informe 3

Campos Magnticos (EM3)

1 Introduccin.Si se aplica un campo magntico uniforme a un conductor por el que fluye una

determina corriente, se tiene que sobre dichos electrones acta una fuerza Fm de acuer-do con la expresin:

donde vd es la velocidad de deriva de las cargas y B el campo magntico, denominadaparte magntica de la Fuerza de Lorentz.

Como resultado de la accin de dicha fuerza, los electrones en cuestin experi-mentan un desplazamiento perpendicular a la direccin de la corriente y al campo mag-ntico que, a medida que tiene lugar, polariza progresivamente el conductor. Fruto deello, las cargas inducen un campo elctrico E que origina la siguiente fuerza elctrica:

la cual acta en la misma direccin que la fuerza de Lorentz, pero en el sentido opuesto.

Este proceso recibe el nombre de efecto hall.

La principal consecuencia de este efecto es que, al cabo de un tiempo t, la fuerzaelctrica se iguala a la fuerza magntica, lo que origina a que la fuerza neta sobre elconjunto de los portadores de carga mviles sea nula. Esto es:

Fneta=Fe+Fm=q(vdBsen+E)=0 ,

donde es el ngulo que forman vd y B.

Figura 1: Efecto Hall sobre un conductor por el que fluye una corriente I.

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Fm=q vdB,

.

.

.

Fe=q E,

.

.

.

Campos Magnticos (EM3)1155555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Tal relacin es la que permite obtener a un instrumento denominado gaussmetrode efecto Hall la magnitud del campo magntico.

Por medio de este aparato, en este experimento se medirn los campos magnti-cos producidos por una bobina y por un imn en forma de prisma rectangular.

Para hallar la expresin del primer campo magntico se puede partir de la ley deBiot y Savart, segn la cual el campo magntico que genera un conductor que transpor-ta corriente tiene la forma:

B(r)=04C

Id lr^

r2 ,

donde dl es un elemento de conductor.

De esta manera, teniendo en cuenta que una bobina est formada por un nmeroN de espiras, y que un elemento de espira dl es siempre perpendicular al vector de po-sicin r sobre el que se calcula el campo, se deduce que la aportacin de cada elementode bobina al mdulo del campo magntico total es equivalente a:

dB(r)=04

IC

dlr^

r2=

04

I

(R2+x2)C

dl r^=0IR

2(R2+x2) ,

donde R es el radio de la espira, y x la distancia entre dl y la proyeccin de r.

Si r es un punto del eje que atraviesa cada espira perpendicularmente desde sucentro, a causa de la simetra axial de la espira, slo contribuye al campo magntico lacomponente paralela al eje. En consecuencia, la expresin anterior se transforma en:

dB(r)=0IR

2(R2+x2)cos ,

donde es el ngulo que forman el eje y el vector r.

Figura 2: Aportacin al campo de cada elemento infinitesimal de espira.

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Campos Magnticos (EM3)sdfsdfsdfdsf dsadddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

Operando, se llega a que:

dB(r)=0IR

2

2(R2+x2)3/2

Sumando el conjunto de aportaciones al campo magntico de cada espira, se con-cluye con que la siguiente es la expresin del campo magntico de la bobina:

B(r)=NL

0IR2

2 Lr+L

1

(x2+R2)2/3dx=N

L

0I

2 ( r+LR2+(r+L)2r

R2+r2) ,donde L es la longitud de la bobina, y r la posicin del punto sobre el que se calcula elcampo tomando como referencia uno de sus extremos.

Figura 3: Esquema de una bobina por el que fluye una corriente I.

En particular, en el interior de la bobina, cuando la longitud de la misma tiende ainfinito se verifica la ltima igualdad:

B(r)=n0I

2 (L+rh1 rh2 )=n0I

2(cos+cos)=n0I (1)

donde n es el nmero de espiras por unidad de longitud, h1 y h2 son las hipotenusasde los tringulos que forman L+r y R, y r y R respectivamente, y y son los ngu-los que forman h1 y r, y h2 y L+r.

Figura 4: ngulos y que forman h1 y h2 con el eje de la bobina.

23


En el caso del imn, no existen corrientes a travs de las cuales tengan lugartransportes de carga, sino que estas son generadas por el propio movimiento de electro-nes de los tomos. Estas corrientes, reciben el nombre de corrientes atmicas.

Como resultado de tales corrientes, cada uno de los tomos del imn genera uncampo magntico que, a grandes distancias, tiene lineas de campo muy parecidas a lasde un dipolo magntico. Por este motivo, se caracterizan por un momento dipolar mag-ntico m.

Figura 5: Lneas del campo magntico generado por un tomo.

En general, los momentos dipolares de los tomos del imn tienden a cancelarseentre s. En aquellas zonas donde la densidad de momentos no es nula es inducido uncampo magntico cuyos efectos se pueden advertir macroscpicamente.

A la cantidad vectorial M que indica dicha densidad se la denomina imanacin.Esto es:

M (r)=limV0

mV

=d mdV

Por medio de esta cantidad, se puede demostrar que la expresin del campo mag-ntico en un punto exterior al imn es la siguiente:

B(r)=04 [V mR2 u^dV+S mR2 u^dS] (2),

donde m recibe el nombre de corriente de imanacin, y tiene la forma:

m=' M..

y m corriente superficial de carga:

m=M n.. (3)

24


Figura 6: Cantidades involucradas en la expresin del campo magntico enun punto externo de un volumen V de un imn.

En este experimento el material empleado tiene una imanacin uniforme. Es de-cir:

M (r)= mV (4)

Por lo tanto, dado que tiene forma de prisma rectangular, la expresin del campomagntico anterior se transforma en:

B(r)=04 (3 ( m r)rr5 mr3 ) (5),

donde se ha determinado r como la distancia del centro del prisma al punto donde se calcula el campo.

Figura 7: ngulo que forman r y el eje polar.

En coordenadas polares, la componentes del campo magntico en la direccin der sera:

B(r)=04 (2 mr3 )cos (6),

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y en la direccin del eje polar:

B(r)=04 ( mr3 )sen (7)

De acuerdo con todos estos resultados tericos, tras tomar diferentes medidas conel gaussmetro del campo magntico de los materiales descritos, se analizar: (a) si sesatisface que el campo magntico de la bobina es proporcional a la intensidad de la co-rriente que fluye a travs de sus espiras, y que en el eje este vara en funcin a la dis-tancia, y (b) si es vlida la aproximacin dipolar del imn.

2 Materiales y Mtodos.Los materiales empleados en el experimento han sido: una bobina de 4 centme-

tros de largo y 400 espiras, un imn permanente de dimensiones 2.534 cm, y ungaussmetro.

En el caso de la bobina, primero, se han tomado medidas de su campo magnticocolocando la sonda del gaussmetro en su centro y aplicando diferentes intensidades decorriente. Para tomar las medidas en dicho punto, se ha dejado fija la sonda en un so-porte y se ha ido moviendo la bobina hasta determinar en qu lugar la medida tomadaera mxima.

Luego se han tomado medidas en el eje de la bobina, para una intensidad de co-rriente determinada, del campo magntico a diferentes distancias. Para tomar estas me-didas no se ha movido la sonda de su soporte, sino que se ha ido desplazando la bobinaa lo largo de una regla milimetrada. Se ha escogido como punto cero uno de los extre-mos de la bobina.

En el caso del imn, primero, se han tomado medidas del campo magntico en lasuperficie de todas sus caras, especficamente en el centro y colocando la sonda de ma-nera perpendicular. Para ganar una mayor precisin a la hora de determinar el centrode las caras del imn, se ha empleado una tabla de madera a la que se le ha ido dismi-nuyendo o aumentando la altura.

Luego se han tomado medidas, empleando la tabla anterior, del campo magnticoen funcin a la distancia en la misma direccin que el vector de imanacin tomandocomo punto de partida el centro del imn.

Por ltimo, con ayuda de un transportador, se han tomado medidas de las com-ponentes radial y polar del campo magntico en funcin del ngulo que formaban lasonda y el vector imanacin del imn.

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3 Resultados Experimentales.Las medidas tomadas en el caso de la bobina han sido las siguientes:

Tabla 1: Medidas del campo magntico en el centro de la bobina en funcinde la intensidad de la corriente aplicada.

Tabla 2: Medidas del campo magntico en el eje de la bobina en funcin dela distancia de la sonda a uno de sus extremos.

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Corriente (A)

0,00 0,000,05 4,930,10 9,680,15 14,52

0,20 19,270,25 24,500,30 29,200,35 34,300,40 38,300,45 43,100,50 48,10

Campo Magntico (G)

Error Experimental 0,01 0,01

0,0 13,90

3,0 16,006,0 19,109,0 21,20

12,0 23,0015,0 24,00

18,0 24,5021,0 24,70

24,0 24,4027,0 23,7030,0 22,50

33,0 20,8036,0 18,70

37,0 16,5039,0 14,70

40,0 13,90

Distancia (mm)

Campo Magntico (G)



La representacin de los datos de ambas tablas ha sido:

Grfica 1: Representacin de las medidas del campo magntico de la bobinaen funcin de la intensidad de la corriente aplicada.

Grfica 2: Representacin de las medidas del campo magntico de la bobinaen funcin de la distancia.

La regresin lineal de la grfica 1 indica que, experimentalmente, el campo mag-ntico en el centro del eje de la bobina guarda una relacin lineal con la intensidad dela corriente que la atraviesa de acuerdo con la expresin:

B = 0.1+96.1I

28

y = b + axValor Error

b 0.1468 0.1506a 96.0964 0.5093R 0.9997 NA


Si se compara esta ecuacin con la frmula (1), se deduce que, puesto que =en el centro:

a1=n0cos = (96.1 0.5)G/A=(96.1 0.5)10-4 T/A

Se puede calcular un valor terico de tal constante de proporcionalidad teniendoen cuenta que n = 110 y que para expresar el valor de 0 = (410-7)Tm/A enGm/A hay que multiplicar por 104. As:

B=n0Icos=40cosI ,

donde la pendiente a de esta recta es:

a=40cos

Si se supone que 0, un posible valor terico final de a es:

a2=40 G/A,

El error de esta ltima cantidad est determinado por n, ya que incluye la medi-da experimental de la longitud. Su magnitud es:

(n)= NL2(L)=125 m

1

De este modo:

(a2)=( 0104)(n)=0.5 G/A

Por lo tanto:

a2=(126 2)G/A=(126 2)10-4 T/A

Si se considera el radio R de la bobina, cuya magnitud es de (1.00 0.05)10m,otro valor terico que se puede obtener de a es:

a3=40r

R2+r2=35.77708764 G /A

El error de esta medida est determinado por los errores de R y de n:

(a3)=(0104 rR2+r2 (n))2

+(0104n rR(R2+r2)3 /2(R))2

Por consiguiente:

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a3=(112 1)G/A=(112 1)10-4 T/ALas primeras medidas que se obtuvieron del campo magntico del imn perma-

nente fueron:

Tabla 3: Medidas del campo magntico en las caras del imn, colocando lasonda perpendicularmente a cada una de ellas y en su centro.

De acuerdo con las frmulas (2) y (3), cuando la sonda del gaussmetro forma unngulo de 90 con respecto al vector de imanacin, no existe campo magntico en la su-perficie de la cara del imn en cuestin.

Por lo tanto, segn los datos de la tabla 3, puede estimarse que lo ms probablees que el vector imanacin vaya de la cara 1 a la cara 3.

Figura 8: Caras del imn.

Para hallar la magnitud del vector imanacin se puede suponer que el campomagntico en las proximidades de la cara 3 del imn es el mismo que el generado porun plano infinito con densidad superficial de momentos magnticos m. De esta forma,aplicando:

B=120m=

120M (8)

Se deduce que:

30

Cara

1 -14392 1813 13634 -2765 -1586 -174

NA

Campo Magntico (G)

Error Experimental 1


M1 = 216928.187434253 A/mEl error de esta medida est dado por:

M1=( 20 )(B)=159.154943092A /mEs decir:

M1 =(216.9 0.2)103 A/m

Las siguientes medidas que se han tomado han sido del campo magntico delimn a distintas distancias del centro de la cara 3.

Tabla 4: Medidas del campo magntico segn la distancia a la cara 3.

Tabla 5: Medidas del campo magntico segn la distancia a la cara 3.

Las medidas de las distancias se han hecho tomando como punto de partida elcentro del imn.

El error del campo magntico ha disminuido, al aumentar la precisin del gauss-

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22,5 65032,5 32442,5 17552,5 100

Distancia (mm)

Campo Magntico (G)

Error Experimental 0,5 1

62,5 62,60

72,5 42,3082,5 29,1092,5 20,70102,5 14,80112,5 11,80

122,5 9,07132,5 7,11142,5 5,74152,5 4,59162,5 3,72

Distancia (mm)

Campo Magntico (G)



metro.La siguiente grfica indica la representacin de las medidas:

Grfica 3: Representacin de las medidas del campo magntico del imn enla direccin del vector imanacin en funcin del inverso de la distancia alcubo de su centro.

Segn la frmula (4), a medida que aumenta la magnitud del inverso de la dis-tancia al cubo, ms se aproximan las lneas del campo magntico del imn a las genera-das por un dipolo. Para observar esto, se han eliminado los puntos de la tabla 4 de lagrfica 2.

Grfica 4: Representacin de las medidas del campo magntico del imn enla direccin del vector imanacin en funcin del inverso de la distancia alcubo de su centro (segn los datos de la tabla 5).

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y = b + axValor Error

b 1.51587 0.514718a 0.014565 0.000214R 0.9978 NA


De nuevo, segn la frmula (4), cuando m y r son paralelos, se tiene que en la di-reccin del vector imanacin:

B(r)=0m

2r3

Por lo tanto, comparando la regresin linea de la grfica 2 con esta expresin, sededuce que:

0m

2=a=0.014565

De este modo:

m=0.014565 20

=7.2826A m2

El error de esta medida est dado por:

(m)=20

(a)=0.107Am2

Redondeando:

m =(7.3 0.1)Am

De acuerdo con la frmula (3), se puede obtener otro valor del vector imanacinaplicando:

M=mV( 1V (m))2+( mV2 (V))2 ,

El error del volumen se ha determinado como aplicando la frmula habitual depropagacin de errores:

(V)=(L)(L2L3)2+(L1L3)2+(L1L2)2 ,donde (L) es un error de 0.5 milmetros de una regla, L1 y L2 son respectivamentelos valores de la base y de la altura de una cara, y L3 es el valor de la longitud del pris-ma.

As:

M2 =(243 4)10Am

Las ltimas medidas que se han tomado han sido de la magnitud de las compo-

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nentes radial y transversal del campo magntico del imn segn el ngulo que formabanla sonda y el vector imanacin, a una distancia aproximada de 72.5mm de su centro.

Tabla 6: Medidas de las componentes del campo magntico del imn segnel ngulo, a una distancia fija de su centro.

Sumando el cuadrado de ambas componentes del campo magntico, y elevando elresultado a 1/2, se ha realizado la siguiente representacin polar:

Grfica 5: Representacin de las medidas del campo magntico del imn se-gn el ngulo, a una distancia fija de su centro.

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Campo Magntico (G)ngulo () Parte Radial Parte Polar

0,0 43,20 1,0015,0 41,30 -9,7030,0 37,40 -7,5045,0 30,30 -18,3060,0 31,20 -18,5075,0 12,20 -19,8090,0 -2,00 -20,50



4 Discusin de Resultados.La magnitud del coeficiente de correlacin de Pearson de la grfica 1, cercana a 1,

indica que efectivamente existe una relacin de proporcionalidad directa entre el campomagntico de una bobina y la intensidad de la corriente que fluye a travs de ella.

Ahora bien, los valores tericos a2 y a3 de la constante de proporcionalidad, aun-que son prximos al valor experimental a1, no abarcan su valor a travs del rango devalores que les proporcionan sus errores. Esto es, sus valores no se solapan con el valorexperimental.

La razn de ello puede radicar en el hecho de que los mtodos empleados para lo-calizar el centro de la bobina no han sido muy precisos. De esta manera, la frmula (1)no expresara fielmente la magnitud del campo sobre el punto sobre el que se han toma-do las medidas.

Teniendo esto en cuenta, tambin se puede observar que el valor terico a3 seacerca ms a la realidad que a2. Es decir, en una bobina de las dimensiones considera-das, no puede suponerse que su longitud es infinita en comparacin con su radio.

La grfica 2 corrobora que, a pesar de lo dicho, la frmula (1) indica adecuada-mente cmo se comporta el campo magntico de la bobina. De esta manera, tal y comopredice la ecuacin, se puede observar que el campo es simtrico, y que su magnitudaumenta progresivamente hasta alcanzar un punto cercano al centro, donde la medidatomada es mxima.

Las medidas del vector imanacin del imn, de nuevo, aunque son resultados pr-ximos, no se solapan entre s. Tambin esto puede deberse a la falta de precisin delmtodo empleado para tomar las medidas del campo magntico en cada una de las ca-ras del imn, as como a la poca exactitud de la aproximacin hecha con la frmula (8).Considerando las magnitudes reales de la cara del imn, quiz podra haberse obtenidoun mejor resultado.

Lo ms probable, a la vista de los resultados de la regresin lineal de la grfica 4,es que el valor M2 sea el ms adecuado.

Si se compara dicha grfica con la 3, puede ratificarse que a cierta distancia elimn se comporta como un dipolo magntico. Esto indica, por una parte, que es acerta-do caracterizar su campo magntico de acuerdo con el concepto de vector imanacin y,por otra, que las aproximaciones hechas para obtener la frmula (5) son lo suficiente-mente precisas como para adecuarse a la realidad.

La grfica 5 expresa que la magnitud del campo es mxima en la direccin delvector imanacin, y va disminuyendo conforme aumenta el ngulo que forman la sonday el vector imanacin. En particular, la magnitud del campo en los 90 es aproximada-mente la mitad que en los 0.

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Estas observaciones son compatibles con las frmulas (2) y (3), en las que se pue-de apreciar que en la direccin radial la componente del campo es dos veces ms gran-des que en la direccin tangencial.

5 Conclusiones.Aunque los mtodos empleados no han sido lo suficientemente precisos como para

obtener datos cuantitativamente significativos, estos han sido vlidos para corroborarlas predicciones tericas de la introduccin. De esta forma, las frmulas obtenidas delcampo magntico de la bobina y del imn han descrito adecuadamente su comporta-meinto.

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informe 3

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