Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

y1 = ax + by2 = ax + b

Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations.

y2 = 2x + 5

y1 = 3x + 2

Nombre de planches

13

0 1 2 3 4 5

Salaires comparés

Montantgagné ($)

121110

9876543210

Si toutes les relations formant le système sont linéaires, le système est également qualifié de linéaire.

Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées du point pour lequel les deux équations sont égales.

y2 = 2x + 5

y1 = 3x + 2

Couple solution (3 , 11)

Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système.

Nombre de planches

13

0 1 2 3 4 5

Salaires comparés

Montantgagné ($)

121110

9876543210

Exemple : Deux amis travaillent dans deux entreprises de fabrication de planches à neige. Tous les deux préparent la finition des planches. Le premier reçoit quotidiennement un salaire de base de 2 $ plus 3 $ par planche; l'autre reçoit quotidiennement un salaire de base de 5 $ plus 2 $ par planche. À partir de combien de planches, les deux auront-ils gagné le même montant ?

1ère étape :

x : le nombre de planches

y : le montant gagné

2e étape :

Identifier les variables.

Établir le système (c’est-à-dire, trouver les équations).

y1 = 3x + 2

y2 = 2x + 5et

3e étape : Résoudre le systèmepour lesquelles les équations sont égales).

(c’est-à-dire chercher les valeurs de x et de y

Il est donc essentiel de bien lire la situation.

le montant gagné = 3,00$ par planche + 2,00$ (salaire de base)

le montant gagné = 2,00$ par planche + 5,00$ (salaire de base)

Pour résoudre un système, on peut utiliser plusieurs méthodes.

Par une table de valeurs : 0 1 2 3 42 5 8 11 145 7 9 11 13

xy1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5

3e étape : Résoudre le système.

On peut remarquer que lorsque les deux amis auront fini 3 planches, ils auront le même salaire.

y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5

11 = 3 X 3 + 2 11 = 2 X 3 + 5

Le couple solution ou l'ensemble-solution de cette situation est donc (3 , 11).

4e étape : (c’est-à-dire, vérifier si les calculs donnent la même réponse pour les deux équations).Valider la solution

Pour une même valeur de la variable x (x = 3), la valeur de la variable y estla même dans les deux équations (y1 = y2 = 11) .

Par une table de valeurs : 0 1 2 3 42 5 8 11 145 7 9 11 13

xy1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5

La table de valeurs donne parfois le couple solution, mais ce n’est pas toujours le cas.

Remarque

3e étape : Résoudre le système

Par un graphique :

y2 = 2x + 5

y1 = 3x + 2

Couple solution (3 , 11)

Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système.

La méthode graphique est intéressante, car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.

Nombre de planches

13

0 1 2 3 4 5

Salaires comparés

Montantgagné ($)

121110

9876543210

3e étape : Résoudre le système

Par résolution algébrique

y2 = 2x + 5

y1 = 3x + 2

Nombre de planches

13

0 1 2 3 4 5

Salaires comparés

Montantgagné ($)

121110

9876543210

À ce point précis,

En utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

les deux équations sont égales. y1 = y2

La méthode de comparaison

Cette méthode consiste à comparer les deux équations en utilisant le raisonnement ci-dessous. Pour calculer y1 , on doit utiliser y1 = 3x + 2

Pour calculer y2 , on doit utiliser y2 = 2x + 5

Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2

alors

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

Équation avec 2 variables.

Équation avec 2 variables.

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

On compare ainsi les deux équations.

3x + 2 = 2x + 5

3x + 2 = 2x + 5

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

3x + 2 = 2x + 5 -2-2

3x = 2x + 3-2x -2x

x = 3

Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations :

y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5

11 = 3 X 3 + 2 11 = 2 X 3 + 5

Couple solution : (3 , 11)

Remarque : La méthode algébrique est la méthode la plus précise.

Résous les systèmes suivants.

y = 5x + 7

5x + 7 = 3x + 15

5x + 7 = 3x + 15- 3x - 3x

2x + 7 = 15

2x + 7 = 15- 7 - 7

2x = 82 2

x = 4

1) Déterminer x : 2) Déterminer y :

Soity = 3x + 15

y = 5x + 7

y = 5 X 4 + 7 = 27

Soit

y = 3x + 15

y = 3 X 4 + 15 = 27

Couple solution : (4 , 27)

2x + y – 5 = 0

y = 2x + 6

Attention : Il faut, en premier, ramener cette équation égale à y.

2x + y – 5 = 0

2x + y – 5 = 0- 2x - 2x

y – 5 = - 2x

y – 5 = - 2x+ 5 + 5

y = - 2x + 5

y = 2x + 6

2x + 6 = - 2x + 5

2x + 6 = -2x + 5+ 2x + 2x

4x + 6 = 5

4x + 6 = 5- 6 - 6

4x = -14 4

1) Déterminer x : 2) Déterminer y :

Soity = -2x + 5

y = 2x + 6

y = 2 X – 0,25 + 6 = 5,5

Soit

y = -2x + 5

y = -2 X – 0,25 + 5 = 5,5

Couple solution : (-0,25 ; 5,5)

x = -1 4

x = - 0,25

Problème

Maxime a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Anne-Lyne, sa sœur, a planté un arbre d’une autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur, mais qui croît de 20 cm par année.

1ère étape :

x : le nombre d’années

y : la hauteur de l’arbre

2e étape :

Identifier les variables.

Établir le système : y1 = 15x + 135y2 = 20x + 75et

3e étape : Résoudre le système par la méthode de comparaison.

Sachant qu’un point de rencontre y1 = y2, alors 15x + 135 = 20x + 75.

A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ?B) Quel sera la hauteur de ces arbres ?

15x + 135 = 20x + 75-75 -75

15x + 60 = 20x-15x -15x

60 = 5x5 512 = x

5e étape : Valider la solution en vérifiant avec les deux équations.

y1 = 15x + 135 y2 = 20x + 75

315 = 15 X 12 + 135 315 = 20 X 12 + 75

Couple solution : (12 , 315)

Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations.

4e étape :

y1 = 15x + 135

= 15 X + 135

12

315

Couple-solution : (12 , 315)

A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ?

B) Quel sera la hauteur de ces arbres ?

Réponse : 12 ans

Réponse : 315 cm

Remarque : Certains systèmes n’ont pas de couple solution.

Exemple

Dans le système suivant :

y1 = 2x + 3

y2 = 2x + 5 y2 = 2x + 5

y1 = 2x + 3

Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes.

Les droites sont donc parallèles.

Elles ne se rencontreront jamais.

Ensemble-solution : aucun.

13

0 1 2 3 4 5

121110

9876543210

y

x