42I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

§2.8. Taylorova i Maclaurinova formula za

funkcije više promjenljivih

Sjetimo se najprije Taylorove formule za funkcije jedne nezavisne promjenljive. Neka je, npr., na nekom intervalu J definirana funkcija F(t) i neka ona na tom intervalu ima sve izvode do (n +1) – og reda. Uzmimo fiksiranu tačku t0∈J. Tada, kao što znamo, vrijedi

))(()!1(

)()(!

)()(''!2

)()('!1

)()( 00)1(

10

0)(0

0

20

00

0 tttFn

tttFntttFtttFtttFtF n

nn

n

−++

−+

−+⋅⋅⋅+

−+

−=− +

+

θ . (2.8.1)

Ako ovdje stavimo t – t0 = ∆t = dt, onda je (t – t0 ) F '(t0) = F '(t0) dt = d F(t0) (t – t0 )2 F ''(t0) = F ''(t0) dt2 = d 2F(t0) M (t – t0 )n F (n)(t0) = F (n)(t0) dt n = d nF(t0) (t – t0 )n +1 F (n +1)(t0 + θ (t – t0)) = d n +1F(t0 +θ ∆t).

Napomenimo da je uvijek 0 < θ < 1. Na taj način prethodnu formulu (2.8.1) možemo pisati u obliku

)!1() (

!)(

!2)(

!1)()()( 0

100

20

0 +∆+

++⋅⋅⋅++=−+

nttFd

ntFdtFdtdFtFtF

nn θ .

gdje je 0 < θ < 1, ∆t = t – t0 . U ovakvom obliku dobit ćemo Taylorovu formulu i za funkcije više promjenljivih. Opet ćemo, jednostavnosti radi, posmatrati najprije funkcije dvije nazavisno promjenljive.

Neka je u oblasti D⊆R2 definirana funkcija f (x, y). Uzmimo tačku (x0, y0)∈D. Pretpostavimo da u nekoj okolini U = U (x0, y0) te tačke funkcija f (x, y) ima sve izvode do (n + 1) – og reda zaključno i da su ti izvodi neprekidne funkcije u U. Neka su dalje ∆x i ∆y takvi brojevi da tačka (x0 + ∆x, y0 + ∆y) pripada okolini U, i šta više da i duž koja spaja tačke (x0, y0) i (x0 + ∆x, y0 + ∆y) takođe pripada okolini U (v. sl. 2.8.1). Sada, ∀t∈[0, 1] tačka (x0 + ∆x, y0 + ∆y) pripada pomenutoj duži. Ako je t = 0, onda se ta tačka poklapa sa (x0, y0). Kad t raste od 0 do 1, onda se ova tačka kreće od (x0, y0) do (x0 + ∆x, y0 + ∆y). U svakom slučaju ova tačka pripada oblasti definiranosti funkcije f (x, y). Prema tome, možemo posmatrati funkciju

(x0 + ∆x, y0 + ∆y)

U (x0, y0)

D

Sl. 2.8.1.

F (t) f (xdef.= 0 + t ∆x, y0 + t ∆y). (2.8.2)

Kako funkcija f ima sve izvode do (n + 1)-og reda zaključno i kako su ti izvodi neprekidni, to odmah zaključujemo da i funkcija F (t) na [0, 1] ima sve izvode do (n + 1)-og reda zaključno i da su ti izvodi neprekidni. Na funkciju F (t) možemo primijeniti Taylorovu formulu za funkcije jedne nezavisne promjenljive. Vrijedi

))01(0()!1(

)01()0(!

)01()0(''!2

)01()0('!101)0()1( )1(

1)(

2

−++

−+

−+⋅⋅⋅+

−+

−=− +

+

θnn

nn

Fn

Fn

FFFF , 0 < θ < 1,

tj.

)!1()(

!)0(

!2)0(''

!1)0(')0()1(

)1()(

+++⋅⋅⋅++=−

+

nF

nFFFFF

nn θ , 0 < θ < 1. (2.8.3)

Izračunajmo sada izvode F '(0), F ''(0), ..., F (n)(0), F (n + 1)(0).

43S obzirom na definiciju (2.8.2) funkcije F(t), to po pravilu za izvod složene funkcije imamo

F '(t) = fx'(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) (x0 + t ∆x)t' + fy'(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) (y0 + t ∆y)t' = = fx'(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆x + fy'(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆y. Dakle,

F '(t) = fx'(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆x + fy'(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆y. (2.8.4) Ako ovdje stavimo t = 0, dobijemo

F '(0) = fx'(x0, y0) ∆x + fy'(x0, y0) ∆y. Diferenciranjem po t u (2.8.4) dobijemo

F ''(t) = fxx''(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆x2 +2 fxy''(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆x ∆y + fyy''(x0 + t ∆x, y0 + t ∆y) ∆y2. Stavljajući da je t = 0, dobijemo

F ''(0) = fxx''(x0, y0) ∆x2 +2 fxy''(x0, y0) ∆x ∆y + fyy''(x0, y0) ∆y2. Stavimo još da je ∆x = dx, ∆y = dy, pa ćemo imati:

F '(0) = d f (x0, y0), F ''(0) = d 2 f (x0, y0). Ako ovako nastavimo postupati dalje, dobit ćemo da vrijedi:

F (k)(0) = d k f (x0, y0), (k = 1, ..., n) i F (k + 1)( θ ) = d k + 1 f (x0 + θ ∆x, y0 + θ ∆y). Osim toga, očito da vrijedi

F (0) = f (x0, y0) i F (1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y). Kad sve ovo uvrstimo u (2.8.3) imamo

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f (x0, y0) = )!1(

) , (!

)(!2

)(!1

)( 001

00002

00

+∆+∆+

++

+⋅⋅⋅++

++ +

nyyxxfd

nyxfdyxfdyxdf nn θθ . (2.8.5)

Formula (2.8.5) zove se Taylorova formula za funkcije dvije nezavisno promjenljive. Napišimo ovu formulu u slučaju kada je n = 0, tj. n + 1 = 1. Imamo da je

f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f (x0, y0) = fx'(x0 +θ ∆x, y0 + θ ∆y) dx + fy'(x0 + θ ∆x, y0 + θ ∆y) dy, (2.8.6)

gdje je 0 < θ < 1. Formula (2.8.6) zove se Lagrangeova formula za funkcije dvije nezavisno promjenljive (koja je specijalan slučaj Lagrangeove formule za funkcije od n promjenljivih koju smo formulisali i dokazali u § 2.1.). Slično formuli (2.8.5) vrijedi i za funkcije više promjenljivih. Preciznije, analogno se dokazuje da vrijedi sljedeća teorema u kojoj se daje Taylorova formula za realnu funkciju m realnih promjenljivih sa ostatkom u Lagrangeovom obliku.

Teorema 2.8.1. (Taylorova teorema). Neka je f ∈C (n + 1)(A, R) (tj. neka su svi parcijalni izvodi (n + 1)-og reda funkcije f neprekidni u svim tačkama skupa A⊆Rm), gdje je A otvoren skup u Euklidovom prostoru Rm i neka n - dimenzionalni segment [a, a + h] cio pripada skupu A. Tada postoji realan broj θ∈(0, 1) takav da je

),()(!

1)()(1

11

haRafx

hx

hk

afhaf n

k

mm

n

k+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

=−+ ∑=

, (*)

gdje je

) (! )1(

1),(1

11 haf

xh

xh

nhaR

n

mmn θ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

+=

+

. (**)

Dokaz: Posmatrajmo funkciju ϕ : [0, 1] → K (K⊆R), definiranu izrazom ϕ ( t ) = f (a + t h). Prema pravilima za

izračunavanje izvoda složene funkcije, dobijemo ϕ ∈C n + 1[0, 1] i da je ϕ '(t) = ) () (1

1 htaxfhhta

xfh

mm +∂∂

+⋅⋅⋅++∂∂ ,

zatim ϕ ''(t) = ) () (2

11

2

1,2121

21htaf

xh

xhhta

xxfhh

mm

i

m

iiii

i

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

=+∂∂

∂∑=

, i, općenito , za svaki k∈{1, ..., n + 1}

imamo: ϕ (k)(t) = ) (1

1 htafx

hx

hk

mm +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂ . Primjenjujući na funkciju ϕ na segmentu [0, 1] Taylorovu formulu

44sa Lagrangeovim ostatkom za funkcije jedne promjenljive, zaključujemo da postoji θ ∈(0, 1) takav da važe formule (*) i (**). Time je dokaz teoreme završen. Ako se u dokazu prethodne teoreme koristi Taylorova formula sa ostatkom u nekom drugom obliku, dobije se Taylorova formula za funkcije više promjenljivih sa odgovarajućim ostatkom.

Ako je, npr., f ∈C n(A, R) i a ∈A, onda važi formula (*) sa ostatkom Rn(a, h) u Peanovom obliku Rn(a, h) = o (|| h ||n ) (h → (0, ..., 0)).

Glava III : PRIMJENE DIFERENCIJALNOG RAČUNA FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH

§3.1. Ekstremne vrijednosti funkcija dviju i više promjenljivih

3.1.1. Lokalni ekstremi funkcija više promjenljivih

Pojam lokalnog ekstrema se za realne funkcije više promjenljivih definira analogno slučaju funkcija jedne promjenljive. Definicija 3.1.1. Neka je funkcija f realna funkcija od n realnih promjenljivih definirana u nekoj okolini U (x0) tačke x0∈Rn. Ako je za svaki x∈U (x0) ispunjeno

f (x) ≤ f (x0) (odnosno f (x) < f (x0) za x ≠ x0), / tj. ∆ f (x0) ≤ 0 (odnosno ∆ f (x0) < 0 za x ≠ x0 ) /,

kažemo da funkcija f ima u tački x0 lokalni maksimum (odnosno strogo lokalni maksimum) jednak f (x0). Slično se definira (strogi) lokalni minimum. (Stroge) lokalne maksimume i minimume jednim imenom zovemo (strogim) lokalnim ekstre(mum)ima. Primijetimo da su lokalni ekstremi, prema ovoj definiciji, uvijek postignuti u unutrašnjim tačkama domena funkcije. Tzv. rubne ekstreme razmatramo na kraju ovog paragrafa. Kao i kod funkcija jedne promjenljive, za diferencijabilne funkcije postoji jednostavan neophodan uslov za postojanje lokalnog ekstrema. Stav 3.1.1. Neka je funkcija f od n realnih promjenljivih definirana u okolini tačke A : = = (a1, ..., an)∈Rn i neka ima izvod po argumentu xi (1 ≤ i ≤ n) u tački A. Ako funkcija f u tački A ima lokalni ekstrem, onda je

0)( =∂∂ Axf

i

.

Posljedica 3.1.1. Ako je funkcija f (x1, ..., xn) definirana u nekoj okolini tačke A : = (a1, ..., an) u kojoj ima ekstrem i ako ima prve parcijalne izvode po svakom od svojih argumenata u tački A, onda je . 0)('...)('

1=== AfAf

nxx

Dokaz: Neka je K(a, δ ) kugla u kojoj je definirana funkcija f i za koju važi f (X) ≤ f (A) (odnosno f (X) ≥ f (A)) za sve X : = (x1, ..., xn). Za proizvoljni i∈{1, ..., n} posmatrajmo funkciju g : (ai – δ, ai + δ ) → R, definiranu izrazom

g(xi) = f (a1, ..., ai – 1 , xi , ai + 1, ..., an), (A = (a1, ..., an)) za xi∈(ai – δ, ai + δ ). Ta funkcija ima lokalni ekstrem u tačaki ai, pa je g'(ai)= )(A

xf

i∂∂ = 0.

Unutrašnje tačke domena funkcije f u kojima su svi njeni parcijalni izvodi prvog reda jednaki nuli nazivaju se stacionarnim tačkama te funkcije. Zapravo, pojam stacionarne tačke uvodimo ovdje sljedećom definicijom.

45 Definicija 3.1.2. Za tačku A kažemo da je stacionarna tačka realne funkcije f (x1, ..., xn) od n realnih promjenljivih ako je funkcija f diferencijabilna u tački A i ako je

0)('...)(')('21

==== AfAfAfnxxx ,

ili ako je diferencijal funkcije f za tačku A identički jednak nuli, tj. ako je d f (X, A) ≡ 0.

(Zaključite sami ekvivalentnost u datoj definiciji !) Sljedećom teoremom dati su potrebni uslovi postojanja lokalnog ekstrema diferencijabilne funkcije. Teorema 3.1.1. Ako je realna funkcija f više realnih promjenljivih diferencijabilna u tački A i ako ima u tački A lokalni ekstrem, onda je tačka A stacionarna tačka funkcije f. Dokaz: Iz diferencijabilnosti funkcije f u tački A slijedi da postoje njeni konačni parcijalni izvodi po svim argumentima u tački A. Kako je tačka A tačka ekstrema, to su prema prethodnoj posljedici 3.1.1. izvodi po svim argumentima u tački A jednaki nuli. Iz svega naprijed kazanog slijedi da je tačka A po definiciji stacionarna tačka. Ovim je teorema 3.1.1. dokazana. Napomenimo da za nalaženje tačaka lokalnog ekstrema diferencijabilne funkcije na zadanoj oblasti treba naći stacionarne tačke tih funkcija u toj oblasti, jer je prema dokazanoj teoremi lokalni ekstrem diferencijabilne funkcije moguć jedino u tim tačkama. Ako u oblasti definiranosti funkcije f postoje tačke u kojima f nije diferencijabilna, tada i u tim tačkama funkcija može imati lokalni ekstrem i u tom slučaju ispitujemo priraštaj funkcije. Tako, na primjer, funkcija f (x, y, z) = 222 zyx ++ nije diferencijabilna u tački 0 = (0, 0, 0), a očito ima minimum u toj tački.

Tačka x0 u kojoj je d f (x0) ≡ 0, tj. stacionarna (kritična) tačka ne mora biti tačka ekstrema (tj. uslov d f (x0) ≡ 0 nije dovoljan za egzistenciju ekstrema), već, npr., tzv. sedlasta tačka u slučaju funkcije f (x, y) dviju realnih promjenljivih x,y (analogon prevojnoj tački funkcije jedne promjenljive). Takođe, ekstrem može da postoji u tački x0 iako parcijalni izvodi (bar jedan od njih) ne postoji u toj tački, tj. iako ne postoji d f (x0). Stacionarne tačke se mogu dobiti iz sistema jednačina

1xf (x1, ..., xn) = 0, ..., (x

nxf 1, ..., xn) = 0. U stacionarnoj (x0, y0) tački funkcije f (x, y) tangentna ravan na površ z = f (x, y) je paralelna sa xy – ravni (i ima jednačinu z = f (x0, y0)). Navedimo i teoreme o dovoljnim uslovima postojanja lokalnog ekstrema. Neka funkcija

f : D → K (D⊆Rn, K⊆R) (3.1.1)

ima neprekidne parcijalne izvode prvog i drugog reda u nekoj okolini stacionarne tačke x0 = (x10, x2

0, ..., xn

0)∈D. Označimo sa (a ik vrijednosti izvoda u tački x''

kixxf 0) a ik = (x''kixxf 0), i, k = 1, ..., n. Tada je, zbog

neprekidnosti drugih parcijalnih izvoda a ik = a ki. Formirajmo sumu

∑=

n

kikiik yya

1,, (3.1.2)

gdje su y1, ..., yn realne promjenljive. Nije teško zaključiti da je izraz u (3.1.2) homogena funkcija stepena homogenosti 2, a naziva se kvadratnom formom promjenljivih y1, ..., yn.

46 No, za formulisanje dovoljnih uslova za postojanje lokalnog ekstrema, odnosno za ispitivanje

znaka diferencijala d 2f (x0) = j

n

jii

ji

xxxxxf∑

=

∆∆∂∂

∂

1,

02 )( *), korisni su nam neki pojmovi i rezultati (iz linearne

algebre) o kvadratnim formama. Realna funkcija m promjenljivih

Φ (h1, ..., hm) : = ∑∑∑== =

=m

jijiij

m

i

m

jjiij hhahha

1,1 1

zove se kvadratna forma promjenljivih h1, ..., hm. Matrica A (Φ ) = [ ] zove se matrica kvadratne forme Φ. Za tu matricu uvijek možemo pretpostviti da je simetrična, tj. da je a

mjiija 1, =

ij = aji za sve i, j. Za formu Φ se kaže da je pozitivno (negativno) poludefinitna ako za sve h : = (h1, ..., hm)∈Rm važi

Φ (h1, ..., hm) ≥ 0 (odnosno Φ (h1, ..., hm) ≤ 0). Ona je pozitvno (negativno) definitna ako za sve h ≠ 0 važi

Φ (h1, ..., hm) > 0 (odnosno Φ (h1, ..., hm) < 0). Najzad, forma Φ je promjenljivog znaka ako postoje h = (h1, ..., hm), k = (k1, ..., km)∈Rm, takvi da je

Φ (h1, ..., hm) > 0, Φ (k1, ..., km) < 0. Primjer 3.1.1. Kvadratna forma

Φ 1(h1, h2, h3) = 2 h12 + 5 h2

2 + 2 h32 – 2 h1 h2 + 2 h1 h3 + 2 h2 h3 = (h1 + h2 + h3)2 + (h1 – 2 h2)2 + h3

2

je pozitvno definitna, jer je Φ 1(h1, h2, h3) > 0 za (h1, h2, h3) ≠ (0, 0, 0). Forma

Φ 2(h1, h2, h3) = h12 + h2

2 + h32 + 2 h1 h2 – 2 h1 h3 – 2 h2 h3 = (h1 + h2 – h3)2

je pozitivno poludefinitna, ali ne i definitna, jer može biti Φ2(h1, h2, h3) = 0 i kad nisu svi h1, h2, h3 jednaki nuli. Za ispitivanje definitnosti kvadratne forme u linearnoj algebri se dokazuje sljedeći Sylvesterov**) kriterijum. Stav 3.1.2. Neka je

A (Φ ) = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mmmm

m

m

aaa

aaaaaa

K

MMM

L

L

21

22221

11211

simetrična matrica kvadratne forme Φ : Rm → R i neka su

A1 = a11, A2 = 2221

1211

aaaa , ..., Am = det A (Φ ) (3.1.3)

njeni glavni minori. Da bi forma Φ bila pozitivno definitna neophodno je i dovoljno da su ti glavni minori pozitivni:

A1 > 0, A2 > 0, ..., Am > 0. Da bi forma Φ bila negativno definitna, potrebnono je i dovoljno da ti minori naizmjenično mijenjaju znak, s tim da je A1 < 0:

A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0 ... . ________________ *) Da bi diferencijal d 2f (x0) = (gdje je aj

n

jiiij xxa∑

=

∆∆1,

ij = ji xx

xf∂∂

∂ )( 02

) predstavljao pozitivno određenu kvadratnu formu

potrebno je i dovoljno da minori na glavnoj dijagonali matrice [ ] njiija 1, = budu pozitivni. Da bi diferencijal

d 2f (x0) predstavljao negativno definitnu kvadratnu formu, potrebno je i dovoljno da minori na glavnoj dijagonali matrice naizmjenično mijenjaju znak, s tim da je a[ ] n

jiija 1, = 11 < 0. U nekim slučajevima znak od d f (x 20) je očigledan.

**) J. J. Sylvester (1814 – 1897) – engleski matematičar.

47 Primjer 3.1.2. Forma Φ 1 iz primjera 3.1.1. ima matricu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

21 1 15 1112

i glavne minore jednake redom 2, 9, 9. Forma Φ 2 ima matricu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

1 1111 1 11 1

sa determinantom jednakom nuli. Za izvođenje dokaza teoreme o dovoljnim uslovima lokalnog ekstrema korisna je sljedeća pomoćna tvrdnja. Lema 3.1.1. Neka je A⊆Rm otvoren skup i aij : A → R neprekidna funkcija za i, j = 1, ..., m takve da je aij (x) = aji (x) za sve x∈A. Za x∈A neka je Φx kvadratna forma sa matricom [ ] m

jiij xa 1, )( = . Ako je za neki a∈A kvadratna forma Φa pozitivno definitna, onda postoji r > 0, tako da je za svaki x iz kugle K(a, r) forma Φx pozitivno definitna. Dokaz: Realne funkcije A1, ..., Am, definirane pomoću izraza

A1(x) = a11(x), A2(x) = )()()()(

2221

1211

xaxaxaxa

, ..., Am(x) = det [aij (x)],

neprekidne su za x∈A. Prema Sylvesterovom kriteriju, iz pozitivne definitnosti forme Φa slijedi da su brojevi A1(a), A2(a), ..., Am(a)

pozitivni. Zbog neprekidnosti funkcija Ai, postoji pozitivan broj r, takav da su brojevi A1(x), A2(x), ..., Am(x)

takođe pozitivni za x∈K(a, r). To i znači da je forma Φx pozitivno definitna. Time je dokaz leme 3.1.1. završen. Formulišimo sada najavljenu teoremu koja daje dovoljne uslove za postojanje (strogog) lokalnog ekstrema funkcije više promjenljivih.

Teorema 3.1.2. Neka je A⊆Rm otvoren skup, x0∈A i f∈C 2(A), pri čemu je x0 (= (x10, ..., xm

0 )) stacionarna tačka funkcije f, tj. d f (x0) ≡ 0; neka je Φ kvadratna forma čija je matrica

m

jiji xxxf

1,

02 )(

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂ . (3.1.4)

Tada: 1° ako je kvadratna forma Φ pozitivno definitna, tj. ako su svi glavni minori A1, A2, ..., An pozitivni, onda funkcija f ima strogi lokalni minimum u tački x0 ; 2° ako je kvadratna forma Φ negativno definitna, tj. ako glavni minori A1, A2,..., An naizmjenično mijenjaju znak, s tim da je A1 < 0, onda funkcija f ima strogi lokalni maksimum u tački x0 ; 3° ako je kvadratna forma Φ promjenljivog znaka, funkcija f u tački x0 nema lokalni ekstrem. Dokaz: 1° Ako su ispunjene date pretpostavke, prema prethodnoj lemi, postoji broj r > 0, takav da je za sve x∈K(x0, r)

pozitivno definitna kvadratna forma čija je matrica m

jiji xxxf

1,

2 )(

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂ . Za proizvoljan takav x n – dimenzionalni segment

[x0, x] pripada kugli K(x0, r), pa se na razliku f (x) – f (x0) može primijeniti Taylorova formula sa Lagrangeovim ostatkom za n = 1. Zbog stacionarnosti tačke x0 ona ima oblik:

f (x) – f (x0) = )),( ())((21))( ()()(

21

00

2

1,

0000

20

1

011 xxx

xxfxxxxxxxf

xxx

xxx

ji

m

jijjii

mmm −+

∂∂∂

−−=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+⋅⋅⋅+∂∂

− ∑=

θθ

0 < θ < 1. Drugim riječima, ta razlika je kvadratna forma promjenljivih x1 – x1

0, ..., xm – xm0, sa (simetričnom) matricom

m

jiji

xxxxxf

1,

00

2

)( (=⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

∂∂∂ θ .

48Kako vektor (x0 + θ (x – x0 )) pripada takođe kugli K(x0, r), to je i ta kvadratna forma pozitivno definitna, što i znači da je f (x) – f (x0) > 0 za sve x∈K(x0, r) \ {x0}. Dakle, u tački x0 je strogi lokalni minimum funkcije f.

2° Dovoljno je primijeniti dokazanu tvrdnju pod 1° na funkciju – f.

3° Ako je kvadratna forma Φ sa matricom (3.1.4) promjenljivog znaka, onda postoje vektori h = (h1, ..., hm), k = (k1, ..., km)∈Rm, takvi da je

Φ (h1, ..., hm) > 0, Φ (k1, ..., km) < 0. (3.1.5)

Za proizvoljan ρ > 0 odredimo tačke x = x0 + ρ|||| h

h i y = x0 + ρ|||| k

k , za koje je očigledno || x – x0 || = || y – x0|| = ρ .

Napišimo sada Taylorovu formulu za funkciju f u tački x0 sa Peanovim ostatkom, za vrijednosti argumenta x, odnosno y,

[ ]

[ ] ).0( , )1(),...,(||||2

)()(

),0( , )1(),...,(||||2

)1( )(||||2

)||(|| )())((21)()(

12

2

0

12

2

0

2

1,2

22

00

2

1,

000

→+Φ=−

→+Φ=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∂∂∂

=−+∂∂

∂−−=− ∑∑

==

ρρ

ρρ

ρ

okkk

xfyf

ohhh

ohhxxxf

hxxox

xxfxxxxxfxf

m

m

jiji

m

jiji

m

jijjii

Kako veličine Φ (h1, ..., hm) i Φ (k1, ..., km) ne zavise od ρ , to je, na osnovu (3.1.4), za dovoljno mali ρ, f (x) – f (x0) > 0, f ( y) – f (x0) < 0,

što i znači da u svakoj okolini tačke x0 funkcija f ima vrijednosti, kako manje, tako i veće od f (x0). Time je dokazano da ta funkcija u tački x0 nema lokalni ekstrem. Ako predznaci brojeva (glavnih) minora A1, A2, ..., An u zadanoj tački (x1

0, ..., xn0) poprimaju

bilo koju drukčiju kombinaciju u odnosu na prethodne dvije u 1° i 2° teoreme 3.1.2, onda (x10, ..., xn

0) nije tačka lokalnog ekstrema funkcije f (x1, ..., xn). Primjeri 3.1.3. a) Svaka od funkcija f1(x, y) = x3 + y3 i f2(x, y) = x 4 + y 4, ima jedinstvenu stacionarnu tačku (0, 0) i u toj tački karakterističnu kvadratnu formu identički jednaku nuli – dakle i pozitivno i negativno poludefinitnu, ali ne i definitnu. Prva od tih funkcija nema lokalni ekstrem u (0, 0), jer u proizvoljnoj okolini te tačke postoje vektori (x1, y1) i (x2, y2), takvi da je f1(x1, y1) < 0 < f1(x2, y2). Funkcija f2, međutim, u tački (0, 0) ima loklani (i apsolutni) minimum jednak 0.

b) Odredimo tačke lokalnih esktrema funkcije f (x1, x2, x3) = λ x1

2 + x22 + x3

2 + 2 x2 + 2 x3, gdje je λ realan parametar.

Rješavajući sistem jednačina ,022 ,022 ,02 33

22

11

=+=∂∂

=+=∂∂

==∂∂ x

xfx

xfx

xf λ dobijemo da je jedina

stacionarna tačka ove funkcije x = (0, – 1, – 1) (sem u slučaju λ = 0, kada su stacionarne sve tačke

oblika (x1, – 1, – 1), x1∈R). Zbog 2 ,2 ,2 23

2

22

2

21

2

=∂∂

=∂∂

=∂∂

xf

xf

xf λ i 0

2

=∂∂

∂

ji xxf za i ≠ j, u toj tački

karakteristična kvadratna forma ima oblik Φ (h1, h2, h3) = 2λ h1

2 + 2 h22 + 2 h3

2. Za λ > 0 ta forma je očigledno pozitivno definitna i funkcija f u tački (0, – 1, – 1) ima lokalni minimum. Za λ < 0 ta forma je promjenljivog znaka (na primjer, tada je Φ (0, 1, 1) > 0, Φ (1, 0, 0) < 0), pa funkcija f u toj tački nema lokalni ekstrem. Ako je λ = 0, u svakoj od tačaka (x1, – 1, – 1) forma Φ je poludefinitna, no funkcija f tu ipak ima (ne samo lokalni) minimum jednak – 2, jer je f (x1, x2, x3) = (x2 + 1)2 + (x3 + 1)2 – 2 ≥ – 2 za sve (x1, x2, x3)∈R3 i f (x1, – 1, – 1) = – 2. U primjerima se najčešće pojavljuju funkcije dviju promjenljivih, pa ćemo navesti formulaciju teoreme 3.1.2. za taj slučaj.

49 Posljedica 3.1.2. Neka je A otvorena skup u R2, (a, b)∈A, f (x, y) dva puta neprekidno

diferencijabilna funkcija na A i 0),(),( =∂∂

=∂∂ ba

yfba

xf . Označimo sba

yxfrba

xf

=∂∂

∂=

∂∂ ),(,),(

2

2

2

,

tbay

f=

∂∂ ),(2

2

. Tada :

1° ako je r > 0, rt – s2 > 0, funkcija f u tački (a, b) ima strogi lokalni minimum ; 2° ako je r < 0, rt – s2 > 0, funkcija f u tački (a, b) ima strogi lokalni maksimum ; 3° ako je rt – s2 < 0, funkcija f u tački (a, b) nema lokalni ekstrem . Dokaz: Tvrđenja 1° i 2° neposredno slijede iz teoreme 3.1.2. Dokažimo tvrđenje 3°, tj. dokažimo da je u slučaju rt – s2 < 0 kvadratna forma

Φ (h, k) = r h2 + 2s h k + t k2

promjenljivog znaka. Posmatrajmo najprije slučaj r ≠ 0. Tada je

Φ (h, k) = [ ]222 )()(1 ksrtskrhr

−++ ,

pa su, zbog rt – s2 < 0 , brojevi Φ (1, 0) = r i Φ (s, – r) = r (rt – s2) različitog znaka. Ako je r = 0, tada iz uslova rt – s2 < 0 slijedi da je s ≠ 0. Neka je h ≠ 0 i k dovoljno malo tako da izraz 2s h + t k ima isti znak kao izraz 2 s h. Tada vrijednosti kvadratne forme Φ (h, k) = k (2s h + t k) imaju različite znake za k > 0, odnosno k < 0, te je i u ovom slučaju ta kvadratna forma promjenljivog znaka. Time je završen dokaz posljedice 3.1.2.

Ako jedan od brojeva A1, A2, ..., An (glavnih minora matrice n

jii

n

xxxxf

1,1

001 ),...,(

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂ kvadratne forme Φ

(koja predstavlja diferencijal d 2f (x10, ..., xn

0))) poprimi vrijednost nula, onda nije moguće primijeniti kriterij iz teoreme 3.1.2, nego u ovakvom slučaju se koristi predznak drugog diferencijala, kao što slijedi: Teorema 3.1.3. Neka je funkcija f (x1, ..., xn) definirana i ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda u nekoj okolini tačke x0 : = (x1

0, ..., xn0). Neka je, dalje, tačka x0 stacionarna tačka

funkcije f (tj. d f (x0) ≡ 0). Tada:

a) ako je d 2 f (x0) > 0 za > 0, (dx∑=

n

iidx

1

2i = xi – xi

0), onda je f (x0) = fmin;

b) ako je d 2 f (x0) < 0 za > 0, onda je f (x∑=

n

iidx

1

20) = fmax;

c) ako d 2 f (x0) mijenja predzak, onda f (x0) nije ekstrem funkcije f ; d) ako je d 2 f (x0) ≡ 0 ili ako nijedan od uslova a), b), i c) nije ispunjen, tada se ne može ništa reći o prirodi stacionarne tačke x0, već je potrebno dodatno ispitivanje (na osnovu definicije ekstrema ili pomoćiu diferencijala trećeg ili višeg reda – aproksimacije funkcije Taylorovim polinomom višeg reda). Tako, npr., za funkciju u : = e x – y(x 2 – 2 y z) ne možemo primijeniti teoremu 3.1.2. već teoremu 3.1.3. za stacionarnu tačku (0, 0, 0), jer je A1 = 2, A2 = 0 i A3 = – 8, ali je d 2u (0, 0, 0)= = 2 (dx)2 – 4 dy dz, tj. d 2u (0, 0, 0) mijenja predznak, pa tačka (0, 0, 0) nije tačka lokalnog ekstrema zadane funkcije u. Ponovimo na kraju da se sve izloženo odnosi samo na tzv. unutrašnje lokalne ekstreme funkcija više promjenljivih. Prilikom određivanja apsolutnih ekstrema takvih funkcija neophodno je zajedno sa unutrašnjim stacionarnim tačkama ispitivati i tačke granice domena. Za takvo ispitivanje je često korisna tehnika određivanja tzv. uslovnog ekstrema, o kojoj izlažemo u posebnom paragrafu. S druge strane, međutim, ako se traže samo apsolutni ekstremi neke funckije na ograničenom i zatvorenom skupu, primjenom Weierstrassove teoreme može se potpuno izbjeći ispitivanje karaktera stacionarnih tačaka. U tom slučaju razmatramo sljedeći primjer. Primjer 3.1.4. Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije f : [– 1, 1]2 → R, zadane izrazom f (x, y) = x3 + 2 x2 y + 2 y 2 – 2 y.

50

Rješenje : Sistem jednačina 0242 ,043 22 =−+=∂∂

=+=∂∂ yx

yfxyx

xf ima unutar kvadrata (– 1, 1)2

dva rješenja: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,0 i ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

83,

21 . Dalje je f (1, y) = 2 y2 + 1, f (– 1, y) = 2 y2 – 1, f (x, 1) = x3 + 2 x2,

f (x, – 1) = x3 – 2 x2 + 4, pa se kao potencijalne tačke zadane funkcije f ekstrema dobiju i stacionarne tačke funkcija f (1, y) i f (x, –1) jedne promjenljive (koje su na rubu datog kvadrata) : (1, 0), (– 1, 0), (0, 1) i (0, – 1), kao i tjemena kvadrata (1, 1), (1, – 1), (– 1, 1) i (– 1, – 1). Zadana funkcija f je neprekidna, a kvadrat [– 1, 1]2 je zatvoren i ograničen skup, pa f na njemu dostiže svoju najmanju i najveću vrijednost. No, one mogu biti samo među vrijednostima funkcije f u nađenih 10 tačaka. Među svima je najmanja f (– 1, 0) = – 1, najveća f (0, – 1) = 4, pa su to traženi ekstremi funkcije f na [– 1, 1]2. Zadatak 3.1.1. Odrediti ekstreme funkcije f zadane formulom

f (x, y) : = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠+

=

).0,0(),( za ,

),0,0(),( za ,0

22 yxyx

xyyx

Rješenje: Zadana funkcija f je definirana na R2 i očito neprekidna na R2 \ {(0, 0)}, jer je njena restrikcija g : = f | , g (x, y) = { })0,0(\2R 22 yx

xy+

(v. sl. 3.1.1) elementarna funkcija pa je neprekidna gdje je

i definirana. No, u tački (0, 0) funkcija f je prekidna jer iz

2222

2

00 1lim),(lim

kk

xkxkxyxf

xkxy

x +=

+=

→=→

(*)

slijedi da limes (*) zavisi od k, pa dvojni limes ne postoji. ),(lim00

yxfyx→→

Nadalje je

222

22

)()(),('

yxxyyyxf x +

−= , 222

22

)()(),('

yxyxxyxf y +

−= za (x, y) ≠ (0, 0),

00lim0

)0,0()0,(lim)0,0('00

==−−

=→→ xx

fxffxxx , 0)0,0(' =yf (iako je f prekidna u tački (0, 0)).

Otuda slijedi da zadana funkcija ima konačne i određene parcijalne izvode fx' i fy' u okolini proizvoljne tačke (x0, y0)∈ R2 \ {(0, 0)} i ti izvodi su neprekidne funkcije u (x0, y0), pa je f diferencijabilna u (x0, y0)∈ R2 \ {(0, 0)} (na osnovu teoreme o dovoljnim uslovima diferencijabilnosti). No, u tački (0, 0), iako ima konačne izvode i fx' (0, 0) i fy'(0, 0), zadana funkcija f nije diferencijabilna, jer ako bi f bila diferencijabilna u (0, 0), onda bi vrijedilo

f (x, y) = f (x, y) – f (0, 0) = fx' (0, 0) (x – 0) + fy'(0, 0) (y – 0) + ω(x, y) 22 )0()0( −+− yx , (*)' gdje je 0)0,0(),(lim

00

==→→

ωω yxyx

. Međutim, iz (*)' slijedi

23

220022

22

00

00

)(limlim),(lim

yx

xy

yxyx

xy

yxyx

yx

yx

+=

+

+=→→

→→

→→ω ,

a ovaj limes ne postoji (jer je 23

200

)1(||

1lim),(limk

kx

yxx

kxyx

+⋅=

→=→ω ). Dakle, (0, 0) nije stacionarna tačka od f,

te f ima stacionarne tačke (x, ± x), (∀x∈R\{0}). Budući da vrijedi

322

22

)()3(2),(''

yxxyxyyxfxx +

−−= , 322

22

)()3(2),(''

yxyxxyyxf yy +

−−= ,

322

4422

422

2222322222

)(6

)(2)(2)())(3(),(''),(''

yxyxyx

yxyyxyxyyxxyyxfyxf yxxy +

−−=

+⋅+⋅−−+−

== ,

51za sve (x, y) ≠ (0, 0), tj. da je fxx''(x, ± x) = fyy''(x, ± x) = 22

1x

m , fxy''(x, ± x) = fyx''(x, ± x) = 21

2x za

∀x∈R\{0}, odnosno da je r t – s2 = 0 u tačkama (x, ± x), to pitanje ekstrema treba riješiti pomoću definicije (neposredno) ili pomoću diferencijala trećeg ili višeg reda. No, očigledno vrijedi (x ± y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ ± 2 x y (∀x, y∈R), pa je

21

21

22 ≤+

≤−yx

xy za (x, y)∈ R2 \ {(0, 0)}.

Kako je još f (0, 0) = 0, f (x, – x) = 21

− (x ≠ 0) i

f (x, x) = 21 , (x ≠ 0), to zaključujemo da zadana

funkcija f ima nestrogi apsolutni / totalni minimum fmin = f (x, – x) =

21

− (x ≠ 0) i

nestrogi apsolutni maksimum fmax = f (x, x) = 21

za x ≠ 0.

Sl. 3.1.1.

U tački (0, 0) zadana funkcija nema ekstrem, jer, npr., na paraboli, čija je jednačina y = x2, vrijedi

f (x, x2) – f (0, 0) = ⎩⎨⎧

<<≥≥

=+ ,0 ,0

,0 ,01 2 x

xx

x

tj. ne postoji okolina U(0, 0) tačke (0, 0) u kojoj priraštaj f (x, y) – f (0, 0) ne mijenja znak. Zadatak 3.1.2. Odredite ekstremne vrijednosti funkcije f iz R2 u R zadane formulom

f (x, y) = sin x sin y sin (x + y), (x, y∈[0, π]). Zadatak 3.1.3. Odredite ekstremne vrijednosti funkcije f zadane formulom:

a) f (x, y, z) = ln |2 x y – y| + xy – x – z 2;

b) f (x1, ..., xn) = n

n

n

n

xxx

xx

xxx

1

12

3

1

21

2 +

−

++⋅⋅⋅+++ , (xi > 0 ; i = 1, ..., n).

Rezultat. a) fmax = f (1, –1, 0) = – 2. b) fmin = f (2, 22, ..., 2n) = 2 (n + 1), (v. zad. 9.3 d) i g) u knjizi [H. Fatkić, V. Dragičević, Diferencijalni račun funkcija dviju i više promjenljivih, Svjetlost, Sarajevo, 1990]).

§3. 2. Preslikavanje (funkcije) iz Rn u Rm. Jacobijan i

regularno preslikavanje

Vektorsku funkciju od n realnih promjenljivih definirali smo kao preslikavanje f : X → Y, X⊆Rn, Y⊆Rm.

Ovo preslikavanje, nadalje, ćemo obilježavati sa . (U literaturi se često koriste i oznake ∼

f f , f ). Neka je

∼

f : E → Rm, (3.2.1) gdje je E oblast iz Rn (E⊆Rn). Napomenimo da budući da su Rn i Rm metrički prostori (u odnosu na Euklidovu metriku), to se pojam granične vrijednosti vektorske funkcije u tački definira po Cauchyju ili Heineu, a kako znamo, ove dvije definicije su ekvivalentne.

52∼

f Neka je x0 tačka gomilanja oblasti E. Za preslikavanje kažemo da ima graničnu vrijednost jednaku l u tački x0 ako je ispunjen jedan od dva ekvivalentna uslova: (i) Za proizvoljan niz (xn), xn∈E \{x0} (za ∀n∈N), koji konvergira ka tački x0, odgovarajući

niz ( (x∼

f n)) vrijednosti preslikavanja konvergira ka l (definicija po Heineu). ∼

f

(ii) Za proizvoljnu okolinu V(l ) postoji okolina U(x0) tačke x0 takva da je (x)∈V(l ) za svaki

x∈ (x

∼

fo

EU 0) (definicija po Cauchyju).

Teorema 3.2.1. Da bi preslikavanje = ( f∼

f 1, f2, ..., fm) imalo graničnu vrijednost l = (l1, ..., lm)∈Rm potrebno je i dovoljno da važi jednakost:

0lim

xx→fi (x) = li, 1 ≤ i ≤ m.

Dokaz ove teoreme se zasniva na teoremi o konvergenciji nizova u n – dimezionalnom Euklidovom prostoru.

Posljedica 3.2.1. Preslikavanje ima u tački x∼

f 0∈E graničnu vrijednost (x∼

f 0) = ( f1(x0), f2(x0), ..., fm(x0)) onda i samo onda ako je f

0lim

xx→i (x) = fi (x0), za 1 ≤ i ≤ m. Drugim riječima, preslikavanje

f = ( f1, f2, ..., fm) je neprekidno u tački x0 onda i samo onda kada su u toj tački neprekidne sve njegove komponente fi za 1 ≤ i ≤ m (kao realne funkcije od n realnih promjenljivih).

Definicija 3.2.1. Neka je preslikavanje definirano izrazom (3.2.1) i tačka x∼

f 0∈E. Za preslikavanje f kažemo da je diferencijabilno u tački x0 kada je svaka njegova komponenta fi , za 1 ≤ i ≤ m, diferencijabilna funkcija u tački x0.

Iz definicije 3.2.1 diferencijabilnosti funkcije f u tački x0 slijedi da je tada za 1 ≤ i ≤ m: fi (x) – fi (x0) = ( ) ( ) ( ) ),()()()()( 01

00

0220

2

0110

1

xxdxxxxxfxxx

xfxxx

xf

nnn

iii ⋅+−∂∂

+⋅⋅⋅+−∂∂

+−∂∂ ω ,

gdje je x = (x1, x2, ..., xn) i x0 = (x10, x2

0, ..., xn0), pa je

∼

f (x) – (x∼

f 0) = ),()(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

0

1 x

1

1 x

0

011

x 00

1

01

01

1

1 x 0

011

xxdx

x

xx

xx

xxfx

xf

xxfx

xf

xfxf

xfxf

mmnnn

nmn

mm

n

mnm

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

ω

ωMM

L

MM

L

M .

Otuda slijedi da se priraštaj funkcije u tački x∼

f 0 može napisati u obliku

),()()()()( 000 xxdxxxLxfxf ⋅+−=−∼∼∼∼ω ,

pri čemu je (x) vektor funkcija neprekidna u tački x∼ω 0 i jednaka nuli u tački, a je linearno

preslikavanje prostora R

∼

Ln u prostor Rm kome odgovara matrica

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

)()(

)()(

001

01

01

1

xxfx

xf

xxfx

xf

n

mm

n

L

MM

L

, (3.2.2)

koja se često naziva i potpuni ili totalni izvod preslikavanja u tački x∼

f 0.

Matrica (3.2.2) naziva se matricom Ostrogradskog - Jacobija preslikavanja u tački x∼

f 0. Za slučaj m = n determinanta matrice (3.2.2) obilježava se

)(),...,(),...,(

01

1 xxxDffD

n

n ili )(),...,(),...,(

01

1 xxxff

n

n

∂∂

53i naziva se Jacobijan*) preslikavanja u tački x

∼

f 0.

Posmatrano preslikavanje često se piše i u obliku : ∼

f

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

==

),,...,(

),,...,(),,...,(

1

122

111

nmm

n

n

xxfy

xxfyxxfy

M (3.2.3)

kao sistem od m funkcija od n argumenata. Teorema 3.2.2. Ako je preslikavanje (3.2.3) uzajamno jednoznačno i neprekidno na oblasti E, onda je slika prostog luka koji se sadrži u E prost luk. Dokaz: Na prostom luku zadanom izrazom x(t) = (x1(t), ..., xn(t)), t∈[α, β ], koordinate xi(t) su neprekidne funkcije argumenta t na segmentu [α, β ]. Kako su po pretpostavci teoreme funkcije fi za i = 1, ..., n neprekidne na oblasti E, to su i funkcije fi(x(t)) neprekidne kao neprekdine funkcije neprekidnih funkcija. Za t1 ≠ t2 imamo da je x1 = x(t1) ≠ ≠ x(t2) = x2, jer je x(t) po pretpostavci prost luk. Sada tačkama x1 i x2 odgovaraju dvije različite tačke y1 i y2 iz prostora Rm, jer je po pretposatvci preslikavanje zadano izrazom (3.2.3) uzajamno jednoznačno. Slijedi po definiciji prostog luka da je luk zadan izrazom

y(t) = ( y1(t), ..., ym(t)), (t∈[α, β ]) prost luk. Ovim je dokaz teoreme završen. Posljedica ove teoreme glasi:

Posljedica 3.2.2. Prosta zatvorena kriva preslikava se u prostu zatvorenu krivu.

Definicija 3.2.2. Za preslikavanje zadano izrazom (3.2.3), u kome je m = n, kažemo da je regularno na oblasti E(⊆R

∼

fm) ako funkcije f1, f2, ..., fn imaju na oblasti E neprekidne prve izvode

po svim argumentima i ako je njegov Jakobijan različit od nule na oblasti E. Iz date definicije pojma regularnog preslikavanja slijedi tačnost sljedećih tvrdnji: Tvrdnja 3.2.1. Regularno preslikavanje na oblasti E je neprekidno na toj oblasti. Dokaz: Zaista, iz neprekidnosti parcijalnih izvoda funkcija fi, i = 1, ..., n na oblasti E slijedi njihova diferencijabilnost na oblasti E. (Vidi teoremu koja predstavlja dovoljan uslov diferencijabilnosti za realnu funkciju više realnih promjenljivih.) Iz diferencijabilnosti funkcija fi za i = 1, ..., n na oblasti E slijedi, kako znamo, njihova neprekidnost na toj oblasti, pa je preslikavanje

neprekidno (jer su mu neprekidne sve projekcije). Ovim je tvrdnja i dokazana. ∼

f Tvrdnja 3.2.2. Jacobijan regularno g preslikavanja na oblasti E je funkcija konstantnog znaka na toj oblasti. Dokaz: Zaista, iz definicije pojma regularnog preslikavanja na oblasti E slijedi da je Jacobijan neprekidna funkcija na oblasti E koja je različita od nule, pa ako bi u dvjema tačkama iz oblasti E Jacobijan imao suprotne po znaku vrijednosti, tada bi on prema teoremi o međuvrijednosti bio jednak nuli bar u jednoj tački oblasti E, što je protivno pretpostavci. Važi i sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza:

Teorema 3.2.3. Ako je preslikavanje regularno preslikavanje na oblasti E, onda je ono uzajamno jednoznačno u nekoj dovoljno maloj okolini proizvoljne tačke iz oblasti E.

∼

f

Napomenimo da je regularnost preslikavanja dovoljan, ali ne i potreban uslov da bi preslikavanje

imalo osobinu lokalnog uzajamno jednoznačnog preslikavanja. Zapravo, za neprekidno ∼

f________________ *) Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851) – njemački matematičar.

54

diferencijabilnu funkciju = ( f∼

f 1, ..., fn) (parcijalni izvodi i

k

xf∂

∼∂ neprekidni), definiranoj na nekom

otvorenom skupu S (⊆Rn), Jacobijan (X∼f

J 0) ≠ 0 garantira da je dato preslikavanje uzajamno

jednoznačno u nekoj okolini tačke X0∈S, te da otuda za ograničenu na tu okolinu možemo

govoriti o njenoj inverznoj funkciji

∼

f∼

f –1. Prema tome, pod navedenim uslovima postojanje inverzne

funkcije ∼

f –1 je osigurano samo lokalno. Uvjerićemo se u narednim zadacima da inverzna funkcija ne

mora postojati za na S, čak ni pod pretpostavkom da je Jacobijan ∼

f ∼f

J (X) ≠ 0 za svako X∈S, tj.

da regularno preslikavanje na S ne mora biti uzajamno jednoznačno na skupu S (npr. ako je =

= ( f

∼

f

1, f2), f1(x, y) = e x cos y, f2(x, y) = e x sin y, onda je regularno na S = R∼

f 2, ali nije uzajamno

jednoznačno preslikavanje sa R2 na T = (S) = R∼

f 2 \ {(0, 0)}, pa ne postoji –1∼

f na T ).

Takođe, ako je uzajamno jednoznačno na S, to ne mora značiti da je i regularno preslikavanje na

S (npr., ako je = ( f

∼

f∼

f 1, f2), u = f1 (x, y) = x3, v = f2

(x, y) = x + y, onda je uzajamno jednoznačno preslikavanje sa R

∼

f2 na R2, jer postoji jedinstveno rješenje x = f1

– 1 (u, v) = 3 u , y =

= f2– 1 (u, v) = v – 3 u , tj. postoji

∼

f –1 = ( f1– 1, f2

– 1) na R2, ali (x, y) = ∼f

J =),(),(

yxDvuD 3 x 2 = 0 za

(x, y) = (0, y)∈R2 pa nije regularno na R∼

f 2; i ∼

f∼

f –1 su neprekidni na R2, komponente f1 i

f2 funkcije imaju neprekidne parcijalne izvode proizvoljnog reda, ∼

f∼

f –1 nije diferencijabilna na R2 ). Primjer 3.2.1. Preslikati oblast Sxy = {(x, y) : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4} preslikavanjem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Rješenje: Skup Sxy je zatvorena oblast (dvostruko povezana!) u xy – ravni (sl. 3.2.1). Zamjenom x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, relacija 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 postaje 1 ≤ r 2 ≤ 4, tj. 1 ≤ r ≤ 2 ili – 2 ≤ r ≤ – 1. Za preslikavanje f = (x, y) vrijedi da su xr, xϕ , yr i yϕ neprekidni i da je

0cossin

sincos),(),(),( ≠=

−=== r

rr

yyxx

rDyxDrJ

r

rf ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ ,

tj. dato preslikavanje je regularno. Postoji inverzno preslikavanje ( f0

–1 )(k) = (r, ϕ), (k = 0, ±1, ...), koje preslikava obostrano jednoznačno oblast Sxy na oblast

)(krS ϕ = {(r, ϕ) : 1 ≤ r ≤ 2 ∧ 2 kπ ≤ ϕ < 2 (k + 1) π},

i preslikavanje ( f0–1 )'(k), (k = 0, ±1, ...) koje preslikava obostrano jednoznačno Sxy na

)(' krS ϕ = {(r, ϕ) : – 2 ≤ r ≤ – 1 ∧ 2 kπ ≤ ϕ < 2 (k + 1) π}.

Vidimo da se oblast 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 preslikava preslikavanjem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, na dvije trake S1 = {(r, ϕ) : 1 ≤ r ≤ 2} i S2 = {(r, ϕ) : – 2 ≤ r ≤ – 1 } rϕ - ravni, tj. dato preslikavanje ne preslikava obostrano jednoznačno oblast Sxy na skup (sl. 3.2.2.) S = S1 ∪ S2 (iako je ),( ϕrJ f ≠ 0 na S). Međutim, dato preslikavanje preslikava obostrano jednoznačno oblast Sxy na bilo koji od skupova

)(krS ϕ , , (k = 0, ±1, ...). )(' k

rS ϕ

Za r i ϕ (polarne koordinate) se obično uzimaju sljedeći intervali mijenjanja: 0 ≤ r < + ∞ i 0 ≤ ϕ < 2π (ili –π ≤ ϕ < π ),

čime se uspostavlja obostrano jednoznačna korespondencija, između tačaka ravni i polarnih koordinata r i ϕ (isključujući pol, koji nema određen polarni ugao). Dakle, dato preslikavanje f = (x, y), zadato sa x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, preslikava obostrano jednoznačno oblast Sxy na oblast = { (r, ϕ) : 1 ≤ r

ϕrS ≤ 2 ∧ 0 ≤ ϕ < 2π } (sl. 3.2.3).

55 y ϕ ϕ

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 Sxy S2 S1 2π

– 2 – 1 0 1 2 x – 2 –1 0 1 2 r Srϕ

r 0 1 2 Sl. 3.2.1. S. 3.2.2. Sl. 3.2.3. .

§3.3. Implicitne funkcije §3.3. Implicitne funkcije

Neka je zadano preslikavanje F : X x Y → Z, gdje je X⊆Rm, Y⊆Rn, Z⊆Rn, pri čemu skup Z sadrži neutralni element prostora Rn. Neka je zadano preslikavanje F : X x Y → Z, gdje je X⊆R

m, Y⊆Rn, Z⊆Rn, pri čemu skup Z sadrži neutralni element prostora Rn.

Posmatrajmo vektorsku funkciju zadanu izrazom Posmatrajmo vektorsku funkciju zadanu izrazom ∼∼

F (x, y) = 0, pri čemu je x∈X, y∈Y i 0∈Z. Ovaj vektorskoj jednačini odgovara sistem jednačina:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

==

.0),...,;,...,(

,0),...,;,...,(,0),...,;,...,(

11

112

111

nnn

nn

nn

yyxxF

yyxxFyyxxF

M (3.3.1)

Pretpostavimo da postoje neprazni skupovi E⊆ X i E1⊆Y takvi da za ∀x∈X jednačine zadane

izrazom (3.3.1) imaju jedinstveno rješenje y∈E1. Tada se može definirati preslikavanje : E → E∼

f 1

koje svakom elementu x∈X pridružuje onu vrijednost y = (x)∈E∼

f 1 koja za x∈X predstavlja rješenje jednačina zadanih izrazom (3.3.1). U ovom slučaju jednačine (3.3.1) određuju y kao preslikavanje koje skup E prevodi u skup E1 i kome odgovara sistem funkcija:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

==

).,...,(

),,...,(),,...,(

1

122

111

nnn

n

n

xxfy

xxfyxxfy

M (3.3.2)

Sistem (3.3.2) napisan u vektorskom obliku glasi y = (x). Očigledno da preslikavanje ima svojstvo da je

∼

f∼

f

∼

F (x ; (x)) = 0, ∀x∈X. (3.3.3.) ∼

f Definicija 3.3.1. Funkcije koje su zadane posredstvom jednačina ili sistemom jednačina nazivaju se funkcijama zadanim implicitno ili implicitno zadanim funkcijama. Teorema 3.3.1. (Stav o postojanju i jedinstvenosti implicitnih funkcija). Ako sistem jednačina zadan izrazom (3.3.1) u nekoj oblasti E kojoj pripada tačka (x1

0, ..., xm0 ; y1

0, ..., yn0) = (x0; y0), koja

se naziva početna tačka, zadovoljava sljedeće uslove : (i) funkcije Fi (i = 1, ..., n) su neprekidne i imaju neprekidne izvode po argumentima y1, ..., yn ; (ii) vrijednost Jacobijana

),...,(),...,(

1

1

n

n

yyDFFD u početnoj tački različita je od nule ;

(iii) početna tačka zadovoljava sistem jednačina zadan izrazom (3.3.1), tj.

56Fi (x0, y0) = 0 za i = 1, ..., n,

onda u dovoljno maloj okolini tačke x0 postoji jedinstven sistem neprekidnih funkcija oblika (3.3.2) koji zadovoljava sistem jednačina zadan izrazom (3.3.1) kao i početne uslove :

y10 = f1(x0), ..., yn

0 = fn(x0). Važi i sljedeća teorema: Teorema 3.3.2. (Teorema o diferencijabilnosti implicitnih funkcija). Neka su zadovoljeni svi uslovi u teoremi o postojanju implicitnih funkcija. Tada :

1) ako je svaka funkcija Fi (i = 1, ..., n) koja se pojavljuje na lijevoj strani sistema (3.3.1) diferencijabilna u tački (x0, y0), onda je i svaka funkcija sistema (3.3.2) diferencijabilna u tački x0 ;

2) ako je svaka funkcija Fi (i = 1, ..., n) koja se pojavljuje na lijevoj strani sistema (3.3.1) diferencijabilna u okolini tačke (x0, y0), onda je i svaka funkcija sistema (3.3.2) diferencijabilna u nekoj okolini tačke x0 ;

3) ako svaka funkcija Fi (i = 1, ..., n) koja se pojavljuje na lijevoj strani sistema (3.3.1) ima u nekoj okolini tačke (x0, y0) neprekidne izvode k-tog reda po svim argumentima, onda svaka funkcija sistema (3.3.2) u nekoj okolini tačke x0 ima neprekidne izvode k-tog reda.

Pretpostavimo sada da su zadovoljeni svi dovoljni uslovi pod kojima prethodne teoreme važe. Tada za nalaženje izvoda i diferenciranje implicitnih funkcija imamo sljedeće postupke: 1. Neka su funkcije zadane izrazom (3.3.2) zadane implicitno sistemom jednačina (3.3.1). Tada uvrštavanjem izraza funkcija zadanih izrazom (3.3.2) u lijeve strane jednačina (3.3.1) dobijemo složene funkcije:

Fi (x1, ..., xm ; f1(x1, ..., xm), ..., fn(x1, ..., xm)), (3.3.4) za i = 1, ..., n, koje su jednake nuli u nekoj okolini tačke x0, što slijedi iz pretpostavke da su funkcije zadane izrazom (3.3.2) zadane implicitno sistemom (3.3.1). Izvodi složenih funkcija (3.3.4) po argumentima x1, ..., xm su takođe jednaki nuli u pomenutoj okolini. Da bi našli izvode funkcija zadanih izrazom (3.3.2) po argumentu xk (1 ≤ k ≤ m) treba diferencirati svaku od funkcija (3.3.4) po argumentu xk po pravilu za traženje izvoda složenih funkcija. Tako dobijemo sistem:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=∂∂

⋅∂∂

++∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

+∂∂

=∂∂⋅

∂∂

++∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

+∂∂

.0...

,0...

2

2

1

1

12

2

11

1

11

k

n

n

n

k

n

k

n

k

n

k

n

nkkk

xf

yF

xf

yF

xf

yF

xF

xf

yF

xf

yF

xf

yF

xF

M (3.3.5)

Sistem jednačina (3.3.5) je sistem linearnih jednačina po traženim izvodima: k

n

kk xf

xf

xf

∂∂

∂∂

∂∂ ,...,, 21 .

Determinanta sistema (3.3.5) je Jacobijan

),...,(),...,(

1

1

n

n

yyDFFD , (3.3.6)

koji je različit od nule, jer su ispunjeni uslovi teoreme o postojanju implicitnih funkcija, pa tražene izvode možemo naći iz sistema jednačina (3.3.5). Diferenciranjem jednačina sistema (3.3.5) po argumentu xl (1 ≤ l ≤ m) dobije se opet sistem linearnih jednačina po drugim izvodima:

kk

n

kkkk xxf

xxf

xxf

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂ 2

22

12

,...,,

i determinanta sistema ovako dobijenih jednoznačna je i opet Jacobijan zadan izrazom (3.3.6). Ovaj proces uzastopnog diferenciranja jednačina daje mogućnost nalaženja izvoda proizvoljnog reda funkcija zadanih implicitno. 2. Za nalaženje diferencijala implicitnih funkcija koristimo opet funkcije zadane izrazom (3.3.4) koje su identički jednale nuli u nekoj okolini tačke x0, pa je u toj tački dF1 = dF2 = ... = dFn = 0. Otuda slijedi da je

57

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=∂∂

++∂∂

+∂∂

++

=∂∂

++∂∂

+∂∂

++

.0......

,0......

11

11

11

1

111

1

1

nn

nnm

m

nn

nn

mm

dyyFdy

yFdx

xFdx

xF

dyyFdy

yFdx

xFdx

xF

∂∂

∂∂

M (3.3.7)

Sistem (3.3.7) je sistem linearnih jednačina po diferencijalima dy1, ..., dyn. Determinanta sistema (3.3.7) je Jacobijan (3.3.6). Posmatrajmo sada najjednostavniji slučaj kada promjenljive x i y u realciji

F(x, y) = 0 (*) uzimaju realne vrijednosti, tj. postavimo pitanje o egzistenciji implicitne funkcije jedne realne promjenljive koja uzima realne vrijednosti. Dovoljni uslovi za "lokalno" postojanje takve funkcije dati su sljedećom teoremom:

Teorema 3.3.3. Neka su u nekom otvorenom skupu A⊆R2 kome pripada tačka (a, b) zadovoljeni sljedeći uslovi : 1° F : D → K (D⊆R2, K⊆R) je neprekidna na skupu A (⊆D); 2° F(a, b) = 0; 3° parcijalni izvod

yF∂∂ postoji i neprekidan je na A; 4°

yF∂∂ (a, b) ≠ 0.

Tada postoji okolina W = U x V tačke (a, b) (gdje je U ={x∈R : |x – a| < α }, V = { y∈R : |y – b| < < β }) i jednoznačno određena neprekidna funkcija f : U → V, takva da je f (a) = b i F(x, f (x)) = 0 za sve x∈U. Dokaz: Pretpostavimo, određenosti radi, da je

yF∂∂ (a, b) > 0. Zbog neprekidnosti funkcije

yF∂∂ postoji

okolina tačke (a, b) u kojoj je yF∂∂ (x, y) > 0. Za tu

okolinu možemo uzeti da je pravougaonik [a–α1, a+α1] x x [b – β, b + β ] koji se sadrži unutar datog otvorenog skupa A. Posmatrajmo funkciju F(a, y) jedne

promjenljive y∈[b – β, b + β ]. Kako je yF∂∂ (a, y) > 0,

to ta funkcija strogo raste, pa s obzirom da je F(a, b) = 0, to je

F(a, b – β ) < 0 i F(a, b + β ) > 0. Zbog neprekidnosti same funkcije F zaključujemo da odgovarajuće realcije važe i u nekoj okolini tačke α, tj. da postoji broj α, 0 < α ≤ α1, takav da je za sve x∈[a – α, a + α ] ispunjeno

y b + β A

y = f (x) b

b – β

a –α1 a –α a x a +α a –α1 x

F(x, b – β ) < 0 < F(x, b + β ). Ako sada za svaki takav fiksiran x posmatramo funkciju F(x, y) kao realnu funkciju promjenljive y, definiranu na segmentu [b – β, b + β ], dobijemo da je to strogo rastuća neprekidna funkcija koja uzima vrijednost različitog znaka na krajevima tog segmenta. Dakle, postoji, jedinstveno određena, vrijednost y = f (x) ∈ (b – β, b + β ), takva da je F(x, f (x)) = 0. Pri tom je, jasno, i f (a) = b, jer je y = b jedina vrijednost iz (b – β, b + β ) za koju je F(a, y) = 0. Dokažimo da je ovako definirana funkcija f : U → V (gdje je U = (a – α, a + α ), V = (b – β, b + β )) neprekidna. S obzirom da za svaku tačku x∈U važe isti uslovi (za funkciju F ) kao za tačku x = a, to je dovoljno dokazati neprekidnost funkcije f u tački a. Za dati ε, 0 < ε < β, ponavljajući prethodni postupak, izaberimo δ, 0 < δ < α, tako da za sve x za koje je | x – a | < δ postoji samo jedno y za koje je | y – b | < ε i F(x, y) = 0; za to y će važiti y = f (x). No, tada je | f (x) – f (a)| = | y – b | < ε za | x – a | < δ , što i znači da je funkcija f neprekidna u tački a. Time je dokaz teoreme 3.3.3. završen. Dopunićemo navedenu teoremu o egzistenciji implicitne funkcije stavom koji opisuje neka njena svojstva.

58 Stav 3.3.1. Neka pored uslova 1° - 4° teoreme 3.3.3. funkcija f zadovoljava i uslov 5° parcijalni izvod

xF∂∂ postoji i neprekidan je na A, tj. neka F∈C(1)(A). Tada je funkcija f,

opisana u teoremi 3.3.3., neprekidno diferencijabilna, tj. f∈C(1)(U) i za x∈U važi

f '(x) = ))(,(

))(,(

xfxyF

xfxxF

∂∂∂∂

− .

Ako je F∈C( p)(A) za neki p∈N, onda je f∈C( p)(U ).

Teorema 3.3.3. i stav 3.3.1. lako se proširuju i na slučaj implicitno definirane funkcije više promjenljivih f (x1, ..., xm) zadanom jednačinom

F(x1, ..., xm, y) = 0, (što je opet samo specijalni slučaj teorema 3.3.1. i 3.3.2). Primjer 3.3.1. Dat je sistem jednačina

u + v = x + y, xy

vu=

sinsin . (*)

Naći:

a) du(x, y) i dv (x, y); b) d 2u(1, 0) i d 2v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0,

2π .

Rješenje: Neka je

F1(x, y, u ,v) = u + v – x – y , F2(x, y, u, v) = xy

vu−

sinsin .

Jacobijan funkcija F1 i F2

)cos ctg (sinsin

1

sincossin

sincos

11

),(),(

2

21 uvuvv

vuvu

vuDFFDJ +−=−==

nije identički jednaka nuli. Prema tome, postoje funkcije u i v koje zadovoljavaju sistem (*). Zato ima smisla tražiti diferencijale funkcija u i v. a) Za određivanje diferencijala du i dv diferencirajmo (*):

du + dv = dx + dy, 22 ) cossin sin(cossin

1x

ydxxdydvvuduvuv

−=− .

Ako riješimo ovaj sistem po du i dv, dobijemo du = ,

coscos)cos(sin)sincos(

vyuxdyvyvdxuvy

+++−

dv = dyvyux

vuxdxvyux

uxucoscos

)sincos(coscos

)cos(sin+−

+++ .

c) Rezultat.

d 2u(1, 0) = 2[(cos 1 – sin 1) dx dy + cos 1 (1 – sin 1) dy 2], d 2v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0,

2π = 2

8π

dx dy.

Zadatak 3.3.1. Dat je sistem jednačina .21

,12 xv

uyeuvxe vuvu =+

−=+ ++

a) Pokažite da dati sistem jednačina definira diferencijabilne funkcije u = f1(x, y) i v = f2(x, y) za koje je f1(1 ,2) = f2(1 ,2) = 0. b) Pokažite da je du(1, 2) =

31

− dy i dv(1, 2) = – dx + 31 dy.

59§3.4. Uslovni (vezani) ekstrem

Neka su f, ϕ 1, ..., ϕ k glatke funkcije definirane na oblasti E⊆Rn. Može se posmatrati zadatak:

Ispitati na ekstrem funkciju f na skupu E1⊆E koji je definiran jednačinama ϕ 1(x) = 0, ..., ϕ k (x) = 0, (3.4.1)

a koje se nazivaju jednačinama veze. Dakle, cilj je naći lokalne ekstreme funkcije f ne na njenom cijelom domenu E, nego na skupu E1 koji je definiran uslovima (3.4.1). Definicija 3.4.1. Funkcija f pri postojanju jednačina veze ima uslovni ili vezani maksimum (minimum) u tački x0∈E koja zadovoljava jednačine (3.4.1) ako postoji okolina tačke x0 takva da je

f (x) ≥ f (x0) ( f (x) ≤ f (x0)) u tačkama te okoline koje zadovoljavaju jednačine (3.4.1). U opštem slučaju, zadatak traženja uslovnog ekstrema formuliše se na sljedeći način: Naći ekstrem funkcije f (x1, ..., xn) na površi zadanoj parametarski

x1 = x1(t1, ..., tm), ..., xn = xn (t1, ..., tm) ili na površi zadanoj jednačinama

ϕ 1 (x1, ..., xn) = 0, ..., ϕ k (x1, ..., xn) = 0, (k < n). (3.4.2) Važi sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza. Teorema 3.4.1. Ako funkcija f (x1, ..., xn) (= f (x)) na površi zadanoj jednakostima (3.4.2) u nekoj njenoj tački A ima uslovni ekstrem, onda postoji k koeficijenata λ1, ..., λk posredstvom kojih vrijednosti izvoda funkcije f u tački A su linearne kombinacije odgovarajućih parcijalnih izvoda funkcija ϕ 1, ..., ϕ k :

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

++∂∂

=∂∂

∂∂

++∂∂

=∂∂

....

,...

11

11

11

1

n

kk

nn

kk

xxxf

xxxf

ϕλϕλ

ϕλϕλ

M (3.4.3)

Svaka tačka A = (a1, ..., an) koja zadovoljava jednačine (3.4.3) naziva se uslovnom stacionarnom tačkom funkcije f (x) na datoj površi. Koeficijenti λ1, ..., λk nazivaju se Lagrangeovim multiplikatorima. Za nalaženje uslovnih stacionarnih tačaka primjenjuje se sljedeće Lagrangeovo pravilo: 1° Formira se funkcija

Φ = f – λ1 ϕ 1 – ... – λk ϕ k

sa neodređenim koeficiejntima λ1, ..., λk. 2° Formira se sistem od (n + k) jednačina:

⎪⎭

⎪⎬⎫

===

=Φ==Φ

,0...

,0' ... '

1

1

k

xx n

ϕϕ

sa (n + k ) nepoznatih x1, ..., xn, λ1, ..., λk. Iz navedenog sistema dobijemo koordinate uslovnih stacionarnih tačaka i odgovarajuće Lagrangeove multiplikatore. Tačke uslovnog ekstrema nalaze se među nađenim (uslovnim) stacionarnim tačkama. Pretpostavimo da funkcija f (x) kao i funkcije pomoću kojih je zadana površ imaju u tački A neprekidne izvode drugog reda. Tada:

(i) Ako je površ zadana parametarski, onda se zadatak svodi na obično ispitivanje bezuslovnog

60(običnog) ekstrema funkcije f kao funkcije parametara. (ii) Kod nalaženja uslovnog ekstrema funckije f na površi zadanoj jednačinama ϕ i (x) = 0, i = 1, ..., k, koristimo sljedeće: Iz Φ (x) = f (x) na površi slijedi da uslovnu stacionarnu tačku A funkcije f možemo smatrati bezuslovnom stacionarnom tačkom funkcije Φ (za sve detalje u vezi postupka traženja lokalnih uslovnih ekstrema funkcije više promjenljivih vidjeti u knjizi [H. Fatkić, V. Dragičević, Diferencijalni račun funkcija dviju i više promjenljivih, Svjetlost, Sarajevo, 1990] ili u [H. Fatkić, Zbornik problema iz odabranih oblasti matematike za inženjere, Soros ; Corons, Sarajevo, 2001], Treća glava, ili u knjizi [Mervan Pašić, Matematika 2, sa zbirkom riješenih primjera i zadataka, Merkur A.B.D., Zagreb, 2006], str. 94 - 104). Primjer 3.4.1. Odredite ekstreme funkcije z : = x2 + y2 – a2 uz zadani uslov xy = b2 (a, b ≠ 0). Rješenje: Formirajmo pomoćnu funkciju

F(x, y;λ) = x2 + y2 – a2 + λ (xy – b2). Računamo:

Fx = 2x + λ y, Fy = 2y + λ x. Iz sistema jednačina:

2x + λ y = 0 , 2y + λ x = 0, xy – b2 = 0 (*) slijedi

yx2

−=λ , ( y ≠ 0), y 2 = x2 (tj. y = ± x), xy = b2.

Zamjenom y = x (y = – x ne zadovoljava jednačinu xy = b2) u xy = b2, dobivamo y = x = ± |b|, λ = – 2.

Dakle, (x, y, λ) = (± |b|, ± |b|, – 2)

je rješenje sisetma (*), pa funkcija f (x, y) = x2 + y2 – a2

ima eventualno uslovne ekstreme f (± |b|, ± |b|)

u uslovnim stacionarnim tačkama S1,2(± |b|, ± |b|).

Budući da je Fxx = Fyy = 2, Fxy = λ = – 2; tj. ∆ = AC – B2 = 4 – 4 = 0,

Dobivamo d 2F = 2 (dx2 – 2 dx dy + dy 2 ) = 2 (dx – dy)2.

Ovaj izraz je pozitivan za dx ≠ dy i jednak nuli za dx = dy, ali iz ove činjenice ne možemo zaključiti da je egzistencija uslovnog ekstrema neizvjesna, tj. da treba tražiti diferencijale višeg reda, jer su nezavisno promjenljive vezane uslovom xy = b2. Iz ovog uslova se dobija

y dx + x dy = 0, tj. dy = xy

− dx.

U stacionarnim tačkama S1,2 je xy = 1, pa je dy = – dx. Zato je

d 2F =2 (dx + dy)2 = 8 dx 2 > 0 (za dx ≠ 0). Dakle, funkcija f ima vezani minimum

f (± |b|, ± |b|) = 2b2 – a2

u tačkama S1,2 na krivoj xy = b2.

61§3.5. Apsolutni ekstrem realnih funkcija

više realnih promjenljivih

Ovdje ćemo ukratko samo precizirati pojmove apsolutnog (globalnog, totalnog) minimuma i maksimuma koje smo i u okviru teorije lokalnih ekstrema, razmatrali u određenoj mjeri, kroz primjer funkcije koja je neprekidna na ograničenom i zatvorenom podskupu skupa R2.

Neka je data funkcija f : E → K ( E ⊆Rn, K⊆R) koja je neprekidna na zatvorenoj oblasti E .

Definicija 3.5.1. Apsolutnim maksimumom (minimumom) funkcije f u E (⊆ Rn) naziva se njena najveća (najmanja) vrijednost u E . Apsolutni maksimum i minimum funkcije f nazivaju se njenim apsolutnim ekstremima. Za apsolutne ekstreme koriste se oznake:

Ex∈max { f (x)} i

Ex∈min { f (x)}.

Znamo da neprekidna funkcija na zatvorenoj oblasti dostiže svoju najveću i najmanju vrijednost. Ove vrijednosti funkcija f može dostići kako u unutrašnjosti E tako i na njenoj granici.

Ako se apsolutni ekstrem dostiže u unutrašnjoj tački oblasti E , onda je on istovremeno i lokalni ekstrem.

Ako se apsolutni ekstrem dostiže u tački koja pripada granici zatvorene oblasti E , tada je to tačka uslovnog ekstrema, pri čemu su jednačine veze jednačine granice oblasti E . Kao što smo pomenuli u §3.1., ispitivanje uslovnog ekstrema često je potrebno prilikom određivanja apsolutnog (totalnog) ekstrema neke funkcije više promjenljivih, definirane u nekoj ograničenoj zatvorenoj oblasti. Pri tome, u takvim slučajevima obično nema potrebe za ispitivanjem karaktera eventualnih stacionarnih tačaka, već samo treba izračunati vrijednosti posmatrane funkcije u dobijenim stacionarnim tačkama i uporediti ih sa ekstremima te funkcije na konturi njenog domena, odnsono konturi oblasti na kojoj se traže njeni totalni ekstremi, tj. sa vrijednostima uslovnih ekstrema te funkcije. Evo jednog takvog primjera.

Primjer 3.5.1. Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y2 – – 12 x + 16 y na skupu A : = {(x, y)∈ R2 : x2 + y2 ≤ 25}. Rješenje: I. Parcijalni izvodi zadane funkcije f (x, y) = = (x – 6)2 + ( y + 8)2 – 100 su 12−x2=

∂∂

xf i

162 +=∂∂ yyf i oni su jednaki nuli u tački (6, – 8)

koja ne pripada oblasti A. II. Kako je zadana funkcija očigledno neprekidna na zatvorenoj i ograničenoj oblasti A, to ona prema Weierstrassovoj teoremi ima najmanju i najveću vrijednost na skupu A. Prema tome, treba odrediti ekstremne vrijednosti funkcije f pri tom uslovu (v. sl. 3.5.1).

y 5 x2 + y2 = 52

– 5 5 x (x – 6)2 + ( y + 8)2 =102

Sl. 3.5.1

62 III. Za Lagrangeovu funkciju F, zadanu izrazom F(x, y ; λ ) = x2 + y2 – 12 x + 16 y + λ (x2 + y2 – 25) je 02122 =+−=

∂∂ xx

xF λ , 02162 =++=

∂∂ yy

yF λ ,

02522 =−+=∂∂ yxFλ

za x = 3, y = – 4, λ = 1 ili x = – 3, y = 4, λ = – 3. Kako je f (3, – 4) = – 75

i f (– 3, 4) = 125, to je tražena najveća vrijednost jednaka 125, a najmanja – 75.

§3.6. Zamjena promjenljivih u diferencijalnim izrazima

Tehnika diferenciranja funkcija više promjenljivih u eksplicitnom i implicitnom obliku ima veliku primjenu kod zamjene promjenljivih u raznim diferencijalnim izrazima. Prilikom te zamjene, moramo izvode u tim izrazima zamijeniti izvodima po novim promjenljivim, služeći se pravilom za diferenciranje složenih funkcija. Navest ćemo tri osnovna slučaja.

1. Neka u izraz A = F (x, y, yx', yxx'', ...) (3.6.1)

treba uvesti nove promjenljive t i u, gdje je t nova nezavisno promjenljiva i u – nova funkcija, i to pomoću

x = f (t, u), y = g (t, u). (3.6.2) Diferenciranjem relacije (3.6.2), dobijemo

1

'''−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+∂∂

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+∂∂

= ttx uuf

tfu

ug

tgy . (3.6.3)

Analogno izračunavamo izvode višeg reda yxx'',... Tako dobijemo da je A = F1 (t, u, ut', utt'', ...).

2. Neka u izraz

B = F ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ,...,,,,,,, 2

22

2

2

yz

yxz

xz

yz

xzzyx (3.6.4)

Treba uvesti nove nezavisno promjenljive u i v pomoću x = f (u, v), y = g (u, v) .

Tada parcijalne izvode yz

xz

∂∂

∂∂ , nalazimo iz jednačina

, ,vg

yz

vf

xz

vz

ug

yz

uf

xz

uz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂ (3.6.5)

uz uslov da je Jacobijan 0),(),(≠

vuDyxD .

Daljim diferenciranjem nalazimo izvode višeg reda. 3. Neka u nekom izrazu, koji sadrži parcijalne izvode, treba zamijeniti nezavisno promjenljive x i y i funkciju z sa novim nezavisno promjenljivim u, v i novom funkcijom w = w (u, v) pomoću jednačina

x = f (u, v, w), y = g (u, v, w), z = (h, v, w). (3.6.6)

Tada parcijalne izvode yz

xz

∂∂

∂∂ , možemo odrediti iz:

.

,

vw

wh

vh

vw

wg

vg

yz

vw

wf

vf

xz

uw

wh

uh

uw

wg

ug

yz

uw

wf

uf

xz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

∂∂

(3.6.7)

63 Daljim diferenciranjem možemo odrediti izvode višeg reda. Primjer 3.6.1. U date diferencijalne izraze uvedite nezavisno promjenljivu, pomoću datih veza:

a) A = ydxdyx

dxydx ++ 32

24 2 , x =

t1 ;

b) A = aydxdyx

dxydx +−− 2

22)1( , x = sin t.

Rješenje: a) Iz x =

t1 slijedi

,111 2

2dtdyt

tdtdy

dtdxdt

dydxdt

dtdy

dxdy

⋅−=−⋅=⋅=⋅= (*)

.21

23

2

24

2

2

222

2

2

dtdyt

dtydt

dtt

dttdtdy

dtydt

dxdtdytd

dxdy

dxd

dxyd

+=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (**)

Na osnovu (*), (**) i x = t1 , zadani izraz postaje

A = .2

2

ydt

yd+

b) Rezultat. A = .2

2

aydt

yd+

Primjer 3.6.2. U date diferencijalne izraze uvedite nove promjenljive t i u (z – nezavisno promjenljiva, u – funkcija od t) pomoću datih veza: a) A = x 4 y '' + xyy ' – 2y, x = et, y = u e2t; b) 0 = y '' + (x + y)(1 + y ')3, x = u + t, y = u – t. Rješenje: a) Diferencirajući relacije x = e t, y = u e2t , vodeći računa da je y, sada, složena funkcija od t ; direktno i posredno preko u, tj. da je y = y (t, u(t)), dobivamo

.2 , 22

dtdueue

dtdu

uy

ty

dtdye

dtdx ttt ⋅+=⋅

∂∂

+∂∂

==

Odavde je

( ) .321212' )' (''

,2'

2

2

2

2

dtud

dtduu

edtud

dtdue

edtduue

dxdty

dtdy

dxdy

dtduue

dtdxdtdy

dxdyy

tt

tt

t

++=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +===

Otuda izraz A postaje, nakon sređivanja i skraćivanja sa e 4t :

A = .2)3(2

2

udtduu

dtyd

+++

b) Rezultat. 0 = 3

2

2

8 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

dtduu

dtud .

Zadatak 3.6.1. Transformišite jednačinu tv

tv

xv

∂∂

=∂∂

−∂∂ 22

2

2

2

, uvođenjem smjene v = u e– t.