I. М. Мiтельман

РОЗВ’ЯЗУЄМОФУНКЦIОНАЛЬНI

РIВНЯННЯМiркування вiд супротивного

Навчально-методичний посiбник

Рекомендовано до виданняВченою радою Одеського обласного iнституту

удосконалення вчителiв(протокол вiд 25 вересня 2014 року №4)

таВченою радою Iнституту математики, економiки та механiкиОдеського нацiонального унiверситету iменi I. I. Мечникова

(протокол вiд 2 липня 2014 року №6)

Одеса

2014

ББК 74.200.58:22.1УДК 372.851:517.965

Рекомендовано до виданняВченою радою Одеського обласного iнституту

удосконалення вчителiв(протокол вiд 25 вересня 2014 р. №4)

таВченою радою Iнституту математики, економiки та механiкиОдеського нацiонального унiверситету iменi I. I. Мечникова

(протокол вiд 2 липня 2014 р. №6)

Р е ц е н з е н т и:Матяш О. I., доктор педагогiчних наук, доцент(Вiнницький державний педагогiчний унiверситет iменi Михайла Коцюбинського);Шевченко Г. М., кандидат фiзико-математичних наук, доцент(Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка).

М66 Мiтельман, Iгор МихайловичРозв’язуємо функцiональнi рiвняння. Мiркування вiд супротив-ного [Текст] : навч.-метод. посiб. / I. М. Мiтельман. — Оде-са : ТЕС, 2014. — 67 с.

ISBN 978-617-7054-65-7

Для учнiв, якi готуються до участi в математичних олiмпiадах та бажа-ють поглибити теоретичну пiдготовку й удосконалити навички в розв’я-зуваннi складних задач, пов’язаних iз функцiональними рiвняннями. По-сiбник стане в пригодi вчителям математики, керiвникам математичнихгурткiв, органiзаторам олiмпiад, студентам математичних та педагогiчнихспецiальностей тощо.

ББК 74.200.58:22.1УДК 372.851:517.965

ISBN 978-617-7054-65-7

c©Мiтельман I. М., 2014

Çа останнi десятирiччя функцiональнi рiвняння та нерiвностi про-йшли переконливий шлях вiд епiзодичного появлення на олiмпi-

адах до обов’язкової складової завдань математичних змагань школярiвi студентiв. Зокрема, задачi з такої тематики майже щороку пропоную-ться на Мiжнародних та Всеукраїнських учнiвських математичних олiм-пiадах. Переважна бiльшiсть цих задач входить до алгебраїчних роздiлiволiмпiадних завдань, iнколи — з певним «нашаруванням» основ матема-тичного аналiзу (див., наприклад, [42], а також iншi матерiали OlympiadTraining Materials, The IMO Compendium Group, www.imomath.com) . . .

Матерiал посiбника передбачає досить високий рiвень пiдготовки уч-нiв, якi працюватимуть з ним . . .

У книжцi мiститься 57 розiбраних задач, чимало вправ для органiза-цiї самостiйної роботи. Запитання, на якими слiд помiркувати читачам,мiстяться також i в текстi розв’язання задач та вiдповiдних зауважен-нях. Окремi вправи не пов’язанi безпосередньо з доведенням вiд супро-тивного, але впливають на формування потрiбних технiчних навичок,роз’яснення важливих понять тощо.

Значна частина задачного матерiалу посiбника присвячена функцiо-нальним рiвнянням, якi мiстять iтерацiї невiдомих функцiй, адже, яксвiдчить практика, такi типи задач традицiйно викликають затруднен-ня в учнiв, навчальний досвiд яких не створює сприятливих умов длявiльної роботи з такими функцiональними конструкцiями. До того ж,розгляд функцiональних рiвнянь з iтерацiями створює мотивацiйне поледля занурення до цiкавих та корисних теоретичних питань.

Майже для всiх задач i вправ вказується джерело запозичення (по-силання на вiдповiднi публiкацiї, математичнi олiмпiади, турнiри та iн.).Зрозумiло, що в деяких випадках визначити «первинне» походження за-дач досить складно (усталеною практикою укладання завдань олiмпiадє використання задач змагань, якi вiдбулись ранiше; унаслiдок цього за-позичена задача iнколи отримує нове обличчя). Певнi задачi чи фактивзагалi набули характеру загальновiдомих. Ми вважаємо, що першочер-говою метою посилання на математичний захiд, де пропонувалася зада-ча, є надання методичних орiєнтирiв щодо її вiдносної складностi, мо-жливостi й доцiльностi використання на аналогiчному рiвнi (наприклад,пiд час пiдготовки учнiв до вiдповiдної олiмпiади, для проведення вiдбiр-кових етапiв). У деяких випадках посилання дозволяють звернутися довiдповiдних олiмпiадних матерiалiв (книжок, статей, web-ресурсiв) для

ознайомлення з розв’язанням складних вправ, для пошуку альтернатив-них розв’язань (останнє взагалi мусить стати обов’язковою складовоюпiдготовки до олiмпiад).

Для результативної роботи з посiбником учнi повиннi мати досвiдрозв’язування функцiональних рiвнянь, теоретичну та практичну пiдго-товку в обсязi, наприклад, розповсюджених посiбникiв [2, 16, 41] (зверне-мо особливу увагу на обов’язкове докладне ознайомлення учнiв з рiзнимиаспектами теорiї функцiональних рiвнянь Кошi). Добре зарекомендува-ла себе вiдома книжка [44]. Значний довiдковий матерiал та обширнубiблiографiю мiстить монографiя [23].

Сподiваємось, що запропонований навчально-методичний посiбникстане в пригодi вчителям математики, керiвникам математичних гур-ткiв, студентам математичних та педагогiчних спецiальностей, а такожучням, якi готуються до математичних олiмпiад, турнiрiв, конкурсiв Ма-лої академiї наук.

Лiтература

[1] Бiбiк Г. В. Компетентнiсний пiдхiд у навчаннi математицi як ме-тодична проблема / Г. В. Бiбiк // Науковi записки КДПУ iме-нi Володимира Вiнниченка. Серiя «Педагогiчнi науки». — 2009. —Вип. 82(1). — С. 11–15.

[2] Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравне-ния / Я. С. Бродский, А. К. Слипенко. — К. : Вища шк. — 1983.— 96 с.

[3] Вороний О. М., Писанко Г. В. Функцiональнi рiвняння з вiльни-ми змiнними / О. М. Вороний, Г. В. Писанко // У свiтi математики.— 2003. — № 1. — С. 18–28.

[4] Викол В., Апостолов А. Функциональные корни / Влад Викол,Апостол Апостолов // Математическое просвещение, сер. 3. — 2005.— № 9. — С. 194–202.

[5] Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах / С. Г. Гиндикин. —М. : Наука, 1972. — 288 с.

[6] Гжегорчик А. Популярная логика / А. Гжегорчик. — М. : Наука,1979. — 112 с.

[7] Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя ма-тематики / Я. И. Груденов. — М. : Просвещение, 1990. — 223 с.

[8] Задачi мiжнародних математичних олiмпiад та методи їх розв’я-зування : навч.-метод. посiб. / В. М. Лейфура, I. М. Мiтельман,В. М. Радченко, В. А. Ясiнський. — Львiв : Євросвiт, 1999. — 128 с.

[9] Зарубежные математические олимпиады / [С. В. Конягин,Г. А. Тоноян, И. Ф. Шарыгин и др.] ; под ред. Сергеева И. Н. —М. : Наука, 1987. — 416 с.

5

[10] Київськi мiськi математичнi олiмпiади: 2003–2011 : навч.-метод. по-сiб. / [А. В. Анiкушин, О. О. Клурман, Г. В. Крюкова та iн.] ; за ред.Б. В. Рубльова. — Х. : Гiмназiя, 2011. — 192 с.

[11] Колмогоров А. Н. О профессии математика / А. Н. Колмогоров.— М. : МГУ, 1959. — 30 с.

[12] Крутецкий В. А. Психология математических способностейшкольников / В. А. Крутецкий. — М. : Просвещение, 1968. — 432 с.

[13] Лейфура В. М. Математичнi задачi евристичного характе-ру / В. М. Лейфура. — К. : Вища шк., 1992. — 91 с.

[14] Математичнi олiмпiади школярiв України: 1991–2000 : навч.-метод. посiб. / В. М. Лейфура, I. М. Мiтельман, В. М. Радченко,В. А. Ясiнський. — К. : Технiка, 2003. — 541 с.

[15] Математичнi олiмпiади школярiв України: 2001–2006 : навч.-метод. посiб. / В. М. Лейфура, I. М. Мiтельман, В. М. Радченко,В. А. Ясiнський. — Львiв : Каменяр, 2008. — 348 с.

[16] Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональныеуравнения / Л. М. Лихтарников. — СПб. : Лань, 1997. — 160 с.

[17] Лихтарников Л. М. Первое знакомство с математической логи-кой / Л. М. Лихтарников. — СПб. : Лань, 1997. — 112 с.

[18] Математичнi олiмпiаднi змагання школярiв України: 2007–2008 та2008–2009 : навч.-метод. посiб. / [Андрiй Анiкушин, Андрiй Арман,Євген Бiлокопитов та iн.] ; за ред. Б. В. Рубльова. — Львiв : Каме-няр, 2010. — 549 с.

[19] Математичнi олiмпiаднi змагання школярiв України: 2009-2010 : навч.-метод. посiб. / [А. В. Анiкушин, А. Р. Арман, А. Є. Да-нилова та iн.] ; за ред. Б. В. Рубльова. — Х. : Гiмназiя, 2011. — 320 с.

[20] Мiтельман I. М. Вибранi задачi вiдкритих математичних олiмпiадта фестивалiв Рiшельєвського лiцею : навч.-метод. посiб. / I. М. Мi-тельман. — Одеса : ТЕС, 2010. — 245 с.

[21] Мiтельман I. М. Олiмпiаднi задачi про покриття клiтчастих обла-стей конгруентними полiмiно. Дидактичнi та практичнi аспекти

розв’язування / I. М. Мiтельман // Математика. — 2013. — № 3.— С. 18–24; № 4. — С. 15–24.

[22] Московские математические олимпиады: 1993–2005 / Р. М. Федо-ров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко ; под ред.В. М. Тихомирова. — М. : МЦНМО, 2006. — 456 с.

[23] Нечепуренко М. И. Итерации вещественных функций и функцио-нальные уравнения / М. И. Нечепуренко. — Новосибирск : ИВМиМГСО РАН, 1997. — 228 с.

[24] Новиков П. С. Элементы математической логики / П. С. Новиков.— М. : ГИФМЛ, 1959. — 400 с.

[25] Пенцак Є. Я., Юрчишин А. С. Функцiйнi рiвняння : навч.-метод. посiб. / Є. Пенцак, А. Юрчишин. — Львiв : ЛДУ, 1998. —112 с.

[26] Пихтар М. П. Методика роботи та система задач з теми «Фун-кцiональнi рiвняння» / Микола Пихтар // Математика в школi. —2008. — № 7–8. — С. 48–56; № 9. — С. 48–52.

[27] Раков С. А. Формування математичних компетентностей випу-скника школи як мiсiя математичної освiти / Сергiй Раков // Ма-тематика в школi. — 2005. — № 9. — С. 2–8.

[28] Семенець С. П. Навчальне моделювання методiв доведення вшкiльному курсi математики / Сергiй Семенець // Математика вшколi. — 2006. — № 9. — С. 12–16.

[29] Скафа Е. И. Эвристический подход в обучении математи-ке / Е. И. Скафа // Дидактика математики: проблеми i дослiдже-ння. Мiжнародний збiрник наукових робiт. — 2000. — Вип 14. —С. 33–40.

[30] Слєпкань З. I. Методика навчання математики : пiдруч. для студ.матем. спец. / З. I. Слєпкань. — К : Вища шк., 2006. — 582 с.

[31] Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические тео-рии / Роберт Р. Столл. — М. : Просвещение, 1968. — 231 с.

[32] Столяр А. А. Педагогика математики : уч. пос. для студ. пед.инст. / А. А. Столяр. — Минск : Вышейш. шк., 1986. — 414 с.

[33] Теплiнський О. Ю. Сконструюймо . . . функцiю! / О. Теплiн-ський // У свiтi математики. — 1998. — № 3. — С. 3–12.

[34] Толпыго А. К. Тысяча задач Международного математическогоТурнира городов / А. К. Толпыго. — М. : МЦНМО, 2009. — 456 с.

[35] Уёмов А. И. Основы практической логики с задачами и упражне-ниями : уч. пос. для студ. / Авенир Уёмов. — Одесса : ОГУ, 1997. —388 с.

[36] Шапиро С. И. Решение логических и игровых задач / С. И. Ша-пиро. — М. : Радио и связь, 1984. — 152 с.

[37] Шеварёв П. А. Процессы мышления в учебной работе школьни-ка / П. А. Шеварёв // Советская педагогика. — 1946. — № 3. —С. 94–109.

[38] Шеварёв П. А. Обобщённые ассоциации в учебной работе школь-ников / П. А. Шеварёв. — М. : АПН РСФСР, 1959. — 302 с.

[39] Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. Началь-ные понятия / Ю. А. Шиханович. — М. : Наука, 1965. — 376 с.

[40] Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе / П. М. Эрдни-ев. — М. : Просвещение, 1978. — 304 с.

[41] Ясiнський В. А. Олiмпiадна математика: функцiональнi рiвняння,метод математичної iндукцiї / В. А. Ясiнський. — Х. : ВГ «Основа»,2005. — 96 с.

[42] The IMO Compendium. A Collection of Problems Suggested forthe International Mathematical Olympiads: 1959–2009 / Dusan Djukic,Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic. — New York : Springer,2011. — 809 p.

[43] Kuczma M. Iterative Functional Equations / Marek Kuczma, BogdanChoczewski, Roman Ger. — New York : Cambridge University Press,1990. — 654 p.

[44] Venkatachala B. J. Functional Equations. A Problem SolvingApproach / B. J. Venkatachala. — Bangalore : Prism Books Pvt Ltd,2002. — 219 p.