I l linguaggio della logica

Proposizioni semplici e composte

Le frasi che formano i discorsi del nostro linguaggio naturale possono

essere dichiarative, descrittive, esclamative, interrogative, possono esprimere

sollecitazioni, ordini, esortazioni. Al tipo dichiarativo o al tipo descr ittivo

appartengono frasi che esprimono opinioni, giudizi, credenze, valutazioni,

situazioni di fatto.

Ci occupiamo solo di queste ultime.

Sono esempi di frasi che indicano situazioni di fatto:

1) Antonio abita a Roma.

2) Lucia ha rubato un biscotto.

3) Paola sta lavorando a maglia.

4) 5 è un numero primo.

5) Mario è maggiorenne.

6) Oggi piove.

7) Il cane è un quadrupede.

8) Il rettangolo è un parallelogramma.

Tutte queste frasi hanno due caratteristiche fondamentali:

Sono frasi semplici perché non contengono altra frase come

componente;

Di ciascuna di esse si può obiettivamente dire se è vera o se è falsa

ossia è possibile attr ibuir le uno ed uno solo dei due valori di verità: vero,

falso.

Per questa seconda caratteristica, sono chiamate proposizioni e, in tal

modo, distinte da frasi d’altro tipo.

I termini “non” , “e” , “o” (o anche “oppure” ), “se... allora...” , sono

continuamente usati nel linguaggio naturale, in questa o in altre forme, per collegare

proposizioni semplici e formare proposizioni composte. In grammatica questi termini

sono chiamati congiunzioni proposizionali; spesso sono anche indicati col nome di

connettivi del linguaggio o, anche, connettivi logici.

Sono esempi di proposizioni composte:

Non è vero che Lucia ha rubato un biscotto.

Antonio abita a Roma e lavora a Fossombrone.

Paola sta lavorando a maglia o ascoltando la radio.

Se Lucia ha rubato un biscotto, allora sarà punita.

La prima proposizione è stata ottenuta negando la precedente proposizione 2;

la seconda, collegando con il connettivo e la proposizione 1 con un'altra proposizione

semplice; la terza, collegando la proposizione 3 con un'altra, pure semplice, mediante

il connettivo o; l'ultima è stata ottenuta collegando due proposizioni semplici, di cui

la prima è ancora la 2, con il connettivo se..allora... .

Non ci dobbiamo tuttavia limitare alla costruzione di proposizioni composte

mediante i connettivi logici. Dobbiamo anche stabilire il loro valore di verità, cosa

che si ottiene solo a partire dal valore di verità delle proposizioni componenti.

La ricerca del valore di verità delle proposizioni composte è il primo degli

oggetti di studio di un capitolo della logica chiamato calcolo delle proposizioni o

algebra delle proposizioni.

Quando, nel linguaggio naturale, si esprime una proposizione composta, al

posto dei connettivi sopra indicati, si usano spesso altri termini aventi la stessa

funzione ma che conferiscono al discorso maggiore efficacia e lo rendono più

espressivo.

Tuttavia la ricchezza di sfumature, resa possibile dall'uso di questi termini,

comporta il pericolo della poca precisione e di una non univoca interpretazione.

Nel linguaggio della logica invece, l'uso dei connettivi è strettamente limitato

alle loro forme essenziali che, se fanno perdere in potere espressivo appiattendo ogni

sfumatura, fanno tuttavia guadagnare in rigore.

Per altro verso, le proposizioni composte del linguaggio naturale sono solo

quelle nelle quali esiste un nesso tra le componenti.

Ad esempio, possono avere uno stesso “soggetto” che compie due azioni

diverse, contemporanee o successive, come nella proposizione:

“Roberto prese la patente e guidò auto d’ogni cilindrata”

La congiunzione presente in questa proposizione ha significato di successione

temporale perciò se si scambiano le due proposizioni fra loro si ottiene una

proposizione che nel linguaggio naturale si riterrebbe assurda:

«Roberto guidò auto d’ogni cilindrata e prese la patente»

Nel linguaggio logico invece, poiché non ci si preoccupa del significato ma

solo dei loro valori di verità, le due proposizioni sono entrambe corrette.

Le seguenti frasi non sono proposizioni. Chi dorme non piglia pesci. (è un proverbio, una sentenza) Cerca di comportarti onestamente. (è un’esortazione) Sbrigati altrimenti perderai il treno. (è una sollecitazione) Voglio essere la migliore della classe. (Indica un’aspirazione) Laura è una ragazza bella e spiritosa. (è un giudizio) La matematica è una disciplina difficile. (Indica un’opinione) Il tuo cinismo mi addolora. (Esprime un sentimento) Toccare ferro porta fortuna (é una credenza) Hai superato l'esame per la patente guida? (è una domanda) Correre in bicicletta mi diverte molto. (Esprime una sensazione) Smettila d’essere maleducato! (è un ordine) Come fa freddo oggi! (è un’esclamazione)

La negazione di proposizioni è un’operazione logica unaria perché opera su una sola proposizione.

Si ottiene il risultato dell'operazione anteponendo “non è vero che” alla proposizione che si vuole negare oppure premettendo un “non” al suo predicato come si fa nel linguaggio naturale. Le proposizioni si rappresentano di solito con lettere maiuscole dell'alfabeto internazionale. Per indicare l'operazione di negazione sono in uso vari simboli; fra questi adottiamo quello che occupa minor spazio: se con “p” indichiamo una qualsiasi proposizione semplice, con “non p” indicheremo la sua negazione che leggeremo: “non è vero p” oppure “non p” . La funzione dell'operatore di negazione è di cambiare il valore di verità della proposizione a cui si applica:

se “p” è vera, allora “non p” è falsa; se “p” è falsa, allora “non p” è vera.

P Non P

1 0 0 1

Tabella di verità

La congiunzione di proposizioni è un’operazione logica binaria che consiste nel collegare due proposizioni con il connettivo ”e” . Quando si compongono due proposizioni con un connettivo logico entrano in gioco i valori di verità di entrambe le proposizioni componenti e questi danno luogo a quattro possibili coppie di valori di verità: (V, V), (V, F), (F, V), (F, F)

Il simbolo usato per la congiunzione è: “

∧∧∧∧ “ .

Se P e Q sono due proposizioni semplici, l’operazione di congiunzione permette di costruire la proposizione composta (P e Q).

I risultati dell’operazione di congiunzione sono raccolti nella tabella:

P Q P∧∧∧∧Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Tabella di verità

La disgiunzione inclusiva è pure un’operazione binaria che consiste nel collegare due proposizioni con il connettivo “o inclusivo” , la “o debole” , che traduce il “vel” latino, termine che probabilmente ha prestato la sua lettera iniziale per il simbolo di questa

operazione: “ ∨∨∨∨ “ . Se “P” , “Q” sono due proposizioni semplici qualsiasi, la disgiunzione inclusiva permette di costruire la proposizione composta “P v Q” (legge “P o Q”) sempre vera tranne nel caso in cui entrambe le proposizioni componenti sono false. I risultati dell'operazione di disgiunzione inclusiva sono pertanto quelli raccolti nella tabella

P Q P∨∨∨∨Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Il connettivo “o” è usato nel linguaggio naturale anche con altri significati che ora esaminiamo. La disgiunzione esclusiva, la “o forte” , che traduce l'”aut” latino. Il simbolo che, di solito, si usa per questa disgiunzione è “ >-< “ . La tavola di verità di figura seguente mostra che la composizione di due proposizioni con questo connettivo è vera solo nei casi in cui una sola delle due proposizioni componenti è vera. Ad esempio, ha significato esclusivo la “o” della espressione “ frutta o formaggio” scritta nei menù dei ristoranti; precisa che il ristorante mette a disposizione, nel prezzo convenuto per il menù scelto, “o frutta o formaggio ma non entrambe le cose” .

P Q P aut Q

1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0

P Q ¬P ¬Q P∧(¬Q) ¬P∧Q P∧(¬Q)∨

(¬P∧Q)

1 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 0 0

L 'implicazione è un’operazione logica binaria che permette di collegare due proposizioni, di cui la prima (P) è detta antecedente e la seconda (Q) è detta conseguente, per formare la proposizione composta “P →→→→ Q”

(si legge: “se P allora Q”, o anche “P implica Q”) Non si deve confondere l’operazione ora definita con l’affermazione: da P si deduce logicamente Q. Infatti la verità della proposizione P →→→→ Q dipende soltanto dai valori di verità di P e Q. (Implicazione materiale) La tavola di verità di figura seguente mette in evidenza che la proposizione “P => Q” è sempre vera tranne nel caso in cui da una premessa vera segue una conseguenza falsa.

P Q P →→→→ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Analizziamo questa tavola alla luce di un esempio. Consideriamo la proposizione: “se ho la febbre, allora sono ammalato” formata dalle proposizioni semplici: P: ho la febbre Q: sono ammalato Delle situazioni descritte nelle proposizioni seguenti quale di esse non può verificarsi:

(a) se ho la febbre allora sono ammalato; (b) se ho la febbre allora non sono ammalato; (c) se non ho la febbre allora sono ammalato; (d) se non ho la febbre allora non sono ammalato.

Le situazioni indicate in (a) e in (d) si verificano certamente; può verificarsi anche la (c) perché ci possono essere malattie che non comportano febbre. L'unica situazione che non può verificarsi è la (b) che corrisponde al caso in cui da una premessa vera segue una conseguenza falsa: è falso dire di non essere ammalati quando si ha la febbre. Come si può verificare vale la seguente equivalenza: ( P → Q ) equivale a ( non P v Q ) confrontando le tabelle di verità.

P Q P →→→→ Q ¬¬¬¬ P ¬¬¬¬P v Q ¬¬¬¬(P∧∧∧∧¬¬¬¬Q)

1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

Il senso dell’implicazione materiale P →→→→ Q lo ritroviamo nei seguenti casi: se ABC e’ un triangolo equilatero, allora ABC e’ un triangolo isoscele.

L’ implicazione non è commutativa: P → Q e Q → P non hanno lo stesso valore di verità. Se si compongono le precedenti proposizioni con una congiunzione

(P→Q) ∧ (Q→P) si ottiene una nuova proposizione chiamata doppia implicazione P ⇔ Q Che è vera solo quando le implicazioni componenti sono entrambe vere o entrambe false.

P ∧(Q∧R) (P∧Q)∧R P∨(Q∨R) (P∨Q)∨R (Commutative ) associative. Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione; P ∧ ( Q ∨ R ) equivale a (P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ) Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione; P ∨ ( Q ∧ R) equivale a ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ) Gli unici connettivi logici essenziali sono: la negazione, la disgiunzione inclusiva, la congiunzione.

A B C (A∧B)∨C (A∨C)∧

(B∨C)

(A∨B)∧C (A∧C)∨

(B∧C)

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

Leggi di De Morgan

A B ¬(A∧B) (¬A)∨(¬B) ¬(A∨B) (¬A)∧(¬B)

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 0 0

La disgiunzione esclusiva A: al gioco si vince B: al gioco si perde A>-<B A xor B: al gioco si vince o si perde E non è vero che si vince si perde allo stesso tempo. A B A∨B A∧B Non(A∧B) (A∨B)∧non(A∧B) 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

A B la disgiunzione dell’ incompatibilità Prendere una medicina due o tre volte al giorno A B A B non(A ∧ B) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Una medicina si può prendere: due volte tre volte nessuna volta ( se si è guariti) mentre non è vero che una medicina si possa prendere due volte e tre volte

A: al gioco si vince Non A: al gioco non si vince A ∧ (non A): (al gioco si vince) e (non si vince) 1 0 0 0 1 0 proposizione sempre falsa. Esprime il principio di contraddizione. ------------------------------------------------------------ non (A ∧ (non A)): non è vero che

(al gioco si vince) e (non si vince) proposizione sempre vera. esprime il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere vera e falsa allo stesso tempo. ------------------------------------------------------------

A ∨ nonA: (al gioco si vince) o (non si vince) 1 0 1 0 1 1 proposizione sempre vera. Esprime il principio del terzo escluso. Una proposizione o è vera o è falsa e non esiste una terza possibilità.

Esercizi sulla logica

• Dare la tabella di verita delle seguenti espressioni o Q and (not P) o ((P and Q) or (Q and not R) o not P and not Q and not R o (R OR NOT R) AND (NOT Q OR (P AND NOT P)) o (z OR NOT(y AND NOT x)) AND NOT x o (x OR y) AND (NOT z OR NOT y)

• Dire quali delle seguenti espressioni si equivalgono: o (x AND NOT z) OR (y AND NOT x) OR (z AND NOT y) o (x OR y) AND (NOT z OR NOT y) o (z OR NOT(y AND NOT x)) AND NOT x o NOT y AND (z OR NOT(x AND NOT y)) o NOT(x AND y AND z) AND (x OR y OR z) o ((x OR NOT y) AND NOT(y AND NOT z))

• Semplificare il piu possibile le seguenti espressioni: o (R OR NOT R) AND (NOT Q OR (P AND NOT P)) o (x AND NOT z AND y) OR NOT x o NOT(x AND y AND z) AND (x OR y OR z) o not P and not Q and not R