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Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini

per l’introduzione della Meccanica Quantistica Giuseppina Rinaudo – Università di Torino

Presentazione del corso e guida ai materiali

Il corso è una introduzione alla meccanica quantistica sulla traccia del metodo che Feynman suggerisce nel suo bel libro “QED, la strana teoria della luce”. Perché questo metodo può essere utile per la didattica della meccanica quantistica nella scuola secondaria? Perché, fin dall’inizio, si cerca di entrare nel mondo dei quanti sapendo che in esso, per usare le parole di Feynman stesso, gli “oggetti” si comportano “in un modo che non assomiglia a nulla che possiamo aver visto prima”: non sono né onde né particelle, ma hanno degli aspetti che ci ricordano le caratteristiche sia delle une che delle altre. Nel corso inizieremo col ripensare i fenomeni di ottica ondulatoria con il metodo di Feynman, trattando l’oggetto quantistico (il fotone) con le sue caratteristiche “corpuscolari” (quantità di moto, meccanismi di emissione e di assorbimento) e “ondulatorie” (lunghezza d’onda, fase). Poi estenderemo il metodo allo studio del moto di oggetti quantistici massivi (elettrone, protone, ecc.), applicandolo a diverse situazioni sperimentali. Il corso è diviso in tre sessioni: A) L’ottica fisica rivista alla luce del metodo della somma sui molti cammini di Feynman: ipotesi,

regole e impostazione del calcolo (8 “ore”) B) Perché e come utilizzare l’impostazione alla Feynman per l’introduzione della meccanica

quantistica. Un calcolo a scopi “tutoriali” (6 “ore”) C) Alcuni esempi significativi discussi in dettaglio (6 “ore”) Obiettivi • Stimolare la riflessione cognitiva personale sulle conoscenze di meccanica classica e di ottica

ondulatoria, acquisite e in qualche modo sedimentate, per promuovere aggiustamenti e ristrutturazioni in vista dell’inserimento in un percorso didattico sulla meccanica quantistica;

• stimolare la riflessione sui modi di descrizione dei fenomeni usati in fisica, in particolare quelli che passano attraverso la modellizzazione matematica;

• stimolare la creatività e il gusto di esplorare situazioni nuove o rivedere fenomeni noti in una nuova luce.

Gli obiettivi specifici sono: • rivedere e approfondire il significato di concetti e grandezze ben noti dalla fisica classica, in

particolare concetti relativi al significato dell’energia e della sua misura, alle grandezze caratteristiche del moto ondulatorio (periodo, fase) e alla misurazione (incertezza, probabilità);

• introdurre concetti e grandezze rilevanti in meccanica quantistica, in particolare i concetti di sovrapposizione e probabilità quantistica;

• impadronirsi di alcune semplici tecniche di calcolo per sviluppare modelli matematici e raggiungere i risultati desiderati;

• discutere le potenzialità didattiche della proposta, ma anche le difficoltà che un insegnante può incontrare nel realizzarla con studenti di scuola secondaria.

Materiali Il riferimento di base è il libro di Feynman "QED, la strana teoria della luce", ed. ADELPHI, 1985, la cui lettura è caldamente consigliata. Il metodo di Feynman è stato riproposto, per la didattica della Meccanica Quantistica a livello introduttivo, da vari ricercatori (ad esempio E. Fabri, LFNS XXIX, 1996, 63, E. F. Taylor et al.,

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Computers in Physics 12, 1998, 190). Noi seguiremo abbastanza fedelmente la proposta di Taylor (già noto ai corsisti del Master per la sua proposta “Space time physics” per l’insegnamento della relatività), che è possibile scaricare direttamente dal sito, http://www.eftaylor.com/download.html. Oltre all’articolo di Computers in Physics sopra citato, è utile l’articolo “The boundaries of nature” che riporta il seminario che egli tenne nel 1998 in occasione dell’assegnazione della “Oersted Medal” da parte dell’Associazione americana degli insegnanti di fisica, in cui illustra le motivazioni che lo spinsero a sviluppare le sue proposte innovative sia per la fisica quantistica che per la relatività. Le lezioni su cui lavoreremo si trovano sotto il titolo “Demystifying Quantum Mechanics (Student Workbook)” e sono le prime quattro: FrontMatter, Reflect Exercises, OnePhoton Exercises, FreeElectron. Altra documentazione utile (questa in italiano!) si trova nel sito http://www.iapht.unito.it/qm/ del gruppo di didattica della fisica di Torino, dove si trovano anche numerosi fogli excel sviluppati per illustrare esempi specifici. Tematiche di discussione

- modellizzazione alla Huygens della propagazione della luce - ipotesi e regole della modellizzazione della propagazione della luce con il metodo della

somma sui molti cammini di Feynman - il caso di particelle massive - esempi significativi

Moduli di attività Sezione A: ripensare l’ottica ondulatoria

- Alcune domande e commenti per stimolare la riflessione iniziale sulla descrizione e modellizzazione di come la luce si propaga in presenza di ostacoli

- Un foglio excel per “modellizzare alla Huygens” la propagazione della luce attraverso ostacoli

- Una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” della propagazione della luce che saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman”

- Le ipotesi e le regole del gioco della “modellizzazione alla Feynman” Sul sito:

- Sezione_A_ripensare_Huygens.pdf - Huygens.xls

Sezione B: l’oggetto quantistico di Feynman

- L’oggetto quantistico: le ipotesi e le regole per il calcolo del moto dell’oggetto quantistico di Feynman

- Tutorial: descrizione dettagliata dell’applicazione delle regole di calcolo all’esempio sviluppato nei fogli excel “Tutorial-calcolo”

- Tutorial-calcolo: due fogli excel con i primi calcoli per prendere famigliarità con le ipotesi e regole del metodo dei molti cammini

Sul sito: - Sezione_B_introduzione_Feynman.pdf - Fey_tutorial.xls

Sezione C: che cosa si può esplorare con il metodo della somma sui molti cammini. Esempi di calcoli sviluppati in dettaglio nei fogli excel:

- Oscillazioni, foglio associato Fey-oscillazione.xls - I cammini e gli ostacoli, foglio associato Fey-ostacoli.xls - Ombre, foglio associato Fey-ombre.xls - La diffrazione, foglio associato Fey-diffrazione.xls

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- La rifrazione, foglio associato Fey-rifrazione.xls Sul sito:

- Sezione C_modelli_calcoli.pdf - Fey_oscillazione.xls - Fey_ostacoli.xls - Fey_ombre.xls - Fey_diffrazione.xls - Fey_rifrazione.xls

Osservazioni didattiche Per affrontare con successo questa proposta didattica bisogna tenere presente che, al di là del fascino della proposta associato alla personalità di Feynman, il metodo della somma sui molti cammini di Feynman non è banale se si vuole effettivamente passare alla modellizzazione di casi specifici ed eseguire i calcoli, anche nella versione “addomesticata” alla Taylor che qui riproponiamo. Il problema principale che si incontra nell’utilizzo del metodo, come abbiamo già notato nella sperimentazione diretta con studenti specializzandi della SIS o con studenti di scuola secondaria superiore, è legato al fatto che le simulazioni sono strettamente dipendenti dall’uso di fogli excel che presentano una certa complessità. Il risultato dipende quindi molto dalla famigliarità o dalla “simpatia” che l’utente ha verso questo mezzo di calcolo che può condurre a un maggiore o minore apprezzamento del metodo, al di là della comprensione del fenomeno fisico che invece è sempre mediamente buona. Inaspettata invece è stata la difficoltà incontrata da alcuni corsisti del Master IDIFO che hanno dichiarato di conoscere poco l’ottica ondulatoria e di non avere esperienze didattiche al riguardo, il che ovviamente rende poi difficile una riflessione sulle valenze didattiche del metodo dei molti cammini, che parte proprio dal confronto con l’approccio puramente ondulatorio alla descrizione della propagazione della luce. La scelta di partire dall’ottica ondulatoria alla Huygens è stata infatti dettata proprio dall’idea che l’ottica ondulatoria avrebbe aiutato concettualmente il passaggio al metodo del molti cammini, perché, in germe, i concetti di base sono già presenti nel modello di Huygens! Bibliografia e sitografia - R. Feynman "QED, la strana teoria della luce", ed. ADELPHI, 1985 - E. Fabri, LFNS XXIX, 1996, 63 - E. F. Taylor et al., Computers in Physics 12, 1998, 190 - E. F. Taylor “The boundaries of nature”, seminario tenuto nel 1998 in occasione

dell’assegnazione della “Oersted Medal”, http://www.eftaylor.com/download.html - E. F. Taylor “Demystifying Quantum Mechanics (Student Workbook): FrontMatter, Reflect

Exercises, OnePhoton Exercises, FreeElectron”, http://www.eftaylor.com/download.html - Sito http://www.iapht.unito.it/qm/ del gruppo di didattica della fisica di Torino

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Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini per l’introduzione della Meccanica Quantistica

Sezione A: ripensare l’ottica ondulatoria

Questa sezione è una introduzione indiretta allo spirito del metodo della somma dei molti cammini di Feynman fatta attraverso un ripensamento dell’ottica, sia nei suoi aspetti geometrici che in quelli ondulatori. Come ho detto nella descrizione del corso, penso infatti che sia utile iniziare gli incontri telematici con lo stimolare la riflessione cognitiva personale sulle conoscenze acquisite di meccanica classica e di ottica ondulatoria e sui modi di descrizione dei fenomeni usati in fisica, in particolare quelli che passano attraverso la modellizzazione matematica, per poter poi apprezzare meglio i vantaggi didattici e cognitivi dell’approccio alla meccanica quantistica attraverso il metodo della somma sui molti cammini (se volete farvene un’idea fin dall’inizio, potete comunque visitare il nostro sito http://www.iapht.unito.it/qm/ in cui essi sono ampiamente illustrati). L’obiettivo è di promuovere una ristrutturazione del modo di pensare ai fenomeni luminosi in vista dell’inserimento in un percorso didattico sulla meccanica quantistica, che metta in evidenza quegli aspetti peculiari che nell’ottica ondulatoria sono accettati e compresi mentre appaiono strani e poco intuitivi quando vengono introdotti in un ambito di meccanica quantistica. L’organizzazione di questa sezione è la seguente. Inizieremo con una serie di domande, che trovate sotto “Materiali” per riflettere su come siamo abituati a pensare, descrivere ed eventualmente spiegare i fenomeni luminosi e vi proporrò alcuni modelli che io uso perché li trovo utili. Dopo questo primo periodo di condivisione delle conoscenze “classiche” sulla modellizzazione della luce, vedremo come vengono modellizzati gli stessi fenomeni col metodo della somma sui molti cammini, e questo ci introdurrà alla “sezione B”. Materiali 1) Domande e commenti per stimolare la riflessione iniziale su come descrivere e modellizzare il

modo in cui la luce si propaga in presenza di ostacoli, accompagnate da un foglio EXCEL per “modellizzare alla Huygens” la propagazione della luce attraverso ostacoli che trovate sul sito (Huygens.xls);

2) una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” su come la luce si propaga che ci saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman”;

3) un commento sulle difficoltà incontrate da alcuni corsisti del Master nello sviluppo degli esercizi;

4) una introduzione alle ipotesi e regole del gioco nella “modellizzazione alla Feynman”.

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Punto 1 Domande e riflessioni sulla modellizzazione della propagazione della luce “Modellizzare” i fenomeni, non solo quelli ottici, è un passo molto importante nel processo di comprensione e non è esclusivo dello studio formalizzato. Spontaneamente, praticamente in tutti i momenti della vita quotidiana, noi modellizziamo nella nostra testa i fenomeni che osserviamo. È utile perciò confrontare la modellizzazione formale che compiamo quando studiamo un fenomeno con quella spontanea, per vedere quali aspetti sono compatibili, quali sono diversi, anche perché lo stesso problema si pone a livello degli studenti. Le domande e riflessioni che seguono hanno appunto lo scopo di fare pensare a questa duplice modellizzazione, quella formale e quella spontanea, anche in vista della modellizzazione diversa che faremo con il metodo della “somma sui molti cammini”. Ho elencato le domande che vengono in mente a me, però, se ne avete delle altre che vi sembrano possano aiutarvi in questo esercizio, usatele liberamente. a) Un flash luminoso Immaginate un qualunque flash luminoso che viene attivato a un certo istante, come il lampeggiante di un’auto che segnala la svolta a sinistra, - Come lo modellizzate spontaneamente? - Volendolo modellizzare formalmente in linguaggio matematico, lo descrivereste come un

“oggetto” o come un’onda? Quali grandezze fisiche utilizzereste nei due casi? - Quale vantaggio c’è nella descrizione come oggetto? C’è qualche vantaggio nella descrizione

come onda? b) La misura delle grandezze fisiche che caratterizzano il flash luminoso Provate a elencare quali grandezze fisiche fra quelle che avete sopra elencato sono effettivamente “misurabili” e in quale modo (con quale dispositivo) le misurereste. c) Pensate ora all’immagine reale di un oggetto prodotta su uno schermo di una camera oscura (pin hole camera). In una modellizzazione per raggi (“oggetti”), come quella suggerita dalla figura, che cosa fareste per rendere più nitida l’immagine sullo schermo, ad esempio, separare meglio la cima dalla base della fiamma? A) allontanare lo schermo; B) allontanare la candela dalla parete della camera; C) avvicinare la candela alla parete della camera; D) restringere il foro d) Come rappresentereste questo stesso fenomeno con un modello alla Huygens? Ho provato a costruire un foglio EXCEL in cui ho semplicemente rappresentato le onde con dei cerchi che partono dalla sorgente (lo trovate in “huygens.xls, ed è il secondo foglio, che si chiama “pinhole”). Il cerchio rappresenta, ad esempio la fase di massima oscillazione positiva (la “cresta” dell’onda).

pinhole

schermo

parete della camera

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Una sola sorgente “puntiforme” è messa a grande distanza sull’asse passante per il foro (y=0): attraversando il foro, l’onda perde del tutto il ricordo della sua direzione, perché da un fronte d’onda quasi piatto passa a un fronte d’onda sferico (circolare nella nostra rappresentazione). Rispetto a un qualunque punto P a valle della parete, l’onda proviene da una direzione completamente diversa da quella dell’onda incidente sul foro. Ho allora costruito, nello stesso foglio, due onde incidenti che partono da due punti leggermente separati in y (potrebbero essere la punta della fiamma e la base della candela). Ecco il risultato: ho rappresentato in rosso la seconda onda incidente e ho anche rappresentato le due direzioni, viste dal foro, delle due onde incidenti. Dal foro, guardando verso la sorgente, le due direzioni sono distinguibili, mentre dal punto P, posto oltre la parete col foro, la situazione non è cambiata rispetto a prima. Vi lascio perciò con questa domanda: c’è qualcosa di sbagliato nel modello ondulatorio che ho fatto? Come si potrebbe migliorare il modello per spiegare come mai, invece, in una camera oscura, le immagini si vedono bene? Provate a giocare con il foglio EXCEL, forse avete qualche cosa di meglio da proporre. Nello stesso foglio trovate altre due pagine per modellizzare l’interferenza e la diffrazione alla Huygens.

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Punto 2 Una riflessione sulle cose che impariamo dalla “modellizzazione alla Huygens” della propagazione della luce che saranno utili per passare alla “modellizzazione alla Feynman” Riprendiamo l’ultima domanda che è stata posta nella modellizzazione alla Huygens: che cosa c’è di veramente diverso nella descrizione della propagazione “per onde” rispetto alla descrizione della propagazione “per raggi”. Nella tabella che segue sono messi a confronto gli aspetti che il modello di propagazione per onde mette in luce nei fogli excel “Huygens” con gli aspetti noti di una propagazione per raggi (pensati come corpuscoli di energia e quantità di moto). Modello ondulatorio Modello corpuscolare

1) estensione spaziale

L’onda investe contemporaneamente tutti i punti della fenditura e dobbiamo ragionare su tutti i punti investiti (in realtà ne abbiamo esaminati solo 2, presi come significativi di quello che succede in tutti gli altri punti); da ogni punto inizia un’onda sferica che si propaga al di là con una stretta correlazione di fase con l’onda incidente in quel punto

Diversi corpuscoli, indipendenti uno dall’altro, passano per diversi punti della fenditura (o vengono bloccati nei punti in cui si trova la parete opaca) oppure diversi corpuscoli passano per lo stesso punto ma con diverse direzioni perché provengono da punti diversi della sorgente

2) evoluzione e sovrapposi-

zione

Al di là della fenditura, in un certo punto e in un certo istante di tempo (punto nello spazio-tempo) arrivano innumerevoli onde provenienti dai diversi punti della fenditura con diverse fasi, che evolvono, a partire dalla fase dell’onda al passaggio per la fenditura, secondo il rapporto fra la distanza percorsa e la lunghezza d’onda; la sovrapposizione delle diverse onde dipende dal valore in quel punto delle fasi relative

Al di là della fenditura, i corpuscoli che non sono stati bloccati proseguono ciascuno sulla propria traiettoria, che non viene alterata dalla presenza della fenditura

3) intensità

L’intensità in un certo punto al di là della fenditura dipende dalla larghezza della fenditura, la quale, oltre a ridurla in modo proporzionale alla sua larghezza, la ridistribuisce, perché, bloccando una parte dell’onda, crea zone spaziali in cui la sovrapposizione fra le onde provenienti dai diversi punti della fenditura è costruttiva e altre in cui è distruttiva, con tutti i valori intermedi.

L’intensità in un certo punto al di là della fenditura è ridotta in modo proporzionale alla larghezza della fenditura perché essa è proporzionale al numero di fotoni che la attraversano; ogni fotone che giunge nel punto in esame vi deposita tutta la sua energia

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Punto 3 Un commento sulle difficoltà incontrate da alcuni corsisti del Master nello sviluppo degli esercizi Dalle risposte pubblicate dai corsisti del Master sui punti 1 e 2, mi sembra che le due domande sul flash luminoso e sulla camera oscura interpretati con modelli ondulatori e corpuscolari hanno funzionato, perché hanno stimolato delle riflessioni molto interessanti. Inoltre, come hanno commentato alcuni corsisti, la modellizzazione alla Huygens è “pesante”, tuttavia, fatta in modo grafico permette di visualizzare in quale modo un ostacolo, messo sul percorso di propagazione dell’onda, produce delle direzioni di propagazione privilegiate. Ci sono tuttavia alcuni aspetti che hanno creato confusione o incertezza, che commenterò. Un esempio è la domanda: come deve essere l’ostacolo? Un ostacolo con un solo foro “puntiforme” non produce l’effetto di creare una direzione privilegiata, come si vede dal foglio “pinhole”, che ho messo lì proprio per provocazione: dopo il foro l’onda diventa sferica, il che significa che non ci sono direzioni privilegiate. Occorrono almeno due fori, in modo che l’onda possa passare sia dal foro di sopra che da quello inferiore. Per chiarire il problema, ho costruito il foglio “interferenza”, in cui c’è l’onda che esce dal centro del foro superiore e quella che esce dal centro del foro inferiore e si tracciano le rette che passano per i punti di incrocio fra i massimi delle prime (cerchi neri) e i massimi delle seconde (cerchi rossi). Si vede chiaramente, come atteso, che gli incroci avvengono nella direzione in avanti (dove ci sarà il picco centrale della figura di interferenza, quando raccoglieremo l’immagine su uno schermo, “sovrapposizione costruttiva” nel linguaggio dell’ottica ondulatoria). Tuttavia ci sono incroci anche delle direzioni laterali, che creeranno i picchi secondari, perché c’è nuovamente “sovrapposizione costruttiva”. Provate a giocare con la posizione in y del foro superiore (cella E2), che equivale a cambiare la distanza fra le due fenditure: vedrete che l’incrocio nella direzione in avanti continua a mantenersi, mentre variano gli incroci lungo le direzioni laterali, che si allontanano o si avvicinano a seconda che si diminuisce o si aumenta la distanza in y. Il foglio “diffrazione” fa vedere la stessa cosa: di tutte le onde che escono dai singoli punti della fenditura, ne ho costruite solo due, che escono da punti che sono a una distanza pari alla metà della larghezza della fenditura, perché le onde che escono da altre coppie di punti simili si comportano nello stesso modo (ho poi scelto coppie di punti simmetrici rispetto al centro della fenditura per potere praticamente “copiare” le formule del foglio “interferenza”). Anche qui potete giocare con la larghezza della fenditura e vedere che, nella direzione in avanti c’è sempre sovrapposizione costruttiva, mentre le “direzioni privilegiate” laterali lungo le quali c’è sovrapposizione costruttiva variano al variare della larghezza della fenditura. Domanda: come si conciliano questi risultati con le classiche figure di diffrazione che si trovano su tutti i testi? Lasciamo per il momento da parte i picchi secondari e concentriamoci sul picco in avanti. Dal foglio “diffrazione” (e anche dal foglio “interferenza”, ma ormai abbiamo visto che ci danno la stessa informazione) abbiamo imparato che la direzione privilegiata di propagazione in avanti si crea grazie alla sovrapposizione costruttiva delle onde che escono da due diversi punti della fenditura. A questo punto possiamo tornare al problema dell’immagine prodotta dal foro della camera oscura da cui siamo partiti. Ho perciò creato un nuovo foglio EXCEL, “pinhole-diffr”, in cui si simula una seconda onda incidente che proviene da un punto della sorgente separato in y (potrebbe essere la cima della fiamma mentre la base della candela è il punto 1 a y=0) e che quindi incide sulla fenditura lungo un fronte d’onda inclinato rispetto a quello proveniente dal punto 1 (le nuove onde incidenti sono in azzurro ed è in azzurro anche la “direzione dell’onda” costruita congiungendo il punto 2 con il centro della fenditura). Dei due punti della fenditura che formano la coppia da cui partono le onde uscenti, quello superiore è stato lasciato, per comodità, invariato,

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mentre si è creato il nuovo punto simmetrico rispetto alla nuova direzione incidente (indicato in azzurro) e le nuove onde uscenti pure esse in azzurro. Come si vede, gli incroci fra i cerchi azzurri e quelli neri si dispongono lungo una direzione che è il prolungamento della direzione incidente dalla sorgente 2, ben separata dalla direzione in avanti che è sugli incroci fra i cerchi neri e quelli rossi che rappresentano le due onde uscenti corrispondenti alla sorgente 1. Provate a giocare con la larghezza della fenditura (cambiando la y del centro superiore, cella E2) e vedrete che le due direzioni delle onde che corrispondono alle due sorgenti non cambiano! Domande: - Che cosa impariamo da questa simulazione sulle caratteristiche cruciali della propagazione per

onde? - In una descrizione della propagazione “per raggi” che cosa succede se si allarga la fenditura? - Che cosa c’è di veramente diverso in questa descrizione della propagazione “per onde” rispetto

alla descrizione della propagazione “per raggi”? Punto 4 La modellizzazione alla Feynman: che cosa c’è di diverso e che cosa c’è di comune con la modellizzazione alla Huygens L’oggetto quantistico che Feynman ipotizza non è né onda né corpuscolo, ma unisce aspetti dell’uno e dell’altro.

1) Come l’onda, l’oggetto quantistico non ha una traiettoria definita, ma ha diversi cammini che attraversano contemporaneamente diversi punti della fenditura

2) Come per l’onda, lungo ogni cammino la fase dell’oggetto quantistico evolve in un modo dato dal rapporto fra la distanza percorsa e la lunghezza d’onda e, come per l’onda, i contributi dei diversi cammini si sovrappongono in modo che dipende dalle fasi relative secondo la stessa regola che per l’onda

3) Come avviene per un corpuscolo e a differenza di quanto avviene per l’onda, l’energia dell’oggetto quantistico non si distribuisce nello spazio secondo il valore della sovrapposizione dei diversi cammini calcolata al punto precedente, ma, all’atto della rivelazione, compare sempre per intero. È solo la probabilità di rivelare l’oggetto quantistico in un dato punto che dipende dal valore della sovrapposizione in quel punto.

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Sezione B: introduzione all’oggetto quantistico di Feynman Questa sezione ci introduce nel cuore del metodo della somma dei molti cammini di Feynman. Seguiremo, con una certa libertà, la prima parte del popolare libro di Feynman, “QED, la strana teoria della luce”, secondo la traccia indicata da E.F.Taylor, Computers in Physics 12, 1998, 190, che per primo propose un modello grafico basato su un software accattivante per implementarlo. Tutto il corso di Taylor è reperibile nel sito web http://www.eftaylor.com/download.html. Noi useremo invece dei semplici fogli excel, che sono un po’ meno accattivanti, ma hanno il pregio di essere facilmente sviluppabili e ampliabili a nuove applicazioni. L’obiettivo è di acquisire famigliarità con le proprietà peculiari dell’oggetto quantistico di Feynman che sono in parte comuni a quelle delle onde esaminate nella sezione A (in particolare il “principio di sovrapposizione”), in parte diverse (in particolare la “probabilità quantistica”) L’organizzazione di questa sezione è la seguente. Viene presentato anzitutto l'oggetto quantistico, che contiene il cuore del metodo: vengono discusse le ipotesi, le regole e l’impostazione del calcolo per poterle applicare ai singoli casi. L’oggetto quantistico con cui si parte è un elettrone e non un fotone, perché con un elettrone appare più naturale ragionare in termini di “corpuscolo” e quindi scoprire come i nuovi comportamenti creati dalle ipotesi del modello di Feynman siano facilmente introducibili e conciliabili con il modello. Svilupperemo poi in dettaglio tutti i calcoli con l'aiuto di semplici fogli excel nel Tutorial: sono i primi calcoli che hanno lo scopo principale di far acquistare famigliarità con i “molti cammini” dell'oggetto quantistico, con i relativi vettori di fase e con le regole per “sovrapporli” in modo da ottenere la “probabilità quantistica” di rivelare l’oggetto. I concetti di “sovrapposizione” e di “probabilità” sono i due concetti chiave, tipicamente quantistici, che questo foglio permette di approfondire. I cammini iniziano in un punto A (sorgente) e terminano in un punto B (rivelatore) dopo essere passati attraverso una fenditura lasciata aperta fra due ostacoli. Materiali 1. L’oggetto quantistico: contiene la descrizione delle ipotesi e delle regole per il calcolo del moto

dell’oggetto quantistico di Feynman 2. Tutorial: contiene la descrizione dettagliata dell’applicazione delle regole di calcolo all’esempio

sviluppato nei fogli excel “Tutorial-calcolo” 3. Consigli per il tutorial: contiene alcuni consigli per l’uso del foglio e suggerimenti di esercizi

utili 4. Tutorial-calcolo: si tratta di due fogli excel con i primi calcoli per prendere famigliarità con le

ipotesi e regole del metodo dei molti cammini - Fey-s-tutorial.xls: si inizia con una fenditura stretta, per la quale passa un solo cammino e

poi la si allarga aggiungendo via via cammini ai bordi - Fey-l-tutorial.xls: si inizia con una fenditura larga e si analizzano ordinatamente i cammini

a partire da uno dei bordi

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Punto 1 L’oggetto quantistico: ipotesi e regole L'oggetto quantistico è, per così dire, un'invenzione di Feynman. Fin dall'inizio del suo libro "QED, la strana teoria della luce", Feynman infatti dice chiaramente che, se vogliamo capire come avviene il moto nelle condizioni estreme in cui è obbligatorio ricorrere alle leggi della meccanica quantistica, perché le leggi classiche sono inadeguate, dobbiamo staccarci, anche nel linguaggio, dal modo di esprimersi proprio della meccanica classica, che è anche quello a noi più congegnale, dato che, in fondo, anche noi siamo degli oggetti "classici". Vediamo che cosa dice Feynman: Dato che le associazioni mentali, evocate dall'uso di certe parole come "onda" o "corpuscolo", sono fuorvianti, chiameremo per brevità oggetto quantistico l'oggetto che si comporta in un "modo quanto-meccanico". Potrà essere l'elettrone o la luce o un atomo o anche un oggetto molto complesso con massa elevata, perché il comportamento quanto-meccanico è osservabile non solo in particelle elementari o molto semplici, ma in via di principio in qualunque oggetto, basta mettersi nelle condizioni adatte ed avere la tecnica di rivelazione adatta1. Le ipotesi L'ipotesi di partenza di Feynman è la relazione di Planck che lega l'energia E alla frequenza f attraverso il quanto di azione h:

E = hf (1) Esaminiamo prima il comportamento di un oggetto massivo, perché classicamente sappiamo descriverlo più facilmente con la meccanica newtoniana, in particolare facciamo l'ipotesi che nello spazio in cui andiamo a esaminare il suo moto non ci siano campi di forza, quindi il moto è, classicamente, "rettilineo-uniforme". Per fissare le idee pensiamo a un elettrone, ma nei calcoli lasceremo poi la possibilità di variare la massa m dell'oggetto per esplorare che cosa succede per masse diverse. Supponiamo di avere in un certo punto A una sorgente da cui partono gli elettroni con una certa energia cinetica E, e di mettere in un punto B, posto a una certa distanza D, un rivelatore: per fissare le idee, la sorgente potrebbe essere un filamento caldo come quello di un tubo televisivo, e il rivelatore una emulsione fotografica o uno schermo fosforescente, o un qualunque dispositivo che segnala l'arrivo dell'elettrone. Le dimensioni della sorgente in A e del rivelatore in B siano completamente trascurabili rispetto alla distanza D e a qualunque altra distanza che entrerà in gioco.

1 L'oggetto più massivo e più complesso per il quale sono stati finora rivelati comportamenti quanto-meccanici è il fullerene, che è una molecola formata da 60 atomi di carbonio, cioè da 60 nuclei di carbonio e da 360 elettroni!

"Noi sappiamo quale è il comportamento degli elettroni e della luce. Ma come potrei chiamarlo? Se dico che si comportano come particelle, dò un'impressione errata, ma anche se dico che si comportano come onde. Essi si comportano nel loro proprio modo inimitabile che tecnicamente potrebbe essere chiamato il "modo quanto-meccanico". Si comportano in un modo che non assomiglia a nulla che possiate aver mai visto prima. La vostra esperienza con cose che avete visto prima è incompleta. Il comportamento delle cose su scala molto piccola è semplicemente diverso".

Figura 1

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Vediamo prima che cosa ci aspettiamo per un elettrone che ha un comportamento classico e che segue quindi una traiettoria rettilinea (per semplicità supponiamo che fra A e B non ci sono campi di forza): perché arrivi in B basta che sia emesso da A con una direzione della velocità compresa in un cono che intercetta la zona in cui c'è il rivelatore.

Se mettiamo, nella zona fra A e B, degli ostacoli che possano bloccare interamente un elettrone di quella energia, possono succedere solo due cose, nettamente distinte:

• nessun ostacolo intercetta la traiettoria dell'elettrone e allora l'elettrone arriva in B come se gli ostacoli non ci fossero (Figura 3a),

• uno degli ostacoli la intercetta e allora l'elettrone non arriva più per nulla (Figura 3b).

L'effetto è quindi di tipo "SI o NO": non ci sono situazioni intermedie (con il rivelatore vedremmo che l'intensità del segnale resta immutata oppure che va a zero). Nel seguito, faremo riferimento a una situazione semplificata, schematizzata in Figura 4, in cui c'è un ostacolo, posto a distanza DA dalla sorgente, con una fenditura di larghezza Dtrasv proprio in corrispondenza della traiettoria dell'elettrone: l'elettrone passa, indipendentemente della larghezza della fenditura, quindi siamo nella situazione di tipo "SI". Se però la larghezza fosse così piccola da bloccarlo, si passerebbe bruscamente alla situazione di tipo"NO".

(3a)

(3b)

Figura 2

Figura 3

Figura 4

4

Per un "oggetto quantistico" invece non si può pensare a niente di simile a una "traiettoria", cioè a una sequenza di posizioni ben definite e perfettamente determinabili se si conosce la velocità iniziale e il campo di forze. Per Feynman l'oggetto quantistico di energia E è definito, oltre che dalle grandezze già note dalla meccanica classica, quali massa, velocità e quantità di moto, anche dalla frequenza f, legata all'energia E dalla relazione di Planck (eq. 1). E' proprio questa frequenza la caratteristica nuova dell'oggetto quantistico, che manca assolutamente nell'oggetto classico e dalla quale seguono le proprietà peculiari dell'oggetto quantistico che ne determinano il moto.

• La prima proprietà è che, avendo una frequenza propria, l'oggetto quantistico ha una "periodicità intrinseca", con un periodo T pari all'inverso della frequenza. Feynman infatti parla di un "orologio interno" ("stopwatch"), che gira nel tempo con un periodo T=1/f.

• La seconda proprietà è che, come per tutti i fenomeni periodici, lo stato dell'oggetto quantistico si ripete in modo identico solo a distanza di un periodo, ma, all'interno del periodo, lo stato passa attraverso fasi diverse, che si ripetono identicamente nel periodo successivo (come fanno ad esempio le oscillazioni verticali di una molla, che passano per una fase in cui l'ampiezza dell'oscillazione è massima verso il basso, poi tornano alla posizione di equilibrio iniziale per proseguire con una oscillazione verso l'alto e così via). Feynman suggerisce di visualizzare la fase pensando alla lancetta dell'immaginario orologio e definire la fase ϕ come l'angolo fra una direzione di riferimento e la direzione a cui essa punta a un certo istante, come in figura 5. Chiameremo vettore di fase il vettore di lunghezza unitaria associato a questa lancetta ideale.

• La terza caratteristica è il cammino λ percorso dall'oggetto quantistico mentre la sua fase fa

un giro completo di 2π. Tale cammino dipende dalla quantità di moto p dell'oggetto e si calcola dalla relazione di de Broglie [nota a]:

λ = h / p (2)

Naturalmente non dobbiamo prendere alla lettera la rappresentazione dell'orologio interno e immaginare l'oggetto quantistico come una specie di "signore" che viaggia effettivamente con un orologio al collo e guarda continuamente dove punta la sua lancetta! Si tratta solo di un artifizio per rendere più chiaro il significato del calcolo matematico e nel seguito lo utilizzeremo proprio in questo senso, cioè come una rappresentazione "pittorica" della fase. Un esempio è visualizzato in Figura 6: l'oggetto quantistico è diventato un omino che parte da A e viaggia con il suo orologio e relativo vettore di fase, il cammino che segue non è necessariamente rettilineo, ciò che importa è che, mentre percorre il cammino, l'orologio gira passando periodicamente per le stesse fasi e dopo un percorso pari a l torna ad avere la stessa fase.

Figura 5

5

Le regole Vediamo ora come da queste tre caratteristiche si calcola, nel modello di Feynman, il moto dell'oggetto quantistico. Le regole per il calcolo sono giustificate dal fatto che, applicandole, si riesce a descrivere tutti i dati sperimentali relativi al moto degli oggetti e che si ritrova la descrizione classica del moto nelle condizioni in cui si può considerare trascurabile l'effetto della costante di Planck (cioè quando le variazioni dell'azione coinvolte nel moto sono molto più grandi della costante di Planck: questo è il principio di corrispondenza). Le regole sono le seguenti.

a. I cammini

Anzitutto, partendo da A, l'oggetto quantistico non è obbligato a seguire una traiettoria particolare, come farebbe l'oggetto classico (ad esempio la linea retta in assenza di forze, oppure la traiettoria calcolabile con la legge della meccanica newtoniana in presenza di forze), ma esplora tutti i cammini possibili: questo perché, abbandonando la legge di Newton, non c'è più nessun motivo di imporre che la posizione a un certo istante sia necessariamente quella calcolabile a partire dalla posizione nell'istante precedente secondo la legge di Newton. In Figura 7, mostriamo un esempio di cammini possibili, che conducono da A a B (ma ce ne sono molti altri, che non disegniamo sia per chiarezza sia perché sarebbe impossibile tracciarli proprio tutti!)

b. I vettori di fase

Lungo ogni cammino, il vettore di fase gira e compie un giro intero ogni tratto pari a λ quindi i vettori di fase, con cui l'oggetto quantistico arriva in B, sono diversi per i diversi cammini, come mostrato in Figura 8, perché i cammini hanno lunghezze diverse.

Figura 6

Figura 7

6

Attenzione: è lo stesso oggetto che ha contemporaneamente tutti i diversi vettori di fase quando arriva in B, non sono 5 diversi oggetti quantistici! Questo è ovviamente difficile da capire per la nostra mentalità classica, perché non riusciamo a immaginare come qualche oggetto possa avere contemporaneamente delle caratteristiche diverse, ma è una delle "regole del gioco" che va accettata: da essa infatti dipende la regola di "sovrapposizione" che discuteremo più avanti.

c. Cammini obbligatori e cammini proibiti

Come fa l'oggetto quantistico a scegliere i cammini da percorrere? La regola è semplice: deve percorrere tutti i cammini che non sono esplicitamente proibiti. Sono proibiti quei cammini lungo i quali c'è un ostacolo impenetrabile. In Figura 9, ad esempio, mostriamo degli ostacoli che non intercettano i cammini 1, 2, 4, 5, mentre intercettano il cammino 3: in B, all'oggetto quantistico mancherà quindi il vettore di fase che corrispondeva a questo cammino.

Attenzione: i cammini non esplicitamente proibiti dalla presenza di un ostacolo non solo sono permessi, ma anzi sono obbligatori! Anche questa regola è difficile da capire per la nostra mentalità classica, ma dovremo tenerne conto quando faremo i calcoli, perché dovremo essere sicuri di includere tutti i cammini possibili

d. La probabilità quantistica Se confrontiamo la figura 9 con le analoghe figure del caso classico (Figura 3), vediamo subito che, in presenza di ostacoli, la situazione quantistica è molto diversa da quella classica: infatti non potranno mai esserci dei casi semplici di ostacoli che non disturbano per niente la traiettoria (come in Figura 3a) o che la distruggono totalmente (come in Figura 3b), ma ci saranno sempre degli ostacoli che disturbano qualche cammino, ma non tutti, mentre sarà difficile che un ostacolo sia completamente innocuo, perché intercetterà sicuramente almeno qualche cammino. La situazione quantistica quindi non potrà essere una situazione netta di "SI" o "NO" come quella dell'oggetto classico, che "arriva" o "non arriva" al rivelatore posto in B a seconda della posizione degli ostacoli che possono bloccarlo, ma sarà necessariamente sfumata. Avremo cioè solo una risposta probabilistica, nel senso che si

Figura 8

Figura 9

7

potrà solo calcolare la probabilità che il rivelatore segnali il passaggio dell'oggetto, cioè la probabilità che ci sia un'interazione fra l'oggetto e il rivelatore posto nel punto B.

e. La sovrapposizione dei vettori di fase Siamo così giunti alla regola finale, che ci permetterà di calcolare la probabilità quantistica che il rivelatore segnali il passaggio dell'oggetto: la probabilità dipende dai diversi cammini che l'oggetto può esplorare per arrivare in B. Ogni cammino dà infatti un contributo, che dipende dal valore della sua fase nel punto B, e che può essere sia positivo che negativo: questo è l'aspetto tipicamente quantistico ed è legato proprio al fatto che, come visto sopra, l'oggetto ha un suo orologio interno, il quale gira mentre l'oggetto viaggia accumulando diversi sfasamenti lungo i diversi cammini che hanno lunghezze diverse, e quindi arriva in B con diversi vettori di fase. Poiché però l'oggetto è unico, la sua interazione con il rivelatore non dipende da un particolare vettore di fase, ma dalla sovrapposizione di tutti i vettori (principio di sovrapposizione): sommando tutti i vettori di fase, si ottiene un vettore risultante il cui modulo al quadrato è proporzionale alla probabilità che l'oggetto quantistico interagisca con il rivelatore posto in B (nel seguito chiameremo brevemente "sovrapposizione" S il modulo a quadrato del vettore risultante). In figura 10 mostriamo, come esempio, la sovrapposizione dei vettori di fase dei 5 cammini ipotizzati nel caso di Figura 8:

Si vede chiaramente che i vettori 3 e 4 sono parzialmente in controfase rispetto ai vettori 1 e 5, per cui i contributi in parte cancellano e il vettore risultante r non ha il massimo valore che potrebbe avere se tutti e 5 i vettori fossero completamente in fase fra di loro. Che significato ha il valore della sovrapposizione S, cioè del modulo al quadrato del vettore r? La regola ci dice che S è proporzionale alla probabilità, ma per calcolare la probabilità occorrerebbe conoscere la costante di proporzionalità, cioè sommare tutti i possibili vettori di fase. Ciò è ovviamente molto difficile, quel che faremo sarà invece di calcolare la probabilità relativa, confrontando la sovrapposizione in situazioni diverse, ad esempio in presenza di ostacoli diversi. In Figura 11 è mostrata ad esempio la sovrapposizione calcolata con il foglio “Fey-l-tutorial.xls”, calcolata lasciando aperti tutti i cammini oppure bloccandone alcuni:

Figura 10

Somme dei vettori di fase

-4

-2

0

2

4

6

8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4Su

Sv

iniziale

dopo aver bloccato alcuni cammini

Figura 11

8

Come si vede, il vettore risultante è addirittura aumentato, perché abbiamo tolto dei vettori di fase che contribuivano negativamente alla somma! L'aver messo un ostacolo che ha bloccato uno dei cammini ha quindi variato la probabilità di rivelare l'oggetto quantistico in B: la probabilità può diminuire, aumentare oppure rimanere circa costante a seconda della larghezza della fenditura, della posizione degli ostacoli aggiuntivi, della quantità di moto dell’oggetto, ecc. Attenzione: il fatto che la risultante r sia variata, non significa che l'oggetto quantistico verrà rivelato in modo diverso, ad esempio con una parte diversa della sua energia, come saremmo portati a pensare per analogia con certe situazioni "classiche" . Per un oggetto quantistico, un valore di S ridotto significa che è ridotta la probabilità che l'oggetto venga rivelato, ma quando è rivelato, l'oggetto quantistico è rivelato interamente, con tutta le sue caratteristiche, quali energia, quantità di moto, ecc. In questo senso, la risposta del rivelatore è ancora di tipo SI o NO, ma, a differenza di quel che avviene classicamente, non è sempre di tipo SI o sempre di tipo NO, a seconda della posizione dell'ostacolo, ma ha una certa probabilità di essere di tipo SI e una certa probabilità di essere di tipo NO e questa probabilità può essere calcolata dal valore della sovrapposizione S. Ad esempio se la probabilità fosse del 25%, significherebbe che su 100 oggetti lanciati, solo per 25 ci sarebbe una risposta di tipo SI, mentre per gli altri 75 la risposta sarebbe di tipo NO: per degli oggetti classici, invece, la risposta sarebbe o di tipo SI per tutti e 100, oppure di tipo NO per tutti e 100.

Nota a La relazione (2) fu dedotta da de Broglie nel 1921, partendo dall'interpretazione che Bohr aveva dato nel 1911 della quantizzazione dell'energia degli elettroni atomici, cioè del fatto che, apparentemente, gli elettroni atomici hanno solo certe orbite stazionarie. De Broglie dedusse la sua relazione in un "modello ondulatorio" dell'elettrone, cioè pensando all'elettrone come un'onda che si propaga nello spazio, con una lunghezza d'onda λ data dalla (2) e una frequenza f data dalla relazione di Planck (1): in un'onda, infatti, la lunghezza d'onda è definita proprio come la distanza fra due picchi, cioè come la distanza fra due punti in cui l'onda ha la stessa fase. Seguendo l'approccio di Feynman, noi preferiamo non far riferimento esplicito a un modello ondulatorio e quindi non parlare esplicitamente di lunghezza d'onda di de Broglie, ma definire λ secondo quello che è il suo significato fisico: distanza spaziale fra due punti in cui l'oggetto ha la stessa fase. Volendo invece attenersi al modello ondulatorio di de Broglie, va chiarito un aspetto relativo alla "velocità dell'onda". In un'onda meccanica classica, infatti, la velocità dell'onda si calcola dal rapporto fra lunghezza d'onda e periodo, quindi vale vf = λ / T, dove il pedice f della velocità sta a ricordare che si tratta della velocità con cui viaggia una certa fase dell'onda, ad esempio il picco (uno dei modi di misurare vf è proprio di fissare l'attenzione sul picco dell'onda, fotografando la distanza fra due picchi a un certo istante). Se facciamo lo stesso calcolo per l'onda che descrive l'oggetto quantistico, ricavando λ dalla (2) e T=1/f dalla (1), troviamo:

22/1 2 vhmv

mvhv f =⋅=

quindi la "velocità di fase" vf è la metà della velocità effettiva (detta anche "velocità di gruppo") dell'oggetto quantistico. Questa relazione tra velocità di fase e velocità di gruppo vale per valori della velocità molto minori del valore della velocità della luce e deriva dal fatto che, per tali valori, la velocità dipende dall'energia. Avvicinandosi alla velocità della luce, la velocità di fase diventa sempre più prossima a quella di gruppo (fino a coincidere per il fotone, che, nel vuoto, viaggia sempre alla velocità della luce, indipendentemente dalla sua energia!).

9

Punto 2: tutorial Impostazione del calcolo I primi calcoli sui molti cammini hanno lo scopo principale di acquistare famigliarità con questo strano oggetto che ha una fase che varia nel tempo e percorre simultaneamente tutti i cammini che non sono impediti da qualche ostacolo. Inizieremo da una situazione semplificata e imposteremo i calcoli su un foglio elettronico per poter valutare rapidamente le fasi sui diversi cammini e variare i diversi parametri. I parametri che entrano in gioco sono:

Il calcolo consisterà nel:

La situazione semplificata che utilizzeremo è quella illustrata nella figura:

Figura 1

Ci sono solo due ostacoli che lasciano aperta una fenditura di ampiezza Dtrasv simmetrica rispetto alla congiungete dei punti A e B in cui sono posti la sorgente e il rivelatore. I cammini esaminati sono delle spezzate che vanno da A a un punto P posto sull'attraversamento della fenditura e di qui al punto B [nota b]. I calcoli, sviluppati con il foglio EXCEL, consistono nei seguenti passi: a) Scelta o calcolo dei parametri che sono gli stessi per tutti i cammini:

• tracciare tutti i cammini possibili tra sorgente e rivelatore, • calcolare per ogni cammino il vettore di fase, • calcolare la sovrapposizione dei vettori.

• l'energia e la massa dell'oggetto quantistico, • le posizioni della sorgente e del rivelatore, • le posizioni degli ostacoli.

cammino permesso

A B Dtrasv

DA DB

P

• distanze DA e DB • larghezza della fenditura Dtrasv • velocità v dell'oggetto • massa m • quantità di moto p • lunghezza λ di de Broglie, λ=h/p

10

b) Calcolo del vettore di fase di ogni cammino. Occorre:

c) Calcolo della somma dei vettori di fase di tutti i cammini:

Per costruire tutti i cammini possibili occorre adottare un qualche criterio "ordinatore", in modo da essere sicuri di non lasciarne indietro nessuno. Abbiamo quindi predisposto due fogli EXCEL che permettono di fare questo tipo di calcolo propedeutico e sono ispirati a due criteri ordinatori diversi: - si inizia con una fenditura stretta, per la quale passa un solo cammino e poi la si allarga

aggiungendo via via cammini ai bordi (foglio Fey-s-tutorial.xls) - oppure si inizia con una fenditura larga e si analizzano ordinatamente i cammini a partire da uno

dei bordi (foglio Fey-l-tutorial.xls). Fenditura stretta: foglio "Fey-s-tutorial.xls"

- scegliere la coordinata yfi del punto di attraversamento alla posizione della fenditura,

- calcolare la lunghezza Li del percorso tra A e B, - calcolare i giri gi = Li /λ fatti lungo il cammino dalla lancetta dell'immaginario

orologio interno, - gi non sarà in generale un numero intero, ciò che interessa non è la parte intera di

gi, che chiamiamo int(gi), ma la parte decimale dgi=gi-int(gi), cioè la frazione di 2π (o di 360o) dell'ultimo giro non completato, perché la fase ϕi si otterrà da questa con la proporzione,

ϕi : dgi = 2π : 1 - dal valore di ϕi, si calcolano le due componenti del vettore di fase unitario, Vui e

Vvi, necessarie per calcolare le componenti Su e Sv della somma vettoriale: Vui = cos (ϕi) Vvi = sin (ϕi)

- calcolo delle componenti Su e Sv della somma vettoriale: Su = Σi Vui Sv = Σi Vvi - calcolo della sovrapposizione S = Su

2+ Sv2

1) si parte da una fenditura stretta, per la quale si fa passare un solo cammino;

2) si allarga gradualmente la fenditura, in modo simmetrico, aggiungendo ogni volta coppie di cammini;

3) per ogni cammino si calcola il vettore di fase, lo si somma ai vettori degli altri cammini, ottenendo una spezzata, che, man mano che si aggiungono vettori, assume una tipica forma a "S" e poi diventa la "spirale di Cornu". Si calcola infine la risultante r e la sovrapposizione S = r2 dei vettori di fase.


-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-8 -6 -4 -2 0Su

Sv

r

11

Fenditura larga: foglio "Fey-l-tutorial.xls"

S cresce inizialmente, ma poi rallenta la crescita, anzi, per una certa larghezza della fenditura, inizia a diminuire e poi oscilla, il tutto in un modo che dipende dalla larghezza iniziale della fenditura, dalla velocità e dalla massa.

1 2

3

4 5

r

La forma della somma dei vettori di fase e il valore della sovrapposizione S dipendono dalla larghezza della fenditura, dalla velocità e dalla massa dell'oggetto quantistico.

1) si parte da una fenditura inizialmente larga, per la quale si fanno passare molti cammini (21),

3) i vettori di fase vengono via via sommati ai precedenti, formando la caratteristica spezzata, che, superato il cammino centrale, assume la tipica forma a "S";

cammini (n=21)

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

(m)

2) per ogni cammino (a iniziare da quello che attraversa più in basso la fenditura) si calcola il vettore di fase,

somma dei vettori di fase

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-5 0 5 10 15Su

Sv

4) alla fine si calcola la risultante r e la sovrapposizione S = r2 dei vettori di fase.

12

Nota b Il cammino può essere reso complicato quanto si vuole, ma, concettualmente, ciò non aggiunge nulla di nuovo alla fisica del problema. Inoltre, come risulta poi chiaro dal calcolo esplicito e come intuibile in base al principio di corrispondenza, i cammini che contribuiscono di più sono quelli che più si avvicinano alla linea retta. Se si volesse fare un calcolo per rendersene conto, si potrebbe analizzare una situazione come quella della figura, in cui si inseriscono altri ostacoli, costringendo tutti i cammini ad attraversare una ulteriore fenditura fra gli ostacoli: nella figura abbiamo ipotizzato due cammini, per cui, per ognuno dei precedenti cammini, si deve sommare su due possibili percorsi. La nuova fenditura andrebbe poi spostata, in modo da esplorare altri cammini: concettualmente, gli algoritmi per i calcoli sono gli stessi, le somme diventano solo molto più complesse! Punto 3 Consigli per l’uso del “tutorial” sui cammini di Feynman Provate a cambiare i parametri, uno per volta, e osservate che effetto ha il cambiamento. Vi consiglio di cominciare dalla velocità, ma operate piccoli cambiamenti alla volta, ad esempio da 400 m/s a 600 m/s o a 200 m/s, mai cambiamenti di ordini di grandezza Che cosa guardare - anzitutto la “spirale di Cornu”, che vi dà subito l’idea dell’allineamento o meno fra i vettori di

fase: la spirale si arriccia se si va verso situazioni “classiche”, perché le fasi tra i vettori cambiano rapidamente, invece si distende andando verso situazioni “quantistiche”, perché c’è una buona correlazione di fase tra i cammini vicini;

- la “sovrapposizione”: è piccola se si va verso situazioni “classiche”, perché i vettori di fase sono molto diversi anche per punti di passaggio vicini, mentre è grande per situazioni “quantistiche”, perché i vettori di fase sono ben allineati;

- la differenza fra il numero di giri dei primi due vettori, che è un parametro cruciale per capire se state usando correttamente il foglio: di norma non dovrebbe superare 0,4 giri, perché questo corrisponde già a un angolo di circa 160° fra due vettori vicini, il che rende la spirale di Cornu molto spigolosa e poco accurata.

3b 2b

1b

3b

2b

1b A B

Dtrasv

D'A DB

3a 3a

2a 2a

1a 1a

D''A

13

Nelle figure ad esempio vedete i cambiamenti nel passare da 400 m/s a 1500 m/s: A 400 m/s la situazione è decisamente “quantistica”: - la spirale è bella, con appena un accenno di ricciolo all’estremo, il che indica che anche i vettori

che passano lontano dal centro sono ancora allineati fra di loro; - ci sono circa 10 vettori di fase che passano al centro della fenditura che sono ben allineati fra di

loro; - la sovrapposizione è alta; - la differenza di fase tra i vettori al bordo è piccola (0,1 giro), indice che la correlazione si

mantiene vicino ai bordi. A 1500 m/s la situazione sta evolvendo verso la configurazione “classica”: - la spirale si avvolge su se stessa agli estremi, il che indica che anche i vettori che passano

lontano dal centro sono poco allineati fra di loro (il fatto che sia anche spigolosa è un difetto del calcolo, perché 21 cammini sono chiaramente insufficienti per integrare bene il moto a questa velocità);

- ci sono pochi vettori di fase ben allineati fra di loro (circa 3, quelli che passano al centro della fenditura);

- la sovrapposizione è bassa; - la differenza di fase tra i vettori al bordo è grande (0,39 giri), indice che la correlazione viene

meno vicino ai bordi. Potete provare a cambiare anche la massa, ma anche qui non dovete cambiare di ordini di grandezza, altrimenti non rimanete più nei limiti di validità del calcolo. Ci sono altri fogli che permettono di operare cambiamenti su scale maggiori (ad esempio “sovrapposizione” che trovate anche sul sito http://www.iapht.unito.it/qm/): ne esamineremo alcuni nella sezione C.


-1

-1

0

1

1

2

2

3

3

-2 0 2 4 6 8Su

Sv


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-5 0 5 10 15Su

Sv

400 m/s sovrapposizione: 110

differenza di giri fra i primi due vettori: 0,10

1500 m/s sovrapposizione: 33

differenza di giri fra i primi due vettori: 0,39

1


Sezione C: che cosa si può esplorare con il metodo della somma sui molti cammini

In questa sezione presenterò diversi fogli excel che abbiamo sviluppato per esplorare le potenzialità del metodo. Alcuni di essi, a mio avviso, sono più efficaci del tutorial stesso per capire come funziona il metodo, perché il tutorial è costruito nel modo più semplice possibile, per capire i concetti che sono alla base, quindi ha anche dei limiti legati al fatto che il numero di cammini esplorati è ridotto (solo 21). Materiali 1. Le oscillazioni della probabilità quantistica (foglio associato Fey-oscillazioni.xls): si esplorano

le oscillazioni della probabilità quantistica di rivelare l'oggetto nel punto B, in cui è messo il rivelatore, man mano che si allarga la fenditura che blocca alcuni cammini possibili. La probabilità quantistica si avvicina sempre più al valore aspettato “classicamente”, intorno al quale oscilla, con fluttuazioni che via via si attenuano senza tuttavia sparire. È il foglio con cui vi consiglio di cominciare a giocare, dopo il tutorial, perché in questo foglio si costruiscono ben 200 cammini attraverso la fenditura e quindi si può seguire con sicurezza, senza correre il rischio di uscire dai limiti del calcolo, come varia la spirale di Cornu e il valore della sovrapposizione man mano che si allarga la fenditura. Si vede infatti che, a piccole fenditure, la sovrapposizione è molto sensibile alla variazione della larghezza e che non è detto che allargare la fenditura porti sempre a un aumento della sovrapposizione, perché la sovrapposizione dipende da come giocano le fasi dei cammini ai bordi; da un certo punto in poi, tuttavia, diventa irrilevante includere o togliere un cammino, perché ormai ci si trova nel “ricciolo” della spirale di Cornu, che ha poca influenza sul valore della sovrapposizione. In queste condizioni si è raggiunto il limite “classico”, in cui, se l’oggetto passa, non c’è nessuna dipendenza dalla larghezza della fenditura.

2. I cammini e gli ostacoli (foglio associato Fey-ostacoli.xls): si esplora l'effetto che hanno gli "ostacoli" messi sul cammino dell'oggetto quantistico sulla probabilità di rivelare l'oggetto nel punto B dove è posto il rivelatore. A differenza dell'oggetto classico, che ha solo le possibilità "SI" o "NO" di arrivare in B, l'oggetto quantistico ha una probabilità sfumata, che non è mai rigorosamente "ZERO" ma neppure rigorosamente indipendente dalla posizione e dalla larghezza dell’ostacolo.

3. L’oggetto quantistico e le zone d’ombra (foglio associato: Fey-ombre.xls): per un oggetto classico, il bordo di un ostacolo crea un'ombra geometrica netta, al di là della quale l'oggetto non penetra, per l'oggetto quantistico non esiste invece niente di simile all'ombra geometrica, ma l'oggetto penetra tranquillamente anche nella zona d'ombra con una variazione continua e dolce della sua probabilità quantistica, ben esplorabile con questo foglio che permette di spostare uno dei bordi degli ostacoli.

4. La diffrazione (foglio associato Fey-diffrazione.xls): si esplora il variare della probabilità quantistica di rivelare l'oggetto nel punto B, in cui è posto il rivelatore, man mano che il punto si sposta. Si osserva il formarsi della figura di diffrazione con la possibilità di esaminarne le caratteristiche.

5. La rifrazione (foglio associato Fey-rifrazione.xls): si esplora il variare della probabilità quantistica di rivelare l'oggetto nel punto B, in cui è posto il rivelatore, quando l'oggetto quantistico si trova ad attraversare zone in cui deve viaggiare con diversa velocità ritrovando la legge di Snell e scoprendo perché essa è legata al principio di Fermat del percorso realizzabile con il tempo minimo.

2

Punto 1: le oscillazioni della probabilità quantistica Impostazione del calcolo Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico, che ha una fase che varia nel tempo e percorre simultaneamente tutti i cammini permessi, c'è anche quella che non si può essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini, nonché degli altri parametri del moto. Per esplorare come varia questa probabilità quantistica, inizieremo da una situazione semplificata e imposteremo i calcoli su un foglio elettronico per poter valutare rapidamente le fasi sui diversi cammini e variare i diversi parametri. I parametri che entrano in gioco sono:


La situazione base che utilizzeremo è quella illustrata nella figura:

Ci sono inizialmente solo due ostacoli che lasciano aperta una fenditura di ampiezza Dtrasv simmetrica rispetto alla congiungete dei punti A e B in cui sono posti la sorgente e il rivelatore. I cammini esaminati sono delle spezzate che vanno da A a un punto P posto sull'attraversamento della fenditura e di qui al punto B. La larghezza della fenditura verrà poi ampliata, permettendo il passaggio di altri cammini. I calcoli, sviluppati con il foglio EXCEL, consistono nei seguenti passi:



cammino permesso

A B Dtrasv

DA DB

P

3

a) Scelta o calcolo dei parametri che sono gli stessi per tutti i cammini:



Per costruire tutti i cammini possibili occorre adottare un qualche criterio "ordinatore", in modo da essere sicuri di non lasciarne indietro nessuno: il criterio è lo stesso adottato nel "Tutorial-s", in cui si inizia con una fenditura stretta e con un solo cammino e si allarga la fenditura rendendo via via possibili altri cammini. Il calcolo, sviluppato nel foglio "Fey-oscillazioni.xls", procede come illustrato nel seguente schema.


- scegliere la coordinata yfi del punto di attraversamento alla posizione della

fenditura, - calcolare la lunghezza Li del percorso tra A e B, - calcolare i giri gi = Li /λ fatti lungo il cammino dalla lancetta dell'immaginario






2+ Sv2

4

2) si allarga gradualmente la fenditura fino a poterci far passare un centinaio di cammini e si grafica la somma dei vettori di fase. Con tanti cammini, si riesce a seguire in dettaglio il formarsi della "spirale di Cornu": i due "riccioli" della spirale sono formati dai vettori di fase vicini ai due bordi della fenditura, che variano molto rapidamente fra cammini vicini, e quindi contribuiscono poco alla risultante,


-10,0

-5,0

0,0

5,0

10,0

-5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0Su

Sv

3) i valori di S ottenuti per le varie larghezze della fenditura vengono poi rappresentati in un grafico in funzione della larghezza, per poter apprezzare meglio le oscillazioni e valutare il valor medio intorno a cui S oscilla.

sovrapposizione

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80

larghezza fenditura (mm)

sovr

appo

sizi

one

Il valor medio intorno a cui S oscilla può essere considerato indicativo della situazione "classica", nella quale la probabilità è indipendente dai bordi della fenditura.

1) si parte da una fenditura stretta, per la quale si fa passare un solo cammino e si calcola il vettore di fase;

5

Punto 2: i cammini e gli ostacoli Impostazione del calcolo Gli ostacoli sono cruciali nel calcolo dello strano moto di un oggetto quantistico, che ha una fase che varia nel tempo e percorre simultaneamente tutti i cammini permessi. I cammini permessi sono infatti quelli che non sono impediti da qualche ostacolo. Inizieremo da una situazione semplificata e imposteremo i calcoli su un foglio elettronico per poter valutare rapidamente le fasi sui diversi cammini e variare i diversi parametri. I parametri che entrano in gioco sono:


La situazione base che utilizzeremo è quella illustrata nella figura:

Ci sono inizialmente solo due ostacoli che lasciano aperta una fenditura di ampiezza Dtrasv simmetrica rispetto alla congiungete dei punti A e B in cui sono posti la sorgente e il rivelatore. I cammini esaminati sono delle spezzate che vanno da A a un punto P posto sull'attraversamento della fenditura e di qui al punto B. La situazione verrà poi complicata a piacere con l'aggiunta di altri ostacoli. I calcoli, sviluppati con il foglio EXCEL, consistono nei seguenti passi: a) Scelta o calcolo dei parametri che sono gli stessi per tutti i cammini:



cammino permesso

A B Dtrasv

DA DB

P


6



Per costruire tutti i cammini possibili occorre adottare un qualche criterio "ordinatore", in modo da essere sicuri di non lasciarne indietro nessuno: il criterio è lo stesso adottato nel "Tutorial-l", in cui si tracciano 21 cammini equispaziati attraverso la fenditura. Il calcolo, sviluppato nel foglio "Fey-ostacoli.xls", procede come illustrato nel seguente schema.

- scegliere la coordinata yfi del punto di attraversamento alla posizione della

fenditura, - calcolare la lunghezza Li del percorso tra A e B, - calcolare i giri gi = Li /λ fatti lungo il cammino dalla lancetta dell'immaginario






2+ Sv2

2) si "gioca" a bloccare qualche cammino, vicino ai bordi o anche all'interno,

cammini (n=21) con gli ostacoli aggiunti

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

1) si parte da una fenditura inizialmente larga, per la quale si fanno passare molti cammini (21),

cammini (n=21)

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

(m)

7

3) …. e si vede che effetto ciò ha sulla risultante!


-4

-2

0

2

4

6

8

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4Su

Sv

iniziale

dopo aver bloccato alcuni cammini

L'effetto del blocco di alcuni cammini sulla somma dei vettori di fase e sul valore della sovrapposizione S dipende dalla larghezza della fenditura, dalla velocità e dalla massa dell'oggetto quantistico.

8

Punto 3: l’oggetto quantistico e le zone d’ombra Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico, che percorre simultaneamente tutti i cammini permessi, c'è anche quella che non si può essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare dei parametri del moto e della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini. Il moto ipotizzato è quello fra una sorgente A e un rivelatore B, attraverso una fenditura lasciata libera fra i bordi di due ostacoli. Il bordo superiore della fenditura si può spostare in modo da variare i cammini che riescono a passare rispetto a quelli che restano bloccati, fino al punto da far entrare il rivelatore B nella zona di quella che è l'ombra geometrica degli ostacoli: ciò permette di esplorare come varia la sovrapposizione al variare dell'estensione degli ostacoli. Per costruire tutti i cammini possibili viene adottato lo stesso criterio "ordinatore" del foglio "Tutorial-l", in cui i camini sono tracciati a iniziare da quello che attraverso la fenditura vicino al bordo inferiore e i successivi sono equispaziati ordinatamente fino al bordo superiore. In tutto vengono tracciati 201 cammini. Il calcolo, sviluppato nel foglio "Fey-ombre.xls", procede come illustrato nel seguente schema.

1) Si parte da una fenditura larga, per la quale si fanno passare 201 cammini. A differenza di quanto avviene nei "Tutorial", non è necessario che i bordi siano simmetrici rispetto allo zero, anzi è bene che il bordo superiore sia più vicino allo zero di quello inferiore (potrebbe addirittura avere valori negativi di y, per poter esplorare meglio le condizioni di "ombra geometrica").

2) Per ogni cammino (a iniziare da quello che attraversa più in basso la fenditura) si calcola il numero di giri del vettore di fase e la sua direzione nel punto B. 1 2 B A

Attenzione: controllare che la differenza fra il numero di giri dei primi due cammini non superi il valore di 0,2 circa: se ciò capita, significa che la spaziatura fra i cammini è troppo grossa e occorre ridurre la larghezza della fenditura.

cammini (n=201)

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

(m)

1

201

101 A B

9

4) I valori di S ottenuti arrestandosi, nella somma dei vettori, a varie distanze da zero del bordo superiore della fenditura vengono poi rappresentati in un grafico in funzione della distanza da zero del bordo superiore della fenditura, per poter apprezzare le oscillazioni e valutare il valore della distanza del bordo per cui il rivelatore entra praticamente nell'ombra totale dell'ostacolo.

sovrapposizione

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

distanza del bordo superiore (mm)

sovr

appo

sizi

one

3) I vettori di fase vengono via via sommati ai precedenti, formando la caratteristica spezzata, che assume la tipica forma di "spirale di Cornu", con uno dei "riccioli" ridotto, quello corrispondente ai cammini vicini al bordo superiore. Infine si calcola la risultante r e la sovrapposizione S= r2.


-10

-5

0

5

10

15

20

-10 0 10 20 30 40Su

Sv r

201

1

5) Si sposta verso il basso il bordo superiore della fenditura, riducendo così il numero di cammini permessi e si ricalcola la somma dei vettori di fase e la risultante r e la sovrapposizione S= r2.

cammini (n=181)

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

(m)

Non è detto che, riducendo i cammini, r diminuisca, anzi può anche aumentare e in generale oscilla! Tutto dipende se i cammini esclusi erano in fase o in controfase.


-8-6-4-202468

101214

-10 0 10 20 30 40Su

Sv

r

181

1

181

1

A B

10

La distanza del bordo superiore della fenditura per cui il valore di S diventa praticamente e stabilmente nullo può essere considerata indicativa della situazione "classica", nella quale la probabilità di rivelazione è sempre "NO", indipendentemente dai bordi della fenditura. Tale distanza è ben oltre la posizione dell'ombra geometrica e dipende crucialmente dalla quantità di moto dell'oggetto quantistico.

7) Partendo da una posizione del bordo della fenditura che mette già nella zona di ombra geometrica il rivelatore, si vede molto chiaramente che le oscillazioni di S, al crescere della distanza da zero del bordo superiore della fenditura, vanno riducendosi e il loro valore diventa sempre più prossimo a zero: si può così valutare bene il valor della distanza per cui il rivelatore entra praticamente nell'ombra totale dell'ostacolo.

sovrapposizione (121 cammini)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

distanza del bordo superiore (mm)

sovr

appo

sizi

one

6) Anche quando l'ombra geometrica del bordo superiore copre il rivelatore, i vettori di fase possono ancora sommarsi dando valori significativi della risultante r e quindi di S.

cammini (n=121)

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

(m)


-7-6-5-4-3-2-101234

-10 -5 0 5Su

Sv

r

1

121

121

1

A B

11

Punto 4: la diffrazione Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico, che percorre simultaneamente tutti i cammini permessi, c'è anche quella che non si può mai essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare dei parametri del moto, della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini e della posizione del punto in cui si vuole rivelare l’oggetto quantistico. Per esplorare come varia la probabilità quantistica, abbiamo supposto una sorgente nel punto A (yA=0) e una fenditura simmetrica rispetto alla retta orizzontale che passa per A. Il punto B dove è posto il rivelatore è supposto inizialmente sulla retta orizzontale (yB=0) e vengono tracciati "tutti i cammini possibili" che attraversano la fenditura, come nel foglio “Fey-l-tutorial”, calcolando sia la spirale di Cornu sia il valore della sovrapposizione in funzione della larghezza della fenditura, come in “Fey-l-sovrapposizione”. Si ripete poi il calcolo per una diversa posizione ys di B, immaginando che B si muova su un ipotetico “schermo” posto alla distanza DB dalla fenditura: si vede così come si modificano contemporaneamente la spirale e la sovrapposizione al variare di ys. Anche in questo caso, come in “Fey-ombre”, si osserva che la sovrapposizione continua a variare regolarmente, senza andare mai rigorosamente a zero, anche quando il punto B entra nell’ombra geometrica della fenditura. Infine si mettono insieme, per un valore fissato della larghezza della fenditura, tutti i valori della sovrapposizione al variare della posizione di B sullo “schermo” e si osserva il formarsi della figura di diffrazione, che si può poi confrontare con la figura dell’ombra geometrica della fenditura, che descrive il comportamento atteso per un oggetto classico. Il foglio "Fey-diffrazione.xls"

1) si parte da una fenditura larga, simmetrica rispetto alla sorgente A e al rivelatore B, per la quale si fanno passare molti cammini (21), per ogni cammino (a iniziare da quello che attraversa più in basso la fenditura) si calcola il vettore di fase,

cammini (n=21)

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

(m)

A B

12

r

2) i vettori di fase vengono ordinatamente sommati, partendo dal vettore corrispondente al cammino che attraversa nel punto più basso, formando la caratteristica spezzata, e si calcola la risultante r e la sovrapposizione S = r2 dei vettori di fase. Si esegue il calcolo della sovrapposizione lasciando fuori i vettori di fase dei due cammini più esterni, quindi su una larghezza minore della fenditura, e così via per larghezze decrescenti, come in “Fey-l-sovrapposizione.xls” e si fa il grafico della sovrapposizione in funzione della larghezza della fenditura.


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-5 0 5 10 15Su

Sv

sovrapposizione

0

50

100

150

200

250

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

larghezza fenditura (mm)

sovr

appo

sizi

one

massimo

3) Si ripete l’intero calcolo per diverse posizioni del punto B.

cammini (n=21)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 500 1000 1500 2000 2500


-15

-10

-5

0

5

-5 0 5 10Su

Sv

sovrapposizione

0

50

100

150

200

250

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40larghezza fenditura (mm)

sovr

appo

sizi

one

B1

B3

B0

B2

13

sovrapposizione sullo schermo

020406080

100120140

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ys (mm)

sovr

appo

sizi

one

n=3 classica

4) si sceglie infine una certa larghezza della fenditura, per la quale passano solo n cammini, e si riporta la sovrapposizione in funzione della posizione ys del punto B sullo schermo. Sullo stesso grafico viene riportata la sovrapposizione corrispondente a un “oggetto classico”, che si estende solo in zone strettamente all’interno dell’ombra geometrica della fenditura di quella data larghezza e ha, nella zona illuminata, sempre lo stesso valore, pari al valore medio della sovrapposizione quando la fenditura è così larga che le oscillazioni intorno al valore medio sono piccole (il calcolo viene fatto come in “Fey-oscillazioni.xls”)

Fenditura molto stretta, per la quale passano solo 3 cammini: la sovrapposizione si estende ben dentro la zona di ombra, con valori quasi costanti, che, anche nella zona “classicamente illuminata ”, sono molto minori del valore classico, segno che gli ostacoli bloccano molti cammini in fase.


0

20

40

60

80

100

120

140

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ys (mm)

sovr

appo

sizi

one

n=11 classica

Fenditura di larghezza intermedia, per la quale passano 11 cammini: la sovrapposizione ha un massimo nel punto centrale, prossimo al valore classico, ha una chiara diminuzione già all’interno della zona “classicamente illuminata”, segno che comincia a perdere cammini in fase sostituiti da cammini con vettori di fase meno allineati. La sovrapposizione si estende anche nella la zona di ombra, con valori che dapprima continuano a decrescere regolarmente, ma poi mostrano una tendenza a risalire, segno che si stanno includendo cammini con vettori di fase allineati.

14


0

50

100

150

200

250

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ys (mm)

sovr

appo

sizi

one

n=21 classica

Fenditura molto larga, per la quale passano 21 cammini: la sovrapposizione ha un massimo nel punto centrale, molto maggiore del valore classico, il secondo massimo è diventato un plateau ed è entrato nella zona “classicamente illuminata”. La sovrapposizione si estende ancora dentro la zona di ombra, mostrando una tendenza a risalire e quindi formare un nuovo massimo.


0

50

100

150

200

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ys (mm)

sovr

appo

sizi

one

n=15 classica

Aumentando ancora la larghezza (ora passano 15 cammini), l’andamento è simile a quello precedente: si accentua il massimo della sovrapposizione nel punto centrale, che ora supera il valore classico, e diventa visibile il massimo secondario che si è formato nella zona di ombra.

La posizione di B alla quale si verifica il primo minimo si avvicina al centro in modo che è circa inversamente proporzionale

alla larghezza della fenditura (o anche al numero di cammini inclusi) alla quantità moto dell’oggetto (velocità)

Il risultato è da aspettarsi perché - misurando la posizione ym del minimo mettiamo un limite inferiore alla componente py

della quantità di moto (δpy/p≈ ym/DB ) dei cammini in fase fra di loro, - misurando la larghezza della fenditura mettiamo un limite inferiore all’incertezza δy sulla

posizione all’attraversamento della zona della fenditura dei cammini in fase fra di loro, - per il principio di indeterminazione, il prodotto δpy⋅δy ≈ h

15

Punto 5: la rifrazione Fra le strane caratteristiche dell'oggetto quantistico, che percorre simultaneamente tutti i cammini permessi, c'è anche quella che non si può mai essere sicuri al 100% che l'oggetto quantistico "arrivi" nel punto in cui c'è il rivelatore oppure che "non arrivi", come avviene invece per un oggetto classico, che sicuramente arriva se parte con la giusta direzione della velocità e non incontra ostacoli che intercettano la sua traiettoria, mentre non arriva se manca una delle due condizioni. Per l'oggetto quantistico, proprio a causa dei "molti cammini", non c'è mai un chiaro "SI" o un netto "NO", ma solo una certa probabilità, che varia al variare dei parametri del moto, della posizione degli ostacoli frapposti sui cammini, della posizione del punto in cui si vuole rivelare l’oggetto quantistico e infine anche della velocità con cui si può muovere lungo i cammini. Per esplorare come varia la probabilità quantistica proprio nella situazione in cui l’oggetto si muove con diversa velocità in due diversi “mezzi” che si trova ad attraversare, abbiamo supposto una sorgente nel punto A, con posizione yA>0 che si può variare lungo una retta posta a una distanza DA da una fenditura simmetrica rispetto al punto y=0. Il punto B, dove è posto il rivelatore, è supposto in una posizione yB<0, che si può variare lungo una retta posta a una distanza DB dalla fenditura. Occorre specificare inizialmente, oltre ai dati usuali, anche le posizioni yA e yB e il valore delle lunghezze di de Broglie nei due mezzi (il foglio è predisposto per un fotone), avendo cura di dare una lunghezza più lunga nel secondo mezzo. Nel calcolo verranno tracciati "tutti i cammini possibili" che attraversano la fenditura, come nel foglio “Fey-l-tutorial.xls”, calcolando sia la spirale di Cornu sia il valore della sovrapposizione in funzione della larghezza della fenditura, come in “Fey-l-sovrapposizione.xls”: lo scopo è trovare il valore di yB che rende massima la sovrapposizione. Anziché tracciare subito tutti i possibili cammini che attraversano la fenditura e procedere per tentativi per ottimizzare yB, inizialmente si considerano solo due cammini, quello che passa per il centro della fenditura e il cammino contiguo, e si fa variare yB in passi regolari fra il punto che si trova sulla congiungente di A con il centro della fenditura e il valore yB=0 calcolando per ogni posizione la differenza fra i vettori di fase. La posizione migliore è quella per la quale tale differenza è più prossima a zero, perché sarà anche quella che darà la massima sovrapposizione. Calcolando, per la posizione di B ottimizzata, il rapporto fra il seno dell’angolo di incidenza sulla superficie della fenditura e il seno dell’angolo di uscita (rifrazione) dalla fenditura si ottiene un valore prossimo al rapporto fra la lunghezza di de Broglie nel secondo mezzo e quella nel primo mezzo (legge di Snell). Uno sviluppo interessante, che è possibile proprio per le potenzialità del metodo, è di indagare fino a che punto deve essere “liscia” la superficie di separazione fra i due mezzi. Questa simulazione viene fatta nel secondo foglio dello stesso file, in cui si varia a caso, per ogni punto di attraversamento della fenditura, la posizione precisa del passaggio fra i due mezzi di diversa velocità di propagazione, scoprendo quale è la massima variazione al di sopra della quale la spirale di Cornu si deforma irrimediabilmente.

16

Il foglio “rifrazione” in "Fey-rifrazione.xls"

1) si parte da una fenditura larga, per la quale si faranno passare molti cammini (21), simmetrica intorno alla coordinata y=0, e da una sorgente A con coordinata yA>0;

3) l’ottimizzazione fine della posizione yB viene poi fatta manualmente, per piccole variazioni, fino a ottenere una spirale di Cornu completamente simmetrica.

Calcolando, per la posizione di B ottimizzata, il rapporto fra il seno dell’angolo di incidenza sulla superficie della fenditura e il seno dell’angolo di uscita (rifrazione) dalla fenditura si ottiene un valore prossimo al rapporto fra la lunghezza di de Broglie nel secondo mezzo e quella nel primo mezzo (legge di Snell).

cammini (n=21)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 10 20 30

B

yB

A

yA

2) si fa variare la posizione yB del rivelatore in passi regolari, calcolando per ogni posizione la differenza fra il numero di giri dei vettori di fase dei due cammini centrali. Per interpolazione si stima il valore di yB per cui sia ha differenza nulla.

Differenza fra i giri dei vettori di fase centrali

-14-12-10-8-6-4-20246

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0y rivelatore (mm)

diffe

renz

a fra

i gi

ri


0123456789

10

-8 -6 -4 -2 0Su

Sv


-4-4-3-3-2-2-1-1011

-15 -10 -5 0 5Su

Sv

valore di yB non ben ottimizzato

valore di yB ottimizzato

17

Il foglio "rifrazione random" in “Fey-rifrazione.xls”

1) si parte dal calcolo della posizione ottimale di B fatto nel foglio “rifrazione”, per il quale si ha una spirale di Cornu ben simmetrica e regolare e una buna sovrapposizione;

Quando la massima rugosità s raggiunge o supera il valore di λ, la forma della spirale è completamente deteriorata!

2) si modifica casualmente per ogni cammino la distanza DA aggiungendo un tratto che varia casualmente fra 0 e un valore massimo s preventivamente fissato e contemporaneamente si riduce la distanza DB togliendo lo stesso tratto e si calcola nuovamente la spirale di Cornu e la sovrapposizione.

Si osserva un progressivo deterioramento della spirale e una diminuzione della sovrapposizione al crescere di s (che viene espresso in frazioni della lunghezza λ di de Broglie).


-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.0

-15 -10 -5 0 5Su

Sv

s=0 sovrapposizione massima ≈ 150


-8.0-7.0-6.0-5.0-4.0-3.0-2.0-1.00.01.02.03.0

-2 -1 0 1 2Su

Sv

s = 0,2 λ sovrapposizione massima ≈ 60


-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

-4 -2 0 2 4Su

Sv



-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

-4 -2 0 2 4Su

Sv



-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

-6 -4 -2 0 2 4Su

Sv

s = λ sovrapposizione massima ≈ 50


-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

-6 -4 -2 0 2 4Su

Sv

s = 2λ sovrapposizione massima ≈ 20

il metodo di feynman della somma sui molti cammini per l ... · il metodo di feynman della somma...

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