المقاطع المستوية للسطوح

:المستهدفةالكفاءات اسطواني دوراني سطحتعيين معادلة -1 تعيين معادلة سطح مخروطي دوراني -2 تعيين مقاطع أسطوانية -3 تعيين مقاطع مخروطية -4 تمثيل مقاطع مجسم مكافئ -5 تمثيل مقاطع مجسم زائدي -6

درستصميم ال أنشطة

I – األسطوانة القائمة: II – المخروط الدوراني :

III – المجسم المكافئ : تكنولوجيا اإلعالم و االتصال

تمـارين و مشكالت الحـلــــــول

أنشطة

: النشاط

) في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k

)لتكن )s مجموعة النقط ( ); ;M x y z 2: من الفضاء بحيث 2 2x z y+ =

)و ليكن )p 1: المستوى الذي معادلتهz =

) عين مجموعة نقط تقاطع -1 )sو ( )p و لتكن ( )C

): المعرفة بالعبارة x ذات المتغير الحقيقي f نعتبر الدالة -2 ) 2 1f x x= +

( )fC تمثيلها البياني في المعلم ( ); ;A i j حيث :( )0;0;1A

) ثم أنشئ fادرس تغيرات )fC . استنتج إنشاء( )C. : الحل

)تعيين )1 )C : لدينا :( ) ( ) ( )C s p= ∩

) :و عليه )2 2 2

:1

x z yC

z + =

=): و عليه )

2 2 1:

1y x

Cz

= +

=

: fدراسة تغيرات ) 2

( ) 2 1f x x= + ، ] [;fD = −∞ +∞

( )limx

f x→−∞

= ) و ∞+ )limx

f x→+∞

= +∞

( )2 1xf xx

′ =+

)من أجل ) 0 : 0f x x′ > ] متزايدة تماما على f و عليه < و من أجل ∞+,0]

( ) 0 : 0f x x′ < متناقصة تماما على fو عليه >;0.

+∞ 0 −∞ x + - ( )f x′

+∞ .+∞ 1

( )f x

( ) 2

2

11 1lim lim lim 1 1x x x

xf x xx x x→+∞ →+∞ →+∞

+= = + =

( )2 2

2

1 1lim lim

1x x

x x x xf x x

x x→+∞ →+∞

+ − + + − = + +

2

1lim 01x x x→+∞

= =+ +

yإذن x= معادلة مستقيم مقارب مائل عند +∞

( ) 211

lim lim 1x x

xf x xx x→−∞ →−∞

− += = −

( )2 2

2

1 1lim lim

1x x

x x x xf x x

x x→−∞ →−∞

+ + + − + = + −

2

1lim 01x x x→−∞

= =+ −

yإذن x= ∞− معادلة مستقيم مقارب مائل عند − :الشكل

)استنتاج - )C :

2 2 11

y xz

= +

=2: لدينا 2 1y x= : و منه +

2 11

y xz

= +

= أو

2 11

y xz

= − +

=

)و عليه )C هو اتحاد المنحيين ( )fC و ( )gC الممثل لتغيرات الدالة g حيث :

( ) 2 1g x x= − +

): و لدينا )fC و ( )gCإلى المحور متناظران بالنسبة ( ); A i

): إذن ) ( ) ( )f gC C C= ∪

2 3 4-1-2-3-4

2

3

4

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

(Cf)

(Cg)

I – األسطوانة القائمة :

: 1تعريف ( )C دائرة من مستو ( )π

) و )D مستقيم ال يوازي ( )π نسمي مجموعة نقط المستقيمات التي

) توازي )Dو تستند على ( )C

) سطحا اسطوانيا دليله )C و منحنى

) مولداته منحنى )C.

: 2تعريف تقيم الذي يشمل مركز هذه الدائرة و يعامل نسمي محور دائرة المس

. مستويها : 3تعريف

نسمي سطحا اسطوانيا دورانيا كل سطح اسطواني دليله و مولداته مستقيمات توازي محور هذه الدائرة

.نصف قطر الدائرة هو نصف قطر األسطوانة : المعادلة الديكارتية لسطح أسطواني دوراني -

نسوب إلى معلم متعامد الفضاء م

) متجانس )O; , , i j k

) إذا كان محور األسطوانة هو – 1 )O ; k

( )δأسطوانة محورها ( )O ; k و نصف قطرها α

): لتكن ); ;M x y z نقطة من الفضاء و لتكن ( ); ;M x y o′

M’O

O’ M

(C)

(D)

)مسقطها العمودي على المستوي )O ; , i j و لتكن( )O 0 ; 0 , z′ المسقط

) على المحور Mالعمودي للنقطة ); O k

) نقطة من Mتكون )δ 2: إذا و فقط إذا كان 2 2OM OM′ = = α

): حيث ); ;OM x y o′ 2: أي 2 2OM x y′ = +

2: إذن 2 2x y+ = α هي معادلة األسطوانة التي محورها ( ) ; O k ونصف قطرها

α : مثال

)أكتب معادلة األسطوانة )δالتي محورها ( ); O k في الفضاء المنسوب 5 و نصف قطرها

)إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k

: الحل 2: معادلة األسطوانة هي 2 25x y+ =

) إذا كان محور األسطوانة هو – 2 ); O i و نصف قطرهاα فإن معادلة األسطوانة هي :2 2 2y z+ = α

: مثال في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس

( ); , , O i j k. اكتب معادلة األسطوانة الدائرية التي

) محورها ); O i 1 و نصف قطرها.

2: معادلة األسطوانة هي : الحل 2 1y z+ =.

) إذا كان محور األسطوانة هو – 3 ); O j

فإن معادلة األسطوانة αها و نصف قطر2: هي 2 2x z+ = α : مثال

) اكتب معادلة األسطوانة ذات المحور ); O j في 2 و نصف القطر

) معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

2: طوانة هي معادلة األس: الحل 2 4x z+ = : مقاطع اسطوانية

)لتكن) 1 )δ اسطوانة دورانية محورها ( )D و نصف قطرها α

) و )p مستو يوازي( )D.

) نفرض أن المسافة بين )D و ( )p هيd

d إذا كان - > α فإن :( )p ال يقطع األسطوانة ( )δ.

d إذا كان - = α فإن :( )p مماس األسطوانة ( )δ في أحد

) مولداتها )∆.

d إذا كان - < α فإن :( )p يقطع ( )δوفق مولدين من

) مولداتها ) و∆( )′∆.

( )p يقطع ( )δ ( )p يمس( )δ ( )pال يقطع ( )δ

2 (( )δ أسطوانة دورانية محورها ( )D

) وα و نصف قطرها )p مستو

) يعامد )D .

) المستوى )p يقطع ( )δ وفق دائرة

) محورها )Dو نصف قطرها α.

(D)

( )δ

PP P

P

(D)

: تعيين التقاطع تحليليا ) لتكن )δ 2: أسطوانة دورانية معادلتها 2 2x y+ = α في الفضاء

) المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k

) و ليكن )p مستو يوازي أحد المحاور اإلحداثية .

)إذا كانت معادلة ) 1 )p : z = λ فإن :

( ) ( )2 2 2

:x y

pz

+ = αδ

= λ): ليه و ع∩ ) ( )pδ .هو دائرة ∩

)إذا كانت معادلة ) 2 )p : y = λ فإن :

( ) ( )2 2 2

:x y

py

+ = αδ

= λ∩

): و عليه ) ( )2 2 2

:x

py

= α − λδ

= λ∩

2: إذا كان - 2λ > α فإن :( ) ( )pδ = ∅∩

2: إذا كان - 2λ = α فإن :( ) ( )pδ هي مستقيم وهو أحد ∩

) مولدات )δ .

2 إذا كان - 2λ < α فإن :( ) ( )pδ هي اتحاد مستقيمين ∩

) وهذين المستقيمين من مولدات األسطوانة )δ.

)إذا كانت معادلة ) 3 )p هي :x = λ فإن :

( ) ( )2 2 2

:x y

px

+ = αδ

= λ : و عليه ∩

( ) ( )2 2 2

:y

px

= α − λδ

= λ∩

2ا كان إذ - 2λ > α فإن :( ) ( )pδ = ∅∩

2إذا كان - 2λ = α فإن :( ) ( )pδ ) هي مستقيم و هو أحد مولدات ∩ )δ.

2إذا كان - 2λ < α فإن :( ) ( )pδ . هي اتحاد مستقيمين ∩

) وهذين المستقيمين هما من مولدات األسطوانة )δ.

II – المخروط الدوراني :

: 1 تعريف ( )C دائرة .ω نقطة ال تنتمي إلي مستوى

ى مجموعة نقط المستقيماتتسم. هذه الدائرة ) و تستند على ωالتي تشمل )C سطحا

) و دليله ωمخروطيا رأسه )C و يستند ωو كل مستقيم يشمل

)على )C هو مولد لهذا السطح المخروطي . : 2 تعريف

)نسمى سطحا مخروطيا دورانيا كل سطح مخروطي دليله دائرة )C

) ينتمي إلى محور ω و رأسه )C. .ط الدوراني و هو محور تناظر لهذا السطح محور الدائرة يسمى محور المخرو- كل المولدات تعين مع المحور زوايا حادة متقايسة و تسمى كل زاوية من هذه الزوايا نصف زاوية -

.الرأس للسطح المخروطي الدوراني يكون السطح المخروطي الدوراني معينا إذا علم رأسه و محوره-

. و قيس لنصف زاوية رأسه : ديكارتية للمخروط الدوراني المعادلة ال

)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

ω

(C )

)ومحوره θو نصف زاوية رأسهOإذا كان رأس المخروط )1 );O k . لتكن

( ); ;M x y z نقطة من الفضاء و لتكن( )0;0;p z مسقطها العمودي على( );O k

) لدينا ); ;OM x y z ، ( )0;0;1k

.: نقطة من المخروط إذا وفقط إذا كان M تكون . cosOM k OM k= α

OM.: لكن k z=

.: و منه .cosOM k zα =

2: و عليه 2 2 1 cosx y z z+ + × × θ =

): و بالتربيع نجد )2 2 2 2 2cosx y z z+ + θ =

: أي 2

2 2 22coszx y z+ + =θ

): أي )2 2 2 2 21 tanx y z z+ + = + θ

2: و عليه 2 2 2tan 0x y z+ − θ =

)و هي معادلة المخروط الذي محوره ); O k و رأسه O و نصف زاوية رأسه θ و هي

2: من الشكل 2 2 2 0x y a z+ − = : مثال

)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.ادلة المخروط الذي اكتب مع

و نصف زاوية رأسه Oرأسه2π

) و محوره ); O k .

2: معادلة المخروط : الحل 2 2 2tan 02

x y z π+ − =

2: أي 2 2 0x y z+ − =

2: أي 2 2z x y= .ادلة المخروط هي مع+

)إذا كان محور المخروط الدوراني ) 2 ); O i و نصف 0 و رأسه

2: فإن معادلته : θ زاوية رأسه 2 2 2 0y z x tan+ − θ =

)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس : مثال ) ; , , O i j k معادلة المخروط اكتب

)الدوراني الذي محوره );O i و رأسه O

و زاوية رأسه 3π

2: معادلة المخروط هي : الحل 2 2 2 06

y z x tan π+ − =

: أي 2

2 2 2 3 03

y z x

+ − =

2: و منه 2 21 03

y z x+ − =

نصف زاوية الرأس هي ( 6π

(

)إذا كلن محور المخروط الدوراني ) 3 ); O j و رأسه O

2: فإن معادلته θ و نصف زاوية رأسه 2 2 2 0x z y tan+ − θ = : مثال

)امد متجانس الفضاء منسوب إلى معلم متع ); , , O i j k . أكتب معادلة المخروط الدوراني

)الذي محوره );O j و رأسه O و زاوية رأسه 2π

: الحل 2: معادلة المخروط هي 2 2 2tan 0x z y+ − θ =

2: أي 2 2 2tan 04

x z y π+ − 2: ه و من= 2 2 0x z y+ − =.

: مقاطع مخروطية

)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

) ليكن )δ 2: قطع مخروطي دوراني ذو المعادلة 2 2 2 0x y a z+ − =

) . ∋a*: حيث )p مستو يوازي أحد المحاور اإلحداثية .

) إذا كانت معادلة -1 ):z p= λ ، λ∈فإن ( )p يوازي

( ); , O i jو يكون التمثيل الديكارتي لـ :( ) ( )pδ : كما يلي ∩

2 2 2 2 0x y a z

z + − =

= λ2: و عليه 2 2 2 0x y a+ − λ =

2إذا كان - 2 0 : 0x y+ = λ =

): و منه ) ( ); ; ; ;x y z O O O= و عليه :( ) ( ) { }p Oδ =∩

0λ إذا كان - : فإن ≠2 2 2 2x y az

+ = λ

= λ و هو التمثيل الديكارتي

): لدائرة و منه ) ( )pδ . هي دائرة ∩

) إذا كانت معادلة -2 ) ( إن : ( p: ف y p= λ يوازي ( ); , O i k

)ومنه ) ( )pδ : يقبل تمثيال ديكارتيا من الشكل ∩22 2 2x a z

y − = −λ

= λ

0λ: إذا كان - ): فإن = )( ) 0x az x az− + =

0x: و منه az− 0x أو = az+ = )و منه ) ( )pδ : هو اتحاد مستقيمين معرفين كما يلي ∩

0x azy− =

= λ: أو

0x azy+ =

= λ

)و هما مستقيمين من مولدات )δ.

2 فإن 0λ: إذا كان 2 2 2 x a z− = −λ هي معادلة قطع زائد في المستوي الذي

)يوازي ); , O i k و عليه :( ) ( )pδ إذا كانت معادلة -3. هو قطع زائد∩

( ):x p= λ أي ( )p يوازي ( ); , O j k فإن( ) ( )pδ تقبل تمثيال ∩

: ديكارتيا من الشكل 2 2 2 2y a zx

− = −λ

= λ

:إذا كان - 0λ = 2 2 2 0

0y a zx

− =

= : و عليه

( )( ) 0

0y az y az

x − + =

=

: إذن 0

0y azx− =

= أو

00

y azx+ =

=

. و هما تمثيلين لمستقيمين

)إذن ) ( )pδ ) هو اتحاد مستقيمين من مولدات ∩ )δ

0λإذا كان -2 2 2y a zx

− = −λ

= λ2: ، لدينا 2 2 2y a z− = −λ

) هي معادلة قطع زائد في المستوى الذي يوازي ); , O j k

III – المجسم المكافئ :

)لم متعامد متجانس في الفضاء المنسوب إلى مع: تعريف ) ; , , O i j k تكون معادلة

2: المجسم المكافئ من الشكل 2z x y= +

: مقاطع مجسم مكافئ -

) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k.

( )pحداثية مستو يوازي أحد المستويات اإل.

( )Z 2: مجسم مكافئ معادلته 2z x y= +

)إذا كانت معادلة) 1 )pهي :z = λفإن:( ) ( )2 2

:x y

p Zz

+ = λ

= λ∩

0λإذا كان - =: ( ) ( ) }{p z O=∩

0λإذا كان - <: ( ) ( )p z = ∅∩

0λإذا كان - >: ( ) ( )p z∩ هو دائرة.

)إذا كانت معادلة ) 2 )p هي :y = λ فإن :

( ) ( )2 2

:z x

p Zy

= + λ

= λ): و عليه ∩ ) ( )p z∩ هو قطع مكافئ.

) إذا كانت معادلة - )p هي :x = λ فإن :( ) ( )2 2

:z y

p zx

= + λ

= λ و عليه ∩

:( ) ( )p z∩ هو قطع مكافئ

IV – المجسم الزائدي : : 1تعريف

z.: معادلته x y= في معلم متعامد متجانس ( ) ; , ,O i j k

: مقاطع مجسم زائدي -

)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k

( )pمستو يوازي أحدالمستويات اإلحداثية .

( )H مجسم زائدي معادلته :.z x y=

)إذا كانت معادلة )1 )p هي :z = λ

): فإن ) ( ) .z x yH p

z=

= λ∩

): و عليه ) ( ) .x yH p

z= λ

= λ∩

0λ إذا كان - ): فإن = ) ( )H p∩ هو اتحاد مستقيمين.

0λ إذا كان - ): فإن ≠ ) ( )H p∩ قطع زائدهو.

)إذا كانت معادلة 2 )p هي :y = λ فإن :

( ) ( ) .:x y z

H py

= = λ

) :و منه ∩ ) ( ) :z x

H py= λ

= λ∩

): و عليه ) ( )H p∩ هي مستقيم .

) إذا كانت معادلة 3 )p هي :x = λ فإن :

( ) ( ) .:x y z

H px

= = λ

) :و منه ∩ ) ( ) :z y

H px= λ

= λ∩

): و عليه ) ( )H p∩ هي مستقيم .

تكنولوجيا اإلعالم و االتصال

scientific workplace 3.0: باستعمال البرمجية

z=x^2+y^2 :أنشئ التمثيل البياني للمجسم المكافئ : الحل

ى تتحول إلف ةننقر على اإليقون) 1 z=x^2+y^2نكتب المعادلة ) 2 فنحصل ةننقر على اإليقون) 3

:لى الشكل المقابل ع بالنقر المزدوج على الصورة) 4

يظهر على الصورة إيقونتان اإليقونة السفلى تسمح بالتحكم) 5

... في مجال القيم و الوحدة اإليقونة العليا تسمح بتحريك) 6

من أي زاوية نشاء و هذا بالنقر على الشكل دون ترك الشكل ورأيته . الفأرة و تحريكها

الشكل السابق عند رؤيته من) 7 الجهة السفلى إلى العلى في اتجاه

) المحور )OZيظهر كما يلي :

تمـارين و مشكالت

. 1التمرين

. أمام كل مجلة خاطئة ×لة صحيحة و العالمة أمام كل مج√ضع العالمة األسطوانة الدورانية هي جمموعة نقط مستقيمات -1

. . موازية متاما ملستقيم ثابت يف الفضاء

اجلملة -22 2 9

1x yz

+ =

= . طوانة دورانية هي متثيال الس

. . . كل مستو قاطع ألسطوانة يقطعها وفق دائرة-3 املساقط العمودية لكل نقط األسطوانة الدورانية -4

. . حمور األسطوانة تشكل دائرة وفق منحىن يوازي

2 املعادلة -5 2 9x y− هي معادلة اسطوانة= . . دورانية يف الفضاء

): املعادلة -6 )( ) 24 4 9x x z− + + هي معادلة = . . أسطوانة دورانية يف الفضاء املخروط الدوراين هو جمموعة نقط من الفضاء -7

. . تبعد بعدا ثابتا عن مستقيم ثابت 2: المعادلة -8 2 23 0x y z+ − ي معادلة ه=

. . لمخروط دوراني في الفضاء 2: المعادلة -9 2 24 0x y z+ + هي معادلة =

. . لمخروط دوراني في الفضاء

): المعادلة -10 )2 2 212

z x y= هي معادلة +

. . لمخروط دوراني في الفضاء 2: المعادلة -11 2 1x y+ هي معادلة مجسم =

. . مكافئ في الفضاء .: المعادلة -12 5x y هي معادلة مجسم=

. . زائدي في الفضاء . 2التمرين

) الفضاء منسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

) حمورها أكتب معادلة األسطوانة اليت ); O u و نصف قطرها α يف كل حالة مما يلي :

1 (u i= ، 3α = ، 2 (u j= ، 5α =

3 (u k= ، 35

α =

3التمرين

)الفضاء منسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

( )δ أسطوانة حمورها ( ); O i و تشمل النقطة ( )1 ; 0 ; 2ω −

( مستقيم معرف بتمثيله الوسيطي ∆(

1 2

2

xyz

= − + λ = λ = − λ

)أكتب معادلة -1 )δ.

) عين نقط تقاطع -2 )δ و ( )∆

4التمرين

)في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k .

)نعتبر النقطة )1 ; 2 ; 4A ) و الشعاع − )1 ; 0 ; 3u −

) أكتب معادلة األسطوانة الدورانية – 1 )δ التي محورها ( ) ; O j

.A و تشمل النقطة

) أكتب معادلة المستوى-2 )π الذي يشمل Aو u شعاع ناظمي له .

) عين نقط التقاطع -3 )δ و ( )π.

5التمرين

)يف الفضاء املنسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

)نعتبر النقطتين )2 ; 2 ; 1A ) و − )2 ; 2 ; 3B −

)أكتب معادلة الكرة -1 )s التي قطرها [ ]AB

)أكتب معادلة األسطوانة -2 )δ اليت حمورها ( );o k 5 و نصف قطرها

)عين نقط تقاطع -3 )s و ( )δ.

6التمرين

) يف الفضاء املنسوب إىل معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k.

)أكتب معادلة المخروط الدوراني )R و محوره 0 الذي رأسه ( ) ; O u

: في كل حالة مما يلي Aو يشمل النقطة

1 (u i= و ( )2 ; 3 ; 1A −

2 (u j= و ( )1 ; 1 ; 1A −

3 (u k= و ( )0 ; 1 ; 2A −

7التمرين

)الفضاء منسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

) اكتب معادلة المخروط الدوراني -1 )R و محوره 0 الذي رأسه ( ) ; O j و يشمل النقطة

( )1 ; 1 ; 2A

) اكتب معادلة األسطوانة -2 )δالتي محورها ( ); O j و نصف

.2 قطرها

) عين نقط تقاطع -3 )δ و( )R.

8التمرين

)يف الفضاء املنسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.

)نعتبر النقط )1 ; 1 ; 1A − ، ( )0 ; 1 ; 1B ، ( )1 ; 0 ; 1C − ،

( )2 ; 1 ; 2D.

)أكتب تمثيال وسيطيا للمستوي -1 )ABC.

)أكتب معادلة المخروط الدوراني -2 )R الذي رأسه O و محوره ( ) ; O k و

Dيشمل النقطة

)عين نقط تقاطع -3 )ABC و ( )R.

9التمرين

) المستوى منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k.

) أكتب معادلة سطح الكرة – 1 )s التي مركزها ( )0 ; 2 ; 0A .1 و نصف قطرها

) أكتب معادلة سطح األسطوانة – 2 )δ التي محورها ( ) ; O j

)ة بالكرة و محيط )s

) اكتب معادلة سطح المخروط -3 )R الذي محوره ( ) ; O j و محيط بالكرة ( )s.

) عين نقط التقاطع – 4 )δ و ( )R

10تمرينال

)المستوى منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k .

( )R ومحوره 0 مخروط دوراني رأسه ( ); O k و زاوية رأسه2π

.

) اكتب معادلة – 1 )R.

)عادلة األسطوانة اكتب م– 2 )δ التي محورها ( ) ; O k و تشمل النقطة

( )3 ; 4 ; 5A.

) عين معادلة سطح الكرة – 3 )s و تشمل 0 ذات المركز A.

) عين نقط تقاطع -4 )s و ( )R.

الحـلــــــول 1التمرين

1 ( √ 2 ( × 3 ( × 4 ( √ 5( × 6 ( √ 7 ( × 8 ( √ 9 ( × 10( √ 11 ( × 12 ( ×

2التمرين : معادلة األسطوانة

1 (u i= ، 3α = : 2 2 9y z+ =

2 (u j= ، 5α = : 2 2 5x z+ =

35 (u k= ، 35

α = : 2 2 925

x y+ =

3التمرين ) معادلة – 1 )δ : 2 2 2y z+ = α

)و بما أن )ω∈ δ فإن :( ) ( )2 2 20 2+ = α

2: و منه 4α 2: و عليه معادلة األسطوانة هي = 2 4y z+ =

) تعيين نقط تقاطع – 2 ) و ∆( )δ : : نحل الجملة

2 2 41 2

2

y zxyz

+ = = − + λ

= λ = − λ

): فنجد )22 2 4λ + − λ =

2: و منه 24 4 4λ + − λ + λ = 22: إذن 4 0λ − λ ): و عليه = )2 2 0λ λ − 0λ: إما = = 2λ: أو =

): و عليه ) ( ); ; 1 ; 0 ; 2x y z = −

) أو ) ( ); ; 3 ; 2 ; 0x y z =

): و منه ) ( ) { }; Bδ ∆ = ω∩

): حيث )1 ; 0 ; 2ω ) و − )3 ; 2 ; 0B

4التمرين

) معادلة األسطوانة – 1 )δ : 2 2 2x z+ = α

): و بما أن )A∈ δ فإن :( ) ( )2 2 21 4− + = α

2: إذن 17α ) و عليه معادلة = )δ 2: هي 2 17x z+ =

) معادلة المستوى – 2 )π : 0. 3 0x y z c− + + + =

)وبما أن )A∈ π 1:فإن 0 2 3 4 0c 13: و عليه 0c+ 13C: و منه = = −

)إذن معادلة )π 3: هي 13 0x z− + − =

) تقاطع – 3 )δ و( )π : نحل الجملة :( )( )

2 21 ... 172 ... 3 13 0

x zx z

+ =− + − =

)) : 2(من )3 ... 3 13x z= − : فنجد ) 1(في ) 3( بقيمتها من xنعوض

( )2 23 13 17z z− + =

2: و منه 29 78 169 17 0z z z− + + − = 210: أي أن 78 152 0z z− + =

25 39 76 0z z− + =

( ) ( )( )239 4 76 5 1∆ = − − = 0∆ 2: و منه للمعادلة حلين < 1,z z حيث :

1 239 1 38 39 13,8 ; 4

10 10 10z z− +

= = = = =

: نجد ) 3(بالتعويض في 3,8z: لما ): فإن = )3 3,8 13 1,6x = − =

4z: لما ): فإن = ) ( )3 4 13 1x = − − = −

): و منه )δ و( )π يتقاطعان وفق مستقيمين تمثيليهما الوسيطيين :

1,6

3,8

xyz

= = λ =

،

1

4

xyz

= − = λ =

5التمرين )الكرة معادلة – 1 )s : مركز الكرة هو منتصف[ ]AB و لتكن ω :

2 2 2 2 3 1; ;2 2 2

− + − + + ω

): و منه )0 ; 0 ; 2ω

) ، Aωنصف قطر الكرة هو ) ( ) ( )2 2 22 0 2 0 1 2Aω = − − + − + −

4 4 1 9 3Aω = + + = =

)و منه معادلة سطح الكرة )s :

( )22 2 2 9x y z+ + − =

2: معادلة األسطوانة – 2 2 5x y+ =

) نقط تقاطع – 3 )s و ( )δ :

): نحل الجملة )22 2

2 2

2 95

x y zx y

+ + − =

+ =

): و منه )25 2 9z+ − ): و عليه = )22 4z − = 2: و بالتالي 2z − 2 أو = 2z − = −

4z: و منه 0z أو = =

: إذن إما 2 2 5

0x yz

+ =

= أو

2 2 54

x yz

+ =

=

.و هما معادلتي دائرتين )إذن )s و ( )δ يتقاطعان في دائرتين .

6التمرين

)معادلة المخروط )R :

1 ( 2 2 2 2tan 0y z x+ − θ =

): تنتمي إلى المخروط فإن Aأن و بما ) ( )2 2 23 1 4tan 0+ − θ =

2: إذن 10 5tan4 2

θ = =

)و منه معادلة المخروط )R : 2 2 25 02

y z x+ − =

)معادلة المخروط ) 2 )R : 2 2 2 2tan 0x z y+ − θ = )و بما أن )A R∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 tan 0+ − − θ =

2tan: و منه 2θ ) و عليه معادلة = )R 2: هي 2 22 0x z y+ − =

)معادلة المخروط ) 3 )R : 2 2 2 2tan 0x y z+ − θ =

)و بما أن )A R∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 tan 0+ − − θ =

2: و منه 1tan4

θ ) و عليه معادلة = )R 2: هي 2 21 04

x y z+ − =

7التمرين

) معادلة – 1 )R : 2 2 2 2tan 0x z y+ − θ =

)و بما أن )A R∈ فإن :( ) ( ) ( )22 2 21 2 1 tan 0+ − θ =

2tan: و منه 3θ ) و عليه معادلة = )R 2: هي 2 23 0x z y+ − =

) معادلة األسطوانة – 2 )δ :2 2 4x y+ =

) نقط تقاطع -3 )R و ( )δ :

: نحل الجملة 2 2 2

2 2

3 04

x z yx z

+ − =

+ =

24: بالتعويض نجد 3 0y− 2: و منه = 43

y : و عليه =23

y =

أو 23

y −: إذن =

2 33

y أو =3 33

y −=

: و عليه

2 2 4

2 33

x z

y

+ =

=

أو

2 2 4

2 33

x z

y

+ =

= −

.و هما تمثيلين لدائرتين )إذن )R و ( )δ يتقاطعان وفق دائرتين .

8التمرين

)التمثيل الوسيطي للمستوى -1 )ABC :

): لدينا )1 ; 0 ; 0AB ، ( )0 ; 1 ; 0AC −

) و عليه ليس لهما نفس الحاملAC و ABالشعاعان ) ; ; A AB AC معلم

)للمستوى )ABC

) لتكن ); ; M x y z نقطة من الفضاء .

) نقطة من المستوى Mتكون )ABC إذا وفقط إذا كان :

AM AB AC= λ + µ

: ه و من

111 0

xyz

+ = λ − = −µ − =

: و عليه

11

1

xyz

= λ − = − µ =

)هو التمثيل الوسيطي للمستوى )ABC

) معادلة المخروط – 2 )R: 2 2 2 2 0x y z tan+ − θ =

): و بما أن )D R∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 0tan+ − θ =

2: و منه 54

tan θ =

) إذن معادلة المخروط )R : 2 2 25 04

x y z+ − =

)تعيين نقط تقطع – 3 )R و ( )ABC:

: نحل الجملة

2 2 25 04

11

1

x y z

xyz

+ − = = λ − = − µ

=

: نه و م2 2 25 0

41

x y z

z

+ − = =

: إذن2 2 5

41

x y

z

+ = =

و نصف قطرها O و هي دائرة مركزها 5

2

9التمرين

)معادلة سطح الكرة – 1 )s : ( )22 22 1x y z+ − + =

)ح األسطوانة معادلة سط– 2 )δ : نصف قطر األسطوانة هونصف قطر الكرة و منه معادلتها :2 2 1x z+ =

) معادلة سطح المخروط -3 )R : 2 2 2 2 0x z y tan+ − θ =

: لدينا ATtanOT

θ : ومنه =1tanOT

θ =

T2: القائم في OATولدينا في المثلث 2 2OA AT OT= +

2: و منه 2 2OT OA AT= 2: أي أن − 4 1 3OT = − =

3OT: و عليه و منه =1 3

33tanθ = =

)عادلة المخروط و عليه م )R 2: هي 2 21 03

x z y+ − =

) تعيين نقط تقاطع -4 )δ و ( )R :

: نحل الجملة

2 2

2 2 2

11 03

x z

x z y

+ =

+ − =

: و منه 2

2 2

11 03

1

y

x z

− = + =

: إذن 2

2 2

31

yx z

=

+ =: إذن

2 2 1

3

x z

y

+ =

=: أو

2 2 1

3

x z

y

+ =

= −

)إذن )δ و ( )R يتقاطعان وفق دائرتين .

10التمرين

) معادلة – 1 )R :

لدينا زاوية الرأس هي 2π

و منه نصف زاوية الرأس هي 4π

)معادلة )R : 2 2 2 2 04

x y z tan π+ − =

2: و منه 2 2 0x y z+ − =

) معادلة -2 )δ : 2 2 2x y c+ =

): و بما أن )A∈ δ فإن :( ) ( )2 2 23 4 c+ =

2: إذن 25c ) و منه معادلة = )δ 2: هي 2 25x y+ =

) معادلة الكرة – 3 )s ذات المركز O و تشمل A : 2 2 2 2x y z+ + =

): و بما أن )A s∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 5+ + =

2: إذن ) و منه معادلة =50 )s 2: هي 2 2 50x y z+ + =

) تعيين نقط تقاطع - 4 )s و ( )R :

: نحل الجملة ( )( )

2 2 2

2 2 2

50... 10... 2

x y zx y z

+ + =

+ − =

22: نجد ) 1(من ) 2(بطرح 50z 2: و منه = 25z =

5z: و عليه 5z: أو = = − 2: نجد ) 1(ويض في بالتع 2 25x y+ =

: و منه 2 2 25

5x yz

+ =

= أو

2 2 255

x yz

+ =

= −

.و هما تمثيلي دائرتين