iar tcn coaie

COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI

CAPITOLUL 2

OSCILAŢIILE NAVEI

Prin oscilaţie se înţelege mişcarea periodică executată de navă (considerată un corp

rigid), aflată în stare de plutire pe mare calmă sau agitată. Pe apă liniştită nava oscilează

dacă este scoasă din poziţia de echilibru de către forţe exterioare. Pe valuri nava oscilează

sub acţiunea forţelor datorate maselor de apă aflate în mişcare.

Pentru studiul oscilaţiilor, se utilizează două sisteme de coordonate (fig. 2.1):

un sisteme de coordonate fix Oξηζ, ataşat suprafeţei de plutire, având originea

pe verticala centrului de greutate a navei G;

un sistem de coordonate mobil Gxyz, ataşat corpului navei aflat în mişcare

relativă faţă de sistemul fix.

Axele sistemului mobil sunt axe centrale, principale de inerţie.

O G x

y

z

1

2

5 64

3

Fig. 2.1 Sistemele de coordonate fix şi mobil utilizate în studiul oscilaţiilor navei

De mare interes pentru comportarea navei şi mai ales pentru consecinţe, îl

reprezintă următoarele tipuri de oscilaţii:

Oscilaţii transversale (ruliu) , date de mişcarea de rotaţie periodică a navei în jurul

axei longitudinale. Se prezintă sub forma unor deplasări unghiulare alternative, periodice,

în planul cuplului maestru;

Oscilaţii longitudinale (tangaj) , date de mişcarea de rotaţie periodică a navei în

jurul axei transversale. Reprezintă deplasări unghiulare alternative, periodice, în planul

longitudinal al navei;

Oscilaţii verticale , date de deplasarea liniară periodică a navei în direcţie

verticală, în jurul poziţiei de echilibru;

Oscilaţii cuplate , rezultate din compunerea a câte două sau trei oscilaţii de tipuri

diferite.

Pentru ca cele trei mişcări periodice, necuplate, să fie exprimate prin ecuaţii

diferenţiale liniare se vor face următoarele ipoteze:

amplitudinile mişcărilor sunt considerate mici, bordurile fiind verticale în

limitele amplitudinilor, iar caracteristica de stabilitate corespunde stabilităţii iniţiale;

Capitolul II. – Oscilaţiile navei 57

suprafaţa valului se consideră plană, efectuând mişcări periodice de translaţie şi

de rotaţie;

se neglijează efectul variaţiei presiunii în val, în limita pescajului, datorită

modificării caracteristicilor valului cu adâncimea.

1. OSCILAŢIILE TRANSVERSALE (RULIU)

Ruliul reprezintă mişcarea de rotaţie transversală a navei care are loc în jurul axului

longitudinal care trece prin centrul de greutate. Este o oscilaţie forţată produsă de forţele

periodice exercitate de valuri şi căreia i se opun forţele de rezistenţă ale mediului, de

inerţie şi de redresare.

W V

L VW

L

-

y

z

iVMRVM

PVM

O G

iaM

RMsMiNM

Fig. 2.2 Momentele care acţionează asupra navei aflată în mişcare de ruliu

În cazul general, asupra navei vor acţiona momentele (fig. 2.2):

iNM momentul forţelor de inerţie al navei:

xxiN IM ; (2.1)

sM momentul de stabilitate statică:

Ts GMgM ; (2.2)

RM momentul forţelor de rezistenţă ale apei antrenată în mişcare:

NM R 2 ; (2.3)

iaM momentul forţelor de inerţie ale apei antrenată în mişcare:

xxia IM ; (2.4)

PVM momentul perturbator dat de val:

TPV GMgM ; (2.5)

RVM momentul forţelor de rezistenţă suplimentar din val:

NMRV 2 ; (2.6)

iVM momentul forţelor de inerţie suplimentar din val:


xxiV IM . (2.7)

Ecuaţia diferenţială a mişcării de ruliu a navei pe valuri este:

TxxTxxxx GMNIGMgNII 22 ,

(2.8)

unde

xxI este momentul de inerţie al masei navei faţă de axa longitudinală 2tm ;

xxI este momentul de inerţie al masei de apă antrenată în mişcare, faţă de axa

longitudinală 2tm ;

N2 este coeficient de amortizare.

Mişcarea navei se studiază atât în coordonate absolute, pentru determinarea

înclinărilor absolute, vitezelor şi acceleraţiilor faţă de suprafaţa apei calme iniţială, cât şi

în coordonate relative faţă de suprafaţa valului, necesare pentru evaluarea gradului de

inundare a punţii.

1.1 Studiul mişcării de ruliu, neamortizată pe apă liniştită

Ecuaţia de mişcare este:

0 Txxxx GMgII . (2.10)

Valoarea momentului de inerţie masic al navei, Ixx, se determină cu ajutorul unor

formule empirice: 22 38,0 BiI xxxx , (2.11)

unde:

xxi - este raza de inerţie [m];

- deplasamentul navei în [t];

g - acceleraţia gravitaţională în [m/s2];

B - lăţimea navei la cuplul maestru în [m].

Raza de inerţie a corpului navei faţă de axa Gx se calculează cu relaţia:

xxiii

xx

irmi

2

[m], (2.12)

unde:

im reprezintă masele componente de la bord;

ir este distanţa de la axa de rotaţie Gx la centrul masei componente;

xxii este momentul de inerţie al masei i în raport cu axa proprie paralelă cu Gx.

Pulsaţia oscilaţiilor transversale libere, neamortizate este:

1xx

T

I

GMgp

[s

-1] (2.13)

Soluţia sub formă armonică este

cosA p t , (2.14)


în care s-au notat:

2

2 00A

p

, (2.15)

amplitudinea mişcării şi

0

0

arctgp

, (2.16)

faza iniţială a oscilaţiei libere neamortizată.

Perioada oscilaţiilor libere de ruliu este:

2T

p

; (2.17)

2

12

12

1

1 22

T

xx

T

xx

GMg

i

GMg

IT . (2.18)

1.2 Studiul mişcării de ruliu, cu amortizare pe apă liniştită

Amplitudinea ruliului nu este constantă, deoarece oscilaţiile se amortizează datorită

rezistenţei pe care o întâmpină corpul navei din partea apei. Această rezistenţă este

proporţională cu viteza unghiulară d

dt

de înclinare a navei şi se poate exprima printr-un

moment RM r care se opune mişcării de ruliu, dat de relaţia (2.3):

NM R 2 ,

unde 2N este coeficient de proporţionalitate (coeficient de amortizare).

Coeficientul de amortizare datorat efectului apei în timpul oscilaţiei transversale, se

calculează cu metoda fâşiilor. Astfel coeficientul de amortizare pe unitatea de lungime se

determină cu relaţia: 22 22

32

2 2

n e nn

e

B BgN d

g

, (2.19)

unde:

este densitatea apei de mare;

e pulsaţia de întâlnire dintre navă şi valuri;

nB lăţimea maximă a navei la secţiunea n;

d factor ce se determină grafic funcţie de coeficientul de fineţe al suprafeţei

transversale şi raportul n

n

d

B

2.

Pulsaţia de întâlnire dintre navă si valuri se determină cu relaţia:

cos1

c

ve , (2.20)


unde

v este viteza de deplasare a navei;

c este viteza aparentă a valului;

pulsaţia absolută a valului;

unghiul de întâlnire dintre direcţia de propagare a valului şi direcţia de

deplasare a navei, măsurat de la direcţia valului în sensul acelor de ceas spre direcţia de

deplasare a navei.

Ecuaţia diferenţială a mişcării:

02 2 p , (2.21)

în care factorul de amortizare este dat de relaţia:

xx xx

N

I I

. (2.22)

Se notează:

1

2 2 2rp p , (2.23)

pulsaţia oscilaţiei transversale amortizată, liberă.

Mişcarea sub forma armonică este dată de relaţia:

rrArt

pe

cos' . (2.24)

În relaţia (2.24) s-au notat expresiile:

2

0 0' 20Ar

rp

; (2.25

0 0

0r

r

arctgp

, (2.26)

amplitudinea iniţială a mişcării şi faza iniţială a oscilaţiilor transversale amortizate pe apă

liniştită.

Amplitudinea oscilaţiilor transversale amortizate, libere, descreşte după o lege

exponenţială în timp (fig. 2.3).


t

Tr

A1

A2

0

T T 3T

e-

t’

Ar

Fig.2.3 Variaţia în timp a amplitudinii oscilaţiilor transversale amortizate, libere

Perioada oscilaţiei amortizată este:

2

2

2

1

rr

TT

p

p

. (2.27)

Decrementul logaritmic , ne arată de câte ori amplitudinea descreşte la o

perioadă de timp:

T

A

A

2

1ln . (2.28)

Dacă se determină experimental decrementul logaritmic, utilizând relaţia (2.28), se

poate calcula factorul de amortizare :

22

1

p. (2.29)

Dacă se adoptă o valoare pentru raportul 1 , 1A A n şi se calculează

Tn

nA

An

1,

1ln , timpul de amortizare a oscilaţiilor t, se determină cu relaţia:

nTnt

. (2.30)


1.3 Oscilaţia de ruliu pe valuri regulate în coordonate absolute

Suprafaţa liberă a valului considerată simplu armonică, raportată la sistemul fix

Oξηζ, este dată de ecuaţia:

teAVV cos . (2.31)

Panta valului se determină cu expresia:

teA sin . (2.32)

S-au făcut următoarele notaţii:

AV este amplitudinea valului regulat;

k este pulsaţia formei valului;

~

este lungimea valului.

Ecuaţia mişcării de ruliu în forma simplificată este:

2 sinT Txx xx AI I N g GM GM t , (2.33)

sau sub forma:

2 22 sinAp p t . (2.34)

Soluţia particulară 2 este de forma:

tA sin2 . (2.35)

Expresia amplitudinii mişcării:

2

2 2 21 4

AA

x x

. (2.36)

Expresia defazajului dintre mişcarea de oscilaţie şi excitaţie:

21

2

x

xtg

, (2.37)

cu notaţiile:

p - coeficient de amortizare;

px - pulsaţia relativă a valului, sau factor de acordaj.

Pentru a analiza variaţia amplitudinii oscilaţiei stabilizate funcţie de factorul de

acordaj x se introduce noţiunea de factor de amplificare , dat de relaţia:

2

2 2 2

1

1 4

A

A x x

. (2.38)

În activitatea practică, interesează în mod deosebit amplitudinea şi defazajul

mişcării oscilatorii. În acest sens se vor reprezenta graficele de variaţie ale mărimilor

x (fig. 2.4) şi x (fig. 2.5).


a) Pentru 0x rezultă 1 . Nava oscilează pe un val cu lungime foarte

mare, sau are un moment de inerţie foarte mic. În acest caz nava urmăreşte în

permanenţă suprafaţa valului, având înclinarea maximă egală cu amplitudinea

unghiului de pantă al valului.

b) Pentru x rezultă 0 . Este cazul real de exploatare pe valuri cu

perioade mici, sau nava are o stabilitate foarte mică sau o inerţie foarte mare.

c) Pentru 1x , cazul de rezonanţă,

2

1 . Factorul de amplificare depinde

de coeficientul de amortizare al navei. Amplitudinea oscilaţiei este cu atât mai

mare cu cât coeficientul de amortizare este mai mic

X

1

1

< < <

X

< <

Fig. 2.4 Dependenţa factorului de amplificare de pulsaţia relativă a valului

Factorul de amplificare este maxim la valori mai mici decât 1, valoare ce

corespunde rezonanţei fără amortizare.

Din reprezentarea grafică a defazajului (fig. 2.5) se pot observa următoarele cazuri:

a) Pentru 0x , 0tg şi 0 ; momentul perturbator este în fază cu

unghiul de pantă al valului;

b) Pentru 1x tg şi 2

;

c) Pentru 10 x tg0 şi 2

0

;

d) Pentru x1 0 tg şi

2

.


2

0x1

Fig. 2.5 Dependenţa defazajului de pulsaţia relativă a valului

1.4 Oscilaţia transversală forţată în coordonate relative

Oscilaţia transversală forţată în coordonate relative este dedusă din ecuaţia

generală, folosind coordonata relativă şi considerând valul travers la navă

2

:

sinIGMgNII AxxT

...

xxxx22 . (2.39)

O altă formă a ecuaţiei (2.39), în care s-a folosit notaţia 1xx

xx

I

Iq

:

sin12 22...

Aqp . (2.40)

Considerând că oscilaţia este amortizată, soluţia are numai componenta particulară,

caracteristică oscilaţiei forţată stabilizată:

tA sin , (2.41)

în care A şi reprezintă amplitudinea oscilaţiei în coordonate relative şi

defazajul , date de expresiile:


2

22 2 2

1

1 4

A

A

q x

x x

; (2.42)

21

2

x

xtg

. (2.43)

1

1

< < <

X

< <

1-q

Fig. 2.6 Variaţia factorului de amplificare relativ cu pulsaţia relativă a valului

În ceea ce priveşte defazajul, discuţia şi graficul de variaţie cu factorul de acordaj

x sunt similare ca la oscilaţia în coordonate absolute (fig. 2.6).

2. OSCILAŢIILE LONGITUDINALE (TANGAJ)

În baza ipotezelor adoptate în studiul oscilaţiilor necuplate, se consideră că asupra

navei acţionează un moment perturbator de formă armonică cosP P AM M t , care

acţionează în planul longitudinal al navei.


WV

LVW

L

-

x

z

PM

O G

iaM

RMsMiNM

Fig. 2.7 Momentele care acţionează asupra navei aflată în mişcare de tangaj

Nava oscilează sub acţiunea următoarelor momente(fig. 2.7):

iNM momentul forţelor de inerţie al navei:

yyiN IM ; (2.44)

sM momentul de stabilitate statică:

Ls GMgM ; (2.45)

RM momentul forţelor de rezistenţă ale apei antrenată în mişcare:

NM R 2 ; (2.46)

iaM momentul forţelor de inerţie ale apei antrenată în mişcare:

yyia IM ; (2.47)

PM momentul perturbator dat de val:

cosP P AM M t ; (2.48)

Ecuaţia diferenţială a mişcării de tangaj a navei pe valuri:

2 cosLyy yy P AI I N g GM M t , (2.49)

unde

yyI este momentul de inerţie al masei navei faţă de axa transversală 2tm ;

yyI este momentul de inerţie al masei de apă antrenată în mişcare faţă de axa

transversală 2tm ;

N2 este coeficient de amortizare [tm2/s].

Mişcarea navei se studiază în coordonate absolute şi se determină înclinările

absolute, vitezele şi acceleraţiile faţă de suprafaţa apei calme iniţială.


2.1 Studiul mişcărilor de tangaj, neamortizate, pe apă liniştită

Ecuaţia diferenţială a mişcării este

0 Lyyyy GMg)II( . (2.50)

Momentul de inerţie masic 1yyI se determină cu ajutorul unor formule empirice,

dintre care se foloseşte în mod curent formula:

yyyyyyyyyy IiIII 21 , (2.51)

unde:

yyi - este raza de inerţie [m] ( pentru nave cu forme normale

0,24 0,26yyi L L );

- deplasamentul navei în [t];

Raza de inerţie a corpului navei faţă de axa Gy se calculează cu relaţia:

yyiiiyy

irmi

2

, (2.52)

unde:

im reprezintă masele componente de la bord;

ir este distanţa de la axa de rotaţie Gy lai centrul masei componente;

yyii este momentul de inerţie al masei i în raport cu axa proprie paralelă cu Gy.

Momentul de inerţie a masei de apă antrenată în mişcare se calculează cu relaţia:

2

2

2

L

L

ayy dxxmI , (2.53)

unde am este masa de apă specifică antrenată de navă, care se calculează cu relaţia:

2

2yCma

[t/m], (2.54)

în care este densitatea apei, y semilăţimea navei la linia de plutire în dreptul abscisei x

şi C coeficient, ce depinde de raportul d

y2 şi coeficientul de fineţe al secţiunii

transversale imerse.

Momentul de inerţie al masei navei mai poate fi estimat cu relaţia:

dxxAI

L

L

xyy2

2

2

, (2.55)

unde xA este aria secţiunii transversale imerse.

Pulsaţia oscilaţiilor longitudinale libere, neamortizate:

2

1p

I

GMg

yy

L

. (2.56)

Soluţia sub formă armonică:

tpA cos , (2.57)



2

020

pA

, amplitudinea mişcării, şi (2.58)

parctg

0

0

, (2.59)


Perioada oscilaţiilor libere de tangaj se calculează cu relaţia:

21

12

1

1 2

22

L

yy

L

yy

GMg

i

GMg

IT . (2.60)

2.2 Studiul mişcării de tangaj, amortizată pe apă liniştită

Oscilaţiile se amortizează datorită rezistenţei pe care o întâmpină corpul navei din

partea apei. Această rezistenţă este proporţională în acest caz de oscilaţie cu viteza

unghiulară de înclinare a navei, şi se poate exprima printr-un moment RM care se

opune mişcării de tangaj, dat de relaţia (2.46):

NM R 2 , (2.61)

unde N2 este coeficient de proporţionalitate (coeficient de amortizare).

Coeficientul de amortizare datorat efectului apei în timpul oscilaţiei longitudinale, se

calculează cu metoda fâşiilor sau cu relaţii empirice. Astfel coeficientul de amortizare se

calculează cu formula lui Van-der-Fleet :

GyIkN 25,0 , stm /2 (2.62)

unde:

GyI este momentul de inerţie al suprafeţei plutirii, în raport cu axa transversală

Gy ;

2k smt 2/ este factor de proporţionalitate care se calculează cu relaţia:

wAMck /2 52 , (2.63)

este greutatea specifică a apei;

M masa navei;

5c coeficient adimensional 1,05 c pentru amplitudini mici şi 225,05 c

pentru amplitudini mari.

Ecuaţia diferenţială a mişcării:

02 2 p , (2.64)

unde s-a notat factorul de amortizare:

yy yy

N

I I

. (2.65)

Dacă se notează:


rpp 2

122 , (2.66)

pulsaţia oscilaţiei longitudinale amortizată, liberă, se obţine legea de mişcare sub forma

armonică:

rr'Ar

ttpcose

. (2.67)


2

' 2 0 00Ar

rp

; (2.68)

0 0

0r

r

arctgp

, (2.69)

care reprezintă amplitudinea iniţială a mişcării, respectiv faza iniţială a oscilaţiilor

longitudinale amortizate pe apă liniştită.

Amplitudinea oscilaţiilor longitudinale amortizate, libere, descreşte după o lege


t

Tr

A1

A2

0

T T 3T

e-

t

’

Ar

Fig.2.8 Variaţia în timp a amplitudinii oscilaţiilor longitudinale amortizate, libere

Perioada oscilaţiilor este:

2

2

2

1

rr

TT

p

p

. (2.70)

Decrementul logaritmic este: 1

2

lnA

A

T


factorul de amortizare se calculează cu relaţia

22

1

p

. (2.71)

Timpul de amortizare a oscilaţiilor t, se determină cu relaţia:

nt n T

. (2.72)

2.3 Oscilaţia de tangaj pe valuri regulate în coordonate absolute

Soluţia particulară (legea de mişcare) este de forma:

cosA t . (2.73)

Expresia amplitudinii mişcării

2222 41

xx

GMg

M

L

AP

A . (2.74)

Defazajului dintre mişcarea de oscilaţie şi excitaţie

2

2

1

xtg

x

. (2.75)

cu notaţiile:

p

- coeficient de amortizare adimensional;

xp

- pulsaţia relativă a valului sau factor de acordaj,

unde L

APst

GMg

M

reprezintă unghiul de înclinare sub acţiunea statică a

amplitudinii momentului perturbator, iar .

2

2 2 2

1,

1 4x x

este factorul de

amplificare.

Graficele de variaţie ale mărimilor x (fig. 2.9) şi x (fig. 2.10).


1

1

< <

X

< <


2

0x1

Fig. 2.10 Dependenţa defazajului de pulsaţia relativă a valului

La tangajul pe mare agitată prezintă interes oscilaţiile forţate, deoarece oscilaţiile

libere se amortizează rapid datorită rezistenţei mari opusă de masa de apă antrenată. Axa

de oscilaţie la tangaj nu coincide, de regulă, cu axa transversală yG . Poziţia axei de

tangaj depinde de formele navei.


3. OSCILAŢIILE VERTICALE

Este o mişcare periodică de translaţie pe verticală a navei considerată corp rigid,

sub acţiunea forţelor hidrostatice, hidrodinamice din hulă şi a forţei de inerţie a navei.

Considerăm o navă pe plutire dreaptă (fig. 2.11), asupra căreia acţionează o forţă

verticală orientată de sus în jos. Sub acţiunea acestei forţe creşte pescajul navei cu d ,

linia de plutire devine 1 1W L şi este paralelă cu plutirea iniţială. Şi în acest caz rămân

valabile ipotezele admise la studiul mişcărilor de ruliu şi tangaj

Dacă această forţă încetează atunci nava începe să execute oscilaţii verticale, de o

parte şi de alta a liniei de plutire iniţială WL.

WVLVW

L

y

z

iaF

iNF

W L

G

O

zzV

Fp

Fg

FR

Fig. 2.11 Forţele care acţionează asupra navei, la oscilaţia verticală

Asupra navei, în timpul oscilaţiilor, acţionează următoarele forţe:

Forţa de greutate, aplicată în centrul de greutate G:

gFg ; (2.76)

Forţa de flotabilitate, aplicată în centrul de carenă B:

p W VF V A z z ; (2.77)

Forţa de inerţie care acţionează asupra masei navei, care se aplică în centrul de

greutate G:

iNF M z ; (2.78)

Forţa de inerţie a masei de apă antrenată:

ia VF M z z ; (2.79)

Forţa de rezistenţă a apei, proporţională cu viteza relativă de afundare:

2R z VF N z z . (2.80)

S-a notat cu 2 zN [t/s] coeficientul de proporţionalitate, M masa navei, M masa apei

antrenată în mişcare.

Ecuaţia valului raportat la sistemul Gxyz este de forma:


cosV A ez h t , (2.81)

unde Ah este amplitudinea valului, iar e frecvenţa de întâlnire a valului.

Ecuaţiile diferenţiale ale oscilaţiei verticale, în coordonate absolute şi relative se

scriu sub forma:

1 2 cosz W PA e zVM z N z A z F t ; (2.82)

.. .

1 2 ' cosz W PA eM z N z A z F t , (2.83)

unde:

2 22 2PA A W e z eF h A M N , este amplitudinea forţei

perturbatoare la oscilaţiile în coordonate absolute;

2'PA A eF M h , este amplitudinea forţei perturbatoare, la oscilaţiile în

coordonate relative;

2

2 z ezV

W e

Ntg

A M

, reprezintă defazajul dintre forţa perturbatoare şi

mişcarea valului.

3.1 Studiul oscilaţiilor verticale, neamortizate pe apă liniştită

Din ecuaţia de mişcare în forma simplificată:

1 2 cosz W A W eM z N z A z h A t , (2.84)

se obţine:

1 WM z A z o . (2.85)

Pulsaţia oscilaţiilor verticale libere, neamortizate:

1

Wz

Ap

M

. (2.86)

Legea de mişcare sub formă armonică:

cosA z zz z p t , (2.87)


2

2 00A

z

zz z

p

, amplitudinea mişcării, (2.88)

0

0z

z

zarctg

z p

, (2.89)


Masa apei antrenată în mişcare se poate calcula cu formule empirice, aproximative:

2

2

2

2

L

L

M C y x dx

, (2.90)


unde y este semilăţimea la plutirea navei în secţiunea x, C este coeficient pentru

secţiunile Lewis, determinat grafic funcţie de raportul B

d, coeficientul de fineţe al

secţiunii transversale şi funcţie de frecvenţa de întâlnire a valului, prin expresia 2

2

e B

g

Perioada oscilaţiilor verticale este:

122z

z W

MT

p A

. (2.91)

Practic, perioada proprie zT se determină direct folosind formula empirică:

z zT k T , (2.92)

unde factorul zk este dat de expresia:

4,02 2,531

WBz

W W

CC Bk

C C T

, (2.93)

WC este coeficientul de fineţe al suprafeţei de plutire, iar BC este coeficientul bloc.

3.2 Studiul oscilaţiilor verticale, cu amortizare pe apă liniştită

Amplitudinea oscilaţiei verticale nu este constantă, deoarece oscilaţiile se

amortizează datorită rezistenţei pe care o întâmpină corpul navei din partea apei. Această

rezistenţă este proporţională cu viteza liniară z de oscilaţie a navei, şi se poate exprima

prin relaţia:

2R zF N z , (2.94)

unde 2 zN este coeficient de proporţionalitate (coeficient de amortizare).

Coeficientul de amortizare datorat efectului apei în timpul oscilaţiei verticale, se

calculează cu metoda fâşiilor. Astfel, coeficientul de amortizare pe unitatea de lungime se

determină cu relaţia: 2

32 ,zn

e

g AN

(2.95)

unde:

este densitatea apei de mare;

e pulsaţia de întâlnire dintre navă şi valuri;

A factor ce se determină grafic funcţie de coeficientul de fineţe al suprafeţei

transversale, raportuln

n

d

B şi pulsaţia de întâlnire prin relaţia

2

2

e nB

g

. Acest factor este

invers factorului de amplificare a mişcării şi reprezintă raportul dintre amplitudinea

valului şi amplitudinea mişcării.

Coeficientul total de amortizare, utilizând teoria fâşiilor, se determină din expresia:


2 2z znN N dx . (2.96)

Ecuaţia diferenţială a mişcării devine:

2 0z WM M z N z A z . (2.97)

S-a introdus notaţia:

z

z

N

M M

, (2.98)

ce reprezintă factorul de amortizare.

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este sub forma armonică:

' cosztAr zr zrz e z p t

. (2.99)


2

' 2 0 00

zAr

zr

z zz z

p

; (2.100)

0 0

0

zzr

zr

z zarctg

p z

, (2.101)

amplitudinea iniţială a mişcării şi faza iniţială a oscilaţiilor verticale amortizate pe apă

liniştită.

Amplitudinea oscilaţiilor verticale amortizate, libere descreşte după o lege


t

Tzr

zA1

zA2

0

Tz Tz 3Tz

e-z t

z’

Ar

z

Fig. 2.12 Variaţia în timp a amplitudinii oscilaţiilor verticale amortizate, libere

Oscilaţia verticală este o mişcare oscilatorie armonică amortizată, având pulsaţia:

1

2 2 2zr z zp p , (2.102)


şi perioada: 2

2

2

1

zzr

zr z

z

TT

p

p

. (2.103)

Amplitudinea descreşte la o perioadă de timp cu valoarea decrementului logaritmic:

1

2

ln Az z

A

zT

z

. (2.104)

Factorul de amortizare z se obţine cu relaţia:

22

1

zz

p

. (2.105)

Timpul de amortizarea a oscilaţiilor t se determină cu relaţia:

nz

z

t n T

. (2.106)

3.3 Oscilaţia verticală pe valuri regulate în coordonate absolute

Se consideră o navă pe valuri având unghiul de întâlnire .

Ecuaţia diferenţială a mişcării în forma simplificată este:

2 22 cosz z z A ez z p z p h t . (5.184)

Soluţia particulară 2z este de forma:

2 cosA e zz z t . (5.186)

Expresia amplitudinii mişcării:

2

2 2 21 4

AA

z z z

hz

x x

. (5.190)

Expresia defazajului dintre mişcarea de oscilaţie şi excitaţie:

2

2

1

z zz

z

xtg

x

, (5.191)

unde se notează:

zz

zp

- coeficient de amortizare;

e

zz

xp

- pulsaţia relativă a valului sau factor de acordaj.

. Deoarece oscilaţia naturală se amortizează în timp, legea oscilaţiei forţată stabilizată

este: 2 cosA e zz z z t . (5.192)

Factorul de amplificare z este dat de relaţia:


2

2 2 2

1

1 4

Az

Az z z

z

hx x

. (5.193)

În activitatea practică, interesează în mod deosebit amplitudinea şi defazajul

mişcării oscilatorii. În acest sens se vor reprezenta graficele de variaţie ale mărimilor

z zx (fig. 2.13) şi z zx (fig. 2.14).

z

1

1

z

z

z

z

< << <z z z

1

< << <

xz


2

0xz1

zz z

z

2

01

Fig.5.14 Dependenţa defazajului de pulsaţia relativă a valului


Probleme rezolvate

PR 2.1 O navă cu lungimea de mLWL 4,152 înaintează printr-o serie de valuri

regulate cu un unghi 050 faţă de linia crestei valurilor. Prova navei întâlneşte valuri

succesive la fiecare sec15 , iar timpul în care creasta valului trece de la prova la pupa este

de sec10 . Să se afle viteza navei.

Rezolvare:

Componenta vitezei în direcţia valului este:

cosv .

Aşadar, viteza relativă a navei pe val în direcţia drumului valului este:

cosvc .

Dacă t este intervalul de timp al crestei unui val, observat la prova şi la pupa,

perpendicular pe direcţia înaintării valului (deplasării valului), atunci:

lungimea de întâlnire

viteza relativã a navei fata de valt ;

svc

t 10cos

cos~

,

de unde:

98cos4,15210)cos( vc m/s;

8,9)cos( vc m/s.

Dacă eT este intervalul de timp dintre două creste succesive, observate la prova şi la

pupa, atunci perioada de întâlnire este:

valde fatã navei a relativã viteza

valuluilungimeaeT ,

sau:

svc

Te 15cos

~

,

de unde:

15 9 8 147 eT ( c v cos ) , m .

Aşadar viteza aparenta a valului este:

smg

c /15,152

~

şi rezultă:

ndsmc

v 18,16/327,8cos

8,9

.


PR 2.2 O navă cu lungimea de mLWL 150 are un deplasament de t12500 şi

o rază de inerţie în jurul axei longitudinale mixx 10 . Înălţimea metacentrică transversală

este mGM T 6,1 . Să se calculeze perioada de ruliu normal şi amortizat, dacă

coeficientul de amortizare a ruliului se presupune a fi s

tmN

2

1200002 şi masa de apă

adiţională este de 20% din masa navei.

Rezolvare: Pulsaţia proprie pentru oscilaţiile neamortizate se calculează cu relaţia (2.13) :

1

2221

36,0102,1

6,181,9

2,12,1

s

i

GMg

i

GMg

I

GMgp

xx

T

xx

T

xx

T .

Perioada oscilaţiilor de ruliu neamortizate (2.17) este:

sp

T 45,1736,0

22

.

Factorul de amortizare (2.22) este:

1

21

04,010125002,12

120000

sI

N

xx

.

Perioada ruliului amortizat rezulta din(2.27):

.55,17

36,0

04,01

145,17

1

1

22s

p

TT r

PR 2.3 Se cunosc următoarele caracteristici ale navei: deplasamentul t20000 ,

înălţimea metacentrică transversala mGMT 2,1 , perioada oscilaţiilor de ruliu

neamortizată sT 20 . Să se calculeze noua perioada de ruliu a navei, când o masă

m=600t se debarcă dintr-un punct situat la 12m deasupra centrului de greutate a navei. Se

consideră că înălţimea metacentrică nu se modifică şi că xxxx II 2,0 .

Rezolvare:

Din relaţia (2.18) rezultă:

9,2385505)2(

2,12000081,920

)2( 2

2

2

2

1

Txx

GMgTI [tm

2].

Din relaţia xxxx II 2,0 rezultă momentul de inerţie al navei:

5,19879212,1

9,2385505

2,1

1 xxxx

II [tm

2].

După ridicarea greutăţii (Fig. 2.15), se calculează noul moment de inerţie al navei:


W L

y

z

G

G

xxr

KG

m

Fig. 2.15

5,1901521126005,1987921 22' xxxxxx rmII [tm2].

Poziţia centrului de greutate se modifică pe verticală cu:

mm

rmKG xx 371,0

60020000

12600)(

,

iar noul moment de inerţie faţă de noua axă longitudinală este:

3,1898849371,0194005,1901521)()()( 22'' GKmII xxGxx [tm

2].

Momentul de inerţie al navei şi al apei adiacente devine:

2,2278619)(2,1)( '1 GxxGxx II [tm2].

Perioada modificată este:

.86,192,11940081,9

2,22786192

)(

)(2 '1' s

GMmg

IT

T

Gxx

PR 2.4 O navă are raza de inerţie mixx 9 , iar înălţimea metacentrică

transversală mGMT 47,1 la un deplasament t15000 . Dacă coeficientul de

amortizare este s

tmN

2

500002 , nava oscilând pe apă liniştită, să se determine

amplitudinea oscilaţiilor după trei perioade de oscilaţie. Nava la momentul iniţial (t=0), a

fost înclinată la 00 7 , iar viteza iniţială zero. Se consideră momentul de inerţie al

masei de apă antrenată în mişcare 20% din momentul de inerţie al navei.

Rezolvare:

Cu relaţia (2.11) se calculează momentul de inerţie al navei:

1215000915000 2 xxI [tm2],

iar momentul de inerţie total adăugând şi masa adiacentă este:

12150002,12,11 xxxx II [tm2].

Pulsaţia oscilaţiilor transversale libere, neamortizată este (2.13):


1385,01458000

47,11500081,9

sp .

Factorul de amortizare este dat de relaţia (2.22):

,017,014580002

50000 1

s

iar pulsaţia oscilaţiilor transversale libere, amortizate (2.23):

12222 384,0017,0385,0 spp r .

Perioada oscilaţiilor amortizate (2.27) este:

sp

Tr

r 36,16384,0

22

.

Decrementul logaritmic (2.28) este:

385,0

2017,0

2

pT 0,278.

Amplitudinea oscilaţiilor după trei perioade de oscilaţie este:

00278,030

33 04,37 ee AA .

PR. 2.5 La o navă se cunosc: sT 15 , ndv 35 , .270mLWL Să se determine

unghiul relative dintre navă şi val )( când amplitudinea oscilaţiei transversale este

maximă.

Rezolvare: Valoarea maximă a amplitudinii apare la rezonanţă când ep .

Pulsaţia navei :

,419,015

22s

Tp

iar pulsaţia valului pentru ape adânci se calculează cu:

,477,0270

81,92~

2 1

sg

în care s-a considerat cazul critic WLL~

.

Pulsaţia de întâlnire dintre navă şi valuri se determina cu (2.20), la rezonanţă ep ,

din care rezultă:

139,0514,350477,0

81,9)419,0477,0()(cos

22

v

ge

,

iar 00 8282139,0arccos sau .


PR. 2.6 O navă întâlneşte valuri la travers cu lungimea m180~ şi amplitudinea

pantei .50A Care este amplitudinea oscilaţiei transversale pe val dacă perioada

pulsaţiei de oscilaţie este sT 15 . Mişcarea se consideră neamortizată şi forţată.

Rezolvare: Nava oscilează după legea de mişcare dată de (2.35):

).sin( tA

Pulsaţia valului este dată de relaţia:

.585,0180

81,92~

2 1

s

Pulsaţia navei:

.419,015

22 1 sT

p

Pulsaţia relativă a valului este:

396,1419,0

585,0

px .

Amplitudinea mişcării se obţine din relaţia (2.36) cu neglijarea amortizării:

.3,5396,11

5

1

0

2

0

2

x

AA

PR. 2.7 O navă cu viteza ndv 20 se deplasează faţă de direcţia valului cu un

unghi 0150 . Caracteristicile navei sunt: mLWL 135 , mixx 9 , mGMT 8,1 ,

t12500 , coeficientul de amortizare 1170002 N [tm2/s], masa adiacentă antrenată

în mişcare reprezintă 20% din masa navei.

Să se calculeze amplitudinea maximă a oscilaţiei de ruliu dacă amplitudinea

valului este mAV 9 şi pulsaţia valului 1312,0 s .

Rezolvare: Perioada proprie de oscilaţie a navei este (2.18):

.425,092,1

81,98,1

2,1

1

221

s

i

GMg

I

GMgp

xx

T

xx

T

Factorul de amortizare se calculează din (2.22):

.048,09125002,12

117000

2

1

21

sI

N

xx

şi coeficientul de amortizare:

.113,0425,0

048,0

p

Expresia factorului de acordaj pentru care se obţine maximul factorului de amplificare

este:


,21 2 x

şi se obţine .987.0113,021 2 x

Factorul de amplificare se determină din (2.38) înlocuind pe x şi :

.45,4

987,0113,04)987,01(

1)(

2222max

Lungimea valului se calculează cu relaţia:

mg

633312,0

81,922~

22

,

iar amplitudinea pantei valului cu (2.32’):

radAVA 089,0633

29~

2

.

Amplitudinea oscilaţiei transversale amortizată, forţată, maximă este dată de relaţia (2.38)

radAAA 198,0150sin089,045,4sin)()()( 0max

'maxmax

)34,11( 0 .

PR 2.8 Se dau: mLWL 4,152 , miyy 1,381

38.1yyk m , mGM L 4,152 ,

15000t . Dacă momentul de inerţie al masei adiţionale este aproape 90% din

momentul de inerţie al masei navei, aflaţi perioada naturală de tangaj.

Rezolvare:

Pulsaţia oscilaţiei de tangaj se determină cu (2.56) :

1yy

L

I

GMgp

,

unde:

413708851,38150009,19,1 221 yyyy iI [tm

2].

Aşadar:

1

1

736,041370885

4,1521500081,9

sI

GMgp

yy

L

şi perioada

sp

T 52,8736,0

22

.

PR 2.9 Pentru nava prezentată la problema PR 2.8, să se determine mişcarea de

tangaj, dacă coeficientul de amortizare în timpul mişcării de tangaj este 74752202 N

[tm2/s] şi condiţiile iniţiale sunt: 0

0 5 şi 00

tdt

d.


Rezolvare:

Ecuaţia de mişcare pentru tangaj amortizat în apă calmă este dată de (2.67):

)cos('rrAr

ttpe

.

Legea de variaţie a vitezei:

)cos()sin()( ''rrAr

trrrAr

ttpetppe

dt

d

.

Din relaţia (2.65) se determină factorul de amortizare:

091,01,38150009,12

7475220

2

s

-1,

din (2.66) pulsaţia oscilaţiei longitudinale cu amortizare:

,731,0091,0736.0 122 sp r

iar perioada din (2.70):

sp

Tr

6,8731,0

22

.

La st 0 , 0

0 5 avem:

rArrAr cos)cos(5 ''0 şi

rArrrArt

pdt

d

cos)sin()(0 ''

0

,

din care rezultă:

123,0731,0

091,0

rr

ptg

respectiv radr 005,1 sau 058,57r .

Amplitudinea este:

.32,958,57cos

5 0

0

0' Ar

Ecuaţia mişcării de tangaj poate fi scrisă:

)005.173,0cos(32,9 0091,0 te t [grade].

PR 2.10 Să se arate că între perioada de oscilaţie verticală a navei şi cea a

modelului realizat la scară, există relaţia zmzn TT .

Rezolvare: Perioada oscilaţiei verticale neamortizată a navei se calculează cu (2.91):

W

nB

nWLnW

nnWLnB

nWL

n

nWL

nzn

C

dCc

BLCg

dBLCc

Ag

Mc

Ag

MT

2222

1

.

Perioada oscilaţiei verticale neamortizată a modelului este dată de:


W

mB

mWLmW

mmWLmB

mWL

m

WL

mzm

C

dCc

BLCg

dBLCc

Ag

Mc

Ag

MT

m

2222

1

unde c este raportul dintre M1 şi M.

Dacă se notează raportul dintre dimensiuni cu m

n

d

d se obţine zmzn TT .

PR.2.11 La o navă se cunosc următoarele mărimi: mLWL 128 , mB 07,17 ,

md 1,6 , WB CC , greutatea adiţională %90 din greutatea navei. Presupunând că nu

există amortizare, se cere:

a) Perioada oscilaţiilor verticale în apă calmă;

b) Expresia oscilaţiilor verticale în apă calmă dacă deplasarea iniţială faţă de poziţia

de echilibru şi viteza mişcării de oscilaţie la momentul t=0 este 00 z , respectiv

smdt

dz

t

/68,10

;

c) Forţa maximă exercitată asupra punţii navei de către un vinci ce cântăreşte 4t;

d) Diagramele de variaţie a deplasării, vitezei şi acceleraţiei în timp.

Rezolvare:

a) Din (2.86) rezultă pulsaţia oscilaţiilor verticale neamortizate în apă calmă:

1

1

92,01,96,1

81,9

9,19,1

s

d

g

BdLC

BLCg

M

Agp

WLB

WLWWz

,

iar perioada se calculează cu (2.91):

.83,692,0

22s

pT

zz

b) Ţinând cont de condiţiile iniţiale la t=0, 00 z şi s/m,z 6810 , amplitudinea

mişcării (2.88) devine:

,s/m,,

,

p

zz

zA 821

920

6810

iar faza iniţială din (2.89) devine 2/z .

Legea de mişcare (2.87) devine, după înlocuire:

2920821 /t,cos,mz .

c) Forţa exercitată asupra vinciului se obţine suprapunând peste forţa de greutate

forţa de inerţie determinată de mişcarea de oscilaţie pe verticală:

2

2

dt

zdmmgFmgF i ;

zzzA tpcospzdt

zd 2

2

2

.


Valoarea maximă se obţine pentru 1 zztpcos şi este 2zA pz .

După înlocuire se obţine:

.kN,,,,pmzmgF zA 564292082148194 22

d) Diagramele de variaţie ale deplasării, vitezei şi acceleraţiei funcţie de timp sunt

prezentate în figurile 2.16 a), 2.16 b) şi 2.16 c).

1,82m

1,8

2m

dz

dtz

tt

oo 2

zT

6,833zT

1,68

/m

s1,

68

/m

s

6,833zT

1,54m

z

to 2

zT

6,833zT

Fig. 2.16 a) Fig. 2.16 b)

Fig. 2.16 c)

2

2

d z

dt

1,5

4m


Probleme propuse

PP 2.1 Un val, la apă adâncă, are următoarele dimensiuni: m~

50 6.1wL m ,

m,AV 52 . Aflaţi viteza şi profilul valului.

PP 2.2 Se dau: t20000 , m,GMT 221 , s,T 212 . Calculaţi T când o masă

tm 500 este ambarcată de la 10m deasupra centrului de greutate. Se presupune că

TGM rămâne neschimbat şi că momentul inerţial de ruliu pentru masa ambarcată este de

30% din momentul de inerţie al masei navei.

PP 2.3 Ruliul unei nave (A) cu deplasament de t10000 are o perioadă de s10 şi o

înălţime metacentrică transversală de 1,5m. O altă navă de aceeaşi categorie (B) are un

deplasament de t12000 şi o înălţime metacentrică transversală de 1.3m . Distribuţia

greutăţilor, în ambele cazuri este similară în toate privinţele. Masa de apă adiţională

pentru ruliu este de 16% din masa navei.

a) Calculaţi perioada navei B fără masa apei adiţionale;

b) Calculaţi perioada navei B cu masa de apă adiţională.

PP 2.4 O navă are raza de inerţie (în jurul axei de ruliu) de 9,5m, o înălţime

metacentrică transversală TGM de 1,475m şi un deplasament de t15000 . Dacă

coeficientul de amortizare al ruliului N2 , are o valoare de 80000 [tm2/s], determinaţi

amplitudinea ruliului după zece oscilaţii complete, dacă nava a fost iniţial înclinată cu

100. Momentul de inerţie al masei de apă adiţională la ruliu este de 20% din cel al navei.

PP 2.5 O navă cu lungimea de mLWL 150 are un deplasament de t10000 şi

o rază de inerţie în jurul axei longitudinale mixx 8 . Înălţimea metacentrică transversală

este mGM T 6,1 . Să se calculeze perioada de ruliu normal şi amortizat, dacă

coeficientul de amortizare a ruliului se presupune a fi s

tmN

2

800002 şi masa de apă

adiţională este de 20% din masa navei.

PP 2.6 O navă oarecare a întâlnit două serii de valuri normale, din travers, cu

lungimi de 91.44m şi 182.88m , pe timpul unui voiaj pe mare. Dacă pantele maxime ale

valurilor în ambele cazuri sunt de 5o , care sunt amplitudinile mişcărilor de ruliu în cele

două cazuri, dacă perioada de ruliu a navei este de 15s? Mişcarea navei este neamortizată

şi forţată.


PP 2.7 O navă oscilează vertical cu un unghi de 150o relativ la direcţia valului cu

viteza de 20Nd .

a) Trasaţi diagramele de variaţie a factorului de amplificare funcţie de

w

w, pe

intervalul [0,2], cu o discretizare de 0,2. Dimensiunile navei sunt:

m,LWL 16137 ; m,ixx 49 ; mGMT 765,1 ; t12000 . Masa de apă

adiţională este de 20% din masa navei şi momentul de amortizare este de

s/mtN 2900002 ;

b) Aflaţi amplitudinea mişcării maxime de ruliu dacă nava întâlneşte un val de

18,288m .

PP 2.8 Se dau: mLWL 150 128L m , mB 20 , 6.1T m , 80,CW ,

t12500 , coeficientul de amortizare 57002 zN [t/s], pulsaţia de întâlnire

1181 s,e , 30251 m/t, , greutatea adiţională este %90 din greutatea navei. Se cere:

a. Perioada oscilaţiilor verticale, neamortizate, în apă calmă;

b. Expresia oscilaţilor verticale în apă calmă dacă deplasarea iniţială faţă de poziţia

de echilibru şi viteza mişcării de oscilaţie la momentul 0t este 00 z , respectiv

s/m,z 6810 ;

c. Amplitudinea oscilaţiei amortizată, forţată;

d. Defazajul dintre mişcarea navei şi valuri;

e. Acceleraţia maximă în valuri regulate;

f. Mişcarea relativă dintre navă şi val.

iar tcn coaie

Documents