1

DINAMIKA

Klasszikus mechanika: a mozgások leírása

I. Kinematika: hogyan mozog egy test

• út-idő függvény

• sebesség-idő függvény

• gyorsulások

)t(fs

)t(fa

Speciális mozgásfajták:

• Egyenes vonalú egyenletes és egyenletesen változó mozgás

• Körmozgás, egyenletes és egyenletesen változó

• Harmonikus rezgőmozgás

• Összetett mozgás: hajítások

)t(fv

2t2

as

Példa:

tav

állandóa

2

II. Dinamika: Miért úgy mozog a test?

Erőtan, erőtörvények

Rövid történeti áttekintés: A dinamika két megalapozója:

1. Galilei (1564-1642)

2. Newton (1643-1727)

Tudományos módszer: megfigyelés + matematikai leírás

A természet törvényei megérthetők: a matematika nyelvén kell megfogalmazni

őket.

1. Galilei

Először végez szisztematikus méréseket, ezzel kiemeli a fizikát a természetfilozófiából.

Pisában született: fizikát, filozófiát, orvostudományt tanult a Pisai egyetemen, majd Firenzében matematikát.

3

•A kinematika matematikai leírása: szabadesés, hajítások, ingamozgás

• Időmérés: periodikus mozgások segítségével, pl. inga, pulzus

•Mozgások függetlenségének elve, összetett mozgások elemzése

•Testek tehetetlenségének törvénye

•Csillagászati megfigyelések, bolygómozgások leírása (távcső építés)

•Heliocentrikus világkép (Inkvizíció, per)

•1633, Ítélet: tanainak visszavonása (És mégis mozog a Föld”)

• házi őrizet :A Mediciek támogatásával Firenzében élt

megírta fő művét, ami a newtoni mechanika egyik alapja lett:

„Matematikai érvelések és bizonyítások az új tudomány”… „

•(1636 )

Irodalmi vonatkozások:•Németh László: Galilei•Jókai Mór: „És mégis mozog a Föld „ (1872) (Eppur si muove‘)

haladást jelképezi

4

2. Newton

fizikus, matematikus, csillagász, filozófus és alkimista;

Szerepe meghatározó a fizikában: fő műve: Princípia (1687)

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

(A természetfilozófia matematikai alapjai

Newton saját példánya

Szintetizáló munka, mozgások leírása matematikailag rendszerezve

(differenciál és integrálszámítás alapjai)

5

„Én azért láttam messzebbre, mert óriások vállán álltam”

Egyesíti az égi és a földi mechanikát, felhasználva:

•Galilei anyagi pont mozgására vonatkozó megfigyeléseit

•Kopernikusz-Galilei-Tycho Brahe-Kepler Csillagászati megfigyeléseit

•Elveti az arisztoteleszi erőfogalmat: (Arisztotelesz: „ a mozgáshoz erő kell)”

Az erő a mozgásállapot megváltoztatásához kell!

•A világ egymással kölcsönhatásban lévő testekből áll

•Okság elve a természeti jelenségek leírásában

Optika

•Fény természete, terjedése

•Színkép prizmával: diszperzió jelensége

•A spektroszkópia megalapozása

6

Newton törvények: a klasszikus mechanika alaptörvényei

N.I. A tehetetlenség törvénye: az inercia rendszer definíciója

„Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, amíg egy másik test ennek megváltoztatására nem kényszeríti.”

• Az inercia rendszer:

olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a tehetetlenség fenti törvénye igaz. Kísérletekkel el lehet dönteni egy rendszerről, hogy ilyen-e, vagy sem

(Pl. A gyorsuló villamos, a forgó Föld nem ilyenek)

•Galilei féle relativitási elv:

ha egy inercia rendszerhez képest egy másik KR állandó sebességgel mozog, akkor az is inercia rendszer.

Galilei: „a testek természetes állapota a mozgás”

7

vvk 0vfa vvfa 0vk

A fa áll, a kocsi v sebességgel mozog balra

A kocsi áll, a fa ugyanakkora nagyságú v sebességgel megy jobbra

A fához rögzített koordináta rendszerből nézve:

A kocsihoz rögzített koordináta rendszerből nézve:

8

N.II. A dinamika alaptörvénye: az erő bevezetése

Inercia rendszerekben a mozgásállapot megváltoztatásához szükség van egy másik test (környezet) hatására.

A mozgásállapot megváltozása: a sebességváltozás

Megváltozhat a sebesség:

• nagysága:

pl: egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás

• iránya

pl: egyenletes körmozgás

vagy mindkettő egyszerre:

pl: egyenletesen gyorsuló körmozgás

v

v

v

9

at

v

A test mozgásában gyorsulás jelenik meg:

Erőfogalom bevezetése a kölcsönhatás mennyiségi leírásáraF

Az erő (F) a kölcsönhatás mértéke: az általa létrehozott hatási alapján mérhető.

Például az áltata okozott megnyúlás (rugó) alapján.

aF

• Mérési utasítás (tapasztalati úton): kétszer akkora erő kétszer akkora megnyúlást okoz a rugón.

• A kölcsönhatás mértéke és az általa létrehozott gyorsulás egyazon testre egyenesenarányos egymással:

Az erő vektormennyiség, az általa létrehozott gyorsulás iránya az erő irányával egyezik meg.

• Mérési eredmény: kétszer akkora erő kétszer akkora gyorsulást hoz létre ugyanazon a testen.

• Kísérlet: rugóra akasztott testet gyorsítunk a rugó segítségével vízszintes asztalon.

10

tmállandóa

F

A tehetetlen tömeg definíciója:

Az erő és az általa létrehozott gyorsulás hányadosa állandó, ez az állandó a tehetetlenség mértéke.

Tömeg: SI alapmennyiség

Mértékegysége: kilogramm

(1kg: kb. 1 liter 4 C-os víz tömege)

Alaptömeg: Pt-Ir ötvözet

Newton II. törvénye

am tF

kgm

Az erő vektormennyiség: iránya és támadáspontja van.

Az erő mértékegysége: 1 Newton (N) származtatott mennyiség:

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑘𝑔 ∙𝑚

𝑠2=1N

N. III. :Hatás-ellenhatás törvénye: a párkölcsönhatás fogalma

•Tapasztalat:

1. A lufi behorpad, mert nyomja a lemez

2. A lemez behajlik, mert nyomja a lufi

Erő-ellenerő: hatás-ellenhatás

Fontos: erő-ellenerő:

•ellentétes irányúak

•azonos nagyságúak

• de a támadáspontjuk nem ugyanazon a testen van!

2112FF

•Kísérlet:

vízzel töltött lufit helyezünk egy lemezre.

12

Erőhatások függetlenségének elve – szuperpozíció elve

Több erő esetén az erők együttes hatásának kifejezésére a vektori eredő használható:

n321

eF......FFFF

n

1i

ie FF

Az erők paralelogramma módszerrel adhatók össze:

A dinamika alapegyenlete több erő esetén:

amFn

1i

i

A test egyszerre több másik testtel is kölcsönhatásba léphet, egyszerre több erő is hathat rá. Az erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásukat.

1F

2F21 FF 3F

321 FFF

13

Erőtörvények

Az erőket a test adatainak és a környezet paramétereinek függvényében adhatjuk meg:

)stb,..,v,t,r(FF

Mozgások dinamikai leírása

• Ha az erőtörvény ismert, akkor a Newton törvény segítségével a gyorsulás kiszámítható :

at

v

• a gyorsulásból a sebesség,

amFn

1i

i

Az erőtörvények ismeretében a testek mozgása leírható: gyorsulás, sebesség, elmozdulás megadható.

Az erőtörvények matematikai alakját gyakran kísérleti úton határozhatjuk meg

a

tv

• sebességből az elmozdulás. dt

drv

)t(r

14

Erők fajtái

•Szabaderők: pontosan ismert erőtörvények szerint megadhatók, nem függenek a mozgásállapottól és a mozgás pályájától.

Pl: nehézségi erő, felhajtóerő: rugalmas erő:

•Kényszererők: A testet adott felületen történő mozgásra kényszerítik.

Pl: lejtő, kötél

A kényszererő nagysága függ az előírt pályától, és a mozgásállapottól.

mgFneh

cosmgFK ny

cos

mgK 2RmK

K

𝐹 = 𝑉 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 𝐹 = −𝐷𝑥