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5/17/2018 Inecuaciones PDF - slidepdf.com

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Inecuaciones / Mat-021 Página 1Eleazar Madariaga - UTFSM

Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática

Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Inecuaciones

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Dificultad:

: Simple

: Intermedio

: Desafiante

: Nivel Certamen UTFSM

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Problema nº 1:

Solución:

Nuestra primera restricción debe ser que

Implicando así que el dominio sea

Con este paso previo importantísimo procedemos a analizar en detalle lainecuación, deduciendo que ambos miembros son positivos, por lo que

estamos en condiciones de elevar al cuadrado sin tener problemas.

La cual tiene como puntos críticos:




Si analizamos su coeficiente principal, y su discriminante, , podemos decir que los intervalos que cumplen con son

Los que al intersectarse con el dominio, se obtiene como solución final

Problema nº 2:

Solución:

Primero, necesitamos que la cantidad subradical sea no negativa, esto es

Tomando los puntos críticos: y

Y utilizando nuestra tabla

- - + - + + + - +

La cual nos dice que la ultima desigualdad se cumple para

Con esta restricción en mente tenemos que la inecuación es equivalente a

Y vemos que el lado derecho es un polinomio cuadrático siempre positivo

(pues su coeficiente principal es y su discriminante ), mientras que el lado izquierdo es siempre negativo. Esto es,

la desigualdad se cumple siempre (en tanto se pueda calcular la raíz

cuadrada)

Por lo tanto, la solución final es




Problema nº 3:

Resolver en los números naturales

la siguiente inecuación

Solución:

Al analizar detalladamente la inecuación debemos darnos cuenta que el

denominador es un polinomio cuadrático siempre positivo ya que su

coeficiente principal es y su discriminante es .

También en el numerador tenemos a

el cual es siempre positivo,de modo que, la inecuación se puede escribir como

Para que existan las raíces, se debe cumplir

No olvidar que también

Ahora, elevamos al cuadrado

Probemos

para los tres casos posibles.

Caso 1:




Lo anterior es verdadero, así que,

es solución.

Caso 2:

Lo anterior es verdadero, así que, es solución.

Caso 3:

Lo anterior es verdadero, así que, es solución.

Por lo tanto, la solución final es

Problema nº 4:

Dada la constante , encuentre el conjunto solución de la inecuación

Indicación: exprese la solución en función de los valores que puede tomar

la constante .

Solución:

Resolviendo




Notar que , así, lo anterior es equivalente a

Separemos ahora por casos:

Si

Si

Para este caso debemos tener especial cuidado ya que se podría creer que la

solución




Es la correcta, pero no lo es, pues las cantidades subradicales son negativas,fijémonos que en el lado derecho es negativo y , de modo que la

solución es R.

Si

Lo que es cierto para todo real, entonces, el conjunto solución en este caso

es R.

Problema nº 5:

Resuelva la inecuación

Solución:

Podemos reescribirla como

Trabajando la inecuación (1)

Que tiene por solución

Trabajando la inecuación (2)




Que tiene por solución

Sabemos que la solución final es la intersección de las dos soluciones

obtenidas, pero vemos que estas no son ubicables con facilidad en la recta

numérica, así que, para estos casos debemos aproximar muy bien los

números irracionales que nos salgan, pero en este caso solo debemos

fijarnos en que claramente , por lo tanto, la solución final es

Problema nº 6:

Para , encuentre el conjunto solución de la siguiente inecuación

Solución:

Inmediatamente debemos notar que para esta inecuación existen dos

posibilidades para que

sea positivo. La primera es que tanto el

numerador como el denominador sean positivos y la segunda es que el

numerador y el denominador sean negativos.

Posibilidad nº1:

nos impone:




Y para vemos que tiene como puntos críticos: y , dándonos tres casos para analizar

CASO I: con

Entonces se puede reescribir como

Lo cual es verdadero, de modo que el intervalo es solución para

este caso.

CASO II: con


Que al intersectarse con , obtenemos el cual es el intervalo

solución para el CASO II.

CASO III: con





Lo cual es falso, de modo que no hay conjunto solución para este caso:

Ahora, las soluciones obtenidas en los intervalos debemos intersectarlas

con la condición impuesta al inicio; lo cual nos da

como solución para la primera posibilidad, el intervalo:

Solo nos queda analizar la segunda posibilidad.

Posibilidad nº2:

nos impone:

Y para vemos que tiene como puntos críticos: y

, dándonos tres casos para analizar

CASO I: con


Lo cual es falso, de modo que no hay solución para este caso:

CASO II: con





Que al intersectarse con , obtenemos el cual es el intervalo

solución para el CASO II.

CASO III: con


Lo cual es verdadero, de modo que el intervalo es solución para estecaso.

Ahora, las soluciones obtenidas en los intervalos debemos intersectarlas

con la condición impuesta al inicio; lo cual nos da como

solución para la segunda posibilidad, el intervalo:

La solución final será la unión de las soluciones obtenidas en ambasposibilidades, es decir:




Problema nº 7:

Determine, si existen los valores de de modo que la solución de

la inecuación:

Sea el intervalo .Solución:

Como tiene discriminante

Y su coeficiente principal es

Entonces es siempre negativa, independientemente del

valor de .

De modo que, la inecuación es equivalente a

Con , esto indica que Así siempre, por lo tanto, se reduce a

Esta última inecuación tiene como puntos críticos:

y

- + + - - + + - +

Entonces la solución es




Que intersectada con la restricción de la raíz , la solución final esta

dada por

Ello implica que (condición del problema para el intervalo solución)

Problema nº 8:

Determine el(los) valor(es) de

, tales que

, se cumple:

Solución:

Lo propuesto es equivalente a:

Ahora, el lado izquierdo es una función cuadrática en , por lo tanto, para

que se cumpla que es positivo

, debemos exigir que su coeficiente

principal se positivo y que su discrimínate sea negativo, de esta manera:

Tenemos que y son ambas funciones

cuadráticas en , por lo tanto, para que se cumpla que ambas sean positivas

, debemos volver exigir que, a la vez se cumpla (intersección) que

sus discriminantes sean negativos, ya que el coeficiente de ambas sonpositivos:

Por lo tanto

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