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Plan du cours : VibrationsI. Systèmes à 1 degré de liberté
II. Systèmes à plusieurs degrés de liberté
III. Systèmes continus incompressibles
IV. Propagation du son dans les milieux compressibles
L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomiqueVibrations longitudinales dans les poutresVibrations de torsion dans un arbre circulaireCordes vibrantesGénéralisation
Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonoreOnde plane, onde sphériquePropagation en ondes planesSolutions harmoniquesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires
Exemples détaillésVibrations longitudinales d’une poutre, conditions
d’encastrement.Oscillations de flexion
Méthode de RayleighPrincipeApplications
Systèmes continus incompressibles
L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomique
Un système est continu → infinité continue de variablesLa dynamique est paramétrée par des variables qu’on appelle champs.Ce sont des fonctions continues du temps et de l’espace.
( )Nnnnnn uukkuum
∈∀−+ =+−+ 02 11&&
m mk kk
un un+1
n n+1n-1
mk
un-1
( ) ( )qnatAnatun += ωcos,
( )Nnnnnn uukkuum
∈∀−+ =+−+ 02 11&&
( ) ( )qxtAxtun += ωcos,
x repère la position de nième atome : c’est une variable discrète. On considère la limite a→0, alors x devient une variable continue.
( ) ( )qxtAxtu += ωcos,
C’est maintenant une fonction continue du temps et de l’espace. On peut la dériver par rapport à x et à t.
( ) ( )qxtAqx
xtu+−=
∂∂ ωcos, 2
2
2 ( ) ( )qxtAt
xtu+−=
∂∂ ωω cos, 2
2
2
( ) ( ) 0,,2
2
2
2
2
2
=∂
∂−
∂∂
txtuq
xxtu
ωu(t,x) vérifie l’équation
on pose qui est homogène à une vitesse.qc /ω=
( ) ( ) 0,1,2
2
22
2
=∂
∂−
∂∂
txtu
cxxtu
C’est l’équation de d’Alembert, encore appelée équation des cordes vibrantes.
L’équation de d’AlembertVibrations longitudinales dans les poutres
[RDM] statique : traction sur une poutre
F=ES δ l/l
Avant traction Après traction
F/S
δl/l
dx
F
F
lllE
SF δ=
dxX
X+dX
Allongement relatif
dxdX
dxXdXX
=−+ )()(
dxdXE
SF=
Application de la RFD à la tranche de poutre comprise entre x et x+dx. [de section droite S, de densité ρ]
dx
X
X+dX
F(x)
F(x+dx)
( ) ( )
dxxF
xFdxxF
FtXSdx
∂∂
=
−+=
=∂∂
× ∑ ext2
2
ρ
sachant que xXE
SF
∂∂
= 2
2
xXES
xF
∂∂
=∂∂
dxxXES
tXSdx 2
2
2
2
∂∂
=∂∂
×ρ ρρ /;02
2
2
2
EctX
ExX
==∂∂
−∂∂
L’équation de d’AlembertVibrations de torsion d’un arbre circulaire
x+dxx
θ θθ d+
Γ Γ+Γ d
RFD : Γ=∂∂
× dt
dxI 2
2
0θ
moment d’inertie de la tranche
accélération angulaire
couple des forces appliquées
Lois de Hooke [RDM] :x
G∂∂
=Γθκ
∫∫=S
dsr 2κ : c’est le moment quadratique de la section droite
Γ=∂∂
× dt
dxI 2
2
0θ
( ) dxx
Gx
Gdt
dx 2
2
2
2
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=∂∂
×θκθκθκρ
ρθρθ /;02
2
2
2
GctGx
==∂∂
−∂∂
L’équation de d’AlembertCordes vibrantes
xT
T
y
y+dy( )xα
( )dxx +α
A
B
x x+dx
Corde soumise à une tension T, de masse linéïque µ, dont les déplacements verticaux sont repérés par y(x,t). On supposera les angles petits.
RFD sur le segment de corde de longueur dx
Ox : ( ) ( )( )( ) ( )( )
011coscos
=×−×≈−+=
−+=
TTxTdxxT
xFdxxFdF xxx
αα
Oy : ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
dxx
T
xdxxTxTdxxT
xFdxxFdF yyy
∂∂
≈
−+×≈−+=
−+=
ααα
αα sinsin
de plus, ( ) ( ) dxxyTdFx
xyx y 2
2
∂∂
=⇒∂∂
=α
Oy :
µµ
µµ
/;02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Tcty
Txy
dxxyT
tydxdF
tydx y
==∂∂
−∂∂
⇔
∂∂
=∂∂
⇔=∂∂
Résumé
µµ /;02
2
2
2
Tcty
Txy
==∂∂
−∂∂
ρθρθ /;02
2
2
2
GctGx
==∂∂
−∂∂
ρρ /;02
2
2
2
EctX
ExX
==∂∂
−∂∂
Poutre [compression-traction]
Arbre [torsion = cisaillement]
Cordes [déplacement longitudinal]
L’équation de d’AlembertGénéralisation
D’une manière générale, la dynamique d’un ébranlement décrit par un champ , dans un milieu continu, est généralement définie par l’équation de d’Alembert :
( )trX ,r
012
2
2 =∂∂
−∆tX
cX
m-1 m.s-2m.s-1
! Il faut rester dans un domaine linéaire des forces de rappel !Les solutions de cette équation sont appelées ondes.
L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomiqueVibrations longitudinales dans les poutresVibrations de torsion dans un arbre circulaireCordes vibrantesGénéralisation
Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonoreOnde plane, onde sphériquePropagation en ondes planesSolutions harmoniquesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires
Exemples détaillésVibrations longitudinales d’une poutre, conditions
d’encastrement.Oscillations de flexion
Méthode de RayleighPrincipeApplications
Systèmes continus incompressibles
Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonore
Notions relatives aux ondesOndes planes, ondes shériques
Onde longitudinale Onde transverse
Les fronts d’onde sont plansondes planes
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
tX
cxX
Notions relatives aux ondesOndes planes, ondes shériques
Les fronts d’onde sont des sphèresondes sphériques
( ) ( ) ( )trXtrXtrX ,,,,, == ϕθr
2
2
2
2
2
2
zU
yU
xUU
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆
( ) 2
2
2222
2
sin1sin
sin11
ϕθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
=∆U
rU
rrU
rrU
( ) 2
2
2222
2
sin1sin
sin11
ϕθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
=∆U
rU
rrU
rrU
( )rUrr
U 2
21∂∂
=∆
( ) ( ) ( )trXtrXtrX ,,,,, == ϕθr
On change de description en posant rX=ξ
2
2
2
2
2
2 1;1trt
Xrrr
X∂∂
=∂∂
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∆=∆
ξξξ
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
tcrξξ
Notions relatives aux ondesPropagation en ondes planes
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
tX
cxXSoit X une solution de
011012
2
22
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
⇔=∂∂
−∂∂ X
tcxtcxtX
cxX
changement de variablecxtq
cxtp +=−= ;
1;1
1;1
=∂∂
+=∂∂
=∂∂
−=∂∂
tq
cxq
tp
cxp
pc
qpcqcpc
tq
qtp
pcxq
qxp
ptcx
∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
−∂∂
2
111
11
qc
qpcqcpc
tq
qtp
pcxq
qxp
ptcx
∂∂
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
2
111
11
040112 =
∂∂
∂∂
−⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂ X
qpcX
tcxtcx
02
=∂∂
∂qp
X
on intègre par rapport à p
( ) qKqgqpXqGqX
+=⇒=∂∂ )(,)(
on intègre par rapport à q
( ) pKpfqpXpFpX
+=⇒=∂∂ )(,)(
( ) ( )qgpfqpX += )(, ( )xctgxctfX ++−= )(
)( 1 xctf −
x
1f
1x
)( 111 xctff −=
)( 2 xctf −
x
2f
2x
1222 )( fxctff =−=
( )1212
2211
ttcxxxctxct−=−−=−
( ) ( )xctXxctXxctgxctfX ++−=++−= −+ )()(
Onde progressive Onde rétrograde
c correspond bien à la vitesse de propagationdans le milieu, pour chacune des ondes.
Si la vitesse ne dépend pas de la forme de l’onde, on dit que le milieu est non dispersif. Quelle que soit l’onde qui s’y propage, elle le
fait à la vitesse c.
Dans le cas contraire, il [le milieu] est dispersif [rappelez vous le cas de la chaîne
atomique].
Notions relatives aux ondesSolutions harmoniques
Quand il s’agissait des atomes d’une chaîne atomique, on cherchait les solutions sous la forme . C’est-à-dire que tous les points du système vibrent à la même pulsation. [indépendance linéaire des exponentielles… sinon on obtient la solution triviale : il ne se passe rien.]
( ) ( )ntin Aetu φω +=
On cherche des solutions sous la forme
( ) ( ) tiexftxX ω=,
( ) tiin eAetu n ωφ=
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
tX
cxX ( ) ( ) tiexftxX ω=,
( )[ ] ( ) titi ex
xfexfxx
X ωω2
2
2
2
2
2
∂∂
=∂∂
=∂∂
( )[ ] ( ) ( ) titi
ti exfxexfexf
ttX ω
ωω ω 2
2
2
2
2
2
2
−=∂∂
=∂∂
=∂∂
ckfkffcx
f /;00 22
2
2
2
ωω==+⇔=+
∂∂ &&
+
( ) ikxikx eCeCxf −+= 21
( ) ( ) ( )kxtikxti eCeCxf −+ += ωω21
( ) ( ) ( )kxtikxti eCeCxf −+ += ωω21
Onde progressiveOnde rétrograde
kc
k
T
ωλπ
πω
=
=
=
2
2 pulsation
nombre d’onde
vitesse de propagation
Notions relatives aux ondesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires
( ) ( )kxtiAexf += ω1
( ) ( )kxtiAexf −= ω2
( ) ( )xfxf 21 +
Les dépendances temporelles et spatiales sont découplées : on observe une onde stationnaire.
onde stationnaire onde partiellement stationnaire
Taux d’onde stationnairemin
max
XXTOS =
( ) ( )kxtikxti BeAe +− + ωω
Si A=±B, l’onde est totalement stationnaireSi A≠B, l’onde est partiellement stationnaire
L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomiqueVibrations longitudinales dans les poutresVibrations de torsion dans un arbre circulaireCordes vibrantesGénéralisation
Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonoreOnde plane, onde sphériquePropagation en ondes planesSolutions harmoniquesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires
Exemples détaillésVibrations longitudinales d’une poutre, conditions
d’encastrement.Oscillations de flexion d’une poutre
Méthode de RayleighPrincipeApplications
Systèmes continus incompressibles
Exemples détaillésVibrations longitudinales d’une poutre, conditions
d’encastrement
ρρ /;02
2
2
2
EctX
ExX
==∂∂
−∂∂
( ) ( ) ( )kxtikxti BeAetxX +− += ωω,
a) La poutre est encastrée des 2 cotés :
0 L( ) ( ) 0,;0,0 == tLXtX
( ) 00,0 =+⇒=+= BABeAetX titi ωω
( ) [ ]π
ωω
pkLkLiAeeeAetLX tiikLikLti
=⇒=−=−= − 0sin2,
( ) ( ) txkCtxXxkiAetxX ppste
pti ωω sinsin,sin2, =⇒−=
LpE
Lpk pp 2
;2
πρ
ωπ==
a) La poutre est encastrée des 2 cotés :
0 L( ) ( ) 0,;0,0 == tLXtX
( ) ( ) ( )kxtikxti BeAetxX +− += ωω,
Encastrée en 0 :
Encastrée en L :
( ) txkCtxX ppste
p ωsinsin, =
LpE
Lpk pp 2
;2
πρ
ωπ==
p=1 p=2
p=3 p=4
( ) ( ) ( )kxtikxti BeAetxX +− += ωω,
( ) 00,0 =+⇒=+= BABeAetX titi ωω
( ) ( ) kxiAeeeAetxX tiikxikxti sin2, ωω −=−= −
( ) ( ) 0cos,cos2, =∝∂∂
⇒−=∂∂ kLtL
xXkxikAetx
xX tiω
Encastrée en 0 :
Libre en L :
( )2
122
πππ+=+= ppkL
a) La poutre est encastrée en 0, libre en L :
0 L( ) t
xXESFtX ∀=∂∂
== ,0;0,0
( ) txkCtxX ppste
p ωsinsin, =
( ) ( )L
pEL
pk pp 212;
212 π
ρωπ
+=+=
p=1 p=2
p=3 p=4
Superposition linéaire d’ondes stationnaire :encastrée-encastrée
Superposition linéaire d’ondes stationnaire :encastrée-libre
Exemples détaillésOscillations de flexion d’une poutre
0 L
0 L
xTdT
tyS
∂∂
==∂∂
2
2
ρ
y
T T+dT
x x+dx
M+dMM
M : moment fléchissant.T : effort tranchant.y(x,t) : flèche de la poutre par
rapport à l’axe neutre longitudinal.
E : module d’Young.ρ : masse volumique.I : moment quadratique.
Forces :
0=+TdxdMMoments :
2
2
2
2
xM
xT
tyS
∂∂
−=∂∂
=∂∂ρ
RDM : 2
2
xyEIM
∂∂
= 4
4
2
2
xyEI
tyS
∂∂
−=∂∂ρ
02
2
4
4
=∂∂
+∂∂
ty
EIS
xy ρ
Méthode de séparation des variables( ) ( ) ( )tgxftxy =,
02
2
4
4
=∂∂
+∂∂
ty
EIS
xy ρ 02
2
4
4
=∂∂
+∂∂
tg
EISf
xfg ρ
22
2
4
4
2
2
4
4 110 ωρ
ρ==
∂∂
−=∂∂
⇔=∂∂
+∂∂ steC
tg
gxf
SEI
ftg
EISf
xfg
( )[ ]rxexffEIS
xf
=⇒=∂∂ 2
4
4
ωρ
( ) tBtAtggtg ωωω cossin22
2
+=⇒−=∂∂
( ) xFxExDxCxf αααα coshsinhcossin +++=
41
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
EISωρα
( ) ( )( )tBtAxftxy nnnn ωω cossin, +=
SEI
LXXL
EIS n
nnnn
n ρωαωρα 2
241
2
; =⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
La flèche est décrite par l’évolution d’une enveloppe [f(x)] au cours du temps [g(t)]. Chaque mode est caractérisé par son nombre d’onde [α, l’extension spatiale] et sa pulsation [ω, l’extension temporelle]. La pulsation est liée au nombre d’onde, lui-même déterminé par les conditions aux limites, c’est-à-dire le type d’appui à chacune des extrémités de la poutre.
Conditions aux limites
•encastrement
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∂∂
=→
⎭⎬⎫
==
0
0
00
xyy
yy&
•appui simple/charnière
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∂∂
=→
⎭⎬⎫
==
0
0
00
2
2
xyy
My
•extrémité libre
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
→⎭⎬⎫
==
0
0
00
3
3
2
2
xy
xy
TM
•appui élastique (ressort)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
±=
∂∂
=∂∂
→⎭⎬⎫
==
yEI
kxy
xy
kyTM
3
3
2
2
00
~((2n-1)π/2)2120,961,722,43,52Xn
2X42X3
2X22X1
2
=(nπ)2157,988,839,59,87Xn
2X42X3
2X22X1
2
~((2n+1)π/2)2199,8120,961,722,4Xn
2X42X3
2X22X1
2
---------178,21045015,4Xn
2X42X3
2X22X1
2
0coshcos1 =+ LL αα
0sin =Lα
LL αα tanhtan =
0coshcos1 =− LL αα
L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomiqueVibrations longitudinales dans les poutresVibrations de torsion dans un arbre circulaireCordes vibrantesGénéralisation
Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonoreOnde plane, onde sphériquePropagation en ondes planesSolutions harmoniquesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires
Exemples détaillésVibrations longitudinales d’une poutre, conditions
d’encastrement.Oscillations de flexion d’une poutre
Méthode de RayleighPrincipeApplications
Systèmes continus incompressibles
Méthode de RayleighPrincipe
La méthode de Rayleigh sert à estimer les pulsations propres d’un système. Les conditions d’application sont :
• réponse harmonique• pas de dissipation• les modes propres sont connus
Idée : pendant une oscillation, c’est-à-dire pendant une période du mouvement, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle s’échangent. Leur maximum est le même :
Tmax = Vmax
mk
x
Le cas d’une masse couplée à un ressort
( ) txtx M ωsin=
2max
222
21sin
21
21
MM kxVtkxkxV =⇒== ω
22max
2222
21cos
21
21
MM xmTtxmxmT ωωω =⇒== &
mkxmkxVT MM =⇒=⇒= 2222
maxmax 21
21 ωω
Le cas de la corde vibrante
xT
T
y
y+dy( )xα
( )dxx +α
A
B
x x+dx
Son énergie potentielle vient de la tension
2
2
2
2
2
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=→∂∂
−=→∂∂
=∂∂
xyTV
yVF
xyT
tyµ
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
L
dx dxxyTV
xyTV
0
22
21
21
( ) ∫=→=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
L
dx dxyTytyT
0
2222
21
21
21 µωωµµ
y est le profil de la corde pour un mode particulier. Connaître y, c’est connaître la pulsation ω.
∫
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⇒= L
L
dxy
dxxy
TVT
0
2
0
2
2maxmax µ
ω
Méthode de RayleighApplication
Solution exacte pour la corde vibrante encastrée aux deux extrémités :
( ) ( ) ( )kxtikxti BeAetxy −+ += ωω,
( ) ( ) 0,,0 == tLyty
( )µ
πωπω TL
pL
pktxkAtxy pppp === ;;sinsin2,
( ) txkAtxy 11 sinsin, ω=
mode p=1
µπω TL
=1
approximation [linéaire] :
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=<≤=<≤
LxAxyLxLx
LAxyLx 1:
2:
20
µω T
L12
1 = l’erreur n’est que de 10%
approximation [quadratique] :
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
22
2 224 LxLLAxy
µω T
L10
1 = l’erreur n’est que de 0.66% !
En « devinant » l’enveloppe du mode dont on veut déterminer la pulsation, et en connaissant la forme théorique des pulsations, on peut obtenir la valeur de la pulsation du dit mode avec une précision acceptable.
Formules utiles pour différents problèmes
Vibrations longitudinales d’une poutre
∫
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= L
L
dxX
dxxX
E
0
2
0
2
2
ρω
Vibrations de torsion d’une poutre
∫
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= L
L
dx
dxxG
0
2
0
2
2
θ
θ
ρω
Vibrations de flexion d’une poutre
∫
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= L
L
dxy
dxxy
SEI
0
2
0
2
2
ρω
Vibrations transversales d’une corde
∫
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= L
L
dxy
dxxy
T
0
2
0
2
2
µω