indukcja matematyczna - fc.put.poznan.plfc.put.poznan.pl/materials/181-indukcja.pdf · matematyka...

INDUKCJA MATEMATYCZNA

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

dr hab. inż. Małgorzata Sterna

[email protected]

www.cs.put.poznan.pl/msterna/

FUNKCJA SILNIA

dla n 0, funkcja silnia zdefiniowana jest następująco:

O! = 1

n! = (n)·(n-1)·(n-2)·...·(3)·(2)·(1), dla n 1

definicja rekurencyjna funkcji silnia:

O! = 1

n! = n·(n-1)!, dla n 1

Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna

2

WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY

współczynnik dwumianowy

symbol Newtona

n po k


3

n)yx(

występuje we wzorze na n-tą potęgę dwumianu (x+y)n:

k

n

)!kn(!k

!n

1)...2k)(1k(k

)1kn)...(2n)(1n(n

)yx(...)yx()yx(

n

0k

knkyxk

n

n

3)yx(

3

0k

k3kyxk

3 030yx0

3

131yx

1

3

232yx

2

3

333yx

3

3

3y2xy3 yx3 2 3x


współczynnik dwumianowy („n po k”) określa liczbę

k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego (kn):

© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna

4

k...21

)1kn(...)1n(n

!k)!kn(

!n

k

n

Podstawowe tożsamości:

kn

n

k

nreguła symetrii

1k

1n

k

1n

k

nreguła dodawania

k

0s sk

n

s

m

k

nmtożsamość Cauchy’ego

1k

1nn

k

nk reguła pochłaniania

n

0k

knkn yxk

n)yx(

dla x=y=1

nn

0k

2k

n

n

0k

nknk )11(11k

n


Współczynnik dwumianowy występujący we wzorze na n-tą

potęgę dwumianu (x+y):


5

określa liczność zbioru potęgowego

(x+y)0 = 1x0y0

(x+y)1 = 1x1y0 + 1x0y1

(x+y)2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2

(x+y)3 = 1x3y0 + 3x2y1 + 3x1y2 + 1x0y3

(x+y)4 = 1x4y0+ 4x3y1 + 6x2y2 + 4x1y3 + 1x0y4

k

1n

1k

1n

k

n

współczynniki

n-tego wiersza:

n

n

0

n

1n

n

1

n

. . .

TRÓJKĄT PASCALA

obliczanie wartości współczynnika Newtona w oparciu o regułę

dodawania


6

(x+y)5 = x5y0+ x4y1+ x3y2 + x2y3 + x1y4 + x0y5

1 5 10 10 5 1

WSPÓŁCZYNNIK WIELOMIANOWY

współczynnik dwumianowy to przykład

współczynnika wielomianowego


7

r21 k,...,k,k

n

r

1r1

3

21

2

1

1 k

k...kn...

k

kkn

k

kn

k

n

!k...!k!k

!n

r21

występującego w rozwinięciu wielomianu

nr21 )x...xx(

nk...kk0k,...,k,k

r21r21

r21

r21

rk2k1k

x...xxk,...,k,k

n

dla n=k1+k2, k1=k

k

n

k,k

n

21

INDUKCJA MATEMATYCZNA

Indukcja matematyczna, to technika dowodzenia twierdzeń

oparta na specyficznych własnościach liczb całkowitych,

w szczególności na zasadzie dobrego uporządkowania.


8

ZASADA DOBREGO UPORZĄDKOWANIA

Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb całkowitych dodatnich Z+,

zawiera element najmniejszy.

czyli

Zbiór Z+ jest dobrze uporządkowany.

Własność ta oznacz, że

Z+ = {xZ: x > 0} Z+ = {xZ: x 1}

(analogiczną własność posiada każdy podzbiór zbioru liczb

całkowitych, np. zbiór liczb naturalnych N = {xZ: x 0}).

Zbiory np. liczb wymiernych lub rzeczywistych dodatnich

Q+={xQ: x > 0},

R+={xR: x > 0}

nie są dobrze uporządkowane.


9

ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (PIERWSZA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ)

Niech S(n) oznacza pewne zdanie otwarte, w którym występuje

zmienna n reprezentująca dodatnią liczbę całkowitą, nZ+.

Jeśli

(1) S(1) jest prawdziwe

i

(2) dla dowolnego kZ+,

S(k+1) jest prawdziwe, jeśli S(k) jest prawdziwe,

to

S(n) jest prawdziwe dla wszystkich nZ+.

)n(S)1k(S)k(S)1(SZnZk


10

ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

W zasadzie skończonej indukcji matematycznej

S(1), to warunek początkowy,

założenie o prawdziwości S(k) dla dowolnego kZ+,

to hipoteza indukcyjna,

.


)1k(S)k(S1k

Zasada indukcji matematycznej mówi, że

prawdziwość warunku początkowego

i kroku indukcyjnego

dowodzi prawdziwości hipotezy indukcyjnej.

)n(S)1k(S)k(S)1(SZnZk

,to krok indukcyjny.

11

ZASADA SKOŃCZONEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

warunek początkowy może być podany dla dowolnego elementu

n0Z+, który uznamy za pierwszy w procesie indukcyjnym

wówczas zasada przyjmuje postać:

Jeśli

(1) S(n0) jest prawdziwe dla pewnego n0Z+

i

(2) dla dowolnego kn0, kZ+,

S(k+1) jest prawdziwe, jeśli S(k) jest prawdziwe,

to

S(n) jest prawdziwe dla wszystkich nn0, nZ+.


)n(S)1k(S)k(S)n(S00 nnnk

0

12

DOWÓD INDUKCYJNY

Dowód oparty o zasadę indukcji matematycznej wymaga:

sformułowania hipotezy indukcyjnej – S(k),

dowiedzenia prawdziwości warunku początkowego S(n0),

dowiedzenia prawdziwości kroku indukcyjnego

(wykazując prawdziwość kroku indukcyjnego, nie dowodzi się

prawdziwości zdania S(k+1), ale prawdziwość implikacji

S(k)S(k+1)).

Dowód oparty o zasadę indukcji matematycznej, to pośrednie

dowiedzenie nieskończenie wielu twierdzeń (dla n0=1):

S(1), S(1)S(2), S(2)S(3), S(3)S(4), ....


0


13

DOWÓD INDUKCYJNY - PRZYKŁAD

Udowodnij, że:

Dowód

2

)2k)(1k(i

2

)1k(ki

1k

1i

k

1iZk

2

)1n(ni:)n(S

n

1iZn

1i :)1(S,1n dla1

1i

)1k(k...21i1k

1i

2

)1n(nn...321i

n

1iZn

sformułowanie hipotezy indukcyjnej:

wykazanie prawdziwości warunku początkowego S(1), n=1:

krok indukcyjny - wykazanie prawdziwości implikacji S(k)S(k+1):

2

)11(1

2

)1n(n

)1k(ik

1i

)1k(2

)1k(k

2

)1k(2)1k(k

2

)2k)(1k(

z założenia o

prawdziwości S(k)

c.b.d.u.


2

2

14

DOWÓD SKOŃCZONEJ ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

niech F będzie zbiorem postaci: F={tZ+: S(t) jest fałszywe}

niech F

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

z zasady dobrego uporządkowania wynika, że F zawiera element minimalny s,

sF

z założenia, S(n) spełnia warunek (1), więc S(1) jest zdaniem prawdziwym,

tym samym 1F i s1, czyli s > 1

ponieważ s > 1, to s-1 > 0 i s-1Z+

ponieważ s jest minimalnym elementem w F, to s-1F,

to S(s-1) jest zdaniem prawdziwym

z założenia, S(n) spełnia warunek (2),

czyli prawdziwość S(s-1) pociąga za sobą prawdziwość S((s-1)+1),

czyli S(s) jest zdaniem prawdziwym i sF

otrzymana sprzeczność wynika z założenia, że F,

tym samym wykazano, że F= i S(n) jest spełnione dla wszystkich nZ+

)1k(S)k(S)1(SZk

Założenia:

niech S(n) będzie pewnym zdaniem spełniającym warunki (1) i (2) czyli:

c.b.d.u.


15

ZASTOSOWANIE ZASADY INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

Zasada indukcji matematycznej wykorzystywana jest w

rozumowaniu indukcyjnym, czyli w procesie formułowania faktów

ogólnych w oparciu o zbiór obserwacji.

Analiza przypadków, wynikania poszczególnych przypadków

jeden z drugiego, pozwala odgadnąć wzory ogólne i sugeruje

sposób przeprowadzenia kroku indukcyjnego w procesie ich

dowodzenia.


16

PRZYKŁAD

Dany jest ciąg liczb x0, x1, x2, ... zdefiniowany jako

x0=a

xn+1=2xn+b

dla a,b,nN. Czy można wyrazić xn jako funkcję parametru n?

n=0, x0 =a

n=1, x1 =2(a) + b

n=2, x2 =2(2a+b) +b

n=3, x3 =2(4a+3b) +b

n=4, x4 =2(8a+7b) +b

...

= 1 a + 0 b

= 2 a + 1 b

= 4 a + 3 b

= 8 a + 7 b

=16 a +15 b

...

= 20a + (20-1)b

= 21a + (21-1)b

= 22a + (22-1)b

= 23a + (23-1)b

= 24a + (24-1)b

xn= 2na +(2n-1)b

= 1 a + (1-1)b

= 2 a + (2-1)b

= 4 a + (4-1)b

= 8 a + (8-1)b

=16 a+ (16-1)b

...


17

PRZYKŁAD

Zaobserwowaną zależność można udowodnić korzystając z zasady

indukcji matematycznej.

Założenia: x0=a dla aN

xn+1=2xn+b dla b,nN

Hipoteza indukcyjna: S(n): xn=2na+(2n-1)b dla każdego nN

Wykazanie prawdziwości warunku początkowego dla n=0, S(0):

S(0): x0 = 20a+(20-1)b =

= 1·a + 0·b =

= a

Krok indukcyjny - wykazanie prawdziwości S(k)S(k+1) dla dowolnego k,

czyli:


18

b)12(a2xb)12(a2x 1k1k1k

kkk

Nk

S(k+1): xk+1 = 2xk + b =

= 2(2ka+(2k-1)b) + b =

= 2·2ka+2·(2k-1)b + b =

= 2k+1a+(2k+1-2+1)b =

= 2k+1a+(2k+1-1)b

ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (DRUGA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ)

Niech S(n) oznacza pewne zdanie otwarte, w którym występuje zmienna n reprezentująca dodatnią liczbę całkowitą, nZ+.

Niech n0, n1Z+, n0n1.

Jeśli

(1) S(n0), S(n0+1), ..., S(n1-1), S(n1) są prawdziwe

i

(2) dla dowolnego kZ+, kn1 S(k+1) jest prawdziwe,

jeśli S(n0), S(n0+1), ..., S(k-1), S(k) są prawdziwe,

to

S(n) jest prawdziwe dla wszystkich nZ+, nn0.

)n(S)1k(S)k(S...)1n(S)n(S

)n(S...)1n(S)n(S

01

nn00nk

100


19

ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

Podobnie jak w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej:

(1) określa warunek początkowy

(2) krok indukcyjny

założenie o prawdziwości S(n0)S(n0+1)... S(k-1)S(k) dla kZ+ to

hipoteza indukcyjna.


20


)n(S...)1n(S)n(S

01

nn00nk

100

(1)

(2)

ZASADA SILNEJ INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

Zasadę silnej indukcji matematycznej stosuje się:

jeśli prawdziwość analizowanego zdania wynika z prawdziwości pewnych zdań poprzedzających (a nie wyłącznie z prawdziwości zdania bezpośrednio poprzedzającego),

jeśli krok indukcyjny nie jest prawdziwy dla pewnych początkowych wartości k (prawdziwość zdań S(k) dla tych wartości musi być sprawdzona niezależnie w ramach dowodzenia warunku początkowego),

w analizie definicji rekurencyjnych, w których pewne wyrazy określone są za pomocą wyrazów innych niż bezpośrednio poprzedzający.


21


)n(S...)1n(S)n(S

01

nn00nk

100

PRZYKŁAD Dany jest ciąg liczb x0, x1, x2, ... zdefiniowany następująco:

x0=1, x1=2, x2=3, xn=xn-1+xn-2 +xn-3 dla nN, n3.

Twierdzenie: S(n): xn3n, dla dowolnego nN

Dowód

Dowodzimy warunek początkowy wykazując, że zdania S(0), S(1), S(2) są prawdziwe (n0=0, n1=2):

S(0): x0 =1 30 =1

S(1): x1 =2 31 =3

S(2): x2 =3 32 =9

W kroku indukcyjnym zakładamy prawdziwość zdań

S(0), S(1), ..., S(k-2), S(k-1), S(k) dla kN, k2,

aby wykazać prawdziwość S(k+1):

S(k+1): xk+1 = xk + xk-1+ xk-2

3k + 3k-1 + 3k-2 3k + 3k + 3k = 3(3k) = 3k+1

Krok indukcyjny wymagał założenia prawdziwości 3 zdań poprzedzających,

tzn. [S(k-2) S(k-1) S(k)]S(k+1)


22

ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ

Pierwsza zasada (skończonej) indukcji matematycznej


23


)n(S...)1n(S)n(S

01

nn00nk

100


0

i druga zasada (silnej) indukcji matematycznej

są równoważne, tzn. jeśli zaakceptujemy jedną z nich, to druga też jest poprawna.

2 1 Jeśli założymy prawdziwość wszystkich przypadków poprzedzających S(k+1),

tzn. S(n0), S(n0+1), ..., S(k-1), S(k),

to założyliśmy również prawdziwość przypadku bezpośrednio

poprzedzającego - S(k).

1 2 Dowód prawdziwości S’(n)=S(n0)S(n0+1)... S(n) w pierwszej

zasadzie indukcji

jest równoważny dowodowi S(n) w drugiej zasadzie.

POPRAWNOŚĆ DOWODU INDUKCYJNEGO

Poprawny dowód indukcyjny twierdzenia składa się z:

dowodu warunku początkowego,

dowodu kroku indukcyjnego.

Prawdziwość kroku indukcyjnego

)1k(S)k(SZk

nie wystarcza do udowodnienia analizowanego twierdzenia.

Konieczne jest wykazanie prawdziwości warunku początkowego

S(n0), od którego proces indukcyjny może się rozpocząć.


24

PRZYKŁAD Udowodnij, że dla dowolnego nZ+, liczba n2+5n+1 jest liczbą parzystą,

czyli udowodnij, że dla nZ+ istnieje rN takie, że n2+5n+1=2r.

Dowód kroku indukcyjnego S(k)S(k+1):

S(k): dla kZ+ istnieje pN takie, że k2+5k+1=2p

S(k+1): dla (k+1)Z+ istnieje p’N takie, że (k+1)2+5(k+1)+1=2p’

S(k+1): (k+1)2 + 5(k+1) + 1

Krok indukcyjny jest prawdziwy.

Dowód warunku początkowego:

n=1: n2+5n+1 = 1+5+1 = 7 S(1) jest fałszywe



. . .

Nie istnieje żadna wartość nZ+, dla którego dowodzona własność zachodzi pomimo,

że krok indukcyjny jest prawdziwy.

Twierdzenie jest fałszywe!

= k2 + 2k +1 +5k +5 +1 = (k2+5k+1) + (2k+6) = = 2p + 2(k+3) = 2(p+k+3) = 2p’


25

WERYFIKACJA POPRAWNOŚCI PROGRAMÓW

Weryfikacja poprawności programu, to sprawdzenie czy program

rzeczywiście realizuje zadanie, które przed nim postawiono.

Weryfikacji poprawności nie można przeprowadzać wyłącznie poprzez

testowanie programu dla różnych danych wejściowych.

Program powinien być poprawny niezależnie od danych wejściowych.


26

PRZYKŁAD Twierdzenie:

Następujący fragment programu oblicza wartość x(yn) dla zadanych

wartości parametrów, x,yR, nN:

while n0 do

begin

x:=xy;

n:=n-1;

end;

Answer:=x;

start

ustaw początkowe wartości

x,yR i nN

n0

x:=xy;

n:=n-1;

tak

Answer:=x

nie


27

SFORMUŁOWANIE

TWIERDZENIA

S(n): jeśli dla dowolnych x,yR, nN,

program rozpoczyna wykonywanie pętli „while” z wartością n,

to po ominięciu pętli (dla n=0)

lub n-krotnym wykonaniu 2 instrukcji (dla n>0)

zmienna Answer przyjmuje wartość x(yn).

Dowód prawdziwości S(n) oparty będzie o pierwszą zasadę indukcji matematycznej.


28

while n0 do

begin

x:=xy;

n:=n-1;

end;

Answer:=x;

start

ustaw początkowe wartości

x,yR i nN

n0

Answer:=x x:=xy;

n:=n-1;

tak

nie

start

ustaw

początkowe

wartości

x,yR i nN

n0

Answer:=x

x:=xy;

n:=n-1;

tak

nie

WARUNEK POCZĄTKOWY S(0)


29

S(n): jeśli dla dowolnych x,yR, nN, program rozpoczyna

wykonywanie pętli „while” z wartością n, to po ominięciu pętli

(dla n=0) lub n-krotnym wykonaniu 2 instrukcji (dla n>0)


Warunek początkowy S(0) jest prawdziwy.

i kończy się z wartością

Answer = x

Answer:=x

podąża gałęzią „nie”

n0

nie

= x(1)

=x(y0)

=x(yn) dla n=0

Program rozpoczyna pętle „while” z wartością n=0,

ustaw

początkowe

wartości

x,yR i nN

start

start

ustaw

początkowe

wartości

x,yR i nN

n0

Answer:=x

x:=xy;

n:=n-1;

tak

nie Program rozpoczyna więc pętlę z n’=k, x’ i y, czyli zgodnie z

hipotezą indukcyjną S(k) kończy obliczenia z wartością:

Answer = x’(yk)

= (xy)(yk)

= x(yk+1)

czyli krok indukcyjny S(k)S(k+1) jest prawdziwy dla

dowolnego kN i x,yR

po ich ukończeniu nastąpi powrót na początek pętli

z wartościami: x’ = xy

n’ = n-1=(k+1)-1 = k

x:=xy;

n:=n-1;

Instrukcje pętli zostaną więc wykonane co najmniej raz,

n0

tak

ustaw

początkowe

wartości

x,yR i nN

start

dla n =k+1 pętla „while” nie może być pominięta, gdyż n=k+1 1 0.

DOWÓD KROKU INDUKCYJNEGO S(k)S(k+1)


30





while n0 do

begin

x:=xy;

n:=n-1;

end;

Answer:=x;

prawdziwość warunku początkowego S(0) i kroku indukcyjnego S(k)S(k+1)

dla dowolnych kN i x,yR dowodzi prawdziwości twierdzenia S(n) dla

dowolnych kN i x,yR

Następujący fragment programu oblicza wartość x(yn) dla zadanych wartości

parametrów, x,yR, nN:

c.b.d.u.

POPRAWNOŚĆ PROGRAMU


31





NIEZMIENNIKI PĘTLI

Zdanie p jest niezmiennikiem pętli postaci

dopóki g,

wykonuj S

gdy spełnia następujący warunek:

„jeśli zdania p i g są prawdziwe, zanim zostaną wykonane kroki S, to zdanie p będzie prawdziwe po wykonaniu S”.

while n0 do

begin

x:=xy;

n:=n-1;

end;

Answer:=x;

treść pętli S

wykonanie treści pętli, to

przebieg pętli lub iteracja

Zdanie S(n):

„Jeśli dla dowolnych x,yR, nN, program rozpoczyna wykonywanie pętli „while” z

wartością n, to po ominięciu pętli (dla n=0) lub n-krotnym wykonaniu 2 instrukcji (dla

n>0) zmienna Answer przyjmuje wartość x(yn).”

jest niezmiennikiem analizowanej pętli „while”.

warunek dozoru pętli g


32

TWIERDZENIE O NIEZMIENNIKACH PĘTLI

Przypuśćmy, że p jest niezmiennikiem pętli „dopóki g, wykonuj S” oraz,

że zdanie p jest prawdziwe, kiedykolwiek wchodzimy w pętle.

Wtedy zdanie p jest prawdziwe po każdej iteracji pętli.

Jeśli pętla się kończy, to zdanie p jest nadal prawdziwe,

a zdanie g jest fałszywe.

Niezmienniki pętli mogą być używane do:

projektowania algorytmów (określają cel do wykonania),

dowodzenia poprawności algorytmów.

Konstrukcja niezmiennika pętli jest przeważnie zadaniem trudnym. Wybrane zdanie S(n) może:

nie być niezmiennikiem algorytmu, gdy metoda nie realizuje postawionego zadania,

spełniać warunki narzucone na niezmiennik, ale metoda realizuje błędnie postawione zadanie.


33

indukcja matematyczna - fc.put.poznan.plfc.put.poznan.pl/materials/181-indukcja.pdf · matematyka...

Documents