informe 6

Oscilaciones Forzadasy Amortiguadas (M2)

1 Introduccin.Empricamente se puede observar cmo la amplitud de un movimiento oscilatorio

disminuye progresivamente a causa de la accin de fuerzas de rozamiento. Este fenme-no se define como amortiguamiento.

La ecuacin de este tipo de movimiento se puede deducir a partir de la ecuacingeneral del movimiento de un oscilador armnico, cuya expresin, si el movimiento tienelugar en el eje horizontal, es la siguiente:

m+kx=0 ,

donde es la derivada segunda del vector de posicin del oscilador con respecto altiempo, tomando como referencia su punto de equilibro, y -kx es la fuerza recuperado-ra que induce el movimiento armnico.

De este modo, suponiendo que la fuerza amortiguadora tiene la forma:

Fa=bv..

se tiene que:

m+kx+bx=0

Si se divide por m y se introducen nuevas variables:

+kmx+ b

mx=+0

2x+2x=0 ,

donde 0 se denomina frecuencia de vibracin libre, y factor de amortiguamiento.

Esta ecuacin diferencial admite tres soluciones posibles segn los valores que pre-senten 0 y , las cuales describen tres tipos cualitativamente distintos de movimientoamortiguado.

Dichos movimientos estn representados en la figura 1.

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Oscilaciones Forzadas y Amortiguadas (M2)1155555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

d

Figura 1: Tipos de movimiento amortiguado.

El movimiento amortiguado o subamortiguado tiene la forma:

x(t)=Aetcos(1t) (1),

donde A y son constantes que dependen de las condiciones iniciales del oscilador. Seda cuando 0< .

En este caso, la amplitud del movimiento decrece en el tiempo exponencialmentesegn la frmula:

A=A0et (2)

El movimiento amortiguado crtico tiene la forma:

x(t)=(A+Bt)et (3).

donde de nuevo aparecen constantes que dependen de las condiciones iniciales del osci-lador: A y B. Se da cuando 0= .

La ecuacin del movimiento sobreamortiguado es:

x(t)=(Aew2t+Bew2t)et (4),

donde 2= -0. Tiene lugar cuando 0> .

Como se puede observar, ni en este caso ni en el anterior tienen lugar las oscila-ciones, sino que la amplitud inicial del movimiento se acerca gradualmente a cero.

Si al movimiento oscilatorio se le aplica una fuerza externa, constante en el tiem-po, que tenga por expresin:

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Oscilaciones Forzadas y Amortiguadas (EM2)sdfsdfsdfdsf dsadddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

F=F0cos(t) (5),

el movimiento que se obtiene se denomina movimiento oscilatorio forzado amortiguado.

La ecuacin general de esta clase de movimiento es:

+02x+2x=fcos(t) ,

donde f es F0/m.

La solucin de esta ecuacin consiste en la suma de un trmino que describe unestado transitorio del movimiento, que depende de las condiciones iniciales y desaparecea lo largo del tiempo, y de un trmino que describe su estado estacionario. Este ltimono depende de las condiciones iniciales, y permanece cuando desaparece el estado tran-sitorio.

La solucin estacionaria es de la forma:

x(t)=Dcos(t) (6),

donde amplitud del movimiento y su desfase.

En particular, D satisface que:

D()= f

(022)2+422(7)

y :

()=arctan 2022 (8)

Se denomina frecuencia de resonancia R a aquella en la que la amplitud es mxi-ma. Esto es:

R=0222 (9)Segn esta frmula, conforme los valores de la constante de amortiguamiento dis-

minuyen con respecto a los de la frecuencia 0, disminuye tambin la amplitud mximadel movimiento.

Para valores pequeos del amortiguamiento, se verifica que , que se definecomo el intervalo de que separa aquellos puntos en los que la magnitud de la ampli-tud es 1/2 de su mximo, es aproximadamente igual que 2. Por consiguiente, en di-chos casos tal magnitud puede resultar til para estimar el valor de la anchura de lacurva de resonancia.

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De acuerdo con este marco terico, en este experimento tratar de analizarse elcomportamiento de un movimiento oscilatorio amortiguado con y sin fuerza externa conayuda de un pndulo de Pohl.

Figura 2: Curvas de resonancia para distintos valores de la constante de

amortiguamiento. El mayor valor de dicha constante es el de la curva verde,y el menor el de la curva roja.

2 Materiales y Mtodos.Los materiales empleados en este experimento han sido: un pndulo de torsin de

Pohl de cobre, un motor elctrico, una fuente de alimentacin, dos multmetros y uncronmetro.

El pndulo de torsin de Pohl estaba constituido por un pndulo de torsin, unvolante de cobre unido a un resorte, una escala graduada en forma de espira concntricaal volante y un electroimn. Por medio del pndulo se pudo simular un movimiento os-cilatorio. Mediante el electroimn, tras ser conectado a la fuente de tensin, se pudo in-ducir un campo magntico que dio origen a un conjunto de corrientes de Foucault en elvolante. Gracias a esto, dado que el pndulo se coloc estando en contacto con el volan-te, se pudo originar un conjunto de fuerzas que diera origen al amortiguamiento de sumovimiento oscilatorio.

A travs del motor elctrico, una vez conectado a la fuente de tensin y al resortedel pndulo de Pohl mediante una palanca, se pudo aplicar al pndulo una fuerza defrecuencia variable como la descrita en la frmula (5).

De acuerdo con este aparato, el movimiento oscilatorio descrito en la introduccinse caracteriza por la frmula:

+c+r=M(t) ,

donde I es el momento de inercia del pndulo, r el coeficiente de amortiguamiento, c

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la constante de torsin del muelle y M(t) el momento externo aplicado.

Figura 3: 1) Fuente de alimentacin de a) el electroimn y b) el motor; 2)sistema de torsin con c) un volante de cobre, d) una espiral de acero, e) unfreno magntico y f) una escala graduada; 3) motor elctrico; 4) multme-tros.

El factor de amortiguamiento es:

= r2I ,

la frecuencia propia:

0=cI ,y la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas:

1=022 (10)

Las primeras medidas que se tomaron, sin encender el motor ni la fuente de ali-mentacin al freno magntico fueron: a) del tiempo que tard en completar el pndulo10 oscilaciones, colocando el pndulo en torno a los 6 centmetros marcados por la esca-la graduada, y b) de los distintos tiempos cada 10 oscilaciones que el pndulo tard enregresar a su posicin de equilibrio, colocando el pndulo como punto de partida en suposicin lmite

Las siguientes medidas que se tomaron fueron de los tiempos, en intervalos de os-cilaciones regulares, que el pndulo tard en regresar a su posicin de equilibrio, apli-cando una diferencia de tensin de 3V y 5V al freno magntico.

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Las ltimas medidas que se tomaron sin encender el motor fueron de la tensinnecesaria para en el que el amortiguamiento fuera crtico, y del tiempo que, aplicandodicha tensin, el pndulo tard en volver a su posicin de equilibrio.

Puesto que el motor estaba previamente calibrado, tras conectarlo, se tomaronmedidas de la amplitud del movimiento oscilatorio forzado del pndulo para distintastensiones, fijando la fuente de alimentacin del electroimn en 3V y 5V.

3 Resultados Experimentales.Las primeras medidas que se obtuvieron fueron:

Tabla 1: Medidas del tiempo en completar 10 oscilaciones del pndulo sinaplicar tensin al electroimn.

La media de estos valores es: 17.6575 s.

El error de esta media, dado que su magnitud es mayor que la del error experi-mental, viene dada por el error cuadrtico:

(t)=tn1i=14

(titm)2

n(n1)...

donde n es el nmero de medidas, y el valor de la t de student que se ha escogido es elcorrespondiente al de 3 grados de libertad y un intervalo de confianza del 95%, 3.182.

De esta manera, redondeando: (17.66 0.08) segundos.

De acuerdo con este valor, dado que las medidas se han tomado cada 10 oscilacio-nes, la magnitud del perodo del pndulo es la siguiente:

T1=tm10

(tm )10

=(17.660.08)101s

Y su frecuencia angular:

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Tiempo (s)17,6017,7217,6317,68

Error Experimental 0,01


1=2T2

T2 (T)=(3.560.02)s

1

Las siguientes medidas han sido: Tabla 2: Medidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado

del pndulo cada diez oscilaciones, sin aplicar al electroimn tensin alguna.

En base a estos datos puede realizarse la siguiente grfica:

Grfica 1: Representacin del logaritmo neperiano de la amplitud del movi-miento del pndulo en funcin del tiempo cada 10 oscilaciones, sin aplicarninguna tensin al electroimn.

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Tiempo (s)

19,80 0,0017,10 17,6515,30 35,5014,00 53,31

12,80 70,8311,40 88,6910,40 106,159,20 124,008,40 141,757,40 159,37

6,40 177,125,60 194,625,00 212,19

Amplitud (cm)

Error Experimental 0,05 0,01

y = b + axValor Error

b 2.981485 0.014150a -0.00630 0.000113R 0.9965 NA


Si se compara la recta del ajuste lineal de la grfica anterior con la frmula (2), setiene que:

ln(A)=ln(A0)t=2.98+0.0063t

En otras palabras, el valor de la constante de amortiguamiento del movimientooscilatorio del pndulo es, cuando no se aplica ninguna tensin al electroimn, el mismoque el de la pendiente, cambiada de signo, de dicho ajuste. Por lo tanto:

1=(6.30.1)103s1

Aplicando la frmula:

1=1T1

se puede obtener el logaritmo neperiano del cociente entre dos amplitudes sucesivas, de-nominado decremento logartmico del movimiento. El error de dicha medida vendradado por:

(1)=(T1(1))2+(1(T1))2

As:

1=(11.10.2)103s1

El cociente entre 0 y 1 se puede obtener a partir de la frmula (10). De estamanera, operando se llega a que:

0=12+2 ,

con lo que:

01

=12+212 =1+212El error de esta expresin est dado por:

(01 )=( 1121+1212 (1))2

+( 12

2131+1

2

12

(1))2

De este modo, (0/1)1 = (110 1)10 .

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La siguiente tabla de datos se ha obtenido aplicando 3V al electroimn.

Tabla 3: Medidas de la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado

del pndulo de cada oscilacin, aplicando al electroimn 3V.

La representacin del logaritmo neperiano de cada medida de la amplitud con res-pecto al tiempo es:

Grfica 2: Representacin del logaritmo neperiano de la amplitud del movi-miento del pndulo en funcin del tiempo de cada oscilacin, aplicando 3Val electroimn.

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, se ha obtenido el si-guiente resultado del factor de amortiguamiento:

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Tiempo (s)

19,80 0,0015,00 1,56

12,00 3,449,20 5,197,60 6,945,80 8,65

4,60 10,443,80 12,132,80 14,002,20 15,75

1,80 17,501,40 19,371,20 21,10

Amplitud (cm)



b 2.936614 0.017584a -0.13380 0.001421R 0.9988 NA


2=(13.40.1)102s1 ,

y del decremento logartmico:

2=(23.70.2)102s1

De la misma forma: (0/1)2 = (1000177 3)10 .

La siguiente tabla y el siguiente grfico son:


del pndulo de cada oscilacin, aplicando al electroimn 5V.

Grfica 3: Representacin del logaritmo neperiano de la amplitud del movi-miento del pndulo en funcin del tiempo de cada oscilacin, aplicando 5Val electroimn.

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Tiempo (s)

19,80 0,0010,20 1,655,80 3,44

3,20 5,251,80 7,061,00 8,620,60 10,56

0,40 12,120,20 13,83

Amplitud (cm)



b 2.892481 0.044085a -0.32388 0.005323R 0.9981 NA


En este caso, el factor de amortiguamiento 3 es (32.4 0.5)10 s . Por lo tanto, el decremento logartmico 3 tiene el valor: (57 1)10 s . Adems: (0/1)3 = (100104 3)10 .

La representacin de los tres factores de amortiguamento en funcin de la tensin,son:

Grfica 4: Representacin de las constantes de amortiguamiento del movi-miento oscilatorio del pndulo en funcin de la tensin aplicada al electroi-mn.

La tensin a partir de la cual el movimiento dej de ser oscilatorio fue de (16.95 0.01) V. Aplicando dicha tensin, se tomaron las siguientes medidas de cunto tarda-ba el pndulo en llegar a su posicin de equilibrio partiendo de la posicin correspon-diente a 19.4cm.


del pndulo de cada oscilacin, aplicando al electroimn 16.95V.

La medida de estas medidas es: 1.286 s.

El error que se tom de esta medida fue el cuadrtico, ya que su magnitud era

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b -0.01026 0.04827a 0.06188 0.01434R NA0. 949

Tiempo (s)1,121,311,441,371,19



mayor que el del error experimental. La t de student elegida fue la correspondiente a 4grados de libertad y a un intervalo de confianza del 95%, 2.776.

As, tm1 = (1.3 0.2)s.

Elevando la tensin a 19.48V se obtuvieron los siguientes resultados:


del pndulo de cada oscilacin, aplicando al electroimn 19.48V.

La media y el error de estas medidas es: tm2 = (2.5 0.2)s

En este caso, el error escogido tambin fue el cuadrtico. La t de student escogidafue la correspondiente a 3 grados de libertad y un intervalo de confianza del 95%, 3.182.

La siguiente grfica muestra el calibrado del motor:

Grfica 5: Calibrado del motor.

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Tiempo (s)2,622,562,312,42



De acuerdo con este calibrado, se tomaron las siguientes medidas de la amplituddel movimiento oscilatorio forzado del pndulo, tras aplicar al motor distintas tensiones,y al electroimn voltajes de 3 y 5V. Cada una de las medidas se tom despus de unossegundos, despus de desapareciera el movimiento transitorio del pndulo y slo queda-ra el estacionario.


forzado del pndulo de cada oscilacin, aplicando al electroimn 3 y 5V, ydistintas tensiones al motor.

En ambos casos de tensiones aplicadas al electroimn (3 y 5V), la amplitud mxi-ma de las oscilaciones amortiguadas forzadas tuvo lugar al aplicar 7.49 voltios al motorelctrico. El cociente entre ambas amplitudes mximas es de 2.80.3, donde el error seha calculado mediante la frmula.

(Amax1/Amax2)=(A)A12+1/A22

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Amplitud (cm)Tensin (V)

2,00 0,40 0,402,50 0,50 0,403,00 0,60 0,50

3,49 0,60 0,504,00 0,70 0,60

4,49 0,70 0,705,00 0,80 0,80

5,49 1,00 0,906,00 1,20 1,00

6,50 1,70 1,407,10 3,90 2,007,20 4,80 2,20

7,30 5,90 2,207,40 6,60 2,30

7,49 6,70 2,407,60 5,70 2,20

7,70 4,50 2,107,80 3,60 2,00

7,90 3,00 1,808,00 2,70 1,608,49 1,50 1,10

8,98 1,00 0,809,50 0,70 0,60

Para la tensin de 3V

Para la tensin de 5V



Lo anterior se puede apreciar en la grfica 8, que es la suma de las siguientes gr-ficas:

Grfica 6: Representacin de las medidas de la amplitud del movimiento os-cilatorio forzado del pndulo segn la tensin aplicada al motor, estando elelectroimn conectado a 3V.

Grfica 7: Representacin de las medidas de la amplitud del movimiento os-cilatorio forzado del pndulo segn la tensin aplicada al motor, estando el

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Grfica 8: Superposicin de las grficas 6 y 7.

Segn la ecuacin del ajuste lineal del calibrado, se tiene que la frecuencia de re-sonancia tiene el valor:

fR=0.0082523+0.07741Tmax=0.57hz

Por consiguiente:

R1=2fR=3.58s1

Se puede calcular un valor terico de la frecuencia de resonancia aplicando la fr-mula (9), y teniendo en cuenta el valor de 1 y los resultados de la constante de amor-tiguacin obtenidas en el caso del movimiento oscilatorio amortiguado no forzado paralas tensiones aplicadas al electroimn de 3 y 5V.

As, para el caso de los 3V:

R2=12222=3.554952602s1

El error de esta medida es:

(R2)=( 112222 (1))2+( 2212222(2))=0.0201678909s1Redondeando:

R2=(3.550.02)s1

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De la misma manera:

R3=12232( 112232 (1))2+( 2312232 (3))Por tanto:

R3=(3.530.02)s1

Teniendo en cuenta la frmula (7) se puede obtener tambin un valor terico delcociente entre las amplitudes mximas del movimiento oscilatorio amortiguado forzadodel pndulo para las tensiones de 3 y 5V.

De esta manera:

D(R3)D(R2)

= (02R32 )2+4R32 32(02R22 )2+4R22 22=R33R22=2.404288417El error de esta medida se puede calcular mediante la expresin:

(D(R3)D(R2))=( 3R22 (R3))2+( R3R22 (3))2+(R33R22 2 (R2))2+(R33R222 (2))2Por tanto:

D(R3)D(R2)

=2.40.2

4 Discusin de resultados.Las tres primeras grficas se ajustan al modelo de movimiento oscilatorio amorti-

guado o subamortiguado, descrito en el marco terico, con un coeficiente de correlacinde Pearson muy cercano 1. En el caso de la primera grfica, esto quiere decir que, a pe-sar de que no se haya aplicado ninguna tensin al freno magntico, las fuerzas de roza-miento que actuaron sobre el pndulo no son nulas. Por esto, aunque de pequea mag-nitud, se obtuvo una constante de amortiguamiento mayor que cero.

Tal y como se predijo, se puede observar que a medida que se incrementa la mag-nitud de las fuerzas de rozamiento por medio de la tensin aplicada al freno magntico,aumenta linealmente la constante de amortiguacin de los distintos movimientos. Estose puede verificar en la grfica 5, aunque no con un buen grado de precisin seguramen-te debido al propio mtodo experimental (puede haber afectado a las medidas el sobre-calentamiento del freno magntico a medida que se iba aumentando la tensin, por

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ejemplo).

Las sucesivas relaciones (0/1)i, que indican las contribuciones del factor deamortiguamiento a la magnitud de 0, tambin corroboran dicho aumento. Este, sinembargo, es lento a causa de las pequeas magnitudes de las constantes.

Los datos de la tabla 5 se ajustan a los de un movimiento amortiguado crtico,mientras que los datos de la tabla 6 se ajustan a los de un movimiento sobreamortigua-do. As, en particular, se puede observar que no existe oscilacin en ambos tipos de mo-vimiento, y que llega antes a su posicin de equilibrio un movimiento oscilatorio amorti-guado crtico.

En este sentido, no ha habido ninguna contradiccin entre el modelo terico delos distintos tipos de movimiento oscilatorio amortiguado y la realidad.

En cuanto al movimiento oscilatorio amortiguado forzado, las grficas 6 y 7 obte-nidas se asemejan a las representadas en la figura 2, lo que indica que son acertadas lasdeducciones del marco terico al menos en el plano cualitativo.

En el plano cuantitativo, de acuerdo con las medidas experimentales y tericasobtenidas de las frecuencias de resonancia y del cociente entre las amplitudes mximasde los movimientos al aplicar 3 y 5V al electroimn, tambin son acertadas las deduc-ciones.

De esta forma, se solapan todos los resultados obtenidos de las frecuencias de re-sonancia, y son prximas las medidas obtenidas del cociente de las amplitudes mxi-mas. Estas ltimas no se solapan, probablemente, debido a algn error sistemtico queno ha sido tenido en cuenta.

5 Conclusiones.El modelo terico de movimiento oscilatorio amortiguado forzado y no forzado se

ajusta adecuadamente a los resultados experimentales obtenidos.

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informe 6

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