ime fisica 1998

IME – Física 1998

1

FÍSICA 1997 01- Na figura a seguir os objetos A e B pesam, respectivamente, 40 N e 30 N, e

estão apoiados sobre planos lisos, ligados entre si por uma corda inextensível,

sem peso, que passa por uma polia sem atrito. Determinar o ângulo θ e a tensão

na corda quando houver equilíbrio.

Resolução: As componentes dos pesos paralelos às superfícies inclinadas devem ser iguais em módulo.

PA.sen 30º = PB.sen θ 40.0,5 = 30.sen θ sen θ = 20/30 = 2/3

θ = arc sen (2/3). T = PA.sen 30º = 40.0,5 = 20 N.

Resposta:- θθθθ = arc sen (2/3) e T = 20 N.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 02- Entre duas placas metálicas e paralelas e que constituem um capacitor de

capacitância C = 0,08µF, coloca-se esticado um fio de náilon que vibra na

freqüência fundamental f1 = 100 Hz. Retira-se o fio, altera-se a distância entre as

placas e coloca-se entre elas um outro fio de náilon, com as mesmas

propriedades físicas do primeiro, porém de comprimento tal que, agora, a

freqüência fundamental de vibração seja f2 = 250 Hz. Sabendo-se que as placas

permanecem sempre carregadas com Q = 2 µC, determine a tensão elétrica entre

elas na segunda distância da experiência.

Resolução: A capacitância é dada por C = ∈0A/d1. Para a freqüência fundamental o comprimento da

corda é (1/2) comprimento de onda. Portanto, d1 = (1/2)λ1 = (1/2).v/f1 = v/2f1 .

Na segunda experiência d2 = v/2f2.

Tem-se ainda que C1/C2 = (∈0A/d1)/(∈0A/d2) C1/C2 = d2/d1 = (v/2f2)/(v/2f1) = f1/f2

0,08/C2 = 100/250 C2 = 0,08.250/100 = 0,02 µF.

Nesta segunda distância, V = Q/C2 = 2/0,02 = 100 V.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 03- Considere um calorímetro no qual existe uma certa massa de líquido. Para aquecer o conjunto líquido-

calorímetro de 30ºC para 60º são necessários Q1 J. Por outro lado, Q2 J elevam de 40ºC para 80ºC o

calorímetro juntamente com o triplo da massa do líquido.

a) Determine a capacidade térmica do calorímetro nas seguintes situações:

Q1 = 2000 J Q2 = 4000 J

Q1 = 2000 J Q2 = 7992 J

b) Com base nestes dados, em qual das situações a influência do material do calorímetro pode ser

desconsiderada? Justifique sua conclusão.

Solução: Seja C a capacidade térmica do calorímetro, m a massa do líquido e c o calor específico do

líquido.

B A

30º θ

P1 P2


2

(a) Tem-se Q1 = (C + mc).(60 – 30) Q1 = 30C + 30 mc mc = (Q1 – 30C)/30 e

Q2 = (C + 3mc)(80 – 40) Q2 = 40C + 120 mc mc = (Q2 – 40C)/120.

Igualando os valores de mc, (Q1 – 30C)/30 = (Q2 – 40C)/120

4Q1 – 120C = Q2 – 40 C C = (4Q1 – Q2)/80.

Para o primeiro par: C = (4.2000 – 4000)/80 = 4000/80 = 50 J/ºC.

Para o segundo par: C = (4.2000 – 7992)/80 = 8/80 = 0,1 J/ºC.

Resposta:- 50 J/º e 0,1J/ºC.

(b) Resposta:- Na situação indicada, pode ser desconsiderada a segunda situação pois a capacidade térmica é muito pequena. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 04- Um corpo constituído de um material de densidade relativa à água igual a 9,0 pesa 90 N. Quando totalmente imerso em água, seu peso aparente é de 70 N. Considere a aceleração local da gravidade g = 10m/s² e a massa específica da água igual a 1 g/cm³. a) Faça o diagrama das forças que atuam no corpo imerso na água e identifique essas forças.

b) Conclua, por cálculo, se o corpo é oco ou maciço.

Solução:

(a) Resposta: As forças são o peso e o empuxo E e diagrama ao lado.

(b) O empuxo recebido é E = P – Pap = 90 – 70 = 20 N.

Como E = V.ρA.g e ρA = 1 g/cm3 = 1.103 kg/m3 resulta 20 = V.1.103.10

V = 2 .10-3 m3, onde V é o volume submerso.

O volume do material que constitui o corpo é obtido por P = V’.ρc.g

V’ = 90/9.10-3.10 = 1.10-3 m3. Como V’ < V, o corpo é oco.

Resposta: o corpo é oco.

-------------------------------------------------------------------------------------- 05- Em uma experiência de laboratório, certo dispositivo colocado em

um ponto A, situado H metros acima do solo, lança uma pequena esfera

que deverá passar por cima de um prisma de vidro de altura 2H e atingir

um sensor ótico colocado em um ponto B afastado de 2L metros do

ponto A, conforme a figura abaixo. Simultaneamente com o lançamento

da esfera, o mesmo dispositivo emite um raio de luz monocromática,

perpendicular à face vertical do prisma, que irá atingir o sensor B.

Determine, literalmente:

a) O tempo que a esfera levará para ir do ponto A ao ponto B;

b) O tempo que o raio luminoso levará para ir do ponto A ao ponto B.

c) O tempo que dispomos para remover o sensor do ponto B, logo após ter sido excitado pelo raio de luz,

de modo que não seja atingido pela esfera.

H

A 2H

L L

B 45º

P

E

H

A 2H

L L

B 45º

C

D

E r

F

s 45


3

Dados: ângulo de lançamento da esfera com a horizontal que passa pelo ponto A: α

Aceleração da gravidade: g

Velocidade inicial da esfera: V0.

Considere o índice de refração do ar igual a 1.

Resolução:

(a) o tempo gasto para ir de A até B é igual ao de um corpo que sobe até uma altura H somado ao tempo

para descer uma altura 2H. Como H = (1/2)g.t12 e 2H = (1/2)gt2

2 t1 = H/2g e t2 = 2H/2g

t1 + t2 = H/2g + H/g = (1/√2 + 1). H/g

Resposta: t = (1/√√√√2 + 1). H/g

(b) A luz percorre AE = L com velocidade c, EC = H com velocidade c/n (velocidade da luz no prisma

cujo índice de refração é n) e CB com velocidade c.

Do triângulo CDB, CB2 = CD2 + DB2 CB2 = H2 + (L - H)2 = H2 + L2 – 2LH + H2 =

= 2H2 + L2 – 4LH CB = 2H2 + L2 – 4LH .

Assim, o tempo é: t = L/c + H/(c/n) + 2H2 + L2 – 4LH /c = (1/c).(L + nH + 2H2 + L2 – 4LH).

No triângulo CBD, r = s + 45º s = r – 45º sen s = sen r.cos 45º - sen 45º.cos r. Pela segunda lei da

refração: sen r = n.sen45º = n.√2/2 cos r = 1 – sen2r = 1 – n2/2 = (2 – n2)/2 = (1/√2). 2 – n2.

Assim, sen s = CD/CB = n.(√2/2).(√2/2) – (√2/2).(1/√2). 2 – n2. = (n/2) – (1/2). 2 – n2

H/ 2H2 + L2 – 4LH = (1/2).(n - 2 – n2).

Elevando ao quadrado: 4H2/(2H2 + L2 – 4LH) = n2 – 2n. 2 – n2 + 2 – n2

2H2/(2H2 + L2 – 4LH) = 1 – n. 2 – n2 n. 2 – n2 = 1 – [2H2/(2H2 + L2 – 4LH)]

n. 2 – n2 = (2H2 + L2 – 4LH – 2H2)/(2H2 + L2 – 4LH) = (L2 – 4LH)/(2H2 + L2 – 4LH).

Fazendo (L2 – 4LH)/(2H2 + L2 – 4LH) = p resulta

2n2 – n4 = p2 n4 – 2n2 + p2 = 0 n = (2 + 4 – 4p2 )/ 2 = 1 + 1 – p2 . O valor mais após o 2 foi

usado pois o índice de refração deve ser maior que 1.

Assim, o tempo gasto é: t = (1/c).(L + 1 + 1 – p2 + 2H2 + L2 – 4LH ).

Calculando 1 – p2, tem-se: 1 – [(L2 – 4LH)2/(2H2 + L2 – 4LH)]2 =

= [(2H2 + L2 – 4LH)2 - (L2 – 4LH)2]/(2H2 + L2 – 4LH)2 =

= (4H4 + L4 + 16L2H2 +4H2L2 – 16LH3 – 8L3H – L4 + 8L3H – 16L2H2)/(2H2 + L2 – 4LH) 2 =

= (4H4 + L4 + 16L2H2 +4H2L2 – 16LH3 – 8L3H – L4 + 8L3H – 16L2H2)/(2H2 + L2 – 4LH) 2 =

= (4H4 + 4H2L2 - 16LH3)/(2H2 + L2 – 4LH) 2 = 4H2(H2 + L2 – 4LH)/ (2H2 + L2 – 4LH) 2 =

1 – p2 = 2H. (H2 + L2 – 4LH)/(2H2 + L2 – 4LH)

Calculando 1 + 1 – p2, tem-se 1 - 2H. (H2 + L2 – 4LH)/(2H2 + L2 – 4LH) =


4

= (2H2 + L2 – 4LH – 2H)/ (2H2 + L2 – 4L2) Substituindo este valor na expressão encontrada para o tempo

resulta:

t = (1/c).(L + 1 + 1 – p2 + 2H2 + L2 – 4LH)

Resposta: t = (1/c).[L + 2H. [(2H2 + L2 – 4LH – 2H)/(2H2 + L2 – 4L2) + (2H2 + L2 – 4LH)]

c) o tempo é igual à diferença entres os dois tempos encontrados.

Resposta:

∆t = (1/√2+1). H/g - (1/c).[L + 2H. (2H2 + L2 – 4LH – 2H)/(2H2 + L2 – 4L2) + 2H2 + L2 – 4LH].

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 06- Um circuito é construído com o objetivo de aquecer um

recipiente adiabático que contém um litro de água a 25ºC.

Considerando-se total a transferência de calor entre o resistor e a

água, determine o tempo estimado de operação do circuito da

figura abaixo para que a água comece a ferver.

Dados: calor específico da água: 1cal/gºC; massa específica da água: 1 kg/L; temperatura necessária para

ferver a água: 100ºC.

Resolução:- Relacionando a quantidade de calor necessária e a energia fornecida pelo resistor, tem-se:

Q = m.c.∆θ = Ri2t (1).

Calculando a corrente no resistor de 5 Ω:

60 = 2i + [(20.5)/(20 + 5)]I 60 = 2i + 4i I = 60/6 = 10 A 20.(i – i’) = 5i’

20i – 20i’ = 5i’ i’ = 20i/25 = 8 A.

Para combinar as unidades: 1 cal/g.ºC = 4,18 J/gºC = 4,18.103 J/kg.ºC; m = 1 L.1kg/L = 1 kg.

Aplicando na equação (1) 1.4,18.103 = 5.82.t t = 4,18.103/320 = 13 segundos.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 07- Um bloco de material isolante elétrico, de peso 5 N, é abandonado do

repouso na situação da figura abaixo. Na queda, o bloco puxa a placa

metálica inferior, P2, de um capacitor enquanto a placa superior, P1,

permanece fixa. Determine a tensão elétrica no capacitor quando a mola

atinge a compressão máxima. Dados: constante da mola: 30 N/m; carga do

capacitor: q = 18 µC; capacitância inicial: C0 = 9 µF; distância inicial entre

as placas: d0 = 32cm; distância inicial entre o bloco e a mola: h = 8 cm

2Ω

20Ω 5Ω 60V água

Resistor imerso

5 N

h

d0 P1

P2


5

Resolução: A energia potencial gravitacional [mg(x +h) = P(x + h)] do

bloco é transformada em energia potencial elástica (kx2/2).

Assim, 5.(x + 0,08) = 30.x2/2 15x2 – 5x – 0,4 = 0 x = (5 + 7)/30 x = 12/30 = 0,4

m ou x = - 2/30 (não serve).

Como o corpo desce h + x, 0,08 + 0,4 = 0,48 m, a distância entre as placa passa a ser d0 + 0,48 m = 0,32 +

0,48 = 0,80 m.

Como C = ∈0A/d C0d0 = C2d2 9.0,12 = C2/0,80 C2 = 9.0,8/0,12 = 60 µF.

Fazendo Q = CV, V = Q/C = 18/60 = 0,3 V.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 08- Um objeto é lançado da superfície de um espelho, segundo um ângulo

de 30º com a horizontal, com velocidade inicial V0 . Sabendo que o

espelho está inclinado de 30º, conforme a figura, determine:

a) o tempo gasto para que o objeto atinja o espelho.

b) As componentes vertical e horizontal, em função do tempo, do vetor

velocidade da imagem do objeto lançado. Dados: aceleração da gravidade:

g

Resolução:- A figura mostra a trajetória do objeto.

(a) Componentes da velocidade: vx = vo.cos30º.

O tempo gasto para o objeto percorrer de A até B é t = CB/vo.cos30º.

Do triângulo ACB, CB = Lcos30º. Portanto:

t = Lcos30º/v0.cos30º = L/v0. L = vo.t (1)

A altura h é dada por (v0sen30º)2 = 2gh h = (v0sen30º)2.

A componente vertical da velocidade de queda a partir do nível A, é a mesma em módulo que a

componente vertical em A.

A posição vertical do móvel em cada instante t é y = Vo.sen30.t – (1/2)g.t2.

Em conseqüência: -x = Vo.sen30º.t – (1/2)g.t2. (2)

Do triângulo ABC, x/L = sen30º. Combinando com (1) ==> x = L.sen30º = Vo.t.sen30º.

Levando este resultado para (2), -Vo.sen30ºt = Vo.sen30º.t – (1/2)g.t2. (1/2)gt2 = 2.Vo.sen30º.t

(1/2)gt2 = 2.V0.(1/2).t gt2 = 2V0t t = 0 ou t = 2V0/g.

Resposta: t = 2V0/g.

(b) Seja V a velocidade em um dado instante. As componentes vertical e horizontal de V serão:

Vx = Vo.cos30º e Vy = Vo.sen 30º - gt.

As imagens de Vx e Vy têm as mesmas dimensões que Vx e Vy.

Determinando as componentes horizontais (Rx) e verticais (Ry) das

imagens, tem-se:

30º

30º

L

A

B

x

h

V0

C

Vi

30º

60º

30º 30º

30º 60º Vy

Vx

Vy

30º


6

Rx = Vx.sen30º - Vy.sen60º = V0.cos30º.sen30º - (V0.sen30º - gt).sen60º =

= V0.cos30º.sen30º - V0.sen30º.sen60º + gt.sen60º = V0.cos30º.sen30º - V0.sen30.cos30º + gt.sen60º

Rx = g.sen60º.t

Ry = Vx.cos30º + Vy.cos60º = Vx.cos30º + Vy.sen30º = V0.cos230º + (V0.sen30º – gt).sen30º =

= V0.cos230º + V0.sen230º - gt.sen 30º = V0.(cos230º + sen230º) – gt.sen 30º Ry = V0 – g.sen30º.t

Resposta: Componente horizontal = g.sen60º.t e componente vertical = V0 – g.sen30º.t

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 09- Na figura abaixo, uma corda é fixada a uma parede e depois de passar por uma

roldana é tencionada por uma esfera metálica com 330g de massa. Uma segunda

esfera metálica, firmemente presa ao solo, é colocada verticalmente abaixo da

primeira. Sabendo que a distância entre a parede e a roldana é de 0,50 m e que a

distância entre os centros das esferas é de 10cm, determine a freqüência de

ressonância do trecho da corda entre a parede e a roldana:

a) com as duas esferas descarregadas;

b) com as duas esferas carregadas, a primeira com uma carga elétrica de +1,0.10-7C e a segunda com uma

carga elétrica de –2,0.10-6C.

Dados: aceleração da gravidade: 9,8 m/s²

Permissividade do vácuo: 8,9.10-12 F/m

Densidade linear da corda: µ = 2,0 g/m

Reolução:

(a) A velocidade da onda na corda é v = T/µ = λf. Para uma onda estacionária na corda, o

comprimento L é igual a (1/2) comprimento de onda. A tração na corda é igual ao peso da esfera

T = mg = 0,330.9,8 = 3,234 N. µ = 2,0 g/m = 2.10-3 kg/m e λ = 2L = 2.0,5 = 1 m.

Portanto: 1.f = 3,234/2.10-3 = 40,2 Hz.

(b) Neste caso, a tração na corda é T = P + F (F é a força de atração entre as duas esferas pois as cargas

têm sinais opostos)

F = (1/4π∈0).Q.q/d2 sendo ∈0 = 8,9.10-12 F/m, d = 10 cm = 10-1 m, Q = 1.10-7 C e q = 2.10-6 C.

F = (1/4.3,14.8,9.10-12).(10-7).(2.10-6)/(10-1)2 = 0,018.10 = 0,18 N T = P + F = 0,18 + 0,33.9,8 =

= 3,414 N

Assim, 3,414/2.10-3 = 1.f f = 1707 = 41,3 Hz.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


7

10- Um pequeno cesto é preso em uma haste que o faz girar no sentido

horário com velocidade constante. Um carrinho, com velocidade de 1,5

m/s, traz consigo um brinquedo que arremessa bolinhas na vertical para

cima com velocidade de 5,5 m/s. Quando o carrinho está a uma

distância de 2 m do eixo onde a haste é presa, uma bolinha é lançada.

Nesse instante, o cesto está na posição mais baixa da trajetória (posição

A), que é a altura do chão e a do lançamento da bolinha.

A bolinha é arremessada e entra, por cima, no cesto quando este está na posição B indicada na figura.

Determine:

a) O vetor velocidade da bolinha ao entrar no cesto.

b) A menor velocidade angular do cesto para que a bolinha entre no cesto.

Resolução:

(a) Seja r o raio da trajetória do cesto. O tempo gasto para atingir a distância horizontal

d = 2 – r é t = d/v = (2 – r)/1,5. (1)

Neste mesmo tempo a bolinha deve atingir a altura “r” : r = vot – (1/2)gt2 r = 5,5t – 5.t2. (2)

Substituindo o valor de t de (1) em (2) resulta: r = 5,5.(2 – r)/1,5 – 5.[(2 – r)/1,5]2

1,52r = 16,5 – 8,25r – 20 + 20r – 5r2 5r2 – 9,5r + 3,5 = 0 r2 – 1,9r + 0,7 = 0.

Equação cujas raízes são 0,5 m e 1,4 m.

Assim, t = (2 – 0,5)/1,5 = 1 seg e t = (2 – 1,4)/1,5 = 0,4 s. O primeiro valor ocorre quando o corpo estiver

caindo e o segundo quando o corpo estiver subindo. Portanto, t = 1 seg.

As componentes da velocidade da bolinha neste instante são:

vx = 1,5 m/s e vy = 5,5 – gt = 5,5 – 10.1 = -4,5 m/s.

O módulo da velocidade é v2 = 1,52 + 4,52 = 22,5 v = 4,7 m/s.

O vetor velocidade forma à direita da vertical para baixo um ângulo θ, tal que tan θ = 1,4/4,5 = 1/3.

Resposta: v = 4,7 m/s, formando um ângulo θθθθ = arc tan (1/3) à direita da vertical para baixo.

(b) No intervalo de tempo igual a 1 seg a cesta deve percorrer no mínimo um ângulo de 90º ou π/2 rad.

Portanto a velocidade angular w é w = (π/2)/1 = ππππ/2 rad/s.

2m

cesto carrinho B

A

ime fisica 1998

Documents