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1. RELACIÓN DE ORDEN:

Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales.

El campo real es un campo ordenado.

2. SÍMBOLO DE LA RELACIÓN DE ORDEN

Desigualdad estricta:

a>b: “a” mayor que “b”

a<b: “a” menor que “b”

Desigualdad no estricta:

a ≥ b: “a” mayor o igual que “b”

a ≤ b: “a” menor o igual que “b”

3. DESIGUALDAD Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde

aparece la relación: "<", ">", "≤" y "≥".

a. DESIGUALDAD ABSOLUTA: Es aquella que se verifica para todos los valores reales de

las letras que intervienen en ella.

Ejemplo: (a - b)2>-1

Es cierta para todos los valores reales de "a" y "b", ya que el cuadrado de todo número

real es un número positivo o cero.

b. DESIGUALDAD CONDICIONAL: Es aquella que solo es cierta para determinados

valores de las letras.

Ejemplo: x - 5 > 3

Solo es verdad para "x" mayor que 8.

4. INTERVALOS: Los intervalos son subconjuntos de los números reales, que

gráficamente son segmentos de recta o semirrecta y sus elementos satisfacen ciertas

desigualdades.

a. INTERVALO ACOTADO (Intervalos Finitos)

Intervalo Cerrado : [a, b] = {x R/ a x b}

Intervalo Abierto : <a, b>= {x R/ a < x < b}

Intervalos semi-abiertos :

[a, b> = {x R/a x < b}

<a, b] = {x R/a < x b}

INECUACIÓN

x b -

+

a

x b -

+

a

x b -

+

a

x b -

+

a

3

b. INTERVALOS NO ACOTADOS:

Se denomina así, si por lo menos uno de los extremos es +ó -; estos intervalos

son de la forma:

Intervalo acotado inferiormente

<a; +> = {x IR / x > a}

[a; +> = {xIR/ x a}

Intervalo acotado superiormente

<-; a> = {x IR / x<a}

<-; a] = {x IR/ x a}

NOTA:

La notación , que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para

indicar que a partir de un número "x" hay números tan grandes como se quiera, por la

derecha (+) o por izquierda (-).

<-; +> = {xIR / x IR}

5. INECUACIÓN

Es una desigualdad condicional que mantiene el sentido sólo para ciertos valores de las

variables, tomando entre los valores para los que sus miembros están definidos.

Forma general de las inecuaciones:

P(x) > 0

P(x) < 0

P(x) 0

P(x) 0

Ejemplos:

2x<4

3x + 1-5

x + 47

- +

R

x a - +

x a - +

1. Definición: Una inecuación lineal o de primer grado en una variable "x" es una

desigualdad de la forma:

Siendo: a y b IR, a 0

Ejemplos:

3x – 8 < 0

5x + 13 > 0

2x + 3 0

3x + 9 0

Toda aquella que pueda transformarse en una de las cuatro anteriores se denomina

“desigualdad de primer grado” con una incógnita.

2. Conjunto solución

Está formado por los valores de la incógnita que satisfacen la desigualdad.

3. Pasos para resolver una inecuación:

Se suprimen los paréntesis.

Se suprimen los denominadores (obteniendo MCM de los denominadores).

Transponer términos semejantes.

Reducir los términos semejantes.

Cuando el coeficiente de la incógnita x es negativo multiplicamos por -1 , por lo que

cambiará el sentido de la desigualdad.

Despejar la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad

Nota:La solución podemos expresarla de forma gráfica como también deforma de

intervalo.

ax + b > 0

ax + b < 0

ax + b > 0

ax + b < 0

INECUACIÓN LINEAL

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Ejemplo 1: Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación:

4 + 3x < 13

Solución

Transponer los términos semejantes 3x< 13 – 4

Reducir los términos semejantes

3x < 9

Despejamos la incógnita y hallamos la solución

X < 3

C.S:<-; 3>

Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de:

2x + 3 > x + 5

Solución

Transponer los términos semejantes

2x - x > 5 – 3

Reducir los términos semejantes

x> 2

C.S:<2; +>

Ejemplo 3: Hallar el conjunto solución de:

3 x + 7

4>

1

2+

x

3

Solución: 3x + 7

4>

3 + 2x

6

6(3x + 7) > 4(3 + 2x)

18x + 42 > 12 + 8x

18x - 8x > 12 – 42

10x > - 30

x > -30/10

x > - 3

C.S: < -3; +∝>

OBSERVACIONES

CASO 1

Si al reducir los términos desaparece la variable y la desigualdad que queda es verdadera el

conjunto solución son los reales.

Ejemplo:

3(x + 4) + 3x > 4x - 5 + 2 (x + 3)

3x + 12 + 3x > 4x - 5 + 2x + 6

3x + 3x - 4x - 2x > -5 + 6 - 12

0 > - 11 (es verdadera)

x IR

CASO 2

En caso contrario si la desigualdad es falsa, no hay solución.

Ejemplo:

3(x + 2) + 2x<- 8 + 5x

3x + 6 + 2x <- 8 + 5x

3x + 2x - 5x< - 8 - 6

0<-14 (es falsa)

Debes tener en cuenta:

Si un número entero positivo pasa a dividir de un miembro al otro miembro de

ladesigualdad, la desigualdad no se altera.

Ejemplos:

3x< 12

x<4

4x > 20

x>5

Si un número entero negativo pasa a dividir de un miembro al otro miembro de la

desigualdad, la desigualdad cambia de "sentido".

Ejemplos:

-x≤ 15

x≥-15

No olvides que, para resolver inecuaciones, debemos traducir del lenguaje cotidiano al

lenguaje matemático, algebraico; se aconseja proceder de la manera similar a la forma de

resolver una ecuación y tener en cuenta las propiedades.

EXPRESIONES QUE INTERVIENEN EN EL PLANTEO INECUACIONES

- Menor

- menos

- no llega

- inferior

- es excedido

-no alcanza

- Mayor

- más

- supera

- superior

- excede

- sobrepasa

- Menor o igual

- como máximo

- no supera

- no más

- no es mayor

- cuando mucho

- Mayor o igual

- como mínimo

- por lo menos

- al menos

- no es menor

- no menos

PLANTEO DE INECUACIONES

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Ejemplo 1:

Un ingeniero de sistema está a cargo de un centro de cómputo, donde se ensamblan una

cierta cantidad de computadoras de las cuales se vendió 38 quedando más de la tercera

parte. Si luego se ensamblan 8 más y enseguida se venden 10 quedando menos de 19

computadoras, ¿cuántas computadoras se ensamblaron inicialmente?

Solución:

Cantidad de computadoras: x

Vendió 38 computadoras quedando más de la tercera parte:

x – 38> x/3

x>57 ……….(I)

Ensambló 8 y enseguida se venden 10 quedando menos de 19 computadoras:

x – 38 + 8 – 10 < 19

x<59 ……….(II)

ENUNCIADO LENGUAJE ALGEBRAICO

El triple de un número más 8 unidades es menor que 20. 3x + 8 < 20

La mitad de un número menos 10 unidades es mayor que 7. x/2 – 10 > 7

El quíntuple del número total de alumnos de mi clase es inferior a

37 5x < 37

El sexta parte de alumnas de enfermería sobrepasa a 50 x/6 > 50

El cuadrado de un número es menor que el doble de ese número más 1.

x2< 2x + 1

El producto de dos números consecutivos no supera a 8. x(x+1) 8

Si a los tres cuartos de un número le resto 2, obtengo más que si

a su mitad le sumo 5. 3x/4 – 2 > x/2 + 5

Si creciera 15 cm, superaría la estatura que se requiere para entrar en el equipo de baloncesto, que es 1,80 m.

x + 15 > 180

Si mi dinero aumentara al triple y, además, me regalaran 20 soles,

tendría, por lo menos, 110 soles. 3x + 20 110

Hornear el pastel no dura más de 18 minutos. x 18

En un examen que mide la cantidad de glucosa en la sangre de

una persona adulta, se consideran normales los valores que van

de 64 a 110 mg/dl (miligramos por decilitro). 64 g 110

El perímetro de un rectángulo cuya base mide 3 cm más que la

altura es menor que 50 m 4x + 6 < 50

Interceptando I y II

x =58

Respuesta: Inicialmente se ensamblaron 58 computadoras.

Ejemplo 2:

Un delegado de aula le preguntó a su profesor por el número de alumnos que rendirían el

examen sustitutorio de habilidades lógico matemáticas, éste respondió: El quíntuplo del

número de alumnos que rendirían dicha prueba, disminuido en 1, es menor que el

cuadrado de 7; y siete veces dicho número, aumentado en 8, excede al cuadrado de 8.

¿Cuántos alumnos rendirán el sustitutorio de HLM?

Solución:

Cantidad de alumnos : x

5x – 1<72

5x-1< 49

5x<50

x< 10 ……….I

7x + 8 >82

7x + 8>64

7x > 56

x>8……….II

Interceptando I y II

9

x=9

Respuesta: 9 alumnos rendirán el sustitutorio de HLM.

Ejemplo 3:

Si u n fabricante vende x unidades de cierto producto, sus ingresos I y sus costos C todo

en Soles son:

I = 20x ; C = 2000 + 15x

Aplique el hecho de que:

Ganancia = Ingresos – Costos

Para determinar cuántas unidades debe vender para disfrutar de una ganancia de por lo

menos 2400 Soles.

SOLUCIÓN

Una ganancia de por lo menos 2400, significa que: Ganancia 2400

pero: I - C 2400

20x – (2000 + 15x) 2400

5x - 2000 2400

Sumamos 2000 en ambos miembros 5x – 2000 + 2000 2400 + 2000

5x 4400

Dividimos por 5(positivo) 5x/5 4400/5

El sentido de la inecuación no cambia x 880 C.S. = [ 880 ;

+ >

Lo cual significa que para tener una ganancia de por lo menos 2400 Soles debe vender

igual o más de 880 unidades.

HOJA DE TRABAJO N° 07

I. Ejercicios: Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. 5(m + 2) < 6(m - 3) + 7

b. 2( x + 1 ) – 3( x – 2 ) < x + 6

c. 2 – [4 – (x - 1) + 2(x - 3)] x – [2 – 3x] d. 2

x1

5

x

2

3x

e. x + 8 3 x + 1

f. 3( 4 - x ) > 18 x + 5

g. 3 1 2 4 5 4 7

7 3 14 6

x x x x

h. 7 3 4x x

i. 3 x - 12 4

6 - 5 x

j. 100 41 6 121x x x

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:

1. En el proceso de categorización UCV se atiende cierta cantidad de estudiantes, de tal manera que dicha cantidad disminuida en 5, dividida luego por 6, es mayor que 15, ¿cuál

es la menor cantidad de estudiantes que son atendidos?

2. La cantidad de pelotas que hay en mi casa es tal que, uno más el triple de dicho número

es menos de 46, y uno más su cuádruplo, es más que 53. Si se me extravía una, ¿cuántas

pelotas me quedan?

3. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene 12 cm. Determina la medida de uno de los

otros dos lados si el perímetro tiene que ser mayor de 20 cm. (Recuerda que el triángulo isósceles es aquel que tiene 2 lados iguales y uno diferente)

4. En la UCV, se desea saber el número de aprobados que hay en el aula de SUBE, si al triple del número de éstos se le aumenta en 5, el resultado es mayor que el mismo número

aumentado en 65 y si al doble se le disminuye en 34, el resultado es menor que 62

disminuido en el número. Hallar dicha cantidad.

5. El número de libros de matemática que tiene Pablo es tal que, 1 más los tres medios de

dicha cantidad, no excede a 21, y 2 más los cinco cuartos de la cantidad de libros es mayor que 18. Calcular la cantidad de libros que tiene José si se sabe que es el doble de lo

que tiene Pablo.

6. Una empresa produce pernos. Dichos pernos tienen un precio unitario de venta de S/. 36

y un costo unitario de S/ .26. Si los costos fijos son S/ .30 000, determine el número

mínimo de pernos que deben producir y vender para que la empresa tenga utilidades.

7. Mirtha, se dedica a la venta de teclados. El precio de venta al público es de S/. 18 cada

uno. Tiene un costo unitario de S/. 10 y costo fijo de S/. 2 000, determine el número de

teclados que debe comprar y vender para que Mirtha no tenga pérdidas.

8. En la producción del periódico “La Verdad Oculta” se tienen: costos de materia prima en

S/. 0,30 y mano de obra en S/. 0,50, por unidad. El costo que se hace sin importar el

volumen de ventas, es de S/. 3 500 mensual. El precio de cada periódico es S/. 1,50. Determine el número de periódicos que se deben vender para que la editorial obtenga

utilidades.

9. La fábrica de calzado Líder, tiene 3 600 pares de botas industriales de cuero. El precio

unitario del producto es S/. 8. El próximo mes el precio por unidad tendrá un incremento de S/. 4. El administrador quiere que el ingreso total recibido por la venta de los 3 600

pares no sea menor que S/. 32 000. ¿Cuál es el número mínimo de pares que pueden

venderse el próximo mes?

10. Un grupo de estudiantes de la UCV decide asistir a un concierto. El costo de contratar

un autobús para que los lleve al concierto es de S/. 450, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a

grupos que lleguen en autobús. Los boletos cuestan normalmente S/. 50 cada uno, pero

se reducen 10 céntimos del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (hasta la capacidad máxima del autobús).

¿Cuántos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo total por estudiante sea

menor a S/. 54? Se pide a Usted solamente plantear la inecuación.