入試の軌跡

難関大学　理系2006 － 2020

数 学

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2020 年 7 月 23 日

Typed by LATEX2ε

Sample

序

本書には，次の主な難関国立大学 (理系) が実施した平成 18年 (2006年)度から令和 2年 (2020年)度までの一般前期試験問題 (数学)および解答例をすべて掲載した．

北海道大学 東北大学 東京大学 東京工業大学 名古屋大学京都大学 大阪大学 神戸大学 広島大学 九州大学

出　題　分　野数学 I 数と式 2次関数 図形と計量数学 II 式と証明 複素数と方程式 図形と方程式

三角関数 指数関数と対数関数 微分法と積分法数学 III 式と曲線 複素数平面 関数 極限

微分法とその応用 積分法 積分法とその応用数学A 場合の数と確率 整数の性質 図形の性質数学B 平面上のベクトル 空間のベクトル 数列旧課程 行列 (数学C)

本書の作成にあたり，以下の点に留意した．

1. 解答は，図や解説を充実させ，自学自習ができるように配慮した．

2. ICT教材として，電子黒板やプロジェクターでの使用を視野に入れており，この機能を利用する際には，全画面表示 ( Ctrl +L)および描画領域に合わせる( Ctrl +3)と見やすくなる．ページスクロールには，( Ctrl +N， Ctrl +H)が利用でき，リンク (ジャンプ)先から戻る ( Alt + N)，進む ( Alt + H)も利用できる．なお，全画面表示を解除するには ESC．

3. スマートフォンでの使用も想定し，ページリンクの操作性を配慮した ICT教材でもある．問題および解答には相互リンクを施した．各問の解答の終わりにある�をクリックすると，各大学の出題分野に戻る．また，出題分野の左上にあるJをクリックすると，最初のページに戻る．

上の 2，3の機能をサポートするPDFブラウザとして，Adobe Readerをご使用ください (フリーソフト)．スマートフォンには，同アプリがインストールされていない場合が多いので，同アプリをインストールされてからご使用ください．

令和 2年 7月　西村　信一

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Sample

Sample

目 次序 i

第 0章 出題分野 10.1 数学 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.1 数と式 (数学 I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 2次関数 (数学 I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 図形と計量 (数学 I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.2 数学 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1 式と証明 (数学 II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.2 複素数と方程式 (数学 II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.3 図形と方程式 (数学 II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.4 三角関数 (数学 II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.5 指数関数と対数関数 (数学 II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.6 微分法と積分法 (数学 II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.3 数学 III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.1 式と曲線 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.2 複素数平面 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3.3 関数 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.4 極限 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.5 微分法とその応用 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.3.6 積分法 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.3.7 積分法とその応用 (数学 III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4 数学A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.4.1 場合の数と確率 (数学A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.4.2 整数の性質 (数学A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.4.3 図形の性質 (数学A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.5 数学B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.5.1 平面上のベクトル (数学B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.5.2 空間のベクトル (数学B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.5.3 数列 (数学B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.6 数学C(旧課程) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.6.1 行列 (旧課程) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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Sample

第 1章 北海道大学 13出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1 2006年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 2007年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 2008年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 2009年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5 2010年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6 2011年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.7 2012年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.8 2013年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.9 2014年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.10 2015年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.11 2016年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.12 2017年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.13 2018年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.14 2019年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.15 2020年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

第 2章 東北大学 133出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.10 2015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182.11 2016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2362.12 2017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432.13 2018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2532.14 2019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2632.15 2020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

第 3章 東京大学 281出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

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Sample

3.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3123.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3553.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3673.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.10 2015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3983.11 2016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4073.12 2017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.13 2018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4283.14 2019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4413.15 2020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

第 4章 東京工業大学 469出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4694.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4704.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4774.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4844.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4974.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5034.7 2012年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5094.8 2013年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.9 2014年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5304.10 2015年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5384.11 2016年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5474.12 2017年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5544.13 2018年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5644.14 2019年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5724.15 2020年 (180分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

第 5章 名古屋大学 603出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6035.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6045.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6115.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6195.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

v

Sample

5.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6405.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6475.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6545.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6635.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6705.10 2015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6775.11 2016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6885.12 2017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6985.13 2018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7095.14 2019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7155.15 2020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

第 6章 京都大学 733出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7336.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7346.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7406.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7506.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7606.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7746.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7836.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7896.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7966.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8046.10 2015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8116.11 2016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8196.12 2017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8266.13 2018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8336.14 2019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8436.15 2020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

第 7章 大阪大学 859出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8597.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8607.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8697.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8777.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8847.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8917.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8977.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

vi

Sample

7.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9157.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9227.10 2015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.11 2016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9387.12 2017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9487.13 2018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9557.14 2019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9667.15 2020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977

第 8章 神戸大学 985出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9858.1 2006年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9868.2 2007年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9938.3 2008年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9998.4 2009年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10058.5 2010年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10148.6 2011年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10218.7 2012年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10288.8 2013年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10348.9 2014年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10418.10 2015年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10498.11 2016年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10608.12 2017年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10728.13 2018年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10808.14 2019年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10918.15 2020年 (120分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099

第 9章 広島大学 1107出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11079.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11089.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11169.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11249.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11319.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11399.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11469.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11549.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11639.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11709.10 2015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178

vii

Sample

9.11 2016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11909.12 2017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12019.13 2018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12119.14 2019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12209.15 2020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230

第 10章 九州大学 1239出題分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123910.1 2006年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124010.2 2007年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124910.3 2008年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126110.4 2009年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126810.5 2010年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128310.6 2011年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129710.7 2012年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130410.8 2013年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132210.9 2014年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133310.102015年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134210.112016年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135110.122017年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136210.132018年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137310.142019年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138710.152020年 (150分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397

viii

Sample

第 0 章 出題分野

J 出　題　分　野数学 I 数と式 2次関数 図形と計量数学 II 式と証明 複素数と方程式 図形と方程式

三角関数 指数関数と対数関数 微分法と積分法数学 III 式と曲線 複素数平面 関数 極限

微分法とその応用 積分法 積分法とその応用数学A 場合の数と確率 整数の性質 図形の性質数学B 平面上のベクトル 空間のベクトル 数列旧課程 行列 (数学C)

0.1 数学 I

0.1.1 数と式 (数学 I)

J 分野 I 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1東北大学 1東京大学東京工業大学名古屋大学京都大学大阪大学神戸大学 1広島大学九州大学

1

Sample

2 第 0章 出題分野

0.1.2 2次関数 (数学 I)

J 分野 I 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1 1東北大学 2·6東京大学東京工業大学 3名古屋大学 1京都大学 4大阪大学神戸大学広島大学九州大学 3

0.1.3 図形と計量 (数学 I)

J 分野 I 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1東北大学東京大学東京工業大学名古屋大学京都大学 4 2大阪大学神戸大学広島大学九州大学 1

Sample

0.2. 数学 II 3

0.2 数学 II

0.2.1 式と証明 (数学 II)

J 分野 II 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学東北大学 1 1東京大学 1 1東京工業大学 1名古屋大学京都大学 1 5 5大阪大学 3 4 2 2神戸大学 4 2広島大学九州大学 2

0.2.2 複素数と方程式 (数学 II)

J 分野 II 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学東北大学 5 1東京大学東京工業大学名古屋大学 2京都大学 6 6大阪大学 4 2神戸大学 5 1広島大学九州大学 2

Sample

4 第 0章 出題分野

0.2.3 図形と方程式 (数学 II)

J 分野 II 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1 1 4 3 5 4東北大学 1 1 1 5 1 2東京大学 3 4 1東京工業大学 4名古屋大学 3 4 3京都大学 1大阪大学 5 2神戸大学 2 2 1 2広島大学 2 5九州大学 3

0.2.4 三角関数 (数学 II)

J 分野 II 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 3 3東北大学 2 4 4東京大学 3 1 1 6東京工業大学名古屋大学京都大学 6 2 2 3·4 3 1大阪大学神戸大学広島大学 4 1九州大学 5 5

Sample

0.2. 数学 II 5

0.2.5 指数関数と対数関数 (数学 II)

J 分野 II 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学東北大学 2東京大学東京工業大学 2名古屋大学京都大学大阪大学神戸大学広島大学九州大学

0.2.6 微分法と積分法 (数学 II)

J 分野 II 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1 2 1東北大学 6 3 2 2 1東京大学 4 2東京工業大学 1 3名古屋大学 2 1京都大学 3 3 3大阪大学 3 4神戸大学 3 2 2 1広島大学 2 2 1九州大学 1

Sample

6 第 0章 出題分野

0.3 数学 III

0.3.1 式と曲線 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 5 5東北大学東京大学東京工業大学 5名古屋大学 1 1京都大学大阪大学 2 3 2神戸大学広島大学九州大学 3 1

0.3.2 複素数平面 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1 3 2東北大学 4 5 5 5東京大学 4 3 5 6東京工業大学 5 1 3 2名古屋大学 4京都大学 1 1大阪大学 2 2神戸大学 4広島大学 3 2 4 2九州大学 5 5 5 3·5

Sample

0.3. 数学 III 7

0.3.3 関数 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学東北大学東京大学東京工業大学名古屋大学京都大学大阪大学神戸大学広島大学 3九州大学 5

0.3.4 極限 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 3 2 3 4東北大学 2·6 6 3東京大学 2 4東京工業大学 2 2 4 5 1名古屋大学 2 3京都大学 2 1 4 2大阪大学 1 1 5 5 1 5 4神戸大学 5 4 3·5 2広島大学 2 2·5 2 1九州大学 3 3·4 1 1 1·4

Sample

8 第 0章 出題分野

0.3.5 微分法とその応用 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 4 4 1 3東北大学 4 3·4 5 1·6 1 1東京大学 5 1 1 2 6 1 1·4 5東京工業大学 3 3 3 2 4 1 3 3 5名古屋大学 2 2 1 2 2 1京都大学 6 1 4 3 3·4 1大阪大学 2 3 1 2 1 1神戸大学 4 1 1 5 3 1 2·3 1 1 4広島大学 5 1 4 3 5 5九州大学 1 1 5 3 2 1 1 1

0.3.6 積分法 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 4 5 5 4 5 3 5 5 5 2 2 5東北大学 6 4 4 4 5 4 6 6 5 6東京大学 5·6 6 2 3 6 1東京工業大学 1 1 2 2 2 5名古屋大学 2 1 3京都大学 6 1 1 1 1大阪大学 1 3 1 1神戸大学 3 3·4 4 2広島大学 3九州大学 4 2

Sample

0.4. 数学A 9

0.3.7 積分法とその応用 (数学 III)

J 分野 III 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 3 1 5 5東北大学 5 5 2 6 6東京大学 6 4 1·4 6 3 6 3 3 6 6 6 3·5東京工業大学 2 4 1 4 4 4·6 4 3 5 4 4名古屋大学 1 3 3 2 1 4 1 3 1 1·4京都大学 5 5 3·6 5 6 1 4 5 5 3 6大阪大学 1 4 4 5 4 2 3 4 4 4 3 5 3 3 5神戸大学 4 3·4 3 3 5 5 1 3·5 5 5 2広島大学 3 3 3 5 2 1 2 4 3 3·4九州大学 1 4 3 4 1 1 1·4 1 3 1 1 2 5

0.4 数学A

0.4.1 場合の数と確率 (数学A)

J 分野 A 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 5 2 5 4 5 4 4* 4 3 4 3 4 3東北大学 3* 4 3* 3 3 3* 3 3 3 3 2 2 6 4東京大学 2 5 2 3 3 3 2 2 2 2東京工業大学 3 3 1 1 2 4名古屋大学 4 5 5* 4 3 4 4京都大学 2 3 1 6 6 4 5大阪大学 5 5 5 5 2 2神戸大学 5 4* 4* 4 5 4 3 3 3広島大学 4* 5* 3 4 5 5* 5 4 3 2 5九州大学 4 2* 2 2* 5* 5 3* 4* 4 3 4 3 3 4

∗は旧課程の内容 (期待値)を含む．

Sample

10 第 0章 出題分野

0.4.2 整数の性質 (数学A)

J 分野 A 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1 2 2東北大学 1 6 2 3 3東京大学 5 1 5 4 5 5 5 5 4 4東京工業大学 1 1 5 4 1 2 1名古屋大学 4 5 4 4 4 3 4 3 3 2京都大学 4 3 6 5 4 3 5 2 2 2 4大阪大学 3 3 2 3 3 4 3 4神戸大学 3 2 2 4 4広島大学 4 1 5 2 5 5九州大学 2 5 4 3 4 2

0.4.3 図形の性質 (数学A)

J 分野 A 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学東北大学 1東京大学 2東京工業大学 3 3名古屋大学京都大学 2 5 3 6大阪大学 4神戸大学広島大学 3 5九州大学 2

Sample

0.5. 数学B 11

0.5 数学B

0.5.1 平面上のベクトル (数学B)

J 分野 B 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 1東北大学 4 4 1東京大学 1 6 4 3東京工業大学名古屋大学京都大学 5 4 1大阪大学 4 2 1神戸大学 1 2広島大学 3 4 4 3九州大学 2 3 1

0.5.2 空間のベクトル (数学B)

J 分野 B 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 2 4 3 2 3 5 1 1東北大学 2 4 2 2 5東京大学 3 6 3 3東京工業大学 4 1 2 3名古屋大学 1 3 2京都大学 2 3 1 1 5·6 1 2 3大阪大学 4 5神戸大学 1 1 3 1 1広島大学 2 4 3 3 1九州大学 3 4 2 2 3

Sample

12 第 0章 出題分野

0.5.3 数列 (数学B)

J 分野 B 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20北海道大学 2 4東北大学 3東京大学 4 2·5 2 4 2 4東京工業大学 1 2 5 4·5名古屋大学 3 1 4 4 3 2 4京都大学 1 4 6 2 2 5 6 4大阪大学 5 1 5 3神戸大学 5 5広島大学 5 5 2 2 4 4 1九州大学 3 3 5 3

0.6 数学C(旧課程)

0.6.1 行列 (旧課程)

J 分野 C 06 07 08 09 10 11 12 13 14北海道大学 2 2 2 1 2 3東北大学 5 5 5 6 6 2 5 4東京大学 4 1 2 5·6 1東京工業大学 4 2 1 5 2 3名古屋大学 2 1 1 3 2 2京都大学 5 4 2大阪大学 5 1 2 1 1神戸大学 2 5 5 2広島大学 1 1 1 1 1 1 1 1 1九州大学 2 4 5 2 5

Sample

第 1 章 北海道大学

出題分野 (2006-2020) 120分

J 北海道大学 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数と式

I 2次関数 1 1図形と計量 1データの分析式と証明複素数と方程式

II 図形と方程式 1 1 4 3 5 4三角関数 3 3指数関数と対数関数微分法と積分法 1 2 1式と曲線 5 5複素数平面 1 3 2関数

III 極限 3 2 3 4微分法とその応用 4 4 1 3積分法 4 5 5 4 5 3 5 5 5 2 2 5積分法の応用 3 1 5 5場合の数と確率 5 2 5 4 5 4 4 4 3 4 3 4 3

A 整数の性質 1 2 2図形の性質平面上のベクトル 1

B 空間のベクトル 2 4 3 2 3 5 1 1数列 2 4確率分布と統計

C 行列 (旧課程) 2 2 2 1 2 3 数字は問題番号

13

Sample

14 第 1章 北海道大学

1.1 2006年 (120分)

1 実数 x，y，zは x 5 y 5 z 5 1かつ 4x+ 3y + 2z = 1をみたすとする．

(1) xの最大値と yの最小値を求めよ．

(2) 3x− y + zの値の範囲を求めよ．

2 空間内に，3点 A0(1, 0, 0)，A1(1, 1, 0)，A2(1, 0, 1)を通る平面 αと，3点

B0(2, 0, 0)，B1(2, 1, 0)，B2

(5

2, 0,

√3

2

)を通る平面 βを考える．

(1) 空間の基本ベクトルを~e1 = (1, 0, 0)，~e2 = (0, 1, 0)，

~e3 = (0, 0, 1)とお

くとき，ベクトル−−→OA0，

−−−→A0A1，

−−−→A0A2，

−−→OB0，

−−−→B0B1，

−−−→B0B2を~e1，

~e2，~e3

で表せ．ただし，Oは空間の原点を表す．

(2) 原点Oと α上の点 Pを通る直線が β上の点 P′も通っているとする．

−→OP =

−−→OA0 + a

−−−→A0A1 + b

−−−→A0A2

−−→OP′ =

−−→OB0 + p

−−−→B0B1 + q

−−−→B0B2

とおくとき，a，bを p，qで表せ．

(3) 点Pがα上の点A0を中心とする半径 1の円Cの円周上を動くとき，点P′

が動いてできる図形C ′の方程式を (2)の p，qで表し，C ′が楕円であることを示せ．

3 y軸上の 2点A(0, 1)，B(0, 2)と x軸上の正の部分を動く点P(a, 0)を考える．θ = ∠APBとおく．

(1) cos θを aで表せ．

(2) θが最大になる aを求めよ．

4 (1) 整数m，nに対して積分 Im,n =∫ 2π0

cosmx cosnx dx を求めよ．

(2) 自然数 nに対して積分 Jn =∫ 2π0

(n∑

k=1

√k cos kx

)2dxを求めよ．

5 1つのさいころを投げ続けて，同じ目が2回連続して出たら終了するものとする．

(1) 4回目以内 (4回目も含む)に終了する確率を求めよ．

(2) r回目以内 (r回目も含む)に終了する確率を求めよ．ただし，r = 2とする．Sa

mple

1.1. 2006年 (120分) 15

解答例

1 (1) 4x+ 3y + 2z = 1より z =1− 4x− 3y

2

これを x 5 y 5 z 5 1に代入すると

x 5 y 5 1− 4x− 3y2

5 1

整理すると

y = x, y 5 −45x+

1

5, y = −4

3x− 1

3

　

O

y

x

(−1, 1)

(19, 19)

(−17,−1

7)

l

y=x

y=− 43x− 1

3

y=− 45x+ 1

5

これらの連立不等式の表す領域は，右の図の斜線部分で境界線を含む．

よって xの最大値は1

9， yの最小値は −

1

7

(2) 3x− y + z = kとおき，これと 4x+ 3y + 2z = 1から zを消去すると

k =1

2(2x− 5y + 1) ゆえに y = 2

5x+

1− 2k5

上の第 2式の表す直線を lとすると，lが (1)で求めた領域を通るとき

点 (−1, 1)で 1− 2k5は最大 すなわち kは最小

点(−17,−1

7

)で

1− 2k5は最小 すなわち kは最大

したがって，(−1, 1)のとき k = −3,(−17,−1

7

)のとき k =

5

7

よって，求める値の範囲は −3 5 3x − y + z 55

7�

Sample

16 第 1章 北海道大学

2 (1)−−→OA0 = (1, 0, 0) = ~e1，

−−−→A0A1 = (0, 1, 0) = ~e2，

−−−→A0A2 = (0, 0, 1) = ~e3，

−−→OB0 = (2, 0, 0) = 2~e1，

−−−→B0B1 = (0, 1, 0) = ~e2，

−−−→B0B2 =

(1

2, 0,

√3

2

)=

1

2~e1 +

√3

2~e3

(2) (1)の結果を利用すると−→OP =

−−→OA0 + a

−−−→A0A1 + b

−−−→A0A2

= (1, 0, 0) + a(0, 1, 0) + b(0, 0, 1) = (1, a, b)−−→OP′ =

−−→OB0 + p

−−−→B0B1 + q

−−−→B0B2

= (2, 0, 0) + p(0, 1, 0) + q

(1

2, 0,

√3

2

)=

(2 +

1

2q, p,

√3

2q

)

直線OP上に P′があるから，−→OPと

−−→OP′の x成分に着目すると

−→OP =

1

2 + 12q

−−→OP′

(1, a, b) =2

4 + q

(2 +

1

2q, p,

√3

2q

)=

(1,

2p

4 + q,

√3q

4 + q

)

よって a =2p

4 + q, b =

√3q

4 + q

(3) P(1, a, b)がA0を中心とする半径 1の円周上にあるから a2 + b2 = 1

これに (2)の結果を代入すると(2p

4 + q

)2+

( √3q

4 + q

)2= 1 ゆえに

p2

6+

(q − 2)2

12= 1

これから，p =√6 cos θ, q = 2 + 2

√3 sin θとおくと

−−→OP′ = 2~e1 + (

√6 cos θ)~e2 + (2 + 2

√3 sin θ)

(1

2~e1 +

√3

2~e3

)

= 3~e1 +√3~e3 + (

√6 cos θ)~e2 + (2

√3 sin θ)

(1

2~e1 +

√3

2~e3

)

|~e2| =

∣∣∣∣∣12~e1 +√3

2~e3

∣∣∣∣∣ = 1，~e2⊥(1

2~e1 +

√3

2~e3

)であるから，P′が描く図

形C ′は，長軸 2√3，短軸

√6の楕円である． �

Sample

1.1. 2006年 (120分) 17

3 (1) α = ∠OAP，β = ∠OBPとすると θ = α− β

tan θ = tan(α− β) = tanα− tan β1 + tanα tan β

=a− a

2

1 + a·a2

=a

a2 + 2· · · (∗)

　

O

y

xPa

A

B

1

2

α

β

θ

1 + tan2 θ =1

cos2 θより

a4 + 5a2 + 4

(a2 + 2)2=

1

cos2 θ

よって cos θ =a2 + 2√

(a2 + 1)(a2 + 4)

(2) (∗)より tan θ = 2

a+2

aaが正であるから，相加平均・相乗平均の大小関係により

a+2

a= 2√a·22= 2√2 ゆえに tan θ 5 1√

2

上式で等号が成立するのは

a =2

aすなわち a =

√2

tan θが最大，すなわち，θが最大となるとき a =√2 �

Sample

18 第 1章 北海道大学

4 (1) cosmx cosnx =1

2{cos(m+ n)x+ cos(m− n)x}より

(i) |m| 6= |n|のとき

Im,n =1

2

∫ 2π0

{cos(m+ n)x+ cos(m− n)x} dx

=1

2

[sin(m+ n)x

m+m+

sin(m− n)xm− n

]2π0

= 0

(ii) |m| = |n| 6= 0のとき

Im,n =1

2

∫ 2π0

(1 + cos 2nx) dx =1

2

[x+

sin 2nx

2n

]2π0

= π

(iii) |m| = |n| = 0，すなわち，m = n = 0のとき

Im,n =

∫ 2π0

dx = 2π

(2) (1)の結果に注意して

Jn =n∑

k=1

k

∫ 2π0

cos kx cos kx dx+ 2∑

15j

1.1. 2006年 (120分) 19

5 (1) 2回目，3回目，4回目で終了する確率は，それぞれ

1

6,

5

6·16,

5

6·56·16

したがって，4回目以内に終了する確率は

1

6+

5

6·16+

5

6·56·16=

91

216

別解 4回目で終了しない確率は(5

6

)3求める確率は，この余事象の確率であるから

1−(5

6

)3= 1− 125

216=

91

216

(2) r回目で終了しない確率は(5

6

)r−1求める確率は，この余事象の確率であるから

1 −(5

6

)r−1�

Sample

20 第 1章 北海道大学

1.2 2007年 (120分)

1 方程式 x2 + y2 − 4y + 2 = 0で定義される円Cを考える．

(1) 点 A(−√2, 0)と点 O(0, 0)を通り，円 C に接する円の中心の座標を求

めよ．

(2) 点 Pが円C上を動くとき，cos∠APOの最大値と最小値を求めよ．

2 4枚のカードがあって，1から 4までの整数がひとつずつ書かれている．このカードをよく混ぜて，1枚引いては数字を記録し，カードを元に戻す．この試行を n回繰り返し，記録した順に数字を並べて得られる数列を，a1, a2, · · · , anとする．

(1) 条件 a1 5 a2 5 · · · 5 an = jを満たす数列がAn(j)通りあるとする．ただし，j = 1, 2, 3, 4とする．

(i) An(1)，An(2)を求めよ．

(ii) n = 2のとき，An(j) (j = 3, 4)をAn−1(1), An−1(2), · · · , An−1(j)で表し，An(3), An(4)を求めよ．

(2) n = 2のとき，a1 5 a2 5 · · · 5 an−1かつ an−1 > an となる確率を求めよ．

3 xy平面上の曲線 y = xexと x軸および 2直線 x = n，x = n + 1で囲まれる図形をDn とする．ただし，nを自然数とする．

(1) 図形Dnの面積を Snとして， limn→∞

Snnenを求めよ．

(2) 図形Dnを x軸のまわりに 1回転してできる立体の体積を Vnとして，

limn→∞

Vn(Sn)2

を求めよ．

Sample

1.2. 2007年 (120分) 21

4 図のような，半径 aの円を底面とする高さ bの円柱の上に，同じ大きさの円を

底面とする高さ cの直円すい

錐の屋根をのせてできる建物を考える．

(1) V をこの建物の体積，Sをこの建物の外側の表面積 (底面は除く)とする．V とSを a，b，cで表せ．

(2) V を一定に保ちながら a，b，cを動かして，Sを最小にしたい．

(i) b = xa，c = yaとおき，V と aを一定としたとき，Sの最小値 T を V と aで表せ．

(ii) T が最小となるときの比 a : b : cを求めよ．

　

a

c

b

5 楕円C1 :x2

α2+

y2

β2= 1と双曲線C2 :

x2

a2− y

2

b2= 1を考える．C1とC2の焦点が

一致しているならば，C1とC2の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ．

Sample

22 第 1章 北海道大学

解答例

1 (1) C : x2+y2−4y+2 = 0の中心をM，半径を rとすると M(0, 2)，r =√2

2点O(0, 0)，A(−√2, 0)を通る円の中心をB，半径をRとすると，Bは

線分OAの垂直二等分線上にあるから，実数 tを用いて

B

(− 1√

2, t

), R = OB =

√1

2+ t2

このとき，MB = |R± r|であるから，MB2 = R2 + r2 ± 2rRより

1

2+ (t− 2)2 =

(1

2+ t2

)+ 2± 2

√1 + 2t2

整理すると −2t+ 1 = ±√1 + 2t2

したがって (−2t+ 1)2 = 1 + 2t2 ゆえに t(t− 2) = 0

よって，求める座標は(−

1√2, 0

),

(−

1√2, 2

)(2) Cと外接する円をC1，内接する円をC2とする．C1，C2の中心をそれぞれB1，B2とし，CとC1，C2との接点をそれぞれP1，P2とする．(1)の結果から

B1

(− 1√

2, 0

), B2

(− 1√

2, 2

)点Pは円C1の外部 (境界を含む)にあるから

∠APO 5 ∠AP1O =π

2

　

O

y

x

C

A

P1

P2

C1

C2

2

−√2

− 1√2

B1

B2 M

同時に，点Pは円C2の内部 (境界を含む)にあるから ∠APO = ∠AP2O

したがって ∠AP2O 5 ∠APO 5 ∠AP1O

cos∠AP2O = cos∠APO = cosπ

2

∠AP2O = ∠AB2B1，cos∠AB2B1 =B1B2AB2

=2√12+ 4

=2√2

3より

0 5 cos∠APO 5 2√2

3よって 最大値

2√2

3，最小値 0 �

Sample

1.2. 2007年 (120分) 23

2 (1) (i) An(1)であるのは，

a1 = a2 = · · · = an = 1 よって An(1) = 1

An(2)であるのは，

a1 5 a2 5 · · · 5 an−1 5 2, an = 2

1, 2の 2個から n− 1個取り出す重複組合せの総数であるから

An(2) = 2Hn−1 = 2+(n−1)−1Cn−1 = nCn−1 = nC1 = n

(ii) An(3)は，a1 5 a2 5 · · · 5 an−1 5 j, an = 3 (j = 1, 2, 3)より

An(3) = An−1(1) + An−1(2) + An−1(3)

An(4)は，a1 5 a2 5 · · · 5 an−1 5 j, an = 4 (j = 1, 2, 3, 4)より

An(4) = An−1(1) + An−1(2) + An−1(3) + An−1(4)

a1 5 a2 5 · · · 5 an−1 5 jの場合の数は，j個から n− 1個取り出す重複組合せの総数であるから

An(j) = jHn−1 = j+(n−1)−1Cn−1 = n+j−2Cn−1 = n+j−2Cj−1

したがって An(3) = n+1C2 =1

2n(n + 1)

An(4) = n+2C3 =1

6n(n + 1)(n + 2)

(2) a1 5 a2 5 · · · 5 an 5 4である場合の数は，1，2，3，4の 4個から n個取り出す重複組合せの総数であるから

4Hn = 4+n−1Cn = n+3Cn = n+3C3 =1

6(n+ 1)(n+ 2)(n+ 2)

a1 5 a2 5 · · · 5 an 5 4である確率を pnとすると

pn =4Hn4n

=(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

6·4n

求める確率は

pn−1 − pn =n(n+ 1)(n+ 2)

6·4n−1− (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

6·4n

=(n − 1)(n + 1)(n + 2)

2·4n

�

Sample

24 第 1章 北海道大学

3 (1) Sn =∫ n+1n

xex dx =

[ex(x− 1)

]n+1n

= en(ne− n+ 1) より

limn→∞

Snnen

= limn→∞

en(ne− n+ 1)nen

= limn→∞

(e− 1 + 1

n

)= e − 1

(2)Vnπ

=

∫ n+1n

(xex)2 dx =

[e2x

2

(x2 − x+ 1

2

) ]n+1n

=e2n+2

2

(n2 + n+

1

2

)− e

2n

2

(n2 − n+ 1

2

)ゆえに lim

n→∞

Vnπ(nen)2

= limn→∞

{e2

2

(1 +

1

n+

1

2n2

)− 1

2

(1− 1

n+

1

2n2

)}=

e2

2− 1

2=

(e+ 1)(e− 1)2

上式および (1)の結果から

limn→∞

Vn(Sn)2

=Vn

π(nen)2

(nen

Sn

)2π

=(e+ 1)(e− 1)

2

(1

e− 1

)2π =

π(e + 1)

2(e − 1)

解説 部分積分法により，次式が得られる．∫epx+qf(x) dx =

epx+q

p

{f(x)− f

′(x)

p+

f ′′(x)

p2− f

′′′(x)

p3+ · · ·

}+ C∫

apx+qf(x) dx =apx+q

p log a

{f(x)− f

′(x)

p log a+

f ′′(x)

(p log a)2− f

′′′(x)

(p log a)3+ · · ·

}+ C∫

exf(x) dx = ex {f(x)− f ′(x) + f ′′(x)− f ′′′(x) + · · · }+ C∫e−xf(x) dx = −e−x {f(x) + f ′(x) + f ′′(x) + f ′′′(x) + · · · }+ C

�Sample

1.2. 2007年 (120分) 25

4 (1) V = πa2b +1

3πa2c， S = 2πab+

1

2·2πa√a2 + c2

= 2πab + πa√a2 + c2

(2) (i) (1)の結果に b = xa，c = yaを代入することにより

(∗) Vπa3

= x+y

3,

S

πa2= 2x+

√1 + y2

上の 2式から xを消去すると

(∗∗) Sπa2

=2V

πa3− 2y

3+√

1 + y2

(∗)の第 1式に注意して，関数

f(y) = −2y3

+√

1 + y2(0 < y <

3V

πa3

)の最小値を求める．

f ′(y) = −23+

y√1 + y2

=3y − 2

√1 + y2

3√

1 + y2

=5y2 − 4

2√

1 + y2(3y + 2√1 + y2)

3V

πa3<

2√5のとき，0 < y <

3V

πa3で f(y)は単調減少により最小値なし．

2√55 3V

πa3のとき，f(y)の最小値は f

(2√5

)= −2

3· 2√

5+

3√5=

√5

3

(∗∗)より Tπa2

=2V

a3+

√5

3よって T =

2V

a+

√5πa2

3

(ii) 相加平均・相乗平均の大小関係により

T =V

a+

V

a+

√5πa2

3= 3√(

V

a

)2·√5πa2

3=

3

√√5πV 2

3

等号が成立するのはV

a=

√5πa2

3すなわち

3V

πa3=√5 >

2√5

V

πa3=

√5

3および y =

2√5を (∗)の第 1式に代入して x = 1√

5

よって a : b : c = 1 : x : y = 1 :1√5:

2√5=

√5 : 1 : 2 �

Sample

26 第 1章 北海道大学

5 C1 :x2

α2+

y2

β2= 1，C2 :

x2

a2− y

2

b2= 1より，C2の焦点は (±

√a2 + b2, 0)

C1の焦点がこれと一致するから，C1の焦点は (±√

α2 − β2, 0)

C1とC2の焦点が一致するから

a2 + b2 = α2 − β2 ゆえに a2 − α2 = −(b2 + β2) · · · (∗)

C1，C2の交点を P(s, t)とすると

s2

α2+

t2

β2= 1,

s2

a2− t

2

b2= 1

上の 2式の辺々を引くと(1

α2− 1

a2

)s2 +

(1

β2+

1

b2

)t2 = 0 ゆえに

a2 − α2

α2a2s2 +

b2 + β2

β2b2t2 = 0

(∗)により s2

α2a2− t

2

β2b2= 0 · · · (∗∗)

C1およびC2の点 P(s, t)における接線をそれぞれ l1, l2とすると

l1 :sx

α2+

ty

β2= 1, l2 :

sx

a2− ty

b2= 1

C1およびC2の点 P(s, t)における法線ベクトルを ~n1,~n2とすると

~n1 =

(s

α2,

t

β2

), ~n2 =

(s

a2,− t

b2

)(∗∗)より ~n1·~n2 = 0 ゆえに ~n1⊥~n2

よって，C1とC2の交点 Pでそれぞれの接線は直交する．

補足 C1を xで微分すると2x

α2+

2y

β2·dydx

= 0 ゆえにdy

dx= −β

2x

α2y

C2を xで微分すると2x

a2− 2y

b2·dydx

= 0 ゆえにdy

dx=

b2x

a2y

C1，C2の点 Pにおける接線の傾きをそれぞれm1, m2とすると

m1 = −β2s

α2t, m2 =

b2s

a2t(∗∗)より m1m2 = −

β2b2s2

α2a2t2= −1

�

Sample

1.3. 2008年 (120分) 27

1.3 2008年 (120分)

1 α, βを 0 < α < β < 2を満たす実数とし，0 5 x 5 2の範囲で定義された関数f(x)を

f(x) = |(x− α)(x− β)|

とする．

(1) f(x)の最大値をM とする．f(x) = M となる xがちょうど 3つあるとき，実数 α, βとM の値を求めよ．

(2) (1)で求めた α, βについて，f(x)−mx = 0が異なる 3つの解をもつような実数mの値の範囲を求めよ．

2 nを自然数とし，2次正方行列A =

(2 1

1 2

)に対して，Aの n乗を

An =

(an bncn dn

)と表す．

(1) an = dnと bn = cnを示せ．

(2) nが奇数ならば anは偶数であること，および，nが偶数ならば anは奇数であることを示せ．

3 関数 f(x)を

f(x) =3x2

2x2 + 1

とする．

(1) 0 < x < 1ならば，0 < f(x) < 1となることを示せ．

(2) f(x)− x = 0となる xをすべて求めよ．

(3) 0 < α < 1とし，数列 {an}を

a1 = α, an+1 = f(an) (n = 1, 2, · · · )

とする．αの値に応じて， limn→∞

an を求めよ．Sample

28 第 1章 北海道大学

4 xyz空間の原点Oと，Oを中心とし半径 1の球の球面上の異なる 4点A，B，C，

Dを考える．点A(cos

α

2, sin

α

2, 0)，B(cos(−α2

), sin

(−α2

), 0)，(0 < α < π)

とする．点C，Dは∠COA = ∠COB = ∠DOA = ∠DOBを満たし，点Cの z座標は正，点Dの z座標は負とする．

(1) 点Cの座標を αと θ = ∠COA (0 < θ < π)で表せ．(2) ベクトル

−→OA，

−→OB，

−→OC，

−→ODの相異なる 2つのベクトルのなす角がすべ

て等しいとき，点Cの座標を求めよ．

5 関数 f(x)と g(x)を 0 5 x 5 1の範囲で定義された連続関数とする．

(1) f(x) =

∫ 10

ex+tf(t) dt

を満たす f(x)は定数関数 f(x) = 0のみであることを示せ．

(2) g(x) =

∫ 10

ex+tg(t) dt+ x

を満たす g(x)を求めよ．

Sample

1.3. 2008年 (120分) 29

解答例

1 (1) 条件を満たすとき

M = f(0) = f

(α + β

2

)= f(2)

が成立するから

M = αβ =1

4(β − α)2 = (2− α)(2− β)

　

O

y

x2α β

M

α+β2

したがって M = αβ =1

4(α + β)2 − αβ = αβ − 2(α + β) + 4

これを解いて M =1

2，α+ β = 2，αβ =

1

2

α, βを解とする 2次方程式は t2 − 2t+ 12= 0

α < βに注意してこれを解くと α = 1 −1√2，β = 1 +

1√2

(2) 方程式f(x)−mx = 0の解の個数は，y = f(x)と y = mxの共有点の個数と等しい．

原点と点(2,

1

2

)を通る直線の傾きは

1

4α < x < 1において，y = f(x)と y = mxが接するとき，方程式

−x2 + 2x− 12= mx

　

O

y

x2α β

12

1

すなわち，x2 + (m− 2)x+ 12= 0は重解をもつから

(m− 2)2 − 4·1·12= 0 これを解いて m = 2±

√2

このとき，α < −m− 22

< 1に注意して m = 2−√2

よって，求めるmの値の範囲は1

4< m < 2 −

√2 �Sa

mple

30 第 1章 北海道大学

2 (1) A =

(2 1

1 2

)，An =

(an bncn dn

)について，AAn = AnAであるから

(2 1

1 2

)(an bncn dn

)=

(an bncn dn

)(2 1

1 2

)(

2an + cn 2bn + dnan + 2cn bn + 2dn

)=

(2an + bn an + 2bn2cn + dn cn + 2dn

)

成分を比較することにより an = dn，bn = cn

(2) A2 =

(2 1

1 2

)(2 1

1 2

)=

(5 4

4 5

)より a1 = 2，a2 = 5

Aにハミルトン・ケーリーの定理を適用すると

A2 − 4A+ 3E = O ゆえに An+2 = 4An+1 − 3An

したがって an+2 = 4an+1 − 3an

数列 {an}は整数の項からなり，法 2ついて

an+2 ≡ 4an+1 − 3an ≡ an (mod 2)

a1は偶数であるから，nが奇数のとき，anは偶数

a2は奇数であるから，nが偶数のとき，anは奇数 �

Sample

1.3. 2008年 (120分) 31

3 (1) f(x) =3x2

2x2 + 1より，0 < x < 1のとき

f(x) > 0, f(x)− 1 = x2 − 1

2x2 + 1< 0 ゆえに 0 < f(x) < 1

(2) f(x)− x = x(

3x

2x2 + 1− 1)

=x(3x− 2x2 − 1)

2x2 + 1= −x(x− 1)(2x− 1)

2x2 + 1

よって，求める xは x = 0,1

2, 1

(3) (1)から 0 < an < 1のとき 0 < an+1 < 1

(2)から an+1 − an = −an(an − 1)(2an − 1)

2an2 + 1

ゆえに 0 < an <1

2のとき 0 < an+1 < an，

1

2< an < 1のとき an < an+1 < 1

f(x) =3x

2x2 + 1·x，f(x)− 1 = x+ 1

2x2 + 1(x− 1)より

g(x) =3x

2x2 + 1，h(x) =

x+ 1

2x2 + 1とおく (0 < x < 1)．

0 < g(x) < 1とすると 0 < 3x < 2x2 + 1 ゆえに 0 < x <1

2

g(α)− g(x) = 3α2α2 + 1

− 3x2x2 + 1

=3(α− x)(1− 2αx)(2α2 + 1)(2x2 + 1)

g

(1

2

)− g(α) = 1− 3α

2α2 + 1=

(1− 2α)(1− α)2α2 + 1

したがって 0 < x < α <1

2のとき 0 < g(x) < g(α) < g

(1

2

)= 1

0 < h(x) < 1とすると 0 < x+ 1 < 2x2 + 1 ゆえに1

2< x < 1

h(α)− h(x) = α + 12α2 + 1

− x+ 12x2 + 1

=(x− α){2(α+ 1)x+ (2α− 1)}

(2α2 + 1)(2x2 + 1)

h

(1

2

)− h(α) = 1− α + 1

2α2 + 1=

α(2α− 1)2α2 + 1

したがって1

2< α < x < 1のとき 0 < h(x) < h(α) < h

(1

2

)= 1

Sample

32 第 1章 北海道大学

(i) 0 < α <1

2のとき 0 < an < α <

1

2より 0 < g(an) < g(α) < 1

an+1 = g(an)anであるから

an = αn−1∏k=1

g(ak) < α{g(α)}n−1

an > 0， limn→∞

α{g(α)}n−1 = 0であるから，はさみうちの原理により

limn→∞

an = 0

(ii) α =1

2のとき (2)の結果から an =

1

2ゆえに lim

n→∞an =

1

2

(iii)1

2< α < 1のとき

1

2< α < an < 1より 0 < h(an) < h(α) < 1

1− an+1 = h(an)(1− an)より

1− an = (1− α)n−1∏k=1

h(ak) < (1− α){h(α)}n−1

1− an > 0， limn→∞

(1− α){h(α)}n−1 = 0であるから，はさみうちの原理により

limn→∞

(1− an) = 0 すなわち limn→∞

an = 1

(i)～(iii)より limn→∞

an =

0 (0 < α < 1

2)

12

(α = 12)

1 (12< α < 1)

Sample

1.3. 2008年 (120分) 33

解説 (3)で示した

(A) 0 < an <1

2のとき 0 < an+1 < an ({an}は下に有界な単調減少列)

(B)1

2< an < 1のとき an < an+1 < 1 ({an}は上に有界な単調増加列)

このとき，{an}は収束することが知られている．y = f(x)と y = xのグラフで示すと，anの収束する様子が分かる．an+1 = f(an)より

an+1 =3an

2

2an2 + 1

その極限値を cとすると

c = limn→∞

an+1 = limn→∞

an

であるから

　

O

y

x12

1

12

1αa2a3a4 α a3a4a2

c =3c2

2c2 + 1ゆえに c(2c− 1)(c− 1) = 0

よって 0 < α <1

2のとき，(A)より c = 0

1

2< α < 1のとき，(B)より c = 1

α =1

2のとき，f(α) = αより c =

1

2�

Sample

34 第 1章 北海道大学

4 (1) p = cosα

2，q = sin

α

2とおくと (0 < α < π)

0 < p < 1, 0 < q < 1, p2 + q2 = 1 · · · (∗)

A(p, q, 0)，B(p,−q, 0)，C(c1, c2, c3)とすると (c3 > 0)

|−→OA| = |

−→OB| = |

−→OC| = 1，∠COA = ∠COB = θより

−→OA·−→OC = |

−→OA||

−→OC| cos θ ゆえに pc1 + qc2 = cos θ

−→OB·−→OC = |

−→OB||

−→OC| cos θ ゆえに pc1 − qc2 = cos θ

上の 2式から c2 = 0, c1 =cos θ

p· · · 1©

これを |−→OC|2 = c12 + c22 + c32 = 1に代入して

cos2 θ

p2+ c3

2 = 1 c3 > 0より c3 =

√1− cos

2 θ

p2

よって C

(cos θ

cos α2

, 0,

√1 −

cos2 θ

cos2 α2

)(2) CとDは xy平面に関して対称であるから，C(c1, 0, c3)，D(c1, 0,−c3)とおくと，∠COD = θ = αであるから

−→OC·−→OD = |

−→OC||

−→OD| cos θ ゆえに c12 − c32 = cos θ

|−→OC|2 = c12 + c32 = 1 · · · 2©であるから 2c12 = cos θ + 1 · · · 3©

このとき，cos θ = cosα = 2 cos2α

2− 1 = 2p2 − 1であるから， 1©より

c1 =cos θ

p=

2p2 − 1p

· · · 1©′

1©′を 3©に代入すると

2

(2p2 − 1

p

)2= (2p2 − 1) + 1 ゆえに (p2 − 1)(3p2 − 1) = 0

0 < p < 1に注意して p =1√3これを 1©′に代入して c1 = −

1√3

さらに 2©に代入して 13+ c3

2 = 1 c3 > 0に注意して c3 =

√2√3

よって C

(−√3

3, 0,

√6

3

)�

Sample

1.3. 2008年 (120分) 35

5 (1) f(x) =∫ 10

ex+tf(t) dt = ex∫ 10

etf(t) dt

A =

∫ 10

etf(t) dtとおくと f(x) = Aex

A =

∫ 10

et(Aet) dt = A

∫ 10

e2t dt =A

2

[e2t]10

=A

2(e2 − 1)

整理すると (e2 − 3)A = 0 ゆえに A = 0 よって f(x) = 0

(2) g(x) =

∫ 10

ex+tg(t) dt+ x = ex∫ 10

etg(t) dt+ x

B =

∫ 10

etg(t) dtとおくと f(x) = Bex + x

B =

∫ 10

et(Bet + t) dt = B

∫ 10

e2t dt+

∫ 10

tet dt

=B

2

[e2t]10

+

[(t− 1)et

]10

=B

2(e2 − 1) + 1

整理すると (e2 − 3)B + 2 = 0 ゆえに B = − 2e2 − 3

よって g(x) = −2

e2 − 3ex + x �

Sample

36 第 1章 北海道大学

1.4 2009年 (120分)

1 図はある三角錐 V の展開図である．ここで AB = 4，AC = 3，BC = 5，∠ACD = 90◦で4ABEは正三角形である．このとき，V の体積を求めよ．

A B

C

E

FD

2 直角三角形4ABCにおいて∠Bは直角であるとし，辺ACの長さを αとする．辺ACを n等分し，その分点をAに近い方から順にD1，D2，D3，· · ·，Dn−1とおく．1 5 k 5 n − 1に対し，線分 BDkの長さを Lkとする．以下の問いに答えよ．

(1) Sn =n−1∑k=1

(Lk)2を αと nで表せ．

(2) limn→∞

Snnを αで表せ．

3 t > 0とし，x = tで表される直線を `1とする．y =x2

4で表される放物線をC

とおく．C と `1の共有点(t,

t2

4

)における C の接線を `2とする．このとき，

以下の問いに答えよ．

(1) `1と `2のなす角を θとするとき，cos θを求めよ．ただし，0 5 θ 5π

2と

する．

(2) `1 を `2 に関して対称移動させた直線を `3 とおくとき，`3 の方程式を求めよ．

(3) `3は tによらない定点を通ることを示せ．

(4) `3とCの 2つの共有点をP，Qとする．線分PQの長さが最小になるような tの値を求めよ．

Sample

1.4. 2009年 (120分) 37

4 0 < a < 1，0 < θ < πとする．4点O(0, 0)，A(a, 0)，P(cos θ, sin θ)，Q(x, y)が条件

OQ = AQ = PQ

をみたすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 点Qの座標を aと θで表せ．

(2) aを固定する．0 < θ < πの範囲で θが動くとき，yの最小値を求めよ．

5 自然数 nに対して

an =

∫ π4

0

(tanx)2n dx

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) a1を求めよ．

(2) an+1を anで表せ．

(3) limn→∞

anを求めよ．

(4) limn→∞

n∑k=1

(−1)k+1

2k − 1を求めよ．

Sample

38 第 1章 北海道大学

解答例

1 ∠BAC = 90◦であるから，4ABCを底面とし，V の高さを hとする．頂点 E(D, F)から辺ABに垂線 EHを引くと

AH = AEcos 60◦ = 4·12= 2

このとき，AH2 +AC2 + h2 = AE2であるから

22 + 32 + h2 = 42 これを解いて h =√3

よって，求める V の体積は1

34ABC·h = 1

3·6·√3 = 2

√3

解説 直交座標空間の原点をA，x軸上に B，y軸上に Cをとり，V の高さが z座標となるように z軸をとる．AEと x軸，y軸，z軸の正の向きとなす角をそれぞれ α，β，γとし，r = AEとすると，点 Eの座標は (r cosα, r cos β, r cos γ)．

また，AE2 = r2より，次式が成立する．

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 · · · (∗)

α = 60◦，cos β =AC

AD=

3

4を (∗)に代入すると | cos γ| =

√3

4を得る．

したがって，V の高さは r| cos γ| = 4×√3

4=√3 �

2 (1) c = ABとし，4ABDkに余弦定理を適用すると

Lk2 = c2 +ADk

2 − 2cADk cosA

ADk =kα

n，ADk cosA =

kα

ncosA =

kc

nより

Lk2 = c2 +

α2k2

n2− 2c

2k

n

　

A B

C

D1D2

Dn−1Dk

Lk

c

Sn =n−1∑k=1

(Lk)2 =

n−1∑k=1

(c2 +

α2

n2k2 − 2c

2

nk

)= c2(n− 1) + α

2

n2·16n(n− 1)(2n− 1)− 2c

2

n·12n(n− 1)

=α2

6n(n − 1)(2n − 1)

(2) (1)の結果により limn→∞

Snn

= limn→∞

α2

6

(1− 1

n

)(2− 1

n

)=

α2

3�

Sample

1.4. 2009年 (120分) 39

3 (1) `1の x軸の正の向きとなす角 (偏角)はπ

2

C : y =x2

4より，y′ =

x

2であるから，C上の点

(t,

t2

4

)における接線 `2

の傾きはt

2であるから，その偏角を βとすると tan β =

t

2(t > 0)

したがって，`1と `2のなす角 θについて，t > 0に注意して

tan θ = tan(π2− β

)=

1

tan β=

2

t

(t > 0, 0 5 θ 5 π

2

)ゆえに cos2 θ =

1

1 + tan2 θ=

t2

t2 + 4すなわち cos θ =

t√t2 + 4

(2) `3の偏角を γとするとπ

2+ γ = 2β (t > 0より，0 < γ < π

2)

tan γ = tan(2β − π

2

)= − tan

(π2− 2β

)= − 1

tan 2β

=tan2 β − 12 tan β

=

(t2

)2 − 12· t

2

=t2 − 44t

よって，`3は点(t,

t2

4

)を通り，傾き

t2 − 44t

の直線であるから

y − t2

4=

t2 − 44t

(x− t) すなわち y =t2 − 44t

x + 1

(3) (2)の結果から，(t2− 4)x− 4t(y− 1) = 0となり，`3は定点 (0, 1)を通る

(4) Cと `3の方程式から yを消去すると

x2

4=

t2 − 44t

x+ 1 ゆえに (x− t)(tx+ 4) = 0

2点 P，Qの x座標をそれぞれ xp, xqとすると xp − xq = t+4

t

また1

cos2 γ= 1 + tan2 γ = 1 +

(t2 − 44t

)2=

(t2 + 4

4t

)21

cos γ=

t

4+

1

tとなり PQ =

xp − xqcos γ

=

(t+

4

t

)(t

4+

1

t

)=

t2

4+

4

t2+2

相加平均・相乗平均の大小関係によりt2

4+

4

t2= 2√

t2

4· 4t2

= 2

上式において，等号が成立するのはt2

4=

4

t2すなわち t = 2

よって，PQは，t = 2のとき最小値 4をとる．

Sample

40 第 1章 北海道大学

別解 (3)で求めた定点 F(0, 1)はCの焦点である．準線を ` : y = −1とし，2点P，Qから `に垂線 PR，QS を引くと

PQ = PF + QF = PR +QS

=

(t2

4+ 1

)+

(4

t2+ 1

)=

t2

4+

4

t2+ 2

　

O

y

x

`1 C

`2

`3

−1`

1 FP

Q

RS

t

−4t

解説 放物線 y2 = 4px の焦点を F，準線を `

とする．F の座標は (p, 0)，` の方程式

は x = −p である．この放物線上の任意の点 P(s, t)から準線 `に下ろした垂線を

PHとし，線分 FHの中点をMとする．

放物線の定義によると PF = PH である

から，二等辺三角形PHFにおいて，直線

PMは頂角∠FPHを 2等分する．

　

O

y

x

M

H

−p F(p, 0)

P(s, t)

`

よって，図に示した 3つの角は等しいことがわかる．

PM⊥FH と直線 FHの傾きが− t2pであるから，直線 PMの方程式は

y − t = 2pt(x− s)

t2 = 4psであるから，放物線上の点 Pにおける接線の方程式は

ty = 2p(x+ s)

点Mの座標は(0,

t

2

)であり，この接線

上にあるから，直線PMは放物線上の点P

における接線であることがわかる．

以上のことから，放物線の軸に平行に進ん

できた光や電波が放物線に当たって反射す

ると，右の図のように，そのすべてが焦点

を通過する．

　

O

y

xSample

1.4. 2009年 (120分) 41

2次曲線の離心率を eとする 1．

楕円E :x2

a2+

y2

b2= 1について (a > b)，

E上の点をP(x1, y1)，焦点をF(ea, 0)，

F′(−ea, 0)，EのPにおける接線を lとする．F，F′から lにそれぞれ垂線FH，

F′H′を引くと，次が成り立つ．

FP = a− ex1F′P = a+ ex1

∠FPH = ∠F′PH′

　

O

y

x

P(x1, y1)

ea−eaFF′

x1

H

H′

a−a

b

−b

l

E

証明

FP2 = (x1 − ea)2 + y12 = x12 − 2eax1 + e2a2 + y12

= x12 − 2eax1 +

(a2 − b2

a2

)a2 +

b2

a2(a2 − x12)

= a2 − 2eax1 +a2 − b2

a2x1

2

= a2 − 2eax1 + e2x12 = (a− ex1)2

a > ex1であるから FP = a− ex1 同様にして F′P = a+ ex1

F(ea, 0)，F′(−ea, 0)から l : x1a2

x+y1b2y− 1 = 0までの距離は，それぞれ

FH =

∣∣∣x1a2

ea− 1∣∣∣√(x1

a2

)2+(y1b2

)2 = a− ex1√x12 +

(ay1b

)2 = FP√x12 +

(ay1b

)2F′H′ =

∣∣∣x1a2

(−ea)− 1∣∣∣√(x1

a2

)2+(y1b2

)2 = a+ ex1√x12 +

(ay1b

)2 = F′P√x12 +

(ay1b

)2上の 2式から

FH

FP=

F′H′

F′Pゆえに ∠FPH = ∠F′PH′ 証終

1http://kumamoto.s12.xrea.com/kyusuu/kyukou/kyukou jou 2010.pdf 3 を参照

Sample

http://kumamoto.s12.xrea.com/kyusuu/kyukou/kyukou_jou_2010.pdf

42 第 1章 北海道大学

双曲線H :x2

a2− y

2

b2= 1について，H

上の点を P(x1, y1)，焦点を F(ea, 0)，

F′(−ea, 0)，HのPにおける接線を lとする．F，F′から lにそれぞれ垂線FT，

F′T′を引くと，次が成り立つ．

FP = a− ex1F′P = a+ ex1

∠FPT = ∠F′PT′

　

O

y

xFF′

ea−ea

P

T

T′

−a a

H

l

証明

FP2 = (x1 − ea)2 + y12 = x12 − 2eax1 + e2a2 + y12

= x12 − 2eax1 +

(a2 + b2

a2

)a2 +

b2

a2(x1

2 − a2)

= a2 − 2eax1 +a2 + b2

a2x1

2

= a2 − 2eax1 + e2x12 = (a− ex1)2

したがって FP = |a− ex1| 同様にして F′P = |a+ ex1|

F(ea, 0)，F′(−ea, 0)から l : x1a2

x− y1b2y− 1 = 0までの距離は，それぞれ

FT =

∣∣∣x1a2

ea− 1∣∣∣√(x1

a2

)2+(y1b2

)2 = |a− ex1|√x12 +

(ay1b

)2 = FP√x12 +

(ay1b

)2F′T′ =

∣∣∣x1a2

(−ea)− 1∣∣∣√(x1

a2

)2+(y1b2

)2 = |a+ ex1|√x12 +

(ay1b

)2 = F′P√x12 +

(ay1b

)2上の 2式から

FT

FP=

F′T′

F′Pゆえに ∠FPT = ∠F′PT′ 証終

�Sample

1.4. 2009年 (120分) 43

4 (1) OQ = AQより，点Qは 2点O，A(a, 0)の垂直二等分線 x =a

2上の点

OP = OQより，点Qは 2点O，P(cos θ, sin θ)の垂直二等分線，すなわ

ち，点(1

2cos θ,

1

2sin θ

)を通り，

−→OP = (cos θ, sin θ)に垂直な直線

(x− 1

2cos θ

)cos θ +

(y − 1

2sin θ

)sin θ = 0

整理すると x cos θ + y sin θ =1

2

上式に x =a

2を代入することにより y =

1− a cos θ2 sin θ

よって，点Qの座標は Q(a

2,1 − a cos θ

2 sin θ

)(2) (1)の結果から

f(θ) =1− a cos θ2 sin θ

(0 < θ < π)

を θについて微分すると

f ′(θ) =1

2·a cos θ· sin θ − (1− a cos θ)· cos θ

sin2 θ=

a− cos θ2 sin2 θ

0 < a < 1より，cosϕ = aとおくと(0 < ϕ <

π

2

)sinϕ =

√1− a2

θ (0) · · · ϕ · · · (π)f ′(θ) − 0 +f(θ) ↘ 最小 ↗

よって，求める最小値は

f(ϕ) =1− a cosϕ

sinα=

1− a·a√1− a2

=√1 − a2

�Sample

44 第 1章 北海道大学

5 (1) a1 =∫ π

2

0

tan2 x dx =

∫ π2

0

(1

cos2 x− 1)dx =

[tanx− x

]π4

0

= 1 −π

4

(2) an =

∫ π4

0

tan2n x dxより

an+1 =

∫ π4

0

tan2n+2 x dx =

∫ π4

0

tan2n x

(1

cos2 x− 1)

dx

=

∫ π4

0

tan2n x(tan x)′ dx−∫ π

4

0

tan2n x dx

=

[1

2n+ 1tan2n+1 x

]π4

0

− an =1

2n + 1− an

(3) 0 5 x 5 π4において，0 5 tanx 5 1であるから

0 5∫ π

4

0

tan2n+2 x dx 5∫ π

4

0

tan2n x dx ゆえに 0 5 an+1 5 an

上式および (2)の結果から

0 5 2an+1 5 an+1 + an =1

2n+ 1

limn→∞

1

2n+ 1= 0であるから，はさみうちの原理により

limn→∞

2an+1 = 0 よって limn→∞

an = 0

(4) (2)の結果より ak−1 + ak =1

2k − 1(k = 2)

n∑k=1

(−1)k+1

2k − 1= 1 +

n∑k=2

(−1)k−1

2k − 1= 1 +

n∑k=2

{(−1)k−1ak−1 − (−1)kak}

= 1 + (−1)a1 − (−1)nan = 1−(1− π

4

)− (−1)nan

=π

4− (−1)nan

よって limn→∞

n∑k=1

(−1)k+1

2k − 1= lim

n→∞

{π4− (−1)nan

}=

π

4Sample

1.4. 2009年 (120分) 45

別解n∑

k=1

(−1)k+1

2k − 1=

n∑k=1

(−1)k−1[

t2k−1

2k − 1

]10

=n∑

k=1

(−1)k−1∫ 10

t2k−2 dt

=

∫ 10

n∑k=1

(−t2)k−1 dt =∫ 10

1− (−t2)n

1 + t2dt

t = tanxとおくとdt

dx=

1

cos2 x

t 0 −→ 1x 0 −→ π

4∫ 10

1− (−t2)n

1 + t2dt =

∫ π4

0

1− (− tan2 x)n

1 + tan2 x· dxcos2 x

=π

4− (−1)n

∫ π4

0

tan2n x dx =π

4− (−1)nan

よって limn→∞

n∑k=1

(−1)k+1

2k − 1= lim

n→∞

{π4− (−1)nan

}=

π

4�

Sample

46 第 1章 北海道大学

1.5 2010年 (120分)

1 aを正の実数とし，2つの放物線

C1 : y = x2, C2 : y = x

2 − 4ax+ 4a

を考える．

(1) C1とC2の両方に接する直線 `の方程式を求めよ．

(2) 2つの放物線C1，C2と直線 `で囲まれた図形の面積を求めよ．

2 実数を成分とする行列A =

(a b

c d

)がA2 −A+E = Oを満たすとき，以下

の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．

(1) Aは逆行列をもつことを示せ．

(2) a+ dと ad− bcを求めよ．

(3) b > 0，A−1 =

(a c

b d

)のとき，Aを求めよ．

3 正の実数 rと−π2< θ <

π

2の範囲の実数 θに対して

a0 = r cos θ, b0 = r

とおく．an, bn (n = 1, 2, 3, · · · )を漸化式

an =an−1 + bn−1

2, bn =

√anbn−1

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)a1b1，

a2b2を θで表せ．

(2)anbnを nと θで表せ．

(3) θ 6= 0のときlimn→∞

an = limn→∞

bn =r sin θ

θ

を示せ．Sample

1.5. 2010年 (120分) 47

4 0 5 x 5 1に対して

f(x) =

∫ 10

e−|t−x|t(1− t) dt

と定める．ただし，e = 2.718 · · · は自然対数の底である．

(1) 不定積分 I1 =∫

tet dt，I2 =∫

t2et dtを求めよ．

(2) f(x)を xの指数関数と多項式を用いて表せ．

(3) f(x)は x =1

2で極大となることを示せ．

5 2本の当たりくじを含む 102本のくじを，1回に 1本ずつ，くじがなくなるまで引き続けることにする．

(1) n回目に 1本目の当たりくじが出る確率を求めよ．

(2) A，B，Cの 3人が，A，B，C，A，B，C，A，· · · の順に，このくじ引きを行うとする．1本目の当たりくじをAが引く確率を求めよ．BとCについても，1本目の当たりくじを引く確率を求めよ．

Sample

48 第 1章 北海道大学

解答例

1 (1) C1 : y = x2より y′ = 2x

C1上の点 P(p, p2)における接線の方程式は

y − p2 = 2p(x− p) すなわち y = 2px− p2 · · · 1©

この接線とC2の方程式から yを消去すると

x2 − 4ax+ 4a = 2px− p2 すなわち x2 − 2(2a+ p)x+ 4a+ p2 = 0

この方程式は重解 2a+ pをもつから，係数について

D/4 = (2a+ p)2 − (4a+ p2) = 0 ゆえに a(p− 1 + a) = 0

a > 0であるから p = 1− a これを p = 1− aを 1©に代入すると

` : y = 2(1 − a)x − (1 − a)2

(2) C2と `の接点の x座標は

2a+ p = 2a+ (1− a) = 1 + a

C1とC2の方程式から yを消去すると

x2 = x2 − 4ax+ 4a

ゆえに a(x− 1) = 0

　

O

y

x1 1+a1−a

`

C1

C2

a > 0より，C1とC2の交点の x座標は 1

求める面積は，右の図の斜線部分で，その面積を Sとすると

S =

∫ 11−a

(x− 1 + a)2 dx+∫ 1+a1

(x− 1− a)2 dx

=1

3

[(x− 1 + a)3

]11−a

+1

3

[(x− 1− a)

]1+a1

=2

3a3

�Sample

1.5. 2010年 (120分) 49

2 (1) A2 − A+ E = Oより A(E − A) = (E − A)A = E

したがって A−1 = E − A よって，Aは逆行列E − Aをもつ．

(2) A =

(a b

c d

)をハミルトン・ケーリーの定理に適用すると

A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)E = O · · · 1©

AがA2 − A+ E = O · · · 2©を満たすから， 1©， 2©より

(a+ d− 1)A = (ad− bc− 1)E · · · 3©

a + d − 1 6= 0のとき，AはEのスカラー倍であるから，A = kEとおいて (kは実数)， 2©に代入すると

(k2 − k + 1)E = O

k2 − k + 1 =(k − 1

2

)2+

3

46= 0であるから，不適．

したがって a+ d− 1 = 0 これを 3©に代入して ad− bc− 1 = 0

よって a + d = 1, ad − bc = 1

(3) A−1 =

(a c

b d

)および ad− bc = 1により A =

(d −c−b a

)Aの成分を比較して a = d，b = −c

これと (1)の結果により a = d =1

2，

1

4+ b2 = 1

b > 0であるから b =

√3

2ゆえに c = −

√3

2

よって A =1

2

(1

√3

−√3 1

)�

Sample

50 第 1章 北海道大学

3 (1) r > 0，−π2< θ <

π

2により，cos

θ

2n> 0に注意して (n = 0, 1, 2, · · · )

a1 =a0 + b0

2=

r cos θ + r

2= r cos2

θ

2,

b1 =√a1b0 =

√r2 cos2

θ

2= r cos

θ

2,

a2 =a1 + b1

2=

1

2

(r cos2

θ

2+ r cos

θ

2

)= r cos

θ

2·cos θ

2+ 1

2= r cos

θ

2cos2

θ

4,

b2 =√a2b1 =

√r2 cos2

θ

2cos2

θ

4= r cos

θ

2cos

θ

4

よってa1

b1= cos

θ

2,

a2

b2= cos

θ

4

(2) (1)の結果から，anbn

= cosθ

2nと推測すると (n = 0のときも成立する)

an+1 =an + bn

2=

bn cosθ2n

+ bn

2= bn·

cos θ2n

+ 1

2= bn cos

2 θ

2n+1,

bn+1 =√an+1bn =

√bn2 cos2

θ

2n+1= bn cos

θ

2n+1· · · (∗)

したがってan+1bn+1

= cosθ

2n+1

よって，数学的帰納法により，0以上の整数 nについて

an

bn= cos

θ

2n

(3) (∗)の両辺に sin θ2n+1

を掛けると bn+1 sinθ

2n+1= bn sin

θ

2n+1cos

θ

2n+1

bn+1 sinθ

2n+1=

1

2bn sin

θ

2nゆえに 2n+1bn+1 sin

θ

2n+1= 2nbn sin

θ

2n

したがって 2nbn sinθ

2n= 20b0 sin

θ

20すなわち bn =

r sin θ

2n sin θ2n

よって limn→∞

bn = limn→∞

12n

θsin θ

2n

·r sin θθ

=r sin θ

θ

(2)の結果から limn→∞

an = limn→∞

bn cosθ

2n=

r sin θ

θ·1 =

r sin θ

θ�

Sample

1.5. 2010年 (120分) 51

4 (1) C1，C2は積分定数とする．

I1 =

∫tet dt = et{t− (t)′}+ C1

= et(t − 1) + C1

I2 =

∫t2et dt = et{t2 − (t2)′ + (t2)′′}+ C2

= et(t2 − 2t + 2) + C2

解説 部分積分法により，次式が得られる．∫epx+qf(x) dx =

epx+q

p

{f(x)− f

′(x)

p+

f ′′(x)

p2− f

′′′(x)

p3+ · · ·

}+ C∫

apx+qf(x) dx =apx+q

p log a

{f(x)− f

′(x)

p log a+

f ′′(x)

(p log a)2− f

′′′(x)

(p log a)3+ · · ·

}+ C∫

exf(x) dx = ex {f(x)− f ′(x) + f ′′(x)− f ′′′(x) + · · · }+ C∫e−xf(x) dx = −e−x {f(x) + f ′(x) + f ′′(x) + f ′′′(x) + · · · }+ C

(2) f(x) =

∫ 10

e−|t−x|t(1− t) dtより

f(x) =

∫ x0

et−x(t− t2) dt+∫ 1x

e−t+x(t− t2) dt

=

[et−x{(t− t2)− (t− t2)′ + (t− t2)′′}

]x0

−[e−t+x{(t− t2) + (t− t2)′ + (t− t2)′′}

]1x

=

[et−x(−t2 + 3t− 3)

]x0

−[e−t+x(−t2 − t− 1)}

]1x

= 3e−x + 3ex−1 − 2x2 + 2x − 4

(3) (2)の結果から f ′(x) = −3e−x + 3ex−1 − 4x+ 2f ′′(x) = 3e−x + 3ex−1 − 4

このとき f ′(1

2

)= 0, f ′′

(1

2

)= 6e−

12 − 4 = 4√

e

(3

2−√e

)=

4√e

(√9

4−√e

)< 0

よって，f(x)は1

2で極大となる． �

Sample

52 第 1章 北海道大学

5 (1) 1回目から n− 1回目まではずれで，n回目に当たる確率であるから

100

102· 99101· · · 102− n

104− n· 2103− n

=(102− n)·2102·101

=102 − n5151

(2) Aが 1本目に当たりくじを引くのは，n = 1, 4, 7, · · · , 100のときである．(1)の結果から，n = 3k − 2 (k = 1, 2, · · · , 34)とおいて

34∑k=1

102− (3k − 2)5151

=1

5151

34∑k=1

{3(35− k)− 1}

=1

3·17·101

(3·12·34·35− 34

)=

103

303

Bが 1本目に当たりくじを引くのは，n = 2, 5, 8, · · · , 101のときである．(1)の結果から，n = 3k − 1 (k = 1, 2, · · · , 34)とおいて

34∑k=1

102− (3k − 1)5151

=1

5151

34∑k=1

{3(35− k)− 2}

=1

3·17·101

(3·12·34·35− 34·2

)=

1

3

Cが 1本目に当たりくじを引くのは，n = 3, 6, 9, · · · , 99のときである．(1)の結果から，n = 3k (k = 1, 2, · · · , 33)とおいて

33∑k=1

102− 3k5151

=1

17·101

33∑k=1

{35− k}

=1

17·1011

2·33·34 =

33

101

別解 Cが 1本目に当たりくじを引く確率は

1−(103

303+

1

3

)=

33

101

�Sample

1.6. 2011年 (120分) 53

1.6 2011年 (120分)

1 実数 xに対して k 5 x < k+1を満たす整数 kを [x]で表す．たとえば，[2] = 2，[5

2

]= 2，[−2.1] = −3である．

(1) n2 − n− 54< 0を満たす整数 nをすべて求めよ．

(2) [x]2 − [x]− 54< 0を満たす実数 xの範囲を求めよ．

(3) xは (2)で求めた範囲にあるものとする．x2 − [x] − 54= 0 を満たす xを

すべて求めよ．

2 行列A =

(a b

c d

)について，以下の 3つの条件を考える．

(i) a+ d = ad− bc = 0(ii) A2 = O

(iii) ある自然数 nに対してAn = O

このとき，次の問いに答えよ．

(1) (i)ならば (ii)であることを示せ．

(2) (iii)ならば ad− bc = 0であることを示せ．

(3) (iii)ならば (i)であることを示せ．

3 次の問いに答えよ．

(1) xy平面上の 3点O(0, 0)，A(2, 1)，B(1, 2)を通る円の方程式を求めよ．

(2) tが実数全体を動くとき，xyz空間内の点 (t + 2, t + 2, t)がつくつ直線を lとする．3点 O(0, 0, 0)，A′(2, 1, 0)，B′(1, 2, 0)を通り，中心をC(a, b, c)とする球面 Sが直線 lと共有点をもつとき，a，b，cの満たす条件を求めよ．Sa

mple

54 第 1章 北海道大学

4 nを 2以上の自然数，qと rを自然数とする．1から nqまでの番号がついた nq個の白玉，1から nrまでの番号のついた nr個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，1番から n番まで番号づけられた n個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は q個ずつ，赤玉は r個ずつ分配しておく．たとえば，1番の箱には番号 1から qの白玉と番号 1から rの赤玉が入っている．これら n(q + r)個の玉を n個の箱に以下のように再分配する．1番の箱から 1個の玉を取り出して 2番の箱に移し，次に 2番の箱から 1個の玉を取り出して 3番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に n番の箱に 1個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再分配の総数を snとし，n番の箱の白玉が q + 1個であるような再分配の総数を anとする．

(1) a2, a3を求めよ．

(2) snを求めよ．

(3) an+1 − anを求めよ．

(4) anを求めよ．

5 0 < a < 2πとする．0 < x < 2πに対してF (x) =∫ x+ax

√1− cos θ dθと定める．

(1) F ′(x)を求めよ．

(2) F ′(x) 5 0となる xの範囲を求めよ．(3) F (x)の極大値および極小値を求めよ．

Sample

1.6. 2011年 (120分) 55

解答例

1 (1) n2 − n− 54< 0 より

1−√6

2< n <

1 +√6

2· · · (∗)

このとき −1 = 1−√9

2<

1−√6

2<

1−√4

2= −1

23

2=

1 +√4

2<

1 +√6

2<

1 +√9

2= 2

よって，(∗)を満たす自然数 nは 0, 1

別解 f(n) = n2 − n− 54=

(n− 1

2

)2− 3

2とおくと

f(0) = f(1) = −54< 0，f(−1) = f(2) = 3

4> 0

f(n) < 0を満たす自然数 nは 0, 1

(2) [x]2 − [x]− 54< 0について，(1)の結果を利用して [x] = 0, 1

ゆえに [x] = 0 のとき 0 5 x < 1， [x] = 1 のとき 1 5 x < 2

よって 0 5 x < 2

(3) (2)の結果から，0 5 x < 2における方程式 x2− [x]− 54= 0の解を求める．

(i) 0 5 x < 1のとき，[x] = 0であるから

x2 − 54= 0 ゆえに x = ±

√5

2

0 5 x < 1より，解なし．

(ii) 1 5 x < 2のとき，[x] = 1であるから

x2 − 94= 0 ゆえに x = ±3

2

1 5 x < 2より，x = 32

よって x =3

2

補足 x2 − [x]− 54=の解は (0 5 x < 2)

x2 − 54= [x]より

y = x2 − 54, y = [x]

のグラフの交点の x座標である．

なお，x2 − 54= [x]の解は x = −1

2,3

2�

　

O

y

x

1

1

√52

−54

232

−14Sa

mple

56 第 1章 北海道大学

2 (1) ハミルトン・ケーリーの定理により A2 = (a+ d)A− (ad− bc)Ea+ d = ad− bc = 0を上式に代入すると A2 = O

よって，(i)ならば (ii)である．

(2) ad − bc 6= 0と仮定すると，A−1が存在し，An = Oの両辺に (A − 1)nをかけると，E = O となり，不適．よって，(iii)ならば ad− bc = 0である．

別証 An = Oより |An| = |A|n = 0 ゆえに |A| = ad− bc = 0よって，(iii)ならば ad− bc = 0

(3) (2)の結果およびハミルトン・ケーリーの定理から A2 = (a+ d)A

したがって An = (a+ d)n−1A = O

ゆえに a+ d = 0 または A = O

A = Oのとき，a+ d = 0であるから，(iii)ならば (i)である． �

3 (1) 原点Oを通る円の方程式は x2 + y2 + ax+ by = 0

これが 2点A(2, 1)，B(1, 2)を通るから

2a+ b+ 5 = 0, a+ 2b+ 5 = 0 ゆえに a = b = −53

よって，求める円の方程式は x2 + y2 −5

3x −

5

3y = 0

(2) (1)の結果から(x− 5

6

)2+

(y − 5

6

)2=

25

18

3点O(0, 0, 0)，A′(2, 1, 0)，B′(1, 2, 0)を通る円 Sの中心C(a, b, c)について，上式から

a =5

6, b =

5

6, Sの半径は

√c2 +

25

18

したがって S :(x− 5

6

)2+

(y − 5

6

)2+ (z − c)2 = c2 + 25

18

S上に点 (t+ 2, t+ 2, t)があるから

2

(t+

7

6

)2+ (t− c)2 = c2 + 25

18ゆえに 9t2 − 2(3c− 7)t+ 4 = 0

上の第 2式の tに関する 2次方程式は，実数解をもつから

D/4 = (3c− 7)2 − 9·4 = 0 よって c 51

3,

13

35 c

�

Sample

1.6. 2011年 (120分) 57

4 (1) a2は 1番目の箱の中にある q個の白玉から 1個取り出し，2番目の箱の中に入れる場合の総数であるから

a2 = q

a3は，1番目の箱から 2番目の箱，さらに 2番目の箱から 3番目の箱に 1個ずつ玉を移す 2回の操作のうち，1回目は白玉または赤玉を移し，2回目は白玉が移る場合の総数である．

1回目が白玉の場合の総数は q(q + 1)

1回目が赤玉の場合の総数は rq

よって a3 = q(q + 1) + rq = q(q + r + 1)

(2) 1番目の箱から 2番目の箱に玉を移す場合は q+ r通りある．2番目の箱から 3番目の箱，· · ·，n− 1番目の箱から n番目の箱に移す場合は，それぞれ q + r + 1通りあるから

sn = (q + r)(q + r + 1)n−2

(3) n番目の箱の赤玉が r+1個であるような再分配の総数を bnとすると，次が成り立つ．

(∗)

an + bn = sn,

an+1 = (q + 1)an + qbn,

bn+1 = ran + (r + 1)bn

(∗)の第 1式および第 2式から

an+1 − an = q(an + bn) = qsn

これに (2)の結果を代入すると

an+1 − an = q(q + r)(q + r + 1)n−2

(4) (1)，(3)の結果から，n = 3のときn−1∑k=2

{ak+1 − ak} =n−1∑k=2

q(q + r)(q + r + 1)k−2

an − a2 = q(q + r)·(q + r + 1)n−2 − 1(q + r + 1)− 1

= q{(q + r + 1)n−2 − 1}

したがって an = q(q + r + 1)n−2

これは，n = 2のときも成立するから

an = q(q + r + 1)n−2

�

Sample

58 第 1章 北海道大学

5 (1) F (x) =∫ x+ax

√1− cos θ dθより

F ′(x) =√

1− cos(x+ a)·(x+ a)′ −√1− cos x

=√

1 − cos(x + a) −√1 − cosx

(2) (1)の結果から

F ′(x) ={1− cos(x+ a)} − (1− cos x)�