Fisica 1 A.A. 2014/15 1

I fluidi Fluido: ogni sostanza che non ha forma propria, assume quella del recipiente che lo contiene (sia liquidi che gas).

Liquidi Gas volume definito non hanno volume proprio, ma superficie limite occupano quello a disposizione densità ρH2O = 103kg/m3 densità ρaria = 1.3 kg/m3

incompressibili compressibile

I fluidi sono sistemi continui con un numero infinito di elementi dm = ρdV. Ogni parte può scorrere rispetto alle altre e alle pareti del contenitore, non c’è attrito statico. Per il fluido in quiete le forze sono sempre normali alla superficie di separazione. Le forze non sono applicate in un punto, forze di volume ∝ dV e forze di superficie ∝ dS.

Fisica 1 A.A. 2014/15 2

Pressione: forza F applicata su di una superficie S

€

p =FS

=dFdS

La pressione non ha caratteristiche direzionali

Elemento di fluido all’interno di un fluido, trascuriamo la forza peso. Le facce hanno aree date da Sa = La, Sb = Lb, Sc = Lc. L’elemento è in equilibrio ⇨ ΣFext = 0. b

pb c

a

y

x pa

pc

θ

€

−pcSc cosθ + paSa = 0⇒ papc

=ccosθa

= 1

pcSc sinθ − pbSb = 0⇒ pbpc

=csinθb

= 1

€

pa = pb = pc

Fisica 1 A.A. 2014/15 3

Pressione: rapporto tra la forza agente su una superficie infinitesima che circonda il punto e l’area della superficie stessa

€

p =dFdS; p =

FS

È perpendicolare alla superficie e non dipende dalla direzione, è funzione scalare del punto. Unità di misura nel SI è il pascal (Pa)

1 Pa = 1 N/m2

1 bar = 105 Pa

patm = 1.01325·105 Pa = 1 atm

1 mm Hg = 1 torr = 1/760 atm = 133.3 Pa

Fisica 1 A.A. 2014/15 4

Lavoro delle forze di pressione

dV

dh

S V F

€

dW = Fdh = pSdh = pdV

€

dF = pdS

€

W = pdVV1

V2∫In generale una pressione esterna provoca una variazione di volume del fluido dovuta al lavoro fatto dalla pressione

z

z

Δz

z+Δz

p(z+Δz)

ρVg

xy

p(z)

Equilibrio statico: in un fluido in quiete tutti gli elementi hanno accelerazione e velocità nulle rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, quindi

€

Fp + FV = 0FV = forza peso

Fisica 1 A.A. 2014/15 5

€

Δz = z2 − z1, V = SΔz, m = ρV, ρ = costante

€

Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg = −ρVgPer le forze di volume abbiamo

Considerando le forze di pressione, si ha

€

p(z1 )S − p(z1 +Δz)S = pS − (p +Δp)S = −ΔpSImponendo l’equilibrio ricaviamo

€

−ΔpS −ρVg = −ΔpS −ρSΔzg = 0

€

ΔpΔz

= −ρg

Per gli assi x ed y, in modo analogo si trova

€

ΔpΔx

=ΔpΔy

= 0

p non varia lungo x ed y, ma solo lungo z

Fisica 1 A.A. 2014/15 6

In un fluido in quiete sottoposto alla forza peso, la pressione varia con z per permettere l’equilibrio statico. p ↑ e z ↓. In un fluido con ρ costante in quiete sotto l’azione della forza di gravità, p varia

€

p(z2 ) = p(z1 ) −ρg(z2 − z1 )

h

p(h)

p0

Poniamo z1 = 0 e z2 = -h con h > 0 per la pressione a profondità h si ha

€

p(h) = p0 +ρgh Legge di Stevino

In un liquido con ρ = costante la pressione cresce linearmente con la profondità

In un lago sottoposto alla pressione atmosferica, la pressione varia con la profondità di ~ 1 bar ogni 10 metri

€

p(h) = (105 + 9.8⋅ 103h) Pa

Fisica 1 A.A. 2014/15 7

Principio di Pascal: una variazione Δp di pressione esterna provoca una uguale variazione di pressione in ogni punto del fluido.

In un piano orizzontale (z = costante), la pressione risulta costante, superficie isobarica. Ep,m = gz è l’energia potenziale gravitazionale per unità di massa, essa dipende solo da z ed è costante su un piano orizzontale, una superficie isobarica è anche equipotenziale. Sullo stesso piano risulta costante anche ρ, quindi si ha che su una superficie isobarica è

€

p = costante, Ep.m = costante, ρ = costante

Superficie limite di un liquido in quiete è orizzontale. Superficie di separazione tra due liquidi non miscibili è orizzontale. Principio dei vasi comunicanti o paradosso dell’idrostatica

Fisica 1 A.A. 2014/15 8

h

p1

p2

Manometro a U

Se p1 > p2 allora

Misura della pressione relativa tramite la misura di h. Minore è la densità del liquido nel manometro, più piccole sono le Δp che il manometro rileva.

€

h =p1 − p2ρg

Barometro di Torricelli

Barometro a Hg. Una colonna di Hg a T = 0 °C e h = 0.760 m esercita una pressione pari a quella atmosferica (ρHg=13.595·103 kg/m3, g = 9.80665 m/s2

valore normale dell’atmosfera

h patm

Fisica 1 A.A. 2014/15 9

Principio di Archimede

FV FA

Isoliamo un volume V all’interno di un fluido in equilibrio statico e sotto l’azione della gravità. La condizione di equilibrio implica (m = ρV)

€

F p + F V =

F p + m g = 0 ⇒

F p = −m g

F’V FA

Sostituiamo ora al volume V di fluido un volume identico di una sostanza qualunque con ρ’ ≠ ρ, le Fp non variano, mentre varia la FV e non c’è più equilibrio. La forza totale agente sulla nuova sostanza vale

€

F V

' + F p = m ' g −m g = ρ ' −ρ( )V g

F’V FA Se ρ’ > ρ la risultante è concorde con g e il corpo scende nel fluido, se ρ’ < ρ il corpo sale

Fisica 1 A.A. 2014/15 10

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido che viene occupato dal corpo immerso

dove ρ è la densità del fluido e V il volume della parte immersa

FA è applicata al centro di massa del fluido spostato che, in genere, non coincide con quello del corpo immerso. Se le forze applicate al corpo FV e FA sono applicate su rette d’azione distinte e parallele, sul corpo agisce un momento che lo fa ruotare. Forza di attrito interno: presente quando c’è scorrimento relativo tra due elementi di fluido, è tangente all’area di contatto tra gli elementi, è sempre contraria alla velocità relativa

€

F A = −ρV g

€

F = ηS ΔvΔhv1

v2

v1 > v2 v + Δv

v Δh

F1,2

F2,1

Fisica 1 A.A. 2014/15 11

η è la viscosità del fluido Unità di misura della viscosità è il kg/ms, nella pratica si usa il poise

1 poise = 10-1 kg/ms 1 centipoise = 10-2 poise = 10-3 kg/ms

La viscosità varia con la temperatura per H2O a 0 °C vale 1.79·10-2 poise, a 20 °C 1.00·10-2 poise, a 100 °C 0.30·10-2 poise.

Fluido ideale: fluido con η = 0 e ρ = costante, fluido non viscoso e incompressibile. Viscosità assume un significato solo per i fluidi in movimento.

Fisica 1 A.A. 2014/15 12

Fluidi in moto Per lo studio di un fluido in moto si segue la descrizione euleriana, si considera un punto P(x,y,z) del fluido e la velocità v(x,y,z,t) dell’ elemento di fluido che all’istante t passa per P. v varia nel tempo e nello spazio. Descrivere il fluido è conoscere v(x,y,z,t) in tutto il fluido (regime variabile). Analizziamo il caso in cui v(x,y,z), decidiamo di studiare i fluidi in regime stazionario per cui ogni elemento di fluido che passa per P ha la stessa velocità e la mappa delle velocità non cambia con t.

Linee di corrente: linee che in ogni punto hanno direzione e verso della velocità, ovvero sono tangenti al vettore velocità. In regime stazionario le linee di corrente coincidono con le traiettorie degli elementi di fluido.

In regime stazionario per un punto passa una sola linea di corrente, per cui le linee di corrente non si incontrano mai

Fisica 1 A.A. 2014/15 13

Tutte le linee di corrente che passano per una data sezione definiscono un tubo di flusso. Prendiamo un tubo di flusso di sezione infinitesima dS perpendicolare alle linee di corrente: nel tempo dt il volume di fluido dV che passa per dS, vale

€

dV = dSvdt

€

dq =dVdt

= vdS portata

La portata è il volume di fluido passato attraverso dS nell’unità di tempo. Unità di misura m3/s Fluido incompressibile in regime stazionario⇨portata costante attraverso qualunque sezione. Considero il volume tra S1 ed S2. La massa può entrare ed uscire solo dalle sezioni, non può variare perché la densità è costante, portata attraverso le sezioni è la stessa. S1

S2

Fisica 1 A.A. 2014/15 14

In regime stazionario se la densità è costante, è costante la portata di un tubo di flusso infinitesimo: vdS = costante; dove la sezione aumenta, la velocità diminuisce, e viceversa Per un tubo di flusso a sezione finita si ottiene

€

q = dq = vdSS∫S∫ = vmS

con vm = media delle velocità nei vari punti della sezione. Per un fluido incompressibile in regime stazionario

€

vmS = costante

•  regime stazionario e fluido incompressibile ⇨ portata costante

•  S↓ v↑ e viceversa

Legge di Leonardo (anche gas)

Fisica 1 A.A. 2014/15 15

Teorema di Bernoulli

z2

F2

F1

S’2 S2

S’1

S1

z1 s2

s1 v2 v1

x

z Fluido ideale, η = 0, ρ = costante, in regime stazionario in un condotto a sezione variabile

€

ΔV1 = S1s1 , ΔV2 = S2s2 , ΔV1 = ΔV2Cerchiamo una relazione che leghi in tutto il condotto velocità e pressione. Punto di partenza: teorema dell’energia W = ΔEK

Forze agenti sul fluido sono la forza peso e le forze di pressione. Il moto complessivo equivale a spostare ΔV1 in ΔV2. Lavoro della forza peso è

€

W = −ΔEp = −mg(z2 − z1 ) = −ρΔVg(z2 − z1 )

Fisica 1 A.A. 2014/15 16

Le uniche forze di pressione che fanno lavoro sono F1 ed F2, quindi

€

Wp = F 1 • s 1 + F 2 • s 2 = p1S1s1 − p2S2s2 = p1ΔV1 − p2ΔV2 = p1 − p2( )ΔV

€

ΔEK =12mv 2

2 −12mv1

2 =12ρΔV v 2

2 − v12( )

Quindi

€

W +Wp = ΔEK

−ρΔVg z2 − z1( ) + p1 − p2( )ΔV =12ρΔV v 2

2 − v12( )

Separando i termini relativi alle due sezioni si ha

€

p1 +12ρv1

2 +ρgz1 = p2 +12ρv 2

2 +ρgz2

Infine per la variazione di energia cinetica otteniamo

Fisica 1 A.A. 2014/15 17

Infine

€

p +12ρv 2 +ρgz = costante

Teorema di Bernoulli In un fluido ideale in moto in regime stazionario, la somma di pressione, energia potenziale per unità di volume ed energia cinetica per unità di volume è costante lungo un qualsiasi tubo di flusso

Dove la sezione è maggiore la velocità è minore e la pressione è maggiore. Se la sezione è costante, pressione e velocità restano costanti. La pressione misurata in un punto di un fluido in quiete è maggiore di quella esistente nel fluido in movimento

Se il condotto è orizzontale abbiamo

€

p +12ρv 2 = costante

Fisica 1 A.A. 2014/15 18

Nebulizzatore: dall’esterno si mantiene un flusso di aria in un tubo che presenta una strozzatura ed ha una estremità immersa nel liquido e l’altra in aria per l’uscita delle goccioline. Nella strozzatura p diminuisce e crea una depressione che aspira il liquido. Il liquido, salendo, si mescola all’aria e si nebulizza.

p0

p0

p0-Δp

Numero di linee di corrente per unità di sezione = misura della velocità del fluido attraverso la sezione

Fisica 1 A.A. 2014/15 19

Flusso in un tubo a sezione costante

h2 h1

p1

p

p2 Regime stazionario e tubo con sezione costante ⇨ v costante

€

p1 +ρgh1 = p = p2 +ρgh2La pressione ha il valore più alto nel punto più basso.

Con una pompa faccio salire un fluido di una quota h con una portata q = vS. La pompa deve dare la differenza di pressione ρgh, quindi una forza ρghS e una potenza ρghSv =ρghq. Se h = 1 m, q = 1 l/s, per la potenza si ottiene

€

P = 103⋅ 9.8⋅ 1⋅ 10−3 = 9.8 W

Fisica 1 A.A. 2014/15 20

Tubo di Venturi

p2

p1

v2

v1 v1

Il tubo di Venturi serve a misurare pressioni e portate inserendolo in un tratto orizzontale di una condotta di sezione S1.

€

p1 +12ρv1

2 = p2 +12ρv 2

2

v1S1 = v 2S2

€

v 2 =2 p1 − p2( )

ρ

S12

S12 −S2

2 , v1 =2 p1 − p2( )

ρ

S22

S12 −S2

2

Misurando Δp, si ricava v1 e quindi la portata q = v1S1

Fisica 1 A.A. 2014/15 21

Tubo di Pitot

O

A B In O il fluido è fermo rispetto all’ostacolo. In A e B, distanti a sufficienza dall’ostacolo, la pressione e la velocità del fluido sono le stesse, allora

€

pA +12ρvA

2 = pB +12ρvB

2 = pO

Faccio due fori nel tubo di Pitot in O e B e misuro la pressione del fluido nei due punti, ottengo la velocità del fluido rispetto all’ ostacolo

€

vB =2 p0 − pB( )

ρ

Viene utilizzato per misurare la velocità degli aerei

Fisica 1 A.A. 2014/15 22

Teorema di Torricelli

h

v

p0

p0

Recipiente con sezione molto grande rispetto a quella del foro di uscita alla sua base. Voglio ricavare la velocità di deflusso Dato che la sezione del recipiente è molto più grande di quella del foro, il liquido scende molto lentamente e la sua velocità sulla superficie libera può essere trascurata.

Tubo di flusso dalla superficie libera al foro, applico Bernoulli

€

p +12ρv 2 +ρgz

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ sup

= p +12ρv 2 +ρgz

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

foro

Assumendo come riferimento il livello del foro e posto psup=pforo=p0 e vsup = 0

€

p0 +ρgh = p0 +12ρv 2 ⇒ v = 2gh

Torricelli ottenne questo risultato senza conoscere il T. di Bernoulli

Fisica 1 A.A. 2014/15 23

Moto laminare Fluido reale in moto con velocità moderata. Moto laminare: moto stazionario con linee di corrente costanti nel tempo. La forza per mantener il moto laminare stazionario vale

S

v=0

v

F

h

€

F = ηS vh

F equivale ad una forza di attrito interno, F esterna ed F di attrito sono uguali nel caso illustrato, quindi siamo in equilibrio dinamico e abbiamo moto uniforme.

R vmax

v=0

Fluido in un condotto. La velocità aumenta avvicinandoci all’asse del condotto, gli strati con v uguale sono ora cilindri coassiali. Se il cilindro è lungo l e tra i suoi estremi c’è una Δp = p1 –p2 si ricava

Fisica 1 A.A. 2014/15 24

€

v(r) =p1 − p24ηl

R2 − r 2( )

vmax =p1 − p2( )R24ηl

per r = 0

vmin = 0 per r = R

v varia con r

La portata del condotto è data dalla legge di Hagen-Poiseuille

€

q =πR4

8ηp1 − p2l

Ricordando che q=πR2vm, dove vm = velocità media sulla sezione, si ha

€

vm =qπR2

=R2

8ηp1 − p2l

⇒p1 − p2l

=8ηR2

vm

Nel regime laminare q, vm e v di ciascuno strato cilindrico sono ∝ al gradiente di pressione (p1-p2)/l

Fisica 1 A.A. 2014/15 25

Moto vorticoso La legge di Hagen-Poiseuille è sempre vera se il raggio del condotto è molto piccolo (capillari), per raggi superiori esiste un valore limite di velocità che separa il regime laminare da quello turbolento o vorticoso. Formazione di vortici è dovuta ad elevate forze di attrito interno in direzione trasversale alla velocità, quindi strati di fluido a contatto con velocità molto diverse, oppure ostacoli o variazioni repentine di forma del condotto. Condotto cilindrico transizione laminare ⇨ numero di Reynolds

€

ℜ =ρvRη

= 1200

vc = 1200 ηρR

numero di Reynolds

velocità critica

€

p1 − p2l

=kRρvm

2

2In regime vorticoso il gradiente di pressione è ∝ a v2

Fisica 1 A.A. 2014/15 26

Moto in un fluido Moto di un corpo in un fluido si manifesta attraverso una forza che si oppone al moto, è chiamata resistenza del mezzo e dipende dal moto relativo. Gallerie a vento. Sfera in fluido ideale in moto, simmetria delle linee di corrente ⇨ la sfera resta ferma. Paradosso di D’Alambert. Se il fluido è reale si forma una scia vorticosa, la pressione a valle della sfera è minore e la sfera viene trascinata nel moto dal fluido. La resistenza del mezzo dipende dalla forma e dalla sezione del corpo in moto, da densità e viscosità del fluido e dalla velocità relativa.

€

Fres =12cSρv 2 resistenza del mezzo

c = coefficiente di resistenza, adimensionale

€

F res = −6πηR v Legge di Stokes