i dentificaciÓn de s istemas señales determinísticas de tiempo continuo 1
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IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Señales determinísticas de tiempo continuo
1
CONTENIDO
Por qué estudiar señales Dos propiedades de las señales Análisis de Fourier Potencia y densidad espectral de las señales Propiedades de señales procesadas por
sistemas de tiempo continuo
2
Por qué estudiar señales y sistemas
3
Identificación
El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso
tt
YUU
Y
Proceso
Modelo
Construccion del modelo
4
POR QUÉ ESTUDIAR SEÑALES
La identificación de sistemas hace referencia a señales y sistemas.
Basados en las señales medidas de un proceso físico el objetivo es llegar a una descripción del modelo de este proceso en la forma de un sistema dinámico
5
HERRAMIENTAS DE ANALISIS
Para las señales
Series de Fourier,
Transformada de Fourier
Distribución de energía y/o potencia de las señales en el dominio de la frecuencia.
Para señales determinísticas como a los procesos estocásticos 6
Dos propiedades de las señales
7
ENERGÍA DE LA SEÑAL
Energía de la señal
2:u u t dt
Señales de energía (finita)
8
POTENCIA DE LA SEÑAL
potencia de la señal
2 2
2
1:
T
u TP u t dt
T
Señales de potencia (finita)
9
Análisis de Fourier
10
EL ANÁLISIS DE FOURIER
El Análisis de Fourier es una familia de técnicas matemáticas, basadas en la descomposicion de las señales en ondas sinusoidales.
puede dividirse en dos categorías:
Periódico: La serie de Fourier
Aperiódico: La Transformada de Fourier
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LA SERIE DE FOURIER
La serie de Fourier se define para señales periódicas
0ikw tk
k
u t c e
0
00
1 ikw tk
T
c u t e dtT
12
Coeficientes de Fourier
POTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS
Las señales periódicas tienen energía ilimitada, pero su potencia satisface
0 2 2
00
1 T
u kk
P u t dt cT
Cada función exponencial en u tiene una contribución independiente a la potencia de la señal
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EJEMPLO DE SERIE DE FOURIER
Aproximacion de una onda cuadrada14
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La Transformada de Fourier de una señal de tiempo infinito se define como
iwtU w u t e dt
1
2iwtu t U w e dw
La señal u tiene que satisfacer ciertas condiciones para que la integral exista 15
tiempo infinito
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DE TIEMPO FINITO
2
2
Tiwt
TTU w u t e dt
Transformada de Fourier de un pulso 16
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO FINITO
Para una señal periódica con período T0, los coeficientes de la serie de Fourier pueden ser directamente relacionados con la transformada de Fourier de tiempo finito
0 0
0
1k Tc U kw
T
17
0
00
1 ikw tk
T
c u t e dtT
0ikw tk
k
u t c e
0
00
2
2
Tiwt
TTU w u t e dt
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS
Para señales periodicas la transformada de Fourier esta relacionada con los coeficientes de la serie de Fourier
02 k ck
U w c w kw
La transformada de Fourier de una señal periódica se reduce a
una sumatoria 18
0ikw tk
k
u t c e
1
2iwtu t U w e dw
TRANSFORMADA DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS
19
Señal Transformada
Potencia y densidad espectral de las señales
20
POTENCIA DE UNA SEÑAL PERIÓDICA
la potencia de una señal periódica se puede escribir como:
0
2202
0
1u k T
k k
P c U kwT
Un número discreto de frecuencias kω0 contribuye a la
potencia de la señal 21
ESPECTRO DE UNA SEÑAL
Los dominios del tiempo y la frecuencia son formas alternativas de representar señales.
La Transformada de Fourier es la relación matemática entre estas dos representaciones.
Los diagramas de amplitud contra frecuencia y fase contra la frecuencia son conocidos como el espectro de una forma de onda.
22
RELACIÓN DE PARSEVAL
El Teorema de Parseval declara que la potencia de una señal representada por una función u(t) es la misma si se calcula en el espacio de la señal o en el espacio de la frecuencia
22 1
2u t dt U w dw
23
DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA
DEFINICION: Para una señal de energía
1
2u u w dw
2
u w U w
Donde Ψu(ω) es la Densidad Espectral de Energía
24
DENSIDAD ESPECTRAL POTENCIA
DEFINICION: Para una señal de potencia
1
2u uP w dw
21
u Tw U wT
Donde Φu(ω) es la Densidad Espectral de Potencia
25
Propiedades de señales procesadas por sistemas de tiempo continuo
26
EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
Para un sistema LTI de dimension finita (FD) dinámico, con señal de entrada u(t)
0
y t g u t d
27
EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Para un sistema LTI de dimension finita con señal de entrada u(t)
Y w G i U w
2
y uw G i w
2
y uw G i w
Transformada de Fourier
Densidad espectral de energía
Densidad espectral de potencia28
FUENTES
Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004
Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003.
Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003
Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003.
Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
29
ULTIMA DIAPOSITIVA
30