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Informática Teórica
Engenharia da Computação
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REDUTIBILIDADE
Uma redução é uma maneira de converter um problema em outro
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FORMA 1 - REDUTIBILIDADE
A B ( A se reduz a B)
Resolver A não pode ser mais difícil que resolver B
Se B for decidível A tb será.
Se A for indecidível, B tb será.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
O método da história de computação é uma técnica importante para provar que AMT é redutível a certas linguagens.
Esse método é muito útil quando o problema a ser mostrado como indecidível envolve testar a existência de algo.
Por exemplo, a indecidibilidade do 10º problema de Hilbert: testar a existência de raízes inteiras em um polinômio.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
A história de computação para uma MT sobre uma entrada é a seqüência de configurações pelas quais MT passa a medida em que ela processa a entrada.
Registro completo da computação de MT.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
DEFINIÇÃO: Seja M uma MT e w uma cadeia de entrada. Uma história de computação de aceitação para M
sobre w é uma seqüência de configurações, C1, C2,...,Cl, onde:– C1 é a configuração inicial de M sobre w, – Cl é uma configuração de aceitação de M, e – Cada Ci segue de Ci-1 conforme as regras de M.
Uma história de computação de rejeição para M sobre w é definida similarmente, exceto que Cl é de rejeição.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
Histórias de computação são seqüências finitas. Se M não para sobre w, nenhuma história de
computação de aceitação ou de rejeição existe para M sobre w.
MTs determinísticas têm no máximo uma história de computação sobre qualquer entrada.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
DEFINIÇÃO: Um autômato linearmente limitado (ALL) é um tipo
restrito de MT na qual a cabeça de leitura-escrita não pode se mover para fora da parte da fita contendo a entrada.
Se a máquina tentar mover sua cabeça para além de qualquer das extremidades da entrada, a cabeça permanece onde está.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
Um autômato linearmente limitado (ALL) é uma MT com uma quantidade limitada de memória.
Ele só pode resolver problemas que requerem memória que possa caber dentro da fita usada para a entrada. Usar um alfabeto de fita maior que o alfabeto de entrada permite que a memória disponível seja incrementada de no máximo um fator constante.
Logo, dizemos que para uma entrada de comprimento n, a quantidade de memória disponível é linear em n.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
ALLs são poderosos. AAFD, AGLC, VAFD e VGLC são ALLs. Toda LLC pode ser decidida por um ALL
AALL é o problema de se determinar se um ALL aceita sua entrada. Muito embora AALL seja o mesmo que o problema indecidível AMT onde a MT é um ALL, podemos mostrar que AALL é decidível.
AALL = {<M,w> | M é um AALL que aceita a cadeia w}
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
LEMA: Seja M um ALL com q estados e g símbolos no
alfabeto da fita. Existem exatamente configurações distintas de M para uma fita de comprimento n, já que:– M tem q estados. – O comprimento de sua fita é n,
então a cabeça pode estar em uma das n posições,– e cadeias posíveis de símbolos de fita aparecem sobre a
fita.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
TEOREMA: AALL é decidível. IDÉIA DA PROVA: Para decidir se a ALL M aceita a
entrada w, simulamos M sobre w. Durante a simulação, se M para e aceita ou rejeita, aceitamos ou rejeitamos. A dificuldade ocorre se M entra em loop sobre w.
Precisamos ser capazes de detectar a entrada em loop de modo que possamos parar e rejeitar.
A idéia de detectar quando M está em loop é que, à medida em que M computa sobre w, ela vai de configuração em configuração.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
TEOREMA: IDÉIA DA PROVA: Se M repetir uma configuração ela
continuaria a repeti-la e estaria em loop. Em razão de M ser um ALL, a quantidade de fita
disponível para ela é limitada. Pelo Lema mostrado, M pode estar em apenas um número limitado de configurações sobre essa quantidade de fita.
Consequentemente, apenas uma quantidade limitada de tempo está disponível para M antes que ela entre em alguma configuração previamente visitada.
Detectar que M está em loop é possível simulando M pelo número de passos dado pelo Lema.
Se M não parou então, ela tem que estar em loop.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.9: AALL é decidível.
L é um decisor para AALL : L = Sobre a entrada <M,w> onde M é um ALL, e w é
uma cadeia:
1. Simule m sobre w por passos ou até parar;
2. Se M parou :1. aceite se aceitou, e
2. rejeite se rejeitou.
3. Se não parou, rejeite.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.9: AALL é decidível.
qaceita
qrejeita
Aceita
Rejeita
M,w w
M
L
Se o no. de config. de M > q.n.gn
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
O Teorema 5.9 mostra que ALLs e MTs diferem de uma maneira essencial: Para ALLs o problema da aceitação é decidível, mas para MTs não.
Entretanto, certos outros problemas envolvendo ALLs permanecem indecidíveis.
Um deles é o problema da vacuidade: VALL = {<M> | M é um ALL onde L(M) =∅}.
Para provar que VALL é indecidível, damos uma redução que usa o método da história de computação.
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REDUTIBILIDADEREDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO
TEOREMA: VALL é indecidível. IDÉIA DA PROVA: Essa prova é por redução a partir
de AMT. Mostraremos que se VALL fosse decidível, AMT também seria.
Suponha que VALL seja decidível. Para uma MT M e uma entrada w podemos determinar
se M aceita w construindo um certo ALL B e então testar se L(B) é vazia.
A linguagem que B reconhece compreende todas as histórias de computação de aceitação para M sobre w.
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REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃOVALL é indecidível.
Se M não aceita w, essa linguagem é vazia. Se pudermos determinar se a linguagem de B é vazia, podemos determinar se M aceita w.
Agora descrevemos como construir B a partir de M e w. Note que precisamos mostrar mais que a mera
existência de B. Temos que mostrar como uma MT pode obter uma
descrição de B, dadas descrições de M e w. Construímos B para aceitar sua entrada x se x é uma
história de computação de aceitação para M sobre w. Uma HC de aceitação é a sequência de configurações,
C1, C2,...,Ci pela qual M passa quando aceita w.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
Esta HC pode ser vista como uma só cadeia:
Funcionamento: quando ALL B recebe uma entrada x, espera-se que B aceite se x for uma computação de aceitação para M sobre w.
Primeiro, B quebra x, conforme os delimitadores, em cadeias C1, C2,...,Ci.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
Então B determina se Ci satisfaz às 3 condições de uma HC de aceitação:
1. C1 é a configuração inicial para M sobre w. 2. Cada Ci+1 legitimamente segue de Ci. 3. Ci é uma configuração de aceitação para M. A configuração inicial C1 para M sobre w é a cadeia
q0w1w2... wn. B tem essa cadeia diretamente embutida, de modo
que ela é capaz de verificar a primeira condição. Uma configuração de aceitação é aquela que contem
o estado de aceitação qaceita, portanto B pode verificar a 3ª condição procurando por qaceita em Ci.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
A 2ª condição é a mais difícil de verificar. Para cada par de configurações adjacentes, B verifica
se Ci+1 segue de Ci. Esse passo envolve verificar que Ci e Ci+1 são idênticas exceto pelas posições sob e adjacentes à cabeça em Ci. Essas posições têm que ser atualizadas conforme a função de transição de M.
Então B verifica se a atualização foi feita apropriadamente zigue-zagueando entre posições correspondentes de Ci e Ci+1. Para manter o registro das posições correntes durante o zigue-zague, B marca a posição corrente com pontos sobre a fita.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
Finalmente, se as condições 1, 2 e 3 são satisfeitas, B aceita sua entrada.
Note que o ALL B não é construído para rodar sobre alguma entrada. Construimos B apenas para alimentar uma descrição de B no decisor para VALL .
Uma vez que esse decisor retorne sua resposta podemos invertê-la para obter a resposta a se M aceita w.
Portanto, poderíamos decidir AMT, uma contradição!
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REDUTIBILIDADEB é um ALL que aceita a HC de aceitação de w por M
qA
qR
x C1C2...ClQ. x
B
C1 = q0w1...wn
SimCl
contem qaceita
SimCi+1
segue de Ci
Sim
Não
Não
Não
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
PROVA: Agora estamos prontos para enunciar a redução de AMT para VALL .
Suponha que MT R decide VALL . Construa MT S que decide AMT da seguinte forma.
S = “Sobre a entrada <M,w>, com M MT e w cadeia: 1. Construa o ALL B a partir de M e w conforme
descrito na ideia da prova. 2. Rode R sobre a entrada <B>. 3. Se R rejeita, aceite; se R aceita, rejeite.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
Se R aceita <B>, então L(B) =∅. Portanto, M não tem nenhuma HC de aceitação sobre
w e M não aceita w. Consequentemente, S rejeita <M,w>.
Similarmente, se R rejeita <B>, a linguagem de B é não-vazia. A única cadeia que B pode aceitar é uma HC de aceitação para M sobre w.
Portanto, M deve aceitar w. Consequentemente, S aceita <M,w>.
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.
qrejeita
qaceita
Aceita
Rejeita
Rejeita
Aceita
M,w BM,w Construção do ALL B R
S
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REDUTIBILIDADETEOREMA 5.10: VALL é indecidível.