Indice general

6. Radiacion 36.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6.1.1. El mecanismo fısico de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.1.2. Cuerpo Negro, Leyes de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.1.3. Intensidad de radiacion y Ley de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.2. Intercambio de energıa radiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2.1. Radiacion en una cavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2.2. Analogıa electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.3. Intercambio entre n-superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

2

6 Radiacion

6.1 Introduccion

6.1.1 El mecanismo fısico de la radiacion

Origen de la radiacion

Para una descripcion cuantitativa de los mecanismos atomicos y moleculares que participan del fenomenode la radiacion, es preciso acudir a la mecanica cuantica: en este curso nos limitaremos a una descripcioncualitativa. Cuando se transfiere energıa a un cuerpo, algunos de los atomos o moleculas que lo consti-tuyen pasa a estados excitados. Este estado no es estable y las partıculas tienden a retornar al estadode energıa original. En el restablecimiento, emiten una cierta cantidad de energıa bajo forma de ondaselectromagneticas. La energıa emitida es lo que llamamos radiacion. La potencia emisiva E(W/m2) nosindica la cantidad de energıa radiante por unidad de tiempo y de area.

Caracterısticas de la radiacion, radiacion termica. Formas de interaccion de la radiacioncon la materia

La radiacion electromagnetica se caracteriza por su longitud de onda λ y su frecuencia νf de formaque la velocidad de propagacion de onda c = λνf . Asimismo, la radiacion manifiesta su naturalezacorpuscular ya que interactua con la materia por medio de cuantos discretos, fotones que tienen unaenergıa E = hνf , donde h = 6,626 × 10−34 es la constante de Planck. La cantidad de movimiento decada foton es hνf/c.La radiacion termica esta dada por el intervalo de longitudes de onda tales que al ser absorbido por uncuerpo, se transforma en energıa calorica. El rango es:

λtermico ∈ [0,1 . . . 100µm]

mientras que el espectro visible es λvisible ∈ [0,4 . . . 0,7µm] En un cuerpo real, no toda la energıa inci-dente es absorbida sino que una parte es reflejada y otra transmitida por el mismo. Si consideramos elcomportamiento global de un cuerpo, podemos definir los coeficientes:

de absorcion α =Energıa absorbida

Energıa incidente.

de reflexion ρ =Energıa reflejada

Energıa incidente.

de transmision τ =Energıa transmitida

Energıa incidente.

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Edificios Humanos Mariposas Punta de aguja

Protozoos Moléculas Átomos Núcleo atómico

104 108 1012 1015 1016 1018 1020

1 K 100 K 10.000 K 10.000.000 K

¿Penetra la atmósfera terrestre?

Radio Microondas Infrarrojo Visible Ultravioleta Rayos X Rayos gamma

103 10−2 10−5 0,5×10−6 10−8 10−10 10−12Tipo de radiación

Longitud de onda (m)

Escala aproximada dela longitud de onda

Frecuencia (Hz)

Temperatura de los objetos en los cuales la radiación con estalongitud de onda es

la más intensa−272 °C −173 °C 9.727 °C ~10.000.000 °C

Figura 6.1: Espectro electromagnetico..Fuente

Luego, debe cumplirse que α + ρ + τ = 1. Este modelo simplista no tiene en cuenta que los cuerposreales presentan coeficientes que son funcion de la longitud de onda de la energıa incidente.

6.1.2 Cuerpo Negro, Leyes de Radiacion

Un cuerpo negro es la superficie que absorbe la totalidad de la radiacion incidente, no importando elangulo ni su longitud de la onda. Segun el coeficiente global, α = 1, no se produce reflexion de laradiacion. Luego, toda radiacion que proviene de un cuerpo negro es emitida exclusivamente por susuperficie. Segun la ley de Stefan Boltzmann, la emision vale

Eb = σT 4 [W/m2] (6.1)

donde σ = 5,67 ·10−8W/m2K4 es la constante de Stefan-Boltzmann. Sin embargo, la emision del cuerponegro no es independiente de la longitud de onda: se rige por la ley de Planck que establece la variacionde la emision

Ebλ =C1λ

−5

eC2/λT − 1(6.2)

donde, si λ esta en µm, C1 = 3,742 · 108Wµm4m2 y C2 = 1,4389 · 104µm K.Integrando la expresion (6.2) se recupera el resultado de Stefan-Boltzmann.Por otro lado, la ley de Wien, establece el desplazamiento de los maximos de las curvas en funcion dela temperatura de la emision. Esta ley se puede deducir tambien a partir de la expresion de Planck.Resulta λmaxT = 2897µm K. Una consecuencia practica de la ley de Wien es que cuanto mayor sea latemperatura de un cuerpo negro, menor es la longitud de onda en la cual emite.

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Radiacion

10−2 10−1 100 101 102

λ[µm]

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Ebλ

T = 5400 K

T = 2000 K

T = 1000 K

T = 500 K

T = 300 K

Ley de Wien

Figura 6.2: Potencia emisiva monocromatica de una superficie negra a diferentes temperaturas. El picode la curva se desplaza hacia las longitudes cortas para mayores temperaturas. La curva en negro indicala prediccion de la teorıa clasica, a diferencia de la teorıa cuantica que predice la forma correcta de lascurvas. Ley de Planck, ley de Wien.

Cuerpos grises, Ley de Kirchoff.

Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros ideales. La emisividad ε depende de lalongitud de onda de la radiacion, la temperatura de la superficie, angulo de emision y de propiedadescomo rugosidad, etc.En algunos casos resulta conveniente suponer que existe un valor de emisividad constante para todas laslongitudes de onda, siempre menor que 1 (que es la emisividad de un cuerpo negro). La simplificacionque nos sirve para resolver algunos casos en ingenierıa donde no es necesario introducir la expresion dePlanck y eventuales calculos.La ley de Kirchoff es una relacion entre la emision monocromatica direccional y la absorcion monocromaticadireccional para una superficie que esta en equilibrio termodinamico con su alrededor.

ελ(T, θ, φ) = αλ(T, θ, φ) (6.3)

La ley establece que un cuerpo en equilibrio termodinamico emite tanto energıa como la que absorbeen cada direccion y en cada longitud de onda. Si esto no ocurriese, el cuerpo podrıa actuar como unabomba de calor absorbiendo desde una direccion y emitiendo en otra: podrıa refrigerar una direccionsin necesidad de trabajo... lo que irıa contra el segundo principio de la termodinamica. El mismo razon-amiento se extiende para el comportamiento espectral de ε, luego, la ley de Kirchoff es una consecuenciade la aplicacion del segundo principio.Otra forma de considerar el enunciado de Kirchoff es pensar dos cuerpos, el primero una cavidad y elsegundo rodeado por el primero. Supongamos que el primer cuerpo es un cuerpo negro que se encuentra

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a una temperatura T0 mientras que el segundo cuerpo, a la misma temperatura T0, no lo es sino que suabsorcion α y su emision ε son arbitrarias. Nuestro analisis es mas simple si ε solo depende de la longitudde onda λ, aunque el resultado se puede extender para ε(λ, θ, ϕ). El cuerpo 2 recibe una cantidad decalor para una dada λ, qaλ = αλEbλA donde Ebλ es la potencia emitida por el cuerpo negro a la longitudde onda λ y A es el area. Por otra parte, como el cuerpo 2 esta inmerso en el 1 y a la misma temperatura,emite radiacion segun qeλ = ελEbλA. La condicion de equilibrio exige que qeλ = qaλ, luego, ελ = αλ, unresultado que solo depende de las propiedades espectrales del cuerpo 21.Se desprende de la ley de Kirchoff que α = ε. Dado que el cuerpo negro se define como aquel en dondeα = 1, en cuerpos reales α < 1 y entonces, ningun cuerpo real podra emitir mas que un cuerpo negro ala misma temperatura.El cuerpo negro es un cuerpo ideal pero en algunas circunstancias, se puede aproximar el comportamientode un cuerpo real al de un cuerpo negro.

Figura 6.3: Materializacion de un cuerpo negro.

6.1.3 Intensidad de radiacion y Ley de Lambert

Para considerar los efectos de la geometrıa en el intercambio por radiacion, debemos estudiar la maneraen la cual los angulos de orientacion afectan la radiacion entre superficies como muestra la figura 6.4.La superficie circular dA emite radiacion en todas las direcciones. Una superficie de radio r recibe laradiacion y, en particular, una porcion dAa de la misma. El calor que fluye hasta dAa sera proporcionalal angulo solido2 dω que se establece desde dA. Si la superficie es esferica, dAs = rdθr sin θdφ luegodω = sin θdθdφ. El flujo de calor depende tambien del angulo θ: en la figura 6.4 pueden observarse treselementos de area como son vistos desde dA. En los dos casos extremos es facil ver el efecto: para θ = 0◦,el area coincide con dA ; por otro lado, para θ = 90◦, el area es nula.Ahora podemos definir a la intensidad de radiacion I(θ, φ) como la cantidad de calor que fluye desde dApor unidad de angulo solido y por unidad de area proyectada ortogonalmente a la direccion considerada.si dAa percibe un flujo de calor dQ(θ, φ),

I(θ, φ) =dQ(θ, φ)

dA cos θdω[W/m2] (6.4)

Si I(θ, φ) fuera independiente de la direccion, se dice que la radiacion es difusa. Si se cumple estacondicion, se satisface la ley de Lambert3. Una forma practica ocurre cuando dA es una superficie

1Senalemos nuevamente que podemos extender ελ = αλ a ελ,θ,ϕ = αλ,θ,ϕ.2Ası como para una curva, el angulo se define a partir de dαr = dS en radianes, para una superficie es dω = dA/r2 en

estereo-radianes3Formulada para optica, fotometrıa.

6

Radiacion

Figura 6.4: Elementos de superficie que intervienen en la definicion de la intensidad.

esferica (en vez de un disco) negra. El flujo total por unidad de superficie que sale en este caso desdedA vale:

q =dQ

dA= I cos θdω (6.5)

reemplazando la expresion para el angulo solido dω e integrando sobre el hemisferio, obtenemos laradiosidad J :

J =

∫ 2π

0

∫ 2π

0

I(θ, φ) cos θ sin θdθdφ (6.6)

Siendo una superficie difusa I es constante, luego J = πI. Si la superficie es negra, la intensidad laemision es σT 4 por unidad de area. Luego,

I =σT 4

π(6.7)

Los cuerpos negros o grises son por definicion de radiacion difusa. En cuerpos reales, los no metalespresentan su emisividad mayor para la direccion normal a la superficie, mientras que los metales latienen en una cercana a la azimutal (Figura 6.5).

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 6.5: Variacion de la emitancia direccional con el angulo para algunos materiales.

6.2 Intercambio de energıa radiante

6.2.1 Radiacion en una cavidad

Supongamos en primer caso dos superficies negras A1 y A2 a temperaturas T1 y T2 respectivamente que seencuentran dispuestas como muestra la figura 6.6. Segun la ley de Stefan-Boltzmann, la el objeto interior

Figura 6.6: Intercambio de calor por radiacion en dos superficies

emite una radiacion σT 42A2. Si las superficies se encuentran en equilibrio, a temperaturas T2 = T1, el

cuerpo absorbe σT 42A2. Si el objeto tuviera una absortancia α, en equilibro la emision sera igual a la

absorcion A2σT4α.

Si no hay equilibrio de temperaturas, la emision es σT 42A2 pero la absorcion sera σT 4

1A2, el intercambio

8

Radiacion

neto resulta:Q21 = A2σ(T 4

2 − T 41 ) (6.8)

El intercambio de calor en algunas configuraciones geometricas se corresponde bien con el ejemploanterior: 2 esferas concentricas, 2 cilindros largos coaxiales, 2 placas grandes enfrentadas.

Figura 6.7: No toda la energıa radiada de 1 es absorbida por 2.

Factor de forma

Otras geometrıas pueden implicar que una parte de la radiacion emitida por una de las superficie no seacompletamente absorbida por la restante, como se ve en el esquema de la figura 6.7. Es necesario definirun factor de forma

Fmn =Potencia emisiva de m que llega a n

Potencia emisiva de m en todo espacio

Fmn ≤ 1 y es funcion del tamano, de la forma y de la orientacion de 2 superficies. En forma similar a(6.8),

Q21 = F21A2σT42 − F12A1σT

41 (6.9)

Si ambas superficies estuviesen a la mima temperatura, Q12 = 0 y F21A2 = F12A1. Como el factor deforma no depende de la temperatura, el resultado anterior es valido para aun cuando las temperaturasson diferentes. La relacion se conoce como regla recıproca. Entonces

Q21 = F21A2σ(T 42 − T 4

1 ) (6.10)

En forma analıtica,

A2F21 = A1F12 =

∫A1

∫A2

cos β1 cos β2dA1dA2

πs2(6.11)

Para configuraciones sencillas, el factor de forma se encuentra tabulado. Algunas propiedades utiles:

Para un recinto cerradon∑j=1

Fij = 1

F1,(2+3) = F12 + F13, generalizando: Fij =n∑k=1

Fik.

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 6.8: Determinacion analıtica del factor de forma entre 2 superficies arbitrarias.

6.2.2 Analogıa electrica

Cuerpos negros

La ecuacion 6.10) nos muestra el intercambio entre 2 superficies negras. Si llamamos potencia emisivadel cuerpo negro Eb = σT 4, la forma lineal de (6.10) sugiere una analogıa electrica.

Q21 =Eb2 − Eb11/F21A2

En forma general para 2 superficies ij:

Qij =Ebi − Ebj1/FijAi

(6.12)

Luego, las potencias emisivas Ebi pueden asociarse a potenciales electricas y la inversa del area afectadapor el factor de forma puede asociarse a una resistencia espacial a la radiacion. El planteo nos permitever con sencillez algunas configuraciones. Consideremos el caso de una pantalla (o escudo) que separados placas infinitas (Figura 6.9 ). En estado estacionario la pantalla no puede almacenar energıa y losflujos de calor: Q13 = Q32. Como Q1 = Q13 y Q2 = Q23, Q1 = −Q2. El circuito equivalente de la Figura6.9 determina:

Q1 =Eb1 − Eb2

1/A1F13 + 1/A3F32

Como las areas son las mismas y F13 = F32 = 1,

Q1 =Eb1 − Eb2

2/A1

El efecto del escudo es reducir la mitad el intercambio por radiacion. Puede probarse que para n pantallas,las radiacion se reduce m+ 1 veces.

10

Radiacion

Figura 6.9: Pantalla. Analogıa electrica.

Cuerpos grises

Figura 6.10: Esquema del intercambio de una superficie gris.

En el caso de superficies grises hay que agregar al analisis las caracterısticas de absorcion, emision yde reflexion de las mismas. La figura 6.10 muestra los flujos de calor radiativos para una superficie grisopaca (sin transmision). Sobre ella incide una irradiacion G. La radiosidad J representa la radiacion quesale de la superficie, ya sea por emision o por reflexion: J = εEb + ρG. Por otro lado, el flujo de calor esq = J −G, positivo si sale mas de lo que entra.

q = εEb + ρG−G = εEb + (ρ− 1)G

q = εEb + (ρ− 1)(J − q)

siendo α + ρ = 1 y α = ε, luego ε = 1− ρ.

q = εEb + (−ε)(J − q)q(1− ε) = εEb + (−εJ)

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa

q =ε

1− ε(Eb − J) (6.13)

Tenemos ası definido el flujo de calor radiante neto a partir de una superficie gris en funcion de lapotencia emisiva de cuerpo negro Eb y de la radiosidad J . Si consideramos 2 superficies grises del tipode la figura 6.6, de un cuerpo encerrado dentro de otro, los flujos de calor pueden definirse segun:

Q12 = J1A1F12 − J2A2F21

donde J1A1F12 representa la energıa que recibe el cuerpo 2 a partir del 1 y J2A2F21 respectivamente laenergıa que recibe el cuerpo 1 a partir del 2. Recordando que A1F12 = A2F21,

Q12 = A1F12(J1 − J2)

Retomando el resultado de (6.13), Q1 = q1A1 = A1ε1

1− ε1

(Eb1− J1) y el flujo Q2 = A2ε2

1− ε2

(Eb2− J2).

El balance de energıa del problema estacionario es:

Q1 = Q12 = −Q2

Reemplazando, podemos despejar el valor del flujo de calor Q12

Eb1 − Eb21−ε1ε1A1

+ 1A1F12

+ 1−ε2ε2A2

(6.14)

Para un problema donde los datos sean las temperaturas, el factor de forma y la emisividad de las super-ficies, obtenemos ası el valor del flujo de calor para superficies grises. Pensando en la analogıa electrica,(1 − εi)/εiAi representa una resistencia de la superficie i. Otras configuraciones pueden resolverse conla ayuda de la analogıa.

6.2.3 Intercambio entre n-superficies

La analogıa electrica deja de ser conveniente cuando se tienen mas de 3 superficies en juego. Una cavidadde multiples superficies como la representada en la figura 6.11, precisa un planteo matricial. Para ello,supondremos que:

las superficies son grises y opacas.

Las temperaturas son conocidas en cada superficie.

Son conocidos los factores de forma.

La conduccion y la conveccion son despreciables y el fluido presente es transparente y no radiante.

Para cada superficie,Ji = εiσT

4i + ρiGi = εiσT

4i + (1− εi)Gi

La energıa incidente sobre cada superficie sera

Gi =n∑j=1

FijJj

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Radiacion

Figura 6.11: Cavidad de n-superficies.

. Entonces:

Ji = εiσT4i + ρiGi = εiσT

4i + (1− εi)

n∑j=1

FijJj (6.15)

y se define un sistema de n ecuaciones a resolver.

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