofdstuk zullen we hier uitgebreider op in gaan. Vervolgens dringt hij er bijdeze studenten er op aan zelf de quaternionen te onderzoeken 43.

3.5 Analyse

Zoals eerder behandeld, vermoeden we dat het debat al vrij snel heel persoonlijk werd.Hierdoor is er inhoudelijk niet veel gediscussierd over welk systeem nou beter is en welksysteem in de toekomst het meest gebruikt zou moeten worden. We vermoeden daaromdat deze discussie niet de reden is geweest dat de vectoranalyse van Gibbs en Heaviside

39 [Nahin, 2002, p. 110]40Dit is in het licht van de huidige natuurkunde, waar er meer en meer dimensies nodig lijken te zijn,

natuurlijk een belachelijke uitspraak, maar indertijd was het in principe geen slecht argument.41 [Tait, 1893]42 [Crowe, 1967, p. 190]43 Ibid., pp. 194-195.

3.5. Analyse 45

tegenwoordig meer gebruikt wordt dan quaternionen van Hamilton. De grote vraag isdaarom: wat is dan wel de reden? Hier zullen we ons in dit hoofdstuk verder in verdiepen.

Zoals eerder beschreven had Hamilton gebrek aan ervaring in het geven van onderwijs.Zijn eerste boek Lectures on Quaternions werd dan ook niet veel gelezen of begrepen.Quaternionen waren non-communatief; een concept wat vrij nieuw was in die tijd en nietvoldoende werd toegelicht door Hamilton in zijn boek. Ook voerde Hamilton bijna opelke pagina wel weer een nieuwe notatie of definitie in, wat voor menig lezer al snel teveel werd. Dit zien wij als de voornaamste reden dat quaternionen in de eerste tientallenjaren na hun ontdekking in 1843 niet veel aan populariteit wonnen.

Toch moet niet gezegd worden dat zijn werk totaal niet gelezen werd. Tait en Peircewaren immers zeer enthousiast over zijn werk en zij waren uiteindelijk degenen die deleer van Hamilton later vooral hebben weten te verspreiden en te populariseren. Peirceverwerkte al vroeg, zelfs voordat de Lectures van Hamilton waren gepubliceerd, quater-nionen in zijn colleges op de universiteit van Harvard. Dit is waarschijnlijk een van debelangrijkste redenen dat in de Verenigde Staten quaternionen relatief populair waren invergelijking met de rest van de wereld. Tait werkte nauw samen met Hamilton en trachttedan ook een boek over quaternionen te schrijven. Dit heeft hij echter pas in 1867 afge-rond en gepubliceerd, nadat het laatste boek van Hamilton, de Elements of Quaternions,gepubliceerd was in 1866.

Het was niet zo dat aan het einde van de 19e eeuw niemand wat over quaternionenhad gelezen. Er waren echter maar een handvol mensen die echt onderzoek deden ophet gebied van quaternionen. Men was meer geınterreseerd in de operaties en methodendie Hamilton en Tait ontwikkelden dan in de Quaternionen zelf. Dit blijkt ook uit devolgende quote van Maxwell 44:

I am convinced that the introduction of the ideas, as distinguished from the ope-

rations and methods of Quaternions, will be of great use to us in all parts of our

subject.

McAuley, een groot voorstander van quaternionen, gaf in 1893 toe dat op het gebiedvan natuurkunde quaternionen nog weinig toepassingen hadden, maar dat dat vooralkwam doordat bijna geen enkele natuurkundige zich echt in quaternionen wilde verdie-pen, omdat men vasthield aan Cartesische coordinaten. Hij schreef over een vooroordeeldat heerste dat quaternionen moeilijk waren om te begrijpen. Op de universiteit vanCambridge was het maar de vraag of je antwoord goed gerekend werd als je antwoord-de met behulp van quaternionen simpelweg omdat de nakijker quaternionen misschienniet kende. Hij gaf tevens het voorbeeld dat op de universiteit van Cambridge het vak”Quaternions and other non-commutative algebras”werd gegeven; waarmee hij probeerdeaan te duiden dat Quaternionen werden gezien als gewoon een algebra in plaats van wathet in zijn ogen was: een zeer belangrijk systeem dat niet alleen een verbetering was tenopzichte van het cartesische stelsel, maar ook nog leidde tot vele nieuwe resultaten, diemet behulp van het Cartesische stelsel niet mogelijk waren 45.

44 [Maxwell, 1873]45 [McAuley, 1893]

46 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

Vervolgens onstond rond 1900 de vector analyse en ontstond er een debat tussen devectoranalisten en de aanhangers van quaternionen. Het debat ging echter niet echt overof beide systemen uberhaupt wel nodig waren aangezien velen resultaten ook konden wor-den weergegeven met behulp van het Cartesische stelsel. De aanhangers van Cartesischecoordinaten werden hierdoor dan ook niet overtuigd en velen hielden daarom ook vastaan dit stelsel.

Gibbs en Heaviside ontwikkelde afzonderlijk van elkaar de vector analyse. Heavisidewas niet erg bekend en had geen hoogstaande positie, zeker in vergelijking met Hamiltonof Tait. Toch wist vooral zijn boek Electromagnetic Theorie de aandacht te trekken.Waarschijnlijk omdat het voortborduurde op het werk van Maxwell, de vergelijkingenvan Maxwell omschreef naar hun moderne vorm en deze zelf uitbreidde. Ook publiceer-de Heaviside regelmatig zijn felle kritiek op quaternionen in het engelse tijdschrift TheElectrician.

Gibbs daarentegen was vanaf 1871 professor in de mathematische fysica op de univer-siteit van Yale. Hij had daarmee een veel hoogstaandere positie dan Heaviside en wasdan ook in staat om zijn kennis en ideeen over te dragen aan anderen in de vorm van hetgeven van cursussen en hij deed dit ook. Ook stuurde hij zijn boek Vector Analysis overzijn vector analyse systeem op naar 130 andere wetenschappers.

Gibbs vond echter dat het niet aan hem was om een leerboek te schrijven over zijnvector analyse systeem en het was uiteindelijk Wilson, een student van Gibbs, die ditwel deed. Gezien er zeer weinig verschillen zijn tussen de moderne vectoranalyse en devectoranalyse in Wilsons werk, kunnen we zeggen dat hij hier succesvol in was.

Wat we echter hebben gezien is dat op het gebied van natuurkunde de quaternioneneigenlijk nooit echt hebben aangeslagen. Zoals McAuley al beschreef waren er te weinigtoepassingen met quaternionen die niet in ook in Cartesische coordinaten konden wordenuitgedrukt. Cartesische coordinaten waren veel bekender en het was daarom om menervan te overtuigen om de overstap naar quaternionen te maken. Heaviside slaagde er,door het resultaten van Maxwell om te zetten in vectoren en door deze uit te breiden,in om de vector analyse wel invloedrijk te laten zijn in de natuurkunde. De verspreidingvan een zo goed als identiek systeem door Gibbs onder wetenschappers heeft hier verderaan bijgedragen en het leerboek van Wilson heeft er voor gezorgd dat het leren van hetvector analyse systeem niet als te moeilijk werd gezien; de Quaternionen hadden immershet imago dat ze moeilijk waren om aan te leren, wat de populariteit voor en de adoptiedoor het bredere publiek in de weg stond.

Bibliografie

[Cajori, 1890] Cajori, F. (1890). The Teaching and History of Mathematics in the UnitedStates. Washington: Government Printing Office.

[Cayley, 1897] Cayley, A. (1897). Coordinates versus Quaternions. In The CollectedMathematical Papers of Arthur Cayley, volume 13, pp. 541–544. Cambridge UniversityPress.

3.5. Bibliografie 47

[Crowe, 1967] Crowe, M.J. (1967). A History of Vector Analysis. Notre Dame: NotreDame University Press.

[Gibbs, 1876] Gibbs, J.W. (1876). On the Equilibrium of Heterogenous Substances.Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, III: 108–248.

[Gibbs, 1878] Gibbs, J.W. (1878). On the Eqilibrum of Hetrogenous Substances. Tran-sations of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, III: 343–524.

[Gibbs, 1891] Gibbs, J.W. (1891). On the Role of Quaternions in the Algebra of Vectors.Nature, 43: 511–513.

[Hamilton, 1853] Hamilton, W.R. (1853). Lectures on Quaternions. Dublin: Hodges andSmith.

[Heaviside, 1893a] Heaviside, O. (1893a). Electromagnetic Theory. London: “The Elec-trician” Printing and Publishing Company, Limited.

[Heaviside, 1893b] Heaviside, O. (1893b). Vectors versus Quaternions. Nature, 47: 533–534.

[Knott, 1892] Knott, C.G. (1891-1892). Recent Innovations in Vector Theory. Proceedingsof the Royal Society of Edinburgh, 19: 212–237.

[MacFarlane, 1906] MacFarlane, A. (1906). Vector Analysis and Quaternions. New York:John Wiley & Sons.

[Maxwell, 1873] Maxwell, J.C. (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. I.Oxford: At the Clarendon Press.

[McAuley, 1893] McAuley, M.A. (1893). Utility of Quaternions in Physics. London:Macmillan and Co.

[Nahin, 2002] Nahin, P.J. (2002). Oliver Heaviside : The Life, Work, and Times of anElectrical Genius of the Victorian Age. Baltimore: The Johns Hopkins University Press.

[Shutt, 2002] Shutt, J.N. (2002). Quaternions: A Case Study in the selection of toolsfor Mathematical Physics. http://fexpr.blogspot.nl/2014/03/the-great-vectors-versus-quaternions.html [Bekeken 04-07-2014].

[Tait, 1867] Tait, P.G. (1867). An Elementary Treatise on Quaternions. Oxford: Claren-don Press.

[Tait, 1873] Tait, P.G. (1873). An Elementary Treatise on Quaternions. Second edition,enlarged. Oxford: Clarendon Press.

[Tait, 1890] Tait, P.G. (1890). An Elementry treatise on Quaternions. Third edition,much enlarged. Cambridge: University Press.

48 Hoofdstuk 3. De strijd tussen de systemen

[Tait, 1891] Tait, P.G. (1891). The Role of Quaternions in the Algebra of Vectors. Nature,43: 608.

[Tait, 1893] Tait, P.G. (1893). Vector Analysis. Nature, 47: 225–226.

[Wilson, 1901] Wilson, E.B. (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Studentsof Mathematics and Physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. New York:Charles Scribner’s Sons.

4. Het ontstaan van modernevectoranalyse

Door Emile Broeders & Eveline Visee

4.1 Inleiding

Dat vectoren nu wijd in gebruik zijn bij het beoefenen van wiskunde zal niet als eenverrassing komen. Wat wel interessant is dat de geschiedenis van de moderne vectorenniet een lopend proces van opgedane kennis en voortschrijdend inzicht was maar eerdereen samenraapsel van verschillende vectorbegrippen en interpretaties die gebruikt werdenin de wiskundige gemeenschap rond 1900.

In die tijd speelde zich een strijd af tussen quaternionen en vectoren, werd de theorievan lineaire systemen in rap tempo ontwikkeld en ontdekte men het belang van het forma-liseren van de wiskunde met in het bijzonder het herbekijken van geometrische ruimten.Al deze ontwikkelingen hebben bijgedragen aan wat we nu het moderne vectorbegrip noe-men. Het is nog niet eenduidig hoe al deze bewegingen elkaar hebben beınvloed en er zijndan ook verschillende argumenten te geven die ieder een ander aspect van deze periodebelichten. In deze tekst zullen we proberen een compleet maar beknopt verslag te gevenover wat er rond de eeuwwisseling gebeurde wat leidde tot hoe wij vectoren nu gebruiken.

Het is onmogelijk om alle aspecten uitgebreid te behandelen aangezien het om enormegebieden binnen de wiskunde gaat; er zijn over ieder aspect al forse artikelen en boekengeschreven 1. Wel geven we een overzicht en een uiteenzetting van de, in onze ogen, be-langrijkste ontwikkelingen / publicaties rond die tijd waarbij we kijken naar de motivatie,impact en hoe het zich verhoudt tot andere ontwikkelingen. Dat doen we door vanuit eeninvloedrijk modern lesboek, “A Survey of Modern Algebra” uit 1941 2, terug te redenerenwaar alle inspiratie vandaan komt tot halverwege de negentiende eeuw. Met dit artikelproberen we vooral de onderliggende verbindingen van de verschillende bewegingen ietsduidelijker te maken.

Dit zal vooral gedaan worden door artikelen en boeken over de verschillende aspec-ten te bespreken. Als leidraad gebruiken we de vectordefinitie van de auteur van hetdesbetreffende boek.

1 Zie bijvoorbeeld [Crowe, 1985] voor een behandeling over het geometrisch karakter van vectoren en[Moore, 1995] over de axiomatisering.

2 [Birkhoff and Mac-Lane, 1941]

50 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

In dit artikel gaan we ervan af dat de lezer al een ruw beeld heeft van de modernewetenschapsgeschiedenis vanaf de negentiende eeuw. Daarnaast gaan we er ook van uitdat de lezer weet wat vectoren zijn en bekend is met quaternionen.

4.2 Huidig gebruik vectoren

Op het moment worden vectoren in vele vormen en diverse situaties gebruikt. Om een goedbeeld van de geschiedenis te krijgen is het belangrijk om stil te staan bij de verschillendeversies en gebruiken van moderne vectoren. Ter korte illustratie: moderne meetkundigegeeft een meetkundige interpretatie aan vectoren zodat, met de nodige oefening en insommige gevallen met genoeg verbeelding, er een afbeelding ontstaat, terwijl bij de theorievan lineaire algebra een dergelijke afbeelding vaak nergens op slaat en niet van belang is.

Om te beginnen: de oudste definitie van een vector zoals we ze vandaag gebruikenkomt waarschijnlijk van Birkhoff en Mac Lane in “A Survey of Modern Algebra” uit1941 3. Helaas is deze editie niet meer te vinden. Gelukkig is een latere herprint uit 1948wel te vinden. Daar geven ze de volgende definitie:

Definition. A vector space (often called “linear space”) V over a field F is a setof elements, called vectors, such that any two vectors α and β of V determine a(unique) vector α + β as sum, and that any vector α from V and any scalar c fromF determine a scalar product c · α in V , with the properties 4

1. V is an Abelian group under addition.

2. c · (α + β) = c · α + c · β, (c + c′) · α = c · α + c′ · α.

3. (cc′) · α = c · (c′ · α), 1 · α = α.

[

Vrije vertaling:

Definitie. Een vectorruimte (ook bekend als “lineare ruimte”) V over veld F iseen verzameling van elementen, genoemd vectoren, zodat iedere twee vectoren α enβ in V een unieke vector α + β als som hebben, en dat iedere vector α in V eniedere scalair c in F samen het scalair product c ·α in V definieren met de volgendeeigenschappen:

1. V is een Abelse groep onder sommeren.

2. c · (α + β) = c · α + c · β, (c + c′) · α = c · α + c′ · α.

3. (cc′) · α = c · (c′ · α), 1 · α = α.]

Opgemerkt dient te worden dat dit een erg algebraische definitie van een vector is.Echter zoals vaker bij wiskunde is er een discrepantie tussen hoe het gedefinieerd is enhoe het wordt geinterpreteerd. Grofweg gezegd worden vectoren op drie verschillendemannieren gehanteerd, waarbij iedere vorm van een vector ontstaat door een ander aspectte belichten. De aspecten:

3 [Moore, 1995]4 [Birkhoff and Mac-Lane, 1941, pp. 167–168]

4.2. Huidig gebruik vectoren 51

• Fundamenteel gezien is iedere vector een n-tuple en niks meer.

• Algebraisch bekeken is een vector een element van een vectorveld met bijbehorenderekenkundige operaties, zoals bovenstaande definitie.

• Meetkundig gezien hoort bij iedere vector ook een interpretatie waardoor je ze kanvoorstellen.

De eerste vorm wordt gebruikt om veel variabelen tegelijk bij te houden. Dat maakt zeinteressant op het gebied van computerwetenschappen, econometrie en alle wetenschappendie wiskundige modellen gebruiken.

De algebraische structuur van vectoren is interessant om ook met ze te rekenen tijdensbijvoorbeeld het oplossen van lineaire systemen.

En het meetkundig aspect geeft vectoren ook een fysische interpretatie. Door ditaspect is het mogelijk om meetkundige te bedrijven met behulp van vectoren en is hetmogelijk afbeeldingen in de ruimte te beschrijven.

Ieder van deze aspecten heeft een lange en rijke geschiedenis die allen grotendeelsafzonderlijk zijn begonnen. Het spreekt voor zich dat de simpelste vorm van vectorenals eerste werd gebruikt; ze werden namelijk al gebruikt in de oudheid 5. De anderetwee vormen zijn van veel later en verschijnen pas in de moderne tijd. Interessant isdat op het eerste gezicht de algebraische vorm pas later expliciet in de huidige vormwerd opgeschreven dan de meetkundige. De algebraische vorm is een direct gevolg vanhet formaliseren van vectorruimten en dat begon pas op gang te komen na Peano in1888 6 terwijl de meetkundige vorm al terug te zien is in de quaternionen van Hamiltonin 1843 7 in de huidige vorm. De algebraische vorm van vectoren heeft een lange ontstaangeschiedenis van meer dan honderd jaar; Cramer en Euler waren er al mee bezig in 1750 8.

Het is duidelijk dat de definitie van Birkhoff en Mac Lane de drie aspecten van vec-toren omvat. In het boek introduceren ze vectoren ook aan de hand van de meetkundigeinterpretatie:

In physics there arises quantities usually called vectors which are not merely num-bers, but which have direction as well as magnitude. A displacement in the plane,for example, depends for its effect not only on the distance but also on the directionof displacement. It may conveniently be represented by an arrow α of the properlength and direction 9.

[

Vrije vertaling:

Bij natuurkunde zijn er verschillende quantiteiten die we normaal gesproken vec-

toren noemen, deze zijn niet alleen getallen maar geven ook richting aan. Een

verschuiving van het vlak, ter illustratie, is niet alleen afhankelijk van de afstand

maar ook de richting van de verschuiving. De verschuiving kan makkelijk worden

weergegeven als een pijl α van de juiste lengte en richting.]

5 [Struik, 1965]6 [Dorier, 1995]7 [Crowe, 1985]8 [Dorier, 1995]9 [Birkhoff and Mac-Lane, 1941, p. 164]

52 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

4.2.1 Oorspronkelijke motivatie

Het sterke axiomatisch karakter in combinatie met de nadruk op geometrische interpreta-tie van het boek van Birkhoff en Mac Lane is terug te leiden tot de axiomatische stromingbinnen de wiskunde. Deze stroming om alles binnen de wiskunde sterk te onderbouwenen axiomatisch te benaderen is ontstaan aan het einde van de 19de eeuw en kwam totvolle bloei in het begin van de 20ste eeuw in Duitsland bij David Hilbert. Aangeziende moderne algebra sinds van na de eerste wereldoorlog bijna exclusief in Gottingen isontwikkeld volgt logisch gezien dat Birkhoff en Mac Lane hierdoor beınvloed zijn 10.

Zelf geven ze veel lof aan de ontwikkelingen in Gottingen sinds David Hilbert en laterEmmy Noether. Emmy Noether en Emil Artin gaven samen cursussen die later door vander Waerden zijn vertaald in boekvorm (“Modern Algebra”, 1930-31) 11. Birkhoff en MacLane hadden veel bewondering voor dit boek en namen dit als een van de uitgangspuntenvan “A Survey of Modern Algebra” 12.

Daarnaast zijn ze ook erg beınvloed door het werk van Weyl die in “Raum, Zeit,Materie” (1918) probeert de algebraische vectoren een geometrische interpretatie te gevenaan de hand van fysische interpretatie en axioma’s in tegenstelling tot enkel de traditionelealgebraische interpretatie 13.

Weyl probeert in “Raum, Zeit, Materie” de algemene relativiteitstheorie uit te leggenaan de hand van colleges die hij gaf. Het gevolg is dat het boek wiskunde uitlegt aan dehand van fysische noodzaken 14. Daarnaast werkt Weyl ook erg axiomatisch waaruit alveel te herkennen is in “A Survey of Modern Agebra” 15:

Je zwei Vektoren a und b bestimmen eindeutig einen Vektor a + b als ihre Summe;eine Zahl λ und ein Vektor a bestimmen eindeutig einen Vektor λa, das λ-fache cona (Multilikation). Diese Operationen genugen folgenden Gesetzen.

Addition.

1. a + b = b + a (kommutatives Gesetz).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (assoziatives Gesetz).

3. Sind a und c irgend zwei Vektoren, so gibt es einen und nur einen ζ, furwelchen die Gleichung a + ζ = c gilt. Er heisst die Differenz c − a von c unda. (Moglichkeit der Subtraktion.)

Multiplikation.

1. (λ + µ)a = (λa) + (µa) (erstes distributives Gesetz).

2. λ(µa) = (λµ)a (assoziatives Gesetz).

3. 1a = a.

4. λ(a + b) = (λa) + (λb) (zweites distributives Gesetz).

10 [Birkhoff and Mac-Lane, 1992], [Moore, 1995]11 [Waerden, 1975]12 [Birkhoff and Mac-Lane, 1992]13 [Moore, 1995], [Weyl, 1918]14 [Weyl, 1918]15 Ibid., p. 15.

4.2. Huidig gebruik vectoren 53

[

Vrije vertaling:

De twee vectoren a en b vormen samen de unieke vector a + b onder optelling; eengetal λ en een vector a vormen samen de unieke vector λa onder vermenigvuldiging(multiplicatie). Deze operaties hebben de volgende eigenschappen.

Optelling.

1. a + b = b + a (commutativiteit).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit).

3. Als a en c twee vectoren zijn, dan is er een unieke vector ζ zodat a + ζ = c.Die vector noemen we het verschil tussen c en a. (Mogelijkheid tot verschil.)

Multiplicatie.

1. (λ + µ)a = (λa) + (µa) (eerste distributiviteit).

2. λ(µa) = (λµ)a (associativiteit).

3. 1a = a.

4. λ(a + b) = (λa) + (λb) (tweede distribituviteit).]

Wat een groot verschil is is dat hier niet wordt genoemd dat vectoren een elementzijn van een veld. Wel wordt twee pagina’s later gesteld dat alle vectoren samen een “h-dimensionale lineare Vektor-Mannigfaltigkeit” (h-dimensionale lineaire manifold) 16 vor-men. Weyl is zich er van bewust dat het om een lineaire ruimte gaat en dat wordt ook welbenadrukt, maar de exacte definities geeft hij niet. Hij geeft veel illustraties van wat hijbedoeld met verschillende termen maar noemt niet wat hij exact bedoelt met geometrischeruimte 17.

Ook is het zo dat in dit boek het dimensionale axioma voor het eerst wordt genoemd;dat stelt dat in een lineaire varieteit met dimensie n er n onafhankelijke vectoren mogelijkzijn en dat iedere verzameling van n + 1 vectoren afhankelijk moeten zijn 18: “Es gibtn linear unabhangige Vektoren, aber je n + 1 sind voneinander linear abhangig, oder:die Vektoren bilden eine n-dimensionale lineare Mannigfaltigkeit.” 19 (Er zijn n lineaireonafhankelijke vectoren, maar iedere n+ 1-ste vector is linear afhankelijk, of de vectorenbeelden een n-dimensionale lineaire vorm uit.).

Waarschijnlijk werd hij geınspireerd om zo axiomatisch aan de slag te gaan door deaxiomatische stroming gestart door Peano en Hilbert 20 maar is hij nog beperkt in termi-nologie die pas later goed wordt uitgewerkt rondom Gottingen 21.

Het is goed om er bij stil te staan dat voor de eerste wereld oorlog nog geen goededefinities waren van zulke dimensionale getallen. In dat opzicht was de notatie die nu ookwordt gebruikt er wel maar nog niet alle elementaire definities die we nu associeren metvectorsystemen waren in gebruik.

16 [Weyl, 1918, p. 17]17 Ibid., pp. 14-24.18 [Dorier, 1995]19 [Weyl, 1918, p. 17]20 [Moore, 1995]21 [Waerden, 1975]

54 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

In “A Survey of Modern Algebra” wordt de eerste keer de huidige definitie van eenvector gegeven 22. Aangezien dit boek veelvuldig werd gebruikt als lesmateriaal voorwiskundestudenten 23 werd deze definitie de huidige standaard.

De definitie die wordt gegeven wordt gekenmerkt door een sterk axiomatisch karak-ter 24. Dit volgt in de lijn van eerder werk van Weyl in “Raum, Zeit, Materie” (1918) 25,maar verschilt wel in de nadruk. Waar het in het werk van Weyl vooral gaat om defysische toepassing ligt de nadruk bij Birkhoff en Mac Lane bij de zuivere wiskunde.Daarnaast moet ook worden opgemerkt dat verschillende elementaire definities en stel-lingen die eerder waren geıntroduceerd in “Raum, Zeit, Materie” nog niet eerder warenuitgekristalliseerd en voor het eerst in “A Survey of Modern Algebra” in boekvorm voorbeginnende wiskundestudenten verschijnen.

4.3 Situatie in Gottingen

De Georg-August universiteit is gesticht in 1737 26. Veel bekende wiskundigen hebben ergestudeerd of gewerkt, zoals Gauss (student vanaf 1795, hoogleraar Astronomie van 1807tot 1855), Dirichlet, Riemann, Dedekind en Cantor.

In 1875 werd Schwarz aangesteld in Gottingen. Hij legde de basis voor een uitge-breid studieplan dat bestond uit o.a. differentiaal- en integraalvergelijkingen, analytischemeetkunde, analytische functies, elliptische functies, minimale oppervlakken en andereonderdelen van de theorie van functies. Felix Klein zette zijn werk voort toen hij in 1886een aanstelling kreeg in Gottingen. Hij wilde de verbindingen tussen wiskunde, natuurwe-tenschappen en technologie verbeteren. Hiervoor breidde hij de bibliotheek uit die onderzijn voorganger Schwarz was ontstaan, richtte een wiskundig genootschap op en richtte in1898 een genootschap voor de bevordering van toegepaste natuurkunde en wiskunde op.De reputaties van Klein en Hilbert zorgden dat steeds meer studenten naar Gottingenkwamen 27. Omdat de studentaantallen bleven stijgen was het nodig een nieuw gebouwvoor het wiskunde-instituut te bouwen. Rond 1911 was hiervoor voldoende geld voorbeschikbaar, maar de Eerste Wereldoorlog gooide roet in het eten. In 1902 werd ookHermann Minkowski aangesteld als wiskundeprofessor in Gottingen.

Toch bleef Gottingen ook tijdens de Eerste Wereldoorlog een belangrijk centrumvoor de wiskunde. Kleins opvolger Richard Courant was succesvol in het aantrekkenvan extra financiering voor het wiskunde-instituut, dat in 1922 afgesplitst werd van hetnatuurkunde-instituut. Via Niels en Harald Bohr legde Courant contact met de Rock-efeller Foundation. In 1929 werd het nieuwe wiskundegebouw, waarvoor de RockefellerFoundation betaald had, voltooid. Belangrijke Gottingse wiskundigen tijdens deze periodewaren Landau, Runge, Debye, Zermelo, Caratheodory, Noether en Weyl.

22 [Moore, 1995]23 [Birkhoff and Mac-Lane, 1992]24 [Birkhoff and Mac-Lane, 1941]25 [Birkhoff and Mac-Lane, 1992], [Weyl, 1918]26 www.uni-goettingen.de27 [Corry, 2004, p. 119]

4.3. Situatie in Gottingen 55

In 1933 grepen de nazi’s onder leiding van Adolf Hitler de macht in Duitsland. Hunanti-joodse wetten zorgden voor een uittocht van wetenschappers 28 . Veel Gottingse wis-kundigen accepteerden posities in het buitenland, zodat er al snel niets meer over was vande levendige en creatieve gemeenschap van wiskundigen. De stad werd echter niet zwaarbeschadigd door de Tweede Wereldoorlog, zodat de universiteit in september 1945 haardeuren kon heropenen 29.

De situatie in Gottingen tijdens de jaren 1870-1930 is (ondanks de Eerste Wereld-oorlog) een academische droom. Met voldoende geld om de topwiskundigen van die tijdaan te trekken en zelfs een nieuw gebouw neer te zetten, konden de directeuren van hetfysisch-mathematische instituut (Schwarz en Klein) en later het mathematische instituut(Courant) een uitgebreid wiskundeprogramma neerzetten.

Figuur 4.1: Het door de Rockefeller Foundation gefinancierde wiskundegebouw in 2009.

Gottingse wiskundigen werkten aan de grondslagen van de wiskunde (Hilberts forma-lisme), algebra’s (Noether) en quantummechanica (Weyl, Noether, Hilbert, Heisenberg,Schrodinger). Door Kleins en Courants handigheid in het aantrekken van extra financie-ring bloeide de wiskundige gemeenschap en groeide het aantal studenten. Dit was eenideale achtergrond voor de ontwikkeling en axiomatisering van nieuwe vakgebieden 30.

De bloei van de Gottingse wiskunde en natuurkunde is niet toe te schrijven aan eenpersoon, maar voor de overzichtelijkheid zullen we hier het werk volgen van David Hilbert,een wiskundige duizendpoot die een sleutelrol speelde in de periode 1900-1930. Niet alleenheeft Hilbert zelf enorm veel werk verzet, maar ook inspireerde hij talloze studenten encollega’s, zodat het wiskundige werk in het kleine Gottingen al snel een reputatie had dieeven goed was als de wiskunde in de wereldstad Berlijn.

28 [Mac-Lane, 1995]29 [Neuenschwander and Burmann, 1994]30 [Corry, 2004]

56 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

4.3.1 Het leven van Hilbert

David Hilbert (1862-1943) groeide op in Konigsberg (nu Kaliningrad). Hij bezocht daarhet gymnasium en de universiteit, en kreeg in 1885 een positie aan de universiteit. FelixKlein haalde hem in 1895 naar Gottingen, waar hij de rest van zijn leven zou blijven. Hijhield zich onder andere bezig met algebraische vormen, de grondslagen van meetkunde entheoretische natuurkunde. Hilbert hield in 1900 een lezing in Parijs waar hij de 23 wis-kundige problemen presenteerde die volgens hem belangrijk zouden worden in de nieuweeeuw. Hij stierf op 81-jarige leeftijd, nadat hij had gezien hoe de nazi’s de universiteitvan Gottingen kapot hadden gemaakt 31.

Hilbert speelt een belangrijke rol in de geschiedenis van de vectoranalyse omdat hijintensief ging werken met abstracte vectoren (vooral in de context van de natuurkunde).Zijn verdiensten zijn niet gering, en enkele belangrijke concepten zijn dan ook naar hemvernoemd, zoals de Hilbertruimte.

Hilberts student, en later vriend en collega Hermann Weyl deelde het werk van Hilbertin de volgende tijdsperioden in, hoewel hij opmerkte dat de periodes ook overlapten 32:

1885-1893 Theorie van invarianten

1893-1898 Theorie van algebraısche getallenlichamen (grote publicatie: “Zahlbericht”(1897))

1898-1902 Fundamenten van de meetkunde (‘Grundlagen der Geometrie” (1899))

1902-1912 Integraalvergelijkingen

1910-1922 Natuurkunde (o.a. Einstein-Hilbert action, samenwerking met Einstein,Weyl, von Neumann, Heisenberg, Schrodinger)

1922-1930 Fundamenten van de wiskunde

Hilbert was gefascineerd door de fundamenten van de wiskunde. Al in 1893 schrijfthij een paper over de fundamenten van de theorie van invarianten (een vroege poging omeen deelgebied van de wiskunde te axiomatiseren) 33. Hij laat deze fascinatie ook ziendoor het schrijven van de “Grundlagen der Geometrie” (1899) en door het opstellen vanHilberts Programma in 1902, met als doel de hele wiskunde te axiomatiseren en te latenzien dat dit consistent en volledig was. Helaas voor hem bewees Kurt Godel in 1931 metzijn Onvolledigheidsstellingen dat dit niet mogelijk was. Zijn student Otto Blumenthalvertelt de anekdote dat Hilbert zich realiseerde dat het mogelijk is om de woorden ’punt’,’lijn’ en ’vlak’ te vervangen door ’tafel’, ’stoel’ en ’mok’ 34. Volgens Hilberts biograafCorry was hij echter niet de eerste die zich dit realiseerde:

“The idea of changing names of the central concepts while leaving the deductive struc-ture intact was an idea that Hilbert already knew, if not from other, earlier mathematical

31 [Katz, 2014]32 [Corry, 2004, p. 3]33 Ibid., p. 9.34 [Blumenthal, 1935, pp. 402-403]

4.3. Situatie in Gottingen 57

sources, then at least from his attentive reading of the relevant passages in Dedekind’s“Was sind und was sollen die Zahlen?”” 35 (“Het idee om de namen van de centraleideeen te veranderen, terwijl de logische structuur intact blijft, was een idee waar Hilbertal langer mee bekend was. Als hij het niet in oudere wiskundige bronnen gezien had, dantoch in ieder geval tijdens het lezen van Dedekinds “Wat zijn getallen en wat moeten zezijn?””).

Ook ziet Hilbert het belang in van het (opnieuw) verbinden van de wiskunde metnatuurkunde en technologie. Hij was actief in het door Klein opgerichte genootschap terbevordering van de samenhang tussen natuurkunde, wiskunde en technologie, en schreefin 1915 de “Grundlagen der Physik” om natuurkundigen te helpen met een goede wis-kundige onderbouwing van hun theorieen en een begin te maken met het axiomatiserenvan de natuurkunde. In zijn dagboek schreef hij de volgende motivatie 36: “Manche math-physikalische Theorie erscheint mir wie ein Kinderspielzeug, dass in Unordnung geratenist und alle 3 Minuten wieder aufgerichtet werden muss, damit es weiter geht.” (“Som-mige natuurkundige theorieen lijken wel kinderspeelgoed, dat kapot is gegaan en elke 3minuten gerepareerd moet worden.”) Toen zijn studievriend Minkowski in 1902 aange-steld werd in Gottingen, begonnen ze een traditie van dagelijkse wandelingen waarbij zerecente wetenschappelijke ontwikkelingen bespraken. In 1905 organiseerden Minkowskien Hilbert samen een seminar over het elektron, en in de jaren daarna werkten beidenaan de theorie van elektrodynamica. Hilberts biograaf Corry claimt 37 dat het seminarvan 1905 alleen in Gottingen mogelijk was, omdat alleen daar de wiskundigen wekelijksde nieuwste ontwikkelingen binnen de natuurkunde bespraken.

Al deze ondernemingen waren gemotiveerd door de snelle groei van de wiskunde ennatuurkunde, door het feit dat het amper nog mogelijk was voor een persoon om eenvolledig overzicht over de vakgebieden te hebben, en de ontwikkeling van wiskunde alsaparte wetenschap. Door de opkomst van de logica werd het mogelijk om de onderliggendestructuur van de wiskunde te bestuderen, en door de explosieve groei van het aantaldeelgebieden van de wiskunde werd dit ook nodig, om te voorkomen dat de wiskundeuiteenviel in verschillende wetenschappen. Omdat wiskundigen niet meer automatischook natuurkundige of sterrenkundige waren, hadden ze bovendien hun handen vrij omhun eigen vakgebied verder uit te diepen.

4.3.2 Hilberts werk met vectoren

In de eerste jaren van de twintigste eeuw dacht Hilbert al veel na over het axiomatiserenvan de natuurkunde, hoewel hij inzag dat dit nog veel werk zou zijn. Een onderdeel hiervanwas het axiomatiseren van de vectormeetkunde. Dit doel was bijna bereikt, en Hilbertschrijft in zijn “Grundlagen der Geometrie” uit 1899 dat de commutatieve, associatieve endistributieve wetten geldig zijn voor het werken met “segmenten” 38: lijnstukken waarbijalle wetten voor het rekenen met reele getallen geldig blijven. In 1905 gaf Hilbert eenserie colleges over het axiomatiseren van de natuurkunde. Hierin definieert hij een kracht

35 [Corry, 2004, p. 9]36 Ibid., p. 119.37 Ibid., p. 130.38 [Hilbert, 1902, §15 “An algebra of segments”]

58 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

als een vector met drie componenten, waarmee hij alle geordende triples van reele getallenbedoelde. Hilbert geeft zes axioma’s voor de optelling van vectoren 39.

1. “Wenn A,B,C drei Punkte einer Geraden sind und B zwischen A und C liegt, sobezeichnen wir c = AC als die Summe der beiden Strecken A = AB und b = BCund seten c = a + b.”(De som c van twee vectoren a en b bestaat en wordt geschreven als c = a+ b).

2. “... fur die eben definierte Addition der Strecken das assoziative Gesetz a+(b+c) =(a+ b) + c ...”(Optelling van vectoren is associatief: a+ (b+ c) = (a+ b) + c).

3. “sowie das kommutative Gesetz a + b = b+ a gultig ist.”(Optelling van vectoren is commutatief: a + b = b+ a.)

4. Als a een reeel getal is, en aA dezelfde richting heeft als de vector A, dan geldtA+ aA = (1 + a)A.

5. Als D een rotatie van de ruimte rond de (gezamenlijke) oorsprong van de vectorenA en B is, dan geldt D(A+B) = D(A) +D(B).

6. Optelling van vectoren is een continue bewerking: gegeven een gebied G(A + B)rondom het eindpunt van de vector A + B, en voldoende kleine gebieden G(A) enG(B) rondom de eindpunten van A en B, dan geldt voor X ∈ G(A) en Y ∈ G(B)dat X + Y ∈ G(A+B).

Verder bewijst Hilbert dat uit de eerste drie axioma’s dat de associatieve, commutatie-ve en distributieve eigenschap houdt voor de vermenigvuldiging van segmenten: ab = baen a(bc) = (ab)c en a(b+ c) = ab+ ac 40. Hilbert claimt dat deze axioma’s (geınspireerdop het werk van Darboux) simpel zijn en intuitief volgen als vectoren worden beschouwdals krachten. In 1903 bewees zijn student Rudolf Schimmack dat deze zes axioma’s onaf-hankelijk van elkaar zijn 41. In zijn cursus van 1905 gebruikte Hilbert de vectoren vooralom berekeningen uit te voeren, en maakt hij geen referentie naar het feit dat ze een groepvormen. In deze cursus behandelt hij diverse onderwerpen uit de mechanica, thermody-namica, kansrekening (incl. de wiskunde achter verzekeringen), het gedrag van gassen enelektrodynamica. In veel van deze onderwerpen liet hij niet zelf de onafhankelijkheid, con-sistentie of volledigheid van de axioma’s zien, maar verwees hij naar artikelen, of claimdehij dat een bewijs mogelijk was 42. Hij leek ervan uit te gaan dat anderen dit werk kondenvoltooien, naar het voorbeeld dat hijzelf had gegeven in de “Grundlagen der Geometrie”.Hoewel het niet in alle vakgebieden mogelijk was om het volgens Hilberts standaarden teaxiomatiseren, was bijvoorbeeld het werk van Minkowski in de elektrodynamica (inclusiefhet werk van Einstein) een goed voorbeeld van wat Hilbert wilde.

39 De eerste drie komen uit [Hilbert, 1909, pp. 45-50] (met vrije vertaling), de anderen uit Hilberts boek“Logische Principien des mathematischen Denkens” (1905). Dit boek was niet te vinden, maar wordtgeciteerd in [Corry, 2004, pp. 138-140].

40 [Hilbert, 1909, p. 47]41 [Schimmack, 1903]42 [Corry, 2004, p. 181]

4.4. Theorie van lineaire systemen 59

Uiteraard was Hilbert niet de enige die zich bezighield met het toepassen van vecto-ren in de natuurkunde. In 1907 hield Felix Klein nog een betoog over de mogelijkheidom quaternionanalyse te gebruiken in de bestudering van het elektron 43 en later werk-te Hermann Minkowski met vier-dimensionale vectoren in de vorm (x, y, z,−t) aan deontwikkeling van de relativiteitstheorie.

4.4 Theorie van lineaire systemen

Hilbert leefde niet in een vacuum en was goed op de hoogte van de ontwikkelingen binnende wis- en natuurkunde. Grofweg is het mogelijk om twee stromingen te onderscheidendie eind negentiende en begin twintigste eeuw sterk aanwezig waren die invloed hebbengehad op Hilbert. Namelijk de ontwikkeling van lineaire algebra (het oplossen van stelstelsvan lineaire vergelijkingen), de introductie van quaternionen en de standaardisatie vanvectoren.

4.4.1 Stelsels van lineaire vergelijkingen

Al sinds halverwege de achttiende eeuw zijn wiskundigen stelsels van lineaire vergelijkingenaan het bestuderen. In 1750 publiceerde Cramer “Introduction a l’analyse des courbesalgebriques” waarin hij de theorie van determinanten introduceert om stelsels van lineairevergelijkingen en algebraische krommen te karakteriseren 44.

Ook publiceerde Euler in 1750 “Sur une contradiction apparente dans la doctrinedes lignes courbes” waarin hij onderzocht wanneer lineaire vergelijkingen afhankelijk zijnvan elkaar. Hier introduceert hij onafhankelijkheid van lineaire vergelijkingen 45, wat devoorloper is van onafhankelijke stelsels van vectoren.

Sindsdien zijn er nog vele wiskundigen die bezig zijn met dit (nog) kleine gebied binnende wiskunde en zo ontstonden langzaam definities zoals rank en order van een stelsel enwerden matrices ontwikkeld.

In 1850 introduceert Sylvester de term matrix 46 om een systeem van termen geordendin m rijen en n lijnen te beschrijven. Het was Cayley die in 1855 “A Memoir on theTheory of Matrices” publiceert waar matrices en n-tuples terug te vinden zijn in een voorons herkenbare vorm 47:

The term matrix might be used in a more general sense, but in the present memoirI consider only square and rectangular matrices, and the term matrix used withoutqualification is to be understood as meaning a square matrix; in this restricted sense,a set of quantities arranged in the form of a square, e.g.

a, b, c

a′, b′, c′

a′′, b′′, c′′

43 [Corry, 2004, p. 193]44 [Dorier, 1995]45 Ibid.46 [Katz, 2014]47 [Cayley, 1858, p. 1]

60 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

is said to be a matrix. The notion of such a matrix arises naturally from an abbre-viated notation for a set of linear equations, viz. the equations

X = ax + by + cz

Y = a′x + b′y + c′z

Z = a′′x + b′′y + c′′z

may be more simply represented by

(X,Y,Z) =

a, b, c

a′, b′, c′

a′′, b′′, c′′

(x, y, z)

[

Vrije vertaling:

De term matrix kan gebruikt worden op een algemenere manier, maar in de memoirbehandel ik alleen vierkante en rechthoekige matrices, and de term matrix zonderverdere specificaties zal verwijzen naar een vierkantsmatrix; met deze beperkingen iseen verzameling variabelen opgeschreven in de vorm van een vierkant, ter illustratie

a, b, c

a′, b′, c′

a′′, b′′, c′′

is een matrix. De notatie van zo een matrix komt op een natuurlijke wijze voort alseen afgekorte notatie voor de verzameling lineaire vergelijkingen. De vergelijkingen

X = ax + by + cz

Y = a′x + b′y + c′z

Z = a′′x + b′′y + c′′z

kunnen verkort weergegeven worden door

(X,Y,Z) =

a, b, c

a′, b′, c′

a′′, b′′, c′′

(x, y, z)]

Wat hier opvalt is dat de notatie van Cayley bijna gelijk is aan wat wij nu gebruiken.Een groot verschil is wel dat Cayley zich bij deze n-tuples geen geometrisch beeld voorstelt.Voor hem zijn dit dus hulpstukken bij het bestuderen van matrices. Het is dan ookdiscutabel dat dit vectoren zijn, maar het lijkt er wel veel op.

De jaren erna blijft dit een belangrijk gebied in de wiskunde waar nog andere grotenamen zich aan verbinden. Maar het belangrijkste om hieruit op te maken is dat denotatie en rekenregels van vectoren en matrices door Cayley in 1858 al waren opgesteld 48.Een van de prominentste redenen dat we dit niet als vectoren zien is omdat een gedeeltevan de geometrische interpretatie mist.

Rond diezelfde tijd vond er ook een andere ontwikkeling plaats waarbij vectoren eengeometrische lading kregen. Dat begon met de ontwikkeling van de quaternionen.

48 [Katz, 2014]

4.4. Theorie van lineaire systemen 61

4.4.2 Rol van quaternionen

In 1843 ontwikkelde Hamilton quaternionen. Hij was op zoek naar de generalisatie vancomplexe getallen naar drie dimensies 49 met als doel om geometrie in de driedimensio-nale Euclidische ruimte makkelijker te maken. Over de opvatting van Hamilton over dequaternionen zijn al meerdere artikelen verschenen, we zullen hier dan ook niet verder bijstil staan.

Tot ver in de negentiende eeuw werden quaternionen veel gebruikt door wis- en na-tuurkundigen met als hoogtepunt misschien wel in Maxwell’s “Treatise” (1873) 50. Ditwas een enorme ontwikkeling ten opzichte van Cartesische coordinaten. Het spreekt voorzich dat de ontwikkeling van de quaternionen door Hamilton en Tait de weg vrijmaakteom meetkunde en natuurkunde te beschrijven met behulp van krachtiger gereedschap 51.

Vaak wordt gesteld dat de Gibbs en Heaviside de vaders van de moderne vector-systemen zijn die het gevecht aangingen met de quaternionen. Gibbs had een pamfletgeschreven en gepubliceerd rond 1884 om zijn studenten moderne vector-analyse te lerenals alternatief op quaternionen 52. De vectoren van Gibbs zijn in vorm (n-tuples) gelijkaan de vectoren die we nu gebruiken, alleen een groot verschil is dat Gibbs niet zo strakwas in zijn definities en zich beperkt tot drie dimensies 53:

Definition. – If anything has magnitude and direction, its magnitude and direc-tion taken together constitute what is called a vector.

The numerical description of a vector requires three numbers, but nothing preventsus from using a single letter for its symbolic designation. An algebra or analyticalmethod in which a single letter or other expression is used to specify a vector maybe called a vector algebra or vector analysis.

[

Vrije vertaling:

Definitie. – Als iets een norm en richting heeft, dan zijn de norm en richtingsamen wat we een vector noemen.

De numerieke beschrijving van een vector zijn drie nummers, maar niks stopt ons

ervan om een enkele letter te gebruiken als symbolische plaatsvervanger. Een algebra

of analytische methode waar een enkele letter of andere expressie wordt gebruikt

noemen we vector algebra of vector analyse.]

In 1887 publiceerde Heaviside “Electrical Papers”. In dit werk beschrijft hij de eerdereMaxwell-vergelijking waarbij hij gebruik maakt van vectoren om ze op een kortere manierte herschrijven. De vectoren heeft hij grotendeels zelf ontwikkeld. Hij kwam tot deontwikkeling van vectoren door te kijken naar quaternionen en ze te reduceren tot wat hijecht nodig achtte om natuurkunde te bedrijven. Naar eigen zeggen is hij niet beınvloeddoor het werk van Gibbs aangezien hij zijn artikel pas in handen kreeg na het publiceren

49 [Dorier, 1995]50 [Nahin, 1987]51 [Crowe, 1985]52 Ibid.53 [Gibbs, 1884, p. 1]

62 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

van “Electrical Papers” 54. Zelf is hij net zo los in zijn definities als Gibbs en dus behalvenotatie kunnen we hier nog niet spreken van de huidige moderne vectoren.

Hier moet opgemerkt worden dat het niet ondenkbaar is dat zowel Gibbs als Heavisidegeınspireerd waren door eerdere publicaties van Cayley vanaf 1858. Cayley ontwikkelde indeze periode matrix-algebra en in zijn publicaties worden moderne vectoren (qua notatie,ook als n-tuples) gebruikt. Cayley introduceert onder andere het matrix-vector product(voor willekeurige eindige dimensie) en was hiermee ver voor Gibbs en Heaviside 55. Aan-gezien Cayley verbonden was aan Cambridge (Sadlerian Chair for Mathematics) 56 werdenveel wiskundigen in die tijd opgevoed met het werk van Cayley.

Het is wel zo dat Cayley op matrices kwam door het bestuderen van stelsels van lineairevergelijkingen en zag dan ook geen geometrische interpretatie van matrices en vectoren.Zelf was hij in de begindagen dan ook een voorstander van quaternionen (hij heeft eenhoofdstuk geschreven in een latere editie van boek van Tait “Treatise on Quaternions”(1890), lange tijd het standaardwerk voor quaterionen) 57. Maar later werpt hij zich opals voorstander van de vectorsystemen van Gibbs en Heaviside, die ironisch genoeg opinterpretatie na gelijk zijn aan zijn eigen vectoren 58.

Vanaf 1890 ontstaan er veel gevechten in vakbladen over welk systeem gebruik gemaaktmoet worden. Het lijkt er op dat geen van beide kanten de ander kon overtuigen maarzorgde er wel voor dat er veel aandacht voor de situatie ontstond 59.

Ondertussen werd het werk van Heaviside verder uitgebreid en werden er verschillendeboeken gepubliceerd om de theorieen van Heaviside en Maxwell toengankelijk te makenvoor een nieuwe lichting natuurkunde studenten. Een van de invloedrijkste auteurs uitdie tijd was Foppl. In 1894 publiceerde hij “Einfuhrung in die Maxwell’sche Theorie derElektricitat” 60 . Dit, en latere boeken van Foppl, waren erg invloedrijk en waren wijdverspreid onder studenten, ingenieurs en de verdere academische wereld. Er zijn ooksterke aanwijzingen dat dit het boek is dat Einstein gebruikte om electriciteitstheorie teleren 61.

In zijn boeken maakt Foppl uitvoerig gebruik van vectoren. Het is zelfs zo dat “Ein-fuhrung in die Maxwell’sche Theorie der Elektricitat” uit zes onderdelen bestaat waarvande eerste uitvoerig gaat over het gebruik van de Heaviside–Gibbs-vectoren 62.

Aangezien zijn boeken zo wijd verspreid waren, dan met name in Duitsland, en denadruk zo erg lag op vectoren in plaats van quaterionen is het zo dat iedere natuurkundestudent uit die tijd opgroeide met vectoren. Het volgt dan ook dat in Gottingen waar na-tuurkunde en wiskunde zo dicht tegen elkaar lagen vectoren een grote voorsprong haddenop quaternionen.

54 [Nahin, 1987]55 [Cayley, 1858]56 [Crowe, 1985]57 Ibid.58 [Nahin, 1987], [Crowe, 1985]59 [Nahin, 1987]60 [Crowe, 1985]61 [Holton, 1973]62 Ibid.

4.4. Theorie van lineaire systemen 63

4.4.3 Axiomatiseren van lineaire ruimten

De ontwikkeling van vectorruimtes is sterk gerelateerd aan die van lineaire systemen,op de manier waarop Peano ze introduceerde. Peano’s lineaire systemen zijn gelijk aanvectorruimtes over de gehele getallen 63. In 1887 begon hij te werken met n-tupels. Dezezag hij niet noodzakelijk als vectoren, hoewel ze wel zo geınterpreteerd kunnen worden. Inzijn meetkundige geschriften werkte hij met lijnsegmenten, die hij opschreef als vectoren,maar zonder de meetkundige interpretatie uit het oog te verliezen. Pas in 1898 draaide hijzijn benadering om: hij begon de meetkunde te axiomatiseren aan de hand van vectoren 64.

Dit had hij eerder gedaan aan de hand van lijnen en punten, maar met vectoren alsuitgangspunt zag hij nieuwe mogelijkheden: omdat hij vectoren kon ontwikkelen zonderdat daar noodzakelijk een meetkundige interpretatie achter zat, kon hij meetkundige be-grippen ontwikkelen aan de hand van vectoren en kon hij de eerder gebruikte, omslachtigemethodes van de meetkunde vervangen door vectormethodes. Hij definieerde ook het in-product u|v met de volgende vier eigenschappen 65: het is (i) een reeel getal, het is (ii)symmetrisch, (iii) distributief, en (iv) het inproduct van een niet-nul vector met zichzelfis groter dan nul. Peano was de eerste die deze, nu als standaard aangenomen, axioma’sopschreef.

Gaston Darboux (1842-1917) pakte het anders aan: uitgaande van n vectoren diebeginnen in de oorsprong, is er een methode om ze samen te stellen zodat er voldaanwordt aan vier aannames 66 (gepubliceerd in “Sur la composition des forces en statiques”(1875)):

1. het resultaat is uniek en onafhankelijk van de volgorde van compositie (commutati-viteit en associativiteit),

2. het resultaat is onafhankelijk onder rotatie rondom de oorsprong,

3. voor vectoren in dezelfde richting reduceert compositie tot optelling, en

4. de richting en grootte van het resultaat zijn continue functies van de vectoren 67.

Rudolf Schimmack (student van Hilbert) schreef zijn doctoraalscriptie “AxiomatischeUntersuchungen uber die Vektoraddition” (1908) over dit onderwerp, waarbij hij Dar-boux’s axioma’s uitbreidde. Het eerste splitste hij op in drieen (uniciteit, commutativiteiten associativiteit), het derde verving hij door het bestaan van een nulvector, en het axio-ma dat voor een scalar a en een vector v geldt dat ||(1+a)v|| = (1+a)||v||. Het tweede envierde axioma van Darboux nam hij ongewijzigd over. In zijn scriptie liet hij zien dat dezezeven axioma’s consistent en onafhankelijk waren. Georg Hamel, die ook in Gottingenstudeerde, was in 1903 tot dezelfde conclusies gekomen, ook aan de hand van het werkvan Darboux 68. Hij concludeerde hierbij dat het noodzakelijk was om Darboux’s vierde

63 [Moore, 1995, p. 267]64 Ibid., p. 271.65 Ibid., p. 272.66 Ibid., p. 273.67 Dit komt overeen met Hilberts zesde axioma.68 [Moore, 1995, §6]

64 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

axioma aan te nemen in de vorm van de functionaalvergelijking f(x+ y) = f(x) + f(y),waarbij f een discontinue functie mocht zijn 69.

Als we de axioma’s van Darboux (1875), Schimmack (1908) en Hamel (1903) zoalshierboven beschreven naast die van Hilbert (1902) in paragraaf 4.3.2 leggen valt op dat zeweliswaar verschillen, maar dezelfde consequenties hebben. In combinatie met het werkvan Weyl (besproken in paragraaf 4.2.1) bestond er in Gottingen dus al een groot deelvan de moderne vectoranalyse, al verschilden de interpretaties, bijvoorbeeld op het gebiedvan een basis van een vectorruimte 70.

4.4.4 Ontwikkeling Banach-ruimte

Stefan Banach (1892-1945, studeerde in Lviv / Lwow en Krakau) was uiteindelijk de-gene die een einde maakte aan de hierboven genoemde verwarring (al kwamen Hahn inWenen en Wiener in de VS tot gelijksoortige conclusies). In zijn doctoraalscriptie “Surles operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales”(1922), waarin hij de grondslag voor de functionaalanalyse legde, definieerde hij de comple-te genormeerde vectorruimte, nu bekend als de Banachruimte 71. Banach bespreekt hierinverschillende functieruimtes en convergentiestellingen. Al snel werd zijn werk gelezen doorWiener, die Banachs axioma’s voor reele ruimtes uitbreidde naar complexe functieruim-tes, en Maurice Frechet, die vooral geınteresseerd was in de topologische benadering vanvectorruimtes. In 1929 publiceerde Banach opnieuw twee artikelen over vectorruimtes enlineaire vormen. Een hiervan bevatte de Hahn-Banach stelling, een fundamenteel resul-taat in de functionaalanalyse 72. Deze staat het toe om een begrensde lineaire operatorop een deelruimte uit te breiden naar een operator op de gehele vectorruimte. Weyl wasechter niet onder de indruk, hij deed het concept van Banachruimtes af als nutteloos:“Whether the importance of the subject justifies the large number of papers written onBanach spaces is perhaps questionable” 73.

Vanaf 1920 werden genormeerde vectorruimtes ook bestudeerd in een topologische con-text. In de twintig jaar erna werd er veel onderzoek naar vectorruimtes, functieruimtesen alle verwante concepten gedaan, onder andere in Lviv (Banach, Steinhaus), Moskou(Kolmogorov), Princeton (von Neumann) en natuurlijk Gottingen (Weyl, Hilbert, Min-kowski). Bekende resultaten zijn de Hilbertruimtes (volledige genormeerde vectorruimtes,voor het eerst behandeld door Schmidt in 1908 en geaxiomatiseerd door von Neumann in1927 en gewijzigd door Frechet in 1935) en Minkowski-ruimtes 74 .

69 Als f continu is, geldt f(x) = kx, waarbij k een scalair is, zoals Cauchy al eerder bewees.70 Er zijn twee mogelijke definities voor basis: aantal mogelijke lineair onafhankelijke elementen, of

aantal coordinaten van een ruimte. Op eindig-dimensionale ruimtes komen deze definities overeen, maarop oneindig-dimensionale ruimtes niet. Weyl maakte hier geen verschil tussen als hij Hilbertruimtesbesprak [Moore, 1995, p. 277].

71 [Moore, 1995, pp. 280-281]72 Ibid., p. 283.73 [Weyl, 1951, p. 549]74 [Moore, 1995]

4.5. Conclusie en discussie 65

4.5 Conclusie en discussie

Zoals beargumenteerd lijkt het dat vectoren een product zijn van verschillende ontwikke-lingen die pas vrij recent bijeengekomen zijn. Aan de ene kant hebben we in de negen-tiende eeuw de theorie van systemen van lineaire vergelijkingen en aan de andere kant de(systematischer dan eerst) ontwikkeling van geometrie. Hierbij moet gedacht worden aanCayley’s “A Memoir on the Theory of Matrices” (1858) waarin we moderne notatie en hetmatrix-vector product herkennen en de ontwikkeling van de quaternionen door Hamilton.

Het was vooral de axiomatisering van eind negentiende eeuw en begin twintigste eeuwdie alles samenbracht. Deze ontwikkeling werd vooral aangestuwd door Peano met depublicatie van “Applicazioni Geometriche del Calcolo Infinitesimale” in 1887 en “Arith-metices principia: nova methodo exposita” in 1889, waar hij een axiomatische basis gafvan de Euclidische ruimte met als belangrijkste onderdeel gerichte lijnstukken, en doorHilbert “Grundlagen der Geometrie” in 1899. Maar dit is nog niet volledig ten opzichtevan wat wij als vectoren verstaan aangezien er nog veel fundamentele definities en stellin-gen ontbreken. Dat zou pas later ontwikkeld worden waarna het uiteindelijk gebundeldwordt door Birkhoff en Mac Lane in “A Survey of Modern Algebra” (1941) als boek voorwiskunde studenten. Tot halverwege de twintigste eeuw is het dan ook onmogelijk om tespreken over de huidige moderne vector.

Wel is het zo dat verschillende aspecten van vectoren wel al waren ontwikkeld. Dezeontwikkelingen gebeurden vrij losstaand van elkaar waarbij de invloed van elkaar nietaltijd even duidelijk is. Zo zijn Heaviside en Gibbs beide onafhankelijk tot de modernegeometrische interpretatie gekomen van vectoren door te kijken naar de quaternionen,maar de notatie is al veel ouder en de rekenregels van vectoren waren ook al 25 jaareerder opgeschreven door Cayley in “A Memoir on the Theory of Matrices”. Maar dereden dat Cayley niet alle eer verdient is omdat hij niet de geometrische interpretatie aanvectoren gaf die er wel was bij de quaternionen van Hamilton en de vectoren van Heavisideen Gibbs.

Het is dan ook interessant om te onderzoeken in hoeverre Heaviside en Gibbs zijnbeınvloed door het eerdere werk van Cayley. De vectoren lijken wel al veel op elkaaren het is dan ook moeilijk voor te stellen dat Heaviside en Gibbs niks wisten van depublicaties van Cayley.

Het lijkt er nog het meeste op dat vectoren vooral uit praktisch oogpunt zijn ont-staan. Iedere keer als wis- en natuurkundigen behoefte hadden aan een simpel systeemom coordinaten of variabelen op te schrijven gebruikten ze vaak n-tuples. Deze notatiezorgde ervoor dat de vele verschillende aspecten van vectoren los van elkaar konden ont-wikkelen en het later erg gemakkelijk was om ze tijdens het axiomatiseren van geometriesamen te voegen.

Natuurlijk kon dat alleen gebeuren op een plek waar al die verschillende ontwikkelingensamenkomen, een plek waar grote geesten vanzelf naar dit onderwerp toe werden getrokkenen ongestoord ideeen konden uitwisselen. Duitsland was hiervoor een logische kandidaatomdat daar de wetenschap eind negentiende, begin twintigste eeuw in enorme opkomstwas. Nadat de Nazi’s de universiteiten sloten en de meest invloedrijke wetenschappersverjoegen duurde het even voor er weer voortgang kwam maar uiteindelijk vinden we onzehuidige definitie dan terug in een leerboek voor Amerikaanse studenten.

66 Hoofdstuk 4. Het ontstaan van moderne vectoranalyse

Bibliografie

[Birkhoff and Mac-Lane, 1941] Birkhoff, G. and Mac-Lane, S. (1941). A Survey of Mo-dern Algebra. New York: The Macmillan Company.

[Birkhoff and Mac-Lane, 1992] Birkhoff, G. and Mac-Lane, S. (1992). A Survey of Mo-dern Algebra : The Fiftieth Anniversary of its Publication. Mathematical Intelligencer,14 (1): 26–31.

[Blumenthal, 1935] Blumenthal, O. (1935). Lebensgeschichte. In Hilbert, D. (red.), Ge-sammelte Abhandlungen, Dritter Band, Analysis, Grundlagen der Mathematik, PhysikVerschiedenes, Nebst einer Lebensgeschichte, pp. 388–429. Berlin: Verlag von JuliusSpringer.

[Cayley, 1858] Cayley, A. (1858). A Memoir on the Theory of Matrices. Philosophicaltransactions of the Royal Society of London, pp. 17–37.

[Corry, 2004] Corry, L. (2004). David Hilbert and the axiomatization of physics (1898–1918) : From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Dordrecht: KluwerAcademic Publishers.

[Crowe, 1985] Crowe, M.J. (1985). A History of Vector Analysis : The Evolution of theIdea of a Vectorial System. New York: Dover Publications, Inc.

[Dorier, 1995] Dorier, J.L. (1995). A General Outline of the Genesis of Vector SpaceTheory. Historia Mathematica, 22 (3): 227–261.

[Gibbs, 1884] Gibbs, J.W. (1884). Elements of Vector Analysis : Arranged for the Use ofStudents in Physics. New Haven: Not published.

[Hilbert, 1902] Hilbert, D. (1902). Foundations of Geometry. Chicago: The Open CourtPublishing Company. Oorspronkelijke titel: Grundlagen der Geometrie, vertaald doorE.J. Townsend.

[Hilbert, 1909] Hilbert, D. (1909). Grundlagen der Geometrie. Leipzig: Druck und Verlagvon B.G. Teubner, 3e druk.

[Holton, 1973] Holton, G. (1973). Thematic origins of scientific thought : Kepler toEinstein. Cambridge: Harvard University Press.

[Katz, 2014] Katz, V.J. (2014). A History of Mathematics : An Introduction. Essex:Pearson Education Limited, 3e druk.

[Mac-Lane, 1995] Mac-Lane, S. (1995). Mathematics at Gottingen under the Nazis. No-tices of the AMS, 42 (10): 1134–1138.

[Moore, 1995] Moore, G.H. (1995). The axiomatization of linear algebra: 1875-1940.Historia Mathematica, 22 (3): 262–303.

4.5. Bibliografie 67

[Nahin, 1987] Nahin, P.J. (1987). Oliver Heaviside: Sage in Solitude : The Life, Work,and Times of an Electrical Genius of the Victorian Age. New York: IEEE Press.

[Neuenschwander and Burmann, 1994] Neuenschwander, E. and Burmann, H.W. (1994).Die Entwicklung der Mathematik an der Universitat Gottingen. In Schlotter,H.G. (red.), Die Geschichte der Verfassung und der Fachbereiche der Georg-August-Universitat zu Gottingen, pp. 141–159. Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht. Engelsesamenvatting: www.uni-math.gwdg.de/en/burmann.xhtml [Bekeken 30-07-2014].

[Schimmack, 1903] Schimmack, R. (1903). Ueber die axiomatische Begrundung der Vek-toraddition. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Ma-thematisch-physikalische Klasse, 5: 317–325.

[Struik, 1965] Struik, D.J. (1965). Geschiedenis van de wiskunde. Utrecht: Uitgeverij HetSpectrum.

[Waerden, 1975] Waerden, B.L. van der. (1975). On the sources of my book ModerneAlgebra. Historia Mathematica, 2 (1): 31–40.

[Weyl, 1918] Weyl, H. (1918). Raum, Zeit, Materie : Vorlesungen uber allgemeine Rela-tivitatstheorie. Berlin: Verlag von Julius Springer.

[Weyl, 1951] Weyl, H. (1951). A Half-Century Of Mathematics. American MathematicalMonthly, 58 (8): 523–553.

5. Contexten

Door Marianne Knoester & Lara van Zuilen

If history can do anything it is to remind us of those complications that undermine

our certainties, and to show us that all our judgements are merely relative to time

and circumstance. – Herbert Butterfield 1

Dit citaat uit Butterfields The Whig Interpretation of History, geschreven in de peri-ode van de Grote Depressie, illustreert hoe over wetenschapsgeschiedenis werd gedacht inhet begin van de twintigste eeuw 2. Men schreef een geschiedenis, die Butterfield Whiggeschiedenis zou noemen, die voornamelijk succesvolle revoluties prees en het heden ver-heerlijkte. Het citaat suggereert dat ons oordeel over een historische gebeurtenis wordtvertroebeld door de omstandigheden waarin we ons bevinden. De ontwikkeling van weten-schappelijke theorieen in zo’n Whig geschiedenis is vaak dan ook lineair en progressief. Ineen dergelijke geschiedenis won het Copernicaanse model van Ptolemaeus’ model, overtrofEinsteins speciale relativiteitstheorie Lorentz’ elektron theorie en werden de quaternio-nen vervangen door de vector analyse. Een historische speler uit de zestiende eeuw hadCopernicus’ model helemaal niet logischer hoeven te vinden dan het oude model. Denieuwe theorie werd gezien als contra-intuıtief en paste in eerste instantie niet beter bijde observaties dan de oude theorie. Dat wil zeggen, de twee modellen leken empirischequivalent te zijn. Voor Einsteins theorie en de vector analyse geldt hetzelfde argument.

Een Whig-geschiedenis van de vector analyse zou er, bijvoorbeeld, als volgt uit kunnenzien:

In 1843 ontdekte William Rowan Hamilton de quaternionen, een uitbreiding vande complexe getallen. Deze quaternionen bleken niet door iedereen te worden be-grepen. Daarom werden ze rond 1885 verdrongen door vector analyse. De vectoranalyse had dezelfde capaciteiten als de quaternion analyse, maar ze waren een stuksimpeler en natuurlijker. Wetenschappelijke theorieen die de werkelijkheid beter ensimpeler beschrijven liggen dichter bij de waarheid. De vector analyse won dus vande quaternionen omdat ze de realiteit beter beschreven.

Een dergelijk kortzichtige versie van het debat is dus geen geen goede representatie van dewerkelijkheid. De strijd tussen de quaternionisten en de vector analisten valt echter weluit de toon in de geschiedenis van kennis revoluties. Het debat draait namelijk om twee

1 [Butterfield, 1965, p. 75]2 [Butterfield, 1931]

5.1. Rivaliserende Theorieen in de Wiskunde 69

wiskundige analytische systemen, en niet om twee natuurkundige theorieen. Wiskundewordt op een andere manier bedreven dan natuurkunde; het is een formele wetenschapen dus geen natuurwetenschap. Al dacht niet iedereen er zo over in de negentiende eeuw.Dit maakt dat de strijd tussen twee ‘theorieen’ anders wordt gestreden door wiskundigendan door natuurkundigen. De essays in dit boek zijn allemaal min of meer gebaseerd opeen boek van Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis uit 1967 3. Het boek richtzich op het algemene debat en de personen die er aan deelnamen. Het focust echter nietzozeer op de invloed van de omstandigheden van de historische spelers op het debat. Datis precies waar dit essay over zal gaan.

Het doel is dus om een versie van het debat te presenteren die niet Whig-achtig isen speciale aandacht geeft aan de omstandigheden van de historische spelers. Het is,wiskundig gezien, een atechnische essay waarin alleen wat algemene kennis wordt veron-dersteld. 4 Voor het gemak definieren we vectoriele systemen als de verzameling van alleversies van de quaternion- en vector analyse. Dit essay is opgedeeld in een algemeen kadervoor rivaliserende theorieen in de wiskunde en de toepassing daarvan op het debat overde vectoriele systemen. Allereerst is het belangrijk om de ontologische status 5 van wis-kundige objecten in de negentiende eeuw te bespreken. Onze huidige kijk op het bestaanof niet bestaan van de objecten zegt immers niets over de kijk van de historische spelers.Daarnaast is het noodzakelijk om te kijken naar de interne criteria die de spelers eisenvan hun systemen en theorieen. Thomas S. Kuhn heeft iets vergelijkbaars gedaan voor denatuurkunde 6, dit blijkt echter niet volledig toepasbaar te zijn op de wiskunde. Het kadervoor de interne criteria in dit essay is deels gebaseerd op Kuhn en op Herbert Mehrtens’artikel over Kuhn in de wiskunde uit 1976 7. Na de interne criteria zal er worden gekekennaar enkele externe factoren die een rol hebben gespeeld in het debat. In het tweededeel, sectie 5.2, wordt er dus gefocust op de casus, oftewel het debat over de vectorielesystemen. Er zal eerst gekeken worden naar de ontwikkeling van de quaternionen, gevolgddoor de ontwikkeling van de moderne vector analyse. Aansluitend wordt het kader vaninterne criteria en externe factoren toegepast op iedere historische speler met een groterol in Crowe’s boek. Het zijn deze criteria en factoren die de contexten, of totale om-gevingen, van het debat beschrijven. Tenslotte zijn een aantal van de externe factorengrafisch weergegeven in de hoop enkele patronen te ontdekken. Dit laatste is gebaseerd opgelimiteerd brononderzoek naar, onder andere, de correspondentie tussen de historischespelers.

5.1 Rivaliserende Theorieen in de Wiskunde

Een van de bekendste problemen in de wetenschapsfilosofie is die van de onderdetermi-natie. Deze thesis stelt dat je altijd meerdere theorieen kunt bedenken die passen bij

3 [Crowe, 1985]4 Er zal ook niets worden gezegd over de vorm van de quaternionen. Meer informatie over die notatie

en de moderne toepassing van quaternionen is namelijk al te vinden in het hoofdstuk van Tjebbe Hepkemaen Maxim van Oldenbeek.

5 Ontologie is de leer van het ‘zijn’. Objecten kunnen wel of niet bestaan.6 [Kuhn, 2012]7 [Gillies, 1992]

70 Hoofdstuk 5. Contexten

de huidige observaties. In principe zou iedere theorie die we kennen vervangen kunnenworden door een empirisch equivalente theorie. Maar hoe weet je dan welke theorie dejuiste is en is het wel belangrijk om dit te weten?

5.1.1 Ontologie en Realisme in de Wiskunde

Sommige wiskundigen geloven dat wiskundige entiteiten los bestaan van de menselijkegeest, anderen denken niet dat wiskunde de realiteit beschrijft. Realisten, zoals de naamal doet vermoeden, zien wiskunde als een verklarende wetenschap, terwijl anti-realistenwiskunde als louter beschrijvend zien. Er zijn, in het algemeen, drie standpunten over deontologische status van wiskundige objecten:

A. Realisme: De objecten bestaan in de waarneembare wereld

B. Anti-Realisme: De objecten zijn louter een constructie

C. Pragmatisme: De vraag naar de ontologische status is onzinnig.

In het pragmatisme hoeft een concept of object louter empirisch adequaat te zijn, dekwestie wordt dus verplaatst van waarheid naar bruikbaarheid.

De drie standpunten zijn onder te verdelen in meerdere filosofische stromingen. Enkelehiervan zijn uitgezet in figuur 5.1. Vaak worden de stromingen zelf benoemd door filosofen,de wiskundigen zelf nemen meestal genoegen met de termen realisme, anti-realisme enpragmatisme.

Figuur 5.1: Filosofische stromingen in de wiskunde

Een realist denkt dat slechts een theorie de ware kan zijn en wordt dus gedwongen tekiezen tussen vector analyse en de quaternionen op de grond van wat hem het natuurlijkstlijkt. De anti-realist zal eerder geneigd zijn de meest elegante constructie te kiezen tussentwee empirisch equivalente theorieen. Zowel de realist als de anti-realist binden zich aan

5.1. Rivaliserende Theorieen in de Wiskunde 71

een systeem, beiden zullen dus geneigd zijn hun posities te verdedigen. Aan de anderekant vindt de pragmatist de discussie over de ontologische status van de quaternionen envectoren niet belangrijk. Hij zou beide kampen dus aantrekkelijk kunnen vinden en zeafwisselend gebruiken. De pragmatist zal zich ook minder fel met het debat bemoeien.Er is wel een uitzondering: Een natuurkundige pragmatist kijkt naar het systeem dat hetbest toepasbaar is in zijn vakgebied. Toepassingen buiten de wiskunde kunnen dus leidentot bemoeienis van de pragmatist in een debat tussen twee systemen.

Beknopte Geschiedenis van Realisme in de Wiskunde

Tegenwoordig wordt wiskundestudenten aangeleerd dat wiskunde een formalisme is. Dewiskundigen onder de auteurs van dit boek gaven in een vragenlijst aan dat ze wiskundezien als een constructie die niet per se representatief is voor de werkelijkheid. Zij zien dewiskunde als een set van definities en bewijzen waarin consistentie verondersteld wordt.Dit is niet altijd zo geweest, de ontwikkeling van de pure wiskunde in universiteiten isdan ook niet meer dan 200 jaar oud.

De eerste filosofische stromingen binnen de wiskunde zijn, zover bekend, ontstaan inhet Oude Griekenland. Vooral Plato’s vormentheorie met zijn ideale wiskundige wereldis bekend gebleven onder de filosofen. Zijn school heeft nog steeds aanhangers, en isdus een van de oudste wiskundige scholen. Het anti-realisme kwam pas vrij laat tot eenwerkelijke school. Wiskundigen stelde in de negentiende eeuw al dat ze anti-realistischwaren. Maar pas in het begin van de twintigste eeuw begonnen filosofen scholen in tedelen naar wiskundige epistemologie 8 en ontologie. De meeste stromingen, waaronderhet fictionalisme en het formalisme, ontstonden dan ook na de strijd tussen de vectorielesystemen. Er moet rekening gehouden worden met het feit dat wiskundige anti-realismein de negentiende eeuw minder vanzelfsprekend was dan het tegenwoordig is. Het hedenmoet immers niet op het verleden geprojecteerd worden.

Ook buiten de filosofische interpretatie maakte de wiskunde als vakgebied een interes-sante ontwikkeling door in de negentiende eeuw. Het begon zich meer los te weken vande natuurkunde. Tot het midden van de negentiende eeuw was er geen scherpe schei-ding tussen natuurkunde en wiskunde. Wiskunde was dan ook vooral een toepassing. Inde negentiende eeuw kreeg de pure, abstracte wiskunde pas echt een positie op de uni-versiteit. Vanaf dat punt ontstonden er nieuwe vakgebieden en uitbreidingen van oudevakgebieden. Een voorbeeld van zo’n ontwikkeling was de meetkunde. Er werd een vierdespatiale dimensie geıntroduceerd door August Ferdinand Mobius, ook werden de Bolyai-Lobachevsky-geometrie en de Riemann-geometrie ontwikkeld. De verdere ontplooiing vancomplexe en negatieve getallen, n-dimensionale ruimtes, en non-commutatieve algebrawas cruciaal voor de ontwikkeling van het abstract-wiskundige vakgebied. De wiskundesteeg boven sensorisch intuıtieve concepten uit. Dit ging samen met het idee dat wiskundeniet de natuur behoorde te beschrijven. Wiskunde was vrij van de werkelijkheid en bondzich meer met het anti-realisme. Vandaag de dag wordt het dus heel normaal gevondendat wiskundige theorieen niet per se aan de fysische wereld gebonden zijn. De filosofischeposities van de historische spelers zullen in subsectie 5.2.3 worden besproken.

8 Epistemologie is de leer van de kennis.

72 Hoofdstuk 5. Contexten

5.1.2 Interne Criteria

Iedere wetenschapper in elk vakgebied heeft zijn of haar interne criteria, oftewel episte-mische waarden, waarmee hij of zij een, eventueel equivalente, theorie beoordeelt. Zoalsgenoemd in de inleiding was Kuhn degene die vijf waarden opstelde voor de natuurkunde.Die epistemische waarden van Kuhn waren een onderdeel van een grotere theorie overwetenschappelijke revoluties 9. In die theorie wordt een gedachtegoed, of paradigma, op-gevolgd door een ander gedachtegoed zodra er teveel tegenstrijdigheden zitten in de oudetheorie. Het concept van een paradigma was in eerste instantie slecht gedefinieerd. Later,in een postscript, zou Kuhn het concept beter toelichten. Hij beschrijft een gedachtegoedals een disciplinaire matrix met vier componenten 10:

‘Disciplinary’ because it refers to the common possession of the practitioners of

a particular discipline; ‘matrix’ 11 because it is composed of ordered elements of

various sorts, each requiring further specification.

Kuhns Matrix heeft de volgende elementen:

1a. Symbolische generalisaties, ofwel natuurkundige wetten2a. Metafysische aannames3a. De vijf waarden: nauwkeurigheid van voorspellingen, consistentie, reikwijdte, een-

voud, vruchtbaarheid4a. Exemplars: leerboek voorbeelden, zoals de harmonische oscillator en Keplers pla-

neetbanen

De natuurkundigen beoordelen hun theorieen met de, in 3a genoemde, gedeelde epistemi-sche waarden. Ieder individu kan een ander gewicht hangen aan de specifieke waarden,het blijven echter rationele waarden om een theorie op te beoordelen. De theorie die hetmeest voldoet aan de waarden is degene die beter kan verklaren en meer kan voorspellen.En dat is het doel van een natuurkundige theorie.

Het ligt natuurlijk anders voor de wiskunde, alhoewel het mogelijk is Kuhns Matrixtoe te passen op het gebruik van vectoriele systemen in natuurkundige theorieen. Eenoptie hiervoor zou Maxwells theorie van elektromagnetisme zijn. Maxwells eigen versievan zijn Treatise on Electricity and Magnetism bevat quaternionen, terwijl Heaviside laterde theorie zou omschrijven in vectoren. Er is echter besloten de Matrix zelf aan te passen.Dit is al eens gedaan door Herbert Mehrtens 12.

Volgens Mehrtens heeft een wiskundige disciplinaire kennis die bestaat uit, onder ande-re, theorieen, theorema’s, bewijsmethoden, methoden voor data representatie, symbolieken terminologie. Daarnaast is er ook een set van overtuigingen over de wiskunde, waaron-der de rol die het zou moeten spelen. Vervolgens bestaan er nog ideeen over de estheticavan de wiskunde, de rol van toepassingen, en bewijsmethoden. Dit is een achtergrond die

9 [Kuhn, 2012]10 Ibid., p. 181.11 Er is geen ruimte voor een vergelijking met de matrix uit de lineaire algebra.12 [Gillies, 1992]

5.1. Rivaliserende Theorieen in de Wiskunde 73

zou moeten verschillen per persoon. Het is wel een achtergrond die wordt ontwikkeld ineen universitaire omgeving, dus er is enige inbreng van de samenleving op de samenstellingvan de achtergrond. Mehrtens’ Matrix heeft vijf elementen, waarvan er drie van Kuhnkomen:

1b. Modellen: metafysische aannames, formalisme

2b. Waarden: presentatie resultaten, methoden, problemen, toepasbaarheid, vrucht-baarheid

3b. Exemplars: symboliek, terminologie

4b. Concepten, waaronder commutativiteit

5b. Standaard problemen, waaronder het ontbinden in factoren

Mehrtens geeft aan dat de elementen van de Matrix niet geheel gescheiden zijn en dat erwaarschijnlijk elementen missen. Desalniettemin representeert zijn Matrix de wiskundebeter dan Kuhns Matrix. Alleen is datgene wat Mehrtens definieert onder waarden minderduidelijk. Daarom stelt dit essay de volgende criteria voor:

i. Algemeenheid, en reikwijdte

ii. Consistentie, zowel intern en extern, en strengheid van bewijsvoering

iii. Natuurlijkheid

iv. Toegankelijkheid

v. Toepasbaarheid, en nauwkeurigheid voorspellingen

vi. Vruchtbaarheid

vii. Weergave, kort, esthetisch, elegant

Met algemeenheid wordt bedoeld in welke mate een systeem gebouwd is om gebruikt teworden. Hoe algemener een systeem, hoe meer het kan worden gebruikt in verschillendevakgebieden. Zo worden matrices niet alleen gebruikt in de lineaire algebra, maar ookin de meetkundige optica en als transformaties in de natuurkunde. Matrices hebben duseen grote reikwijdte. Het gewicht dat wiskundigen hangen aan de criteria van algemeen-heid en reikwijdte is veranderd door de tijd. Tegenwoordig willen wiskundigen het liefstzo algemeen mogelijke resultaten zien. Consistentie is tegenwoordig een eis binnen dewiskunde, zowel op zichzelf als in vergelijking met bestaande ideeen. Nieuwe systemenmoeten per se intern en extern consistent zijn. Dit was niet altijd zo; in het verledenwerden inconsistente systemen nog wel eens toegelaten als ze vruchtbaar genoeg waren.Consistentie en strengheid werden steeds belangrijker gevonden in de loop van de ne-gentiende eeuw, vooral in de analyse. Een systeem is natuurlijk als het goed past bij devoorstelling die wiskundigen hebben van de wiskundige representatie van de waarneemba-re wereld. Voor het criterium toegankelijkheid geldt dat wiskundige theorieen makkelijkte leren zouden moeten zijn. Een theorie waarvoor veel veronderstelde kennis voor nodigis, is niet toegankelijk. Toepasbaarheid spreekt voor zich; hoe goed is het wiskundigesysteem toepasbaar in de andere wetenschappen en leidt het systeem tot nauwkeurigevoorspellingen? In de maantheorie bleek bijvoorbeeld dat storingsrekening nauwkeurigerevoorspellingen maakte dan differentiaalrekening. Zo als eerder genoemd kunnen systemen

74 Hoofdstuk 5. Contexten

ook vruchtbaar zijn. Theorieen die leiden tot nieuwe concepten, of verbindingen tussendie concepten, zijn vruchtbaar. Tenslotte is de weergave van het systeem belangrijk. Wis-kundigen houden nu eenmaal van notaties die kort, mooi en elegant zijn 13. De meestecriteria van Kuhn en Mehrtens komen dus wel terug in de zeven opgestelde criteria.

De criteria zijn, zoals hierboven genoemd, persoonlijk. De een vindt consistentie hetbelangrijkst, de ander voelt meer voor de toepasbaarheid. Wel lijkt een gemeenschapvan wiskundigen globaal dezelfde gewichten toe te kennen aan de criteria. Dat gewichtvan de criteria verandert met de tijd. Deze historische variatie wordt bepaald door deomstandigheden waarin de gemeenschap en het individu zich bevinden. Kuhn en Mehr-tens noemen deze omstandigheden ook wel de extrawiskundige sociale invloeden of deexterne sociale achtergrond. In dit essay zal de term externe factoren worden gebruikt.Tegelijkertijd beınvloeden de criteria ook de werkwijze van de wiskundigen. Er is dus eenwisselwerking tussen de interne criteria en de externe factoren. Dit geldt voor zowel degemeenschap als het individu. Deze wisselwerking maakt dat de huidige wiskundigen devectoriele systemen niet kunnen beoordelen op dezelfde wijze als de historische spelers datdeden. Enkele externe factoren die een rol hebben gespeeld in het debat over de vectorielesystemen worden toegelicht in de komende sectie.

5.1.3 Externe Factoren

Er zijn een groot aantal externe factoren die de interne criteria zouden kunnen beınvloe-den. Er zijn zelfs externe factoren die alle criteria overstijgen. Denk bijvoorbeeld aan eenleek die overtuigd wordt door zijn wiskundige vriend, of aan een anti-semiet die Einsteins‘Joodse’ relativiteitstheorie niet wil aanvaarden. We gaan er in dit essay echter vanuit datwiskundigen op een rationele wijze, dus aan de hand van de zeven criteria, tot een waardigbesluit komen over een systeem. Dit essay sluit ook externe factoren uit die opgedragenzijn door de regering van het land van de historische spelers. Dat wil zeggen, we nemenpolitiek en de economie niet mee als factoren. Dit speelde natuurlijk wel een rol. Er isuiteindelijk besloten om de focus te leggen op de volgende factoren:

• De geografie• Het karakter• Het sociale milieu• De tijd en generatie

Geografie duidt op het land waarin een speler woonde. Sommige landen hadden uni-versiteitssystemen die ideaal waren voor een aanstaande wiskundige, in andere landen waseen dergelijke positie onmogelijk. Ieder land heeft ook een eigen taal, en de taal heeftook zeker een externe invloed. Zo bereikt een Engelse publicatie een groter publiek daneen Nederlandse publicatie. De interne criteria kunnen ook varieren per land. Een landmet weinig interesse in de pure wiskunde zal de toepasbaarheid in andere wetenschappenheel belangrijk vinden. Het karakter van een speler heeft ook invloed op hoe de spelerhet debat voert. We zullen later in dit essay zien dat sommige spelers zeer fel konden

13 Een uiteenzetting van de geschiedenis van wiskundige ’mooiheid’, een vaak genoemde criteria, is tevinden in [Blasjo, 2012].

5.2. De Casus: Vectoriele Systemen 75

zijn, terwijl anderen wat milder waren. Deze felheid kan er toe leiden dat de speler degoede punten van het andere systeem totaal negeert, en dat er dus langs elkaar heen wordtgedebatteerd. Het sociale milieu is een vrij ruim begrip. Het doelt in dit geval op de so-ciale positie van de speler in zijn gemeenschap. Had de speler een mentor of een leerling?Dit kan immers de voortleving van een theorie bevorderen. Met wie correspondeerde despeler zoal? Een speler die nauw samenwerkt met anderen blijft beter op de hoogte vanontwikkelingen. Wat voor opleiding heeft de speler genoten en in welke werkomgevingpubliceerde hij? Een speler die los staat van de universiteit bereikt moeilijk spelers diewel betrokken zijn bij een universiteit. Tenslotte is de tijdsperiode van belang als externefactor. De negentiende eeuw was immers een bloeiende periode voor de wiskunde. Hetis daarbij een periode die ten minste in twee generaties is in te delen. Een speler uitde eerste generatie heeft misschien een heel andere opleiding genoten dan een speler uitde tweede generatie. Het is dus makkelijk voor te stellen dat de, abstracter-opgeleide,tweede generatie een andere variatie van de criteria aanhield dan de eerste generatie, diemeer geneigd waren naar de toegepaste wiskunde. Subsectie 5.2.3 van deze essay zal dittoespitsen op de specifieke historische spelers. Nu eerst de algehele ontwikkeling.

5.2 De Casus: Vectoriele Systemen

In dit gedeelte van het essay wordt het kader van sectie 5.1 toegepast op het debat rondomde vectoriele systemen. Dit deel begint met de ontwikkeling van de quaternionen, gevolgddoor de ontwikkeling van de vectoranalyse. 14 Daarna zullen, zoals beloofd, de internecriteria en externe factoren van de belangrijkste historische spelers op een rij wordengezet. Tenslotte zijn er nog een aantal externe factoren visueel ‘in kaart gebracht’ insubsectie 5.2.4.

5.2.1 De Zoektocht naar Driedimensionale Algebra

De zoektocht naar een driedimensionale algebra begon nadat Gauss in 1831 publiceerdeover de geometrische representatie van de complexe getallen 15. Hierin worden complexegetallen voorgesteld als een object in de tweedimensionale ruimte. Dit leidde voor veelwiskundige spelers tot een zoektocht naar een driedimensionaal analoog hiervan. Het wasHamilton die hierdoor in 1843 de quaternionen ontdekte. Tien jaar later, in 1853 werdzijn boek Lectures on Quaternions 16 gepubliceerd, waarin hij in 737 pagina’s de grond-slagen, principes en regels van de quaternionen uitlegt. Hamilton werkte tot zijn dood in1865 aan het uitbreiden en bekend maken van quaternionen 17 De twee belangrijkste per-sonen die Hamiltons quaternionen hielpen te verspreiden waren Benjamin Peirce en PeterGuthrie Tait. Benjamin Peirce was een Amerikaanse wiskundige die lesgaf op Harvard.Al voor de publicatie van Hamiltons Lectures was Peirce geınteresseerd in quaternionen.

14 Voor een sterkere focus op de overwinning van de vector analyse verwijzen we naar het essay vanSander Beekhuis en Gerard van Beelen.

15 [Gauss, 1831]16 [Hamilton, 1853]17 [Graves, 1889]

76 Hoofdstuk 5. Contexten

Dit blijkt uit het feit dat hij quaternionen in zijn lessen op Harvard ook behandelde 18.Dankzij zijn enthousiasme voor quaternionen en zijn invloed als gerenommeerd wiskun-dige verspreidde de quaternionen zich over de Verenigde Staten. In die tijd werden opminstens twaalf vooraanstaande universiteiten en colleges les gegeven in quaternionen 19.Naast Peirce was Peter Guthrie Tait een van de grootste voorstanders en verspreiders vande quaternionen. Tait was een Schotse wis- en natuurkundige die verbonden was aan deuniversiteit van Edinburgh. In 1853 las hij de Lectures van Hamilton en bleek er goed meeuit de voeten te kunnen, dit in tegenstelling tot veel andere in die tijd, die de verhandelingmoeilijk te lezen vonden 20. Taits nieuwsgierigheid naar quaternionen was hierdoor gewekten in 1858 ontstond er een correspondentie tussen Hamilton en Tait waarin ze ideeen overquaternionen uitwisselden. Tait werd hierdoor zeer bedreven in het rekenen met quater-nionen en publiceerde in 1867 zijn Elementary Treatise on Quaternions 21 waarin hij ookde natuurkundige toepassingen van quaternionen behandelde.

Vanaf het moment dat Hamilton quaternionen ontdekte zijn ze langzaam maar zekersteeds bekender geworden. Er waren echter meer mensen die een systeem hadden ontdektvoor een meerdimensionale algebra. Het systeem van Hermann Gunther Grassmann wasde belangrijkste hiervan en heeft het meeste invloed gehad, hoewel de erkenning voor zijnwerk pas jaren na de publicatie kwam. Grassmann was geboren in Stettin en heeft daarhet grootste deel van zijn leven doorgebracht. Hij was autodidact in de wiskunde en gafles op een gymnasium 22. Hoewel hij meerdere pogingen had gedaan om een aanstelling tekrijgen bij een universiteit, is dit nooit gelukt. In 1844 publiceerde Grassmann zijn Aus-dehnungslehre. Geınspireerd door het werk van zijn vader die de basis had gelegd voor hetvermenigvuldigen van lijnstukken en andere geometrische objecten, ontwierp Grassmanneen algemeen systeem voor het rekenen met vectoren dat toepasbaar was in n dimensies.Grassmanns werk heeft veel overeenkomsten met de huidige vector analyse. Het bevatteoptelling van vectoren, vector differentiatie, lineaire vectorfuncties en twee manieren vanvector vermenigvuldiging: het uitproduct en lineaire product. Het lineaire product is het-zelfde als het huidige inproduct. Het uitproduct van twee vectoren definieerde hij echterals het oppervlak van het parallellogram dat door de vectoren wordt opgespannen. In deinleiding van de Ausdehnungslehre benadrukt Grassmann dat de wiskunde een formelewetenschap is die bedacht is door mensen en niet als iets dat echt bestaat in de werke-lijkheid. Hiermee onderscheidde hij zich van de meeste wetenschappers in die tijd die dewiskunde zagen als iets dat correspondeert met de werkelijkheid.

Het filosofische karakter van Grassmanns werk was een van de redenen dat zijn werkniet aansloeg. De wetenschappers die zijn werk hadden gelezen vonden het te filosofisch enwaren het niet eens met zijn standpunt dat wiskunde een formule wetenschap is. Wiskundemoest volgens hen namelijk vooral intuıtief zijn; het beschreef immers de werkelijkheid endie relatie moest duidelijk zichtbaar zijn 23.

18 [Crowe, 1985]19 [Cajori, 1890]20 [Knott, 1911]21 [Tait, 1867]22 [Engel, 1894]23 Ibid.

5.2. De Casus: Vectoriele Systemen 77

Daarnaast werd zijn boek uberhaupt weinig verkocht omdat Grassmann niet bekendwas. Hij was slechts een middelbare school leraar en had nooit eerder erkende wetenschap-pelijke ontdekkingen gedaan. Dit in tegenstelling tot Hamilton die voor zijn ontdekkingvan de quaternionen al een gerenommeerd wetenschapper was. Omdat Grassmann dusniet aan een universiteit verbonden was, had hij geen studenten die zijn werk zoudenkunnen uitbreiden. De Duitse wiskundigen Hermann Hankel en Victor Schlegel warenrond 1870 de eerste die de waarde van Grassmanns werk inzagen en het prezen in hunwerken 24. In een onderzoek 25 dat de publicaties over quaternionen en over het systeemvan Grassmann vergelijkt in de periode 1841-1900 blijkt dat de quaternionen beter verte-genwoordigd waren. Er werden in die periode 594 publicaties gedaan over quaternionen,waarvan 19% van Hamilton was. Over het systeem van Grassmann werden 217 publicatiesgedaan, waarvan 15% van Grassmann zelf. Het bleek hierbij dat de quaternionpublicatiesvoornamelijk Brits waren en de publicaties over Grassmanns systeem voornamelijk Duits.Ook bleek dat de publicaties over Grassmanns systeem pas opkomen vanaf 1870. Dit geeftaan dat Grassmanns systeem tot die tijd zo goed als genegeerd werd en de quaternionenlangzamerhand steeds meer terrein wonnen, hoewel het oude systeem van coordinaten ooknog veelvuldig werd gebruikt.

Een belangrijke schakel in de ontwikkeling van de vectoranalyse was James ClerkMaxwell. Hij zou door zijn beroemde elektriciteitsleer de inspiratie worden voor de ont-wikkeling van de moderne vectoranalyse. Maxwell werd geboren in Edinburgh in 1831 enging op zijn zestiende studeren aan de universiteit van Edinburgh. Daar ontmoette hijTait en er ontstond een levenslange vriendschap 26. Tait moedigde Maxwell aan om zich teverdiepen in de quaternionen en hoewel Maxwell na jaren studeren de quaternionanalysebeheerste heeft hij nooit het vurige enthousiasme van Tait gedeeld. Maxwell was vooralgeınteresseerd in de operator ∇ = d

dxi + d

dyj + d

dzk , omdat hij hiermee zijn formules zo

kon opschrijven dat hieruit meteen hun betekenis duidelijk werd, iets wat Maxwell heelbelangrijk vond. In hetzelfde jaar dat de tweede editie van Taits Elementary Treatise onQuaternions uitkwam, publiceerde Maxwell zijn Treatise on Electricity and Magnetism 27.Hierin beschreef hij de voordelen van het concept, in tegenstelling tot de methoden, vande quaternionen. Hij was vooral enthousiast over de onderverdeling van grootheden inscalairen en vectoren. Maxwell beschreef dat het veel natuurlijker is om te kijken naareen punt in de ruimte, in plaats van de drie afzonderlijke componenten. Toch was deTreatise geformuleerd in coordinaten, simpelweg omdat de meeste mensen beter bekendwaren met coordinaten dan met quaternionen. Wel schreef Maxwell sommige resultatenook in quaternionvorm op, waaronder zijn beroemde vergelijkingen van het elektromag-netische veld. Hierdoor werd duidelijk dat de quaternion notatie veel handiger was in ditvakgebied. Maxwell stelde dat je daardoor duidelijker kon zien om welke fysische groot-heden het ging. Maar Maxwell had ook kritiek op de quaternionen, zoals het negatievekwadraat van een vector. Hierdoor wordt bijvoorbeeld de kinetische energie negatief, watMaxwell heel onhandig vond. Op die manier schetste Maxwell eigenlijk al in grote lijnenhoe een geschikte vector analyse eruit zou moeten zien.

24 [Engel, 1894], [Schlegel, 1878]25 [Crowe, 1985]26 [Knott, 1911]27 [Maxwell, 1873]

78 Hoofdstuk 5. Contexten

5.2.2 De Opkomst van de Moderne Vector Analyse

De wensen van Maxwell voor een geschikte vectoranalyse werden concreet gemaakt doorJosiah Willard Gibbs en Oliver Heaviside. Zij ontwikkelden onafhankelijk van elkaar hetsysteem van vector analyse dat we nu nog gebruiken, op een paar kleine details na. Gibbswerd geboren in 1839 in New Haven, Connecticut. Hij studeerde aan de Yale-universiteitwaar hij uitblonk in de wiskunde. Hij is het grootste gedeelte van zijn leven professorin de mathematische fysica geweest aan deze universiteit 28. Gibbs heeft een belangrijkebijdrage geleverd aan de natuurkunde, voornamelijk de thermodynamica. Nog voordathij zijn vectoranalyse creeerde, had hij tal van natuurkundige ontdekkingen op zijn naamstaan, hoewel de echte erkenning van zijn werk pas later kwam. Dit kwam voornamelijkomdat hij een theoreticus was en het belang en omvang van theoretisch werk wordt vaaklangzamer erkend dan dat van ontdekkingen in de toegepaste natuurkunde, waarvan hetbelang gelijk duidelijk is. Naast thermodynamica was Gibbs ook geınteresseerd in deoptica en elektromagnetisme. Dit leidde hem ertoe de Treatise van Maxwell te lezen. Hijzag dat Maxwell hierin vaak quaternionen gebruikte en ging daarom zelf ook quaternionenbestuderen. Het viel Gibbs daarbij op dat er twee belangrijke producten waren, hetscalaire- en vectorproduct en dat de combinatie daarvan, het gehele product eigenlijkoverbodig is en niks toevoegt aan de theorie 29. Daarom creeerde Gibbs zijn eigen systeemwaarin het hele product niet voorkwam. Ook introduceerde hij de moderne notatie voorin- en uitproduct. Hij gebruikte α.β voor het scalaire product en α × β voor het vectorproduct, waar de quaternionisten Sαβ en V αβ respectievelijk gebruikten. Het scalaireproduct was bij Gibbs gedefinieerd als α.β = −Sαβ, zodat het kwadraat van een vectorpositief is. Hij schreef dit op in het pamflet Elements of Vector Analysis die in twee delenverschenen is in 1881 en 1884. Het werd niet gepubliceerd, maar Gibbs verspreidde hetonder zo’n 130 wetenschappers waarvan hij dacht dat ze er in geınteresseerd zouden zijn,waaronder Oliver Heaviside.

Toen Heaviside het pamflet van Gibbs ontving had hij zelf al zijn eigen vectorsysteemontwikkeld. Heaviside kwam oorspronkelijk uit Londen, en werd geınteresseerd in elek-tromagnetisme door zijn baan als telegrafist die hij op zijn achttiende kreeg bij de GreatNorthern Telegraph Company in Denemarken en later in Newcastle. Zijn oom CharlesWheatstone had een belangrijke bijdrage geleverd aan de uitvinding van de telegraaf enhet is waarschijnlijk dat Heaviside via hem telegrafist is geworden en een interesse voortelegrafie en elektromagnetisme heeft ontwikkeld 30. In 1874 nam Heaviside ontslag enging weer bij zijn ouders wonen om daar de rest van zijn leven te besteden aan zelfstudieen onderzoek op het gebied van elektromagnetisme zonder ooit een universitaire studie tehebben gevolgd. Een van de boeken die hij zelf bestudeerde was Maxwells Treatise. Hea-viside kwam bij het lezen hiervan tot dezelfde conclusies als Gibbs. Nadat Heaviside dequaternionen had bestudeerd in het werk van Tait zag ook hij dat het vooral de afzonder-lijke producten waren die belangrijk waren. Hij vond het quaternion dan ook onhandig enonnatuurlijk en creeerde zijn eigen systeem waarin hij alleen het scalaire- en vectorproductbehield. Ook bij hem was het kwadraat van een vector positief. Heaviside hield echter

28 [Wheeler, 1962]29 Ibid.30 [Crowe, 1985]

5.2. De Casus: Vectoriele Systemen 79

wel de notatie van Tait aan. Verder waren de systemen van Gibbs en Heaviside in wezenhetzelfde en beide systemen komen overeen met de huidige vector analyse. Heaviside ge-bruikte vanaf 1883 zijn systeem in de papers die hij publiceerde in de Electrician 31, eenwetenschappelijk tijdschrift over de elektrotechniek. In 1893 publiceerde Heaviside eenuitgebreide verhandeling over de vector analyse in zijn Electromagnetic Theory 32, waarinhij een compleet overzicht gaf van zijn systeem. Een van de belangrijkste verdiensten vanHeaviside was, buiten het creeren van de moderne vector analyse, de toepassing daarvanop de elektriciteitsleer. Heaviside herformuleerde Maxwells werk in vectoren, waardoorde vier vergelijkingen ontstonden die we nu als de Maxwell vergelijkingen kennen.

Tegen 1890 was de moderne vector analyse dus geıntroduceerd. De acceptatie vandit systeem ging echter niet zonder slag of stoot. Er ontstond een tweedeling tussenquaternionisten aan de ene kant en aanhangers van het systeem van vector analyse vanGibbs en Heaviside aan de andere kant. Aan de kant van de quaternionisten was Tait debelangrijkste en meest felle verdediger. Tussen 1890 en 1894 werden er zo’n 36 artike-len gepubliceerd in vooraanstaande wetenschappelijke tijdschriften, waaronder Nature 33,waarin beide partijen hun systeem verdedigde. Over het algemeen beschuldigde de qua-ternionisten hun tegenstanders ervan af te wijken van het fundamentele concept van eenquaternion. Dat was volgens hen veel natuurlijker dan vectoren omdat het speciaal ge-maakt was voor de driedimensionale ruimte. Ook was het compacter en wiskundig elegantomdat er een eenduidig product was, waardoor deling van vectoren en quaternionen mo-gelijk is. Daarnaast vonden ze de quaternion methode veel compacter. De voorstandersvan de vector analyse daarentegen waren een stuk pragmatischer en vonden hun maniergewoon veel handiger omdat de twee losse producten nou eenmaal vaker voorkomen in denatuurkunde dan het volledige quaternion product. Ook betoogden zij dat grootheden inde natuurkunde vectoren zijn, dus dat het veel natuurlijker is om louter met vectoren tewerken in plaats van quaternionen. Daarnaast hekelden ze het feit dat het kwadraat vaneen vector bij de quaternionisten negatief was. Verder vonden ze de vector analyse ookgewoon makkelijker om te leren. Deze strijd voor de erkenning van beide systemen werdgekenmerkt door een grote felheid van de deelnemers die niet zelden hun tegenstandersaanvielen op de persoon in plaats van het rationeel beargumenteren van hun standpun-ten 34. Vaak werden hierbij metaforische uitdrukkingen gebruikt. Het leek met name voorde quaternionisten veel meer te zijn dan slecht een kwestie van definitie. Want hoewel desystemen in wezen erg veel op elkaar lijken en je zelfs kunt stellen dat de vector analysegebaseerd en geınspireerd was op de quaternionen, waren de quaternionen voor mensenzoals Tait een fundamenteel begrip waar niet vanaf geweken mocht worden.

Na deze strijd werd er geen duidelijke keuze gemaakt tussen beide systemen, maarhet systeem van de vector analyse werd in de jaren daarna toch steeds meer ontwikkeldterwijl het gebruik van de quaternionen langzaam uitstierf. Waarschijnlijk hebben de velepublicaties toch geholpen om de vector analyse, die pas net ontwikkeld was, bekender temaken. Ook het feit dat de vector analisten hun systeem gebruikten om de beroemde

31 [Heaviside, 1894]32 [Heaviside, 1893]33 [Crowe, 1985]34 Een dergelijke discussie tussen Tait en Gibbs uit 1891 is gepubliceerd in Nature, Vol. 43, Nrs. 1118

en 1122.

80 Hoofdstuk 5. Contexten

theorie van Maxwell te herformuleren en daarbij ook nieuwe theorien en toepassingenbedachten heeft bijgedragen aan de populariteit van hun systeem.

5.2.3 De Persoonlijke Criteria en Factoren

We zullen nu de criteria en factoren bespreken van een aantal belangrijke personen diein dit essay voorbij zijn gekomen. Bij de externe factoren wordt er dus gefocust op degeografie, het karakter van de spelers, het sociale milieu, en de tijd en generatie. Daarnakijken we hoe de externe factoren de zeven, door ons gestelde, interne criteria mogelijkhebben beınvloed.

Ten eerste beschouwen we Hamilton, de bedenker van de quaternionen. Hamilton werdgeboren in Dublin in 1805 en heeft daar ook aan de universiteit gestudeerd en gewerkt 35.Omdat Hamilton de bedenker van de quaternionen was, had hij geen leermeester diehem hierover heeft onderwezen. Hamilton dacht dat zijn ontdekking van de quaternioneneen revolutie zou betekenen en men op den duur alleen nog maar met quaternionen zougaan werken. Deze arrogantie kwam allicht voort uit het feit dat Hamilton voor deontdekking van de quaternionen al tal van belangrijke natuurkundige ontdekkingen opzijn naam had staan en daardoor al een reputatie opgebouwd had als vooraanstaandwetenschapper. Hamilton heeft niet deelgenomen aan het debat tussen quaternionen ende vector analyse, dus wat dat betreft heeft hij natuurlijk geen argumentatie gegevenwaarom quaternionen beter zijn dan de moderne vector analyse. In zijn werk benadruktHamilton wel de mogelijkheid van de toepassingen van quaternionen in de natuurkundeen dat zou een belangrijke waarde voor hem kunnen zijn geweest om de quaternionenverder te willen ontwikkelen. Verder is het in dit geval moeilijk om te bepalen in hoeverrezijn omgevingsfactoren hem beınvloed hebben bij zijn ontdekking van de quaternionen enhet uitdragen daarvan. Wel kunnen we stellen dat er in die tijd meerdere mensen op zoekwaren naar een uitbreiding van de complexe getallen, dus de tijdsgeest was er wel naar.

Grassmann is de tweede persoon die we zullen beschouwen. Hij ontwikkelde ten tijdevan Hamilton zijn eigen systeem, zoals we in subsectie 5.2.1 besproken hebben. Grassmannwerd geboren in Stettin en heeft daar het grootste deel van zijn leven gewoond 36. Hijheeft theologie gestudeerd in Berlijn, maar heeft nooit universitair onderwijs in de exactevakken gevolgd. Na zijn studie ging hij lesgeven aan een middelbare school, eerst in Berlijnen later dus in Stettin. Grassmann heeft zich de wiskunde dus zelf aangeleerd, mogelijkwel onder invloed van zijn vader, die ook wiskunde leraar was. Grassmann ontwikkeldeeen breed en abstract werk dat zeer revolutionair was voor die tijd, ook wat betreft defilosofie die daarachter zat. Hij was weinig beınvloed door de wetenschappers van dietijd omdat hij ver van een universiteit woonde en daar in ieder geval geen exacte vakkenheeft gevolgd. Misschien is het daarom dat zijn werk en visie zo afweken van die vande wetenschappers destijds. In het werk van zijn vader kunnen we sommige ideeen vanGrassmann al enigszins terugvinden 37, dus zijn vaders werk heeft zeker invloed gehad opde ontwikkeling van Grassmanns Ausdehnungslehre.

35 [Graves, 1889]36 [Engel, 1894]37 Ibid.

5.2. De Casus: Vectoriele Systemen 81

De volgende persoon die we zullen bespreken is Tait. Tait werd geboren in een plaatsjevlakbij Edinburgh in 1831. Hij heeft gestudeerd aan de universiteit van Edinburgh enlater ook die van Cambridge 38. Na zijn studie heeft hij nog twee jaar aan Cambridgegewerkt, maar werd daarna professor in de wiskunde aan de universiteit van Belfast. Naeen aantal jaar keerde hij weer terug naar Edinburgh en is daar tot een paar jaar voorzijn dood professor geweest in de natuurfilosofie. In Belfast is hij in contact gekomen metHamilton die zijn leermeester zou worden in de quaternionen. Tait was een van de felstevoorstanders en verdedigers van de quaternionen in het debat. Hij vond de quaternionenvooral natuurlijk en wiskundig elegant. Ook vond hij dat het quaternion een fundamenteelobject was dat een waarde had in de werkelijkheid en die speciaal toegespitst is voor debeschrijving van de driedimensionale ruimte. Als we naar de omgevingsfactoren kijkendie Tait hierin beınvloed kunnen hebben zien we ten eerste natuurlijk de invloed vanHamilton. Tait was de belangrijkste leerling van Hamilton en heeft door hem allichthet enthousiasme voor de quaternionen ontwikkeld. Hamilton achtte de quaternionennamelijk ook zeer belangrijk. Daarnaast heeft Tait het grootste gedeelte van zijn leven inEdinburgh gezeten, waar veel quaternionisten zaten in die tijd. Dat maakte wellicht ookdat Taits enthousiasme voor quaternionen in stand bleef omdat hij in Edinburgh weinigtegenstanders had. Wat daarnaast opvallend is in het debat, is Taits karakter. Hij waszeer fel in het uitdrukken van zijn mening en viel ook niet zelden de persoon aan in plaatsvan rationale argumenten te geven.

Een tijdsgenoot en goede vriend van Tait was Maxwell. Maxwell werd ook in 1831geboren in Edinburgh en studeerde daar aan de universiteit, waar hij Tait ontmoette 39.Hij heeft gewerkt aan de universiteiten van Cambridge, Aberdeen en Londen. Maxwell waseen gerenommeerd natuurkundige die op jonge leeftijd al veel ontdekkingen en publicatieshad gedaan. Zoals beschreven in subsectie 5.2.1 was Maxwell een belangrijke schakel in deontwikkeling van de moderne vector analyse. Hij vond de quaternionen op zich wel handigin vergelijking met coordinaten, maar had er ook kritiek op. Een van de aanmerkingen diehij had op de quaternionen was dat ze op sommige punten niet natuurlijk waren voor hetbeschrijven van de werkelijkheid, bijvoorbeeld omdat het kwadraat van een vector dannegatief is. Het is duidelijk dat Maxwell beınvloed was door Tait. Tait spoorde Maxwellnadrukkelijk aan om quaternionen te gebruiken in zijn werk 40, anders had Maxwell zemisschien niet eens genoemd, omdat zijn Treatise wel in coordinaten was opgeschreven.

Geınspireerd door het werk van Maxwell ontwikkelde Gibbs zijn systeem dat de basiszou vormen voor de moderne vector analyse. Gibbs werd geboren in 1839 in New Haven,Connecticut en studeerde en werkte het grootste gedeelte van zijn leven aan de Yaleuniversiteit. Gibbs had belangrijke publicaties gedaan in de natuurkunde en door zijninteresse in elektromagnetisme kwam hij in contact met het werk van Maxwell. Hij deeldede mening van Maxwell over de tekortkomingen van de quaternionen en creeerde daaropeen systeem van vector analyse dat die problemen oploste. Zo vond hij vectoren veelnatuurlijker dan quaternionen en vooral ook veel handiger om de natuurkunde mee tebeschrijven. Het is hier vrij duidelijk dat Maxwell grote invloed heeft gehad op Gibbs.

38 [Knott, 1911]39 [Campbell and Garnett, 1882]40 [Knott, 1911]

82 Hoofdstuk 5. Contexten

Als laatste beschouwen we Heaviside, die onafhankelijk van Gibbs een soortgelijk sys-teem van vector analyse creeerde. Heaviside werd geboren in Londen in 1850. Hij heeftgeen universitaire opleiding gedaan, maar heeft dankzij zijn baan als telegrafist interessegekregen voor voornamelijk elektromagnetisme en heeft dit zichzelf aangeleerd. Net alsGibbs kwam hij via Maxwell in aanraking met de quaternionen en ook hij maakte eensysteem naar de wensen van Maxwell. Omdat Heaviside vooral praktisch was ingesteldwaren de argumenten die de quaternionisten voor hun systeem hadden misschien niet zobelangrijk. Wiskundige elegantie is immers minder belangrijk voor hem dan de eenvouden makkelijke toepasbaarheid van de vector analyse. Tot zover de historische spelers, devolgende subsectie zal enkele externe factoren visualiseren.

5.2.4 De Grafische Weergave

Geografie

Om een beter beeld te krijgen van de geografische verspreiding van publicaties over vec-toriele systemen hebben we een visueel overzicht, figuur 5.2, gemaakt op basis van eenverzameling van publicaties opgesteld door Alexander Macfarlane 41.

In deze afbeelding zijn het aantal publicaties getoond uit de periode 1800-1904 inEuropa. De kleuren in de afbeelding geven de hoeveelheid publicaties aan. Hoewel demeeste publicaties over de vectoriele systemen uit Europa komen, zijn er ook zo’n 130publicaties uit de Verenigde Staten en een aantal uit Australie. Macfarlane was zelfeen belangrijk persoon in het vectoriele debat. Hij kwam uit Edinburgh en was in eersteinstantie een quaternionist, maar heeft later zijn eigen systeem gepubliceerd dat gebaseerdwas op de quaternionen. Dit kan de objectiviteit van de lijst mogelijk beınvloed hebben.Uiteindelijk geeft een telling van het aantal publicaties per land de volgende tabel:

Argentinie 1 Oostenrijk 14Australie 14 Peru 1Belgie 2 Polen 3Canada 2 Portugal 2Denemarken 4 Rusland 8Duitsland 255 Spanje 10Frankrijk 169 Tsjechie 19Ierland 121 Turkije 1Italie 64 Verenigd Koninkrijk 311Japan 5 Verenigde Staten 133Nederland 25 Zweden 3

De meeste publicaties komen dus uit het Verenigd Koninkrijk, Duitsland, de Verenigdestaten, Frankrijk, en Ierland. Belgie, Luxemburg en Nederland hadden in verhoudingweinig publicaties, en dat terwijl die landen tussen in een publicatie driehoek liggen.Blijkbaar was het klimaat in het huidige Benelux niet optimaal voor vectoriele systemen.Zwitserland heeft volgens Macfarlane niets gepubliceerd en bleef daarbij dus neutraal inhet debat, een positie die Zwitserland over het algemeen ambieert.

41 [Macfarlane, 1904]

5.2. De Casus: Vectoriele Systemen 83

Figuur 5.2: Aantal publicaties over vectoriele systemen uit de periode1800-1904 in Europa

Het is vanzelfsprekend dat het aantal publicaties per land niet toonaangevend hoeft tezijn voor het aantal wiskundigen op dat gebied per land. Zo publiceerden Hamilton en Taitbij elkaar bijna 140 werken. Gibbs en Heaviside publiceerde bij elkaar slechts 19 werken.Het aantal publicaties per persoon zegt dus ook niet altijd wat over de populariteit vandie werken. Gibbs verzond, zoals eerder gezegd, zijn pamflet naar 130 wetenschappers inplaats van het te publiceren, zo was de kans groter dat die wetenschappers in ieder gevaleen kijk hebben genomen naar Gibbs’ werk.

84 Hoofdstuk 5. Contexten

Tijd en Generatie

Naast een geografische weergave is er ook een tijdsweergave, zie figuur 5.3.

Figuur 5.3: Tijdlijn van enkele historische spelers. Van boven naar beneden:W. K. Clifford, J. W. Gibbs, H. G. Grassmann, G. Green, W. R. Hamilton,

O. Heaviside, J. C. Maxwell, B. Peirce, P. G. Tait, en W. Thomson.

Wat in deze tijdlijn wordt weergeven is in welke plaats de historische spelers zich bevondenop welk moment. Dit is natuurlijk wel een benadering. Zo werd Clifford geboren in 1845en stierf hij in 1879. Van 1868 tot 1871 werkte hij in het Engelse Cambridge, daarnawas hij actief in Londen. In deze afbeelding draait het voornamelijk om de levensperiodewaarin de speler actief was in de wiskunde. De jeugd, in lichtgrijs aangegeven, is dus nietvan interesse. We kunnen aan deze afbeelding dus makkelijk aflezen dat George Green,bekend van de Stelling van Green 42, van de generatie van voor de vectoriele systemen was.Daarbij valt op dat Grassmann, Hamilton en Benjamin Peirce samen tot een generatiehoren, zij zijn alleen actief geworden rond 1830. Hamiltons quaternionen en Grassmannssysteem behoorden dan ook tot de eerste fase van debat. Maxwell, Tait en Thomsonmaken samen ook een generatie, met de bloeiperiode rond 1850. Deze generatie staatbekend om de publicaties van werken binnen de natuurkunde. Tait en Thomson schrevenhun Treatise on Natural Philosophy, en Maxwell schreef zijn Treatise on Electricity andMagnetism. Tenslotte vormen Clifford, Gibbs en Heaviside de 1870 generatie. Cliffordwerkte verder aan de quaternionen, maar stierf een vroege dood en liet Tait dus achterals de enige grote voorstander van de quaternionen. Gibbs en Heaviside ontwikkelde dusde vector analyse zoals we die nu kennen.

42 Suzette Obbink heeft geschreven over de ontwikkeling van zowel de stelling als de naam ervan inhaar essay.

5.2. De Casus: Vectoriele Systemen 85

Wat ook opvalt aan de figuur is dat sommige plaatsen terugkomen. Het gaat hier omCambridge, Edinburgh en Londen. We zien dat Maxwell en Tait op een gegeven momenttegelijkertijd in Cambridge zaten, dit zal hun vriendschap versterkt hebben. Dit wil nietzeggen dat die steden de grootste wiskundige centrums waren. Zo was Gottingen eenandere universiteit die zich sterk focuste op de abstracte wiskunde. Wiskundigen als CarlFriedrich Gauss, David Hilbert, Felix Klein en Bernhard Riemann schreven grote werkenop deze universiteit. 43

Sociale Milieu

Tenslotte is er nog een aspect van het sociale milieu afgebeeld in de figuren 5.4 en 5.5.Het gaat hier om de correspondentie tussen de historische spelers. Deze afbeeldingenzijn volledig gebaseerd op The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell 44.Dit houdt in dat de door Maxwell geschreven brieven goed gedocumenteerd zijn. Watwe in figuur 5.4 dan ook zien zijn de wetenschappelijk-gerelateerde brieven die Maxwellaan andere historische spelers verstuurde. De afbeeldingen laten dus niet alle stromenvan communicatie zien, alleen degene die gedocumenteerd zijn in de drie volumes vanThe Scientific Letters. In de figuren zien we alle wiskundigen waar Maxwell, meer daneens, brieven naar toe stuurde. Het gaat hierbij om wetenschappers uit het VerenigdKoninkrijk, Ierland, Duitsland en de Verenigde Staten. De wiskundigen die met blauwzijn aangegeven namen deel aan het vectoriele debat.

Figuur 5.4: Brieven verzonden door Maxwell aan wetenschappelijke collega’s

43 Meer over Gottingen en de ontwikkelingen daarbinnen is te vinden in de essay van Emile Broedersen Eveline Visee.

44 [Harman, 1990], [Harman, 1995]

86 Hoofdstuk 5. Contexten

We kunnen aan de figuur zien dat Maxwell de meeste brieven schreef aan Tait, daar-naast schreef hij ook veel naar George Stokes en Thomson. We weten dat Tait en Thomsonvan dezelfde generatie waren en dat Tait en Maxwell goede vrienden waren. Dus deze ster-ke communicatie is niet verbazend. De meeste brieven gingen dan ook over de theorieenuit hun grootste werken. Maxwell schreef niet naar de andere spelers in het vectorieledebat. Hij schreef wel naar andere wiskundigen die grotendeels buiten het vectoriele debatvielen. Ook gingen er schrijfsels naar natuurkundigen als Michael Faraday en Hermannvon Helmholtz.

De verzamelde werken van Maxwell bevatte ook brieven van de andere spelers aanMaxwell, en van andere spelers naar elkaar. Dit is weergegeven in figuur 5.5. We zien hierdat Stokes, Tait en Thomson ook onderling met elkaar communiceerde. Tait en Thomsonschreven samen hun Treatise on Natural Philosophy. Stokes en Thomson hebben samenaan een speciale vorm van Stokes’ stelling gewerkt en Tait vroeg om Stokes’ hulp bij,onder andere, roterende sferische projectielen. Hamilton was Taits leermeester en het isdaarom ook logische dat zij onderling schreven. Tenslotte zien we ook nog contact tussenGeorge Biddell Airy en Stokes, Arthur Cayley en Stokes, en Faraday en Thomson.

De laatste afbeelding is niet representatief voor de werkelijke correspondentie. Het isimmers bekend dat Gibbs zijn pamflet ook naar Heaviside stuurde, daar zou in principeook een lijn van communicatie moeten zitten. We weten dus dat figuur 5.5 incompleet is,voor een completere versie zou er echter archiefonderzoek moeten worden verricht. Tochkan zo’n afbeelding bepaalde patronen laten zien die je sneller uit een figuur haalt dan uiteen tekst. Om deze reden kan een incomplete visuele weergave toch helpen bij onderzoeknaar externe factoren.

Figuur 5.5: Correspondentie gebaseerd op The Scientific Letters

5.2. Bibliografie 87

Conclusie

We hebben dus gezien dat externe factoren en interne criteria belangrijk zijn in het oordeeldat een speler velt over een specifiek wiskundig systeem. En alhoewel het soms moeilijkis om door alle externe ‘bomen’ het ‘bos’ te zien, kan dit deels overkomen worden doorvisualisatie van de aanwezige factoren. De variatie van de criteria en omstandighedendoor de tijd maakt het echter moeilijk een historische speler in te schatten. Er is dan ookgeen duidelijke procedure om het geheel van criteria en factoren in verband te brengenpersoonlijke of gemeenschappelijke wetenschappelijke standpunten. Desalniettemin is hetbelangrijk om geschiedenis niet te beoordelen met termen en gedachten uit het heden.

Bibliografie

[Blasjo, 2012] Blasjo, V. (2012). A Definition of Mathematical Beauty and Its History.Journal of Humanistic Mathematics, 2 (2): 93–108.

[Butterfield, 1931] Butterfield, H. (1931). The Whig Interpretation of History. London:G. Bell & Sons Ltd.

[Butterfield, 1965] Butterfield, H. (1965). The Whig Interpretation of History (herdruk).New York: W. W. Norton & Company, Inc.

[Cajori, 1890] Cajori, F. (1890). The teaching and history of mathematics in the UnitedStates. Washington: Government Printing Office.

[Campbell and Garnett, 1882] Campbell, L. and Garnett, W. (1882). The life of JamesClerk Maxwell. London: Macmillan and Co.

[Crowe, 1985] Crowe, M.J. (1985). A History of Vector Analysis : The Evolution of theIdea of a Vectorial System. New York: Dover Publications, Inc.

[Engel, 1894] Engel, F. (red.) (1894). Hermann Grassmanns Gesammelte Mathematischeund Physikalische Werke. Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner.

[Gaifman, 2012] Gaifman, H. (2012). On Ontology and Realism in Mathematics. TheReview of Symbolic Logic, 5 (3): 480–512.

[Gauss, 1831] Gauss, C.F. (1831). Untersuchungen uber die Eigenschaften der positi-ven ternaren quadratischen Formen von Ludwig August Seeber. Gottingische gelehrteAnzeigen, 2: 1065–1077.

[Gillies, ] Gillies, D. The Duhem Thesis and the Quine Thesis. In Curd, M. and Cover,J.A. (red.), Philosophy of Science: The Central Issues. New York: W.W. Norton &Company.

[Gillies, 1992] Gillies, D. (red.) (1992). Revolutions in Mathematics. Oxford: OxfordUniversity Press.

88 Hoofdstuk 5. Contexten

[Graves, 1889] Graves, R.P. (1882-1889). Life of Sir William Rowan Hamilton. Vol 1, 2, 3.Dublin: Hodges, Figgis, & Co.

[Hamilton, 1853] Hamilton, W.R. (1853). Lectures on Quaternions. Dublin: Hodges andSmith.

[Harman, 1990] Harman, P.M. (red.) (1990). The Scientific Letters and Papers of JamesClerk Maxwell. Vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press.

[Harman, 1995] Harman, P.M. (red.) (1995). The Scientific Letters and Papers of JamesClerk Maxwell. Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press.

[Harman, 2002] Harman, P.M. (red.) (2002). The Scientific Letters and Papers of JamesClerk Maxwell. Vol. 3. Cambridge: Cambridge University Press.

[Heaviside, 1894] Heaviside, O. (1892-1894). Electrical Papers. London: Macmillanand Co.

[Heaviside, 1893] Heaviside, O. (1893). Electromagnetic Theory. Vol. 1. London: “TheElectrician” Printing and Publishing Company, Limited.

[Kitcher, 1984] Kitcher, P. (1984). The Nature of Mathematical Knowledge. New York:Oxford University Press, Inc.

[Knott, 1911] Knott, C.G. (1911). Life and scientific life of Peter Guthrie Tait. Cam-bridge: at the University Press.

[Kuhn, 2012] Kuhn, T.S. (2012). The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: TheUniversity of Chicago Press.

[Lyon, 2012] Lyon, A. (2012). Mathematical Explanations of Empirical Facts, and Ma-thematical Realism. Australasian Journal of Philosophy, 90 (3): 559–578.

[Macfarlane, 1904] Macfarlane, A. (1904). Bibliography of Quaternions and Allied Sys-tems of Mathematics. Dublin: Printed at the University Press by Ponsonby and Gibbs.

[Maddy, 2008] Maddy, P. (2008). How Applied Mathematics became Pure. The Reviewof Symbolic Logic, 1 (1): 16–41.

[Maxwell, 1873] Maxwell, J.C. (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford:at the Clarendon Press.

[Schlegel, 1878] Schlegel, V. (1878). Hermann Grassmann: Sein Leben und Seine Werke.Leipzig: F.A. Brockhaus.

[Sommaruga, 2011] Sommaruga, G. (red.) (2011). Foundational Theories of Classical andConstructive Mathematics. Dordrecht: Springer.

[Tait, 1867] Tait, P.G. (1867). Elementary Treatise on Quaternions. Oxford: at theClarendon Press.

5.2. Bibliografie 89

[Wheeler, 1962] Wheeler, L.P. (1962). Josiah Willard Gibbs: The History of a GreatMind. New Haven: Yale University Press.

6. Een Victoriaans huwelijk

Door Anne van Weerden

6.1 Sir William Rowan Hamilton

Quaternionen zijn gevonden door Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) in 1843, toenhij zocht naar een uitbreiding van de complexe getallen 1. Maar voordat hij aan deze zoek-tocht begon had hij al zulke fundamentele bijdragen geleverd aan vooral de natuurkundedat zijn naam, bijvoorbeeld in de vorm van de ‘Hamiltoniaan’ die de ‘totale energie’ vaneen natuurkundig systeem vertegenwoordigt, nog steeds dagelijks gebruikt wordt. Toch ishet beeld van wie hij was niet eenduidig. Over de jaren voor 1843, het jaar waarin Hamil-ton zijn quaternionen vond, is geen discussie, die waren zo buitengewoon dat hij voor zijnwerk zelfs tot ridder werd geslagen. Maar over de laatste tweeentwintig jaar van zijn leven,waarin hij vrijwel alleen nog aan de quaternionen werkte, zijn de meningen verdeeld.

Hamilton schreef twee boeken over quaternionen waarvan het eerste, ‘Lectures on Qua-ternions’ 2, werd gepubliceerd in 1853, en erg moeilijk werd gevonden. Het tweede boek,‘Elements of Quaternions 3, was net niet af toen hij in 1865 overleed. Hoewel dat boekdoor een goede raad in 1859 4 beter was dan het eerste, was het ook moeillijk, en omdatdaarbij uiteindelijk de vectoranalyse het ‘won’ van de quaternionen, vonden sommigen dathij die jaren vergooid had. Anderen prezen de quaternionen juist, omdat het een compleetsysteem was; quaternionen kunnen op elkaar gedeeld worden terwijl dat met vectoren nietkan, en bovendien is het quaternionsysteem het eerste niet-communicatieve systeem 5.

1 Hoewel hij pas later de complexe getallen als geometrische representaties van het vlak ging zien,[Crowe, 1985, p. 9], kunnen complexe getallen, die hij ‘couples’ noemde en schreef als (1, i), gezien wordenals representaties van een tweedimensionale ruimte, en zou de uitbreiding uit ‘triplets’ moeten bestaan die,geschreven als (1, i, j), de driedimensionale geometrische ruimte zouden vertegenwoordigen. Veel mensenin die tijd zochten naar zo’n ‘triple algebra’, maar Hamilton vond dat tripletten de complexe driedi-mensionale ruimte niet kunnen representeren, terwijl dat kwartetten, (1, i, j, k), dat wel kunnen, en dezekwartetten noemde hij quaternionen. De quaternionen als systeem zullen hier niet besproken worden,dat wordt gedaan in het hoofdstuk ‘Quaternionen’, door Tjebbe Hepkema en Maxim van Oldenbeek.

2 [Hamilton, 1853]3 [Hamilton, 1866]4 Hamilton kreeg een complimenteuze ‘noodkreet’ van een mede-wiskundige, die in 1853 al had gezegd

dat ,,het iedereen twaalf maanden zou kosten het te lezen, en een half leven om het zich eigen te maken”[Graves, 1885, p. 682], en hem nu voorstelde een boek met voorbeelden te schrijven [Graves, 1889, p. 121].

5 Nadat M.J. Crowe in 1967 in zijn boek ‘A History of Vector Analysis’, [Crowe, 1985, herdruk], liet zienhoe het vectorsysteem direct afstamt van de quaternionen zijn deze meningen naar elkaar toe gegroeid.

6.2. Een ogenschijnlijk simpele geschiedenis 91

Ook over Hamiltons persoonlijke leven zijn de meningen verdeeld, hoewel dat over hetalgemeen als niet erg gelukkig wordt gezien. Daarbij wordt vooral Hamiltons huwelijk, zijnmisschien daaruit volgende alcoholgebruik, en zelfs zijn obsessie met zijn quaternionen,als tamelijk dramatisch beschreven.

De belangrijkste biografie is die van Robert Graves, een geestelijke 6 die Hamiltonpersoonlijk kende 7, maar omdat Hamilton al voor de vondst van de quaternionen al ergberoemd was, zijn zijn naam, zijn werk, zijn brieven en zijn leven overal op internetrondgestrooid. Zonder de biografie dan ook echt te lezen, en surfend op het web overalen nergens flarden van hem tegenkomend, ontstaat het beeld van Hamilton als een in- enintrieste man. En ontvouwt zich een ogenschijnlijk simpele geschiedenis.

6.2 Een ogenschijnlijk simpele geschiedenis

Hamilton was een wonderkind dat door zijn vader, die zijn buitengewone intellect her-kende, al voor zijn derde jaar naar een oom gestuurd, omdat hij vond dat hij zelf zijnzoon niet goed genoeg zou kunnen begeleiden. Hamilton had het goed bij zijn oom, diehem hielp zijn talenten te ontwikkelen. Hamilton was zo intelligent dat hij op zijn 13de aldertien talen sprak, en hij heeft, voordat hij de quaternionen vond, een uitbreiding vande imaginaire getallen naar een imaginair stelsel in drie dimensies, zo veel bijzondere bij-dragen geleverd aan de wetenschap dat hij zelfs tot ridder werd geslagen. Het vinden vande quaternionen was volgens hemzelf een hoogtepunt in zijn wetenschappelijke bestaan,maar hoewel hij de laatste twintig jaar alleen daaraan werkte zijn ze nooit zo belangrijkgeworden als hij verwacht had.

Ook zijn persoonlijk leven was ongelukkig, want op zijn 17e wordt hij wanhopig verliefdop een vrouw, Catherine, die hij niet kan krijgen, en zijn wanhoop blijkt uit het gedicht dathij in die dagen schreef, ‘The Enthusiast’, een oneindig triest gedicht 8, en daarmee een dui-delijke bevestiging van zijn ongelukkige bestaan. Na nog wat mislukte pogingen, uiteraardin de schaduw van zijn verloren liefde waarover hij zijn verdere leven zal treuren, besluit hijmaar gewoon een deerntje uit de buurt te trouwen dat aan de overkant van het veld woont.

Maar deze Helen Bayly blijkt ziek, kan niks van het huishouden, het huis verandert ineen zwijnenstal, en ze gaat na drie jaar huwelijk tien maanden met de kinderen bij haarmoeder wonen. Als zij dan rond 1840 ook nog een paar jaar vanwege aanhoudende zwaktebij haar zuster gaat wonen wordt Hamilton eenzaam en depressief, en hij raakt aan dedrank. Aan het eind van het leven van zijn eerste liefde Catherine heeft hij nog een kort,intens contact met haar, zij blijkt daar dan weer ongelukkig mee en doet een zelfmoordpo-ging, en als zij uiteindelijk overlijdt schrijft hij een stortvloed van brieven aan haar familie.Uiteindelijk sterft hij na de zoveelste ongelimiteerde eet- en drinkpartij aan een aanvalvan jicht.

Kortom, hoe intelligent hij ook was, hij leefde een ongelukkig leven, hij had een levens-lang verdriet om zijn verloren liefde en vergooide de laatste twintig jaar van zijn werkzameleven aan de quaternionen. Zijn huwelijk was liefdeloos en hij eindigde als alcoholist.

6 Hij wordt aangesproken met ‘Reverend’, Hamilton was aangesloten bij de Anglican Church of Ireland.7 Zie [Graves, 1882], [Graves, 1885], [Graves, 1889] en [Graves, 1891]8 [Graves, 1882, pp. 183-185]

92 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

6.2.1 Een vredige wandeling

Maar daarin lijkt het door hemzelf opgetekende verhaal van de dag dat hij zijn quater-nionen vond niet helemaal te passen. Want terwijl hij die bewuste oktober in 1843, nogmaar pas teruggekeerd van werkbezoeken waardoor hij met hernieuwde ‘kracht en enthou-siasme’ 9 het probleem van de vermenigvuldiging van tripletten 10 weer had opgepakt, liephij op die 16de oktober naar een vergadering, en zijn vrouw kwam en wandelde mee. Endan schrijft Hamilton over zijn Eureka-moment dat zij, terwijl ze langs het ‘Royal Canal’liepen, af en toe tegen hem praatte, terwijl zijn gedachten een ,,onderstroom vormdendie eindelijk een resultaat gaven”, wat aanvoelde alsof met een vonk een elektrisch circuitwerd gesloten. De vonk, dat waren de quaternionen, en toen ze over de Brougham Bridgeliepen kon hij het niet laten, hij kraste de basisformule met een mes in een steen.

Dat klinkt niet naar een dag uit een vreselijk huwelijk, de zin over de wandeling klinktzelfs bijna vredig, en dat zou wel beter passen bij een Eureka-moment, omdat dat vaakkomt op een moment dat men juist ontspannen is, zoals Archimedes in zijn bad.

6.3 Een goed huwelijk

Aanwijzingen voor die ontspannenheid blijken inderdaad te vinden in wat Robert Gravesover Hamilton schrijft 11. In het Dublin University Magazine beschrijft Graves in 1842,toen Hamilton al negen jaar getrouwd was, Hamiltons huis, de Sterrenwacht van Dunsink,als een gelukkig huis 12, “[ . . . ] verrijkt met drie kinderen [ . . . ] is het een centrum waarde hoogstaande en uiteenlopende talenten van haar bewoner [ . . . ] mensen uit de wijdeomtrek hebben aangetrokken, wiens moraal en intellectuele neigingen van sympathiekeaard waren; zodat weinig plaatsen vaker verlicht zijn door de wederzijdse vonken vangenialiteit, door de rijke uitwisseling van gedachten, van verbeelding, en van geestigescherpzinnigheden, dan de Sterrenwacht van Dunsink.” Maar Graves voegt eraan toe datdat niet al te vaak voorkomt, want gewoonlijk wordt er hard gestudeerd.

In 1885, als Graves het tweede deel van de driedelige biografie schrijft, is deze be-schouwing genuanceerder. Graves begint dit deel met een hoofdstuk over Hamiltons danaanstaande huwelijk met Helen Bayly, die volgens Graves “of pleasant ladylike appea-rance” is. Haar vader is rector van Nenagh, en ze stamt af van een oude familie in hetzuiden van Ierland 13. Hamilton had haar al vaak ontmoet bij anderen, en vond haaraardig omdat ze eerlijk was en oprecht religieus. Toen ze dan ook in de zomer van 1832ernstig ziek werd was hij zeer bezorgd om haar en, wellicht vanuit bezorgdheid om haarextreme verlegenheid en zwakke gezondheid, begint hij steeds meer voor haar te voelen,zoals blijkt uit een brief die hij schrijft aan een vriend, een half jaar voor zijn huwelijk.

9 Hij schrijft dit op 5 augustus 1865 in een brief aan zijn zoon, [Graves, 1885, p. 434].10 Zie de voetnoot op pagina 90.11 Robert Graves was een goede bekende van Hamilton, en hij was een broer van John Graves, de

wiskundige aan wie Hamilton als eerste, de dag na zijn ontdekking, een brief schrijft met uitleg over hoehij de quaternionen precies gevonden heeft.

12 [Graves, 1842]13 [De Morgan, 1866]

6.3. Een goed huwelijk 93

Hij vertelt daarin 14 hoe hij haar steeds mooier begint te vinden 15, maar dat hij vooralal vanaf het begin verheugd was over haar verstand, en dat hij, na daar een lange studievan gemaakt te hebben, zich daar waarschijnlijk niet in vergist. ,,Spiritualiteit, die ookreligie inhoudt maar zich daar niet toe beperkt, bleek al snel, en lijkt me nog steeds, dekenmerkende eigenschap [van haar verstand]; en hoewel ze niet briljant is, of een hooggecultiveerd intellect heeft, blijk ik steeds zeer plezierig met haar te kunnen converseren,en blijkt mijn eigen geest uitgelaten en verfijnd te worden door haar gezelschap.”

Ze trouwen in 1833, maar na een aantal goede jaren, hoewel in 1836 onderbroken dooreen ziekteperiode waarin zij tien maanden met de twee kinderen bij haar moeder woont,iets waar Hamilton het moeilijk mee heeft, wordt Lady Hamilton in 1839 weer ziek. Heteerder zo ‘gelukkige huishouden’ 16 begint uit de hand te lopen. Lady Hamilton is weer inverwachting, het gaat niet goed met haar gezondheid, en ze besluiten kamers voor haar tehuren in Dublin, waar Hamilton haar regelmatig bezoekt. Ze komt terug voor de bevallingvan hun dochter in augustus 1840 en blijft tot na de doop van de baby, maar is ,,doorde verwarde toestand waarin Ierland dan verkeert” zo extreem bang om in zo’n zwakketoestand in zo’n afgelegen huis als de Sterrenwacht te wonen dat ze besluit naar haarzuster in Engeland te gaan 17.

Het huishouden, nu met met drie jonge kinderen, loopt nog verder uit de hand, enzijn zuster komt orde op zaken stellen. Maar Hamilton kan nauwelijks werken zonder zijnvrouw en eind 1840 is hij diep terneergeslagen 18. Eind 1841 schrijft hij aan een vriend 19,die, ongerust over het nieuws dat het niet zo goed met hem gaat, en als reactie op nareopmerkingen over de afwezigheid van Hamiltons vrouw zijn sympathie betuigt en om infor-matie vraagt, dat ,,ondanks dat we ongelukkigerwijs (door de staat van haar gezondheid)veel apart van elkaar zijn geweest de laatste tijd, zijn Lady Hamilton en ik constant ge-woon te corresponderen op de meest liefhebbende manier.” Als Hamilton haar dan begin1842 eindelijk weer kan ophalen omdat haar gezondheid sterk verbeterd is 20, is hij zo blijhaar weer thuis te hebben dat hij met ‘vernieuwde opgewektheid’ zijn studies weer oppakt.

14 [Graves, 1885, p. 6]15 In een andere brief, [Graves, 1885, p. 11], schrijft Hamilton dat hij, sprekend over de komeet Biela,

per ongeluk Bayly had gezegd, en dat hij nu maar hoopt dat hij zich in het openbaar niet zo zal verspreken.16 [Graves, 1885, p. 334]17 Ibid., p. 320. In die jaren was Ierland politiek bijzonder onrustig, en in 1840 werd een vereniging

opgericht, de Repeal Associaton, die tot doel had Ierland los te maken van Groot-Brittannie. Dat zorgdeervoor dat veel mensen ongerust waren over de toekomst [De Vere, 1897, p. 51]. Ook Hamilton wasbezorgd zoals blijkt uit een passage in het boek dat Aubrey de Vere, met wie Hamilton tot zijn doodinnig bevriend was, schreef over zijn eigen leven. Hamilton is met een pistool in de weer voor het gevalde Sterrenwacht aangevallen zou worden. Om te oefenen had hij een cirkel getekend op groot bord meteen blauwe bloem in het midden en De Vere, die nog nooit een pistool had gebruikt, schoot meteen in deroos. Maar helaas lukte dat daarna nooit meer, hoewel hij het nog een heel aantal keer probeerde raaktehij noch de bloem, noch de cirkel, noch het bord, en zelfs niet de muur erachter! [De Vere, 1897, p. 46]

18 [Graves, 1885, p. 332]19 Ibid., p. 354.20 Het is opmerkelijk dat Graves zijn stuk over de ‘door genialiteit verlichte’ Sterrenwacht te Dunsink

schrijft als Lady Hamilton al bijna een jaar bij haar zuster in Engeland is, en al bijna twee jaar niet meerop de Sterrenwacht. Maar hij schreef het in 1842, toen hij misschien nog vol vertrouwen was over degoede afloop na haar terugkomst, terwijl hij de biografie schreef in de jaren 1880, en kon terugkijken opalle hoogte- en dieptepunten van het leven van Hamilton. Want in 1885 schrijft hij dat het een ‘happyhome’ was totdat Lady Hamilton in 1839 ziek werd, [Graves, 1885, p. 334], dus tot drie jaar daarvoor.

94 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Figuur 6.1: De Dunsink Sterrenwacht vlak nadat de Hamiltons hun eerste zoon gekregenhadden; een plaat in het Dublin Penny Journal van 1835. De Sterrenwacht was gebouwd

in 1785, en haar plaats was gekozen omdat het hooggelegen was en erg donker, dusideaal voor het waarnemen van sterren. Maar dus ook erg afgelegen.

Na vijf moeilijke jaren, van 1848 tot 1853, die later besproken zullen worden, gaathet een tijdje goed, hoewel zijn vrouw in 1856 weer erg ziek wordt. Hamilton is ergongerust over haar 21 en zegt zelfs bijna een belangrijke bijeenkomst af omdat zij eennieuwe scheiding, ook al is het maar voor een paar dagen, onverdraaglijk vindt 22. Ronddie tijd begint hij ook aan zijn tweede boek over quaternionen, bedoeld als een handleidingmaar uitmondend in het grootste werk dat hij zal schrijven, ‘Elements of Quaternions’,en waarvan zeker is dat hij daar in 1856 al mee bezig was 23.

Dan breken er een aantal rustige jaren aan waarin Hamilton vooral werkt, bezoekenaflegt en met vrienden discussieert over godsdienst- en kerkzaken. Begin 1861 krijgt hij,,dankbare bewijzen uit het buitenland van de steeds verder uitbreidende studie van dequaternionen” 24. Maar ook krijgt hij in dat jaar zijn eerste aanvallen van jicht. Hij heefter een soort plezier in, en schrijft zelfs aan een vriend dat hij ze wenst te krijgen; ondanksdat ze erg pijnlijk zijn kan hij ze geestelijk en filosofisch aan, zodat hij ze als een soortgeestelijke oefening lijkt te zien, en de vriendelijke verzorging die ermee gepaard gaatvindt hij erg prettig.

21 [Graves, 1889, p. 51]22 Hieruit blijkt dat zij eerder niet ‘zomaar’ en gemakkelijk bij hem was weggegaan.23 [Graves, 1889, p. 56]24 Ibid., p. 129.

6.3. Een goed huwelijk 95

In 1862 schrijft hij een teruggetrokken leven te leven, en hij werkt meer dan ooit. In1863 worden de jichtaanvallen heviger, en ondanks dat zijn geest er volgens hem juistscherper door lijkt te worden, zegt hij dat hij geen uren achter elkaar meer kan werken,dat hij zich zelfs moe voelt, maar zijn verstand is nog even scherp als in de jaren daarvoor.Ondanks zijn slechte gezondheid is 1864 een jaar van een ,,bijzondere ijver” waarin hij somsmeer dan twaalf uren achter elkaar werkt 25. Hij veroorlooft zich wel een korte vakantiewaarin hij een paar dagen alleen met zijn dan 24-jarige dochter op excursie gaat omdatLady Hamilton, die net ziek was geweest, nog te zwak is om mee te gaan. Hamilton enzijn dochter vinden dat niet al te erg, vooral omdat ze graag rug-aan-rug willen reizen opeen ‘outside car’ 26. Helen Eliza merkt over hun vakantie op dat hij weliswaar lichamelijkouder begint te worden, maar dat dat vrijwel geen invloed heeft op zijn heldere socialevermogens en zijn jeugdige, speelse geest 27.

Begin 1865 heeft Hamilton last van jicht en bronchitis. In mei krijgt hij een zeerheftige acute aanval van jicht 28, en de dokter is onder de indruk van het geduld van zijnpatient, ondanks de heftige pijnen. Pas eind juni neemt Hamilton het werk aan zijn boekweer op, maar hij is erg verzwakt. Tijdens die zes ziekteweken krijgt hij, drie maandenvoor zijn dood, het bericht dat hij is gekozen tot de eerste Foreign Associate van de juistopgerichte Academy of Science in America. Hij is daar zeer gelukkig mee en tegelijk dieponder de indruk, hij heeft het gevoel dat zijn vroege droom van wereldwijde erkenning isuitgekomen. De allerlaatste brief die hij in zijn leven schrijft, drie weken voor zijn dood,is de acceptatiebrief.

Hij sterft thuis, op 60-jarige leeftijd. Hoewel lichamelijk verzwakt, had hij tot een weekvoor zijn dood nog aan zijn boek gewerkt, en had plannen voor daarna. In zijn laatsteuren spreekt Hamilton met Robert Graves die door zijn oudste zoon was verwittigd enLady Hamilton in tranen had aangetroffen. Ze spreken over kerkzaken waar Hamiltonhet niet mee eens is, over God, en over Hamiltons dankbaarheid voor de genade die hijaltijd voelde. Later hoort Graves dat Hamilton zich vlak daarna plechtig op zijn bed haduitgestrekt, zijn armen en handen symmetrisch had gerangschikt en kalm de dood hadafgewacht 29. Lady Hamilton sterft drie jaar na haar echtgenoot, op 65-jarige leeftijd.

25 [Graves, 1889, p. 163]26 Een ‘outside car’ is een koets met twee wielen, getrokken door een paard, waarop vier passagiers

twee-aan-twee met hun rug naar elkaar toe zitten, de voeten op een plank boven de wielen, vandaar‘outside’. Dat is natuurlijk inderdaad veel leuker als je met zijn tweeen bent.

27 Hamilton heeft haar hele leven een bijzonder goed contact met zijn dochter Helen Eliza. Overhaar wordt geschreven in [Wayman, 1966]: Zij hielp hem met berekeningen, met het onderhouden vanvoorname gasten, en discussieerde met hem over zijn werk. Zij was een charmante en intelligente metgezel.

28[Graves, 1889, p. 203]29 Hamilton was een zeer gelovig man, en daardoor niet bang voor de dood waaruit hij zeker weer

zou verrijzen. Daarover heeft hij meermalen discussies, omdat hij zijn lichaam eigenlijk ter beschikkingzou willen stellen aan de wetenschap [Graves, 1889, p. 413]. Dit is bijzonder in een tijd waarin mendoorgaans gelooft dat het hele lichaam zal verrijzen, maar hij betoogt dat een paar deeltjes van het oudelijf voldoende moeten zijn voor een verrijzenis, omdat ze aangevuld zullen worden met andere materialen[Graves, 1889, p. 243]. Ook staat in [Graves, 1889, p. 548] te lezen dat hij er niet aan moet denken oudte worden. Dit kan suggereren dat hij eigenlijk toch diep ongelukkig is, maar eerder kan het te makenhebben met dat oud worden in die dagen veel kwalen met zich mee kon brengen, terwijl na de dood dehemel wacht. Toch betekent het ook niet dat hij nu per se dood wil gaan, wat blijkt uit alle plannen diehij nog heeft.

96 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

6.4 Een verloren liefde

Op zijn 17de raakte Hamilton tot over zijn oren verliefd op Catherine Disney, maar vlakvoordat Hamilton zover was dat hij haar zou kunnen onderhouden, en dus ten huwelijk konvragen, besloten haar ouders haar uit te huwelijken 30 . Maar in de biografie van Graves isCatherine vrijwel helemaal weggelaten, hun eerste ontmoeting wordt bijna in een bijzingeıntroduceerd, al zegt Graves er wel bij dat zij ,,de bron [was] van een nog dieper gevoel[dan de warme vriendschap met haar broers], dat zijn hele verdere leven zou beınvloeden 31.

Het motief om Catherine bijna helemaal weg te laten uit de biografie zou kunnen zijndat Graves, tenslotte een geestelijke, grote moeite had met liefdes buiten het huwelijk.Verder is uit zijn beschrijvingen van Hamilton op te maken dat hij erg tegen Hamiltonopkeek, en misschien was hij bang om de naam van iemand die volgens hem ‘uitsluitendhoge gedachten’ had te bezoedelen.

Want in juli 1848 schrijft Catherine een brief aan Hamilton, en Graves geeft de pagi-na de veelzeggende titel ‘Onderbreking’, en het lijkt inderdaad de enige keer in de helebiografie dat Hamilton zijn werk echt onderbreekt. De correspondentie die dan ontstaatis door Graves weergegeven als correspondentie met een ’old friend’, waarvan hij vooralinnerlijke en theologische beschouwingen plaatst. In de biografie van Thomas Hankins uit1980 32 zijn de ontmoetingen tussen Hamilton en Catherine wel beschreven, en ook hoemoeilijk Hamilton het daarmee had, wat zou kunnen aantonen dat zijn huwelijk altijd inde schaduw heeft gestaan van zijn verloren liefde.

Maar Hamilton is een diep religieuze man, die met ernst, en met al zijn intellect,met zichzelf en zijn geloof omgaat, wat het onwaarschijnlijk maakt dat hij zijn hele leven,althans vanaf zijn huwelijk, dit verdriet voelde als voornaamste dagelijkse toestand. Want,diepgelovig als hij is, ziet hij deze verontrusting ook als heilzaam, om diepgeworteldverdriet los te woelen en zijn ,,hele verleden van religieuze ervaringen op te roepen” 33,en hoewel hij pijn heeft kan hij schrijven dat hij blij is dat het ,,verdriet uit zijn jeugdniet gepaard is gegaan met bitterheid en verlies van respect”. En aan een oude vriendinen raadgeefster 34 schrijft Hamilton dat hij begrijpt dat hij niet moet wegzakken in zijnverlangens, zoals hij dat voor zijn huwelijk wel deed.

Eind augustus, na een zeer een moeilijke maand, schrijft hij een gedicht om zichzelf tekalmeren; ‘Een Gebed om Kalmte’, waarin hij zich voorstelt om, zoals ooit de discipelendat deden, in paniek een slapende Christus wakker te maken, om dan de opgestane Heilandom redding te smeken, om de razende golven in zijn hart tot bedaren te brengen’, en hijstuurt dit gedicht aan zijn goede vriend De Vere 35. In die brief zegt Hamilton over 1824,de tijd dat hij voor het eerst bij de familie Disney kwam en Catherine leerde kennen 36,,,Dat was, werkelijk, liefde op het eerste gezicht – mysterieus – geweldig – alles wat daarnamet mij gebeurd is is, in vergelijking daarmee, onwerkelijkheid.”

30 Over haar gaat het gedicht ‘The Enthusiast’, zie p. 91, waarin Hamilton zijn diepe wanhoop beschrijft.31 [Graves, 1882, p. 160]32 [Hankins, 1980]33 [Graves, 1885, p. 609]34 Ibid., p. 613.35 Ibid., p. 614 ev.36 Ibid., p. 614.

6.4. Een verloren liefde 97

Hierna heeft hij, naast zijn ‘onrustige emoties’, last van schuldgevoelens, en hij schrijfteen tweede brief aan De Vere die Graves niet in zijn geheel wil plaatsen. Graves vermeldtwel dat Hamilton erin spreekt over de acute pijn bij de levendige herinneringen aan dielang vervlogen jaren, en de twijfel of dit wel goed is, hoewel hij zich ervan bewust is dathij in woord en daad trouw is aan de grondbeginselen van zijn plichten.

De Vere schrijft in reactie op Hamiltons ongepubliceerde brief, en het gedicht, dathij het gedicht prachtig vindt, en dat hij het anderen zal laten lezen omdat niets in hetgedicht wijst op de ‘oorzaken die het gedicht deden ontstaan’. Maar op Hamiltons uitingvan schuldgevoelens zegt hij dat hij vindt dat Hamilton niets verwijtbaars heeft gedaan,want ‘hoewel er zeker verwijtbare gedachten kunnen bestaan ook al heeft iemand nogniets gedaan’, herkent hij dat niet in Hamiltons brief 37, en hij schrijft: ,,er is niets dat degeestelijke energie ondermijnt, of de ziel afleidt van haar edele doelen. Zo’n herinneringzou zeker schadelijk zijn als het je dicht zou volgen, of steeds bij je zou zijn. [ . . . ] Maaromdat het bij jou slechts af en toe gebeurt, en zolang je [haar] niet opzoekt of nietverlangt [haar] op te zoeken, lijkt het mij de terugkeer van de jeugd zelf, verpersoonlijktin de mooiste, helderste beelden van de jeugdige dagen, terugkerend naar een geest diezijn jeugd nooit helemaal achter zich kan laten 38.

Na een beschouwing over eerste liefdes, en hoe klein de kans is dat men met de eersteliefde trouwt maar dat die ook helemaal niet de echte grote liefde hoeft te zijn, schrijftDe Vere: ,,De meeste mensen gaan door het leven zonder ooit deze grote liefde [gekendte hebben], maar ik geloof dat zij veel gelukkiger zijn die altijd een geweldige herinneringhebben, hoewel, tot onze natuur de vergankelijkheid aflegt, moet die een groot verdrietinhouden.” Na deze troostende woorden schrijft De Vere over belangrijke kerkzaken, eninformeert naar Hamiltons wetenschappelijke voortgang, een teken dat hij aanneemt datzijn vriend het intellectueel aan zal kunnen; de brief is niet alleen maar troost.

En inderdaad, in de dagen tussen zijn eigen brief en het antwoord van De Vere, schrijftHamilton vanuit de de Sterrenwacht van Parsonstown, waar hij een week is om waarne-mingen te doen met de dan grootste telescoop ter wereld, twee opgewekte brieven aan eenjonge mede-sterrenkundige met een gedicht over de sterren dat hij maakte in de koepelvan de Sterrenwacht waar juist een nieuwe spiraalnevel werd ontdekt, en hij vertelt datze een heerlijke nacht gewerkt hebben. Ook schrijft hij dat hij daar meer gelachen heeftdan in tijden 39 en voegt eraan toe dat dat was omdat hij ,,niet erg opgewekt was geweestde afgelopen tijd”.

In de brief die hij daarna schrijft in reactie op De Vere’s brief schrijft hij, na gezegd tehebben dat hij De Vere’s woorden troostgevend vond 40, iets opmerkelijks, dat inderdaadsteeds uit zijn correspondenties naar voren komt: ,,In een aantal belangrijke opzichten voelik me gelukkiger, hoewel (of misschien dankzij) rustiger, dan toen ik hier vijf jaar geledenwas. In andere stemmingen, die in vorm meer verschillen van wat zojuist is uitgedruktdan in werkelijkheid, voel ik mijzelf, als ik alleen wandel door het park hier, een droevigeren een wijzer man.”

37 [Graves, 1885, p. 616]38 Hierin is opmerkelijk dat De Vere, die Hamilton goed kent, inderdaad aangeeft dat de herinnering

blijkbaar niet steeds bij Hamilton is.39 [Graves, 1885, pp. 622-623]40 Ibid., p. 627.

98 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Zo is steeds te lezen hoe Hamilton zijn gevoelens van elk moment serieus neemt, elkevorm van gevoel op het moment ervaart als echt, ook al lijkt dat tegenstrijdig. Hij gebruiktzijn intellect en zijn geloof om overeind te blijven, en dat lukt hem ook, en hij laat in zijnbrieven zien hoe hij omgaat met zijn geestelijke pijn, ervan leert, en het tegelijk gebruiktom nederig te bijven 41 al kan gezegd worden dat hij het zichzelf daarbij soms wel heelzwaar maakt. Maar hij vindt dat zelf blijkbaar nodig, en misschien is dat voor iemanddie zo gewend is gelijk te krijgen, en zo gelauwerd is als hij, ook wel zo.

6.4.1 Vijf zware jaren

Het is natuurlijk mogelijk om Hamiltons pijn toch te zien als een bewijs dat hij zichzelfzijn hele verdere leven voor de gek heeft gehouden en alleen maar van Catherine heeftgehouden, en misschien daardoor toegaf aan de vaak beschreven zucht naar alcohol. Maarals zijn innerlijke strijd, die hij steeds beschrijft in brieven of gedichten, serieus genomenwordt kunnen gebeurtenissen op verschillende manieren geınterpreteerd worden, en mis-schien deed hij dat zelf ook, wat geen vreemd idee is voor een zeer intelligente man diepsychologische schema’s invulde over zichzelf 42.

In het licht van de tijd waarin Hamilton leefde is het heel goed mogelijk dat hij hetop zich heel gewoon vond dat er goede huwelijken waren waarin de partners toch nietmet hun grote liefde getrouwd waren. Vrouwen werden toen voortdurend uitgehuwelijkt,en moesten daarmee leren omgaan in hun leven. Dat lukte natuurlijk niet altijd, maarvaak genoeg ook wel, net zoals er nu in landen waar huwelijken worden gearrangeerdevengoed goede huwelijken zijn. Maar in de negentende eeuw werden mannen doorgaansals spiritueel hoger geplaatst gezien dan vrouwen 43 waardoor dit lot, als het een manoverkwam, voor de rest van dat leven zijn stempel zou blijven drukken. Toch lijkt hierCatherine het meest geleden te hebben, zij deed een echte zelfmoordpoging 44, terwijl hijhet alleen overwoog 45.

Want, zonder iets af te doen aan de pijn die hij voelde in die jaren van zijn hernieuwdeontmoeting met Catherine, van 1848 tot 1853, en waarover Hankins schrijft dat zelfs haarfamilie bang wordt voor de heftigheid van Hamiltons gevoelens omdat hij haar echtgenoothaat 46, in diezelfde jaren schrijft hij zijn eerste boek over quaternionen, ‘Lectures on Qua-ternions’, bedoeld als lesmateriaal voor zijn studenten. Het besluit het te gaan schrijvenneemt hij twee weken voordat hij haar eerste brief krijgt 47, en vlak voor Catherine’s doodin 1853 heeft hij het af, en hij geeft haar op haar sterfbed een exemplaar.

41 [Graves, 1885, p. 611]42 Ibid., p. 247.43 Het hebben van een zo ondergeschikte plaats in de maatschappij lijkt een belangrijker reden voor

een ongelukkig leven dan een gearrangeerd huwelijk op zich.44 [Hankins, 1980, pp. 349-350]45 [Graves, 1885, p. 610]. Hij zegt daarover dat hij, toen het verdriet hem plotseling was overkomen,

dus dat hij niet met haar kon trouwen, hij erover dacht in het water te springen, en dat hij hoopte dathij kon zeggen dat religie hem had tegengehouden. ,Maar het was eenvoudig een gevoel van persoonlijkemoed, die in opstand kwam tegen de overdachte daad, als een van lafheid. I zou mijn post niet verlaten;ik voelde dat ik iets te doen had.”

46 [Hankins, 1980]47 [Graves, 1885, p. 607]

6.4. Een verloren liefde 99

Ook het schrijven van dit boek doet hij met een enorme intensiteit 48, en daarom is diteen van de gebeurtenissen die op meerdere manieren bekeken kunnen worden, misschienstort hij zich in het werk doordat hij zeer van slag is door de hernieuwde ontmoeting,of het feit dat deze twee zaken samenvallen is de belangrijkste reden voor de enormeemotionele heftigheid uit deze jaren.

Overigens zullen deze jaren ook voor zijn vrouw moeilijk zijn geweest, het is bijna nietvoor te stellen dat zij niets aanvoelde, ze kende Hamilton al jaren voordat ze trouwdenen wist van zijn eerdere, ongelukkige liefdes. En ook al wist ze waarschijnlijk niet datHamilton Catherine brieven schreef, ze zal zijn pijn gezien hebben 49, en als ze dat danmoeilijk vindt is dat toch heel normaal in een huwelijk.

De bijzonder goede ontvangst van zijn ‘Lectures’ door zijn ‘wetenschappelijke broeders’in 1853 doet Hamilton veel goed, en Graves schrijft daarover: ,,Zowel de publicatie endeze gevolgen moeten een immense opluchting voor Hamiltons geest en hele wezen zijngeweest. En inderdaad had hij die opluchting hard nodig gehad; want [ . . . ] zijn verstandwas lang continu belast geweest, en hij had een periode doorgemaakt die verstoord wasdoor veel zorg en emotie” 50.

Hamilton blijft het lang moeilijk houden met de dood van Catherine hoewel zijn werker niet onder lijdt 51, maar in december schrijft hij over zijn gedicht ‘The Enthusiast’ dathij het schreef toen hij ernstig ziek was, en dat het droefgeestige einde van het gedichtgeen goede beschrijving is van zijn verdere leven 52. Dus hebben de gesprekken die hijmet Catherine had, vlak voor haar dood 53, hem misschien inderdaad geholpen die perio-de in zijn leven dan toch nog af te sluiten 54, want in de jaren daarna lijkt het leven vanHamilton emotioneel rustiger te zijn geworden. Als hij daarna over zijn vrouw schrijftklinkt het lief en vertrouwd, en zoals veel huwelijken in latere jaren gemoedelijker wor-den, zeker na goed doorstane crisissen waardoor het vertrouwen sterker wordt, maar vaakook zonder er veel van doorgemaakt te hebben, lijken ook de Hamiltons nog een pret-tige laatste tien jaar meegemaakt te hebben. En inderdaad, in zijn latere jaren wordtHamilton, onder andere door zijn kinderen, beschreven als een blij, joviaal en aandachtigmens, en vader.

48 Het boek was zo moeilijk dat John Herschel schreef dat het twaalf maanden zou duren om het telezen, en een leven om het te verwerken” [Crowe, 1985, p. 35]. Een van de redenen daarvan zou kunnenzijn dat hij, zoals Graves schrijft nadat Hamilton had geprobeerd zijn toen aanstaande vrouw opticauit te leggen, ,, [ . . . ] een onderneming volgehouden in dat gelukkige geloof dat hem er gewoonlijk opdeed vertrouwen dat hij de meest diepzinnige waarheden duidelijk zou kunnen maken aan ongeacht welkmens.”

49 Over Hamilton werd gezegd: ,,Hamilton is gewoon doorzichtig; zijn gedachten zijn zo zichtbaar alsde bladeren van een boom die vlak bij staat, vol in het zonlicht. Het is onmogelijk voor hem om eenleugen te vertellen, zelfs als hij wilde dat zou willen doen, en ook zou hij een gedachte even slecht kunnenverbergen als dat hij een leugen zou kunnen vertellen” [De Vere, 1897, p. 41]. Dit is een stukje uit deprachtige beschrijving, door Hamiltons vriend De Vere, van zijn diepgelovige, abstracte, verstrooide enblije karakter tussen 1831 en 1840, te vinden in [De Vere, 1897, pp. 38-51].

50 [Graves, 1889, p. 3]51 [Graves, 1885, p. 692]52 [Graves, 1889, p. 182]53 [Graves, 1885, p. 692]54 Graves schrijft dat het in hsmilton een melancholieke tevredenheid teweegbrengt, die hem ervan

overtuigt dat zijn vroegere devotie [door haar] erkend was als een niet onwaardig eerbetoon [aan haar].

100 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

En uit zijn brieven blijkt steeds dat Hamilton van zijn vrouw houdt, van zijn kinderen,van zijn vrienden en van zijn werk 55. Dat hij steeds probeert een goed mens te zijn, en afen toe ook denkt dat dat best gelukt is al is hij bang niet voldoende nederig te blijven 56.Hij weet dat zijn vrouw ernstig verlegen is, maar kan haar daar zelfs mee plagen 57. Zekerin hun latere jaren klinkt het huwelijk vertrouwd, bijvoorbeeld als hij opmerkt ,,Ik denkdat Lady Hamilton het me zou vergeven als ik zou zeggen dat het wezen op deze wereldwaar ik het meest van houd mijn kleine dochter is 58. Hij is verdrietig als zijn vrouw erniet is, en blij als ze er wel is, en nergens schrijft Graves, of Hamilton zelf, iets negatiefsover Hamiltons gevoelens voor haar. Er zijn bepaald slechtere huwelijken, zelfs zondereerste gemiste liefdes.

6.5 Een slecht huwelijk

Maar al in de eerste pagina’s waarin Helen Bayly voorkomt legt Graves de kiem voor hetlatere idee dat Hamilton alleen maar met Helen trouwde omdat het met anderen niet lukte.Dat dus het uiteraard ongelukkige huwelijk, inclusief de verloedering van het huishouden,de voornaamste oorzaak was van Hamiltons steeds verder toenemende drankmisbruik, enten slotte van zijn ondergang.

Aan de beschrijving van haar ‘prettige voorkomen’, genoemd op pagina 92, voegtGraves toe dat Miss Bayly geen “striking beauty of face” had, of “force of intellect”. Nuis een huwelijk van twee ‘krachtige intellecten’ niet altijd een goed idee 59, en ook hoeft ineen gelukkig huwelijk de ene partner niet per se te begrijpen wat het werk van de anderepartner inhoudt 60. En als, ten slotte, mensen zonder een ‘striking beauty of face’ nietgelukkig zouden kunnen trouwen waren blijvend gelukkige huwelijken (nog) zeldzamerdan ze nu misschien al zijn.

55 Een anekdote door William Edward, de oudste zoon, verteld vlak na zijn vaders dood, gaat over zijnliefde voor zijn werk: ,,Hij leek intens te kunnen genieten van rekenkundige berekeningen. Ik heb hemnooit zo perfect gelukkig zien kijken als wanneer hij als een detective-hond op het spoor was van een ofandere ongelukkige decimaal die het werk had ontsierd, en hem had opgraven in zijn hol... Ik kan zijngehechtheid aan zijn eigen MS. boeken [Manu Scriptum; dus door hemzelf met de hand geschreven] nietanders uiten dan door te zeggen dat hij van hen hield. [Anoniem, 1866].

56 [Graves, 1885, p. 611]57 [Graves, 1889, p. 233]58 Ibid., p. 23.59 Natuurlijk kan dat goed gaan, zoals de huwelijken van Pierre en Marie Curie, zij werkten samen, of

van Antoine en Marie-Anne Lavoisier, overigens ook een gearrangeerd huwelijk, waarin zij ondersteun-dend, maar belangrijk werk voor hem deed. Maar in deze gevallen werkten de echtelieden samen, terwijlbijvoorbeeld Albert Einstein, net als Hamilton, een innerlijk uiterst gefocuste man was die vooral alleenin zijn studeerkamer werkte. Maar Einstein was getrouwd met een medestudente, in een tijd waarinalleen ‘vrijgestelde’ vrouwen, dus met name zonder kinderen maar met genoeg geld, of familie, in dewetenschap konden werken omdat vrouwen niet betaald werden. Dat moet een ramp zijn geweest voorMileva Einstein-Maric.

60 Van Hamiltons dochter Helen Eliza is bekend, [Wayman, 1966], dat zij wel geınteresseerd was inHamiltons werk, en hem hielp bij berekeningen. Maar de rollen van een vrouw en een dochter zijnuiteraard erg verschillend, en Helen Eliza was vrij het te doen of te laten, precies zoals zij verkoos. Enmisschien had zij zijn exacte hersens geerfd en hield ze van de sfeer rond haar studerende vader, zij kwamal toen ze nog maar net kon lopen blij zijn studeerkamer in, iets waarvan hij erg genoot.

6.5. Een slecht huwelijk 101

Graves schrijft dan dat Hamiltons warme gevoelens voor Helen Bayly waarschijnlijkontstonden toen ze ernstig ziek was, en omdat Hamilton altijd zeer ongerust was als men-sen om wie hij gaf ziek waren, was dat een makkelijke ingang voor diepere gevoelens voorHelen. Hij schrijft over Hamiltons idee om te trouwen: ,,[dit idee] kreeg weldra vorm enwerd een realiteit; en dit hoofdstuk [ . . . ] zal een gedeeltelijk maar voldoende verslag zijnvan deze crisis van zijn leven.” Graves beschrijft haar ziektes als direct gerelateerd aanhaar extreme verlegenheid, en noemt de periodes van langdurige ziekte ‘nervous illnes-ses’ 61. Daarmee plakt hij een sterk etiket op haar, en hiermee wordt, misschien onbewustomdat er veel ongediagnosticeerde ziektes waren in die tijd en dus deze diagnose bepaaldniet ongewoon was, meteen ook de suggestie gewekt dat zo’n huwelijk voor Hamilton inelk geval niet anders dan zeer zwaar geweest kan zijn. Maar bovendien heeft, zoals Gra-ves dat ziet, Hamilton eigenlijk ook al de verkeerde partnerkeus gemaakt, waardoor dithuwelijk bijna ondraaglijk wordt.

Dan, op bladzijden met als paginatitel: ,,Verslapping van de Huiselijke Orde”, schrijftGraves 62 dat, nadat Lady Hamilton terugkwam na bij haar zuster in Engeland te zijngeweest, hoe gewenst dat ook was door haar echtgenoot en hoe goed het ook naar ver-houding met haar ging, zij het huishouden nog steeds niet aankon. Hij merkt op hoedit blijvend schadelijk was voor Hamilton omdat hij niet op gezette tijden, of helemaalniet, te eten kreeg, en dan maar wat at als hij tijdens het werk honger kreeg. En dat hij,waar hij gewend was dat ’s avonds laat na het werk de koffie bij de warme haard voorhem klaarstond, nu maar bier drinkt. Dat daardoor, ondanks dat dat door zijn omgevingjaren niet wordt onderkend, Hamilton langzaamaan verslaafd raakt aan alcohol, iets watzijn vrienden met lede ogen aanzien.

Toch, schrijft Graves 63, blijft Hamilton de rest van zijn leven ,,een verbonden echtge-noot, net zoals Lady Hamilton een verbonden echtgenote bleef, en ook een goede vrouw”,maar vanaf deze tijd werd haar invloed op hem minder, en ze kon zijn ongezonde gewoon-tes niet meer bijsturen. Graves, en wellicht ook Hamiltons vrienden, zagen dat als ietswaar een vrouw iets aan zou kunnen doen als ze maar sterk zou zijn, en dat was LadyHamilton niet, althans niet lichamelijk, en niet in het openbaar. Graves besluit het stukover Hamiltons emotionele afglijden met de opmerking dat, hoewel het eerst niet echt tezien was omdat de verandering zich in een aantal jaren voltrok, hij gelooft dat hij hetbegin van Hamiltons ‘verduistering’ wel goed gedateerd heeft.

Hoewel Hamilton wijn dronk als hij dineerde met vrienden, dronk hij in de tijd voordatzijn vrouw naar Engeland ging nooit thuis. Maar omdat hij dat sinds haar afwezigheidwel doet, en geen reguliere pauzes meer houdt tijdens zijn studies, vragen zijn vriendenzich af of hij zijn ‘neigingen’ wel in de hand kan houden al zegt Graves erbij dat zijnhandschrift, en zijn intellect, krachtig en vloeiend zijn als altijd.

Dan bezoekt hij, in februari 1846, na een paar maanden waarin hij rustig, thuis bijnaniet drinkend, zeer hard gewerkt had, een bijeenkomst van de Geological Society 64 waareen idee van hem enthousiast ontvangen wordt. Hij schrijft later dat de ongewone intel-lectuele opwinding, gecombineerd met het drinken van wijn, hoewel hem achteraf verteld

61 [Graves, 1889, p. 51]62 [Graves, 1885, pp. 334-335]63 Ibid., p. 335.64 Ibid., p. 505.

102 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

werd dat het maar een matige hoeveelheid was, een vreemde uitwerking op hem had.Hij wordt plotseling duizelig, het bloed stijgt naar zijn hoofd, en hij voelt dat hij nietgoed meer kan nadenken, hij verliest de controle over zijn gedachten. Daar wordt hij zowoedend van dat hij in bedwang gehouden moet worden, een bijzonder pijnlijk voorval.Hierna drinkt hij twee jaar lang helemaal niets meer.

6.6 Dit slechte huwelijk anders bekeken

In die tijd werden echtgenotes van vooraanstaande mannen geacht ervoor te zorgen datze in de sociale kringen waarin zij verkeerden graag geziene gasten waren, of ze nodigdenzelf gasten uit. Van Lady Hamilton is maar af en toe duidelijk dat ook zij voor gastenzorgt, zoals bijvoorbeeld blijkt uit een dankbrief voor ,,het brood, de jam, de koffie ende melk” die zij verzorgde voor een groep doofstomme jongens die naar de Sterrenwachtkwamen 65. Maar vaak verschool ze zich voor gasten 66, en ging vaak niet mee naar officielegelegenheden 67. Toch schrijft Hamilton in hun latere jaren, dus vanaf ongeveer 1854, welregelmatig over bezoeken die ze afleggen en gasten die ze uitnodigen, wat duidt op eenbetere tijd in hun huwelijk 68, en hij had haar al weten over te halen mee te gaan toen zijin 1853 bij de Koningin werden uitgenodigd 69.

De suggestie, hoewel Graves dat net niet zo eenduidig zegt, dat Hamilton door Helens‘verwaarlozing’, de verwaarlozing van het huishouden, en het feit dat zij geen controle heeftop Hamiltons dagelijkse, ongezonde gewoontes, aan de alcohol raakte is dus misschien ookvoor Hamiltons tijd wel wat erg kort door de bocht. Want voordat zij ziek wordt, in 1839,lijkt alles goed te gaan 70, en Hamilton begint thuis te drinken als zij in Engeland is. Detweede heel zware tijd is de periode dat hij contact heeft met Catherine en tegelijk zijn‘Lectures’ schrijft, en na haar dood in november 1853 lijkt het leven van de Hamiltonsweer rustiger te zijn, op de tweede ziekteperiode van Lady Hamilton, in 1856, na. In detijden dat zij niet ziek is, en hij geen problemen heeft, lijken ze dus eigenlijk een heelgewoon huwelijk te hebben.

En hoewel Hamilton zeker een man is van zijn tijd, wat blijkt uit de opmerking ,,Wantik kan niet doen alsof ik zo vrij ben van de trots van het intellect en van sekse dat hetaannemelijk is dat ik er profijt van zou hebben te luisteren naar de directe instructievan een vrouw” 71, schrijft Hamilton nog voor zijn huwelijk aan Helen 72: ,,een vrouw zougeen slaaf moeten zijn [ . . . ] en een man die wel zou kunnen wensen op zulke gronden

65 [Graves, 1889, p. 17]66 Graves schrijft dat iemand die vaak naar de Sterrenwacht kwam had verteld dat hij haar nog nooit

had gezien [Graves, 1889, p. 233]67 [Hankins, 1980]68 Hamilton schrijft in 1855 aan een vriend dat ,,Lady H. had gezegd dat hij zo’n goede jongen was

geworden de laatste tijd, zo’n sociale en vriendelijke buurman, maar dat ze bang was dat het te goed wasom lang te kunnen duren!” [Graves, 1889, p. 497]

69 [Graves, 1885, p. 689]70 Ondanks dat Lady Hamilton vanwege ziekte in 1836 tien maanden met de kinderen in haar ouderlijk

huis verbleef en hij dat moeilijk vond is hij toen niet thuis gaan drinken, misschien omdat hij haar welregelmatig kon bezoeken.

71 [Graves, 1885, p. 12]72 Ibid., p. 21.

6.6. Dit slechte huwelijk anders bekeken 103

een vrouw te hebben is zou het niet waard zijn om er uberhaupt een te hebben.” Hetis daarom niet makkelijk voorstelbaar hoe, zelfs als Hamiltons leven bezien wordt in decontext van die tijd, hij maar gewoon niet eet als het niet voor hem gemaakt wordt, ofniet ’s avonds dan zelf koffie maakt voor bij de haard, of er gewoon iets voor regelt.

De verduistering ...

Er zou dus iets anders aan de hand kunnen zijn. De ‘verduistering’, zoals Graves dienoemt, begint rond 1840, en Hamilton schrijft zelf dat hij, toen zijn vrouw weg was, ergterneergeslagen was, waarbij opgemerkt moet worden dat zeer terneergeslagen of verdrietigzijn niet hetzelfde is als het hebben van een depressie. Verdrietig zijn omdat je partner erniet is is in een goed huwelijk nogal gewoon. Als zij in 1842 terugkomt neemt hij blijmoedigzijn studies weer op, en het leven had in principe zijn gewone gang weer kunnen gaan 73.

Maar dan vindt hij, in 1843, zijn quaternionen en hij gelooft dat, als hij het maar goedgenoeg uitlegt, iedereen het nut, en de schoonheid ervan, zal zien. Hij werkt dan harderdan ooit, en hij drinkt bij bijeenkomsten en diners soms meer alcohol dan hij zelf prettigvindt. Want bij een bijeenkomst in 1845 van de British Association for the Advancementof Science, waar Graves ook aanwezig was 74, en waar het hem was opgevallen dat Hamiltononrustiger was dan anders, geestelijk over-actief en zeer ernstig bezig met kerkzaken 75,krijgt Hamilton, volgens Graves juist door deze combinatie van opgewondenheid en strengekerkzaken, op een avond na een van de banketten ‘gewetenswroeging op religieuze gronden’over de hoeveelheid wijn die hij gedronken heeft, en hij vraagt of hij op zijn knieen zijnzonde aan Graves mag opbiechten zodat Graves hem dan absolutie kan geven.

Graves vindt dat overdreven, en gelooft dat Hamilton gewoon gesterkt moet wordenin het besluit het niet meer zo ver te laten komen. Later twijfelt Graves of hij Hamiltonsvraag om een biecht niet serieuzer had moeten nemen, want een jaar later, in 1846,vindt de pijnlijke gebeurtenis bij de Geological Society plaats. Na dat voorval krijgt enaanvaardt Hamilton hulp van een priester-counsellor, en drinkt twee jaar niet meer.

Dan wordt hij in de week dat hij bij de Parsonstown Sterrenwacht, begin september1848, door zijn vrienden met plagende opmerkingen overgehaald een glas champagne tedrinken 76, en hij vindt eigenlijk ook wel dat dat moet kunnen. Hoewel hij thuis steedsmatig blijft, zijn werk gaat onverminderd door, begint hij in het openbaar vaker te drinken,en af en toe teveel, mensen beginnen zijn ‘aanvallen van buitensporigheid’ te zien. Gravesschrijft dat, omdat er maar een paar mensen zijn die waarde hechten aan zijn werk, ennog minder mensen begrijpen wat hij aan het doen is, terwijl tegelijk wel iedereen ‘dezeene zwakheid’ kan zien, er een zeer overtrokken beeld van Hamiltons ‘zwakheid’ ontstaat,van de mate waarin hij eraan toegeeft, en van het aantal keren dat hij terugvalt 77. Erwordt, kortom, over hem geroddeld, een bijzonder pijnlijke toestand, waarschijnlijk nietin het minst voor zijn gezin.

73 Het huishouden is dan misschien nog steeds geen goed huishouden, maar dat is dan minder belangrijk.74 [Graves, 1885, pp. 490-491]75 In die tijd begonnen mensen, ook rond Hamilton, over te stappen van de Anglican Church of Ireland

naar de Rooms-Katholieke Kerk, wat gepaard ging met de nodige theologische discussies.76 [Graves, 1885, p. 632]77 Loc. cit.

104 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Er moest dus iets gebeuren, en de professor die hem gecounseld had na het voorvalbij de Geological Society begeleidde hem ook dit keer, waar Hamilton hem zeer dankbaarvoor was. Maar, zegt Graves, hoewel de counseling ,,niet zonder goed resultaat was, leiddehet niet tot een vernieuwing van de rigoureuze zelfverloochenende discipline, die, aan eenman zo diep gevoelig, alleen zelfopgelegd kan zijn”. Hamilton is hierna blijkbaar nooitmeer, ook niet tijdelijk, geheelonthouder geworden.

Graves’ laatste opmerking, waarin hij stelt dat Hamilton alleen geheelonthouder kanzijn als hij dat zichzelf oplegt, is veelzeggend. Alles lezend wat Hamilton schrijft, enwat anderen schrijven, is de stelling ook zeer aannemelijk. Maar dat komt erop neer datGraves accepteert dat toen Hamilton eenmaal was gaan drinken, niemand, ook Helen niet,dat weer zou kunnen stoppen, alleen blijkbaar tijdelijk, na de eerste counselling, maar ookalleen maar die ene keer. Dat betekent dat Graves dus inderdaad echt vindt dat als Helenmaar niet ziek geworden was, zodat Hamilton niet ’s avonds thuis was gaan drinken, ditallemaal niet gebeurd zou zijn.

En Graves weet uit de briefwisseling, en Hamiltons notitieboeken, hoe heftig Hamil-ton reageert op de hernieuwde ontmoeting met Catherine. Het lijkt dus niet meer danlogisch dat, als Helen niet ziek geworden was in 1839, en Hamilton verdrietig, het zeerwaarschijnlijk na de hernieuwde ontmoeting alsnog gebeurd zou zijn. Mensen raken inslechte tijden aan de drank, of niet, dus ook Hamilton. Ook wist Graves dat Hamiltonniks meer gedronken had na het ongelukkige voorval, totdat hij begin september 1848werd overgehaald om weer te drinken, bijna twee maanden nadat hij de eerste brief vanCatherine kreeg. Graves had dus ook kunnen concluderen dat Hamilton alleen teveeldronk als hij ongelukkig was, en zo kan het ook zijn dat Hamilton er zo over dacht, endat hij wist dat hij wel een sociaal drinker kon zijn als zijn leven emotioneel maar op ordewas.

Want toen hij in 1848 voor het eerst weer dronk was de ergste emotionele schokover het weerzien al voorbij, hij had zijn werk alweer opgepakt, het gedicht ‘Gebed omKalmte’ geschreven en de briefwisseling met De Vere gehad. Hij had bij de Sterrenwachtin Parsonstown gewerkt met dezelfde vriend die hem overhaalde, en had daar fijne dagengehad, met astronomische ontdekkingen en vrolijke gesprekken, en ook de dag na hetbewuste glas champagne was hij naar de kerk gegaan en had een gedicht geschreven. Ookschreef hij dat het bezoek hem goed had gedaan 78, en hij voelde zich, in elk geval toen,er blijkbaar niet schuldig over. Maar blijkbaar had hij niet voorzien hoe heftig de tijdna die septembermaand zou worden, en in de erop volgende jaren begon hij dan ook ditkeer teveel te drinken in reactie op heftige emoties. Helaas vermeldt Graves niet wanneerHamilton de tweede counselling krijgt.

Graves geeft dus, hoewel hij het misschien niet direct doet, wel indirect de schuld aanLady Hamilton door de ontmoeting met Catherine vrijwel helemaal weg te laten uit debiografie, en bovendien de twee periodes waarin Hamilton het moeilijk heeft aan elkaar teplakken. Hij maakt er een lange periode van afglijden van, die niet gebeurd zou zijn alszij maar sterker was geweest. En vermeldt daar fijntjes bij dat Lady Hamilton ‘wel eengoede vrouw is’. Er blijft in zijn visie, en dus ook in de biografie, van Lady Hamiltonspersoonlijkheid niet veel over.

78 [Graves, 1885, p. 626]

6.6. Dit slechte huwelijk anders bekeken 105

... of intens werken

Maar de periodes van drinken vallen ook precies samen met de periodes waarin Hamiltonintens werkt. Graves zegt dat de ‘verduistering’, die volgens hem in 1840 begon, eenlangzaam proces was, dus is de situatie in 1842 waarschijnlijk nog niet ernstig. Als Helenterugkomt gaat het eigenlijk goed met hem, hij vindt de quaternionen in 1843, en er kannog steeds van hem gezegd worden dat hij een sociaal drinker is, en dat de wandelingtijdens welke hij de quaternioen vindt inderdaad, zoals eerder opgemerkt, vredig is.

Het jaar 1844 is een zeer zwaar jaar waarin Hamilton een paar maanden bang is datJohn Graves’ octaven, een uitbreiding van de quaternionen, wel eens een beter systeemkan zijn 79, maar hij kan uiteindelijk laten zien dat dat toch niet waar is. Intussen lijkenmeer mensen, waaronder een broer van John en Robert Graves, systemen te vinden dievoldoen aan de eisen die gesteld worden aan de uitbreiding van de complexe getallen, enhoewel Hamilton hen soms zelfs helpt, kan hij steeds laten zien dat zijn quaternionen beterzijn. Maar door een van hen voelt hij zich beledigd, omdat die twijfelt aan de originaliteitvan zijn quaternionen. Als bewijs van originaliteit laat Hamilton de brief publiceren diehij een dag na het vinden van de quaternionen schreef aan John Graves 80.

Hamilton wordt dat jaar ook nog ziek maar blijft in zijn bed gewoon doorschrijven 81,en John Graves is ongerust, hij denkt dat Hamilton zo hard werkt aan de quaternionendat hij overspannen aan het worden is, waarbij de originaliteitskwestie hem nog verderopgezweept heeft. Ten slotte verstuikt Hamilton in december ook nog zijn enkel waaropeen vriend uit Engeland hem vermanend toespreekt: ,,de Koninklijk Sterrenkundige in ditland legt zijn werk neer als hij ziek is, en gaat spelen tot hij zich weer goed voelt 82.”

In februari 1845 zegt Hamilton dat hij probeert op tijd naar bed te gaan, maar dat hijregelmatig ziet dat de ochtend gloort als hij opkijkt om zijn kaarsen te snuiten na een al tefascinerend onderzoek 83. In juni is de bijeenkomst van de British Association, Hamiltonontmoet daar een leerling van Gauss, en komt er zo achter dat Gauss de quaternionenniet voorzien heeft. Hij moet daar enorm verheugd over geweest zijn, want zeven jaarlater schrijft hij nog een enthousiaste brief over deze ontmoeting 84.

Maar de week van deze ontmoeting is ook de week waarin Hamilton aan Graves vraagtte mogen biechten over zijn overmatig wijngebruik. Wetend hoe het de maanden ervoormet Hamilton ging, zijn bijna-overspannenheid, zijn intense manier van werken, de onrustover de concurrerende systemen, zijn immense vreugde over de ontdekking dat Gauss dequaternionen niet heeft gezien, en de door Graves genoemde kerkzaken die waarschijnlijkte maken hebben met een vriend die overgaat naar de Rooms-Katholieke Kerk, en waar-over Hamilton een zeer strikte positie inneemt 85, is het nu makkelijk voor te stellen dat hijteveel drinkt omdat hij zo intens bezig is dat hij gewoon niet doorheeft hoeveel hij drinkt.

79 [Graves, 1885, p. 454 ev.]80 [Hamilton, 1844], gelukkig was deze brief door Robert Graves gekopieerd en aan hem teruggestuurd.81 [Graves, 1885, p. 467]82 Ibid., p. 477.83 Bedenkend dat de zon in februari in Dublin rond 7 uur opkomt is het maar de vraag of hij daarna

dan wel tot in de middag slaapt, zijn hoofd vol van nieuwe ontdekkingen.84 [Graves, 1885, p. 490]85 De zeer sterke vriendschap met Aubrey de Vere heeft de overstap van De Vere naar de Rooms-

Katholieke Kerk wel ‘overleefd’.

106 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Dit argument gebruikt Hamilton inderdaad zelf het jaar erna, in de brief die hij schrijftaan de Geological Society na het ‘ongelukkige voorval’ 86, waarin hij ook vermeldt dat hijnog harder had gewerkt dan normaal, en door de goede ontvangst van zijn idee zeeropwindende gesprekken had, waardoor zijn argument niet minder waarschijnlijk klinktdan het idee dat hij teveel drinkt met het doel nare emoties te ondrukken.

De tweede periode van teveel drinken valt zoals gezegd samen met de periode vanhet hernieuwde contact met Catherine, maar dat contact valt ook precies samen methet schrijven van zijn ‘Lectures’, waartoe hij twee weken voor haar eerste brief beslotenhad, en wat hij vlak voor haar dood af heeft. Het is na die opmerking over hoe hijnachten doorwerkt wel duidelijk hoe ongelooflijk gefocust hij is, en omdat hij eerst denkteen gemakkelijke handleiding voor studenten te gaan schrijven, maar het boek uitmondtin een moeilijke, dikke pil waaraan hij vijf jaar schrijft, is het ook gemakkelijk voor testellen hoe hij maar doorschrijft en doorschrijft, rekenend en bewijzen zoekend, zichzelfnauwelijks pauze gunnend.

Dat hij dan ook niet regelmatig eet, en als hij ‘buiten’ komt misschien teveel drinkt, kandus, evengoed als onverwerkte emoties of slechte zorg, als belangrijkste oorzaak hebbendat hij zo’n enorm intense manier van werken heeft, of dat nu komt door de bijkomendeemoties over Catherine of niet. Graves vindt dan dat zijn vrouw ervoor moet zorgen dathij, om daarbij gezond te blijven, goed eet en een goed ritme heeft, en hij denkt dat zij datgekund had als ze maar niet zo zwak geweest had. Maar het is maar helemaal de vraagis of ze hem elke dag zover gekregen zou hebben zonder daar, gezien Hamiltons enormefocus, zelf gek van te worden, of als ruziende echtgenote te eindigen. Want Hamilton was,zoals zijn zoon later vertelt, door de manier waarop hij werkte, in zijn studeerkamer en inzijn hoofd, zich ,,totaal niet bewust van de aardse noodzakelijkheid om te eten” 87. Het isdus zeer makkelijk voorstelbaar dat niet alleen Lady Hamilton, maar helemaal niemandhem in het gareel had kunnen houden.

En wat Lady Hamilton nog allemaal geprobeerd heeft weet eigenlijk ook niemand,want het is natuurlijk helemaal niet bekend wat zij tweeen tegen elkaar gezegd hebben.Hamiltons innerlijke gemoedstoestanden kunnen achteraf alleen afgeleid worden uit zijnbrieven en notities. Maar hij praatte graag, en zal dus ook veel met zijn vrouw gepraathebben. Omdat ze erg verlegen was zal dat meestal zijn gebeurd als ze met zijn tweeenwaren, dus waar dat over ging, en of zij daar al dan niet sterk was, dat weet niemand.En dus is ook niet bekend wat zij dan wel geprobeerd heeft, wie weet heeft ze wel allesgedaan wat elke sterke vrouw geprobeerd zou hebben 88. Het is dus wel heel makkelijkom te concluderen dat het feit dat zij hem niet in toom kan houden een direct gevolg zouzijn van haar zwakheid.

86 [Graves, 1885, p. 509]87 [Anoniem, 1866, p. 70]88 Er is een mooie anecdote over hoe zij het voor elkaar krijgt hem iets te laten doen wat hij niet wil,

maar wat zij beter voor hem vindt, en wat dus tegelijk een illustratie is voor dat zij wel probeert omvoor hem te zorgen ondanks al zijn koppigheid. Op een dag had zij een eenvoudig rijtuig laten maken,bescheiden, maar beter dan zijn oude ‘outside car’. Hij dacht, toen hij het betaalde, dat het voor haarwas, maar het bleek voor hemzelf te zijn. Hij voelde zich lichtelijk in de luren gelegd, maar nadat hij zicher langzamerhand mee verzoend had vond hij het eigenlijk wel een heel comfortabel ding [Graves, 1889,pp. 497-498]. Zij had hem dus inderdaad met een list uit zijn oude koets gekregen.

6.6. Dit slechte huwelijk anders bekeken 107

Hamiltons extreme focus

Na Hamiltons dood heeft zijn oudste zoon, William Edward, aan Graves verhalen verteldover zijn vader, die te vinden zijn in het derde deel van de biografie. In deze verhalen isgemakkelijk te lezen dat Lady Hamilton inderdaad gek geworden kan zijn bij de gedachteaan het idee hem te gaan dwingen om regelmaat aan te houden. Hij vertelt bijvoorbeelddat Hamilton altijd en overal te laat kwam 89; voor de kerk, diners, en openbare bijeen-komsten van allerlei aard. Hij noemt dit tegenover Graves ‘uitstelgedrag’, maar Gravesdenkt daar anders over, hij schrijft dat hij denkt dat het geen zwakte was van Hamilton,maar een verkeerde inschatting van wat hij nog af zou kunnen krijgen voor een afspraak.

Het was dus ,,een verkeerde berekening van tijd als een element dat moet wordentoegepast op praktische zaken, geen foute intenties of zelfs wil. De zaken die hij moest doendeed hij, ook al deed hij ze soms laat, maar hij wilde alleen maar dat er meer dan 24 urenin een dag zouden zitten. [ . . . ] Dit is de miniatuurvorm van de herhaaldelijk onvervuldevoorspellingen over de tijdstippen van afronding en publicatie van zijn boeken”. En, zegtGraves, hij kwam misschien te laat, maar hij kwam wel.

Verder vertelt William Edward direct na Hamiltons dood over hem 90: ,,Hij had degewoonte om lange reeksen van algebraısche en rekenkundige berekeningen in zijn hoofduit te voeren, terwijl hij dat deed was hij zich niet bewust van de aardse noodzaak vaneten: we brachten hem vaak een ’snack’ en lieten het achter in zijn studeerkamer, maareen kort knikje van herkenning van het binnenkomen van de kotelet of hamburger wasvaak het enige resultaat, en zijn gedachten bleven hoog verheven.”

Volgens zijn zoon werkte Hamilton problemen eerst helemaal uit in zijn hoofd, waarnapas het schrijfproces begon. Soms, als hij tijdens dat schrijfproces iets bedacht terwijl hijin de tuin was bijvoorbeeld, schreef hij het bij gebrek aan papier zelfs op zijn vingernagels.Hamilton was dus in elk geval een bijzonder gefocuste man, waarvan maar moeilijk voor testellen is dat hij zich elke dag op dezelfde tijd aan de tafel had laten zetten. En misschienzou het dan ook helemaal niet gezellig zijn geweest. Want zelfs de binnengebrachte ’snacks’at hij vaak niet op.

En een derde aspect van zijn intense focus, waarop zijn vrouw ongetwijfeld geen in-vloed had kunnen hebben zonder problemen te krijgen, de chaos, of ‘pittoreske verwar-ring’, op zijn studeerkamer. In zijn necrologie schrijft een goede vriend van Hamilton 91:,,Er was een soort van orde in de massa waarneembaar, echter alleen door Hamilton, enelke invasie door de bedienden, met de bedoeling op te gaan ruimen, zou de wiskundige,zoals we hebben begrepen, in een ‘goede eerlijke donderende driftbui’ werpen 92”. Het zalonmogelijk zijn geweest voor Lady Hamilton om hem hierin bij te sturen, ook al was zewel een sterke vrouw geweest. Voor vrienden is daarmee omgaan soms veel gemakkelijkerdan voor echtgenotes, maar, ondanks dat zij zich zorgen maakten, zij konden het ook niet.

89 [Graves, 1889, p. 241]90 [Anoniem, 1866, p. 70]91 [De Morgan, 1866]92 Alsof intern extreem gefocuste mensen op elkaar moeten lijken lijkt Hamilton ook in de chaos waarin

hij werkt lijkt op Einstein, waarvan foto’s bestaan van de enorme, ogenschijnlijke chaos op zijn studeer-kamer. Van hem is ook de uitspraak ,,Als een slordig bureau een teken is van een slordige geest, waarvanis dan een leeg bureau een teken?”

108 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

6.6.1 Alcohol

Dan is er de vraag of Hamilton een alcoholist was, in de zin van het woord zoals we hetnu gebruiken. Volgens informatie van de Jellinek website is er een onderscheid tussen‘probleemdrinken’ en ‘alcoholisme’: ,,Een probleemdrinker is iemand die langere tijd veeldrinkt en hierdoor problemen heeft gekregen. Dat kunnen problemen zijn op gebied vangezondheid, werk of relationele problemen. [ . . . ] Een alcoholist is iemand die sterkverlangt naar alcohol, wel wil maar niet kan minderen en blijft gebruiken ondanks deschade die het gebruik oplevert 93.” Ook vermeldt de site: ,,Het herhaaldelijk voorkomenvan black-outs wordt ook wel gezien als een teken van een beginnend alcoholprobleem.[ . . . ] Met name deze onverschillige houding tegenover een black-out is een signaal.” Tenslotte zijn er ‘sociale drinkers’ die soms ook veel kunnen drinken, maar omdat ze nietuit zijn op de stemmingsverandering die alcohol met zich meebrengt kunnen ze stoppenwanneer ze dat willen.

Hoewel Hamilton in elk geval geen probleemdrinker is, wat blijkt uit het feit datGraves zegt dat hij maar een keer problemen heeft gemaakt, bij de Geological Society,is het duidelijk dat Graves wel vindt, of eigenlijk bang is, dat Hamilton een alcoholist isvolgens de huidige definities, omdat de reden dat hij steeds meer drinkt het ontlopen vannare gevoelens is. Graves suggereert namelijk dat Hamilton rond 1840 begon met thuis tedrinken omdat hij zich eenzaam voelde, en Graves had ,,van een goede autoriteit gehoorddat een hang naar zo’n stimulant daardoor komt” 94. Hij vermeldt dan ook dat Hamiltondaarna dat probleem nooit meer helemaal overwonnen heeft, wat de ,,enige schaduw wasop de helderheid van Hamiltons leven en karakter” 95. Overigens speelt waarschijnlijk ookde bijna onmenselijk goede karaktisering van Hamilton door Graves een grote rol 96; hetwas voor Graves ongetwijfeld onverdraaglijk dat zo’n geweldig persoon een gewoonte konhebben die Graves een zwakheid vond, en Hamiltons vraag om op zijn knieen te mogenbiechten zal in het licht van dit ‘hoge beeld’ zeker een diepe indruk gemaakt hebben.

Ook bestaat de mogelijkheid dat Graves het drinken van alcohol helemaal afkeurde,wat afgeleid kan worden uit een opmerking die hij maakt in de beschouwing over het beginvan Hamiltons ‘verduistering’ 97: hij zegt dat er in Hamiltons jeugd erg veel gedronkenwerd zodat Hamilton daaraan gewend was, maar ,,tegenwoordig”, dus in de jaren 1880,,,gelukkig niet meer”. Hieruit kunnen twee dingen geconcludeerd worden, namelijk datHamilton in zijn jongere jaren, dus rond de jaren 1820 en 1830, sociaal en probleemloos kondrinken, ook al was het soms misschien veel, want Graves denkt pas aan alcoholisme vanaf1840, en dat hij in elk geval rond 1880 zelf een matig drinker is of zelfs geheelonthouder.

93 [Jellinek, 2014]94 [Graves, 1885, p. 506]95 Ibid., p. 505.96 Graves zegt over Hamilton in verband met de vermeende ‘verduistering’, [Graves, 1885, p. 335],:

,,Een terugkeer naar zijn correspondentie zal uitwijzen dat in wezen, in zijn algemene gevoel voor religieen plicht, in moeizame en noeste arbeid, in royale en rechtvaardige gevoelens ten opzichte van allen metwie hij te maken had, hij hetzelfde superieure wezen bleef dat wij voor ons hebben zien opgroeien alsjongen en als man, strevend naar elke deugd en niets denkend dan hoge gedachten. Het is triest dat wateerst een onbezonnen, en in eerste instantie onbewust toegegeven, defect in het externe regime van hetleven leek te zijn, want dat was zijn zwakheid in het begin, zou bijdragen aan het werpen van een schaduwop kwaliteiten zo solide en zo schitterend als de morele en intellectuele kwaliteiten van Hamilton.”

97 [Graves, 1885, p. 505]

6.6. Dit slechte huwelijk anders bekeken 109

Dat zou niet verwonderlijk zijn, want in de jaren 1830 was er een beweging opgestaan,de zogenaamde ‘Temperance Movement’ die tot doel had het alcoholgebruik tegen te gaanof zelfs helemaal uit te bannen 98. In 1829 had een Ierse professor zijn hele whiskeyvoorraaduit zijn raam gegooid, wat het begin inluidde van de beweging in Ierland. In eersteinstantie richtte de beweging zich vooral op sterke drank, minder op wijn en bier, laterging dat over naar geheelonthouding. De beweging had zoveel invloed in Ierland, datdie invloed nog tot in de jaren 1970 merkbaar was 99. Een van de eerste anti-alcoholverenigingen was, rond 1830, gevestigd in Dublin, en in 1838 waren er in Dublin zelfs aleen aantal van deze verenigingen 100, een aanwijzing dat juist rond de jaren dat Hamiltonsvrouw naar Engeland ging ook de sfeer in Dublin rond het gebruik van alcohol sterk aanhet veranderen was.

Vooral een sociale drinker

Als als de definities van de Jellinek kliniek aangehouden worden is Hamilton in zijn jongejaren in elk geval een sociale drinker; Graves zegt niet dat Hamilton al voor 1840 eenprobleem heeft, alleen dat men in die tijd gewoon was veel te drinken, met name tijdensen na diners. Maar hij vermeldt ook geen problemen meer na 1854, al vindt hij het ergdat Hamilton niet terugkeert naar geheelonthouding 101.

De biografie die Graves schrijft is in chronologische volgorde, maar na het sterven vanHamilton in 1865 is de rest van het derde deel gewijd aan verhalen die Hamiltons zoonvertelt, een correspondentie, ed. In dat gedeelte bespreekt Graves de drinkgewoonten vanHamilton nog een keer. Naar aanleiding van de aantekeningen die William Edward na zijnvaders dood aan hem geeft schrijft Graves dat Hamilton zelfs tot aan het laatste jaar vanzijn leven de gewoonte had zeer veel uren achtereen te werken 102. ,,Halverwege stoppenkon hij niet, want of hij zijn pen neerlegde of niet, zijn geest zou gewoon doorgaan, enhij was bang de draad van het argument of onderzoek kwijt te raken 103. Hij was ervanovertuigd dat hij, om een taak waarin hij vooruitgang had geboekt helemaal af te krijgenterwijl hij al moe werd, ondersteuning en stimulans voor de hersenen nodig had, en ditdeed hij in een schadelijke vorm door kleine slokjes bier te drinken 104.”

98 [Malcolm, 1986]99 Er waren in 1978 in Ierland nog steeds meer geheelonthouders dan in bijna alle andere landen behalve

de Islamitische landen, [Malcolm, 1986]100 [Quinn, 2002]101 [Graves, 1885, pp. 632-633]. Hamilton drinkt in de laatste tien jaren van zijn leven inderdaad wel

‘sociaal’, er staat bijvoorbeeld in een brief van Hamilton uit 1855, dus twee jaar na de probleemjaren 1848tot 1853, hoe hij met een onlangs bevallen buurvrouw een glas wijn drinkt op de baby, [Graves, 1889,p. 497].

102 [Graves, 1889, p. 239]103 Dit zal menig wetenschapper in de exacte vakken bekend voorkomen, en ook dit hoofdstuk is ontstaan

in dagelijke sessies van meer dan twaalf uren, bijna elke dag weer in de blijde verwachting dat ‘hetvanavond toch in elk geval wel bijna af zal zijn’.

104 Het bier dat Hamilton dronk was porter, een zwaar donkerbruin bier waar behoorlijk wat suiker inzit. Naast dat de alcohol zijn bloed verdunde zodat hij langer kon blijven zitten zonder last van zijn benente krijgen, een probleem dat de meeste ‘wat oudere’ wis- en natuurkundigen bekend zal voorkomen, zalHamilton ook suiker nodig gehad hebben omdat hij niet at maar wel intens nadacht. De combinatie vanbloedverdunning en energieleverantie zorgde er dus ongetwijfeld voor hij zich er beter van voelde.

110 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Maar het met kleine slokjes drinken van bier klinkt toch niet echt naar een ergealcoholverslaving, zelfs al liet Graves, en wellicht ook William Edward, graag weg wat nietzo complimenteus voor Hamilton zou zijn. Maar in elk geval lijkt dit niet op de alcoholistwaarvoor hij in veel biografische schetsen wordt gehouden; zijn intellect blijft intact tot zijnlaatste dagen. Ook maakt Hamilton in zijn laatste jaar nog een belangrijke opmerking;hij schrijft dat hij zich zelfs moe voelt, waarbij hij zelfs het woord moe cursiveert 105.Blijkbaar is dit dus geen lijfstoestand waaraan hij gewend is, en het is daarmee een vande vele indicaties dat hij misschien minder ‘alcoholisch’ was dan wat doorgaans in debiografieen gesuggereerd wordt.

En dus zou het zelfs nog kunnen dat Graves, als hij de eerste keer verslag doet vande verandering in Hamiltons avondgewoonten, van koffie bij de haard naar bier waarbijhij het proces een ‘verduistering’ noemt, en hij dat opschrijft als een voorbode die lijktte wijzen op een ontijdig einde door alcoholmisbruik, hij eigenlijk vooral dacht aan deonverkwikkelijke gebeurtenis bij de Geological Society, aan de ongetwijfeld zeer indruk-wekkende avond waarop Hamilton bij hem wilde biechten, en de tijd, ergens tussen 1848en 1853, dat er over Hamilton geroddeld werd. Wat op zich natuurlijk erg genoeg was,maar duidelijk niet hetzelfde als ten onder gaan aan de drank.

De twee periodes van teveel drinken

Nu is het de vraag of Hamilton dan misschien wel een alcoholist was in de twee periodeswaarin hij wel meer dronk dan een sociale drinker zou moeten drinken, de periodes van1840 tot 1846, en 1848 tot 1853. In de definities van de Jellinek wordt gesproken overblack-outs, die vaak een teken zijn van een beginnend probleem, en de gewenning eraaneen teken van alcoholisme. Maar de gebeurtenis bij de Geological Society, in 1846, lijkterop te wijzen dat Hamilton helemaal niet gewend was echt dronken te zijn want de redendat hij zo boos wordt is juist het feit dat hij ,,zijn gedachten niet meer onder controleheeft” 106. Waarschijnlijk had hij dus nog nooit zoveel gedronken dat hij black-outs kreeg,anders had hij niet zo gereageerd.

Dat neemt niet weg dat hij die avond misschien wel een black-out heeft gehad, wanteen maand later beschrijft Hamilton de gebeurtenis, in een postscriptum van een briefaan de Geological Society, met de toevoeging ‘zoals hij het zich herinnert’ 107. Natuurlijkwas het voorval, zeker in de nette kringen waarin deze mensen rondliepen ongehoord, enbijzonder pijnlijk. Maar misschien kon Graves 108 in zijn zeer ernstige bespreking van ditvoorval ook niet echt inschatten wat nu gerelateerd was aan alcohol, en wat aan een aldan niet ongelukkig huwelijk, of misschien wel gewoon aan zo hard werken dat een avondvrij niet eens gemakkelijk is 109.

105 Zie pagina 95.106 [Graves, 1885, p. 506]107 In deze brief zegt hij ook dat hij zal stoppen met drinken, zodat deze situatie niet weer kan voorkomen,

dat heeft hij dus twee jaar volgehouden.108 Graves was wel getrouwd maar had geen kinderen, zie http://www.thepeerage.com/p24788.htm.109 Overigens hebben de geologen Hamilton het voorval waarschijnlijk ook niet lang nagedragen. In

het verhaal zoals Hamilton het aan Graves vertelde, zei Hamilton dat ‘hem later was verteld dat dehoeveelheid wijn die hij gedronken had maar matig was’. Hieruit is op te maken dat hij er al heel snelmet andere aanwezigen over gepraat of gecorrespondeerd heeft.

6.6. Dit slechte huwelijk anders bekeken 111

Dit leidt vervolgens tot de vraag wat Graves en Hamilton dan eigenlijk verstaan onder‘teveel drinken’. Graves is er duidelijk over, het liefst had hij gezien dat Hamilton nooitmeer zou drinken. Voor Hamilton, die in ieder geval nooit meer een black-out heeft gehad,of in elk geval geen openbare woede-aanvallen want dat had Graves zeker nog vermeld, endie duidelijk ook niet principieel tegen alcoholgebruik was, was er blijkbaar wel een niveauvan dronkenschap dat ‘over de streep’ was. Dit lijkt het beste te zien in het verhaal vande gewenste biecht: daarin is duidelijk dat Hamilton niet gewoon gewetenswroeging heeft;hij heeft een religieuze gewetenswroeging 110. In de Bijbel wordt alcohol niet verboden,maar er is een gebod op matigheid, het lichaam is een tempel waarvoor gezorgd moetworden. Dit kan betekenen dat Hamilton waarschijnlijk pas op het moment dat hij decontrole dreigde te verliezen schrok, hij zegt zelf inderdaad dat hij daarvoor enthousiastaan het praten was, en waarschijnlijk werd dan intussen zijn glas volgeschonken, hij zattenslotte aan een banket.

Als de definitie van alcohol ook inhoudt dat de alcoholist drinkt om zijn nare emotieste onderdrukken en streeft naar het krijgen van de fijnere gevoelens die de alcohol met zichmeebrengt, dan is Hamilton daar al helemaal niet in te herkennen, bij beide gelegenheden,die bij de Geological Society en hier bij de British Association, was hij juist erg enthousiast.

Maar misschien onderdrukte hij al zijn ongelukkige gevoelens wel, en dronk hij tochom zich beter te voelen wat leidt tot de vraag hoe de twee periodes gezien moeten worden.Hierboven zijn de twee meest voor de hand liggende mogelijkheden besproken; of hij wasecht erg ongelukkig, bewust of onbewust, en dronk om zich goed te voelen, in welk gevalhij dus toch een alcoholist was, of hij vertrouwde er zelf op dat hij sociaal kon drinkenmaar werkte te hard, en Graves benadrukt een aantal keer dat hij thuis altijd matigwas, zodat hij, als hij dan eens naar bijeenkomsten ging, soms overenthousiast werd enongemerkt teveel dronk, wat hem tot een ‘soms teveel drinkende sociaal drinker’ maakt.

Het kan zijn dat Hamilton tijdelijk wel alcoholist was in de tegenwoordige zin van hetwoord, dat hij zeker in de tijd dat zijn vrouw in Engeland was tijdelijk wel zijn verdrietverdronk, maar dat zijn enorme geloof heeft geholpen te zorgen dat hij de goede raad, vaneen geestelijke, kon opvolgen. Maar eigenlijk ondergraaft dat meteen de ‘diagnose’, wanteen alcoholist kan dat juist niet, die kan niet besluiten te stoppen, dat is wat een alcoholisttot alcoholist maakt. Toch zegt zelfs de op het gebied van alcohol strenge Graves over detweede keer dat ,,de goede raad niet zonder goed resultaat was” al had hij liever gehaddat Hamilton helemaal was gestopt. Hamilton kan dus de laatste jaren van zijn leven welmatig drinken, en dat is bij een echte alcoholverslaving duidelijk anders.

Familie

Een indirecte beschrijving van Hamiltons karakter, en dan speciaal naar zijn hang naaralcohol, ook al was hij dan een sociale drinker, en zijn steeds te laat komen, is te zienuit beschrijvingen van zijn zoon en zijn kleinzoon, die net als hij door hun omgeving als‘levendig’ worden beschreven.

110 Dit lijkt op de manier waarop hij ontzet is van zichzelf als hij de niet gepubliceerde brief schrijft aanDe Vere, zie pagina 97. Zijn ontzetting is niet zozeer de pijn zelf, maar de religieuze schuldgevoelens diehij heeft. Net als Graves vindt ook De Vere dat Hamilton wel wat al te streng is voor zichzelf.

112 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

In een stuk uit 1966 over de nakomelingen van Hamilton 111, en waaraan een nazaatvan Hamilton heeft meegeholpen, wordt over William Edward gezegd dat hij bouwkundigingenieur was en, na op zijn 32ste zijn herinneringen te hebben verteld aan onder anderenGraves, heeft hij alle papieren voor het onvoltooide boek ‘Elements of quaternions’ vanzijn vader bij elkaar gezocht, schrijffouten verbeterd, een voorwoord geschreven en hetuitgebracht, waarna hij naar Amerika is vertrokken, zonder bekende vertrekdatum ofbestemming. Hoewel een neef nog advertenties heeft geplaatst in Amerika om contact opte nemen, is er nooit meer iets van hem vernomen, ook niet van eventuele nakomelingen,in elk geval niet tot 1966, en voorzover bekend aan Hamiltons nazaat.

Maar in 2013 staat er een nogal lelijk verhaal in de ‘Chathamthisweek’, uit Chathamin Canada 112, over William Edward Hamilton, en het is duidelijk dat dit inderdaad overHamiltons zoon gaat; geboren bij de Dunsink Sterrenwacht in Ierland was zijn vader een,,professor in de sterrenkunde die verschillende talen kon spreken”. Hij kwam in de latejaren van 1870 naar Kent County, en in 1880 naar Chatham, en wordt daar journalisten redacteur. In het stuk, dat helaas geen referenties geeft, wordt hij beschreven als,,misschien betaald om [uit Ierland] weg te blijven”, en een pietje precies die allerlei onzinover vooral de kosten van allerlei vastgoed en etenswaren bijhoudt in zijn dagboek. Hoewelhij ‘extreem intelligent’ was sterft hij, na een vergooid leven en zonder enige familie achterte laten, op zijn 82ste voortijdig aan de whisky.

Nu kan gesteld worden dat 82 eigenlijk een heel aardige leeftijd is om dood te gaan,zeker als een groot aantal mensen in je familie, waaronder je opa, je oma en je ouders,tamelijk jong stierven, maar een opvallende overeenkomst is natuurlijk wel dat beide jonge,als ‘levendig’ beschreven Hamiltons op latere leeftijd obsessief beginnen te rekenen, hoegoed en nuttig van de vader, en misschien onnuttig van de zoon dat ook mag zijn, en meerbeginnen te drinken. Maar in het geval van William Edward heeft het in elk geval zekerniets met een eventueel slecht huwelijk te maken, want hij was niet getrouwd.

Op een vreemde manier lijkt hier eenzelfde persoonsbeschadiging plaats te vinden alseerder van zijn ouders; in de biografie van Graves, en ook in de opgetekende verhalen die hijna de dood van zijn vader vertelde, komt William Edward helemaal niet over als vervelendpersoon, zeker niet waar hij een grappig verhaal over zijn vader vertelt. Hij beschrijft daar-in hoe Hamilton voor een officiele lezing ‘oefent’ op zijn familie en de sterrenwachtassistent,en hij doet dat zo levendig, dat het heel makkelijk is Hamilton bij het krijtbord te zienstaan, terwijl hij, hoewel hij eigenlijk een didactisch verhaal wil vertellen, helemaal in zich-zelf opgaat en dan ook plotseling even een nieuwe manier ziet om het probleem op te lossen,om daarna rustig te verwachten dat zijn publiek nog weet waar het over gaat. Toch wordtin het verhaal in de Chathamthisweek alleen de nadruk gelegd op de vreemde zaken dieWilliam Edward in zijn notities schrijft,en op zijn blijkbaar dodelijke drinkgewoonten.

Verder is er een mooie beschrijving van Hamiltons enige kleinzoon, John Rowan Ha-milton O’Regan, zoon van Helen Elizabeth die zelf helaas vlak na zijn geboorte in 1870stierf, waarin te lezen is dat hij, net als Hamilton, doorgaans niet op tijd kwam en nietgewoon at 113. Hij wordt beschreven als een ‘onordelijk genie’, en, net als zijn opa en zijnoom, als een ‘levendig figuur’; terwijl hij op een strikt dieet was, geen vlees, geen koffie,

111 [Wayman, 1966]112 [Rhodes, 2013]113 [Wayman, 1966]

6.6. Dit slechte huwelijk anders bekeken 113

geen drank, ,,stopte hij de kinderen vol met snoep, gebruikte al het hete water, zong dehele tijd hard, kwam te laat voor elke maaltijd en at dan niet 114, was altijd bereid overvan alles en nog wat te discussieren, en eindeloos te wandelen...”. Hij stierf in 1922 op 52-jarige leeftijd na pas tien jaar getrouwd te zijn geweest. En misschien, als hij wel alcoholhad gedronken, in die tijd waarin hij van ongeveer dezelfde leeftijd was, en ongeveer evenlang getrouwd, als Hamilton toen die ’s avonds begon te drinken, dan was zijn vroegedood ongetwijfeld ook aan de drank geweten.

Ingeruilde pijn

Over zijn huwelijk schrijft Hamilton in 1855 aan De Vere: ,,Ik ben zo gelukkig geweestin mijn eigen huwelijk als ik had verwacht, en meer dan ik verdiende te zijn. Mijn drieliefdes zijn van totaal verschillende aard geweest, en hebben ook al die tijd zo gevoeld.Ik denk niet dat ik ooit de drie gevoelens heb verward, hoewel het vervelend zou kunnenzijn, en in zekere mate brutaal, of aanmatigend, voor mij om te doen alsof ik ze nu wilanalyseren. In het algemeen zou ik misschien mogen zeggen, tegen jou, dat ze mij somsvanzelf in gedachten komen met als kenmerkende eigenschap die van een minnaar, eenbroer, en een man: daarbij selecterend, zoals je weet, wat er het meest onderscheidendis geweest in elk van hen” 115. Dat hij dit openlijk aan zijn vriend schrijft, weloverwogenen rustig zelfs, is een goede indicatie dat hij in elk geval in 1855 tevreden was met dekeuzes, al was het door het lot ingegeven, die hij gemaakt had. Hij lijkt dus ook oprechtvan zijn vrouw te houden, zeker als in aanmerking wordt genomen hoe gelovig hij was, enhoe belangrijk het huwelijk daarin is, zeker in zijn tijd. En hieruit blijkt dus ook dat hijheel goed wist wat hij deed toen hij Helen ten huwelijk vroeg.

Dat werpt vervolgens de vraag op waarom hij eigenlijk voor Helen Bayly koos terwijl hijwist dat ze ziek was. In verband daarmee is een belangrijk gegeven dat, hoewel Hamiltonzeer lijkt te lijden onder ziektes en sterfgevallen om hem heen 116, hij toch overweegt tetrouwen met iemand die ziek is. Hamilton schrijft zelf over die overweging 117: ,,Hoegraag zou ik, als het mij werd toegestaan, je bijstaan tijdens je ziekbed en je proberen opte beuren [ . . . ] Hoewel ik met onuitsprekelijk genoegen de rijke blos op je wangen hebgezien in momenten van gezondheid en opwinding, heb je mij, ofschoon op een anderemanier, niet minder geınteresseerd op momenten dat je bleek was en zwak. In mijn gewoneopvatting van jou zijn schoonheid en blossen ongevallen, zonder twijfel zeer aangenamezolang ze duren, maar van jou te scheiden zonder veel letsel.”

Hij verzekert haar dan dat hij de vooruitzichten van haar gewoonlijke slechte gezond-heid heeft afgewogen naast andere vooruitzichten, en dat dit hem er niet van verhinderdhad te denken dat zij geschikt is om hem gelukkig te maken, waarop hij vervolgt: ,,Onze

114 Op deze manier krijgt William Edward dan alsnog postuum gelijk in zijn discussie met Graves overwaarom Hamilton steeds te laat komt, want hoewel hij het uitstelgedrag noemt en Graves daartegenterecht protesteert, is uit het verhaal van deze kleinzoon wel duidelijk dat het niet alleen met de groteconcentratie en de lange wiskundige overwegingen te maken heeft. Misschien is deze manier van te laatkomen wel erfelijk, als gevolg van een minder goed werkende temporaalkwab.

115 Hierin is hij voor Catherine, zijn eerste liefde, de geliefde, voor Ellen, De Vere’s zus met wie hij daarnahad willen trouwen maar hij dacht dat zij niet wilde verhuizen, de broer, en voor Helen de echtgenoot.

116 [Graves, 1885, 448]117 Ibid., pp. 11-12.

114 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Hemelse Vader kan deze nieuwe aandoening hebben verstrekt als opvolger van de nu afge-lopen pijn van onbeantwoorde liefde. Die pijn heeft mij al bijna negen jaar belaagd: eenderde deel van mijn leven. Het is nu voorbij; en hoewel zijn schaduw weer op mij kan val-len door de kracht van ontwaakte herinneringen, in sommige momenten van toekomstigeangst kan het nooit, denk ik, terugkomen met zijn vroegere intense somberheid 118. [ . . . ]En nu, als er geen nieuwe pijn op volgt, en deze oude vertrouwde pijn wordt ingetrokken,zou het niet vreemd zijn als een te grote blijdschap het effect ongedaan zou maken, vooreen tijdje op zijn minst, van de voormalige kastijding, en de lessen van verdriet vergetenworden met het verdriet zelf. Maar een nieuw verdriet is gekomen, minder egoıstischen misschien nuttiger dan de oude. Lijden met jou die lijdt, kan ik vollediger dan hier-voor de vertroostingen proeven waarmee je verfrist wordt. En dus kan het vooral zijndat mijn hoop vervuld zal worden dat ik religieuze verbetering kan afleiden van gehecht-heid aan een vrome vrouw.”

Hierin vallen een aantal dingen op. Ten eerste dat hij haar vertelt dat hij een onge-lukkige liefdesgeschiedenis had, waardoor het onwaarschijnlijk is dat zij naıef het huwelijkmet hem aanging. Verder valt op hoe overredend hij kan zijn: hij is volkomen zeker vanzichzelf, en gaat tegelijkertijd, zoals uit de hele biografie lijkt te ademen, helemaal opin de gevoelens van het moment. Hij gelooft dit oprecht, net als hij zichzelf gelooft alshij ‘The Enthousiast’ schrijft, of juist zegt dat dat alleen maar door zijn ziekte destijdskwam. Maar niet omdat hij zichzelf voor de gek houdt, maar omdat dit voor hem allemaaltegelijk waar kan zijn, ook al lijkt het tegenstrijdig.

Hij voorziet hier zelfs al momenten, in de toekomst, van grote angst door ontwaakteherinneringen, maar accepteert ze als gevolg van zijn keuze, en hoopt dat het dan tochminder erg zal zijn. En als die momenten dan inderdaad komen lijkt hij daar, al is hetmoeilijk, mee overweg te kunnen, zijn gesprekken met Catherine vlak voor haar doodlijken hem inderdaad gegeven te hebben waarop hij had gehoopt. Dat hij in die moeilijkejaren toch nog weer last kreeg van die gevoelens betekent voor hem daarom helemaal nietdat zijn keuze dan dus blijkbaar fout geweest was, en gezien zijn voorspelling ziet hij datook niet zo. Want het is duidelijk dat hij staat voor de keuzes die hij maakt; vijfentwintigjaar later vindt hij nog steeds dat het de juiste keuzes waren zoals te zien in de brief aanzijn vriend. En ten slotte is hier al te zien hoe hij voortdurend pijn in zijn leven gebruiktom tot God te komen en nederig te blijven.

Door zijn standvastigheid, en het feit dat hij de drie gevoelens voor de drie vrouwen,die hij in de brief beschrijft, altijd gescheiden heeft weten te houden, wordt het, zoalseerder besproken, inderdaad zeer onwaarschijnlijk dat hij altijd de pijn over zijn verlorenliefde is blijven voelen als voornaamste dagelijkse toestand. Een veel aannemelijker redendat hij zo heftig reageert als Catherine hem in 1848 schrijft is dat haar situatie heftig is.Zij is blijkbaar altijd van hem blijven houden, waarschijnlijk was zij ongelukkiger dan hij,en hij is, zoals opgemerkt, altijd zeer ontdaan als het niet goed gaat met iemand die hemdierbaar is. Dat geldt voor al zijn vrienden en familie, en zeker ook voor zijn eerste groteliefde, omdat eerste grote liefdes nu, dus ook toen, vaak enorme indrukken achter latendie de rest van het leven kunnen duren, zeker als dat gebeurt rond een jaar of zeventien,achttien, een bijzonder gevoelige leeftijd in de levens van de meeste mensen.

118 Hij voorziet dus inderdaad wat er zou kunnen gebeuren bij een hernieuwd contact, zie pagina 96.

6.7. Voorstel voor een nieuwe biografie 115

Kinderen toen en nu

Dat leidt tot een laatste vraag, namelijk waarom hij daar zo onder lijdt, aangenomen dathij toch over het algemeen, als er geen vreemde zaken gebeuren, een positief ingestelde,zelfbewuste, maar geen eigengereide man is, en een betrokken vader. Hoewel niemanddat zeker kan weten is het wel mogelijk een waarschijnlijke oorzaak aan te wijzen. Hetfeit dat hij nog voor zijn derde verjaardag naar zijn oom werd gestuurd om onderwe-zen te worden was in die tijd misschien een normale en zelfs liefdevolle beslissing, maartegenwoordig weten we wat zo’n onthechting voor invloed heeft op een klein kind, eenpeutertje, misschien zelfs nog in de luiers al lijkt hij een kind dat al vroeg bewust besluitze niet meer nodig te hebben. Bovendien sterft zijn moeder als hij twaalf, en zijn vaderals hij veertien jaar is. Zo’n onthechtig van een peuter en zijn ouders kan leiden tot eenonmogelijkheid om zelf te hechten, of een extreme angst om geliefden te verliezen. Bij hetlezen van de biografie valt die extreme ongerustheid dan ook op, hoewel ziek zijn in diedagen natuurlijk wel dichter bij doodgaan lag dan tegenwoordig het geval is.

Kleine kinderen werden in die jaren gezien als ‘volwassenen in een notedop’, van kinder-of ontwikkelingspsychologie had nog niemand ooit gehoord. Het wegsturen van kinderenwerd niet als problematisch gezien: ook Lady Hamilton ging zonder haar pasgeborendochter voor twee jaar naar Engeland. Hamilton ziet daar geen probleem in, hij is trotsen blij dat zijn keine dochtertje het zo leuk vindt in zijn bibliotheek te komen. Enongetwijfeld was het voor Helen Eliza ook geen probleem want zij kende haar moeder nogniet, maar voor de twee jongens moet het heel moeilijk zijn geweest. William Edwardwas toen zes jaar oud, Archibald Henry was vijf. Beide zonen trouwden niet en blevenkinderloos, en hoewel daartussen natuurlijk geen direct verband hoeft te bestaan is hetwel de reden dat niemand weet wat voor man en vader zij geweest zouden zijn.

6.7 Voorstel voor een nieuwe biografie

Misschien zou er met de invalshoeken van deze tijd een nieuwe biografie geschreven kunnenworden. Niet zozeer over Hamiltons werk, maar over de man, de vrouw en hun huwelijk.Er is tegenwoordig veel bekend over allerlei toen onbekende ziekten; Lady Hamiltons‘zenuwziekte’ zou een van de vele ziekten of combinaties van klachten kunnen zijn dietoen nog totaal niet bekend waren zoals voedselallergieen en auto-immuunziekten, of hetwaren misschien ziekten waarover men uit schaamte niet sprak, zoals specifieke ‘vrouwen-ziekten’. Misschien kan een arts uit de beschrijvingen van haar ziekteperiodes afleidenwat het probleem geweest kan zijn.

In de tijd dat de jonge Hamilton zijn grote liefde kwijtraakt overweegt hij zelfmoord,al is het maar even, en Catherine doet in de jaren van het hernieuwd contact een serieuzepoging. Dat is op zich erg en tekent de heftigheid van hun emoties, maar misschienheeft de tijd waarin deze levens zich afspelen daar ook invloed op, zij waren kinderen vande late Romantiek, waarin zelfmoord misschien niet echt verheerlijkt werd, ,,maar in denegentiende eeuw lijkt de eigenhandige dood wel een heel bijzondere aantrekkingskracht tehebben op letterkundigen” 119; zelfmoord komt dan ook vaak voor in boeken en gedichten.

119 [Mathijsen, 2000, p. 235]

116 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

Hamilton werd geboren in 1805, net dertig jaar na de publicatie van Goethe’s invloed-rijke boek “Die Leiden des jungen Werthers”, waarin de hoofdpersoon zelfmoord pleegtna een ongelukkige liefde, en het beroemdste schilderij van de zelfmoord van ThomasChatterton, de dichter die leefde van 1752-1770, werd geschilderd in 1856. Chattertongold in de negentiende eeuw als ,,het embleem van het door de burgermanswereld geslacht-offerd genie” 120, en onder anderen Coleridge, die door Hamilton zeer bewonderd werd 121,schreef een gedicht over hem. Hamilton zei vaak dat hij liever dichter zou zijn gewordendan wetenschapper, en de biografie van Graves is dan ook gelardeerd met gedichten vanHamilton.

Een geschiedkundige met het Victoriaanse tijdperk en de Romantiek als specialiteitzou misschien kunnen beoordelen of dit huwelijk werkelijk ongelukkiger, of misschien heelanders, was dan andere huwelijken in die tijd, en als het anders was, op welke manier. Enof de toon waarop Hamilton doorgaans zijn brieven schrijft gebruikelijk was in die tijd ofdat dat alleen maar zo lijkt door het filter van onze tijd, dat hij voor die tijd misschienhelemaal niet zo heel erg hoffelijk was, en dat het toen wellicht volkomen normaal wasopenlijk te proberen een goed en nederig mens te zijn.

Ook is de psychologie sinds 1980, het jaar waarin Hankins zijn biografie publiceerde envrouwen nog een lange emancipatoire weg te gaan hadden, en zeker in de exacte vakkeneen kleine rol speelden zoals blijkt uit het winnen, in 2014, van de Fields Medal doorMaryam Mirzakhani als eerste vrouw ooit, enorm ontwikkeld, en alleen opvoeding, zoalseind jaren zeventig en de jaren tachtig, of alleen aanleg, zoals in de jaren negentig, ismeestal niet meer afdoende voor verklaringen omtrent al dan niet ongelukkig gedrag.Misschien kunnen psychologen zien of Hamiltons wellicht traumatische ervaring in zijnvroege kindertijd, en misschien zelfs de vroege dood van zijn ouders, direct te maken kanhebben met de bijzonder heftige manier waarop hij reageert op problemen en ziektes vanmensen die hem dierbaar zijn.

Want daarin ligt een andere manier om de vijf jaren van zijn hernieuwde contact metCatherine te bezien. Stel dat hij erachter was gekomen dat ze dolgelukkig was geweest methaar man, dat hij zo’n goede echtgenoot was geweest dat ze zich had kunnen schikkenin haar lot en haar gevoelens voor Hamilton misschien zelfs wel met hem had kunnenbespreken, en ze op die manier misschien zelfs had kunnen verwerken, dan was allesanders geweest. Want uit alle brieven die Hamilton schrijft, althans de brieven die Gravesgepubliceerd heeft, wordt duidelijk dat hij dan haar huwelijk volledig gerespecteerd zouhebben, en niemand zou er nu dan ook maar iets van weten behalve dat zij ooit zijneerste, grote, verloren liefde was. Hij zegt dat ook zelf als hij aan haar schrijft 122 dat hij,,vanaf zijn huwelijk niet een terugkijkend gedicht geschreven heeft, zoals hij dat daarvoormisschien wel teveel gedaan had.”

Dus zou het kunnen zijn dat, toen hij er dan achter kwam dat Catherine’s echtgenootgeen goede echtgenoot voor haar was, en zij ongelukkig was, hij zo heftig reageerde omdathij altijd heftig reageerde op pijn van anderen, maar vooral omdat dat dit keer gebeurdemet degene op wie hij zo heel erg verliefd was geweest. Dan kunnen al deze gevoelens,zeker als ze gemixt zouden zijn geweest met het verlies in zijn peutertijd, gemakkelijk door

120 [Mathijsen, 2000, p. 237]121 [De Vere, 1897, pp. 200, 315]122 [Graves, 1885, p. 610]

6.7. Bibliografie 117

elkaar zijn gaan lopen. En hoewel hij zichzelf steeds scherpzinnig beziet, is het herkennenvan zo’n vroeg verlies, dat hij zich misschien niet eens meer herinnerde omdat hij nog zojong was toen dat gebeurde, zonder de psychologische instrumenten die we tegenwoordighebben, vrijwel onmogelijk, zelfs voor iemand met zijn buitengewone intelligentie.

‘Tijd heelt alle wonden’ is niet voor niets een oud gezegde, en ook voor Hamilton zaltijd uiteindelijk wonden genezen hebben. Maar hij kon nog iets anders, dat de meestemensen niet kunnen, hij was in staat een depressie ‘weg te denken’; zijn vriend De Vereschrijft 123: ,,Ik herinner me dat hij me vertelde hoe hij eens ontsnapt was aan een aanvalvan zware depressie door resoluut op te stijgen naar de regionen van wat hij ‘planetaireoverpeinzingen’ noemde.” De Vere voegt eraan toe dat hij denkt dat Hamilton het toenniet zover wiskundige overwegingen had, maar eerder metafysische. Hamilton lijkt inder-daad met zijn leven net zo intelligent te zijn omgegaan als met zijn wiskunde, en daaromvoldoet het ook niet om hem zo’n platte diagnose te geven als hij in de meeste biografieenkrijgt. Het lijkt haast onmogelijk om niet te zien hoeveel gedachten hij naast elkaar kanhebben en ze daarbij op elk moment als meest oprecht te voelen ook al spreken ze elkaartegen, en hoe hij ernaar streeft een goed mens te zijn.

Als niet de ongepubliceerde brieven van Hamilton, en zijn notitieboeken, zoals ze be-waard zijn in het Trinity College in Dublin, een volkomen ander licht op de zaak werpen,zoals bijvoorbeeld dat duidelijk is dat hij eigenlijk alleen maar boos was omdat zijn vrouwsteeds voor lange tijd bij hem wegging, dat hij zijn vrouw van alles niet vertelde, of hijaan vrienden of aan Catherine of haar familie geschreven heeft dat hij haar minacht omhaar ziektes of onvermogen het huishouden te leiden, wat tamelijk onvoorstelbaar is naastde rest van zijn vrijwel altijd hoffelijke brieven, of dat hij veel vaker openbaar dronkenen lastig was, of dat zijn maandenlange aftakeling en de beschrijving van de dag vanzijn dood volkomen uit Graves’ duim gezogen blijken te zijn en hij wel is doodgegaan naeen ‘aanval van overmatig eten en drankmisbruik’ zoals in sommige biografische schetsenstaat, dan zou met behulp van een biografie met nieuwe invalshoeken op zijn persoonlijkleven, hopelijk, Sir William Rowan Hamilton ontdaan worden van zijn ongelukkige per-soonsbeschrijving, die blijkbaar al bij zijn leven ontstond toen mensen over hem begonnente roddelen, en wordt Lady Helen Hamilton Bayly, in al haar verlegenheid, in ere hersteld,ze is toch maar mooi meegegaan naar de bijeenkomst met de Koningin hoewel ze ongetwij-feld, en dat wist ze van tevoren, moest toezien hoe haar echtgenoot in het midden van debelangstelling met allerlei mensen zou gaan staan praten. En ze verdroeg zijn gewoontesom niet te komen eten en altijd te laat te komen, zelfs bij de kerkdiensten, hoewel hij welaan het ontbijt kwam, dat dan weer wel. Het moet, als enorm understatement, bepaaldniet gemakkelijk zijn geweest een echtgenoot als Hamilton te hebben.

Bibliografie

[Anoniem, 1866] Anoniem (1866). The North British Review. September - December 1866.Edinburgh: Edmonston & Douglas.

123 [De Vere, 1897, p. 48]

118 Hoofdstuk 6. Een Victoriaans huwelijk

[Crowe, 1985] Crowe, M.J. (1985). A History of Vector Analysis : The Evolution of theIdea of a Vectorial System. New York: Dover Publications, Inc.

[De Morgan, 1866] De Morgan, A. (1866). Sir W. R. Hamilton. The Gentleman’s Maga-zine, January-June, 128-134.

[De Vere, 1897] De Vere, A. (1897). Recollections of Aubrey de Vere. New York: EdwardArnold.

[Graves, 1842] Graves, R.P. (1842). Sir William R. Hamilton, Professor of Astronomy inthe University of Dublin, Astronomer Royal for Ireland, President of the Royal IrishAcademy, &c. &c. Dublin University Magazine, 19 (109): 94-110.

[Graves, 1882] Graves, R.P. (1882). Life of Sir William Rowan Hamilton, volume 1.Dublin: Hodges, Figgis, & Co.

[Graves, 1885] Graves, R.P. (1885). Life of Sir William Rowan Hamilton, volume 2.Dublin: Hodges, Figgis, & Co.

[Graves, 1889] Graves, R.P. (1889). Life of Sir William Rowan Hamilton, volume 3.Dublin: Hodges, Figgis, & Co.

[Graves, 1891] Graves, R.P. (1891). Life of Sir William Rowan Hamilton, addendum bijvolume 3. Dublin: Hodges, Figgis, & Co.

[Hamilton, 1844] Hamilton, W.R. (1844). On Quaternions; or on a new System of Ima-ginaries in Algebra (continued). The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Ma-gazine and Journal of Science, volume 25, third series and supplement: 489-495.

[Hamilton, 1853] Hamilton, W.R. (1853). Lectures on Quaternions : Containing a Sys-tematic Statement of a New Mathematical Method; of which the Principles Were Com-municated in 1843 to the Royal Irish Academy; and which Has Since Formed the Subjectof Successive Courses of Lectures, Delivered in 1848 and Subsequent Years, in the Hallsof Trinity College, Dublin. Dublin: Hodges and Smith.

[Hamilton, 1866] Hamilton, W.R. (1866). Elements of Quaternions. London: Longmans,Green, & Co.

[Hankins, 1980] Hankins, T.L. (1980). Sir William Rowan Hamilton. Baltimore: TheJohns Hopkins University Press.

[Jellinek, 2014] Website: Verslaving | Jellinek. http://www.jellinek.nl/vraag-antwoord/alcohol-drugs/alcohol [Bekeken 29-08-2014].

[Malcolm, 1986] Malcolm, E. (1986). ’Ireland Sober, Ireland Free’ : Drink and Tempe-rance in Nineteenth Century Ireland. Dublin: Gill & Macmillan.

[Mathijsen, 2000] Mathijsen, M. (2000). Zelfmoord in de negentiende eeuw. De Gids, 163(3/4): 235-243.

6.7. Bibliografie 119

[McGovern, 2005] McGovern, I. (2005). Trinity College Dublin, Fellows & Scholars, Tri-nity Monday Memorial Discourses 1895 - 2012 https://www.tcd.ie/Secretary/FellowsScholars/discourses [Bekeken 17-08-2014].

[Quinn, 2002] Quinn, J.F. (2002). Father Mathew’s Crusade : Temperance in Nineteenth-Century Ireland and Irish America. Amherst: University of Massachusetts Press.

[Rhodes, 2013] Rhodes, J. (2013). Hamilton listed cost of everything in his diary. Chat-hamthisweek, August 20, 2013. http://www.chathamthisweek.com/2013/10/08/hamilton-listed-cost-of-everything-in-his-diary [Bekeken 20-08-2014].

[Wayman, 1966] Wayman P.A. (1966). The Descendants of Sir William Rowan Hamilton.The Irish Astronomical Journal, 7 (6): 173-174.