1

Imatges matemàtiques (Dibuix matemàtic):

Els hexàgons de les abelles.

Benvolgudes famílies,

Estem a punt de finalitzar el curs escolar 2016-2017 i no ens podem acomiadar d’ell sense alguna bona imatge matemàtica. I aquí, pensem que en tenim una.

Amb la calor d’aquests dies, s’intensifica la presència de mosques, mosquits, abelles i més insectes al nostre voltant. Pobretes, tenir-les molt a prop no ens satisfà, però aquest cop ha anat bé perquè la seva presència ens ha fet recordar el dibuix d’Aduna Campoy Pallarès que enguany ha fet 1r de Primària en el centre Jaume II (El Perelló) i ha participat en el concurs de dibuixos Matemàtics d’ABEAM amb el seu dibuix Els hexàgons de les abelles.

I és que les abelles, a banda de delecta -nos amb la seva mel i les seves excel·lents propietats, ens permeten descobrir propietats matemàtiques molt útils i interessants.

En el títol, l’Aduna parla dels hexàgons de les abelles... A quins hexàgons es deu referir? Efectivament, com bé es desprèn del seu dibuix, la propietat de què ens porta a parlar està relacionada en la forma de les cel·les de les bresques que les abelles elaboren per a contenir les seves larves, i acumular pol·len i mel. Hi pot haver alguna raó matemàtica que expliqui el per què d’aquesta forma i no una altra?

Pappus d’Alexandria, matemàtic grec (considerat l’últim dels geòmetres de la seva època) que va viure pels voltants de l’any 300, es va fer aquesta pregunta, sobre la qual va fer l’afirmació següent:

2

Les abelles, en virtut d’una certa intuïció geomètrica, saben que l’hexàgon és major que el quadrat i que el triangle, i que podrà contenir més mel amb la mateixa despesa de material.

Què volia dir amb això Pappos?

Pappos parla de la mateixa despesa de material. Entenem que es refereix a la despesa que suposa crear les cel·les. I parlar del que les bresques podran contenir, per tant, de la seva àrea. Així doncs, d’alguna manera parla de la relació que hi pot haver entre la vora de les cel·les i el que, en funció d’aquesta vora, podrà contenir.

Per a intentar esbrinar-ho, construïm, un triangle, un quadrat i un hexàgon, totes tres figures amb la mateixa àrea. Quan les tinguem fetes, calculem el perímetre d’aquestes tres figures i els comparem. Tenen també el mateix valor aquests perímetres? Quina figura té el perímetre més petit? Efectivament, el menor perímetre correspon a l’hexàgon!

Ho provem amb un una altra àrea? De nou, tenint un triangle, un quadrat i un hexàgon tots ells amb la mateixa àrea, en calcular els seus perímetres, resulta que el de l’hexàgon pren el valor més petit.

Ara ja podem entendre l’afirmació de Pappus. El que volia dir és que per una àrea donada (per un triangle o quadrat, per exemple) la suma dels costats de l'hexàgon, el seu perímetre, serà sempre menor que la del triangle o quadrat. Per tant, observem com per contenir una mateixa quantitat de mel, crear l’hexàgon és el que requereix una menor despesa. Es tracta d’una qüestió de gran eficiència i efectivitat! Treure el màxim amb la mínima despesa.

Alhora, amb aquest fet ens adonem que el perímetre i l’àrea, dues magnituds que tant utilitzem per descriure figures planes, són independents. És a dir, que no mantenen una relació entre elles. Aquí hem vist com, tot i mantenir l’àrea, el seu perímetre podia variar.

Però aquí no s’acaba tot! I és que ara, ens surt una altra pregunta... per què Pappus, en la seva afirmació només parla de trigonal, quadrat i hexàgon? Per què no parla de cap altra figura plana? És que les cel·les de les bresques que formen les bresques no podrien tenir una altra forma? Hi pot haver alguna raó matemàtica que ho expliqui?

I amb aquesta pregunta us deixem, perquè hi pugueu pensar durant l’estiu i a la tornada la puguem contestar plegats.

Esperem que a partir d’ara, pugueu veure les abelles amb uns altres ulls, si més no ben matemàtics, que com acabem de veure, tenen molta matemàtica a mostrar-nos!

Molt bones vacances d’estiu,

Grup de Dibuixos Matemàtics d’ABEAM

http://abeam.feemcat.org/course/view.php?id=25

concursdibuixosabeam@gmail.com