Las funciones especiales y la fısica matematica

Renato Alvarez Nodarse

Departamento de Analisis MatematicoUniversidad de Sevilla e Instituto “Carlos I” de Fısica Teorica y

Computacional, Universidad de Granada.

Indice

1. Introduccion 3

2. Breve introduccion historica 3

2.1. Las familias clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Las principales caracterizaciones de los polinomios clasicos. . . . . . . . . . . . . 92.3. Teorıa general. Stieltjes y Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Los polinomios clasicos. 13

3.1. La ecuacion diferencial hipergeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. La ecuacion en forma autoadjunta y sus consecuencias. . . . . . . . . . . . . . . 153.3. La relacion de recurencia a tres terminos y sus consecuencias. . . . . . . . . . . 173.4. Algunas consecuencias de la formula de Rodrigues. . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5. Representacion integral y funcion generatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6. Los teoremas de caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7. Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7.1. Parametros Principales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7.2. Representacion hipergeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7.3. Funciones generatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7.4. Otras caracterısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7.5. Los polinomios nucleos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Los polinomios ortogonales clasicos de variable discreta 33

4.1. La ecuacion en diferencias de tipo hipergeometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. La ecuacion autoadjunta y sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3. La relacion de recurrencia a tres terminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4. Algunas consecuencias de la formula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5. Las formulas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. Representacion integral y formula explıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7. Los Polinomios de Charlier, Meixner, Kravchuk y Hahn . . . . . . . . . . . . . . 46

4.7.1. Parametros Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7.2. Representacion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.7.3. Otras caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7.4. Los polinomios nucleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.8. Relaciones lımites entre los polinomios clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Algunas aplicaciones 55

5.1. Aplicacion a la Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.1. El oscilador armonico cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2. La ecuacion hipergeometrica generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1

5.1.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. La teorıa de representacion de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3. El grupo de rotaciones del espacio O(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3.1. Las representaciones unitarias Dj de O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2. Los coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Referencias 73

2

1. Introduccion

En estas breves notas vamos a intentar dar una vision de los polinomios ortogonales clasicos“continuos” y discretos y algunas de sus aplicaciones.

Para mayor claridad lo divideremos en cinco partes. La primera la dedicaremos a dar unabreve introduccion historica de los mismos, incluıdas algunas funciones especiales relacionadascon ellos. A continuacion, en la segunda parte, describiremos uno de los formalismos mas senci-llos desarrollado escencialemente por Nikiforov y Uvarov en los anos 60. En el cuarto apartadoveremos como se puede generalizar las ideas expuestas para el caso anterior al caso discreto yculminaremos, en el quinto y ultimo apartado, describiendo algunas aplicaciones en problemasde la Mecanica Cuantica ası como dando una breve introduccion a la teorıa de representacionde de grupos y mostrando su conexion con la teorıa de polinomios ortogonales. La mayorıa delos temas tratados han sido tomados de [3].

2. Breve introduccion historica

2.1. Las familias clasicas

Los polinomios ortogonales corresponden a una pequena parte de una gran familia defunciones especiales. Su historia se remonta al siglo XVIII y esta estrechamente relacionada conla resolucion de problemas de inmediata aplicacion practica. Uno de estos problemas estabarelacionado con la, por entonces joven, teorıa de la gravedad de Newton. Entre los numerososproblemas relacionados con la teorıa de la gravitacion universal estaba el de encontrar lascomponentes de las fuerzas de atraccion gravitacional entre cuerpos no esfericos. Usando la leyde gravitacion de Newton estas son iguales a

fxi= −G

∫∫∫ρ(ξ1, ξ2, ξ3)

xi − ξi

r3dξ1dξ2dξ3, i = 1, 2, 3 (2.1)

donde, x1, x2 y x3 son los tres ejes coordenados y

r = (√

(x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2 + (x3 − ξ3)2

Un inconveniente de la formula anterior es que precisamos trabajar con tres funciones. Unaforma de eliminar el problema era introducir la funcion potencial. De hecho, era bien conocidoen el siglo XVIII que la fuerza de atraccion entre dos cuerpos podıa ser determinada a partir dela funcion potencial V (x, y, z). Ademas, la misma era facil de calcular conociendo la distribucionde masa —digamos su densidad ρ— en el interior del cuerpo mediante la formula:

V (x1, x2, x3) = G

∫∫∫ρ(ξ1, ξ2, ξ3)

rdξ1dξ2dξ3, =⇒ fxi

=∂V

∂xi

(2.2)

y, por tanto, calculando la integral es posible encontrar la funcion V . Esto, sin embargo, escomplicado ya que es necesario conocer a priori la distribucion de masa de los cuerpos, la cuales, en general, desconocida y ademas hay que unirle el hecho de que el calculo directo de laintegral (2.2) suele ser muy engorroso —se trata de una integral triple que hay que integrar enun volumen acotado pero con forma arbitraria—. Otra posibilidad era resolver la ecuacion delpotencial para puntos exteriores al cuerpo: la ecuacion de Laplace

∂2V

∂x2+

∂2V

∂y2+

∂2V

∂z2= 0.

Esta nocion del potencial y su relacion con las fuerzas fue tratado por distintos matematicosde la talla de Daniel Bernoulli, Euler y Lagrange.

3

Adrien M. Legendre

Vamos a describir una forma de calcular directamente las integrales(2.1) en un caso especial: la atraccion que un cuerpo de revolucion ejercesobre otros cuerpos. Este problema intereso a Adrien—Marie Legendre(1752–1833). Este, en un artıculo de 1782 titulado Sur l’attraction desspheroıdes (aunque publicado en 1785), probo un teorema muy interesanteque establece que, si se conoce el valor de la fuerza de atraccion de uncuerpo de revolucion en un punto exterior situado en su eje, entonces seconoce en todo punto exterior. Ası redujo el problema al estudio de lacomponente radial P (r, θ, 0), cuya expresion es

P (r, θ, 0) =

∫ ∫ ∫(r − r′) cos γ

(r2 − 2rr′ cos γ + r′2)32

r′2 sin θ′dθ′dφ′dr′ ,

donde cos γ = cos θ cos θ′ + sen θ sen θ′ cos φ′.

¿Como resolvio Legendre el problema?

Legendre desarrollo la funcion integrando

(r2 − 2rr′ cos γ + r′2)−32 = r−3

[1−

(2

r′

r2cos γ − r′2

r2

)]− 32

y usando la formula de binomio de Newton obtuvo

(r − r′) cos γ

(r2 − 2rr′ cos γ + r′2)32

=1

r2

{1 + 3P2(cos γ)

r′2

r2+ 5P4(cos γ)

r′4

r4+ . . .

}.

Ası,

P (r, θ, 0) =4π

r2

∞∑

n=0

2n − 3

2n − 1P2n(cos θ)

1

r2n

∫ π2

0

R2n+3(θ′)P2n(cos θ′) sin θ′dθ′,

donde R(θ′) es el valor de r′ en un θ′ y se conocen como la funcion de las curvas meridianas.

Las funciones P2, P4, ... son funciones racionales enteras —polinomios— de cos γ, que hoyse conocen como polinomios de Legendre se expresan mediante la formula

Pn(x) =(2n − 1)!!

n!

[xn − n(n− 1)

2(2n− 1)xn−2 +

n(n − 1)(n− 2)(n− 3)

2 · 4 · (2n− 1)(2n− 3)xn−4 + · · ·

]

Dos anos mas tarde en su segundo artıculo escrito en 1784 (publicado en 1787) Legendre dedujoalgunas de las propiedades de las funciones P2n(x). Una es de particular importancia:

∫ 1

0

π(x2)P2m(x)dx = 0 gradoπ < m,

es decir, los P2n eran ortogonales!. Tambien obtuvo la expresion:

∫ 1

0

xnP2m(x)dx =n(n− 2) · · · (n− 2m + 2)

(n + 1)(n + 3) · · · (2 + 2m + 1), ∀n

de donde se deduce la propiedad de ortogonalidad en su forma habitual:

∫ 1

0

P2n(x)P2m(x)dx =1

4m + 1δn,m,

4

siendo δmn el sımbolo de Kronecker. Usando esta, muestra Legendre que “toda” funcion f(x2)se expresa como

f(x2) =∞∑

n=0

cnP2n(x),

siendo los coeficientes cn determinados unıvocamente. Habıa nacido la primera familia de poli-nomios ortogonales de la historia. En ese mismo trabajo, Legendre probo que los ceros de Pn

eran reales, distintos entre sı, simetricos respecto al origen y menores, en valor absoluto que 1.En su cuarto artıculo sobre el tema (escrito en 1790, aunque publicado tres anos mas tarde)introdujo los polinomios de grado impar, prueba la ortogonalidad general

∫ 1

0

Pn(x)Pm(x)dx =2

2n + 1δn,m,

ası como la ecuacion diferencial lineal que satisfacen dichos polinomios Pn(x):

(1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′

n(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0.

Tambien introduce ası como los hoy llamados polinomios asociados de Legendre P mn (x) que se

expresan a traves de los polinomios Pn de la forma P(m)n (x) = (1−x2)

m2

dmPn(x)dxm , y que son solu-

ciones de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas tras aplicar el metodo de separacionde variables.

Los polinomios de Legendre fueron considerados tambien por Pierre—Simon Laplace (1749–1827) quien en 1782 introdujo las funciones esfericas —que estan directamente relacionadascon los polinomios de Legendre— y demostro varios resultados relativos a ellas. Tambien esdestacable otro resultado publicado en 1826 —Memoire sur l’attraction des spheroides (Corresp.sur l’Ecole Royale Polytech. III, 361–385)— por el frances Olinde Rodrigues (1794–1851). Setrata de una formula para expresar los polinomios de Legendre,

Charles Hermite

Pn(x) =1

2nn!

dn(x2 − 1)n

dxn,

conocida hoy dıa como formula de Rodrigues.

La siguiente familia, en orden de aparicion, fue la de los polinomios deHermite Hn llamados ası en honor a Charles Hermite (1822–1901) quienlos estudio junto con el caso de varias variables en su ensayo Sur un nou-veau developpement en serie des fonctions (C. R. Acad. Sci. Paris, I) en1864 (ver Œuvres, Gauthier-Villars, 1908, Tome II, 293–308), aunque alparecer el primero en considerarlos fue Laplace en 1810 en su Mecanique celeste donde losutilizo en problemas de teorıa de las probabilidades. En este caso la ortogonalidad se expresarespecto a la funcion e−x2

soportada en la recta real. Luego el ruso Pafnuti Lvovich Chebyshev(1821–1894) realizo un estudio detallado de los mismos en 1859 —vease su artıculo Sur le deve-loppement des fonctions a une seule variable (Oeuvres, Tom I, 501-508, Chelsea Pub. Co.)—.

En su trabajo Hermite estaba interesado en el desarrollo es series de funciones en R

F (x) = A0H0 + A1H1 + · · ·AnHn + · · · Hn ∈ Pn

con el objetivo de generalizarlos al caso de varias variables. Curiosamente construye los polino-mios Hn diciendo que

dne−x2

dxn= e−x2

Hn,

5

es decir utiliza una formula Rodrigues, obteniendo

(−1)nHn = (2x)n − n(n − 1)

2xn−2 + · · ·+ n!

(n− 2k)!k!(2x)n−2k + · · · ,

en particular, deduce las propiedades

Hn+1 + 2xHn + 2nHn−1 = 0, H ′n = −(2n)Hn−1

y la ecuacion diferencial lineal que satisfacen dichos polinomios

H ′′n(x)− 2xH ′

n(x) + 2nHn(x) = 0.

Finalmente, prueba la ortogonalidad∫ ∞

−∞Hn(x)Hm(x)e−x2

dx = 2nn!√

πδn,m.

La proxima familia, conocida como polinomios de Laguerre Lαn, deben su nombre a Edmond

Nicolas Laguerre (1834–1886). Estos polinomios ya eran parcialmente conocidos por Niels Hen-rik Abel (1802–1829) y Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), aunque es nuevamente Chebyshevel primero en realizar un estudio detallado de los mismos en 1859 en el trabajo antes citadoy que continuo el matematico ruso Konstantin Aleksandrovich Posse (1847–1928) en 1873. Elcaso general para α > −1 fue estudiado por Yulian Vasilevich Sojotkin (1842–1827) en 1873,y no es hasta 1879 que Laguerre los introduce —caso particular α = 0— cuando estudiaba laintegral

∫∞x

e−xx−1dx, mediante su desarrollo en fracciones continuas.

Nicolas Laguerre

En particular, Laguerre, en su memoria Sur l’integrale∫∞

xe−xdx

x(Bull.

Soc. Math. France, VII, 1879) (ver Œvres, Gauthier-Villars, 1898, 428–437),prueba, entre otras cosas, la relacion entre la integral

∫∞x

e−x

xdx, y la fraccion

continua:∫ ∞

x

e−x

xdx =

e−x

x + 1− 1

x + 3− · · ·

= e−x φm(x)

Lm(x),

donde los denominadores Lm(x) son las soluciones polinomicas de la ecuaciondiferencial de Laguerre xy′′ + (x + 1)y′ − my = 0, m = 0, 1, 2, . . ., que noson mas que los hoy conocidos polinomios clasicos de Laguerre. Para ello,Laguerre parte de la identidad

∫ ∞

x

e−t

tdt =

1

x− 1

x2+ · · ·+ (−1)n+1 (n− 1)!

xn+ (−1)n

∫ ∞

x

e−t

tn+1dt

de donde deduce, tras diversas consideraciones, que

∫ ∞

x

e−t

tdt = e−x φm(x)

Lm(x)+ (−1)n

∫ ∞

x

e−t

tn+1dt

donde los Ln satisfacen la ecuacion diferencial lineal

xL′′n + (1− x)L′

n + nLn =0,

de la cual, usando el metodo de las series de potencia, deduce que

Ln(x) = xn + n2xn−1 +n2(n− 1)2

2!xn−2 + · · ·+ n2(n− 1)2 · · · (n− k + 1)2

k!xn−k + · · ·n!

6

A continuacion obtiene muchas propiedades de los Ln: que satisfacen la relacion de recurrencia

Ln+1(x) = (x + 2n + 1)Ln(x)− n2Ln−1(x),

la ortogonalidad ∫ ∞

0

Ln(x)Lm(x)e−xdx =Γ(n + 1)

n!δn,m,

que los ceros de los Ln eran reales, no negativos y simples.

Anos mas tarde, en 1880, otro estudiante de Chebyshev, Nikolai Yakovlevich Sonin (1849–1915) continua el estudio comenzado por Sojotkin sobre los polinomios con α > −1, probando,entre otras cosas una relacion de ortogonalidad mas general,

∫ ∞

0

Lαn(x)Lα

m(x)xαe−xdx =Γ(n + α + 1)

n!δn,m,

y una ecuacion del tipo:x(Lα

n)′′ + (α + 1− x)(Lα)′n + nLαn =0.

Es quiza por ello que que en algunos sitios a los polinomios Lαn(x) se les denomina polinomios

de Laguerre–Sonin.

Antes de pasar a nuestra ultima familia clasica debemos hacer una breve incursion en lateorıa de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Nuestro protagonista sera esta vez unaecuacion diferencial.

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707–1783), en la segunda mitad del siglo XVIII, desa-rrollo el metodo de integracion de ecuaciones diferenciales ordinarias median-te series de potencias que usamos hoy. Una de las ecuaciones consideradaspor el fue —ver el Instituciones Calculi Integralis (1769)— la conocida hoydıa como ecuacion diferencial hipergeometrica

x(1− x)y′′ + [γ − (α + β + 1)x]y′ − αβy = 0

cuya solucion es

F(α, β; γ|x) ≡ 2F1

(α, βγ

∣∣∣∣x)

= 1 +α · β1 · γ x +

α(α + 1) · β(β + 1)

1·2 · γ(γ + 1)x2 + · · · .

(2.3)No obstante, fue Carl Friederich Gauss (1777–1855) en su famoso ensayo de 1813 Dis-

quisitiones generales circa seriem infinitam ..., (Werke, II (1876), 123-162) sobre funcioneshipergeometricas quien realizo el estudio mas completo de la ecuacion anterior. En este ensayoGauss no hizo uso de la ecuacion diferencial que sı utilizo mas tarde en material inedito —Disquisitiones generales circa seriem infinitam..., (Werke, III (1876), 207-229)—.

Carl F. Gauss

Gauss reconocio que, para ciertos valores de α, β y γ, la serie incluıa,entre otras, casi todas las funciones elementales. Por ejemplo:

(1 + z)a = F(−a, b; b|−z), log(1 + z) = zF(1, 1; 2|−z),

etc. Incluso comprobo que algunas de las funciones trascendentales como lafamosa funcion de Bessel Jn, se podıa expresar tambien como serie hiper-geometrica:

Jn(z) =zn

2nn!lım

λ → ∞µ → ∞

F

(λ, µ;n + 1;− z2

4λn

)

7

Tambien Gauss establecio la convergencia de la serie e introdujo la notacion F(a, b ; c|x) que

convive todavıa con la notacion moderna 2F1

( a, bc

∣∣x).

Otro trabajo importante de Gauss fue su Methodus nova integrali um valores per approxi-mationen inveniendi, (Werke III, 163–196) donde demuestra una formula de cuadraturas parael calculo aproximado (y eficiente) de integrales que constituye una de las aplicaciones masimportantes de los polinomios ortogonales. En concreto, Gauss “recupero” los ceros de los po-linomios de Legendre cuando buscaba donde deberıan estar los del polinomio de interpolacion(de Lagrange) para obtener la mayor precision posible al integrar entre 0 y 1, aunque no uti-lizo la ortogonalidad de los polinomios (hecho que probablemente desconocıa) sino la funcionhipergeometrica 2F1. La construccion de la formula de cuadraturas, tal y como la conocemoshoy usando la ortogonalidad, se debe a nuestro proximo personaje, Karl Gustav Jacob Jaco-bi —Uever Gauss’ neve Methode die werthe der Integrale naherungsweise zu finden J. ReineAngew. Math., 1 (1826) 301-308— (1804–1851), otro de los grandes matematicos del siglo XIX.

Karl Jacobi

Jacobi fue uno de los mas grandes matematicos del siglo XIX y no solopor sus aportaciones puramente teoricas, sino por su interes por resolverdıficiles problemas de inmediata aplicacion practica —las famosas ecuacio-nes de Hamilton y Jacobi de la Mecanica, o sus trabajos en Mecanica deFluidos, por ejemplo—. Es notable su celebre frase:

El senor Fourier opina que la finalidad de las matematicas con-siste en su utilidad publica y en la explicacion de los fenomenosnaturales; pero un filosofo como el deberıa haber sabido que lafinalidad unica de la ciencia es rendir honor al espıritu humano

y que, por ello, una cuestion de numeros vale tanto como unacuestion sobre el sistema del mundo

que quiza dio comienzo a esa absurda batalla de hoy dıa sobre la prioridad de la Matematica“platonica” basada en la idea de que la Matematica debe ser independiente de toda utilidadinmediata de la Matematica aplicada de Fourier.

Fiel a esa idea platonica, Jacobi introduce una nueva familia que generaliza los polino-mios de Legendre a partir de la funcion hipergeometrica de Gauss, sin importarle sus posiblesaplicaciones —recordemos que las familias anteriores habıan aparecido de uno u otro modorelacionadas con aplicaciones fısicas o matematicas—. Ası, en su artıculo postumo de 1859,Untersunshungen uber die Differentialgleichung de hypergeometrischen Reihe (J. Reine Angew.Math. 56 149–165), definio la familia de polinomios

Pα,βn (x) =

Γ(n + α + 1)

Γ(α + 1)n!2F1

(−n, n + α + β + 1

α + 1

∣∣∣∣1− x

2

),

para la que demostro, entre otras, una propiedad de ortogonalidad en el intervalo [−1, 1] conrespecto a la funcion peso ρ(x) = (1− x)α(1 + x)β, α > −1, β > −1, o sea,

∫ 1

−1

Pα,βn (x)Pα,β

m (x) ρ(x)dx = δmn2α+β+1Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)

(2n + α + β + 1)Γ(n + α + β + 1)n!,

donde Γ(x) denota la funcion Gamma de Euler. Es facil comprobar (ver, por ejemplo, [6, 15, 17])que tanto los polinomios de Laguerre como los de Hermite tambien se pueden escribir comouna funcion hipergeometrica no de Gauss, sino de las funciones hipergeometricas generalizadas

pFq.

8

Los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite constituyen lo que hoy dıa se conocen comopolinomios ortogonales clasicos. Curiosamente en los ejemplos anteriores descubrimos que alparecer todos ellos tienen ciertas caracterısticas comunes dentro de las que destaca la ecuaciondiferencial de segundo orden. Es por ello que para culminar este apartado debemos mencionarlos teoremas de caracterizacion relacionados con las familias clasicas.

2.2. Las principales caracterizaciones de los polinomios clasicos.

La primera caracterizacion que consideraremos fue obtenida por S. Bochner quien probo quelos unicos polinomios ortogonales que satisfacıan una ecuacion diferencial del tipo:

σ(x)d2

dx2Pn(x) + τ (x)

d

dxPn(x) + λnPn(x) = 0 , (2.4)

donde σ y τ son polinomios de grado a lo sumo 2 y exactamente 1, respectivamente, y λn esuna constante, eran los polinomios clasicos, o sea, los polinomios de Jacobi (σ(x) = (1 − x2)),Laguerre (σ(x) = x) y Hermite (σ(x) = 1) —estas tres familias de polinomios son ortogonalescon respecto a una funcion peso definida en R (ver Tabla 1)— y, aparentemente, una nuevafamilia cuando σ(x) = x2. Estos ultimos, denominados polinomios de Bessel, a diferencia delas tres familias anteriores no corresponden a un caso definido positivo, es decir la medida deortogonalidad no es positiva. Aunque estos polinomios habıan sido considerados por muchosmatematicos (e.g. Burchnall y Chaundy en 1931), fueron H. L. Krall y O. Frink quienes lospresentaron formalmente en 1949 en su artıculo A new class of orthogonal polynomials (Trans.Amer. Math. Soc. 65) [12] y les dieron el nombre por su relacion con las funciones de Bessel.En ese magnıfico trabajo estudiaron un sinnumero de propiedades y probaron la ortogonalidadrespecto a una funcion peso en la circunferencia unidad T. Sin embargo no encontraron ningunafuncion “peso”(necesariamente signada) sobre la recta real. El problema fue finalmente resueltopor A. Duran en 1990 en donde se desarrolla un metodo general para encontrar explıcitamentefunciones muy regulares con momentos dados; como aplicacion encontro las primeras medidassignadas sobre R y (0,+∞) respecto a las cuales los polinomios de Bessel eran ortogonales.

Cuadro 1: Los polinomios ortogonales clasicos.

SPO funcion Pn σ(x) funcion peso Intervalo deortogonalidad

Laguerre σ(x) = x xαe−x [0,∞)

Hermite σ(x) = 1 e−x2(−∞,∞)

Jacobi σ(x) = 1− x2 (1− x)α(1 + x)β [−1, 1]

Bessel σ(x) = x2 2α+1∑∞

m=0(−2)m

Γ(m+α+1)zm T

Otra caracterizacion, la mas antigua, se debe a Sonin quien, en 1887, probo que los unicospolinomios ortogonales que satisfacıan la propiedad de que sus derivadas P ′

n tambien eranortogonales eran los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. Esta propiedad fue redescubiertaW. Hahn en 1935 quien tambien recupero los polinomios de Bessel no considerados por Sonin—el caso Bessel tambien fue estudiado por H.L.Krall [11]—. Dos anos mas tarde, el mismoHahn probo un resultado mas general que contenıa al anterior: si la sucesion de polinomiosortogonales (Pn)n era tal que la sucesion de sus k−esimas derivadas (P

(k)n )n, para cierto k ∈ N,

tambien era ortogonal, entonces (Pn)n era alguna de las sucesiones de polinomios ortogonalesclasicos.

9

La tercera caracterizacion fue propuesta por F. Tricomi [18] quien conjeturo y parcialmentedemostro (para mas detalle ver [2, 6]) que solo los polinomios ortogonales clasicos se podıanexpresar en terminos de una formula tipo Rodrigues:

Pn(x) =Bn

ρ(x)

dn

dxn[ρ(x)σn(x)] , n = 0, 1, 2, ... , (2.5)

donde ρ es una funcion no negativa en cierto intervalo y σ es un polinomio independiente den. La demostracion rigurosa de este resultado fue dada por Cryer en 1969 [5], aunque ya E. H.Hildebrandt en 1931 [9] tenıa varios resultados en esa direccion. Otra caracterizacion consisteen que los unicos polinomios ortogonales respecto a una funcion peso ρ solucion de la ecuaciondiferencial de Pearson

[ρ(x)σ(x)]′ = τ (x)ρ(x), grado σ ≤ 2, grado τ = 1 ,

eran los clasicos (Jacobi, Laguerre y Hermite), que fue probada por Hildebrandt en 1931 [9].

2.3. Teorıa general. Stieltjes y Chebyshev

Como hemos visto en la seccion anterior, los polinomios ortogonales estan estrechamenterelacionados con las ecuaciones diferenciales y teorıa de aproximacion (en particular por surelacion con las fracciones continuas). Esta conexion, y en especial la segunda, conducen alnacimiento, en la segunda mitad del siglo XIX, de la teorıa general sobre polinomios ortogonales.

Veamos, en primer lugar, la relacion entre los polinomios ortogonales y la teorıa de lasfracciones continuas. Comenzaremos con los trabajos de Thomas Jan Stieltjes Jr. (1856–1894).Stieltjes, en su famoso ensayo Recherches sur les fractions continues (Ann. Fac. Sci. Univ.Toulouse, 8 (1894) 1-122, 9 (1895) 1-47) publicado postumamente en dos partes en 1894 y1895, desarrollo la teorıa general de las S-fracciones definidas por

1

c1z +1

c2 +1

c3z + · · · 1

c2n +1

c2n+1z + .. .

,

con la condicion ck > 0 (k = 1, 2, ...). Stieltjes probo que haciendo el cambio a20 = 1/c1, b0 =

−1/(c1c2) y a2n = 1/(c2n−1c

22nc2n+1), bn = −1/(c2nc2n+1) − 1/(c2n+1c2n+2), n = 1, 2, . . ., esta

fraccion se transformaba en una de las fracciones continuas de Jacobi y, ademas, que si ak = 0,para todo k ≥ n+1, entonces la expresion anterior se transformaba en una funcion racional fn(z)

de la forma fn(z) = 1a1

p(1)n−1(z)

pn(z), donde los polinomios denominadores pn(z) y los numeradores

p(1)n−1(z) son soluciones de la relacion de recurrencia a tres terminos

zrn(z) = an+1rn+1(z) + bnrn(z) + anrn−1(z), n ≥ 0 ,

Thomas Stieltjes

con las condiciones iniciales:

r−1(z) = 0, r0(z) = 1 y r−1(z) = 1, r0(z) = 0,

respectivamente. A partir de la relacion de recurrencia y para elcaso de las J-fracciones, Stieltjes demostro que existıa un funcio-nal L, lineal y positivo, tal que, L(pnpm) = 0 para n 6= m,

10

lo cual se puede interpretar como una version primitiva del fa-moso teorema de Favard demostrado antes por O. Perron (1929),A. Wintner (1929) y M. H. Stone (1932), J. Sherman (1935)y I. P. Natanson (1935) indistintamente que asegura lo siguien-te:

Teorema: (Favard 1935) Supongamos que una sucesion de polinomios (pn)n satisface una re-lacion de recurrencia a tres terminos de la forma:

zpn(z) = an+1pn+1(z) + bnpn(z) + anpn−1(z), n ≥ 0 ,

con ak+1 > 0 y bk ∈ R (k = 0, 1, 2, ...) y las condiciones iniciales p−1(z) = 0 y p0(z) = 1.Entonces, dichos polinomios pn son ortonormales en L2(α), siendo α cierta medida positivasobre la recta real, o sea, existe una funcion real no decreciente α con un numero infinito depuntos de crecimiento efectivo tal que, para todo n,m = 0, 1, 2, ... se tiene que:

∫ ∞

−∞pn(x)pm(x)dα(x) = δmn,

donde, como antes, δmn es el sımbolo de Kronecker.Ademas demostro que tales polinomios tenıan ceros con unas propiedades muy interesantes:

todos eran reales y simples, y los ceros de pn entrelazaban con los ceros de p(1)n−1 y con los de

pn−1.El Recherches de Stieltjes no solo constituyo un trabajo esencial en la teorıa de fraciones con-

tinuas sino que represento el primer trabajo dedicado a la naciente teorıa general de polinomiosortogonales. Ademas de ello, en el Stieltjes introduce lo que se conoce actualmente como proble-ma de momentos (dada una sucesion (µn)n, encontrar una medida µ(x) tal que µk =

∫xndµ(x))

ası como una extension de la integral de Riemann —la integral de Riemann-Stieltjes— que lepermitio un tratamiento mas general de la ortogonalidad.

Pafnuti Chebyshev

Ademas de los trabajos de Stieltjes debemos destacar tambien los delmatematico ruso Pafnuti Lvovich Chebyshev. Chebyshev estudio un in-gente numero de problemas relacionados con los polinomios ortogonales— ya comentamos sus trabajos donde estudia los polinomios de Hermitey Laguerre y la introduccion de la primera familia “discreta”—, llegan-do a ellos al tratar de resolver problemas aplicados. Por ejemplo, susinvestigaciones en 1854 sobre algunos mecanismos que transformaban laenergıa de rotacion en energıa de traslacion le llevaron al problema demejor aproximacion. Ası, en su memoria Theorie des mecanismes connussous le nom de parallelogrammes (Oeuvres, Tomo I, Chelsea Pub. Co. 111-145), Chebyshev planteo el problema de encontrar la mejor aproximacionpolinomica uniforme de una funcion continua f , o sea, dada la funcioncontinua f definida en cierto intervalo (a, b), encontrar dentro del conjunto Pn de todos los po-linomios de grado a lo sumo n el polinomio pn de grado n tal que el maximo de |f(x)−pn(x)| seamınimo en dicho intervalo. De esa manera introdujo los hoy conocidos polinomios de Chebyshevde primera especie Tn(x) que son la solucion al problema extremal de encontrar los polinomiosmonicos pn(x) = xn + · · · tales que max |pn(x)| en el intervalo [−1, 1] sea mınimo, encontrandola solucion

mınpn∈Pn

maxx∈[−1,1]

|pn(x)| = 1

2n−1, pn(x) =

1

2n−1Tn(x) =

1

2n−1cos(n arcosx).

Estos polinomios forman un sistema ortogonal con respecto a la funcion peso ρ(x) = 1/√

1− x2

y coinciden con los polinomios de Jacobi P− 1

2,− 1

2n .

11

Debemos destacar que Chebyshev obtuvo numerosos resultados sobre los polinomios orto-gonales. En 1859, desde diferentes consideraciones, estudio otros sistemas de polinomios orto-gonales como los de Hermite y Laguerre. Sin embargo, el no los introdujo a partir de la relacionde ortogonalidad sino a partir del desarrollo en serie de potencias para las fracciones continuasde la forma

∫ b

aρ(x)dxz−x

. Chebyshev tambien estudio el problema de momentos y formulas de cua-dratura e introdujo la primera familia de polinomios discretos: los ya mencionados polinomiosdiscretos de Chebyshev.

Por estas razones, tanto a Stieltjes como a Chebyshev se les considera los padres de la teorıade polinomios ortogonales que estaba por llegar a principios del siglo XX, y que se consolido en1939 con la aparicion de la monografıa Orthogonal Polynomials de Gabor Szego [17]. En estaexcelente monografıa, aparte de presentar una teorıa general sobre polinomios ortogonales, seincluyen gran cantidad de resultados sobre las familias clasicas y se inicia la teorıa de Szego depolinomios sobre la circunferencia unidad.

12

3. Los polinomios clasicos.

3.1. La ecuacion diferencial hipergeometrica.

Nuestro objetivo sera estudiar los polinomios ortogonales clasicos definidos sobre el ejereal. Vamos a usar el punto de vista desarrollado por Nikiforov y Uvarov en su libro [15], osea, vamos a definir los polinomios ortogonales clasicos como las soluciones polinomicas de lasiguiente ecuacion diferencial de segundo orden:

σ(x)y′′ + τ (x)y′ + λy = 0, (3.1)

donde σ y τ son polinomios de grados a lo mas 2 y 1, respectivamente. Es decir, diremos queuna familia de polinomios ortogonales (Pn)n es clasica si el grado de cada Pn es exactamente ny se tiene que ∫ b

a

Pn(x)Pm(x)ρ(x)dx = δnmd2n, ∀n,m ≥ 0,

o equivalentemente, que para todo n ≥ 0∫ b

a

xkPn(x)ρ(x)dx = 0, ∀k ≤ n,

y distinto de dero para k = n. Para probar la equivalencia entre las dos formulas anterioresbasta usar el hecho de que como el grado de Pn es exactamente n, (Pn)n forma una base delespacio de los polinomios y por tanto cualquier polinomio, y en particular xk se puede expresarcomo una combinacion lineal de los mismos.

La razon fundamental de emplear esta caracterizacion se debe a que el metodo utilizado eneste apartado se basa en el estudio de las soluciones polinomicas de (3.1) y sera facilmente ge-neralizable al caso de los polinomios en redes no uniformes. Este algoritmo clasico esta descritocon detalle en [14, 15].

La ecuacion (3.1) usualmente se denomina ecuacion diferencial hipergeometrica pues lassoluciones y de la misma cumplen con la propiedad, conocida como propiedad de hipergeome-tricidad, de que sus m-esimas derivadas y(m) ≡ ym satisfacen una ecuacion del mismo tipo. Enefecto, si derivamos (3.1) m veces obtenemos que ym satisface una ecuacion de la forma:

σ(x)y′′m + τm(x)y′

m + µmym = 0,

τm(x) = τ (x) + mσ′(x), µm = λ +m−1∑

i=0

τ ′i(x) = λ + mτ ′(x) + m(m−1)

2σ′′(x) .

(3.2)

Ademas, es evidente que grado τm ≤ 1 y que µm es una constante.

Para probarlo usemos la induccion. Derivando una vez la ecuacion (3.1) tenemos

σy′′1 + [τ (x) + σ′(x)]y′

1 + (λ + τ ′)y1 = 0.

Llamando τ1(x) = τ (x) + σ′(x) y µ1 = λ + τ ′, obtenemos

σy′′1 + τ1(x)y′

1 + µ1y1 = 0,

donde obviamente σ y τ1 son polinomios de grados a lo mas 2 y 1, respectivamente. Suponiendoque las m− 1 derivadas satisfacen entonces la ecuacion

σ(x)y′′m−1 + τm−1(x)y′

m−1 + µm−1ym−1 = 0, (3.3)

13

y derivando obtenemos

σ(x)y′′m + τm(x)y′

m + µmym = 0,

τm(x) = τm−1(x) + σ′(x), µm = µm−1 + τ ′m−1.

(3.4)

Luego

τm(x) = τm−1(x) + σ′(x) = τm−2(x) + 2σ′(x) = · · · τ0(x) + mσ′(x), τ0(x) = τ (x).

Ahora bien, como

µm − µm−1 = τ ′m−1, =⇒

m∑

k=1

(µk − µk−1) =

m∑

k=1

τ ′k−1,

de donde deducimos

µm − µ0 =

m∑

k=1

τ ′k−1, µ0 = λ.

Usando ahora que τ ′k−1 = τ ′ + (k − 1)σ′′, obtenemos el resultado deseado.

Una propiedad muy importante de la ecuacion hipergeometrica es que toda solucion de (3.2)es necesariamente de la forma ym = y(m) siendo y solucion de (3.1).

Para demostrarlo usaremos nuevamente la induccion. Supongamos que yk es solucion de

σ(x)y′′k + [τ (x) + kσ′(x)]y′

k +

(λ +

k−1∑

i=0

τ ′i

)yk = 0

y supongamos que yk no se puede expresar como y′k−1, siendo yk−1 solucion de la ecuacion

σ(x)y′′k−1 + [τ (x) + (k − 1)σ′(x)]y′

k−1 +

(λ +

k−2∑

i=0

τ ′i

)yk−1 = 0.

Como µk−1 6= 0, tendremos que la ecuacion anterior se transforma en:

yk−1 = − 1

µk−1

[σy′′k−1 + τk−1y

′k−1].

Derivando la ecuacion anterior una vez tendremos que

σ(x)(y′k−1)

′′ + [τ (x) + kσ′(x)](y′k−1)

′ + µk(y′k−1) = 0.

Luego y′k−1 = yk lo cual es una contradiccion. El caso m = 1 se obtiene directamente si ponemos

k = 1 y por tanto k − 1 = 0 1.

Esta propiedad es muy importante pues nos permite encontrar una formula explıcita paralos polinomios que satisfacen la ecuacion (3.1).

1Esta propiedad fue observada por Nikiforov y Uvarov, ver e.g. [15, Capıtulo I, §2].

14

3.2. La ecuacion en forma autoadjunta y sus consecuencias.

Comenzaremos escribiendo (3.1) y (3.2) en su forma simetrica o autoconjugada:

[σ(x)ρ(x)y′]′ + λρ(x)y = 0, [σ(x)ρm(x)y′m]′ + µmρm(x)ym = 0, (3.5)

donde ρ y ρm son funciones de simetrizacion que satisfacen las ecuaciones diferenciales de primerorden (conocidas como ecuaciones de Pearson):

[σ(x)ρ(x)]′ = τ (x)ρ(x), [σ(x)ρm(x)]′ = τm(x)ρm(x).

Si ρ es conocida entonces, utilizando las ecuaciones anteriores, obtenemos para ρm la expresion:

ρm(x) = σm(x)ρ(x). (3.6)

Teorema 3.1 Las soluciones polinomicas de la ecuacion (3.2) se expresan mediante la formulade Rodrigues

P (m)n (x) =

AnmBn

ρm(x)

dn−m

dxn−m[ρn(x)], (3.7)

donde Bn = P (n)n /Ann y2

Anm = Am(λ)∣∣∣λ=λn

=n!

(n−m)!

m−1∏

k=0

[τ ′ + 12(n + k − 1)σ′′]. (3.8)

Ademas, el autovalor µm de (3.2) es

µm = µm(λn) = −(n −m)[τ ′ + 12(n + m− 1)σ′′]. (3.9)

Demostracion: Para demostrar el teorema vamos a escribir la ecuacion autoconjugada para lasderivadas de la siguiente forma

ρm(x)ym = − 1

µm

[ρm+1(x)ym+1]′,

luego

ρm(x)ym =Am

An

dn−m

dxn−m[ρn(x)yn] , Am = (−1)m

m−1∏

k=0

µk, A0 = 1.

Como estamos buscando soluciones polinomicas, y ≡ Pn, tenemos que P(n)n es una constante;

por tanto, para las derivadas de orden m, P(m)n , obtenemos la expresion

P (m)n (x) =

AnmBn

ρm(x)

dn−m

dxn−m[ρn(x)],

donde Anm = Am(λ)∣∣∣λ=λn

y Bn = P (n)n /Ann. Como P

(n)n es una constante, de (3.2) obtenemos

que µn = 0, luego, usando la expresion (3.2) µn = λn+ nτ ′(x)+n(n− 1)σ′′(x)/2 = 0 deducimosque el valor de λn en (3.1) se expresa mediante la formula3

λ ≡ λn = −nτ ′ − n(n − 1)

2σ′′. (3.10)

2Usando la expresion (3.10) podemos obtener una expresion alternativa Anm = (−n)m

∏m−1k=0

λn+k

(n+k).

3Esta misma expresion se puede obtener tambien sustituyendo en (3.1) el polinomio de grado n e igualandolos coeficientes de xn.

15

Sustituyendo (3.10) en (3.2) obtenemos el valor de µnm = µm(λn)

µnm = µm(λn) = −(n−m)[τ ′ + 12(n + m− 1)σ′′], (3.11)

de donde, usando que Anm = Am(λn) = (−1)m∏m−1

k=0 µnk, deducimos el valor de la constanteAnm.

La formula (3.10) determina los autovalores λn de (3.1) y es conocida como condicion dehipergeometricidad. Esta misma expresion se puede obtener tambien sustituyendo en (3.1) elpolinomio de grado n e igualando los coeficientes de xn.

Cuando m = 0 la formula (3.7) se convierte en la conocida formula de Rodrigues para lospolinomios clasicos (ver caracterizacion de las SPOC):

Pn(x) =Bn

ρ(x)

dn

dxn[σn(x)ρ(x)], n = 0, 1, 2, ... . (3.12)

Es importante destacar que en la prueba hemos asumido que µnk 6= 0 para k = 0, 1, . . . , n−1.De la expresion explıcita (3.11) deducimos que para que ello ocurra es suficiente que τ ′+nσ′′/2 6=0 para todo n = 0, 1, 2, . . .. Notese que esta condicion es equivalente a λn 6= 0 para todo n ∈ N.Ademas, de ella se deduce que τ ′

n 6= 0 para todo n ∈ N. Esta condicion se conoce como condicionde regularidad del funcional de momentos asociado a los polinomios clasicos [13].

Hasta ahora solo nos ha interesado encontrar soluciones polinomicas de la ecuacion dife-rencial (3.1). Si tambien queremos que dichas soluciones sean ortogonales tenemos que exigiralgunas condiciones complementarias. Veamos como a partir de las ecuaciones diferenciales si-metrizadas (3.5) podemos demostrar la ortogonalidad de las soluciones polinomicas respecto ala funcion peso ρ.

Teorema 3.2 Supongamos que xkσ(x)ρ(x)∣∣∣x=a,b

= 0, para todo k ≥ 0. Entonces las soluciones

polinomicas Pn de la ecuacion (3.1) constituyen una SPO respecto a la funcion peso ρ definidapor la ecuacion [σ(x)ρ(x)]′ = τ (x)ρ(x), o sea, se cumple que:

∫ b

a

Pn(x)Pm(x)ρ(x)dx = δnmd2n, (3.13)

donde δnm es el sımbolo de Kronecker y dn denota la norma de los polinomios Pn.

Demostracion: Sean Pn y Pm dos de las soluciones polinomicas de (3.1). Partiremos de lasecuaciones simetrizadas para Pn y Pm,

[σ(x)ρ(x)P ′n(x)]′ + λnρ(x)Pn(x) = 0,

[σ(x)ρ(x)P ′m(x)]′ + λmρ(x)Pm(x) = 0.

Multiplicando la primera por Pm y la segunda por Pn, restando ambas e integrando en [a, b]obtenemos:

(λn − λm)

∫ b

a

Pn(x)Pm(x)ρ(x)dx =

=

∫ b

a

([σ(x)ρ(x)P ′

m(x)]′Pn(x)− [σ(x)ρ(x)P ′n(x)]′Pm(x)

)dx =

= σ(x)ρ(x)

∣∣∣∣Pn(x) Pm(x)P ′

n(x) P ′m(x)

∣∣∣∣x=a,b

= σ(x)ρ(x)W [Pn(x), Pm(x)]∣∣∣x=a,b

.

16

Pero el Wronskiano W (Pn, Pm) es un polinomio en x; por tanto, si exigimos la condicion deque xkσ(x)ρ(x) se anule en x = a y x = b (para todo k ≥ 0) obtendremos (λn 6= λm) que lospolinomios Pn y Pm son ortogonales respecto a la funcion peso ρ. Aquı debemos destacar quea y b se suelen escoger de tal forma que ρ sea positiva en el intervalo [a, b]. Una eleccion puedeser tomar a y b como las raıces de σ(x) = 0, si estas existen [15].

De forma analoga, utilizando la ecuacion (3.5) para las derivadas yk ≡ P(k)n , se puede demos-

trar que las k−esimas derivadas de los polinomios hipergeometricos tambien son ortogonales,es decir, que ∫ b

a

P (k)n (x)P (k)

m (x)ρk(x)dx = δnmd2kn. (3.14)

Finalmente, para calcular la norma dn de los polinomios podemos utilizar la formula deRodrigues que, sustituyendola en (3.13) e integrando por partes, nos da:

d2n = Bn(−1)nn!an

∫ b

a

σn(x)ρ(x)dx. (3.15)

3.3. La relacion de recurencia a tres terminos y sus consecuencias.

Una consecuencia de la propiedad de ortogonalidad es el siguiente

Teorema 3.3 Los polinomios ortogonales satisfacen una relacion de recurrencia a tres termi-nos de la forma

xPn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x), (3.16)

donde

αn =an

an+1, βn =

bn

an− bn+1

an+1, γn =

cn − αncn+1

an−1− bn

an−1βn =

an−1

an

d2n

d2n−1

, (3.17)

donde an, bn y cn son los coeficientes del desarrollo Pn(x) = anxn + bnxn−1 + cnxn−2 + · · ·, y dn

es la norma de los polinomios.

Generalmente se impone que P−1(x) = 0 y P0(x) = 1, con lo que la sucesion de polinomiosortogonales queda determinada de forma unica conocidas las sucesiones (αn)n, (βn)n y (γn)n.

Demostracion: Utilizando que la sucesion (Pn)n es una base del espacio de los polinomios,tenemos que el polinomio xPn(x) de grado n + 1 se puede desarrollar en serie de Fourier:

xPn(x) =

n+1∑

k=0

cnkPk(x), cnk =

∫ b

axPn(x)Pk(x)ρ(x)dx

d2n

.

Pero cnk = 0 para todo 0 ≤ k < n− 1, de donde se concluye que la SPO satisface una relacionde recurrencia a tres terminos de la forma

xPn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x), (3.18)

donde los coeficientes αn, βn, y γn se expresan mediante las formulas:

αn =

∫ b

axPn(x)Pn+1(x)ρ(x)dx

d2n+1

, βn =

∫ b

axPn(x)Pn(x)ρ(x)dx

d2n

,

γn =

∫ b

axPn(x)Pn−1(x)ρ(x)dx

d2n−1

.

(3.19)

17

Calculemos una expresion general para los coeficientes αn y βn. Para ello necesitamos co-nocer los coeficientes principales an y bn del polinomio Pn (Pn(x) = anxn + bnxn−1 + · · ·).

Para calcular an tenemos que, por un lado P(n)n (x) = n!an y por el otro, utilizando la formula

de Rodrigues (3.7) P(n)n (x) = BnAnn, por tanto,

an =BnAnn

n!= Bn

n−1∏

k=0

[τ ′ + 12(n + k − 1)σ′′]. (3.20)

Para calcular bn utilizaremos la formula de Rodrigues para la n − 1-esima derivada de Pn:P

(n−1)n (x) = Ann−1Bnτn−1(x), de donde obtenemos la igualdad:

P (n−1)n (x) = n!anx + (n− 1)!bn = Ann−1Bnτn−1(x).

Luego,

bn =nτn−1(0)

τ ′n−1

an. (3.21)

Observese que al ser τ un polinomio de grado uno, τ ′n 6= 0 y por tanto bn esta definido para

cualquier n.

Usando las expresiones (3.17) ası como (3.21) deducimos:

αn =an

an+1=

Bn

Bn+1

τ ′ + (n− 1)σ′′

2

(τ ′ + (2n− 1)σ′′

2)(τ ′ + (2n)σ′′

2),

βn =nτn−1(0)

τ ′n−1

− (n + 1)τn(0)

τ ′n

.

Es importante destacar que

τn(βn) = nτ (0)σ′′ − τ ′σ′(0)

τ ′n−1

. (3.22)

Vamos a dar una expresion alternativa para γn sin usar la norma de los polinomios4. Paraello igualamos los coeficientes de xn−2 en la ecuacion diferencial (3.1). Ello nos conduce a laexpresion:

cn = −(n− 1)[τ (0) + (n− 2)σ′(0)]bn + n(n− 1)σ(0)an

(n− 2)[τ ′ + (n− 3)σ′′

2] + λn

= −n(n − 1)[τn−2(0)τn−1(0) + σ(0)τ ′n−1]

τ ′n−1(λn − λn−2)

an.

(3.23)

Luego nos resta sustituir la expresion anterior en la formula (3.17)

γn =cn − αncn+1

an−1

− bn

an−1

βn.

Como un corolario de (3.16) se obtiene la conocida formula de Christoffel-Darboux:

Teorema 3.4 Si (Pn)n es una sucesion de polinomios ortogonales que satisface la relacion derecurrencia a tres terminos (3.16). Entonces se cumple que:

Kern(x, y) ≡n∑

m=0

Pm(x)Pm(y)

d2m

=αn

d2n

Pn+1(x)Pn(y)− Pn+1(y)Pn(x)

x− y, n ≥ 1 . (3.24)

4En muchos casos el calculo de la norma es algo engorroso.

18

Demostracion: La demostracion de este resultado es muy sencilla. La idea es la siguiente: escri-bamos la relacion (3.16) para las sucesiones de polinomios (Pn)n y (Pn)n:

xPk(x) = αkPk+1(x) + βkPk(x) + γkPk−1(x),

yPk(y) = αkPk+1(y) + βkPk(y) + γkPk−1(y),

donde αk, βk y γk vienen dados por la formula (3.19). Multiplicando la primera ecuacion porPk(y), la segunda por Pk(x) y substrayendo ambas obtenemos:

(x− y)Pk(x)Pk(y)

d2k

= Ak − Ak−1,

dondeAk =

αk

d2k

[Pk+1(x)Pk(y)− Pk+1(y)Pk(x)].

Sumando esta expresion desde k = 0 hasta k = n y teniendo en cuenta que el segundo miembroes una suma telescopica obtenemos el resultado deseado.

Si hacemos tender y → x, obtenemos la formula confluente de Christoffel-Darboux:

Kern(x, x) ≡n∑

m=0

P 2m(x)

d2m

=αn

d2n

[P ′n+1(x)Pn(x)− Pn+1(x)P ′

n(x)] n ≥ 1 . (3.25)

Proposicion 3.1 Los polinomios nucleos satisfacen la siguiente propiedad reproductora

∫ b

a

p(x)Kern(x, y)dx = p(y), ∀p(x) ∈ Pn. (3.26)

Demostracion: La demostracion es inmediata. Como p(x) ∈ Pn, entonces p(x) =n∑

k=0

ckPk(x),

luego

∫ b

a

n∑

k=0

ckPk(x)

n∑

m=0

Pm(x)Pm(y)

d2m

dx =

n∑

k=0

n∑

m=0

ckPm(y)

d2m

∫ b

a

Pk(x)Pm(x)dx =

n∑

k=0

ckPk(y) = p(y).

Los polinomios nucleos son utiles en distintos contextos de la teorıa de polinomios ortogo-nales. Ademas de tener la notable propiedad reproductora (3.26) son la solucion del siguienteproblema extremal.

Teorema 3.5 Sea ρ una funcion no negativa en (a, b). Sea Πn el espacio de los polinomiosp(x) de grado a lo sumo n tales que p(x0) = 1, x ∈ (a, b). Entonces

mınp∈Πn

∫ b

a

p2(x)ρ(x)dx =1

Kern(x0, x0),

y se alcanza para pmin(x) =Kern(x, x0)

Kern(x0, x0), donde Kern denota a los polinomios nucleos de los

correspondientes polinomios ortogonales respecto a ρ.

19

Demostracion: Usando que los polinomios ortogonales son una base del espacio de los polinomios

tenemos p(x) =n∑

k=0

ckPk(x)

dk, de donde

∫ b

a

p2(x)ρ(x)dx =n∑

k=0

c2k. Por otro lado, usando la

condicion p(x0) = 1 tenemos p(x0) =n∑

k=0

ckPk(x0)

d2k

. Luego, usando la desigualdad de Cauchy-

Bunyakovsky tenemos

1 ≤(

n∑

k=0

c2k

)(n∑

m=0

Pk(x0)2

d2k

)=⇒

(n∑

k=0

c2k

)≤ (Kern(x0, x0))

−1 ,

y la igualdad solo tiene lugar si ck = λPk(x0), de donde se sigue que λ = (Kern(x0, x0))−1, y por

tanto mınp∈Πn

∫ b

a

p2(x)ρ(x)dx = mınp∈Πn

c2k =

1

Kern(x0, x0)y se alcanza para ck = Pk(x0) (Kern(x0, x0))

−1.

Las formulas anteriores tienen una serie de consecuencias interesantes.

Teorema 3.6 Supongamos que ρ(x) es positiva en el interior del intervalo (a, b). Entonces:

1. Todos los ceros de Pn son reales, simples y estan localizados en (a, b).

2. Dos polinomios consecutivos Pn y Pn+1 no pueden tener ningun cero en comun.

3. Denotemos por xn,j a los ceros del polinomio Pn, (consideraremos en adelante que xn,1 <xn,2 < · · · < xn,n). Entonces:

xn+1,j < xn,j < xn+1,j+1,

es decir, los ceros de Pn y Pn+1 entrelazan unos con otros.

Demostracion: Sin perdida de generalidad consideraremos el caso cuando los Pn son monicos,es decir, Pn(x) = xn + · · ·. Como

∫ b

a

Pn(x) · 1ρ(x)dx = 0,

entonces indica que Pn cambia de signo dentro de (a, b). Denotemos por x1, ..., xk los ceros dePn de multiplicidad impar que estan dentro del intervalo (a, b) y sea p el polinomio p(x) =(x− x1) · · · (x− xk). Es evidente que p(x)Pn(x) > 0, en (a, b). Luego

∫ b

a

p(x)Pn(x)ρ(x)dx > 0,

y por tanto, grado p = k ≥ n. Pero k es el numero de ceros de Pn por lo que k ≤ n. Elloimplica que k = n y por tanto todos los ceros de Pn son simples, reales y estan en el interiorde (a, b). Luego, 1 queda demostrado. Para demostrar 2 utilizaremos la relacion de recurrenciaa tres terminos. Supongamos que a es un cero de Pn y Pn+1. Entonces de (3.16) se deduce quea tambien es un cero de Pn−1. Continuando este proceso obtenemos que a es un cero de P0 = 1lo cual es una contradiccion. Finalmente, demostremos la propiedad de entrelazamiento de losceros de Pn y Pn+1. Notese que de la formula confluente de Christoffel-Darboux (3.25) evaluadaen xn+1,j se obtiene que:

P ′n+1(xn+1,j)Pn(xn+1,j) > 0.

20

Al ser xn+1,j y xn+1,j+1 dos ceros consecutivos del polinomio Pn+1, por el teorema de RolleP ′

n+1 se anula al menos una vez en el interior del intervalo Ij = (xn+1,j, xn+1,j+1). Ahora bien,al ser los ceros de Pn+1 simples, entonces los signos de P ′

n+1(xn+1,j) y P ′n+1(xn+1,j+1) son no

nulos y distintos por lo que de la desigualdad obtenida se deduce que los signos de Pn(xn+1,j) yPn(xn+1,j+1) tambien son no nulos y distintos entre sı. Luego, el teorema de Bolzano nos aseguraque Pn se anula al menos una vez en el intervalo Ij = (xn+1,j, xn+1,j+1). Pero hay precisamenten intervalos Ik y Pn solo tiene n ceros, entonces existe un unico cero de Pn entre dos cerosconsecutivos de Pn+1.

3.4. Algunas consecuencias de la formula de Rodrigues.

Pasemos ahora a estudiar algunas de las consecuencias de la formula de Rodrigues.

1. Si calculamos el polinomio de grado 1 utilizando la formula de Rodrigues (3.7) obtenemos:

P1(x) =B1

ρ(x)[σ(x)ρ(x)]′ = B1τ (x),

y por tanto τ es un polinomio de grado exactamente uno.

2. Tomemos ahora m = 1 en la formula (3.7). Realizando unos calculos directos obtenemos:

P ′n(x) =

An1Bn

ρ1(x)

dn−1

dxn−1[ρn(x)] =

−λnBn

ρ1(x)

dn−1

dxn−1[ρ1n−1(x)].

Luego

P ′n(x) =

−λnBn

Bn−1

Pn−1(x), (3.27)

donde Pn−1 denota al polinomio ortogonal respecto a la funcion peso ρ1(x) = σ(x)ρ(x).

3. Si escribimos la formula (3.7) para el polinomio de grado n+1, utilizando que [σ(x)ρn(x)]′

= τn(x)ρn(x) concluimos

Pn+1(x) =Bn+1

ρ(x)

dn+1

dxn+1[σn+1(x)ρ(x)] =

Bn+1

ρ(x)

dn

dxn[τn(x)ρn(x)] =

=Bn+1

ρ(x)

[τn(x)

dnρn(x)

dxn+ nτ ′

n

dn−1ρn(x)

dxn−1

].

Utilizando ahora que P ′n(x) =

−λnBn

σ(x)ρ(x)

dn−1ρn(x)

dxn−1, obtenemos la formula de diferencia-

cion:

σ(x)P ′n(x) =

λn

nτ ′n

[τn(x)Pn(x)− Bn

Bn+1Pn+1(x)

]. (3.28)

4. Si en la formula anterior (3.28) desarrollamos τn y utilizamos la relacion de recurren-cia (3.16) para descomponer los sumandos de la forma xPn obtenemos la relacion deestructura

σ(x)P ′n(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x), n ≥ 0, (3.29)

donde

αn =λn

nτ ′n

[αnτ ′

n −Bn

Bn+1

], βn =

λn

nτ ′n

[βnτ ′n + τn(0)] , γn =

λnγn

n, (3.30)

21

o, equivalentemente, usando las expresiones explıcitas para los coeficientes de la relacionde recurrencia obtenemos

αn = nσ′′

2αn, βn =

λn

τ ′nτ

′n−1

[τ (0)σ′′ − τ ′σ′(0)] =λn

nτ ′n

τn(βn), γn =λnγn

n. (3.31)

5. Sea Qn(x) ≡ P ′

n+1(x)

n+1. Entonces los polinomios ortogonales monicos Pn(x) = xn + · · ·,

soluciones de la ecuacion (3.1), satisfacen la siguiente relacion de estructura:

Pn(x) = Qn + δnQn−1 + εnQn−2. (3.32)

En efecto, como (Pn)n es una familia ortogonal tenemos

Pn(x) =n∑

m=0

cnmQm(x) =n∑

m=0

cnm

m + 1P ′

m−1(x),

donde

cnm =1

(m + 1)(d′m)2

∫ b

a

Pn(x)P ′m+1(x)σ(x)ρ(x)︸ ︷︷ ︸

ρ1(x)

dx = 0, ∀m ≤ n− 3,

pues gradoσ ≤ 2. Aquı d′m denota la norma del polinomio P ′

m−1.

Para encontrar los valores de δn y εn calculamos las integrales:

δn =

∫ b

a

Pn(x)Qn−1(x)σ(x)ρ(x)dx

∫ b

a

Qn−1(x)σ(x)ρ(x)dx

, εn =

∫ b

a

Pn(x)Qn−2(x)σ(x)ρ(x)dx

∫ b

a

Qn−2(x)σ(x)ρ(x)dx

.

Comencemos por el denominador de la primera:

∫ b

a

Q2n−1(x)σ(x)ρ(x)dx =

1

n2

∫ b

a

P ′n[σ(x)P ′

n(x)]ρ(x)dx =γn

n2

∫ b

a

P ′nPn−1(x)ρ(x)dx =

γnd2n−1

n,

donde hemos usado la formula de estructura (3.29) ası como que los polinomios son moni-cos.

Analogamente, para el numerador obtenemos

∫ b

a

Pn(x)[P ′n(x)σ(x)]ρ(x)dx =

βnd2n

n.

Finalmente, para la integral

∫ b

a

Pn(x)Qn−2(x)σ(x)ρ(x)dx obtenemos 1n−1

αn−1d2n. Combi-

nando todas estas expresiones junto a las expresiones (3.30) tenemos:

δn =nβn

λn, εn =

(n− 1)αn−1γn

λn−1. (3.33)

22

3.5. Representacion integral y funcion generatriz.

Supongamos que ρn(z) = ρ(z)σn(z) es una funcion analıtica en el interior y la fronteradel recinto limitado por cierta curva cerrada C del plano complejo que rodea al punto z = x.Entonces, utilizando la formula integral de Cauchy obtenemos:

ρn(x) =1

2πi

∫

C

ρn(z)

z − xdz, (3.34)

de donde se deduce la representacion integral

Pn(x) =Bn

2πi ρ(x)

dn

d zn

∫

C

ρn(z)

z − xdz =

n!Bn

2πi ρ(x)

∫

C

ρn(z)

(z − x)n+1dz. (3.35)

Utilizando la representacion anterior, Nikiforov y Uvarov desarrollaron un metodo unificadopara tratar los polinomios clasicos y diversas funciones especiales. Mas detalles se pueden en-contrar en [15].

Como aplicacion de la formula integral encontremos las funciones generatrices de los polino-mios clasicos. El objetivo es, dada una sucesion numerica (An)n y una sucesion de polinomios(Pn)n encontrar una funcion Φ(x, t) tal que,

Φ(x, t) =∞∑

n=0

AnPn(x)tn. (3.36)

Obviamente la serie anterior puede no converger prefijado un valor cualquiera del parametrot, por ello asumiremos que t es lo suficientemente pequeno para que la serie converja en unaregion de las x lo suficientemente amplia.

Usando (3.35) tenemos

Φ(x, t) =1

2πi ρ(x)

∫

C

ρ(z)

z − x

∞∑

n=0

(Bnn!An)

[σ(z)t

z − x

]n

dz.

Escojamos Bn de forma que Bnn!An = 1 para todo n. En esas condiciones, usando que para|σ(z)t| < |z − x| la serie

∞∑

n=0

[σ(z)t

z − x

]n

=1

1− σ(z)t

z − x

,

tenemos

Φ(x, t) =1

2πi ρ(x)

∫

C

ρ(z)

z − x− σ(z)tdz.

Ahora bien, σ es un polinomio de grado a lo sumo 2, luego el integrando tiene, en general, dosceros. Para t → 0 un cero es obviamente z = x, luego el otro debera tender a infinito asi queescogiendo t suficientemente pequeno y el contorno lo suficiente cercano a x tendremos usandoel teorema de los residuos:

Φ(x, t) =1

ρ(x)

ρ(ξ)

1− σ′(ξ)t,

donde ξ es e unico cero cercano a z de la ecuacion z − x− σ(z)t.

23

3.6. Los teoremas de caracterizacion

En este apartado vamos a profundizar en uno de los aspectos importantes de la teorıaclasica de polinomios ortogonales: ortogonales: Los teoremas de caracterizacion. Comenzaremosdando la definicion de polinomios ortogonales clasicos:

Definicion 3.1 Sea la sucesion de polinomios ortogonales (Pn)n. Se dice que (Pn)n es unasucesion de polinomios ortogonales clasica si la sucesion de sus derivadas (P ′

n)n es ortogonal.

Esta definicion se debe a Sonin que fue ademas el primero en en probar en 1887 que las unicasfamilias que satisfacıan dicha dicha propiedad eran los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite(y mas adelante, ya en el siglo XX, los polinomios de Bessel) aunque redescubierta por Hahnen 1935. Notese que la definicion es aparentemente ambigua pues no se dice nada de la medidade ortogonalidad de los polinomios ni de sus derivadas, no obstante en ella esta contenida todala informacon necesaria para encontrar a dichas familias. En este apartado solo consideraremosel caso cuando la medida es positiva y esta soportada en el eje real, es decir excluiremos el casoBessel. Ademas por sencillez vamos a dar una definicion equivalente (como probaremos masadelante).

Definicion 3.2 Sea σ y τ dos polinomios de grado a lo sumo 2 y exactamente 1, respectiva-mente, con ceros reales y distintos y sea ρ una funcion tal que

[σ(x)ρ(x)]′ = τ (x)ρ(x),

∣∣∣∣∫ b

a

xkρ(x)dx

∣∣∣∣ < +∞, (3.37)

donde (a, b) es cierto intervalo de la recta real donde ρ > 0. Diremos que una familia depolinomios ortogonales (Pn)n es clasica si es ortogonal respecto a la funcion ρ solucion de laecuacion (3.37).

Nuestra nueva definicion es ahora mas concreta pues nos esta diciendo cual es la medida deortogonalidad. Ante todo notemos que hemos impuesto que τ (x) = Ax + B sea de grado uno(A 6= 0), luego tenemos solo tres grados de libertad:

1. σ(x) = (x − a)(b − x), x ∈ [a, b] que haciendo el cambio de variables x = b−a2

t + a+b2

podemos escribir en el intervalo [−1, 1], σ(x) = 1− t2.

2. σ(x) = (x− a), x ∈ [a,∞) que haciendo el cambio lineal t = − x−aA

podemos escribir enel intervalo [0,∞), σ(x) = x y τ (x) = −x + B.

3. σ(x) = 1, x ∈ R.

Caso 1. En este caso tenemos

log(σρ) =

∫τ

σdx, τ (x) = Ax + B, σ(x) = 1− x2.

Ahora bien,

∫τ

σdx =

∫Ax + B

(1− x)(1 + x)dx = −A + B

2log(1− x)− A − B

2log(1 + x) + C,

por tanto

(1− x2)ρ(x) = (1− x)−A+B

2 (1 + x)−A−B

2 =⇒ ρ(x) = (1− x)−A+B

2−1(1 + x)−

A−B2

−1.

24

Sea α = −A+B2− 1 y β = −A−B

2− 1, luego A = −(α + β + 2), B = β − α, por tanto para

nuestra primera familia tendremos

σ(x) = 1− x2, τ (x) = −(α + β + 2)x + (β − α),

ρ(x) = (1− x)α(1 + x)β, α, β > −1, I = [−1, 1].(3.38)

La restricion α, β > − 12

se debe a la imposicion de que los momentos de la fucion peso ρ son

finitos, es decir que para todo k ≥ 0 µk =∫ 1

−1xk(1− x)α(1 + x)βdx < +∞. Notese ademas que

σ(x)ρ(x) = 0 para x = a y x = b.

Caso 2. En este caso tenemos5

∫τ

σdx =

∫ −x + B

xdx = −x+B log(x)+C, =⇒ xρ(x) = e−xxB =⇒ ρ(x) = e−xxB−1.

Sea α = B − 1, luego

σ(x) = x, τ (x) = −x + α + 1, ρ(x) = xαe−x, α > −1, I = [0,∞). (3.39)

La restricion α > −1 se debe a la imposicion de que los momentos de la fucion peso ρ son finitos,es decir que para todo k ≥ 0 µk =

∫∞0

xkxαe−xdx < +∞. Notese ademas que σ(0)ρ(0) = 0 y

lımx→∞

xkσ(x)ρ(x) = 0.

Caso 3. Este caso es el mas sencillo y se puede reducir6 al caso σ(x) = 1, τ (x) = −2x

∫τ

σdx =

∫−2xdx = −x2 + C, =⇒ ρ(x) = e−x2

.

Luegoσ(x) = 1, τ (x) = −2x, ρ(x) = e−x2

, I = R. (3.40)

Notese ademas que σ(0)ρ(0) = 0 lımx→±∞

xkσ(x)ρ(x) = 0.

Antes de pasar a considerar las distintas consecuencias de la definicion anterior vamos aprobar que incluso sin resolver la ecuacion de Pearson (3.37) se tiene que su solucion es tal que

lımx→a

xkσ(x)ρ(x) = lımx→b

xkσ(x)ρ(x) = 0. (3.41)

Para el caso 1 es evidente al ser σ(1) = σ(−1) = 0. El segundo caso es evidente en x = 0pero no para x→∞. En este caso hacemos

∫ t

0

[xkσ(x)ρ(x)]′dx = xkσ(x)ρ(x)∣∣∣t

0=

∫ t

0

[kxk−1σ(x)ρ(x) + xkτ (x)ρ(x)]dx,

donde hemos derivado el integrando y usado la ecuacion de Pearson. Como sabemos que σ(0) =0 y que los momentos estan acotados, tenemos que existe el lımite de la ultima integral y portanto el lımite lımx→b xkσ(x)ρ(x) = Ak, |Ak| < +∞. Ahora bien

Ak+1 = lımx→b

xk+1σ(x)ρ(x) = lımx→b

xAk,

5Notese que en el caso general τ(x) = Ax + B obtendrıamos ρ(x) = eAxxB−1 de donde la restriccion de quelos momentos sean finitos implica necesariamente A < 0. Lo mismo ocurre en el caso 3 cuando σ = 1.

6Nuevamente A < 0 viene impuesto por ser los momentos finitos y obviamente B = 0 siempre se puede hacerconsiderando el correspondiente cambio de variables.

25

de donde deducimos que Ak = 0.

El caso 3, σ(x) = 1 se resuelve analogamente.

Los polinomios ortogonales definidos mediante (3.38), (3.39) y (3.40) se denominan polino-mios de Jacobi, Laguerre y Hermite, respectivamente.

Proposicion 3.2 Si (Pn)n es una familia clasica segun la defincion 3.2 entonces la sucesion(P ′

n)n es una familia de polinomios ortogonales respecto a σ(x)ρ(x).

Demostracion: Como la familia (Pn)n es ortogonal tenemos para todo k < n

0 =

∫ b

a

Pn(x)xk−1τ (x)ρ(x)dx =

∫ b

a

Pn(x)xk−1[σ(x)ρ(x)]′dx

= Pn(x)xk−1ρ(x)σ(x)∣∣∣b

a−∫ b

a

[Pn(x)xk−1]′σ(x)ρ(x)dx,

donde hemos usado grado τ = 1, la ecuacion (3.37) e integrado por partes. Ası, para todo k < n

0 =

∫ b

a

P ′n(x)xk−1[σ(x)ρ(x)]dx + (k − 1)

∫ b

a

Pn(x)[xk−2σ(x)]ρ(x)dx,

donde hemos usado la condicion de contorno (3.41). Usando nuevamente la ortogonalidad de(Pn)n tenemos que la ultima integral se anula y por tanto tenemos que para todo k < n

∫ b

a

P ′n(x)xk−1[σ(x)ρ(x)]dx = 0,

luego (P ′n)n es una sucesion de polinomios ortogonales respecto a ρ1(x) = σ(x)ρ(x).

Corolario 3.1 Si (Pn)n es clasica entonces (P ′n)n tambien es clasica.

Demostracion: En efecto, por la proposicion anterior (P ′n)n es ortogonal respecto a ρ1(x) =

σ(x)ρ(x). Ademas

[σ(x)ρ1(x)]′ = σ′(x)ρ1(x) + σ(x)[σ(x)ρ(x)]′ = [τ (x) + σ′(x)]ρ1(x) = τ1(x)ρ1(x),

con grado τ1 = 1.

Corolario 3.2 Si (Pn)n es clasica entonces (P(k)n )n tambien es clasica y ademas es ortogonal

respecto a la funcion ρk(x) = σk(x)ρ(x) que es solucion de la ecuacion de Pearson

[σ(x)ρk(x)]′ = τk(x)ρk(x), τk(x) = τ (x) + kσ′(x).

La demostracion de este resultado es inmediata del corolario anterior usando induccion.

Proposicion 3.3 Si (Pn)n es una familia clasica entonces (Pn)n es solucion de la ecuaciondiferencial lineal de segundo orden

σ(x)P ′′n(x) + τ (x)P ′

n(x) + λnPn(x) = 0, λn = −n

(τ ′ + (n − 1)

σ′′

2

). (3.42)

26

Demostracion: Como (Pn)n es clasica entonces sus derivadas son tambien clasicas y ademaspara todo k < n usando (3.41)

0 =

∫ b

a

P ′n(x)(xk)′[σ(x)ρ(x)]dx = −

∫ b

a

xm[P ′n(x)σ(x)ρ(x)]′dx

=

∫ b

a

xm[σ(x)P ′′n (x) + τ (x)P ′

n(x)]ρ(x)dx.

Luego σ(x)P ′′n (x) + τ (x)P ′

n(x) = −λnPn, es decir σ(x)P ′′n (x) + τ (x)P ′

n(x) es, salvo constantemultiplicativa, el polinomio Pn(x). Finalmente, para encontrar λn igualamos las potencias xn

en (3.42).

Corolario 3.3 Si (Pn)n es una familia clasica entonces (P(k)n )n es solucion de la ecuacion

diferencial lineal de segundo orden

σ(x)[P (k)n (x)]′′ + τk(x)[P (k)

n (x)]′ + µnkP(k)n (x) = 0,

µnk = λn + kτ ′ + 12k(k − 1)σ′′, τk(x) = τ (x) + kσ′(x).

(3.43)

La demostracion nuevamente se basa en la induccion y las proposiciones 3.2 y 3.3.Una consecuencia inmediata de la ecuacion diferencial (3.43) es la formula de Rodrigues

(3.12)

Pn(x) =Bn

ρ(x)

dn

dxn[σn(x)ρ(x)], n = 0, 1, 2, . . . , (3.44)

donde ρ(x) es solucion de la ecuacion (3.37).

Una consecuencia inmediata de la formula de Rodrigues es la ecuacion de Pearson (verapartado 3.4. tal y como vimos allı,

P1(x) =B1

ρ(x)[σ(x)ρ(x)]′, =⇒ [σ(x)ρ(x)]′ = ρ(x)B1P1(x)︸ ︷︷ ︸

τ(x)

,

y por tanto τ es un polinomio de grado exactamente uno. Luego, las soluciones de la ecuaciondiferencial (3.42) que se expresan mediante la forma (3.44) son ortogonales respecto a unafuncion ρ(x) es solucion de la ecuacion (3.37). Hemos probado la siguiente proposicion

Proposicion 3.4 Si una familia de polinomios ortogonales (Pn)n se expresa mediante la formu-la de Rodrigues (3.44), entonces (Pn)n es clasica.

El conjunto de todas las proposiciones y corolarios de este apartado se puede resumir en elsiguiente Teorema de caracterizacion.

Teorema 3.7 Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. (Pn)n es una familia clasica segun la definicion 3.2

2. (Pn)n es clasica y la sucesion de sus derivadas (P ′n)n tambien es clasica

3. (Pn)n es ortogonal y la sucesion de sus k−esimas derivadas (P(k)n )n tambien es clasica

4. (Pn)n es solucion de la ecuacion diferencial de tipo hipergeometrico σ(x)P ′′n(x)+τ (x)P ′

n(x)+λnPn(x) = 0

5. (Pn)n se expresa mediante la formula de Rodrigues Pn(x) =Bn

ρ(x)

dn

dxn[σn(x)ρ(x)].

27

3.7. Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi.

3.7.1. Parametros Principales.

Comenzaremos escribiendo los principales parametros de las sucesiones de polinomiosortogonales monicos clasicos (SPOMC). Para mas detalles ver [6, 15]. Los polinomios ortogo-nales en la recta real, que son solucion de una ecuacion del tipo (3.1), se pueden clasificar entres grandes familias en funcion del grado del polinomio σ (τ siempre es un polinomio de grado1) [15]. Cuando σ es un polinomio de grado cero los polinomios correspondientes se denomi-nan Polinomios de Hermite Hn(x), cuando σ es de grado 1, Polinomios de Laguerre Lα

n(x) ycuando σ es de grado 2, Polinomios de Jacobi P α,β

n (x), respectivamente. En las tablas 2 y 3estan representados los principales parametros de dichas familias, en las cuales (a)n denota alsımbolo de Pochhammer

(a)0 = 1, (a)k = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + k − 1), k = 1, 2, 3, ... . (3.45)

Para los polinomios σ se han escogido las llamadas formas canonicas. El caso de los polinomiosde Bessel [12, 8] no lo vamos a considerar por no ser estos un caso definido positivo.

Cuadro 2: Clasificacion de las SPO Clasicas.

Pn(x) Hn(x) Lαn(x) Pα,β

n (x)

σ(x) 1 x 1− x2

τ (x) −2x −x + α + 1 −(α + β + 2)x + β − α

λn 2n n n(n + α + β + 1)

ρ(x) e−x2xαe−x (1− x)α(1 + x)β

α > −1 α, β > −1

ρn(x) e−x2xn+αe−x (1− x)n+α(1 + x)n+β

3.7.2. Representacion hipergeometrica.

De la formula de Rodrigues (3.7) se puede obtener la representacion de los polinomiosde Hermite, Laguerre y Jacobi en terminos de la funcion hipergeometrica de Gauss 2F1 [15]definida en el caso mas general de forma:

pFq

(a1, a2, ..., ap

b1, b2, ..., bq

∣∣∣∣x)

=∞∑

k=0

(a1)k(a2)k · · · (ap)k

(b1)k(b2)k · · · (bq)k

xk

k!. (3.46)

De esta manera encontramos que:

Hn(x) =

(−1)m( 12)m 1F1

(−m

12

∣∣∣∣x2

), n = 2m

(−1)m( 32)mx 1F1

(−m

32

∣∣∣∣x2

), n = 2m + 1

, (3.47)

28

Lαn(x) =

(−1)nΓ(n + α + 1)

Γ(α + 1)1F1

(−n

α + 1

∣∣∣∣x)

, (3.48)

Pα,βn (x) =

2n(α + 1)n

(n + α + β + 1)n2F1

(−n, n + α + β + 1

α + 1

∣∣∣∣1− x

2

). (3.49)

3.7.3. Funciones generatrices.

∞∑

n=0

(−1)n2n

n!Hn(x)tn = et2−2tx,

∞∑

n=0

(−1)n

n!Lα

n(x)tn =e−

tx1−t

(1− t)α+1, (3.50)

∞∑

n=0

(−1)n(α + β + 1)n

n!Pα,β

n (x)tn =2α+β

R(1− 2t + R)α(1 + 2t + R)β, (3.51)

con R =√

1 + 4t(t + x).

Cuadro 3: Parametros de las SPO Monicas (an = 1).

Pn(x) Hn(x) Lαn(x) P

α,βn (x)

Bn(−1)n

2n(−1)n (−1)n

(n + α + β + 1)n

bn 0 −n(n + α)n(α− β)

2n + α + β

d2n

n!√

π

2nΓ(n + α + 1)n!

2α+β+2n+1n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)

Γ(n + α + β + 1)(2n + α + β + 1)(n + α + β + 1)2n

αn 1 1 1

βn 0 2n + α + 1β2 − α2

(2n + α + β)(2n + 2 + α + β)

γnn

2n(n + α)

4n(n + α)(n + β)(n + α + β)

(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2(2n + α + β + 1)

αn 0 0 −n

βn 0 n2(α− β)n(n + α + β + 1)

(2n + α + β)(2n + 2 + α + β)

γn n n(n + α)4n(n + α)(n + β)(n + α + β)(n + α + β + 1)

(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2(2n + α + β + 1)

δn 0 n2n(α− β)

(2n + α + β)(2n + 2 + α + β)

εn 0 0 − 4n(n− 1)(n + α)(n + β)

(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2(2n + α + β + 1)

29

Casos particulares.

1. Los polinomios de Legendre Pn(x) = P(0,0)n (x).

2. Los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x):

Tn(x) = P(− 1

2,− 1

2)

n (x) =1

2n−1cos[n arccos (x)].

3. Los polinomios de Chebyshev de segunda especie Un(x):

Un(x) = P( 12, 12)

n (x) =1

2n

sen[(n + 1) arccos (x)]

sen[ arccos (x)].

4. Los polinomios de Gegenbauer Gλn(x):

Gλn(x) = P

(λ− 12,λ− 1

2)

n (x), λ > − 12.

3.7.4. Otras caracterısticas.

Como consecuencia de las formulas anteriores podemos obtener los valores de los polino-mios en los extremos del intervalo de ortogonalidad. Estos valores pueden ser obtenidos tambiena partir de la formula de Rodrigues (3.7) aplicando la regla de Leibniz para calcular la n-esimaderivada de un producto de funciones.

Hn(0) =

(−1)m(2m)!

22mm!, n = 2m

0 , n = 2m + 1

, Lαn(0) =

(−1)nΓ(n + α + 1)

Γ(α + 1),

Pα,βn (1) =

2n(α + 1)n

(n + α + β + 1)n

, Pα,βn (−1) =

(−1)n2n(β + 1)n

(n + α + β + 1)n

.

(3.52)

Utilizando la formula (3.27) encontramos las ecuaciones (ν = 1, 2, 3, ..., n = 0, 1, 2, ...):

(Hn(x))(ν) =n!

(n− ν)!Hn−ν(x), (3.53)

(Lαn(x))(ν) =

n!

(n− ν)!Lα+ν

n−ν (x), (3.54)

(Pα,βn (x))(ν) =

n!

(n− ν)!Pα+ν,β+ν

n−ν (x), (3.55)

donde (Pn(x))(ν) denota la ν−esima derivada de Pn(x).

Debido a que las funciones peso de los polinomios de Hermite y Gegenbauer son funcionespares, podemos aplicar los resultados obtenidos en el apartado 2.7 que nos permiten obtenerlas siguientes relaciones:

H2m(x) = L− 1

2m (x2), H2m+1(x) = xL

12m(x2) ,

Gλ2m(x) = P

(λ− 12,λ− 1

2)

2m (x) =1

2mP

(λ− 12,− 1

2)

m (2x2 − 1),

Gλ2m+1(x) = P

(λ− 12,λ− 1

2)

2m+1 (x) =1

2mxP

(λ− 12, 12)

m (2x2 − 1).

(3.56)

30

Ademas, de la formula de Rodrigues se puede encontrar la siguiente propiedad de simetrıa paralos polinomios de Jacobi:

P β,αn (−x) = (−1)nPα,β

n (x). (3.57)

Como consecuencia de la representacion hipergeometrica para los polinomios de Jacobi se de-ducen las siguientes expresiones:

Pα,β+1n−1 (x) =

(2n + α + β)(1− x)

2n(α + n)

dPα,βn

dx(x) +

(2n + α + β)

2(α + n)Pα,β

n (x), (3.58)

Pα+1,βn−1 (x) =

(2n + α + β)(x + 1)

2n(β + n)

dPα,βn

dx(x)− (2n + α + β)

2(β + n)Pα,β

n (x). (3.59)

3.7.5. Los polinomios nucleos.

En esta seccion vamos a calcular el valor de los polinomios nucleos Kern−1(x, y), definidospor la expresion

Kern−1(x, y) =n−1∑

m=0

Pm(x)Pm(y)

d2m

, (3.60)

evaluados en ciertos valores particulares de x e y. La demostracion de estos resultados es in-mediata utilizando la formula de Christoffel-Darboux (3.24) los valores en los extremos (3.52)y las formulas de diferenciacion (3.28).

• Nucleos de los polinomios de Hermite:

KerH2m−1(x, 0) =

(−1)m−1

(m− 1)!√

πL

12m−1(x

2), KerH2m(x, 0) =

(−1)m

(m)!√

πL

12m(x2), (3.61)

KerH2m−1(0, 0) =

2

π

Γ(m + 12)

Γ(m), KerH

2m(0, 0) =2

π

Γ(m + 32)

Γ(m + 1). (3.62)

• Nucleos de los polinomios de Laguerre:

KerLn−1(x, 0) =

(−1)n−1

Γ(α + 1)n!(Lα

n)′(x), (3.63)

KerLn−1(0, 0) =

n−1∑

m=0

(α + 1)m

Γ(α + 1)m!=

(α + 1)n

Γ(α + 2)(n− 1)!. (3.64)

• Nucleos de los polinomios de Jacobi:

KerJ,α,βn−1 (x,−1) = ηα,β

nddx

Pα−1,βn (x) = nηα,β

n Pα,β+1n−1 (x), (3.65)

KerJ,α,βn−1 (x, 1) = (−1)n+1ηβ,α

nddxPα,β−1

n (x) = n(−1)n+1ηβ,αn Pα+1,β

n−1 (x), (3.66)

donde por ηα,βn y ηβ,α

n denotaremos las cantidades:

ηβ,αn =

(−1)n−1Γ(2n + α + β)

2α+β+nn!Γ(α + n)Γ(β + 1), ηβ,α

n

(−1)n−1Γ(2n + α + β)

2α+β+nn!Γ(α + 1)Γ(β + n). (3.67)

31

KerJ,α,βn−1 (−1,−1) = ηα,β

n nPα,β+1n−1 (−1) =

=n−1∑

m=0

Γ(β + m + 1)Γ(α + β + m + 1)(2m + α + β + 1)

2α+β+1k!Γ(β + 1)2Γ(α + m + 1)=

=Γ(β + n + 1)Γ(α + β + n + 1)

2α+β+1(n− 1)!Γ(β + 1)Γ(β + 2)Γ(α + n),

(3.68)

KerJ,α,βn−1 (−1, 1) =

n−1∑

m=0

(−1)mΓ(α + β + m + 1)(2m + α + β + 1)

2α+β+1m!Γ(β + 1)Γ(α + 1)=

=(−1)n−1Γ(α + β + n + 1)

2α+β+1(n− 1)!Γ(β + 1)Γ(α + 1).

(3.69)

Utilizando la relacion de simetrıa (3.57) para los polinomios de Jacobi obtenemos:

KerJ,α,βn−1 (1, 1) = KerJ,β,α

n−1 (−1,−1).

Si utilizamos las relaciones (3.58)-(3.59) podemos encontrar para los nucleos otras formulasequivalentes:

KerJ,α,βn−1 (x,−1) = ηα,β

n

[(1− x)

dPα,βn (x)

dx+ nP α,β

n (x)

], (3.70)

KerJ,α,βn−1 (x, 1) = (−1)n+1ηβ,α

n

[(1 + x)

dPα,βn (x)

dx− nP α,β

n (x)

], (3.71)

donde por ηα,βn y ηβ,α

n denotaremos las cantidades:

ηα,βn = − (−1)nΓ(2n + α + β + 1)

2α+β+n+1n!Γ(α + n + 1)Γ(β + 1),

ηβ,αn = − (−1)nΓ(2n + α + β + 1)

2α+β+n+1n!Γ(α + 1)Γ(β + n + 1).

(3.72)

32

4. Los polinomios ortogonales clasicos de variable dis-

creta

4.1. La ecuacion en diferencias de tipo hipergeometrico

En esta seccion vamos a estudiar los polinomios ortogonales clasicos de variable discretadefinidos sobre el eje real. En el apartado anterior hemos considerado las soluciones polinomicasde la ecuacion diferencial hipergeometrica:

σ(x)y′′ + τ (x)y′ + λy = 0, (4.1)

donde σ y τ son polinomios de grados a lo mas 2 y 1, respectivamente. Supongamos que que-remos resolver numericamente la ecuacion (4.1). La manera mas sencilla consiste en discretizar(4.1) en una red uniforme. Para ello dividimos el intervalo [a, b] donde queremos encontrar lasolucion y aproximamos las derivadas primera y segunda mediante las expresiones

y′(x) ∼ 1

2

[y(x + h)− y(x)

h+

y(x)− y(x− h)

h

],

y′′(x) ∼ 1

h

[y(x + h)− y(x)

h− y(x)− y(x− h)

h

],

Esquematicamente estamos usando una red equidistante como la que se muestra en la figura 1.Si sustituimos las expresiones anteriores para las derivadas en (4.1) obtenemos una ecuacion en

x xx x x x x

SSo6���a bx+hxx-h

Figura 1: Discretizacion en una red uniforme

diferencias de la forma

σ(x)1

h

[y(x + h)− y(x)

h− y(x)− y(x− h)

h

]+

+τ(x)

2

[y(x + h)− y(x)

h+

y(x)− y(x− h)

h

]+ λy(x) = 0.

(4.2)

Es sencillo comprobar que (4.2) aproxima la ecuacion original (4.1) en una red uniforme conpaso ∆x = h hasta un orden de O(h2).

Con un cambio lineal de las variables x→ hx, y de las funciones y(hx)→ y(x), σ(hx)h−2→σ(x), τ(hx)h−1 → τ(x), la ecuacion (4.2) puede ser reescrita en terminos de los operadores endiferencias finitas hacia delante y atras con paso ∆x = h = 1. O sea,

σ(x)∆∇y(x) + τ (x)∆y(x) + λy(x) = 0, (4.3)

donde σ(x) = σ(x)− 12τ(x), τ (x) = τ(x) y ∆ y ∇ son los operadores lineales definidos por:

∆f(x) = f(x + 1)− f(x), ∇f(x) = f(x)− f(x− 1).

que denominaremos operadores en diferencias finitas hacia delante y hacia atras, respectiva-mente.

En adelante vamos a utilizar algunas propiedades elementales de ambos operadores queenunciaremos en el siguiente lema cuya demostracion omitiremos.

33

Lema 4.1 Los operadores en diferencias finitas hacia delante y hacia atras operadores cumplenlas siguientes propiedades:

1. ∆f(x) = ∇f(x + 1).

2. ∆∇f(x) = ∇∆f(x).

3. ∆[f(x)g(x)] = f(x)∆g(x) + g(x + 1)∆f(x).

4. Los analogos de la formula de Leibniz

∇n[f(x)g(x)] =n∑

k=0

(n

k

)∇k[f(x)]∇n−k[g(x− k)],

∆n[f(x)g(x)] =n∑

k=0

(n

k

)∆k[f(x + n− k)]∆n−k[g(x)],

siendo(

nk

)los coeficientes binomiales definidos por

(n

k

)=

n!

k!(n − k)!.

5. Se cumplen las formulas

∇n[f(x)] =n∑

k=0

(−1)k

(n

k

)f(x− k),

y

∆n[f(x)] =n∑

k=0

(−1)k

(n

k

)f(x + n − k),

6. Las formulas de suma por partes, donde xi+1 = xi + 1:

b−1∑

xi=a

f(xi)∆g(xi) = f(xi)g(xi)∣∣∣b

a−

b−1∑

xi=a

g(xi + 1)∆f(xi) ,

b−1∑

xi=a

f(xi)∇g(xi) = f(xi)g(xi)∣∣∣b−1

a−1−

b−1∑

xi=a

g(xi − 1)∇f(xi).

7. Si Pn es un polinomio de grado n entonces ∆Pn(x) y ∇Pn(x) son polinomios de grado

n− 1 y por tanto ∆nPn(x) = ∇nPn(x) = dn

dxn Pn(x) = P(n)n = const.

A la ecuacion (4.3) se le denomina ecuacion en diferencias de tipo hipergeometrico y lassoluciones y de la misma cumplen con la propiedad de que sus k-esimas diferencias finitas,∆ky ≡ yk, satisfacen una ecuacion del mismo tipo. Dicha propiedad se conoce como propiedadde hipergeometricidad.

Para comprobar esta afirmacion hacemos actuar el operador ∆, k veces consecutivas sobre(4.3) encontramos que yk satisface una ecuacion de la forma (µ0 = λ):

σ(x)∆∇yk + τk(x)∆yk + µkyk = 0,

τk(x) = τk−1(x + 1) + ∆σ(x), µk = µk−1 + ∆τk−1(x).(4.4)

De hecho, se puede comprobar que cualquier solucion de (4.4) es la k-esima diferencia ∆ky deuna solucion y de (4.3). La demostracion se basa en usar exactamente la misma idea que en

34

caso anterior y la omitiremos (ver e.g. [15, Capıtulo II, §2.1]).

A partir de (4.4) mediante un calculo sencillo se tiene

τk(x) = τ (x + k) + σ(x + k)− σ(x), (4.5)

µk = λ + k∆τ (x) + 12k(k − 1)∆2σ(x), (4.6)

En efecto, para demostrar (4.5) basta escribir τk(x) = τk−1(x + 1) + ∆σ(x) de la forma τk(x) +σ(x) = τk−1(x + 1) + σ(x + 1). Si continuamos el proceso de manera recurrente obtenemos elresultado deseado. Notese ademas que de la expresion (4.5) se deduce que τk es un polinomio alo mas de grado 1 en s. Para deducir (4.6) basta comprobar que ∆τk(x) = ∆τ (x) + k∆2σ(x),lo cual es evidente a partir de τk(x) = τk−1(x + 1) + ∆σ(x) si aplicamos ∆ a ambos miembrosy utilizamos la propiedad de que ∆τk(x) y ∆2σ(x) son independientes de x. Es decir:

∆τk(x) = ∆τk−1(x) + ∆2σ(x) = · · · = ∆τ (x) + k∆2σ(x),

y por tanto (4.4) nos conduce a la expresion:

µm − µm−1 = ∆τ (x) + (m− 1)∆2σ(x),

de la cual, sumando desde m = 1 hasta k, obtenemos (4.6).

En adelante usaremos la siguiente notacion, muy util, para τ , τk y σ

σ(x) =σ′′

2x2 + σ′(0)x + σ(0), τ (x) = τ ′x + τ (0), τk(x) = τ ′

kx + τk(0). (4.7)

Usando (4.5), deducimos que

τ ′k = τ ′ + σ′′k, τk(0) = τ (0) + τ ′k + σ′(0)k +

σ′′

2k2. (4.8)

4.2. La ecuacion autoadjunta y sus consecuencias

La propiedad de hipergeometricidad, al igual que en el caso continuo, es de gran importan-cia pues nos permite encontrar explıcitamente una formula para los polinomios que satisfacenla ecuacion en diferencias (4.3). Para ello, al igual que antes, escribimos (4.3) y (4.4) en suforma simetrica o autoconjugada:

∆[σ(x)ρ(x)∇y] + λρ(x)y = 0,

∆[σ(x)ρk(x)∇yk] + µkρk(x)yk = 0,(4.9)

donde ρ y ρk son funciones de simetrizacion que satisfacen las ecuaciones en diferencias deprimer orden de tipo Pearson:

∆[σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), ∆[σ(x)ρk(x)] = τk(x)ρk(x). (4.10)

Si ρ es conocida, utilizando las ecuaciones anteriores obtenemos para ρk la expresion:

ρk(x) = ρ(x + k)

k∏

m=1

σ(x + m). (4.11)

35

En efecto, la ecuacion ∆[σ(x)ρk(x)] = τk(x)ρk(x) la podemos reescribir, usando (4.4), de laforma:

σ(x + 1)ρk(x + 1)

ρk(x)= τk(x) + σ(x)=τk−1(x + 1) + σ(x + 1) =

=σ(x + 2)ρk−1(x + 2)

ρk−1(x + 1).

O sea,ρk(x)

σ(x + 1)ρk−1(x + 1)es una funcion periodica de perıodo 1 que, sin perdida de genera-

lidad, podemos tomar igual a 1. Ello nos lleva a la relacion ρk(x) = σ(x + 1)ρk−1(x + 1), dedonde por induccion se sigue (4.11).

Teorema 4.1 Las soluciones polinomicas de la ecuacion (4.4) se expresan mediante la formulade Rodrigues

∆kPn(x) =AnkBn

ρk(x)∇n−k[ρn(x)], (4.12)

donde Bn = P (n)n /Ann y7

Ank = Ak(λn) =n!

(n− k)!

k−1∏

m=0

[τ ′ + 12(n + m− 1)σ′′]. (4.13)

Ademas, el autovalor µm de (4.4) se expresa mediante la formula

µnk = µk(λn) = −(n− k)

(∆τ (x) +

(n + k − 1)

2∆2σ(x)

). (4.14)

Demostracion: Para encontrar una expresion explıcita de las soluciones de la ecuacion (4.3)vamos a escribir la ecuacion autoconjugada para las diferencias finitas de la siguiente forma

ρk(x)yk(x) = − 1

µk

∆[σ(x)ρk(x)∇yk(x)] =

= − 1

µk∇[σ(x + 1)ρk(x + 1)∇yk(x + 1)]=− 1

µk∇[ρk+1(x)yk+1(x)],

donde hemos usado (4.11). De lo anterior se concluye que

ρk(x)yk =Ak

An

∇n−k [ρn(x)yn] , Ak = (−1)kk−1∏

m=0

µm, A0 = 1.

Como estamos buscando soluciones polinomicas, y ≡ Pn, tenemos que ∆nPn(x) es una cons-tante. Por tanto, para las diferencias finitas de orden k, ∆kPn(x), obtenemos la expresion

∆kPn(x) =AnkBn

ρk(x)∇n−k[ρn(x)],

donde Ank = Ak(λ) |λ=λny Bn = ∆nPn/Ann. Como P

(n)n = n!an es constante, de (4.4) se

deduce que µn = 0, luego λn + n∆τ (x) + n(n − 1)∆2σ(x)/2 = 0, de donde obtenemos que elautovalor λn de (4.3) es

λ ≡ λn = −nτ ′ − n(n − 1)

2σ′′. (4.15)

7Usando la expresion (4.15) podemos obtener la expresion alternativa Anm = (−n)m

∏m−1k=0

λn+k

(n+k).

36

Notese que ∆τ (x) = τ ′ y ∆2σ(x) = σ′′. Sustituyendo la expresion anterior (4.15) en (4.6)obtenemos el valor de µnk = µk(λn) (4.14). Para obtener Anm utilizamos la formula Ank =(−1)k

∏k−1m=0 µnm, y valores de µnk obtenidos antes.

La formula (4.15) determina los autovalores y es conocida como condicion de hipergeome-tricidad de la ecuacion en diferencias (4.3). Otra forma de deducir (4.15) consiste en sustituirel polinomio Pn en (4.3) e igualar los coeficientes de la potencia xn.

Aquı, como en el caso “continuo”, tambien hemos asumido que µnk 6= 0 para k = 0, 1, . . . , n−1. De la expresion explıcita (4.14) deducimos que para que ello ocurra es suficiente que τ ′ +nσ′′/2 6= 0 para todo n = 0, 1, 2, . . .. Esto tambien se traduce en una condicion de regularidad[7].

La formula (4.15) determina los autovalores y es conocida como condicion de hipergeome-tricidad de la ecuacion en diferencias (4.3). Otra forma de deducir (4.15) consiste en sustituirel polinomio Pn en (4.3) e igualar los coeficientes de la potencia xn.

Cuando k = 0 la formula (4.12) se convierte en el analogo discreto de la formula de Rodriguespara los polinomios de variable discreta:

Pn(x) =Bn

ρ(x)∇n[ρ(x + n)

n∏

m=1

σ(x + m)], n = 0, 1, 2, . . . . (4.16)

Hasta ahora, como en el caso continuo, solo nos ha interesado encontrar soluciones po-linomicas de la ecuacion en diferencias (4.3). Si tambien queremos que dichas soluciones seanortogonales tenemos que exigir algunas condiciones extra. Analogamente, a partir de las ecua-ciones (4.9) podemos demostrar la ortogonalidad de las soluciones polinomicas respecto a lafuncion peso ρ.

Teorema 4.2 Supongamos que

xkσ(x)ρ(x)|x=a,b = 0, para todo k ≥ 0. (4.17)

Entonces las soluciones polinomicas Pn de la ecuacion (4.3) son ortogonales, dos a dos, respectoa la funcion peso ρ definida por la ecuacion ∆[σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), o sea, se cumple que:

b−1∑

xi=a

Pn(xi)Pm(xi)ρ(xi) = δnmd2n, (4.18)

donde, como antes, δnm es el sımbolo de Kronecker y dn denota la norma de los polinomios Pn.

Demostracion: Sean Pn y Pm dos de las soluciones polinomicas de (4.3). Escribamos las ecua-ciones simetrizadas para Pn y Pm,

∆[σ(x)ρ(x)∇Pn(x)] + λnρ(x)Pn(x) = 0,

∆[σ(x)ρ(x)∇Pm(x)] + λmρ(x)Pm(x) = 0.

37

Multiplicando la primera por Pm y la segunda por Pn, restando ambas, sumando en xi ∈ [a, b]y utilizando la formula de la suma por partes obtenemos:

(λn − λm)

b−1∑

xi=a

Pn(xi)Pm(xi)ρ(xi) =

=b−1∑

xi=a

(∆[σ(xi)ρ(xi)∇Pm(xi)]Pn(xi)−∆[σ(xi)ρ(xi)∇Pn(xi)]Pm(xi)

)=

= σ(x)ρ(x)

∣∣∣∣Pn(x) Pm(x)∇Pn(x) ∇Pm(x)

∣∣∣∣x=a,b

= σ(x)ρ(x)WD[Pn(x), Pm(x)]

∣∣∣∣∣x=a,b

.

Pero el Wronskiano discreto WD(Pn, Pm) es un polinomio en x, por tanto, si exigimos la condi-cion que xkσ(x)ρ(x) se anule en x = a y x = b para todo k ≥ 0, obtendremos (λn 6= λm) quePn y Pm son ortogonales respecto a la funcion peso ρ. Aquı debemos destacar que a y b debenser tales que ρ sea positiva en el intervalo [a, b − 1]. Una eleccion puede ser tomar a y b de talmanera que σ(a) = 0 y σ(b− 1) + τ (b− 1) = 0 [14, 15].

Teorema 4.3 Sea (Pn)n una familia de polinomios ortogonales en [a, b) (|a| <∞), o sea, talesque se cumple (4.18). Entonces, el cuadrado de la norma d2

n de los polinomios Pn viene dadapor la formula

d2n = (−1)nAnnB2

n

b−n−1∑

s=a

ρn(s). (4.19)

Demostracion: Partiremos de la definicion de la norma

d2n =

b−1∑

s=a

Pn(s)Pn(s)ρ(s).

y sustituiremos en ella la formula de tipo Rodrigues (4.16),

d2n = Bn

b−1∑

s=a

Pn(s)∇n[ρn(s)] = Bn

b−1∑

s=a

Pn(s)∇[∇n−1ρn(s)

].

Utilicemos ahora la formula de suma por partes

b−1∑

s=a

f(s)∇g(s) = f(s)g(s)∣∣∣b−1

a−1−

b−1∑

s=a

g(s− 1)∇f(s),

que nos conduce a la expresion

d2n = Pn(s)∇n−1[ρn(s)]

∣∣∣∣∣

b−1

a−1

− Bn

b−1∑

s=a

[∇Pn(s)]∇n−1[ρn(t)]

∣∣∣∣∣t=s−1

.

El primer sumando, en virtud de (4.12) es proporcional a ρ1(s) = σ(s+ 1)ρ(s+ 1) y, por tanto,utilizando la condicion de contorno (4.17), se anula. Reescribamos ahora el segundo sumandohaciendo el cambio de s→ s− 1. Ello nos conduce a la expresion

d2n = −Bn

b−2∑

s=a−1

[∆Pn(s)]∇n−1[ρn(s)] .

38

Ahora utilizamos el hecho de que

∇n−1ρn(s) = ∇∇n−2ρn(s), ∇x2(s) = ∇x(s + 1) = ∆x(s),

luego

d2n = −Bn

b−2∑

s=a−1

∆[Pn(s)]∇[∇n−2ρn(s)

].

Aplicando el proceso antes descrito de suma por partes, y utilizando la condicion de contorno(4.17), obtenemos la igualdad

d2n = (−1)kBn

b−k−1∑

s=a−k

(∆k[Pn(s)]

)∇[∇n−k−1ρn(s)

]=

= (−1)kBn

b−k−1∑

s=a−k

∆k[Pn(s)]∇n−k[ρn(s)].

Si hacemos en la expresion anterior k = n y utilizamos que ∆n[Pn(s)] = AnnBn y ∇0ρn(s) :=ρn(s), obtenemos

d2n = (−1)nAnnB2

n

b−n−1∑

s=a−n

ρn(s),

que inmediatamente nos conduce a (4.19) pues8 ρn(a− k) = 0 para k = 1, 2, . . . , n.

Debemos destacar que una ligera modificacion de la prueba del teorema anterior vale tambienpara el caso a = −∞ dando en ese caso el resultado correspondiente a tomar el lımite a→ −∞.

Como conclusion de esta seccion queremos destacar que por Polinomios Ortogonales de Va-riable Discreta se entienden aquellos polinomios que satisfacen una relacion de ortogonalidaddiscreta, es decir de la forma (4.18), en vez de la integral habitual (3.13). Ademas son solu-cion de una ecuacion en diferencias (4.3), en vez de una diferencial (3.1). No obstante estospolinomios estan definidos para todos los valores de la variable x, y no solo en los nodos de lared xi. Es conocido que algunas soluciones de la ecuacion discreta (4.3) satisfacen una ortogo-nalidad continua. Aquı no vamos a considerar ejemplos de dichas familias, para mas detallesrecomendamos consultar [14, 15].

4.3. La relacion de recurrencia a tres terminos

Una consecuencia de esta propiedad es que los polinomios satisfacen una relacion derecurrencia a tres terminos.

xPn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x), (4.20)

donde, como antes (ver (3.17)),

αn =an

an+1, βn =

bn

an− bn+1

an+1, γn =

cn − αncn+1

an−1− bn

an−1βn =

an−1

an

d2n

d2n−1

.

Calculemos una expresion general para los coeficientes αn y βn. Para ello necesitamos co-nocer los coeficientes principales an y bn del polinomio Pn (Pn(x) = anxn + bnxn−1 + · · ·).

8Recuerdese que estamos interesados en el caso |a| <∞.

39

Primero, notemos que ∆n[xn] = κn es constante. Por tanto,

κn+1 = ∆n+1[xn+1] = ∆n[(x + 1)n+1 − xn+1] = (n + 1)κn.

Como κ1 = 1 obtenemos κn = n!. Luego, ∆nPn(x) = n!an y coincide, como ya habıamos

notado, con P(n)n . Ademas, utilizando el analogo discreto de la formula de Rodrigues (4.12),

∆nPn(x) = BnAnn y, por tanto, utilizando (4.13) obtenemos para an la expresion:

an = Bn

n−1∏

k=0

[τ ′ + 12(n + k − 1)σ′′], a0 = B0. (4.21)

Para calcular la expresion de bn sustituimos en (4.3) el polinomio Pn(x) = anxn + bnxn−1 +

cnxn−1 + · · ·, e igualamos los coeficientes de las de las potencias9 xn−1. Ası, tenemos

bn = −n(n− 1)σ′(0)− nτ (0) + n(n− 1)σ′′

2

λn + (n− 1)τ ′ + (n− 1)(n− 2) τ ′

2

,

que usando (4.8) nos conduce a la expresion

bn =

[nτn−1(0)

τ ′n−1

− n(n − 1)

2

]an. (4.22)

Esta misma formula se puede obtener por un procedimiento analoga al del caso continuo10.Observese que al ser τ un polinomio de grado uno, τ ′

n 6= 0 y por tanto bn esta definido paracualquier n. Finalmente, igualando los coeficientes de xn−2 obtenemos

cn = −(n − 1)n[σ(0) + τ(0)

2+ (n−2)

6τ ′ + (n−2)(n−3)

6σ′′

2

]an +

[τ (0) + (n− 2)σ′(0) + (n−2)

2τ ′]bn

λn − λn−2.

Ası, obtenemos:

αn =an

an+1=

Bn

Bn+1

τ ′ + (n− 1)σ′′

2

(τ ′ + (2n− 1)σ′′

2)(τ ′ + (2n)σ′′

2),

βn =nτn−1(0)

τ ′n−1

− (n + 1)τn(0)

τ ′n

+ n, y γn =cn − αncn+1

an−1− bn

an−1βn.

4.4. Algunas consecuencias de la formula de Rodrigues

Del analogo discreto de la formula de Rodrigues (4.12) se pueden obtener las mismaspropiedades que en el caso continuo. En primer lugar, si calculamos el polinomio de grado 1utilizando la formula de Rodrigues (4.12), ası como (4.10) encontramos:

P1(x) =B1

ρ(x)∇[ρ1(x)] =

B1

ρ(x)∇[σ(x + 1)ρ(x + 1)] = B1τ (x),

por tanto, τ es un polinomio de grado exactamente uno.

Tomemos ahora k = 1 en la formula (4.12). Realizando unos calculos directos obtenemos:

∆Pn(x) =An1Bn

ρ1(x)∇n−1[ρn(x)] =

−λnBn

ρ1(x)∇n−1[ρ1n−1(x)].

Luego,

∆Pn(x) =−λnBn

Bn−1

Pn−1(x), (4.23)

donde Pn−1 denota el polinomio ortogonal respecto a la funcion peso ρ1(x) = σ(x+1) ρ(x+1).

9Si igualamos los coeficentes de las potencias xn obtenemos nuevamente la expresion para λn.10Otra demostracion de esta formula la encontraremos mas adelante en el apartado dedicado a los q-polinomios

de los cuales son estos un caso particular.

40

4.5. Las formulas de estructura

Recordemos que para τn estamos utilizando el siguiente desarrollo en potencias (4.8)

τn(x) = τ ′nx + τn(0), τ ′

n = ∆τ (x) + n∆2σ(x) = τ ′ + nσ′′. (4.24)

Si escribimos ahora (4.12) para el polinomio de grado n+1, utilizando la formula ∆[σ(x)ρn(x)] =τn(x)ρn(x) obtenemos:

Pn+1(x) =Bn+1

ρ(x)∇n+1[ρn+1(x)] =

Bn+1

ρ(x)∇n[τn(x)ρn(x)] =

=Bn+1

ρ(x)

[τn(x)∇n[ρn(x)] + nτ ′

n∇n−1ρn(x− 1)].

Utilizando ahora que ∇Pn(x) = ∆Pn(x − 1) =−λnBn

σ(x)ρ(x)∇n−1[ρn(x − 1)], obtenemos la

formula de diferenciacion:

σ(x)∇Pn(x) =λn

nτ ′n

[τn(x)Pn(x)− Bn

Bn+1Pn+1(x)

]. (4.25)

Si utilizamos la identidad ∆∇ = ∆ − ∇, junto a la ecuacion en diferencias (4.3), la formulaanterior se puede escribir como

[σ(x) + τ (x)]∆Pn(x) =λn

nτ ′n

{[τn(x)− nτ ′

n]Pn(x)− Bn

Bn+1

Pn+1(x)

}.

Aquı, al igual que en el caso continuo, podemos utilizar la relacion de recurrencia (3.16) paradespejar Pn+1 y obtener sendas expresiones que relacionan las diferencias ∆Pn y ∇Pn con lospolinomios Pn+1, Pn y Pn−1.

Si en la formula (4.25) desarrollamos τn en potencias (4.24) y utilizamos la relacion derecurrencia (3.16) para descomponer los sumandos del tipo xPn obtenemos el siguiente

Teorema 4.4 Las soluciones polinomicas de la ecuacion (4.3) satisfacen las siguiente formulasde estructura (n ≥ 0):

σ(x)∇Pn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x), (4.26)

donde

αn =λn

nτ ′n

[αnτ ′

n −Bn

Bn+1

], βn =

λn

nτ ′n

[βnτ ′n + τn(0)] , γn =

λnγn

n,

[σ(x) + τ (x)]∆Pn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x), (4.27)

donde αn = αn, βn = [βn − λn] y γn = γn.

La segunda formula de estructura (4.27) se obtiene a partir de (4.26) usando la identidad∆∇ = ∆−∇ y la ecuacion en diferencias (4.3).

Notese que los coeficientes αn, βn y γn admiten las expresiones equivalentes

αn = nαnσ′′

2,

βn =λn

τ ′nτ

′n−1

[σ′′ ((n − 1)nσ′′ + 2 τ ′) + n (−2σ′(0) + (2n − 1)σ′′) τ ′] =λn

nτ ′n

τn(βn).

Al igual que en el caso continuo, los polinomios clasicos discretos satisfacen una terceraformula de estructura.

41

Teorema 4.5 Sea Qn(x) ≡ ∆Pn+1(x)n+1

. Entonces los polinomios ortogonales monicos Pn(x) =xn + · · ·, soluciones de la ecuacion (3.1), satisfacen la siguiente relacion de estructura:

Pn(x) = Qn + δnQn−1 + εnQn−2. (4.28)

Demostracion: Realizaremos una prueba distinta a la del caso continuo que se adaptara muyfacilmente al caso de las redes no uniformes.

Partiremos de la primera relacion de estructura (4.26) y le aplicamos el operador ∆

∆σ(x)∆Pn(x) + σ(x)∆∇Pn(x) = αn∆Pn+1(x) + βn∆Pn(x) + γn∆Pn−1(x).

Vamos a transformar el miembro izquierdo eliminando el segundo sumando del mismo usandola ecuacion en diferencias (4.3), lo que nos da

[∆σ(x)− τ (x)]∆Pn(x)− λnPn(x) = αn∆Pn+1(x) + βn∆Pn(x) + γn∆Pn−1(x). (4.29)

Ahora bien, ∆σ(x)− τ (x) es un polinomio de grado uno

∆σ(x)− τ (x) = (σ′′ − τ ′)x +

(σ′′

2+ σ′(0)− τ (0)

),

ası que nos aparece el termino x∆Pn(x). Para eliminarlo haremos uso de la relacion de recu-rrencia a la que convenientemente aplicaremos el operador ∆, es decir tenemos

x∆Pn(x) = ∆Pn+1(x) + (βn − 1)∆Pn(x) + γnPn−1(x)− Pn(x).

Sustituyendo lo anterior en nuestra formula inicial (4.29) obtenemos la siguiente igualdad

(λn + σ′′ − τ ′)Pn(x) = (σ′′ − τ ′ − αn)∆Pn+1(x)

+[(σ′′ − τ ′)(βn − 1) + σ′′

2+ σ′(0)− τ (0)− βn

]∆Pn(x)

+[(σ′′ − τ ′)γn − γn]∆Pn+1(x).

Pero λn + σ′′ − τ ′ = −(n + 1)(τ ′ + (n − 2)σ′′

2) que es distinto de cero para todo n ∈ N, luego

podemos dividir la expresion anterior por ella lo que nos conduce directamente al resultadodeseado pues σ′′ − τ ′ − αn = −τ ′ − (n− 2)σ′′

2.

Notese que de la demostracion se deducen los valores de los coeficientes δn y εn:

δn = −(σ′′ − τ ′)(βn − 1) + σ′′

2+ σ′(0)− τ (0)− βn

(n + 1)(τ ′ + (n− 2)σ′′

2)

= − τ (βn)

τ ′ + (n− 1)σ′′

2

− n

2,

y

εn = − (σ′′ − τ ′)γn − γn

(n + 1)(τ ′ + (n− 2)σ′′

2)

= − (n− 1)σ′′

2γn

τ ′ + (n− 2)σ′′

2

,

donde hemos usado los valores explıcitos de αn, βn y γn de los coeficientes de (4.26).

42

4.6. Representacion integral y formula explıcita

Supongamos que ρn es una funcion analıtica en el interior y la frontera del recinto limitadopor la curva cerrada C del plano complejo que contiene a los puntos z = x, x − 1, . . . , x − n.Entonces, utilizando nuevamente la formula integral de Cauchy obtenemos:

ρn(x) =1

2πi

∫

C

ρn(z)

z − xdz. (4.30)

Mediante induccion es sencillo demostrar que

∇n

[1

z − x

]=

n!

(z − x)n+1,

donde (x)m es, al igual que antes, el sımbolo de Pochhammer (3.45). Luego, de (4.30) obtenemos:

∇n[ρn(x)] =n!

2πi

∫

C

ρn(z)

(z − x)n+1

dz,

y, por tanto, es valido el siguiente

Teorema 4.6 Las soluciones polinomicas de la ecuacion (4.3) admiten la siguiente represen-tacion integral

Pn(x) =n!Bn

ρ(x) 2πi

∫

C

ρn(z)

(z − x)n+1

dz, (4.31)

donde C es una curva cerrada del plano complejo que contiene a los puntos z = x, x−1, . . . , x−ny tal que ρn es analıtica en y dentro de la misma.

A partir de (4.31) podemos encontrar una formula explıcita para calcular polinomios Pn

de cualquier orden. Para ello es suficiente calcular los residuos de la funcion integrando, cuyosunicos puntos singulares son polos simples, localizados en los puntos z = x− l, l = 0, 1, · · · , ny cuyo valor es:

Res

[ρn(z)

(z − x)n+1

]=

(−1)lρn(x− l)

l!(n− l)!.

Luego, (4.31) nos conduce a la siguiente expresion para los polinomios Pn [14, 15]:

Pn(x) = Bn

n∑

m=0

n!(−1)m

m!(n −m)!

ρn(x−m)

ρ(x)= Bn

n∑

m=0

n!(−1)n+m

m!(n−m)!

ρn(x− n + m)

ρ(x). (4.32)

Utilizando la ecuacion de Pearson (4.10) escrita de la forma:

ρ(x + 1)

ρ(x)=

σ(x) + τ (x)

σ(x + 1),

obtenemos:

ρn(x− n + m)

ρ(x)=

n∏

l=1

[σ(x− n + l + m)]m−1∏

l=0

[σ(x + l) + τ (x + l)]

m−1∏

l=0

[σ(x + l + 1)]

=

=

n−m−1∏

l=0

[σ(x− l)]

m−1∏

l=0

[σ(x + l) + τ (x + l)].

43

Luego, la formula (4.32) se puede reescribir de la forma:

Pn(x) = Bn

n∑

m=0

n!(−1)n+m

m!(n−m)!

n−m−1∏

l=0

[σ(x− l)]m−1∏

l=0

[σ(x + l) + τ (x + l)]. (4.33)

En las formulas anteriores se adopta el convenio−1∏

l=0

f(l) ≡ 1.

El caso mas general corresponde cuando σ y σ + τ son polinomios de grado dos de la forma[16, 15]

σ(x) = A(x− x1)(x− x2), σ(x) + τ (x) = A(x− x1)(x− x2). (4.34)

Notese que si el grado de σ es 2, entonces el de σ + τ es necesariamente 2 y ademas en estecaso ambos tienen el mismo coeficiente principal A.

Utilizando (4.33) se puede obtener una expresion para los polinomios como una serie hiper-geometrica generalizada 3F2.

Teorema 4.7 Las soluciones polinomicas de la ecuacion (4.3) se pueden representar comofunciones hipergeometricas generalizadas (3.46)

Pn(x) = AnBn(x1 − x1)n(x1 − x2)n 3F2

(−n, x1 + x2 − x1 − x2 + n− 1, x1 − x

x1 − x1, x1 − x2

∣∣∣∣1)

, (4.35)

donde x1, x2 y x1, x2 son los ceros de los polinomios σ y σ + τ , respectivamente definidos en(4.34). Ademas,

λn = −An(x1 + x2 − x1 − x2 + n − 1). (4.36)

Demostracion: Ante todo sustituimos (4.34) en (4.33). Un simple calculo nos conduce a laexpresion

Pn(x) = AnBn(−1)n(x1−x)n(x2−x)n 3F2

(−n, x−x1, x−x2

x−x1−n+1, x−x2−n+1

∣∣∣∣1)

. (4.37)

Transformemos la expresion anterior en otra mas “util”. Para ello utilizaremos la formula detransformacion [14, Eq. (2.7.20), pag. 52]

3F2

(−n, a , b

c , d

∣∣∣∣1)

=(c− a)n

(c)n3F2

(−n, a , d − b

a− c− n + 1 , d

∣∣∣∣1)

. (4.38)

Aplicando (4.38) a (4.37) donde a = x− x1, b = x− x2, c = x−x1−n+1 y d = x−x2−n+1,obtenemos

Pn(x) = AnBn(−1)n(x1 − x1)n(x2 − x)n 3F2

(−n, x − x1, x2 − x2 − n + 1

x1 − x1, x− x2 − n + 1

∣∣∣∣1)

.

Aplicando nuevamente (4.38) a la expresion anterior con a = x − x1, b = x2 − x2 − n + 1,c = x− x2 − n + 1, d = x1 − x1, esta se transforma en

Pn(x) = AnBn(−1)n(x1−x1)n(x2−x1)n 3F2

(−n, x−x1, x1+x2−x1−x2+n−1

x2 − x1, x1 − x1

∣∣∣∣1)

.

Finalmente, haciendo uso otra vez de (4.38) pero ahora escogiendo los parametros de la formaa = x1 + x2 − x1 − x2 + n − 1, b = x− x1, c = x2 − x1, y d = x1 − x1, la expresion anterior setransforma en (4.35). Para obtener λn sustituimos en (4.15) los valores

∆τ (x) = τ ′ = [σ(x) + τ (x)]′ − σ′(x) = A(x1 + x2 − x1 − x2), ∆2σ(x) = σ′′ = 2A ,

44

que nos conducen a la expresion (4.36).

Notese que, tanto (4.37) como (4.36) son invariantes con respecto a las permutaciones dex1, x2 y x1, x2, respectivamente.

Como ya hemos mencionado si el grado de σ es 2, σ + τ tambien es de grado dos. Por tantodebemos considerar el caso cuando σ es un polinomio de grado 1. En este caso σ + τ puede serun polinomio de grado 1 o bien de grado 0. Veamos como las expresiones explıcitas en amboscasos se pueden obtener del caso general tomando lımites apropiados.

Caso I: grado(σ + τ ) = 1. Escojamos A = −C/x2 y tomemos el lımite x2 → ∞, x2 → ∞, deforma que x2/x2 = B, entonces (4.34), (4.35) y (4.36) se transforman en

σ(s) = C(x− x1), σ(s) + τ (s) = C B(x− x1), λn = C n(1− B),

Pn(s) = Dn 2F1

(−n, x1 − x

x1 − x1

∣∣∣∣1−1

B

), (4.39)

donde Dn es una constante de normalizacion.

Caso II: grado(σ + τ ) = 0. Escojamos A = −C/(x1x2) y tomemos el lımite x1 →∞, x1 →∞,x2 →∞, de forma que x2/(x1x2) = B, entonces (4.34), (4.35) y (4.36) se transforman en

σ(s) = C B(x− x1), σ(s) + τ (s) = −C, λn = C B n,

Pn(s) = Dn 2F0

(−n, x1 − x

—

∣∣∣∣B)

, (4.40)

donde Dn es una constante de normalizacion.

De las representaciones anteriores (4.35), (4.39) y (4.40) es facil comprobar que Pn es unpolinomio de grado exactamente n en x pues

(−n)k = 0, ∀k > n, y (−x)n = (−1)nn∑

k=0

S(n)k xk,

donde S(n)k son los numeros de Stirling de segunda especie [1].

Antes de estudiar en detalle las cuatro familias “discretas” clasicas debemos hacer dos brevescomentarios.

El primero esta relacionado con las funciones generatrices en el caso discreto. A este res-pecto debemos destacar que, en principio, la misma tecnica que usamos en el capıtulo anteriores valida aunque su aplicacion al caso general se hace bastante complicada y es mas sencilloresolver caso a caso. Por esa razon no incluiremos en este apartado ningun metodo para laobtencion de funciones generatrices en el caso discreto. De hecho la representacion como fun-cion hipergeometrica de los polinomios clasicos permite de manera “sencilla” obtener distintasfunciones generatrices para cada uno de los casos. Debemos tambien aclarar que de las cuatrofamilias que consideraremos solo dos, los polinomios de Meixner y Charlier, constituyen fami-lias infinitas para las cuales tiene sentido la expresion (3.36). En el caso Hahn y Kravchuk lascorrespondientes sumas son finitas. Ası, por ejemplo, para los polinomios de Meixner y Charliertenemos, respectivamente, las expresiones

(1− t

µ

)x

(1− t)−x−γ =

∞∑

n=0

(µ− 1)n

n!µnMγ,µ

n (x)tn, (4.41)

45

et

(1− t

µ

)x

=

∞∑

n=0

(−µ)−n

n!Cµ

n(x)tn. (4.42)

Para mas detalle remitimos al lector a los magnıficos trabajos [6, 10].El segundo comentario tiene que ver con los teoremas de caracterizacion. Ante todo, una

definicion

Definicion 4.1 Sea σ y τ dos polinomios de grado a lo sumo 2 y exactamente 1, respectiva-mente, con ceros reales y distintos y sea ρ una funcion tal que

∆[σ(x)ρ(x)] = τ (x)ρ(x), σ(x)ρ(x)xk∣∣∣b

a= 0, (4.43)

donde (a, b) es cierto intervalo de la recta real donde ρ > 0. Diremos que una familia depolinomios ortogonales (Pn)n es ∆-clasica, o clasica discreta, si dicha familia es ortogonalrespecto a la funcion ρ solucion de la ecuacion (4.43) anterior.

A partir de la definicion anterior es “facil” probar el siguiente teorema de caracterizacion

Teorema 4.8 Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. (Pn)n es una familia discreta clasica segun la definicion 4.1

2. (Pn)n es clasica y la sucesion de sus diferencias (∆Pn)n tambien es clasica

3. (Pn)n es ortogonal y la sucesion de sus k−esimas diferencias (∆kPn)n tambien es ortogonal

4. (Pn)n es solucion de la ecuacion en diferencias de tipo hipergeometrico

σ(x)∆∇Pn(x) + τ (x)∆Pn(x) + λnPn(x) = 0

5. (Pn)n se expresa mediante la formula de Rodrigues

Pn(x)=Bn

ρ(x)∇n

[ρ(x+n)

n∏

k=1

σ(x+k)

].

Notese que practicamente hemos demostrado el teorema pues hemos visto que de la ecuacionen diferencias se pueden deducir todas las demas implicaciones. Para cerrar el cırculo bastarıaprobar que si se tiene la definicion 4.1 entonces la sucesion de derivadas es tambien ortogonal yque de ahı se deduce la ecuacion en diferencias. Su prueba es totalmente analoga a la del casocontinuo y la omitiremos (se recomienda como ejercicio).

4.7. Los Polinomios de Charlier, Meixner, Kravchuk y Hahn

4.7.1. Parametros Principales

En esta seccion vamos a describir los principales parametros de las SPO clasicas monicasdiscretas. Para el calculo de los mismos podemos seguir el algoritmo antes expuesto. Para masdetalle veanse las excelentes monografıas [6, 14, 15].

Los polinomios ortogonales discretos en la recta real, que son solucion de una ecuacion deltipo (4.3), se pueden clasificar en cuatro grandes familias en funcion del grado del polinomioσ (τ siempre es un polinomio de grado 1) [15]. Cuando σ es de grado 1 existen tres posibi-lidades: si grado[σ + τ ] = 1 Polinomios de Meixner M γ,µ

n (x), definidos en el intervalo [0,∞)y los Polinomios de Kravchuk Kp

n(x), definidos en un intervalo [0, N ], respectivamente, y si

46

Cuadro 4: Clasificacion de las SPO discretas clasicas.

Hahn Meixner Kravchuk Charlier

Pn(x) hα,βn (x;N) M

γ,µn (x) K

pn(x) C

µn(x)

[a, b] [0, N ] [0,∞) [0, N + 1] [0,∞)

σ(x) x(N + α− x) x x x

τ(x) (β + 1)(N − 1)− (α + β + 2)x (µ− 1)x + µγNp− x

1− pµ− x

σ + τ (x + β + 1)(N − 1− x) µx + γµ − p

1− p(x−N) µ

λn n(n + α + β + 1) (1− µ)n n1−p n

ρ(x)Γ(N + α − x)Γ(β + x + 1)

Γ(N − x)Γ(x + 1)

µxΓ(γ + x)

Γ(γ)Γ(x + 1)

N !px(1− p)N−x

Γ(N + 1− x)Γ(x + 1)

e−µµx

Γ(x + 1)

α, β ≥ −1 , n ≤ N − 1 γ > 0, 0 < µ < 1 0 < p < 1, n ≤ N − 1 µ > 0

ρn(x)Γ(N + α − x)Γ(n + β + x + 1)

Γ(N − n− x)Γ(x + 1)

µx+nΓ(γ + n + x)

Γ(γ)Γ(x + 1)

N !px+n(1− p)N−n−x

Γ(N + 1− n− x)Γ(x + 1)

e−µµx+n

Γ(x + 1)

grado[σ + τ ] = 0 los Polinomios de Charlier Cµn(x), definidos en [0,∞). Cuando el grado de σ

es 2, se obtienen los Polinomios de Hahn hα,βn (x,N) definidos en [0, N − 1]. En las tablas 4, 5 y

6 estan representados los principales parametros de dichas familias, donde, al igual que en lastablas anteriores, (a)k es el sımbolo de Pochhammer.

4.7.2. Representacion hipergeometrica

De la formula de Rodrigues (4.12) o la formula (4.35) se puede obtener la representacionde los polinomios clasicos de variable discreta en terminos de la funcion hipergeometrica gene-ralizada pFq [14, Seccion 2.7, pag. 49]. En el caso Hahn, (4.35) nos conduce inmediatamente alresultado deseado. Los restantes tres casos (Meixner, Kravchuk y Charlier) se pueden obtenercomo casos lımites de (4.35) tal y como hemos visto en el apartado anterior. Obviamente tam-bien se puede utilizar directamente la formula (4.33). Ası, utilizando las formulas (4.35) conx1 = 0, x2 = N + α, x1 = −β − 1 y x2 = N − 1 (ver la eleccion de σ y σ + τ en la tabla 4)obtenemos para los polinomios de Hahn la formula

hα,βn (x,N) =

(1−N)n(β + 1)n

(α + β + n + 1)n3F2

(−x, α + β + n + 1,−n

1−N, β + 1

∣∣∣∣1)

. (4.44)

A continuacion usamos los valores de de σ y σ + τ para los polinomios de Meixner (ver latabla 4) de donde deducimos que x1 = 0, x1 = −γ y B = µ, por tanto (4.39) nos da

Mγ,µn (x) = (γ)n

µn

(µ− 1)n 2F1

(−n,−x

γ

∣∣∣∣1−1

µ

). (4.45)

En el caso de los polinomios de Kravchuk tenemos x1 = 0, x1 = N y B = −p(1 − p), luego

47

(4.39) nos da

Kpn(x) =

(−p)nN !

(N − n)!2F1

(−n,−x−N

∣∣∣∣1

p

). (4.46)

Finalmente, para los polinomios de Charlier obtenemos (ver la tabla 4) x1 = 0, B = −1/µ,ası que usando la formula (4.40) obtenemos

Cµn(x) = (−µ)n

2F0

(−n,−x−

∣∣∣∣−1

µ

). (4.47)

4.7.3. Otras caracterısticas

Una consecuencia de las expresiones anteriores es el calculo de los valores de los polinomiosen los extremos del intervalo de ortogonalidad. Estos valores pueden ser obtenidos tambien apartir del analogo discreto de la formula de Rodrigues (4.12).

Mγ,µn (0) =

µn

(µ− 1)n

Γ(n + γ)

Γ(γ), Kp

n(0) =(−p)nN !

(N − n)!, Cµ

n(0) = (−µ)n, (4.48)

hα,βn (0, N) =

(−1)nΓ(β + n + 1)(N − 1)!

Γ(β + 1)(N − n− 1)!(n + α + β + 1)n, (4.49)

hα,βn (N − 1, N) =

Γ(α + n + 1)(N − 1)!

Γ(α + 1)(N − n− 1)!(n + α + β + 1)n. (4.50)

Como consecuencia de (4.23) se obtienen las formulas de diferenciacion:

∆Mγ,µn (x) = nMγ+1,µ

n−1 (x) (4.51)

∆Kpn(x,N) = nKp

n−1(x,N − 1), (4.52)

∆Cµn (x) = nCµ

n−1(x), (4.53)

∆hα,βn (x,N) = nhα+1,β+1

n−1 (x,N − 1), (4.54)

Los polinomios de Hahn satisfacen una propiedad de simetrıa que es consecuencia de larepresentacion hipergeometrica (o bien directamente de (4.16)):

hβ,αn (N − 1− x,N) = (−1)nhα,β

n (x,N). (4.55)

Ademas, tiene lugar la relacion:

x∇hα−1,βn (x,N) = nhα,β

n (x,N) +n(n + β)(α + β + n)

(N − n− 1)(α + β + 2n)(α + β + 2n − 1)hα,β

n−1(x,N).

La demostracion de este resultado es inmediata a partir de la representacion hipergeometrica(4.44) para los polinomios de Hahn.

48

Cuadro 5: Parametros de las SPO Monicas (an = 1).

Hahn Chebyshev

hα,βn (x;N) tn(x;N) = h

0,0n (x;N)

Bn(−1)n

(α + β + n + 1)n

(−1)n

(n + 1)n

bn −n

2

(2(β + 1)(N − 1) + (n− 1)(α− β + 2N − 2)

α + β + 2n

)−n(N − 1)

2

d2n

n!Γ(α + n + 1)Γ(β + n + 1)Γ(α + β + N + n + 1)

(α + β + 2n + 1)(N − n− 1)!Γ(α + β + n + 1)(α + β + n + 1)2n

n!2(N + n)!(n + 1)−2n

(2n + 1)(N − n− 1)!

βn(β + 1)(N − 1)(α + β) + n(2N + α− β − 2)(α + β + n + 1)

(α + β + 2n)(α + β + 2n + 2)

N − 1

2

γnn(N − n)(α + β + n)(α + n)(β + n)(α + β + N + n)

(α + β + 2n− 1)(α + β + 2n)2(α + β + 2n + 1)

n2(N2 − n2)

4(2n− 1)(2n + 1)

αn −n −n

βnn(−α− β − αβ − β2 − 2n− 2αn− 2βn− 2n2 + αN − βN)

(α + β + n + 1)−1(α + β + 2n)(α + β + 2n + 2)−n(n + 1)

2

γn −n(α + β + n)(α + β + n + 1)(α + n)(β + n)(α + β + N + n)

(n−N)−1(α + β + 2n− 1)(α + β + 2n)2(α + β + 2n + 1)−n2(n + 1)(N2 − n2)

4(2n− 1)(2n + 1)

αn −n −n

βnn(α + α2 + β + αβ + 2n + 2αn + 2βn + 2n2 + αN − βN)

(α + β + n + 1)−1(α + β + 2n)(α + β + 2n + 2)

n(n + 1)

2

γn −n(α + β + n)(α + β + n + 1)(α + n)(β + n)(α + β + N + n)

(n−N)−1(α + β + 2n− 1)(α + β + 2n)2(α + β + 2n + 1)−n2(n + 1)(N2 − n2)

4(2n− 1)(2n + 1)

δnn(α− β)(2N + α + β)

2(α + β + 2n)(α + β + 2n + 2)− n

2−n

2

εnn(n− 1)(N − n)(α + n)(β + n)(α + β + N + n)

(α + β + 2n− 1)(α + β + 2n)2(α + β + 2n + 1)−n(n− 1)(N2 − n2)

4(2n− 1)(2n + 1)

49

Cuadro 6: Parametros de las SPO Monicas (continuacion).

Charlier Kravchuck MeixnerC

µn(x) K

pn(x) M

γ,µn (x)

Bn (−1)n (−1)n(1− p)n 1

(µ− 1)n

bn −n

2(2µ + n− 1) −n[Np + (n− 1)( 1

2− p)]

(nµ

µ− 1

)(γ +

n− 1

2

µ + 1

µ

)

d2n n!µn n!N !pn(1− p)n

(N − n)!

n!(γ)nµn

(1− µ)γ+2n

βn n + µ Np + (1− 2p)nn(1 + µ) + µγ

1− µ

γn nµ np(1− p)(N − n + 1)nµ(n− 1 + γ)

(µ− 1)2

αn 0 0 0

βn 0 − np

1− pnµ

γn nµ pn(N − n + 1)nµ(n− 1 + γ)

1− µ

αn 0 0 0

βn n n n

γn nµ pn(N − n + 1)nµ(n− 1 + γ)

1− µ

δn 0 n(1− p)nµ

1− µεn 0 0 0

4.7.4. Los polinomios nucleos

En esta seccion vamos a calcular el valor de los polinomios nucleos Kern−1(x, y), definidospor la expresion:

Kern−1(x, y) =n−1∑

m=0

Pm(x)Pm(y)

d2m

, (4.56)

y evaluados en ciertos valores particulares de x e y. La demostracion de estos resultados es in-mediata utilizando la formula de Christoffel-Darboux (3.24), los valores en los extremos (4.48)-(4.50) y la formula de estructura (4.26). Describamos un algoritmo general para calcular losvalores de los nucleos Kern−1(x, 0) a partir de los parametros de los polinomios discretos clasicos(ver tablas 5 y 6)11

Notemos que para los polinomios clasicos, σ(0) = 0. Luego, de la relacion:

σ(x)∇Pn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x),

y la relacion de recurrencia (3.16) en x = 0 obtenemos:

(βn − αnβn)Pn(0) = (αnγn − γn)Pn−1(0).

11Este algoritmo fue propuesto por Laura Salto en su Tesis Doctoral.

50

Utilizando la formula de Christoffel-Darboux encontramos:

Kern−1(x, 0) ≡n−1∑

k=0

Pk(x)Pk(0)

d2k

=1

d2n−1

Pn(x)Pn−1(0)− Pn−1(x), Pn(0)

x,

o la expresion equivalente:

Kern−1(x, 0) =−Pn(0)

d2n−1(αnγn − γn)

[(αnβn − βn)Pn(x) + (αnγn − γn)Pn−1(x)

x

].

Usando nuevamente las relaciones de estructura y recurrencia (4.26) y (3.16) obtenemos lasiguiente expresion para el polinomio nucleo Kern−1(x, 0):

Kern−1(x; 0) =−Pn(0)

d2n−1(αnγn − γn)

[αnPn(x)− σ(x)

x∇Pn(x)

]. (4.57)

Utilizando el metodo descrito anteriormente encontramos las siguientes expresiones para lospolinomios nucleos Kern−1(x, 0) de los polinomios clasicos de variable discreta.

• Nucleos de los polinomios de Meixner:

KerMn−1(x, 0) =

(−1)n−1(1− µ)n+γ−1

n!∇Mγ,µ

n (x), (4.58)

KerMn−1(0, 0) =

n−1∑

m=0

(γ)mµm(1− µ)γ

m!. (4.59)

• Nucleos de los polinomios de Kravchuk:

KerKn−1(x, 0) =

(p− 1)1−n

n!∇Kp

n(x), (4.60)

KerKn−1(0, 0) =

n−1∑

m=0

pmN !

(1− p)mm!(N −m)!. (4.61)

• Nucleos de los polinomios de Charlier:

KerCn−1(x, 0) =

(−1)n−1

n!∇Cµ

n (x), (4.62)

KerCn−1(0, 0) =

n−1∑

m=0

µm

m!. (4.63)

• Nucleos de los polinomios de Hahn:

KerH,α,βn−1 (x, 0) = κn(α, β)∇hα−1,β

n (x,N),

KerH,α,βn−1 (x,N − 1) = κn(β, α)(−1)n+1∆hα,β−1

n (x,N),

(4.64)

donde κn(α, β) denota a:

κn(α, β) =(−1)n−1(N − 1)!Γ(α + β + 2n)

n!Γ(β + 1)Γ(α + n)Γ(α + β + n + N). (4.65)

51

Ademas,

KerH,α,βn−1 (0, 0) =

=n−1∑

m=0

Γ(m + β + 1)Γ(m + α + β + 1)(2m + α + β + 1)(N − 1)!2

m!Γ(β + 1)2(N −m− 1)!Γ(α + m + 1)Γ(α + β + N + m + 1),

(4.66)

KerH,α,βn−1 (0, N − 1) =

=

n−1∑

m=0

(−1)mΓ(m + α + β + 1)(2m + α + β + 1)(N − 1)!2

m!Γ(β + 1)Γ(α + 1)(N −m− 1)!Γ(α + β + N + m + 1),

(4.67)

y utilizando (4.55) encontramos KerH,α,βn−1 (N−1, N−1) = KerH,β,α

n−1 (0, 0). Si empleamos la expre-sion (4.57) para calcular los nucleos de los polinomios de Hahn, encontramos otra representacionde los mismos:

KerH,α,βn−1 (x, 0) = θn(α, β)[nhα,β

n (x,N) + (x− α− N)∇hα,βn (x,N)],

KerH,α,βn−1 (x,N − 1) = θn(β, α)(−1)n[nhα,β

n (x,N) + (x + 1 + β)∆hα,βn (x,N)],

(4.68)

donde θn(α, β) y θn(β, α) denotan a:

θn(α, β) =(−1)n(N − 1)!Γ(α + β + 2n + 1)

n!Γ(α + n + 1)Γ(β + 1)Γ(α + β + N + n + 1),

θn(β, α) =(−1)n(N − 1)!Γ(α + β + 2n + 1)

n!Γ(α + 1)Γ(β + n + 1)Γ(α + β + N + n + 1),

(4.69)

respectivamente.

Nota: Para encontrar la expresion de KerH,α,βn−1 (x,N − 1) en (4.64) y (4.68) a partir de la expresion

para los KerH,α,βn−1 (x, 0) debemos realizar las siguientes operaciones:

KerH,α,βn−1 (x,N − 1) =

n−1∑

m=0

hα,βm (x,N)hα,β

m (N − 1, N)

d2m

=

=

n−1∑

m=0

hβ,αm (N − 1− x,N)hβ,α

m (0, N)

d2m

= Kerβ,αn−1(N − x− 1, 0),

donde hemos utilizado la propiedad de simetrıa donde hemos utilizado la propiedad de simetrıa (4.55).

Por tanto KerH,α,βn−1 (x, 0), realizamos el cambio x←→ N −x− 1 y α←→ β obtenemos la formula para

el KerH,α,βn−1 (x,N − 1). Finalmente, utilizando la identidad:

∇hβ,αn (N − x− 1, N) = −∆hα,β

n (x,N),

obtenemos la expresion deseada.

4.8. Relaciones lımites entre los polinomios clasicos

Antes de concluir esta primera parte debemos recordar que existen diversas relaciones lımitesque involucran a los polinomios clasicos considerados. La demostracion es inmediata a partir de

52

hα,βn (x,N)

Mγ,µn (x) Kp,A

n (x)

Cµn(x)

P α,βn (x)

Lαn(x)

Hn(x)

Hahn

MeixnerJacobi Kravchuk

Laguerre Charlier

Hermite

�

JJJ

JJ

��

��

��

��+ ?

QQ

QQ

QQ

QQs

JJJ

JJ

�

��

��

�

@@

@@@R

Figura 2: Relaciones lımites de los polinomios clasicos.

la representacion hipergeometrica o la relacion de recurrencia que satisfacen dichos polinomiosy se puede encontrar en diversos trabajos: [10, 14, 15]. Estas relaciones estan representadasen la figura 2 que no es mas que un fragmento de la conocida Tabla de Askey [10] para lospolinomios ortogonales hipergeometricos. Algunas de ellas son, por ejemplo,

lımN→∞

2n

Nnhα,β

n ((N − 1)x,N) = P α,βn (2x− 1), (4.70)

lımβ→0

(−1)nβn

2nPα,β

n

(1− 2x

β

)= Lα

n(x), (4.71)

lımN→∞

h(1−µ)

µN,γ−1

n (x,N) = Mγ,µn (x), (4.72)

lımh→0

hnMα+1,1−hn

(x

h

)= Lα

n(x), (4.73)

lımγ→∞

Mγ, µ

µ+γn (x) = Cµ

n (x), (4.74)

53

54

5. Algunas aplicaciones

5.1. Aplicacion a la Mecanica Cuantica

5.1.1. El oscilador armonico cuantico

Uno de los modelos mas utilizados en la fısica cuantica es el oscilador armonico. Estecorresponde a la ecuacion de Schrodinger

− ~2

2mΨ′′(x) +

1

2mω2x2Ψ(x) = EΨ(x). (5.1)

El cambio de variables ξ = x/x0, x0 =√

~/mω nos conduce a la ecuacion

Ψ′′(ξ) + (ε− ξ2)Ψ(ξ) = 0, ε =2E

~ω. (5.2)

¿Como resolver esta ecuacion?

Existen varias formas, pero nosotros vamos a dar una manera algorıtmica sencilla para re-solver este tipo de ecuacuaciones, o mejor, para reducirlas a la ecuacion hipergeometrica queestudiamos en el apartado anterior.

Generalmente, si buscamos en los textos de Mecanica Cuantica se nos dice que debemosrealizar el cambio Ψ(ξ) = e−ξ2/2y(ξ) que nos conduce a la ecuacion

y′′(ξ)− 2ξy′(ξ) + (ε− 1)y(ξ) = 0.

Un simple vistazo basta para reconocer la ecuacion diferencial de los polinomios de Hermite,aunque allı —en los textos— prefieren calcular explıcitamente la solucion por el metodo de loscoeficientes indeterminados de Euler que ya mencionamos. Es decir, se busca la solucion enforma de serie

y(ξ) =∞∑

k=0

bkξk,

y se sustituye en la ecuacion diferencial y se igualan coeficientes. Eso lleva a la relacion

bk+1 =2k + 1− ε

(k + 1)(k + 2)bk,

luego, si imponemos que la serie sea finita —truncada—, es decir si ponemos ε = 2n + 1, n =0, 1, 2, . . ., obtenemos los ya mencionados polinomios de Hermite. Finalmente, si consideramosque ε 6= 2n + 1, es facil descubrir que bk+2/b2 ∼ 1/k, por tanto,

∞∑

k=0

bkξk ∼

∞∑

k=0

1

k!ξ2k ∼ eξ2

,

que no es integrable. No obstante, este metodo, aunque general, es incomodo pues requiere“adivinar” el cambio inicial y luego tratar cada ecuacion por separado. Vamos a describir acontinuacion como, usando el apartado anterior, podemos resolver de manera general muchosde los problemas de la Mecanica Cuantica a partir de una ecuacion mas general: la ecuacionhipergeometrica generalizada:

u′′(z) +τ(z)

σ(z)u′(z) +

σ(z)

σ2(z)u(z) = 0,

siendo τ (z) y τ (z) polinomios de grado a lo mas uno y σ(z) y σ(z) polinomios de grado a lomas dos.

55

5.1.2. La ecuacion hipergeometrica generalizada.

La ecuacion hipergeometrica generalizada en una ecuacion lineal de segundo orden de laforma

u′′(z) +τ(z)

σ(z)u′(z) +

σ(z)

σ2(z)u(z) = 0, (5.3)

siendo τ (z) y τ (z) polinomios de grado a lo mas uno y σ(z) y σ(z) polinomios de grado a lomas dos.

Hagamos el cambio u(z) = φ(z)y(z),

y′′(z) +

(2φ′(z)

φ(z)+

τ (z)

σ(z)

)y′(z) +

(φ′′(z)

φ(z)+

φ′(z)τ(z)

φ(z)σ(z)+

σ(z)

σ2(z)

)y(z) = 0.

El objetivo del cambio es convertir la ecuacion anterior en una mas sencilla —o por lo menosmenos complicada— que (5.3), ası que al menos debemos tener

2φ′(z)

φ(z)+

τ(z)

σ(z)=

τ (z)

σ(z), o

φ′(z)

φ(z)=

τ (z)− τ(z)

2σ(z)=

π(z)

σ(z), (5.4)

siendo τ un polinomio de grado a lo mas uno, y por tanto π polinomio de grado a lo mas uno.Lo anterior transforma nuestra ecuacion original (5.3) en la siguiente:

y′′(z) +τ (z)

σ(z)y′(z) +

σ(z)

σ2(z)y(z) = 0,

τ (z) = τ (z) + 2π(z), σ(z) = σ(z) + π2(z) + π[τ (z)− σ′(z)] + π′(z)σ(z).

(5.5)

Como σ es un polinomio de grado dos a lo sumo, impongamos que sea proporcional al propioσ, es decir que σ(z) = λσ(z). Ello es posible pues σ tiene dos coeficientes indeterminados —loscoeficientes del polinomio π— y λ es una constante a determinar, lo que nos conduce a tresecuaciones —al igualar los coeficientes de σ y σ— con tres incognitas. Hecho esto, nuestraecuacion se transforma en la ecuacion hipergeometrica del apartado anterior

σ(z)y′′ + τ (z)y′ + λy = 0. (5.6)

Pasemos a calcular12 π y λ. Como σ = λσ(z), entonces

σ(z) + π2(z) + π[τ (z)− σ′(z)] + π′(z)σ(z) = λσ(z),

o, equivalentemente

π2(z) + [τ (z)− σ(z)]π(z) + {σ(z)− [λ− π′(z)]σ(z)} = 0.

Supongamos que k = λ− π′(z) es conocido, entonces tenemos una ecuacion de segundo ordenpara π(z), luego

π(z) =σ′(z)− τ (z)

2±

√(σ′(z)− τ(z)

2

)2

− σ(z) + kσ(z), (5.7)

pero π(z) ha de ser un polinomio de grado a lo sumo uno, luego el polinomio

(σ′(z)− τ (z)

2

)2

−σ(z)+kσ(z) ha de ser un cuadrado perfecto, es decir su discriminante debe ser cero, lo que nos

12En el caso de soluciones polinomicas, λ se debe expresar como funcion de σ y τ como ya hemos visto en elapartado anterior.

56

conduce a una ecuacion para encontrar k. El k encontrado lo sustituimos en (5.7) y obtenemosπ(z), el cual nos conduce directamente a λ = π′(z) + k.

Obviamente el metodo anterior da distintas soluciones en funcion del k que escojamos y delconvenio de signos en (5.7).

5.1.3. Ejemplos.

El oscilador armonico cuantico.

Como ejemplo apliquemos la tecnica anterior al caso del oscilador armonico cuantico.

Partimos de la ecuacion (5.2),

Ψ′′(ξ) + (ε− ξ2)Ψ(ξ) = 0,

que obviamente es del tipo (5.3) con τ(ξ) = 0, σ(ξ) = 1 y σ(ξ) = ε − ξ2. Para π(ξ), (5.7) nosda

π(ξ) = ±√

ξ2 + (k − ε).

Como el polinomio ξ2 + (k − ε) ha de ser un cuadrado perfecto, entonces k = ε, y por tantoπ(ξ) = ±x, luego

π(ξ) = x, π′(ξ) = 1, λ = ε + 1, τ (ξ) = 2x,

π(ξ) = −x, π′(ξ) = −1, λ = ε− 1, τ (ξ) = −2x,

que nos conducen a las ecuaciones

y′′(ξ) + 2ξy′(ξ) + (ε + 1)y(ξ) = 0, y′′(ξ)− 2ξy′(ξ) + (ε− 1)y(ξ) = 0,

respectivamente. En cada caso la funcion φ(ξ) es la solucion de las ecuaciones φ′/φ = ξ yφ′/φ = −ξ, que conducen a las funciones

φ(ξ) = eξ2/2, y φ(ξ) = e−ξ2/2,

respectivamente. Finalmente, la ecuacion y′′(ξ) − 2ξy′(ξ) + (ε − 1)y(ξ) = 0 corresponde ala ecuacion hipergeometrica de los polinomios de Hermite, por tanto tenemos ε − 1 = 2n,n = 0, 1, 2, . . . y las soluciones normalizadas de nuestra ecuacion original seran

Ψ(ξ) = Nne−ξ2/2Hn(ξ), ε = 2n + 1, n = 0, 1, 2, . . . . (5.8)

Para calcular Nn notamos que

∫ ∞

−∞Ψ(x)Ψ(x)dx = N 2

n

∫ ∞

−∞H2

n(ξ)e−ξ2

dξ = N2nd2

n, d2n =

√πn!

2n,

luego Nn =

√2n

√πn!

.

Es facil ver que si la otra ecuacion tiene como soluciones los polinomios Hn(−x), por lo quesus soluciones Ψ(ξ) = eξ2/2Hn(−ξ) no son de cuadrado integrable en R, por lo que no tienensentido fısico. De esta forma las unicas soluciones estacionarias del oscilador armonico son lasfunciones (5.8) anteriores.

57

-4 -2 2 4 6 8

1

2

3

4

5

6

x2 R3,02

x2 R3,12

x2 R0,02

Estado fundamental (negro) y exitados n = 1, 2 (grises) del oscilador armonico.

El atomo de hidrogeno.

La componente radial del atomo de hidrogeno, F (r) = R(r)/r, satisface la ecuacion —laecuacion esta en unidades adimensionales—

R′′(r) +

[2

(E − 1

r

)− l(l + 1)

r2

]R(r) = 0.

Luego, es del tipo (5.3) con

σ(r) = r, σ(r) = 2Er2 + 2r − l(l + 1).

Por tanto, tenemos

π(r) =1

2±√

1

4− 2Er2 − 2r + l(l + 1) + kr.

La condicion de que el discriminante de la ecuacion de segunda grado en r de la raız sea ceronos da

k± = 2±√−2E(2l + 1),

luego π(r) se expresa por

π(r) =1

2±{ √−2Er + (l + 1/2) k = k+

√−2Er − (l + 1/2) k = k−.

De las dos posibilidades para el polinomio τ (r) seleccionaremos la que corresponde a k =2 −√−2E(2l + 1) de forma que τ ′ < 0 y τ se anule13 en el interior de (0,∞), luego —la otra

posibilidad conduce a una funcion no integrable en (0,+∞)—

τ (r) = 2(l + 1−√−2Er),

por tanto,λ = k + π′(r) = 2(1− (l + 1)

√−2E).

Usando (5.4) tenemos

φ′(r)

φ(r)=

l + 1−√−2Er

r, =⇒ φ(r) = rl+1e−

√−2Er.

Entonces la solucion de nuestra ecuacion es del tipo

R(r) = rl+1e−√−2Ery(r),

13Recordemos que τ(x) = cP1(x), siendo P1 el correspondiente polinomio ortogonal.

58

siendo y la solucion de la ecuacion

ry′′(r) + [2(l + 1)−√−2Er]y′(r) + λy(r) = 0.

El cambio lineal x = 2√−2Er nos transforma la ecuacion anterior en la ecuacion

xy′′(x) + [(2l + 1) + 1− x]y′(x) + λy(x) = 0, λ =λ

2√−2E

,

que corresponde a los polinomios de Laguerre L2l+1n (x). Ademas, como λ = n, entonces λ =

2n√−2E. Por otro lado, λ = k + π′(r), luego

E = − 1

2(n + l + 1)2

Ası,R(r) = Nn,lx

l+1e−x/2L2l+1n (x), x = 2

√−2Er,

con Nn,l tal que

∫ ∞

0

R2(r)dr = 1, =⇒ n + l + 1

2

∫ ∞

0

R2(x)dx = 1.

Ahora bien,

∫ ∞

0

R2(x)dx = N 2n,l

∫ ∞

0

x2l+2e−x(L2l+1n (x))2dx = N2

n,l

∫ ∞

0

ρ(x)x(L2l+1n (x))2dx =

= N2n,lβnd2

n = N2n,l2(n + l + 1)n!(n + 2l + 2)!,

donde hemos usado la relacion de recurrencia (3.16) para el producto xL2l+1n (x) y luego la

ortogonalidad. Por tanto

Nn,l =

√1

(n + l + 1)2n!(2n + l + 1)!.

5 10 15 20 25

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x2 R3,02

x2 R3,12

x2 R0,02

Estado fundamental (negro) y exitado n = 1, l = 0, 1 (grises) del atomo de Hidrogeno

59

5.2. La teorıa de representacion de grupos

Comenzaremos con algunas definiciones e ideas propias de la teorıa de grupos. Para unaintroduccion mas rigurosa recomendamos al lector consultar algun texto especıfico de teorıa degrupos —e.g. [4, 19, 20, 21]—.

Un conjunto de elementos G es un grupo si a todo par ordenado (g1, g2) de G le correspondeun elemento g = g1 ∗ g2 y se cumple que:

1. (g1 ∗ g2) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3) para todos g1, g2, g3 de G, i.e., * es una operacion asociativa,

2. existe un elemento e tal que e ∗ g = g ∗ e = g para todo g de G, i.e., existe el elementoneutro respecto a *.

3. para todo g de G existe un elemento g′ de G, que denotaremos por g−1, y llamaremosinverso de g tal que g ∗ g′ = g′ ∗ g = e.

Si la operacion *, denominada comunmente como multiplicacion, es tal que para todos g1 yg2 de G se cumple g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1, diremos que el grupo es conmutativo.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros reales R es un grupo conmutativo respecto a laadicion estandar. Un ejemplo de grupo no conmutativo es el conjunto de las matrices cuadradascon determinante no nulo respecto a la operacion “multiplicacion de matrices”.

Dentro de la teorıa de grupos juegan un papel importante las clases de elementos conjugados.Dos elementos g y g′ de G se denominan conjugados si g′ = ggg−1. Si g recorre todo el grupo,entonces puede ocurrir que aparezcan elementos iguales. Supongamos que g1 y g2 son doselementos distintos conjugados a g. Entonces g1 y g2 son conjugados uno del otro ya que si

g1 = ggg−1, g2 = ggg−1 =⇒ g2 = (gg−1)g1(gg−1)−1.

De esta forma se definen las clases de elementos conjugados de un grupo G como los conjuntosconstituidos por todos los elementos mutuamente conjugados.

Un grupoA conmutativo que tiene la “adicion” (suma) como operacion * se denomina anillosi en A esta definida la “multiplicacion” y satisface la propiedad distributiva

g1 ∗ (g2 + g3) = g1 ∗ g2 + g1 ∗ g3, (g1 + g2) ∗ g3 = g1 ∗ g3 + g3 ∗ g3.

Un anillo se dice asociativo (conmutativo) si tiene un elemento unidad respecto a la multipli-cacion y dicha operacion tiene la propiedad asociativa (conmutativa). Un anillo conmutativose denomina campo. Como ejemplos de campos tenemos el conjunto de los numeros reales R ycomplejos C.

Dado un anillo A y un campo K, se dice queA es un algebra sobre K si, definida la operacionexterna “·”, se cumple que para todos a, b de A y α, 1 de K, los elementos α ·a, α · b pertenecena A y

α · (a + b) = α · a + α · b, 1 · a = a, α · (a ∗ b) = (α · a) ∗ b = a ∗ (α · b).

Un algebra compleja asociativa es un algebra sobre C donde la operacion multiplicacion esasociativa.

60

La teorıa de representacion

Definicion 5.1 Sea R un espacio lineal cualquiera sobre C, el campo de los numeros complejos,y T : R 7→ R un operador lineal sobre dicho espacio. Diremos que T es una representacion deG sobre R si a cada g ∈ G le corresponde un T(g) de forma que14

∀g1, g2 ∈ G, g = g1 ∗ g2 =⇒ T(g1)T(g2) = T (g1 ∗ g2) = T (g), T(e) = I,

donde I denota el operador indentidad15.

El espacio R se denomina espacio de la representacion de G. Si R es de dimension finita,entonces se dice que la representacion T es una representacion finita, en caso contrario se diceque es infinita.

En general, en R todo operador T : R 7→ R se puede representar mediante matrices cua-dradas, en este caso se dice que T es una representacion matricial de G. Cualquier base de R

se denomina base de la representacion, ademas, el mayor numero de vectores linealmente inde-pendientes de R determina la dimension de R y por tanto la dimension de la representacion.Ası, dim T = dimR.

Cuando los elementos de la matriz asociada a T son funciones continuas de uno o masparametros, se dice que la representacion T(g) es continua.

Definicion 5.2 Sea T una representacion de G en el espacio R. Diremos que un subespacioR′ ⊂ R es invariante respecto a T (y por tanto respecto a la accion del grupo) si

∀g ∈ G, ∀r ∈ R′ =⇒ T(g)r ∈ R

′.

Definicion 5.3 Una representacion T de G en el espacio R se llama irreducible si en R noexiste ningun otro subespacio invariante excepto el nulo y el mismo.

En otras palabras, T (g) es irreducible si no existe ningun cambio de base en R tal que en lanueva base la representacion matricial de T sea diagonal por bloques. Si denotamos por A lamatriz de cambio de base en R, entonces T es irreducible si y solo si no existe A tal que

∀g ∈ G, AT(g)A−1 =

M1 0 · · · 0 00 M2 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 0 Mk

,

donde M1, . . .Mk denotan ciertas matrices cuadradas no nulas y 0 son matrices de ceros.

Supongamos ahora que R esta dotado de un producto escalar 〈·, ·〉. En general, puestoque R esta definido sobre el campo de los numeros complejos C, el producto escalar involu-crara numeros complejos. Por ejemplo, en el caso del producto escalar estandar de vectoresr1 = (x1, . . . , xk) y r2 = (x′

1, . . . x′k), tendremos 〈r1, r2〉 =

∑kj=1 xj x′

j .

Definicion 5.4 Una representacion T de G en el espacio R se llama unitaria si el operadorT es unitario, o sea,

∀g ∈ G, ∀r1, r2 ∈ R, 〈T(g)r1,T(g)r2〉 = 〈r1, r2〉.14Por T(g) denotaremos el operador asociado al elemento g ∈ G. Ademas, T(g) es un operador que actua

sobre R.15Es decir para todo r ∈ R, Ir = r.

61

Definicion 5.5 Dado un operador T : R 7→ R, se dice que T∗ es el conjugado de T si

∀r1, r2 ∈ R, 〈T∗r1, r2〉 = 〈r1,Tr2〉.

Si el operador T es unitario entonces

〈r1, r2〉 = 〈Tr1,Tr2〉 = 〈r1,T∗Tr2〉 =⇒ T∗ = T−1,

de donde deducimos que para nuestra representacion se tiene

T∗(g) = T−1(g) = T(g−1).

Cuando T es una representacion matricial unitaria, entonces las matrices T han de ser hermıti-

cas, es decir T∗ij := Tij

T= Tji = Tij .

5.3. El grupo de rotaciones del espacio O(3).

Vamos a estudiar el grupo formado por las rotaciones del espacio R3 respecto al origen.

Obviamente cualquier rotacion del espacio esta totalmente determinada mediante un eje derotacion o direccion, y un angulo φ. El eje lo determinamos mediante un vector unitario ~n,ası cada elemento del grupo lo representaremos mediante g(~n, φ). Es facil comprobar que elconjunto de las rotaciones del espacio forman un grupo que ademas es no conmutativo —bastaver que un giro de 90 grados respecto al eje 0x seguido de uno de 90 grados respecto al eje Oyno coincide con un giro de 90 grados respecto al eje 0y seguido de uno de 90 grados respecto aleje Ox—.

PSfrag replacements

z

x

y

z′

x′

y′

z′′

x′′

y′′

x′′′

α

βγ

PSfrag replacements

z

x

y

z′

x′

y′

z′′

x′′

y′′

x′′′

α

β

γ

PSfrag replacements

z

x

y

z′

x′

y′

z′′

x′′

y′′

x′′′

αβ

γ

Figura 3: Angulos de Euler

Existe una parametrizacion mas sencilla de cualquier giro espacial debida a Euler y que se basaen tres rotaciones consecutivas alrededor de los ejes coordenados. Imaginemos que hemos hechocierta rotacion despues de la cual los ejes xyz se transforman en x′y′z′. Para obtener dicho giroharemos consecutivamente tres giros respecto a los ejes coordenados. El primero sera de unangulo α respecto al eje 0z (ver figura 3 izquierda) de forma que los ejes 0x y 0y se transformanen 0x′′ y 0y′′. La magnitud del giro α sera tal que podamos, mediante un unico giro de magnitudβ respecto al nuevo eje 0y′′ hacer coincidir el eje 0z en el 0z′ buscado (ver figura 3 central)—mediante este segundo giro el eje 0x′′ se transformara en el 0x′′′—, y finalmente, medianteun giro de magnitud γ hacemos coincidir los ejes 0x′′′ y 0y′′ con los ejes 0x′ y 0y′ ver figura 3derecha).

Ası pues, los elementos el grupo O(3) quedan determinados por tres parametros continuosα, β y γ que ademas varıan en los intervalos α ∈ [0, 2π), β ∈ [0, π] y γ ∈ [0, 2π). Los grupos

62

que dependen de parametros continuos se suelen denominar grupos continuos16. Ademas, comola region de variacion de los parametros es acotada, el grupo se denomina compacto.

Sea O(3) el grupo de las rotaciones del espacio R3 respecto al origen. Obviamente cualquier

elemento de O(3) quedara completamente determinado por tres parametros reales que determi-nen el correspondiente giro. Entonces, la accion de cualquier elemento de O(3) en R

3 se puederepresentar mediante una matriz 3 × 3 que actua sobre cualquier vector ~x = (x, y, z)T de R

3.Sean gij(φ1, φ2, φ3) los elementos de dicha matriz.

Definiremos los generadores de O(3) como las matrices Ak cuyos elementos son

(Ak)ij =∂gij(φ1, φ2, φ3)

∂φk

∣∣∣∣∣φ1=φ2=φ3=0

,

de donde tenemos que si hacemos un giro infinitesimal

g(φ1, φ2, φ3) = I +3∑

k=1

αkAk + o(‖α‖),

es decir los generadores definen, en primera aproximacion, a los elementos del grupo.

Consideremos, por ejemplo, dos rotaciones consecutivas alrededor de un eje fijo (digamos elOz) entonces tenemos

g(α1, 0, 0)g(α2, 0, 0) = g(α1 + α2, 0, 0) = g(α, 0, 0), g(0, 0, 0) = I.

Derivemos la expresion anterior respecto a α1 y pongamos α1 = 0, α2 = α, entonces tenemos

∂g(α, 0, 0)

∂α=

(∂g(α, 0, 0)

∂α

∣∣∣∣∣α=0

)g(α, 0, 0) = A1g(α, 0, 0),

de donde se deduce que g(α, 0, 0) = exp(αA1). Para el resto de las rotaciones se procede deforma analoga. Es decir, en general tenemos

g(~n, φ) = exp(φA~n), (5.9)

(y’z’)PSfrag replacements

φ

φθ

θ

z

x

y

z′

x′y′

P

P ′

(y, z)

(y′, z′)αβγ

Figura 4: Rotacion del eje 0x

donde A~n representa el operador infinitesimal (generador)del giro de magnitud infinitesimal respecto al eje definidopor ~n.

Encontremos a continuacion los generadores de O(3).Comenzaremos encontrando la matriz de giro respecto aleje 0x. Para ello realizamos un giro φ alrededor de eje 0x.

Sean las coordenadas de cierto punto P en el plano Oyzantes de girar y sean (y′, z′) las coordenadas despues delgiro. Entonces tenemos (ver figura 4)

(y, z) = (r cos θ, r sen θ),

(y′, z′) = (r cos(θ + φ), r sen(θ + φ)),

16Un estudio detallado de los grupos continuos se puede encontrar en el magnıfico libro de L. C. Pontriaguin,“Grupos Continuos”.

63

de donde

y′ = y cos φ− z sen φ, z′ = y sen φ + z cos φ,

es decir la matriz g1 correspondiente a este giro es

g(~nx, φ) =

1 0 00 cos φ − sen φ0 senφ cos φ

.

Entonces,

A1 =

(∂g(~nx, φ)

∂φ

) ∣∣∣∣∣φ=0

=

0 0 00 0 −10 1 0

.

Analogamente, para los giros g(~ny, φ) y g(~nz, φ) respecto a los ejes Oy y Oz, respectivamente,tenemos

g(~ny, φ) =

cos φ 0 senφ0 1 0

− sen φ 0 cosφ

, A2 =

(∂g(~ny, φ)

∂φ

) ∣∣∣∣∣φ=0

=

0 0 10 0 0−1 0 0

.

g(~nz, φ) =

cos φ − sen φ 0senφ cosφ 0

0 0 1

, A3 =

(∂g(~nz, φ)

∂φ

) ∣∣∣∣∣φ=0

=

0 −1 01 0 00 0 0

.

Un sencillo calculo nos indica que

A1A2 − A2A1 = A3, [A1, A2] = A3

A2A3 − A3A2 = A1 [A2, A3] = A1

A3A1 − A1A3 = A2 [A3, A1] = A2,

donde [A,B] denota al conmutador [A,B] = AB − BA. Ademas, las matrices Ai, i = 1, 2, 3,son antihermıticas, es decir A∗

ij = Aji = −Aij .

En vez de los operadores A1, A2 y A3 se suele trabajar con los operadores hermıticos Jx, Jy

y Jz definidos por Jx = iA1, Jy = iA2, Jz = iA3, y los operadores Jz = iA3, J+ = iA1 − A2,J− = iA1 + A2, de forma que se tiene

[J+, J−] = 2Jz, [Jz, J±] = ±J±. (5.10)

Ademas,J∗

z = Jz , J∗± = J∓. (5.11)

Usando lo anterior y los angulos de Euler tenemos que cualquier rotacion del espacio se definemediante el operador unitario

g(α, β, γ) = e−iγJz′e−iβJy′′ e−iαJz , (5.12)

donde Jz , Jy′′ y Jz′ son los operadores infinitesimales correspondientes a las rotaciones de losejes 0z, 0y′′ y 0z′ respectivamente (ver la figura 3).

Finalmente, usando induccion y las reglas de conmutacion (5.10) es facil comprobar que

[Jz, Jk±] = kJk

±, [J+, Jk−] = kJk−1

− (2Jz − k + 1). (5.13)

64

5.3.1. Las representaciones unitarias Dj de O(3)

Como cualquier representacion T del grupo O(3) sobre un espacio lineal R debe respe-tar la regla de multiplicacion del grupo, entonces si denotamos por T(g) a los elementos decierta representacion de O(3), y sean Jz : R 7→ R, J+ : R 7→ R y J− : R 7→ R, los gene-radores (las matrices u operadores infinitesimales de la representacion), entonces Jz y J± hande satisfacer las mismas relaciones de conmutacion (5.10) y relaciones respecto a la operacion ∗.

Vamos a restringirnos a encontrar los elementos matriciales de los generadores Jz y J±de cualquier representacion finita y unitaria de O(3) en la base Ψ de autovectores de Jz.Probaremos la siguiente

Proposicion 5.1 Si JzΨ = λΨ, entonces J±Ψ es un autovector de Jz correspondiente al au-tovalor λ± 1.

Demostracion: Usando las relaciones de conmutacion (5.10)

Jz(J±Ψ) = (J±Jz ± J±)Ψ = (λ± 1)J±Ψ,

por tanto J±Ψ es el autovector de Jz correspondiente a λ± 1.

Vamos a construir las representaciones irreducibles (RI) finitas17 de O(3) que denotaremospor Dj . Ante todo notemos que al ser los operadores (matrices) Jz hermıticas, entonces suscorrespondientes autovalores son reales18 y ademas, los autovectores correspondientes a auto-valores distintos son ortogonales19.

Sea j el mayor autovalor de Jz y Ψj el correspondiente autovector, es decir JzΨj = jΨj .Impondremos que 〈Ψj ,Ψj〉 = 1. Como la representacion es finita y j es el autovector mas grandeentonces J+Ψj = 0. Sea J−Ψj = αjΨj−1, donde αj lo escogeremos de forma que 〈Ψj−1,Ψj−1〉 =1. Ademas JzΨj−1 = (j − 1)Ψj−1, entonces

J−(J−Ψj) = J−αjΨj−1 = αjαj−1Ψj−2,

con JzΨj−2 = (j − 2)Ψj−2, y ası sucesivamente podemos construir los vectores Ψj , Ψj−1, . . . ,Ψj−k, es decir

Φm = Nj,mJ j−m− Φj.

Ahora bien, como estamos tratando las RI finitas, entonces solo puede haber un numero finitode autovalores para las correspondientes matrices J±, ası que existira cierto k de forma queJ−Ψj−k = 0, ası que αj−k = 0. En general tendremos

JzΨm = mΨm, J−Ψm = αmΨm−1, m = j, j − 1, . . . , j − k, αj−k = 0.

Ahora bien,

J+Ψj = 0, J+Ψj−1 =1

αjJ+J−Ψj =

1

αj(J−J+ + 2Jz)Ψj =

2j

αjΨj ,

17Es sabido que las representaciones irreducibles de un grupo compacto son finitas, no siendo ası en general.18En efecto, puesto que JzΨj = jΦj, J∗

z Ψj = jΦj, entonces

j‖Ψj‖ = 〈Ψj, JzΨj〉 = 〈J∗

z Ψj,Ψj〉 = 〈JzΨj,Ψj〉 = j ‖Ψj‖ =⇒ j = j.

19Ello es consecuancia de que J∗

z = Jz , y entoncs para j 6= m,

0 = 〈JzΨj ,Ψm〉 − 〈Ψj , JzΨm〉 = (j −m)〈Ψj,Ψm〉 =⇒ 〈Ψj,Ψm〉 = 0.

65

entonces, por induccion tendremos que J+Ψm = βmΨm+1. Ya hemos visto que es cierto param = j − 1. Supongamos que lo es para Ψj , . . . , Ψm, entonces

J+Ψm−1 =1

αm

J+J−Ψm =1

αm

(J−J+ + 2Jz)Ψm =αm+1βm + 2m

αm

Ψm = βm−1Ψm,

es decir, αm+1βm − αmβm−1 = −2m, βj = 0. Finalmente, como

βm = 〈Ψm+1, J+Ψm〉 = 〈J−Ψm+1,Ψm〉 = αm+1

la ecuacion anterior nos da

α2m − α2

m+1 = 2m =⇒ α2m − α2

j+1 =

j∑

k=m

(α2k − α2

k+1) = (j + m)(j −m + 1),

de donde, al ser αj+1 = 0, deducimos

αm =√

(j + m)(j −m + 1), βm =√

(j + m + 1)(j −m).

Ası pues

JzΨm = mΨm

J+Ψm =√

(j −m)(j + m + 1)Ψm+1 =√

j(j + 1)−m(m + 1)Ψm+1

J−Ψm =√

(j + m)(j −m + 1)Ψm+1 =√

j(j + 1)−m(m− 1)Ψm−1.

(5.14)

Como J−Ψ−j = 0, tenemos que el menor autovector es m = −j, entonces, como numero totalde autovectores es 2j + 1, j solo puede ser un numero entero o semientero, por tanto en laformula (5.14) tenemos j = 0, 1

2, 1, 3

2, 2 . . ., m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j. Ademas, usando las

relaciones generalizadas (5.13) es facil comprobar que

〈Ψm,Ψm〉 = N2j,m〈J j−m

− Ψj , Jj−m− Ψj〉 = N2

j,m〈Ψj , Jj−m+ J j−m

− Ψj〉

= N2j,m(j −m)(j + m + 1)〈Ψj , J

j−m−1+ J j−m−1

− Ψj〉,

de donde se deduce que los autovectores normalizados son20

Ψm =

√(j + m)!

(2j)!(j −m)!J j−m− Ψj , (5.15)

donde j = 0, 12, 1, 3

2, 2, . . . , m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j.

Probemos ahora que las representaciones Dj definidas sobre cualquiera de los espacios li-neales R generados por los vectores Ψ−j ,Ψ−j+1 . . . ,Ψj son irreducibles. Para ello supondremosque en R hay un subespacio invariante R′ respecto a todas las transformaciones T(g), y enparticular a las transformaciones infinitesimales Ak, k = 1, 2, 3, o Jz y J±. Sea Φ un vectorpropio correspondiente al mayor autovalor de la matriz de Jz en R′. Dado que Φ ∈ R′ ⊂ R,entonces podemos desarrollarlo en la base de R,

Φ =

j∑

m=−j

cmΨm.

20Es mas facil verlo de la forma 〈Ψj, Jk+Jk

−Ψj〉 = k(2j − k + 1)〈Ψj , J

k−1+ Jk−1

−Ψj〉.

66

Como Φ corresponde al mayor autovalor de Jz, entonces J+Φ = 0, luego

J+Φ =

j∑

m=−j

cmJ+Ψm =

j∑

m=−j

cm

√(j −m)(j + m + 1)Ψm+1 = 0.

Ahora bien, los vectores Ψ−j ,Ψ−j+1, . . . ,Ψj son linealmente independientes, de donde se tieneque

cm

√(j −m)(j + m + 1) = 0, m = −j,−j + 1, . . . j − 1, j,

pero como√

(j −m)(j + m + 1) 6= 0, m = −j,−j + 1, . . . j − 1, entonces deducimos quecm = 0 para m = −j,−j + 1, . . . j − 1. Ası pues, Φ = cjΨj y por tanto Ψj ∈ R

′. Perocomo R′ es invariante respecto a todas las transformaciones T(g) entonces, los vectores Ψm,m = −j,−j + 1, . . . j − 1, j, pertenecen a R

′, lo que implica que R′ coincide con R, lo que

prueba que las representaciones de dimension 2j + 1 anteriores son irreducibles.

Si usamos ahora los angulos de Euler y la formula (5.12) tenemos

T(g) = e−iγJz′e−iβJy′′ e−iαJz , (5.16)

donde Jz, Jy′′ y Jz′ son las representaciones infinitesimales correspondientes a las rotaciones delos ejes 0z, 0y′′ y 0z′ respectivamente (ver la figura 3).

Es facil comprobar que las clases de elementos conjugados en O(3) estan constituıdas porlas rotaciones de la misma magnitud φ alrededor de cualquier eje ~n. Para ello basta notar quesi tenemos el giro g(~n, φ) y el g′(~n′, φ), entonces

g′(~n′, φ) = gg(~n, φ)g−1,

siendo g el giro que lleva el eje ~n′ a ~n. Por tanto lo mismo ocurrira para las correspondientesrepresentaciones

T(g′(~n′, φ)

)= T (g) T (g(~n, φ)) T

(g−1),

Usando lo anterior y la expresion (5.9) tenemos

e−iγJz′ = e−iβJy′′ e−iγJzeiβJz′′ ,

ya que T (g) en este caso corresponde al giro que transforma el eje Oz en el Oz ′ que es precisa-mente la rotacion mediante el angulo β alrededor del eje Oy′′ (ver la figura 3). Analogamente

e−iβJy′′ = e−iαJze−iβJyeiαJz .

Sustituyendo ambas expresiones en (5.16) obtenemos

T(g) = e−iαJze−iβJye−iγJz , (5.17)

Sea Djmm′(α, β, γ) los elementos matriciales de T(g) en la base Ψ−j ,Ψ−j+1 . . . ,Ψj de R anterior,

Djmm′(α, β, γ) = 〈Ψm,T(g)Ψm′〉 = 〈eiαJzΨm, e−iβJye−iγJzΨm′〉. (5.18)

Entonces, como Jkz Ψm = mkΨm para todo k ∈ N, tenemos

Djmm′(α, β, γ) = e−iαm〈Ψm, e−iβJyΨm′〉e−iγm′

= eiγmdjmm′(β)e−iαm′

, (5.19)

67

donde djmm′(β) = 〈Ψm, e−iβJyΨm′〉. Las funciones Dj

mm′(β) se conocen como armonicos esfericosgeneralizados o funciones de Wigner. Una propiedad inmediata de las funciones de Wigner esla ortogonalidad

j∑

k=−j

Djmk(α, β, γ)Dj

m′k(α, β, γ) = δmm′ .

Ello es consecuencia de que las RI Dj son unitarias. Ademas, como g−1(α, β, γ) = g(π −γ, β,−π − α), tenemos,

Djmm′(α, β, γ)T = Dj

m′m(α, β, γ) = Djmm′(π − γ, β,−π − α).

De donde se deduce, en particular, que21

djmm′(β) = (−1)m−m′

djm′m(β) = dj

m′m(−β).

Es facil comprobar que si hacemos dos giros consecutivos g1(α1, β1, γ1) y g2(α2, β2, γ2), entoncessi g = g1 g2 = g(α, β, γ), entonces

Djmm′(α, β, γ) =

j∑

k=−j

Djmk(α1, β1, γ1)D

jkm′(α2, β2, γ2).

Sea ahora el operador

J2 = J2x + J2

y + J2z = J+J− + J2

z − Jz = J−J+ + J2z + Jz . (5.20)

El operador anterior se denomina operador de Casimir y tiene la propiedad de conmutar conlos generadores J± y Jz , es decir,

[J2, Jz ] = [J2, J±] = 0.

Por ejemplo, usando las relaciones de conmutacion (5.10)

[J2, Jz ] = [J−J+, Jz] = J−J+Jz − JzJ−J+ = J−J+Jz − J−JzJ+ + J−J+

= J−J+Jz + J−J+ − J−J+Jz − J−J+ = 0.

El resto es analogo.

Ahora bien, usando (5.15) tenemos

J2Ψm =

√(j + m)!

(2j)!(j −m)!J2J j−m

− Ψj =

√(j + m)!

(2j)!(j −m)!(J−J+ + J2

z + Jz)Ψj

= j(j + 1)

√(j + m)!

(2j)!(j −m)!Ψj = j(j + 1)Ψm.

Ası pues, los elementos de la base de cualquier RI de O(3) quedan determinados por los auto-valores de los operadores J2 y Jz que a su vez determinan la dimension j (2j + 1) y el valor dem, mediante las formulas

J2Ψjm = j(j + 1)Ψjm, JzΨjm = mΨjm. (5.21)

21La ultima igualdad es algo mas complicada de probar.

68

En la mecanica cuantica estos operadores corresponden al operador momento angular (J) y suproyeccion sobre el eje Oz (Jz). Veamos ahora la interpretacion de las funciones de Wigner Dj

mm′ .Supongamos que hemos fijado el espacio R de la RI Dj . Obviamente al aplicar el operador T (g)sobre R obtendremos una nueva base que denotaremos por Ψ′

jm′ , de forma que Ψ′jm′ = T (g)Ψjm,

pero entonces

Ψ′jm′ =

j∑

m=−j

Djmm′(α, β, γ)Ψjm, Dj

mm′(α, β, γ) = 〈Ψjm,T(g)Ψjm′〉, (5.22)

es decir, las funciones de Wigner determinan a la matriz de cambio de la base Ψjm a la nuevabase Ψ′

jm′ al realizar el giro g(α, β, γ). Existen varias formas para encontrar la expresion explıcitade las funciones de Wigner aunque no nos vamos a detener en ellas22.

Ası, se tiene

djmm′(β) = (−1)j−m′

2−j

√(j + m)!

(j + m′)!(j −m′)!(j −m)!(1− s)−

m−m′

2 (1 + s)−m+m′

2 ×

× dj−m

d sj−m

[(1− s)j−m′

(1 + s)j+m′

], s = cos β.

(5.23)

Comparando esta formula con la formula de Rodrigues para los polinomios de Jacobi se deduce

√2j + 1

2dj

mm′(β) = (−1)m−m′

√ρ(s)

d2n

P µ,νn (s), s = cos β,

con n = j −m, µ = m−m′ y ν = m+m′. De la expresion anterior se deduce en particular que∫ π

0

djmm′(β)dj′

mm′(β) senβ dβ =2

2j + 1δjj′ .

Usando la ortogonalidad de las funciones de Wigner y la relacion anterior (5.23), que nosindica que las funciones dj

mm′ son reales, obtenemos la siguiente ortogonalidad discreta

j∑

k=−j

djmk(β)dj

m′k(β) = δmm′ .

No es difıcil comprobar que esta corresponde a los polinomios de Kravchuk, ası pues

(−1)m−m′

djmm′(β) =

√ρ(s)

d2n

kpn(s,N), p = cosβ,

con n = j −m, s = j −m′ y N = 2j. A partir de las conexiones entre las funciones djmm′ y los

polinomios ortogonales se deducen una gran cantidad de propiedades de estos a partir de lasde aquellos.

5.3.2. Los coeficientes de Clebsch-Gordan

Sean T1 y T2 dos representaciones cualesquiera de O(3) y sean R1 y R2 los correspondientesespacios lineales. Sean Ψj1m1 y Ψj2m2 las bases de dichos espacios. Definamos el espacio R

formado por todas las combinaciones lineales del tipo

Ψ =∑

m1,m2

cm1m2Ψj1m1Ψj2m2.

22El lector puede remitirse a los textos clasicos de teorıa de grupos como, por ejemplo [19, 20, 21], y especial-mente a [14], donde hay una prueba muy sencilla.

69

Dicho espacio se denomina producto tensorial de R1 y R2 y lo denotaremos R = R1×R2. Unabase de R es obviamente el conjunto de todos los pares Ψj1m1Ψj2m2. Obviamente el producto decualquier funcion de R1 y R2, Ψ1 =

∑m1

cm1Ψj1m1 y Ψ2 =∑

m2cm2Ψj2m2 pertenece a R1×R2.

Definamos una representacion de O(3) sobre R1×R2 de la siguiente forma: el giro g trans-forma la base Ψj1m1 en la nueva base T1(g)Ψj1m1 y la base Ψj2m2 en la nueva base T2(g)Ψj2m2,definamos el producto tensorial de dos representaciones T(g) = T1(g)× T2(g) sobre R1 × R2

de forma queT(g)(Ψj1m1Ψj2m2) = (T1(g)Ψj1m1)(T2(g)Ψj2m2). (5.24)

Es sencillo comprobar que los operadores T definidos de esta forma definen una representacionde G en R = R1 ×R2

T(g1g2)(Ψj1m1Ψj2m2) = [T1(g1g2)Ψj1m1][T2(g1g2)Ψj2m2 ]

= [T1(g1)T1(g2)Ψj1m1 ][T2(g1)T2(g2)Ψj2m2 ]

= T1(g1)T2(g1)[T1(g2)Ψj1m1T2(g2)Ψj2m2]

= T(g1)[(T(g2)Ψj1m1)(T2(g)Ψj2m2)] = [T(g1)T(g2)]Ψj1m1Ψj2m2

Dicha representacion se denomina producto tensorial de las representaciones R1 y R2. Siahora definimos el producto escalar en R de la forma

〈Ψj1m1Ψj2m2,Ψj1m′

1Ψj2m′

2〉 = 〈Ψj1m1 ,Ψj1m′

1〉〈Ψj2m2 ,Ψj2m′

2〉,

entonces, si T1 y T2 son unitarias, T = T1 × T2 tambien lo es.Sea T(g) = eφ A~n el operador de la representacion T que actua sobre R, asociado al elemento

g correspondiente a un giro de magnitud φ respecto al eje ~n, donde como antes A~n denota aloperador infinitesimal correspondiente a dicho giro que actua en el espacio R. Entonces siT(g) = T1(g)× T2(g), usando (5.24) tendremos

eφ A~n(Ψj1m1Ψj2m2) = (eφA~n,1Ψj1m1)(eφA~n,2Ψj2m2),

siendo A~n,k, k = 1, 2 el operador infinitesimal correspondiente a dicho giro que actua en elespacio Rk. Entonces, derivando respecto a φ y haciendo φ = 0 obtenemos

A~n(Ψj1m1Ψj2m2) = (A~n,1Ψj1m1)Ψj2m2 + (A~n,2Ψj2m2)Ψj1m1,

pero por definicion

A~n,1(Ψj1m1Ψj2m2) = (A~n,1Ψj1m1)Ψj2m2 , A~n,2(Ψj1m1Ψj2m2) = (A~n,2Ψj2m2)Ψj1m1 ,

por tanto A~n = A~n,1 + A~n,2 y [A~n,1, A~n,2] = 0. En particular, se cumplira para los operadoresJx, Jy y Jz definidos anteriormente y por tanto para los J±.

Lo anterior nos indica que si J±(k) y Jz(k), k = 1, 2, son los generadores de las represen-taciones T1 y T2 en R1 y R2, respectivamente, entonces los generadores de T = T1 × T2 enR1 ×R2 son

J± = J±(1) + J±(2), Jz = Jz(1) + Jz(2),

que cumplen las mismas relaciones de conmutacion (5.10) que antes.

En adelante trabajaremos con las RI de O(3), Dj . Obviamente en el espacio R = R1 ×R2

donde esta definido el producto D1 × D2 existe una base que denotaremos por Ψjm tal que setiene (5.14), pero ademas tendremos

Ψjm =∑

m1,m2

〈j1m1, j2m2|jm〉Ψj1m1Ψj2m2, (5.25)

70

donde 〈j1m1, j2m2|jm〉 se denominan coeficientes de Clebsch-Gordan. Ademas, es conocido quedados los valores de j1 y j2 de las RI de O(3), j toma los valores desde |j1 − j2| hasta j1 + j2,lo que simbolicamente se representa por

Dj1 ⊗ Dj2 =

j1+j2∑

j=|j1−j2|⊕Dj .

Ademas, como Jz = Jz(1) + Jz(2), es facil comprobar que m = m1 + m2.

Si ahora aplicamos el operador J2 = (J1 + J2)2 sobre (5.25) obtenemos la relacion de

recurrencia (ecuacion en diferencias)

√[j2 −m2 + 1][j2 + m2][j1 + m1 + 1][j1 −m1]〈j1m1 + 1, j2m2 − 1|jm〉+

√[j2 + m2 + 1][j2 −m2][j1 + m1][j1 −m1 + 1]〈j1m1 − 1, j2m2 + 1|jm〉+(j(j + 1)− j1(j1 + 1)− j2(j2 + 1)− 2m1m2

)〈j1m1, j2m2|jm〉 = 0 .

(5.26)

Esta ecuacion se transforma directamente en la ecuacion en diferencias (4.3) escrita en la reduniforme x(s) = s

[σ(s) + τ (s)]y(s + 1) + σ(s)y(s− 1) + [λ− 2σ(s) + τ (s)]y(s) = 0. (5.27)

para los polinomios de Hahn mediante el cambio

〈j1m1, j2m2|jm〉 = (−1)s+n

√ρ(s)

d2n

hαβn (s,N), (5.28)

donde s = j1 −m1, N = j1 + j2 −m + 1, α = m + j1 − j2, β = m− j1 + j2, n = j −m, y ρ(s),

dn denotan las funciones peso y la norma de los polinomios de Hahn h(α,β)n (s,N).

Otra posibilidad es la siguiente

〈j1m1j2m2|jm〉q = (−1)N−s−1

√ρ(s)

d2n

hαβn (s,N)q, (5.29)

donde s = j2 −m2, N = j1 + j2 −m + 1, α = m− j1 + j2, β = m + j1 − j2, n = j −m.Ambas relaciones nos permiten traducir todas las propiedades estudiadas para los polinomios

de Hahn en propiedades para los coeficientes de Gordan-Clebsch. Por ejemplo, la ortogonalidadde los polinomios de Hahn se transforma en la siguiente propiedad de ortogonalidad para losCCG

∑

m1,m2

〈j1m1, j2m2|jm〉〈j1m1, j2m2|j ′m′〉 = δjj′δmm′ . (5.30)

La propiedad de simetrıa de los polinomios de Hahn se transforma en la propiedad desimetrıa para los CCG

(−1)j1+j2−j〈j1 −m1, j2 −m2|j −m〉 = 〈j1m1, j2m2|jm〉, (5.31)

71

La relacion de recurrencia a tres terminos para los polinomios de Hahn se transforma en lasiguiente relacion de recurrencia en j para los CCG

0 =

√[j−m][j+m][j1+j2+j+1][j2−j1+j][j−j2+j1][j1+j2−j+1]

[2j+1][2j−1][2j]2〈j1m1, j2m2|j − 1m〉

+

(m2 − j(j+1)+j2(j2+1)−j1(j1+1)−jj2

2j(j+1)

)〈j1m1, j2m2|jm〉+

+

√[j−m+1][j+m+1][j1+j2+j+2][j2−j1+j+1][j−j2+j1+1][j1+j2−j]

[2j+3][2j][2j+2]2〈j1m1, j2m2|j+1m〉.

La formula de diferenciacion de los polinomios de Hahn se transforma en la siguiente relacionde recurrencia para los CCG

√(j1 ±m1)(j1 ∓m1 + 1)〈j1m1 ∓ 1, j2m2|jm〉

+√

(j2 ±m2)(j2 ∓m2 + 1)〈j1m1, j2m2 ∓ 1|jm〉

=√

(j ∓m)(j ±m + 1)〈j1m1, j2m2|jm± 1〉.

Finalmente, usando la expresion explıcita de los polinomios de Hahn tenemos

〈j1m1, j2m2|jm〉 =

= (−1)j1−m1

√[2j + 1][j −m]![j + m]![j1 −m1]![j2 −m2]![j1 + j2 − j]!

[j1 + j2 + j + 1]![j1 − j2 + j]![−j1 + j2 + j]![j1 + m1]![j2 + m2]!×

×∑

z

(−1)z [j1 −m1 + z]![j + j2 −m1 − z]!

[z]![j −m− z]![j1 −m1 − z]![j2 − j + m1 + z]!,

donde la suma recorre los valores de z para los cuales todos los factoriales tienen argumentospositivos.

Obviamente las representaciones en serie hipergeometrica de los polinomios de Hahn nospermiten escribir los CCG del grupo O(3) como una serie 3F2.

72

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