11TH

INTERNATIONAL CONFERENCE ♦ APEIE – 2012

978-1-4673-2841-8/12/$31.00 @2012 IEEE 89

The Modeling of Elastic Waves Propagation in an Axisymmetric Medium

KOSHKINA Y. I.

It’s considered the possibilities of using variety models to describe the elastic wave propagation in an axisymmetric medium

Ключевые слова – Упругая волна, смещение среды,

полное пространство, полупространство.

I. ВВЕДЕНИЕ

ЕЙСМОРАЗВЕДКА ЯВЛЯЕТСЯ одним из распространенных методов геофизических

исследований. С помощью сейсморазведки изучают реакцию геологических тел на искусственно вызванные упругие колебания. Эти колебания фиксируют на различных расстояниях и в различных направлениях от источника колебаний посредством многочисленных сейсмоприемников.

Теория распространения сейсмических волн базируется на теории упругости, так как геологические среды в первом приближении можно считать упругими.

В типичной для сейсморазведки ситуации изучаемая среда занимает полупространство, свободной границей которого является земная поверхность. Возбуждаемые на этой поверхности или вблизи нее волны в процессе своего распространения охватывают одну область за другой, проникая во все точки изучаемой среды. Когда распространяющаяся от источника волна встречает на своем пути границу, на которой скачкообразно изменяются упругие свойства среды, образуются отраженные или отраженные и преломленные (головные) и проходящие волны. Отраженные и преломленные волны возвращаются к земной поверхности, проходящие же продолжают стремиться вниз до тех пор, пока на их пути не встретится следующаяграница. На этой границе снова образуются отраженные и при определенных условиях преломленные волны, начинающие свой путь к земной поверхности. Описанный процесс повторяется на каждой границе внутри изучаемой толщи, в результате чего к земной поверхности приходят всеновые и новые волны: отраженные, обменные,

преломленные, а при соответствующих условиях и дифрагированные.

Интерпретация данных, полученных при сейсморазведке, является одним из важных этапов соответствующих исследований. В процессе сейсмической интерпретации из множества зарегистрированных на сейсмограммах волн выделяют однократные отраженные или преломленные (рефрагированные) волны, и по кинематике и динамике этих волн изучают распределение скорости и некоторых упругих параметров в толще пород как по глубине, так и в плане. В процессе геологической интерпретации результаты сейсмической интерпретации получают геологическое истолкование — привязку к данным бурения, геологического картирования, тектоническим условиям района исследования [1].

II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Данная работа посвящена разработке программно-

математического аппарата для моделированияпроцесса распространения упругих волн в осесимметричной среде.

Процесс распространение упругой волны в однородной среде можно описать с помощью следующего одномерного уравнения в сферической системе координат:

2

2 22( ( ( )))div 2 22

2 2r t

2( (div 2 2

2( ( ( ))) 2 22 2r t2 22 22 22 22 2 , (1)

где u - радиальное смещение среды, - плотность

среды. Коэффициент определяется следующим

выражением: 22 ,

где G - модуль сдвига. Коэффициент определяется из следующего соотношения:

21 2

Gv21 2

Gv

v

21 2

Gv

1 21 2v1 2 ,

где v - коэффициент Пуассона.Уравнение (1) является уравнением

распространения волны в среде со сферическойсимметрией [2].

C

АПЭП – 2012 ♦ XI МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

90

Смещение, (1) вызванное действием упругой волны на осесимметричную среду, может быть найдено из следующей системы уравнений в цилиндрической системе координат:

2

2

2

2

( , ) ,

( , ) ;

rr rz r

zrz z z

udiv r rz r

r t

udiv rz z z

t

2uuuu) ,) ,) ,) ,) ,) ,) ,) ,r rz r) ,) ,) ,) ,( ,( , ) ,) ,) ,) ,) ,u) ,) ,u) ,) ,( ,div( ,( ,div( ,r rz r( ,div( ,r rz r( ,( , 22r rz r22ttr rz rr rz r) ,22r rz r22) ,) ,2222

2uu) ;) ;) ;) ;rz z z) ;) ;) ;) ;) ;u) ;) ;( ,div( ,( ,div( ,( ,div( , 22rz z z22ttrz z zrz z z) ;22rz z z22) ;) ;2222rz z z( ,div( ,rz z z( ,( ,

, (2)

где , ,r , ,r , , - нормальные компоненты напряжений в

цилиндрической системе координат. Данные величины определены следующими соотношениями:

2 ( )1 2r

r r z

u vr r z

r v

u vu v2 (r r z2 (2 (2 (2 ( )2 (2 (2 (u2 (2 (v2 (2 (2 (2 (2 ( )2 ( )2 (2 ( )2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (r r z2 (r r z2 (2 ( )r v1 21 21 21 2r r z1 21 2r v1 21 22 (r r z2 (2 (1 21 22 (2 (2 (2 ( ,

2 ( )1 2z

z r z

u vz r z

z v

u vu v2 (z r z2 (2 (2 (2 ( )2 (2 (2 (u2 (2 (v2 (2 (2 (2 (2 ( )2 ( )2 (2 ( )2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (z r z2 (z r z2 (2 ( )z v1 21 21 21 2z r z1 21 2z v1 21 22 (z r z2 (2 (1 21 22 (2 (2 (2 ( ,

2 ( )1 2ru v

r v

u vu v2 (2 (2 (u2 (2 (2 ( )v2 (2 (2 ( )2 (2 (2 ( )2 (2 (2 ( )2 (2 (2 (2 (2 (r v1 21 21 21 2r v1 21 2r v1 21 22 ( )1 22 (2 (r v1 21 21 21 2r v1 21 2r v1 21 22 (1 22 (2 ( ,

rr

ur

r

uurru

r, z

z

uz

z

uuzzu

z, ruu

r

ru .

Величина rzrz

- компонента касательного

напряжения в цилиндрической системе координат, определенная следующими соотношениями:

rz rzrz rzrz rz,

z rrz

u urz

r z

u uu uz rz rz ru uz rz rz ru uz r

r z.

При этом скорости распространения волн сдвига и сжатия вычисляются по следующим формулам:

1G

1GG

, 22

222

.

Для решения уравнений (1)-(2) был использован метод конечных элементов для аппроксимации по пространству и неявная четырехслойная схема для аппроксимации по времени [3].

III. ТЕОРИЯ

1. Аппроксимация начально-краевой задачи по

времени

Для аппроксимации по времени уравнений (1) и (2) воспользуемся неявной четырехслойной схемой и заменим решения исходных задач их кубическими

интерполянтами на временных слоях 3jt t 3jt t j 3 , 22jtt ,

11jtt , jtt jt , где j - номер текущего временного

слоя. После аппроксимации по времени уравнения (1),

(2) на j -ом временном слое примут вид (3) и (4)

соответственно: 3

32

0

2( ( ( ))) ( )j j j s j j

s

3div 2

2r 0

( (div 22( ( ( ))) 22

j j j s j j22( )))( ))) 2222j j j s j j33

0( )j j j s( )( )j j j s( )3j j j s j j33( )( )3333 ,

(3)

3

03

0

( , ) ( ) ,

( , ) ( ) ;

j

j j j s j s j

r rz r r

s

j j j s j s j

rz r z z

s

3j

div r rz r r

jj

r

div rz r z z

0

0

) ( ) ,) ( j s j) ,) ,j j j s) () () () () () (r rz r r) ( ) ,) ( ) ,j j j s) () (j

j j j s) () ( j s j) ,) ,( ,( ,j j j s( ,( ,( ,div( ,( ,( ,( ,div( ,( ,( ,r rz r( ,div( ,r rz r( ,( ,

) ;j s j) ;) ;z) ;) ;j s j) ;) ;) (j j j s) () (rz r z) () (( ,div( ,j j j s( ,( ,( ,div( ,( ,div( ,( ,( ,rz r z( ,div( ,rz r z( ,( ,

3r rz r

3

0) ( ) ,j j j s) ( ) ,) ( ) ,) () () (r rz r) ( ) ,) ( ) ,j j j s) () (j j j s) () (j j j s j s j) ,) ,

rz r z

0

33) ( ) ;j j j s) ( ) ;) ( ) ;rz r z) ( ) ;) ( ) ;j j j s j s j) ;) ;

. (4)

j s

ru j s , j s

zu j s - значения величин ru ,

zu на ( )j s( )j s( )( ) -ом

временном слое, а j s

r

j s

r

j s,

j sj sj sj sj s,

j s

z

j s

z

j s,

j s

rz

j s

rz

j s - значения

величин , ,r , ,r , , и rzrz

на ( )j s( )j s( )( ) -ом временном слое

и коэффициенты j sj sj s представлены на работе [3].

2. Вариационная постановка

Для решения начально-краевой задачи на каждом временном слое воспользуемся методом Галеркина.

Так как для заданной модели заданы однородные вторые краевые условия и нет границ с третьем краевым условием, то, получим следующую вариационную постановку для уравнения (3):

22( ( ) ( ))j j j j

r22( ( ) ( 22j j j j) () (rr

) ( )) 22j j j j) ( ))) ( ))j j j j22j j j j

=

=3

1

j j s j s

s

f1

3j j s j

s

f j j s jj j s j

1

j j s j33

j j s j s

1

j j s jj j s j. (5)

Вариационная постановка для первого уравнения из системы (4) примет вид:

(( , ) ( ))j

j j j j

r rz r

j

r

j

(( , )j j j, ), )r rz, ), ) r

jj

rr( ))j j j jj j j( ))( ))j j jj j j( ))( )) r

j j jj j j

j

j j j=

=3

1

j j s j s

r r

s

f1

3j j s j

r r

s

fr r

j j s jj j s j

r rr r

1

j j s j

r rr r

33j j s j s

1

j j s j

r r

j j s j. (6)

Вариационная постановка для второго уравнения из системы (4) примет вид:

(( , ) ( ))j j j j

rz z z(( , )j j j j, ), )rz z z, ), )rz z z( ))j j j j( ))( ))j j j j

rz z z( ))( ))rz z z=

=3

1

j j s j s

z z

s

f1

3j j s j

z z

s

f z z

j j s jj j s j

z zz z

1

j j s j

z zz z

33j j s j s

1

j j s j

z z

j j s j. (7)

В уравнениях (5)-(7) - пробная функция из пространства функций, имеющих суммируемые с квадратом первые производные и равные нулю на границе с первыми краевыми условиями, -

расчетная область.

11TH

INTERNATIONAL CONFERENCE ♦ APEIE – 2012

91

3. Аппроксимация сферического источника

Волны в упругих средах возникают тогда, когда на какую-либо часть среды действует изменяющаяся во времени сила. Деформация и напряжение вблизи источника передаются затем всем частям упругой среды за счет упругих связей между частицами рассматриваемой среды.

На Рис. 1 представлен график зависимости плотности f источника колебаний от времени. Из

рисунка видно, что время работы источника равно 0.01 секунды. Компоненты плотности источника в цилиндрических координатах связаны с плотностью источника в сферических координатах следующим образом:

2 2( , , ) ( )r

rf r z t f t

r z2 2r

2 22 22 22 22 22 22 2( )f t

2 22 2( )( )

2 22 22 22 2r z2 22 22 22 22 22 22 2,

2 2( , , ) ( )z

zf r z t f t

r z2 2z

2 22 22 22 22 22 22 2( )f t

2 22 2( )( )

2 22 22 22 2r z2 22 22 22 22 22 22 2 ,

Рис. 1 График зависимости плотности источника от времени

Рассмотрим два варианта задания источника в цилиндрической системе координат.

Первый вариант заключается в замене сферы цилиндром, радиус и полувысота которого равны радиусу исходной сферы. В связи с тем, что площадь такого объекта будет в 1.5 раза больше площади сферы, то плотность источника нужно уменьшить в те же 1.5 раза.

Второй вариант состоит в том, чтобы аппроксимировать исходную сферу набором цилиндров. Пример такой аппроксимации приведен на Рис.2.

Рис. 2. Аппроксимация сферы набором цилиндров

4. Расчетная область и краевые условия

Рассмотрим две задачи распространения упругой волны – в полном пространстве и в полупространстве.

При расчете волны в полном пространстве на всех границах расчетной области, за исключением оси симметрии, задается однородное первое краевое условие. На левых границах обеих расчетных областей задано однородное второе краевое условие. При расчете волны в полупространстве только на верхней границе расчетной области задается второе краевое условие, а на остальных границах (также за исключением оси симметрии) –

однородное первое. Плотность среды равна 1000

3мкг , 35.00v , 91010G .

IV. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Рассмотрим процесс распространения волны в однородной среде при условии, что зависимость плотности источника колебаний от времени имеет вид, представленный на Рис.1. Для данной модельной задачи источник на сфере с радиусом 10 м.

Графики радиальных смещений среды, полученных в приемниках, расположенных на расстоянии 20, 50, 70 и 100 метров от начала координат, приведены на Рис. 3.

Из рисунка видно, как при удалении приемника от начала координат уменьшается амплитуда волны и изменяется время прихода волны.

АПЭП – 2012 ♦ XI МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

92

Рис. 3 Графики радиальных перемещений, полученных в приемниках, расположенных на расстоянии 20 метров (кривая 1), 50 метров (кривая 2), 70 метров (кривая 3), 100 метров (кривая 4)

от центра источника

На Рис. 4 представлены результаты расчета распространения сферической волны в цилиндрической системе координат при её возбуждении источником на поверхности цилиндра и на поверхности, аппроксимирующей сферу. Приемник расположен на расстоянии 70 метров от начала координат. Из Рис. 4 видно, что при приближении поверхности, где задается источник, к сферической, получаемые в цилиндрической системе координат решения сходятся к решению, полученному в сферической системе координат.

Рис. 4. Графики перемещений среды: кривая 1 – при задании источника на цилиндре; кривая 2 – при задании источника на поверхности, аппроксимирующей среду; кривая 3 – при задании источника на сфере и расчете волны в сферической системе координат

На Рис. 5 приведены результаты расчетов в полупространстве в приемнике, расположенном на расстояние 70 м от начала координат. Источник был задан на поверхности цилиндра так же, как и при расчете кривой 1 на Рис. 4.

Рис. 5 График перемещения среды по оси OR в полупространстве. Приемник расположен на расстоянии 70 м от

начала координат

V. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Разработан и протестирован программно-

математический аппарат для моделирования процесса распространения упругих волн в осесимметричной среде. Тестирование проводилось путем сравнения результатов, полученных в осесимметричной среде, с результатами, полученными в сферических координатах. Получено, что при приближении поверхности источника к сфере перемещения среды, рассчитанные для задачи в цилиндрической системе координат, сходятся к решению, полученному в сферических координатах. Кроме того, было проведено сравнение результатов, полученных в пространстве и в полупространстве. Решение в полупространстве довольно существенно отличается от решения в пространстве на более поздних временах, после прохождения фронта волны.

VI. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан программно-математический аппарат для моделирования процесса распространения упругих волн в осесимметричных средах с различными упругими свойствами. Корректность его работы показана на тестовой модели. Проведено сравнение распространения волны в пространстве и в полупространстве.

11TH

INTERNATIONAL CONFERENCE ♦ APEIE – 2012

93

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] В.К. Хмелевской, Ю.И. Горбачев, А.В. Калинин, М.Г. Попов, Н.И. Селиверстов, В.А.Шевнин. Геофизические методы исследований. Учебное пособие для геологических специальностей вузов / Под редакцией доктора геол.-мин. наук Н.И. Селиверстова. Петропавловск-Камчатский: изд-во КГПУ, 2004, 232с.

[2] Теория упругости, пер. с англ., Тимошенко С. П., Гудьер Дж., Москва: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1975., 576с.

[3] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач // Новосибирск: НГТУ, 2007. – 896 с.

Ю.И. Кошкина получила степень бакалавра прикладной математики и информатики в 2011 году в Новосибирском государственном техническом университете (НГТУ). В настоящее время продолжает обучение в магистратуре НГТУ.