141

البــــاب السادس

إلى أما نظرية نيوتن للجاذبية، فرغم كونها ناقصة بالنسبة.......... المسافات الشاسعة والسرعات العالية، تبقى مالئمة تماما للنظام

هر المذنب هالي وفقا لتنبؤ نظرية نيوتن بالضبط عن يظو. الشمسيخ كليا على كما يرتكز نظام الصواري. الجاذبية، ولقوانينه في الحركة

إلى أورانوس، بفارق 2وقد وصلت المركبة فوياجر . قوانين نيوتنثانية واحدة فقط عن الوقت المحدد سابقا، كما لم تبطل النسبية أيا من

. هذه األمور

.236، ص 1992أكاديميا، : ، بيروتنسبية الظاللإسحق عظيموف،

Force Motion l Centraحركة الجسيم تحت تاثير القوة المركزية

,Law of Areas Central Force القوة المركزية، قانون المساحات 1.6وتعتبر قوى جذب الشمس للكواكب التي . تعرف القوة التي يمر خط عملها دائما بمركز معلوم بالقوة المركزية

ذب اإللكترون نحو المركز الذري، تدور حولها، وقوة جذب األرض للقمر واألقمار الصناعية التي تدور في فلكها، وقوة جومن األهمية بمكان دراسة القوى .وكذلك القوة التي تجذب األيون إلى الشحنة النووية، أمثلة على القوى المركزية

المركزية التي يكون مقدراها معتمدا على المسافة أو متجه الموضع، بين الكتل المجذوبة أو المتنافرة ومركز تأثير القوة، والتي يمكن كتابتها رياضيا بالصيغة التالية

F = F ( r )

وباختيار نقطة األصل عند مركز تأثير القوة، يكون متجه الموضع ومتجه القوة إما متوازيين وإما متوازيين وفي كلتا الحالتين، يكون عزم القوة حول المركز مساويا للصفر . عكسيا

MF = r F = 0 9.5لذلك، يكون الزخم الزاوي ثابتا بالنسبة إلى مركز تأثير القوة، استنادا إلى قانون حفظ الزخم الزاوي، معادلة

L = r mv = const.

r r

ddt

const 1.6

142

، أهم 1.6ويمثل حفظ الزخم الزاوي لوحدة الكتلة، المعادلة ولدراسة الحركة . ة األجسام تحت تأثير القوة المركزيةخاصية لحرك

في مجال قوة جذب من مركز ثابت، نعتبر حركة الجسيم، كتلته تحت تأثير قوة الجذب من DAالوحدة، والمتحرك على المسار

، يمر الجسيم tفعند لحظة معينة . 1.6كل ـش، Oالمركز الثابت وبعد . v، ومتحركا بالسرجهة Oز من المرك r، على بعد Pبالنقطة

عندئذ يمكن . A، يصل الجسيم إلى النقطة tفترة زمنية قصيرة جدا ، كخط مستقيم يجتازه PA =S، القوس PAتقريب القطعة القوسية

أي أن . vالجسيم بسرعة ثابتة، مقدارها S = v t

تجاهي إلتساوي نصف حاصل الضرب ا OPAمساحة المثلث rو rللمتجهين

P,t

C

DO

S

A v

r

t+t r+rr H

1.6كل ـش

A 12

r r A r H12

2.6

2.6نكتب المساحة ومعادلة H = S sin وباستبدال A r t

12

v sin

وبعد قسمة . أسيعن الر) السرجهة(، وتمثل قيمة انحراف الحركة vو rالزاوية المحصورة بين المتجهين حيث يكون tالطرفين على الفترة الزمنية

At

r12

v sin 3.6

المساحة ) معدل تغير(نحصل على مشتقة t0وباستخدام صيغة النهاية dAdt

lim At

r v sin2t 0

، عند تعريف الزخم الزاوي 1.3.5الذي يظهر في المعادلة r v sin حيث يظهر في يمين هذه المعادلة نصف االئتالف Oلوحدة الكتلة بالنسـبة إلى مركز تأثير القوة

dAdt

Lm

2

hإذا رمزنا لهذا الثابت بالرمز . 1.6ثابت، معادلة = Lوهو مقدار ثابت ألنLm

const2

. dAdt

h 4.6

يساوي الزخم الزاوي -الذي تمسح به المساحة المعدل -، أو معدل تغير المساحة Areal Speedفإن السرعة المساحية أن قيمته عند لحظة أي. ثابتة لحركة أي جسيم في مجال جاذبي h وقيمة هذا المقدار. للجسـيم مقسـوما على ضعف كتلته

، مثال، إذا كانت الفترتان 1.6 كلـالشوعلى ذلك، ففي . س المسارعلى نف ما تســاوي قيمته عند أية لحظة أخرىمتساويتين، فإننا نسـتنتج من تسـاوي PAو DCالجرم السماوي في قطع جزأي المدار /اللتان يستغرقهما الجسيم الزمنيتان

.Aإلى Pمن ةكبر منها بالضرورأ Cإلى Dأن سـرعة الجسـيم من OPAو ODCمساحتي القطاعين

143

معادلة مسار الجسيم تحت تأثير القوة المركزية 2.6تتحدد حركة الجسيم تحت تأثير قوة جذب وحيدة، تتناسب عكسيا مع مربع المسافة في مستوى واحد مكون من

الت ولدراسة حركة هذا الجسيم ننطلق من المعاد. ولذلك يتواجد متجه التسارع في نفس مستوى الحركة. vو rالمتجهين لوحدة الكتلة، مستبدلين التسارعين النصقطري والمستعرض بقيمهما من 3.4.3التفاضلية للحركة في اإلحداثيات القطبية

40.2المعادلتين

r2ramF

1.5.6

2r

r rramF 2.5.6

2من قانون الجذب العام د القوة النصقطريةتتحد ،F = 0 وبينما تساوي القوة المستعرضة صفرا،

2

r rRgmF . ،ولذلك

بالشكل التالي 5.6تكتب المعادالت 0r2r 1.6.6

2

22

rgRrr 2.6.6

و rيظهر أنه يمكن كتابتها كمشتقة أولى بداللة 1.6.6إن تحليل المعادلة

0dt)d(r2

) بعد إجراء التكامل ( أو متكاملة

r2 = const. 1.7.6

وتحسب قيمة هذا الثابت من الشروط االبتدائية للحركة، 2.6 كلـش

t = to r = ro , v = vo ,

& o & o = 0

1.7.6فنكتب المعادلة

ro

r

v

O

P

vo

o

Po

2.6كل ـش

r2 = o2or = ro vo sin o = 2 h 2.7.6

معادلة تفاضلية غير خطية 2.6.6من جهة أخرى ، تعتبر المعادلة . لحظتها زخما زاويا لوحدة الكتلة h 2إذ يمثل الثابت لذلك، حتى نتخطى صعوبات قد . و rويفضل حلها مباشرة بداللة إحداثياتها القطبية . متغير المستقل، الزمنبداللة ال

، ونفترض المتغير الجديد تظهر، نستبدل الزمن بمتغير مستقل آخر هو الزاوية القطبية

ru

1 8.6

أن 2.7.6لنجد من معادلة 2uh2 9.6

144

نحسب مشتقة الموضع األولى

d

duu1uh2d

drddr

dtd

dtdrr 2

2

d

duh2r

المشتقة الثانية

d

duh2dduh2d

rdd

rddtd

dtrdr 2

2

222

duduh4r

10.6

فإننا نحصل على المعادلة 2.6.6في المعادلة 8.6 - 10.6 إذا عوضنا المعادالت

4 42 22

22 3 2 2h u d u

dh u gR u

أو بشكل أكثر اختصارا d ud

uP

2

21

11.6

حيث استبدلنا ثابت عدم التجانس الناتج بثابت آخر 1

4

2

2PgR

h 12.6

، هي معادلة تفاضلية خطية، غير uتحت تأثير قوة الجاذبية بداللة الممثلة لمسار الجسيم 11.6المعادلة التفاضلية uيجاد قيمة إويتطلب حلها . هي المتغير المطلق لها متجانسة وذات معامالت ثابتة من الرتبة الثانية، والزاوية القطبية

ولذلك، يتكون الحل من الحلين العام والخاص . بداللة الزاوية القطبية u = uh + up

dللمعادلة المتجانسة generalالحل العام uhحيث ud

u2

20

و ،up الحل الخاصparticular للمعادلة الكاملة وغير

في المعادلة المذكورة موجب، يكتب الحل العام بداللة جيب تمام فرق الزاوية uوحيث أن معامل . 11.6المتجانسة uh = A cos ( - ) 1.13.6

أما الحل الخاص . زاوية الطور االبتدائية ، بينما تمثل uأو uhاالتساع الذي يصله Aيمثل . ثابتي التكامل A ،حيث kفيعرف كثابت 11.6للمعادلة

up = k 2.13.6 13.6إلى مجموع الحلين السابقين، المعادلتان 11.6ولذلك، يؤول حل المعادلة

u = A cos ( - ) + k 14.6

1أو u، نحسب المشتقات األولى والثانية للمتغير kو A ،يجاد ثوابت التكامل المذكور أعاله وإلr

بداللة المتغير

t = t0 = 0عند بداية الحركة 14.6من المعادلة الرئيسية المطلق dud

=0

= - A sin ( - )=0

= Asin 15.6

145

d ud

2

2=0

= - A cos ( - )=0

= - A cos 16.6

األولى بداللة الزاوية uلكن ، مشتقة

oo0to

o2o0t

2

0t0ttanφr

1rr1

ddr

r1

r1

dd

ddu

17.6

11.6من معادلة ومشتقتها الثانية بداللة الزاوية d ud P r P r

t t o

2

20 0

1 1 1 1

18.6

أن المعادلتين 18.6و 16.6وكذلك 17.6و 15.6من العالقات ولينتج من ربط كلA

ro osin

1tan

19.6

Ar Po

cos 1 1 20.6

زاوية الطور االبتدائية : وتأتي قيم هذين المجهولين مع قليل من االختصار كالتالي. Aو تنطويان على مجهولين tan

Pro otan ( P)

21.6

Aأما االتساع

AP r ro o o

1 1 12

2 2tan 22.6

d،كال من 11.6وإذا استبدلنا في المعادلة ud

2

2، نجد أن 14.6بقيمتها من المعادلة u، و 16.6بقيمتها من المعادلة

kقيمة الثابت k = 1

P 23.6

بأي من الشكلين التاليين 14.6، أو المعادلة 11.6ل المعادلة وبناء على ما ورد، يمكن كتابة حu = A cos ( - ) + 1

P 1.24.6

أو

r Pecos

1

2.24.6

Semilatusبداللة البعد البؤري Conic Section 1ذلك أنهما يمثالن في الهندسة التحليلية معادلة القطع المخروطي

Rectum رمزه ،P الزاوية ، واالختالف المركزيEccentricity للمسار، رمزهe ،e = PA والمعبر عنهم في ،، = - = 0, وعلى ذلك، فعندما تكون . على إحدى بؤرتي القطع المخروطي Oاإلحداثيات القطبية التي ينطبق قطبها

.نهايتين صغرى وعظمى بالترتيب rوبالتالي للمقدار 2.24.6يكون للمقام في المعادلة

146

24.6أما في الهندسة الفضائية فتعرف المعادلتان الجرم السماوي أو المركبة Orbit Equationمسار

، والشروط و rالفضائية بداللة اإلحداثيات القطبية ويتحكم بارامتر . Pو eاالبتدائية التي تظهر في الثابتين

rلمخروطي و يمثل قيمة البعد البؤري في حجم القطع ا، بينما يحدد االختالف المركزي = /2عندما تكون

واستنادا إلى المعادلتين . شكل المسار الذي يتبعه الجسيم يكون المسار 3.6 الشكل، و24.6

دائريا إذا كانت قيمة االختالف المركزي مساوية -أ .e = 0للصفر

e = 0 , دائري

0 < e < 1, اھلیلجيe =1, قطع مكافئ

e > 1, قطع زائد

األرض= Po

vo

e = 0 , دائري

0 < e < 1, اھلیلجيe =1, قطع مكافئ

e > 1, قطع زائد

األرض= Po

vo

3.6كل ـش

. e 1 0هليلجيا إذا كانت قيمة االختالف المركزي موجبة وأقل من واحدقطعا ناقصا، إ -ب .e = 1قطعا مكافئا ، إذا كانت قيمة االختالف المركزي مساوية لواحد -ج . e 1قطعا زائدا ، إذا كانت قيمة االختالف المركزي أكبر من واحد -د

لسماء بداللة الشروط االبتدائية األساسية للحركة كسرعة انطالقه ومن المهم تحديد مسار الجسيم المنطلق في ا. بداللة تلك الشروط 12.6، معادلة Pلذلك ، تجب معرفة قيمة البعد البؤري . ، وزاوية الطور االبتدائية voاالبتدائية

2.7.6في المعادلة المذكورة بقيمتها من hفنستبدل قيمة

P (2h)gR

r sing R

2

2o2

o2 2

2 v 25.6

، ثم حل الناتج = و = 0وللزاوية 2.24.6وهذه بتعويضها في المعادلة

e r sin gRgR

o o2

o2

2cos

v 2 26.6

ينتج Pفي 19.6من جهة أخرى، فإن ضرب طرفي المعادلة

locusيعرف القطع المخروطي في الهندسة بأنه المحل الهندسي 1بة بعدها عن نقطة ما ثابتة إلى لجميع نقاط المستوى التي تكون نس

وبينما تدعى النقطة بالبؤرة . بعدها عن خط مستقيم ثابت واحدةFocus دعى الخط المستقيم بالخط الدليليDirectrix . كما يدعى

. ثابت النسبة باالختالف المركزي للقطع المخروطيFMDM

e rP / e r cos

e

. 2.24.6المعادلة األخيرة نحصل على معادلة القطع المخروطي ومن

M

F KE

Dخـط دلـیــل

r

P/e

بؤرة

M

F KE

Dخـط دلـیــل

r

P/e

بؤرة

القطع المخروطي

147

e sinr sin2

2 gRo o

2

2

v 27.6

نحصل على زاوية الطور االبتدائية 27.6و 26.6وبحل المعادلتين

tan

v

v

o2

2

oo2

sin

g Rr

sin

2

2 2

o

o

28.6

أما قيمة االختالف المركزي فتكون

e r sin r 2gR ]g R

1o o2 2

o o2 2

2 4

v v [ 29.6

، التي تحدد موضع نقطة اإلقالع بالنسبة لمحور تماثل المسار، بينما تعطي تعرف الزاوية 28.6المعادلة ، فإن o =90oو ro = Rوإذا ما انطلقت مركبة فضائية من سطح األرض، . ختالف المركزي للمسارقيمة اال 29.6المعادلة

قيمة االختالف المركزي

e sin 2gR]g R

1o2 2

o2

2 2

v v [ 1.29.6

وتبعا لذلك، فإن شكل المسار يكون

.= gR voدائريا عندما تكون -أ .2gR vo gRقطعا ناقصا عندما تكون -ب .= 2gR voقطعا مكافئا عندما تكون -ج

. 2gR vo عندما تكون قطعا زائدا -د

سرعة الالزمة وهي ال. تعبير السرعة الدائرية أو السرعة الفضائية األولى = gRvcويطلق على السرعة وهي أقل سرعة ممكنة لجسم. من سطح األرض للدوران حول األرض بمدار دائري) مركبة فضائية ( النطالق جسيم

، = 2gRvescكما يطلق على السرعة .حتى يتغلب على الجاذبية األرضية ويتحول إلى قمر صناعي يدور حول األرضمركبة (السرعة الالزمة النطالق جسيم ، وهي Escape Speed سرعة اإلفالتتعبير السرعة الفضائية الثانية أو

وبالعادة ، يتحرك الجسم . بمدارات قطع مكافئة) حولها(اذبيتها والدوران من سطح األرض لإلفالت من ج) فضائيةوعندئذ يصبح قمرا . في مدار قطع مكافئ أو قطع زائد، مبتعدا بال حدود عن األرض 2gRvo المنطلق بالسرعة

، R = 6370 [km]ونصف قطر األرض g = 9.8 [m/s]وبالتعويض بدل . صناعيا يتبع جرما سماويا آخر غير األرض تكون

vc = gR = 7.9 [km/s] , vesc = 2gR = 11.2 [km/s] 30.6

أوال : ولهذا فلكي يصبح جسم مقذوف من سطح األرض قمرا تابعا يدور حولها، ال بد من توفر الشرطين التاليين7.9 [km/s] vo 11.2 [km/s] وثانياo =90.

148

في الفضاء يتحدد دون معرفة سرعته أو حتى ) والجرم السماوي (لقد الحظنا فيما سبق كيف أن مسار الجسيم لذلك نحتاج إلى مزيد من المعلومات الضـرورية، نستقيها من قانون تغير طاقة حركة الجسيم لوحدة . تغيرها على المسار

على التوالي Tو Toإلى TBو TA، مع تغيير الرموز 24.5تلة، معادلة الكAm

o1 = 1m

[ T -To ] = v v2

o2

2 2 1.31.6

،كتلة من موضعها االبتدائي النتقالهاويتحدد الشغل المبذول على وحدةPo إلى الموضع النهائيP فس المسار، على ن 16.5، بسالب الفرق بين طاقتي الوضع، معادلة 2.6 كلـش

o - = Am

gR 1r

1r

o1 2

o

2.31.6

وبربط المعادلتين األخيرتين، ينتج عنه بعد ترتيبهما أن v v2

o2

2

ogR 1

r1r2 2

v vo2 2

o

2gRr

gRr2 2

2

بشكل عام أوv 2

2

gRr

const.2

32.6

، ويحدد مستوى الطاقة في Euلكل وحدة كتلة، رمزه Energy Parameterهذا الثابت يعرف ببارامتر الطاقة الموضع المعين، ويحسب من الشروط االبتدائية للحركة

E r 2 gR2 r

12

gRru

o o2 2

oo2

2

o

v v 33.6

]وباستبدال r 2gR ]o o2 2v 2بـ 29.6في المعادلة ro Euعين االعتبار قيمة الثابت ، مع األخذ بh 25.6من المعادلة

نحصل على االختالف المركزي بداللة بارامتر الطاقة

e rg R

Eo o2

o2 4 u 2 1

2 2v sin 34.6

مؤشرا مباشرا على شكل المسار الذي يتبعه الجسيم Euوعلى هذا األساس، يعتبر مستوى الطاقة، ممثال ببارامتره ، يكون o=90oو ro = Rوللمركبة الفضائية المنطلقة من سطح األرض، ). رض، مثالمن حول األ(المقذوف في الفضاء

المسار

1وبارامتر الطاقة كمية سالبة e = 0دائريا عندما يكون -أ2

g R2 2

o2v

Eu = -.

1وبارامتر الطاقة كمية سالبة محددة؛ أي e 1 0قطعا ناقصا عندما يكون -ب2

g R2 2

o2v

0 > Eu > - .

.Eu = 0وبارامتر الطاقة صفرا e = 1قطعا مكافئا عندما يكون -ج .Eu 0وبارامتر الطاقة كمية موجبة e 1قطعا زائدا عندما يكون -د

149

nKepler’s Laws of Planetary Motio 2 قوانين كبلر للحركة الكوكبية 3.6 قانون كبلر األول

ناقص لقد تبين لنا ذلك رياضيا من . مع وجود الشمس في إحدى بؤرتيه، المسار الذي يخطه كل كوكب هو قطعلى إهليلجيا فقط عندما تتبع قوته المركزية قانون التربيع العكسي باإلضافة إفالجسيم يتبع مدارا . 24.6المعادلتين القطبيتين

ابتدائية ها في الحركة شروطفرتتحرك في الفضاء حول الشمس ، وتتأثر . يجب تو سيارة وحيث أننا نتعامل مع كواكب .هليلجية تقع الشمس في إحدى بؤرتيهاإبقوة جاذبية تتبع قانون التربيع العكسي، فإن مسارات هذه الكواكب ستكون

ليثبت ذلك رياضيا مستندا إلى قانونه الثاني وقانون نيوتنوجاء بعده . قانونه األول للكواكب فقط كبلرلقد صاغ القوة المركزية التي تجذب الكوكب إلى الشمس قوة : من قانون كبلر األول قاعدة تقول نيوتنإذ استنتج . الجذب العام

وفي الواقع، فقد . مكافئة لقانون التربيع العكسي، وبصورة مكافئة مسار الكوكب االهليلجي ناتج من قوة التربيع العكسيإذ يستطيع الكوكب أو الكويكب . أن جميع المسارات الممكنة للكواكب واألجرام السماوية هي قطوع مخروطية نيوتنأثبت

Asteroid أو المذنبComet أو الشهابMeteor أو حتى النيزكMeteorite ذو الطاقة الكافية الحركة في مسار .تباع مسار مكافئ أو حتى زائديإفالت من النظام الشمسي، بهليلجي، بل وحتى اإلإدائري أو

يجب االنتباه إلى أن قانون كبلر األول هو قانون هندسي بحت، يختص فقط بالسمة المكانية للمدار الكوكبي، وليس أكثر، من االقتناع البشري ومع ذلك، فكم كان االنجاز عظيما بعد ألفي سنة أو . بالزمان أو السرعة أو حتى أي مفهوم آخر

، ليبسط إلى أبعد الحدود صورة النظام هليلجيةإفي مدارات الكواكب تتحرك: وبعبارة واحدة كبلريأتي ! بالمدار الدائري . الشمسي، وفي نفس الوقت ليحقق توافقا بين المشاهدة والحسابات الهندسية

قانون كبلر الثانيفافترض أن كال من قوة جذب . كمقياس لسرعة الكوكب Oval Orbitضية المدار البيضاوي استخدام فر كبلرلقد حاول

وقد قاده هذا إلى . الكوكب وسرعته تتناسبان عكسيا مع المسافة، ونجح في اثبات التناسب العكسي بين السرعة والمسافة ها أنعن الحركة الكوكبية، مفاد جديدة فكرةستم متساوية مساحاتمتساوية بقانون والذي يعرف اليوم ح في أوقات

مثال ذلك ، في غضون يوم واحد، يمسح خط مدار األرض منطقة ضيقة مثلثة الشكل، . أو قانون كبلر الثاني - المساحاتوهكذا . السنةيقع رأسها عند مركز الشمس وقاعدتها على امتداد المدار، وتكون مساحة هذا المثلث هي نفسها كل يوم في

بل إن سرعتها تزداد . تتحرك أسرع كي تحدد مثلثا بنفس المساحة، فحين تكون األرض أقرب إلى الشمس، فإنها يجب أن قانون المساحات كنتيجة وبالتالي تمكنا من اشتقاق. في الحقيقة إلى درجة كافية بالضبط لإلبقاء على زخمها الزاوي ثابتا

1.6بسيطة لقانون حفظ الزخم الزاوي، معادلة _______________

Astronomica علم الفلك الجديد، إذ نشرهما في كتاب واحد هو 1609وقانونه الثاني عام 1605قانونه األول عام كبلرأعلن 2

Novaأعلن قانونه ا هارمونية العالم ضمن كتاب 1619لثالث عام ، الصادر في براغ عاصمة تشيكيا اليوم، ثمHarmonice

Munde الصادر في النس ،Linzeفي فرنسا اليوم ،.

150

r v = const. 1.35.6 بأكثر من قرن من الزمن، ولم يبد كبلروالواقع أن مفهوم الزخم الزاوي لم يعرف في الميكانيكا إال بعد اكتشافات

ويعتبر قانون . مع استهالل الصياغات الرياضية في القرن التاسع عشر كواحد من صفوة مفاهيم الميكانيكا األساسية إالنفسه أخفق في كبلرواحدا من قوانين الحفظ الفذة في الميكانيكا، مع أن 35.6الزخم الزاوي للحركة الكوكبية، معادلة

ي، ينطبق على كل مدار بمفرده، وشأن القانون األول، فإن قانون كبلر الثاني قانون هندس. دراك ذلك على هذا المستوىإ . وال يشكل أي صلة مع المدارات األخرى

، فإن تطبيق قانون المساحات يكون بصورة خاصة عند نقطتي أكبر وأصغر بعد للكوكب 1.6وكما أشرنا في بند ة الشعاعية ثابتا فعند هاتين النقطتين يكون حاصل ضرب السرعة والمساف. عن الشمس، أو عن أي مركز آخر للقوة

vA rA = vP rP 35.6 وإذا كانت . للمدار على التوالي Perigeeونقطة الحضيض Apogeeإلى نقطة األوج Pو Aإذ يشير الرمزان السفليان

rA = 1.52 ، بيما البعد األوجي rP = 1.47 1011 [m]األرض هي الكوكب قيد الدراسة، فإن البعد الحضيضي لمدارها

1011 [m] . هي ) عند األوج(وأصغر سرعة ) عند الحضيض(وعلى هذا األساس، فإن النسبة بين أكبر سرعة لألرض vv

P

A

A

P

11

11

rr

1.52 10 [m]1.47 10 [m]

1.034

ولذلك، ال يمكن تحديد السرعة عند أي . وكما هو مالحظ، يعالج قانون كبلر الثاني النسب بين السرعات فحسب هذا وتتراوح سرعة األرض المقيسة . ة أخرى قد أضحت معروفةنقطة على المدار، ما لم تكن السرعة عند نقط

rP × ES < vE < rA × ES

1.471011 1.99 10-7 < vE < 1.52 1011 1.99 10-7

2.93104 [m/s] < vE < 3.02 104 [m/s]

قانون كبلر الثالث كوبرنيكسفمنذ عهد . يربط مدارا كوكبيا بآخر قانونيه األول والثاني بثالث الستكماللسنوات عديدة كبلرسعى Copernicusأول من أوجد العالقة المقدارية كبلروكان . ، كان معروفا أن دورات الكواكب األبعد عن الشمس تكون أكبر

ث الذي يجاد أبعاد الكواكب ومدى دقتها اكتشف بمحض الصدفة قانونه الثالإإذ بينما كان يحاول . بين األزمنة والمسافاتونستطيع اآلن االستعانة . دورة الكوكب تتناسب طرديا مع الجذر التربيعي لمكعب المحور النصف الرئيسي لمداره: ينص

. الشتقاق هذه العالقة بسهولة ويسر 2.24.6بالمعادلة كل القيم التي تكون أن مسار الجسيم المتحرك تحت تأثير قوة الجاذبية سيكون منحنى مغلقا ل 2.6لقد أثبتنا في البند

e > 1هليلجيا عند إ، وe = 0فمدار الكوكب يكون دائريا عند . e 0 < 1أقل من واحد موجبة وفيها قيمة االختالف المركزي

. | < 90 |، قيمتها المطلقة أقل من قائمة إلى الصفر ألية زاوية 2.24.6، وبالتالي لن يؤول المقام في المعادلة 0 >ولنحدد . Fحيث تقع الشمس في البؤرة ، 4.6كل ـشأن مدار كوكب معين حول الشمس محدد بالمسار االهليلجي، لنفترض

عن ، والمحددة بالزاوية Poفي الموضع االبتدائي to = 0يكون الكوكب في اللحظة االبتدائية : الشروط الكينماتيكية التالية .Mله إلى الموضع الموسوم بالنقطة عند وصو كما يصنع الزاوية . محور التماثل

151

تمثل أقرب نقطة على المدار Pالنقطة حول الشمس يصلها الكوكب أثناء حركته، ولذلك

وبعدها عن مركز . تسمى بنقطة الحضيض يمثل البعد الحضيضي) البؤرة(الشمس

Perihelion Distance ورمزهrP . أما النقطةA ،على المدار نفسه يصلها فتمثل أبعد نقطة

الكوكب أثناء حركته حول الشمس وتسمى بنقطة ويسمى البعد من نقطة األوج إلى مركز . األوج

، Aphelion Distanceالشمس بالبعد األوجي يجاد قيمتي البعدين الحضيضي وإل. rAرمزه

، نحسب 4.6 ، شكلواألوجي للقطع الناقص وللزاويتين 2.24.6من المعادلة rقيمتي

=0 و = o180 .البعد الحضيضي

FN

M

P

B

A

D

O

aa

b

E

M’

rArB

Po

a(1-e)

F’

a

ea

4.6كل ـش

r r PeP

0 1 rP = a (1 - e ) 1.36.6

البعد األوجي . Semi minor Axisالمحور نصف الثانوي bو Semi major Axisالمحور نصف الرئيسي aحيث أن r r P

eA 180 1

rA = a (1 + e ) 2.36.6

عد البؤري ومنهما يتحدد البP = a (1 - e2 ) 37.6

Tوبعد تكامله دورة الكوكب 4.6من جهة أخرى ، يعطي معدل تغير المساحة ، معادلة

Ae = h T T = Ae / h 38.6

ومنها h2 = g R2 P/4نصف وحدة الزخم الزاويh ،، بينما Ae = a bمساحة القطع الناقص، Aeحيث h2 = g R2 a (1-e2)/4 . لذلك نكتب دورة الكوكب

T = 2 a b

g R a (1- e2 2

) T a

gR 2

3

2 39.6

bنأحيث a e ( )1 الجرم السماوي أو (ولمعرفة العالقة بين الزمن المستنفد والموقع الذي وصله الكوكب . 2نا نقيس الزمن من نقطة الحضيض كنقطة بداية لألرض، ننطلق من الحقيقة أن/للشمس بالنسبة) حتى القمر الصناعي

ولهذا؛ فالخط الشعاعي . وكما هو معروف من قانون كبلر الثاني يمسح الخط الشعاعي للكوكب الفراغ بمعدل ثابت. الحركةFM’ ،متساوية4.6 كلـش الرسم الهندسي للقطع ئوانطالقا من مباد. ، يمسح مسـاحات متسـاوية من الدائرة في أوقات

ونصف Oفي الدائرة التي مركزها ’FMمسـقطا للخط ABPDفي القطع الناقص FMالناقص والدائرة يعتبر الخط ورياضيا فإن. على مسـتوى المدار OAقطرها

152

MNb

M Na

'

تج مساحات تنكمش لتن) Pبدء من ( على المسار الدائري ’FMوبالتالي فالمساحات الناتجة من مسح الخط الشعاعيومعامل االنكماش هو النسبة بين المحورين نصف . هليلجيعلى المسار اإل FMأخرى ناتجة من مسح الخط الشعاعي

bالثانوي ونصف الرئيسي، أي a

، فإن المساحة tهو ’Mإذا افترضنا أن الزمن الذي يستغرقه الكوكب حتى الوصول إلى .

tخالل تلك الفترة الزمنية هي ’FMالممسوحة من الخط الشعاعي T

الممسوحة خالل دورة (من المساحة اإلجمالية للدائرة

مطروحا منه مساحة E 3وزاوية رأسه Oوهذه مساوية بالتمام لمساحة قطاع الدائرة الذي رأسه ). Tالجرم السماوي ولهذا نكتب . OM’Fالمثلث

aT

t a E a e E2

2 212

12

sin 40.6

وحل الناتج بداللة الزمن المستنفد نجد أن 39.6بقيمتها من المعادلة 40.6في المعادلة Tأخيرا، باستبدال

t agR

E e E 3

2( sin ) 41.6

Orbits Elliptical and Satellitesوالمسارات اإلهليلجية األقمار الصناعية 4.6هذه القوة تكون مساوية لوزن الجسم في الموضع . تتحرك األقمار الصناعية حول األرض طبقا لتأثير قوة الجاذبية

يجاد إب ، وذلك11.6ويتم تعريف حركة القمر الصناعي عن طريق حل المعادلة التفاضلية . االبتدائي على سطح األرضوتعتبر معرفة أقل سرعةr = r (,vo,o,,) . و ، ،voوالشروط االبتدائية معادلة مساره بداللة الزاوية القطبية إن . للحصول على مسار معين من المسائل المهمة في الميكانيكا الفضائية اليوم oو ابتدائية ممكنة ، وأفضل قيم للزوايا

. S، والمدى الذي يقطعه الصاروخ Tfومعرفة زمن الطيران الالزم Hيجاد أقصى ارتفاع ممكن إتحديد المسار يتطلب

لقد أثبتنا أن مسار الجسم يكون إهليلجيا إذا قذف بسرعة ابتدائية تتراوح قيمتها بين السرعة الفضائية األولى gRوالثانية vo 2gR، وبالزواياo = / 2 و = ،استنتاجه من العالقتين هذا اإل .4.6 كلـش 26.6ثبات تم ،

من سطح األرض بسرجهة -قمر صناعي -هذه الحالة الخاصة جدا ، تجعل من المستحيل عمليا اطالق جسم . 27.6ى ارتفاع معين، ثم يطلق من هناك بالسرجهة ه بواسطة صاروخ موجه أرضيا يرفعه إلقطالإبل تتم العملية ب. أفقية

. والزاوية المحددتين

و الزاوية التي تحدد موقع جرم سماوي نسبة أ Eccentric Anomalyفي الميكانيكا الفضائية بالبعد الزاويE تعرف الزاوية 3 وتحدد قيمتها بإحدى العالقتين . للشمس على دائرة الشكل االهليلجي

sinsin

cosE

ee

11

2

& tan tanE e

e211 2

لمزيد من المعلومات انظر Greenwood,T.,D.:Principles of Dynamics. pp 208 - 209.

153

بناء على ما تقدم، يكون مسار الجسم المقذوف مغلقا حول أما إذا ارتطم . األرض دون االرتطام بها، ليدعى قمرا صناعيا

الجسم المقذوف باألرض، عندئذ ينتقل الجسم من موقع ما إلى هليلجيا ليسمى لحظتئذ بالصاروخ العابر إا آخر، مكونا مسار

ويتحدد . 5.6 كلـش، Po AP1للقارات أو البعيد المدى، القوس ، إلى الموضع Poمدى الصاروخ المقذوف من الموضع االبتدائي

P1 بالقوسPoBP1 .أو رياضيا S = 2 R 42.6

H

S

األرض

القمر الصناعي

Oمركزاألرض

R

R

P

B

oPo

vo

P1

A

r

H

S

األرض

القمر الصناعي

Oمركزاألرضمركزاألرض

R

R

P

B

oPo

vo

P1

A

r

5.6كل ـش

ويتحدد أقصى ارتفاع يصله . المتوسط الحسابي لنصف قطر األرض R، و 28.6محددة حسب المعادلة حيث الزاوية ، 36.6فطبقا للمعادلة . Rو rAمتسـاويتين، وذلك كالفرق بين و الصاروخ في اللحظة التي تكون فيها الزاويتان

ع أقصى ارتفاع للمعادلة التاليةضيخ

H = rA - R = Pe1

- R

، نحصل على االرتفاع ro = Rللحالة 25.6من المعادلة Pدال بارامتر البعد البؤري وباستب

He g

Ro o

v 2 2

1sin

( ) 43.6

، voورد أعاله، يمكن بمعرفة السرعة االبتدائية بناء على ما. 1.29.6من المعادلة eختالف المركزي حيث تتحدد قيمة اال، Hوارتفاعه األقصى 42.6، معادلة S، أن نعين مدى الصاروخ oط العمودي وزاوية انحراف سرجهة اإلقالع عن الخ

. 43.6معادلة

، vo minومن األهمية بمكان من وجهة النظر العملية والعلمية تعيين أقل سرعة ممكنة لالنطالق من سطح األرض ب قيمة السرعة االبتدائية من المعادلة لهذا الغرض نحس. وأنسب زاوية قذف يصل الصاروخ بمقتضاهما إلى مداه المطلوب

ro = R، عندما تكون 28.6

v oo o

Rg

22 2 2

tansin sin tan

44.6

وتحسب أقل سرعة ممكنة . المعبر عنها في المقام oهذه المعادلة تبين أن السرعة االبتدائية تعتمد على الزاوية ي ذلك ورياضيا يعن. للصاروخ عندما يصل المقام إلى نهايته العظمى

dd o

o o sin sin tan2 2 02

2 2 2 2 0cos sin tan o o tan cot 2 o

154

يكون oحل هذه المعادلة بداللة

o

4 2

45.6

نجد أن أقل قيمة للسرعة تتحدد رياضيا 45.6بقيمتها من المعادلة 44.6في المعادلة oوباستبدال

v ominRg

21

sinsin

46.6

حـل المسائليقوم حل مسائل الحركة تحت تأثير القوة المركزية على اختيار المعادلة أو القانون المعين من مجموعة معادالت أو قوانين

وتتحدد مميزاتها بما يلي . تبعا للمعطيات المرفقة بالمسألة قيد البحث، وتبعا لذلك تكون سرعة الجسم 35.6ألن زخمه الزاوي ثابت، معادلة ، الجسم يتحرك في مستوى واحد - 1

.4.6القطاعية ثابتة، معادلة . 24.6، المعادالت مسار الجسم المتحرك قطع مخروطي -2

أو 29.6بأي من المعادالت eولذلك، فلمعرفة مسار الجسم المتحرك تأثير القوة المركزية، نحدد قيمة االختالف المركزي وفي جميع الحاالت تتحدد الخصائص الهندسية للمسار كالسرجهة . ، أو حتى هندسيا من معادالت القطع المخروطي34.6

كما تتحدد دورة المدار والزمن المستنفد من المعادلتين . 35.6أو حتى المعادلة 37.6 - 35.6والتموضع من المعادالت .41.6و 39.6

155

156

أسـئلة محـلـولة .61ؤال م ـس

، كما أن سرعته عند طرفي vPو vAيتحرك قمر صناعي حول األرض في مدار اهليلجي، سرعته عند األوج وعند الحضيض أثبت رياضيا العالقات التالية . vBالمحور الثانوي للمدار

1 - vv

P

A

ee

11

, 2 - vv

B

A

ee

11

3 - vB g Ra

22

حــلـلاللبعدين األوجي والحضيضي، فنكتب 36.6نستخدم المعادالت

النسبة بينهما

rr

ee

A

P

11

1

نكتب 35.6ومن المعادلة

1.6 م كلـش

vv

P

A

A

P

rr

2

بعضهما مع بعض ينتج أن 2و 1وبربط العالقتينvv

P

A

ee

11

3

أنظر المعادلة (لحل المطلب الثاني نستخدم الشكل المرافق فنكتب من قانون حفظ الزخم الزاوي لوحدة الكتلة . ولوهذا حل المطلب األ ) في هذا السؤال 2

rA vA = a vB sin

a ( 1 + e ) vA = a vB a e

a1 2 v

vB

A

ee

11

4

فنكتب بارامتر الطاقة 33.6و 32.6جزء الثالث نستخدم العالقتين ولحل ال. وهذا حل المطلب الثاني

E gRru

v 2 2

2 5

يكون rB = aو B ،rA = (1+ e ) aو Aوللموضعين v vB

2A2

2 2 1

2 2

gR

agR

a e( ) 6

يكون 4بقيمتها من المعادلة vAوباستبدال v vB

2B2 1- e

1+ e2 2 1

2 2

gR

agR

a e( )

ومنها نجد العالقة

vB g Ra

22

. التي تعتبر حال للمطلب الثالث

157

2.6ؤال م ـستشاندرا سوبرا همانيانالهندي ألصل -نسبة إلى الفلكي األمريكي(انطلق المكوك الفضائي كولومبيا للسماء حامال معه مرصد تشاندرا

وقد استقر المرصد بعيد انهائه المدار االنتقالي . لكشف األشعة السينية الكونية الصادرة من الثقوب السوداء والنجوم المستعرة )زيخاراحسب قيمتي السرعتين عند الحضيض . كيلومترا 9936كيلومترا وارتفاع حضيضه 139104في مدار اهليلجي ارتفاع ذروته وعند األوج ، وما النسبة بينهما ؟

حــلـال نكتب البعدين الحضيضي واألوجي 36.6والمعادالت 4.6 الشكلمن

rA = hA + R = 139104 + 6370 = 145474 [;m] 1

rP = hP + R = 9936 + 6370 = 16306 [;m] 2

ختالف المركزي اال

er rr rA B

A B

145474 16306145474 16306

0 7984. 3

وبعد تربيع الطرفين o =90oو ro = rP ،vo = vPوللبعد الحضيضي ، 29.6من معادلة

e r r 2gR ]g R

12 P P2

P P2 2

2 4

v v[ 4

0 16306 2 ] 12 P

2P2

2. [ .

.7924 16306 3 98 10

3 98 10

5

5

v v 5

أو

vP4 - 48.816 vP

2 + 216 = 0 6

vP1 = 6.625 [km/s] & vP2 = 2.218 [km/s] 7

النسبة بين السرعتين عند الحضيض وعند األوج vv

P

A

A

P

rr

= 14547416306

= 8.9215 8

ألوجية السرعة اvA1 = 0.7426 [km/s] & vA2 = 0.2486 [km/s] 9

3.6م ؤالـسوبزاوية انحراف عن v = 5.2 [km/s]من سطح األرض وأطلق من هناك بسرعة H = 280 [km]وضع صاروخ على ارتفاع

. أوجد معادلة مسار الصاروخ واحسب البعدين الحضيضي واألوجي. o=30الرأسي

الـحــل

، وذلك بعد معرفة قيم الثوابت في المعادلة المذكورة، r = r()كدالة زاوية قطبية 24.6تحدد حركة الصاروخ بإحدى المعادلتين ت 29.6يتحدد االختالف المركزي من المعادلة . ، وزاوية الطور االبتدائية P، البعد البؤري eوهي االختالف المركزي

158

e r r 2gR ]g R

o o2

o o o2 2

2 4

v vsin [2

1

6650 5 2 30 6650 5 2 2 9 8 10 6370

9 8 10 63701

2 2 2 3 2

3 2 2. sin [ .. . ]

[ . ]

e=0.9083079 1

. يأخذ مسار الصاروخ شكل القطع الناقص 1وإلن االختالف المركزي أقل من 25.6فيتحدد من المعادلة Pأما البعد البؤري

5

2

2

2ooo

2

2

103.98sin305.26650

gRsinφvr

gR4hP

P = 751 [km] 2 مجتمعتين 20.6و 19.6من المعادلتين وأخيرا؛ تتحدد الزاوية

3.6 م كلـش

]km[102.6045830tan6650

1φtanr

1sinαA 14o

oo

3

Ar P

kmo

cos . [ ] 1 1 16650

1751

11811 10 3 1 4

Aيتحدد مقدار االتساع A =1.209 10-3 [km-1 ]

سالبان بينما نجد أن كال من جيب وجيب تمام الزاوية sin = - 0.215 , cos = - 0.977 = - 167.6 [ ]

نجد أن معادلة حركة الصاروخ في الفضاء 2.24.6في المعادلة و e ،Pوباستبدال الثوابت

r o

7511 0 9083 167 58. cos ( . )

[ km ]

البعد الحضيضي. على التوالي 2.36.6و 1.36.6وإليجاد البعدين الحضيضي واألوجي نستخدم العالقتين

r P1 eP

7511 0 9083.

rP = 394 [km]

األوجيوالبعد

r P1 eA

7511 0 9083.

rA = 8190 [km]

طريقة ثانية 33.6و المعادلة Euويمكن ايجاد البعدين الحضيضي واألوجي بطريقة بارامتر الطاقة

159

E r 2 gR2 r

6650u

o o2 2

o

v 5 2 2 9 8 10 63702 6650

2 3 2. .

Eu = - 46.277537 [km2/s2] 6 أكبر من ) السالبة(وهذه القيمة

g Rr

2 4

o2

o2

o2 2v sin 34.6نظر المعادلة أ،

265

30sin5.2665026370109.8

φsinvr2Rg

222

423

o22

o2o

42

وإذا ما أخذنا بالحسبان أحد الوضعين الحضيضي أو األوجي لمسار . فالمسار اهليلجي، بؤرته منطبقة على مركز األرض ،لذلكلة الزخم الزاوي لوحدة السرعة المستعرضة بدال. v vrالصاروخ، حيث تكون السرعة المستعرضة عمودية على السرعة القطبية

rالكتلة والبعد

rrhr 172902 v

تكون 4.6 كلـشعلى مسار القطع الناقص، Pو Aوعلى هذا األساس ففي النقطتين . vr = 0بينما تساوي السرعة القطبية الصفر السرعة مساوية للسرعة المستعرضة

v = rr

hr 172902 v 7

نحصل على المعادلة 32.6في معادلة بارامتر الطاقة 7من المعادلة v، 6من العالقة Euال قيم وباستبد

46 277537. 1

217290

r3.98 10

r

2

2

5

والتي يمكن كتابتها كالمعادلة التربيعية r2 - 8592.8 r + 3229905 = 0 8

.rP = rmin = 394 [km] ،rA = rmax = 8199 [km]يعطي 8وحل هذه المعادلة

4.6ؤال م ـسأوجد الزمن الالزم لدوران . كيلومتر 19600و 7600إذا علمنا أن البعدين الحضيضي واألوجي لمسار صاروخ فضائي هما

.Pمرورا بنقطة الحضيض Dحتى Bالصاروخ من

ـلـالـحلصاروخ مساحات متساوية في الفترات حيث سيمسح متجه موضع ا. 4.6يتم حل هذا السؤال اعتمادا على قانون المساحات، معادلة

bوالمحور نصف الثانوي aلذلك نحسب قيمة االختالف المركزي بعد تحديد قيم المحور نصف الرئيسي . الواحدة الزمنيةa

r rA P

219600 7600

2 a =13600 [km]

b r rA P 19600 7600 b =12200[km]

يتحدد من رسم القطع الناقص ولهذا فاالختالف المركزي

er rr rA P

A P

19600 760019600 7600

e = 0.441

160

Aحيث تمثل A = h t بعد تكاملها، 4.6نعتمد المعادلة Pمرورا بالنقطة Dحتى Bوإليجاد الزمن الالزم لدوران الصاروخ من و حسابياأ. FBDالمساحة المظللة، وهي تساوي الفرق بين نصف مساحة القطع الناقص والمثلث

eabbaA 221

21

A 12

13600 12200 12

2 12200 13600 0 441 . =1.87108[km2] من المعادلة hمن جهة أخرى، نحسب قيمة بارامتر الزخم الزاوي

h gR a e 12

12 2( )

12

3 98 10 13600 1 0 4415 2. ( . )

h = 3.3 104[km2/s] Pمرورا بالنقطة Dحتى Bوبالتالي فزمن الدوران من

t Ah

187 103 3 10

8

4..

= 5680 [s]

t = 1.578 [ hr ]

من جهة أخرى؛ زمن دورة الصاروخ حول األرض حيث مساحة Aeالقطع الناقص

4.6 م كلـش

T Ah

e

13600 12200

3 3 104. = 15796 [s] T = 4.39 [hr]

39.6مباشرة من المعادلة ) T(ويمكن الحصول على هذه النتيجة

مرورا بنقطة الحضيض أقل بالضرورة من الزمن الالزم Dإلى Bالزمن الالزم لدوران الصاروخ من -أوال : جـةـيـتـن .Tأقل من نصف tعبر نقطة األوج؛ أي أنB إلى Dلدوران الصاروخ من

.يوما A =184.76مرورا باألوج Dوحتى Bأثبت أن زمن دوران األرض حول الشمس من - ثانيا 5.6ســؤال م

، تحت تأثير قوة الجذب المركزيةm = 1[kg]يتحرك جسيم كتلته الوحدة

Fr = 12 3r

1

:اكتب معادالت الحركة ومعادلة المسار للجسيم للشروط االبتدائية للحركةt0 = 0, ro = 2 [ m ] , vo = 0.5 [ m/s ] , o = 30o

& o = 0 2 ـلـالـح

2.7.6الزخم الزاوي لوحدة الكتلة، معادلة

21

212

21

21

21 2 ooo sinrrh v h 1

4 3

2r21

4

161

، نجد أن 2.5.6في المعادلة الرئيسية 4و 2، 1نعوض المعادالت

3

2

2 21

21

rrrr

341r

r 5

يكون ) البعد( المعادلة كسرعة بداللة المسافة حل هذه

34rdrrdr 12

2

81

2C

rr

C1، نجد الثابت 2وللشروط االبتدائية للحركة

12

2

281

2C

sin oo

v

C1 = 0 6

بأي من الشكلين التاليين 5ولذلك نكتب حل المعادلة التفاضلية

2

2

81

2 rr

rr

21

7

، فنكتب 7حل معادلة السرعة كمسافة بداللة الزمن يتطلب إجراء التكامل على المعادلة الثانية من معادالت 2 r dr = dt r2 = t + C2

C2، نجد الثابت 2وللشروط االبتدائية للحركة ro

2 = to + C2 C2 = 4 8 ولذلك نكتب المسافة كدالة زمنية

r2 = t + 4 9 كدالة زمنية 4نكتب معادلة 9بقيمتها من المعادلة r2وباستبدال . التي تمثل معادلة الحركة األولى

421

t

10

والتي يعطي حلها التكاملي الزاوية كدالة زمنية

d dtt

12 4

12

4 3ln( ) lnt C

C3، نجد الثابت 2وللشروط االبتدائية للحركة

o ot C 12

4 03ln( ) ln C3 = 4 11

لنجد معادلة الزاوية بداللة الزمن التي تمثل معادلة الحركة الثانية

1

24

4ln t 12

مع بعض يكون 13و 10وبربط المعادلتين

12 4

2ln r ln r

2

r = 2 e 13 . التي تمثل معادلة مسار الجسيم

162

6.6ؤال م ـساحسب البعدين الحضيضي . vo = vP = 9 [km/s]وبسرعة أفقية، مقدارها H = 1000 [km]أطلق قمر صناعي من االرتفاع

.واألوجي الـحــل

ي ي ثابتا في نقطت hن بارامتر الزخم الزاوي يكو 2.7.6من المعادلة وعلى هذا األساس فإن . الحضيض واألوج

2 h = m vA rA = m vP rP

= 197370 =66330 [kgkm2/s]

vA = vP rrP

A 1

6.6 م كلـش يكون m = 1 [kg]وحدة الكتلة ول Pو Aوللوضعين 24.5من جهة أخرى؛ تطبيق معادلة الشغل والطاقة

12

12

22 2

2v vPP A

AgRr

gRr

2

نحصل على المعادلة التربيعية بداللة البعد األوجي 2وتعويضها في المعادلة 1من المعادلة vAوباستبدال rA

2 - 2.95 104 rA +1.63 108 = 0 3

ومنها يكون rA1,2 = 7363 [km] , 22137[km] 4

بينما يمثل أكبرهما البعد األوجي . rP =rA1 = 7363 [km]وليمثل أصغرهما البعد الحضيضي rA = rA2 = 22137 [km] 5

7.6ؤال م ـسvبعد انطالقه من أعماق الكون بالسرعة االبتدائية vo c لك النجذابه نحوها ، وذP، يصل نيزك لألرض ويرتطم بها في الموقع 2

التي تجعل مسار النيزك يتالمس مع سطح األرض Dإحسب قيمة . Dبعد أن كان يتحرك في مسار مستقيم يبعد عن مركزها المسافة . ؟ اعتبر األرض ثابتةeوما االختالف المركزي . Pفي النقطة

لـالـحـ

وحتى تلك اللحظة، كان النيزك يتحرك بخط مستقيم لعدم وجود أيvo . نقطة بداية حركة النيزك بالسرعة االبتدائية Poنعتبر الموقع النيزك انحرافا عن ) مسار(يبدأ تأثير قوة جذب األرض للنيزك، وتبعا لذلك يعاني Poفي النقطة . مركز جذب للقوة مؤثر على حركته

. Poللموقع 33.6نحسب قيمة بارامتر الطاقة وفقا للمعادلة . لليمين Potالخط المستقيم

EgR

ru o 12

22

v 1

، بالشكل التالي 1، فإننا نستطيع كتابة بارامتر الطاقة، المعادلة Poفي الموقع r والن قيمة

E 12

0 22

Eu o2

c2

u c2 v v v > 0 2

163

، بداللة P ،r = Rللموقع نحسب قيمة بارامتر الطاقة . الطاقة موجب، يرسم مسار النيزك قطعا زائدا) مستوى(وحيث أن بارامتر 33.6، طبقا للمعادلة vPالسرعة القصوى

EgR

ru P 12

22

v E gRu p 12

2v 3

حفظ الزخم الزاوي (، 35.6وباستخدام قانون كبلر الثاني، معادلة

، حول مركز األرض، نجد أن )لوحدة الكتلة

2 h = D vo = R vP

D R DRc P P c2 2v v v v 4

، ومن ثم 4بقيمتها من المعادلة 3في المعادلة vPوباستبدال ينتج أن 2مساواة بارامتر الطاقة الناتج مع المعادلة

v vc2

c2

DR

gR2

5

يعطي Dحيث حلها بداللة

D R gR 1

v c2

6 7.6 م كلـش

Rgcولقيمة السرعة الدائرية v فإن ، D R 2 7

وأخيرا، إليجاد قيمة االختالف المركزي نحسب قيمة الزخم الزاوي لوحدة الكتلة

2h D R gRo v 2 2

2 h gR 2 3 8 ختالف المركزي نحسب اال 34.6في المعادلة 2من المعادلة Euو 8من المعادلة 2hوباستبدال

e hg R

E gRg R

gRu

2 2 1 4 2 12

2 3

2 4

e = 3 9

8.6ؤال م ـس، rPاحسب البعدين الحضيضي . vA ،vP = 4 vA، بينما سرعته األوجية vPالسرعة الحضيضية لقمر صناعي يدور حول األرض

. aوالمحور نصف الرئيسي e، االختالف المركزي rAواألوجي ـلـالـح

لنقطتي الحضيض واألوج 35.6لة باستخدام المعادrP vP = rA vA 1

أو

164

4rr

P

A

A

P vv

ومنها نحصل على rA = 4 rP 2 vP = 4 vA 3

2من المعادلة rAختالف المركزي من رسم القطع الناقص وذلك بعد استبدال نحسب اال

e

r rr r

4 r r4r r

A P

A P

P P

P P0 6. 4

، نجد أن Aو Pوللموضعين 33.6ارامتر الطاقة وفقا للمعادلة وبحساب ب

EgR

rgRru P

PA

A

12

12

22

22

v v 5

نجد أن البعدين الحضيضي واألوجي بداللة السرعتين الحضيضية 3و 2من المعادلتين vA = vP / 4و rA = 4 rPوباستبدال يكونان على التوالي vcوالدائرية

r RPc

P

162

.vv

, r RAc

P

6 42

.vv

6

36.6أما المحور نصف الرئيسي فيحسب وفقا الحدى المعادلتين

a R c

P

42

vv

7

9.6ؤال م ـس سجل صاروخ يصعد لألعالي المعطيات التالية لموقعه

r = 7000 [ km] er , vo = 3.2 er + 8.792 e [ km/s ]

Po، والزمن الالزم استنفاده من rAإحسب بعد الصاروخ األوجي . لذي يتطابق مركزه على مركز األرضوذلك لإلطار القصوري ا . حتى يرتطم باألرض حال عودته لها

ـلـالـح عن الرأسي من المعادلة voتتحدد قيمة زاوية انحراف السرجهة االبتدائية . نحدد بعض الخصائص الكينماتيكية لمسار الصاروخ

7475223

7928 ..

.r

rtan o

o = 70 o 1

22.2وفقا للمعادلة Poسرعة إقالع الصاروخ من الموقع

]s/km[36.9rr 22o v 2

33.6ولحساب االختالف المركزي لمسار الصاروخ، نحسب بارامتر الطاقة من المعادلة

EgR

ru 1

212

363 98 10

7000

2 5v 92 2.

.

Eu = - 13.052 [km2/s2 ] 3

165

8.6شـكل م

34.6، ذا اختالف مركزي نحسبه من المعادلة )أثبت ذلك(وتبعا لذلك، يكون مسار الصاروخ قطعا ناقصا

e hg R

Eu

2 2 1 61570

3 98 102 13 052 12

2

5

2

..

e = 0.61261 4

وذلك للقيم التالية 2 h = ro vo sin o =70009.36sin70 [o] = 61570 [km2/s] 5

gR2 = GM = 3.98 105 [km2/s] 6

P hgR

km

4 61570

3 98 109525

2

2

2

5.[ ] 7

المحوران، نصف الرئيسي ونصف الثانوي

a Pe

19525

1 0 6132 2. a = 15248 [ km ] 8

b P

e

1

9525

1 0 6132 2. b = 12051 [km] 9

البعدان األوجي والحضيضي

r PeA

19525

1 0 613. rA = 24588 [ km ] 10

166

r PeP

19525

1 0 613. rP = 5907 [ km ] 11

اوييتحدد البعد الزeccentric anomaly لنقطة االنطالقPo من الزاوية Eiجيبها نحسب ، ف

sinsin

cos. sin .. cos .

.E1 e

ei

2i

i

1

1 0 613 53 941 0 613 53 94

0 4692

Ei = 28o Ei = 0.489 [rad] 12

2.24.6من المعادلة iحيث تحسب

io

o

P rr e

arccos.

9525 70007000 0 613

= 0.5884 i = 53.95 o 13

P1التي تعرف تموضع ارتطام الصاروخ باألرض في النقطة fونحدد الزاوية

fP RR e

arccos.

.9525 63706370 0 613

0 808 f = 323.9o 14

Efالبعد الزاوي لنقطة االرتطام

sinsin

cos. sin .. cos .

.Eeef

f

f

1

11 0 613 323 9

1 0 613 323 90 3113185

2 2

Ef = 341.86o , Ef = 5.97 [rad] 15

كالفرق 44.6وفقا للمعادلة Pfوحتى ارتطامه باألرض Poوأخيرا، نحسب الزمن المستنفذ للصاروخ منذ لحظة انطالقه من الموضع t2و t1بين الزمنين

t = t2 - t1 t agR

E e E E e Ef f 3

2[ ( sin ) ( sin ) ]i i

t e e

15260

3 98 105 97 5 97 0 489 0 489

3

5.[ ( . sin . ) ( . sin . ) ]

t = 17798 [s] t = 4.944 [hr] 16

Tمن زمن دورة الصاروخ ةهو أقل بالضرور 16من المعادلة tالزمن :هـيـبـنـت

T s

2 152603 98 10

187753

5

.[ ] , T = 5.2152 [ hr ]

10.6ؤال م ـسإذا كانت ، فأثبت أن مداره سيكون دائريا vo، فوق سطح األرض بالسرجهة األفقية H ،HRاذا انطلق صاروخ من االرتفاع

vo gR1 وقطعا مكافئا إذا كات ،vo gR2 2 .

حــلـال ro=R+H، بينما sino =sin90o =1 و e = 0يكون 29.6فمن المعادلة . المدار دائري -نأخذ الحالة األولى

167

0 2gR ]g R

12 o2

o2 2

2 4

( ) [ ( )R H R Hv v 1

voة بداللة والتي يمكن اختصارها بالمعادلة التربيعي2

v vo4

2

o2

2 42gR g R

( ) ( )R H R H 20 2

voحل هذه المعادلة التربيعية بداللة يعطي حال وحيدا2

vo2

2gR

R H vo

2gR1 R H

3

فإن H Rوعندما تكون

vogR

11

H

R

vo gR1 = vc 4

من جهة . 4، سيكون دائريا إذا ما انطلق بالسرعة األفقية وفقا للمعادلة H ،H Rأي أن مسار لصاروخ المنطلق من االرتفاع نجد حال آخر وحيدا هو 29.6في المعادلة e = 1أخرى، إذا استبدلنا

vo2

22gR

R H vo

22 gR2 R H

5

فإن H Rوعندما تكون

vo2gR

21

H

R vo gR2 2 = vesc 6

.6، سيكون قطعا مكافئا إذا ما انطلق بالسرعة األفقية وفقا للمعادلة H Rأي أن مسار لصاروخ المنطلق من االرتفاع،

11.6ؤال م ـس

o =60 oثانية وبزاوية ميل عن الرأسي /كيلومتر vo =0.45أطلقت قذيفة مدفع بالسرعة ما أقصى مدى على سطح األرض تصله .

القذيفة وألي ارتفاع؟

ـلـحـال ro =Rللقيم 28.6، معادلة نحسب أقصى مدى على سطح األرض تصله القذيفة وذلك بعد حساب الزاوية 42.6من المعادلة

tan

.

v

vo2

o2

2

2

sin

gR sin

0.45 sin

6370 0.45 sin

2

2

2 60

2 9 8 10 602 3 2o

o

o

o

= 1.4080410-3 [rad] 1 أقصى مدى

S = 2 R = 2 63701.4080410-3 S = 17.94 [km] 2

1.29.6وذلك بعد حساب االختالف المركزي، معادلة 43.6يحسب االرتفاع األقصى من المعادلة

168

e sin 2 9.8 10 6370]

9.8 10 63701

2 -3

-3

0 45 60 0 452 2

2. [ .o

e = 0.99757 3 ي فأقصى ارتفاع يكون وبالتال

H

0 45 601 0 99757 9 8 10

63702 2 2

3.

( . ) .sin

H = 7.55 [km] 4 .9.3ؤال م ـس حلالواردتين ضمن 14و 13من تطبيق المعادلتين ناتجة مع تلك ال ئجهذه النتاقارن :هـيـبـنـت

.Hفسر بكلمات قليلة تأثير الدقة في حساب االختالف المركزي على حساب االرتفاع األقصى