37

فصل چهارم گراف و کاربرد آنها

پردازیم ابتدا به بیان تعاریف گراف و مفاهیم وابسته به آن مانند درجه، راه، مسیر و غیرو می فصلدر این

.دارد اختصاص گرافهاي وزن دار وکاربرد آنهابخش آخر به . کنیم گرافهاي مسطح را بررسی میوسپس

گراف ي بیان مفاهیم وابسته. 1

که Eو Vاز دو مجموعه است متشکل Gهر گراف . 1.1تعریف . را راسها یا نقاط می نامیم Vعناصر )الف

. نامیم ) یا یال(از زوج هاي نامرتب ازرئوس که آنرا اضالع Eمجموعه ) ب

)را با Gدر اینصورت گراف ), EG V نشان می دهیم.

در غیر .آنرا گراف چندگانه نامیم ،اگر در یک گراف بین بعضی از رئوس بیش از یک یال وجود داشته باشد} را مجاور نامیم هرگاه یک ضلع مانند x وyرئوس . اینصورت به آن گراف ساده گوئیم }yو xموجود باشد.

}ضلع }, x x را یک طوقه نامیم. )گراف ), EG V گوئیم، هرگاه را متناهیV وE هاي متناهی سر و کار در این درس ما با گراف. متناهی باشند . مگر اینکه خالفش ذکر شود ،داریم

روي آنها xتعداد اضالعی که . است واقع eروي xباشد گوئیم eیک نقطه انتهایی ضلع xاگر . 2.1تعریف

. نامیم راس تنهاهر راس با درجه صفر را . نشان می دهیم xdegنامیم و با نماد xدرجه واقع است را )براي نمایش گراف )Eو VGهر عضو ،V عضوهرو را بصورت یک نقطهE میدهیم را با یک کمان نشان .

)گراف . 3.1 مثال )Eو VG که{ }1,2,3,4V }و = }E = {1, 2},{2, 3},{3, 4}.{3, نمودار . را در نظر بگیرید {3

degآنرا رسم کنید و 1، deg2، deg . را بدست آورید 3 . نمودار بصورت زیر است : را ه حل

١ ٢

٤ ٣

38

degداریم =1 1 ،deg =2 2 ،deg =3 degو 4 =4 مجاور 4و 2مجاورند ولی رئوس 2و 1پس رئوس 1 . نیستند : قضیه زیر را داریم. هر ضلع دو بار شمرده میشود ،به اینکه در محاسبه درجه رئوس یک گراف با توجه . مجموع درجات رئوس یک گراف مساوي دو برابر تعداد اضالع است . 4.1قضیه

.در قضیه باال اگر گراف داراي طوقه باشد، یال طوقه را میتوان دوبار حساب کرد .تذکر

nnله متناوب از رئوس و اضالع بصورت یک دنبا. 5.1 تعریف VeeVeV ,,...,,,, را که در آن هر ضلع از 2110

1iV م نامی بستهیک راه را، . گوییم آن راه طولمی نامیم و تعداد اضالع در هر راه را راهمی گذرد را، iVو −0گاه هر nV V=.

بجز احتماالً (راهی است که همه رئوس آن مسیرن متمایز باشند و یک آراهی است که تمام اضالع جادهیک

0V وnV (سرانجام مسیري که . متمایز باشندnVV ایی است که در واقع یک دور راه بسته. را یک دور نامیم 0= .متمایز باشند nVو 0Vهمه رئوس آن بجز

)یک راه را بصورت : نمادگذاري )nVVV ,...,, ) یا 10 )neee ,...,, .)در صورتی که ابهامی نباشد(نشان می دهیم 21

. وجود داشته باشد yبه xیک مسیر از ⇔وجود دارد yبه راس xواضع است که یک راه از راس .تذکر

بین دو فاصله. نامیم هرگاه بین هر دو راس آن یک مسیر وجود داشته باشد همبندرا Gگراف .6.1 تعریف)نماد با که ) در یک گراف همبند( yو xراس )yxd . است yو xنشان می دهیم، طول کوتاهترین مسیر بین ,

)ماکزیمم ){ }, ,d x y x y V∈ گراف قطرراG نامیم.

:گراف زیر را در نظر بگیرید 7.1 مثال

e1 0v1v 2v

٥ v 4v3v

٢ e

٣ e

٤ e

٥ e

٦ e

٧ e

٨ e

39

)در اینصورت )21651 ,,,, eeeee یک راه است که جاده نیست و( )54321 ,,,, eeeee یک جاده است که مسیر)همچنین . نیست )4587 ,,, eeee مسیر لییک مسیر است که دور نیست و( )687 ,, eee یک دور است، سرانجام :داریم

( ) 3=53,VVd , ( )0 4,d V V = 1, ( ) 2=50 ,VVd . قطرگراف فوق را محاسبه کنید

)فرض کنید . 8.1 تعریف )Eو VG یک گراف وV V′ Eو ⊇ E′ Vکه نقاط انتهایی آن به ⊇ تعلق دارند در ′)صورت این ), EG V ′ ) زیر گرافرا ′ ), EG V هر زیر گراف همبند ماکزیمال . نامیم( ), EG V مولفه را یک

.نامیم همبند . افراز کرد ،هاي همبندش هرگراف را میتوان به مولفه

)گراف . 9.1تعریف ),EG V گراف . هرگاه هر دو راس آن مجاور باشند ،گوییم تامراG که هرراس آن .نشان می دهیم nKراس باشد آنرا با nتام و داراي Gاگر . منظم نامیم −tباشد را گراف tازدرجه

) ،واضح است که )2

1−=

nn تعداد اضالعnK.

:داریم 10.1 مثال

:4K , : 3K , : 2K , : 1K 1nازدرجه nKهرراس 1nگراف nKمی باشد، در واقع − nمنظم با −2همچنین گراف . منظم است −

:منظم با سه راس بصورت زیر است -2یک گراف . بعدي است −nراس یک دور

: را یک درخت نامیم و در یک درخت داریم) داراي دور نباشد(هر گراف همبند و بدون دور 11.1تعریف .تعداد اضالع = تعداد راسها - 1

.درخت استمثالً نمودارزیر،

40

افراز کرد که Nو Mرا بتوان به دو مجموعه هاي آن راسهرگاه ،دو بخشی نامیمرا Gگراف. 12.1تعریف هرگاه هر ،گراف دو بخشی را تام نامیم. Mفقط با عناصر Nمجاور باشند و عناصر Nبا فقط M عناصرmMمجاور باشند و اگر Nبا هر عضو Mعضو nNو = m,آنرا با = nKنشان می دهیم.

,K2مثالً یک گراف دو بخشی است و نمودار 3 . بصورت زیر است

m,مطلوب است محاسبه تعداد اضالع nK . آیا هر درخت یک گراف دو بخشی است ؟ آیا عکس آن نیز بر قرار است ؟ یک گراف را قابل عبور نامیم هرگاه آنرا بتوان بدون شکسته شدن منحنی و بدون تکرار هیچ . 13.1تعریف

یعنی یک راه وجود داشته باشد که شامل همه رئوس بوده و از هر ضلع فقط یکبار استفاده . ضلعی رسم کرد .را یک گراف اویلري نامیم هرگاه توسط یک جاده بسته قابل عبور باشد Gگراف . دشو

. اویلري است ) 2(در صورتی که گراف . قابل عبور است ولی اویلري نیست) 1(مثالً گراف

) :1( ) :2(

بعنوان تمرین میتوان نشان داد که گراف همبند متناهی اویلري است اگر و فقط اگر هر راس آن داراي درجه . زوج باشد

یک جاده میتواند از یک راس فرد شروع و به . همچنین هر گراف همبند متناهی با دو راس فرد قابل عبور است .راس فرد دیگر ختم شود

نمایش ماتریسی ) در گراف ... محاسبه مفاهیمی چون مقدار ویژه و بردار ویژه و(براي استفاده بهتر از گراف . آنرا بیان می کنیم

)فرض کنید . 14.1تعریف )Eو VGG nVیک گراف باشد که = mEو = در اینصورت .=

41

)ماتریس :. ماتریس مجاورت) الف )nnijaA

× که =

.نامیم G ماتریس مجاورترا )ماتریس. ماتریس وقوع ) ب )

mnijmM×

را که =

) ماتریس وقوع )EVG .نامیم , . گراف زیر را در نظر بگیرید، ماتریس مجاورت و ماتریس وقوع آنرا بنویسد ) الف. (15.1مثال

. ماتریس زیر را در نظر بگیرید، گراف متناظر آن را بدست آورید ) ب(

=

111102120

3

2

1

321 v v v

vvv

A

:داریم. راه حل

1 مجاور باشند jVو iVاگر

0 در غیر اینصورت =ija

قرار jeبرضلع iVاگرراس داشته باشد

1

0در غیر اینصورت =ijm

1v2v

3v 4v

2e

5e

4e

1e

3e

42

1 2 3 4

1

2

3

4

v v v vvvvv

0 1 0 11 0 2 00 2 0 01 0 0 1

ماتریس مجاورت=

.گردد ادامه راه حل، بعنوان تمرین واگذار می.راس باشد که mبا Gماتریس مجاورت گراف Aفرض کنید . 16.1قضیه 1m از ijدر اینصورت درایه <

nA مساوي تعداد راههاي از راسiV به راسjV بطولn است . 1nبه ازاي . حکم برقرار است n=1اگر . nاثبات به استقرار روي . برهان )فرض کنید < )ij m m

A a×

= ،

( )1nij m m

A b−

×= ،( )1n n

ij m mA A A c−

×= × kjپس =

m

kikij bac ∑

=

=1

تعداد کمان هاي ikaاستقرا فرض بنا به .

1nتعداد راههاي بطول kjbهمچنین kVبه iVاز nتعداد راههاي بطول kjikbaلذا . می باشد jVبه kVاز −مساوي با jVبه iVاز nلذا تعداد راههاي بطول . راس ما قبل آخر راه باشد kVاست که jVبه iVاز

kj

m

kikba∑

=1

. است

)دو گراف . 17.1تعریف )EVG )و , )EVG ′′′ :VVرا یکریخت نامیم هرگاه تناظر یکبیک , ′→f وجود داشته باشد بقسمی که

{ }yx, یک ضلعG باشد⇔ ( ) ( ){ },f x f y یک ضلعG باشد.

و با ، با گرافهاي : مثال

. یکریخت هستند با

GGfاگر . تذکر aیکریختی باشد و :→′ V∈ در اینصورتa و( )f a خواص یکسانی دارند . )مثالً )afa degdeg .ند در هر دو گراف برابر tبنابراین تعداد رئوس از درجه . =

43

با استفاده از رئوس اضافی گراف جدیدي بدست Gمی توان با تقسیم یک ضلع G از گراف. 18.1 تعریف نامیم هرگاه آنها را بتوان ازگرافهاي یکریخت بوسیله این روش بدست همانریخترا Gو G'دو گراف . آورد . آورد . همانریخت است با و با مثالً

}منظور از گراف. باشد Gیک راس در گراف xفرض کنید. 19.1تعریف }G x− یعنی گراف حاصل ،}همبند باشد و Gاگر . xو تمام اضالع گذرنده از xازحذف }xG بریدگیرا یک xناهمبند آنگاه راس − .نامیم

. نقطه بریدگی نیست yبریدگی است ولی نقطه xمثالً در گراف زیر نقطه

}: زیرا }G x− ناهمبند است ولی { }:G y− همبند

. الزم به ذکر است که یکریختی گرافها نقطه بریدگی را حفظ می کند . است گرافهاي مسطح. 2

. نامیم هرگاه آنرا بتوان در صفحه طوري رسم کرد که اضالعش متقاطع نباشند مسطحرا Gگراف . 2.1تعریف نامیم هرگاه گراف همبندیک نقشه را . نامیم نقشههر نمایش مسطح خاص از یک گراف مسطح متناهی را یک

باشد می rاي که مرز ناحیه طول دور راه بسته. یک نقشه صفحه را به نواحی مختلف تقسیم می کند. همبند باشد .نشان می دهیم rdegنامیم و با نماد rدرجهرا بنابراین. شود چون هر ضلع براي محاسبه درجه دو ناحیه استفاده می

.مجموع درجات نواحی یک نقشه دو برابر تعداد اضالع است . 2.2قضیه .نقشه زیر را در نظر می گیریم . 3.2مثال

y

x y x

١ r ٣ r

B A r4

r5

٢ r

44

53: داریم =rdeg،44 =rdeg 42 =rdeg،31 =rdeg

باشد، آنگاه هناحی Rضلع و E،راس Vیک نقشه با Mفرض کنید . 4.2 قضیه

2=+− REV Eاگر . Eاثبات به استقرا روي. برهان Vچون همبند است، 1= = Rو 2 −+=2پس . 1= REV . حال

. گیریمدو حالت در نظر می . یال برقرار باشد Eفرض کنید رابطه فوق براي تمام گرافهاي مسطح با کمتر از 1 (G شامل دور نباشد)پس ) . یعنی درخت استV E= Rو 1+ −+=2یعنی 1= REV

}گراف ،آنیک ضلع دور eشامل یک دور باشد و یال Gاگر) 2 }G e− پس بنا به .را در نظر می گیریم :فرض اسقرا داریم

( ) 221 =+−⇒=−+−− RGVREV 1 .و حکم برقرار است

pضلع باشد که qراس و pیک گراف مسطح همبند با Gهرگاه. 5.2قضیه ≥ آنگاه3

q P≤ −3 6 −+=2پس . تعداد نواحی یک نمایش مسطح باشد rفرض کنید. برهان rqP . اما مجموع درجات نواحی

rqپس . باشد می 3است و هر ناحیه از درجه حداقل q2مساوي ≥2 3یعنی 32q

≤r با قرار دادن در فرمول

: اویلر داریم

p q q p⇒ ≤ − ⇒ ≤ −6 3 3 6 q qp q r p q p= − + ≤ − + = −22 3 3

.ندسطح نیستم 3,3Kو 5Kگراف . 6.2 مثالpداریم 5Kدر .راه حل = qو 5 = o1 . اگرگراف مسطح باشد، آنگاه× − ≥ o3 5 6 . که تناقض است 1

.ضلع است 9داراي شش راس و 3,3Kم که یمی دان :3,3K براي

45

rمسطح باشد، آنگاه 3,3Kاگر = 4اند، درجه هر ناحیه حداقل چون هیچ سه راسی به یکدیگر وصل نشده. 5می باشد که 10یعنی تعداد اضالع گراف حداقل . می باشد 20لذا مجموع درجات نواحی حداقل . است

. تناقض است . قضیه زیر را بدون اثبات می آوریم

. است 3,3Kیا 5Kشامل یک زیر گراف همانریخت با G ⇔نامسطح است Gگراف .7.2قضیه آنها را رسم کنید و نمایش مسطح . یک ضلع کم کنیم گراف مسطح بدست می آید 3,3Kو 5Kاگر از .8.2نتیجه

. آنها را بدست آورید

رنگ آمیزي گرافها . 3 بطوریکه رئوس مجاور رنگها Gعبارت از انتساب رنگهایی به رئوس Gگراف ) راسی( رنگ آمیزيیک

رنگ استفاده nاست اگر یک رنگ آمیزي داشته باشند که از رنگ پذیر −G ،nگوئیم . د نمختلفی داشته باش)نامیم و با Gگراف) رنگی( عدد فامیرا Gکمترین تعداد رنگهاي الزم براي رنگ آمیزي گراف . شود )Gλ

.دهیم نشان می . احکام زیر برقرار است . 1.3 قضیه

.پذیر است رنگ - 2، گراف ) 1(

.است یدو بخش Gگراف ) 2(

. داراي طول زوج می باشد Gاز رهر دو) 3(

.برهان به کتاب مراجعه شود .است nمساوي nKعدد رنگی ) 1. (2.3مثال

.می باشد 3مساوي 5عدد رنگی یک دور بطول ) 2(

.می باشد 2مساوي 6عدد رنگی یک دور بطور ) 3( پس درختها گراف دو بخشی می باشند ولی عکس آن درست نیست .رنگ پذیرند -2درختها ) 4(

)3, 3Kرا در نظر بگیرید(

46

. د یاثبات قضیه زیر به کتاب مراجعه نمایبراي

.رنگ پذیر است -G ،5گراف مسطح هر . 3.3قضیه

.رنگ پذیر است -4هر گراف مسطح ).چهار رنگ حدس( 4.3 قضیه گراف جهت دار . 4

که Eو Vمتشکل است از دو مجموعه گراف جهت دار. 1.4تعریف .را راسها یا نقاط نامیم Vعناصر ) الف( .قوس یا کمان نامیم را که آنها Eزوج هاي مرتب ازعناصر متشکل از Eمجموعه ) ب(

)اگر , )x y E∈ آنرا بصورتyxg

g کمان از نشان می دهیم و گوئیمx شروع و بهy تعداد . می شود ختم

xدرجه داخلیشود را ختم می xهایی که به و تعداد کمان خارجیدرجه شروع میشود را xهایی که از کمان .نامیم : داریم ، چون هرکمان از یک راس شروع و به یک راس دیگر وارد می شود مجموع درجات داخلی رئوس ست بامساوی Gمجموع درجات خارجی رئوس گراف جهت دار .2.4 قضیه

.Gگراف ). بصورت زیر تعریف میشود ،Dماتریس گراف جهت دار . 3.4 تعریف )ijmM مساویست با ijmکه =

. شود ختم میjvشروع و به ivتعداد کمانهایی که از . آنرا رسم کنید ،بصورت زیر باشد Dفرض کنید ماتریس نمایش گراف .4.4مثال

1 2 3 4

1

2

3

4

v v vvvvv

v

M

=

o oo o oo o o o

o o

1 11

2 1

: توان نشان داد که می مشابه اثبات قضیه براي گراف غیر جهت دار

٣

47

در این صورت درایه . که اضالع چندگانه ندارد باشد Dماتریس گراف جهت دار Mفرض کنید .5.4 قضیهij ماتریسnM مساوي تعداد راههاي بطولn از راسiv به راسjv است.

هاي آن کاربرد و دار گراف وزن. 5 . هایی نسبت داده شده باشد رئوس آن داده نامیم هرگاه به اضالع و یا دار وزنرا Gگراف. 1.5 تعریف

)عدد نامنفی eبخصوص هرگاه به هر ضلع )L e منتسب شود آنگاه( )L e طولیا وزن را e نامیم. Gدرخت بوده و شامل تمام رئوس Tنامیم هرگاه G درخت پیمایشرا یک Gازگراف Tگراف زیردرختی است که مجموع طول اضالعش در G درخت پیمایش منیمالدار باشد، گراف وزن Gهرگاه . باشد

. بین تمام درختهاي پیمایش، منیمال باشد راس، ابتدا اضالع را طبق طولهاي mهمبند متناهی با دار وزنبراي یافتن یک درخت پیمایش منیمال گراف

یکی یکی حذف می کنیم و این کار را تا ، سازد نزولی مرتب می کنیم سپس اضالعی که گراف را ناهمبند نمی .یمبدست آوردن درخت پیمایش ادامه می ده

.درخت پیمایش منیمال گراف هاي زیر را بدست آورید .2.5 مثال

Mیک ماشین با وضعیت متناهی. 3.5 تعریف متشکل است از ؛از عالیم ورودي Aیک مجموعه متناهی مانند) 1(

؛از وضعیتهاي داخلی Sیک مجموعه متناهی مانند ) 2(

؛از عالیم خروجی Zیک مجموعه متناهی مانند) 3(

SASfیک تابع وضعیت بعدي مانند ) 4( ؛:×→

ZASgیک تابع خروجی مانند ) 5( →×:.

٣ ٢

١ ٣

٣

٣

٢ ٣

٢ ٢

٤ ١ ٢

٣ ٢

١

١

٣

٢ ٣

٢

٢

٢

٢

١

١ ١ ١

٢

٢

48

.ماشین متناهی با اجزا زیر را در نظر بگیرید . 4.5 مثال 1 ({ }baA ,= 2( { }210 ,, qqqS = 3 ( { }tyxZ ,,=

SASfتابع وضعیت بعدي ) 4 .می شودف ریعبصورت زیر ت :×→

( )2 0,f q a q= ( )1 2,f q a q= ( )0 1,f q a q=

( ) 12 , qbqf = ( ) 11, qbqf = ( ) 20 , qbqf = ZASgتابع خروجی ) 5 . شود بصورت زیر تعریف می :×→

( ) taqg =,2 ( ) xaqg =,1 ( ) xaqg =,0 ( ) ybqg =,2 ( )1,g q b t= ( )0,g q b y=

)براي شروع استفاده می کنیم 0qمعموالً از ( .نمایش ماشین فوق بصورت زیر است

. ماشین را می توان با جدول نیزنشان داد اینهمچنین

b a

yq ,2 xq ,1 0q tq ,1 xq ,2 1q yq ,1 tq ,0 2q

b a a baUحال اثر ماشین فوق روي دنباله بصورت = , x, , t , t , y

0 1 1 2 0 2aa x b a bq q q q q q→ → → → →

اینصورت باشد در Mیک رشته از عالئم ورودي براي ماشین متناهی y x t x tپس رشته خروجی

0 1 2 s ...snv s s= یک رشته از وضعیتهاي وn21 ....t ttw داریم ،یک رشته از عالیم خروجی باشد =( )1 i,ai it g s )و =− )1,i i is f s a−=.

0q 1q

2q

b

y

t

a

x

y

b a

a

t b

x

49

.انجام دهد 2ماشین متناهی را طرح کنید که عمل جمع را بر مبناي .5.5 مثال}داریم . راه حل }00,01,10,11,A b=، { }0,1,Z b= پس .وضعیتهاي داخلی= }توقف ، افزودن، شروع{و

:نمودار آن بصورت زیر است

11

ماشین متناهی که بتواند ضرب دو تایی اعداد را انجام دهد وجود ندارد البته براي تعداد متناهی وجود . تذکر .دارد که نمودار آن بصورت tو x،yوخروجی a،bو با عالیم ورودي Mماشین با وضعیت متناهی . .6.5 مثال

.زیر است، را در نظر بگیرید .را بدست آورید Mجدول وضعیت

.خروجی را تعیین کنید ،باشد b a b b a a b a b a a =wاگر ورودي

b a

yq ,2 xq ,1 0q tq ,1 xq ,3 1q xq ,0 tq ,1 2q xq ,2 tq ,0 3q

n

c

f

1

1

1

1

1

11

10

b

0

00

10

0

b

0

0

0

00

b

01

0q

2q 3q

1q

x

x

b b

b

b a

a

a

x Y

a

t t

x t

50

, , y , x , t , t , ,

0 1 3 2 2 1 1 .....a x a b a a b t a yq q q q q q q→ → → → → → → و خروجی عبارت است

...y t y x t t x

:متشکل از اجزاءزیر است M یک خودکار متناهی. 7.5 تعریف از عالئم ورودي؛ Aیک مجموعه متناهی ) 1

از وضعیتهاي داخلی؛ Sیک مجموعه متناهی ) 2

که عناصرش را وضعیتهاي قبول می نامند؛ Tمانند Sیک زیر مجموعه از ) 3

؛0qیک نقطه شروع مانند ) 4

SASfیک تابع وضعیت بعدي مانند) 5 →×:.

متناهی یک ماشین در واقع خودکار. با دو دایره نشان می دهیم ، راوضعیتهاي قابل قبول خودکار در نمودار و Z=}خیر ، بلی{ :یعنی. است} قبول، رد{متناهی است که داراي دو وضعیت

.خودکار زیر را در نظر بگیرید. 8.5 مثال 1 ({ }baA ، عالیم ورودي=, 2 ({ }210 ,, qqqS وضعیتهاي داخلی =

3 ({ }10 ,qqT وضعیتهاي قبول = 4 (0q وضعیت شروع SASfتابع وضعیت بعدي) 5 :که با جدول زیر تعریف میشود :×→

)اگر ) Tqf ji ∈a, بلی ( )=jiqg a,

)اگر ) Tqf ji ∉a, خیر

51

b a f

1q 0q 0q

2q 0q 1q

2q 2q 2q

که نمودار آن بصورت می باشد

nawفرض کنید ....a a یک دنباله از وضعیتهاي داخلی بصورت ،یک رشته از عالیم ورودي باشد=21

0 1 s ... ns s 0بدست می آید که در آنs وضعیت داخلی شروع است و( )1,i i is f s a−= 0وi∀ گوئیم . <nsوضعیت قبول باشد یعنی ns می کند هرگاه را قبول Wرشته Mخودکار T∈.

nawدر مثال قبل دنباله ....a a abbaw قابل قبول است ولی =21 . مورد قبول نیست=را قبول bو aراطوري بسازید که درست رشته هاي از Mخودکار متناهی aو bبا عالئم ورودي .9.5 مثال

. زوج باشد bکند که در آنها تعداد :بصورت زیر است Mبا استفاده ازروش آزمون خطا نمودار : راه حل

چنان بسازید aو bخودکار متناهی با عالیم ورودي .10.5مثال . بخشپذیر باشد 3در آن بر ها bهایی را قبول کند که تعداد که فقط رشته

2q

1q0q a

b

a

a b

b

0q 1q

b

b a a

2q b

a

0q 1q

b

b

a

a

52

تمرینات نشان دهید ) 1

.در هر گراف، تعداد راسهاي با درجات فرد عددي زوج است) الف .زوج است kیا vمنظم همواره −kدر گرافهاي ) ب

)براي گراف) 2 , )G V E قرار دهید ،/E V V E= × )/دراین صورت − , )G V E گراف مکملرا( , )G V E

,K2و K4 گرافهاي مکمل. نامیم . را بدست آورید 3

max{degقرار دهید ، Gبراي گراف) 3 | }M v v V= min{degو ∋ | }m v v V= نشان دهید که ∋

2 | || |

Em MV

≤ ≤

.تعداد راسهاي گرافهاي زیر رابدست آورید) 4 .باشد می 3یال است ودرجه هر راس آن مساوي 9داراي G) الف .یال است 15منظم است وداراي G) ب .است 3ها و درجات بقیه راس 4یال است، درجه دو راس آن 10داراي G) ج .یال مسطح باشد 7حداقل تعداد راس را بدست آورید، براي اینکه گرافی با ) د

.باشد 2 بقیه راسهایال ارایه دهید که درجه دو راس آن یک درجه −1nراس و nگرافی با ) الف) 5 .باشد 2یال ارایه دهید که درجه هر راس آن nراس و nگرافی با ) ب

pهمبند بایک گراف مسطح Gهرگاه )6 ≥ نگاهشامل دور سه بعدي نباشد، آضلع باشد که qراس و 3

q p≤ −2 4 حداقل یک Gیک گراف مسطح همبند متناهی با دست کم سه راس باشد نشان دهید که Gفرض کنید )7

.دارد 5بیشتر از از درجه ناراس

2nدرختی با Tاگر )9 . دارد 1حداقل یک راس ازدرجه Tراس باشد در این صورت ≤

53

.در این صورت احکام زیر هم ارزند. یک گراف با بیش از یک راس باشد Gفرض کنید )10

.یک درخت است G) الف

.مرتبطند هر جفت از رئوس درست با یک مسیر به هم ) ب

.همبند است ولی اگر یک ضلع را حذف کنیم گراف حاصل همبند نیست G) ج

.افزوده شود، گراف حاصل درست یک دور خواهد داشت Gدور است ولی اگر یک ضلع به بدون G) د

max{deg، قرار دهیدGبراي گراف )11 | }M v v V= Mنابیشتراز Gنشان دهید که عدد رنگی گراف. ∋

. است

2mبا G ساده ماتریس مجاورت گراف Aفرض کنید )12 .1راس باشد که ≤ { ,... }nV v v= صورت در این degاست با مساوي 2Aاز iiدرایه ) لفا iv

.را مشخص کنید TAAسهاي ماتری درایه ) ب

. این درخت چند راس دارد. یال دارد 8درحتی ) الف -13 .این درخت چند یال دارد. راس دارد 6درحتی ) ب .نمودار آن را رسم کنید یال دارد که فقط دو راس از درجه یک است 7درحتی ) ج .هر درحت فراگیر آن چند یال دارد. راس دارد nگرافی) د

.یال استچند داراي G آنگاهباشد مولفه kراس و nجنگل بایک Gاگر) ه

.ماشین متناهی بدست آورید که عملیات زیر را انجام دهد) 14

×175 8 574

156 +

و 2بر aهایی را قبول کند که تعداد چنان بسازید که فقط رشته aو bخودکار متناهی با عالیم ورودي ) 15 . بخشپذیر باشد 3بر bتعداد

54

فصل پنجم مقدماتی شمارش اصول

اصل جمع واصل ضرب .1 . 1.1تعریف پیشامد باشد که rایی از دنباله rEو... ، 1E ،2Eفرض کنید : اصل جمع ) الف

طریق رخ دهد؛ inبه iEپیشامد ) 1

.دنهیچ دو پیشامدي همزمان رخ نده) 2

پیشامد بتواند رخ دهد برابر است با rصورت تعداد کل راههایی که یکی از در این

1 2 ..... .rn n n+ + + پیشامد باشد که rایی از دنباله rEو... ، 1E ،2Eفرض کنید .اصل ضرب) ب

1 (iE بهin طریق بتواند رخ دهد؛

. تعداد راههاي هر پیشامد مستقل از تعداد راههاي قبلی آن باشد) 2

توانند رخ دهند برابر است با آنگاه تعداد کل راههایی که همه پیشامدهاي دنباله می

1 2 ..... .rn n n× × × 8مبناي ریاضی و سدانشجو در 18دانشجو درس ریاضی عمومی و 15فرض کنید در یک خوابگاه .2.1 مثال

. هیان این خوابگاجوتعداد کل دانش است دانشجو نیز هر دو درس را انتخاب کرده اند، مطلوبدانشجویانی که مجموعه 2E ،که فقط درس ریاضی عمومی یدانشجویانمجموعه 1Eفرض کنید : را ه حل

دانشجویانی باشد که هر دو درس را انتخاب کرده اند، باشد پس داریم 3Eفقط درس مبانی ریاضی و 7815 =−=1E 10818و =−=2E 3=8وE و بنا به اصل جمع

تعداد کل دانشجویان خوابگاه= 7+ 10+ 8 = 25 چند عدد سه رقمی مختلف میتوان ساخت که 9 و 7، 6، 5، 2، 1اعداد با .3.1 مثال

.تکرار مجاز باشد ) 1

.تکرار مجاز نباشد) 2

55

.هر سه رقم آن تکراري باشد ) 3

.فقط دو رقم آن تکراري باشد ) 4

:راه حل هر کدام به شش طریق میتواند cو a ،bپس. یک عدد با شرایط فوق باشد abcفرض کنید ). 1جواب

.عدد با شرایط فوق وجود دارد 36بنابراین تعداد ،انتخاب شود 6× 5× 4). 2جواب 6 . )3جواب 3× 6× 5= 90) . 4جواب

.را دارند Bنفر درس 9و Aدانشجو درس 8فرض کنید در یک کالس .4.1مثال .انتخاب کرد Bو یک نماینده از دانشجویان Aبه چند طریق می توان یک، نماینده از دانشجویان ) 1

.به چند طریق می توان یک نماینده از کالس انتخاب کرد) 2

8+9=17) 2و جواب 8×9= 72). 1جواب : راه حل

و تعمیم آن جایگشتمفهوم . 2

تایی از −rجایگشت منظور از یک . عضو متمایز را در نظر می گیریم nبا Xمجموعه . 1.2تعریف ( )r n X≤آرایش سطري از ،r عضوX است .

}مثالً اگر , , }X = 3 4 هر جایگشت را می توان بصورت .است Xتایی از -2یک جایگشت 74آنگاه 7که Xجایگشت از rپس تعداد . ها بستگی ندارد نها به قبلیآاتفاق که رخ دادن rایی در نظر بگیریم از دنباله

)آنرا با )r,nP مساوي است با ،نشان می دهیم

.( ) ( ) ( ) ( )!, r ...

!nP n n n n r

n r= − × × − + =

−1 1

نفر انتخاب نمود که نفر اول مسئول، نفر دوم معاون، نفر سوم 4نفر، 6به چند طریق می توان از میان . 2.2 مثال . منشی و نفر چهارم حسابدار باشند

56

( ) ( )P = =

−6!6, 4 3606 4 !

.3.2 تعمیم فرمول جایگشتهارا kAمهره از رنگ kmو ... ، 2Aمهره از رنگ 1A ،2mمهره از رنگ 1mبه چند طریق می توان -الف

)رنگ یکسان هستند هاي هم ها متمایز ولی مهره رنگ(در یک ردیف قرار داد

): جواب )1 2

2 k

.... !! m ! .... m !

k

i

m m mm

+ +

)ام −iعنصر یکسان درگروه inاگر -ب )k,...,1=i قرار داشته باشند و تعداد کل عناصرk−گروه، r باشد

∑در اینصورت این =

=k

iinr

1

)محل مجزا قرار داد که nطریق می توان در tشی را به )( )( ) ( )1 2

,.

! ! .... !k

p n rt

n n n=

دانش آموز 10 ،دانش آموز کالس اول 12صندلی قرار است 30فرض کنید یک اتوبوس با ) الف. (4.2 مثال

توانند صورت این دانش آموزان به چند طریق می در این .دانش آموز کالس سوم را جابجا کند 8کالس دوم و . ها را اشغال کنند صندلی

تا رنگ 25تا رنگ قرمز، 15ماشین که 90یم خواه می .جاي پارك دارد 100فرض کنید یک پارکینگ ) ب( توان آنها را پارك کرد ؟ به چند طریق می. تا سفید هستند را پارك کنیم 20تا آبی و 30مشکی،

!8 !12!10: )الف(جواب ): )ب( جواب !30 )

!P 100, 90

15 25! 30!20!

.نامیم می Xاز تایی −rترکیب را یک Xتایی از عناصر −rهر دسته . 5.2تعریف

nXاگر ) فرمول جایگشتهااز تعمیم ( توان نشان داد بسادگی می در اینصورت مجموعه همه ترکیبات =

r− تایی ازX برابر است با ( ) ( )!. ,

! n-r !nC n r

r=

پنج مهره در اختیار داریم، تعداد ترکیبات سه تایی از اشیاء فوق چندتاست ؟ .)1( 6.2 مثال

!3!102: جواب 5!

=

57

)تعداد کلمات یازده حرفی مختلفی که با حروف کلمه )2( )imississipp می توان ساخت بطوریکه از همه . چندتاست ،حروف استفاده شود

: ایط باال ساخته شود که مطلوبست تعداد کلماتی که با شر . ها کنار هم باشند sهمه ) الف

.هم باشند رکنا sفقط سه تا ) ب

اي در کنار را بصورت دایره خواهیم آنها می ،شی متمایز در اختیارداریم nفرض کنید . 7.2اي جایگشت دایره . هم قرار دهیم

.است n!جواب بصورت ،اگر موقعیت اشیاء نسبت به مکان مهم باشد) 1

حالت در یک جایگشت ردیفی یک nچون هر ،اگر موقعیت اشیاء فقط نسبت به هم مهم باشد) 2

)بار حساب می آید، در این حالت جواب )! 1 !n nn

= . است−

ایی کنار هم قرار داد مهره سیاه یکسان را در دایره 2مهره سفید یکسان و −nبه چند طریق میتوان : تمرین ).زوج و فرد بحث کنید nروي (

3ضریب .8.2مثال 41 2 n nn na b c d را در بسط عبارت( )c da b+ + + . بدست آورید 4)می دانیم در بسط . راه حل )ndc +++ baاي موجود در هر بسط برابر ه ، مجموع توانn حال جمله . است

31 2 4nn n na b c d 1پس . را در نظر می گیریم 2 3 4n n n n n+ + + بنابراین تعداد چنین جمالتی برابر است با کلیه =پس تعداد چنین . حرف nدر dعنصر یکسان 4nو... ، bعنصر یکسان a ،2nعنصر یکسان 1nحاالت از

3جمالت شکل 41 2 n nn na b c d مساوي است با

( ) ( ) ( )( )( )1 2 3 41 2 3 4

!; , , ,! ! ! !

nC n n n n nn n n n

=

)در بسط abcdمثال ضریب )c da b+ + + !1!241مساوي است با 44!

=

)در بسط .9.2 نتیجه )nkxxx +++ 1هر جمله بشکل 21 ..... k

1

n nk x ...xα بیان می شود که

1 2 ... kn n n n+ + + )و = )1 k1 2

! C n ,n ,.... n! !... !k

nn n n

α = بنابراین =

58

.( ) ( ) rn

r

nn yxnnCyx ∑=

−−=+0

11,

. در این قسمت افراز یک مجموعه متناهی را بررسی می کنیم

}مجموعه .10.2 مثال }A = 1, 2, 3, ...., . را در نظر می گیریم 6 . عضوي افراز کرد چهارعضوي و دورا به دو زیر مجموعه Aبه چند طریق می توان ) 1

. عضوي افراز کرد سهرا به دو زیر مجموعه Aبه چند طریق می توان ) 2

: راه حل

1 (( );C =×6!6 2, 4 4! 2! 2 (( );

C

=6 3, 3 6!

2 2! 3! 3! }زیرا اگر }P = 1, 2, }و 3 }4,5,6 Q }آنگاه دو افراز = }Q,P و{ }P Q, برابرند .

: قضیه زیر را درمورد افراز یک مجموعه متناهی داریم

هاي، متشکل عضوي به یک دسته اززیر مجموعه nتعداد راههاي ممکن براي افراز یک مجموعه .11.2قضیه ) ipاز )Ki . متفاوت باشند، بصورت زیر محاسبه می شود inعضوي که درآن inزیر مجموعه 1≥≥

( )( ) ( )( )1 21 1 2 2!( !) ! ! ..... ! ! k

ip p p

k k

n

p n p n p n

1که در آن 1 2 2 ... k kn n p n p n p= + + +

دانشجو 7اتاق اسکان داد که دو تاي اول هر کدام 6دانشجو را در 45به چند طریق می توان ) الف .12.2 مثال .دانشجو داشته باشد 4دانشجو و اتاق ششم 9و سه تاي بعدي هر کدام

نفري و یک 9نفري و سه گروه 7گروه تقسیم نمود که دو گروه 6دانشجو را به 45به چند طریق می توان ) ب . نفري باشند 4گروه

!45) جواب الف7!7!9!9!9!4!

) جواب ب ( ) ( )32

45!2! (7!) 3! 9! 4!× × ×

. نامیم Xتایی از−rعضو را یک دسته nبا Xاز مجموعه) نه لزوما متمایز(عضوي rهر دسته. 13.2 تعریف

59

برابر است با Xتایی −rعضوي باشد آنگاه دسته هاي nیک مجموعه Xاگر .14.2قضیه( )1,1 −−+ nnrC که در انr هر عدد طبیعی دلخواه است .

}عناصرتایی از −3هاي بین تعداد دستهتناظر یکبیک . برهان }, ,X a b c= براي . هاي زیر وجود دارد و شکل

.)قرار دهید c *دو از و بعد b *بین دو ،a *دو از قبل هاي خالی درخانه(تعمیم دادمیتوان این فرایند را ،اثبات

}اگر ) 1.(15.2مثال , }X a b= عبارتند از تایی−3هاي آنگاه دسته

{ }{ , , },{ , , },{ , , },{ , , } .T a a a b b b a a b b b a= } فرض کنید ) 2( }, , ,X a b c d=تایی را مشخص کنید -6کل دسته هاي د تعدا .

)جواب )6 4 1,4 1C + − −.

}فرض کنید .16.2مثال }, ,X a b c= مطلوبست 3 ؛Xتایی از -2هاي تعداد ترکیب) 1

6 ؛Xتایی از -2هاي تعداد دسته) 2

؛Xتایی از -3تعداد ترکیبهاي ) 3

؛Xتایی از -3هاي تعداد دسته) 4

X. 21ها از تایی -5هاي دستهتعداد ) 5

.17.2 قضیه

** * * * *

** * * * *

* * * * * *

* *

60

rxxxتعداد جوابهاي مجزاي معادله )1 n =+++ در مجموعه اعداد صحیح نامنفی برابر با 21....( )1,1 −−+ nnrC است.

rxxx) متغیر n(تعداد جوابهاي نامعادله خطی )2 n ≤+++ در مجموعه اعداد نامنفی برابر است با 21....( )nnrC ,+ .

)تعداد جمالت بسط چند جمله ایی )3 )1 2 .... nrx x x+ + )برابر است با + )1,1 −−+ nnrC است.

10a جوابهاي صحیح نامنفی معادله .18.2مثال b c d+ + + 0aبشرطی که ،را بدست آورید = > ،0b >، 1c > ،2d ≥ . a'قرار می دهیم . حل راه a= +1 ،1+′= bb ،2+′= cc 2و+′= dd . 4پسa b c d′ ′ ′ ′+ + + و تعداد =

)جوابهاي برابر است با )4 4 1,4 1 35C + − − =. اصل طرد و شمولو اصل النه کبوتري . 3

1nاگر . ها بیش ازیک کبوتر داریم النه را اشغال کند، حداقل در یکی از النه nکبوتر +چند . توپ زرد وجود دارد 7توپ سبز و 12توپ سفید، 10، توپ آبی 8، توپ قرمز 5دریک جعبه . 1.3مثال

توپ باید از جعبه خارج گردد تا مطمئن شویم . نگ است:تاي آنها همر 4حداقل ) 1

. تاي آنها همرنگ است 6حداقل ) 2

.تاي آنها همرنگ است 7حداقل ) 3

. تاي انها همرنگ است 9حداقل ) 4

. توپ زرد باشد 6حداقل ) 5

: هررنگ را یک النه کبوتر فرض می کنیم و هر مهره را یک کبوتر پس داریم 5×5+1=26) 2و جواب 5×3+1= 16) 1: جواب

.شود جواب بقیه حاالت به خواننده واگذار می

)رابا Xیک مجموعه متناهی باشد، تعداد عناصر Xاگر )n X نشان دهیم، آنگاه داریم:

( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn ∩−+=∪

61

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ ,که ,A B C X⊆.

)حال اگر )n X n= وX⊆A داریم ،( ) ( )An−=′ nAn . بنابراین داریم: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B A B .n A n n n A B n n A n B n A B′ ′ ′∪ = − ∪ ⇒ ∩ = − − + ∩

}با مفاهیم باال فرض کنید .2.3نتیجه }

1i

tiA

=زیر −kاشتراك هر . باشد Xیک دسته از زیر مجموعه هاي

)نامیم و تعداد آنها عبارت است از Xتایی از kرا یک اشتراك Xمجموعه از )ktC ksفرض کنید . ,≥≥tبنابراین به ازاي .تایی باشد −kهر اشتراك عناصر مجموع تعداد k1 داریم:

( ) ( ) ( )1 1 2 ..... ;ts n A n A n A= + + + ( ) ( )2 1 2 1..... ;t ts n A A n A A−= ∩ + + ∩

......

1 2211 ....

..... .k

k i i kii i i ts n A A A

≤ < < < ≤

= ∩ ∩ ∩ ∑

در اینصورت ( ) ( )1 2 1 2 3.... n - s ..... 1 .t

t tn A A A s s s′ ′ ′∩ ∩ ∩ = + − + + − را ثبت نام Mیا B ،E،Hدر یک خوابگاه دانشجویی هر دانشجو حداقل یکی از چهار درس .3.3مثال : که اند بطوري کرده

. اند دانشجو ثبت نام کرده 25در هر درس )1

. اند دانشجو ثبت نام کرده 15درهر دو درس )2

. اند دانشجو ثبت نام کرده 10در هر سه درس )3

. اند چهار درس ثبت نام کردهدو دانشجو در هر )4

مطلوبست تعداد دانشجویان ساکن در این خوابگاه ؟ را Mو B ،E،Hدروس ) بترتیب(تعداد دانشجویانی باشند که 1Mو 1B ،1E،1Hفرض کنید : راه حل

:پس داریم .اند انتخاب نموده ( ) ( )

( ) ( )1 2

3 4

4,1 25 100, 4,2 15 90,

4,3 10 40, 4, 4 2 2.

s C s C

s C s C

= × = = × =

= × = = × =

62

بنابراین و( )1 1 1 1 0 100 90 40 2 0 48.N B E H M n n′ ′ ′ ′∩ ∩ ∩ = ⇒ − + − + = ⇒ =

Aفرض کنید .4.3مثال m= . تعدادr− دنباله هايA که در آنها هر عضوA حداقل یک بار ظاهر شود راr)( بدست آورید m≥ .

}فرض کنید .حل اهر }1 2, ,....., mA a a a= وX مهمجموعه ه r− هاي دنبالهA دانیم می. باشدrn X m= =. 1فرض کنید بازاي هر mi≤ Xσظاهر نشود iaعنصر σدر { ≥ ∈{. iA دراینصورت = ( ) ( ) 1 r

in A m= )و − ) ( )( )1 i0 m

n A ,1 1 r

is C m m

< ≤

= = )همچنین .∑− ) ( )1 2 2 rn A A m∩ = و −

( )( )2 , 2 2 rs C m m= بنابراین −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

' '1

1 0

( ... ) 1 , i 1 , i .i im m

r rm

i in A A n C m i m C m i m

−

= =

∩ ∩ = + − − = − −∑ ∑

Xیک بار ظاهر شود را بدست آورید اگر Xکه هر عضو از Xدنباله هاي از -5تعداد . تمرین = آیا . (7 ).چنین چیزي ممکن است؟

)که با(آنگاه عدد استرالینگ نوع دوم r≤nکه ¥∋nاگر .٥.٣تعریف )nrS بصورت زیر ) نشان می دهیم, :تعریف میشود

( ) ( ) ( )( )1

0! , 1 , k

nk

k

rn s r n C n k n−

=

= − −∑ توان نشان داد که بعنوان قضیه می

Xفرض کنید . 6.3قضیه r= وY n= در اینصورت

rمساوي Yبه Xتعداد توابع از )1nاست .

nrاگر )2 )مساوي Yبه Xآنگاه تعداد توابع یکبیک از ≥ )rnP . است ,

nrاگر )3 )برابر است با Yبه Xآنگاه تعداد توابع پوشا از ≤ ) ( ). ! ,n s r n

تمرینات

63

به چند طریق میتوان این کار را انجام داد هرگاه. تقسیم کنیم دانش آموز 10میخواهیم سه جایزه را بین )1 310. جوایز متفاوت است وهر دانش آموز بتواند بیش از یک جایزه بگیرد) الف P(10,3) .دجوایز متفاوت است وهر دانش آموز نتواند بیش از یک جایزه بگیر) ب

C(10,3). بگیرد جوایز یکسان است وهر دانش آموز نتواند بیش از یک جایزه )ج

3). جوایز یکسان است وهر دانش آموز بتواند بیش از یک جایزه بگیرد) د 10 1,10 1)C + − −

نشان دهید که ) 2

1 (( ) ( ) ( )111 −−+−= rnCrnCrnC ؛,,,

2 (( ) ( ). , ,C n C n n= + 22 2 2 2 11.2قضیه(نفره انتخاب نمود ٤نفره و سه تیم والیبال 5نفر به چند طریق میتوان دو تیم فوتبال 22از میان )3

).رابکار ببرید . یک تاس همگن را حداقل چند بار پرتاب کنیم تا حداقل سه بار نتیجه یکسان باشد)٤}فرض کنید )۵ }, , ,...,X = 1 2 3 بخشپذیر 7 و 5، 3 هر سه عدد که بر X در تعداد اعداد صحیح مثبت 600 . باشند، را بدست آوریدن

}فرض کنید )۵ }. , ,...,X n= 1 2 Sنشان دهید که اگر 2 X⊆ 1دارايn حداقل دو Sعضو باشد، آنگاه + .کند عضو دارد که یکی دیگري را عاد می

وبست تعیین ضریبلمط)۶

2ضریب ) الف 2x yz 5در( 3 )2x y z+ −

4ضریب ) ب 5x y 2)9در 3 )x y−

1دراگر تعداد جمالت در بسط ) 7 23( )nx x x+ + +L باشد ١۵۴٠برابر،n بدست آورید را.

|فرض کنید )8 | 6X محاسبه مطلوبست .=

؛عضوي 2 دیگري و عضوي 4، یکی مجموعه دو زیربه Xتعداد افرازهاي )الف ؛ Xتعداد افرازهاي دو عضوي ) ب

64

.Xتعداد افرازهاي سه عضوي ) ج

}د قرار دهی) 9 }1,2,3X }و = }. , ,Y a b c= مطلوبست ؛Y. به Xتعداد توابع از ) الف ؛Y.به Xاز پوشا تعداد توابع) ب )بقسمی که Y. به Xتعداد توابع پوشا از )ج )1f b=

؛Y. به Xتعداد توابع یکبیک از )د .Y. به Xاز تعداد توابع یکبیک و پوشا)ن

|فرض کنید )10 |X n= . .Xبه Xتعداد توابع پوشا از مطلوبست محاسبه )الف نشان دهید) ب

1 (( ), 1s n n =

2 (( ) ( ) 1. 1 2 ( 1) !1 2 1

n n n nn n nn n n nn

−− − + − − − = − L