Inženjerska grafikageometrijskih oblika

(2. predavanje, 3. tema)

Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu

Predavač:

Dr Predrag Rajković

Februar 26, 2013 2. predavanje, tema 3

TRANSFORMACIJE KOORDINATNOG SISTEMA(CONSTRUCTION PLANE)

BAZA PROSTORA

•Baza vektorskog prostora je

najmanji potreban skup vektora

pomoću koga se mogu izraziti svi

preostali vektori kao linearne

kombinacije vektora toga skupa.

BAZA PROSTORA

•U trodimenzionalnom prostoru jednu

bazu čine vektori

,

1

0

0

k,

0

1

0

j,

0

0

1

i

kzjyixp

•Vektor položaja proizvoljne tačke

NOVA BAZA PROSTORA

•Neka je nova baza u prostoru data

vektorima

,k,j,i

33

23

13

1

32

22

12

1

31

21

11

1

Koordinatni sistemi

Ox

y

z

1i

i

1k

1jj

k

NOVA BAZA PROSTORA

kjik

kjij

kjii

3323131

3222121

3121111

333231

232221

131211

111 kjikji

Matrica transformacije sistema

333231

232221

131211

Determinanta matrice transformacije

333231

232221

131211

Det||

STARE I NOVE KOORDINATE

1

33

23

13

1

32

22

12

1

31

21

11

zyx

z

y

x

111111 kzjyixkzjyix

Vektor položaja proizvoljne tačke

Izražavanje starihpreko novih koordinata

133132131

123122121

113112111

zyxz

zyxy

zyxx

•Stare koordinate vektora položaja neke tačke

mogu se izraziti preko novih koordinata

Nove koordinate izražene preko starih koordinata

3332

2322

1312

x

1

z

y

x

Det||

1

||x

3331

2321

1311

y

1

z

y

x

Det||

1

||y

z

y

x

Det||

1

||z

3231

2221

1211

z

1

TRANSLACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

10

10

10

zzz

yyy

xxx

•Translacija koordinatnog sistema se

može opisati formulama

Koordinatni sistemi

Z

X

YO

1O

x

y

z

1i

i

1k

1j

j

k

ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

131211

131211

131211

zcosycosxcosz

zcosycosxcosy

zcosycosxcosx

•Rotacija koordinatnog sistema se

može opisati formulama

ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

3331

2221

1111

k

j

i

kji

•Rotacija koordinatnog sistema u novi

koordinatni sistem pri čemu su dati

sledeći uglovi

TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

1312110

1312110

1312110

zcosycosxcoszz

zcosycosxcosyy

zcosycosxcosxx

•Translacija i rotacija koordinatnog

sistema se mogu opisati formulama

Koordinatni sistemi

O

1O

x

y

z

1i

i

1k

1j

j

k

Homogene transformacije

Homogene transformacije se zadaju homogenim koordinatama.

Ove koordinate se uvode da olakšaju primenu određenih tipovatransformacija u projektivnoj geometriji i kompjuterskoj grafici.

Homogene transformacije

Vektor n-dimenzionalnog prostora predstavlja se pomoću (n+1)-homogene koordinate.

Nema jedinstvenog predstavljanja tačke iz trodimenzionalnog prostora u homogenim koordinatama.

Homogene transformacije

najčešće biramo

]1[][ zyxpzyxp h

Opšta homogena transformacija je

data relacijom

hhh TpP

gde je Th - transformaciona matrica.

Translacijakoordinatnog sistema

1zyx

0100

0010

0001

]1zyx[]1zyx[

000

111

TRANSLACIJA I ROTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA

1zyx

0coscoscos

0coscoscos

0coscoscos

]1zyx[]1zyx[

000

313

212

111

111

•Translacija i rotacija koordinatnog

sistema se mogu opisati formulama

Turntable

Komanda Turntable stvara animaciju neprekidnim okretanjem koordinatnog sistema i objekata u njemu.

Pritisnuti Esc za zaustavljanje.

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

•Nova ravan konstruisanja se može postaviti

pomoću View-SetCPlane.

U ovoj ravni se mogu crtati pravilni

poligoni i krugovi na uobičajeni način.

• Nova konstruktivna ravan se može zadati

pomoću 3 tačke u prostoru opcijom

3 Points

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

Nacrtati pravouganik čija su 3 uzastopna temena

A(-5,0,0), B(0,-6,0) i C(0,0,8);

Iz tačke O(0,0,0) postaviti normalu na ravan ABC i naći

tačku prodora S;

Koristeći View-SetCPlane-3Points, nacrtati pravilan šestougao

ADEFGH čije je središte S i jedno teme tačka A.

Nacrtati pravilnu šestostranu prizmu čiji je jedan bazis

ADEFGH i osa OS.

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

CONSTRUCTION PLANENova ravan konstruisanja

•Nova ravan konstruisanja može se

postaviti pomoću View-SetCPlane.

•Opciju Perpedicular to Curve korisitimo

da nacrtamo novu ravan crtanja normalnu

na datu liniju, najčešće pravu.

Nova ravan konstruisanja

Data je duž V(7:5:5)S(0:6:0). Nacrtati obrtni konus čija je ona osa sa centrom bazisa u S i poluprečnikom R=5cm.

Nacrtati pravilnu šestougaonu prizmu sa istom osom poluprečnika osnove r=3cm

i visine h=3cm

Prikazati deo konusa bez prizme.

Nova ravan konstruisanja

Koristiti

View-SetCPlane-Perpedicular to Curve