III TEORIJA APROKSIMACIJE

ZADATAK 22.

Odrediti polinom minimalnih kvadrata reda 1 i 2 za podatke koji su prikazani u slijedećoj tabeli.

i xi yi

0 0 1,01 0,15 1,0042 0,31 1,0313 0,5 1,1174 0,6 1,2235 0,75 1,422

Koji stepen je bolja aproksimacija, odnosno koja ima manju grešku?

a)Polinom prvog reda oblika: y=ax + b ili y=a1x1 + a0

n=1, broj nepoznatih = n+1 =2 (a=? i b=?)Potrebne dvije normalne jednačine:

(1)

(2)

Formirat ćemo tabelu:i xi yi xi

2 xi yi

0 0 1,0 0 01 0,15 1,004 0,0225 0,15062 0,31 1,031 0,0961 0,31963 0,5 1,117 0,25 0,55854 0,6 1,223 0,36 0,73385 0,75 1,422 0,5625 1,0665

Suma 2,31 6,797 1,2911 2,829

(1) a·1, 2911 + b·2,31=2,829 / ·2,31(2) a·2,31 + b·6 =6,797 /·1,2911 a·2,9 82 + b·5,3361=6,535 a·2,982 + b·7,7466=8,7756 2,41 ·b=2,24 b=0,9295 (2) a=(6,797 -6·b)/2,31 =0,5281

POLINOM PRVOG REDA: Y=0,5281·x + 0,9295

GREŠKA:yi xi Y=0,5281·x + 0,9295 (yi – Y)2

1,0 0 0,9295 0,0049701,004 0,15 1,009 0,0000251,031 0,31 1,093 0,0038441,117 0,5 1,193 0,0057761,223 0,6 1,246 0,0005291,422 0,75 1,326 0,009216

Suma 0,024360

b)Polinom drugog reda oblika: y=a2x2+ a1x1 + a0

n=2, broj nepoznatih = n+1 =3 (a0 =? ; a1 =? i a2 =?)Potrebne tri normalne jednačine:

(1)

(2)

(3)

Zatim ćemo formirati tabelu:

i xi yi xi2 xi

3 xi4 xi yi xi

2 yi

0 0 1,0 0 0 0 0 0

1 0,15 1,004 0,0225 0.003375 0,000506 0,1506 0,02259

2 0,31 1,031 0,0961 0,029791 0,00923 0,3196 0,09908

3 0,5 1,117 0,25 0,125 0,0625 0,5585 0,27925

4 0,6 1,223 0,36 0,216 0,1296 0,7338 0,44028

5 0,75 1,422 0,5625 0,42187 0,3164 1,0665 0,79987

Suma 2,31 6,797 1,2911 0,796041 0,51824 2,829 1,641

6a0 + 2,31a1 + 1,2911a2 = 6,797 /·(-2,31/6) /·(-1,2911/6) 2,31a0 + 1,2911a1 + 0,796041a2 = 2,829 +

1,2911a0 + 0,796041a1 + 0,51824a2 = 1,641+

6a0 + 2,31a1 + 1,2911a2 = 6,797 0,40175a1 + 0,299a2 = 0,2122 /·(-0,29897/0,40175)

0,29897a1 + 0,2404a2 = 0,1784 + 6a0 + 2,31a1 + 1,2911a2 = 6,797 0,40175a1 + 0,299a2 = 0,2122 0,0179a2 = 0,0205a2=1,1473a1 =(0,2122-0,299·1,1473)/0,40175= -0,3257a0=(6,797-1,2911·1,1473+2,31·0,3257)/6=1,01134

POLINOM DRUGOG REDA: Y=1,01134 - 0,3257X +1,1473X2

GREŠKA:

xi xi2 Y=1,01134 - 0,3257X+1,1473X2 yi (yi – Y)2

0 0 1,01134 1,0 0,0001285

0,15 0,0225 0,9883 1,004 0,000246

0,31 0,0961 1,02063 1,031 0,0001075

0,5 0,25 1,135315 1,117 0,0003354

0,6 0,36 1,22895 1,223 0,0000354

0,75 0,5625 1,4124 1,422 0,0000921

Suma 0,0009449

Bolju aproksimaciju daje polinom drugog reda jer ima manju grešku.