I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO APORTE DE INVESTIGACIN DE UN MATEMTICO AL RAZONAMIENTO MATEMTICOCarl Friedrich Gauss(1777-1855)Gauss naci enBrunswick, Alemania, enel senode una familia obrera. Desdesuniez mostrunaasombrosahabilidadpara el clculo. Cuandoaunnotenia3aoscorrigiasupadrequeera capataz, quien hacia las nminas de los albailes. El padre cometi un error y el hijo lo hizo notar y cuando revis los nmeros hall que el pequeo-precoz muchacho estaba en lo cierto.La sagacidad con que Gauss guardaba sus teoras se explica en parte asupasinpor laperfeccin poco, peroselecto erasulema. Contribuy a allanar el camino del lgebra abstracta superior con su pensamiento sobre los nmeros complejos, demostr por primera vez con tanta rigurosidad el teorema fundamental del lgebra.Procedi hacia1819ainventar otrotipodenmeros al cual su compatriota Hermann Grassmann en 1840 la llamara el lgebra de loshipercomplejos(a+bi+cj+dk). Contradiciendoalasleyesdela aritmtica bsica (xyyx; siendo x,y hipercomplejos). Ha dejado innumerables aportes a la ciencia principalmente a la matemtica.- 1 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOa3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)RAZONAMIENTO LGICO ICAPACIDADES: Despertar la creatividad y el ingenio del estudiante Desarrollar la capacidad del orden y relacin Incentivar al razonamientoLos ejercicios tratados en este captulo muestran situaciones, a veces familiares a veces imaginarias; pero relacionado con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorar notoriamente tu capacidadde razonamiento.Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones consolamenteuncriteriolgico, sinhacer usodeconocimientos profundos de la matemtica y la lgica.Se vern problemas sobre relacin de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre mentiras y verdades, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de informacin. Durante veinticinco siglos, los matemticos han venido corrigiendo sus errores y con ello han enriquecido,no empobrecido, su cienciaNicols Bourbaki- 2 -CAPTULO1INTRODUCCIN:Pensamiento MatemticoI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOPROBLEMA SOBRERELACIN DE TIEMPOSSi el ayer del pasado maana del maana de anteayer de maana es jueves. Qu da fue ayer?a) domingob) lunes c) martesd) mircolese) jueves Mtodo Prctico:Consiste en reemplazar cada expresin por un equivalente numrico:Es decir:anteayer< >-2ayer < >-1hoy < >0maana < >+1pasado maana < >+2Luego en el problema:Siel ayer del pasado maana del maana de anteayer de maana es jueves -1+2+1-2+1=Entonces:-1 + 2 + 1 2 + 1 = Jueves- 3 -Ejemplo RESOLUCII.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOCancelando tenemos:1 += jueves maana es jueves Hoy es mircoles Luego ayer fue martesClave C.Cul es el da que est antes delanterior al siguiente da del que subsigue al posterior da del que est despus del da que precede al anterior da de hoy mircoles?a) juevesb) viernesc) mircolesd) lunes e) martesHaciendo analoga con el ejemplo anterior tenemos:En el problema:Cul es el da que est antesdelanterioralsiguienteda que subsigueal posterior da -1-1 +1+2+1del queestdespusdel daqueprecedealanteriordadehoy mircoles. +1-1 +1Entonces:-1 - 1+ 1 + 2 + 1 + 1 1 1de mircolesCancelando tenemos:+ 1de mircoles< > maana de mircoles< > jueves - 4 -Ejemplo ResoluciI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOClave A.Si el ayer de pasado maana de maana est tan alejado del lunes como lo est el maana de hace 3 das. Qu da es hoy?a) Martesb) mircolesc) juevesd) viernese) sbado Resolucin: El ayer de pasado maana de maana equivale a:-1 + 2 + 1: +2: pasado maanaEl maana de hace 3 das equivale + 1 3 = -2< > anteayer Pasado maana est tan alejado del lunes como lo est anteayerComo de hoy a anteayer hay una distancia de 2 das. De pasado maana a lunes hay 2 dasDel grfico se observa que dentro de 4 das ser lunes. Hoy es jueves - 5 -Ejemplo CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO1. Un nio tarda 2 horas en ver un programa de televisin Cunto tardarn 3 nios en ver el mismo programa?a) 4h b) 6h c) 8hd) 2h e) 3hResolucin:2. En una habitacin hay cierto nmero de nios. Cada uno de los nios ve 5 nios. Cuntos nios hay en la habitacin?a) 5 b) 6 c) 20d) 25 e) 30Resolucin:3. La negacin de Todas las chicas miran a Pablo es:a) Algunas chicas miran a Pablob) Algunas chicas no miran a Pabloc) Ninguna mira a Pablod) Ninguna no mira a Pabloe) Todas las chicas miran a PabloResolucin:4. Estoy en una juguera. Veo papaya, pltanos, pia, durazno. Deseo un jugo de dos frutas. Cuntas opciones tengo para escoger?a) 4 b) 6 c) 12d) 18 e) 15Resolucin:5. Cul es el da que est antes del sbado en la misma forma que est despus del martes?a) lunes b) martes c)mircoles d) juevese) viernesResolucin:6. En una nfora se tienen 6 fichas rojas, 2 fichas blancas y - 6 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO5 fichas verdes Cuntas habr que extraer al azar para obtener con certeza dos fichas verdes y una ficha roja?a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12Resolucin:1. Una escalera cuelga de un bote, de modo que el ltimo peldao queda a 20cm. Por encima delniveldelagua. Los peldaos estn igualmente espaciados cada 40cm. Si la marea sube 50cm. Por hora Cunto tiempo demora el agua en cubrir 5 escalones?a) 3h b) 4h c) 3,5hd) 4,5h e) nunca2. Entre Alfredo y Luis tienen menos de 6 hijos, Luis tienen ms hijos que Ramn y aunque Alfredo tuviera un hijo menos seguira teniendo ms hijos que Ramn Cuntos hijos tienen cada uno?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 83. Si el ayer del anteayer de maana es lunes, Qu da ser el pasado maana del maana de anteayer?a) lunes b) martesc) domingod) jueves e) viernes4. Siendo mircoles el pasado maana de ayer Qu da ser el maana del anteayer de pasado maana.a) lunes b) martesc) mircoles d) juevese) falta datos 5. Siendo jueves el maana de hoy Qu da ser el anteayer del maana de pasado maana?a) mircoles b) martes c) sbadod) juevese) lunes6. Siendo el maana de pasado maanamartesQudaser el anteayer del ayer de maana?a) sbadob) lunesc) domingo d) mircoles e) jueves7. Si el ayer del pasado maana del maana de anteayer de maana es jueves Qu da fue ayer?a) domingob) lunes c)martes d) mircoles e) jueves 8. Cules elda que est antes del anterior al siguiente da del que subsigue al posterior da del queestdespus del da que procede alanterior da de hoy mircoles?a) juevesb) viernes c)mircoles d) lunese) martes9. Si el ayer de pasado maana de maana estn tan alejado del lunes como lo est el maana de hace 3 das Qu da es hoy?a) martesb) mircolesc) jueves d) viernes e) sbado- 7 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO10.Sabiendoqueel anteayer del ayer del maana de hace 5 das es sbado Qu da ser el maana del inmediato ayer del anterior al anterior del subsiguiente da al pasado maana del da de hoy?a) viernesb) lunes c)domingo d) martese) sbadoRAZONAMIENTO LGICO IICAPACIDADES Incentivar al razonamiento Desarrollar la capacidad de orden y relacinEl hijo de la hermana de mi padre es m:Resolucin:Qu parentesco tiene la hija de mi hermano, con la hermana del hijo de mi hija?Resolucin:- 8 -CAPTULO2Ejemplo Ejemplo PROBLEMAS SOBRE PARENTESCOCONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO1. Yo tengo una ta, mi ta tienen una hermana, y la hermana de mi tanoes mi ta. Ques respecto a m esta persona?a) Mi mam b) mi tac)hermana d) Yo e) n.aResolucin:2. Qu parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del nico vstago de mi madre?a) Es mi hijab) es mi nieta c) esmi hermanad) esmi sobrina e) es mi primaResolucin:3. Un hombre se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano. Por qu?a) era su sobrinob) era su hijoc) era su cuadod) era su esposo e) era su toResolucin:4. Si Pitnesnietodel papdel pap de Rocky y no es hermano de Rocky Qu parentescoexisteentreRocky y Pitn?a) hermanosb) primosc) to-sobrinod) sobrino-toe) pap-hijoResolucin:- 9 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO5. Yo tengo un nico hermano Quin es el otro hijo del padre del to delhijo de la mujer del hijo de mi padre que, sin embargo, no es mi hermano?a) mi hermanob) mi padrec) mi to d) yo mismo e) mi taResolucin:6. 2 personas van por un camino, el deadelantedicemesigue mi hijo, pero el que est atrs dice: yo no sigo a mipadre; Quin est adelante?a) su hijob)su madrec) mi padre d) mi hermano e) faltan datosResolucin:1. Quparentesco tienelahija de mi hermana, con el hermano del hijo de mi hija?a) Ta-sobrino b) nieta-abuelac) prima-primo d) madre-hijae) sobrino-ta2. Si todas tus tatarabuelas vivieran, Cuntas tendras? a) 16 b) 12 c) 4d) 8 e) 63. Camilaveenlaveredaaun hombre y dice: El nico hermanodeesehombreesel padre de la suegra de mi esposo, Qu parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila?a) Padre b) to abuelo c) to d) abuelo e) suegro 4. La nica comadre de la madrina del pap de Mario quien es el hijo del nico primo de mi nico sobrino, Qu viene a ser del pap del padre de mi nieto?a) Mi madre b) mi esposac) mi comadre d) mi nieta e) mi sobrina 5. El hermano del hijo de Juan tiene un amigo tocayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo Tocayo hijo de Paco, hermano poltico de Juan (cuado). Qu parentesco tiene dicho amigo con Juan?a) sobrinob) primoc) tod) hermanoe) hijo6. Si en una reunin familiar le preguntaron a salvajito: Cuntostatarabuelosentotal tuvieron los abuelos de tus bisabuelos? Qu respondi?a) 256 b) 512 c) 64d) 1024 e) 1287. Elparentesco que existe entre el to del hijo del to de Alberto - 10 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOy el hijo del hijo del to de Alberto es: (OBS: Alberto tiene slo un to)a) To abuelo b) primoc) abuelo d) padree) hermanos8. Juandice: Hoyhevisitadoal hijo delpadre de la madre del hermano del hijo del suegro de la mujer de mi hermano, entonces Juan visit a su:a) cuado b) abueloc) to d) padree) to-abuelo9. Qu relacin de parentesco existe entre la madre del hermano de la esposa del padre del nieto de Luisa, con el cuado del nico hijo de la abuela materna del nico hijo de Luisa?a) consuegros b) hija-padrec) primos d) madre-hijoe) ta-sobrina10.Qu parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mam de mi padre, si mi abuelo slo tuvo un hijo?a) mi hermanab) mi prima c) mi sobrinad) mi mame) mi ta RAZONAMIENTO LGICO IIIProblema creativo!!Los patos incgnitosCuntos patos llevaste a casa? preguntaron a Michel Vega haban dos patos y cuatro patas delante de un pato, dos patos y cuatro patas detrs de un pato; y un pato entre patos y patas. Cul era el menor nmero de patos que poda haber llevado Michel Vega?- 11 -CAPTULO3CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOa) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 61. Sal, Anbal y Marco son mdicos. Dos de ellos son cardilogosyunoespediatra. Anbal y Marco afirman que uno de ellos es cardilogo y el otro pediatra, por loquepodemos deducir que:a) Anbal y Marco son pediatrasb) Anbal y Marco son cardilogos c) Sal es cardilogo d) Sal es pediatra e) Anbal es cardilogo y pediatra Resolucin:2. Miguel y Enrique nacieron el mismo da y el mismo ao. Oliver es menor que Enrique. Claudio es menor que Oliver, pero Gerardo es mayor que Miguel. Por lo tanto el menor de todos es:a) Enriqued) Gerardob) Miguel e) Oliverc) Claudio Resolucin:3. A es mayor que B, C es menorqueD. Eesmenor queC yB es mayor que D. entonces:- 12 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOa) B es el menor de todosb) D es el menor de todos c) E es el menor de todos d) D es menor que Ce) N.AResolucin:4. Se tiene una casa de 4 pisos y encadapisoviveunafamilia, la familia Castillo vive un piso, ms arriba que la familia Muoz. La familia Fernndez habita ms arriba que Daz y la familiaCastillomsabajoque lafamiliaDaz. Enque`piso viven los Castillo?a) Primerod) Segundob) Terceroe) Faltan datosc) CuartoResolucin:5. Si Ral esganador, Carloses perdedor. Si Carmen es perdedora, Alicia no es una cosa ni otra. Pero Ral es ganador Carmen es perdedora. Por lo tanto:a) Alicianoesunacosani la otra b) Carlos y Carmen son perdedores c) Carlosesperdedor, Alicia no es ganadora ni perdedorad) Ral puede ser ganador e) Faltan datos Resolucin:- 13 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO6. Samuel, Antonio; JulioyPepe tienen diferentes ocupaciones sabemos que:- Antonio es hermano del electricista- El comerciante se rene con Samuel a jugar naipes.- Pepe y el electricistasonclientesdel sastre- Juliosededicaa vender abarrotes desde muy jovenEntonces la ocupacin de Antonio es:a) Electricista b) Sastrec) Carpintero d) Comerciante e) No se puede determinarResolucin:1. Elisa, Jaime, Magda y Fernando han comprado bicicletas, cada una de color diferente para no confundirlos: blanca, amarilla, roja, verde. Pero de vez en cuando los intercambian, como ocurri el domingo pasado.- El o la propietaria de la bicicleta verde se entrenaba muy duramente para una carrera con la bicicleta de Elisa.- Magda estaba descansando con la bicicleta amarilla apoyada en un rbol- Jaime, que no es el propietario de la amarilla, paseaba tranquilamente con la rojaDe qu color es la bicicleta de Magda?a) blancab) amarilla c) rojad) verdee) F.D.2. Por un desorden ambiental, en un pozo artesanal del Mantaro, mueren todos los peces menos los que mueren. Cuntos quedan?a) todosd) ninguno b) la mitad e) F.D.c) Absurdo3. Antonio, Beto y Coco, se encuentran en un gimnasio. Dos de ellos estn disfrutando una pelea de Karate. Deducir con la siguiente informacin la persona que no participa en la - 14 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOpelea sabiendo adems que Coco no es ms alto que Beto.A) Entre Antonio y Beto, el ms bajo es el de mayor edad de los karatecasB) Entre Beto y Coco, el ms joven es el ms bajo de los karatecasC) Entre Antonio y Coco, el ms alto es el ms joven de los karatecasa) Coco d) Beto b) Antonioe) N.Ac) Todos 4. Alberto es mayor que Carmen, Rosa es mayor que Javier y ste esmayor que Carmen.Si Rosa y Alberto tienen la misma edad. Cul de los siguientes enunciados es verdadero?I. Rosa es mayor que Carmen II. Carmen es mayor que RosaIII. Javier es mayor que Rosa IV. Alberto es mayor que Javiera) Iy IVb) I y IIIc) II y IVd) II y IIIe) III y IV 5. Despus de haber desaparecido un pastel se interroga a 5 sospechosos. A la pregunta Quin se comi el pastel?, se obtienen las siguientes respuestas: Fredy: fue slo uno de nosotros Ketty: fueron dos de nosotros Edwin: fueron tres de nosotros Marlene: fueron 4 de nosotros Neil: fueron 5 de nosotros Adems se sabe que el (los) culpable(s) est mintiendo y el (los) inocente(s) est diciendo la verdad Quin de ellos no prob el pastel?a) Fredyb) Fredy y Edwinc) Neil d) Ketty y Edwin e) Marlene 6. Cuatro amigos de 15, 17, 18 y 20 aos de edad tienen la siguiente conversacin: Marco: yo tengo 15 aos Lucio: yo tengo 18 aos Carlos: Marco tiene 17 aos Vctor: yo tengo 17 aosSi solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad Cunto suman las edades en aos de Marco y Vctor?a) 38 b) 33c) 34d) 32 e) 377. Tres amigos de nombres, apellidos y ocupaciones diferentes, se renen en la casadeunodeellos, sesabe queToni noseapellidaPovis, Rojas trabaja de ingeniero electrnico. El ingeniero industrial se llama Jorge. El profesor noseapellidaOlivos. Uno de los amigos es Adolfo Cul es la ocupacin y apellido de Toni?a) Profesor-Rojasb) Profesor-Povisc) Ing. Electrnico-Rojasd) Ing. Industrial-Rojas- 15 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOe) Ing. Industrial-Povis 8. Katty, Omar y Maril estudian en tres universidades A, B, y C. Ellos estudian ingeniera, periodismo y turismo. Katty no est en A, Omar no est en B, el que est en B estudia periodismo, el que est en A no estudia ingeniera. Omar no estudia turismo Qu estudia Maril y en que Universidad?a) Turismo-Bb) Turismo-Ac) Periodismo-Cd) Ingeniero-Ae) Periodismo-B9. Tony, Popis y Ronaldo son tres amigos que tienen tres perros, stos tienen los nombres de sus dueos, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: - Ningn perro tiene el nombre de su dueo- El perro de Tony tiene el mismo nombre que el dueo de PopisQuin es el dueo de Tony y cmo se llama el perro de Tony?a) Tony-Popisb) Ronaldo-Popisc) Tony-Ronaldod) Popis-Ronaldoe) Ronaldo-Ronaldo10.ngel, Boris, Csar y Diego se sentaron a beber alrededor de una mesa circular; se sabe que:- El que se sent a la izquierda de Boris bebi agua- ngel estaba frente al que bebi vino - Quien se sentaba a la siniestra de Diego, beba gaseosa- El que beba caf y el que beba gaseosa estaban frente a frente.Qu bebi Csar y quin tomaba vino?a) gaseosa-ngelb) caf-Diegoc) agua-ngeld) gaseosa-Diegoe) caf-Boris PROBLEMAS SOBRE MXIMOS Y MNIMOSObjetivos: Lograr que los alumnos hagan uso de sus conocimientos matemticos en la resolucin de problemas relacionados con el anlisis matemtico.- 16 -CAPTULO4I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO Presentar al alumno problemas ms reales que se presentan en la vida diaria.INTRODUCCIN: Introduccin- He aqu una historiacuriosa se dice queen cierto pueblo solo existe dos hoteles, cuyos dueostienen la costumbre de cobrar por das tantos soles como das se aloja usted en dicho hotel, Se podra pensar entonces que si alguien quiere ahorrar al llegar por variosdasaestepueblotieneque cambiarse de hotel todos los das.Sin embargo sera tildado de sospechoso y arrestado.Si usted llega de visita por 8 das y quiere pasar desapercibido. Cunto dinero como mnimo gastara en alojamiento?Problemas como este, a veces fantstico, encierran un gran contenidomatemticoquedebeserresueltoyparatal fin debemos estar preparados.A continuacin se presentan algunos problemas relacionados con el tema.PROBLEMAS RESUELTOS1. Cuntas personas como mnimo hay en nueve filas de 3 personas cada fila?Resolucin Graficando convenientemente se tiene n 8 personas Rpta.: 8 personas2. Si concada8colillassepuedeformaruncigarrilloyPercy rene 77 colillas, hallar respectivamente. El mximo nmero de cigarrillo que puede fumar y el nmero de colillas que sobraran.ResolucinPararesolverestetipodeproblema, seprocededelasiguiente manera:77 colillas8 colillas729 cigarrillos 5 colillasSobran 5 colillas + 9 colillas- 17 -Al fumar estos 9 cigarrillos se va a botar 9 colillas.CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO14 colillas8 colillas8 1 cigarrillo6 colillas6 colillas + 1 colilla7 colillas con estas 7 colillas ya no se puedecomo mximo se forman 9 cigarrillos + 1 cigarrillo =10 cigarrillos Rpta.3. Una caja tiene 4 medias blancas y 4 medias negras. Cul es la menorcantidaddemediasquesedebesacarsinver, demodo que hayaun par usable?Resolucin 1era. Vez: Saco sacamos (2 medias)2da. Vez: saco(sacamos 1 media puede salir negra o blanca.Supongamos que sale blanca) Como se podr observar para traer un par de medias del mismo color hay que sacar como mnimo 3 medias4. Se tienen 81 bolas del mismo color y tamao, pero una de ellas esunpocomspesadaquelasotras. Quesi tienenel mismo peso.Encontrar la bola ms pesada; disponiendo de una balanza de dos platillos Cuntos pesadas como mnimo debe hacerse?ResolucinHacemos grupos de tres:1.Con los 27 B no tomadas1.Con las 9 bolas no tomadas2.3.pesadas o M 4 : min - 18 -Al fumar este cigarrillo va a bota 1 colillaI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO1. En la operacin mostrada Cuntas fichas como mnimo sedebencambiar deposicin para que el resultado sea cero?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5Resolucin:2. Cuntos palitos hay que mover, como mnimo para obtener una igualdad verdadera?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5Resolucin:3. Cuntos tringulos equilteros, comomximo, se puede formar con 6 cerillos de tal modo que la longitud del lado del tringulo sea del tamao de un cerillo?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6Resolucin:4. En un restaurante estaban presentes: un padre, una madre, un to, una ta, un hermano, una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos. Si cadaunoconsumi unmende 5soles Cunto gastaron en total, como mnimo?a) S/. 30 b) S/. 20 c) s/. 60d) S/. 40 e) S/. 50Resolucin:5. Se tiene una bolsa con canicas, en donde hay 5 canicas - 19 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOblancas, 3azules y 4verdes Cuntasbolitascomomnimo se tendrn que extraer alazar para tener la certeza de haber extrado una bolita blanca?a) 7 b) 5 c) 8d) 1 e) 4Resolucin:6. Cul es el mximo nmero de regiones en que quedan divididaslassiguientesfiguras al trazar doslneas rectas en cada una?a) 5;5 b) 4;5 c) 6;5d) 6;6 e) 7;7Resolucin:- 20 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO1. Cul es el mximo nmero de puntos de interseccin de 20 tringulos que tienen un vrtice en comn?a) 631 b) 514 c) 571d) 831 e) 6942. En una urna hay 2 bolas azules y 3 bolas negras. Cuntas bolas debo extraer como mnimo, parapoder decir con certeza que he sacado una bola de color azul?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 53. Enunareuninseencuentran 480 personas Cuntas personas como mximo debernretirarseparaqueen dicha reunin tengamos la seguridad de que estn presentesdospersonasconla misma fecha de cumpleaos?a) 113 b) 115 c) 112d) 110 e) 1184. Si 1 Kg de manzanas entre 6 y 8 manzanas, Cul es el mayor peso que pueden tener 3 decenas de manzanas?a) 3kg b) 4kg c) 5kgd) 6kg e) 7kg5. Cul esel menor nmerode trozos de igual longitud que pueden obtenerse dividiendo 3 varillas de 540m., 480m y 360m. sin desperdiciar material?a) 15 b) 23 c) 10d) 35 e) 436. De 6 fichas rojas, 8 azules y 10 verdes, Cul es el mnimo nmero que se debe extraer para tener la certeza de haber extrado un color por completo?a) 21 b) 22 c) 23d) 20 e) 187. En una caja hay 12 bolas azules, 15blancas, 18verdes y 20 rojas. Cules elmnimo nmero de bolas que se deben sacarparatenerlacertezade haber extrado 13 bolas de uno de los colores?a) 41 b) 49 c) 51d) 52 e) 508. Cuntas lneas rectas necesitars trazar como mnimo para unir los puntos mostradossi nodebolevantar el lpiz ni tampoco repasar alguna lnea ya trazada?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 79. Se tiene 3circunferencias no concntricas de igual radio con puntoscomunesde2en2. la suma del numero mnimo y mximo de estos puntos comunes es:a) 4 b) 10 c) 6d) 9 e) 810.Se tiene monedas de las mismas dimensiones. El nmero mximo de monedas tangentes dos a dos que pueden colocarse tangencialmente alrededor de una de ellas es:a) 6 b) 4 c) 7d) 5 e) 8- 21 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOHABILIDAD OPERATIVA IRAZONAMIENTO INDUCTIVO DEDUCTIVOObjetivos: Ejercitar al estudiante enla capacidadde observacin para establecer relaciones que le permitan llegar a la solucin de un problema. Ejercitar al estudiante en la aplicacin de conocimientos generales previamente adquiridos.Introduccin:En esta parte del curso veremos que la principal herramienta del razonamiento matemtico es el anlisis, que acompaado de un criterio lgico adecuado. Algo de ingenio y habilidad del alumno le permitir llegar a la solucin de un problemadeunamaneramsrpidaysencilla. Hayquetener encuenta, amigo lector, que el razonamiento matemtico se basa en los conceptos matemticos ya establecidos y a partir de ellos se desarrolla.Tambin aprenderemos los dos mtodos razonativos ms usados: el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo.RAZONAMIENTO DEDUCTIVO El razonamiento deductivo consiste en aplicar una verdad general (ya demostrada) en ciertos casos particulares.El razonamientodeductivoes labasedelas demostraciones matemticas. Demostrar una propiedad es deducirlas de otras anteriormente ya demostradas. Este tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusin, si la informacin de la que se parte es verdadera. Una vez demostrado el teorema de Pitgoras, por ejemplo, sabemos que es verdadero para cualquier tringulo rectngulo. Esta generalizacin que produce la demostracin permite la aplicacin de un teorema dada a cualquier caso particular.- 22 -CAPTULO5I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOProblemas sobre cifras terminalesEn esta parte nos dedicamos a calcular la ltima cifra del resultado de un nmero que va a ser expuesto a sucesivas operaciones.Caso I: Para nmeros que terminen en: 0, 1, 5 6 Como:+) Z n6 . . . ) 6 ( . . . 1 ) 1 ( . . .5 . . . ) 5 ( . . . 0 . . . ) 0 ( . . .n nn nCaso II: Para nmeros que terminen en 4 9:Como:9 ... ) 9 (...1 ... ) 9 (...4 ... ) 4 (...6 ... ) 4 (...6561 9729 981 99 9256 464 416 44 443214321))imparparimparparCaso III: Para nmeros que terminan en: 2, 3, 7 8 Como: - 23 -CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO6 . . . ) 2 ( . . .2 5 6 21 2 8 26 4 23 2 21 6 28 24 22 20487654321)1. Halle el valor de:E=(7000)3-(6999)3-(6999)2-7(6999)x103a) 69992b) 70002c) 1d) 0 e) 700Resolucin:2. En que cifra termina el resultado de A?A=20022003a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 1Resolucin:3. Calcular: " os min tr 25 "5 3 1 S + + + a) 225 b) 625 c) 305d) 915 e) 225Resolucin:4. Hallar la suma de cifras de resultado de:cifras 1112) 99 ... 99 ( S a) 111 b) 9 c) 999d) 81 e) 333Resolucin:- 24 -Cada grupo de 4 la ltima cifra se repiteREFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO5. Si:R1=2-1+2R2=6+4-4R3=12-9+8R4=20+16-16Calcule el valor de R50Resolucin:6. Si Nx36= 468Nx24=312Halle las 3 ltimas cifras de Nx156Resolucin:1. Calcule el valor de:2 ) 31 x 30 x .... x 3 x 2 x 1 (30 x 29 x ... x 3 x 2 x 1 ... 3 x 2 x 1 2 x 1M2 2 2+ + +a) 31 b) 0 c) 300d) e) 12. Encuentre la fraccin a/b con menor denominador tal que: 19981997ba19971996< 0Calcule: 16 # 2a) 8 b) 4 c) 2d) 1 e) 62. Si: (x+y) #(y+z) #(x+z)=x4+y3+z2Halle 8 # 14 # 12a) 115 b) 197 c) 243d) 287 e) 3013. Si: PQ=5p2-3Calcular: 2(3(4((1920))))a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 184. Hallar: E= .... * 4 * 4 * 4Si: m * n =(2n)2-3ma) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 55. Dado: 31 x1 xf1 x1 x) x ( f + ,_

+

,_

+Halle: f(1/2)a) 12/5 b) 5/12 c) -5/12d) -12/5 e) 1/26. Si: 3220=364033=531825=34Calcular: x si: 30x=x30a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 327. En Z se define:ab=(a+b)(ab)(a+b) b = 2abCalcular: 8 5a) 630 b) 460 c) 1040d) 390 e) 9308. Si. F(x)=xf(x-1);x>0Halle:- 38 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO) 1 ( f ) 10 ( f) 9 ( f 18 .... ) 3 ( f 6 ) 2 ( f 4 ) 1 ( f 2M+ + + +a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 59. Se define:) b a ( b ab a Donde:3 1 = 27 4 = 819 5 = 1024Calcular: ( ) ( ) [ ] 100 ) 6 5 ( 9 8 5 2 E + a) 10 b) 100 c)1000d) 1 e) 010. Se define:a b b ab aCalcule:) 99 100 )( 100 99 () 2 5 )( 5 2 (M a) -6 b) 6 c) 9d) -9 e) 8OPERADOR MATEMTICO IIProblema 1:Se define el siguiente operador:'< + +b a s i b ab a s i b aba; 2; 2Halle el producto de todos los valores de x tales que:a) -9 b) 9 c) -18 d) 18 e) 12Problema 2:Si: x+1 = ) 3 x )( 2 x (1+ +- 39 -CAPTULO8CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOHalle n en: a) 50 b) 51 c) 53 d) 24 e) 25Problema 3:Si:(x+y) #(y+z) #(x+z)=x4+y3+z2Halle: 8#14#12a) 115 b) 197 c) 243 d) 287 e) 3011. Se define el siguiente operador:'< + +b a s i ; b a 2b a s i ; b 2 abaHalle el producto de todos los valores de x tales que:a) -9 b) 9 c) -18d) 18 e) 12Resolucin: 2. Sea x un nmero entero, si: =x3+1; =x2+2xCalcular el valor de: a+5a) 4 b) 3 c) 2d) 7 e) 1Resolucin:3. Si: =2x+3=4x-3- 40 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO a) 19 b) 11 c) 7d) 23 e) 31Resolucin:4. Si: Calcular: a) 8 b) 27 c) 14d) 11 e) 21Resolucin:5. Si: = x(x+1)=56Calcular: a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10Resolucin: 6. Se define el operador de la siguiente forma:- 41 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOa) 2 b) 1 c) 3d) -1 e) 0Resolucin:1. Si: x 1 = x+1Calcular: a) x+200 b) x-200 c) x+205d) x-207 e) x+2102. Si se sabe que:Calcular; a) 40 b) 48 c) 41d) 38 e) 453. En el conjunto N se define:x2-2 = x2-1a) 250 b) 251 c) 625d) 626 e) 514. Se sabe que: Calcular: aa) 1 b) 2 c)2d)3 e) 35.Calcular: -2a) -2 b) 8 c) -10d) -11 e) 116. Si: Adems: - 42 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOCalcular: a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 07. Si: =4x+1 y adems:. Calcular: a) 81 b) 64 c) 225d) 188 e) 1258. Dado:Calcular: a) 1 b) 0 c) -1d) 3 e) 319. Si: =2a+3b; =3a y Entonces el valor de x sera:a) 100 b) 91 c) 90d) 89 e) 8810. Si: = n-n+n-n+n-..Calcular: a) 0 b) 2 c) 1d) absurdo e) N.aOPERADOR MATEMTICO IIIProblema 1:Se define la operacin: (3a)(5b)=3b+ba 2-5aHalle: ) 101 99 (..) 7 5 () 5 3 () 3 1 ( E a) -1 b) c) 2/3 d) 1 e) 1/5Problema 2:Si:5 # 3 = 14 # 10 = 78 # 3 = 4- 43 -CAPTULO9CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO3 # 4 =0Calcule: 11 12 38 6 ##Donde: a-1: elemento inverso de a.a) b) 5/7 c) 3/7 d) 7/8e) 8/71. Si: a*b=a2+bCompletar la siguiente tabla* 1 2 3123Resolucin:2. Se define:* 1 2 3 41 3 4 1 22 4 1 2 33 1 2 3 44 2 3 4 1Hallar x en:(3*2)*(x*x)=(2*4)*(4*3)a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) A y C son correctasResolucin:3. Si:% 2 4 6 82 6 8 10 12- 44 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO4 18 20 22 246 38 40 42 448 66 68 70 72Calcular: 16 % 332a) 566 b) 567 c) 588d) 602 e) 608Resolucin:4. Dado la tabla: 1 2 3 41 1 2 3 42 2 3 4 13 3 4 1 24 4 1 2 3Hallar el resultado de: ) 4 2 ( ) 3 1 () 1 4 ( ) 2 3 (R + a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.AResolucin:5. Se define la operacin ab; en la tabla: 1 2 3 41 1 2 3 42 2 3 4 53 3 4 5 64 4 5 6 7Hallar:(47) (63)a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18Resolucin:6. Se define la tabla:%0 1 2 30 0 1 2 3- 45 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO1 1 3 0 22 2 0 3 13 3 2 1 0Hallar x de:(1%x)%(3%0)=(2%2)%1a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 41. Dada la tabla:* 1 4 21 10 4 34 9 5 122 1 12 40Hallar: 241*242a) 492 b) 312 c) 4012d) 4092 e) 90022. Aqu se presenta la tabla de la operacin simbolizada por (*):* 1 2 3 41 3 4 2 12 3 4 1 33 2 4 1 24 4 3 1 2Segn la tabla determinar el valor de E, donde:E=2*3+1*[3*(4*1)]+4*(3*2)a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 93. Dada la siguiente tabla, hallar E si:E=[(87)5]2 7 5 23 -1 -7 48 8 3 -59 -3 3 7a) 1 b) 3 c) 7d) 4 e) 54. Dadas las tablas siguientes: 2 4 6 6 4 22 6 2 6 6 6 2 44 4 4 2 4 2 6 2- 46 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO6 2 6 4 2 4 2 4Hallar: [(62) 4][2(44)]a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 85. Si: A={0,1,2,3} se define:* 0 1 2 30 0 1 2 31 1 3 0 22 2 0 3 13 3 2 1 0Calcular x en:(3*x)*(2*0)=(3*3)*0a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 46. Si A={a,b,c} se define:# a b ca b c ab c a bc a b cHallar x si:(b#x) # (b#c) = (c#a) #ba) a b) b c) cd) d e) e7. En el conjunto: M={a, b, c, d} se define:% b c a da b c a db c d b ac d a c bd a b c cHalle:) a % d )%( c % c () b % a )%( a % b (N a) bab) abc) bcd) cae) 18. Se define el operador @ en el conjunto: A={1,2,3,4,5} mediante la tabla:@ 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 3 4 5 13 3 4 3 1 24 4 5 1 2 35 5 1 2 3 5Halle: ( ) ( ) ( ) [ ]@(2@3) @....@1 @3 @1 @3 1 MOperadores 100 a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 59. Se define M={1,2,3,4,5} la operacin mediante la siguiente tabla: 1 2 4 51 5 4 1 22 4 2 2 14 1 2 4 56 2 1 5 1Cul es el elemento neutro?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 510. Se define una operacin matemtica mediante la tabla:* 1 2 3123231123312Calcule:- 47 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO[(1*2)*3]*[(3*2)*1]a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5TANTO POR CUANTO- 48 -CAPTULO10I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOEn toda actividad comercial se encuentra presente la necesidad de obtener un determinado beneficio el cual, en la mayora de casos, se representa por un tanto por ciento del costo de los artculos.PORCENTAJE ITANTO POR CUANTOObjetivos: Establecer una relacin entre parte y todo Calcular el tanto por cuanto de una cantidad dada Determinar el tanto por ciento de una cantidad Realizar operaciones con porcentajes Determinar la variacin porcentual Hallar aumentos y descuentos sucesivos con respecto a una cantidad de referencias Reconocer los elementos que intervienen en las operaciones comerciales.Introduccin:En nuestra vida diaria se observa muy a menudo el uso del tanto por cuanto en diversas formas. Es muy comn que cerca de donde vivimos se encuentre una pequea tienda, la cual por las maanas venda pan, que a su vez ha sido comprado en una panadera. Se podra decir entonces que no hay ganancia, peroal comprar unacantidadconsiderablede panes la panadera por lo general brinda algunos adicionales. As, posiblemente, por cada 50 panes nos den 8 panes adicionales o por cada 100, 16 adicionales. A esto se le conoce como vendaje, un trmino que hoy en da no se utiliza - 49 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOmucho; pero antiguamente era bastante comn en una panadera. Quizs tambinescuchamos enlas noticias quelainflacin deeste mes con respecto del mes anterior es del 1,8%; el ndice de analfabetos en el Per es del 18%, el inters que paga el banco es del 10% anual, uno de cada mil habitantes sufre de desnutricin severa 3 de cada 5 personas viven en la zona rural.Por todo ello, es importante conocer los procedimientos que permiten calcular el tantopor cuantodeunacantidadconrespectodeotra. Este captuloesmsquetodoprcticoporlocual daremosnfasisenmayor medida a las aplicamos, ala vez que esto nos dar una mejor amplitud para captulos posteriores como regla de mezcla o introduccin a la matemtica financiera. Cuando se llega a una conclusin falsa y sta es aceptada extensamente, no es fcilrenunciar a ella y, cuanto menos se entienda, ms tenazmente se conservaGeorg Cantor. Concepto:Es un procedimiento que permite determinar qu tanto representa una cantidad con respecto de un todo llamado cuanto.Ejemplo:Se tienen un cesto con 10 manzanas el cual se va a dividir en 5 partes iguales y luego tomaremos:1. 2 de dichas partes2. 3 de dichas partes3. 5 de dichas partesVeamos grficamente:- 50 -Pensamiento REGLA DEL TANTO POR CONCEPTORESOLUCINI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOAhora:1. Tomemos 2 de dichas partes:Tendremos 4 manzanas, es decir, el:Esto se resume en lo siguiente: En primer lugar, se dividi a 10 en 5 partes iguales) parte cada ( 2510 En segundo lugar, tomamos 2 de estas partes.Lo cual podramos escribir de la siguiente manera:El 2 por 5 de 10 < >52(10)En General: Donde:m: tanton: cuanto Grficamente:- 51 -El m por n de A< > Vamos a tomar m partes de las n partes en las que ha sido dividido A.El m por n de A< > I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO2. Ahora en este caso ya ser mucho ms fcil:El 3 por 5 de 10 < > 53(10)=63. El 5 por 5 de 10 53(10)=10Lgicamente si tomamos todas las partes obtendremos el total.A una competencia deportiva realizada en Lima se han presentado 35 delegaciones, notndose que por cada7delegaciones, 3sonde provincia, adems una de cada 4 delegaciones de Lima pertenece al Cercado de Lima. Cuntas delegaciones de Lima no son del Cercado?Segn el texto, el 3 por 7 del total de delegaciones es de provincias, es decir:15 ) 35 (73(delegaciones de provincia)Como hay 15 delegacionesDelegaciones de Lima35-15=20Luego:Provincia=15Lima=20Ahora nos dicen que el 1 por cada 4 delegaciones de Lima pertenece al Cercado, esto es:5 ) 20 (41 (delegaciones del cercado)Y es as que, las delegaciones de Lima que no son del Cercado sern (20-5)=15.Por lo tanto, 15 delegaciones de Lima no son del Cercado.- 52 -APLICACIN 1RESOLUCINI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOEn un saln de clases hay 60 estudiantes, de los cualeslasdamas representanel 2por 5del total deestudiantes. Si 5decada9 varones usan lentes Cuntos varones no usan lentes?Veamos:Damas:24 ) 60 (52Varones: 36 ) 60 (53Nos dicen que 5 por cada 9 varones usan lentes, esto significa que:20 ) 36 (95Por lo tanto, la cantidad de varones que no usan lentes es igual a:36-20=16Entonces, 16 varones no usan lentes.Tanto por mil(%o)En poca de la colonia era bastante comn utilizar el tanto por mil, es decir, sedividaal todoen1000partesiguales. Estosediocomo resultado de la influencia europea, donde el tanto por mil era aplicado comercialmente.Ejemplos:1. Calcule el 5 por mil de 400.2 ) 400 (100052. Calcule el 8 por mil de 150012 ) 1500 (10008- 53 -APLICACIN 2RESOLUCINCASOS PARTICULARES NOTA:Alse le denota por %o. Hoy en da, no se utiliza comercialmenteel%o;perosurepresentacin todavalautilizanenalgunaslibreras errneamente.Porejemplo,dosmillaresdepapel bond2%odepapelbond;aunquedicha notacin no representa las 2 mil unidades de papel bond, los comerciantes la han adoptado como una formadeabreviacinpararepresentarunmillar como %o NOTA:Alse le denota por %o. Hoy en da, no se utiliza comercialmenteel%o;perosurepresentacin todavalautilizanenalgunaslibreras errneamente.Porejemplo,dosmillaresdepapel bond2%odepapelbond;aunquedicha notacin no representa las 2 mil unidades de papel bond, los comerciantes la han adoptado como una formadeabreviacinpararepresentarunmillar como %oCONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOTanto por ciento (%)Hoy en da es bastante comn hablar del tanto por ciento, es decir, dividir al todo en 100 partes iguales. Es el tanto por ciento al cual nos dedicaremos en el resto del captulo por ser el que mayor aplicacin presenta en nuestra actividad diaria, el mbito estadstico y comercial, econmico.1. Hallar el 10% del 25% de 400 000.Resolucin:2. Hallar el 0,002% de 36 000.Resolucin: 3. 25% de qu nmero es 60?Resolucin:4. De qu nmero es 298 el %736 ms?- 54 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOResolucin: 5. Si el x% ms de q es p; Cul es el valor de x?Resolucin:6. Si tuviera 20% ms de la edad que tengo tendra48 aos Qu edad tengo en la actualidad?Resolucin: 7. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. Cul es dicha cantidad?Resolucin: 1. 0,06% de qu nmero es 24?a) 2400 b) 240 c) 242d) 344 e) N.A2. Hallar el 0,008% de 0,2?a) 16x10-4b) 16x10-6c) 8x10-4d) 8x10-6e) 16x10-33. Hallar el (a+b)% de b ab a+a) (a-b) b) (a+b)2c)100b a d) (a-b)2e) 100b a +4. Hallar: %21 de la mitad de 80 aumentada en 20?a) 0,3 b) 0,03 c) 0,003d) 3 e) 0,65. Halle 0,08% de 0,05% de 40 000?a) 0,16 b) 0,016 c) 0,032d) 0,165 e) N.A6. Cuando recibir ms: si me dan el 17% de 200; el 0,08% de 40 000 los 5/6% de 3000.a) Cuando me den 0,08% de 40000b) Cuando me den 17% de 200c) Cuando reciba 5/6% de 3000d) Siempre igual e) N.A- 55 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AO7. Si Jos tuviera 24% menos de la edad que tiene, tendra 38 aos Qu edad tiene actualmente?a) 45 aosb) 50 aosc) 35 aosd) 65 aose) 55 aos 8. Si vendiera mi libro de Razonamiento Matemtico en un 30% menos, costara 17,50 soles Cul es el precio real del libro?a) S/. 25 b) S/. 35 c) S/. 30d) S/.28 e) S/. 329. El 40% de los del 6% de 48 es 0,012 de los 2/3 de una cantidad. Hallar el 25% de dicha cantidad.a) 17 b) 19 c) 23d) 27 e) 3710.Dos blusas son vendidas en S/. 30 cada una. En la primera se gana20%yenlasegundase pierde el 20%. Entonces se puede afirmar que:a) Se pierde S/.4b) Se gana S/. 4c) Se pierde S/. 2,50d) Se gana S/. 2,50e) N.A- 56 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOPORCENTAJES IIEL POCITO AGRCOLALos pocitos en su genuino carcter eras graneros especialmente de trigo, con el objeto de abastecer de pan al pblico, especialmente en las pocas de carestay de prestar granoaloslabradores, tantoparalasiembracomoparael consumoenlosmesesdemayorescasez, librndolosas de caer en las manos de usura.Con el prstamo, el pequeo labrador poda suplir las carencias de una mala cosecha o la compra de todo lo necesario para la prxima, obienlacompradenuevastierrasoel sanearlas rentas. Alos vecinos necesitados se les hacan prstamos desdemediadosdeabril hastalacosecha. Normalmenteen agosto.Felipe II en una pragmtica de 15 de mayo de 1584 estableci laprimerareglamentacinoficial deestos establecimientos, disponiendoquesudineroseguardaseenunarcacontres llaves y el trigo en un depsito con dos llaves.En 1792 existen en Espaa 5249 pocitos municipales a partir de esa fecha se reitera lo de las tres llaves para el dinero y se exigen tambintres llaves para eldepsito de grano,llaves quedebanestar enpoder del alcalde, deunregidor ydel depositario.Siempre ha existido la picaresca y en este caso era bastante comn el que algunos ganasen la voluntad de los interventores para sacar cantidades de grano con que negociar, por cuenta propia o ajena; otros ponan en juego malas artes o la intriga hasta conseguir su entrada en el ayuntamiento y el manejo de los caudales del pocito durante el tiempo de su mandato y as repartir los granos y prstamos entre familiares, amigos y compradores, sinacordarse delos pobres quecarecande semillas para continuar sus labores y de dinero para comprarlas.Los intereses de los pocitos oscilaban entre el 6 y 12% anual. Muchos de los pequeos agricultores no inscribieron sus propiedades en el nuevo Registro de la Propiedad para huirle a los gastos que ocasionaba tal registro. Al no hacerlo, quedaban fuera de los requisitos exigidos y caan en mano de usureros y - 57 -CAPTULO11CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOSI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOprestamistas que en virtud de la necesidad, suban los intereses en torno al 30 por ciento. A veces el prestamista era el propio propietario de la finca que dejaba dinero a crdito a su arrendatario.1. Qu % del 20% del 10% de 400 es el 8% de 0,2% de 1000?a) 3% b) 4% c) 4%d) 2% e) 10%Resolucin:2. Qu porcentaje de es 1/5? a) 80% b) 20%c)70%d) 60% e) N.AResolucin:3. Si el 20% de un nmero es el 30% de otro Qu porcentaje de la suma es la diferencia?a) 50% b) 10% c) 20%d) 30% e) N.AResolucin:4. Si al vender un objeto en S/. 2376 se gana S/. 396 Cul es el tanto por ciento de ganancia?a) 20% b) 33% c) 42%d) 52% e) N.AResolucin:5. Qu tanto por ciento representa la regin sombreada respecto de la regin no sombreada?Observacin: Todas las divisiones son simtricas.a) 20% b) 50% c) 75%d) 40% e) 60%Resolucin:6. En la UNMSMel 30%de los alumnos son mujeres, si el 20% de mujeres y el 30%de los hombressalendepaseoQu - 58 -REFORZANDOMIS CAPACIDADESI.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOporcentaje de los alumnos de la UNMSM fue al paseo?a) 25% b) 27% c) 29%d) 31% e) 33%Resolucin:1. Si R disminuye en 10% En que porcentaje disminuir R2?a) 10% b) 100% c) 81%d) 19% e) 90%2. Si 20%A=30%B, Qu porcentaje de (A+B) es B?a) 20% b) 30% c) 40%d) 50% e) 60%3. Si 60%A=80%B, Qu porcentaje de (A+2B) es (2A-B)?a) 20% b) 30% c) 40%d) 50% e) 60%4. En qu porcentaje vara el rea de un crculo cuando su radio aumenta en un 20%?a) 20% b) 24% c) 30%d) 40% e) 44%5. Qu porcentaje del sextuplo del 20%deunnmeroes el 70%del 60%de los 2/5 del mismo nmero?a) 10% b) 12% c) 14%d) 16% e) 18%6. A cmo debo vender lo que me cost $332 para ganar el 17% del precio de venta?a) 350 b) 382 c) 415d) 424 e) 4007. Qu porcentaje de la regin sombreada es la regin no sombreada?a) 50% b) 100% c) 40%d) 30% e) 60%8. En la figura mostrada Qu porcentaje del rea total representa el rea sombreada?a) 50% b) 10% c) 15%d) 20% e) 25%9. S vende un televisor por S/. 6000 ganando el 20% del precio de venta ms el 40% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor.a) S/.1500 b) S/.2000 c) S/. 3000d) S/. 4000 e) S/. 450010.Luego de realizar ciertas compras el Sr. Prez razonaba: si gastara el 50% de lo que no gast, gastara en total el 300% de lo que gast, de esta maneranohabragastadoS/. 800 menos de lo que realmente no gast. Cunto tena en total al principio?a) S/. 4000 b) S/. 3000c)S/. 3500- 59 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOd) S/. 2000 e) S/. 2800EL GRAN RETO!!En un censo tomado entre los estudiantes de la academia se encontr que por lo menos 70% tenan el libro Razonamiento Lgico; por lo menos el 75% tenan el libro Planteo de ecuaciones; por lo menos el 80% tenan el libro Cronometra y por lo menos el 85%, tenan el libroTantoporciento. Cuntos, porlomenos, tenanloscuatro libros mencionados?- 60 -I.E.P. SAN AGUSTNRAZONAMIENTO MATEMTICO 2 AOa) 5% b) 10% c) 25%d) 50% e) 70%- 61 -