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IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALES FINITOS E INFINITOS EN EL DESARROLLO DEL ANALISIS

FUNCIONAL

Diego Alejandro Espitia Villalobos

Doctor Alberto Campos

Director

Profersor Honorario de la Universidad Nacional de Colombia

Oscar Eduardo Gómez Rojas

Co Director

Matemático de la Fundación Univesitaria Konrad Lorenz

Fundación Universitaria Konrad Lorenz

RESUMEN: El propósito del presente escrito es ubicar al lector

históricamente en el desarrollo del análisis funcional y en el artículo de

Erika Luciano presentado en la Revue d’historie des mathématiques

titulado “At the origins of functional analysis: G. Peano and M.

Gramegna on ordinary differential equations”.

Se hace una lectura crítica del artículo, destacando los puntos claramente

desarrollados en éste, y se intenta exponer los que parecen requerir

esclarecimiento.

2

1. HISTORIA DEL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL

SEGÚN FERNANDO BOMBAL1

Como muchas teorías matemáticas, el análisis funcional surgió de la necesidad de

encontrar nuevas técnicas para resolver algunos problemas que con los métodos

tradicionales no se podían resolver. Desde los comienzos del cálculo diferencial los

matemáticos han visto la necesidad de construir conjuntos cuyos elementos no fuesen

puntos, como en la geometría euclidiana, sino funciones, como en las ecuaciones

diferenciales donde la solución de un problema conduce a estudiar el conjunto de

funciones solución de dicho problema y al estudio de sus propiedades.

El análisis funcional es el estudio de los espacios funcionales, los cuales son

conjuntos formados por funciones, dotados de determinadas propiedades que

permiten realizar en ellos gran parte de las operaciones habituales del análisis como

límites de sucesiones, continuidad de funciones sobre ellos, etc.

En 1750 Daniel Bernoulli enunció el principio de superposición que afirma que la

forma más general que puede tomar una cuerda homogénea de longitud π , mantenida

en tensión y sometida a vibración en un plano, puede obtenerse como superposición

de las formas más sencillas que puede adoptar (es decir, como superposición de las

funciones seno y coseno a distintas amplitudes y períodos). Para pequeñas

vibraciones la posición ( ),u x t en la abscisa x en el instante t viene dada por la solución general de la ecuación diferencial:

2 2

2 2

u u

x t

∂ ∂=∂ ∂

con ( ) ( ),0u x xϕ= y ( ) ( ),0u x xt

φ∂ =∂

(1)

donde ( )xϕ y ( )xφ representan la posición y velocidad iniciales de cada una de las partículas en la cuerda.

1 [3], [4] y [7].

3

El principio de superposición enuncia que la solución general de (1) se puede escribir

de la forma

( ) ( ) ( )1

, n ni

u x t a sen nx cos n t b∞

=

= − ∑

para adecuadas elecciones de na y nb .

Más adelante, con el descubrimiento por D’Alembert de la ecuación diferencial que

rige el movimiento y con el desarrollo de las técnicas analíticas, se relegó el método

de Bernoulli a un segundo plano.

Sin embargo, la idea de Bernoulli de pasar de un sistema finito de ecuaciones a uno

infinito siguió siendo utilizada, principalmente por Fourier, para obtener las

ecuaciones diferenciales que controlan los fenómenos de transmisión del calor y para

la obtención concreta de soluciones.

Es Fourier quien encuentra que para resolver algunas ecuaciones diferenciales por el

método de superposición se debe utilizar la eliminación de parámetros que consiste

en derivar una serie término a término e igualar y a 0, lo que conduce a un sistema de

infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas. Para solucionar este problema, Fourier

propone truncar hasta solo las primeras n ecuaciones con n incógnitas y luego hacer

tender n a infinito. Sin embargo este método no es técnicamente correcto y el propio

Fourier aclara sobre este proceder “Como estos resultados parecen desviarse de las

consecuencias ordinarias del cálculo, es necesario examinarlas con cuidado e

interpretarlas en su verdadero sentido”.

Por ejemplo, al considerar el sistema

4

1 2 3

2 3

3

... ... 1

... ... 1

... ... 1

n

n

n

x x x x

x x x

x x

+ + + + + =+ + + + =

+ + + =

las soluciones del sistema truncado son ( )0,0,...,1 que convergen a 0ix = para todo i, resultado claramente falso.

Después de Fourier los sistemas de infinitas ecuaciones lineales no fueron estudiados

por más de 50 años.

Los trabajos de Fourier tuvieron gran influencia en el tratamiento posterior de las

ecuaciones diferenciales; por ejemplo, cuando se estudian las soluciones de la

ecuación diferencial de la forma

2 2

2 20

u u

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

empleando el método de separación de variables y haciendo ( ) ( ) ( ),u x y v x w y= , cuando se reemplaza en la ecuación, se obtiene

( )( )

( )( )

'' ''v x w y

v x w y= −

Como el primer miembro depende sólo de x y el segundo de y , sólo pueden ser

iguales si ambos son una constante λ , lo cual conlleva al estudio de la ecuación

diferencial de segundo orden:

( ) ' 0y q x y yλ′′ − + =

5

donde λ es un parámetro complejo, ( )q x es real y la función incógnita y es de orden

2 en un intervalo [ ],a b .

Ch. Sturm y J. Liouville desarrollaron una teoría general para abordar este tipo de

problemas. Sturm demostró que el problema planteado solo tiene solución para una

sucesión estrictamente creciente de valores reales del parámetro λ , es decir, de los

autovalores del problema, con lo que sentó las bases para la teoría espectral.

Liouville demostró que la serie n na u∑ , donde nu son las autofunciones y

∫∫=

2

n

n

nu

uua , converge si la serie de Fourier de u (cualquier función continua) es

convergente.

Por último, para la demostración de que la función n nU a u=∑ coincide con u se

debe probar que si 0)( =−∫ nb

a

uuU para todo n, entonces uU = , lo cual Liouville

hace bajo hipótesis restrictivas. Esta es la primera vez que aparece la propiedad de

completitud de un sistema ortonormal.

El cálculo de variaciones también aportó para el desarrollo del análisis funcional. En

este cálculo se intenta maximizar o minimizar una función del tipo

( ) ( ) ( )( )∫=b

a

dxxxFJ ,...',ϕϕϕ

donde F es una función regular, y las variables ϕ un conjunto de curvas regulares

parametrizadas en [a,b]. Es en este contexto, en donde aparece la idea de campo

funcional como conjunto de funciones admisibles, y la de distancia entre funciones.

6

Uno de los primeros problemas planteados con el programa de rigorización del

análisis, fue estudiar bajo qué condiciones el límite puntual de una sucesión de

funciones conserva las propiedades de las funciones de la sucesión, tales como

continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc.

Uno de los primeros intentos para atacar este problema fue imponer ciertas

condiciones sobre la manera de converger de las sucesiones. De esta manera aparece

el concepto de convergencia uniforme.

Por otro lado, los matemáticos italianos Dini, Arzelá y Ascoli no modificaron la

noción de convergencia sino que dieron una condición general sobre el conjunto

formado por la sucesión de funciones. Tal condición es la equicontinuidad2. Esta

condición garantiza que el límite puntual sea continuo.

Aquí aparece uno de los aportes de los artículos de Giuseppe Peano, quien trabajó en

ecuaciones diferenciales y en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

homogéneas. En estos trabajos Peano sienta las bases para la teoría de operadores

(teoría decisiva en ciertos trabajos de D. Hilbert y fundamental para el desarrollo del

análisis funcional).

Peano trabaja con las formas más simples de operadores lineales (a saber, las

matrices), desarrolla algunas propiedades básicas de estos tales como igualdad, suma

y producto de un operador con respecto a un elemento, además establece la noción de

módulo o norma de un operador.

Otra de las ramas que hizo surgir el análisis funcional, fue las ecuaciones integrales.

En esta rama aparecen problemas tales como encontrar una función ( )xσ que verifique la siguiente ecuación

2 Sean ( ),X τ un espacio topológico, ( ),Y d un espacio métrico y 0x un punto en X . Un conjunto H de funciones de X en Y se dice equicontinuo en 0x si y solamente si para todo 0r > , A∃ vecindad de 0x tal que f H∀ ∈ , ( ) ( )( )0 ,f A B f x r⊆ .

7

( ) ( ) ( ) ( )xfdyyyxkxb

a

=+ ∫ σσ ,

siendo k un núcleo simétrico3 y continuo.

Esta es una ecuación integral de segundo tipo (en terminología de Hilbert) dado que

la función incógnita aparece tanto dentro como fuera de la integral.

Si se considera la integral como un operador sobre un cierto espacio funcional, la

anterior ecuación toma la forma

( ) fKI =+ σ cuya solución formal es

( ) ...321 +−+−=+= − fKfKKfffKIσ 4 (2) si la serie converge.

Los primeros resultados generales para ecuaciones integrales fueron obtenidos por

J.M. Le Roux y V. Volterra quienes establecieron teoremas de existencia y unicidad

para ecuaciones del tipo

( ) ( ) ( ) ( )xgdttftxkxfx

a

=+ ∫ ,

Aunque los resultados de estos dos matemáticos fueron similares, el trabajo de

Volterra tuvo una mayor influencia posterior al resaltar las propiedades de los

operadores.

Después de esto, Volterra hace notar la semejanza que tiene la ecuación integral con

un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes triangular.

3 Es decir, ( ) ( ), ,k x y k y x= . 4 Recuérdese la serie geométrica ( ) 1 2 31 1 ...x x x x−− = − + − + , por lo tanto, se puede tomar a σ como una generalización de ésta serie.

8

En este momento aparece el aporte del trabajo de Maria Gramegna, ya que en su tesis

de grado ella trabaja con sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales lineales

homogéneos en infinitas incógnitas.

En este trabajo también utiliza el concepto de operador, como su maestro Peano, pero

esta vez lo hace como una matriz infinita, en donde también desarrolla las

propiedades de igualdad, suma y producto además de la norma del operador.

También trabaja las ecuaciones integro-diferenciales llegando a encontrar la solución

a problemas tales como la ecuación de Abel ( ) ( ) ( )∫=1

0

, dyyfyxkxg donde

[ ]( )21,0Ck ∈ , [ ]( )1,0Cf ∈ y [ ]1,0∈x , o la ecuación

( ) ( ) ( ) ( )sthdyytfyxtkt

xtf,,,,

,1

0

+=∂

∂∫

donde [ ]( )21,0Ck ∈ , [ ]( )1,0Ch∈ y [ ]( )1,0Cf ∈ .

Tal solución la encuentra utilizando el método llamado “integraciones sucesivas”,

método también utilizado por su maestro, Peano, en la demostración de sus teoremas

sobre la existencia de una solución para las ecuaciones diferenciales y para los

sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Gramegna no se interesó más por el tema de las ecuaciones diferenciales e integro-

diferenciales, aludiendo a que Volterra ya lo había estudiado más profundamente, por

lo cual (sumado a que el artículo de Gramegna no había circulado) muchos de los

matemáticos ignoraron los métodos que ella utilizó en el estudio de este tipo de

ecuaciones, lo que conllevó a que, en los estudios sobre estos problemas, se

referenciara únicamente a Arzelá, Ascoli y Volterra.

9

Fue una observación hecha por Volterra la que influyó decisivamente en el trabajo de

I. Fredholm cuya intención era dar un nuevo método de solución del problema de

Dirichlet5.

Para ello, Fredholm utiliza los resultados de Volterra en ecuaciones integrales y

algunos de los razonamientos utilizados por éste en sus demostraciones. De esta

manera deduce que el problema de Dirichlet tiene solución única para todo dominio

Ω acotado del plano con superficie suficientemente regular.

Al presentar estos resultados en el Acta Matemática en 1903, Fredholm muestra la

analogía que supone el estudio de las ecuaciones integrales con los sistemas de

ecuaciones lineales.

La potencia de estos resultados y la elegancia de las demostraciones de Fredholm,

colocaron las ecuaciones integrales en el centro de interés de los matemáticos de la

época. Además, supone el punto de partida de la teoría espectral, el cual es un punto

esencial para el posterior desarrollo del análisis funcional.

D. Hilbert también se interesó vivamente en el tema. Entre 1904 y 1910 publicó seis

artículos sobre ecuaciones integrales en el Göttingen Nachrichten. En estos aparecen

nuevas ideas y directrices que posteriormente, en manos de Riesz y Schmidt, se

convertirán en fundamentos del análisis funcional.

En uno de los artículos, Hilbert, trabaja con la ecuación integral

( ) ( ) ( ) ( )xgdttftxkxfb

a

=+ ∫ ,λ (3)

5 El problema de Dirichlet consistía en encontrar una función armónica u en un dominio Ω que toma valores prefijados en la frontera Γ de Ω .

10

donde λ es un parámetro complejo y el núcleo es simétrico.

Trabajando con estas ecuaciones, Hilbert obtiene los mismos resultados a los que

Fredholm había llegado antes; sin embargo, Hilbert llegó aún más lejos. El estudio de

las ecuaciones integrales le lleva a introducir las formas cuadráticas

( ) ( )∑∑= =

=n

iji

n

jjin xxxxKxQ

1 1

,

Luego demuestra que el paso al infinito ( ∞→n ) permite obtener al menos un

autovalor de la ecuación integral.

También intentó generalizar estos resultados para núcleos menos regulares, pero la

solución a este problema no la alcanzó.

Hilbert demostró también que toda función de la forma

( ) ( ) ( )∫=b

a

dyyfyxkxg ,

con f continua tenía un desarrollo en serie de autofunciones

( ) ( ) ( )∑∞

=

=1

,n

nn xgxg ψψ

absoluta y uniformemente convergente, donde las nψ forman un sistema ortonormal,

lo que permitió abordar la solución de (3) de la siguiente manera

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ ∑∞

=

=b

a

b

a nnn

n

hfdxdyyhxfyxk1

,,1

, ψψλ

donde ( ) ( ) ( )∫=b

a

nn dsssff ψψ, .

11

En otro de los artículos que Hilbert presenta, abandona todo el marco de las

ecuaciones integrales para concentrarse en tratar de crear una teoría general de formas

bilineales y cuadráticas de infinitas variables que se aplique en particular al estudio de

las ecuaciones integrales.

Hilbert introduce la noción de sistema ortogonal completo de funciones como una

sucesión ( )nψ de funciones continuas en [ ]ba, que cumpla la siguiente relación de completitud

( ) ( )( )nn

n gfgf ψψ ,,,1

∑∞

=

=

para todo par de funciones f y g .

Luego, establece que una forma cuadrática es completamente continua si

( ) ( )xQxQnn

=∞→

lim

uniformemente para todos los ( )nxx = tales que ∑∞

=

≤1

2 1n

nx y donde

( ) ∑∑= =

=n

p

n

qqppqn xxkxQ

1 1

.

Esta condición permite asegurar el éxito del método de truncamiento de Fourier,

siempre y cuando las soluciones parciales obtenidas tengan normas en 2L

uniformemente acotadas.

Más adelante, Hilbert introduce en 2L la distancia

12

( ) ( )21

2

1

,

−= ∑

∞

=nnn yxyxd

y extiende las nociones de continuidad, límites, etc., para funciones escalares

sobre 2L . Muy pronto aparece el hecho crucial de que no se cumple el análogo del

teorema de Bolzano-Weierstrass, lo que lleva a Hilbert a considerar el equivalente a

la noción actual de topología débil en 2L y prueba su principio de elección que

permite extraer de cada sucesión acotada en 2L una subsucesion convergente

débilmente.

En el trabajo de Hilbert también aparecen ya algunas clases importantes de

operadores tales como los hoy llamados de Hilbert-Schimdt, nuclear, etc., aunque en

términos de formas cuadráticas.

En 1906, Fréchet introduce la noción abstracta de distancia en un conjunto, lo que

permite extender las nociones habituales de límites, continuidad, etc., en conjuntos

abstractos. También introdujo las nociones de compacidad, completitud y

separabilidad y mostró la importancia de las mismas.

En 1908, Schmidt publicó un articulo en donde define el espacio de dimensión

infinita 2L , con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonalizacion,

etc.

Es en la búsqueda de resultados análogos al principio de elección de Hilbert en

distintos espacios normados en la que conforma la idea de topología débil y las

técnicas de dualidad.

En 1907, los matemáticos E. Fischer y F. Riesz descubrieron independientemente el

llamado teorema de Fischer-Riesz que establece que si se fija un sistema ortonormal

completo de funciones ( )nψ , la aplicación ( )( )∞=→ 1, nnff ψ es un isomorfismo

13

hilbertiano entre el espacio [ ]( )baL ,2 de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue sobre [ ]ba, y el espacio de Hilbert 2L .

Este mismo año, Riesz y Fréchet obtuvieron la representación de cualquier forma

lineal continua T sobre el espacio 2L en la forma

( ) ( ) ( ) ( )∫== dxxgxfgffT ,

para alguna g del mismo espacio.

En 1909, Riesz prueba que cualquier funcional lineal continua T sobre el espacio

[ ]( )baC , , puede escribirse como la integral de Stieltjes

( ) ( ) ( )∫=b

a

xdxffT α

donde ( )xα es una función de variación acotada.

En 1910, Riesz introduce los espacios pL , ∞

14

( ) ( ) ( ) [ ]∫∫ ∈∀→⇔→x

a

x

a

n

w

n baxdttfdttfff ,

De este modo, Riesz establece la dualidad entre pL y qL y prueba que toda sucesión

en pL acotada en norma, posee una subsucesion débilmente convergente a alguna

función de qL .

En 1913, Riesz, publicó su libro Les systèmes d’Équations Linéaires à una Infinité

d’Inconnues, donde estudia los sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas

incógnitas de la forma

in

nin cxa =∑∞

=1

donde ( )i in pa a L= ∈ y la solución se busca en qL , con q conjugado de p .

Se observa de este modo que Riesz establece algunas nociones básicas para el análisis

funcional tales como las nociones de norma, espacio dual, convergencia débil, etc.

En 1918, Riesz presenta su teoría de los operadores compactos, que es una visión

lineal de muchas de las nociones introducidas por Hilbert en sus artículos sobre

ecuaciones integrales, aunque sin utilizar las ideas de ortogonalidad y geometría del

espacio de Hilbert.

En 1920, S. Banach presenta su tesis (publicada dos años más tarde) donde expone

una serie de resultados válidos en distintos “campos funcionales”, por lo cual

desarrolla un conjunto de teoremas muy generales que por especialización dan lugar a

los distintos resultados buscados.

En este trabajo él utiliza las contribuciones hechas hasta el momento y presenta una

definición axiomática de lo que son los espacios vectoriales reales, normados y

completos, presenta lo que llama el principio de contracción uniforme y da la forma

general del principio de contracción en espacios métricos completos.

15

En 1922, P. Levy publica el libro Lecons d’analyse fonctionelle donde aparece por

primera vez el nombre de análisis funcional.

Con este nombramiento oficial se puede considerar que hasta aquí ha llegado el

proceso fundacional y surge una nueva rama de la matemática llamada análisis

funcional.

2. PRESENTACIÓN DEL ARTÍCULO

El artículo analizado “At the Origins of Functional Analysis: G. Peano y M.

Gramegna on Ordinary Differential Equations” ( [6]) presenta una interesante

perspectiva acerca del desarrollo del análisis funcional, lo mismo que sobre los

desarrollos hechos por los matemáticos italianos de finales del siglo XIX.

Luego de comentar algunos resultados importantes en la búsqueda del análisis

funcional la autora presenta y desarrolla primero el teorema de la existencia de las

soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo en n

incógnitas.

Este teorema fue planteado y demostrado por Peano de una manera absolutamente

maravillosa, debido al uso que hace de su simbología y del uso que hace también de

las herramientas del cálculo vectorial.

Además de demostrar la existencia de la solución para dicho sistema de ecuaciones

diferenciales, muestra algunas propiedades que tienen las soluciones debido al

método que él utiliza llamado “aproximaciones sucesivas”.

16

Aunque la demostración de este teorema llevada a cabo por Giuseppe Peano fue

asombrosa, no gozó de gran lectura entre sus colegas debido a varias razones:

El haber publicado sus resultados en el Proceedings de la academia de Turín no

permitió que se difundiera ampliamente, debido a que esta revista únicamente era

publicada en esta ciudad. Por lo tanto muchos de los matemáticos de su época no

conocieron estos resultados sino hasta cuando se los presentaban en los congresos.

También, los artículos científicos debían ser presentados principalmente en alemán o

francés, el italiano no era tan científico.

Estos errores fueron corregidos cuando apareció en el Mathematische Annalen de

Alemania la traducción al francés de su artículo.

Sin embargo, otros “errores”6 no fueron corregidos en esta publicación:

Los conceptos utilizados por Peano tales como norma o transformación no eran

diestramente utilizados en esta época por lo cual muchos de los lectores de sus

resultados no comprendieron el desarrollo de la demostración.

Y, por último, el más grande de estos llamados “errores” fue el publicar sus

resultados utilizando lo que él había desarrollado y llamado Lógica Matemática la

cual le trajo muchos problemas, no solo en la lectura de sus resultados sino también

en su vida profesional, debido a que, como esta lógica la había desarrollado y

publicado en el Proceedings de la Academia de Turín, no fue, nuevamente,

ampliamente conocida ni tampoco el proyecto formulario que estaba llevando a cabo,

donde desarrollaba con su lógica las bases de la aritmética, el algebra, la geometría y

6 Personalmente estos últimos llamados errores no son tales, ya que Peano sabía cuales herramientas de

otras ramas tenía disponible y como utilizarlas, tales como la notación matricial y la lógica simbólica.

17

el análisis demostrando que esta herramienta desarrollada por él resultaba muy útil en

algunas demostraciones.

Si bien tenía ventajas este uso de su lógica también poseía la desventaja de ser difícil

de manejar dado que su simbología, aún en una temprana etapa, no era lo

suficientemente intuitiva para utilizarla, y había que hacer un estudio previo bastante

exhaustivo de cómo se debía operar con estos nuevos símbolos.

Después de esto, Erika Luciano señala como Maria Gramegna generalizó el teorema

demostrado por Peano, demostrándolo para n = ∞ por sugerencia de su maestro y

director de tesis. Aquí se puede ver el nivel de manejo que poseía Peano de su Lógica

Matemática y del uso de los operadores lineales, fundamentales en este trabajo.

Al final de su tesis Maria Gramegna muestra la solución para el sistema de infinitas

ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con infinitas incógnitas utilizando una

notación parecida a la utilizada por Peano en su demostración previa.

Muestra que esta solución satisface las propiedades que había mostrado Peano y lo

demuestra. Por último, trabaja con ecuaciones Integro-Diferenciales del tipo

( ) ( ) ( ) ( )

1

0

,, , , ,

f t xk t x y f t y dy h t x

t

∂= +

∂ ∫

donde [ ]( )20,1k C∈ , [ ]( )0,1h C∈ y [ ]( )0,1f C∈ . Maria Gramegna muestra que esta ecuación puede escribirse en forma abstracta Df sk f h= + y usando la notación

introducida por ella, deduce que la solución está dada por:

( ) ( )00

;0, ; ,0

t

tf E sk t f E sk t h dt= + ∫

En esta última parte del artículo, ella no da pruebas de sus afirmaciones aludiendo a

que es suficiente repetir el mismo razonamiento y además escribe que no va más allá

en este tema debido a que fue estudiado por Volterra quien publicó sus resultados en

esa misma época, Febrero de 1910.

18

Es en este punto en donde los trabajos de Maria Gramegna y E. H. Moore se cruzan

en el sentido de que ambos matemáticos, estaban convencidos de que debería existir

una teoría matemática más abstracta que incluyera la teoría de las ecuaciones

diferenciales lineales en espacios finito dimensionales, la teoría de las ecuaciones

diferenciales lineales en espacios infinito dimensionales y la teoría de las ecuaciones

integrales.

Aunque el método utilizado por los dos fue distinto para esta aproximación:

Maria Gramegna se centró únicamente en algunos casos especiales de espacios

funcionales introduciendo la noción apropiada de convergencia.

Moore, en cambio, se acercó a esta teoría de una manera más abstracta. Desarrolló

una teoría cuyos elementos eran miembros de un conjunto M de funciones de valor

real x(s) para s que pertenece a un conjunto abstracto S. Luego, introduce la noción de

convergencia relativa y muestra que la convergencia con la cual trabajaba Gramegna

es un caso particular de la convergencia mostrada por él.

Moore también escribía sus trabajos con la lógica simbólica de Peano así que su

recepción fue también algo problemática y Bernkopf anota que:

“Sus trabajos eran difíciles de entender por el uso de los símbolos. Se sentía que su

Análisis General no aportaba nada nuevo y no solucionaba nuevos problemas.

Quizás, estaba conceptualmente algo adelantado a su época”.

El trabajo de Gramegna fue prontamente exaltado por los discípulos de la escuela de

Peano, quienes escribieron que el trabajo de Gramegna era una muestra de lo que la

lógica simbólica de Peano podía llegar a hacer, ella muestra la importancia del uso de

los operadores y el uso de la teoría de las matrices infinitas y determinantes infinitos

19

para resolver el problema de los sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales

lineales.

Sin embargo, este trabajo no fue ampliamente leído, de nuevo, debido al uso de la

simbología a la cual muchos todavía no le dedicaban la debida atención; por lo tanto,

el trabajo de Gramegna no fue lo suficientemente citado durante la primera mitad del

siglo XX en análisis funcional.

Sin embargo, sí lo hicieron Hellinger y Toeplitz en el prestigioso Encyclopädie der

Mathematischen Wissenchften y Vivanti y Volterra se refieren a él en una bibliografía

general sobre ecuaciones integro-diferenciales.

Este trabajo realizado por Maria Gramegna fue también la causa de que la vida

académica de Peano terminara.

Giuseppe Peano presentó el trabajo de Maria Gramegna a la Academia de Ciencias de

Turín titulado “Serie di equazioni differenziali lineari ed equazioni integro-

diferenziali” el 13 de Marzo de 1910.

En esta sesión estaban presentes el presidente de la academia Enrico D’Ovidio, Segre,

Peano, Somigliana, Jadanza, Naccari, Guareschi, Guido, Mattirolo, Fusari y Parona.

Cuatro dias después, un encuentro de facultados tomo lugar en Turín al cual

asistieron el Decano Corrado Segre, el secretario Gino Fano y los profesores de

tiempo completo D’Ovidio, Somigliana Boggie, Jadanza, Nacxari, Guareschi, Parona,

Spezia y Mattirolo.

En esta reunión, Segre, luego de reconocer los méritos de Giuseppe Peano en lógica,

cálculo infinitesimal y en fundamentos de la matemática, criticó el modo en el que el

profesor Peano estaba desarrollando los cursos de cálculo infinitesimal y de análisis

avanzado debido a que éste tenía como texto principal el Formulaire de

Mathématiques, por lo cual dedicaba mayor tiempo en estudiar los símbolos que

20

había desarrollado gracias a su lógica matemática que en estudiar los temas propios

de la materia.

Segre también decía que el texto presentaba temas disconexos y arbitrariamente

elegidos, dejando de lado aspectos importantes para un curso de análisis avanzado.

Argumentaba que de ésta manera los estudiantes brillantes no podían avanzar ni

liderar investigaciones en matemáticas avanzadas. Con estos métodos, ellos aprendían

únicamente el acercamiento crítico, más no el constructivo de esta disciplina.

D’Ovidio enfatizó en que no se debería confundir la enseñanza de la escuela del

magisterio, que educaba a los estudiantes para enseñar en la escuela secundaria, con

los cursos de Análisis Avanzado, donde se presentaban nuevas teorías, preguntas,

herramientas y direcciones de búsqueda a los estudiantes.

Otro punto del profesor D’Ovidio fue, que en cada teoría matemática, la fase

inventiva o constructiva precede a la fase critica y que además ningún profesor

debería negar la intuición a favor del rigor.

Por último, Somigliana expresó serias dudas en la habilidad del profesor Peano para

desarrollar algunos capítulos fundamentales de análisis avanzado tales como la teoría

de las ecuaciones diferenciales y la teoría de las funciones elípticas.

Peano se defendió de estas críticas argumentando que en sus clases introducía temas

bastante recientes y que además estimulaba a sus estudiantes en la conducción de

búsquedas originales, donde algunos de los resultados de estas investigaciones habían

sido publicados o estaban en proceso.

También, que tomaba con especial atención aquellos temas que podrían ser útiles para

los estudiantes que quisieran enseñar en escuelas secundarias y que además pretendía

defender el rigor de la matemática haciéndola libre de errores (Véase [5]).

21

A partir de esta reunión, Peano fue despedido de los cursos de análisis avanzado y de

cálculo infinitesimal, al no aceptar tomar otros textos como principales y dejar el

Formulaire como texto auxiliar. También, le fue denegada una propuesta para

realizar un curso libre donde iba a mostrar el poder que tenía su lógica matemática y

los resultados a los que, con ésta, había llegado.

Después de esto, Peano se dedicó a su nuevo proyecto: “El proyecto interlingua” o

latín sin inflexiones, el cual pretendía ser un idioma con el cual toda la comunidad

matemática presentara sus escritos abandonando el proyecto de una nueva edición del

Formulaire de Mathématiques y de su Rivista de matematica.

Este fue el final de la vida académica de Giuseppe Peano.

3. DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE GIUSEPPE PEANO Y

MARIA GRAMEGNA

Aunque sobre lo que quiere hacer énfasis la autora es en la importancia de los

artículos publicados por Peano y Gramegna en el desarrollo del análisis funcional,

esta importancia no es resaltada de manera apropiada dentro del artículo.

Lo que la autora desarrolla primero de forma exhaustiva en el artículo es la

demostración de los teoremas presentados por G. Peano y por M. Gramegna en

“Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari” de 1887 y en “Serie di

equazioni differenziali lineari ed equazioni integro-differenziali” de 1910

respectivamente.

Por lo pronto pretendo desarrollar algunos pasajes complicados del artículo de Erika

Luciano presentado en la Revue d’historie des mathématiques titulado “At the

origins of Functional Analyisis: G. Peano and M. Gramegna on ordinary differential

equations”.

22

El teorema demostrado por Giuseppe Peano presentado en “Integrazione per serie

delle equazioni differenziali lineari” de 1887, es el siguiente:

Sean n ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en n funciones 1 2, ,..., nx x x de

una variable real t, donde los coeficientes ijα son funciones de t, continuas en un

intervalo cerrado y acotado [ ],p q expresado así:

111 1 12 2 1

221 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

nn n nn n

dxx x x

dtdx

x x xdt

dxx x x

dt

α α α

α α α

α α α

= + + +

= + + +

= + + +

M

Sustituyendo n constantes arbitrarias 1 2, ,..., na a a en el lado derecho de las

ecuaciones, en lugar de 1 2, ,..., nx x x e integrando desde ot hasta t, obtenemos n

funciones de t denotadas por ' ' '1 2, ,..., na a a . Ahora, sustituyendo ' ' '

1 2, ,..., na a a de nuevo

en el lado derecho de las ecuaciones por 1 2, ,..., nx x x e integrando desde ot hasta t,

obtenemos n nuevas funciones de t denotadas por '' '' ''1 2, ,..., na a a . Repitiendo este

proceso se tiene

' ''

1 1 1

' ''

2 2 2

' ''

...

...

...n n n

a a a

a a a

a a a

+ + +

+ + +

+ + +

M

Estas series son convergentes en el intervalo ( ),p q . Sus sumas que indicaremos por

1 2, ,..., nx x x son funciones de t que satisfacen el sistema dado. Más aún, para 0t t= ,

ellos asumen los valores arbitrariamente escogidos 1 2, ,..., na a a .

23

Para demostrar este teorema Peano se valió de la notación de matrices y vectores y

usó la teoría de las transformaciones y complejos, entendidos como n-uplas, así como

el nuevo método de aproximaciones sucesivas esbozado por J. Caqué y L. Fuchs, lo

cual condujo a Peano a una prueba de la existencia de una solución para un sistema

de ecuaciones diferenciales lineales.

Demostración:

Un número complejo de orden n es una n-upla de números reales

[ ]1 2, ,..., nna a a a= ∈� y la norma o módulo de éste se define por 2 2 2

1 2 ... na a a a= + + + .

Una transformación u operador lineal7 en n� esta representado por la matriz

( ) ( ), 1,..,ij ni j n

Mα α=

= ∈ � .

Las propiedades elementales tales como igualdad, suma y producto son definidas del

modo como se utiliza en las matrices.

El modulo de una transformación α es el operador norma en ( )nL L= � definido de la siguiente manera:

0

supL

x

x

x

αα

≠=

7 Una función A de X en Y (donde X e Y son espacios lineales) es llamada operador lineal si se cumple que ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2A x x A x A x Ax Ax+ = + = + , para todo 1 2,x x X∈ y

( ) ( )A x A x Axα α α= = , para todo α ∈� y para todo x X∈ , [8] y [10].

24

Con estas herramientas y escribiendo el sistema antes presentado como la ecuación

vectorial dx

xdt

α= donde nx∈� y α es la matriz de los coeficientes por el cual es

representado el operador lineal ( )nLα ∈ � , Peano demuestra el teorema de la siguiente manera.

Sea na∈� una n-upla constante arbitrariamente escogida.

Sean

0

'

t

t

a adtα= ∫ , 0

'' '

t

t

a a dtα= ∫ , 0

''' ''

t

t

a a dtα= ∫ , etc. Los componentes de

, ', '', ''',...a a a a son precisamente los números introducidos en el teorema.

Para demostrar que ' '' ''' ...a a a a+ + + + converge, se debe demostrar que

' '' ''' ...a a a a+ + + + converge.

Siendo 'a =0

t

t

adtα ≤∫0

t

t

a dtα∫0

t

t

a dtα≤ ∫8 y como las funciones ( )ijα son

continuas y acotadas en ( ),p q entonces L

α es también continua y acotada en

( ),p q , y si maxL

M α= se tiene entonces que:

( )0 0 0

0

t t t

t t t

a dt M a dt dtM a M t t aα ≤ = = −∫ ∫ ∫

Por lo tanto 0' ( )a M t t a≤ − .

Del mismo modo se tiene

8 La mayoración

0

t

t

adtα ≤∫0

t

t

a dtα∫ se da, ya que aα y aα son integrables en el intervalo

( ),ot t . Véase [1] p. 631, [2] p. 241 y [9].

25

( )0 0 0 0

0'' ' ' '

t t t t

t t t t

a a dt a dt a dt MM t t a dtα α α= ≤ ≤ ≤ −∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )0 0

2

02 2

0 02!

t t

t t

t tMM t t a dt t t dtM a M a

−− = − =∫ ∫

Por lo tanto ( )202''2!

t ta M a

−≤ .

Ahora, ' '' ''' ...a a a a+ + + + es menor o igual que

≤( )22 0

0( ) ...2!

M t ta M t t a a

−+ − + +

≤( )22 0

01 ( ) ...2!

M t tM t t a

−+ − + +

= ( )0M t te a−

que converge para cualquier ( ),t p q∈ .

Como la serie de los módulos converge entonces ' '' ''' ...a a a a+ + + + converge

Si se hace ' '' ''' ...tx a a a a= + + + + veamos que es la solución pedida.

0 0 0

' '' ''' ... ...

t t t

t

t t t

x a a a a a dt a dt dt aα α α= + + + + = + ⋅ + ⋅ +∫ ∫ ∫

Diferenciando término a término se tiene que

[ ]

' '' ''' ...

' '' ''' ...

t

t

tt

dxa a a a

dtdx

a a a adtdx

xdt

α α α α

α

α

= + + + +

= + + + +

=

26

Lo que se quería demostrar.

Luego, en la traducción al francés de este artículo, Peano introduce la siguiente

notación para representar la solución del sistema dado:

0 0 00

...

t t t

t

t t t

tx a dt a dt dt a E a

tα α α = + ⋅ + ⋅ + =

∫ ∫ ∫

El teorema de Maria Gramegna presentado en “Serie di equazioni differenziali lineari

ed equazioni integro-differenziali” de 1910, es el siguiente:

Considérese un sistema infinito de Ecuaciones Diferenciales en un número infinito de

incógnitas:

111 1 12 2 1

221 1 22 2

... ...

... ...

...

n n

n n

dxu x u x u x

dtdx

u x u x u xdt

= + + + +

= + + + +

donde cada rsu es constante con respecto al tiempo. Sea A la sustitución representada

por la matriz de los rsu y su < ∞ , sea x la secuencia ( )1 2, ,...x x y 0x su valor inicial. Podemos escribir el sistema de ecuaciones diferenciales dadas como una única

ecuación Dx Ax= , y la integral es dada por 0At

tx e x= .

Primero Erika Luciano presenta una prueba simple desarrollada por Gramegna.

De Dx Ax= , Maria Gramegna infiere que 0t tDx Ax− = y que ( ) 0At t te Dx Ax− − = .

Por lo tanto ( ) 0At tD e x− = y 0At te x x− = , luego 0Attx e x= .

Demostración:

27

Un complejo infinito es una secuencia ( )n na a ∈= � y

( ) ( )1

1

: supn j jj ja a a∞ ∞

≥ ≥

= = = < ∞

l � l . La igualdad, suma y producto escalar los

define extendiendo la exposición hecha por Peano.

El modulo de un complejo infinito es 1

sup jj

a a aµ∞

≥= = .

Una sustitución u homografía para complejos infinitos es un operador definido en l∞

del modo siguiente:

:A

x Ax

∞ ∞→→

l l

que satisface las siguientes propiedades

( ) ( ) ( )

1

,

supx

x y A x y A x A y Ax Ay

x Ax∞

∞

∞∞

≤

∀ ∈ + = + = +

∀ ∈ < ∞

l

l

El espacio de los operadores definidos sobre l∞ es denotado por Subst C∞ que hoy en

día se denota por el conjunto ( )L ∞l .

El módulo de una substitución es el operador norma en ( )L ∞l

0

supL

x

AxA

x∞

≠ ∞

=

Que satisface las siguientes propiedades

28

( )( )( )

,

,

x l A L Ax A x

A B L A B A B

A B L A B A B

∞ ∞

∞

∞

∀ ∈ ∀ ∈ ≤ ⋅

∀ ∈ + ≤ +

∀ ∈ ⋅ ≤ ⋅

l

l

l

El kernel de una sustitución acotada9 es la matriz u

( )11 12

21 22, 1,...,

...

...rs r s

u u

u u u u= ∞

= = M M

tal que

( ) ( ) ( ):

, , s rsr

u

s r u s r Ai u

× →→ = =

� � �

donde ( )A L ∞∈ l , s∈� e ( )0,0,...,0,1,0,...si ∞= ∈l y el r-componente de la secuencia sAi

∞∈l es denotado por ( )s rsrAi u= .

Gramegna denota por su el operador lineal sobre ∞l representado por la matriz u y

( ) ( ) ( )( )1 2, ,...sux su x sux sux= = donde ( )( )

11 1 12 21

21 1 22 22

...

...

sux u x u x

sux u x u x

= + +

= + +

M

Una vez desarrollados adecuadamente los anteriores conceptos, Maria Gramegna

procede a demostrar el teorema como sigue

El sistema de ecuaciones diferenciales

9 Una sustitución se dice acotada si existe un Rc∈ tal que xcAx ≤ para todo ∞∈ lx .

29

111 1 12 2 1

221 1 22 2

... ...

... ...

...

n n

n n

dxu x u x u x

dtdx

u x u x u xdt

= + + + +

= + + + +

donde los rsu son funciones continuas de t, se puede escribir de la siguiente manera:

t t tDx A x=

donde ( )A L ∞∈ l .

Supongamos 0x∞∈l , entonces aplicando el método de las aproximaciones sucesivas

se tiene:

0

1 0

0

2 1

0

t t

t

t

t

t

Dx A x

x A x dt

x A x dt

=

=

=

∫

∫

M

Entonces la serie 0 1 2 3 ...x x x x+ + + + converge si y solo si 0 1 2 3 ...x x x x+ + + +

converge.

Se tiene que 1 0 0 00 0 0

t t t

t t tx A x dt A x dt A x dt= ≤ ≤ ⋅∫ ∫ ∫ .

Si { }sup tA m= es un número finito, entonces

0 0 0 0

0 0 0

t t t

tA x dt m x dt dt m x tm x⋅ ≤ ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫

30

Por lo tanto 1 0x tm x≤

Del mismo modo se tiene que 2 1 1 10 0 0

t t t

t t tx A x dt A x dt A x dt= ≤ ≤ ⋅∫ ∫ ∫

2 22

0 0 0

0 02!

t t t mmtm x dt tdt m x x≤ = ⋅ =∫ ∫ .

Por lo tanto 2 2

2 02!

t mx x≤ .

Ahora, la serie 0 1 2 3 ...x x x x+ + + + es menor o igual o está mayorada por

2 2 3 3 2 2 3 3

0 0 0 0 0 0... 1 ...2! 3! 2! 3!

tmt m t m t m t mx tm x x x tm x e x

+ + + + = + + + + =

que converge para cualquier t, por lo tanto la serie 0 1 2 3 ...x x x x+ + + + converge.

Sea 0 1 2 3 0 0 0 00 0 0 0 0 0

... ...

t t t t t t

t t t t t t tx x x x x x A x dt A dt A x dt A dt Adt A x dt= + + + + = + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

la serie de las derivadas es:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

... ...

t t t t t t

t t t t t t t t t t t tA x A A x dt A Adt A x dt A x A x dt A dt A x dt A x

+ + + = + + + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Luego, la serie de las derivadas es la derivada de la serie, es decir, t t tDx A x= , por lo

tanto tx satisface el sistema.

Al igual que su maestro Peano, Gramegna introduce la notación ( )0; ,E A t t para expresar la solución del sistema dado:

31

( )0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

... ; ,

t t t t t t

t t t t t t tx x A x dt A dt A x dt A dt A dt A x dt E A t t x= + + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Una vez demostrados estos teoremas Maria Gramegna dedica unas páginas al estudio

de ecuaciones integro-diferenciales, previamente estudiados por Fredholm y Volterra.

En estas páginas ella introduce las nociones de complejo infinito, sustitución

continua, módulo de una sustitución continua, producto funcional de dos

sustituciones continuas y la exponencial de una sustitución.

4. CONCLUSIONES

Aunque la primera finalidad del artículo es la de mostrar la importancia de los

artículos de Peano y de Gramegna, esta importancia no es muy clara dentro del

trabajo, la autora muestra como se demostraron estos teoremas y muestra las

herramientas utilizadas por Peano y Gramegna en sus trabajos, más no hace explicita

la razón por la que estos trabajos son importantes en el desarrollo del análisis

funcional.

La importancia de estos artículos y los teoremas anteriormente demostrados en el

desarrollo del análisis funcional radica en la modernidad de las técnicas usadas y en

el manejo de nuevas teorías tales como la teoría de los operadores lineales y de

conceptos no muy diestramente manejados en esa época tales como norma de una

transformación.

Estos conceptos fueron lo suficientemente estudiados y desarrollados por Giuseppe

Peano y Maria Gramegna como para expresarlos en lenguaje abstracto (sin empleo de

matrices).

32

El asentamiento de la teoría de operadores desarrollada por Peano, es de vital

importancia en el análisis funcional debido a que permite manejar conjuntos de

funciones y pasar de un espacio funcional a otro sin la necesidad de utilizar matrices

como transformaciones lineales, además elimina la restricción de únicamente poder ir

de un espacio de dimensión finita a otro (o al mismo) espacio de dimensión finita al

permitir pasar de espacios de dimensión finita o infinita a otro espacio (o al mismo)

de dimensión finita o infinita.

Esta posibilidad de trabajar con espacios finito o infinito dimensionales es altamente

importante en el estudio de los espacios de Hilbert y los espacios de Banach,

conceptos fundamentales en el análisis funcional.

Erika Luciano plantea dos puntos fundamentales a desarrollar en su trabajo; el

primero, es precisamente el que muestra en el título de su artículo, por que fueron

importantes los trabajos presentados por Giuseppe Peano sobre la existencia de una

solución de una ecuación diferencial y la existencia de una solución para un sistema

de n ecuaciones diferenciales con n incógnitas y el trabajo presentado por Maria

Gramegna en el cual generaliza el trabajo de Peano y muestra la existencia de una

solución para un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales con infinitas incógnitas

en el desarrollo del análisis funcional, lo cual acabo de exponer.

El segundo punto que la autora plantea es el del mal recibimiento del trabajo de la

señorita Gramegna por parte de la Academia de Ciencias de Turín debido al uso que

ella tiene de la lógica simbólica desarrollada por su maestro Peano que, si bien tenía

mucho potencial, su complicada simbología hacía los trabajos presentados de esta

manera poco fáciles de entender.

La lógica matemática y el simbolismo creado por Giuseppe Peano son importantes

para el posterior desarrollo de Russell sobre la lógica simbólica. En el congreso de

1900 en Roma, Peano comentó sus ideas sobre este tema con Bertrand Russell quien

33

logró advertir el gran potencial que esta rama tendría en la futura matemática. Las

ideas de Peano no tuvieron una buena acogida por la mayoría de sus colegas debido a

que su simbología era difícil de entender.

La lógica matemática desarrollada por Russell, en cambio, tuvo un buen recibimiento

ya que el desarrollo y sustento que Russell hace de esta lógica es tal que no da lugar a

dudas.

Sobre el recibimiento por parte de los miembros de la Academia de Ciencias de Turín

del trabajo de grado de la señorita Maria Gramegna (trabajo dirigido por Giuseppe

Peano) está, en mi punto de vista, muy bien explicado, ya que aquí la autora narra

ordenadamente y paso a paso los hechos fundamentales ocurridos en las reuniones de

los miembro de la Academia, de la cual quiero hacer un pequeño resumen aquí.

El trabajo de la señorita Gramegna llamado “Serie di equazioni differenziali lineari ed

equazioni integro-differenziali” es presentado por su maestro y director Giuseppe

Peano a los miembros de la Academia de Ciencias de Turín, los cuales al ver el modo

de proceder y la simbología utilizada por la autora de la tesis y conociendo quien la

dirigió, atacaron sin consideración alguna a Peano mostrando su inconformidad frente

los siguientes aspectos:

1. La lógica simbólica tan complicada de entender usada por Gramegna para

exponer afirmaciones y el contenido mismo de las demostraciones mostradas

en su trabajo. Los miembros del consejo sabían que esta idea había llegado de

Peano quien la había desarrollado y ahora la estaba impartiendo en su curso de

análisis avanzado.

2. Peano, quien había trabajado por bastante tiempo con la lógica simbólica,

escribió un texto totalmente con esta simbología acerca del desarrollo de todos

los temas que para él era importante desarrollar en un curso de análisis

avanzado, tales como la geometría, la aritmética, el álgebra, etc. Peano había

34

adoptado este libro llamado “Formulario Matemático” como texto principal

para impartir sus cursos, cosa con la cual no estaban de acuerdo los miembros

del consejo: el uso de este libro no permitía a los estudiantes brillantes

“progresar en investigación avanzada en análisis avanzado”, además, “ellos

aprenderían únicamente el acercamiento crítico […] pero no el constructivo,

esencial para esta disciplina”.

Debido a estas críticas Peano fue obligado a impartir el curso de análisis avanzado

con los libros clásicos y dejando el Formulario como texto auxiliar. Peano no acepta

esta condición y propone desarrollar un curso libre, petición que tampoco es aceptada

por el consejo.

Luego de esto Peano presenta su renuncia la cual es aceptada y deja los cursos que

por tanto tiempo impartió (calculo infinitesimal) y el recientemente nombrado

profesor de análisis avanzado.

Sin embargo a pesar que estos eran los temas principales sobre los cuales la autora

quería abordar, también, se puede encontrar otra referencia que es digna de abordar

en este documento.

Erika Luciano muestra tres modos distintos del proceder de los matemáticos de

finales de los años 1800 y principios de los años 1900 que finalmente convergen

hacia el análisis funcional.

Una rama de estos desarrollos fue trabajada por D. Hilbert e I. Fredholm quienes

investigaron las ecuaciones integrales en 1900. Posteriormente, estas investigaciones

fueron continuadas por Schimdt, Riesz, Hellinger y Toeplitz quienes encontraron y

demostraron muchos teoremas fundamentales sobre la teoría de los operadores

abstractos, aunque fueron expresados en términos matriciales.

35

Es en estas investigaciones donde aparece formalmente el concepto de espacio

funcional, concepto que ya había trabajado Hilbert en sus estudios previos de

Ecuaciones Integrales sin mencionarlo explícitamente.

Otra rama de estos avances fue desarrollada en Italia donde por un lado Ascoli,

Arzelá y Volterra trabajaron con conjuntos de funciones, en especial, con funciones

continuas cuyo dominio es un conjunto de funciones continuas, y quienes

desarrollaron la teoría de funcionales, [7].

Por otro lado, Peano y Pincherlé fueron líderes en el estudio de funcionales y las

operaciones distributivas aprovechando los estudios de Grassman y Laguerre en esta

materia.

Fueron precisamente estos trabajos los que inspiraron a Hadamard y a Fréchet quien

le añadió una estructura geométrica adicional al concepto de espacio introduciendo la

noción de espacio métrico abstracto lo cual proveyó una nueva forma de abordar los

espacios funcionales.

Sin embargo, los trabajos de Peano y Pincherlé no fueron ampliamente difundidos

entre los matemáticos de ese tiempo, por lo tanto estos resultados no fueron

conocidos ni aprovechados de modo que muchos matemáticos siguieron pensando en

términos matriciales y quedaron por unos 20 años en el olvido hasta que E.H. Moore

los redescubrió en 1910 y Maria Gramegna los utilizara para su trabajo de grado

BIBLIOGRAFIA

[1] Apostol, Tom. 1988. Calculus Volumen 1. Cálculo con funciones de una

variable con una introducción al álgebra lineal. Editorial Reverté. Segunda

Edición. 813 pp.

36

[2] Apostol Tom. 1988. Calculus Volumen 2. Cálculo con funciones de varias

variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a

las probabilidades. Editorial Reverté. Segunda Edición. 813 pp.

[3] Bombal, Fernando. 1994. Los orígenes del análisis funcional. Real Academia

de Ciencias de Madrid. pp. 35-56.

[4] Bombal Fernando. 2000. Los espacios abstractos y el análisis funcional.

Editorial Nivola, 2000.

[5] Chinea, Carlos.

http://personales.ya.com/casanchi/ref/peano001.htm. Consultado 14 de mayo

de 2008

[6] Luciano, Erika. 2006. At the origins of functional analysis: G. Peano and M.

Gramegna on ordinary differential equations. Revue d’historie des

mathématiques. pp. 35-79.

[7] Petersen Bent. 2004. Functional Analysis History.

http://oregonstate.edu/~peterseb/mth614/docs/20-func-analysis-history.pdf

Consultado 24 de marzo de 2008.

[8] Saxe, Karen. 2001. Beginning Functional Analysis. Editorial Springer,

Primera Edición. 210 pp.

[9] Strang, Gilbert. 1988. Linear Algebra and its Aplications. Thomson Learning,

Tercera Edición. 516 pp.

[10] Taylor, Angus. 1986. Introduction to Functional Analysis. Krieger Pub

Co, Segunda Edición. 423 pp.