I HC QUC GIA HÀ NI

TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN ----------------------------

ng c Cng

V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I V I H!PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH

LU(N V)N THC S* KHOA HC

Hà Ni-2011

2

I HC QUC GIA HÀ NI TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN

----------------------------

ng c Cng

V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I V I H!PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N

'NH

Chuyên ngành: +n ,-.i /0ch

Mã s1: 60.46.01

LU(N V)N THC S* KHOA HC

Ngi h2ng d3n khoa h4c: PGS. TS. NG QUC N

Hà Ni-2011

3

5C C

56c 76c 1

Li m8 9:u 2

Li ;.m <n 4

=0hi>u

5

CH"NG 1. KI&N TH?C CHU@N ..................................................................

1.1. Mt snh a chung vphng nh o m riêng

1.2. Hi yu ......................................................................................................

1.3. Không gian Sobolev.......................................................................................

1.4. n ta i n Dirichlet.......................................................................

1.5. nh !Lax-Milgram.....................................................................................

CH"NG 2. MT SNH V IM BT NG....................................

2.1. "c nh !i#m b$t ng a nh %co.....................................................

2.2. "c nh !i#m b$t ng a nh %không &'n........................................

2.3. "c nh !i#m b$t ng a nh %liên c.............................................

CH"NG 3. I N DIRICHLET I V I H! PH"NG #$NH

ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG CHAN....................

3.1. (t bài toán....................................................................................................

3.2. S)t*n i a nghi+m yu a i n Dirichlet..........................................

Li kBt

i li>u tham CD.o

6

6

7

8

10

14

18

18

26

33

40

40

43

50

52

4

LI MEFU

Phng nh vi phân o m riêng bmôn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhiu i n /ng &ng 0 c nhau nh: ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, !thuyt n h*i.... Phng nh vi phân o m riêng 1n 2mi quan h+quan ,ng v3i !thuyt %c su$t . Hi+n nay phng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c yu nghiên c/u mt v$n quan ,ng trong nh v)c kinh ti 5nh nh -c6phiu. Mt s nh v)c n ,c hi+n i 0 c nh: 7! thuyt bi#u di8n 2m, 7! thuyt tr9ng l:ng t, 7! thuyt c không gian thu;n nh$t < V=t ! n trong 2phng nh vi phân o m riêng 2ng vai 1quan ,ng. Mt nh v)c quan ,ng nh$t trên phng di+n /ng &ng, 2 5nh n khoa ,c >mt trong nh?ng ni dung yu a 2 -@i c phng nh vi phân o m riêng. Tuy nhiên nhiu i n phng nh vi phân o m riêng >vi+c m nghi+m a 2 r$t ph/c p m(c &A20 n -@n vm(t c$u .c. B2i chung không 2phng C p chung #-@i c phng nh vi phân o m riêng. iu ng9i ta quan tâm khi nghiên c/u c phng nh vi phân o m riêng 5nh t*n i <t*n i duy nh$t nghi+m a 2. V3i i "VGmHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L9iMm bNt 9Hng Oo Pi /+n Dirichlet 91i v2i h>ph<ng /QRnh elliptic nSa tuyBn /0nh" .ng tôi nghiên c/u /ng &ng a nh !i#m b$t ng a nh %co m iu kiên t*n i nghi+m a i n Dirichlet i v3i h+phng nh elliptic na tuyn 5nh trên min không ch(n.

Ni dung a lu=n vDn :c nh y d)a trên i o "On a System of Semilinear Elliptic Equations on an Unbounded Domain" a PGS. TS. ng Qu1c n. Ei o :c Dng bFi p 5n ,c Vi+t Nam (Viet Nam journal of Mathematics).

Bc a lu=n vDn g*m 2ba chng.

Ch<ng 1. KiBn thc chuTn PK Trong chng y .ng tôi nh y mt s kin th/c chuGn

g*m mt snh a chung vphng nh vi phân o m riêng, 0 i ni+m hi yu, không gian Sobolev, n ta i n Dirichlet, nh !Lax-Milgram. Ch<ng 2. MHt s19Knh 7L9iMm bNt 9Hng.

Trong chng y .ng tôi nh y mt skt HI@quan ,ng <c ch/ng minh chi tit Jng nh mt s<5&minh ,a /ng &ng a mt

5

snh ! trong ! thuyt vi#m b$t ng. "2 Kkt HI@n6i ting nh$t trong !thuyt vi#m b$t ng nguyên !nh %co Banach. 2 !do .ng tôi bLt ;u chng y bMng vi+c nh y vnh %co <mt ch/ng minh a nguyên !y. 2Jng c sF yu #m iu ki+n t*n i nghi+m a i n Dirichlet cho h+phng nh elliptic na tuyn 5nh. Trong chng hai .ng tôi 1n nh y thêm mt skt HI@0 c a !thuyt i#m b$t ng <mt sv5&/ng &ng ':c nghiên c/u. Ni dung chng hai :c tham 0 @o yu tNi li+u [6].

Ch<ng 3. Bài toán Dirichlet 91i v2i h>ph<ng /QRnh elliptic nSa

tuyBn /0nh trên miGn U+c 9Knh không PKchVn. Trong chng y .ng tôi nh y c kt HI@nghiên c/u vs)

t*n i a nghi+m yu a i n Dirichlet cho h+phng nh elliptic na tuyn 5nh trên mt min không ch(n trong n

. "c ch/ng minh yu d)a trên nh ! i#m b$t ng trong không gian Banach. Ni dung chng 3 :c trình bày d)a trên tài li+u [5].

6

LI WM "N

B@n lu=n vDn này :c hoàn thành d3i s) h3ng d4n t=n tình ca

PGS. TS. HOÀNG QUC TOÀN, Tr9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên –

i h,c Quc gia O Ni. Th;y là ng9i xu$t, dành nhiu th9i gian

h3ng d4n, sa các lPi cJng nh gi@i áp các thLc mLc ca tôi trong sut

quá trình làm lu=n vDn. Tôi mun bày tQ lòng bit n sâu sLc nh$t n

ng9i th;y ca mình.

Tôi xin c@m n Tr9ng THPT Chu VDn An, 7ng Sn ã giúp R,

to iu ki+n thu=n l:i cho tôi hoàn thành khoá h,c này. Và tôi cJng xin

cám n Xeminar ca b môn Gi@i tích, Tr9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên

ã giúp tôi b6 sung, cng c các kin th/c v Lý thuyt phng trình o

hàm riêng.

Qua ây, tôi xin gi t3i các th;y cô Khoa Toán- C- Tin h,c, Tr9ng

i h,c Khoa h,c T) nhiên, i h,c Quc gia Hà ni, cJng nh các th;y

cô ã tham gia gi@ng dy khóa cao h,c 2008-2010, l9i c@m n i v3i công

lao dy dP trong sut quá trình ,c t=p i nhà tr9ng.

Tôi xin c@m n gia ình, bn bè và t$t c@ m,i ng9i ã quan tâm, to

iu ki+n, ng viên c6 vJ tôi # tôi có th# hoàn thành nhi+m v ca mình.

Hà ni, tháng 12 nDm 2010

ng c Cng

7

='HI!U

MHt s1C0hi>u thng IXng trong luYn vZn

1. N : không gian Euclide th)c N chiu

2. ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng a Ω .

3. ( ) ( ) ( )0

lim i

hi

u x u x he u x

x h→

∂ + −=

∂ nu gi3i n y t*n i. S!hi+u

ixu ,

( )0,0, ,0, ,0, ,0ie i= : Vect n <th/i.

4. ( )1 2, , , Nα α α α= : a Ts. iα +∈

1 2 Nα α α α= + + + : b=c a a Ts.

5. ( )21 2, 1, , , ,j N

j

D i i D D D Dx

∂= − = − =

∂ : Vect gradient

( ) ( )1 2

1 2

1 , 1j

jj

j Nj

Nj

D Dx x xx

α αα αα α

α αα α

∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂∂

6. ( )2

1i i

N

x x

i

u u tr D u=

∆ = = : n tLaplace a u.

7. ( )C Ω : không gian c m :u Ω → liên c.

( )C Ω : không gian c m ( )u C∈ Ω , u liên c u.

( )kC Ω : không gian c m :u Ω → 0 @vi n c$p k

( )C∞ Ω : không gian c m :u Ω → 0 @vô n

( ) ( )0

k

k

C C∞

∞

=

Ω = Ω v3i ( )kC Ω : không gian c m ( )k

u C∈ Ω , D uα

liên c u v3i >,i , kα α ≤ .

( )0k

C Ω : không gian c m ( )ku C∈ Ω , u 2-compact

8. ( )pL Ω : không gian c m :u Ω → , u o :c Lebesgue

( )pLu

Ω< ∞

Trong 2

( )

1

, 1

sup ,

p

pp

L

u dx pu

ess u p

ΩΩ

Ω

≤ < ∞

=

= ∞

v3i sup inf , 0ess f fµ µ= ∈ > = , f m th)c o :c.

( )p

locL Ω không gian c m :u Ω → , ( )pu L U∈ v3i >,i U t=p

con compact trong Ω . 9. ( ) ( ), ,,k k

C Cα αΩ Ω , 1,2, ; 0 1k α= ≤ ≤ : c không gian Hölder.

10. ( ) ( ) ( ), , , 0,1, ; 1o

k k k

pW H H k pΩ Ω Ω = ≤ ≤ ∞ : c không gian Sobolev.

8

CHNG 1

KIN THC CHUN

1.1. MHt s19Knh [,D\a chung vGph<ng /QRnh 9]o Dm riêng. Mt phng nh o m riêng mt phng nh 2ch/a nhiu bin cha bit <mt so m riêng a 2. Cho *

k ∈ <U t=p mFtrong n .

Knh [,D\a 1.1. Mt bi#u th/c 2&ng

(1.1) ( ) ( ) ( )( ), , , , 0kF x u x Du x D u x = v3i x U∈

:c ,i mt phng nh o m riêng bc k. Trong 2

:kn n

F U × × × × → m cho tr3c

<

:u U → m c;n m

Ta 2i phng nh (1.1) :c ,i gii c nu m :c t$t @c m su Qa >'n (1.1). Knh [,D\a 1.2. Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i tuy n nh nu 2 2&ng

( ) ( )k

a x D u f xαα

α ≤

=

Trong 2 ( )a xα < ( )f x c m 'cho.

Phng nh :c ,i tuy n nh thun nht nu 0f ≡ Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i na tuy n nh nu 22&ng

( ) ( )10 , , , , 0k

k

a x D u a x u Du D uαα

α

−

=

+ =

9

Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i ta tuy n nh nu 22&ng

( ) ( )1 10, , , , , , , , 0k k

k

a x u Du D u D u a x u Du D uαα

α

− −

=

+ =

Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i phi tuy n nu 2C thuc không tuyn 5nh <o o m riêng b=c cao nh$t.

1.2. HHi /6yBu Cho X không gian Banach Knh [,D\a 1.3. U'y nu ch/a trong X :c ,i hi y un u X∈ nu

* *, ,n

u u u u→ v3i >,i * *u X∈

NhYn U^t 1.1.

1. Nu &'y nu hi n u &'y nu hi yu n u.

2. Mt &'y hi yu &'y ch(n 3. Nu nu hi yu n u lim inf

nn

u u→∞

≤

Knh 7L1.1. Cho Xkhông gian Banach n ( )( )* *X X= y nu chn.

Khi t n i mt y con kn nu u⊂ u X∈ sao cho

knu hi y u n u.

NhYn U^t 1.2. 1. Mt &'y ch(n trong không gian Hilbert ch/a mt &'y con hi yu.

2. VWt ( )pX L= Ω ( )* qX L= Ω , 1 1

1p q

+ = , 1 q< ≤ ∞ . Mt phim m tuyn

5nh ch(n f trên ( )pL Ω 2th#:c bi#u di8n d3i &ng

f fgdxΩ , ( )qg L∈ Ω

TN2

nf hi yu n f thuc ( )pL Ω a :

(1.2) ngf dx fgdxΩ Ω

→ , khi n → ∞ v3i >,i ( )qg L∈ Ω

X ( )pL Ω không gian i ng4u a ( )qL Ω , do 2 ( )pL Ω C @n % nu

1 q< < ∞ . V=y tNmPi &'y ch(n trong ( )pL Ω v3i 1 p< < ∞ 2 th# 5ch ra

mt &'y con hi yu Qa >'n (1.2). KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact.

Knh 7L1.2. !"sy nf y #$c m trong ( )pL Ω sao cho

10

( )0pn L

f fΩ

− →

Khi t n i mt y con kn nf f⊂ sao cho:

1. knf f→ h.k.n trên Ω .

2. ( ) ( )kn

f x h x≤ v%i &'i k h.k.n trên Ω v%i ( )ph L∈ Ω .

1.3. Không gian Sobolev. Knh [,D\a 1.4. (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev

( ) ( ) : : ,k p

pW u D u L k

α αΩ = Ω → ∈ Ω ∀ ≤

NhYn U^t 1.3.

1. V3i 2p = , không gian ( ) ( )2 , 0,1,k kH W kΩ = Ω = không gian Hilbert.

2. ( ) ( )0 2H LΩ ≡ Ω

Knh [,D\a 1.5. 1. Nu ( )k

pu W∈ Ω chuGn a u :c %c nh nh sau:

( )

1

, 1:

sup ,

kp

pp

kW

k

D u dx pu

ess D u p

α

α

α

α

≤ ΩΩ

Ω≤

≤ < ∞ = = ∞

2. Cho &'y nu , ( )k

pu W∈ Ω . Khi 2 nu :c ,i hi n u trong ( )k

pW Ω nu

( )lim 0k

pn Wn

u uΩ→∞

− =

S5hi+u nu u→ trong ( )k

pW Ω .

Knh 7L1.3. 1. V%i m(i 1,2,k = 1 p≤ ≤ ∞ không gian Sobolev ( )k

pW Ω không gian

Banach.

2. Không gian Sobolev ( )k

pW Ω không gian n n u #)n u 1 p< < ∞ . Hn

n*a ( )2k

W Ω không gian Hilbert v%i ch vô h%ng

11

( )2, k

a

Wk

u v D uD vdxα

αΩ

≤ Ω

=

NhYn U^t 1.4.

1. Z,i bao 2ng a ( )0C∞ Ω trong ( )k

pW Ω ( )o

k

pW Ω . Khi 2

( ) ( )0

ok

pW C

∞Ω = Ω trong ( )k

pW Ω

( ) : 0, 1k

pu W D u kα α

∂Ω= ∈ Ω = ∀ ≤ −

2. ( ) ( )0 2

ok k

H WΩ = Ω

Knh [,D\a 1.6. Không gian +i ng,u a không gian ( )0k

H Ω :c 05 hi+u

( )kH

− Ω . Mt m ( )kf H

−∈ Ω nu f phim m tuyn 5nh ch(n trên ( )0k

H Ω .

Trong ph;n y ta xWt c nh ! .ng >trong 2nh ! .ng Sobolev 2ng mt vai 1quan ,ng. Knh [,D\a 1.7. Z-@sX<Y c không gian Banach. 1. X :c ,i -.ng liên c trong Y nu t*n i nh %tuyn 5nh

:i X Y→

sao cho

( )XY

i x c x≤ , v3i x X∀ ∈ .

v3i 0c > hMng s. Khi 2ta *ng nh$t X v3i không gian con ( )i X Y⊂ .

2. X :c ,i -.ng compact<o Y nu nh %i bin t=p con ch(n trong X nh

t=p compact tng i trong Y. Knh 7L1.4. Cho NΩ ⊂ #o Lebesgue

N ( )Ω < ∞ , 1 p q≤ ≤ < ∞

( ) ( )q pL LΩ ⊂ Ω

N u

N ( )Ω = +∞ -i chung nh /không .ng.

Knh 7L1.5. !"s Ω mi0n compact tng +i trong N k ∈ , 0 1α β≤ < ≤ .

Khi ( ),kC

β Ω -.ng liên c trong ( ),kC

α Ω compact.

Knh 7L 1.6. (Knh 7L [D_ng Sobolev) !" s NΩ ⊂ mi0n chn v%i biên

Lipschitz, k ∈ , 1 p≤ ≤ ∞ . Khi

12

1. N u kp N< , 1Np

qN kp

≤ ≤−

ta # ( )k

pW Ω -.ng liên c trong ( )qL Ω

1p -.ng compact n u Np

qN kp

<−

.

2. N u 0 1N

m k mp

≤ < − < + , 0N

k mp

α≤ ≤ − − ta # ( )k

pW Ω -.ng liên c

trong ( ),mC

α Ω 1p -.ng compact n u N

k mp

α < − − .

NhYn U^t 1.5. nh ! .ng Sobolev v4n .ng trong c không gian ( )o

k

pW Ω trên >,i

min Ω ch(n. Knh 7L1.7. (BNt 9`ng thc a-;bQ^) !"sΩ mi0n chn trong N

, d 2ng

3nh #4a Ω , ( )10u H∈ Ω . Khi

2 22

u dx d Du dxΩ Ω

≤

Knh 7L1.8. !"s NΩ ⊂ mi0n chn thuc l%p 1C , t n i h5ng s+ ( )c c= Ω

sao cho v%i &'i ( )10u H∈ Ω ta #

2 2 22u dx c Du dx u dσ

Ω Ω ∂Ω

≤ +

1.4. +n tS;JaPi /+n Dirichlet.

S5 hi+u ( ) ( )( )*1 10H H− Ω = Ω không gian c phim m tuyn 5nh liên c trên

( )10H Ω , ( ) ( )2 1L H −Ω ⊂ Ω .

Ta 0!hi+u −∆ n t (1.3) ( ) ( )1 1

0: H H −−∆ Ω → Ω

%c nh theo công th/c (1.4) ( ) ( ), ,u v Du Dv−∆ = , v3i >,i ( )1

0,u v H∈ Ω

Khi 2v3i ( )0,u v C∞∈ Ω ta 2

( ),u v DuDvdxΩ

−∆ =

13

( )

( )

1

2

21

2

21 1

2

021

.

cos ,

,

N

i i i

N

i i i i

N N

i

i ii i

N

i i

u vdx

x x

u uv v dx

x x x

u uvdx x v dS

x x

uvdx v C

x

= Ω

= Ω

= =Ω ∂Ω

∞

=Ω

∂ ∂=

∂ ∂

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂

∂ ∂= − +

∂ ∂

∂= − ∀ ∈ Ω ∂

TN2suy ra

2

21

n

i i

uu

x=

∂∆ =

∂ n tLaplace.

n t −∆ :c %c nh bFi (1.3) < (1.4) :c ,i n ta i n Dirichlet v3i iu ki+n biên thu;n nh$t i v3i phng nh Laplace. (1.5) ( )u f x−∆ = trong Ω

0u = trên ∂Ω

Knh [,D\a 1.8. Z-@ s ( ) ( )2f x L∈ Ω , m ( ) ( )10u x H∈ Ω ,i nghi6m suy rng

(nghi6m y u) a i n Dirichlet (1.5) nu

( ) ( ), ,Du Dv f v= v3i ( )0v C∞∀ ∈ Ω

D_L:

N u nghi6m suy rng c4a bài toán (1.5) th7a mãn i0u ki6n

( ) ( )1 20u H C∈ Ω ∩ Ω u nghi6m c8i9n #4a i :$n (1.5).Tht vy:

( )10u H∈ Ω nghi6m suy rng #4a i :$n (1.5) thì ( ) ( ), ,Du Dv f v= v%i m'i

( )0v C∞∈ Ω .

( )2u C∈ Ω thì ( ) ( ), ,Du Dv u v= −∆ , trong 2

21

n

i i

uu

x=

∂∆ =

∂ , v%i m'i ( )0v C∞∈ Ω .

Suy ra ( ) ( ), ,u v f v−∆ = v%i m'i ( )0v C∞∈ Ω . Hay u f−∆ = trong Ω . Hay u nghi6m

c8i9n #4a i :$n (1.5).

Tip theo ta %Wt ph6a n t −∆ . Theo inh a ta 2v3i ( )1

0u H∀ ∈ Ω

( ) ( ) ( ) ( )2 10

2 2, ,

L Hu u Du Du Du uγ

Ω Ω−∆ = = ≥ , 0γ ≥

14

suy ra

( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 0

2, .

H H Hu u u u uγ −Ω Ω Ω

≤ −∆ ≤ ∆

do 2

( ) ( )1 10

.H H

u C u− Ω Ω∆ ≥ , ( )1

0u H∈ Ω .

Sau ây nh !quan ,ng v5nh ch$t a n t −∆ . Knh 7L1.9. ;:$n t ( ) ( )1 1

0: H H −−∆ Ω → Ω $nh 1-1 lên.

Ch<ng minh:

Có −∆ là ánh x tuyn tính<liên c. Vì

( ) ( )1 10

.H H

u C u− Ω Ω∆ ≥ , ( )1

0u H∈ Ω

suy ra −∆ là n ánh. Gi@ s min giá tr ca −∆ là ( )R −∆ . Ta l$y dãy ( ) nu−∆

trong ( )R −∆ hi t n 0v . Vì ( ) nu−∆ là dãy Cauchy trong ( )R −∆ nên:

( ) ( )( )1,

lim 0j kj k H

u u−→∞ Ω

−∆ − −∆ =

suy ra ( )

( ) ( )( )1 1

0j k j kH H

u u u uγ−Ω Ω

− ≤ −∆ − −∆ . V=y nu là dãy Cauchy trong ( )10H Ω

nên nó hi t n ( )10 0u H∈ Ω .

Do ánh x −∆ là liên tc nên ( )0 0u v−∆ = . V=y min giá tr ( )R −∆ là óng trong

( )1H − Ω , hay −∆ là n ánh có min giá tr óng.

Gi@ s t*n ti ph;n t ( )10 0u H∈ Ω tr)c giao v3i min giá tr ( ) ( )1R H −−∆ ⊂ Ω , t/c là

( )0, 0u u−∆ = v3i m,i ( )10u H∈ Ω . Ta (t 0u u= thì ( )0 0, 0u u−∆ = , suy ra 0 0u = . V=y

−∆ là ánh x lên, t/c là ( ) ( )1R H −−∆ = Ω .

H>cd.1.1. V%i &'i ( ) ( )2f x L∈ Ω i :$n Dirichlet (1.5) t n i duy nht nghi6m

suy rng (nghi6m y u) ( )10u H∈ Ω .

Ch<ng minh:

Gi@ s ( ) ( )2 1f L H −∈ Ω ⊂ Ω . Theo nh lí 1.9, t*n ti duy nh$t ( )10 0u H∈ Ω sao cho

( ) ( ) ( )0 0, , ,u v Du Dv f v−∆ = = , v3i m,i ( )0v C∞∈ Ω . iu ó có ngha là 0u là nghi+m

suy rng ca bài toán Dirichlet. S5 hi+u ( ) ( )1 1

0:T H H− Ω → Ω n t ch @o a n t −∆ . Z-@ s

( )10,u v H∈ Ω . (t ,u vϕ ψ= −∆ = −∆ khi 2

15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,T T u v u v Du Dv u v Tϕ ψ ϕ ψ= − ∆ −∆ = −∆ = = −∆ = .

V=y ta 2 ( ) ( ), ,T Tϕ ψ ϕ ψ= , v3i >,i ( )2, Lϕ ψ ∈ Ω

Do 2 n cha n tT trên ( )2L Ω n tt)liên h:p *T T= . M(t 0 c C Wp

.ng ( )10H Ω <o ( )2L Ω compact cho nên n chtrên ( )2L Ω a n t

( ) ( ) ( )2 1 20:T L H LΩ → Ω ⊂ Ω compact, t)liên h:p.

Hn n?a v3i >,i ( )2Lϕ ∈ Ω , t*n i duy nh$t ( )1

0u H∈ Ω sao cho: u ϕ−∆ = . Ta 2:

( ) ( ) ( )10

2, , , 0

HT u u uϕ ψ γ γ

Ω= −∆ ≥ ≥ .

Ta 25nh ch$t sau vn t ch @o a n t −∆ . Knh 7L1.10. ;:$n t-=ch o T #4a :$n t−∆ :$n tcompact, $c nh dng

tliên hp trong ( )2L Ω .

NhYn U^t 1.6. nh !y cho ta s)t*n i mt c sFtr)c giao trong ( )2L Ω g*m c

m riêng 1j j

u∞

=a n tT /ng v3i c - riêng

1j jµ

∞

=, 0jµ > , 0jµ ↓ khi

j → +∞ , t/c (1.6) j j jTu uµ= , 0jµ ↓ khi j → +∞

X ( ) ( )1 1

0:T H H− Ω → Ω nên tN(1.6) suy ra ( )10ju H∈ Ω v3i 1, 2,j∀ = .

"Jng tN(1.6) ta 2

1, ,

j j j j j

j

u uλ λ λµ

−∆ = = → +∞

Xv=y n t −∆ Jng 2&'y c m riêng 1j j

u∞

= trong ( )1

0H Ω /ng v3i &'y c

giáriêng 1j j

λ∞

= n i+u tDng khi j → +∞ ,

1 2 30 ,j jλ λ λ λ λ< < ≤ ≤ ≤ ≤ → +∞ khi j → +∞

<c m riêng l=p nh mt c sFtr)c giao trong ( )2L Ω .

1.5. Knh 7LLax-Milgram

16

Knh lý 1.11. Gi s X là không gian Hilbert thc, a(u, v) là phi m hàm song tuy n tính

thc trên X. Gi s a(u, v) th7a mãn các i0u ki6n.

i. T n ti 0c > sao cho ( ), . , ,a u v c u v u v X≤ ∀ ∈

ii. T n ti 0γ > sao cho ( ) 2, ,a u u u u Xγ≥ ∀ ∈

Khi ó m'i phi m hàm tuy n tính liên tc ( )F u trên X 0u t n ti f X∈ sao cho

( ) ( ), ,F u a u f u X= ∈

Ch<ng minh:

L$y u X∈ c nh. Khi ó ( ) ( ),u v a u v= là phim hàm tuyn tính trên X.

Theo i. ta có:

( ) ( ), . ,u v a u v c u v v X= ≤ ∀ ∈

V=y ( )u v là phim hàm tuyn tính liên tc trên X. Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n ti

mt ph;n t kí hi+u là Au X∈ sao cho:

( ) ( ),u v Au v= , v3i v X∀ ∈

V=y

( ) ( ), , ,a u v Au v= v3i v X∀ ∈

và ta có mt toán t :A X X

u Au

→

A là toán t tuyn tính. Theo i. ta có:

( ) ( )2, , .Au Au Au a u Au c u Au= = ≤ , v3i u X∀ ∈

Vy

,Au c u u X≤ ∀ ∈

suy ra :A X X→ là toán t liên tc. Hn n?a v3i 1 2,u u X∈ mà

(1.7) 1 2 1 2Au Au u u≠ ≠

M(t khác v3i m,i u X∈ , ( ) ( )2 1 1, , .

cu a u u Au u Au u

γ γ γ≤ = ≤

TN ó:

17

(1.8) ,c

u Au u Xγ

≤ ∀ ∈

Do ó v3i 1 2,u u X∈ mà

(1.9) 1 2 1 2u u Au Au≠ ≠

TN (1.7) và (1.9) suy ra :A X X→ là ánh x 1 – 1. Kí hi+u ( ) ,A X Au u X= ∈ , ta ch/ng minh ( )A X óng trong X.

Th=t v=y; gi@ s jAu là dãy hi t n v X∈ . Vì j

Au là dãy Cauchy trong X , ta

có:

,lim 0j kj k

Au Au→∞

− =

TN (1.8) ta có: j k j k

cu u Au Au

γ− ≤ − . V=y j

u là dãy Cauchy trong X, nên t*n ti

u X∈ sao cho:

lim jj

u u→∞

=

Do A là ánh x liên tc nên ( )Au v A X= ∈ , hay ( )A X là óng trong X.

Ta ch/ng minh ( )A X X= .

Gi@ s ( )A X X⊂ , A óng. L$y u X∈ , ( )u A X∉ , tr)c giao v3i ( )A X , t/c là

( ) ( ), , 0u Au a u u= =

Vì ( )2 1, 0u a u u

γ≤ = nên 0u = , t/c là ( )A X X= .

V=y :A X X→ là song ánh. Gi@ s ( )F u là phim hàm tuyn tính liên tc trên X . Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n

ti duy nh$t g X∈ sao cho

( ) ( ),F u g u=

Khi ó t*n ti f X∈ sao cho g Af= . Do ó

( ) ( ) ( ) ( ), , ,F u g u Af u a f u= = = , v3i u X∀ ∈

V=y ta có iu ph@i ch/ng minh. Chú ý:

18

- Yng c$u :A X X→ :c xây d)ng trong nh lý Lax-Milgram sao cho ( ) ( ), , , ,Au v a u v u v X= ∀ ∈

:c g,i là toán t liên k t v3i dng song tuyn tính ( ),a u v trên không

gian Hilbert X. Hay ( ),a u v :c g,i là dng song tuy n tính liên k t v3i

toán t A. - Dng song tuyn tính liên tc ( ),a u v :c g,i là Qa >'n i0u ki6n

b<c nu t*n ti hMng s 0c > sao cho

( ) 2, ,a u u c u≥ v3i u X∀ ∈

Knh 7L1.12. N u ( ).,.a là dng song tuy n tính liên tc 7a &n i0u ki6n b<c thì

toán t A liên k t v%i dng song tuy n tính ( ),a u v là mt >ng cu t? V lên V’.

Trong ó V là không gian Hilbert ph<c và tích vô h%ng ( ), , ,u v u v V∈ th7a mãn i0u

ki6n: ( ) ( ), , ,u v v u= v%i ,u v V∀ ∈ . V’ là không gian +i ng,u c4a V

. Ch<ng minh.

A là toán t liên tc. Th=t v=y:

( ) ( )2, , . ,Au Au Au a u Au u Au u V= = ≤ ∀ ∈

hay Au u≤ .

A là n ánh: Nu 0Au = thì ( ) ( ), , 0Au u a u u= = . V=y 0u = .

[nh ca A là trù m=t. Ta c;n ch/ng minh rMng nu u V∈ , tr)c giao v3i Im A thì 0u = . Khi ó u tr)c giao v3i Au , hay

( ), 0Au u = ( ), 0 0a u u u = = .

[nh ca A là óng. Chú ý rMng v3i v V∀ ∈ ta có:

( ) ( ) ( )'

w 0

, w , ,sup

wV V

V V V

Av Av v a v uAv c v

v v≠= ≥ = ≥

suy ra (1.10)

':

V Vv V Av c v∀ ∈ ≥

Nu dãy jAv hi t n 'f V∈ thì jv hi t n v V∈ . Do tính liên tc ca A ta

có Av f=

19

Suy ra @nh ca A là óng trong V’. V=y A là song ánh tN V lên V’. TN b$t Yng th/c (1.14) và nh lý Banach v ánh x ng:c suy ra 1A− liên tc. V=y A là Yng c$u tN V lên V’.

20

CHNG 2

MT S NH LÝ V IM B T NG Trong chng này, chúng tôi trình bày mt s nh lý v i#m b$t ng ca ánh x co, ánh x không dãn, ánh x liên tc và mt s /ng dng ca nó. Trong s ó, nh lý v i#m b$t ng ca ánh x co trong không gian Banach sK :c áp dng # gi@i quyt bài toán F chng sau.

2.1. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] co.

Cho ( ),X d là mt không gian metric. Mt ánh x :F X X→ :c g,i là mt

ánh x Lipschitz (Lipschitzian) nu t*n ti mt hMng s α không âm sao cho:

(2.1) ( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x yα≤ v3i m,i ,x y X∈ .

Chú ý rMng mPi ánh x Lipschitz u liên tc trên X. HMng s α nhQ nh$t thQa mãn (2.1) :c g,i là hMng s Lipschitz i v3i F kí hi+u là L. Nu 1L < thì ta nói F là ánh x co, 1L = thì ta nói F là ánh x không dãn.

Cho :F X X→ , x X∈ , ta xác dnh bMng qui np dãy ( ) nF x nh sau:

( ) ( ) ( )( )0 1, , .n nF x x F x F F x n

+= = ∀ ∈

Knh lý 2.1. Cho ( ),X d là không gian metric 4 và cho :F X X→ là ánh x co v%i

h5ng s+ Lipschitz L. Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht u X∈ . Ngoài ra v%i m'i

x X∈ ta có:

( )lim n

nF x u

→∞=

và

( )( ) ( )( ), ,1

nn L

d F x u d x F xL

≤−

Ch<ng minh:

Tr3c ht ta ch/ng minh tính duy nh$t. Gi@ s t*n ti ,x y X∈ sao cho ( )F x x= và ( )F y y= . Khi ó:

21

( ) ( ) ( )( ) ( ), , . ,d x y d F x F y L d x y= ≤

( ) ( )( )

1 , 0

, 0

L d x y

d x y

x y

− ≤

=

=

Tính t*n ti.

L$y x X∈ . Ta sK ch/ng minh ( ) nF x là mt dãy Cauchy.

Ta có:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1, . , . ,n n n n nd F x F x L d F x F x L d x F x

+ −≤ ≤ ≤

V3i m n> , n ∈ :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

1 1

1

1

2

, , ,

,

. , . ,

. , 1

,1

n m n n n n

m m

n m

n

n

d F x F x d F x F x d F x F x

d F x F x

L d x F x L d x F x

L d x F x L L

Ld x F x

L

+ +

−

−

≤ + +

+ +

≤ + +

≤ + + +

=−

V=y v3i ,m n n> ∈

(2.2) ( ) ( )( ) ( )( ), ,1

nn m L

d F x F x d x F xL

≤−

Khi n → +∞ , do 0 1L≤ < , v ph@i ca (2.2) tin d;n t3i 0, kéo theo v trái ca (2.2)

tin d;n t3i 0. Hay ( ) nF x là dãy Cauchy trong X.

Vì X là không gian nên t*n ti u X∈ sao cho:

( )lim n

nF x u

→∞=

Ta ch/ng minh u là i#m b$t ng ca F. Do F liên tc ta có:

( ) ( )( ) ( )1lim limn n

n nu F x F F x F u+

→∞ →∞= = =

V=y u là i#m b$t ng ca F. Trong (2.2), c nh n, cho m → +∞ ta :c

( )( ) ( )( ), ,1

nn L

d F x u d x F xL

≤−

NhYn xét 2.1. Trong nh lý 1 òi hQi iu ki+n 1L < . Nu 1L = thì F không nh$t thit có i#m b$t ng. Ví d:

22

Cho :F → xác nh bFi ( ) 1F x x= + , khi ó:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 ,d F x F y x y x y d x y= + − + = − =

Nhng 1x x≠ + v3i m,i x ∈ và do ó F không có i#m b$t ng nào. Knh lý 2.2. Cho ( ),X d là mt không gian metric compact v%i :F X X→ th7a mãn

( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x y< v%i m'i ,x y X∈ và x y≠ .

Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht trong X.

Ch<ng minh:

Tính duy nh$t là hi#n nhiên. Ta ch/ng minh tính t*n ti. Xét ánh x :G X → xác nh bFi ( ) ( )( ),G x d x F x= , G liên tc trên X. Vì X là

compact nên G t giá tr nhQ nh$t trên X, hay t*n ti 0x X∈ sao cho

( ) ( )0 minx X

G x G x∈

= . Ta có ( )0 0x F x= vì nu ( )0 0x F x≠ , theo gi@ thit

( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0, ,d F F x F x d F x x<

hay

( )( ) ( )0 0G F x G x<

ó là iu mâu thu4n.

Knh lý 2.3. Cho ( ),X d là mt không gian metric 4 và cho

( ) ( ) 0 0, : ,B x r x X d x x r= ∈ < , v%i 0x X∈ và 0r >

Gi s r5ng ( )0: ,F B x r X→ là ánh x co (có ngh@a là ( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y Ld x y≤ v%i

m'i ( )0, ,x y B x r∈ v%i 0 1L≤ < ) v%i

( )( ) ( )0 0, 1 .d F x x L r< −

Khi ó F có i9m bt ng duy nht trong ( )0 ,B x r .

Ch<ng minh:

T*n ti 0r sao cho 00 r r≤ < và ( )( ) ( )0 0 0, 1d F x x L r≤ − . Ta sK ch/ng minh rMng

( ) ( )0 0 0 0: , ,F B x r B x r→ . Th=t v=y, v3i ( )0 0,x B x r∈ thì

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0

, , ,

, 1 .

d F x x d F x F x d F x x

Ld x x L r r

≤ +

≤ + − ≤

23

Theo nh lý 2.1, F có mt i#m b$t ng duy nh$t trong ( ) ( )0 0 0 0, ,B x r B x r⊂ . Vi+c

ch/ng minh tính duy nh$t ca i#m b$t ng là d8 dàng.

Knh lý 2.4. Cho [ ]0,rB B r= trong không gia Banach X. : rF B X→ là mt ánh x co

và ( )r rF B B∂ ⊂ . Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht trong rB .

Ch<ng minh:

Xét

( ) ( )2

x F xG x

+=

Tr3c ht ta ch/ng minh : r rG B B→ .

(t * xx r

x= v3i rx B∈ và 0x ≠ . D8 th$y *

x r= nên *rx B∈∂ .

V3i , 0rx B x∈ ≠ ,

( ) ( ) ( )* *F x F x L x x L r x− ≤ − = −

vì ( )* xx x x r

x− = − . Và do ó

( ) ( ) ( ) ( )( )

* *

2

F x F x F x F x

r L r x r x

≤ + −

≤ + − ≤ −

V=y v3i rx B∈ và 0x ≠

( ) ( ) ( )2 2

x F xx F xG x r

++= ≤ ≤

Do tính liên tc ta cJng có

( )0G r≤

V=y : r rG B B→ , hn n?a G là ánh x co vì

( ) ( ) 1

2 2

x y L x y LG x G y x y

− + − +− = −

24

Theo nh lý 2.1, G có i#m b$t ng duy nh$t ru B∈ . Hi#n nhiên nu ( )G u u= thì

( )F u u= .

Knh lý 2.5. Cho ( ),X d là mt không gian metric 4 và :F X X→ là mt ánh x

(không nht thi t là liên tc). Gi s r5ng các i0u ki6n sau ây là úng.

(2.3) V%i m(i 0ε > t n ti mt ( ) 0εδ > sao cho

n u ( )( ) ( ),d x F x εδ< thì ( )( ) ( ), ,F B x B xε ε⊂

v%i ( ) ( ) , : ,B x y X d x yε ε= ∈ <

N u v%i mt u nào ó thuc X ta có ( ) ( )( )1lim , 0n n

nd F u F u+

→∞= thì dãy ( ) n

F u hi t

n i9m bt ng c4a F.

Ch<ng minh:

Gi@ s u thQa mãn iu ki+n ca nh lý. (t ( )n

nu F u= . Ta ch/ng minh nu là dãy

Cauchy. Cho 0ε > , ch,n ( )εδ thQa mãn (2.3) . Ta ch,n N l3n sao cho ( )1,n nd u u ε+ < v3i m,i

n N≥ . Vì ( )( ) ( ),N Nd u F u εδ< nên tN (2.3) ta suy ra ( )( ) ( ), ,N NF B u B uε ε⊂ . Do ó

( ) ( )1 ,N N NF u u B u ε+= ∈ . BMng quy np ta có

( ) ( ),k

N N k NF u u B u ε+= ∈ v3i m,i 0,1, 2,k ∈

V=y

( ) ( ) ( ), , , 2k l k N l Nd u u d u u d u u ε≤ + < v3i m,i ,k l N≥

Và do ó nu là dãy Cauchy trong không gian X nên t*n ti lim n

nu y X

→∞= ∈ .

Ta ch/ng minh rMng y là i#m b$t ng ca F. Gi@ s ng:c li

( )( ), 0d y F y γ= >

ch,n và c nh ,3nu B yγ ∈

v3i

( )1

3

,n nd u u γδ+

<

TN (2.3) ta suy ra

, ,3 3n nF B u B uγ γ ⊂

25

và do ó ( ) ,3nF y B uγ ∈

. iu ó là mâu thu4n vì

( )( ) ( )( ) ( ) 2, , ,

3 3 3n nd F y u d F y y d u y

γ γ γγ> ≥ − > − =

V=y ( )( ), 0d y F y = hay ( )F y y= .

Knh lý 2.6. Cho ( ),X d là không gian metric 4 và cho

( ) ( )( ) ( )( ), ,d F x F y d x yφ≤ v%i m'i ,x y X∈

Trong ó :[0, ) [0, )φ ∞ → ∞ là hàm không gim nào ó (không nht thi t là liên tc)

th7a mãn ( )lim 0n

ntφ

→∞= v%i m'i 0t > . Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht u X∈

v%i

( )lim n

nF x u

→∞= v%i m'i x X∈ .

Ch<ng minh:

Gi@ s ( )t tφ≤ v3i 0t > nào ó. Khi ó ( ) ( )( )t tφ φ φ≤ (do φ là hàm không gi@m) vì

v=y ( )2t tφ≤ . BMng quy np suy ra ( )nt tφ≤ v3i m,i 1n ≥ . iu này mâu thu4n v3i

gi@ thit ( )lim 0n

ntφ

→∞= . V=y ( )t tφ < v3i m,i 0t > .

Ta có

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )

1 1 1, , ,

, , .

n n n n n n

n

d F x F x d F F x F F x d F x F x

d x F x x X

φ

φ

+ − −= ≤ ≤

≤ ≤ ∀ ∈

Nu ( )F x x= thì x là i#m b$t ng.

Gi@ s ( )F x x≠ , ( )( ), 0d x F x > . Theo gi@ thit ( )( )( )lim , 0n

nd x F xφ

→∞= suy ra

( ) ( )( )1lim , 0n n

nd F x F x+

→∞= .

Cho 0ε > và ch,n ( ) ( ) 0εδ ε φ ε= − > . Nu ( )( ) ( ),d x F x εδ< thì v3i m,i ( ),z B x ε∈

ta có

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

, , , , ,

,

d F z x d F z F x d F x x d z x d F x x

d z x ε

φ

φ δ φ ε ε φ ε ε

≤ + ≤ +

≤ + ≤ + − =

Và do ó ( ) ( ),F z B x ε∈ . Theo nh lý 2.5 suy ra F có i#m b$t ng duy nh$t u v3i

( )lim n

nF x u

→∞= v3i m,i x X∈ .

D8 dàng ch/ng minh :c i#m b$t ng là duy nh$t.

26

NhYn xét 2.2. Chú ý rMng nh lý 2.1 là tr9ng h:p riêng ca nh lý 2.6 nu ta ch,n

( )t Ltφ = v3i 0 1L≤ < .

Ang dng:

Ta sK áp dng phng pháp i#m b$t ng trong vi+c chT ra s) t*n ti và duy nh$t nghi+m ca bài toán giá tr ban ;u. Tìm nghi+m ca toán.

(2.4) ( ) ( )( )

( ) 0

' ,

0

y t f t y t

y y

=

=

Trong ó : n n

f I × → và [ ]0,I b= , f liên tc.

Chú ý rMng h+ (2.4) là h+ phng trình vi phân c$p mt vì f l$y giá tr trong n

.

( )1y C I∈ (Không gian Banach các hàm kh@ vi c$p mt liên tc trên I và :c trang b

chuGn ( ) ( ) 1max , '

n nt I

u u t u t∈

=

).

( )1y C I∈ là nghi+m ca (2.4) ( )y C I∈ (Không gian Banach các hàm liên tc trên I

:c trang b chuGn ( )0max

nt I

u u t∈

=

) là nghi+m ca phng trình

(2.5) ( ) ( )( )0 0,

t

y t y f s y s ds= +

Xác nh mt toán t tích phân ( ) ( ):T C I C I→ bFi

( ) ( )( )0 0,

t

Ty t y f s y s ds= + .

Suy ra y là nghi+m ca (2.4) khi và chT khi ( )y T y= hay y là i#m b$t ng ca T.

Knh lý 2.7. Cho : n nf I × → là liên tc và th7a mãn i0u ki6n Lipschitz theo y,

ngh@a là t n ti 0α ≥ sao cho

( ) ( ), ,f t y f t z y zα− ≤ − v%i m'i , ny z ∈ .

Khi ó t n ti duy nht ( )1y C I∈ là nghi6m c4a (2.4).

Ch<ng minh:

Ta sK áp dng nh lý 2.1 # ch/ng minh T có i#m b$t ng duy nh$t. Nu dùng chuGn maximum trong ( )C I chT cho nghi+m a phng xác nh trong mt

kho@ng con ca I. Ta sK dùng chuGn maximum v3i tr,ng s

( )0

: ty e y t

αα

−=

27

trên ( )C I . ( )C I là không gian Banach v3i chuGn này vì .α

và 0

. là hai chuGn

tng ng. Do

0 0

te y y y

αα

− ≤ ≤

Ta ch/ng minh T là ánh x co trên ( )( ), .C Iα

. Th=t v=y, cho ( ),y z C I∈ suy ra

( ) ( ) ( )( ) ( )( )0

, ,t

Ty t Tz t f s y s f s z s ds − = − v3i m,i t I∈ .

Do ó v3i m,i t I∈ ta có:

( ) ( )

( )( )

( )

0 00

0

1

1

tt t s s

tt s

t t

t

e Ty Tz e e e y s z s ds

e e ds y z

e e y z

e y z

α α α α

α α

α

α αα

αα

α

α

− − −

−

−

− ≤ −

≤ −

≤ − −

= − −

V=y

( )1 tTy Tz e y z

αα α

− ≤ − −

Vì 1 1te

α−− < nên T là ánh x co trong ( )( ), .C Iα

. Theo nh lý 2.1 suy ra t*n ti

duy nh$t ( )y C I∈ sao cho ( )T y y= . V=y (2.4) có nghi+m duy nh$t ( )y C I∈ .

2.2. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] không dãn.

Cho ( ),X d là mt không gian metric v3i C X⊆ . NhLc li rMng mt ánh x

:F C X→ :c g,i là ánh x không dãn nu 1L = , hay F thQa mãn

( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x y≤ v3i m,i ,x y X∈ .

Chúng ta ã bit có nhiu ánh x không dãn mà không h có i#m b$t ng. Chúng ta sK bLt ;u ph;n này v3i mt kt qu@ là nh lý Schauder v ánh x không dãn. Nó là tr9ng h:p (c bi+t ca nh lý Schauder v i#m b$t ng sK :c gi3i thi+u trong ph;n sau. Knh lý 2.8. Cho C là mt tp con l i, óng và không r(ng c4a mt không gian tuy n

tính nh chuBn X v%i :F C C→ là ánh x không dãn và ( )F C là mt tp con c4a mt

tp con compact c4a C. Khi ó F có i9m bt ng.

Chúng minh:

Cho 0x C∈ . V3i 2,3,n = , nh ngha

28

0

1 1: 1nF F x

n n

= − +

Vì C là mt t=p l*i và 0x C∈ , ta suy ra :nF C C→ và nF là ánh x co. Theo nh lý 2.1

mPi nF có mt i#m b$t ng duy nh$t nx C∈ và

( ) ( ) 0

1 11n n n nx F x F x x

n n

= = − +

Hn n?a vì ( )F C nMm trong mt t=p con compact ca C nên t*n ti mt dãy con S các

s nguyên và u C∈ v3i

( )nF x u→ khi n → ∞ trong S.

V=y

( ) 0

1 11n nx F x x u

n n

= − + →

khi n → ∞ trong S.

Do tính liên tc

( ) ( )nF x F u→ khi n → ∞ trong S.

và do ó ( )u F u= .

Knh lý 2.9. Cho tp C l i, óng, b chn và khác r(ng trong không gian Hilbert H. Khi

ó m(i ánh x không dãn :F C C→ có ít nht mt i9m bt ng.

NhYn xét 2.3. Chú ý rMng tính duy nh$t là không nh$t thit. Ví d

( ) [ ], 0,1F x x x C= ∈ = là ánh x không dãn có vô s i#m b$t ng.

NhYn xét 2.4. Th)c t trong nh lý 2.9 chT c;n gi@ thit H là mt không gian Banach l*i u. Không gian Banach X :c g,i là không gian l*i u nu v3i m,i 0ε > , t*n ti ( ) 0εδ >

sao cho v3i m,i ,x y X∈ : 1, 1x y≤ ≤ và x y ε− ≥ ta luôn có ( )12

x yεδ

+≤ − . Hay

v3i hai i#m b$t k\ x, y thuc hình c;u n v, i#m 2

x y+ có kho@ng cách là dng t3i

biên ca hình c;u ó. # ch/ng minh nh lý 2.9 ta c;n t3i hai b6 sau. Be 9G 2.1. Cho H là mt không gian Hilbert v%i ,u v H∈ và cho r, R là các h5ng s+ v%i

0 r R≤ ≤ . N u t n ti mt x H∈ sao cho

,u x R v x R− ≤ − ≤ và 2

u vx r

+− ≥

29

thì

2 22u v R r− ≤ −

Ch<ng minh:

TN b$t Yng th/c hình bình hành ta có

( ) ( )

( )

22 2 2

22 2 2 2

2 2

2 2 4 42

u v u x v x u x v x

u vR R x R r

− = − + − − − − −

+≤ + − − ≤ −

Be 9G 2.2. Cho H là mt không gian Hilbert, C H⊆ và là tp b chn, :F C C→ là

mt ánh x không dãn. Gi s r5ng ,x C y C∈ ∈ và 2

x ya C

+= ∈ . G'i ( )Cδ là 2ng

kinh c4a C và cho ( )0 Cε δ< ≤ v%i ( )x F x ε− ≤ và ( )y F y ε− ≤ . Khi ó

( ) ( )2 2a F a Cε δ− ≤ .

Ch<ng minh:

Vì

( ) ( )2 2

a F a a F ax y x y

+ +− ≤ − + −

không m$t tính t6ng quát ta có th# gi@ thit

( ) 1

2 2

a F ax x y

+− ≥ − .

Vì

1

2a x x y− = −

ta có

( ) ( ) ( ) ( )1

2

F a x F a F x F x x

a x x yε ε

− ≤ − + −

≤ − + = − +

Áp dng b6 2.1 v3i 1 1

, ,2 2

r x y R x y u aε= − = − + = và ( )v F a= ta :c

30

( )

( )

2 2

2

1 12

2 2

2 2

2 2

a F a x y x y

x y x y

C

ε

ε ε ε ε

ε δ

− ≤ − + − −

= − + = − +

≤

Ch<ng minh nh lý 2.9:

Gi@ s 0x C∈ và ( )0 0f x x≠ (nu ( )0 0f x x= thì 0x là i#m b$t ng). V3i mPi

2,3,n = (t

( ) ( ) 0

1 1: 1nF x F x x

n n

= − +

v3i m,i x C∈

Ta có :nF C C→ và nF là ánh x co do F là ánh x không dãn. Theo nh lý 2.1 suy

ra t*n ti duy nh$t nx C∈ sao cho

( ) ( ) 0

1 11n n n nx F x F x x

n n

= = − +

suy ra

(2.6) ( ) ( ) ( )0

1 1n n nx F x F x x C

n nδ− = − ≤

v3i ( )Cδ là 9ng kính ca C. V3i 2,3,n = , (t

( ) ( )1:nQ x C x F x C

nδ = ∈ − ≤

ta :c

2 3 nQ Q Q⊆ ⊆ ⊆ ⊆ và nQ ≠ ∅ v3i m,i 2,3,n =

Dãy nQ là dãy gi@m các t=p óng, khác rPng. (t

(2.7) inf :n n

d x x Q= ∈

Do nQ là dãy gi@m suy ra 2 3 nd d d≤ ≤ ≤ ≤ , v3i ( )id Cδ≤ v3i mPi 2,3,i ∈ .

Suy ra t*n ti

( )limn

nd d Cδ

→∞= ≤

(t

[ ]2 08, 1n n

A Q B x d n= ∩ +

v3i

[ ] 0 0, 1 : 1B x d n x H x x d n+ = ∈ − ≤ +

31

Ta có nA là dãy gi@m các t=p óng khác rPng. Ch/ng minh nA ≠ ∅ , th=t v=y, tN (2.7)

suy ra t*n ti 28n nx Q∈ sao cho 20 8

1 1n n n

d x x d dn n

≤ − ≤ + < + suy ra nA ≠ ∅ .

Ta sK ch/ng minh ( )lim 0nn

Aδ→∞

= .

Gi@ s , nu v A∈ ta có

(2.8) 0

1u x d

n− ≤ + và 0

1v x d

n− ≤ +

Vì 28

,n

u v Q∈ ta có

( ) ( )2

1

8u F u C

nδ− ≤ và ( ) ( )2

1

8v F v C

nδ− ≤

Theo b6 2.2 suy ra

(2.9) ( ) ( ) ( )2

1 12 2 .

2 2 8

u v u vF C C C

n nδ δ δ

+ + − ≤ =

Suy ra 2 n

u vQ

+∈ và

02 n

u vx d

+− ≥ .

TN (2.8) và (2.9), theo b6 2.1 suy ra

221

2 nu v d dn

− ≤ + −

Vì v=y

( ) ( )2 22

2 12 0n n

dA d d

n nδ ≤ + + − → khi n → ∞

hay

( )lim 0nn

Aδ→∞

=

Theo nguyên lý Cantor áp dng cho dãy n

A suy ra t*n ti mt

*

2n

n

x A∞

=

∈

Vì

2

*

82

nn

x Q∞

=

∈

Ta có

32

( ) ( )* *28

Cx F x

n

δ− ≤ v3i m,i 2,3,n ∈

Mà ( )

20

8

C

n

δ→ khi n → ∞ nên suy ra ( )* *

F x x= .

Knh lý 2.10. Cho C là tp l i, óng, b chn trong không gian Hilbert, :F C C→ là

ánh x không dãn. Khi ó tp A các i9m bt ng c4a F là mt tp l i, óng, khác

r(ng.

Ch<ng minh:

Theo nh lý 2.9 suy ra A khác rPng. Vì F liên tc nên A là t=p óng. Thât v=y, gi@ s

nx A⊂ , nx x→ và ( )n nF x x=

suy ra ( )F x x= và x A∈ .

Ta sK ch/ng minh A là t=p l*i. Gi@ s

( ) ( ),u F u v F v= =

và

( )1m u vλ λ= + − v3i ( )0,1λ ∈

Ta ch/ng minh m A∈ Ta có

( )( )1u m u vλ− = − −

( )v m v uλ− = −

Do F không dãn ta có

( ) ( )( )1

u F m F m v u m v m

u v u v u vλ λ

− + − ≤ − + −

= − − + − = −

M(t khác

( ) ( )( ) ( )

u v u F m F m v

u v u F m F m v u v

− = − + −

− ≤ − + − ≤ −

Suy ra

( ) ( )u v u F m F m v− = − + −

(t ( ) ( ),x u F m y F m v= − = − ta :c

x y x y+ = +

Vì H là không gian l*i ch(t nên t*n ti 0α > sao cho

33

( ) ( )( )u F m F m vα− = −

suy ra

( ) ( )11

u vF m v v

αβ β

α+

= = + −+

v3i ( )10,1

1β

α= ∈

+

Ta ch/ng minh β λ= Gi@ s ng:c li, chYng hn β λ> , khi ó ta có

( ) ( ) ( )F v F m v F m u v u v v mβ λ− = − = − > − = −

mâu thu4n v3i F là ánh x không dãn. V=y β λ≤ . Tng t) ta cJng có β λ≥ . V=y β λ=

Suy ra ( ) ( )1F m u v mλ λ= + − = , hay t=p A các i#m b$t ng ca F là t=p l*i.

NhYn xét 2.5. Kt qu@ trên ây còn úng cho không gian Banach l*i u.

Knh lý 2.11. Cho H là không gian Hilbert thc và [ ] 0, :r

B B r x H x r= = ∈ ≤ v%i

0r > . Khi ó m(i ánh x không dãn : rF B H→ có ít nht mt trong hai tính cht sau:

(A1) F có i9m bt ng trong rB .

(A2) T n ti rx B∈∂ và ( )0,1λ ∈ v%i ( )x F xλ=

Ch<ng minh:

Ta xác nh phép co rút theo tia nh sau: : rr H B→ xác nh bFi

( ),

,

x x r

r x xr x r

x

≤

= >

r là ánh x không dãn.

Suy ra : r rr F B B→ là ánh x không dãn. Theo nh lý 2.9 suy ra t*n ti rx B∈ sao

cho ( )( )r F x x= . Nu ( ) rF x B∈ thì

( )( ) ( )x r F x F x= =

và F có mt i#m b$t ng, ngha là tính ch$t (A1) úng. Nu ( ) rF x B∉ thì

34

( )( ) ( )( )

( )F x

x r F x r F xF x

λ= = = v3i ( )

1r

F xλ = <

ngha là tính chât (A2) úng vì x r= hay rx B∈∂ .

Knh lý 2.12. Cho H là không gian Hilbert thc, :r

B x H x r= ∈ ≤ v%i 0r > , và cho

: rF B H→ là ánh x không dãn. Gi s r5ng v%i m'i rx B∈∂ mt trong các i0u ki6n

sau ây là úng:

(i) ( )F x x≤ ,

(ii) ( ) ( )F x x F x≤ − .

(iii) ( ) ( )2 22

F x x x F x≤ + − ,

(iv) ( ) 2,x F x x≤ .

Thì F có mt i9m bt ng trong rB .

Ch<ng minh:

Ta ch/ng minh nh lý khi (ii) úng. Gi@ s ng:c li, F không có i#m b$t ng. Theo

nh lý 2.11 suy ra t*n ti rz B∈∂ và ( )0,1λ ∈ v3i ( )z F zλ= , suy ra ( ) 0F z ≠ và

( ) ( )( ) ( ) ( )( )F z F F z F z F F zλ λ λ= ≤ −

suy ra

( ) ( ) ( )1F z F zλ≤ −

hay 1 1 λ≤ − v3i 0λ > , iu này là mâu thu4n. V=y F có i#m b$t ng.

2.3. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] liên t6c. Knh ngh\a 2.1. Hai không gian topo X và Y :c g,i là ng phôi nu t*n ti mt ánh x kh@ nghch :f X Y→ sao cho f và 1

f− là liên tc. Ánh x f :c g,i là phép ng

phôi. Knh ngh\a 2.2. Mt không gian topo X d:c g,i là có tính cht i9m bt ng nu m,i ánh x liên c :f X X→ u có i#m b$t ng. Knh lý 2.13. N u X có tính cht i9m bt ng và X ng phôi v%i Y thì Y cCng có tính

cht i9m bt ng.

Ch<ng minh:

cho :h X Y→ là phép *ng phôi và gi@ s rMng :g Y Y→ là ánh x liên tc. Chúng ta ph@i ch/ng minh rMng g có i#m b$t ng trong Y. Chú ý rMng

35

1 :h g h X X− →

là liên tc. Vì X có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti 0x X∈ sao cho

( )10 0h g h x x

− =

Do ó ( )0 0g y y= v3i ( )0 0y h x= .

Knh ngh\a 2.3. Mt t=p con A ca mt không gian topo X là mt co rút ca X nu t*n ti mt ánh x liên tc :r X A→ sao cho ( )r a a= v3i m,i a A∈ . Ánh x r :c g,i

là phép co rút. Knh lý 2.14. N u X có tính cht i9m bt ng và A là mt co rút c4a X thì A có tính

cht i9m bt ng.

Ch<ng minh:

Cho :f A A→ là liên tc và :r X A→ là phép co rút. Ta sK ch/ng minh rMng f có i#m b$t ng trong A. Chú ý rMng

:f r X A X→ ⊆ là liên tc

Vì X có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti 0x A∈ sao cho

( )0 0f r x x=

Vì ( )( )0f r x A∈ nên 0x A∈ . Nhng tN 0x A∈ và :r X A→ là phép co rút nên ta có

( )0 0r x x= . V=y ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0f r x f r x f x x= = = , 0x A∈ .

Trong , hình c;u óng n v là [ ]1,1− . Nu [ ] [ ]: 1,1 1,1f − → − là ánh x liên tc thì

f có i#m b$t ng trong [ ]1,1− . Th=t v=y, xét ánh x ( ) ( )g x x f x= − liên tc do f liên

tc và ( ) ( )1 0 1g g− ≤ ≤ và do ó ph@i t*n ti [ ]0 1,1x ∈ − sao cho

( ) ( )0 0 0 0g x x f x= − = hay ( )0 0f x x= . V=y [ ]-1,1 có tính ch$t i#m b$t ng.

Knh lý 2.15. Hình cu óng n v [ ]0,1B B= trong

n có tính cht i9m bt ng.

Vi+c ch/ng minh nh lý này c;n s dng nhiu kt qu@ và khá dài nên không :c trình bày trong lu=n vDn này. Ch/ng minh chi tit nh lý có th# tham kh@o trong [6] Knh lý 2.16. M'i tp con l i, óng, b chn và khác r(ng trong n

0u có tính cht

i9m bt ng.

Ch<ng minh:

Gi@ s C là t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng trong n và :f C C→ là ánh x

liên tc. Ta sK ch/ng minh f có i#m b$t ng trong C.

36

Vì C là t=p b ch(n do ó C ch/a trong mt hình c;u óng *B trong n

. Mà *B *ng

phôi v3i B, theo nh lý 2.13 và 2.15 suy ra *B có tính ch$t i#m b$t ng.

Do C là t=p l*i, óng, b ch(n nên v3i x b$t k\ thuc n

thì x C− là l*i, óng, b ch(n trong n

. Do n là không gian Hilbert nên t*n ti duy nh$t y C∈ sao cho

inf :x y x u u C− = − ∈

(t Px y= , ta ch/ng minh P là ánh x không dãn. Th=t v=y, c nh z C∈ , ta xác nh

[ ]: 0,1ψ +→

bFi

( ) ( )2

1t x t y tzψ = − − −

# ý rMng ( )1 t y tz C− + ∈ do C là t=p l*i. Ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

2 2 22

2

,

2 ,

0 , 0,1

t x y t y z x y t y z

x y t y z x y t y z x y

x y t t

ψ

ψ ψ

= − + − − + −

= − + − − + − ≥ −

= − ≤ ∀ ∈

V=y

( ) ( ) ( )0

0' 0 lim 0

t

t

t

ψ ψψ

+→

−= ≥

suy ra

( ) ( )2 , ' 0 ' 0 0ty z x y ψ ψ− − = = ≥

Thay y Px= ta :c

( )' 0 2 , 0Px x z Pxψ = − − ≥

Do n

x ∈ , z C∈ , thay z Py= v3i y nào ó thuc n ta :c

, 0 , 0Px x Py Px Px x Px Py− − ≥ ⇔ − − ≤

Tng t) , 0 , 0Py y z Py Py y Px Py− − ≥ ⇔ − − ≥

TN ó suy ra

37

( )2

2

, 0

, 0

,

x y Px Py Px Py

x y Px Py Px Py

Px Py x y Px Py x y Px Py

Px Py x y

− − − − ≥

⇔ − − − − ≥

⇔ − ≤ − − ≤ − −

⇔ − ≤ −

V=y P là ánh x không dãn, nên là ánh x liên tc. V3i m,i x C∈ ta có ( )P x x= dó ó

: n

f P C→ là liên tc

Vì *B có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti *

0x B∈ sao cho

( )0 0f P x x=

hay

( )( )0 0f P x x C= ∈

suy ra ( )0 0P x x= suy ra ( )( ) ( )0 0 0f P x f x x= =

V=y 0x là i#m b$t ng ca f.

NhYn xét 2.6. Vì m,i không gian tuyn tính nh chuGn h?u hn chiu u *ng phôi v3i n v3i d imn X= nên m,i t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng ca mt không

gian tuyn tính nh chuGn h?u hn chiu u có tính ch$t i#m b$t ng. Knh lý 2.17.(Nguyên 7LSchauder) M'i tp con l i, khác r(ng, compact K c4a không

gian nh chuBn X có tính cht i9m bt ng.

Ch<ng minh:

Cho :T K K→ là ánh x liên tc, 0ε > c nh tùy ý. Do K là t=p compact suy ra t*n ti ε l3i h?u hn 1 2, , , na a a K⊂ sao cho

( )1

,n

i

i

K B a ε=

⊂

Ta xác nh im ( )1,2, ,i n= trên K bFi

( )0,

,

i

i

i i

x am x

x a x a

ε

ε ε

− ≥=

− − − <

im liên tc trên K. Ta xác nh 0 1:

n

i iK K K span aϕ

=→ = ∩ bFi

38

( )( )

( )1

1

n

i i

i

n

i

i

m x a

x

m x

ϕ =

=

=

ϕ hoàn toàn xác nh vì nu x K∈ thì ( ),i ix B a ε∈ , suy ra ( ) 0im x > suy ra

( )1

0n

i

i

m x=

≠

ϕ liên tc và v3i m,i x K∈ ta có ( )x xϕ ε− ≤ . Th=t v=y, (t

( ) ( )1

n

i

i

m x m x=

= v3i x K∈

V=y ( ) 0m x ≠ và

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

1

1

1

1

1

1

n

i i

i

n

i i

i

n

i

i

x x m x x m x am x

m x x am x

m xm x

ϕ

ε ε

=

=

=

− = −

≤ −

< =

vì nu ix a ε− ≥ thì ( ) 0im x = .

Xét ánh x T xác nh bFi

T Tϕ=

Xét 0 0:T K K→ . Do 0K là t=p l*i, óng, b ch(n trong không gian h?u hn chiu nên

T có i#m b$t ng 0x K∈ . V=y

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x Tx x T x T x T x

T x T xϕ ε

− ≤ − + −

= − <

suy ra

inf : 0z Tz z K− ∈ =

V=y t*n i nx K⊂ sao cho

0n nx Tx− → khi n → ∞

Do K t=p compact < nx K⊂ nên t*n i &'y con

kn nx x⊂ < *

knx x K→ ∈ khi k → ∞

39

Cho qua gi3i n suy ra

* * 0x Tx− = hay * *Tx x=

V=y *

x i#m b$t ng a T.

Knh ngh\a 2.4. Z-@ s t=p M X⊂ v3i X mt không gian Banach. T=p c i#m

1 2, , , nx x x M⊂ :c ,i mt ε _l3i cho M nu v3i >,i x M∈ luôn m :c

ix sao cho ix x ε− < , hay <2i >,i x M∈ min : 1,2, ,i

x x i n ε− = < .

T=p M :c ,i compact tng i nu < Tnu v3i >,i 0ε > t*n i mt ε _l3i a M.

Knh ngh\a 2.5. Cho X, Y hai không gian nh chuGn < M X⊂ , nh % :f M Y→

:c ,i n tcompact trên M nu f liên c trên M< ( )f M K∩ t=p compact

tng i v3i >,i t=p Kch(n trong X. H>cd.2.1.(H>cd.;Ja nguyên 7LSchauder) Cho K tp l i, ng, chn, 3$c

r(ng #4a không gian nh chuBn X, :f K K→ :$n tcompact. Khi f #i9m

bt ng trong K.

Ch<ng minh:

Ta 2 ( )f K K⊂ , (t

( )0K conv f K K= ⊂

XK l*i, 2ng, 0 0:f K K→ , 0K compact. Theo nh !2.17 suy ra f 2i#m b$t

ng trong K.

Bây gi9ta ]Kxem %Wt mt /ng &ng a nguyên !Schauder vi#m b$t ng trong vi+c ch/ng minh t*n i nghi+m a phng nh vi phân v3i iu ki+n ban ;u.

Z-@ thit G t=p mF trong 1n+

, nh % : nf G → liên c trên G. V3i b$t 0\

( )0 0,t x G∈ , v3i 0 0, nt x∈ ∈ , t*n i 0δ > sao cho phng nh

( )( ),dx

f t x tdt

=

2nghi+m trong 0 @ng ( )0 0,t tδ δ− + Qa >'n iu ki+n ( )0 0x t x= .

Ei n tng ng v3i phng nh 5ch phân

( )( ) ( )( ) ( )0

0: ,t

tF x t x f s x s ds x t= + =

trong không gian [ ]0 0,C t tδ δ− + . " ,n 0, 0rδ > > sao cho

40

[ ] [ ]0 0 0, ,M t t B x r Gδ δ= − + × ⊂

vi+c l)a ,n th)c hi+n :c <G t=p mF. M t=p compact trong 1n+

, f m liên c trên M, do f liên c trên G, suy ra fch(n trên M, suy ra

( ),n

f t x c≤

v3i >,i ( ),t x M∈

(t

[ ] [ ] 0 0

0 0 0 ,, :

C t tK y C t t y x r

δ δδ δ

− += ∈ − + − ≤

V3i >,i [ ]0 0, , ,t s t t t sδ δ∈ − + < , v3i >,i x K∈ ta 2

( )( ) ( )( ) ( )( ),n

s

tF x t F x s f u x u du c s t ε− ≤ ≤ − <

nu s tc

εδ− < = , v3i >,i x K∈ . Suy ra ( )F x liên c *ng b=c, ( )F K ch(n

u trên K

( ) ( )( )0

0 ,t

tF x x f s x s ds≤ +

Theo nh !^_` - Ascoli suy ra ( )F K compact tng i. V3i >,i x K∈ ta 2:

( ) [ ]0 00 ,C t t

F x x c rδ δ

δ− +

− ≤ <

nu δ Q. Khi 2 ( )F K K⊂ . Xf liên c u trên M, do f liên c trên t=p M

t=p compact, suy ra F n tliên c trên K, suy ra F n tcompact. Theo h+HI@nguyên !Schauder (h+HI@2.1) suy ra F2i#m b$t ng trong K, <2 5nh nghi+m a phng nh vi phân v3i iu ki+n ban ;u.

41

CHNG 3

I N DIRICHLET I VI H PHNG TRÌNH ELLIPTIC NA TUYN TÍNH TRÊN

MIN KHÔNG B CHN

Trong chng này chúng ta xen %Wt s) t*n ti ca nghi+m yu ca bài toán Dirichlet i v3i mt h+ các phng trình Elliptic na tuyn tính trên min không b ch(n trong không gian n

. Các ch/ng minh d)a trên nh lý i#m b$t ng trong không gian Banach.

3.1. Vt Pi /+n. Trong chng này chúng ta xét bài toán Dirichlet sau: (3.1) ( ) ( )1 ,u q x u u v f u vα β−∆ + = + + trong Ω

( ) ( )2 ,v q x v u v f u vδ γ−∆ + = + +

0u ∂Ω = , 0v ∂Ω =

(3.2) ( ) ( )0, 0u x v x→ → khi x → +∞

Ω là min không b ch(n v3i biên ∂Ω trn trong n

, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho,

0, 0β δ> > ; ( )q x là mt hàm xác nh trong Ω , ( ) ( )1 2, , ,f u v f u v là các hàm không

tuyn tính v3i ,u v sao cho:

(3.3) ( ) ( )0 nq x C∈ và ( )0 00, , .q q x q x∃ > ≥ ∀ ∈Ω

( )q x → +∞ khi x → +∞

( ),if u v là liên tc Lipschitz trong n v3i hMng s ( )1,2ik i = .

(3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , , , ,i i i

f u v f u v k u u v v u v u v− ≤ − + − ∀ ∈

42

Mc ích ca chng y là nghiên c/u s) t*n ti ca nghi+m yu ca bài toán (3.1) – (3.2) v3i các gi@ thit (3.3), (3.4) và các iu ki+n phù h:p ca các tham s , , ,α β δ γ . Tr3c ht chúng ta lu ý rMng bài toán Dirichlet cho h+ (3.1) trong mt min b ch(n trn ã :c nghiên c/u bFi Zuluaga trong [8]. Xuyên sut chng y, ( ).,. và . là ký hi+u ca tích vô h3ng và chuGn thông

th9ng trong ( ) ( )2 1;L HΩ Ω là không gian Sobolev thông th9ng.

Chúng ta nh ngha trong ( )0C

∞ Ω chuGn (nh trong [7]).

(3.5) ( )

1

22 2

0,,

qu Du qu dx u C

∞

ΩΩ

= + ∀ ∈ Ω

Và tích vô h3ng

(3.6) ( ) ( ) ( ), , .q qa u v u v DuDv qu v dx

Ω

= = +

V3i

( )01 2

, ,..., , ,n

u u uDu u v C

x x x

∞ ∂ ∂ ∂= ∀ ∈ Ω

∂ ∂ ∂

Sau ó ta g,i không gian ( )0

qV Ω là không gian ( )0C∞ Ω :c b6 sung theo chuGn

,.

q Ω. Hn th n?a, không gian ( )0

qV Ω có th# :c xem nh là mt không gian

Sobolev - Slobodeski v3i tr,ng.

M>nh 9G 3.1. (Xem [7]) ( )0qV Ω là mt không gian Hilbert trù mt trong ( )2

L Ω , và

phép nhúng c4a ( )0qV Ω vào ( )2

L Ω là liên tc và compact.

Vì

( ) ( ) ( )0

2 22 20 0,

qq V

a u u D u qu dx Du dx q u dx uγΩ

Ω Ω Ω

= + ≥ + ≥

v3i 0 0γ > . V=y ( ),qa u v Qa >'n iu ki+n b/c.

Theo b6 Lax-Milgram ta xác nh mt toán t duy nh$t qH trong ( )2L Ω sao cho

( ) ( ) ( ) ( )0, , , D ,q q q q

H u v a u v u H v V= ∀ ∈ ∀ ∈ Ω

V3i

( ) ( ) ( ) ( ) 0 2:q q q

D H u V H u q u L= ∈ Ω = −∆ + ∈ Ω .

43

Hi#n nhiên là toán t

( ) ( ) ( )2 2:q q

H D H L L⊂ Ω → Ω

Là mt toán t tuyn tính v3i min giá tr ( ) ( )2q

R H L⊂ Ω .

Vì ( )q x là dng, toán t

qH là dng theo ngha là;

( )( )

( )2, 0, Dq qL

H u u u HΩ

≥ ∀ ∈ .

và t) liên h:p

( )( )

( )( )

( )2 2, , , ,q q qL L

H u v u H v u v D HΩ Ω

= ∀ ∈ .

Toán t nghch @o ca nó 1qH− xác nh trên ( ) ( )2

qR H L∩ Ω v3i min giá tr ( )q

D H ,

:c xem nh là mt toán t vào ( )2L Ω . Theo m+nh 3.1 1

qH− là toán t compact

trong ( )2L Ω . Do ó ph6 ca qH bao g*m mt dãy m :c các giá tr riêng 1k k

λ∞

=.

1 20 ,k kλ λ λ λ< < ≤ ≤ ≤ → +∞ khi k → +∞

M,i hàm riêng ( )k xϕ tng /ng v3i kλ ( )1,2,k = là liên tc và b ch(n trên Ω và

t*n ti các hMng s dng ,α β sao cho

( ) e x

kx

βϕ α −≤ vi x l3n.

Hn n?a hàm riêng ( )1 0xϕ > trong Ω (xem [7]).

M>nh 9G 3.2. (Nguyên lý cfc 9]i, xem [7]) . Gi s r5ng ( )q x th7a mãn gi thi t

(3.3), và 1λ λ< , thì v%i m(i ( )g x trong ( )2L Ω , t n ti nghi6m duy nht ( )u x c4a bài

toán sau:

( )qH u u g xλ− = trong Ω

0u ∂Ω = , ( ) 0u x → khi x → +∞ .

Hn n*a, n u ( ) 0g x ≥ , ( ) 0g x ≡/ trong Ω thì ( ) 0u x > trong Ω .

Theo m+nh 3.2 suy ra rMng v3i 1λ λ< , toán t qH λ− là kh@ nghch

( ) ( ) ( )0q q q

D H D H Vλ− = ⊂ Ω

và nghch @o ca nó

44

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2:

q qH L D H Lλ

−− Ω → ⊂ Ω

:c xem nh là mt toán t vào ( )2L Ω . Theo m+nh 3.1, ( ) 1

qH λ

−− là toán t

compact. Nh=n xét thêm rMng:

(3.7) ( ) ( ) ( )1 1

, 1,2,q k k

k

H x x kλ ϕ ϕλ λ

−− = =

−

Knh ngh\a 3.1. Mt c(p ( ) ( ) ( )0 0,

q qu v V V∈ Ω × Ω :c g,i là nghi+m yu ca bài toán

(3.1), (3.2) nu: (3.8) ( ) ( ) ( ) ( )( )1, , , , ,qa u u v f u vϕ α ϕ β ϕ ϕ= + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 0, , , , , ,qa v u v f u v Cϕ δ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω .

Nu ( )2,u v C∈ Ω thì nghi+m yu ( ),u v là nghi+m c6 i#n ca bài toán.

3.2. Sf tgn /]i cJa nghi>m yBu cJa bài toán Dirichlet. 3.2.1. Gi@ s rMng

( )0 1min ,qγ λ<

V3i 1λ là giá tr riêng th/ nh$t ca toán t qH .

Cho 0u c nh trong ( )0qV Ω . Chúng ta xét bài toán Dirichlet

(3.9) ( ) ( )0 2 0 ,q

H v u f u vγ δ− = + trong Ω

0v ∂Ω = , ( ) 0v x → khi x → +∞

Tr3c ht lu ý rMng, tN chP

( )0 1min ,qγ λ<

<

( ) 0q x γ− > trong Ω

suy ra qH γ− là toán t dng, t) liên h:p trong ( )2L Ω . Hn n?a, toán t ( )q

H γ− là

kh@ nghch và

45

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2:

q qH L D H Lγ

−− Ω → ⊂ Ω

là liên tc compact trong ( )2

L Ω . Do ó ph6 ca qH γ− bao g*m mt dãy m :c

các giá tr riêng

1

kk

λ∞

=, v3i k kλ λ γ= − .

1 2ˆ ˆ ˆ0 kλ λ λ< < ≤ ≤ ≤

Bên cnh ó, ta có:

( )( )2

1

1

1q

L

H γλ γ

−

Ω− ≤

−

V3i gi@ thit (3.4), cho v c nh trong ( )0

qV Ω , ( ) ( )22 0 ,f u v L∈ Ω , thì bài toán

(3.10) ( ) ( )0 2 0 ,q

H w u f u vγ δ− = + trong Ω

0w ∂Ω = , ( ) 0w x → khi x → +∞

Có mt nghi+m duy nh$t ( )0 ,w w u v= trong ( )qD H xác nh bFi

( ) ( )1

0 2 0 ,q

w H u f u vγ δ−

= − + .

Do ó, v3i mPi 0u c nh trong ( )0

qV Ω , t*n ti mt toán t ( )0A A u= ánh x ( )0qV Ω

vào ( ) ( )0q q

D H V⊂ Ω sao cho:

(3.11) ( ) ( ) ( )1

0 0 2 0 ,q

Av A u v w H u f u vγ δ−

= = = − +

M>nh 9G 3.3. V%i m'i ( )0, qv v V∈ Ω chúng ta có %c lng sau

(3.12) 2

1

kAv Av v v

λ γ− ≤ −

−

V%i . là chuBn trong ( )2L Ω .

Ch<ng minh: Cho ( )0, qv v V∈ Ω ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2 0 2 0

2 0 2 01

, ,

1, ,

qAv Av H f u v f u v

f u v f u v

γ

λ γ

−− = − −

≤ −−

Theo gi@ thit (3.4) ta suy ra:

46

( ) ( )2 0 2 0 2, ,f u v f u v k v v− ≤ −

TN ó ta có 3c l:ng (3.12). Knh lý 3.1. Gi s r5ng:

(3.13) ( ) 20 1

1

min , , 1k

qγ λλ γ

< <−

Khi ó v%i m'i 0u c+ nh trong ( )0qV Ω , t n ti mt nghi6m y u ( )0v v u= c4a bài toán

Dirichlet (3.9).

Ch<ng minh: TN (3.11), (3.12) và (3.13) ta suy ra n t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 20 :

q qA A u L V D H L= Ω ⊃ Ω → ⊂ Ω

Sao cho mPi ( )0 ,qv V∈ Ω

( ) ( )1

0 2 0 ,q

Av H u f u vγ δ−

= − +

là mt ánh x co trong ( )2

L Ω .

Cho ( )00 qv V∈ Ω . Ta ký hi+u

1 0 1, , 1,2k kv Av v Av k−= = =

Ta nh=n :c mt dãy 1k kv

∞

=trong ( )q

D H . Do 0A Au= là ánh x co trong ( )2L Ω ,

1k kv

∞

= là mt dãy c b@n trong ( )2

L Ω .

Vì v=y t*n ti mt gi3i hn lim k

kv v

→+∞= trong ( )2

L Ω , hay:

(3.14) lim 0k

kv v

→+∞− = .

Hn n?a v là i#m b$t ng ca toán t :A v Av= trong ( )2

L Ω .

M(t khác v3i m,i *,k l ∈ ta có

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0, , , ,q k l q k l k l q

a v v H v v v v H Cϕ ϕ ϕ ϕ ∞− = − = − ∀ ∈ Ω

Áp dng 3c l:ng Schwarz chúng ta có

( ) ( )0, . ,q k l k l q

a v v v v H Cϕ ϕ ϕ ∞− ≤ − ∀ ∈ Ω .

Vì th 1k kv

∞

=là mt dãy hi t yu trong không gian Hilbert ( )0

qV Ω

47

V=y t*n ti ( )0qv V∈ Ω sao cho

(3.15) ( ) ( ) ( )0lim , , ,

q k qk

a v a v Cϕ ϕ ϕ ∞

→+∞= ∈ Ω

Vì phép nhúng ca ( )0qV Ω vào ( )2

L Ω là liên tc và compact nên dãy 1k kv

∞

= hi t

yu n v trong ( )2L Ω . TN ó suy ra v v= .

Bên cnh ó, theo gi@ thit (3.4) ta có 3c l:ng:

( ) ( )2 0 2 0 2, ,k k

f u v f u v k v v− ≤ − .

S dng (3.14), cho k → +∞ ta nh=n :c (3.16) ( ) ( )2 0 2 0lim , ,k

kf u v f u v

→+∞= trong ( )2

L Ω

Trong ph;n tip theo ta sK ch/ng minh v xác nh bFi (3.14) là nghi+m yu ca bài toán (3.9). V3i mPi ( )0Cϕ ∞∈ Ω ,

( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,q k q k q k ka v H v H v vϕ ϕ γ ϕ γ ϕ= = − +

( )( ) ( ), ,k q kv H vγ ϕ γ ϕ= − +

( )( ) ( )1, ,k q kAv H vγ ϕ γ ϕ−= − +

( ) ( ) ( )( ) ( )1

0 2 0 1, , ,q k q kH u f u v H vγ δ γ ϕ γ ϕ−

−= − + − +

( )( ) ( )0 2 0 1, , ,k ku f u v vδ ϕ γ ϕ−= + +

( ) ( )( ) ( )0 2 0 1, , , ,k ku f u v vδ ϕ ϕ γ ϕ−= + +

Cho k → +∞ , theo (3.14), (3.15) và (3.16) ta có

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 2 0 0, , , , , ,qa v u v f u v Cϕ δ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω

V=y v là nghi+m yu ca bài n Dirichlet (3.9). Ch/ng minh hoàn t$t.

3.2.2. V3i gi@ thit (3.13) theo nh lý 3.1 v3i mPi ( )0qu V∈ Ω t*n ti mt nghi+m yu

( )v v u= ca bài toán Dirichlet (3.9).

48

Ta ký hi+u B là mt toán t ánh x tN ( )0qV Ω vào ( ) ( )0

q qD H V⊂ Ω sao cho v3i m,i

( )0qu V∈ Ω

(3.17) ( ) ( )1

2 ,q

Bu v H u f u Buγ δ−

= = − +

M>nh 9G 3.4. V%i m'i ( )0, qu u V∈ Ω ta có %c lng sau:

(3.18) 2

1 2

kBu Bu u u

k

δλ γ

+− ≤ −

− −

Ch<ng minh: Cho ( )0, qu u V∈ Ω ta có

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2, ,qBu Bu H u u f u Bu f u Buγ δ−

− = − − + −

( )2 21

2 2

1 1

1

.

u u k u u k Bu Bu

k ku u Bu Bu

δλ γ

δλ γ λ γ

≤ − + − + −−

+≤ − + −

− −

Theo (3.13), 1 2 0kλ γ− − > , ta suy ra

2 2

1 1

1k k

Bu Bu u uδ

λ γ λ γ

+− − ≤ −

− −

TN ó ta nh=n :c 3c l:ng (3.18) 3.2.3. Gi@ s rMng

( )0 1min ,qα λ<

V3i 1λ là giá tr riêng th/ nh$t ca toán t qH

V3i m,i ( )0qu V∈ Ω , ( ) ( )0

q qBu D H V∈ ⊂ Ω , v3i B là toán t xác nh bFi (3.17). V3i

gi@ thit (3.4), ( ) ( )21 ,f u Bu L∈ Ω nên ( ) ( )2

1 ,Bu f u Bu Lβ + ∈ Ω .

Vì v=y v3i m,i ( )0

qu V∈ Ω bài n bin phân:

(3.20) ( ) ( )1 ,q

H U Bu f u Buα β− = + trong Ω

( )0, 0U U x∂Ω = → khi x → +∞

có mt nghi+m duy nh$t

49

( ) ( )1

1 ,q

U H Bu f u Buα β−

= − + trong ( )qD H .

Vì v=y t*n ti mt toán t

( ) ( ) ( )0 0:q q q

T V D H VΩ → ⊂ Ω

sao cho v3i m,i ( )0

qu V∈ Ω

(3.21) ( ) ( )1

1 ,q

U Tu H Bu f u Buα β−

= = − +

là nghi+m ca bài toán (3.20). V3i cách làm tng t) F m+nh 3.4 ta có m+nh sau. M>nh 9G 3.5. V%i m'i ( )0, qu u V∈ Ω ta có %c lng

(3.22) Tu Tu h u u− ≤ −

V%i

( )( ) ( )( )( )1 2 1 1 2

1 1 2

k k k kh

k

β δ λ γ

λ α λ γ

+ + + − −=

− − −

Chú ý rMng T :c coi nh là mt toán t vào ( )2L Ω , là mt ánh x co nu:

( )( ) ( )

( )( )1 2 1 1 2

1 1 2

1k k k k

hk

β δ λ γ

λ α λ γ

+ + + − −= <

− − −

Hi#n nhiên rMng b$t Yng th/c này thQa mãn nu và chT nu:

(3.23) 1 1 0kλ α− − > và ( )( )

( )( )1 2

1 1 1 2

1k k

k k

β δ

λ α λ γ

+ +<

− − − −

Knh lý 3.2. Gi s i0u ki6n (3.13) và (3.23) là th7a mãn thì t n ti mt nghi6m y u u

trong ( )0qV Ω c4a bài toán bi n phân sau:

(3.24) ( ) ( )1 ,q

H u Bu f u Buα β− = +

( )0, 0u u x∂Ω = → khi x → +∞ .

Ch<ng minh: V3i iu ki+n (3.23), toán t T xác nh bFi (3.21) là mt ánh x co trong

( )2L Ω .

Cho ( )0

0 qu V∈ Ω , ta kí hi+u

1 0 1, , 1,2,k ku Tu u Tu k−= = =

50

Ta nh=n :c mt dãy 1k ku

∞

= trong ( )qD H . Vì T là ánh x co trong ( )2L Ω , 1k k

u∞

= là

dãy c b@n trong ( )2L Ω . Vì v=y t*n ti mt gi3i hn:

lim k

ku u

→+∞= trong ( )2L Ω hay

(3.25) lim 0k

ku u

→+∞− =

Hn n?a u là i#m b$t ng ca toán t :T u Tu= trong ( )2L Ω .

Tng t) v3i ch/ng minh nh lý 3.1 ta có dãy 1k ku

∞

= là hi t yu trong ( )0

qV Ω và

t*n ti ( )0qu V∈ Ω sao cho

(3.26) ( ) ( ) ( )0lim , , ,q k q

ka u a u Cϕ ϕ ϕ ∞

→+∞= ∀ ∈ Ω

Vì phép nhúng ca ( )0qV Ω vào ( )2L Ω là liên tc và compact nên dãy 1k k

u∞

= hi t

yu n v trong ( )2L Ω vì v=y .v v= Bên cnh ó v3i gi@ thit (3.4) và b$t Yng th/c

(3.18) ta có:

( ) ( ) ( )1 1 1, ,k k k k

f u Bu f u Bu k u u Bu Bu− ≤ − + −

Và

2

1 2k k

kBu Bu u u

k

δλ γ

+− ≤ −

− −

Cho k → +∞ tN (3.25) ta suy ra: (3.27) lim k

kBu Bu

→+∞= trong ( )2L Ω

( ) ( )1 1lim , ,k kk

f u Bu f u Bu→+∞

= trong ( )2L Ω

Hn n?a v3i m,i ( ) ( )0x Cϕ ∞∈ Ω

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , , ,q k q k k q k q ka u H u u H u H uϕ ϕ ϕ α ϕ α ϕ= = = − +

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

, , ,

, , ,

, , , ,

q k k k q k

k k k k

k k k k

H Bu f u Bu H u

Bu f u Bu u

Bu f u Bu u

α β α ϕ α ϕ

β ϕ α ϕ

β ϕ ϕ α ϕ

−

− − −

− − −

− − −

= − + − +

= + +

= + +

Cho k → +∞ , theo (3.26), (3.27) ta có

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0, , , , , ,qa u Bu f u Bu u Cϕ β ϕ ϕ α ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω .

51

V=y, u là nghi+m yu ca bài toán (3.24). Kt thúc ch/ng minh dinh lý.

Knh lý 3.3. Gi s r5ng i0u ki6n (3.13), (3.23) th7a mãn. T n ti mt nghi6m y u

( ) ( ) ( )0 00 0, q qu v V V∈ Ω × Ω c4a bài toán Dirichlet (3.1), (3.2).

Ch<ng minh: V3i gi@ thit (3.13), tN nh lý 3.1 t*n ti mt toán t

( ) ( ) ( )0 0:q q q

B V D H VΩ → ⊂ Ω

Sao cho v3i m,i ( )0qu V∈ Ω

( ) ( )1

2 ,q

Bu H u f u Buγ δ−

= − +

M(t khác theo nh lý 3.2 v3i gi@ thit (3.23) bài toán bin phân (3.24) có nghi+m yu

( )00 qu V∈ Ω .

Ta ký hi+u 0 0v Bu= . Khi ó ( )0 0,u v là nghi+m yu ca bài toán (3.1), (3.2).

52

LI K&T

ac 5ch a lu=n vDn, nh ' c=p trong ph;n mF ;u p &ng nguyên !i#m b$t ng a nh %co trong không gian Banach #nghiên c/u s)t*n i a nghi+m yu a i n toán Dirichlet sau: (3.1) ( ) ( )1 ,u q x u u v f u vα β−∆ + = + + trong Ω

( ) ( )2 ,v q x v u v f u vδ γ−∆ + = + +

0u ∂Ω = , 0v ∂Ω =

(3.2) ( ) ( )0, 0u x v x→ → khi x → +∞

Ω là min không b ch(n v3i biên ∂Ω trn trong n

, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho, 0, 0β δ> > ; ( )q x là mt hàm xác nh trong Ω , ( ) ( )1 2, , ,f u v f u v

là các hàm không tuyn tính v3i ,u v sao cho: (3.3) ( ) ( )0 n

q x C∈ và ( )0 00, , .q q x q x∃ > ≥ ∀ ∈Ω

( )q x → +∞ khi x → +∞

( ),if u v là liên tc Lipschitz trong n

v3i hMng s ( )1,2ik i = .

(3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , , , ,

i i if u v f u v k u u v v u v u v− ≤ − + − ∀ ∈

v3i các gi@ thit (3.3), (3.4) và các iu ki+n phù h:p ca các tham s bMng ch quy vi+c m nghi+m yu a i n vvi+c m c i#m b$t ng a mt nh xco 5ch h:p.

53

I LI!U THAM =WO

[1] Tr;n /c Vân, D/ thuy t phng nh vi phân o m riêng, B

xu$t @n i ,c Quc gia ONi.

[2] Ong y, Em thc ="i ch m, B xu$t @n i ,c Quc

gia ONi.

[3] PH*ng Tân, Nguy8n Thanh O, F$c nh /i9m bt ng, B

xu$t @n i ,c S C m ONi.

[4] Seminar Phng nh vi phân o m riêng. Bmôn -@i 5ch, Khoa

n - c - tin, i ,c khoa ,c t)nhiên, i ,c Quc gia ONi.

[5]Ong Quc n, On a system of Semilinear Elliptic Equation on an

Unbounded Domain, Vietnam Journal of Mathematics 33:4 (2005)

381-398

[6] Ravi P.Agarwal, Maria Meehan and Donal O' Regan, Fixed point

theory and applications, Cambridge University Press.

[7] A. Abakhti-Mchachti and J. Fleckinger-Pelle, Existence of Positive

Solutions for Non Cooperatives Semilinear Elliptic System Defined on

an Unbounded Domain, Partial Differential Equations, Pitman

Research Notes in Math, Series 273, 1992.

[8] M. Zuluaga, On a nonlinear elliptic system: resonance and bifurcation

cases, Comment. Math. Univ. Caroliae 40 (1999) 701-711