INCERTITUDINEA DE MASURARE

Concepte fundamentaleale teoriei masurarii

DEFINIII-SR 13251

Marime atribut al unui fenomen, al unui corp, sau al unei substante, care este susceptibil de a fi diferentiat calitativ si determinat cantitativ Unitate de masura marime particulara, definita si adoptata prin conventie, cu care sunt comparate alte marimi de aceeasi natura pentru exprimarea valorilor lor in raport cu acea marime

Valoarea unei marimi-expresie cantitativa a unei marimi particulare avand in general forma produsului dintre o unitate de masura si un numarValoare conventional adevarata a unei marimi-valoare atribuita unei marimi particulare si recunoscuta uneori prin conventie ca avand o incertitudine adecvata pentru un scop dat.

Msurare - ansamblu de operaii care au ca obiect determinarea unei valori a unei mrimi fizice.Msurand - mrime particular supus msurrii.Principiu de msurare - baz tiintific a unei msurri.Metod de msurare - succesiune logic de operaii, descrise n mod generic, folosit n efectuarea msurarilor.Marime de influenta Marime,alta decat masurandul, care influenteaza rezultatul masurarii.

Incertitudine de msurare concept filozofic: "dubiu" cu privire la rezultatul unei msurri

Incertitudine de msurare Concept operational de ordin statistic: Expresie cantitativ ce definete un parametru asociat rezultatului unei msurri, care caracterizeaz dispersia valorilor ce n mod rezonabil pot fi atribuite msurandului.

Incertitudine standard Incertitudine a rezultatului unei masurari exprimata printr-o Abatere standard.

Incertitudine de tipAIncertitudine obtinuta printr-o evaluare de tip AEvaluarea de tip A a incertitudinii metoda de evaluare a incertitudinii prin analiza statistica a sirului de observatii. Incertitudine de tip BIncertitudine obtinuta printr-o evaluare de tip BEvaluarea de tip B a incertitudinii metoda de evaluare a incertitudinii prin alte metode decat cele statistice.

ReproductibilitateGrad de concordanta intre rezultatele masurarilor aceluiasi masurand efectuate atunci cand masurarile sunt efectuate in conditii de masurare schimbate

Conditii de reproductibilitate-conditii de masurare modificate; Aceste conditii modificate pot fi:Principiul de masurare ,Metoda de masurare ,Observatorul,Echipamentul de masurae.Etalonulde referinta;Locul;Conditii de utilizare;Timpul. Reproductibilitatea poate fi exprimata cantitativ cu ajutorul imprastierii rezultatelor masurate.

RepetabilitateGrad de concordanta intre rezultatele masurarilor succesive ale aceluiasi masurand efectuate in totalitate in aceleasi conditii de masurare.

Conditii de repetabilitate:

Aceiasi procedura de masurareAcelasi observatorAcelasi echipament de masurare utilizat in aceleasi conditiiAcelasi etalon de referinta Acelasi loc de masurareMasurarile se repeta intr-o perioada scurta de timp.Repetabilitatea poate fi exprimata cantitativ cu ajutorul imprastierii rezultatelor masurate

EROARE-Diferenta intre rezultatul unei masurari si o valoare adevarata a masurandului.

EROARE ALEATOARE-Diferenta intre rezultatul unei masurari si media aritmetica a rezultatelor unui numar infinit de masurari ale aceluiasi masurand efectuate in conditii de repetabilitate.

EROARE SISTEMATICA-Diferenta intre media aritmetica a rezultatelor unui numar infinit de masurari ale aceluiasi masurand, efectuate in conditii de repetabilitate si valoarea adevarata a masurandului.

Poate fi determinata valoarea adevarata a unei marimi fizice?

Valoarea adevrat a unei mrimi fizice, este o mrime idealizat, care nu poate fi determinat.Astfel, rezultatul unei msurri este totdeauna afectat de o anumit incertitudine de msurare.Practic, valoarea adevrat a msurandului ct i eroarea rezultatului unei msurri nu pot fi cunoscute.

De aceea orice msurare este afectat de o anumita incertitudine care reprezint un interval de valori n care se estimeaz cu o anumit probabilitate, c se afl valoarea adevrat a msurandului.

Este suficienta o singura observatie a unei marimi fizice pentru a-i atribui o valoare? Este evident, c unei mrimi fizice, nu i se poate atribui o valoare unic, numai dupa o singura observaie. De aceea pentru a estima valoarea adevrat a unei mrimi fizice este necesar, s se fac un ir de msuratori repetate n condiii practic identice. Definirea msurandului trebuie s se fac ct mai complet.

In conditii ideale rezultatele masurarilor sunt sunt afectate de erori? Se constat c dei condiiile de msurare sunt identice, ntre valorile msurate exist diferene, probabil, datorit mrimilor de influen care nu pot fi meninute perfect constante. Prin urmare orice msurare este afectat de o eroare.

Care este natura acestor erori? Orice eroare are o componenta sistematica si o componenta aleatorie. Componenta sistematica rezulta din efectul sistematic al marimilor de influenta asupra masurandului, componenta aleatorie provine din efectul aleatoriu a marimilor de influenta asupra masurandului.

Ce legatura exista intre efectele sistematice si aleatorii ale marimilor de influenta asupra masurandului si incertitudinea de masurare asociata rezultatului unei masurari?Incertitudinea de masurare are doua componente : o component de tip A i o component de tip B.Aceste componente difer prin modul de evaluare.

Tradiional, se consider c incertitudinea de tip A provine din efectele aleatorii asupra mrimilor de influen implicate n procesul de msurare, iar incertitudinea de tip B provine din efectele sistematice asupra mrimilor de influen.

Ce inseamna raportarea completa a rezultatului unei masurari? Orice raportare detaliat a incertitudinii, trebuie s conin toate componentele i s indice pentru fiecare din acestea, metoda utilizat prin care i s-a atribuit valoarea numeric. Incertitudinea de tip A este evaluata pe baza distribuiei statistice a rezultatelor irurilor de msurtori. Incertitudinea de tip B este evaluat pornind de la distribuii de probabilitate admise pe baza de experien.

Ce notiuni apar in definirea celor doua componente ale incertitudinii de masurare? Componentele incertitudinii obinute printr-o evaluare de tip A sunt caracterizate prin varianele estimate " , abateri standard " i numerele de grade de libertate Dup caz trebuie precizate i covarianele estimate, n cazul unor mrimi corelate.

Covariantele sunt componente ale incertitudinii care exprima interdependenta intre marimile care influenteaza rezultatul masurarii.

Componentele obinute printr-o evaluare de tip B, sunt caracterizate prin varianele estimate ",care pot fi considerate aproximaii ale unor variane a caror existen este presupus i termenii " care pot fi considerai abateri standard. De asemenea trebuie luate n calcul i covarianele a caror existen este presupus. ".

Care sunt datele initiale necesare pentru a defini complet procesul de masurare?

O msurare trebuie s nceap prin definirea corespunzatoare a msurandului, a metodei de msurare i a procedurii de msurare.

Cum este transpus in limbaj matematic procesul de masurare? Orice proces de masurare poate fi reprezentat print-un modelul matematic de forma unei relaii funcionale. Modelul matematic al msurrii transform ansamblul observaiilor repetate ntr-un rezultat al msurrii. Procesul de msurare poate fi transpus ntr-o relaie de forma: Y f(X1,X2,Xn ) unde avem: Y msurand

X1,X2,Xn - mrimi de intrare de care depinde msurandul; aceste mrimi se determin prin analiza statistica sau alte metode.

Care sunt marimile de intrare care influenteaza procesul de masurare?

Mrimile de intrare pot fi mrimi ale cror incertitudini se determin direct n cursul unei msurri sau pot fi mrimi ale cror valori i incertitudini sunt introduse n msurare de surse externe: mrimi i incertitudini asociate etaloanelor, materialelor de referin certificate, valori de referin preluate din literature de specialitate.

Pot fi privite aceste marimi ca niste masuranzi care depind la randul lor de alte marimi?

X1,X2,Xn pot fi privite si ele nsele ca niste msuranzi ce pot s depind, la randul lor de alte mrimi.Aceste marimi pot fi marimi care au fost determinate prin procese de masurare cu ajutorul altor marimi si pot contine corecii i factori de corecie pentru erori sistematice.

Ce este estimatia unei marimi? Deoarece mrimile de intrare X1,X2,Xn, ct i msurandul Y, nu pot fi niciodat cunoscute, ci doar estimate, evaluarea incertitudinii de msurare se determin lucrnd numai cu estimaiile lor. Astfel funcia f devine:

y f(x1,x2,xn), unde: y - estimatia mrimii de iesire x1,x2,xn - estimaiile mrimilor de intrare

Ce componente sunt continute in functia f, care exprima matematic procesul de masurare? Funcia f(x1,x2,xn), trebuie sa conina: -toate mrimile -toate coreciile -toi factorii de corecie. n sens general funcia f, trebuie s conin toate mrimile, inclusiv toate coreciile i toi factorii de corecie care pot contribui cu o component semnificativ la incertitudinea rezultatului msurrii.

Care este cea mai buna estimatie a unei marimi? Cea mai bun estimaie a mrimii Xi, este media aritmetica experimental a "n" observaii independente, realizate asupra variabilei aleatoare Xi.

Cea mai buna estimatie a marimii de Y este:

- estimatia lui Xi - estimatia lui Y

Fiecrei mrimi de intrare Xi, i se asociaza o estimaie xi= i o incertitudine de msurare u(xi) ct i o varian u(xi). Fiecarei mrimi de ieire Y, i se asociaz o estimaie y = i o incertitudine standard compusa i o varian de forma . Pentru mrimile corelate att mrimilor de intrare ct i mrimilor de ieire li se asociaz covarianele corespunztoare.

Evaluarea de tip A a incertitudinii standard Pentru simplificarea modului de evaluare de tip A, a incertitudinii se pornete de la premiza c efectele sistematice asupra mrimilor de intrare sunt nule.

Care sunt parametrii statistici care caracterizeaza o evaluare de tip A a incertitudinii de masurare? Folosind noiuni specifice teoriei probabilitilor se definesc urmtorii parametrii:-q de la cantitate este o mrime de intrare- -media a "n" observatii fcute asupra mrimii q ,in aceleasi condiii de msurare

Astfel estimaia cea mai bun a mrimii q este:

se numete medie experimental

Valorile individuale ale mrimii q, vor fi grupate cu o anumita probabilitate de apariie n jurul mediei .

Parametru prin care se estimeaz abaterile valorilor individuale de la medie, este varianta experimental:

Rdcina ptrat pozitiv a varianei experimentale s(qk), se numete abatere standard experimental.

Abaterea standard experimental indic o msur a mprtierii rezultatelor msurrii, n jurul valorii mediei aritmetice experimentale.

Care este legea de repartitie a valorilor marimii masurate in jurul mediei?

Datele experimentale, au evideniat faptul c pentru un numr mai mare de observaii asupra unei mrimi care variaz aleatoriu, n majoritatea proceselor de msurare, repartiia valorilor adevarate n jurul mediei se realizeaz dup legea de repartiie normal, care grafic se reprezint prin curba lui Gauss.

Care sunt parametrii curbei lui Gauss? - media aritmetica teoretica - abaterea standard - pentru un numr infinit de observaii x - variabila aleatoare

Densitatea maxima a rezultatelor este n jurul valorii medii. Deoarece un numr infinit de msurri este practic imposibil de realizat, parametrii i sunt imposibil de cunoscut. De aceea se folosesc estimaiile acestora. - estimaia lui s - estimaia lui

Cum se reprezinta grafic curba lui Gauss?x

Ce notatii se mai folosesc in literatura de specialitate pentru media aritmetica si abaterea standard ?Deseori pentru calculul incertitudinii de msurare, n locul variabilei x utilizata in teoria probabilitatilor se folosete q.

Astfel, n conformitate cu relaiile mentionate, media aritmetic a unui numr finit de observaii a mrimii variabile q i abaterea standard experimental s, se exprim astfel :

Ce denumiri exista in alte standarde pentru abaterea standard?Dar pentru abaterea fiecarui rezultat individual de la valoarea medie?Conform GHID EA/4 abaterea standard se mai numeste deviatie standard, iar diferenta dintre valoarea conventional adevarata si media valorilor observate se numeste bias.

Prin reprezentarea grafic a legii de repartiie normal a rezultatelor unui proces de msurare, se pot estima limitele intervalului n care se situeaza eroarea de msurare. Estimarea acestor limite se face cu o anumit preobabilitate.Astfel pentru o repartiie normal a rezultatelor n jurul mediei experimentale s-a constatat c probabilitatea ncadrrii unei valori individuale ntre limitele: 3 este de 0,99 iar ntre limitele 2 este de 0,95

Valorile t, se numesc limite de ncredere, iar intervalul t, se numete interval de ncredere. Deci probabilitatea ca un rezultat individual s se afle n intervalul de ncredere t este data de valoarea funciei P(t). Dependena dintre nivelul de ncredere i limitele de ncredere sunt date tabelar. n practic nivelul de ncredere se alege funcie de exactitatea de msurare iar "t" se identific cu " k": -pentru msurri obinuite se alege P 0,95(k2) -pentru msurri de nalt precizie se alege P 0,99 sau P = 0,97 (k3)

Micorarea incertitudinii de msurare se obine prin medierea rezultatelor obinute prin msurarea unei mrimi fizice "q", care de asemenea se supune aceleiai legi de repartiie normal, dar cu o dispersie mai mic, n jurul valorii medii, dect repartiia valorilor individuale. Astfel, dac:este

atunci estimaia cea mai bun a -q este mrimea care variaz aleatoriu

Deci abaterea standard experimental a mediei s() este de ori, mai mic dect abaterea standard experimental a unui rezultat individual.Ca i rezultatele individuale i media poate fi ncadrat ntre anumite limite, cu o anumit probabilitate. Limitele de ncredere ale mediei vor fi i ele micorate de ori. Astfel dac pentru o anumit valoare individual intervalul de ncredere este de t, pentru media a "n" valori individuale, intervalul de ncredere al mediei va fi de ; "" este estimat prin "s", iar limitelestabilesc pe baza repartiiei Student.de ncredere seTabelar sunt date valorile coeficientului t, n funcie de nivelul de ncredere P i numarul de msurtori n, n cadrul repartiiei Student.

Comentarii despre repartitia Student;

Comentarii despre diferenta intre repartitia Student si repartitia Gauss.

Cand este indicat sa folosim abaterea standard a unei valori individuale si cand folosim abaterea standard a mediei valorilor individuale?

s(qk) caracterizeaz procesul de msurare;s() caracterizeaz rezultatul final prelucrat al msurrii. ) i ts/-a caracteriza rezultatul final al unui proces de masurare;-un numr relativ mic de msuratori. s( sunt folosite pentru:

Concluzie privind evaluarea de tip A, a incertitudinii de masurare Dac un proces de msurare este transpus matematic ntr-o funcie de forma y=f unde mrimilor de intrare, iar y este estimaia mrimii de ieire (msurandul), atunci se fac nobservaii supra fiecrei mrimi de intrare , observaii notate cu .sunt estimaiile Fiecrei estimaii de intrare , i se asociaz o incertitudine standardde tip A notat i o varian de tip A, notat unde = s, iar = . Cele n observatii pot fi facute in conditii de repetabilitate sau in conditii de reproductibilitate.

Evaluare de tip B, a incertitudinii standard.Modelul matematic al evaluarii de tip BSe pornete de la acelai model matematic al procesului de msurare y = f - estimaiile mrimilor de intrarey - esimaia mrimii de ieireu - incertitudinea standard de tip B asociat fiecarei mrimide intrarede evaluare de tip Beste o incertitidine obinut printr-o metod- varian de tip B.

Date initiale necesare unei evaluari de tipBEvaluarea incertitudinii de tip B se bazeaz pe informaii acumulate anterior. Aceste informaii pot fi:rezultatele unor msurri anterioare;experiena sau cunoaterea general referitoare la comportarea i caracteristicile echipamentelor de masurare utilizate in procesul de masurare sau a materialelor de referinta utilizate; materialele utilizate;specificaiile fabricanilor de mijloace de msurare;datele specificate n certificatele de etalonare sau alte certificate;incertitudinea atribuit valorilor de referin preluat din lucrri manuale.Daca mrimea este este preluat dintr-o documentaie a fabricantului sau dintr-un certificat de etalonare, iar incertitudinea este exprimat ca un multiplu al unei abateri standard, atunci u = , unde K estefactor de acoperire. - variana de tip B se obine din ptratul fraciei de mai sus.

Distributii de probabilitate Valoarea incertitudinii de masurare obtinuta printr-o evaluare de tip B, este functie de tipul de distributie a valorilor marimii care influenteaza procesul de masurare. Comentarii

Distributii normaleDac exist o probabilitate de 50% (o sansa din doua)ca intervalului, de forma s se afle la mijlocul, atunci , cea mai bun estimaie a lui punctul din mijlocul intervalului. In acest caz esteu =1,48a. Dac exist o probabilitate de 67% ( dou anse din trei )ca valoarea s se afle n interiorul intervalului atunci u =a.

Chart1

20.430.645.9

27.438.646.9

676767

20.431.643.9

East

West

North

Cazuri particulare ale distributiei normaleDistributie dreptunghiularaLimite simetrice fata de mijlocul intervalului Dac limitele intervalului de masurare sunt simetrice fata de mijlocul intervalului,iar probabilitatea ca este 1, iar n afara intervalului este 0, nseamn ca media teoretic a valorilor s se afle n interiorul intervalului, este mijlocul intervalului. Astfel: In cazul acesta, probabilitatea distribuiei valorilor este uniform pe tot intervalul si u =

Limite asimetrice fata de mijlocul intervaluluiDac limitele intervalului nu sunt simetrice se determina mijlocul intervalului si noile limite care sunt simetrice fata de acest punct de mijloc.se determina u ca la ditributia dreptunghiulara in care limitele intervalului sunt simetrice. u =

Distributie triunghiularaComentariiMedia aritmetic teoretic a lui este: i variana pentru o distribuie triunghiular este: iar incertitudinea de masurare este u =

Evaluarea incertitudinii standard compuseEvaluarea incertitudinii standard compuse cand componentele sale sunt necorelateComentariiEvaluarea acestui tip de incertitudine,se realizeaz pornind de la modelul matematic al procesului de msurare:y = f , unde y - estimaia msurandului- estimaiile mrimilor de intrare

Incertitudinea asociat msurandului y, se numete incertitudine standard compus i se noteaz si este rezultatul compunerii incertitudinilor standardsi u (xj) asociate fiecrei estimaii de intrare respectivxj.Variana corespunztoare este Deci fiecare incertitudine standard . are o component de tip A i ocomponent de tip B. Componentele de tip A se obtin printr-o evaluare de tip A si componentele de tip B se obtin pe baza unei evaluari de tip B.Astfel variana compus are urmtoarea expresie:

Din expresia varianei se deduce astfel incertitudinea standard compus:

Coeficienti de sensibilitate si incertitudinea compusa Derivatele pariale de masurare. Dac notm: , reprezinta efectul marimilor de influentaasupra procesuluiatunci rezult urmtoara expresie :

Evaluarea incertitudinii standard compuse cand componentele sunt corelate Modelul matematic Se consider modelul matematic al procesului de msurare: y= y-estimaia mrimii de ieire(msurandul) -estimaiile mrimilor de intrare Dac dou mrimi oarecare sunt corelate,atunci in expresia lui se va mai aduga un termen de covarianta corespunztor celor dou mrimi corelate de forma: 2 , unde si devine:

Dac toate mrimile de intrare sunt corelate atunci expresiavarianei compuse , devine:

Incertitudinea standard compusa cand componentele sunt corelate si coeficientii de sensibilitate

Incertitudinea standard relativa Comentarii u (x x ) reprezint incertitudinea de msurare standard relativ a lui i se definete prin relaia u unde (x )=u(x )/ este valoareaabsolut a lui x . x 0 u (y) - incertitudinea standard compus relativ a lui y i se defineteprin relaia u(y) = u (y)/ unde este valoarea absoluta lui y ;y0.

Determinarea incertitudinii extinseIncertitudinea extins definete intervalul de valori n care cu o anumit probabilitate se gsete msurandul y.Incertitudinea extins se noteaz Usi se determin dup formula:U=kDomeniul n care se presupune c se afl msurandul Y,este de forma: Y = y

Factorul de acoperireComentariiFactorul de acoperire este ales funcie de nivelul de ncredere.De regula in cadrul analizelor de laborator, se foloseste cel mai frecvent distributia Student unde factorul de acoperire se noteaza "t".Valorile coeficientului t, sunt date tabelar n funcie de nivelul de ncredere P i numarul de msurtori n.Valorile aproximative ale lui t sunt:-pentru nivelul de ncredere de 95%, t2-pentru nivelul de ncredere de 97%, k3-pentru nivelul de ncredere de 99%, k3.

APLICATII PRACTICE

COMENTARII