I polinomiProf. Walter Pugliese

I polinomiDef.: Si chiama polinomio ogni somma algebrica di monomi.

Esempi:

Sono polinomi:𝑎 + 5𝑏; 3𝑥) − 2𝑎𝑥 + 7; 2𝑐𝑦/ + 4𝑚)𝑥 − 𝑐𝑦/

Non sono polinomi:)23− 1, 678

6

• 0 oltre che monomio nullo, è considerato anche polinomio nullo.

• Ogni monomio può essere visto come la somma algebrica di se stesso con il monomio nullo: 𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎𝑏)𝑐 + 0Quindi ogni monomio è un polinomio.

• I monomi che compongono un polinomio si dicono anche termini del polinomio.

La riduzione a forma normaleUn polinomio può anche contenere monomi simili:

6𝑎<𝑏) − 3𝑎/𝑏= + 2𝑎<𝑏)

In tal caso si sommano i monomi simili. Il polinomio che si ottiene,

8𝑎<𝑏) − 3𝑎/𝑏=

si dice ridotto a forma normale.

• Due polinomi ridotti a forma normale, e non nulli, sono uguali quando i monomi del primo polinomio sono uguali ai monomi del secondo polinomio, indipendentemente dall’ordine con cui sono scritti.

• I polinomi ridotti a forma normale con 1,2,3 e 4 termini si chiamano rispettivamente monomi, binomi, trinomi e quadrinomi.

Esempi:Esempio 1:

8𝑥/𝑦 + 𝑥)𝑦) − 3𝑥< è un polinomio ridotto a forma normale.

Esempio 2:

3𝑎) − ?)𝑎𝑏 + )

=𝑏) e +)

=𝑏) + 3𝑎) − ?

)𝑎𝑏 sono due polinomi uguali.

Esempio 3:

𝑎) − 3𝑎𝑏= è un binomio;2𝑎/ − 𝑎) + 4𝑎 + 1 è un quadrinomio.

Il grado di un polinomio ridottoDef.: Si chiama grado di un polinomio ridotto il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini.

Inoltre il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.

Esempio:

6𝑎<𝑏) − 3𝑎/𝑏= + 2𝑎)𝑏

è un polinomio di grado 8. il grado rispetto ad a è 4, rispetto a b è 5.

Esempio:

2𝑎< − 𝑎)𝑏 − 2𝑎< − 6𝑎𝑏

non è un polinomio di quarto grado poiché riducendolo diventa

−𝑎)𝑏 − 6𝑎𝑏

dunque è un polinomio di terzo grado.

Polinomio omogeneo

Un polinomio ridotto è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo sesso grado.

Esempio:

8𝑥/𝑦 + 𝑥)𝑦) − 3𝑥<

è un polinomio omogeneo in quanto tutti i termini che lo compongono sono di quarto grado.

Esempio:

8𝑥/𝑦 + 1

non è un polinomio omogeneo

Polinomio ordinatoUn polinomio è ordinato rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella

lettera sono in ordine crescente o decrescente.Esempio:

3𝑥< + 7𝑥) − 𝑥

è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x

Esempio:

−5𝑎/𝑏 + 𝑎)𝑏) − 3𝑎𝑏<

è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di a e anche secondo le potenze crescenti di b

Esempio:

6𝑎𝑏) + 8𝑎)𝑏/ − 𝑎=𝑏

è un polinomio ordinato rispetto alla lettera a ma non lo è rispetto alla lettera b

Polinomio completoUn polinomio è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte

le potenze , dal grado massimo fino al grado 0.

Il termine di grado 0 di un polinomio, ossia quello in cui non compare nessuna lettera, viene detto termine noto.

Esempio:

2𝑎/ − 𝑎) + 4𝑎 + 1

è un polinomio completo. Infatti la lettera a è presente dal grado 3 al grado 0 . Il termine noto è 1

Le operazioni con i polinomi.L’addizione.

La somma di due polinomi è un polinomio che per termini tutti i termini dei polinomi addendi.

Esempio:

5𝑥/ + 6𝑥) − 3 + 7 − 2𝑥 + 4𝑥) − 6𝑥/ == 5𝑥/ + 6𝑥) − 3 + 7 − 2𝑥 + 4𝑥) − 6𝑥/ =

Il polinomio somma, in generale non è ridotto, si riducono pertanto i monomi simili:

= −𝑥/ + 10𝑥) − 2𝑥 + 4

Cambiando il segno a tutti i termini di un polinomio, si ottiene il polinomio opposto.La somma di due polinomi opposti è 0.

Esempio:

L’opposto del polinomio 3𝑥) + 2𝑏) − 1 è −3𝑥) − 2𝑏) + 1

La sottrazione

La differenza di due polinomi è un polinomio che si ottiene addizionando al primo (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)

Esempio:

3𝑎/ + 3𝑎)𝑏 + 5𝑏) − 5𝑎< + 3𝑎)𝑏 − 𝑏) == 3𝑎/ + 3𝑎)𝑏 + 5𝑏) + −5𝑎< − 3𝑎)𝑏 + 𝑏) == 3𝑎/ + 3𝑎)𝑏 + 5𝑏) − 5𝑎< − 3𝑎)𝑏 + 𝑏) =

= 3𝑎/ + 6𝑏) − 5𝑎<

La moltiplicazione di un monomio per un polinomio

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio che ha come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio dato

Esempio:

−12𝑎

/ @ 𝑎) + 2𝑎𝑏 = −12𝑎

/𝑎) −12𝑎

/2𝑎𝑏 = −12𝑎

= − 𝑎<𝑏

La moltiplicazione di due polinomiIl prodotto di due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del

primo polinomio per ogni termine del secondo e addizionando tutti i prodotti ottenuti.

Esempio :

𝟐𝒂𝟐 − 𝒂 𝟑𝒂𝟐 − 𝒂 + 𝟐 == 𝟐𝒂𝟐 𝟑𝒂𝟐 − 𝒂 + 𝟐 − 𝒂 𝟑𝒂𝟐 − 𝒂 + 𝟐 == 𝟔𝒂𝟒 − 𝟐𝒂𝟑 + 𝟒𝒂𝟐 − 𝟑𝒂𝟑 + 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 =

= 𝟔𝒂𝟒 − 𝟓𝒂𝟑 + 𝟓𝒂𝟐 − 𝟐𝒂

Il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori.

Prodotti notevoli

Un prodotto tra polinomi è notevole quando è possibile scrivere il risultato senza passaggi intermedi utilizzando una formula.

I prodotti notevoli sono:

• Somma di due monomi per la loro differenza• Quadrato di un binomio• Quadrato di un trinomio• Cubo di un binomio

Somma di due monomi per la loro differenza

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo e il quadrato del secondo.

𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

Esempio 1:

3𝑎 + 5𝑏/ 3𝑎 − 5𝑏/ = 3𝑎 ) − 5𝑏/ ) = 9𝑎) − 25𝑏I

Esempio 2:

−1 −12𝑥

/ −12𝑥

/ + 1 = −12𝑥

/ + 1 −12𝑥

/ − 1 = −12𝑥

/)− 1 ) =

14𝑥

I − 1

Quadrato di un binomio

il quadrato di un binomio è un trinomio che ha per termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo

𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Esempio 1:

2𝑥 + 𝑦 ) = 2𝑥 ) + 2 @ 2𝑥 @ 𝑦 + 𝑦 ) = 4𝑥) + 4𝑥𝑦 + 𝑦)

Esempio 2:

𝑎/ − 3 ) = 𝑎/ ) + 2 @ 𝑎/ @ −3 + −3 ) = 𝑎I − 6𝑎/ + 9Osservazione importatnte:

Così come il quadrato di un numero è il prodotto del numero per se stesso, allo stesso modo il quadrato di un binomio è il prodotto del binomio per se stesso:

2𝑥 + 𝑦 ) = 2𝑥 + 𝑦 2𝑥 + 𝑦 = 4𝑥) + 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦) = 4𝑥) + 4𝑥𝑦 + 𝑦)

𝑎/ − 3 ) = 𝑎/ − 3 𝑎/ − 3 = 𝑎I − 3𝑎/ − 3𝑎/ + 9 = 𝑎I − 6𝑎/ + 9

Significato geometrico del quadrato di un binomio

Quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio è un polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄

Esempio :

3𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 ) == 3𝑎 ) + −𝑏 ) + −2𝑐 ) + 2 3𝑎 −𝑏 + 2 3𝑎 −2𝑐 + 2 −𝑏 −2𝑐= 9𝑎) + 𝑏) + 4𝑐) − 6𝑎𝑏 − 12𝑎𝑐 + 4𝑏𝑐

Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio è un quadrinomio che per termini il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato

del secondo , il cubo del secondo termine.𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑

Esempio:

2𝑥) − 𝑦) / = 2𝑥) / + 3 2𝑥) ) −𝑦) + 3 2𝑥) −𝑦) ) + −𝑦) /

= 8𝑥I − 12𝑥<𝑦) + 6𝑥)𝑦< − 𝑦I

Altri prodotti notevoli

Somma di due cubi:𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)

Esempio:𝑎I + 1 = 𝑎) / + 1/ = 𝑎) + 1 (𝑎< − 𝑎) + 1)

Differenza di due cubi:𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)

Esempio:𝑎/ − 27 = 𝑎/ − 3/ = 𝑎 − 3 (𝑎) + 3𝑎 + 9)

La divisione di un polinomio per un monomio

Un polinomio è divisibile per un monomio se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.

Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.

Esempio 1:

5𝑎I − 6𝑎< + 2𝑎/ : 2𝑎) = 5𝑎I: 2𝑎) − 6𝑎<: 2𝑎) + 2𝑎/: 2𝑎) =52 𝑎

< − 3𝑎) + 𝑎Esempio 2:𝑎) + 𝑎 + 1 non è divisibile per 𝑎/

La divisione fra due polinomi

Dati due polinomi A e B nella variabile x, con il grado di B minore o uguale al grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q e R

tali che:𝑨 = 𝑩 @ 𝑸 + 𝑹

Il grado di Q è la differenza tra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado di B.

Nel caso particolare in cui R=0, si ha 𝑨 = 𝑩 @ 𝑸 ossia A è divisibile per B.

Tecnica per eseguire la divisione tra due polinomiEsempio :

Dividiamo il polinomio di terzo grado:

𝐴 = 13𝑥) + 6𝑥/ + 6 + 5𝑥

Per il polinomio di secondo grado:

𝐵 = 2 − 𝑥 + 3𝑥)

Per eseguire la divisione bisogna ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile:

6𝑥/ + 13𝑥) + 5𝑥 + 6 : 3𝑥) − 𝑥 + 2

Il quoziente sarà un polinomio di primo grado.

La figura seguente mostra i passaggi della divisione.

Passaggi della divisione fra due polinomi

Verifica della divisione

Con riferimento all’esempio precedente, la definizione di divisione con resto, in base alla qualesi ha 𝐴 = 𝐵 @ 𝑄 + 𝑅, permette di verificare l’esattezza del risultato.

Calcoliamo:

𝐵 @ 𝑄 + 𝑅 = 3𝑥) − 𝑥 + 2 2𝑥 + 5 + 6𝑥 − 4= 6𝑥/ + 15𝑥) − 2𝑥) − 5𝑥 + 4𝑥 + 10 + 6𝑥 − 4 =

= 6𝑥/ + 13𝑥) + 5𝑥 + 6

Il risultato ottenuto coincide con il dividendo:𝐴 = 6𝑥/ + 13𝑥) + 5𝑥 + 6

La regola di RuffiniQuando il polinomio divisore è un binomio del tipo 𝒙 − 𝒂, dove 𝑎 è un numero reale qualunque, per determinare Q e R possiamo utilizzare un procedimento rapido detto regola di Ruffini.

Esempio:−10𝑥 − 9 + 3𝑥) : 𝑥 − 4

Scriviamo i polinomi ordinati in senso decrescente:

3𝑥) − 10𝑥 − 9 : 𝑥 − 4

La figura seguente illustra come si applica la regola di Ruffini.

La regola di RuffiniScrittura del quoziente:I coefficienti del polinomio quoziente sono 3 e 2 . Tenendo conto che il dividendo ha grado 2 e il divisore ha grado 1, il quoziente deve avere grado 1.Quindi possiamo scrivere:

𝑄 = 3𝑥 + 2; 𝑅 = −1Verifica:Per verificare che il risultato è esatto, possiamo controllare che sia valida l’uguaglianza 𝐴 = 𝐵 @ 𝑄 + 𝑅

Osservazione 1:Se il polinomio dividendo è incompleto, al posto dei Coefficienti mancanti avremmo dovuto inserire alcuni zero. Per esempio, per il polinomio dividendo

2𝑥< − 𝑥) − 1I coefficienti da mettere in riga sono:

2,0, −1,0, −1Osservazione 2:Se il divisore è del tipo 𝒙 + 𝒂, osserviamo che:

𝒙 + 𝒂 = 𝒙 − −𝒂 .

Teorema del resto

Data la divisone 𝐴 𝑥 : 𝑥 − 𝑎 ,Il resto è dato dal valore che assume 𝐴 𝑥 quando alla variabile 𝑥 si sostituisce il valore 𝑎, cioè:

𝑅 = 𝐴 𝑎

Esempio:Calcoliamo il resto della divisione −𝑥< + 3𝑥) − 5 : (𝑥 + 2).Poiché 𝑥 + 2 = 𝑥 − (−2), possiamo sostituire il valore −2 a 𝑥.Abbiamo quindi:

𝑅 = 𝐴 −2 = − −2 < + 3 −2 ) − 5 = − +16 + 3 +4 − 5 = −16 + 12 − 5 = −9

Teorema di Ruffini

Un polinomio 𝐴 𝑥 è divisibile per un binomio 𝑥 − 𝑎 se e soltanto se 𝐴 𝑎 = 0

Esempio:Il polinomio 𝐴 𝑥 = 2𝑥/ + 𝑥) − 5𝑥 + 2 è divisibile sia per 𝑥 − 1 sia per 𝑥 + 2, infatti:

𝐴 1 = 2 @ 1/ + 1) − 5 @ 1 + 2 = 2 + 1 − 5 + 2 = 0𝐴 −2 = 2 @ −2 / + −2 ) − 5 @ −2 + 2 = 2 −8 + +4 + 10 + 2 = 0