"INCIDENCIA DEL USO DE ALGEBLOCKS EN EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN DEPOLINOMIOS EN TERCERO BÁSICO."

CAMPUS "P. CÉSAR AUGUSTO JEREZ GARCÍA, S. J." DE QUICHÉSANTA CRUZ DEL QUICHÉ, FEBRERO DE 2018

CARLOS MANUEL DE JESÚS GUTIÉRREZ REYES CARNET 23862-15

TESIS DE GRADO

LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE MATEMATICA Y FISICAFACULTAD DE HUMANIDADES

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR

HUMANIDADESTRABAJO PRESENTADO AL CONSEJO DE LA FACULTAD DE

"INCIDENCIA DEL USO DE ALGEBLOCKS EN EL APRENDIZAJE DE LA FACTORIZACIÓN DEPOLINOMIOS EN TERCERO BÁSICO."

EL TÍTULO Y GRADO ACADÉMICO DE LICENCIADO EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

PREVIO A CONFERÍRSELE

SANTA CRUZ DEL QUICHÉ, FEBRERO DE 2018CAMPUS "P. CÉSAR AUGUSTO JEREZ GARCÍA, S. J." DE QUICHÉ

CARLOS MANUEL DE JESÚS GUTIÉRREZ REYES POR

TESIS DE GRADO

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVARFACULTAD DE HUMANIDADES

LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE MATEMATICA Y FISICA

ING. JOSÉ JUVENTINO GÁLVEZ RUANO

DRA. MARTA LUCRECIA MÉNDEZ GONZÁLEZ DE PENEDO

P. JULIO ENRIQUE MOREIRA CHAVARRÍA, S. J.

LIC. ARIEL RIVERA IRÍAS

LIC. FABIOLA DE LA LUZ PADILLA BELTRANENA DE LORENZANA

SECRETARIA GENERAL:

VICERRECTOR ADMINISTRATIVO:

VICERRECTOR DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA:

VICERRECTOR DE INVESTIGACIÓN Y PROYECCIÓN:

P. MARCO TULIO MARTINEZ SALAZAR, S. J.

VICERRECTORA ACADÉMICA:

RECTOR:

AUTORIDADES DE LA UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR

AUTORIDADES DE LA FACULTAD DE HUMANIDADES

DECANO: MGTR. HÉCTOR ANTONIO ESTRELLA LÓPEZ, S. J.

VICEDECANO: DR. JUAN PABLO ESCOBAR GALO

SECRETARIA: MGTR. ROMELIA IRENE RUIZ GODOY

REVISOR QUE PRACTICÓ LA EVALUACIÓN

NOMBRE DEL ASESOR DE TRABAJO DE GRADUACIÓNMGTR. ANGEL EDUARDO MAZARIEGOS BARILLAS

ING. ERICK ORLANDO URRUTIA RODRÍGUEZ

Agradecimientos

Centros universitarios: Universidad Mariano Gálvez de Guatemala y Universidad Rafael

Landívar, por abrirme las puertas y ser parte de la comunidad estudiantil de estas grandes

entidades para formarme profesionalmente.

A mis catedráticos: por brindarme los conocimientos de utilidad para mi vida profesional.

A Colegio Evangélico Metodista Utatlán: por darme el espacio para realizar el trabajo de

campo de la presente investigación.

A mis amigos: por el acompañamiento durante de mi vida estudiantil, el apoyo mutuo y

experiencias compartidas.

A mi familia: por el apoyo incondicional que me han brindado a lo largo de mi vida.

Dedicatoria

A Dios: para Él sea la honra y la gloria.

A mis padres: Enma Tomasa Reyes López y Carlos Fernando Gutiérrez y Gutiérrez, quienes

han estado conmigo en todas las condiciones, me han enseñado el valor del estudio y superación

personal y me han guiado de una buena manera.

A mis hermanos: Juan Francisco y Victor David, por ser personas importantes en mi vida.

A Jennifer Cinthya Morales Taylor por compartir conmigo este logro.

ÍNDICE

Contenido Página

I. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 1

1.1 Matemática ..................................................................................................................................... 9

1.1.1 Formas, patrones y relaciones ..................................................................................................... 11

A. Álgebra .......................................................................................................................................... 11

B. Conceptos de álgebra ................................................................................................................... 12

C. Operaciones con polinomios ........................................................................................................ 15

D. Factorización ................................................................................................................................ 21

E. Pensamiento algebraico ............................................................................................................... 21

1.2 Algeblocks ..................................................................................................................................... 23

1.2.1 Naturaleza de los algeblocks ....................................................................................................... 24

1.2.2 Aplicación de los algeblocks ........................................................................................................ 27

II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................... 38

2.1 Objetivo general ........................................................................................................................... 39

2.2 Hipótesis ........................................................................................................................................ 39

2.2.1 Hipótesis de investigación ............................................................................................................ 39

2.2.2 Hipótesis alternas ......................................................................................................................... 39

2.3 Variables de estudio ..................................................................................................................... 40

2.3.1 Variable independiente ................................................................................................................ 40

2.3.2 Variable dependiente ................................................................................................................... 40

2.4 Definición de variables ................................................................................................................. 41

2.4.1 Definición conceptual de variables de estudio ........................................................................... 41

2.4.2 Definición operacional de variables de estudio .......................................................................... 41

2.5 Alcances y límites ......................................................................................................................... 42

2.6 Aportes .......................................................................................................................................... 43

III. MÉTODO ..................................................................................................................................... 44

3.1 Sujetos ........................................................................................................................................... 44

3.2 Instrumento .................................................................................................................................. 44

3.2.1 Prueba objetiva ............................................................................................................................ 45

3.2.2 Validación de prueba objetiva .................................................................................................... 47

3.3 Procedimiento ............................................................................................................................... 49

3.4 Tipo de investigación, diseño y metodología estadística ........................................................... 49

IV. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ..................................................................................... 51

V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS ............................................................................................... 56

VI. CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 61

VII. RECOMENDACIONES .............................................................................................................. 63

IV. REFERENCIAS ........................................................................................................................... 64

ANEXOS .................................................................................................................................................... 67

Resumen

Como parte de la labor docente, es necesario aplicar nueva metodologías para la enseñanza de

la matemática, debido a que es una asignatura amplia y compleja por su naturaleza abstracta.

Debido a que los docentes trabajan con un modelo de enseñanza tradicional, los niveles de logro

de los aprendizajes por parte de los estudiantes no son satisfactorios; es importante tomar en

cuenta que para cada tema la metodología debe variar.

Es por eso que surge la presente investigación cuyo objetivo general fue determinar la

incidencia del uso de algeblocks en el aprendizaje de la factorización de polinomios en tercero

básico. El estudio surge debido a que el uso del material manipulable en el aprendizaje de la

matemática se ha convertido en una estrategia funcional con el paso del tiempo, aun así, a pesar

de que existen diversos materiales y recursos didácticos, los resultados no son satisfactorios.

La investigación de tipo cuantitativa y con diseño cuasi-experimental, se realizó con

estudiantes de tercero básico secciones B y C del Colegio Evangélico Metodista Utatlán de Santa

Cruz del Quiché; a quienes se les aplicó una prueba objetiva denominada pre y post-prueba, para

obtener los datos que sirvieron como parámetros de la investigación al utilizar la metodología

algeblocks con estudiantes del grupo experimental.

De acuerdo a los resultados obtenidos en la investigación se concluye que el uso de

Algeblocks para la enseñanza de la factorización de polinomios en tercero básico incide de forma

positiva, puesto que existe una diferencia significativa al comparar las medias de la pre y post-

prueba a través de la prueba t students. Además, se recomienda que los docentes de matemática

implementen el uso de algeblocks como metodología para facilitar el proceso de enseñanza de la

factorización de polinomios y con ello obtener resultados satisfactorios.

1

I. INTRODUCCIÓN

La matemática se considera como ciencia exacta y con aplicabilidad en diferentes

situaciones de la vida cotidiana y en la actualidad la metodología de la enseñanza de esta

ciencia ha girado en torno a un modelo tradicional, donde los contenidos no son

contextualizados, ni se hacen atractivos para que el estudiante tenga gusto en adquirirlos y

ejecutarlos.

A pesar de que existen diferentes formas de enseñar matemática, en la mayoría de

ocasiones no son aprovechadas, lo que genera resultados negativos en los niveles de logro

que se proponen alcanzar por parte de los estudiantes; debemos tomar en cuenta también

que en el proceso de enseñanza-aprendizaje participan diferentes entes, dentro de los cuales

el más importante es el estudiante, quien es el que debe desarrollar sus capacidades y

generar sus propios conocimientos, con la guía que se genera por parte del docente.

Es por ello que los docentes de matemática deben buscar estrategias que sean de interés

para el estudiante y que le facilite la comprensión de los contenidos y lo incite a la

búsqueda de nuevos conocimientos, no obviando que el número de contenidos en

matemáticas es demasiado extenso, por lo que la tarea docente se hace más compleja, pues

se deben buscar estrategias y metodologías para cada concepto.

En este sentido la metodología didáctica Algeblocks, se utilizó para desarrollar el

contenido de factorización, dotando al estudiante de material concreto que pueda manipular

y desarrollar su capacidad de razonamiento y análisis en la resolución de problemas, para

trabajar el contenido temático desde una perspectiva demostrativa y no tanto el sentido

abstracto. Para ello, se tomaron dos grupos de tercero básico tomados como grupo

experimental y grupo control, donde a los estudiantes del grupo experimental se les facilitó

el material manipulativo y su forma de uso; trabajando durante varias sesiones con el

objetivo de determinar si el uso de algeblocks incide en el aprendizaje de la factorización

de polinomios en tercero básico, y el grupo control trabajó utilizando una metodología

tradicionalista.

2

Existen diferentes investigaciones relacionadas a la metodología aplicada en la

enseñanza, que han sido funcionales y que sirvieron como referencia en la presente

investigación, dichas investigaciones se detallan a continuación.

Ventura (2017) en su investigación titulada: "Los algeblocks y su incidencia en el

desarrollo del pensamiento algebraico en estudiantes de segundo básico del instituto ri

tinamit kuwalsaj rib', fe y alegría no. 11 jornada vespertina del municipio de Zacualpa,

departamento de Quiché”, tuvo como objetivo determinar la incidencia de los materiales de

algeblocks en el desarrollo del pensamiento algebraico. Dicho estudio se realizó con

estudiantes de segundo básico del Instituto Ri Tinamit Kuwalsaj Rib´, Fe y Alegría No. 11

jornada vespertina del municipio de Zacualpa, Quiché; quienes se distribuyeron en dos

grupos: experimental conformado por 34 estudiantes, y el grupo control conformado por 39

estudiantes.

La intervención de la investigación consistió en la elaboración y aplicación de los

algeblocks como metodología para la enseñanza de conceptos fundamentales del álgebra,

que tuvo una duración de 23 períodos de estudio.

Los resultados obtenidos en su investigación a través de la comparación de medias

emparejadas reflejan que el grupo experimental de obtuvo una media de 63.09 respecto al

grupo control que obtuvo una media de 39.74 establece una diferencia de 23.35 puntos a

favor del experimental en la cual estadísticamente es significativa al comparar el método de

enseñanza tradicional en comparación con la utilización de materiales como los algeblocks;

por lo que hay indicadores suficientes para determinar la aceptación de la hipótesis alterna

que literalmente plantea: El uso de los algeblocks incide en el desarrollo del pensamiento

algebraico de los estudiantes de segundo básico que conforman el grupo experimental.

En conclusión, se comprueba que los materiales de algeblocks facilitan de manera

efectiva el proceso de aprendizaje del álgebra con los estudiantes a través de su

comprensión y utilización al demostrar su capacidad de modelar situaciones problemáticas

3

de la vida diaria mediante el conocimiento algebraico. Por lo que se recomienda que los

docentes puedan implementar los materiales de algeblocks en el aula como herramienta de

apoyo para los estudiantes con el objeto de facilitar el proceso de aprendizaje del álgebra

que tantos problemas generan con los estudiantes al momento de abarcar el tema.

Por otro lado, en relación al aprendizaje de la factorización Matul (2016) realizó una

investigación titulada: “Diagrama de flujo y su incidencia en el aprendizaje de la

factorización algebraica”, la cual tuvo como objetivo principal determinar la incidencia del

diagrama de flujo en el aprendizaje de la factorización algebraica. El estudio se realizó con

estudiantes del tercer grado básico secciones D y E inscritos en el Instituto Mixto Nocturno

de Educación Básica por Cooperativa (IMNEB) del municipio de Colomba Costa Cuca,

departamento de Quetzaltenango. Los sujetos de la investigación fueron 25 estudiantes de

tercero básico sección “D” quienes conformaron el grupo control y 25 estudiantes de la

sección “E” que conformaron el grupo experimental.

En conclusión, se comprueba que el diagrama de flujo incide de manera positiva en el

aprendizaje de la factorización algebraica al comparar los resultados del grupo control y

experimental con una diferencia estadística significativa mayor del 5%, por lo que el

investigador hace la recomendación de implementar el uso de nuevas herramientas en el

aprendizaje para fortalecer no solo el conocimiento de los procesos matemáticos sino la

estructuración del pensamiento lógico como el caso del diagrama de flujo, con esto se

demuestra que existe diferencia estadística significativa entre los alumnos que se le enseña

con esta herramienta contra los que reciben la enseñanza de manera tradicional.

En el mismo sentido de metodologías para el aprendizaje de factorización Villegas

(2015), quien realizó su investigación titulada “Técnica phillips 66 y el aprendizaje de los

casos de factorización”, tuvo como objetivo general identificar la incidencia de la técnica

Phillips 66 en el aprendizaje de los casos de factorización en los estudiantes del nivel

básico; La investigación de tipo experimental con una población comprendida por 84

estudiantes de tercero básico del Colegio Nuestra Señora del Rosario, de Santa Cruz del

4

Quiché, departamento de Quiché, 42 estudiantes de la sección “A” como grupo control, con

una enseñanza tradicional, y 42 estudiantes de la sección “B” como grupo experimental.

El investigador concluye que al usar la Técnica Phillips 66 los estudiantes tienden a

participar más en los salones de clase, al opinar o preguntar sobre los casos de

factorización, pues tienen la oportunidad de captar el tema de varias maneras, esto basado

en la estadística debido a que el estimador Z = 8.04 es mayor que el valor critico de Z (dos

colas) = 1.96, y al estar ubicado en la región de aceptación de la hipótesis alterna; se

rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna H1, la cual indique que “La técnica

Phillips 66 incide en el aprendizaje de los casos de factorización”. Con lo que recomienda

fomentar la técnica Phillips 66 en el aprendizaje de los casos de factorización para obtener

buenos resultados en los estudiantes de tercero básico.

Desde la misma manera Gómez (2015) realizó la investigación titulada: “Texto paralelo

y aprendizaje significativo de la factorización”, donde su objetivo se basa en establecer la

incidencia del texto paralelo en el aprendizaje significativo de la factorización. Dicha

investigación se realizó con 39 estudiantes de segundo básico sección “A” del Instituto

Nacional de Educación Básica Chuisuc, Cantel Quetzaltenango. Los estudiantes durante el

proceso, elaboraron 3 textos paralelos, los cuales contaban con guías de trabajo sobre los

casos de factorización, trabajando un total de 30 períodos de 30 minutos cada uno.

Los resultados obtenidos a través del estudio de campo indicaron que la mayoría de los

estudiantes del grupo experimental, al utilizar el texto paralelo obtuvieron una mejora del

rendimiento académico respecto a las notas de las unidades anteriores del curso. Con lo que

se concluye que la utilización adecuada del texto paralelo facilita la resolución de

problemas de factorización, y permite al estudiante obtener resultados exitosos con un

aprendizaje significativo. Con lo que se hace la recomendación a que los alumnos utilicen

el texto paralelo para tener un aprendizaje significativo y un rendimiento académico

satisfactorio y que los docentes imparten el curso de Matemática desarrollen una labor con

vocación, para contribuir a que los estudiantes tengan actitudes positivas ante los

contenidos.

5

Por otra parte Cocinero (2015) tuvo a bien realizar una investigación titulada: “Método

heurístico y su incidencia en el aprendizaje del álgebra”, donde su objetivo principal fue

determinar la incidencia del método heurístico en el aprendizaje del álgebra con los

estudiantes de 5to. Bachillerato sección “B” en Educación del Instituto Normal Para

Varones de Occidente (INVO). Los sujetos de la investigación, lo constituyeron una

sección de estudiantes de 5to.bachillerato en educación sección “B”, conformado por 21

educandos quienes representaron al 100% de la población.

Durante la intervención con el grupo de trabajo se desarrollaron actividades dentro del

marco del método heurístico, para el aprendizaje de los conceptos generales de álgebra, en

varias sesiones de trabajo. El material específico utilizado fue fichas algebraicas, también

llamadas algeblocks.

En conclusión, la aplicación del método heurístico, permite establecer una relación

significativa en el aprendizaje del algebra, la forma de presentar los temas de manera

desafiante hace que el discente se inquiete, también propicia un ambiente agradable en

salón de clases, lo que permite que su práctica sea efectiva. Esto se obtuvo en base a que la

prueba t para medias de dos muestras emparejadas de la investigación, entre el pretest y el

postest; se observa que el estadístico t = - 24.89 al ser menor que el valor crítico de t (dos

colas) = - 2.09, y al estar dentro de la región de aceptación de la hipótesis alterna, se

rechaza la hipótesis nula y acepta la hipótesis alterna que indica que el método heurístico

incide en el aprendizaje del álgebra. Con lo que se recomienda a docentes de matemática

utilicen el método heurístico en la enseñanza del álgebra y su posible aplicación a otras

áreas, ya que en el trabajo de campo se comprobó que se puede obtener un mejor

rendimiento académico.

Por su parte Robles (2014) en su investigación titulada: “Comparación de medios

audiovisuales con el método tradicional en la enseñanza de los casos de factorización en

estudiantes de 4to. Bachillerato en ciencias y letras del Instituto Privado Rafael Arévalo

Martínez, Coatepeque, Quetzaltenango”, tuvo como objetivo general evaluar el efecto de

6

los medios audiovisuales en el aprendizaje de los casos de Factorización. Dicho estudio de

investigación se realizó en la población de alumnos del cuarto bachillerato en ciencias y

letras, de las secciones A y B del Instituto Privado Mixto “Rafael Arévalo Martínez,

Coatepeque, Quetzaltenango, se seleccionaron los 30 estudiantes inscritos en dos secciones

de tal forma que cada sección está conformada de 15 estudiantes con lo que se conforman

el grupo control y el grupo experimental con igual número de estudiantes.

En conclusión, comprobó que no existe diferencia estadística significativa mediante la

prueba t-student, al comparar la enseñanza de casos de factorización con el método

audiovisual y la clásica clase magistral, con lo que, al no tener diferencia estadística

significativa, se rechaza la hipótesis alternativa y se acepta la hipótesis nula la que establece

que: No existe diferencia significativa en el aprendizaje de los casos de factorización al

emplear medios audiovisuales con respecto a la exposición magistral. Con ello recomienda

determinar mediante el uso de otras metodologías de enseñanza de qué manera se puede

mejorar el proceso de aprendizaje del alumno.

Al tomar en cuenta las metodologías con material concreto, Rubio (2013) en su

investigación titulada: “Proceso de estudio de la factorización de polinomios mediante el

uso de algebloks desde la TAD”, tuvo como objetivo general determinar potencialidades y

limitaciones didácticas que genera la manipulación de Algeblocks en el Diseño de Tareas

que involucran factorización de polinomios en estudiantes de grado octavo. Para ello se

tomó como metodología un estudio instrumental de casos de tipo cualitativo, donde utilizó

la descripción para comprender el estudio de caso, con estudiantes del grado octavo-uno del

colegio: Fundación Alberto Uribe Urdaneta Colegio Parroquial Santiago Apóstol de la

Arquidiócesis de Cali en la ciudad de Cali.

En conclusión, se obtuvo que, en cuanto a la valencia semiótica, puede afirmar que las

tareas con Algeblocks, lograron evocar con eficacia los conceptos de Volumen, Área y

Distancia en relación con representaciones algebraicas. Además, fue posible lograr

justificaciones y explicaciones de las técnicas utilizadas por los estudiantes para solucionar

las tareas. En cuanto a la valencia instrumental, los Algeblocks, como objetos ostensivos, se

7

adecuaron como instrumentos en la actividad matemática, es decir, en el desarrollo de las

tareas. Las manipulaciones de los Algeblocks para construir rectángulos o cajas permitieron

ubicar su valencia instrumental. Con esto recomienda ampliar el diseño de tareas con el

objetivo de disminuir las limitaciones en cuanto a la factorización de polinomios de grado

mayor a tres.

Así mismo Tangarife (2013) en su investigación denominada: “Transición del

pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través de la estrategia didáctica-

algeblocks”, tuvo como objetivo principal implementar el trabajo con el material algeblocks

como estrategia didáctica que permitan la transición lógica del pensamiento numérico al

pensamiento algebraico en los estudiantes de grado octavo de la institución educativa

Estambul de la ciudad de Manizales. Los sujetos de este estudio de diseño experimental

fueron estudiantes del Instituto educativo Estambul de la ciudad de Manizales, Chile en el

grado octavo 2013, grupo mixto conformado por 42 estudiantes,

Para el desarrollo de esta propuesta se dividió el trabajo metodológico en tres fases, que

a su vez, se subdividieron en pasos, donde se analizaron aspectos cualitativos (test de

actitud tipo escala Likert) y cuantitativos (prueba diagnóstica, tipo saber), como parte del

proceso inicial, para determinar luego la validez de la herramienta didáctica, centro de la

propuesta, que es el uso de algeblocks, para mejorar la transición del pensamiento

algebraico al pensamiento numérico desde los enfoques constructivista y empírico.

Entre los resultados se aprecia que en el análisis general del grupo en la prueba inicial

con respecto a la prueba final el 73,80% equivalente a 31 estudiantes que mostraron

mejoría diferenciando todo tipo de ejercicios con variables, progresando en el uso del

lenguaje y del simbolismo en el inicio del estudio del algebra a través de guías prácticas

que apoyaron el trabajo con algeblocks.

En conclusión, determinó que al implementar estrategias como el uso de fichas

algeblocks en la introducción a la enseñanza del álgebra, facilitó la transición lógica del

pensamiento numérico al pensamiento algebraico en los estudiantes. Una de las

8

recomendaciones es que se debe trabajar el desarrollo del pensamiento algebraico desde lo

concreto ya que permite avanzar con más naturalidad hacia el universo abstracto de la

matemática a través la elaboración de guías de trabajo práctico apoyadas en material

concreto, ya que crean cierta independencia en el estudiante y le permite el trabajo

colaborativo.

Con un gran número de métodos y estrategias Daza (2012) en su investigación titulada:

“Interpretación de la factorización a través del uso del GeoGebra”, opta por una

metodología un tanto innovadora pues su investigación tuvo como objetivo la

interpretación de la factorización desde la perspectiva de la geometría, a través del uso del

GeoGebra. Tomó como población el total de los estudiantes matriculados en el grado de

(8º) A – (8º) B – (8º) C y (8º) D, para el año electivo del 2012 de la Institución Educativa

Rafael Uribe Uribe, Medellín-Colombia; con un total de 150 estudiantes.

En conclusión, al introducir el AGD (GeoGebra) en el modelo de enseñanza de las

matemáticas básicas, para los estudiantes, permite movilizar resultados en el desarrollo de

habilidades y actitudes en sus procesos como la visualización, la interpretación y la

representación, en la solución de expresiones cuadráticas, desde la mirada de la geometría.

Por lo que recomienda extender la investigación a otras modalidades educativas, es decir,

no solo en la básica secundaria, sino en los niveles superiores, con ello involucrar los AGD,

elementos de la geometría y el álgebra, además de buscar recursos didácticos educativos,

adecuados como los AGD, para que los estudiantes conceptualicen e interpreten la

factorización, desde la perspectiva de la geometría.

Hernández (2010) en su investigación titulada: “Desarrollo del pensamiento algebraico a

través del uso de los algeblocks en alumnos de segundo grado de educación secundaria”,

tuvo como objetivo general evaluar el desarrollo del pensamiento algebraico a través del

uso de los algeblocks en alumnos de segundo grado de educación secundaria. Dicha

investigación se realizó con estudiantes de segundo año de secundaria de la Escuela

Maestro Manuel Acosta, México D.F., donde se consideró realizar un muestreo aleatorio

durante el ciclo escolar 2007-2008. En cuanto a la metodología de la investigación, fue de

9

tipo evaluativa y descriptiva; en tanto que el diseño empleado fue cuasi-experimental y

longitudinal. Los instrumentos que se utilizaron fueron una pre-prueba, una post-prueba, así

como un cuestionario.

Las conclusiones principales fueron que los algeblocks favorecieron la compresión del

álgebra en el segundo grado de secundaria. Los alumnos, a través de su manipulación,

lograron acceder de un conocimiento concreto (modelo geométrico a través de los

algeblocks) a un conocimiento abstracto (representación algebraica). El empleo de este

recurso, contribuyó en gran medida a modificar la idea de que las matemáticas son difíciles.

Con ello propone enriquecer los métodos y procedimientos de enseñanza aprendizaje de los

profesores en el aula, ya que dentro de las responsabilidades del profesor está la de innovar

sus métodos de enseñanza, y con ello contribuir a elevar la calidad de la formación de sus

alumnos, para esto se deben fortalecer los contenidos que respondan a las necesidades

básicas de aprendizaje.

En este sentido la propuesta refiere al uso de los algeblocks para el aprendizaje de

contenidos algebraicos, recurso didáctico que ha sido utilizado durante mucho tiempo en la

enseñanza, pero que requiere de una planeación estratégica por parte del profesor que

garantice que el proceso de enseñanza de las matemáticas sea significativo, y considerar las

competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales.

Para comprender de mejor manera las variables de la presente investigación, se hace

necesario definir conceptos importantes, los cuales se presentan a continuación:

1.1 Matemática

La matemática es una ciencia exacta compleja y útil en la vida de los seres humanos que

se ha practicado desde la antigüedad. Con el paso del tiempo se ha definido a la matemática

desde varios puntos de vista, pero con un enfoque en común, la Dirección General de

Currículo -DIGECUR- (2010) menciona: “En la actualidad no es posible reducir la

definición de matemáticas a las ciencias de los números (aritmética) y las formas

10

(geometría). El uso de símbolos (álgebra y teoría de conjuntos), el estudio de cambio

(cálculo) y de la incertidumbre (estadística y probabilidad), el análisis de las formas de

razonamiento (lógica matemática) y las consideraciones acerca de los enfoques

matemáticos en diferentes grupos culturales (etnomatemática), son objeto de estudio de las

matemáticas contemporáneas.” (p. 46).

Mientras que la Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa (2014)

complementa que “La matemática es la ciencia que estudia las propiedades de los entes

abstractos y de las relaciones que hay entre ellos. Además, analiza la estructura,

magnitudes, vínculos y la utilización de axiomas y el razonamiento lógico y una vez

detectados los patrones que los rigen, formula teorías y construye definiciones que se

obtuvieron por deducciones, los cuales vuelve a utilizar para crear otras definiciones.” (p.

4).

Por otro lado, la Real Academia Española (2013) menciona que “la matemática se deriva

del latín mathematĭca, que significa conocimiento, es decir, es una ciencia formal que

partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y

relaciones entre entidades abstractas como números, figuras o símbolos.” (p.132).

Al tomar en cuenta lo anterior, la matemática la localizamos en el entorno de los seres

humanos, es una ciencia universal e importante que no puede pasar desapercibida, en este

sentido Salvador, Asijtuj y Rouanet (2009), consideran que “la matemática ha sido y es, en

todas las civilizaciones, un instrumento imprescindible para el conocimiento y

transformación de la realidad que caracteriza la acción humana, es considerada ciencia

prototípica del conocimiento.” (p. 9).

La matemática es entonces una ciencia universal que se encarga del estudio general de lo

abstracto, por lo tanto, se concibe en cualquier contexto a partir de un pensamiento y

razonamiento lógico humano por medio de símbolos.

11

1.1.1 Formas, patrones y relaciones

Es un componente matemático compuesto de conceptos que los estudiantes de nivel

medio deben trabajar, la DIGECUR (2010) indica que “el componente incluye el estudio de

los patrones y las relaciones entre formas, figuras planas y sólidas, variables y operaciones

entre ellas. Ayuda a que las y los estudiantes desarrollen estrategias de observación,

clasificación y análisis para establecer propiedades y relaciones entre distintos elementos

geométricos, trigonométricos y algebraicos.” (p. 47).

Los tres conceptos que conforman dicho componente son estudiados en secuencia, ya

que los contenidos son cada vez más complejos y complementarios. El primer concepto

“formas”, se enfoca al estudio de la geometría; el segundo concepto “patrones” al estudio

de la aritmética y álgebra; mientras que el tercer concepto “relaciones” trata el estudio de

las funciones y ecuaciones, donde aplican los contenidos de los conceptos anteriores.

A. Álgebra

El álgebra es una rama de la matemática que utiliza variables y constantes, por lo que el

estudio de las cantidades se hace en forma generalizada, ya que hace uso de variables y

constantes, tal y como lo describe Sullivan (2006), que define álgebra como: “una

generalización de la aritmética donde se usan letras para representar números reales... se

usarán letras del final del alfabeto, como x, y, z, para representar variables, y letras del

principio del alfabeto, como a, b, c, para representar constantes. En las expresiones 3x+5 y

ax + b, se entiende que x es una variable y que a y b son constantes, aun cuando las

constantes a, b no estén especificadas. Por lo que el contexto suele proporcionar el

significado implícito.” (p.35).

Por otro lado, Baldor (1997), define álgebra como: “la rama de la Matemática que

estudia la cantidad considerada del modo más general posible”. (p.5).

12

Baldor también agrega que el concepto de álgebra es mucho más amplio que aritmética,

debido a que en aritmética las cantidades se representan por números que expresan valores

determinados, mientras que, en álgebra para lograr la generalización, las cantidades son

representadas por medio de letras, las cuales pueden representar cualquier valor.

B. Conceptos de álgebra

Para el estudio del álgebra se hace necesario comprender y analizar conceptos

matemáticos, y con ello resolver problemas que se presentan en el contexto, dentro de estos

conceptos se encuentran:

a) Expresión algebraica

Es un conjunto de símbolos combinados, entre letras, números y signos, que

representan cantidades y operaciones, Baldor (1997), define la expresión algebraica

como: “la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones

algebraicas.” (p.5).

Por su parte Duarte y Castillo (2009), mencionan que una expresión algebraica es

“una combinación de símbolos que representan números reales, mediante operaciones

de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.” (p.51).

Así mismo, Stewart, Redlin y Watson (2001) agregan que “las expresiones

algebraicas tales como ; ;

; se obtienen a partir de

variables como x, y, z; constantes como 2, -3, a, b; y combinándolas al utilizar suma,

resta, multiplicación, división, y exponenciación racional. Una variable es una letra

que puede representar cualquier número en un conjunto dado de números, mientras

que una constante representa un número fijo (o específico). El dominio de una

variable es el conjunto de valores que puede adoptar la variable, por ejemplo, en la

expresión √ el dominio de x es { } mientras que en la expresión ,

el dominio de x es { }.” (p.26).

13

Las expresiones algebraicas conforman la característica principal del álgebra,

puesto que son utilizadas para la resolución de problemas que se presentan en el

contexto, utilizando cantidades conocidas y desconocidas.

b) Término algebraico

El término algebraico es la base del álgebra, es la expresión más sencilla que se

presenta en este ámbito. Baldor (1997), lo define como “una expresión algebraica que

consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo

positivo (+) o negativo (-), integrado por 4 factores importantes, el signo, el

coeficiente, la parte literal, el grado.” (p.5).

A este concepto Duarte et al. (2009), agregan que es la expresión algebraica más

simple, obtenida por la combinación de constantes y variables, por medio de

operaciones algebraicas distintas de la suma y resta, conformado por el signo, que

puede ser positivo o negativo; el coeficiente, que es el número que multiplica una o

más variables; y la parte literal, representada por todas las variables con sus

exponentes.

Además, complementan que los términos algebraicos que poseen la misma parte

literal con los mismos exponentes, se les denominan términos semejantes; los cuales

se reducen al sumar o restar (dependiendo el signo del término), los coeficientes y el

resultado se antepone a la misma parte literal, con ello se aplica la propiedad

distributiva.

c) Monomio

Un monomio es también un término algebraico, debido a sus características que

son idénticas, tal como lo mencionan Duarte et al. (2009), que definen al monomio

14

como “la expresión algebraica entera que consta de un solo término, por ejemplo -9;

6m2; 3x

4.” (p.53).

Por otro lado, Sullivan (2006), define al monomio de una forma más amplia y

compleja: “Un monomio en una variable, es el producto de una constante por una

variable elevada a una potencia entera no negativa; posee la forma axk, donde a es

una constante, x es una variable y k ≥ 0 es un entero no negativo… Si a ≠ 0, entonces

k se llama grado del monomio.” (p.35).

Con lo que se establece que un monomio es la expresión algebraica más simple y

sencilla que se trabaja en álgebra.

d) Polinomio

A la combinación de monomios separados por signos de suma y resta se le

denominan polinomios, tal y como lo define Baldor (1997), “Polinomio es una

expresión algebraica que consta de más de un término.” (p.16).

Del mismo modo, Sullivan (2006), menciona que “los tipos más simples de

expresiones algebraicas solo utilizan la suma, la resta y la multiplicación. Estas

expresiones se conocen como polinomios.” (p.26).

Además, agrega que la forma general de un polinomio de grado n (donde n es un

entero no negativo) en la variable x es

donde

son constantes y . El grado de un polinomio es la potencia más alta

de la variable. Cualquier polinomio es una suma de términos de la forma ,

llamado monomio, donde a es una constante y k un entero no negativo. Un binomio

es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios, y así en

sucesión.

15

Por otro lado, Fongi y Gonzales (2010), aportan la definición de polinomio, de la

siguiente manera: “El prefijo poli significa “muchos”. Polinomio significa entonces

“muchos términos”. Las expresiones polinomiales que contienen uno, dos, tres o

cuatro términos se conocen respectivamente como monomio, binomio, trinomio y

cuatrinomio. Cabe aclarar que no se les dan nombres especiales a los polinomios de

cinco términos en adelante.” (p. 2)

C. Operaciones con polinomios

a) Suma

La suma es la operación matemática donde se obtiene una expresión algebraica al

agrupar dos o más expresiones, con lo que se debe aplicar las propiedades de los

términos semejantes, con lo que Baldor (1997), menciona que “es una operación que

tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola

expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última

expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b … En

aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un

concepto más general pues puede significar aumento o disminución … resulta pues,

que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor

absoluto.” (p. 40).

En términos más concretos Duarte et al. (2009), mencionan: “la suma de dos o

más polinomios es otro polinomio y para realizarla se reducen los términos

semejantes” (p. 56).

Para efectuar la suma de dos o más polinomios Sullivan (2006) describe dos

métodos, los cuales son: suma horizontal, donde se agrupan los términos semejantes y

después combinarlos, por ejemplo, al sumar los siguientes polinomios:

y

16

Entonces: ) + ( )

=

Y por otro lado la suma vertical, donde la idea es alinear en forma vertical los

términos semejantes de cada polinomio y luego sumar los coeficientes:

(+)

b) Resta

La resta es la operación matemática contraria a la suma, donde se aplican las

mismas propiedades que se establecen en aritmética, en este sentido Baldor (1997),

describe que la resta o sustracción “es una operación que tiene por objeto, dada una

suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro

sumando (diferencia).” (p.46). Además, Baldor también agrega que en aritmética la

resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un carácter

más general, pues puede significar aumento o disminución.

La resolución de restas algebraicas no varía en su totalidad con respecto a la suma

algebraica, así lo describe Duarte et al. (2009), “en la resta de polinomios, se cambian

los signos del polinomio sustraendo y se efectúa una adición.” (p. 57). Respeto a lo

anterior, Sullivan (2006), complementa que la resta se puede efectuar por medio de

los dos métodos utilizados en la suma algebraica, resta horizontal y resta vertical:

Restar de forma horizontal de

17

)

Restar de forma vertical de

=

(-) = (+)

Para sumar o restar polinomios se pueden utilizar los dos métodos anteriores,

aunque, es recomendable utilizar el formato horizontal, para ahorrar espacio y con la

práctica omitir también algunas operaciones que se pueden realizar en forma mental.

c) Multiplicación

Es la operación donde se obtiene una expresión algebraica como producto de dos

factores, Baldor (1997), establece que “el objeto, dadas dos cantidades llamadas

multiplicando y multiplicador, es hallar una tercera cantidad llamada producto, que

sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es

respecto de la unidad positiva.” (p. 63).

Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es otro polinomio cuyo grado

es igual a la suma de los grados de los polinomios factores y cuyos términos se

obtienen de aplicar la propiedad distributiva entre los términos de P(x) y Q(x). Al

utilizar la simbología se establece de la siguiente forma:

18

Se define el producto

Donde el grado de ( ) (Fongi et al. 2010,

p. 5)

Para la multiplicación de expresiones algebraicas, Duarte et al. (2009), presentan

dos casos diferentes; en primera instancia el producto de un monomio por un

polinomio, donde se establece como una suma de los productos de todos términos del

polinomio multiplicados por el monomio. El segundo caso presentado es el producto

de dos polinomios, donde se multiplican los términos de primer polinomio, por cada

término del segundo polinomio, tomar en cuenta la ley de signos de los coeficientes y

efectuar reducción de términos semejantes.

La multiplicación algebraica cumple con las mismas propiedades que la

multiplicación aritmética, pero en un sentido más general, además es necesario tomar

en cuenta otros aspectos, tal y como lo describe Sullivan (2006), “dos polinomios se

multiplican aplicando las leyes de los exponentes y las propiedades conmutativa y

asociativa, por ejemplo:

Los productos de polinomios se encuentran mediante el uso repetido de la

propiedad distributiva y las leyes de exponentes…” (p. 38).

Además, Sullivan agrega que también se establecen dos métodos para resolver las

multiplicaciones: multiplicación horizontal y multiplicación horizontal.

Hallar el producto de:

19

Multiplicación horizontal

se aplica propiedad distributiva

se aplica propiedad distributiva

se aplica ley de exponentes

se reducen términos semejantes

Multiplicación Vertical

Esta línea es

(+) Esta línea es

Suma de las dos líneas anteriores

d) División

Es la operación inversa a la multiplicación, y para su efecto no varía de forma

considerada con respecto a la división aritmética, según Baldor (1997), “es la

operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de

los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).” (p. 79). Además, se debe tomar

en cuenta las mismas condiciones que en la multiplicación, referido a la aplicación de

la ley de signos y de exponentes.

Para la resolución de divisiones, Sullivan (2006) establece un algoritmo, el cual se

compone de los siguientes pasos:

Encuentre el cociente y el residuo cuando:

se divide entre

20

Solución: cada polinomio está en la forma estándar. El dividendo , y el

divisor es .

Paso 1: Se divide el término de mayor grado del dividendo, , entre el término de mayor

grado en el divisor, . El resultado, , se coloca arriba del término , como sigue:

Paso 2: Se multiplica por y el resultado se coloca abajo del dividendo.

El término se alinea debajo de para facilitar el siguiente paso.

Paso 3: se restan y se bajan los términos restantes.

- Restar (cambiar signos y sumar)

Bajar los términos .

Paso 4: Se repiten los pasos 1 a 3 usando como dividendo.

Dividir entre para obtener 4.

Multiplicar por 4; restar

21

Como no divide a (es decir, el resultado no es un monomio), el proceso termina. El

cociente es , y el residuo es .

Para realizar la comprobación se establece el teorema:

(cociente) (divisor) + Residuo = Dividendo

= dividendo

D. Factorización

Al multiplicar dos polinomios, se obtiene como resultado otro polinomio; el

proceso inverso a esta operación algebraica se le conoce como factorización, tal y

como lo afirman Duarte et al. (2009), “factorizar un polinomio, es expresarlo en el

producto indicado de sus factores.” (p. 66).

Por su parte, Baldor (1997), agrega que “no todo polinomio se puede descomponer

en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que en aritmética, existen

números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por uno, existen también

expresiones algebraicas que son sólo divisibles por ellas mismas y por 1, por tanto, no

son producto de otras expresiones algebraicas…” (p. 144).

E. Pensamiento algebraico

Se entiende por pensamiento al proceso cognitivo donde el cerebro organiza ideas,

con lo que al expresarlo en relación a álgebra se deduce que es la capacidad de

organizar y operar las ideas y conceptos algebraicos. Tal y como lo menciona

Kriegler (2000) que señala que el pensamiento algebraico son hábitos analíticos de la

22

mente. Dentro de estos se incluyen habilidades para la solución de problemas,

habilidades para representar y habilidades para razonar. Las ideas algebraicas

fundamentales representan el dominio de contenidos en los cuales se desarrollan las

herramientas del pensamiento. En este marco conceptual, es entendible el por qué las

discusiones de los educadores matemáticos están enfocadas sobre que matemáticas

deberían ser enseñadas y como deberían ser enseñadas.

Por su parte Ventura (2017), argumenta que “El pensamiento algebraico entonces

es un conjunto de procesos mentales que permite generar procesos de simbolización,

procesos de generalización, expresiones de relaciones, identificación de patrones,

generar conjeturas a partir de construcciones geométricas, realizar conclusiones a

partir de análisis de representaciones graficas cartesianas o estadísticas en contextos

matemáticos y no matemáticos.” (p. 29).

De la misma forma Godino y Font (2003), agregan que “el razonamiento

algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en

cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamiento,

se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y

comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las variables y

las funciones. Este tipo de razonamiento está en el corazón de las matemáticas

concebida como la ciencia de los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un

área de las matemáticas en la que formalizar y generalizar no sea central.” (p. 774).

En relación a lo anterior se puede establecer que el pensamiento algebraico

permite resolver problemas generalizados con base a las nociones y conceptos que se

presentan en el álgebra, donde el cerebro ordena la información, la analiza y la

procesa para dar solución a situaciones que se presentan en el contexto.

23

1.2 Algeblocks

Los algeblocks son un conjunto de bloques de forma cuadrada y rectangular con tres

medidas diferentes, que se pueden elaborar con diferentes materiales que se toman como

recurso didáctico concreto utilizados para facilitar el aprendizaje del álgebra. Según

Mancera (1998) los algeblocks son una variación de los Bloques de Dienes que amplían las

posibilidades de uso con el objeto de partir de lo concreto a lo abstracto, ya que considera

que es la forma de ir de lo fácil a lo difícil en el aprendizaje del álgebra.

Con la misma línea de definición Arreaza y Carvajal (2013) aportan que son un “recurso

didáctico que permiten abordar diferentes contenidos matemáticos y que consisten de

varios cuadrados y rectángulos con ciertas dimensiones. Son fáciles de elaborar y

manipular utilizando diversos materiales. Es un recurso de bajo costo. Entre los contenidos

que podemos trabajar con este material tenemos: Los conjuntos numéricos: N, Z y Q y sus

operaciones; expresiones algebraicas; suma, resta y multiplicación de polinomios;

productos notables; factorización de polinomios; división de polinomios; ecuaciones de

primer grado; cálculo de la raíz cuadrada con ecuaciones de primer grado y ecuaciones de

segundo grado; áreas de figuras geométricas y algunas nociones de teoría de números.” (p.

472)

Por su parte Salazar, Jiménez y Mora, (2013) denominan a los algeblocks como Tabletas

algebraicas y que “son un material manipulativo derivado de los bloques multibase

(BAM), o Bloques de Dienes conformadas por fichas rectangulares de seis modelos

básicos, un cuadrado de lado a, otro de lado b, otro de lado 1 (unidad), un rectángulo de

lados a y b, otro de lados a y 1, un tercer rectángulo de lados b y 1…” (p. 2).

Para la enseñanza del álgebra se hace necesario contar con diversas metodologías, y

contar con recursos didácticos manipulables, como los algeblocks, que convierten el

proceso de enseñanza de una corriente tradicionalista a una constructivista, puesto que los

estudiantes tienen la oportunidad de ostentar estas tabletas de diferentes medidas y crear su

propio aprendizaje.

24

a b

1.2.1 Naturaleza de los algeblocks

Los algeblocks son un conjunto de regletas que se pueden elaborar con diferentes

materiales, sus medidas se pueden ajustar a las necesidades y conveniencias de los

estudiantes y el número de piezas varían al depender del tipo de ejercicios que se trabajen y

resuelvan. Según Salazar et al. (2013) las piezas que se utilizan son las siguientes:

También agrega que es importante que las medidas de las longitudes a y b sean números

primos relativos, e incluso, que estas dos medidas no tengan tampoco factores en común

con la medida de longitud unidad.

Para complementar la información González (2014) menciona que “consisten en

cuadrados y rectángulos de dimensiones variadas, así para iniciar el trabajo con operaciones

de suma y resta con números enteros se utilizan cuadrados que representan una unidad

cuadrada, deben ser de dos colores los cuales representarán, los números positivos y

a

a

𝐹𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙 á𝑟𝑒𝑎: 𝑎

𝐹𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎: 𝑎𝑏

b

a

b

b

𝐹𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎 á𝑟𝑒𝑎: 𝑏

1

1

𝐹𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎:

1 1

𝐹𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 á𝑟𝑒𝑎: 𝑎 𝐹𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 á𝑟𝑒𝑎: 𝑏

25

negativos, se recomienda manejar el azul o gris para los positivos y el blanco o rojo para los

negativos.” (p. 1260).

De la misma forma mancera (1998) menciona que “cualquier maestro puede elaborar sus

propios Bloques de Dienes con diversos materiales y considerando las dimensiones

adecuadas que más le acomoden. Pueden utilizar acrílico para ser utilizados con un

retroproyector, con cartulina y fragmentos de tiras imantadas si se utiliza un pizarrón

magnético, con cartón y lijas u otros materiales para usarlos con una franela, entre otras

formas.” (p. 2); además sugiere tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

El lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y el

otro lado de éstas es el lado del cuadrado mayor:

Los cuadrados pequeños no pueden cubrir de manera exacta el largo de las regletas

ni con éstas se puede cubrir de manera exacta los lados del cuadrado grande:

26

El cuadrado pequeño tiene una unidad de medida como longitud de su lado, luego

entonces su área será 1. Podemos considerar de acuerdo al color +1 o -1:

1

1

1

1

+1

-1

Si en las regletas, la longitud de uno de sus lados es la unidad y consideramos que

el otro lado es x, entonces el área sería 1*x=x, además podríamos convenir que se

acuerdo al color se haga referencia a +x o -x:

1

1

x

x

En el mismo orden de ideas como el cuadrado mayor tiene como longitud de su

lado el lado mayor de la regleta, o sea x, entonces se pueden representar +x2 y de

acuerdo al color -x2:

-x +x

27

x

x

x

x

1.2.2 Aplicación de los algeblocks

Los algeblocks como una variante de los bloques de Dienes, se aplican para la enseñanza

de conceptos de álgebra, este recurso permite facilitar el proceso ya que es manipulable con

lo que abarca lo concreto del álgebra y lo direcciona a lo abstracto. Dentro de la enseñanza

del álgebra Arreaza et al. (2013) argumentan que:

“con los Bloques de Dienes solo podemos trabajar polinomios hasta el grado 2. Para

representar el polinomio ax2+bx+c, recordemos que c se representa con cuadrados

pequeños, bx representa b rectángulos de dimensiones 1 por x y ax2 representa a

cuadrados grandes. Las operaciones de adición y sustracción se trabajan de igual

manera que en el caso de los números naturales y enteros teniendo en cuenta que

debemos manipular objetos del mismo tipo, es decir, cuadrados pequeños con

cuadrados pequeños, rectángulos con rectángulos y cuadrados grandes con

cuadrados grandes. En la multiplicación de un número entero por un polinomio de

grado 1, añadimos el polinomio tantas veces como lo indique el número entero. En

el producto de dos polinomios de primer grado la operación se interpreta como el

área de rectángulos cuyas dimensiones corresponden a los factores que intervienen

en la multiplicación dada” (p.476).

Por otro lado, Hernández (2010) que cita a Dreyfous, creador de los algeblocks, indica

que éstos tienen como objetivos principales:

𝒙𝟐 𝒙𝟐

28

Construir conceptos básicos del álgebra.

Explorar y conceptualizar nociones básicas del álgebra.

Operar con números enteros y expresiones algebraicas.

Resolver ecuaciones.

Resolución de inecuaciones.

Para lo que Mancera (2013) aporta las formas de aplicación ejemplificando cada una de

ellas manera siguiente:

Representaciones del cero

El cero en los números enteros 0 es un equilibrio, por ello se puede representar con

los cuadritos de la siguiente manera:

0

Recordando que:

Unidades Negativas Unidades positivas

29

Representaciones de números enteros

De esta manera también los números enteros tiene representaciones diferentes, por

ejemplo, +1 se puede representar de las siguientes maneras:

+1

-1

Representación de expresiones algebraicas

2x+1

3x-2

-2x-1

30

x-1

2x

Suma algebraica

Considerar la siguiente suma:

+

31

Se puede representar con los bloques:

+

Se agrupan las piezas según correspondan, es decir, regletas con regletas y cuadrados

pequeños con cuadrados pequeños:

+

Se detectan las piezas que se equilibran unas con otras y se obtiene el resultado:

+

Resta algebraica

Considerar la siguiente operación:

32

Se puede representar cada elemento de la operación con los bloques:

Se agrupan las piezas según correspondan y se procede a quitar lo de abajo a lo de

arriba, en caso de no poderse se completa con un “cero” para llevar a cabo la

operación:

Y se obtiene el resultado, al tomar en cuenta el cambio de signo en el sustraendo:

Multiplicación de polinomios

Para la multiplicación de polinomios podemos recurrir a la asociación de esta

operación con el área de un rectángulo.

33

Si tratamos de considerar el caso en el que se multiplica una constante por un

polinomio de primer grado podríamos proceder como sigue:

Utilizamos los bloques para representar lo que está dentro del paréntesis:

Y en seguida lo duplicamos según indica la constante:

Con lo que se obtiene el resultado:

Productos notables

Los algeblocks permiten resolver productos notables desde una perspectiva

geomética, puesto que cada factor equivale al lado de un rectángulo:

34

Con lo que cada lado equivale a un factor de la expresión:

Por lo que al aplicar la simplificación queda:

Factorización

Este material nos permite demostrar los casos de factorización de forma concreta y

sencilla. Por ejemplo:

factorizar 3x2 + 7x + 4.

Para lo que tenemos que seleccionar la cantidad de fichas a utilizar y luego ubicarlas

adecuadamente.

X2

X2

X X X X X X X

1

1

X

2

1

1

Como la expresión indica 3x2 necesitaremos tres cuadros grandes que representan a

x2; necesitaremos siete tiras que representan a x pues el siguiente término es 7x;

35

x

1

también utilizaremos cuatro cuadros pequeños que representan a las unidades puesto

que el último término es 4.

Ubicamos las x2 seguido de la ubicación de las x y complementamos con las

unidades, de tal manera que formemos un cuadrilátero.

x x x 1 1 1 1

x2

x2 x

2 x x x x

x x x 1 1 1 1

División de polinomios

Por lo anterior resultaría natural que la división de polinomios pueda desarrollarse a

partir de los realizado en lo referente a la multiplicación de polinomios. Esto es, se

trata de formar un rectángulo del cual conocemos el total de piezas y uno de los lados,

por ejemplo:

Entonces en este caso tendríamos seis cuadrados grandes, once regletas y 4 cuadrados

pequeños con los cuales debemos formar un rectángulo en el cual uno de sus lados

sea 2x+1:

36

Después de algunos intentos se llegaría a lo siguiente:

Con lo que el lado restante quedaría como 3 , entonces:

Ecuaciones de primer grado

Otra ventaja de los Bloques de Dienes se tiene cuando se introducen los temas

referidos a las ecuaciones de primer grado, dado que nos posibilitan realzar acciones

con los materiales que después se pueden representar simbólicamente después de

haberles dado sentido:

37

Por ejemplo, la solución de la ecuación: 3x=6

Representamos dicha ecuación con las barras y los cuadrados pequeños, en este

momento haremos la convención de que una raya podrá ser utilizada para establecer

la igualdad o diferenciar ambos lados de la igualdad de la ecuación.

Posteriormente, formamos grupos de una regleta y repartimos lo cuadrados pequeños

entre las regletas:

/3

De ahí que el resultado es

38

II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El proceso de enseñanza-aprendizaje es una tarea compleja, en especial al trabajar la

asignatura de matemática, ya que es la base de la resolución de muchos problemas que se

presentan en la vida cotidiana. Sin embargo, existen conceptos matemáticos que se

presentan con dificultades de enseñanza como lo es el álgebra, y todos los conocimientos

que dentro de él se manejan.

La dificultad radica en el desarrollo de un pensamiento matemático más complejo,

puesto que la simbolización cambia en relación a la aritmética, debido a la utilización de

variables en las expresiones algebraicas y un sistema mecanizado de aplicación de

algoritmos y conceptos. Paralelo a ello la metodología que muchos docentes utilizan, en

este caso la memorización, sin conocer la aplicabilidad que tienen estos conceptos en la

vida cotidiana.

A pesar de la cantidad de estrategias y metodologías que se han proporcionado para la

enseñanza del álgebra, aún existe un bajo rendimiento académico de los estudiantes en esta

área. Esto es sabido a través de las diferentes investigaciones, que reflejan una deficiencia

ante las competencias matemáticas. En el año 2016, según la Dirección General de

Evaluación e Investigación Educativa –DIGEDUCA- el porcentaje de logro a nivel

nacional del rendimiento en matemáticas de graduandos determina un 9.03%, donde el

departamento de Quiché se ubica en el puesto número 13 de la tabla con un nivel de logro

del 4.37%. (MINEDUC, 2017).

Como concepto; el álgebra, abarca una extensa gama de conocimientos, dentro de ellos

la factorización de polinomios algebraicos, en los cuales se trabaja a base de memorización

de reglas y normas establecidas. En este caso la importancia de la investigación radica en la

incidencia que genera la aplicación del material manipulativo Algeblocks, que se basa en la

geometría como un medio facilitador de conocimientos; así como lo mencionan Alsina y

Planas (2008): “No se puede dejar de hablar de la manipulación en las edades más

avanzadas. La manipulación no es un valor restringido a las primeras edades y propio de

39

una educación matemática “iniciática”. La eficacia de la educación tiene que ver a

cualquier edad, con la satisfacción del aprendiz hacia las tareas que se le proponen” (p. 54).

De lo anterior, es interesante conocer la incidencia de la manipulación de material

didáctico concreto para la construcción de nuevos conocimientos, como parte de la

corriente constructivista, por lo que surge la interrogante ¿Cuál es la incidencia del uso de

algeblocks en el aprendizaje de la factorización de polinomios en tercero básico?

2.1 Objetivo general

Determinar la incidencia del uso de algeblocks en el aprendizaje de la factorización

de polinomios en tercero básico.

2.2 Hipótesis

2.2.1 Hipótesis de investigación

Ho. El uso de algeblocks no incide positivamente en el aprendizaje de la factorización de

polinomios en los estudiantes de tercero básico.

Ha. El uso de algeblocks incide positivamente en el aprendizaje de la factorización de

polinomios en los estudiantes de tercero básico.

2.2.2 Hipótesis alternas

Ho. 1. No existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de

confianza en la pre-prueba sobre el aprendizaje de la factorización de polinomios de

estudiantes del grupo control comparado con el grupo experimental.

Ha. 1. Existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de confianza en

la pre-prueba sobre el aprendizaje de la factorización de polinomios de estudiantes

del grupo control comparado con el grupo experimental.

40

Ho. 2. No existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de

confianza en la post-prueba sobre el aprendizaje de la factorización de polinomios de

estudiantes del grupo control comparado con el grupo experimental.

Ha. 2. Existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de confianza en

la post-prueba sobre el aprendizaje de la factorización de polinomios de estudiantes

del grupo control comparado con el grupo experimental.

Ho. 3. No existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de

confianza, entre la pre-prueba y post-prueba del grupo control sobre el aprendizaje de

la factorización de polinomios.

Ha. 3. Existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de confianza

entre, la pre-prueba y post-prueba del grupo control sobre el aprendizaje de la

factorización de polinomios.

Ho. 4. No existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de

confianza, entre la pre-prueba y post-prueba del grupo experimental sobre el

aprendizaje de la factorización de polinomios.

Ha. 4. Existe diferencia estadísticamente significativa al 0.05 de nivel de confianza,

entre la pre-prueba y post-prueba del grupo experimental sobre el aprendizaje de la

factorización de polinomios.

2.3 Variables de estudio

2.3.1 Variable independiente

Algeblocks.

2.3.2 Variable dependiente

Factorización de polinomios.

41

2.4 Definición de variables

2.4.1 Definición conceptual de variables de estudio

Algeblocks

De acuerdo a Hernández (2010), los algeblocks son “un conjunto de bloques diseñados

para que el alumno desarrolle conceptos matemáticos desde una perspectiva constructivista,

a través de una serie de situaciones que le permitan adquirir determinados conceptos

matemáticos y contribuir así al desarrollo de su pensamiento lógico”. (p. 56)

Factorización de polinomios

Barnett (1978), define la factorización de polinomios como “el proceso inverso de la

multiplicación, en donde se dice que un polinomio está factorizado por completo, al estar

escrito como el producto de sus factores primos.” (p. 43)

2.4.2 Definición operacional de variables de estudio

En la presente investigación cuasi-experimental, se entiende por algeblocks al material

manipulativo, como una estrategia para el aprendizaje de la factorización de polinomios,

desde la concepción de una corriente constructivista, en la cual el estudiante genera su

propio conocimiento a partir del desarrollo de destrezas y habilidades lógicas. En cuanto a

factorización de polinomios se comprende como el proceso matemático de indicar una

expresión algebraica en factores, como una operación inversa a productos notables, y tomar

en cuenta la aplicabilidad geométrica en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Los indicadores que fueron medidos a través de una prueba objetiva sobre factorización

de polinomios, son acorde a los niveles de pensamiento en Sistema de Cognición

propuestos por la Taxonomía de Marzano, estableciéndose de la manera siguiente:

42

Conocimiento-recuerdo: Conceptos que el estudiante posee en el tema de

factorización de polinomios.

Comprensión: Identificación de los casos de factorización y resolución de ejercicios a

través de algoritmos sistemáticos.

Análisis: Resolución de expresiones algebraicas que involucran varios casos de

factorización con la aplicación de las reglas y teoremas básicos de álgebra.

Utilización: Aplicación de factorización de polinomios en la resolución de problemas

contextualizados.

2.5 Alcances y límites

La presente investigación titulada: Incidencia del uso de Algeblocks en el Aprendizaje

de la Factorización de Polinomios, abarcó dos secciones de tercero básico del Colegio

Evangélico Metodista Utatlán; uno fue el grupo control conformado por estudiantes de

tercero básico sección “B”, mientras que el grupo experimental estuvo conformado por

estudiantes de la sección “C”.

Al tomar en cuenta que la matemática es un concepto amplio en contenido, el

Currículum Nacional Base ha dividido dicha área en varios componentes los cuales son: 1.

Formas, patrones y relaciones. 2. Modelos Matemáticos. 3. Conjuntos, sistemas numéricos

y operaciones. 4. La incertidumbre, la comunicación y la investigación y, 5.

Etnomatemática. Para el efecto, se trabajó el primer componente donde se localiza la

temática específica: Factorización.

Los resultados de la investigación son válidos para los estudiantes de tercero básico del

Colegio Evangélico Metodista Utatlán, del municipio de Santa Cruz del Quiché.

43

2.6 Aportes

Los resultados establecen la incidencia del uso de algeblocks como una herramienta

didáctica manipulable en el aprendizaje de la factorización de polinomios.

Por lo tanto, beneficia a los establecimientos de nivel medio, por la demostración de la

utilización de los Algeblocks como una herramienta metodológica que incide en el

aprendizaje de la factorización de polinomios a los estudiantes de tercero básico, además de

contar con una estrategia que requiere material manipulativo para la enseñanza de la

factorización de polinomios y no caer en la rutina de una enseñanza tradicional.

También, es de beneficio a los estudiantes de la Universidad Rafael Landívar que se

especializan en la enseñanza de la matemática, como herramienta didáctica para el

aprendizaje de la factorización de polinomios, y como texto de referencia para

investigaciones que se puedan generar más adelante.

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III. MÉTODO

3.1 Sujetos

Los sujetos de la presente investigación fueron 58 estudiantes del Colegio Evangélico

Metodista Utatlán del municipio de Santa Cruz del Quiché, del distrito 14-001 del área

urbana y sector privado, de nivel básico de cultura general en modalidad normal, cursantes

del tercer grado y se desarrolló en el área de matemática el contenido específico de

Factorización.

El grupo experimental conformado por 29 estudiantes de ambos sexos, tanto de etnia

maya como ladina que oscilan entre las edades de 14 a 16 años y cuya lengua materna es el

castellano.

Mientras que el grupo control conformado por 29 estudiantes, de ambos sexos, de etnias

maya y ladina, que oscilan entre las edades de 14 a 16 años y cuya lengua materna es el

castellano y k’iche’

El método empleado para seleccionar los grupos fue el de muestreo no probabilístico, así

también se utilizó la técnica del muestreo intencional o de conveniencia, debido a que la

selección de los sujetos, dependen de las características y criterios personales del

investigador.

3.2 Instrumento

El instrumento aplicado para la recolección de los datos con estudiantes de tercero

básico fue una prueba objetiva, que consiste en un recurso didáctico que permite evaluar los

conocimientos y saber hacer de los estudiantes, además de medir el nivel de logro obtenido

por los estudiantes en las competencias matemáticas. La prueba objetiva se compone de un

conjunto de preguntas o tareas que se buscan cumplir por parte de los estudiantes, su

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función es como indicador de los procesos que se realizan de manera adecuada, así como de

aquello que no se hacen correctamente y poder mejorar las condiciones de la enseñanza

aprendizaje.

3.2.1 Prueba objetiva

La prueba de matemáticas fue diseñada para ser respondida en un lapso de 40 minutos,

con un total de 20 ítems de selección múltiple (4 opciones de respuesta), sobre

conocimientos de factorización, validada por juicio de expertos y con base en los primeros

cuatro niveles de la Taxonomía de Marzano, que corresponden al sistema de cognición y se

establecen de la manera siguiente:

Tabla 1. Sistema Cognitivo de Marzano

Utilización

Aplicar el conocimiento en

situaciones específicas.

Análisis

Utilizar lo aprendido para

crear nuevos

conocimientos y

aplicarlos en nuevas

situaciones.

Comprensión

Identificar detalles de la

información que son

importantes, y recordar y

ubicar la información en

una categoría adecuada

Relación: utilizar el

conocimiento para tomar

decisiones o tomar

decisiones acerca del uso

del conocimiento.

Resolución de

problemas: utilizar el

conocimiento para

resolver problemas o

resolver problemas sobre

el conocimiento.

Investigación

experimental: utilizar el

conocimiento para

generar y evaluar

hipótesis o puede generar

y evaluar hipótesis sobre

Conocimiento- recuerdo

Recuerdo de la

información exactamente

como fue almacenada en

la memoria permanente. Relación: identificar

similitudes y diferencias

importantes entre

conocimientos.

Clasificación: identificar

categorías relacionadas al

conocimiento de sobre y

subordinación.

Análisis de errores:

identificar errores en la

presentación y uso del

conocimiento.

Generalizaciones:

Síntesis: identificar la

mayoría de los

componentes de un

concepto y suspender los

detalles insignificantes del

mismo.

Representación:

presentar la información

en categorías para que sea

Nombrar: identificar o

reconocer la información,

pero no necesariamente se

comprende su estructura.

Ejecutar: realizar un

procedimiento, pero no

necesariamente se

comprende cómo se

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produjo.

más fácil encontrarla y

utilizarla.

construir nuevas

generalizaciones o

principios basados en el

conocimiento.

Especificaciones:

identificar aplicaciones

específicas o

consecuencias lógicas del

conocimiento.

el conocimiento.

Investigación: utilizar el

conocimiento para

conducir investigaciones

o puede conducir

Fuente: DIGEDUCA (2014).

Para la aplicación de la prueba objetiva se utilizaron los siguientes materiales: 116

pruebas, listado de estudiantes, marcadores, lapicero y reloj. Los examinados contaron con:

lápiz, lapicero, borrador, sacapuntas y hojas en blanco para realizar procedimientos.

El tiempo total de la aplicación fue de 60 minutos, estableciendo el procedimiento de la

manera siguiente:

Paso 1 •Palabras de bienvenida, presentación del investigador e información sobre los objetivos de la prueba . (5 minutos)

Paso 2 •Dar a conocer y explicar las instrucciones, resolver el ejemplo de la prueba. (5 minutos)

Paso 3 •Tiempo para la resolución de la prueba. (40 minutos)

Paso 4 Recolección de pruebas y

agradecimiento por la colaboración. (10

minutos)

Gráfica 1. Pasos para la aplicación de la prueba.

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Al momento de la aplicación del instrumento, se consideraron los siguientes aspectos

por parte del investigador:

Ser respetuoso con los estudiantes

Ser amable

Crear un ambiente de aplicación amigable

Facilitar al máximo la aplicación

Así también, aspectos por parte de los estudiantes:

Responder a la prueba individualmente.

Realizar la prueba sin ayuda externa (cuaderno u otros).

Realizar su prueba sin interrumpir a los otros (sin hacer ruido o ayudar a

otros).

3.2.2 Validación de prueba objetiva

Para la validación de los instrumentos se utilizó juicio de expertos, debido a que ésta

técnica de validación ofrece la ventaja de que los expertos pueden corregir los ítems, acorde

a su experiencia y conocimiento en el área de la matemática, también ayudan a establecer la

redacción correcta de los ítems para que el estudiante logre comprender de la mejor

manera.

La validación se dio en un salón de clases del Colegio Evangélico Utatlán, de Santa

Cruz del Quiché. El grupo de expertos que validaron la prueba se conformó por un M.A.

Lic. En la enseñanza de la matemática y física, docente del nivel medio y superior con 14

años de experiencia docencia; una M.A. Licenciada en administración de empresas, docente

del nivel medio y superior con una experiencia docente de 26 años; un Ingeniero Civil,

docente de nivel medio, con 4 años de experiencia docente y un P.E.M. en Matemática y

Física, con experiencia docente de 4 años.

• Recolección de pruebas y agradecimiento por

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Para la actividad se preparó una carpeta para cada experto con las siguientes

informaciones: título de la investigación, pregunta de investigación, el objetivo general y

específicos, hipótesis de estudio, descripción de los niveles de cognición de la Taxonomía

de Marzano, la prueba objetiva y su respectiva clave de respuestas.

Los pasos desarrollados para la validación del instrumento, fueron los siguientes:

Bienvenida.

Presentación de los participantes.

Presentación del objetivo de la reunión.

Presentación del título del anteproyecto de tesis.

Presentación de la pregunta de investigación.

Presentación del objetivo general de la investigación.

Presentación de las hipótesis de la investigación.

Presentación de los indicadores a medir, según la Taxonomía de Marzano.

Explicación de la Taxonomía de Marzano.

Análisis de los ítems por parte de los expertos.

Conclusiones y recomendaciones generales.

Agradecimiento.

Al realizar la validación, cada experto expresó su punto de vista, comentarios,

sugerencias y observaciones sobre el instrumento, los cuales se tallan a continuación.

Se encontraron errores en redacción.

Algunos ítems no contaban con respuesta correcta, solo distractores.

Algunos ítems no correspondían al nivel de cognición que se había indicado por

el investigador.

Cambiar algunos ítems porque no cumplen con los requerimientos de la

taxonomía de Marzano.

Cambiar la forma de plantear los enunciados, acoplarlos al nivel de los

estudiantes para una mejor comprensión.

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3.3 Procedimiento

En la realización del presente estudio se llevaron a cabo los siguientes pasos:

Selección del tema de investigación acorde a la carrera.

Elaboración del perfil del tema de investigación.

Aprobación del perfil de la investigación por la Universidad Rafael Landívar.

Revisión de literatura para la construcción del marco teórico y los antecedentes

de la investigación.

Selección de los sujetos de investigación.

Construcción de prueba de matemática sobre factorización de polinomios para la

pre-prueba y pos-prueba con el grupo de intervención y el grupo control.

Validación de los ítems de la prueba objetiva a través del juicio de expertos.

Coordinación de la realización del estudio con los Coordinadores Técnicos

Administrativos (CTAS), directores de centros educativos y docentes de grado.

Aplicación de la pre-prueba, intervención y pos-prueba.

Tabulación, análisis y presentación de datos estadísticos.

Discusión de los resultados.

Elaboración de las principales conclusiones del estudio.

Elaboraci