ime ung ar - math.ee.math.hr/old/zeta/kompleksna.pdf · pm f-matem at i#ki o djel, zagreb , 1992 i...

Kompleksna analiza

!ime Ungar

O numerac!i i oznakama

Teor!a kompleksnih funkc!a jedne kompleksne var!able prirodno se nastavljana teor!u vektorskih funkc!a vi"e realnih var!abli, i kao takvu, niz godinasam osnove teor!e kompleksnih func!a predavao u okviru koleg!a Matemati!kaanaliza 4. Stoga i numerac!om poglavlja, odjeljaka, teorema, lema, itd. nastav-ljamo numerac!u iz moje knjige Matemati!ka analiza u Rn (Golden Marketing- Tehni#ka knjiga, Zagreb, 2005), koja obuhva$a sadr%aj nekada"njeg koleg!aMatemati!ka analiza 3 i prvog d!ela Matemati!ke analize 4. Ve$ina mater!alaprvih tr!u poglavlja nalazi se i u mojoj ran!oj knjizi Matemati!ka analiza 3,PMF-Matemati#ki odjel, Zagreb, 1992 i 1994.

Zbog potpunosti, u dodatku navodimo iskaze svih teorema iz prva #etiripoglavlja kojima se koristimo i na koje se pozivamo.

Ka%imo ne"to o oznakama. Matemati#ari su t!ekom stolje$â razvili vrlo so-fisticirane oznake. Mnoge su postale standardne i koriste ih svi, ali neke, iz raz-li#itih razloga — nisu. U principu, svejedno je kakve oznake rabimo, ali budu$isame sebi nisu svrha, znatno olak"ava #itanje i razum!evanje ako su jednostavnei, jo" va%n!e, konzistentne. To zna#i da se za istovrsne ili sli#ne matemati#keobjekte koriste sli#ne oznake — ili mala ili velika slova, gr#ka slova, slova iz istogd!ela abecede, isti font, i sli#no. To naravno n!e uv!ek mogu$e, ali mi $emonastojati biti "to dosljedn!i. Tako $e U, V,W, . . . uv!ek biti otvoreni skupovi,! $e uv!ek biti otvoren skup u Rn ili C koji je domena promatrane funkc!e.Velika pisana slova kao K,U, . . . ozna#ivat $e famil!e skupova, K, C, . . . nekespec!alne skupove (Kochova krivulja, Cantorov skup,. . . ). Skalarni produktvektora x i y ozna#ivat $emo s (x | y), ure&en par s (x, y), a otvoren interval s!x, y" (ovdje su naravno x i y realni brojevi). Od oznaka koje nisu u literaturistandardne koristit $emo naprimjer f : ! # C $ C u zna#enju ‚f : ! $ C gdjeje ! # C’. Ova oznaka, matemati#ki govore$i, n!e sasvim korektna, jer tu nema

iii

iv O numerac!i i oznakama

nikakve funkc!e C $ C (dakle funkc!e koja bi bila definirana na c"elom C), alije dovoljno sugestivna da opravdava njezino kori"tenje. Bolja oznaka za pres-likavanje f koje je definirano samo na podskupu ! # C je f : C % ! $ C.Ovu $emo oznaku tako&er rabiti. U vezi ozna#ivanja funkc!a (preslikavanja)i !itanja ozna#enog, napomenimo i sljede$e: f : X $ Y se #ita ‚preslikavanje(funkc!a) f sa X u Y ’, a ne ‚na Y ’. Kada se ka%e na, to zna#i da je f surjekc!a,pa ukoliko nemamo zaista posla sa surjektivnim preslikavanjem, treba kazati u.Spomenimo tako&er, da oznaka f : X $ Y zna#i da je funkc!a f definirana usvim to#kama skupa X.

Koristit $emo se jo" jednom oznakom koja je sasvim nestandardna. Ako jef : X $ Y preslikavanje i y & Y to#ka, s f

!(y) ozna#ivat $emo skup to#akax & X koje f preslikava u y. Dakle, f

!(y) := {x & X : f(x) = y } je original ilipraslika to#ke y. To je podskup od X. Uobi#ajena oznaka za to je f!1(y), ali, jerse radi o ud%beniku, pisat $emo f

!(y) da naglasimo da se ne radi o vr!ednostiinverzne funkc"e f!1 u to#ki y, koja u danoj situac!i naj#e"$e i ne postoji,a "to studenti #esto zaborave. Ako inverzna funkc!a f!1 : X $ Y u nekojsituac!i zaista postoji, onda je naravno f

!(y) = {f!1(y)}, "to se naj#e"$e, iakone sasvim korektno, pi"e f

!(y) = f!1(y) (kao "to se gotovo uv!ek isto takonekorektno pi"e f(A) = 1 kada je f(x) = 1 za sve x & A, umjesto, kako bitrebalo, f(A) = {1}). Posve analogno, ozna#ivat $emo s f

!(B) original skupaB # Y . Dakle, f

!(B) := {x & X : f(x) & B } # X. Ako postoji inverznafunkc!a f!1 : Y $ X, onda je, naravno, f

!(B) = f!1(B), i ova oznaka jekorektna.

Zagreb, 24. velja#e 2008.

'ime Ungar

Sadr"aj

O numerac!i i oznakama iii

Popis oznaka vii

5 Kompleksne funkc!e 1§ 31 Derivac!a kompleksne funkc!e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3§ 32 Integral kompleksne funkc!e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10§ 33 Cauchyjev teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17§ 34 Cauchyjeva integralna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Nizovi i redovi funkc!a 37§ 35 Uniformna i lokalno uniformna konvergenc!a . . . . . . . . . . . 37§ 36 Redovi potenc!a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Razvoji kompleksnih funkc!a u redove potenc!a 53§ 37 Taylorov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 38 Laurentov red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61§ 39 Singulariteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§ 40 Reziduumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77§ 41 Broj nulto#aka i polova meromorfnih funkc!a . . . . . . . . . . . 79§ 42 Lokalna svojstva holomorfnih funkc!a . . . . . . . . . . . . . . . 88

Kori"teni teoremi iz analize u Rn 95

v

vi SADR"AJ

Literatura 101

Indeks 103

Popis oznaka

R skup realnih brojeva

R" skup realnih brojeva razli#itih od 0

R+ skup nenegativnih realnih brojeva

R"+ skup strogo pozitivnih realnih brojeva

N skup prirodnih brojeva

Q skup racionalnih brojeva

C skup kompleksnih brojeva

C" skup kompleksnih brojeva razli#itih od 0

Z skup c!elih brojeva

Rn n-dimenzionalan euklidski prostor

! otvoren skup u Rn ili C, naj#e"$e domena promatrane diferenc!abilne od-nosno derivabilne funkc!e

f : S # X $ Y preslikavanje f : S $ Y , gdje je S # X. Naj#e"$e se koristikao f : ! # Rn $ Rm. Ova oznaka n!e sasvim korektna. Bolja jeoznaka:

f : X % S $ Y preslikavanje f : S $ Y , gdje je S # X. Naj#e"$e se koristikao f : C % ! $ C

vii

viii OZNAKE

K(P0, r),K(P0, r) otvorena, odnosno zatvorena, kugla (krug, ukoliko se radio ravnini) oko to#ke P0 rad!usa r > 0

K(z, r),K(z, r) otvoren, odnosno zatvoren, krug u C oko z rad!usa r > 0

IntS interior skupa S; najve$i otvoren skup koji je sadr%an u S

B(X, Y ) prostor ome&enih funkc!a sa X u Y

C(X, Y ) prostor neprekidnih funkc!a sa X u Y

BC(X, Y ) prostor ome&enih neprekidnih funkc!a sa X u Y

!$ inkluz!a

! surjektivno preslikavanje, preslikavanje na

" injektivno preslikavanje, 1–1 preslikavanje

"$ b!ektivno preslikavanje, preslikavanje 1–1 i na

f ' 0, g ' 1 konstantna preslikavanja f(x) = 0, g(x) = 1 za sve x & X

[a, b] zatvoren segment realnih brojeva, [a, b] = {t & R : a ( t ( b}

!a, b" otvoren interval realnih brojeva, !a, b" = {t & R : a < t < b}

(x | y) skalarni produkt vektora x i y

f!(y) := {x & X : f(x) = y } # X pri #emu je f : X $ Y preslikavanje skup

originala to#ke y. Uobi#ajena je oznaka f!1(y). Ovu oznaku $emo ko-ristiti kada %elimo naglasiti da se ne radi o inverznom preslikavanju,koje mo%da u danoj situac!i i ne postoji.

f!(B) := {x & X : f(x) & B } # X original skupa B. Uobi#ajena je oznaka

f!1(B).

|z| modul kompleksnog broja z, str. 1

i =)*1 imaginarna jedinica, str. 2

z konjugirano kompleksan broj, x + i y = x* i y, str. 2

arg z argument kompleksnog broja z; kut izme&u pozitivnog smjera realneosi i rad!vektora to#ke z, str. 2

OZNAKE ix

f #(z0) derivac!a funkc!e f u to#ki z0, str. 3

D(!) skup svih funkc!a derivabilnih na !, str. 3

C! := C \ {(x, 0) : x ( 0} , str. 7

C" komplement polupravca iz ishodi"ta koji s pozitivnim d!elom realne osizatvara kut ", str. 9

!# f dz integral kompleksne funkc!e f du% puta #, str. 10

H(!) skup svih funkc!a holomorfnih na !, str. 31"

xn red, str. 42$"

n=1xn suma reda

"xn, tj. limes lim

n

n"k=1

xk, str. 42

lim sup $n limes superior niza $n, str. 49"n%Z

cn dvostrani red; red #!i su #lanovi indeksirani c!elim brojevima, str. 61

K"(z0, R) := K(z0, R) \ {z0} probu"en krug, str. 64

res(f, z0) reziduum funkc!e f u to#ki z0, str. 77

r(z0, f) red nulto#ke ili pola funkc!e f , str. 80

N!(f) , P!(f) broj nulto#aka odnosno polova meromorfne funkc!e f koji senalaze u unutra"njem podru#ju konture ", i to ra#unaju$i njihov red,str. 81

5

Kompleksne funkc!e

U ovom $emo poglavlju zapo#eti prou#avanje kompleksnih funkc!a jedne kom-pleksne var!able. Skup kompleksnih brojeva ozna#avat $emo s C. Njegovi suelementi ure&eni parovi realnih brojeva, C := { z = (x, y) : x, y & R }, dakle,kao skup, C je isto "to i R2. Prva komponenta x kompleksnog broja z = (x, y)naziva se njegov realni dio, i ozna#ava se +(z) ili Re z, a druga komponenta, tj.realan broj y, naziva se imaginarni dio, i ozna#ava se ,(z) ili Im z.

I kao abelova grupa, C se podudara s R2 — zbrajanje je definirano po koor-dinatama, kao i u R2. Modul |z| kompleksnog broja z = (x, y), definira se kao|z| :=

#x2 + y2, pa je to isto "to i (euklidska) norma u R2. To omogu$uje de-

finic!u udaljenosti, metrike, pa C dobiva i strukturu metri#kog prostora. I kaometri#ki prostor, C se podudara s R2. Otvoreni, zatvoreni, kompaktni,. . . sku-povi su, dakle, isti kao u R2 — o njima nemamo stoga ni"ta novoga re$i. Kakoneprekidnost funkc!a ovisi samo o topolo"koj strukturi, niti o tome nemamoni"ta novoga re$i: funkc!a f : C % S $ C neprekidna je u to#ki z0 & S # C,ako za svaki % > 0 postoji & > 0 takav da za sve z & S za koje je |z * z0| < &,vr!edi |f(z) * f(z0)| < %. Isto tako je i konvergenc!a nizova u C ista kao ikonvergenc!a u R2, a isto vr!edi i za Cauchyjevo svojstvo, pa je C, izme&uostalog, potpun metri#ki prostor.

Novost nastupa uvo&enjem mno#enja kompleksnih brojeva C- C $ C, for-mulom

(x1, y1) · (x2, y2) := (x1x2 * y1y2 , x1y2 + x2y1) .

Ovako definirano mno%enje je asoc!ativno, komutativno, ima neutralni element— kompleksan broj (1, 0), distributivno je prema zbrajanju, i svaki kompleksan

1

2 5. KOMPLEKSNE FUNKC#E

broj z=(x, y) & C" :=C \ {(0, 0)} ima inverz

1z

:= z!1 =$ x

x2 + y2,

*y

x2 + y2

%.

Tako C postaje polje.Kompleksni brojevi oblika (x, 0) pona"aju se kao realni brojevi, tj. vr!edi

(x1, 0)+(x2, 0) = (x1 +x2, 0) i (x1, 0) ·(x2, 0) = (x1 ·x2, 0). Stoga realne brojeveidentificiramo s kompleksnim brojevima kojima je imaginarni dio jednak nuli,x ' (x, 0). Tako R postaje podskupom od C, a kako su algebarske i topolo"kestrukture uskla&ene, to je, algebarski gledano, R potpolje od C, a topolo"kigledano, R je (metri#ki) potprostor od C. Ovako smje"ten skup R # C, tj. skupbrojeva oblika x ' (x, 0), x & R, naziva se realna os.

Kompleksan broj (1, 0), koji je, uz identifikac!u R # C, zapravo realanbroj 1, ima ulogu jedinice za mno%enje. S druge strane, vr!edi (0, 1) · (0, 1) =(*1, 0) ' *1, pa se broj (0, 1) naziva kor"en od *1, ili imaginarnom jedinicom,i standardno se ozna#ava s i =

)*1. Tako dolazimo i do uobi#ajene oznake za

kompleksne brojeve, z = x + i y, jer je

(x, y) = (x, 0) · (1, 0) + (y, 0) · (0, 1) ' x · 1 + y · i .

Skup brojeva oblika i y ' (0, y), y & R, naziva se imaginarna os.

I za funkc!u f : C % S $ C #esto pi"emo f = u + i v, tj. f(z) = (u(z), v(z)),gdje su u, v : S $ R realne funkc!e, jedne kompleksne, odnosno dv!e realne, va-r!able. Kako se topolo"ke strukture prostora C i R2 podudaraju, to je funkc!a fneprekidna ako, i samo ako su obje funkc!e u i v neprekidne.

O 1

i

z

z

|z|

!=arg z

Zrcaljenje kompleksne ravnine s obzirom na realnu os,naziva se konjugiranje kompleksnih brojeva. To je funkc!az .$ z definirana kao z := (x,*y), tj. x + i y := x * i y.Konjugiranje je neprekidna funkc!a, i #esto se koristi. Vr!edi,naprimjer, |z| =

)z z i 1

z= z

|z|2.

Kompleksni broj, kao to#ka u ravnini, mo%e se reprezen-tirati i polarnim koordinatama, z = |z|(cos " + i sin"), pri#emu je " kut izme&u pozitivnog smjera realne osi i rad!vek-tora to#ke z. Kut " naziva se argument kompleksnog broja, iozna#ava s arg z.

Uz oznaku ei " :=cos "+i sin", mo%e se pisati z= |z|(cos " + i sin")= |z| ei ".Lako je pokazati da se ovakav zapis kompleksnog broja u mnogo#emu pona"a

§ 31. Derivac!a kompleksne funkc!e 3

kao uobi#ajena eksponenc!alna funkc!a. Naprimjer, vr!edi ei "ei $ = ei ("+$),pa za mno%enje dobivamo z1 z2 = |z1||z2|ei ("1+"2).

Prema svemu dosad re#enom, izgleda kao da $e se analiza kompleksnih funk-c!a jedne kompleksne var!able svesti na analizu funkc!a dv!u realnih var!abli,to#n!e na analizu funkc!a iz R2 u R2. To je, me&utim, daleko od istine. Velikerazlike nastaju uvo&enjem derivac!e kompleksne funkc!e.

§ 31 Derivac!a kompleksne funkc!eDerivac!u kompleksne funkc!e definiramo na isti na#in kao i derivac!u realnefunkc!e jedne realne var!able.

Definic!a 31.1 Za funkc!u f : ! $ C, gdje je ! # C otvoren skup, ka%emoda je derivabilna u to!ki z0 & !, ako postoji limes lim

z&z0

f(z)! f(z0)

z ! z0& C. U

tom slu#aju taj limes ozna#avamo f #(z0) i zovemo derivac"a funkc!e f u to#kiz0.

Za funkc!u f : ! $ C ka%emo da je derivabilna, ako je derivabilna u svimto#kama skupa !.

Skup svih funkc!a derivabilnih na !, ozna#avat $emo s D(!).

Kao i u slu#aju realne funkc!e realne var!able, direktno se iz definic!e lakopokazuje da se derivabilnost #uva sumom, produktom, kompozic!om,. . . , davr!ede uobi#ajene formule za derivac!e, i da je svaka derivabilna funkc!a ne-prekidna.

Primjer 31.1 Potenc!a, f(z) := zn, derivabilna je na c!eloj kompleksnoj rav-nini, i njezina derivac!a je, kao i u slu#aju realne funkc!e realne var!able,jednaka f #(z) = n zn!1. To se lako doka%e, bilo neposredno iz definic!e, biloindukc!om kori"tenjem formule za derivac!u produkta.

Funkc!a f(z) := 12 (z+z) n"e derivabilna, iako je, do na faktor 1

2 , suma dv!u‚l!epih’ funkc!a — identitete i konjugiranja. Zaista, kada bi f bila derivabilna,postojao bi u z0 = (x0, y0) limes kvoc!enta

&&&f(z)! f(z0)

z ! z0

&&& =&&&x! x0

z ! z0

&&& = |cos "|,gdje je " = arg(z*z0). Me&utim, limes ovog izraza ne postoji, jer |cos "| osciliraizme&u 0 i 1.

To zna#i da konjugiranje z .$ z n"e derivabilna funkc!a, iako su joj i re-alni i imaginarni dio, s aspekta realnih funkc!a, diferenc!abilne funkc!e, #akklase C$.


Sljede$i teorem daje nu%ne i dovoljne uvjete koje moraju zadovoljavati realnefunkc!e u i v, da bi kompleksna funkc!a f = u + i v bila derivabilna.

Teorem 31.1 (Cauchy-Riemannov teorem) Kompleksna funkc"a f = u +i v : ! $ C derivabilna je u to!ki z0 = (x0, y0) & ! ako, i samo ako su funkc"eu i v, kao realne funkc"e dv"u realnih var"abli, diferenc"abilne u to!ki (x0, y0),i zadovoljavaju ove Cauchy-Riemannove uvjete:

'xu(x0, y0) = 'yv(x0, y0)

'yu(x0, y0) = *'xv(x0, y0) .(CR)

Dokaz: Neka je funkc!a f derivabilna u z0 =(x0, y0) i neka je f #(z0)=a+i b & C.Tada je&&&f(z)* f(z0)

z * z0* (a + i b)

&&& =

=&&u(x, y) + i v(x, y)* u(x0, y0)* i v(x0, y0)* (a + i b)

$(x* x0) + i (y * y0)

%&&|z * z0|

=&&u(x, y)*u(x0, y0)*a(x*x0)+b(y*y0)+i

$v(x, y)*v(x0, y0)*a(y*y0)*b(x*x0)

%&&|z * z0|

.

Kako je limz&z0

&&f(z)! f(z0)

z ! z0* (a + i b)

&& = 0, i |z * z0| = /(x* x0, y * y0)/, to je i

lim(x,y)&(x0,y0)

|u(x, y)* u(x0, y0)* a(x* x0) + b(y * y0)|/(x* x0, y * y0)/

= 0 , i

lim(x,y)&(x0,y0)

|v(x, y)* v(x0, y0)* b(x* x0)* a(y * y0)|/(x* x0, y * y0)/

= 0 .

To zna#i da su funkc!e u, v : ! $ R diferenc!abilne u (x0, y0) = z0, i da je

'xu(x0, y0) = a = 'yv(x0, y0)

'yu(x0, y0) = *b = *'xv(x0, y0) .

Time je nu%nost dokazana. Obrnutim redosl!edom zaklju#ivanja, dobivamo idovoljnost.


Korolar 31.2 Ako je funkc"a f : ! $ C derivabilna u z0 = (x0, y0) & !,onda je

f #(z0) = 'xu(x0, y0) + i 'xv(x0, y0) =: 'xf(z0)= 'xu(x0, y0)* i 'yu(x0, y0)

= 'yv(x0, y0)* i 'yu(x0, y0) =: *i 'yf(z0) =1i'yf =:

'f

'(i y)=: ' iyf

= 'yv(x0, y0) + i 'xv(x0, y0) .

Uz oznake uvedene u ovim formulama, oba Cauchy-Riemannova uvjeta mo#emozapisati jednom formulom: 'xf(z0) = ' iyf(z0).

Korolar 31.3 Ako je funkc"a f = u + i v : ! $ C derivabilna, a realne funk-c"e u i v su diferenc"abilne klase C2 (vidjet $emo kasn"e da to ve$ sl"edi izderivabilnosti kompleksne funkc"e f), onda su u i v harmoni!ke funkc"e, tj.obje zadovoljavaju Laplaceovu1 diferenc"alnu jednad#bu

'2u

'x2+

'2u

'y2= 0 .

Dokaz: Zbog Cauchy-Riemannovih uvjeta je 'xu = 'yv, pa deriviranjem po xdobivamo

'x'x u = 'x'y vSchwarz= 'y'x v

(CR)= *'y'y u ,

i sli#no za funkc!u v.

Napomena 31.1 Teorem 31.1 i korolar 31.3 pokazuju kako su strogi zahtjevina realne funkc!e u i v da bi kompleksna funkc!a f = u + i v bila derivabilna.S druge strane, za neprekidnost od f bila je dovoljna samo neprekidnost od ui v, i n!e se zaht!evala nikakva me&usobna veza tih funkc!a. Otkuda tolikarestrikc!a kada se radi o derivabilnosti?

Uzrok tome je sljede$i. Diferenc!abilnost funkc!e u nekoj to#ki, "to je zafunkc!e jedne var!able ekvivalentno derivabilnosti u toj to#ki, zna#i da se pri-rast te funkc!e mo%e aproksimirati linearnom funkc!om (linearnim operato-rom). Kod kompleksnih funkc!a to zna#i C-linearnim operatorom. Me&utim,C-linearnih operatora C $ C ima manje nego R-linearnih operatora R2 $ R2,kakvi se koriste za aproksimac!u vektorskih funkc!a dv!u realnih var!abli, to#-n!e funkc!a R2 $ R2.

1Pierre-Simon Laplace (1749–1827), francuski matemati!ar


Naime, da bi R-linearan operator A : R2 $ R2 reprezentiran matricom'a bc d

(

bio, shva$en kao funkc!a C $ C, i C-linearan, nu%no je i dovoljno da vr!edia = d i b = *c. Zaista, ako je A : C $ C kompleksno-linearan operator, ondaza skalar i & C i svaki z = (x, y) & C, mora vr!editi A(i z) = i A(z), odaklespec!alno za z = (1, 0), dobivamo a = d i b = *c.

Da su ta dva uvjeta i dovoljna za C-linearnost funkc!e A, lako se provjeridirektno.

Tako dobivamo upravo Cauchy-Riemannove uvjete, jer je Jacob!eva matrica,a to je matrica koja reprezentira diferenc!al funkc!e f = (u, v) : ! $ R2,jednaka

)'xu 'yu'xv 'yv

*.

Dakle, ako funkc!a f : ! $ C ima (kompleksnu) derivac!u ("to je ekviva-lentno diferenc!abilnosti u smislu kompleksnih funkc!a), onda je f shva$enakao funkc!a iz R2 u R2 diferenc!abilna, ali obratno vr!edi samo ako su jo"zadovoljeni i Cauchy-Riemannovi uvjeti.

Korolar 31.4 Ako je ! # C otvoren i povezan skup, a f : ! $ C derivabilnafunkc"a takva da je f #(z) = 0 za sve z & !, onda je f konstantna funkc"a.

Primjer 31.2 Navedimo nekoliko osnovnih primjera derivabilnih kompleksnihfunkc!a:

Identiteta f(z) = z je derivabilna, i f #(z) = 1 za sve z & C.

Polinomi, tj. funkc!e oblika p(z) = anzn + an!1zn!1 + · · · + a1z + a0, gdjesu ai & C, i = 0, . . . , n, derivabilne su funkc!e, i derivac!a je jednakap#(z) = n anzn!1 + (n* 1) an!1zn!2 + · · · + a1.

Racionalne funkc"e, tj. kvoc!enti dvaju polinoma, derivabilne su svuda gdjesu definirane, dakle, svuda osim u nulto#kama nazivnika.

Eksponenc"alna funkc"a kompleksne var!able je funkc!a exp: C $ C de-finirana s

exp z = ez = ex+i y := ex(cos y + i sin y) .

Realni i imaginarni dio funkc!e exp o#ito jesu diferenc!abilne funkc!e, aCauchy-Riemannovi uvjeti lako se provjere. Stoga je (kompleksna) ekspo-nenc!alna funkc!a derivabilna, i za derivac!u nalazimo

exp# z = 'xu(z) + i 'xv(z) = exp z , tj. (ez)# = ez .


Prim!etimo da je ez+2 i ! = ez, pa je kompleksna eksponenc!alna funkc!aperiodi#ka, i to s osnovnim periodom 2 i (.

0 1 2

"

2"

Re

Im

!exp1 e e2

Tu smo funkc!u, ali shva$enu kao preslikavanje R2 $ R2, promatrali ve$ran!e, primjer 12.1, i vidjeli da ona n!e injektivna (jer je periodi#ka u dru-goj var!abli), ali je injektivna na svakoj ‚horizontalnoj’ prugi "irine 2(, islika takve otvorene pruge je c!ela kompleksna ravnina bez jednog polu-pravca s po#etkom u ishodi"tu.Na prethodnoj slici je prikazano kako eksponenc!alna funkc!e preslikavaprugu R - !0, 2(" = {z = x + i y : x & R, y & !0, 2("} na komplementpozitivnog d!ela realne osi. Slike to#aka z = x + i y za koje je x > 0nalaze se izvan jedini#nog kruga, a za x < 0 unutar jedini#nog kruga.Sli#no, slika pruge R-!*(,(" je komplement negativnog d!ela realne osi.

Logaritamska funkc"a kompleksne var!able n!e definirana na c!eloj kom-pleksnoj ravnini. Naime, %eljeli bismo da je, kao kod realnih funkc!arealne var!able, logaritamska funkc!a inverzna eksponenc!alnoj, ali kakokompleksna eksponenc!alna funkc!a n!e b!ekc!a, inverzna funkc!a nepostoji. Me&utim, kako smo vidjeli, eksponenc!alna funkc!a jeste injek-tivna na svakoj horizontalnoj prugi "irine 2(, pa restrikc!a eksponenc!alnefunkc!e na svaku takvu prugu ima svoju inverznu funkc!u, koja je defini-rana na slici te pruge. Prirodno je zaht!evati da takva inverzna funkc!apro"iruje realnu logaritamsku funkc!u R+ := {x & R : x > 0} $ R,koju $emo privremeno ozna#avati s lnR : R+ $ R. Stoga za domenu trebauzeti takav skup koji sadr%i pozitivan dio realne osi. Uobi#ajeno je zadomenu kompleksne logaritamske funkc!e uzeti komplement negativnogd!ela realne osi, dakle sliku pruge R- !*(,(".Ozna#imo s C! := C \ {(x, 0) : x ( 0} komplement negativnog d!elarealne osi u kompleksnoj ravninikomplement negativnog d!ela realne osi,


a s U !!! := {x + i y : y & !*(,("} # C odgovaraju$u horizontalnu prugu.

(elimo, dakle, derivabilnu funkc!u ) : C! $ U !!! koja je inverzna funkc!i

exp: U !!! $ C!. Mora dakle vr!editi ) 0 exp = id, tj.

)(ez) = z , za sve z & U !!! , (1)

i exp 0 ) = id, tj.e%(z) = z , za sve z & C! . (2)

Budu$i da eksponenc!alna funkc!a preslikava sumu u produkt, mora nje-zina inverzna funkc!a preslikavati produkt u sumu, tj. logaritam produktamora biti jednak sumi logaritama. Zapi"emo li z & C! kao z = |z| ei arg z,zbog (1) dobivamo

)(z) = )(|z| ei arg z) = )(|z|) + )(ei arg z)(1)= )(|z|) + i arg z ,

a jer je |z| pozitivan realan broj, i %elimo da se za pozitivne realne brojevefunkc!a ) podudara s realnom logaritamskom funkc!om, dobivamo

)(z) = lnR |z| + i arg z . (3)

Umjesto ), kompleksnu logaritamsku funkc!u $emo, kao i realnu, ozna#a-vati s ln : C! $ U !

!! # C. Prema (3), ona je definirana s

ln z := lnR |z| + i arg z . (4)

Za pozitivne realne brojeve z & R+ je arg x = 0 pa je ln z = lnR |z| =lnR z, tj. „kompleksn” logaritamska funkc!a ln zaista pro"iruje „realnu”logaritamsku funkc!u lnR .Zapisano u koordinatama, kompleksna logaritamska funkc!a jednaka je

ln z = ln(x + i y) =12

ln(x2 + y2) + i arg z , (5)

a funkc!u arg : C! $ R mo%emo zapisati formulama

arg z =

+,

-

arc tg yx , x > 0 (desna poluravnina)

arc ctg xy , y > 0 (gornja poluravnina)

arc ctg xy * ( , y < 0 (donja poluravnina)

. (6)

Kao i za funkc!u " u Primjeru 25.2, lako se provjeri da je formulom (6)funkc!a z .$ arg z dobro definirana.


Poka%imo da je funkc!a ln definirana formulama (5) i (6) zaista deriva-bilna, i na&imo njezinu derivac!u. Na skupu {x + i y : x > 0 }, tj. nadesnoj poluravnini vr!edi

ln(z) = ln(x + i y) =12

ln(x2 + y2) + i arc tgy

x,

pa je

'x ln(z) =12

2x

x2 + y2+ i

11 + ( y

x )2(* y

x2) =

x

x2 + y2* i

y

x2 + y2,

i

'y ln(z) =12

2y

x2 + y2+ i

11 + ( y

x )21x

=y

x2 + y2+ i

x

x2 + y2.

Prema Cauchy-Riemannovu teoremu, teorem 31.1, zaklju#ujemo da jefunkc!a ln derivabilna na desnoj poluravnini, i njezina je derivac!a jed-naka

ln#(z) = 'x ln(z) =z

|z|2 =1z

.

Na gornjoj poluravnini vr!edi ln(z) = 1

2ln(x2 + y2) + i arc ctg x

y, a na

donjoj je ln(z) = 1

2ln(x2 + y2) + i (arc ctg x

y* (), usporedi s funkc!om "

u Primjeru 25.2, pa se, kao i ran!e, pokazuje da je i tamo ln derivabilnai derivac!a je 1

z, tj. funkc!a ln je derivabilna, i na c!elom skupu C! je

ln#(z) = 1

z.

Nema ni"ta posebnog u skupu U !!!. Eksponenc!alna funkc!a isto tako os-

tvaruje b!ekc!u pruge U2!0 := { z = x + i y : 0 < y < 2( } na komplement

pozitivnog d!ela realne osi, tj. na skup C0 := C\{ z = (x, 0) : x 1 0 }, i op-$enito, bilo koje pruge U"+2!

" := { z = x+ i y : " < y < "+2( }, " & R, naskup C" — komplement polupravca iz ishodi"ta koji s pozitivnim d!elomrealne osi zatvara kut ". Stoga za svaki " postoji pripadna kompleksnalogaritamska funkc!a C" $ U"+2!

" , inverzna restrikc!i funkc!e z .$ ez

na U"+2!" .


Trigonometr"ske i hiperbolne funkc"e kompleksne var!able definiraju sepomo$u eksponenc!alne funkc!e formulama:

sin z :=ei z * e!i z

2icos z :=

ei z + e!i z

2

sh z :=ez * e!z

2ch z :=

ez + e!z

2.

Sve su to derivabilne funkc!e, i derivac!e su jednake onima u realnomslu#aju. I algebarski, tj. kod ‚ra#unanja’ te se funkc!e pona"aju kako smonau#eni iz realne analize.

§ 32 Integral kompleksne funkc!e

Kompleksne funkc!e kompleksne var!able integriramo po putevima, odnosnokrivuljama. U ovoj to#ki definirat $emo integral, nabrojati neka osnovna svoj-stva, i zapo#eti ispitivanje neovisnosti integrala o putu integrac!e, #ime $emose detaljn!e baviti u idu$em paragrafu.

Neka je # = * + i + : [a, b] $ C po d!elovima gladak put, #" = #([a, b]) # Cneka je njegova slika (trag), i neka je f = u + i v : #" $ C neprekidna funkc!a.Integral funkc"e f du# puta # definiramo kao (kompleksan) broj

.

#f dz :=

. b

af(#(t)) ##(t) dt

:=. b

a

$u(#(t)) *#(t)* v(#(t)) +#(t)

%dt + i

. b

a

$v(#(t)) *#(t) + u(#(t)) +#(t)

%dt

=.

#u dx* v dy + i

.

#v dx + u dy .

U zadnjem retku radi se o dva integrala diferenc!alnih 1-formi du% puta #. Toopravdava i uvo&enje oznake dz := dx + i dy, jer tada formalnim mno%enjem,dobivamo

.

#f dz =

.

#(u + i v)(dx + i dy) =

.

#u dx* v dy + i

.

#v dx + u dy , (1)

§ 32. Integral kompleksne funkc!e 11

a uz taj formalizam je i

Re$ .

#f dz

%=

.

#Re(f dz)

Im$ .

#f dz

%=

.

#Im(f dz) .

Lako se pokazuje da ovako definiran integral ima uobi#ajena svojstva, tj. daje linearan funkcional na prostoru neprekidnih kompleksnih funkc!a definiranihna #", i da je aditivna funkc!a puta integrac!e. Tako&er se, kao i kod integraladiferenc!alne 1-forme du% puta, tj. integrala druge vrste, lako pokazuje da suintegrali du% algebarski ekvivalentnih puteva jednaki.

Kao i u § 30 za integral diferenc!alne 1-forme, i ovdje se definira integral!! f dz kompleksne funkc"e du# or!entirane po d!elovima glatke krivulje

" = (",Go), kao integral!

# f dz po proizvoljnom po d!elovima glatkom putu #koji parametrizira or!entiranu krivulju ". Da je ta definic!a dobra, tj. da neovisi o odabranoj po d!elovima glatkoj parametrizac!i # krivulje ", pokazuje sebilo direktno, koriste$i se teoremom 30.1, bilo rabe$i (1) i #injenicu da integraldiferenc!alne 1-forme ne ovisi o odabranoj parametrizac!i krivulje ".

Napomena 32.1 U prethodnoj smo definic!i pre"utno istakli i "to podrazumi-jevamo pod integralom kompleksne funkc!e jedne realne var!able. Naime, akoje naprimjer, g = gRe + i gIm : [a, b] $ C neprekidna funkc!a, onda, po definic!i,smatramo da je

. b

ag(t) dt :=

. b

a

$gRe(t) + i gIm(t)

%dt :=

. b

agRe(t) dt + i

. b

agIm(t) dt .

To je usagla"eno i s inkluz!om R # C, tj. s identifikac!om x ' (x, 0). Naime,tom $e identifikac!om, segment realnih brojeva [a, b] # R biti identificiran saskupom [a, b] - {0} = {z = x + i y : x & [a, b], y = 0} # C, pa na identitetuid : [a, b] $ [a, b] mo%emo gledati kao na put , : [a, b] $ C dân s ,(t) := (t, 0).Ako sada na g = gRe + i gIm gledamo kao na funkc!u g : ," $ C, dakle, umjesto


g(t) pi"emo g(t, 0), i sli#no za realne funkc!e gRe i gIm , onda je

.

&g dz =

. b

ag(,(t)) ,#(t) dt

=. b

a

$gRe(t, 0) ,#

Re(t)* gIm(t, 0) ,#

Im(t)

%dt +

+ i

. b

a

$gIm(t, 0) ,#

Re(t) + gRe(t, 0) ,#

Im(t)

%dt

=. b

agRe(t) dt + i

. b

agIm(t) dt ,

jer je ,#Re

(t) = 1 i ,#Im

(t) = 0 za sve t, a upravo smo tako, pre"utno, u definic!i

integrala kompleksne funkc!e du% puta, bili i definirali. b

ag(t) dt.

Doka%imo sada jednu ocjenu modula integrala, koju $emo #esto koristiti.

Lema 32.1 (o ocjeni integrala) Neka je # : [a, b] $ C po d"elovima gladakput duljine )(#), i neka je f : #" $ C neprekidna funkc"a, te neka je M :=max{|f(z)| : z & #"}. Tada je

&&.

#f dz

&& ( M )(#) .

Dokaz: Prim!etimo najpr!e, da, zbog kompaktnosti skupa #" i neprekidnostifunkc!e f , maksimum M zaista postoji. Ozna#imo s J :=

!# f dz = |J |ei " za

neki " & R (to#n!e, " = arg J , ali nam ta #injenica ne$e trebati). Tada je

|J | = e!i "

.

#f dz = e!i "

. b

af(#(t)) ##(t) dt

=. b

ae!i "f(#(t)) ##(t) dt .


Stoga je

|J | = Re|J | =. b

aRe

$e!i "f(#(t)) ##(t)

%dt

(. b

a

&&e!i "f(#(t)) ##(t)&& dt

( M

. b

a|##(t)| dt = M)(#) ,

jer je |e!i "| = 1.

Integral kompleksne funkc!e, op$enito, ovisi o putu integrac!e, ali uz nekeuvjete — ne. Sada $emo se pozabaviti upravo tim pitanjem — kada integralkompleksne funkc!e ne ovisi o putu integrac!e. Kao "to smo u teoremu 25.2bili pokazali za integral diferenc!alne 1-forme, tako se i sada jednostavno vidida je neovisnost integrala kompleksne funkc!e o putu integrac!e, ekvivalentnatome da je integral po svakom po d!elovima glatkom zatvorenom putu jednaknuli. Tu $emo #injenicu ubudu$e koristiti bez posebnog nagla"avanja.

Analogno teoremu 25.2, vr!edi

Teorem 32.2 (Cauchyjev teorem za derivac!u) Neka je f : ! $ C ne-prekidna funkc"a definirana na otvorenom skupu ! # C. Tada je

!# f dz = 0

za sve po d"elovima glatke zatvorene puteve # u ! ako i samo ako postoji deri-vabilna funkc"a F : ! $ C za koju je F # = f na !.

Dokaz: ! Neka je F : ! $ C derivabilna funkc!a takva da je F # = f , i nekaje # : [a, b] $ ! PDG put koji je zatvoren, tj. #(a) = #(b). Tada je

.

#f dz =

. b

af(#(t)) ##(t) dt =

. b

aF #(#(t)) ##(t) dt

=. b

a(F 0 #)#(t) dt = F (#(b))* F (#(a)) = 0 .

" Obratno, uz pretpostavku da integral funkc!e f ne ovisi o putu, tj. da jeintegral po svakom zatvorenom PDG putu jednak nuli, treba definirati funkc!uF : ! $ C takvu da je F # = f . Dovoljno je funkc!u F definirati zasebno nasvakoj komponenti povezanosti skupa !, jer su te komponente me&usobno di-sjunktni otvoreni skupovi, a derivabilnost je lokalno svojstvo. Drugim r!e#ima,dovoljno je definirati funkc!u F u slu#aju kada je otvoren skup ! povezan.


Fiksirajmo to#ku z0 & !, i za z & ! definirajmo

F (z) :=.

#z

f dz ,

gdje je #z bilo koji PDG put u ! od z0 do z. Kako po pretpostavci, integralfunkc!e f ne ovisi o putu, F je dobro definirana funkc!a. Poka%imo da jeF derivabilna, i da je F #(z) = f(z) za sve z & !. Neka je z & ! i rz > 0takav da je K(z, rz) # !. Za ‚malene’ h & C, takve da je |h| < rz, neka je-h : [0, 1] $ ! put definiran sa -h(t) := z + th, dakle jedna parametrizac!asegmenta [z, z + h] # K(z, rz) # !. Kako u definic!i vr!ednosti funkc!e F uto#ki z + h mo%emo uzeti proizvoljan put (u !) od z0 do z + h, mo%emo uzeti iput # + -h. Stoga je

limh&0

F (z + h)* F (z)h

= limh&0

1h

' .

#+'h

f dz *.

#f dz

(= lim

h&0

1h

.

'h

f dz

= limh&0

1h

. 1

0f(z + th)h dt = lim

h&0

. 1

0f(z + th) dt .

Kako je funkc!a (t, h) .$ f(z + th) neprekidna, limes po h i integral po tkomutiraju, korolar 19.6, pa je to dalje jednako

=. 1

0limh&0

f(z + th) dt ,

"to je, zbog neprekidnosti funkc!e h .$ f(z + th), jednako

=. 1

0f(z) dt = f(z)

. 1

0dt = f(z) .

Dakle, funkc!a F derivabilna je, i njezina je derivac!a zaista jednaka f .

Za neprekidnu funkc!u f : ! $ C ka%emo da ima primitivnu funkc"u na !,ako postoji funkc!a F : ! $ C takva da je F #(z) = f(z) za sve z & !. Funkc!a fima na ! lokalno primitivnu funkc"u, ako oko svake to#ke z & ! postoji okolina(npr. otvoren krug) na kojoj f ima primitivnu funkc!u.

Korolar 32.3 Ako neprekidna funkc"u f : ! $ C ima primitivnu funkc"u, tj.ako postoji derivabilna funkc"a F : ! $ C takva da je F # = f , onda za svaki pod"elovima gladak put # : [a, b] $ ! vr"edi

.

#f dz = F (#(b))* F (#(a)) .


Primjer 32.1 Promotrimo integral funkc!e f(z) := (z*z0)n po, pozitivno ori-jentiranoj, kru%nici " rad!usa r sa sredi"tem u z0. Jednostavna parametrizac!akru%nice dana je funkc!om #(t) := z0 + r ei t, t & [0, 2(], pa, za n 2= *1, imamo

.

!(z * z0)n dz =

. 2!

0

$r ei t

%nr ei t i dt

= rn+1

. 2!

0ei (n+1)t i dt =

rn+1

n + 1ei (n+1)t

&&&2!

0= 0 ,

"to smo mogli zaklju#iti i na temelju Cauchyjeva teorema za derivac!u, te-orem 32.2, jer je, za n 2= *1, funkc!a z .$ (z * z0)n derivac!a funkc!ez .$ 1

n + 1(z * z0)n+1 na probu"enoj ravnini C \ {z0}.

Za n = *1 nalazimo.

!

dz

z * z0=

. 2!

0

1r ei t

r i ei t dt = i

. 2!

0dt = 2(i ,

dakle, integral je razli#it od nule.

Spec!alno je, dakle, integral.

!

dz

z= 2(i 2= 0, "to zna#i da ne postoji

funkc!a definirana na C \ {0} #!a je derivac!a jednaka 1

z, "to opet pokazuje da

ne postoji funkc!a ln : C \ {0}$ C.

Pod pravokutnikom podrazum!evat $emo uv!ek pravokutnik kome su stra-nice paralelne koordinatnim osima (tj. realnoj i imaginarnoj osi). Ponekad setakav pravokutnik naziva standardni ili koordinatni pravokutnik.

U idu$oj $emo to#ki trebati sljede$u var!antu jednog smjera (nu%nost) Cau-chyjeva teorema za derivac!u:

Teorem 32.4 (o postojanju primitivne funkc!e na krugu) Neka je K#Cotvoren krug, a f : K $ C neprekidna funkc"a sa svojstvom da je

!

(I

f dz = 0

po rubu svakog pravokutnika I # K. Tada f ima primitivnu funkc"u na K.

Dokaz: Neka je z0 sredi"te kruga K. Za svaki z & K, pravokutnik Iz, kome sunasuprotni vrhovi z0 i z, le%i u K. Neka je "z # 'Iz dio ruba pravokutnika Iz

od z0 do z (najpr!e ‚horizontalno’, tj. paralelno realnoj osi, a onda ‚vertikalno’,tj. paralelno imaginarnoj osi). Definirajmo


F (z) = U(z) + i V (z) :=.

!z

f dz , z0

z

!zK

i poka%imo da je to derivabilna funkc!a kojoj je derivac!a jednaka f .Za z & K, neka je rz > 0 takav da je K(z, rz) # K. Za h & R takav da je

|h| < rz, je segment [z, z + h] # K, pa je

'xF (z) = 'xU(x, y) + i 'xV (x, y) = limh&0

F (z + h)* F (z)h

= limh&0

1h

' .

! ! !! !z0 z#

z z + h

f dz *.

! !!z0 z#

z

f dz(

z0

z z+hz+ih

z!K

"to je, jer je integral po rubu svakog pravokutnika u K jednaknuli, jednako

= limh&0

1h

' .

! !! !z0 z#

z z + h

f dz *.

! !!z0 z#

z

f dz%

= limh&0

1h

.

[z,z+h]

f dz .

Parametriziramo li segment [z, z + h] funkc!om t .$ z + th, t & [0, 1], to jejednako

= limh&0

1h

. 1

0f(z + th) h dt .

Kako je funkc!a (t, h) .$ f(z + th) neprekidna, to integral po t i limes po hkomutiraju, korolar 19.6, pa je to jednako

=. 1

0limh&0

f(z + th) dt =. 1

0f(z) dt = f(z) .

Na sli#an na#in nalazimo

'yF (z) = 'yU(x, y) + i 'yV (x, y) = limh&0h%R

F (z + i h)* F (z)h

= · · · = i f(z) .

Kako je f neprekidna, zaklju#ujemo da su funkc!e 'xU , 'xV , 'yU i 'yVneprekidne u to#ki z = (x, y), pa su, prema teoremu 9.1, funkc!e U i V dife-renc!abilne u z = (x, y). Nadalje, iz dobivenih izraza za 'xF i 'yF , vidimo

§ 33. Cauchyjev teorem 17

da vr!ede Cauchy-Riemannovi uvjeti, pa je F derivabilna u to#ki z, i vr!ediF #(z) = f(z).

Budu$i je z bila proizvoljna to#ka kruga K, zaklju#ujemo da je F # = f .

§ 33 Cauchyjev teoremFundamentalan teorem u teor!i funkc!a kompleksne var!able je Cauchyjev te-orem, koji govori o i"#ezavanju integrala derivabilne funkc!e po zatvorenoj kri-vulji. Taj je teorem dokazao ve$ sâm Cauchy uz pretpostavku da je derivac!afunkc!e koju integriramo, neprekidna. Va%an je napredak bio dokaz Cauchyevateorema bez pretpostavke o neprekidnosti derivac!e. Klju#ni korak u tom do-kazu je sljede$i teorem:

Teorem 33.1 (Goursat1-Pringsheimov2 teorem) Neka je ! # C otvorenskup, I # ! pravokutnik, a f : ! $ C derivabilna funkc"a. Tada je

!

(I

f dz = 0.

Dokaz: Ozna#imo s J(I) :=&& !

(I

f dz&&. Razd!elimo I na #etiri me&usobno suk-

ladna pravokutnika Q1, Q2, Q3, Q4, koji su svi sli#ni pravokutniku I. Kako je!(I =

!(Q1

+ · · · +!

(Q4, to je

J(I) =&&.

(If dz

&& (&&.

(Q1

f dz&& + · · · +

&&.

(Q4

f dz&& ,

z0

I

pa je integral po rubu najmanje jednog od tihpravokutnika, po modulu barem jednak #etvrtinibroja J(I). Ozna#imo jedan takav pravokutniks I1, i neka je J(I1) := |

!(I1

f dz|. Dakle

J(I1) 114J(I) .

Razd!elimo sada I1 na #etiri sukladna pravokutnika, pa na isti na#in zaklju-#ujemo da za barem jednog od njih, nazovimo ga s I2, vr!edi

J(I2) 114J(I1) 1

142

J(I) .

1Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858–1936), francuski matemati!ar2Alfred Pringsheim (1850–1941), njema!ki matemati!ar, ro"en u Poljskoj


Nastavimo li na isti na#in, dolazimo do niza pravokutnika In, n & N, takvihda je In+1 # In, za sve n, i da je

J(In) 1 14n

J(I) . (1)

Za d!ametre tih pravokutnika vr!edi diam In = 1

2ndiam I, pa se radi o si-

laznom nizu zatvorenih skupova kojima d!ametri te%e nuli. Prema Cantorovomteoremu o presjeku, teorem 4.13, presjek tih pravokutnika je neprazan i sastojise od jedne jedine to#ke,

/n%N

In =: {z0}.

Funkc!a f derivabilna je u to#ki z0, pa za svaki % > 0 postoji & > 0 takavda za 0 < |z * z0| < &, vr!edi

&&&f(z)! f(z0)

z ! z0* f #(z0)

&&& < %, tj.

|z * z0| < & 3 |f(z)* f(z0)* f #(z0)(z * z0)| ( %|z * z0| . (2)

Neka je n tako velik da je In sadr%an u otvorenom krugu oko z0 rad!usa &. Kakofunkc!a z .$ f(z0) + f #(z0)(z * z0) ima na !, #ak na #itavom C, primitivnufunkc!u, to je prema Cauchyjevom teoremu za derivac!u, teorem 32.2,

.

(In

$f(z0) + f #(z0)(z * z0)

%dz = 0 . (3)

Stoga je, prema lemi o ocjeni integrala, lema 32.1,

J(In) =&&.

(In

f dz&& =

&&.

(In

$f(z)* f(z0)* f #(z0)(z * z0)

%dz

&& ( Msn , (4)

gdje je M := max{|f(z) * f(z0) * f #(z0)(z * z0)| : z & 'In}, a sn je opsegpravokutnika In.

Me&utim, za svaki z & 'In je

|f(z)* f(z0)* f #(z0)(z * z0)|(2)( % |z * z0| < % · 1

2sn ,

pa je M <1

2%sn, te zbog (4) vr!edi

J(In) <12

%s2n . (5)


Prema konstrukc!i je sn = 1

2ns, gdje je s opseg pravokutnika I, pa je

J(I)(1)( 4nJ(In)

(5)( 1

24n%s2

n =12

4n%' 1

2n

(2s2 =

12

%s2 .

Kako je % > 0 proizvoljan, zaklju#ujemo da je J(I) = 0, pa je i!

(I

f dz = 0.

Goursat-Pringsheimov teorem govori da ako je funkc!a f : I $ C deriva-bilna, tj. ima derivabilno pro"irenje na neku okolinu pravokutnika I, onda jeintegral funkc!e f po rubu 'I pravokutnika I, jednak nuli. U nekim je situaci-jama potreban ne"to ja#i teorem — teorem koji daje isti zaklju#ak, ali uz slab!epretpostavke.

Teorem 33.2 (Cauchyjev teorem za pravokutnik) Neka je f : I $ Cfunkc"a koja je neprekidna na zatvorenom pravokutniku I # C i takva da jederivabilna na otvorenom pravokutniku I

':= I \ 'I, osim eventualno u kona!no

mnogo to!aka (u kojima je samo neprekidna). Tada je!

(I

f dz = 0.

Dokaz: Doka%imo teorem najpr!e uz pretpostavku da je f derivabilna na c!elomotvorenom pravokutniku I

'. Bez smanjenja op$enitosti, mo%emo pretpostaviti

da je sredi"te pravokutnika I u ishodi"tu 0. U protivnom, zamjenom var!abli,w := z * z0, gdje je z0 sredi"te pravokutnika I, dobivamo

.

(If(z) dz =

.

(Iz0

g(w) dw ,

pri #emu je Iz0 := I * z0 = {z * z0 : z & I} pravokutnik dobiven translaci-jom pravokutnika I za *z0, tako da mu sredi"te padne u ishodi"te, a funkc!ag(w) := f(w + z0) je neprekidna na Iz0 i derivabilna na I

'z0 .

!"(t)

"(t)

II!

O

Za broj . & !0, 1" ozna#imo sada s I) pravokutnik dobi-ven od pravokutnika I homotet!om iz ishodi"ta i koefi-c!entom .. Tada je I) # I

', a kako je f derivabilna na I

',

po Goursat-Pringsheimovom teoremu zaklju#ujemo daje

!

(I!

f dz = 0, za sve . & !0, 1".

Neka je t .$ #(t), t & [a, b], po d!elovima glatka parametrizac!a ruba 'I pra-vokutnika I. Tada je t .$ . #(t), t & [a, b], po d!elovima glatka parametrizac!aruba 'I) pravokutnika I).


Da je parametrizac!a # glatka, tj. funkc!a ## neprekidna, bila bi neprekidnai funkc!a (., t) .$ f(. #(t)). ##(t), pa bi limes po . i integral po t komutirali.Imali bismo tada

0 = lim)&1

.

(I!

f dz = lim)&1

. b

af(. #(t)). ##(t) dt

=. b

alim)&1

f(. #(t)). ##(t) dt =. b

af(#(t)) ##(t) dt =

.

(If dz .

Kako je, me&utim, parametrizac!a # samo po d!elovima glatka, to je njenaderivac!a ## neprekidna osim u kona#no mnogo to#aka, tj. n!e neprekidna u,naprimjer, tri to#ke. Stoga treba integral

! ba f(.#(t)).##(t) dt rastaviti na #etiri

d!ela na kojima je ## neprekidna, provesti gornji ra#un na svakom od tih d!elova,i rezultate zbrojiti. Opet dob!emo

!(I f dz = 0.

U op$em slu#aju, kada f u kona#no mnogo to#aka mo%da n!ederivabilna, kroz te to#ke povu#emo paralele sa, naprimjer,imaginarnom osi, i tako razd!elimo pravokutnik I na neko-liko manjih pravokutnika. Na svakom od tako dobivenih pra-vokutnika funkc!a f je neprekidna, a na nutrini i derivabilna,

pa je, prema upravo dokazanom, integral po rubu svakog od tih pravokutnika,jednak nuli. Zbroj integrala po rubovima tih pravokutnika, jednak je integralupo rubu pravokutnika I, pa je

!

(I

f dz = 0.

Kombinac!om ran!ih teorema, dobivamo sada

Teorem 33.3 (Cauchyjev teorem za krug) Neka je K # C (otvoren) krug,a f : K $ C neprekidna funkc"a, koja je i derivabilna, osim eventualno u ko-na!no mnogo to!aka. Tada je

!#f dz = 0, za sve po d"elovima glatke zatvorene

puteve # u K.

Dokaz: Prema Cauchyjevu teoremu za pravokutnik,!

(I f dz = 0 za svaki pra-vokutnik I # K. Stoga, jer je funkc!a f neprekidna, prema teoremu o pos-tojanju primitivne funkc!e na krugu, teorem 32.4, postoji derivabilna funkc!aF : K $ C takva da je F # = f . Prema Cauchyjevom teoremu za derivac!u, te-orem 32.2, integral funkc!e f ne ovisi o putu, tj.

!#f dz = 0 za sve po d!elovima

glatke zatvorene puteve u K.

Odgovaraju$om modifikac!om, teorem o postojanju primitivne funkc!e, n!ete"ko poop$iti na konveksne ili #ak na tzv. zvjezdaste skupove, pa se i prethodni


teorem lako mo%e poop$iti na takve skupove. Me&utim, op$i Cauchyjev teorem,koji $emo sada dokazati, sve te var!ante sadr%i kao spec!alne slu#ajeve.

Teorem 33.4 (Op#i Cauchyjev teorem) Neka je ! # C otvoren skup, ineka je f : ! $ C neprekidna funkc"a koja je i derivabilna, osim eventualno ukona!no mnogo to!aka. Tada je

!#f dz = 0 za svaki zatvoren, u ! nulhomotopan,

po d"elovima gladak put #.

Dokaz: Dovoljno je dokazati da ako su # : [a, b] $ ! i + : [a, b] $ ! homotopni pod!elovima glatki putevi sa zajedni#kim krajevima, tj. #(a) = +(a) i #(b) = +(b),onda je

!# f dz =

!* f dz.

0

1

a b

H

#"

$"

Iij

Kij

Dokaz je gotovo identi#an dokazu teorema 26.3 da su integrali zatvorene dife-renc!alne 1-forme po homotopnim putevima jednaki. Neka je, dakle, H : [a, b]-[0, 1] $ ! PDG homotop!a od # do +. Odaberimo razdiobu $ pravokut-nika I = [a, b] - [0, 1] tako da H preslikava svaki pravokutnik Iij te razdi-obe, u neki krug Kij koji je sadr%an u !. Restrikc!a homotop!e H na rub'Iij je zatvoren PDG put u krugu Kij , pa je, prema Cauchyjevu teoremuza krug,

!H (Iij

f dz = 0. Sumiranjem svih tih integrala, zaklju#ujemo da je!

H (If dz = 0. Kako su restrikc!e preslikavanja H na l!evu i desnu stranicu

pravokutnika I konstantni putevi, to je!

H (If dz =

!# f dz *

!* f dz, odakle

sl!edi tvrdnja teorema.

Korolar 33.5 (Cauchyjev teorem za jednostavno povezano podru$je)Neka je ! # C jednostavno povezano podru!je, a f : ! $ C neprekidna funk-c"a, koja je i derivabilna, osim eventualno u kona!no mnogo to!aka. Tada je!#

f dz = 0 za svaki po d"elovima gladak zatvoren put # u !.

Napomena 33.1 Postoji i „kra$i dokaz” Cauchyjeva teorema. Naime, za de-rivabilnu funkc!u f = u + i v : ! $ C i, barem za jednostavno zatvorenu kri-vulju ", koja je nulhomotopna u !, tj. takva je da je i njezino unutra"nje


podru#je B sadr%ano u !, koriste$i se Greenovim teoremom, teorem 27.5, iCauchy-Riemannovim uvjetima, teorem 31.1, dobivamo

.

!f dz =

.

!u dx* v dy + i

.

!v dx + u dy

Green=..

B(*'xv * 'yu) dx dy + i

..

B('xu* 'yv) dx dy

(CR)= 0 .

Me&utim, da bismo mogli koristiti Greenov teorem, morale bi funkc!e u i v bitidiferenc!abilne klase C1, tj. derivac!a f # morala bi biti neprekidna, dok smomi bili pretpostavili samo postojanje derivac!e, a u kona#no mnogo to#aka #aksamo neprekidnost. To je zna#ajna razlika, i, kao "to $emo kasn!e vidjeti, va%noje imati dokaz Cauchyjeva teorema bez pretpostavke o neprekidnosti derivac"e.

Pov!est ovog va%nog teorema, koji predstavlja veleban ulaz u teor!u funkc!akompleksne var!able, duga#ka je i zanimljiva. Originalni je dokaz dao Cauchy1825. godine, uz dodatnu pretpostavku da je derivac!a neprekidna. Kasn!etokom devetnaestog stolje$a, pojavilo se vi"e dokaza tog teorema i uz razli#itepretpostavke o tipu puta integrac!e — nekad uz pre"utno, a nekad uz ekspli-citno pretpostavljenu neprekidnost derivac!e. Godine 1884. Goursat je objaviojedan jednostavn!i dokaz ovog teorema, uz samo jednu, ‚o#itu’ pretpostavku,da teorem vr!edi za dv!e jednostavne funkc!e: konstantnu funkc!u i identitetu,ali bez pretpostavke o neprekidnosti derivac!e. Barem je tako Goursat tvrdio.

Alfred Pringsheim je 1895. pomno analiziraju$i Goursatov dokaz, ustvrdio dase u dokazu pre"utno pretpostavlja uniformna derivabilnost, za "to je pokazaoda je ekvivalentno pretpostavci o neprekidnosti derivac!e. Stoga Goursatovdokaz predstavlja samo pojednostavljenje drugih dokaza Cauchyjeva teorema,ali ne i oslabljenje pretpostavki. Pringsheim je izrazio svoje uvjerenje da teoremvr!edi samo uz pretpostavku da derivac!a postoji, bez pretpostavke o njezinojneprekidnosti, ali je taj problem jo" uv!ek ostao otvoren.

Ova Pringsheimova kritika proizvela je pravu buru, pa su, izme&u ostalog,1900. objavljena dva nova dokaza. U jednom je Goursat ponovio svoj ran!idokaz, ali uz vi"e pa%nje i uz izvjesne pretpostavke o tipu puta integrac!e, a udrugom je Moore1 dao svoj dokaz Cauchyjeva teorema, uz ne"to druga#!e pret-postavke. U svom odgovoru 1901. Pringsheim je prigovorio da su u oba radapretpostavke o tipu puta integrac!e previ"e restriktivne, pa je kombiniraju$ii profiniv"i te dokaze, dobio Cauchyjev teorem bez pretpostavke o neprekid-nosti derivac!e, i to za zatvorene rektifikabilne puteve. Dv!e godine kasn!e,

1Eliakim Hastings Moore (1862–1932), ameri!ki matemati!ar

§ 34. Cauchyjeva integralna formula 23

Pringsheim se vratio Cauchyjevu teoremu, i dao dokaz u kojem koristi tehnikud!eljenja pravokutnika na #etiri sukladna pravokutnika, kao "to smo mi radili udokazu teorema 33.1 (s tim da je on radio s trokutima, a ne s pravokutnicima).Zato smo ovdje taj teorem i nazvali Goursat-Pringsheimovim.

Time, me&utim, pri#a o Cauchyjevu teoremu n!e bila gotova. Jo" su se idu-$ih tridesetak godina matemati#ari, me&u njima i neki vrlo ugledni, prepucavalio detaljima, prioritetima i atribuc!ama. Mnogi zanimljivi detalji o doga&anjimavezanim uz Cauchyjev teorem mogu se na$i u #lanku J. Graya1.

Dokaz #injenice, da je derivac!a kompleksne funkc!e uv!ek neprekidna, akoji se ne oslanja na Cauchyjev teorem, napravljen je istom po#etkom 1960-tihgodina, i, naravno, n!e ni"ta kra$i niti jednostavn!i od dokaza kojeg $emo miprikazati, tj. dokaza koji koristi Cauchyjev teorem.

§ 34 Cauchyjeva integralna formulaKao posljedicu Cauchyjevog teorema, dokazat $emo sada Cauchyjevu integralnuformulu — rezultat iz kojeg $e, kao posljedice, sl!editi mnogi, #esto i neo#ekivanirezultati o kompleksnim funkc!ama.

Doka%imo najpr!e jedan pomo$ni rezultat:

Propozic!a 34.1 Neka je # po d"elovima gladak zatvoren put u C, i neka jez0 /& #". Tada je vr"ednost

12(i

.

#

dz

z * z0

c"eli broj.

Dokaz: Neka je # : [a, b] $ C po d!elovima gladak zatvoren put, #(a) = #(b).Definirajmo funkc!u h : [a, b] $ C s

h(t) :=. t

a

##(u)#(u)* z0

du .

To je neprekidna funkc!a, a u to#kama u kojima je ## neprekidna, h ima iderivac!u jednaku

h#(t) =##(t)

#(t)* z0.

1Jeremy Gray. Goursat, Pringsheim, Walsh, and the Cauchy integral Theorem, Mathema-tical Intelligencer, 22 (4) (2000), 60–66,77.


Prim!etimo, nadalje, da je h(a) = 0.Promotrimo funkc!u / : [a, b] $ C definiranu s

/(t) := e!h(t)(#(t)* z0) .

Funkc!a / derivabilna je tamo gdje je i h derivabilna, i vr!edi

/#(t) = *e!h(t) h#(t) (#(t)* z0) + e!h(t) ##(t)

= *e!h(t) ##(t)#(t)* z0

(#(t)* z0) + e!h(t) ##(t) = 0 .

Iako za funkc!u / znamo samo da je po d!elovima derivabilna, jer je # samo pod!elovima glatka, ipak, zbog neprekidnosti funkc!e /, zaklju#ujemo da je onakonstantna. Stoga je /(b) = /(a), tj.

e!h(b) (#(b)* z0) = e!h(a) (#(a)* z0) .

Kako je #(b) = #(a) i h(a) = 0, odavde sl!edi eh(b) = 1, tj. h(b) = 2k(i za nekik & Z. Dakle,

12(i

.

#

dz

z * z0=

12(i

. b

a

##(u)#(u)* z0

du =1

2(ih(b) = k & Z .

Korolar 34.2 Za po d"elovima gladak zatvoren put # u C i to!ku z0 /& #", broj1

2"i

Z

"

dz

z ! z0jednak je indeksu puta # s obzirom na to!ku z0, tj.

0(#, z0) =1

2(i

.

#

dz

z * z0.

(Definic!om 25.2 smo indeks zatvorenog puta # s obzirom na to#ku P0, bilidefinirali kao 0(#, P0) := 1

2"

!# 1",P0 , gdje je 1",P0 kutna diferenc!alna 1-forma,

definirana s 1",P0(x, y) := !(y ! y0) dx + (x! x0) dy

(x! x0)2 + (y ! y0)2.)

Dokaz: Napravit $emo dokaz za to#ku z0 = 0. Op$i slu#aj dob!e se translac!om


za *z0, tj. zamjenom w := z * z0. Prema definic!i integrala je

12(i

.

#

dz

z=

12(i

.

#

x* i y

x2 + y2(dx + i dy)

=1

2(i

' .

#

x dx + y dy

x2 + y2+ i

.

#

*y dx + x dy

x2 + y2

(

=12(

.

#

*y dx + x dy

x2 + y2* i

2(

.

#

x dx + y dy

x2 + y2. (4)

Prema prethodnoj propozic!i je 1

2"i

Z

"

dz

zc!eli, dakle realan broj pa je

njegov imaginarni dio jednak nuli. Stoga je drugi od dva integrala diferenc!alnih1-formi du% puta # u posljednjem retku prethodne formule, jednak nuli, pa je

12(i

.

#

dz

z=

12(

.

#

*y dx + x dy

x2 + y2=

12(

.

#1" ,

"to je, prema definic!i, upravo indeks puta # s obzirom na ishodi"te O = (0, 0).

Napomena 34.1 Da je imaginaran dio u formuli (4) jednak nuli, mogli smose uvjeriti i direktno. Naime, na probu"enoj ravnini R2 \ {(0, 0)}, diferenc!alna1-forma x dx + y dy

x2 + y2je egzaktna, jer je jednaka (vanjskom) diferenc!alu funkc!e

f(x, y) = 1

2ln(x2+y2), pa je, prema teoremu 25.2, njezin integral po zatvorenom

PDG putu # koji ne prolazi ishodi"tem, jednak nuli.

Primjer 34.1 Geometr!sku interpretac!u indeksa, kao broja obilazaka zatvo-renog puta oko, naprimjer, ishodi"ta, mo%emo, koriste$i kompleksnu logaritam-sku funkc!u, opisati i ovako. Neka je # PDG put u skupu C! — komplementunegativnog d!ela realne osi, od to#ke z0 do z1. Tada je

.

#

dz

z= ln z

&&&z1

z0

= ln&&&z1

z0

&&& + i (arg z1 * arg z0) .

Ista $e formula vr!editi i ako se #itav put # nalazi u skupu C" — komplementupolupravca iz ishodi"ta koji s pozitivnim d!elom realne osi zatvara kut ", s timda treba koristiti i odgovaraju$u logaritamsku funkc!u C" $ C.

Ako je put # zatvoren, pod!elimo ga to#kama z0, z1, z2, . . . , zk = z0 na d!e-love, tako da se svaki dio puta izme&u to#aka zj!1 i zj nalazi #itav u nekom C"j .


Kako je zk = z0, zbrajanjem dobivamo.

#

dz

z= i

k0

j=1

(arg zj * arg zj!1) ,

gdje u j-tom sumandu treba za kutove arg z uzimati one koji pripadaju skupu C"j .Suma svih tih razlika kutova bit $e upravo broj obilazaka puta # pomno%en s 2(.

Doka%imo sada nekoliko osnovnih svojstava indeksa zatvorenog puta s ob-zirom na to#ku. Ta smo svojstva mogli, koriste$i se teoremom 26.4 i njegovomposljedicom korolarom 26.5, dokazati i ran!e, u #etvrtom poglavlju. Kako $enam ta svojstva zaista trebati istom sada, dokazat $emo ih ovdje koriste$i Ca-uchyjev teorem, i #injenicu dokazanu prethodnim korolarom 34.2, da se indeksmo%e definirati i kao integral odgovaraju$e kompleksne funkc!e.

Propozic!a 34.3 (osnovna svojstva indeksa)

(i) Za !vrstu to!ku z0, indeks 0(#, z0) ne m"enja se ako se # neprekidno de-formira, i niti u jednom !asu ne prolazi kroz z0, tj. 0(#1, z0) = 0(#2, z0)ako su zatvoreni putevi #1 i #2 homotopni u C \ {z0}.

(ii) Za !vrst put #, funkc"a z .$ 0(#, z) konstantna je na svakom krugu kojije disjunktan s #". Stoga je indeks 0(#, z) konstantan na komponentamapovezanosti komplementa od #", tj. skupa C \ #".

(iii) Neka je ! # C jednostavno povezano podru!je, # po d"elovima gladakzatvoren put u ! i z0 & C \ !. Tada je 0(#, z0) = 0.Stoga, ako je # proizvoljan zatvoren PDG put u C, a z0 to!ka iz neome%enekomponente povezanosti skupa C \ #", onda je 0(#, z0) = 0.

(iv) Neka je " (pozitivno or"entirana) kru#nica sa sredi&tem u z0 i rad"usom r.Tada je

0(", z) =1

1 , za |z * z0| < r0 , za |z * z0| > r

.

N"e te&ko pokazati da se pri pr"elazu iz jedne komponente povezanosti skupaC \ #" u susjednu, tj. pri pr"elazu jednom preko krivulje #", indeks prom"eniza ±1 (i to ako gledamo u smjeru or"entac"e krivulje, onda se pri prelaskusl"eva nadesno indeks smanji za 1, a pri prelasku zdesna nal"evo, pove$a za 1).


Dokaz: (i) Kako je funkc!a z .$ 1

z ! z0derivabilna na C \ {z0}, to sl!edi nepo-

sredno iz op$eg Cauchyjeva teorema, teorem 33.4.(ii) Neka je # : [a, b] $ C po d!elovima gladak zatvoren put, neka je z0 /& #",

i neka je r > 0 takav da krug K(z0, r) ne s!e#e #". Za h & C takav da je |h| < r,ozna#imo s #h := #* h put koji dob!emo tako da # translatiramo za *h. Tadasu # i #h homotopni, s me&univoima #sh := # * sh, s & [0, 1], i homotop!a neprolazi to#kom z0. Prema (i) je, dakle, 0(#h, z0) = 0(#, z0). Me&utim, polo%ajto#ke z0 prema putu #h isti je kao polo%aj to#ke z0 + h prema putu #, pa je0(#h, z0) = 0(#, z0 + h). To#n!e,

0(#h, z0) = 1

2"i

.

#h

dz

z * z0= 1

2"i

. b

a

##(t) dt

(#(t)* h)* z0

= 1

2"i

. b

a

##(t) dt

#(t)* (z0 + h)= 1

2"i

.

#

dz

z * (z0 + h)

= 0(#, z0 + h) .

z0r

z0+h

#"

#h"

Stoga je 0(#, z0 + h) = 0(#, z0) za |h| < r, tj. funkc!a z .$ 0(#, z) jekonstantna na krugu K(z0, r).

(iii) Prvi dio tvrdnje je neposredna posljedica Cauchyjeva teorema za jed-nostavno povezano podru#je, korolar 33.5. Naime, funkc!a z .$ 1

z ! z0je deri-

vabilna na C \ {z0}, pa je derivabilna i na !, a svaki zatvoren PDG put # u !je nulhomotopan u ! zbog jednostavne povezanosti.

Za dokaz drugog d!ela tvrdnje, prim!etimo, najpr!e, da se komplementC\#" traga zatvorenog puta # u ravnini, sastoji od nekoliko, mo%da i beskona#nomnogo, komponenti povezanosti, od kojih je jedna, i samo jedna, neome&enskup, a ostale, ima ih barem jedna, su ome&eni otvoreni skupovi. Kako jeskup #" kompaktan, dakle i ome&en, postoji dovoljno velik otvoren krug kojiga sadr%i. Prema prvom d!elu tvrdnje, indeks puta # obzirom na svaku to#kuizvan tog velikog kruga, jednak je nuli. Zbog tvrdnje (ii) je onda indeks puta #jednak nuli i obzirom na svaku to#ku neome&ene komponente skupa C \ #".

(iv) Da je indeks kru%nice " s obzirom na svaku to#ku otvorenog kruga kojuta kru%nica obrubljuje, jednak 1, sl!edi iz (ii) i #injenice da je

!

!

dz

z ! z0= 2(i ,

vidi primjer 32.1. S druge strane, prema tvrdnji (iii), indeks kru%nice jednak jenuli za svaku to#ku izvan tog kruga.


Sada mo%emo dokazati najavljivan

Teorem 34.4 (Cauchyjeva integralna formula) Neka je !#C otvoren skup,f : ! $ C derivabilna funkc"a, a # u ! nulhomotopan, po d"elovima gladak za-tvoren put. Tada za svaku to!ku z0 & ! \ #" vr"edi

0(#, z0) f(z0) =1

2(i

.

#

f(z)z * z0

dz . (C)

Dokaz: Definirajmo funkc!u g : ! $ C s

g(z) :=

+,

-

f(z)* f(z0)z * z0

, z 2= z0

f #(z0) , z = z0

.

Funkc!a g derivabilna je na !\{z0}, i neprekidna je na #itavom skupu !. Premaop$em Cauchyjevu teoremu, teorem 33.4,

!# g dz = 0. Stoga je

0 =.

#g dz =

.

#

f(z)z * z0

dz *.

#

f(z0)z * z0

dz

= f(z0) %(#, z0) 2"i

,

odakle sl!edi Cauchyjeva integralna formula (C).

U primjenama je # naj#e"$e jednostavno zatvoren po d!elovima gladak putkoji jednom obilazi to#ku z0, tj. trag takvog puta je kontura u #!em se unu-tra"njem podru#ju nalazi to#ka z0, pa je indeks puta # s obzirom na z0 jed-nak 1. U tom slu#aju, Cauchyjeva integralna formula poprima sljede$i jednos-tavan oblik:

Korolar 34.5 Neka je f : ! $ C derivabilna funkc"a, " # ! pozitivno or"en-tirana kontura !"e je unutra&nje podru!je sadr#ano u !, i neka to!ka z0 pripadatom unutra&njem podru!ju. Tada je

f(z0) =1

2(i

.

!

f(z)z * z0

dz .

Ovaj korolar pokazuje da ako je f derivabilna funkc!a na nekom podru#ju,i njezine su vr!ednosti poznate u svim to#kama neke nulhomotopne konture,


onda su poznate vr!ednosti funkc!e f i u svim to#kama unutra"njeg podru#jate konture. U narednim $emo teoremima ovu #injenicu jo" bolje razjasniti.

Odsada $e nam to#ka z0 biti var!abilna, pa $emo ju ozna#avati sa z, avar!ablu integrac!e sa 2.

Korolar 34.6 Neka je V := V (z0; r, R) := {z : r < |z * z0| < R} # C kru#niv"enac, neka je f : V $ C derivabilna funkc"a, te neka su "1 i "2 pozitivnoor"entirane kru#nice oko z0 rad"usa $1 i $2, gdje je 0 < r < $1 < $2 < R.Tada za svaku to!ku z & V (z0; $1, $2), tj. $1 < |z * z0|<$2, vr"edi

f(z) =1

2(i

.

!2

f(2)2 * z

d2 * 12(i

.

!1

f(2)2 * z

d2 .

Dokaz: Neka je z neka to#ka v!enca izme&u kru%nica "1 i "2. Odaberimo dva

z0

z

z1

z1

z2

z2

r

R!1

!2

!1

!2

bliska rad!usa ve$e kru%nice, "2, tako dakru%ni isje#ak odre&en tim rad!usima ne sa-dr%i to#ku z, i neka su z1, z1, z2 i z2 to#ketih rad!usa koje le%e na kru%nicama "1 od-nosno "2 (vidi sliku). Neka je # zatvoren putkoji po#inje u to#ki z1 i trag mu je #" =[z1, z2] + "2 + [z2, z1] * "1, a # neka je putkoji po#inje tako&er u to#ki z1, a trag mu je#" = [z1, z2]+"2+[z2, z1]*"1, gdje su "1 i "2

d!elovi kru%nica "1 i "2, iz kojih su izva&enimali lukovi od z1 do z1, odnosno od z2 do z2.

Putevi # i # su homotopni u V \ {z}, i na tom je otvorenom skupu funk-c!a 2 .$ f(&)

& ! zderivabilna, pa su njezini integrali po tim putevima jednaki.

Kako je #" kontura i z se nalazi u njezinom unutra"njem podru#ju, to je premaprethodnom korolaru,

f(2) =1

2(i

.

#

f(2)2 * z

d2 =1

2(i

.

#

f(2)2 * z

d2

=1

2(i

.

!2

f(2)2 * z

d2 * 12(i

.

!1

f(2)2 * z

d2 ,

jer se integrali po segmentima [z2, z1] i [z1, z2] uzajamno dokidaju.


#

#

"

"

Po!etni i zavr"ni stad# homotop#e # 5 #, i !etiri me$univoa.Cauchyjeva integralna formula i njezini korolari pokazuju da se vr!ednost

derivabilne funkc!e na odgovaraju$em podru#ju mo%e izra#unati kao integral ponekom putu. Zato je od interesa prou#avati funkc!e koje su tako i definirane.

Teorem 34.7 (o derivabilnosti funkc!e definirane integralom) Neka je# po d"elovima gladak put u C (ne nu#no zatvoren), neka je #" # C njegovtrag, i neka je 3 : #" $ C neprekidna funkc"a. Tada je funkc"a f : C \ #" $ Cdefinirana s

f(z) :=.

#

3(2)2 * z

d2

derivabilna na C \ #", i njezina je derivac"a jednaka

f #(z) =.

#

3(2)(2 * z)2

d2 . (1)

'tovi&e, funkc"a f # : C \ #" $ C je neprekidna.

Dokaz: Fiksirajmo to#ku z & C \ #" i poka%imo da je formulom (1) dâna deri-

#"

&

z+h

z'

vac!a funkc!e f u to#ki z. Neka je & > 0 takav daje K(z, &) # C \ #". Tada za sve h & C takve da je|h| < 1

2 &, i sve 2 & #", vr!edi

|2 * z| > &

|2 * (z + h)| > 12 & .

(2)


Stoga je&&&f(z + h)* f(z)

h*

.

#

3(2)(2 * z)2

d2&&&

=&&&1h

' .

#

3(2)2 * z * h

d2 *.

#

3(2)2 * z

d2(*

.

#

3(2)(2 * z)2

d2&&&

=&&&.

#

3(2)(2 * z * h)(2 * z)

d2 *.

#

3(2)(2 * z)2

d2&&&

= |h| ·&&&.

#

3(2)(2 * z * h)(2 * z)2

d2&&& .

Ozna#imo li s M := max{|3(2)| : 2 & #"}, primjenom leme 32.1 o ocjeniintegrala, zbog nejednakosti (2), to je dalje

( |h| M12 & · &2

)(#) ,

gdje je, kao i ina#e, )(#) duljina puta #.Odavde sl!edi da je lim

h&0

f(z + h)! f(z)

h=

Z

"

((&)

(& ! z)2d&, tj. funkc!a f deriva-

bilna je u to#ki z, a kako je z & C \ #" bila proizvoljna to#ka, zaklju#ujemo daje f derivabilna, i njezina je derivac!a zaista dâna formulom (1).

Ostaje pokazati da je ta derivac!a neprekidna funkc!a. Uz iste oznake z, &,h i M kao ran!e, koriste$i lemu o ocjeni integrala i nejednakosti (2), imamo

|f #(z + h)* f #(z)| =&&&.

#

' 3(2)(2 * z * h)2

* 3(2)(2 * z)2

(d2

&&&

(razlika kvadrata)=

&&&.

#

h 3(2)(2 * z * h)(2 * z)

' 12 * z * h

+1

2 * z

(d2

&&&

( |h| M12 &2

' 112 &

+1&

()(#) = |h| 6M

&3)(#) ,

pa je limh&0

f #(z + h) = f #(z), tj. f # je neprekidna.

Definic!a 34.1 Za funkc!u f : ! $ C ka%emo da je holomorfna ako je de-rivabilna i derivac!a f # je neprekidna na !. Za funkc!u f ka%emo da je holo-morfna u to!ki z0 ako postoji okolina to#ke z0 na kojoj je f holomorfna.

Skup svih funkc!a holomorfnih na otvorenom skupu !, ozna#avat $emos H(!).


Prethodni teorem ka%e, dakle, da je svaka funkc!a koja je definirana pomo$uneke neprekidne funkc!e integralom kao u (1), holomorfna na komplementutraga puta integrac!e.

Koriste$i se prethodnim teoremom i Cauchyjevom integralnom formulom,to#n!e korolarom 34.5, dobivamo

Korolar 34.8 (Teorem o holomorfnosti derivabilne funkc!e) Svaka jederivabilna funkc"a f : ! $ C holomorfna, tj. D(!) = H(!).

Dokaz: Oko zadane to#ke z0 & ! odaberemo dovoljno malenu kru%nicu "0, takoda zajedno s krugom kojeg obrubljuje, le%i u !. Prema korolaru 34.5, za svakiz iz toga kruga je f(z) = 1

2"i

Z

!0

f(&)

& ! zd&. Budu$i da je funkc!a f , koja se

nalazi u brojniku razlomka pod integralom, neprekidna, prema prethodnom te-oremu 34.7, funkc!a f holomorfna je na krugu unutar "0, tj. na okolini to#ke z0.Zbog proizvoljnosti odabira to#ke z0, f je holomorfna na !.

Ovaj, upravo dokazan rezultat, vrlo je va%an. On pokazuje da je zahtjevderivabilnosti kompleksne funkc!e tako jak, da ima za posljedicu ne samo pos-tojanje, nego i neprekidnost derivac!e, tj. holomorfnost. Stoga, za kompleksnefunkc!e (jedne) kompleksne var!able, nema smisla govoriti da su, naprimjer,klase C1 — sve derivabilne funkc!e automatski su takve. Dokazat $emo jo"mnogo vi"e:

Teorem 34.9 (o vi"im derivac!ama derivabilne funkc!e) Neka je !#Cotvoren skup a f : ! $ C derivabilna funkc"a. Tada f ima derivac"e svakogreda, i sve su one holomorfne funkc"e na !.

Nadalje, ako je # bilo koji, u ! nulhomotopan, po d"elovima gladak zatvorenput, a to!ka z & ! \ #", onda je

0(#, z) f (n)(z) =n!

2(i

.

#

f(2)(2 * z)n+1

d2 . (3)

Dokaz: Znamo ve$, prema prethodnom korolaru 34.8 da je derivac!a f # funkc!e fneprekidna. Neka je z0 & ! neka to#ka, i neka je r > 0 takav da kru%nica "0


!0

"

z0

rad!usa r oko to#ke z0, zajedno s krugom K(z0, r)kojeg obrubljuje, le%i u !. Za svaki z & K(z0, r)je, prema Cauchyjevoj integralnoj formuli, to#n!e ko-rolaru 34.5, f(z) = 1

2"i

Z

!0

f(&)

& ! zd&, pa je, prema te-

oremu 34.7, i formuli (1) za derivac!u takve funkc!e,

f #(z) =1

2(i

.

!0

f(2)(2 * z)2

d2 , z & K(z0, r) . (4)

Odavde, parc!alnom integrac!om, dobivamo

f #(z) =1

2(i

.

!0

f(2)

)

1(2 * z)2

d2

d+

=1

2(i

.

!0

f #(2)2 * z

d2 , z & K(z0, r) . (5)

Pritom smo rabili #injenicu da se radi o integralu po zatvorenom putu, pa je, kodparc!alne integrac!e, sumand koji ne sadr%i integral, jednak nuli, tj. op$enito,formula za parc!alnu integrac!u du% zatvorenog puta # ima oblik

2# . d4 =

*2

# 4 d..

Iz prethodne formule, i ve$ dokazane neprekidnosti funkc!e f #, ponovnomprimjenom teorema 34.7, zaklju#ujemo da je f # holomorfna na krugu K(z0, r).Kako je z0 bila proizvoljna to#ka, dokazano je tako da je f # holomorfna na !.

Indukc!om se sada jednostavno pokazuje da funkc!a f ima derivac!e svakogreda, i da su sve one holomorfne funkc!e na !.

Ostaje jo" dokazati formulu (3). Neka je #, u ! nulhomotopan, zatvorenpo d!elovima gladak put, i neka je z & ! \ #". Prema ve$ dokazanom, n-taderivac!a f (n) funkc!e f je holomorfna, pa je, prema Cauchyjevoj integralnojformuli,

0(#, z) f (n)(z) =1

2(i

.

#

f (n)(2)2 * z

d2 .


Odavde, uzastopnom parc!alnom integrac!om, dobivamo

0(#, z) f (n)(z) =1

2(i

.

#

f (n)(2)2 * z

d2 =1

2(i

.

#

12 * z

)

f (n)(2) d2

d+

=1

2(i

.

#f (n!1)(2)

d2

(2 * z)2=

12(i

.

#

1(2 * z)2

)

f (n!1)(2) d2

d+

=1·22(i

.

#f (n!2)(2)

d2

(2 * z)3=

2!2(i

.

#

1(2 * z)3

)

f (n!2)(2) d2

d+

...

=n!

2(i

.

#

f(2)(2 * z)n+1

d2 .

Kako sada znamo da je za kompleksne funkc!e derivabilnost na otvorenomskupu isto "to i holomorfnost, odsada $emo koristiti gotovo isklju#ivo terminholomorfan.

Na sljede$i teorem mo%emo gledati kao na neku vrstu obrata Cauchyjevateorema.

Teorem 34.10 (Morerin1 teorem) Neka je !#C otvoren skup, a f : ! $ Cneprekidna funkc"a sa svojstvom, da za svaku to!ku z & !, postoji rz > 0,dovoljno malen da je K(z, rz) # !, i takav da za svaki pravokutnik I # K(z, rz)vr"edi

!

(I

f dz = 0. Tada je f holomorfna na !.

Dokaz: Neka je z & ! i rz > 0 kao u pretpostavci teorema, te ozna#imo sKz := K(z, rz). Prema teoremu 32.4 o postojanju primitivne funkc!e na krugu,postoji derivabilna funkc!a Fz : Kz $ C takva da je F #z = f Kz

, tj. za sve2 & Kz, je F #z(2) =

$f Kz

%(2) = f(2). Prema prethodnom teoremu 34.9,

funkc!a Fz ima derivac!e svakog reda na Kz, pa spec!alno postoji F ##z (z). Kakose funkc!e F #z i f podudaraju na krugu Kz oko to#ke z, i jedna od njih je

1Giacinto Morera (1856–1909), tal#anski matemati!ar


derivabilna u z, to je i druga derivabilna u z (i njihove su derivac!e jednake, "tonam ovdje n!e va%no). Stoga je funkc!a f derivabilna u to#ki z.

Kako je z proizvoljna to#ka iz !, f je derivabilna na !, pa je, prema teoremuo holomorfnosti derivabilne funkc!e, korolar 34.8, holomorfna.

Na kraju, doka%imo jednu #injenicu, koja, na prvi pogled, sugerira da smomo%da nepotrebno mistificirali pretpostavke u Cauchyjevim teoremima.

Korolar 34.11 Neka je f : ! $ C neprekidna funkc"a koja je i derivabilnaosim eventualno u kona!no mnogo to!aka. Onda je f derivabilna svuda, dakle iholomorfna na !itavom otvorenom skupu !.

Dokaz: Zbog otvorenosti skupa !, za svaku to#ku z & !, postoji rz > 0 takavda je K(z, rz) # !. Za svaki pravokutnik I # K(z, rz) je, prema Cauchyjevu te-oremu za pravokutnik, teorem 33.2,

!(I f dz = 0, pa prema Morerinom teoremu

zaklju#ujemo da je f holomorfna na !.

Ovaj korolar pokazuje kako funkc!a koja je neprekidna na otvorenom skupui derivabilna je u svim, osim mo%da u kona#no mnogo to#aka, ne mo%e zaistane biti derivabilna u tih nekoliko to#aka. Za"to onda nismo u Cauchyjevimteoremima — za pravokutnik, krug i, kona#no, u op$em Cauchyjevom teoremu,jednostavno pretpostavili da je funkc!a derivabilna? Razlog je sljede$i: za dokazprethodnog korolara, kojim smo ustanovili da zapravo ovih kona#no mnogo iz-uzetaka — to#aka u kojima neprekidna funkc!a n!e derivabilna — ne mo%e pos-tojati, poslu%ili smo se Morerinim teoremom, a za dokaz kojega smo rabili te-orem o postojanju vi"ih derivac!a derivabilne funkc!e, koji je pak bio posljedicaCauchyjeve integralne formule. A u dokazu Cauchyjeve integralne formule, pri-m!enili smo op$i Cauchyjev teorem na izvjesnu pomo$nu funkc!u g, za kojusmo, u tom #asu, znali da je neprekidna i da je derivabilna u svim to#kama osimjedne. N!e bilo na#ina da tada ustanovimo njezinu derivabilnost i u toj jed-noj jedinoj to#ki. To je bilo jedino mjesto gdje smo zaista koristili punu snaguCauchyjeva teorema. Sada, naravno, znamo da je ta funkc!a g bila zapravo i utoj jednoj to#ki derivabilna, ali tada to zaista nismo mogli tvrditi.

Sljede$im d!agramom rekapitulirani su odnosi me&u osnovnim svojstvimakompleksne funkc!e koja smo promatrali u ovom poglavlju.


f ima na !primitivnu funkc!u

f ima na ! lokalnoprimitivnu funkc!u

.

#f dz = 0

za svaki zatvorenPDG put # u !

f & H(!)

triv!alno=3

Tm. 32.2345 Tm. 32.2

Tm. 34.10344

445 Tm. 33.4Tm. 32.2

za ! jednostavnopovezano podru#je

6== =

6

Nizovi i redovi funkc!a

U ovom $emo se poglavlju baviti nizovima i redovima funkc!a. Ve$ina od tihstvari zapravo spada ve$ u prvo poglavlje, gdje smo razmatrali pitanja konver-genc!e nizova. Me&utim, osnovno svojstvo koje $emo koristiti pri prou#ava-nju nizova i redova kompleksnih funkc!a — lokalno uniformna konvergenc!a —dosad nam n!e trebalo, pa o tome govorimo istom sada.

§ 35 Uniformna i lokalno uniformnakonvergenc!a

Odre&enosti radi, govorit $emo o nizovima i redovima kompleksnih funkc!akompleksne var!able, jer $emo u idu$em poglavlju upravo to trebati. Me&utim,ve$ina pojmova i svojstva koja $emo dokazati, imaju smisla i vr!ede i u drugim,#esto op$enit!im, situac!ama.

Prisjetimo se najpr!e pojmova obi#ne i uniformne konvergenc!e niza funk-c!a, kojima smo se ve$ bavili u prvom poglavlju, § 4.

Definic!a 35.1 Neka je S # C neki skup i fn : S $ C, n & N, niz funkc!a.Ka%emo da niz (fn)n konvergira (obi!no ili po to!kama) ako za svaki z & Sniz brojeva

$fn(z)

%n

konvergira. U tom slu#aju, funkc!u f : S $ C definiranus f(z) := lim

nfn(z) zovemo limes niza (fn)n, i ozna#avamo s f = lim

nfn. Pi"e se

tako&er fn $ f ili fnn*$ f .

37

38 6. NIZOVI I REDOVI FUNKC#A

Dakle, niz funkc!a (fn)n konvergira funkc!i f , ako

7z & S, 7% > 0, 8n0 & N, t.d. 7n 1 n0 vr!edi |fn(z)* f(z)| < % .

Definic!a 35.2 Za niz funkc!a fn : S $ C, n & N, ka%emo da konvergirauniformno ili jednoliko na S, ako postoji funkc!a f : S $ C, takva da za svaki% > 0 postoji n0 & N takav da za sve z & S i sve n 1 n0 vr!edi |fn(z)*f(z)| < %.Ozna#avat $emo to s fn # f . Dakle, niz (fn)n konvergira uniformno funkc!i f ,ako

7% > 0, 8n0 & N, t.d. 7z & S, 7n 1 n0 vr!edi |fn(z)* f(z)| < % .

O#ito je da ako niz funkc!a (fn)n konvergira uniformno funkc!i f , onda tajniz konvergira i obi#no, ali obratno ne.

Napomena 35.1 S uniformnom konvergenc!om bili smo se ve$ bavili u § 4 uprvom poglavlju. Tamo smo promatrali skup B(S, C) svih ome%enih funkc!asa S u C (zapravo umjesto C tamo je bio op$enito, metri#ki prostor Y ). U tomsmo skupu definirali metriku $ formulom $(f, g) := sup

z%S|f(z) * g(z)|, i time

je B(S, C) postao metri#ki prostor, a konvergenc!a s obzirom na metriku $ jebila upravo uniformna konvergenc!a. Kako je prostor C potpun, pokazali smoi da je B(S, C) potpun. Va%an je njegov potprostor BC(S, C) svih ome&enihneprekidnih funkc!a, za koji smo pokazali da je zatvoren potprostor, pa jetako&er potpun. To je, spec!alno, zna#ilo da je uniformni limes niza (ome&enih)neprekidnih funkc!a ponovno neprekidna funkc!a.

Nas sada zanimaju i funkc!e koje nisu ome&ene, pa formalno uzev"i nemo%emo koristiti navedene rezultate. Me&utim, isti dokaz kojim smo u te-oremu 4.16 pokazali da je uniformni limes niza ome&enih neprekidnih funkc!a,ponovno neprekidna funkc!a, bez ikakve promjene vr!edi i bez pretpostavke oome&enosti funkc!a. Osim toga, u teoremu 35.4 mi $emo taj dokaz napraviti iu ne"to op$enit!oj situac!i.

Druga mogu$nost da koristimo navedene rezultate iz prvog poglavlja, bezda ih ponovno dokazujemo, je sljede$a. Ako za proizvoljne funkc!e f, g : S $ Cdefiniramo $#(f, g) := sup

z%S

$min{|f(z)*g(z)|, 1}

%, dobit $emo metriku na skupu

svih funkc!a sa S u C, i konvergenc!a s obzirom na tu metriku je upravo unifor-mna konvergenc!a. Za prostor (C(S, C), $#) svih neprekidnih funkc!a sa S u Cvr!edi sve "to smo bili dokazali za BC(S, C). Topolog!a, dakle i konvergenc!a,koju metrika $# inducira na podskupu B(S, C), ista je kao i ona koju definirametrika $, iako su sâme metrike razli#ite. Isto vr!edi i za Cauchyjeve nizove.

§ 35. Uniformna i lokalno uniformna konvergenc!a 39

Primjeri 35.1(i) Niz funkc!a fn : [2,9" $ R, n & N, definiranih s fn(x) := 1

xnkonvergira

uniformno konstantnoj funkc!i 0, fn # 0.(ii) Niz funkc!a gn : [0, 1] $ R, n & N, definiranih s gn(x) := xn, konver-

gira funkc!i g : [0, 1] $ R definiranoj s g(x) :=1

0 , x & [0, 1"1 , x = 1 , ali ta

konvergenc!a n!e uniformna, jer limes n!e neprekidna funkc!a.(iii) Neka je f : [0, 1] $ R neprekidna funkc!a takva da je f(0) = f(1) = 0

i neka f n!e svuda nula, f 2' 0, te neka je gn : [0, 1] $ R, n & N, nizfunkc!a definiranih s gn(x) := f(xn). Tada niz (gn)n konvergira konstant-noj funkc!i 0, ali ta konvergenc!a n!e uniformna, iako su gn i 0 = lim

ngn

neprekidne funkc!e na kompaktnom skupu [0, 1].Zaista, kada bi gn # 0, onda bi

7% > 0, 8n0 & N t.d. 7n 1 n0 i 7x & [0, 1] vr!edi |gn(x)| < % .

Poka%imo da gn 2# 0, tj. da8% > 0, t.d. 7n0 & N, 8n 1 n0 i 8xn & [0, 1] t.d. je |gn(xn)| 1 % .

Neka je % := maxx%[0,1]

|f(x)| > 0, i neka je x0 & !0, 1" takav da je |f(x0)| = %.Za n0 & N neka je n := n0 i xn := n

)x0 & !0, 1". Tada je

|gn(xn)| = |gn( n)

x0)| = |f(x0)| = % .

Na sljede$oj slici prikazani su grafovi funkc!a g1, g2, g4, g8, g16, . . . , g256,i to za polaznu funkc!u f(x) :=

#x(1* x) .

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Sada $emo definirati jedan novi tip konvergenc!e, koji $e se pokazati vrlokorisnim pri prou#avanju kompleksnih funkc!a.

Definic!a 35.3 Neka je fn : S $ C, n & N, niz funkc!a. Ka%emo da niz (fn)n

konvergira lokalno uniformno na S, ako za svaki z & S postoji rz > 0 takavda niz restrikc!a fn K(z, rz) : S konvergira uniformno na Sz := K(z, rz) : S.

Lokalno uniformna konvergenc!a zna#i, da oko svake to#ke postoji okolina ina toj okolini neka funkc!a kojoj niz restrikc!a uniformno konvergira. Sljede$apropozic!a ka%e da se ipak radi o funkc!i na #itavom skupu S, tako da mo%emogovoriti i o lokalno uniformnom limesu.

Propozic!a 35.1 Ako niz funkc"a fn : S $ C, n & N, konvergira lokalno uni-formno na S, onda postoji funkc"a f : S $ C takva da niz (fn)n konvergiralokalno uniformno prema f , tj. za svaki z & S postoji rz > 0 takav da niz res-trikc"a fn Sz

konvergira uniformno restrikc"i f Sz, gdje je Sz kao u prethodnoj

definic"i.

Dokaz: Kako niz (fn)n konvergira lokalno uniformno na S, za svaki z & S postojirz > 0 i funkc!a gz : Sz $ C tako da niz restrikc!a fn Sz

konvergira uniformnofunkc!i gz na skupu Sz.

Poka%imo da se na presjecima Sz# : Sz## , z#, z## & S, funkc!e gz# i gz## podu-daraju. Neka je z & Sz# : Sz## . Tada je

gz#(z) = limn

$fn Sz#

%(z) = lim

nfn(z) = lim

n

$fn Sz##

%(z) = gz##(z) .

Stoga je dobro definirana funkc!a f : S $ C takva da je f Sz:= gz, z & S, i

o#ito je limn

fn(z) = f(z), z & S.

Primjer 35.2 Niz funkc!a gn : [0, 1] $ R definiranih s gn(x) := xn, n & N, kon-vergira lokalno uniformno na poluotvorenom intervalu [0, 1" konstantnoj funk-c!i 0, ali taj niz ne konvergira lokalno uniformno na segmentu [0, 1].

Prim!etimo da niz (gn)n ne konvergira uniformno na [0, 1", jer bi tada kon-vergirao uniformno i na #itavom [0, 1], "to prema primjeru 35.1 n!e istina.

O#ito je da ako neki niz funkc!a konvergira uniformno, onda on konvergirai lokalno uniformno. Da obratno ne vr!edi, pokazuje prethodni primjer. Me-&utim, na kompaktnim skupovima te se dv!e vrste konvergenc!e podudaraju.To#n!e, vr!edi


Propozic!a 35.2 Neka niz funkc"a fn : S $ C, n & N, konvergira lokalnouniformno. Ako je skup S kompaktan, onda niz (fn)n konvergira uniformno.

Dokaz: Kako niz (fn)n konvergira lokalno uniformno na S, to, prema prethodnojpropozic!i 35.1, postoji funkc!a f : S $ C takva da (fn)n

lokalno# f . Stoga za

svaki z & S, postoji rz > 0 takav da$fn Sz

%n

# f Sz, gdje je, kao i ran!e,

Sz := S :K(z, rz).Zbog kompaktnosti, postoje to#ke z1, . . . , zk&S takve da je S #

k6i=1

K(zi, rzi),tj. S =

k6i=1

Szi .

Budu$i niz$fn Szi

%n

konvergira uniformno restrikc!i f Szi, to za svaki % > 0

postoji n0,i & N takav da za sve z & Szi i sve n 1 n0,i, vr!edi |fn(z)*f(z)| < %.Neka je n0 := max{n0,1, . . . , n0,k}. Tada za sve z & S i sve n 1 n0 vr!edi|fn(z)* f(z)| < %, tj. niz (fn)n konvergira uniformno na S.

Korolar 35.3 Neka je ! # C otvoren skup, a fn : ! $ C, n & N, niz funkc"a.Sljede$e su tvrdnje ekvivalentne:(i) Niz (fn)n konvergira lokalno uniformno na !.

(ii) Za svaki kompaktan skup K # !, niz restrikc"a fn K : K $ C, n & N,konvergira uniformno na K.

(iii) Za svaki zatvoreni krug K(z, r) # !, niz restrikc"a$fn K(z, r)

%n

konver-gira uniformno na K(z, r).

Dokaz: Da (ii) sl!edi iz (i), pokazuje prethodna propozic!a. (iii) sl!edi trivi-jalno iz (ii), jer je svaki zatvoreni krug kompaktan. A implikac!a (iii) 3 (i) jegotovo sâma definic!a lokalno uniformne konvergenc!e.

Doka%imo sada da lokalno uniformna konvergenc!a #uva neprekidnost.

Teorem 35.4 Neka je fn : S $ C, n & N, niz neprekidnih funkc"a koji lokalnouniformno konvergira funkc"i f : S $ C. Tada je i funkc"a f neprekidna.

Dokaz: Neka je z0 & S proizvoljna to#ka. Na nekoj okolini Sz0 := S:K(z0, rz0)to#ke z0, niz (fn)n konvergira uniformno funkc!i f , pa za svaki % > 0 postojin0 & N, takav da za svaki z & Sz0 i svaki n 1 n0 vr!edi |fn(z) * f(z)| <

)

3.

Spec!alno je |fn0(z)* f(z)| <)

3za sve z & Sz0 .


Kako je funkc!a fn0 neprekidna u z0, postoji & > 0, & < rz0 , takav da za svez & S za koje je |z* z0| < &, vr!edi |fn0(z)* fn0(z0)| <

)

3. Tada za sve takve z

vr!edi|f(z)* f(z0)| ( |f(z)* fn0(z)|

< "3

+ |fn0(z)* fn0(z0)|< "

3

+ |fn0(z0)* f(z0)|< "

3

< % .

Zbog prethodnog teorema, ka%e se da, u slu#aju lokalno uniformne konver-genc!e, limes (niza) i limes (funkc"e), komutiraju. Naime, ako je funkc!a flokalno uniformni limes niza funkc!a neprekidnih u to#ki z0, onda je i f nepre-kidna u z0, pa je

limz&z0

limn

fn(z) = limz&z0

f(z) = f(z0) = limn

fn(z0) = limn

limz&z0

fn(z) .

Na" glavni interes u ovom poglavlju su redovi funkc!a. Kako redove do-sad nismo spominjali, po&imo od definic!e. Neka je X neki vektorski prostorsnabdjeven nekom metrikom, ili barem nekom topolog!om, naprimjer, nekaje X normiran vektorski prostor, a (xn)n niz u X. Red

"xn je ure&en par

$(xn)n, (sn)n

%niza (xn)n i niza (sn)n njegovih parc"alnih suma sn :=

n"k=1

xk,

n & N. Za red"

xn ka%emo da konvergira, ako konvergira niz (sn)n. U tomslu#aju limes lim

nsn niza parc!alnih suma zovemo sumom reda

"xn i ozna-

#avamo sa$"

n=1xn.

Nas $e zanimati redovi funkc!a, posebice redovi funkc!a"

fn, gdje sufn : S $ C kompleksne funkc!e kompleksne var!able. Za takav red ka%emoda konvergira (obi!no) ako za svaki z & S red

"fn(z) kompleksnih brojeva

konvergira.1 Za red funkc!a"

fn ka%emo da konvergira uniformno akoniz

' n"k=1

fk

(

nkonvergira uniformno, tj. konvergira u prostoru funkc!a sa S

u C, snabdjevenom ran!e spomenutom metrikom $#. Sli#no se definira lokalnouniformna konvergenc!a reda funkc!a.

Korolar 35.5 Ako je"

fn red neprekidnih funkc"a fn : S $ C koji konvergiralokalno uniformno, onda je njegova suma

$"n=1

fn : S $ C neprekidna funkc"a.

1Prim#etimo da ne postoji metrika na prostoru svih funkc#a sa S u C takva da konvergen-c#a s obzirom na tu metriku bude upravo obi!na konvergenc#a niza funkc#a. Za opis obi!nekonvergenc#e potrebna je ne-metrizabilna topolo$ka struktura na prostoru funkc#a, vidi [4].


Kao kod nizova, ako red"

fn funkc!a neprekidnih u to#ki z0 lokalno uni-formno konvergira, onda se limes po z sume reda dob"e kao suma reda limesapo z, tj.

limz&z0

$"n=1

fn(z) =$"

n=1lim

z&z0fn(z) ,

pa se ka%e da limes i suma reda komutiraju.Sljede$i teoremi govore o zamjeni limesa niza, odnosno sume reda, i integrala,

odnosno derivac!e.

Teorem 35.6 Neka je # : [a, b] $ C po d"elovima gladak put, a fn : #" $ C,n & N, niz neprekidnih funkc"a koji konvergira lokalno uniformno funkc"if : #" $ C. Tada je

!# f dz = lim

n

!# fn dz.

U slu#aju lokalno uniformne konvergenc!e, vr!edi, dakle

limn

.

#fn dz =

.

#limn

fn dz ,

pa se ka%e da limes i integral komutiraju.Dokaz: Prema teoremu 35.4, f je neprekidna funkc!a na #", pa integral

!# f dz

ima smisla. Prema lemi 32.1 o ocjeni integrala, vr!edi&&.

#fn dz *

.

#f dz

&& =&&.

#

$fn(z)* f(z)

%dz

&&

( max{|fn(z)* f(z)| : z & #"} · )(#) .

Kako je skup #" kompaktan, niz (fn)n konvergira uniformno, pa za svaki % > 0postoji n0 & N takav da za sve n 1 n0 i sve z & #" vr!edi

&&fn(z)*f(z)&& <

)

*(#).

Zbog toga, za n 1 n0 vr!edi&&.

#fn(z) dz *

.

#f(z) dz

&& ( %

)(#)· )(#) = % ,

tj. niz brojeva$ !

# fn dz%n

konvergira, i limes je!

# f dz.

Korolar 35.7 Neka je # po d"elovima gladak put u C, a fn : #" $ C, n & N,niz neprekidnih funkc"a takvih da red

"fn konvergira lokalno uniformno na #".

Tada red brojeva"!

# fn dz konvergira, i vr"edi.

#

$"n=1

fn dz =$"

n=1

.

#fn dz .


Ka#e se, stoga, da se lokalno uniformno konvergentan red mo#e integrirati !lanpo !lan.

Prethodna dva teorema i korolara o zamjeni limesa s limesom odnosno inte-gralom, neprom!enjeno vr!ede i za, naprimjer, realne funkc!e realne var!able.Me&utim, sljede$i teorem o zamjeni limesa i derivac!e, kao i njegov korolar, bezdodatnih pretpostavki, ne vr!ede u slu#aju realnih funkc!a.

Teorem 35.8 (Weierstrassov teorem o limesu niza holomorfnih funkc!a)Neka je ! # C otvoren skup i fn & H(!), n & N, niz holomorfnih funkc"a kojina ! konvergira lokalno uniformno funkc"i f : ! $ C. Tada je i f holomorfnafunkc"a, f & H(!). 'tovi&e, niz derivac"a (f #n)n konvergira lokalno uniformnona ! funkc"i f #, tj. vr"edi

limn

f #n = (limn

fn)# .

Dokaz: Prema teoremu 35.4 je funkc!a f : ! $ C neprekidna. Neka je z & !proizvoljna to#ka i rz > 0 takav da je K(z, rz) # !. Tada, prema teoremu 35.6i Cauchyjevu teoremu, za svaki pravokutnik I # K(z, rz) vr!edi

.

(If dz = lim

n

.

(Ifn dz = 0 .

Prema Morerinom teoremu 34.10, zaklju#ujemo da je f holomorfna na !.Doka%imo i da niz (f #n)n lokalno uniformno konvergira k f #. Neka je z0&!

proizvoljna to#ka i neka je r > 0 takav da je K(z0, 2r) # !, te neka je

!

"

z0

z

&

2r

" := 'K(z0, 2r) pozitivno or!entirana obrub-ljuju$a kru%nica. Kako je skup " kompak-tan, niz (fn)n konvergira na " uniformno funk-c!i f , pa za svaki % > 0, postoji n0 & N ta-kav da za sve n 1 n0 i sve 2 & " vr!edi|fn(2)*f(2)| < %

r

2. Nadalje, kako su funkc!e f

i fn, n & N, holomorfne na !, prema Cauchyje-voj integralnoj formuli, to#n!e korolaru 34.5,i teoremu 34.7 o derivac!i funkc!e definirane

integralom, za svaki z & K(z0, r) vr!edi

f #(z) =1

2(i

.

!

f(2)(2 * z)2

d2

f #n(z) =1

2(i

.

!

fn(2)(2 * z)2

d2 , n & N .


Kako za sve z & K(z0, r) i sve 2 & " vr!edi |2 * z| > r, to je, prema lemi 32.1,

|f #n(z)* f #(z)| =&&&

12(i

.

!

fn(2)* f(2)(z * 2)2

d2&&& <

12(

· % · r

2· 1r2

· 2 · 2r( = % ,

pa (f #n)n # f # na okolini K(z0, r) to#ke z0. Stoga niz (f #n)n lokalno uniformnokonvergira funkc!i f #.

Za redove, kao posljedicu, dobivamo

Korolar 35.9 Neka je ! # C otvoren skup, a fn : ! $ C, n & N, niz holomor-fnih funkc"a, takvih da red

"fn lokalno uniformno konvergira. Tada je i suma

reda$"

n=1fn holomorfna funkc"a na !, red

"f #n konvergira lokalno uniformno

na !, i f # =$"

n=1f #n, tj. ' $"

n=1fn

(#=

$"n=1

f #n .

Ka#e se da se lokalno uniformno konvergentan red derivira !lan po !lan.

Uniformna i lokalno uniformna konvergenc!a su svojstva redova koja su‚dobra’ sa stajali"ta analize. Me&utim za ‚ra#unanje’ s redovima, naprimjer zazbrajanje, a posebno mno%enje, potrebna je jedna druga vrsta konvergenc!e.

Definic!a 35.4 Za red brojeva"

an ka%emo da apsolutno konvergira akokonvergira red

"|an|. Analogno, za red

"fn funkc!a sa S u C ka%emo da

apsolutno konvergira, ako konvergira red"

|fn|.

Kod apsolutno konvergentnih redova, #lanovi se mogu po volji grupirati ipermutirati, a da to nema utjecaja na njihovu konvergenc!u niti na sâmu sumu.Mi te stvari ne$emo dokazivati, a precizno iskazane tvrdnje i detaljni dokazinalaze se u [4].

Va%na je sljede$a, na prvi pogled o#ita, #injenica:

Teorem 35.10 Neka je zn, n & N, niz kompleksnih brojeva. Ako red"

zn

konvergira apsolutno, onda on i konvergira.

Dokaz: Da red"

zn apsolutno konvergira zna#i da konvergira red"

|zn|, tj.da konvergira njegov niz parc!alnih suma -n :=

n"j=1

|zj |. Stoga je niz (-n)n

Cauchyjev niz, pa za svaki % > 0 postoji n0 & N, takav da za sve n 1 n0 i svek & N vr!edi

|-n+k * -n| =n+k"j=1

|zj |*n"

j=1|zj | =

n+k"j=n+1

|zj | < % .


Stoga za sve n 1 n0 i sve k & N, za parc!alne sume sn reda"

zn vr!edi

|sn+k * sn| =&&

n+k"j=n+1

zj

&& (n+k"

j=n+1|zj | < % ,

pa je niz (sn)n parc!alnih suma reda"

zn Cauchyjev niz. Zbog potpunostiprostora C, taj niz konvergira, tj. red

"zn je konvergentan.

U dokazu prethodnog teorema koristili smo potpunost prostora kompleksnihbrojeva. Iz sâmog se dokaza vidi da $e u svakom Banachovom prostoru apso-lutno konvergentni redovi biti i konvergentni. Me&utim, u prostorima koji nisupotpuni postoje apsolutno konvergentni redovi koji ne konvergiraju.

Primjer 35.3 Konstruirat $emo red racionalnih brojeva koji u Q apsolutnokonvergira ali koji u Q n!e konvergentan.

Neka su #lanovi redova"

an i"

bn definirani s

a2k :=1k!* 1

2k

a2k+1 := 0

78

9 k = 0, 1, 2, . . .

ib2k := 0

b2k+1 :=1k!

78

9 k = 0, 1, 2, . . .

Kako su redovi" 1

k!i

" 1

2k, kao redovi u R, apsolutno konvergentni, to su i

redovi"

an i"

bn apsolutno konvergentni u R. Zbog toga je u R apsolutnokonvergentan i red

"qn #!i su #lanovi definirani s

qn := an + bn =

+,

-

1

k!* 1

2k, n = 2k

1

k!, n = 2k + 1 .

Budu$i je R potpun, taj red u R i konvergira i suma mu je$0

n=0

qn =$0

n=0

(an + bn) =$0

n=0

an +$0

n=0

bn =$0

k=0

' 1k!* 1

2k

(+

$0

k=0

1k!

=$0

k=0

1k!*

$0

k=0

12k

+$0

k=0

1k!

= 2e* 2 .


Red"

qn je red racionalnih brojeva, qn & Q, n = 0, 1, 2, . . . Ali broj 2e* 2n!e racionalan, pa taj red ne konvergira u Q, tj. kao red u Q on n!e konvergen-tan. Poka%imo da je on ipak apsolutno konvergentan i u Q.

Ozna#imo sa -n parc!alne sume reda"

|qn|. Direktnim ra#unom, vidi seda je -7 = 83

24, a jer za sve k 1 4 vr!edi 1

k!<

1

2k, to za n 1 4 vr!edi

-2n =8324

+n0

k=4

12k* 1

n!

-2n+1 =8324

+n0

k=4

12k

-2n+2 =8324

+n+10

k=4

12k* 1

(n + 1)!

= -2n+1 +' 1

2n+1* 1

(n + 1)!

(,

pa je -2n < -2n+1 < -2n+2, n 1 4, tj. niz (-n)n je monotono rastu$ niz u Q.Me&utim, njegov podniz (-2n+1)n konvergira u Q. Zaista,

-2n+1 =8324

+n0

k=4

12k

=8324

+124 * 1

2n+1

1* 12

=103* 1

2n,

pa je limn

-2n+1 = 10

3. Zbog toga i sâm niz (-n)n konvergira (i limes mu je 10

3),

tj. promatrani red"

qn je i u Q apsolutno konvergentan.

Iz prethodnog teorema i definic!e konvergenc!e reda funkc!a, sl!edi

Korolar 35.11 Svaki apsolutno konvergentan red kompleksnih funkc"a konver-gira (obi!no).

Prim!etimo da apsolutno konvergentan red funkc!a ne mora konvergirati(lokalno) uniformno, niti obratno, uniformno konvergentan red ne mora konver-girati apsolutno.


Primjer 35.4

(i) Red"

fn funkc!a fn : R $ R definiranih s fn(t) := (*1)n!1 1

n, konvergira

uniformno na R, ali ne konvergira apsolutno.

(ii) Red"

gn funkc!a gn : [0, 1" $ R definiranih s gn(t) := tn, konvergira apso-lutno, ali ne i uniformno. Naime, kada bi red

"gn konvergirao uniformno,

onda bi op$i !lan morao uniformno te#iti nuli, tj. niz funkc!a (gn)n bi na[0, 1" morao konvergirati uniformno, "to, kako smo vidjeli u primjeru 35.1,n!e istina.

Doka%imo na kraju ovog paragrafa jedan koristan dovoljan uvjet za apso-lutnu i uniformnu konvergenc!u, koji $emo #esto koristiti.

Teorem 35.12 (Weierstrassov kriter!) Neka je"

fn red funkc"a sa S u C.Ako postoje nenegativni realni brojevi $n 1 0, n & N, takvi da red

"$n konver-

gira i da je |fn(z)| ( $n za sve z & S i sve n & N, onda red"

fn konvergiraapsolutno i uniformno na S.

Dokaz: Da bismo dokazali apsolutnu konvergenc!u, dovoljno je pokazati da jeza svaki z & S, niz parc!alnih suma reda

"|fn(z)| ome&en (jer $e tada zbog

monotonosti i konvergirati). No, za svaki n & N i svaki z & S jen"

k=1|fk(z)| (

n"k=1

$k ($"

k=1$k & R ,

pa red"

fn zaista konvergira apsolutno.Poka%imo da red

"fn konvergira i uniformno. Kako red

"$n konvergira,

za svaki % > 0 postoji n0 & N takav da za sve n 1 n0 vr!edi$"

k=n+1$k < %.

Zbog toga, za svaki n 1 n0 i svaki z & S, vr!edi&&$"

k=1fk(z)

ova suma postojizbog ve! dokazane(apsolutne) konvergenc"e

*n"

k=1fk(z)

&& =&&

$"k=n+1

fk(z)&& (

$"k=n+1

|fk(z)| ($"

k=n+1$k < % ,

pa red"

fn konvergira uniformno. Gornji ra#un je korektan, jer, kako smo ve$bili pokazali, red

"fn konvergira apsolutno, pa onda i konvergira.

§ 36. Redovi potenc!a 49

§ 36 Redovi potenc!aU ovom $emo paragrafu promatrati neke posebne redove funkc!a, i dokazatineka, za njih tipi#na, svojstva.

Red potenc"a je red oblika"

an(z*z0)n, gdje su z0 i koefic!enti an, n 1 0,kompleksni brojevi. Uobi#ajeno je da kod redova potenc!a indeksi n uklju#uju,osim prirodnih brojeva, i nulu, pa $emo sâm red ozna#avati i sa

"n(0

an(z * z0)n,a njegovu sumu, kada postoji, sa

$"n=0

an(z * z0)n.

)esto $emo rabiti sljede$i teorem:

Teorem 36.1 (Abelova1 lema) Ako red potenc"a"

an(z * z0)n konvergiraza neki z# 2= z0, onda taj red konvergira apsolutno i lokalno uniformno na c"elomkrugu K(z0, r), gdje je r := |z# * z0|.

Dokaz: Ako red"

an(z#*z0)n konvergira, onda je spec!alno limn

an(z#*z0)n =0.Postoji stoga M > 0 takav da je |an(z# * z0)n| ( M , za sve n = 0, 1, 2, . . .

z

+

z0

z!

r

Neka je 0 < $ < r = |z#*z0|. Tada za svaki z & K(z0, $)vr!edi

|an(z * z0)n| = |an(z# * z0)n| ·&&&z * z0

z# * z0

&&&n

< M'$

r

(n.

Kako je +

r< 1, red

"M(+

r)n

konvergira, pa premaWeierstrassovu kriter!u, teorem 35.12, zaklju#ujemo da

red"

an(z * z0)n konvergira na K(z0, $) apsolutno i uniformno.Budu$i da za svaki z & K(z0, r) postoji $ takav da je |z * z0| < $ < r,

red"

an(z * z0)n konvergira apsolutno i lokalno uniformno na c!elom kruguK(z0, r).

Definic!a 36.1 Neka je $n, n & N, niz nenegativnih realnih brojeva. Ako jetaj niz neograni#en, definiramo lim sup $n := +9. U protivnom, tj. ako je niz($n)n ograni#en, ozna#imo skup svih njegovih gomili"ta sa S (taj je skup, premaBolzano-Weierstrassovom teoremu, neprazan), i definiramo lim sup $n := sup S.

N!e te"ko pokazati da je i lim sup $n tako&er gomili"te niza ($n)n, tj. vr!edilim sup $n & S, i zbog toga naziv — najve$e gomili"te.

1Niels Henrik Abel (1802–1829), norve$ki matemati!ar


Neka jednostavna svojstva koja $emo trebati, dana su sljede$om propozici-jom:

Propozic!a 36.2

(i) Neka su (.n)n i (4n)n nizovi nenegativnih realnih brojeva takvi da niz(4n)n konvergira, te neka je b := lim

n4n i . := lim sup.n. Tada je

(a) lim sup.n · 4n = . · b(b) lim sup(.n)+n = .b .

(ii) (Cauchyjev kriter" konvergenc"e reda)Neka je (.n)n niz nenegativnih realnih brojeva i neka je A := lim sup n

).n.

Ondaako je A < 1, red

".n konvergira, a

ako je A > 1, red"

.n divergira.

Doka%imo sada osnovni teorem o redovima potenc!a:

Teorem 36.3 (Cauchy-Hadamardov1 teorem) Neka je"

an(z * z0)n (1)

red potenc"a i neka jer :=

1lim sup n

#|an|

(2)

(dogovorno uzimamo r := 0 ako je lim sup n#

|an| = +9, a r := +9 ako jelim sup n

#|an| = 0). Tada

(a) red (1) konvergira apsolutno i lokalno uniformno na krugu K(z0, r), i

(b) red (1) divergira za svaki z & C za koji je |z * z0| > r.

Broj r zove se rad"us konvergenc"e, a K(z0, r) krug konvergenc"ereda potenc"a (1).

1Jacques Salamon Hadamard (1865–1963), francuski matemati!ar

§ 36. Redovi potenc!a 51

Dokaz:(a) Neka je z & K(z0, r) proizvoljan. Odaberimo z# & K(z0, r) takav daje |z * z0| < |z# * z0| < r. Tada je, prema prethodnoj propozic!i 36.2 (i),

z

z0

z!

rlim sup n

:&&an(z# * z0)n| = lim sup n#

|an| · |z# * z0|

=1r|z# * z0| < 1 .

Prema Cauchyjevu kriter!u, propozic!a 36.2 (ii), red"an(z# * z0)n konvergira apsolutno.Prema Abelovoj lemi, teorem 36.1, zaklju#ujemo da red (1) konvergira ap-

solutno i lokalno uniformno na krugu K(z0, |z# * z0|). Kako je z & K(z0, r) bioproizvoljan, red (1) konvergira apsolutno i lokalno uniformno na c!elom kruguK(z0, r).

(b) Pretpostavimo da red (1) konvergira za neki z# takavda je |z# * z0| =: R > r. Tada, prema Abelovoj lemi, te-orem 36.1, red (1) konvergira apsolutno na krugu K(z0, R),pa spec!alno konvergira apsolutno za neki z## takav da jer < |z## * z0| < R, tj. konvergira red

"|an(z## * z0)n|.

Me&utim,z!!

R

z0

z!

r

lim sup n#

|an(z## * z0)n| = lim sup n#

|an| · |z## * z0| = |z!! ! z0|r

> 1 ,

"to se protivi Cauchyjevu kriter!u, propozic!a 36.2 (ii).

Doka%imo sada da su sume redova potenc!a uv!ek ‚dobre’, tj. holomorfne,funkc!e.

Teorem 36.4 (o holomorfnosti sume reda potenc!a) Neka red potenc"a"an(z*z0)n ima rad"us konvergenc"e r > 0. Tada je funkc"a f : K(z0, r) $ C

definirana sf(z) :=

$"n=0

an(z * z0)n

holomorfna na K(z0, r), i njezina derivac"a jednaka je

f #(z) =$"

n=1n an(z * z0)n!1 . (3)

Pritom, rad"us konvergenc"e za f # tako%er jednak je r.


Drugim r!e#ima, red potenc!a predstavlja, na krugu konvergenc!e, holo-morfnu funkc!u, a derivac!a se dob!e deriviranjem reda #lan po #lan.Dokaz: Holomorfnost funkc!e f i formula (3) za njezinu derivac!u, sl!ede izCauchy-Hadamardova teorema 36.3 i korolara 35.9. Treba jo" samo pokazati daje rad!us konvergenc!e za derivac!u f # upravo r.

Promatrajmo red"

cn(z * z0)n, gdje je cn := (n + 1) an+1. Za rad!uskonvergenc!e toga reda, koriste$i propozic!u 36.2, nalazimo

lim sup n#

|cn| = lim sup n#

(n + 1)|an+1|

= lim sup'

n+1)

n + 1 · n+1#

|an+1|(n+1

n

= lim sup'

n+1)

n + 1 · n+1#

|an+1|(

= lim sup n+1#

|an+1| =1r

,

pa redovi"

an(z*z0)n i"

n an(z*z0)n!1 imaju iste rad!use konvergenc!e.

Napomena1 36.1 Prethodni teorem o holomorfnosti sume reda potenc!a, po-kazuje da je na krugu konvergenc!e, suma reda potenc!a holomorfna funkc!a.Prema Cauchy-Hadamardovu teoremu, taj red potenc!a ne konvergira niti ujednoj to#ki izvan zatvorenog kruga konvergenc!e. To spec!alno zna#i da zasvaku to#ku s ruba kruga konvergenc!e, red potenc!a ne konvergira niti na jed-noj okolini te to#ke. To, me&utim, ne zna#i da se funkc!a definirana sumomreda potenc!a na krugu konvergenc!e, ne mo%e pro"iriti do holomorfne funkc!ei izvan toga kruga. Naprimjer, red

"(*1)nz2n konvergira na jedini#nom krugu

oko ishodi"ta, ali funkc!a f(z) = 1

1 + z2, koja je na tom krugu jednaka sumi

toga reda, definirana je na c!eloj kompleksnoj ravnini, osim u dv!e to#ke: i i*i . A te su dv!e to#ke upravo na rubu kruga konvergenc!e. Za red

"zn, kome

je krug konvergenc!e tako&er jedini#ni krug, jedina „lo"a” to#ka je 1.Jednostavna posljedica Taylorova teorema, kojeg $emo dokazati u idu$em

poglavlju, je da na rubu kruga konvergenc!e uv!ek postoji barem jedna to#katakva da se suma reda potenc!a ne mo%e pro"iriti do holomorfne funkc!e nitina jednu okolinu te to#ke.

1vidi tako"er napomenu 37.1.

7

Razvoji kompleksnihfunkc!a u redove potenc!a

U ovom $emo poglavlju najpr!e pokazati da je svaka holomorfna funkc!a #akanaliti#ka, tj. da se mo%e razviti u red potenc!a. Nakon toga $emo pokazati da sei neke funkc!e koje u ponekoj to#ki nisu holomorfne, mogu na nekoj okolini takveto#ke razviti u red sastavljen od pozitivnih, ali i negativnih potenc!a. Vidjet$emo da ti redovi sadr%e mnogo informac!a o sâmim funkc!ama i predstavljajumo$no oru&e u njihovom prou#avanju.

§ 37 Taylorov red

Pokazat $emo najpr!e da se svaka funkc!a, koja je holomorfna na nekom krugu,mo%e na tom krugu prikazati kao suma reda potenc!a.

Teorem 37.1 (Taylorov1 teorem) Neka je funkc"a f holomorfna na kruguK(z0, r). Tada za svaki z & K(z0, r) vr"edi f(z) =

$"n=0

an(z * z0)n, gdje su

1Brook Taylor (1685–1731), engleski matemati!ar

53

54 7. RAZVOJI KOMPLEKSNIH FUNKC#A U REDOVE POTENC#A

koefic"enti an dani formulama

an =1n!

f (n)(z0) , pritom je f (0)(z0) := f(z0) (1)

=1

2(i

.

!0

f(2)(2 * z0)n+1

d2 , (2)

gdje je "0 proizvoljna pozitivno or"entirana kru#nica oko z0 rad"usa manjegod r. To je Taylorov red funkc"e f u to!ki z0.

Uobi#ajeno je koefic!ente Taylorova reda pisati u obliku (1), pa se naj#e"$eTaylorov red pi"e kao

f(z) =$"

n=0

1n!

f (n)(z0) (z * z0)n .

Dokaz: Dokaz $emo provesti za slu#aj z0 = 0. Op$i se slu#aj dob!e translac!om,tj. jednostavnom zamjenom var!able z sa z * z0.

Neka je, dakle, f & H(K(0, r)) i neka je z & K(0, r) proizvoljna to#ka.

z

+0!#

&r

Odaberimo $ takav da je |z| < $ < r, i neka je ", pozitivnoor!entirana kru%nica oko 0 rad!usa $. Prema Cauchyjevojintegralnoj formuli, to#n!e korolaru 34.5, vr!edi

f(z) =1

2(i

.

!#

f(2)2 * z

d2 . (3)

Za svaki 2 & ", je 2 2= 0 i&& z

&

&& < 1, pa vr!edi

12 * z

=12

11* z

&

=12

$"n=0

'z

2

(n=

$"n=0

zn

2n+1.

Uvrstimo li to u (3), dobivamo

f(z) =1

2(i

.

!#

$"n=0

zn

2n+1f(2) d2 . (4)

Ozna#imo s M := max{|f(2)| : 2 & ",}. Tada je&&&

zn

2n+1f(2)

&&& ( M1|2|

&&&z

2

&&&n

= M1|$|

&&&z

$

&&&n

.

§ 37. Taylorov red 55

Kako red"&& z

+

&&n konvergira, to prema Weierstrassovom kriter!u, teorem 35.12,red pod integralom u (4) konvergira uniformno na ",, pa se, prema korolaru 35.9,mo%e integrirati #lan po #lan. Vr!edi zato

f(z) =1

2(i

.

!#

$"n=0

zn

2n+1f(2) d2 =

12(i

$"n=0

' .

!#

f(2)2n+1

d2(

zn .

Tako smo prikazali funkc!u f kao sumu reda"

an zn, gdje su koefic!entidâni formulom an = 1

2"i

Z

!#

f(&)

&n+1d2, n & N. Kako je funkc!a f(&)

&n+1holomorfna

na probu"enom krugu K"(0, r), a kru%nica ", je u K"(0, r) homotopna kru%-nici "0, to su, prema Cauchyjevu teoremu, teorem 33.4, integrali po tim kru%-nicama jednaki, pa dobivamo (2) za slu#aj z0 = 0.

Prema teoremu 34.9 o vi"im derivac!ama derivabilne funkc!e, znamo da je

an =1

2(i

.

!0

f(2)2n+1

d2 =1n!

f (n)(0) ,

pa je tako dokazana i formula (1) za slu#aj z0 = 0.

Kao posljedicu Taylorova teorema i teorema 36.4, dobivamo

Korolar 37.2 (analiti$nost holomorfne funkc!e) Neka je ! # C otvorenskup. Funkc"a f : ! $ C je holomorfna u to!ki z0 & ! ako i samo ako postojired potenc"a

"an(z * z0)n s rad"usom konvergenc"e r > 0 takav da je

f(z) =$"

n=0an(z * z0)n

za sve z iz neke okoline to!ke z0.

Ovaj korolar pokazuje, da je svaka derivabilna kompleksna funkc!a ne samoholomorfna i da ima derivac!e svih redova, kao "to smo bili ve$ dokazali uteoremu 34.9 o vi"im derivac!ama derivabilne funkc!e, nego je svaka takvafunkc!a ujedno i analiti!ka, tj. mo#e se razviti u red potenc"a, "to je mnogovi"e.

Korolar 37.3 Neka je f : ! $ C holomorfna funkc"a i z0 & !. Tada zasvaki r > 0 takav da je K(z0, r) # ! vr"edi f(z) =

$"n=0

1

n!f (n)(z0)(z * z0)n

za sve z & K(z0, r). Spec"alno, ako je f (n)(z0) = 0 za sve n & N, onda je fkonstantna funkc"a na svakom krugu K(z0, r) oko to!ke z0, koji je sadr#an u !.


Dokaz: Prema Taylorovu teoremu, za svaki r > 0 takav da je K(z0, r) # !,i svaki z & K(z0, r) je f(z) =

$"n=0

1

n!f (n)(z0)(z * z0)n. Ako je f (n)(z0) = 0 za

sve n & N, onda je f(z) = f(z0) za sve z & K(z0, r), tj. funkc!a f je na tomkrugu konstantna.

Definic!a 37.1 Za to#ku z0 & C za koju je f(z0) = 0 ka%emo da je nulto!kafunkc!e f . Ako je f holomorfna na nekom krugu K(z0, r) oko nulto#ke z0, i fn!e konstantna funkc!a 0 na tom krugu, onda, prema prethodnom korolaru,postoji n & N takav da je f (n)(z0) 2= 0. Najmanji takav prirodan broj n zove sered nulto!ke.

Teorem 37.4 (o izoliranosti nulto$aka holomorfne funkc!e) Neka jefunkc"a f holomorfna na krugu K(z0, r) i neka je z0 njezina nulto!ka reda n.Tada postoji funkc"a g, holomorfna na krugu K(z0, r), takva da je g(z0) 2= 0, ida za svaki z & K(z0, r) vr"edi

f(z) = (z * z0)n g(z) .

'tovi&e, postoji & > 0 takav da je g(z) 2= 0 za sve z & K(z0, &).Dakle, holomorfna funkc"a, ako se ne radi o triv"alnoj funkc"i f ' 0, ima

samo izolirane nulto!ke.

Dokaz: Prema Taylorovom teoremu, f(z) =$"

k=0

1

k!f (k)(z0)(z * z0)k, za svaki

z & K(z0, r). Kako je z0 nulto#ka reda n, to je f (k)(z0) = 0 za k = 0, 1, . . . , n*1,pa je

f(z) =$"

k=n

1k!

f (k)(z0) (z * z0)k = (z * z0)n$"

k=n

1k!

f (k)(z0) (z * z0)k!n .

Definiramo li funkc!u g kao sumu g(z) :=$"

k=n

1

k!f (k)(z0) (z * z0)k!n, bit $e na

tom krugu zaista f(z) = (z * z0)n g(z) i g(z0) = 1

n!f (n)(z0) 2= 0.

Da je funkc!a g holomorfna na krugu K(z0, r) sl!edi iz #injenice da redkojim je funkc!a g definirana ima isti rad!us konvergenc!e kao i Taylorov redfunkc!e f . Zaista, za svaki niz an, n & N, kompleksnih brojeva, prema propo-zic!i 36.2 (i), vr!edi

lim supk

k#

|an+k|=lim supk

$n+k

#|an+k|

%n+kk =lim sup

k

n+k#

|an+k|=lim supk

k#

|ak| ,


odakle sl!edi da redovi za g i f imaju jednake rad!use konvergenc!e.Nadalje, kako je funkc!a g holomorfna, to je i neprekidna, a jer je g(z0) 2= 0,

postoji & > 0 takav da je g(z) 2= 0 i za sve z & K(z0, &). Zbog toga je z0 jedinanulto#ka funkc!e f u krugu K(z0, &).

Teorem 37.5 Neka je ! # C otvoren i povezan skup, a f : ! $ C holomorfnafunkc"a. Ako skup nulto!aka funkc"e f ima gomili&te koje pripada skupu !,onda je f(z) = 0 za sve z & !, tj. f ' 0 na !.

Dokaz: Neka je z0 & ! gomili"te skupa f!(0), skupa nulto#aka funkc!e f .

Tada je, zbog neprekidnosti, i to#ka z0 nulto#ka funkc!e f . Tvrdimo da jef (n)(z0) = 0 za sve n 1 0. U protivnom bi z0 bila nulto#ka funkc!e f nekog,kona#nog, reda, pa bi, prema prethodnom teoremu, to bila izolirana nulto#ka,"to se protivi pretpostavci da je ona gomili"te skupa nulto#aka od f .

Kako je, dakle, f (n)(z0) = 0 za sve n 1 0, iz Taylorovog razvoja funkc!e foko to#ke z0, zaklju#ujemo da je na svakom krugu K oko z0 koji je sadr%an u !,f ' 0, tj. K # f

!(0) .Poka%imo da je f ' 0 na c!elom !, tj. f

!(0) = !. Neka je z# & ! proiz-

z0

z1

z2

z3

zk =z!

"

K0

K1

K2

K3

!voljna to#ka. Kako je ! otvo-ren i povezan podskup od C,postoji poligonalna lin!a # #! od to#ke z0 do z#. Neka je% := d(#, C \ !). Zbog kom-paktnosti je % > 0 (vidi ko-rolar 5.10). Odaberimo to#kez0, z1, . . . , zk = z# na # tako daje |zj * zj!1| < %, j = 1, . . . , k,i neka su Kj := K(zj , %), j =0, 1, . . . , k, %-krugovi oko tih to-#aka. Tada je Kj # ! i zj &Kj!1 :Kj za sve j = 1, . . . , k.

Prema prvom d!elu dokaza, f ' 0 na K0, tj. K0 # f!(0). Pretposta-

vimo, induktivno, da je f ' 0 na Kj!1. Kako je to#ka zj gomili"te skupaKj!1 # f

!(0), to je ona gomili"te i skupa f!(0), skupa nulto#aka funkc!e f ,

pa je, prema prvom d!elu dokaza, f ' 0 i na krugu Kj . Indukc!om zaklju#u-jemo da je f ' 0 i na Kk!1, pa je i f(z#) = 0.

Kao posljedicu dobivamo #injenicu, da ako su dv!e holomorfne funkc!e jed-nake na, naprimjer, nekom malom luku, one tada moraju biti jednake svuda.


To#n!e, vr!edi

Korolar 37.6 (Teorem o jedinstvenosti holomorfne funkc!e) Neka jeskup ! # C otvoren i povezan, a f i g holomorfne funkc"e na !. Ako se f i gpodudaraju na nekom skupu koji ima gomili&te u !, onda je f = g na !.

Dokaz: Prim!enimo prethodni teorem na funkc!u f * g : ! $ C.

Teorem 37.7 (Cauchyjeve ocjene koefic!enata Taylorova reda) Nekaje f(z) :=

$"n=0

an(z * z0)n za |z * z0| < R, i za pozitivan broj r < R neka jeM(r) := max{|f(z)| : |z * z0| = r}. Tada je

|an| (M(r)rn

, za sve n 1 0 .

Dokaz: Prema teoremu 36.4 o holomorfnosti sume reda potenc!a, funkc!a fje holomorfna na krugu K(z0, R), a prema definic!i funkc!e f i formule zaderivac!u iz istog teorema, sl!edi da je

an =1n!

f (n)(z0) .

Zbog toga je, prema teoremu 34.9 o vi"im derivac!ama derivabilne funkc!e,

an =1

2(i

.

!0

f(2)(2 * z0)n+1

d2 ,

gdje je "0 pozitivno or!entirana kru%nica oko z0 rad!usa r. Prema lemi 32.1o ocjeni integrala, imamo

|an| (12(

M(r)rn+1

· 2r( =M(r)rn

.

Za"to za prethodni teorem ka%emo da govori o ocjeni koefic!enata Taylorovareda, kad zapravo govori o proizvoljnom redu potenc!a

"an(z * z0)n (4)

s rad!usom konvergenc!e barem R? Ako je (4) proizvoljan red potenc!a kojikonvergira na krugu K(z0, R), pa s f(z) ozna#imo njegovu sumu, kao "to smo


u#inili u dokazu prethodnog teorema, onda $emo na isti na#in kao u pret-hodnom dokazu, zaklju#iti da je an = 1

n!f (n)(z0), pa je red (4) zapravo red" 1

n!f (n)(z0)(z * z0)n, dakle Taylorov red funkc!e f oko to#ke z0. Time je,

zapravo, dokazan teorem jedinstvenosti za redove potenc"a, koji ka%e daako za svaki z iz nekog otvorenog kruga K(z0, R), za dva reda vr!edi

$"n=0

an(z * z0)n =$"

n=0bn(z * z0)n ,

onda je an = bn, za sve n 1 0. Ovaj teorem nismo posebno iskazali i numerirali,jer je on spec!alan slu#aj op$enit!eg teorema 38.2, kojeg $emo izre$i i dokazatiu idu$em paragrafu.

Napomena1 37.1 Promotrimo funkc!u f : C \ {1} $ C definiranu s f(z) :=1

1! z. Na krugu K(0, 1) oko 0 rad!usa 1, f je holomorfna funkc!a, i f(z) =

$"n=0

zn. To je, naravno, izraz koji znamo od ran!e kao formulu za sumu ge-ometr!skog reda za |z| < 1. To je ujedno i Taylorov red te funkc!e na kruguK(0, 1). Rad!us konvergenc!e reda

"zn jednak je 1. Zaista, krug K(0, 1) je

najve$i krug sa sredi"tem u 0, koji je sadr%an u domeni funkc!e f , tj. u skupuC\{1}, a ‚lo"a’ to#ka za tu funkc!u — to#ka 1, le%i na rubu kruga konvergenc!e.

To n!e slu#ajno. Neka je funkc!a f holomorfna u to#ki z0 i neka njezinTaylorov red

"an(z * z0)n ima rad!us konvergenc!e r < 9. Tada na rubu

kruga konvergenc!e postoji to#ka u kojoj f n!e holomorfna, tj. postoji to#ka z#,|z#* z0| = r, takva da f n!e holomorfna niti na jednoj okolini te to#ke. Naime,kada bi oko svake to#ke kru%nice oko z0 rad!usa r, postojala okolina na kojoj jefunkc!a f holomorfna, onda bi f bila holomorfna i na nekoj otvorenoj okolinizatvorenog kruga K(z0, r), pa bi i za neki R > r, funkc!a f bila holomorfna nakrugu K(z0, R). No tada bi rad!us konvergenc!e reda

"an(z * z0)n bio ve$i

od r.To poja"njava i neke pojave kod realnih funkc!a realne var!able. Naprimjer,

funkc!a / : R $ R definirana s /(x) := 1

1 + x2, definirana je i analiti#ka na ci-

jelom R. Me&utim, njezin Taylorov red oko 0 je /(x) =$"

n=0(*1)nx2n, i rad!us

konvergenc!e tog reda jednak je 1, iako je u to#kama ruba intervala konver-genc!e, dakle u to#kama 1 i *1, funkc!a / analiti#ka. Razlog za"to je rad!uskonvergenc!e Taylorova reda funkc!e / samo 1, postaje jasan ako na funkc!u /

1vidi tako"er napomenu 36.1.


gledamo kao na restrikc!u kompleksne funkc!e f(z) := 1

1 + z2na realnu os.

Taylorov red oko 0 za funkc!u f je"

(*1)nz2n, i njegov rad!us konvergenc!eje 1. I zaista se na rubu kruga konvergenc!e tog reda nalaze to#ke i i *i ukojima f n!e niti definirana.

Korolar 37.8 Neka je funkc"a f holomorfna na otvorenom krugu K(z0, R),i neka je |f(z)| ( M za svaki z & K(z0, R). Tada je

|f (n)(z0)| (n!MRn

, za sve n 1 0 .

Dokaz: Prema prethodnom teoremu, uz iste oznake, za svaki r < R je

|f (n)(z0)| = n! |an| (n!M(r)

rn( n!M

rn,

pa gledaju$i limes limr&R

, dobivamo tra%enu ocjenu.

Ovaj $emo korolar odmah iskoristiti u dokazu sljede$eg va%nog teorema.

Teorem 37.9 (Liouvilleov1 teorem) Ako je funkc"a f holomorfna na c"elojkompleksnoj ravnini C, i ako je ograni!ena, onda je f konstantna funkc"a.

Dokaz: Neka je |f(z)| < M za sve z & C. Kako je f & H(C), to je i za svakiR > 0, f holomorfna na krugu K(0, R). Prema prethodnom korolaru je

|f (n)(0)| ( n!MRn

,

pa kako to vr!edi za svaki R > 0, zaklju#ujemo da je f (n)(0) = 0 za sve n 1 1.Prema korolaru 37.3, f je konstantna funkc!a.

Liouvilleov teorem ne ka%e da su ograni#ene holomorfne funkc!e nu%no kon-stantne. Samo ograni#ene funkc!e koje su holomorfne na c"eloj kompleksnojravnini su konstantne. Funkc!e koje su holomorfne na c!eloj kompleksnoj rav-nini, zovu se c"ele ili !itave funkc"e. Liouvilleov teorem ka%e da su ‚prave’,tj. nekonstantne, c!ele funkc!e, uv!ek neome&ene. To se mo%da kosi s na"ompredod%bom o, naprimjer, funkc!i sinus, koja je c!ela funkc!a, i, kao funkc"a

1Joseph Liouville (1809–1882), francuski matemati!ar

§ 38. Laurentov red 61

realne var"able, ona je ograni#ena, ali sinus, kao funkc!a kompleksne var!ablen"e ograni#ena funkc!a.

Sljede$i teorem zapravo ne spada u analizu, nego u algebru. Me&utim, svinjegovi dokazi, kako elementarni tako i sofisticirani, zaht!evaju sredstva analizei/ili topolog!e. Mi $emo ovaj teorem ovdje dokazati kao jednostavnu posljedicuLiouvilleova teorema, koji nam je sada pri ruci. Postoje i elementarni dokazikoji koriste samo malo %–& tehnike iz realne analize.

Teorem 37.10 (Osnovni teorem algebre) Neka je p(z) := anzn+an!1zn!1+· · · + a1z + a0, gdje su a0, . . . , an & C, an 2= 0, n 1 1, polinom s kompleksnimkoefic"entima, stupnja barem 1. Tada p ima barem jednu nulto!ku, tj. postojiz0 & C takav da je p(z0) = 0.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. da p nema nulto#ke, dakle da je p(z) 2= 0 zasve z & C. Tada je i funkc!a q : C $ C, definirana s q(z) := 1

p(z), c!ela funkc!a.

Nadalje,|p(z)| = |z|n

&&an +an!1

z+ · · · + a1

zn!1+

a0

zn

&& ,

pa je zbog an 2= 0, lim|z|&$

|p(z)| = +9. Stoga je lim|z|&$

q(z) = 0. To zna#i daza svaki % > 0, spec!alno za % = 1, postoji R > 0 takav da za sve z & C, zakoje je |z| > R, vr!edi |q(z)| < 1. Kako je zatvoren krug K(0, R) kompaktan,a q je neprekidna funkc!a, to je funkc!a q na tom krugu ome&ena, tj. postojiM > 0 takav da je |q(z)| < M za sve |z| ( R, pa je |q(z)| < M +1 za sve z & C.Prema Liouvilleovom teoremu je q konstantna funkc!a, a zbog lim

|z|&$q(z) = 0

je q(z) = 0, 7z & C, "to ne mo%e biti jer je, prema definic!i, q(z) = 1

p(z).

§ 38 Laurentov redPri prou#avanju funkc!a koje su holomorfne na nekom krugu oko to#ke z0,koristi se razvoj u Taylorov red — red (pozitivnih) potenc!a od z*z0. Me&utim,ako je funkc!a u to#ki z0 ‚lo"a’, ali je u drugim to#kama holomorfna, koriste seredovi u kojima se osim pozitivnih, pojavljuju i negativne potenc!e.

Pr!e nego "to iska%emo osnovni teorem, uvedimo neke oznake. Neka sucn & C, n & Z, kompleksni brojevi. Dvostrani red, tj. red kome su #lanovinumerirani (indeksirani) c!elim brojevima, u oznaci

"n%Z

cn, ozna#avat $e sumu


dvaju redova, reda"n(0

cn i reda"

n)!1cn. Za red

"n%Z

cn ka%emo da konvergira,

ako konvergiraju oba reda"n(0

cn i"

n)!1cn, a sumu $emo ozna#avati sa

+$"n=!$

cn :=!$"

n=!1cn +

$"n=0

cn .

Pritom je!$"

n=!1cn := lim

n&$

!n"k=!1

ck ,

ili, ako umjesto n pi"emo *n,:=

$"n=1

c!n .

Analogno $emo govoriti o apsolutnoj, a u slu#aju redova funkc!a, i o uniformnoji lokalno uniformnoj konvergenc!i takvih redova.

Kao i u poglavlju 5, za to#ku z0 & C i pozitivne brojeve 0 < r < R, ozna#avat$emo s V := V (z0; r, R) kru%ni v!enac, tj. skup {z & C : r < |z * z0| < R}.

Teorem 38.1 (Laurentov1 teorem) Neka je funkc"a f holomorfna na kru#-nom v"encu V := V (z0; r, R) oko to!ke z0. Tada za svaki z & V vr"edi

f(z) =+$"

n=!$an(z * z0)n , (1)

gdje su koefic"enti an dâni formulom

an =1

2(i

.

!0

f(2)(2 * z0)n+1

d2 , (2)

a "0 je pozitivno or"entirana kru#nica oko z0 proizvoljnog rad"usa $, r < $ < R.To je Laurentov red funkc"e f oko to!ke z0.

Dokaz: Kao i kod Taylorova teorema, dokaz $emo provesti za slu#aj z0 = 0,a op$i se slu#aj dob!e zamjenom var!able z sa z*z0. Trebamo, dakle, dokazatida za z & V := V (0; r, R) vr!edi

f(z) =+$"

n=!$anzn , (3)

1Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), francuski in%enjer


gdje su koefic!enti dâni formulom

an =1

2(i

.

!0

f(2)2n+1

d2 , n & Z , (4)

a "0 je proizvoljna kru%nica oko 0 koja le%i u V .Neka je z & V i neka su "1 i "2 kru%nice oko 0 rad!usa $1 i $2 tako da

je r < $1 < |z| < $2 < R. Prema Cauchyjevoj integralnoj formuli, to#n!ekorolaru 34.6, je

f(z) =1

2(i

.

!2

f(2)2 * z

d2 * 12(i

.

!1

f(2)2 * z

d2 . (5)

z

0r

R

+1+2

!1

!2

VKao i u dokazu Taylorova teorema 13.1, jer jeza sve 2 & "2,

&& z

&

&& < 1, u!!2

stavimo

12 * z

=$"

n=0

zn

2n+1,

pa kao i kod Taylorova teorema, dobivamo

12(i

.

!2

f(2)2 * z

d2 =$"

n=0an zn , (6)

gdje jean =

12(i

.

!2

f(2)2n+1

d2 , n 1 0 . (7)

Da bismo izra#unali integral!!1

u (5), prim!etimo da je za 2 & "1,&& z

&

&& > 1,tj.

&& &

z

&& < 1, pa 1

& ! zrazv!emo po potenc!ama od &

z. Dobivamo

* 12 * z

=$"

n=0

2n

zn+1=

$"n=1

2n!1

zn=

!$"n=!1

zn

2n+1

(za drugu jednakost zam!enili smo n s n* 1, a za tre$u n s *n).Kao i ran!e, dokazav"i uniformnu konvergenc!u na "1, odavde dobivamo

* 12(i

.

!1

f(2)2 * z

d2 =!$"

n=!1an zn , (8)


gdje je

an =1

2(i

.

!1

f(2)2n+1

d2 , n ( *1 . (9)

Kako su kru%nice "1 i "2 u v!encu V homotopne kru%nici "0, a funkc!af(&)

&n+1je na V holomorfna, prema op$em Cauchyjevom teoremu, teorem 33.4,

integrale po "2 odnosno "1 u (7) odnosno (9), mo%emo zam!eniti integralimapo "0, pa uvr"tavanjem formula (6) i (8) u (5), dobivamo (3), a koefic!enti an

dani su formulom (4).

Napomena 38.1 Laurentov teorem vr!edi i u slu#aju kada se umjesto kru%nogv!enca V (z0; r, R) radi o probu$enom krugu K"(z0, R) := K(z0, R) \ {z0},na koji mo%emo gledati i kao na degenerirani v!enac s r = 0. Naj#e"$e $emoLaurentov red i promatrati upravo na nekom K"(z0, R). Odsada $emo, za to#kuz0 & C i realne brojeve 0 ( r < R, v!encem V := V (z0; r, R) zvati otvoren skup,koji je u slu#aju r > 0 pravi v!enac, a za r = 0 je to, zapravo, probu"en krugK"(z0, R).

Sljede$i teorem najavljivali smo ve$ ran!e.

Teorem 38.2 (o jedinstvenosti Laurentova reda)

(i) Ako za svaki z & V := V (z0; r, R) vr"edi

+$"n=!$

an(z * z0)n =+$"

n=!$bn(z * z0)n , (10)

onda je an = bn za sve n & Z.

(ii) Ako je funkc"a f holomorfna na v"encu V , onda je f = f1 +f2, gdje je f2

holomorfna na krugu K(z0, R) a f1 je holomorfna izvan zatvorenog krugaK(z0, r), tj. za |z*z0| > r. 'tovi&e, ako je lim

|z|&$f1(z) = 0, onda je rastav

f = f1 + f2 jedinstven. Funkc"a f1 naziva se glavni ili singularni dio,a funkc"a f2 regularni dio funkc"e f .


Dokaz: (i)Poka%imo najpr!e, da oba reda u (10) konvergiraju lokalno uniformno na

v!encu V . Prema definic!i je"n%Z

an(z * z0)n ="

n)!1an(z * z0)n +

"n(0

an(z * z0)n . (11)

Treba pokazati da oba reda na desnoj strani u prethodnoj formuli, konvergirajulokalno uniformno na V . Promotrimo najpr!e drugi od tih redova — red po-zitivnih potenc!a, i poka%imo da on konvergira lokalno uniformno i na ve$emskupu K(z0, R) % V .

Neka je z# & K(z0, R) proizvoljna to#ka. Odaberimo to#ku z## & V tako da

z!z!!

z0R

je |z# * z0| < |z## * z0| < R. Kako red"n(0

an(z## * z0)n

konvergira, to prema Abelovoj lemi, teorem 36.1, red"n(0

an(z * z0)n konvergira lokalno uniformno na krugu

K(z0, |z## * z0|), "to, prema definic!i, zna#i da konver-gira uniformno i na nekoj okolini to#ke z#. Stoga red"n(0

an(z*z0)n konvergira lokalno uniformno na K(z0, R).

Doka%imo sada da prvi od redova na desnoj strani u (11) — red negativ-nih potenc!a, konvergira lokalno uniformno izvan zatvorenog kruga K(z0, r),tj. na ve$em skupu C \K(z0, r) % V . Neka je z# & C \K(z0, r). Uz supstituc!u

z!

z!!

z0

r+

w!

w!!

01r

1#

w := 1

z ! z0i zamjenu k := *n, taj

red postaje"

n)!1an(z*z0)n =

"k(1

a!k wk . (12)

Neka je z## & V takav da je r < |z## * z0| < |z# * z0| i neka je $ takav da je|z## * z0| < $ < |z# * z0|. Kako je z## & V , red

"n)!1

an(z## * z0)n konvergira,

pa za w## := 1

z!! ! z0, konvergira i red

"k(1

a!k w##k. Prema Abelovoj lemi, red"k(1

a!k wk konvergira lokalno uniformno na krugu K(0, |w##|), pa zbog 1

+<

|w##| = 1

|z!! ! z0|, konvergira uniformno na zatvorenom krugu K(0,

1

+), pa onda i


na okolini K(0,1

+) to#ke w#. Stoga red

"n)!1

an(z * z0)n konvergira uniformno

na okolini C \ K(z0, $) to#ke z#, pa taj red konvergira lokalno uniformno izvanzatvorenog kruga K(z0, r).

Analogno se dokazuje da i red"n%Z

bn(z * z0)n konvergira lokalno uniformnona v!encu V .

Odaberimo k & Z, i pod!elimo oba reda u (10) sa (z * z0)k+1. Dobivamo+$"

n=!$an(z * z0)n!k!1 =

+$"n=!$

bn(z * z0)n!k!1 . (13)

Neka je "0 proizvoljna kru%nica oko z0 koja le%i u V . Kako oba ova reda kon-vergiraju uniformno na kru%nici "0, mo%emo te redove integrirati #lan po #lan,korolar 35.7. Me&utim,

.

!0

(z* z0)% dz =1

0 , ) 2= *12(i , ) = *1 , pa integriraju$i (13)

po kru%nici "0, dobivamo

ak · 2(i = bk · 2(i , k & Z ,

te je ak = bk za sve k & Z, #ime je dokazano (i).

(ii) Neka je funkc!a f holomorfna na v!encu V, i neka je f(z) =+$"

n=!$an(z*z0)n,

z & V, njezin Laurentov razvoj. Definirajmo funkc!e f1 i f2 formulama

f1(z) :=!$"

n=!1an(z * z0)n (14)

f2(z) :=+$"n=0

an(z * z0)n . (15)

Kao "to smo pokazali u dokazu tvrdnje (i), red u (15) konvergira lokalno uni-formno na krugu K(z0, R), pa je na tom krugu funkc!a f2 holomorfna, a redu (14) konvergira lokalno uniformno izvan zatvorenoga kruga K(z0, r), pa jetamo funkc!a f1 holomorfna.

Ostaje pokazati da je, uz uvjet lim|z|&$

f1(z) = 0, takav rastav jedinstven.

Neka je, tako&er, f = g1 + g2, gdje je g2 & H(K(z0, R)) i g1 & H(C \ K(z0, r)),i vr!edi lim

|z|&$g1(z) = 0. Definirajmo funkc!u h : C $ C s

h(z) :=1

f1(z)* g1(z) , |z * z0| > rg2(z)* f2(z) , |z * z0| < R

.


Funkc!a h je dobro definirana, jer je za r < |z * z0| < R, tj. za z & V ,

f1(z) + f2(z) = f(z) = g1(z) + g2(z)

pa jef1(z)* g1(z) = g2(z)* f2(z) .

Iz definic!e funkc!e h, jasno je da je ona holomorfna na krugu K(z0, R) i iz-van zatvorenog kruga K(z0, r). No kako je presjek tih dvaju otvorenih skupovav!enac V , na kome se formule za h podudaraju, h je holomorfna na #itavojkompleksnoj ravnini, tj. h je c!ela funkc!a. Nadalje, kako je lim

|z|&$f1(z) =

lim|z|&$

g1(z) = 0, to je i lim|z|&$

h(z) = 0, pa, kao i u dokazu Osnovnog teoremaalgebre, teorem 37.10, sl!edi da je funkc!a h i ome&ena. Prema Liouville-ovom teoremu, teorem 37.9, zaklju#ujemo da je h konstantna funkc!a, a kakoje lim

|z|&$h(z) = 0, to je h ' 0, pa je g1 = f1 i g2 = f2, #ime je dokazana

jedinstvenost.

Upravo dokazan teorem o jedinstvenosti Laurentova reda, vrlo je koristan,kako teoretski, tako i u primjenama. Prvo, on pokazuje da je svaki red po-zitivnih i negativnih potenc!a, koji funkc!i f konvergira na nekom v!encu ili(probu"enom) krugu, upravo Laurentov red te funkc!e. Tu je sadr%an i teoremo jedinstvenosti Taylorova reda. Jer i Taylorov red, dakle red sa sâmim nene-gativnim potenc!ama, je tako&er Laurentov red, samo "to su svi koefic!enti uznegativne potenc!e jednaki nuli. Ako, dakle, krenemo razviti funkc!u f u Lau-rentov red oko neke to#ke u kojoj je ona holomorfna, kao rezultat dobit $emonjezin Taylorov red, tj. dobit $emo da su koefic!enti uz sve negativne potenc!ejednaki nuli.

Drugo, kada trebamo neku funkc!u razviti u red potenc!a — pozitivnih,negativnih — kako ispadne, onda tome obi#no ne pristupamo tako da po#nemoderivirati ili integrirati ne bi li odredili koefic!ente dâne formulama (1) i (2) nastr. 54 ili (2) na str. 62, nego se nastojimo do#epati tra%enoga reda (naj#e"$eje dovoljno na$i samo nekoliko prvih #lanova) koriste$i neke, od ran!e poznate,redove.

Primjer 38.1 Za primjer odredimo Laurentov red funkc!e

f(z) :=1

z * 2* 1

z * 1


oko 0. Budu$i da f n!e definirana u 1 i u 2, razvit $emo ju u redove na kruguK(0, 1) i na v!encima V (0; 1, 2) i V (0; 2,+9).

Za drugi sumand, za |z| < 1, je ! 1

z ! 1= 1

1! z=

$"n=0

zn, dok je za |z| > 1,

* 1z * 1

= *1z

11* 1

z

= *1z

$"n=0

'1z

(n

= *$"

n=1

1zn

= *!$"

n=!1zn .

Za prvi sumand, 1

z ! 2, za |z| < 2 vr!edi

1z * 2

= * 12* z

= *12

11* z

2

= *12

$"n=0

'z

2

(n= *

$"n=0

zn

2n+1,

a za |z| > 2 je

1z * 2

=1z

11* 2

z

=1z

$"n=0

'2z

(n

=$"

n=1

2n!1

zn=

!$"n=!1

zn

2n+1.

Zbrajanjem, na sva tri podru#ja, odgovaraju$ih redova, dobivamo

f(z) =

+;;;;;;,

;;;;;;-

$"n=0

'1* 1

2n+1

(zn , |z| < 1

*!$"

n=!1zn *

$"n=0

1

2n+1zn , 1 < |z| < 2

!$"n=!1

'1

2n+1* 1

(zn , 2 < |z|

.

Ako %elimo tu istu funkc!u razviti u red, naprimjer, na probu"enom kruguK"(1, 1), dakle po potenc!ama od z * 1, onda za prvi sumand nalazimo

1z * 2

= * 11* (z * 1)

= *$"

n=0(z * 1)n ,

dok je drugi sumand ve$ zapisan kao red potenc!a od z*1, a svi koefic!enti an,osim a!1, jednaki su nuli, i a!1 = *1. Tako dobivamo

f(z) = * 1z * 1

*$"

n=0(z * 1)n , 0 < |z * 1| < 1 .

Kao i u slu#aju Taylorova reda, i kod Laurentova reda dokazuju se sljede$eocjene za koefic!ente:

§ 39. Singulariteti 69

Teorem 38.3 (Cauchyjeve ocjene koefic!enata Laurentova reda) Nekaje f(z) =

+$"n=!$

an(z * z0)n za 0 ( r < |z * z0| < R, i neka je za r < $ < R,

M($) := max{|f(z)| : |z * z0| = $}. Tada je

|an| (M($)$n

, za sve n & Z .

Dokaz: Prema prethodnom teoremu o jedinstvenosti dvostranih redova, red"n%Z

an(z*

z0)n je upravo Laurentov red funkc!e f na v!encu V (z0; r, R), pa je, prema La-urentovom teoremu 38.1, an = 1

2"i

!!#

f(&)

(& ! z0)n+1d2, gdje je ", kru%nica radi-

jusa $ oko z0. Tvrdnja se sada dob!e, kao i u dokazu teorema 37.7, kori"tenjemleme 32.1 o ocjeni integrala.

§ 39 SingularitetiLaurentovi redovi omogu$uju prou#avanje funkc!a i u okolini to#aka u kojimanisu holomorfne, tj. u okolini singulariteta.

Definic!a 39.1 Neka je ! # C otvoren skup, a f : ! $ C funkc!a. Ka%emoda je to#ka z0 & Int! = ! \ '! singularitet funkc"e f , ili da funkc!a f imau to!ki z0 singularitet, ako u to#ki z0 funkc!a f n!e holomorfna ili uop$e n!edefinirana u toj to#ki.

Kako bismo mogli govoriti o tome je li neka to#ka z0 singularitet funkc!e fili n!e, to#ka z0 mora biti okru%ena to#kama u kojima f jeste definirana, to#n!e,mora biti z0 & Int!, a je li funkc!a f definirana u sâmoj to#ki z0 ili n!e — n!eodlu#uju$e. Naprimjer, funkc!a f(z) := 1

1! zima u to#ki 1 singularitet, isto

kao i funkc!a f1 definirana s f1(z) :=

<1

1! z, z 2= 1

0 , z = 1, iako prva n!e defini-

rana u 1, a druga jeste. U svim ostalim to#kama kompleksne ravnine, obje sufunkc!e holomorfne. S druge strane, za funkc!u f2, definiranu s f2(z) :=

$"n=0

zn,ne mo%emo kazati da, u smislu gornje definic!e, ima singularitet u to#ki 1, jer,kako je definirana kao suma reda potenc!a, njezino podru#je definic!e je samokrug konvergenc!e toga reda, tj. otvoren krug K(0, 1), a to#ka 1 n!e u nutrini


zatvara#a toga kruga. Druga je stvar "to se funkc!a f2 na svojoj domeni po-dudara s restrikc!om funkc!e f , a funkc!a f zaista ima u to#ki 1 singularitet.

Singulariteta ima razli#itih i vrlo ‚neugodnih’. Mi $emo promatrati samotzv. izolirane singularitete:

Definic!a 39.2 Za singularitet z0 ka%emo da je izoliran singularitet funk-c!e f , ako je f holomorfna funkc!a na nekom probu"enom krugu K"(z0, R) okoto#ke z0.

Naprimjer, to#ka 1 je izoliran singularitet malopr!e promatranih funkc!a f

i f1. Isto je tako 0 izoliran singularitet funkc!e z .$ sin 1

z, ali 0 n!e izoliran

singularitet funkc!e z .$ 1

sin 1z

. Prema gornjoj definic!i, za to#ku 1 ne mo-%emo kazati da je izoliran singularitet funkc!e f2, jer ta funkc!a, onako kakoje zadana, definirana je samo tamo gdje red

"zn konvergira, pa n!e definirana

niti u jednoj to#ki izvan zatvorenog kruga K(0, 1), dakle, n!e definirana nitina jednom probu"enom krugu K"(1, R), R > 0. Ipak, funkc!a f2 podudarase s funkc!om f na krugu K(0, 1), pa na f mo%emo gledati kao na pro"irenjefunkc!e f2, i u tom smislu mo%e se ipak za to#ku 1 kazati da je izolirani singu-laritet funkc!e f2. Mi u tako detaljna razmatranja ne$emo ulaziti, i bavit $emose samo ‚pravim’ izoliranim singularitetima koji su okru%eni to#kama u kojimapromatrana funkc!a je definirana, dakle to#kama z0 & Int!.

Napomena 39.1 Prim!etimo da funkc!a mo%e imati i beskona#no mnogo izo-liranih singulariteta. Ali, ako funkc!a ima samo izolirane singularitete, ondaskup singulariteta ne mo%e imati gomili"te koje je sadr%ano u !. Stoga nitijedan kompaktan podskup od ! ne mo%e sadr%avati vi"e od kona#no mnogo izo-liranih singulariteta takve funkc!e f . Nadalje, svaki otvoren podskup od C je--kompaktan, tj. prebrojiva je un!a kompaktnih podskupova, vidi teorem 5.5,pa odavde sl!edi da funkc!a koja ima samo izolirane singularitete, mo%e ih imatinajvi"e prebrojivo mnogo.

Pokazat $emo da postoje tri vrste izoliranih singulariteta: uklonjivi, polovii bitni singulariteti. Po&imo redom:

Za izoliran singularitet z0 funkc!e f ka%emo da je uklonjiv, ako u to#ki z0

mo%emo funkc!u f predefinirati ili, ako u z0 n!e bila definirana, dodefinirati,tako da postane holomorfna na nekom (pravom, neprobu"enom) krugu K(z0, R)oko to#ke z0. Drugim r!e#ima, singularitet je uklonjiv, ako ga mo%emo ukloniti.

Sljede$i teorem daje nekoliko karakterizac!a uklonjivog singulariteta.


Teorem 39.1 (Karakterizac!a uklonjivih singulariteta) Neka je funkc"a fholomorfna na probu&enom krugu K"(z0, R). Sljede$e su tvrdnje ekvivalentne:

(i) z0 je uklonjiv singularitet funkc"e f .

(ii) Postoji limes limz&z0

f(z) & C.

(iii) f je ome%ena na nekoj okolini to!ke z0.

(iv) limz&z0

(z * z0) f(z) = 0

(v) U Laurentovom razvoju funkc"e f oko to!ke z0 nema negativnih potenc"a,tj. svi koefic"enti uz negativne potenc"e jednaki su nuli.

Dokaz: (i) 3 (ii) Ako je z0 uklonjiv singularitet funkc!e f , onda, ukloniv"i ga,dobivamo funkc!u, nazovimo ju f , koja je holomorfna na nekoj okolini to#ke z0,pa ona, zbog neprekidnosti, ima u z0 limes. Kako je za limes neke funkc!enebitno kako je i je li uop$e definirana u to#ki u kojoj se promatra limes, to ifunkc!a f ima u to#ki z0 limes.

(ii) 3 (iii) Ova implikac!a sl!edi iz sâme definic!e limesa. Naime, neka je) := lim

z&z0f(z) & C. To zna#i, da za svaki % > 0 postoji & > 0 takav da za sve

z & K"(z0, &) vr!edi |f(z) * )| < %. Stoga je f(K(z0, &)) # K(), %) ; {f(z0)}ako f jeste definirana u z0, ili je f(K"(z0, &)) # K(), %), ukoliko n!e. U oba jeslu#aja f ograni#ena na &-okolini to#ke z0.

(iii) 3 (iv) Ova je implikac!a triv!alna, jer ako je f ome&ena na nekojokolini to#ke z0, onda zbog lim

z&z0(z * z0) = 0, sl!edi da limes lim

z&z0(z * z0) f(z)

postoji, i jednak je 0.(iv) 3 (v) Za broj 0 < r < R, s M(r) ozna#imo maksimum modula funk-

c!e f na kru%nici oko z0 rad!usa r, dakle, M(r) := max{|f(z)| : |z * z0| = r}.Doka%imo, najpr!e, da je

limr&0

r M(r) = 0 . (1)

Zbog kompaktnosti kru%nice, za svaki r < R, postoji to#ka zr, |zr * z0| = r,

z0 zr

takva da je M(r) = |f(zr)|. Ozna#imo sa S skup tako oda-branih to#aka zr. Zbog (iv) je i lim

z&z0|z * z0| |f(z)| = 0, a

kako je z0 o#ito gomili"te skupa S, to je i

0 = limz&z0z%S

|z * z0| |f(z)| = limzr&z0

|zr * z0| |f(zr)| = limr&0

r M(r)

#ime je dokazano (1).


Neka je f(z) =+$"

n=!$an(z*z0)n Laurentov razvoj funkc!e f na probu"enom

krugu K"(z0, R). Prema Cauchyjevim ocjenama koefic!enata Laurentova reda,teorem 38.3, je |a!n| ( rnM(r) za sve n 1 1, pa zbog (1) zaklju#ujemo da jea!n = 0 za sve n 1 1, tj. koefic!enti uz sve negativne potenc!e u Laurentovomredu funkc!e f oko to#ke z0, jednaki su nuli.

(v) 3 (i) Ova implikac!a je opet jednostavna. Zaista, prema (v), Laurentovrazvoj funkc!e f na K"(z0, R) ima oblik f(z) =

$"n=0

an(z * z0)n. Definiramo lif(z0) := a0, singularitet smo uklonili, jer dobivena je funkc!u na c!elom kruguK(z0, R) jednaka sumi reda (nenegativnih) potenc!a, pa je holomorfna na tomkrugu.

Primjer 39.1 Kao primjer, promotrimo funkc!u f(z) := 1! cos 2z

z2, koja je

holomorfna svuda osim u to#ki 0, gdje n!e definirana. Poka%imo da je taj, o#itoizoliran, singularitet, uklonjiv. Kako je cos t = 1* t2

2!+ t4

4!* t6

6!+ · · · , to je

f(z) =1*

$1* (2z)2

2! + (2z)4

4! * (2z)6

6! + · · ·%

z2= 2* 2

3z2 +

445

z4 + · · · .

Dakle, 0 je uklonjiv singularitet funkc!e f , i definiramo li f(0) := 2 — uklonilismo ga.

Funkc!e s uklonjivim singularitetima su gotovo tako dobre kao holomorfnefunkc!e. Spec!alno, i za njih vr!edi op$i Cauchyjev teorem:

Korolar 39.2 (Cauchyjev teorem za funkc!e s uklonjivim singularitetima)Neka je funkc"a f : ! $ C holomorfna, osim mo#da u nekim to!kama, u kojimaima uklonjive singularitete. Tada je za svaki, u ! nulhomotopan, zatvoren pod"elovima gladak put #,

!#

f dz = 0.

Dokaz: Uklonimo li singularitete funkc!a f , dobivamo holomorfnu funkc!u f ,pa na nju prim!enimo op$i Cauchyjev teorem, teorem 33.4. Ako put integra-c!e ne prolazi niti jednim uklonjivim singularitetom funkc!e f , onda se f i fdu% tog puta podudaraju, pa su im i integrali jednaki. Ali i ako put integra-c!e prolazi nekim od uklonjivih singulariteta funkc!e f , to na integral nemautjecaja. Naime, kako su uklonjivi singulariteti izolirani, na putu # ih, premanapomeni 39.1, ima samo kona#no mnogo, a kao "to znamo od ran!e, promjena


funkc!e u kona#no mnogo to#aka ne utje#e niti na njezinu integrabilnost, nitina sâm integral.

Drugi tip izoliranih singulariteta su polovi. Za izoliran singularitet z0 funk-c!e f ka%emo da je pol, ako u Laurentovom razvoju funkc!e f oko to#ke z0

ima kona#no mnogo (ali barem jedan) #lanova s negativnim potenc!ama, tj. spotenc!ama od 1

z ! z0. Red pola je red najve$e potenc!e od 1

z ! z0koja se u

tom Laurentovom razvoju pojavljuje s koefic!entom razli#itim od nule.

Teorem 39.3 (Karakterizac!a polova) Neka je funkc"a f holomorfna naprobu&enom krugu K"(z0, R). Sljede$e su tvrdnje ekvivalentne:

(i) z0 je pol funkc"e f (reda m).

(ii) z0 n"e uklonjiv singularitet funkc"e f , ali postoji prirodan broj k takav daje z0 uklonjiv singularitet funkc"e z .$ (z * z0)kf(z). (Najmanji takav kupravo je m — red pola.)

(iii) limz&z0

|f(z)| = +9.

Dokaz: (i) 3 (ii) Ako je z0 pol m-tog reda funkc!e f , onda, prema definic!i,Laurentov razvoj funkc!e f oko to#ke z0 ima oblik f(z) =

+$"n=!m

an(z * z0)n,a!m 2= 0, m 1 1, pa prema teoremu 39.1 kojim su karakterizirani uklonjivisingulariteti, z0 n!e uklonjiv singularitet funkc!e f . Pomno%imo li f sa (z*z0)k,za svaki k 1 m dobit $emo funkc!u koja u svom Laurentovom razvoju okoto#ke z0 nema negativnih potenc!a, pa je, prema istom teoremu, z0 uklonjivsingularitet te funkc!e. O#ito je najmanji prirodan broj s ovim svojstvom,upravo broj m — red pola.

(ii) 3 (iii) Ako funkc!a g(z) := (z*z0)mf(z) ima u z0 uklonjiv singularitet,onda, prema teoremu 39.1, postoji limes lim

z&z0g(z) & C, pa je, zbog m 1 1,

limz&z0

|f(z)| = limz&z0

|g(z)||z ! z0|m

= +9.

(iii) 3 (i) Pretpostavimo da je limz&z0

|f(z)| = +9. To zna#i da za svakiM > 0 postoji & > 0, takav da za svaki z & K"(z0, &) vr!edi |f(z)| > M .Spec!alno (uzev"i npr. M = 1), postoji & > 0 takav da je f(z) 2= 0 za svez & K"(z0, &). Definirajmo funkc!u g : K"(z0, &) $ C s g(z) := 1

f(z). Funkc!a g

je holomorfna na K"(z0, &) i limz&z0

g(z) = 0. Prema teoremu 39.1, g ima u z0


uklonjiv singularitet, i ako definiramo g(z0) := 0, dobivamo holomorfnu funkc!una c!elom krugu K(z0, &).

To#ka z0 je jedina nulto#ka funkc!e g, i ozna#imo njezin red s m. Premateoremu 37.4, na krugu K(z0, &) postoji holomorfna funkc!a h takva da je

g(z) = (z * z0)m h(z) , |z * z0| < & , (2)

i h(z) 2= 0 za sve |z*z0|<&. Zbog toga je i funkc!a 1

hholomorfna na K(z0, &), i

neka je 1

h(z)=

$"n=0

bn(z*z0)n njezin Taylorov razvoj oko z0. Tada je, prema (2),

f(z) =1

g(z)=

1(z * z0)m

1h(z)

, 0 < |z * z0| < &

=$0

n=!m

bm+n(z * z0)n ,

pa f ima u z0 pol m-tog reda, jer je b0 = 1

h(z0)2= 0.

Primjeri 39.2

(i) Za k & N, funkc!a z .$ 1

zk, ima u z0 = 0 pol k-tog reda.

(ii) Funkc!a f(z) := 1

sin zima u z0 = 0 pol prvog reda. Zaista, 0 je izoliran

singularitet funkc!e f , jer, kako je sinus holomorfna funkc!a, sve njezinenulto#ke, pa tako i 0, su izolirane. Da je 0 pol funkc!e f sl!edi ve$ iz#injenice da je lim

z&0

1

| sin z|= +9. Kojega je reda taj pol? Kako nemamo

na raspolaganju Laurentov razvoj funkc!e f , mo%emo razmi"ljati ovako:Promatrajmo funkc!u

z .$ zf(z) = z1

sin z=

1sin z

z

.

Funkc!a z .$ sin z

zima u 0 uklonjiv singularitet, jer je njezin Laurentov

razvoj oko 0 (prvih nekoliko #lanova)

sin z

z=

1z

$z * z3

3!+

z5

5!* · · ·

%= 1* z2

3!+

z4

5!* · · · ,


pa je limz&0

sin z

z= 1. Odavde sl!edi da je lim

z&0z

1

sin z= 1, pa, prema te-

oremu 39.1, funkc!a z .$ z1

sin zima u 0 uklonjiv singularitet. Prim!enimo

li sada prethodni teorem kojim su karakterizirani polovi, zaklju#ujemo dafunkc!a f(z) = 1

sin zima u 0 pol, i to prvoga reda.

Definic!a 39.3 Za funkc!u f ka%emo da je meromorfna na otvorenom skupu! # C ako ima samo uklonjive singularitete i polove, i ako skup singularitetanema gomili"te u !.

Tipi#ni primjeri meromorfnih funkc!a su racionalne funkc!e. One, ako subrojnik i nazivnik relativno prosti, tj. razlomak je ‚skra$en do kraja’, od singu-lariteta imaju samo polove, i to u nulto#kama nazivnika. Ima me&utim i drugihmeromorfnih funkc!a. Naprimjer, funkc!a z .$ 1

sin ztako&er je meromorfna

na C, jer ona, od singulariteta u C, ima samo polove, i to u nulto#kama funkc!esinus. Treba ipak malo pripaziti. Funkc!a z .$ 1

sin 1z

meromorfna je na C \ {0},ali n!e meromorfna na C, jer 0 jeste singularitet te funkc!e, ali n!e izoliran (pane mo%e biti pol niti uklonjiv singularitet).

Promatraju$i Laurentov razvoj funkc!e oko singulariteta z0, ostaje jo" jednamogu$nost — da je glavni dio beskona#an. Za izoliran singularitet z0 ka%emo daje bitan singularitet ako u Laurentovom razvoju funkc!e f oko to#ke z0 imabeskona#no mnogo #lanova s negativnim potenc!ama, tj. beskona#no mnogokoefic!enata uz negativne potenc!e je razli#ito od nule.

Iz ve$ dokazanog o pona"anju funkc!e u okolini uklonjivih singulariteta ipolova, vidimo da funkc!a ne mo%e biti ograni#ena niti na jednoj okolini bitnogsingulariteta, ali ne mo%e niti po modulu te%iti u +9. Ona je, dakle, neome&enana svakoj okolini to#ke z0, i #ak njezin modul nema niti kona#nog niti besko-na#nog limesa. Precizn!e o pona"anju funkc!e u okolini bitnog singulariteta,govori sljede$i teorem.

Teorem 39.4 (Casorati1-Weierstrass-Sohock!2) Neka je funkc"a f holo-morfna na probu&enom krugu K"(z0, R). To!ka z0 je bitan singularitet funk-c"e f ako i samo ako je za svaki & > 0, slika probu&enog kruga K"(z0, &) gustana C, tj. za svaki w & C i svaki % > 0, postoji z & K"(z0, &), takav da je|f(z)* w| < %.

1Felice Casorati (1835–1890), tal#anski matemati!ar2Julian-Karl Vasilievi! Sohock# (1842–1927), ruski matemati!ar, ro"en u Poljskoj


z0

z

'f w0

f(z)

)

Dokaz: Neka je z0 bitan singularitet funkc!e f , i odaberimo &, w i % kao u iskazuteorema. Ako postoji z & K"(z0, &) takav da je f(z) = w, tvrdnja je dokazana.

Pretpostavimo, dakle, da je f(z) 2= w za svaki z & K"(z0, &). Tada je i funk-c!a g : K"(z0, &) $ C, definirana s g(z) := 1

f(z)! w, holomorfna na K"(z0, &).

Funkc!a g ima u z0 izoliran singularitet.Ako je funkc!a g ome&ena na nekoj okolini to#ke z0, onda je z0 uklonjiv

singularitet, pa postoji limes limz&z0

g(z) =: ) & C.

Ako je ) 2= 0, onda je limz&z0

f(z) = 1

*+ w, pa bi, prema teoremu 39.1, funkc!a f

imala u z0 uklonjiv singularitet, i u njezinom Laurentovom razvoju oko z0

ne bi bilo negativnih potenc!a.

Ako je ) = 0, onda je limz&z0

|f(z) * w| = +9, pa je i limz&z0

|f(z)| = +9, "tobi, prema teoremu 39.3, zna#ilo da f ima u z0 pol, dakle, u Laurentovomrazvoju bilo bi samo kona#no mnogo negativnih potenc!a.

Prema tome, otpadaju obje mogu$nosti, pa je funkc!a g neome&ena nasvakoj okolini to#ke z0. To spec!alno zna#i, da i za odabrane & i %, postojiz & K"(z0, &) takav da je |g(z)| >

1

), tj. |f(z)* w| < %.

Obrat je jednostavan. Naime, ako je za svaki & > 0, slika probu"enog &-krugaoko z0 gusta na C, onda niti mo%e f biti ome&ena na nekoj okolini to#ke z0, nitimo%e limes modula biti jednak +9. Prema karakterizac!ama uklonjivih sin-gulariteta, odnosno polova, zaklju#ujemo da u Laurentovom razvoju funkc!e foko to#ke z0 mora biti beskona#no mnogo negativnih potenc!a, pa je z0 bitansingularitet funkc!e f .

Primjeri funkc!a s bitnim singularitetom su z .$ e1z i z .$ sin 1

z. Obje

ove funkc!e imaju bitan singularitet u 0, "to se jednostavno vidi iz njihovihLaurentovih razvoja.

§ 40. Reziduumi 77

§ 40 ReziduumiU ovoj $emo to#ki dokazati teorem o reziduumima, koji je vrlo koristan i te-oretski i u primjenama.

Definic!a 40.1 Neka je funkc!a f holomorfna na probu"enom krugu K"(z0, r)i neka je

"n%Z

an(z * z0)n njezin Laurentov red oko to#ke z0. Koefic!ent a!1 uz1

z ! z0naziva se reziduum funkc!e f u to#ki z0, i ozna#avamo ga res(f, z0).

Promotrimo li Laurentov razvoj funkc!e z .$ f(z) * res(f, z0)

z ! z0oko to#ke z0,

vidimo da ona ima na probu"enom krugu K"(z0, r) primitivnu funkc!u. Takona reziduum funkc!e u nekoj to#ki, mo%emo gledati kao na mjeru koliko se tafunkc!a razlikuje od derivac!e neke holomorfne funkc!e definirane na okolini teto#ke.

Prema formuli (2) na str. 62, za koefic!ente Laurentova reda, vidimo da je

res(f, z0) =1

2(i

.

!0

f(2) d2 ,

gdje je "0 neka dovoljno mala pozitivno or!entirana kru%nica oko z0. Napi"emoli tu formulu kao .

!0

f(2) d2 = 2(i res(f, z0) ,

dobivamo korisnu formulu za nala%enje integrala kompleksne funkc!e u slu#a-jevima kada znamo njezin Laurentov razvoj, ili barem koefic!ent uz 1

z ! z0.

Teorem o reziduumima, koji $emo sada dokazati, poop$uje tu formulu.

Teorem 40.1 (o reziduumima za funkc!e s kona$no mnogo singulariteta)Neka je ! # C otvoren skup, f : ! $ C funkc"a koja je holomorfna osim u to!-kama s1, s2, . . . , sk, u kojima ima izolirane singularitete, i neka je # zatvoren,u ! nulhomotopan, po d"elovima gladak put, koji ne prolazi niti jednom od tihto!aka. Tada je

.

#f dz = 2(i

k0

j=1

0(#, sj) · res(f, sj) . (1)


Dokaz: Neka je gj(z) :=$"

n=1a(j)!n (z* sj)!n glavni dio Laurentova razvoja funk-

c!e f oko to#ke sj , j = 1, . . . , k. Definirajmo funkc!u h : ! $ C formulom

h(z) := f(z)*k0

j=1

gj(z) . (2)

Svaka od funkc!a gj je holomorfna na C \ {sj}, pa je funkc!a h holomorfna,osim u to#kama s1, s2 . . . , sk, u kojima ima uklonjive singularitete. Prim!enimoli sada Cauchyjev teorem za funkc!e s uklonjivim singularitetima, korolar 39.2,dobivamo .

#h dz = 0 . (3)

Za svaki j & {1, . . . , k} je.

#gj dz = 2(i 0(#, sj) res(f, sj) . (4)

Zaista, kako je funkc!a gj holomorfna na C \ {sj}, red kojim je ona definiranakonvergira lokalno uniformno na c!elom skupu C \ {sj}, vidi dokaz tvrdnje (i)teorema o jedinstvenosti Laurentova reda, teorem 38.2, pa, jer put # ne prolazito#kom sj , taj red konvergira uniformno na #". Zato mo%emo integrirati #lanpo #lan, pa dobivamo.

#gj dz =

.

#

$0

n=1

a(j)!n(z * sj)!n dz = a(j)

!1 2(i 0(#, sj) = 2(i 0(#, sj) res(f, sj) ,

jer za n 2= 1, funkc!e z .$ 1

(z ! sj)nimaju na C\{sj} % #", primitivnu funkc!u,

te je njihov integral du% # jednak nuli.Zbrajanjem formula (4), iz (2) i (3) dobivamo tvrdnju teorema.

Teorem 40.2 (o reziduumima) Neka je ! # C otvoren skup, f : ! $ Cfunkc"a koja je holomorfna osim u to!kama skupa S # !, u kojima ima izoliranesingularitete, i neka je # : [a, b] $ ! zatvoren, u ! nulhomotopan, po d"elovimagladak put, koji ne prolazi niti jednim singularitetom funkc"e f , tj. #" :S = <.Tada je indeks puta # s obzirom na sve to!ke skupa S osim njih kona!no mnogo,jednak nuli, i vr"edi

.

#f dz = 2(i

0

s%S

0(#, s) · res(f, s) . (5)

§ 41. Broj nulto$aka i polova meromorfnih funkc!a 79

Dokaz: Prim!etimo najpr!e, da, prema napomeni 39.1, S, skup singularitetafunkc!e f , nema gomili"te koje pripada skupu !, jer bi ina#e to gomili"te biloneizoliran singularitet funkc!e f . Stoga proizvoljan kompaktan podskup od !sadr%i najvi"e kona#no mnogo elemenata skupa S.

Neka je # zatvoren po d!elovima gladak put, nulhomotopan u !, i neka jeH : [a, b]- [0, 1] $ ! homotop!a izme&u # i nekog konstantnog puta. Ozna#imos H" := H([a, b] - [0, 1]) # ! trag (sliku) homotop!e H. Za svaku to#kuz & C \ H" je zatvoren put # nulhomotopan u C \ {z}, pa je 0(#, z) = 0,propozic!a 34.3 (i).

Ozna#imo sa SH := S:H" skup onih singulariteta funkc!e f koji se nalaze uskupu H", i neka je SO := S\SH skup ostalih singulariteta. Zbog kompaktnostipravokutnika [a, b]-[0, 1] i neprekidnosti homotop!e H, skup H" je kompaktan,pa je skup SH kona#an, a za sve to#ke s & SO je 0(#, s) = 0.

Neka je !1 := ! \ SO. Poka%imo da je to otvoren skup. Neka je z & !1

proizvoljna to#ka. z n!e gomili"te skupa SO, jer bi to onda bilo i gomili"teskupa S, a pokazali smo da takvih u ! nema. Zbog toga, postoji r > 0 takavda je K(z, r) # ! \ SO = !1, tj. skup !1 je otvoren.

Restrikc!a funkc!e f na otvoren skup !1 je funkc!a koja je holomorfna,osim u to#kama kona#nog skupa SH =: {s1, . . . , sk}, a zatvoren put # je nul-homotopan u !1, jer je H" # !1. Mo%emo, dakle, na tu restrikc!u prim!enitiprethodni teorem o reziduumima za funkc!u s kona#no mnogo singulariteta, padobivamo

.

#f dz = 2(i

k0

j=1

0(#, sj) res(f, sj) .

Kako smo dokazali da je 0(#, s) = 0 za sve s & SO, to sumu u prethodnojformuli mo%emo napisati i kao

"s%S

, pa smo tako dokazali (5).

§ 41 Broj nulto#aka i polova meromorfnih funkc!aPrim!enit $emo sada teorem o reziduumima na odre&ivanje broja nulto#aka ipolova meromorfnih funkc!a, a kao jednostavnu posljedicu dobit $emo i dokazDrugog osnovnog teorema algebre.

Kako meromorfna funkc!a, u to#kama u kojima n!e holomorfna, ima samouklonjive singularitete i polove, mo%emo uklonjive singularitete zaista i ukloniti,


tako da op$enito mo%emo smatrati da meromorfna funkc!e ima samo polove.Za to#ku z0 koja je nulto#ka ili pol funkc!e f , s r(z0, f) & N ozna#it $emo

red te nulto#ke odnosno pola.

Teorem 41.1 Neka je f meromorfna funkc"a na otvorenom povezanom skupu! # C, koja n"e konstanta 0, f 2' 0. " # ! neka je pozitivno or"entiranakontura koja ne prolazi niti jednom nulto!kom niti polom funkc"e f i !"e jeunutarnje podru!je B sadr#ano u !, te neka je h & H(!) proizvoljna holomorfnafunkc"a. Tada je

12(i

.

!h(z)

f #(z)f(z)

dz =0

z#%Bz# je nulto#ka od f

h(z#) r(z#, f) *0

z##%Bz## je pol od f

h(z##) r(z##, f) . (1)

Dokaz: Kako je 0(", z0) = 1 za svaku to#ku z0 & B, to je, prema teoremu oreziduumima, teorem 40.2,

12(i

.

!h(z)

f #(z)f(z)

dz =0

s%Bs je singularitet od h f#

f

res(h f !

f, s) . (2)

Odredimo reziduume funkc!e hf !

fu njezinim singularitetima koji se nalaze

u unutra"njem podru#ju B konture ". U to#kama u kojima je funkc!a f holo-morfna i n!e jednaka nuli, funkc!a h

f !

fje holomorfna. Zato se singulariteti

funkc!e hf !

fnalaze me&u nulto#kama i singularitetima, dakle polovima, funk-

c!e f . Niti skup nulto#aka niti skup polova funkc!e f nema gomili"ta u !, pasmo na funkc!u h

f !

fzaista mogli prim!eniti teorem o reziduumima.

Neka je, prvo, s nulto#ka funkc!e f , i to reda r(s, f) =: n. Prema te-oremu 37.4, postoje & > 0 i holomorfna funkc!a g & H(K(s, &)), takvi da je

f(z) = (z * s)n g(z) , z & K(s, &) , ig(z) 2= 0 , z & K(s, &) .

Za svaki z & K"(s, &) tada vr!edi

h(z)f #(z)f(z)

= h(z)n

z * s+ h(z)

g#(z)g(z)

.


Kako je drugi sumand, funkc!a hg!

g, holomorfna na krugu K(s, &), to je singu-

laritet funkc!e hf !

fzapravo singularitet funkc!e z .$ h(z) n

z ! s. Razv!emo li

funkc!u h na &-krugu oko s u Taylorov red, vidimo da ako je h(s) = 0, onda je suklonjiv singularitet funkc!e z .$ h(z) n

z ! s, pa je njezin reziduum u s jednak

nuli, dakle jednak je broju h(s) ·n. Ako je h(s) 2= 0 onda funkc!a z .$ h(z) n

z ! sima u s pol prvog reda, i njezin reziduum je opet jednak h(s) · n.

Ponovimo li ovo zaklju#ivanje za svaku nulto#ku funkc!e f koja se nalaziunutar konture ", dobivamo prvi sumand u (1).

Neka je sada s pol funkc!e f reda p. Ako u Laurentovom razvoju funkc!e foko pola s izlu#imo faktor (z*s)!p, vidimo da, kao i u slu#aju nulto#ke, postoji& > 0 i holomorfna funkc!a g & H(K(s, &)), sa svojstvom g(z) 2= 0 za svez & K(s, &), i takva da je

f(z) =1

(z * s)pg(z) , z & K"(s, &) .

Kao i ran!e, dobivamo

h(z)f #(z)f(z)

= h(z)*p

z * s+ h(z)

g#(z)g(z)

,

pa zaklju#ujemo da je

res(hf !

f, s) = h(s) · (*p) = *h(s) · r(s, f) .

Sumiranjem po svim polovima funkc!e f koji se nalaze unutar ", dobivamo idrugu sumu u (1).

Spec!alno, za konstantnu funkc!u h(z) = 1 za svaki z, dobivamo

Korolar 41.2 Neka je f meromorfna funkc"ama na otvorenom povezanomskupu !, koja n"e konstantna, a " # ! neka je nulhomotopna pozitivno ori-jentirana kontura, koja ne prolazi niti jednom nulto!kom niti polom funkc"e f .Tada je

12(i

.

!

f #(z)f(z)

dz = N!(f)* P!(f) , (3)

gdje je N!(f) broj nulto!aka, a P!(f) broj polova funkc"e f unutar ", i tora!unaju$i njihov red, tj. ukoliko je neka nulto!ka ili pol reda r, treba ju brojati rputa.


Integralu na l!evoj strani formule (3) mo%emo dati i geometr!ski smisao.Ako napravimo supstituc!u (zamjenu var!abli) f(z) =: w, dobivamo

12(i

.

!

f #(z)f(z)

dz =1

2(i

.

f(!)

dw

w. (4)

f(") je po d!elovima glatka zatvorena krivulja, pa je desna strana u prethodnojformuli, upravo indeks te krivulje s obzirom na to#ku 0. Tako dobivamo

Korolar 41.3 Za meromorfnu funkc"u f koja n"e konstantna na otvorenompovezanom skupu ! # C, i pozitivno or"entiranu konturu " koja je nulhomo-topna u ! i ne prolazi niti jednom nulto!kom niti polom funkc"e f , vr"edi

N!(f)* P!(f) = 0(f("), 0) .

Ovaj se korolar naziva i Princip argumenta.

Primjer 41.1 Kao primjer upotrebe prethodnih razmatranja, odredimo kakosu po kvadrantima raspore&ene nulto#ke polinoma

p(z) := 1

8z8 * 8

7z7 + 29

6z6 * 12z5 + 37

2z4 * 52

3z3 + 8z2 + 1 .

Poka%imo, najpr!e, da p nema realnih nulto#aka. Zaista, za derivac!u na-lazimo (kako tra%imo realne nulto#ke, var!ablu ozna#avamo sa x)

p#(x) = x7 * 8x6 + 29x5 * 60x4 + 74x3 * 52x2 + 16x .

Direktnom provjerom, vidi se da su 0, 1 i 2 nulto#ke polinoma p#, pa d!eljenjemdobivamo djelomi#nu faktorizac!u

p#(x) = x (x* 1)(x* 2) (x4 * 5x3 + 12x2 * 14x + 8)=:q(x)

.

Polinom q faktoriziramo tako da na&emo koefic!ente a, b, c, d koji zadovo-ljavaju sistem linearnih jednad%bi dobiven uspore&ivanjem koefic!enata uz istepotenc!e od x u produktu

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 * 5x3 + 12x2 * 14x + 8 ,

pa dobivamo

p#(x) = x (x* 1)(x* 2)(x2 * 2x + 2)(x2 * 3x + 4) .


Kvadratni faktori nemaju realnih nulto#aka, pa su to#ke 0, 1 i 2 jedine realnenulto#ke derivac!e, te, jer se radi o polinomu parnog stupnja kojemu je najstar!ikoefic!ent pozitivan, p ima, kao realna funkc!a, tri stacionarne to#ke, i to sulokalni minimumi u to#kama 0 i 2, i lokalni maksimum u to#ki 1. Kako jep(0) = 1 > 0, i p(2) = 29

21> 0, p nema realnih nulto#aka.

Poka%imo sada da p nema niti #isto imaginarnih nulto#aka. Za y & R je

p(i y) = 1

8y8 * 29

6y6 + 37

2y4 * 8y2 + 1

=:pRe (y)

+i (8

7y7 * 12y5 + 52

3y3)

=:pIm (y)

. (5)

Da bi bilo p(i y) = 0, moraju realni i imaginarni dio istovremeno i"#ezavati.Imaginarni dio jednak je

pIm(y) = 4

21y3(6y4 * 63y2 + 91) ,

pa je y1 = 0 trostruka nulto#ka, a ostale #etiri jednostruke nulto#ke su

y4,5 = ±1

2

=

21*>

595

3= ±1.315 y6,7 = ±1

2

=

21 +>

595

3= ±2.962 .

Kako je pRe(0) = 1, pRe(y4) = pRe(y5) = 18.611 i pRe(y6) = pRe(y7) = *1167.39,to pRe i pIm ne mogu istovremeno i"#ezavati, tj. p nema nulto#aka niti na ima-ginarnoj osi.

Odredimo sada broj nulto#aka polinoma p u prvom kvadrantu. Neka jeR > 0, i neka je " = "1 + "2 + "3 kontura sastavljena od sljede$ih or!entiranihlukova (vidi sliku):

"1 je segment realne osi od 0 do R."2 je luk kru%nice oko 0 rad!usa R od to#ke R do i R"3 je segment imaginarne osi od i R do 0.

Prema Drugom osnovnom teoremu algebre, koji $emo uskoro dokazati, koro-lar 41.5, polinom ima kona#no mnogo nulto#aka — to#no onoliko koliki mu jered. Zbog toga $e, za dovoljno veliki R, sve nulto#ke polinoma p koje se nalazeu prvom kvadrantu, biti obuhva$ene konturom ". Kako je polinom holomorfnafunkc!a, pa nema polova, bit $e, prema prethodnom korolaru, broj tih nulto#akajednak indeksu krivulje p(") = p("1) + p("2) + p("3) s obzirom na 0. Treba,dakle, samo pribli%no, kvalitativno, odrediti sliku p(") — detalji nam nisu va%ni,va%no je jedino koliko se puta p(") ‚namota’ oko 0.


(i) Jer je p polinom s realnim koefic!entima, to za realne var!able p poprima irealne vr!ednosti, pa je p("1) segment realne osi, koji sadr%i to#ke p(0) = 1i p(R) = 1

8R8.

(ii) To#ke luka "1 su oblika R ei t, t & [0,"

2], pa je u to#kama luka "1

p(R ei t) =18R8 e8 i t

'1 * 64

7R ei t+

1163R2 e2 i t

* 96R3 e3 i t

+

+148

R4 e4 i t* 416

3R5 e5 i t+

64R6 e6 i t

+8

R8 e8 i t

(.

Kako je R velik, to je izraz u velikoj zagradi u prethodnoj formuli pri-bli%no jednak 1, pa slika p("2) dva puta obilazi pribli%no kru%nicu oko 0rad!usa 1

8R8, po#ev"i od to#ke p(R) do to#ke p(i R), za koju, iz formule (5),

vidimo da je Im p(i R) = 8

7R7 > 0, jer je R velik.

0 R

iR

!1

!2

!3

p(!1)

p(!2)

p(!3)

1 18R8

(iii) p("3) je skup to#aka oblika p(i y), y & [R, 0]. Krivulja p("3) po#inje uto#ki p(i R), gdje je zavr"ila krivulja p("2), a zavr"ava u to#ki 1 = p(0),gdje je po#ela krivulja p("1). Pitanje je samo ‚vrti’ li se, i kako, p("3)oko 0. Kako bismo to ustanovili, dovoljno je ustanoviti gdje i kako p("3)s!e#e realnu os. Iz (5) vidimo da je za nenegativan realan y, p(i y) realansamo u nulto#kama polinoma pIm , tj. u to#kama

y6 = 1

2

=

21 +>

595

3= 2.962 , y4 = 1

2

=

21*>

595

3= 1.315 , y1 = 0 ,


u kojima polinom p poprima pribli%no vr!ednosti *1167.39, 18.611 i 0.Kako su y6 i y4 jednostruke nulto#ke polinoma pIm , to krivulja p("3) po#injeu to#ki p(i R) = 1

8R8 + i

8

7R7 u kojoj zavr"ava p("2), i koja je u gornjoj

poluravnini, zatim u to#ki p(i y6) = *1167.39 prelazi u donju poluravninu,pa se opet u to#ki p(i y4) = 18.611 vra$a u gornju poluravninu, te zavr"avau to#ki p(0) = 1, gdje je po#etak krivulje p("1) (vidi sliku).Na osnovi ovih razmatranja, zaklju#ujemo da je indeks krivulje p(") sobzirom na to#ku 0 jednak 3, pa na" polinom p ima u prvom kvadrantu trinulto#ke (ra#unaju$i njihov red).Kako nulto#ke polinoma s realnim koefic!entima moraju dolaziti u konjugi-rano kompleksnim parovima, zaklju#ujemo da polinom p ima i u #etvrtomkvadrantu tri nulto#ke. Prema, ve$ spominjanom Drugom osnovnom te-oremu algebre, ukupan broj nulto#aka na"eg polinoma p je osam, pa jerna koordinatnim osima nema nulto#aka i jer nulto#ke dolaze u konjugiranokompleksnim parovima, mora se jo" po jedna nulto#ka nalaziti u drugom iu tre$em kvadrantu.

)esto se koristi sljede$i teorem:

Teorem 41.4 (Rouchéov1 teorem) Neka su funkc"e f i g holomorfne naotvorenom skupu !, i neke je " # ! kontura !"e je i unutra&nje podru!jesadr#ano u !. Ako za svaki z & " vr"edi |g(z)| < |f(z)|, onda " obuhva$ajednak broj nulto!aka funkc"â f i f + g (pritom svaku nulto!ku treba ra!unationoliko puta koliki je njezin red).

Dokaz: Za svaki z & " je |f(z)| > |g(z)| 1 0, pa je f(z) 2= 0. Nadalje, kada bineki z & " bio nulto#ka funkc!e f + g, bilo bi g(z) = *f(z), tj. |g(z)| = |f(z)|,suprotno pretpostavci teorema. Dakle, kontura " ne prolazi niti jednom nulto#-kom funkc!â f i f + g, pa, jer se radi o holomorfnim funkc!ama, za odre&ivanjebroja njihovih nulto#aka unutar konture ", mo%emo prim!eniti korolar 41.2.Tako dobivamo

N!(f + g)*N!(f) =1

2(i

.

!

f #(z) + g#(z)f(z) + g(z)

dz * 12(i

.

!

f #(z)f(z)

dz

=1

2(i

.

!

g#(z) f(z)* g(z) f #(z)f(z)(f(z) + g(z))

dz . (6)

1Eugène Rouché (1832–1910), francuski matemati!ar


Pokazali smo da je za svaki z & ", f(z) 2= 0. Stoga, zbog neprekidnosti,postoji (otvorena) okolina U % ", takva da je f(z) 2= 0 za sve z & U , pa jedobro definirana funkc!e h : U $ C formulom h(z) := 1 + g(z)

f(z). Deriviranjem

nalazimo da je h!(z)

h(z)= g!(z) f(z)! g(z) f !(z)

f(z)(f(z) + g(z)). Uvrstimo li to u (6), zamjenom

var!able w := h(z), dobivamo

N!(f + g)*N!(f) =1

2(i

.

!

h#(z)h(z)

dz =1

2(i

.

h(!)

dw

w= 0(h("), 0) ,

gdje je posljednja jednakost dobivena kao ran!e u korolaru 41.3.Treba jo" odrediti indeks 0(h("), 0). Kako je za svaki z & ",

&&& g(z)

f(z)

&&& < 1,to je, prema definic!i funkc!e h, krivulja h(") sadr%ana u krugu rad!usa 1 okoto#ke 1, tj. h(") # K(1, 1). Zbog toga je 0(h("), 0) = 0, pa iz prethodne formulesl!edi da f + g i f imaju jednak broj nulto#aka unutar ".

Prim!etimo da Rouchéov teorem ne tvrdi da funkc!e f i f + g imaju istenulto#ke unutar " — samo da ih je jednako mnogo.

Primjenom Rouchéova teorema, dobivamo sada najavljivani

Korolar 41.5 (Drugi osnovni teorem algebre) Svaki polinom stupnja n, skompleksnim koefic"entima, ima to!no n nulto!aka u C.

Dokaz: Neka je

p(z) = an zn + an!1 zn!1 + · · · + a1 z + a0 , ai & C , an 2= 0 , n 1 1 .

Definirajmo

f(z) := an zn

g(z) := an!1 zn!1 + · · · + a1 z + a0 .

Kako je limt&$

|an"1| tn"1 + · · · + |a1| t + |a0||an| tn

= 0, postoji R0 > 0 takav da za sveR > R0 vr!edi |an|Rn > |an!1|Rn!1 + · · · + |a1|R + |a0|. Neka je " kru%nicaoko 0 rad!usa R. Iz prethodne nejednakosti vidimo da za svaki z & " vr!edi|g(z)| < |f(z)|, pa prema Rouchéovom teoremu zaklju#ujemo da p = f +g ima ukrugu K(0, R) jednak broj nulto#aka kao f , koji ima jednu nulto#ku, 0, reda n.Kako to vr!edi za svaki R 1 R0, svaka nulto#ka polinoma p $e kad-tad bitiobuhva$ena, pa zaklju#ujemo da p ima to#no n kompleksnih nulto#aka.


Primjer 41.2 Promotrimo ponovno polinom

p(z) := 1

8z8 * 8

7z7 + 29

6z6 * 12z5 + 37

2z4 * 52

3z3 + 8z2 + 1

iz primjera 41.1, i poka%imo da se sve njegove nulto#ke nalaze unutar kruga ra-d!usa 3 oko to#ke 1, a izvan kruga rad!usa 9

10, tj. u kru%nom v!encu V (1; 9

10, 3).

Razv!emo li polinom p po potenc!ama od z * 1, dob!emo

p(z) = 1

8(z* 1)8* 1

7(z* 1)7 + 1

3(z* 1)6* 1

4(z* 1)4 + 1

3(z* 1)3* (z* 1)2 + 111

56

(to je zapravo Taylorov red polinoma p oko to#ke 1, a najjednostavn!e se dob!etako da se izra#una p(z + 1), i uzmu koefic!enti dobivenog polinoma). Neka je

f(z) := 1

8(z * 1)8

g(z) := *1

7(z * 1)7 + 1

3(z * 1)6 * 1

4(z * 1)4 + 1

3(z * 1)3 * (z * 1)2 + 111

56.

Tada je za |z * 1| = 3

|f(z)| = 1

8· 38 = 820 , i

|g(z)| ( 1

7· 37 + 1

3· 36 + 1

4· 34 + 1

3· 33 + 32 + 111

56= 596 ,

pa u svim to#kama kru%nice |z * 1| = 3 vr!edi |g(z)| < |f(z)|. PrimjenomRouchéova teorema zaklju#ujemo da polinomi p = f + g i f imaju u kruguK(1, 3) jednak broj nulto#aka. Kako polinom f ima utom krugu, jednu nulto#ku, 1, i ona je reda osam, to ipolinom p ima u tom krugu osam nulto#aka, a premaDrugom osnovnom teoremu algebre, to su ujedno i svenjegove nulto#ke.

1

Neka je sada

f(z) := 111

56

g(z) := 1

8(z * 1)8 * 1

7(z * 1)7 + 1

3(z * 1)6 * 1

4(z * 1)4 + 1

3(z * 1)3 * (z * 1)2 .

Tada je za |z * 1| = 9

10


|f(z)| = 111

56= 1.98 , i

|g(z)| ( 1

8

$ 9

10

%8 + 1

7

$ 9

10

%7 + 1

3

$ 9

10

%6 + 1

4

$ 9

10

%4 + 1

3

$ 9

10

%3 +$ 9

10

%2 = 1.52 ,

pa u svim to#kama kru%nice |z * 1| = 9

10vr!edi |g(z)| < |f(z)|. Kako je f

konstantan polinom, pa nema niti jedne nulto#ke, to niti polinom p = f + g ukrugu K(1,

9

10) nema niti jedne nulto#ke. Sve se, dakle, nulto#ke polinoma p

nalaze u kru%nom v!encu V (1; 9

10, 3).

Zadatak 41.1 Pobolj!ajte ocjenu u prethodnom primjeru i poka"ite da se sve nul-to#ke polinoma p nalaze u kru"nom v$encu V (1; 1, 3).

§ 42 Lokalna svojstva holomorfnih funkc!aU ovoj $emo to#ki, nakon Weierstrassovog pripremnog teorema, dokazati tripoznata teorema: o otvorenom preslikavanju, o maksimumu modula i Schwar-zovu lemu.

Teorem 42.1 (Weierstrassov pripremni teorem) Neka je funkc"a f ho-lomorfna u to!ki z0, ozna!imo w0 := f(z0), i neka je red nulto!ke z0 funk-c"e z .$ f(z) * w0 jednak n. Tada postoje & > 0 i % > 0 takvi da za svakiw & K(w0, %), funkc"a z .$ f(z) * w ima u krugu K(z0, &) to!no n nulto!aka,ra!unaju$i njihov red.

'tovi&e, brojevi & i % mogu se odabrati tako da za svaki w & K"(w0, %),funkc"a z .$ f(z)* w ima u krugu K(z0, &), to!no n razli!itih nulto!aka.

z0 'f w0w )

Dokaz: Funkc!a z .$ f(z)*w0 je holomorfna i n!e konstanta 0 (jer tada njezinanulto#ka z0 ne bi mogla biti kona#nog reda n). Stoga su sve njezine nulto#keizolirane, teorem 37.4, pa postoji & > 0 takav da je z0 jedina nulto#ka funkc!ez .$ f(z) * w0 na zatvorenom krugu K(z0, &). Spec!alno, na rubu, tj. za

§ 42. Lokalna svojstva holomorfnih funkc!a 89

|z * z0| = &, vr!edi |f(z) * w0| > 0. Neka je % := min|z!z0|=-

|f(z) * w0| > 0

(minimum postoji jer je kru%nica kompaktan skup, a f neprekidna funkc!a).Neka je w & K(w0, %). Tada za |z*z0| = & vr!edi |w0*w| < % ( |f(z)*w0|. IzRouchéova teorema 41.4, prim!enjenog na funkc!e z .$ f(z)*w0 i z .$ w0*w,sl!edi da njihova suma, tj. funkc!a z .$ (f(z)*w0)+ (w0*w) = f(z)*w, imau krugu K(z0, &) jednak broj nulto#aka kao i funkc!a z .$ f(z)*w0, dakle, imaih to#no n. Time je dokazana prva tvrdnja teorema.

Kako bismo dokazali i drugi dio teorema, prim!etimo najpr!e da ako su &i % kao u teoremu, onda je i svaki &# < &, uz pripadni %# := min

|z!z0|=-#|f(z)*w0|,

dobar. Nadalje, derivac!a f # funkc!e f tako&er je holomorfna funkc!a, i n!ekonstantna funkc!a 0, f # 2' 0. Naime, u protivnom bi sve njezine derivac!e bilejednake nuli, pa bi funkc!a f bila konstantna na K(z0, &). Stoga su i nulto#kefunkc!e f # izolirane, pa & mo%emo odabrati tako da, osim ran!eg zahtjeva, vr!edii f #(z) 2=0 za sve z & K"(z0, &). Zbog toga su, za proizvoljan w & K"(f(z0), %),sve nulto#ke funkc!e z .$ f(z) * w u krugu K(z0, &) jednostruke. Kako ih,ra#unaju$i red, ima n, moraju sve biti me&usobno razli#ite.

Primjer 42.1 Dobra ilustrac!a Weierstrassovog pripremnog teorema, je funk-c!a f(z) := zn = |z|n eni arg z. Ona preslikava kut 2"

ns vrhom u 0, na c!elu

kompleksnu ravninu C, tj. ravninu ‚namota’ n puta oko ishodi"ta. Osim 0, svesu ostale to#ke kompleksne ravnine, slike od po to#no n razli#itih to#aka, n raz-li#itih n-tih kor!ena. Weierstrassov pripremni teorem ka%e, dakle, da lokalno,svaka je holomorfna funkc!a takva.

Korolar 42.2 (Teorem o otvorenom preslikavanju) Neka je ! # C otvo-ren skup i f : ! $ C holomorfna funkc"a, koja n"e konstantna niti na jednojkomponenti povezanosti skupa !. Tada je za svaki otvoren skup U # !, slikaf(U) otvoren skup u C, tj. f je otvoreno preslikavanje.

Dokaz: Neka je w0 & f(U), i neka je z0 & U takav da je f(z0) = w0, tj.z0 je nulto#ka funkc!e z .$ f(z) * w0. Prema Weierstrassovom pripremnomteoremu, postoje brojevi & > 0 i % > 0 takvi da za svaki w & K(w0, %), funkc!az .$ f(z) * w ima u krugu K(z0, &) barem jednu nulto#ku. Druga#!e re#eno,za svaki w & K(w0, %) postoji z & K(z0, &) takav da je f(z) = w. Premanapomeni na po#etku dokaza drugog d!ela Weierstrassovog teorema, broj &, ionda pripadni %, mo%emo odabrati tako da, zbog otvorenosti skupa U , budeK(z0, &) # U , pa je tada i K(w0, %) # f(U), "to pokazuje da je skup f(U) # Cotvoren.


Spec!alno, vr!edi

Korolar 42.3 Neka je ! # C otvoren i povezan skup, a f : ! $ C holomorfnafunkc"a koja n"e konstantna. Tada je skup f(!) # C otvoren.

Teorem 42.4 (o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkc!e) Neka jefunkc"a f holomorfna u to!ki z0 i neka je f #(z0) 2= 0. Tada postoje otvoreni sku-povi U > z0 i V > f(z0) takvi da je f U : U $ V b"ekc"a, i inverzna funkc"ag :=

$f U

%!1 : V $ U je holomorfna u f(z0).

Dokaz: Iz pretpostavke f #(z0) 2= 0, sl!edi da je z0 jednostruka nulto#ka funkc!ez .$ f(z)*f(z0). Neka su & > 0 i % > 0 kao u Weierstrassovom pripremnom te-oremu 42.1, s tim da je & dovoljno malen da vr!edi i f #(z) 2= 0 za sve z & K(z0, &),"to zbog neprekidnosti funkc!e f # i napomene na po#etku dokaza drugog di-jela Weierstrassovog teorema, mo%emo posti$i. Ozna#imo s V := K(f(z0), %)i U := K(z0, &) : f

!(V ). Zbog neprekidnosti funkc!e f , skup U je otvoren.Prema Weierstrassovom teoremu, za svaki w & V = K(f(z0), %), postoji jedanjedini z & K(z0, &) takav da je f(z) = w, "to zna#i da je f U : U $ V b!ekc!a.Ozna#imo njezin inverz s g :=

$f U

%!1 : V $ U . Preslikavanje g je nepre-kidno, jer, kako je f , prema prethodnom korolaru, otvoreno preslikavanje, zasvaki otvoren skup U # # U , skup g!(U #) = f(U #) je otvoren. Stoga su f U i g

homeomorfizmi.Ostaje pokazati da je funkc!a g holomorfna na V , a za to je dovoljno pokazati

da je g derivabilna na V . Neka su w, w#&V , i neka su z := g(w) i z# := g(w#)&U ,tj. w = f(z) i w# = f(z#). Tada je

limw#&w

g(w#)* g(w)w# * w

= limz#&z

z# * z

f(z#)* f(z)= lim

z#&z

1f(z#)!f(z)

z#!z

.

(U ovom smo ra#unu mogli zam!eniti limes limw#&w

s limesom limz#&z

jer su f Ui g homeomorfizmi.) Ovaj posljednji limes postoji, jer je f holomorfna na U .Stoga postoji i prvi od gornjih limesa, tj. funkc!a g derivabilna je u w, a kakoje w & V bila proizvoljna to#ka, g je derivabilna na V .

Napomena 42.1 Poka%imo kako se prethodni teorem mo%e dokazati i koris-te$i samo teorem o inverznoj funkc!i iz realne analize, teorem 12.1, i Cauchy-Riemannov teorem 31.1.


Naime, funkc!a f je holomorfna, pa je f # neprekidna. Stoga je f , shva$enakao funkc!a f = (u, v) : ! $ R2, ! # R2, diferenc!abilna klase C1. U to#kiz0 = (x0, y0) je f #(z0) = 'xu(x0, y0) + i 'xv(x0, y0) 2= 0, pa, zbog Cauchy-Riemannovih uvjeta, za Jacob!an nalazimo

det"(u, v)"(x, y)

(x0, y0) =

˛˛ "xu "yu"xv "yv

˛˛(x0,y0)

=

˛˛ "xu !"xv"xv "xu

˛˛(x0,y0)

= |f !(z0)|2 "= 0 ,

tj. diferenc!al preslikavanja f = (u, v) je u to#ki (x0, y0) regularan. Prema te-oremu o inverznom preslikavanju, postoje otvoreni skupovi U oko to#ke (x0, y0)i V oko to#ke f(x0, y0) =: (*0, +0), takvi da je f U : U $ V b!ekc!a, ainverzno preslikavanje g = (p, q) : V $ U je diferenc!abilno klase C1, i vri-jedi Dg(*, +) =

$Df(x, y)

%!1, za sve (*, +) = f(x, y) & V . To zna#i da je

'(p, q)'(*, +)

(*, +) =''(u, v)

'(x, y)(x, y)

(!1=

1det ((u,v)

((x,y) (x, y)

)'xu 'xv

*'xv 'xu

*

(x,y)

,

pa i za funkc!u g = (p, q) vr!ede Cauchy-Riemannovi uvjeti, tj. funkc!a g,shva$ena kao kompleksna funkc!a, holomorfna je u to#ki f(z0).

Korolar 42.5 (Teorem o holomorfnom izomorfizmu) Neka je holomorfnafunkc"a f : ! $ C injektivna. Tada je f #(z) 2= 0 za sve z & !, skup f(!) # C jeotvoren, i inverzna funkc"a g : f(!) $ ! b"ekc"e f : ! "$ f(!) je holomorfna,tj. f : ! $ f(!) je holomorfni ili analiti!ki izomorfizam.

Dokaz: Kada bi postojala to#ka z0 & ! takva da je f #(z0) = 0, onda bi z0 bilanulto#ka funkc!e z .$ f(z) * f(z0) reda barem 2, pa, prema Weierstrassovompripremnom teoremu 42.1, funkc!a f ne bi mogla biti injekc!a na nekoj okolinito#ke z0.

Kako je f injektivno preslikavanje, korestrikc!a f : ! $ f(!) je b!ekc!a,pa postoji inverzno preslikavanje g : f(!) $ !. Prema teoremu o otvorenompreslikavanju, zapravo korolaru 42.3, skup f(!) # C je otvoren, pa ima smislagovoriti o holomorfnosti preslikavanja g.

Prema teoremu o lokalnoj invertibilnosti holomorfne funkc!e, teorem 42.4,oko svake to#ke z skupa !, postoji okolina i na njoj holomorfni inverz funkc!e f .Ali, inverzna funkc!a je jedinstvena, pa se takav lokalni inverz, na toj okolinipodudara s restrikc!om funkc!e g. Zbog lokalnog karaktera derivabilnosti, tozna#i da i funkc!a g ima na toj okolini derivac!u, pa je ona holomorfna u z,dakle, g & H(!).

Kao posljedicu teorema o otvorenom preslikavanju, dobivamo i


Korolar 42.6 (Teorem o maksimumu modula) Neka je ! # C otvoren ipovezan skup, a f : ! $ C holomorfna funkc"a. Ako f n"e konstantna funkc"aonda je ona ili neome%ena ili je |f(z)| < sup

.%"|f(2)| za svaki z & !, tj. |f | nema

na podru!ju ! maksimum.

Dokaz: Prema teoremu o otvorenom preslikavanju, korolar 42.3, skup f(!) jeotvoren, pa za svaki z & !, oko to#ke f(z) postoji krug K(f(z), %) # f(!), a unjemu o#ito ima to#aka kojima je modul ve$i od |f(z)|.

zf

f(z)

|f(z)|

I sljede$a se var!anta prethodnog korolara #esto naziva istim imenom, a zaobje verz!e koristi se i naziv Princip maksimuma modula.

Korolar 42.7 Neka je K # ! kompaktan skup, a f : ! $ C holomorfnafunkc"a koja n"e konstantna niti na jednoj okolini niti jedne to!ke nutrineskupa K. Tada modul funkc"e f K poprima maksimum samo u nekoj to!kiruba 'K = K \ IntK skupa K.

Malo pojednostavljeno re#eno, ako je funkc!a f holomorfna u svim to#kamakompaktnog skupa K, onda modul |f |, koji kao neprekidna funkc!a na kom-paktu mora imati maksimum, taj maksimum poprima jedino u to#kama ruba.

Korolar 42.8 (Schwarzova1 lema) Neka je f : K(0, 1) $ K(0, 1) holomor-fna funkc"a takva da je f(0) = 0. Tada je ili |f(z)| < |z| za sve z & K"(0, 1),ili je f rotac"a, tj. postoji . & R takav da je f(z) = z ei ), za sve z & K(0, 1).

Druga#!e re#eno, holomorfno preslikavanje jedini#nog kruga na sâma sebekoje fiksira sredi"te kruga, je ili rotac!a, dakle, izometr!a, ili ima svojstvo dasvaku to#ku, osim sredi"ta koje dr%i fiksnim, pribli%i sredi"tu kruga.

1Karl Herman Amandus Schwarz (1843–1921), njema!ki matemati!ar


Dokaz: Definirajmo pomo$nu funkc!u g : K(0, 1) $ C formulom

g(z) :=

+,

-

f(z)

z, z 2= 0

f !(0) , z = 0.

Funkc!a g je holomorfna na probu"enom krugu K"(0, 1) i neprekidna je u 0, paje, prema korolaru 34.11, holomorfna na c!elom krugu K(0, 1).

Neka je z & K(0, 1) proizvoljna to#ka. Za svaki r takav da je |z| < r < 1,

0 1z

zr

r

modul funkc!e gK(0, r) poprima maksimum na rubu

toga kruga, korolar 42.7, tj. postoji to#ka zr, |zr| = r,takva da je |g(z#)| ( |g(zr)| za sve z# & K(0, r), spec!alnoza z# = z. Zbog toga je

|g(z)| ( |g(zr)| =|f(zr)||zr|

<1r

.

Kako to vr!edi za svaki r, |z| < r < 1, zaklju#ujemo da je |g(z)| ( 1. To#ka zje bila proizvoljna, pa je |g(z)| ( 1 za sve z & K(0, 1).

Ako postoji z0 & K(0, 1) takav da je |g(z0)| = 1, onda je, prema teoremu omaksimumu modula, korolar 42.6, funkc!a g konstantna, i to jednaka konstantimodula 1, pa postoji . & R takav da je g(z) = ei ), dakle i f(z) = z ei ), za svez & K(0, 1). U protivnom je |g(z)| < 1 za sve z & K(0, 1), pa je |f(z)| < |z| zasve z & K"(0, 1).

Schwarzova lema formulira se #esto i ovako:

Korolar 42.9 (Schwarzova lema) Neka je f : K(0, 1) $ K(0, 1) holomorfnafunkc"a takva da je f(0) = 0. Tada je ili |f #(0)| < 1, ili postoji . & R takav daje f(z) = z ei ), za sve z & K(0, 1).

Dokaz: Za funkc!u g, kao u dokazu prethodnog korolara, je ili |g(0)| < 1, ili|g(0)| = 1. U prvom slu#aju je |f #(0)| = |g(0)| < 1, a u drugom se, na isti na#inkao u dokazu prethodnog korolara, pokazuje da je f rotac!a.

Nekad je korisna i oslabljena verz!a Schwarzove leme:

Korolar 42.10 Ako je f : K(0, 1) $ K(0, 1) holomorfna funkc"a takva da jef(0) = 0, onda je |f(z)| ( |z|, za sve z & K(0, 1).

Kori$teni teoremi iz analize u Rn

U ovom dodatku navodimo one teoreme iz Matemati!ke analize u Rn koje smorabili i na koje smo se na raznim mjestima pozivali, i to s numerac!om iz [6],kako smo i citirali.

1 Neprekidnost i limesTeorem 2.2 (Lema o un!i preslikavanja) Neka je X = A ; B gdje su Ai B zatvoreni podskupovi od X te neka su f : A $ Y i g : B $ Y neprekidnapreslikavanja takva da je f |A*B = g|A*B. Tada je i preslikavanje h : X $ Ydefinirano s

h(P ) =1

f(P ) , P & Ag(P ) , P & B

neprekidno. Ista tvrdnja vr"edi i kada su A i B otvoreni podskupovi od X.

Korolar 2.12 (jedinstvenost neprekidnog pro"irenja na zatvorenje)Neka su X i Y metri!ki prostori, a f, g : X $ Y dva neprekidna preslikavanja,te neka je f A = g A za neki podskup A # X. Tada je i f

A= g

A.

Teorem 4.13 (Cantorov teorem o presjeku) Neka je (X, d) potpun metri-!ki prostor, F1 % F2 % F3 % . . . silazni niz nepraznih zatvorenih podskupovaod X takvih da je lim

kdiam Fk = 0. Tada je presjek

/k%N

Fk neprazan i sastoji seod to!no jedne to!ke.

Teorem 4.16 Neka su X, Y metri!ki prostori, a BC(X, Y ) skup svih ome-%enih neprekidnih preslikavanja s X u Y . BC(X, Y ) je zatvoren potprostor odB(X, Y ), tj. limes (s obzirom na metriku $ u prostoru B(X, Y )) niza neprekidnihome%enih preslikavanja je neprekidno ome%eno preslikavanje.

95

96 Kori%teni teoremi iz analize u Rn

Korolar 4.17 Prostor BC(X, Y ) svih ome%enih neprekidnih preslikavanja me-tri!kog prostora X u potpun metri!ki prostor (Y, d) je potpun metri!ki prostor.

Teorem 4.19 Neka su X i Y metri!ki prostori, A # X gust podskup, i neka jef : A $ Y uniformno neprekidno preslikavanje. Ako je prostor Y potpun, ondase f mo#e pro&iriti, i to na jedinstven na!in, na !itav X, tj. postoji jedno jedinoneprekidno preslikavanje f : X $ Y takvo da je f A = f . Preslikavanje f !akje uniformno neprekidno.

Primjer 5.1 (Cantorov tr!adski skup) Neka je E1 = ! 13 , 23 " srednja tre$ina

Prvih pet koraka u konstrukc!iCantorova skupa

segmenta I = [0, 1], E2 = ! 19 , 29 " ; !

79 , 8

9 " un"asrednjih tre$inâ komponenata skupa I \ E1,E3 = ! 1

27 , 227 " ; !

727 , 8

27 " ; !1927 , 20

27 " ; !2527 , 26

27 "un"a srednjih tre$inâ komponenata skupa

I \ (E1 ; E2), itd. Skup C := I \$6

i=1Ei je

Cantorov tr"adski skup.Teorem 5.5 Neka je U # Rn otvoren skup. Tada postoji rastu$i niz kompakt-nih skupova K1 # K2 # . . . # Ki # Ki+1 # . . . # U takvih da je U =

6i%N

Ki.

Korolar 5.10 Neka je K kompaktan skup u metri!kom prostoru X, a U otvorenskup takav da je K # U i U 2= X. Tada je d(K, X \ U) > 0.

Teorem 5.12 Neka je f : K $ L neprekidna b"ekc"a metri!kih prostora. Akoje K kompaktan, onda je i inverzno preslikavanje g = f!1 : L $ K neprekidno,tj. f je homeomorfizam s K na L.

2 Diferenc!al i derivac!eTeorem 9.1 Neka je f : ! # Rn $ Rm preslikavanje za koje postoje parc"alnederivac"e na !. Ako su sve derivac"e 'ifj neprekidne u P0 & !, i = 1, . . . , n,j = 1, . . . ,m, tada je f diferenc"abilno u P0.

Teorem 9.6 (Schwarzov teorem) Neka je f : ! # Rn $ R diferenc"abilnafunkc"a klase C2 na !. Tada je

'i'jf(P ) = 'j'if(P )za sve i, j = 1, . . . , n i P & !.

Kori%teni teoremi iz Aanalize u Rn 97

Teorem 12.1 (o inverznom preslikavanju) Neka je ! # Rn otvoren skup,f : ! $ Rn preslikavanje klase C1 na ! i neka je u to!ki P0 & ! diferenc"alDf(P0) : Rn $ Rn regularan operator. Tada postoje okoline U # Rn oko P0 iV # Rn oko Q0 := f(P0) takve da je f |U : U $ V b"ekc"a. Inverzno preslika-vanje g := (f |U )!1 : V $ U je diferenc"abilno klase C1 i vr"edi

Dg(f(P )) = Df(P )!1 , P & U .

Teorem 12.2 Neka je f : ! # Rn $ Rn preslikavanje klase C1 takvo da jediferenc"al Df(P ) regularan za sve P & !. Tada je za svaki otvoreni skupW # !, slika f(W ) otvoren skup, tj. f je otvoreno preslikavanje. Spec"alnoje skup f(!) otvoren.

Teorem 13.1 (Taylorov teorem srednje vr!ednosti) Neka je ! # Rn

otvoren skup, f : ! $ R diferenc"abilno preslikavanje klase Ck+1 i [P0, P ] # !.Tada postoji "P & !0, 1" # R takav da je

f(P ) = f(P0) +k0

j=1

1j!

Djf(P0)(P * P0) +

+1

(k + 1)!Dk+1f

$P0 + "P (P * P0)

%(P * P0) .

3 Riemannov integralTeorem 16.6 Neka je ! # R2 otvoren skup, / : ! $ R2 preslikavanje klase C1.Ako je A # ! skup mjere nula, onda je i /(A) skup mjere nula.

Teorem 19.1 (Fubin!ev teorem) Neka je I = [a, b] - [c, d] # R2 pravokut-nik, a f : I $ R ome%ena funkc"a takva da je skup D to!aka u kojima f n"eneprekidna, skup (dvodimenzionalne) mjere nula. Ako za svaki x & [a, b] skupDx := {y & [c, d] : (x, y) & D} ima (jednodimenzionalnu) mjeru nula, onda:

(i) funkc"a y .$ f(x, y) je R-integrabilna na [c, d] za svaki x & [a, b] ;

(ii) funkc"a x .$. d

cf(x, y) dy je R-integrabilna na [a, b] ;

(iii) vr"edi jednakost.

If =

. b

a

$ . d

cf(x, y) dy

%dx .

Analogne tvrdnje vr"ede ako x i y zam"ene uloge.


Korolar 19.6 Neka je funkc"a f : [a, b]- [c, d] $ R neprekidna. Tada za svakix0 & [a, b] vr"edi

limx&x0

. d

cf(x, y) dy =

. d

cf(x0, y) dy =

. d

clim

x&x0f(x, y) dy .

Ka#e se da „limes i integral komutiraju”.

Teorem 19.8 Neka je f : I = [a, b] - [c, d] $ R R-integrabilna funkc"a kojaima neprekidnu parc"alnu derivac"u '1f na I. Tada je funkc"a F (x) :=! d

c f(x, y) dy neprekidno diferenc"abilna na [a, b], tj. F & C1([a, b]), i deriva-cija je jednaka

F #(x) =. d

c'1f(x, y) dy , x & [a, b] .

Teorem 20.1 (o zamjeni var!abli u dvostrukom integralu) Neka je K#R2

kompaktan J-izmjeriv skup, ! % K otvoren skup, a / : ! $ R2 injektivno di-ferenc"abilno preslikavanje klase C1 takvo da je diferenc"al D/(P ) regularanu svim to!kama P & !. Tada za svaku R-integrabilnu funkc"u f : /(K) $ Rvr"edi .

$(K)f =

.

K(f 0 /) |detD/| .

4 Integrali du" puteva i krivuljaTeorem 25.2 Neka je ! # Rn otvoren skup, a 1 = F1 dx1 + F2 dx2 + · · · +Fn dxn diferenc"alna 1-forma na !. Sljede$e su tvrdnje ekvivalentne:

(i) Integral 1-forme 1 ne ovisi o putu, tj.!

# 1 =!

* 1 za svaka dva PDG puta #i + u ! koji imaju zajedni!ke po!etke i zajedni!ke krajeve.

(ii)!

# 1 = 0 za sve PDG zatvorene puteve # u !.

(iii) Postoji glatka realna funkc"a f : ! $ R takva da je Fi = 'if , i = 1, . . . , n.U tom je slu!aju

!# 1 = f(#(b))* f(#(a)) za svaki PDG put # : [a, b] $ !.

Definic!a 25.2 Za zatvoren po d!elovima gladak put # u R2" = R2 \ {(0, 0)},broj

0(#, O) :=12(

.

#

*y dx + x dy

x2 + y2

Kori%teni teoremi iz Aanalize u Rn 99

naziva se indeks, ili namotajni broj , puta # s obzirom na to!ku O =(0, 0), ishodi"te. Diferenc!alnu 1-formu !y dx+x dy

x2+y2 nazivamo kutnom formomi ozna#avamo 1".

Translac!om ishodi"ta mo%emo definirati indeks zatvorenog puta # s obziromna bilo koju to#ku P0 = (x0, y0) koja ne le%i na slici #" toga puta, kao

0(#, P0) :=12(

.

#1",P0 ,

gdje je 1",P0(x, y) := !(y ! y0) dx + (x! x0) dy

(x! x0)2 + (y ! y0)2. Kao i kad se radi o ishodi"tu,

indeks je jednak broju obilazaka, u pozitivnom smjeru, zatvorenog puta # okoto#ke P0.

Teorem 26.3 (o integralu zatvorene forme po homotopnim putevima)Neka je ! # Rn otvoren skup, 1 zatvorena diferenc"alna 1-forma na ! a # i +u ! glatko homotopni putevi od to!ke P do to!ke Q. Tada

!# 1 =

!* 1.

Teorem 26.4 Neka su # i + zatvoreni putevi u otvorenom skupu ! # Rn, a1 zatvorena diferenc"alna 1-forma na !. Ako su # i + glatko homotopni kaozatvoreni putevi u !, onda je

!# 1 =

!* 1.

Korolar 26.5 Neka je 1 zatvorena diferenc"alna 1-forma na otvorenom skupu! # Rn. Tada je

!# 1 = 0 za svaki po d"elovima gladak zatvoren put # koji je

nulhomotopan u !.

Teorem 27.1 (Greenov teorem za pravokutnik — sirova verz!a) Neka jeI := [a, b] - [c, d] # R2 pravokutnik, a F,G : I $ R neka su diferenc"abilnefunkc"e klase C1 (dakle, definirane su i neprekidno diferenc"abilne na nekojokolini pravokutnika I). Tada je.

I'xG* 'yF =

. b

aF (x, c) dx+

. d

cG(b, y) dy*

. b

aF (x, d) dx*

. d

cG(a, y) dy .

Teorem 27.5 (Greenov teorem) Neka je !#R2 otvoren skup, F,G : !$Rdiferenc"abilne funkc"e klase C1, i neka je # : [a, b] $ ! pozitivno or"entiranjednostavno zatvoren po d"elovima gladak put u !, takav da je i unutra&njepodru!je B odre%eno konturom #" = #([a, b]) sadr#ano u !. Tada je

.

B'xG* 'yF =

.

#F dx + G dy .


Teorem 30.1 Neka je (",G) po d"elovima glatka krivulja u Rn, a # : [a, b] $ "i + : [c, d] $ " dv"e njezine po d"elovima glatke parametrizac"e, i neka je para-metrizac"a + regularna, tj. +#(u) 2= 0 za sve u & [c, d]. Tada je i monotonab"ekc"a / : [a, b] $ [c, d] za koju je # = + 0 /, po d"elovima glatka funkc"a.

Pritom, ako # i + odre%uju istu or"entac"u na ", onda je / strogo rastu$afunkc"a i /#(t) 1 0 za sve t & [a, b], a ako # i + odre%uju suprotne or"entac"e,onda je / strogo padaju$a funkc"a i /#(t) ( 0 za sve t & [a, b].

Literatura

[1] L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, Aucland,1979.

[2] J. C. Burkill, H. Burkill. A Second Course in Mathematical Analysis, Cam-bridge University Press, Cambridge, 1970.

[3] S. Kurepa, H. Kraljevi$. Matemati!ka analiza 4. Kompleksne funkc"e, Teh-ni#ka knjiga, Zagreb, 1979.

[4] S. Marde"i$. Matemati!ka analiza, 1. dio, 'kolska knjiga, Zagreb, 1974.

[5] M. Rao, H. Stetkær. Complex Analysis: An Invitation, World Scientific,1991.

[6] '. Ungar. Matemati!ka analiza u Rn, Golden Marketing - Tehni#ka knjiga,Zagreb, 2005.

101

Indeks

Abelova lema, 49analiti#ka funkc!a, 55analiti#ki izomorfizam, 91apsolutna konvergenc!a, 45argument kompleksnog broja, 2

bitan singularitet, 75

Cantorovteorem o presjeku, 95tr!adski skup, 96

Casorati-Weierstrass-Sohock!ev teorem,75

Cauchy-Hadamardov teorem, 50Cauchy-Riemannovi uvjeti, 4Cauchyjev teorem

op$i, 21za derivac!u, 13za funkc!u s uklonjivim singulari-

tetima, 72za jednostavno povezano podru#je,

21za krug, 20za pravokutnik, 19

Cauchyjeva integralna formula, 28Cauchyjeve ocjene koefic!enata

Laurentova reda, 69Taylorova reda, 58

c!ela funkc!a, 60

derivac!a kompleksne funkc!e, 3

drugi osnovni teorem algebre, 86dvostrani red, 61

eksponenc!alna funkc!a, 6

Fubin!ev teorem, 97funkc!a

analiti#ka, 55c!ela, 60definirana integralom, 30eksponenc!alna, 6hiperbolna, 10holomorfna, 31

u to#ki, 31logaritamska, 7lokalno primitivna, 14meromorfna, 75primitivna, 14trigonometr!ska, 10

glavni dio funkc!e, 64Goursat-Pringsheimov teorem, 17

harmoni#ka funkc!a, 5hiperbolna funkc!a, 10holomorfna funkc!a, 31

u to#ki, 31holomorfni izomorfizam, 91holomorfnost sume reda potenc!a, 51

identiteta, 6

103

104 INDEKS

imaginarna jedinica, i , 2indeks puta, 25, 99

osnovna svojstva, 26integral kompleksne funkc!e, 10, 11izoliran singularitet, 70izoliranost nulto#aka holomorfne funk-

c!e, 56izomorfizam

analiti#ki, 91holomorfni, 91

jedinstvenostholomorfne funkc!e , 58Laurentova reda, 64reda potenc!a, 59

karakterizac!abitnog singulariteta, 75pola, 73uklonjivog singulariteta, 71

konjugiranje kompleksnih brojeva, 2konvergenc!a

lokalno uniformna, 40niza funkc!a

obi#na, 37po to#kama, 37

reda, 42uniformna, 38

krugkonvergenc!e, 50probu"en, 64

kutna forma, 99

Laplaceova diferenc!alna jednad%ba, 5Laurentov

red, 62jedinstvenost, 64ocjene koefic!enata, 69

teorem, 62

lemaAbelova, 49o ocjeni integrala, 12o un!i preslikavanja, 95Szhwarzova, 92, 93

lim sup, limes superior, 49Liouvilleov teorem, 60logaritamska funkc!a, 7lokalno

primitivna funkc!a, 14uniformna konvergenc!a, 40

meromorfna funkc!a, 75mno%enje kompleksnih brojeva, 1modul kompleksnog broja, 1Morerin teorem, 34

namotajni broj, 99nulto#ka, 56

izoliranost, 56

ocjene koefic!enataLaurentova reda, 69Taylorova reda, 58

op$i Cauchyjev teorem, 21osnovni teorem algebre, 61

drugi, 86otvoreno preslikavanje, 89, 97

parc!alna suma, 42pol, 73polinom, 6pravokutnik, 15preslikavanje

otvoreno, 89, 97primitivna funkc!a, 14princip

argumenta, 82maksimuma modula, 92

INDEKS 105

probu"en krug, 64

racionalna funkc!a, 6rad!us konvergenc!e, 50red, 42

dvostrani, 61konvergentan, 42Laurentov, 62nulto#ke, 56pola, 73potenc!a, 49Taylorov, 53, 54

regularni dio funkc!e, 64reziduum, 77Rouchéov teorem, 85

Schwarzov teorem, 96Schwarzova lema, 92, 93singularitet, 69

bitan, 75izoliran, 70pol, 73uklonjiv, 70

singularni dio funkc!e, 64suma reda, 42

Taylorovred, 54

ocjene koefic!enata, 58teorem, 53teorem srednje vr!ednosti, 97

teoremCantorov o presjeku, 95Casorati-Weierstrass-Sohock!, 75Cauchy-Hadamardov, 50Cauchyjev

op$i, 21za derivac!u, 13za funkc!u s uklonjivim singu-

laritetima, 72

za jednostavno povezano podru-#je, 21

za krug, 20za pravokutnik, 19

Fubin!ev, 97Goursat-Pringsheimov, 17jedinstvenosti za redove potenc!a,

59karakterizac!a

bitnog singulariteta, 75pola, 73uklonjivog singulariteta, 71

Laurentov, 62Liouvilleov, 60Morerin, 34o derivabilnosti funkc!e definirane

integralom, 30o holomorfnom izomorfizmu, 91o holomorfnosti

derivabilne funkc!e, 32sume reda potenc!a, 51

o inverznom preslikavanju, 97o izoliranosti nulto#aka holomor-

fne funkc!e, 56o jedinstvenosti

holomorfne funkc!e, 58Laurentova reda, 64

o lokalnoj invertibilnosti holomor-fne funkc!e, 90

o maksimumu modula, 92o osnovnim svojstvima indeksa, 26o otvorenom preslikavanju, 89, 97o postojanju primitivne funkc!e na

krugu, 15o reziduumima, 77, 78o srednjoj vr!ednosti

Taylorov, 97o vi"im derivac!ama derivabine funk-

c!e, 32

106 INDEKS

o zamjeni var!abli u dvostrukomintegralu, 98

osnovni algebre, 61drugi, 86

Rouchéov, 85Schwarzov, 96Taylorov srednje vr!ednosti, 97Weierstrassov pripremni, 88

trigonometr!ska funkc!a, 10tr!adski skup, 96

uklonjiv singularitet, 70uniformna konvergenc!a, 38

Weierstrassov pripremni teorem, 88

ime ung ar - math.ee.math.hr/old/zeta/kompleksna.pdf · pm f-matem at i#ki o djel, zagreb , 1992 i...

Documents