Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ

Ing. Beáta Ľubová

Matematické modelovanie v rukách žiaka

Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe

Banská Bystrica

2013

Vydavateľ: Metodicko-pedagogické centrum, Ševčenkova 11, 850 01 Bratislava

Autor OPS/OSO:

Ing. Beáta Ľubová

Kontakt na autora:

Spojená škola, Hattalova 471, 027 43 Nižná lubova11@zoznam.sk

Názov OPS/OSO: Matematické modelovanie v rukách žiaka

Rok vytvorenia OPS/OSO:

2013

Odborné stanovisko vypracoval:

RNDr. Viera Kompanová

Za obsah a pôvodnosť rukopisu zodpovedá autor. Text neprešiel jazykovou úpravou.

Táto osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe/osvedčená skúsenosť odbornej praxe bola vytvorená z prostriedkov národného projektu Profesijný a kariérový rast pedagogických zamestnancov. Projekt je financovaný zo zdrojov Európskej únie.

Kľúčové slová matematické modelovanie, separované modely, regresné modely, integrovaná tematická výučba, medzi - predmetové vzťahy, reflektívne učenie, reflektívny učebný štýl, počítačom podporované laboratórium, lineárna optimalizácia, sebahodnotenie žiaka

Anotácia

Práca prináša skúsenosti z využívania metódy matematického modelovania pri uplatňovaní refletívneho vyučovacieho procesu – učenia sa prostredníctvom skúseností so zdvojenou spätnou väzbou. V jednotlivých ukážkach popisujem aktivity žiakov pri overovaní prírodných zákonitostí a pri tvorbe hypotéz a hodnotiaceho posúdenia. Tretia kapitola je venovaná popisu prepojenia matematického modelovania počas vyučovacieho procesu s ďalšiou záujmovou činnosťou žiaka. Za významný prvok práce považujem opis prepojenia učenia s reálnymi situáciami a s reálnymi dejmi prebiehajúcimi v prírode.

OBSAH

ÚVOD ............................................................................................................................................. .... 5

1 MATEMATICKÉ MODELOVANIE........................................................................................ 7

1.1 Matematické modelovanie v rukách žiaka................................................................. 8

1.2 Využitie senzorov pri matematickom modelovaní............................................... 11

1.3 Lineárna optimalizácia ...................................................................................................... 11

2 NÁMETY NA MATEMATICKÉ MODELOVANIE S POUŽITÍM SENZOROV.......... 16

3 EXPERIMENTÁLNE PRÁCE ŽIAKOV................................................................................. 30

4 NÁMETY NA MATEMATICKÉ MODELOVANIE............................................................ 35

ZÁVER ............................................................................................................................................... 38

ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ZDROJOV .......................................................................... 39

Príloha 1 .......................................................................................................................................... 40

ÚVOD

Matematické modelovanie je efektívnym spôsobom rozvoja matematického myslenia. Mojou osobnou skúsenosťou je, že žiaci majú problém s tvorbou samotného modelu- tzv. separovaného modelu popisujúceho realitu. Aplikácia matematiky a tvorba abstraktného modelu rozvíja kreativitu žiaka a schopnosť analyzovať a automatizovať procesy. Najlepšie výsledky žiaci dosahovali pri modelovaní prostredníctvom vyučovania v dvoch cykloch s posilnením spätnej väzby, ktorého grafické znázornenie a popis prinášam v práci. Podľa štátneho vzdelávacieho programu ISCED 3 platného od 1. 9. 2013 je tvorba modelov priamo zadefinovaná v rámci obsahového štandardu. V práci popisujem využitie rôznych typov modelov: aritmetický, grafický, algebraicko - analytický, kombinovaný. Výber typu závisí od charakteru vstupných informácií a od problémovej situácie. Najjednoduchšie separované modely si môžeme vytvoriť len pomocou pera a papiera, napríklad zapísaním predpokladov a zostavením rovnice. Matematické modelovanie som vo svojej práci so žiakmi využívala ako výborný nástroj na riešenie problémových situácií a na rozvoj kritického myslenia. V práci som načrtla metodiku výučby v dvoch cykloch ( reflektívne učenie), ktoré odstraňuje nedostatky výučby v jednom cykle (metóda, ktorou sa sústredíme len na chybu a snažíme sa ju eliminovať). Pri výučbe v dvoch cykloch pracujeme s chybou a opakovane využívame spätnú väzbu. V prvej kapitole sa zaoberám definíciou pojmu matematické modelovanie a jeho začlenením medzi štyri základné IKT kompetencie:

využívať informácie a informačné zdroje organizovať údaje a skúmať vzťahy analyzovať a automatizovať procesy využívať modely a modelovanie

Vdruhej kapitole uvádzam niekoľko príkladov na modelovanie pomocou senzorov Fourier. Žiaci využívali malé prírodné laboratórium pomocou ktorého overovali platnosť svojich hypotéz. Mojim názorom a skúsenosťou je, že senzory sú vynikajúcou pomôckou, ktorá umožňuje skutočné rozvíjanie medzi predmetových vzťahov. V tejto časti som sa nesústredila na detailný postup práce, nakoľko návody na prácu s touto didaktickou pomôckou sú publikované na internete. Mojim cieľom bolo poukázať na najzaujímavejšie časti vyučovacej hodiny z pohľadu plnenia vzdelávacieho cieľa, ktorý sme si stanovili. V tretej kapitole sú uverejnené žiacke práce, v ktorých prostredníctvom nadobudnutých vedomosti a zručnosti s matematickým modelovaním žiaci skúmali prírodné javy. Prvú prácu, z ktorej uverejňujem úryvok – odoslal žiak do medzinárodnej súťaže Euromath 2013 a druhá práca predstavuje ekologický výskum pri ktorom žiaci opäť uplatnili proces tvorby separovaných a abstraktných modelov. Pri jednotlivých aktivitách som využívala tímovú prácu žiakov. Prebiehala efektívna diskusia v tímoch a podľa preferovaného učebného štýlu žiaci mali intuitívne rozdelené svoje úlohy. Tí, ktorým vyhovuje reflektívny učebný štýl – stali sa lídrami bádateľských skupín. Pragmatici sa venovali viac práci so samotnými prístrojmi – senzormi. Spoločne stanovili hypotézu, ktorú sa snažili dokázať ( napríklad platnosť Boylovho zákona) alebo ju vyvrátiť. Prípadne formulovať hodnotiace posúdenie.

6

Vo štrtej kapitole nájdeme námety na tvorbu modelov v rámci integrovanej tematickej výučby (napríklad matematika a odborné predmety zamerania energetika). Matematické modelovanie predstavuje vzdelávanie praktickými skúsenosťami. Podľa výskumov efektivity rôznych metodík vzdelávania, ktoré uvádza vo svojej štúdií Some Reflections on the Teaching of Mathematical Modeling( Jon Warwick, 2007) je najefektívnejšie aplikovať učenie matematiky praktickou skúsenosťou. Vytváranie separovaných modelov riešenia matematických problémov a na základe skúseností žiaka s danou tematikou vytvárať abstraktné model. Ako príklad môžem uviesť futbalový tréning, ktorý je najlepším spôsobom ako sa stať dobrým futbalistom, pričom tréning chápeme ako identifikáciu problémových situácií a ich rozbor po ukončení hry. Tento postup je aplikovateľný aj vo výučbe matematiky a to v troch krokoch – definovať problém, ktorý chceme riešiť, rozdelíme si danú úlohu na čiastové úlohy – riešiť čiastkové problémy a na základe už získaných skúseností aplikovať výsledné riešenie. Žiak však musí mať dostatočne vytvorenú „mentálnu knižnicu“ rôznych už riešených problémov. Práve touto prácou som sa snažila podať niekoľko motivačných aktivít, ktoré umôžňujú rozvíjať skúseností žiakov s modelovaním problémových úloh. V poslednej časti práce – v prílohe som uviedla sebahodnotiaci dotazník žiaka, ktorý som použila ako priebežný, po aplikácií aktivít zameraných na tvorbu matematických modelov.

7

1 MATEMATICKÉ MODELOVANIE

Matematické modelovanie a jeho začlenenie v rámci matematickej gramotnosti žiaka.

Rozlišujeme tri zložky matematickej gramotnosti žiaka: 1. zložka: Riešenie problémových situácií – aplikácia získaných vedomosti a zručnosti žiaka - uplatňovanie matematiky v rôznorodých situáciach a kontextoch (autentických a hypotetických) 2. zložka: Kompetencie potrebné pri riešení problémov:

Matematické úvahy – schopnosť klásť otázky charakteristické pre matematiku (Existuje? Ak áno, tak koľko?....), rozlišovať príčinu a dôsledok, chápať rozsah a ohraničenie matematických pojmov.

Matematická argumentácia – schopnosť rozlišovať predpoklady a závery, sledovať a hodnotiť reťazce matematických argumentov, schopnosť vytvárať a posudzovať matematické argumenty ( Čo sa môže alebo nemôže stať a prečo?)

Efektívna matematická komunikácia – rozumieť písomne a ústne zadaným matematickým úlohám a zrozumiteľne sa vyjadrovať k matematickým otázkam.

Matematické modelovanie – schopnosť porozumieť matematickým modelom reálnych situácií. Vytvárať tieto modely, používať ich a kriticky ich hodnotiť. Získané výsledky interpretovať a overovať ich platnosť v reálnom kontexte.

Zadefinovanie problémovej situácie a hľadanie riešenia. Hľadáme rôzne spôsoby získania výsledku.

Komunikácia v jazyku matematiky – zahŕňa rôzne formy reprezentácie matematických objektov, schopnosť interpretovať symbolický a formálny jazyk, pracovať s výrazmi obsahujúcimi symboly.

Aplikácia matematických nástrojov – schopnosť aplikovať rôzne matematické nástroje.

3. zložka: Matematický obsah - je tvorený pojmami a štruktúrou vzťahov potrebných k formulácii matematickej podstaty problémov. Tretiu zložku charakterizuje:

Kvantita – význam čísel, operácie s číslami, predstavy o veľkosti čísla, počítanie zpamäti, odhad, mierka.

Priestor a tvar- orientácia v priestore, rovinné a priestorové útvary – ich metrické a polohové vlastnosti, konštrukcia a zobrazovanie útvarov, geometrické zaobrazenia.

Vzťahy a miera zmeny – závislosť, premenná, základné typy funkcií, ekvivalencia...

Práca s údajmi – analýza údajov, prezentácia a znázorňovanie údajov, vyvodzovanie záverov. V mojej práci sa sústredím na zložku pod názvom kompetencie na riešenie problémov. Aj keď práve praktickou skúsenosťou môžem potvrdiť, že vhodnou voľbou inovatívnych metód vzdelávania rozvíjame všetky tri zložky gramotnosti žiaka.

8

1.1 Matematické modelovanie v rukách žiaka.

Podstatou matematického modelovania je dôsledná analýza skúmanej reality a na jej základe zostavený symbolický abstraktný model postavený na matematických a logických vzťahoch medzi jeho parametrami. Modelovaniu sa možno učiť len aktívnou praktickou činnosťou žiaka. Historické počiatky modelovania siahajú hlboko do histórie a sú spojené hlavne s tvorbou algebrických a geometrických modelov (Egyptské úlohy –acha, zamerané na určenie modelu – lineárnej rovnice na zistenie neznámeho množstva obilia a pod., diofantovské úlohy a veľké množstvo ďalších nájdeme na internete). Uplatnením matematického modelovania u žiaka rozvíjame tieto kľúčové kompetencie:

1. Schopnosť riešiť problémy- vytvárať hypotézy, navrhovať postupnosť riešenia

problému, zvažovať rôzne možnosti riešenia, u žiaka rozvíjame jeho schopnosť

overiť hypotézu reálnou činnosťou.

2. Kritické myslenie.

3. Tvorivosť, zmysel pre inovácie a podnikavosť.

Využívame integrovanú tematickú výučbu - napríklad prepojenie poznatkov z fyziky a z odborných špecializačných predmetov - začleňujeme ich do matematických súvislostí. Transformácia problémov do matematickej formy je založená na identifikácií premenných popisujúcich problém a vyjadrení vzťahov medzi nimi. Výsledky získané z matematického modelu musia byť interpretované späť do reálneho sveta, kde by mala byť posúdená miera ich vhodnosti a správnosti. Matematické modelovanie môže nadobúdať vo vyučovacom procese rôzne podoby:

Skúmanie hotového modelu zmenou vstupných údajov za účelom porozumenia

štruktúry modelu a vzťahov medzi jeho komponentmi

Modely založené na iterácii a rekurzii umožňujúce prostredníctvom

systematických zmien vstupných parametrov postupné približovanie získaných

výsledkov k riešeniu skúmaného problému.

Modelovanie spočívajúce v postupnom vylepšení , tak aby upravený model čo

najlepšie odpovedal skutočnosti.

Zaradenie modelovacích aktivít do vyučovania matematiky umožňuje

efektívnejšie a hlbšie porozumenie matematických poznatkov.

Problémy, ktoré sa môžu vyskytnúť pri uplatnení matematického modelovania: Problémy nevznikajú ani tak pri aplikácií matematiky, ale viac pri tvorbe modelu samotného. Keďže tieto problémy ovplyvňujú žiakov pri pochopení komplexných problémových situácií sú dôsledkom nedostatku času venovanému práve matematickému modelovaniu. Matematický model je abstraktným modelom, ktorý používa matematický zápis na opísanie správania sústavy – systému. Matematické modely aplikujeme najmä v prírodovedných predmetoch, ale aj v odborných predmetoch – elektrotechnika, využitie elektrickej energie, energetika a iné.

9

Postupnosť krokov matematického modelovania:

Identifikácia problému

Matematická formulácia problému

Zber dát

Matematické riešenie problému

Interpretácia riešenia

Porovnanie s realitou

Aplikácia riešenia

Výsledná správa – zhrnutie

V rámci tímovej práce žiakov súvisiacej s vytváraním modelov uplatňujeme reflektívne

učenie – učenie sa v dvoch cykloch. Pri dvojcyklickej výučbe druhý spätno - väzbový cyklus

predstavuje úplne novú dynamiku celého procesu učenia sa. Charakteristika reflektívneho

učebného štýlu žiaka- poznať tento učebný štýl nám pomôže vytvárať efektívne fungujúce

tímy, ktoré spoločne pracujú na výslednom modeli.

Konkrétny-reflektívny učebný štýl Tento štýl učenia sa nazýva tiež prežívanie. Kolb (1985) nazval žiakov, u ktorých dominuje tento štýl učenia, novátormi alebo tiež divergátormi. Preferujú prijímanie informácií v konkrétnej podobe a spracúvajú ich reflexívnym pozorovaním (premýšľaním, uvažovaním o nich); chcú sa osobne zúčastniť na riešení dôležitých otázok- ich myslenie býva divergentné a bývajú tvoriví; zaujímajú sa o ľudí a kultúru; učia sa najmä počúvaním a výmenou názorov; ich preferovanou formou konania je sociálna interakcia. Títo žiaci dokážu chŕliť nápady, vymýšľať rôzne varianty riešenia. Divergátori si zvyčajne volia štúdium humanitných a umeleckých študijných odborov a vykonávajú najmä umelecké povolania, povolania personálnych manažérov, poradcov, organizačných expertov (Turek, 2008). Ciele: Byť zapojený do dôležitých vecí. Vlastnosti: empatický, má rád osobnú zaangažovanosť, má dobrý vzťah k spolužiakom. Motivovaný je: zvedavosťou, záujmami. Hľadá: význam. Silné stránky: rozumie ľuďom, rozoznáva problémy, má rád brainstorming. Slabé stránky: vytvára pri riešení úloh veľmi veľa alternatívnych riešení, čím sám seba paralyzuje. Obľúbená otázka: prečo? prečo nie? Má rád: osobne angažovaného učiteľa. Najlepšie sa učí: diskutovaním, počúvaním, induktívnou metódou. Efektívny spôsob vyučovania: motivácia žiakov, aby nachádzali zmysel učebných postupov.

10

Abstraktný, reflektívny učebný štýl Tento štýl učenia sa nazýva tiež vnímanie. Kolb (1985) nazval žiakov, u ktorých dominuje tento štýl učenia, analytikmi alebo tiež asimilátormi. Títo žiaci preferujú prijímanie informácií v abstraktnej podobe a spracúvajú ich reflexívne; učia sa najmä premýšľaním; prisudzujú dôležitosť detailom; sú usilovní, dôkladní, viac ich zaujímajú myšlienky ako ľudia; vynikajú vo vytváraní koncepcií a modelov; vyhľadávajú osobné uspokojenie a intelektuálne poznanie; vyhovuje im tradičné vyučovanie; majú radi skúmanie myšlienok a teórií. Týmto žiakom vyhovuje dobre organizovaná, logicky usporiadaná prezentácia učiva a dostatok času na premýšľanie. Asimilátori si zvyčajne volia štúdium matematických a prírodovedných študijných odborov a vykonávajú najmä povolania spojené so základným výskumom a plánovaním (Turek, 2008). Ciele: nájsť satisfakciu, byť uznávaný za vysokú intelektuálnu úroveň. Vlastnosti: dáva prednosť teóriám pred faktami, myšlienkam pred ľuďmi, zhromažďuje informácie a kriticky ich hodnotí, chce byť považovaný za racionálny typ. Motivovaný je: majstrovstvom, dokonalosťou. Hľadá: názory expertov. Silné stránky: definuje problémy, plánuje, vytvára modely, teórie. Slabé stránky: zabúda na praktické aplikácie a je kritický. Obľúbená otázka: aké sú fakty? Má rád: učiteľa odborníka, experta. Najlepšie sa učí: rozmýšľaním. Efektívny spôsob vyučovania: prezentovaním informácií, teórie, analýzou učiva, informačno-receptívnou metódou a problémovým výkladom. Mojou skúsenosťou je, že žiaci, ktorí preferujú reflektívny učebný štýl sa stávajú aj lídrami pracovných skupín. Štruktúra reflektívnej výučby

Obrázok1: reflektívna výučba

Prameň: Ľubová, 2013 Vyučovanie matematiky by malo žiakom umožniť učiť sa matematiku na problémoch a úlohách objavujúcich sa v bežnom živote. V tejto súvislosti Kubínová (2000) uvádza tieto ciele pre vyučovanie matematiky:

Prekonať izoláciu jednotlivých matematických disciplín najmä geometrie a algebry

Prekonať izoláciu jednotlivých vyučovacích predmetov a vnímať matematiku ako účinný nástroj na popis zákonitostí a riešenie problémov z rôznych oblastí

Umožniť žiakovi nadobudnúť ucelené poznanie

11

1.2 Využitie senzorov pri matematickom modelovaní – prírodovedné laboratórium

Pomocou senzorov sa zo žiakov stávajú výskumníci a hľadajú súvislosti a príčiny prírodných javov. Empiricky získané údaje vyhodnocujú, hľadajú závislosť medzi veličinami a snažia sa potvrdiť alebo zamietnuť pôvodnú hypotézu. Na základe mojich skúseností, uvádzam tieto výhody využitia senzorov vo vyučovacom procese:

rozvoj schopností analyzovať, vyhodnocovať a syntetizovať informácie, podporovanie porozumenia pre efektívnu spoluprácu a komunikáciu počas

prírodovedných aktivít, rozvoj experimentálnych zručností, pestovanie povedomia morálnych, etických, sociálnych, ekonomických a

environmentálnych implikácií využívania prírodovedných poznatkov a techniky, rozvoj porozumenia možností a obmedzení prírodných vied a vedcov, podporovanie porozumenia vzťahov medzi prírodnými vedami navzájom

a širokými možnosťami použitia metód typických pre prírodné vedy

Žiaci sa pri práci so senzormi učia nielen zážitkovým spôsobom a skúšajú experimenty, ale napĺňajú aj obsahový štandard štátneho vzdelávacieho programu ISCED 3 – práca s návodmi (samozrejmosťou je vytváranie modelu, ktorý najviac zodpovedá prírodnému javu a jeho overovanie). Pracovali sme len so základnou sadou senzorov a grafickým kalakulátorom. Jednotlivé druhy senzorov, ktoré sme použili sú vypísané pri jednotlivých aktivitách. Určite by sme chceli vyskúšať aj ďalšie typy meračov a vyskúšať ďalšie aktivity.

1.3 Lineárna optimalizácia

Lineárne optimalizačné problémy predstavujú vhodnú oblasť na využitie matematického modelovania pri riešení problémov z reálneho života. Oblasť lineárnej optimalizácie patrí medzi najrozšírenejšie a najviac prepracované oblasti matematického programovania – hľadania optimálnych riešení úloh s obmedzujucimi podmienkami. Pri riešení optimalizačných úloh je potrebné matematicky vyjadriť vzťahy medzi objektmi ovplyvňujúcimi riešenie problému. Identifikácia premenných a vyjadrenie vzťahov medzi nimi tvoria základ matematického modelu. Cieľová funkcia charakterizuje závislosť skúmanej kvantitatívnej vlastnosti od vstupných údajov. Vytvorený matematický model je základom pre ďalšie skúmanie s využitím grafickej reprezentácie závislosti medzi údajmi. Postup pri zostavení modelu:

slovné zadanie, formulácia úlohy,

formalizácia zápisu,

zostavenie matematického modelu úlohy obsahujúceho dve základné časti:

1. účelovú funkciu a smer jej optimalizácie

2. sústavu obmedzujúcich podmienok v tvare nerovníc ( rovníc)

optimálne riešenie úlohy.

12

Príklad žiackého riešenia Zadanie úlohy: Podnik vyrába 2 typy výrobkov V1 a V2 v dvoch prevádzkach P1 a P2. Za jeden výrobok V1 realizuje zisk 10 jednotiek ( tisíc), za jeden výrobok V2 zisk 12 jednotiek. Kapacita prevádzky P1 stačí na výrobu 6 výrobkov za smenu alebo 12 výrobkov V2 za smenu. Kapacita prevádzky P2 je 12 výrobkov V2 na zmenu alebo 8 výrobkov V1 na zmenu. Najnáročnejšou časťou úlohy pre žiaka je podľa mojich skúseností – formalizácia zápisu do tabuľky, práca s údajmi a správne zaradenie k danej charakteristike číselný údaj. Náročné pre žiaka je tiež čítanie s porozumením - správne pochopiť čo je cieľom úlohy a vymedziť sústavu obmedzujúcich podmienok. Formálny zápis: Výrobok Prevádzka

V1

V2

kapacita

P1 6 12 1 P2 12 8 1 Zisk 10 12 max Zostavenie matematického modelu úlohy: 10 x₁ + 12x₂ → max Obmedzujúce podmienky:

+

≤ 1

+

≤ 1

Počet výrobkov nemôže byť záporné číslo: Na tuto obmedzujúcu podmienku žiaci v začiatkoch modelovania zabúdajú a pri následnom grafickom zobrazení úlohy nevedia určiť oblasť prípustných riešení, ďalším rozborom úlohy a prácou s chybou – doplnia obmedzujúce podmienky. ≥ 0 ≥ 0 Postupujeme v riešení grafickou metódou. Zakreslením štyroch priamok do roviny. Každá z týchto priamok rozdelí rovinu na dve polroviny z ktorých v jednej je podmienka nerovnice splnená a v druhej podmienka splnená nie je. U nerovníc, v ktorých hranice polrovín vytvárajú osi, je určenie príslušných polrovín jednoduché. Prienikom týchto štyroch polrovín vznikol štvoruholník, ktorý vrátane svojich strán vytvára v rovine oblasť prípustných riešení – oblasť v ktorej sú splnené súčasne podmienky všetkých nerovníc. Grafické riešenie prevádzajú žiaci v programe funkce, ktorý je voľne dostupný na internete.

13

Obrázok 2: Grafické riešenie

Prameň: Žiacká práca :Peter Ľuba, 2012

Obrázok 3: Riešenie pomocou wolfram alpha

Prameň: Žiacká práca, Ľuba 2012

Poznámka: Vychádzajúc zo štátneho vzdelávacieho programu v uverejenenom obsahovom štandarde je uvedené: Vzťahy, funkcie, tabuľky a diagramy:

- rôzne metódy reprezentácie vzťahov

- algebrizácia a modelovanie jednoduchých kvantitatívnych vzťahov – výrazy, vzorce

a nerovnice

- riešenie rovníc a nerovníc využitím vhodného softvéru

Práve zaradením takýchto úloh priblížime matematiku reálnym potrebám praxe a zároveň spĺňame obsahový štandard štátneho vzdelávacieho programu. Typy úloh – problémových situácií, ktoré žiaci riešia vytvorením matematického modelu sú napríklad:

optimálny plán montáže (študijný odbor mechanik elektrotechnik),

optimálne zloženie strojových zostav,

optimálne plány rozvozu tovaru,

optimálne umiestnenie výrobní,

optimálne priradenie,

najkratšia cesta v grafe,

optimálny plán projektov.

14

Ďalšie námety na riešenie problémovej úlohy procesom tvorby modelu pre žiakov študijného odboru mechanik elektrotechnik so zameraním na energetiku. Začíname úvodným rozhovorom - objasnenie pojmov ( evokácia): Polykryštalické články: základom je kremíková podložka. Články sa skladajú z väčšieho počtu menších polykryštálov. Účinnosť sa pohybuje v rozmedzí 10 - 14 %. Ich výroba je lacnejšia a rýchlejšia ako monokryštalických. Monokryštalické články:Základom je podobne ako u polykryštalických článkov kremíková

podložka. Kryštály sú väčšie než 10 cm a vyrábajú sa ťahaním roztaveného kremíku vo forme

tyčí s priemerom až 300 mm. Tie sa potom rozrežú na tenké plátky (podložky). Účinnosť týchto

panelov dosahuje 13 – 17%. Ich výroba je náročná na čas a sú aj drahšie. Avšak vďaka vysokej

účinnosti zaberajú potrebujú podstatne menšiu plochu a rovnaký výkonov a lepšie si poradia s

horšou orientáciou strechy.

Znenie úlohy / uvedomenie si významu, tvorba modelu: Podnik vyrába dva typy fotovoltických panelov – monokryštalické a polykryštalické v dvoch prevádzkach P1 a P2. Za jeden výrobok – monokryštalický panel realizuje zisk 1000 jednotiek a za jeden polykryštalický panel zisk 800 jednotiek. Kapacita prevádzky P1 stačí na výrobu 15 monokryštalických panelov za smenu a 20 polykryštalických panelov za smenu. Kapacita prevádzky P2 je alebo 10 monokryštalických panelov alebo 18 polykryštalických panelov za smenu. Úlohou je naplánovať výrobu tak, aby podnik dosiahol zisk. Formálny zápis do tabuľky: Výrobok/prevádzka V1 monokryštál V2 polykryštál kapacita P1 9 6 1 P2 12 8 1 zisk 1000 800 max Zostavenie matematického modelu: 1000x₁ + 800x₂ max x₁/ 9 + x₂/12 ≤1 x₁/6+ x₂/8 ≤ 1 x₁≥ 0 x₂≥ 0

Obrázok 4a: Grafické riešenie

Prameň : Žiacká práca (Peter Ľuba, 2012)

15

Obrázok 4b: Grafické riešenie – wolfram alpha Prameň: Ľuba, 2012

Prebieha ďalej diskusia o výsledkoch - prečo je výhodné zamerať sa na výrobu V2 výrobkov. Počet možných riešení pri úlohách na lineárnu optimalizáciu:

jedno optimálne riešenie pre oba smery optimalizácie,

riešenie iba pre jeden smer optimalizácie ak je oblasť prípustných riešení

neohraničená,

žiadne riešenie, ak obmedzujúce podmienky nevytvoria prienik – oblasť prípustných

riešení,

nekonečne veľa riešení, ak smernica účelovej funkcie je totožná so smernicou

niektorej z obmedzujúcich podmienok.

16

2 NÁMETY NA MATEMATICKÉ MODELOVANIE S POUŽITÍM SENZOROV

Námet č. 1 Tematický celok: Nepriama úmernosť (matematika), Boylov zákon (fyzika) - integrovaná tematická výučba. Popis aktivity/evokácia: Keď dodávame vzduch do pneumatiky alebo lopty, objem telesa sa zväčšuje. V tomto experimente budeme sledovať čo sa stane, ak budeme dodávať plyn do nádoby, ktorej objem sa nezmení. Budeme skúmať matematický vzťah medzi objemom nádoby a tlakom plynu v nádobe. Odvodzujeme platnosť Boylovho zákona. Pomôcky:

- 1 HP 39 gs grafický kalkulátor,

- 1HP Stream Smart 410,

- 1 Fourier tlakový senzor,

- injekčná striekačka s objemom minimálne 20ml,

- kábel.

Postup/ Pracujeme s návodmi: Pripojíme tlakový senzor pomocou kábla do Stream Smart a do grafického kalkulátora HP39gs. Natiahneme injekciu na hodnotu 20 ml a spojíme ju s tlakovým senzorom. Postupne tlačíme na piest a meníme objem vzduchu v striekačke, pričom pozorujeme zmeny tlaku v tlakovom senzore. Následne môžeme tieto zmeny sledovať v grafickom vyjadrení pomocou kalkulátora. Aktivizujúce otázky: Ako sa mení priebeh grafu pri stláčaní piesta striekačky? Zistite, či existuje vzťah medzi objemom vzduchu v injekčnej striekačke a tlakom vzduchu nameranom pomocou tlakového senzora. Ak existuje funkčná závislosť medzi premennými – opíšte ju. Skúmajme premenné: Zaujíma nás vzťah medzi hodnotou objemu vzduchu v injekčnej striekačke a tlakom vzduchu nameranom pomocou senzoru. Zistili sme, že keď je objem vzduchu malý, tlak je veľký a naopak. Keď sa zmení objem vzduchu v striekačke, zmení sa aj tlak vzduchu. Tlak je teda funkciou objemu. Namerané hodnoty: Objem vzduchu (ml) Tlak vzduchu (kPa) Tlak x Objem 20 92 1840 18 103 1854 16 116 1856 14 133 1862 12 156 1872 10 188 1880 9 207 1863 8 236 1888 Uvedomenie si významu: Žiaci vyhodnocujú namerané hodnoty tlaku vzhľadom na zmenšovanie objemu vzduchu v striekačke. Zistili, že jedna veličina sa zmenšuje ( objem) a druhá veličina sa zväčšuje. Namerané hodnoty následne naniesli do grafu pomocou grafického kalkulátora. Z grafu zisťujú kvantitatívne vzťahy medzi veličinami. Napríklad zisťujú, že

17

ak sa zmenší objem o polovicu – tlak sa zdvojnásobí. Prechádzame teda od kvalitatívneho pozorovania ku kvantitatívnemu pozorovaniu. Samostatne, skúmaním závislosti medzi získanými hodnotami zavedú vzťah: p.V =C P – nameraný tlak vzduchu V – objem vzduchu v striekačke C= konštanta

Obrázok 5: Pracovná atmosféra- meranie

Prameň: foto Ľubová, 2013 Grafické znázornenie prebiehalo pomocou grafického kalkulátora a bolo prostredníctvom dataprojektoru premietané v učebni.

Obrázok 6: Grafické spracovanie nameraných údajov

Prameň: foto Ľubová, 2013 Žiaci overili platnosť Boylovho zákona: Tlak a objem plynu v uzavretej nádobe sa mení tak, že súčin ( p . V ) ostáva konštantný pričom predpokladáme, že teplota plynu zostáva konštantná. Boylov-Mariottov zákon objavil roku 1662 írsky prírodovedec Robert Boyle. Podľa niektorých historikov vedy však veľmi pravdepodobne jeho exaktnú matematickú formuláciu nevypracoval sám Boyle (vzhľadom k jeho menším znalostiam matematiky), ale skôr jeho asistent Robert Hook. Ten tiež vyvinul vývevu, potrebnú na experimentálne overenie tohto vzťahu. Nezávisle od nich dospel k rovnakému zisteniu v roku 1676 aj francúzsky fyzik Edme Mariotte.

18

Boylov-Mariottov zákon je historicky prvým zákonom opisujúcim izoproces ideálneho plynu (v tomto prípade izotermický dej). Hoci sa tepelnou rozťažnosťou vzduchu zaoberal už Guillaume Amontons (* 1663, rok po objave Boylovho zákona), prvé presné meranie publikovali až v roku 1802 nezávisle na sebe Joseph Louis Gay-Lussac a John Dalton.)

Obrázok 7 : Výstup z grafického kalulátora, nanesenie nameraných hodnôt do grafu.

Prameň: Ľubová, 2013

Obrázok 8: Získaný výstup z grafického kalkulátora overili aj nanesením hodnôt premenných objem a tlak získaných pokusne do grafu v programe Excel.

Prameň: Ľubová, 2013 Dané grafy funkcii sme opísali matemamaticky:

Nepriama úmernosť sa nazýva funkcia definovaná na množine R-{0} daná rovnicou y= k / x kde kR, k0

Grafom nepriamej úmernosti je hyperbola. Ak k>0 sú vetvy hyperboly v 1. a 3. kvadrante, ak k<0 sú vetvy hyperboly v 2. a 4. kvadrante.

0

5

10

15

20

25

92 103 117 132 156 188 208 236

19

Pracujeme so získanými údajmi, hľadáme odpovede na otázky:

Ak sa zmenší objem vzduchu v striekačke z 20 ml na 18 ml, aká bude zmena

tlaku?

Aká bude zmena tlaku, pri zmene objemu z 18 ml na 16ml? Vypočítajte túto

zmenu hodnoty tlaku aj pre pokles objemu vzduchu v striekačke zo 16ml na 14

ml.

Je zmena tlaku priamoúmerná zmene objemu vzduchu v striekačke? Zaradením tejto aktivity do vyučovacieho procesu sme žiakom umožnili experimentálne overiť Boylov zákon. Poukázali sme na prepojenie platnosti fyzikálneho zákona s matematickou funkciou nepriamej úmernosti. Spätná väzba - sebahodnotiaci dotazník, viď príloha.

Námet č. 2

Tématický celok:

Funkcie (sú možné ďalšie aplikácie v danom tematickom celku) Rovnomerný

a nerovnomerný pohyb ( Fyzika) - integrovaná tematická výučba. Cieľom tejto aktivity je pozorovať závislosť medzi rýchlosťou pohybu, časom a pozíciou, do ktorej sa dostane študent vzhľadom na senzor pohybu( prejdená dráha). Študent sa musí pohybovať v zornom poli senzora, ktorý je pripojený na grafický kalkulátor na ktorom sledujeme klesanie a rast funkcie. V úvodnej časti hodiny – evokácia si zopakujeme rozdelenie pohybov podľa rýchlosti:

Vo fyzike pohyb je neustála zmena polohy telesa v priestore vzhľadom k času a voči referenčnému bodu (tým je často sám pozorovateľ). Táto zmena polohy je zaznamenávaná pozorovateľom v jeho vzťažnej sústave (teda vlastne z jeho „uhlu pohľadu“). podľa povahy rýchlosti pohybu

o rovnomerný o nerovnomerný

podľa trajektórie pohybu o priamočiary o krivočiary (špeciálny prípad: pohyb po kružnici) o otáčavý pohyb

Frontálnou formou prebieha aj zopakovanie základných poznatkov o funkciach. Pomôcky:

Stream Smart 400

Fourier senzor vzdialenosti

1 HP 39 gs grafický kalkulátor

Žiaci sú rozdelení do skupín v ktorých diskutujú o informáciách, ktoré možno získať z predloženého grafu viď obr. 9. Graf modeluje vzťah medzi veličinami vzdialenosť a čas. Prvou úlohou je experimentálne zistiť ako senzor pracuje. Doplňujúcou informáciou je, že senzor nie je citlivý na vzdialenosti menšie ako 0,5 m. Svojim pohybom po triede sa majú čo najviac priblížiť grafu na obrázku. Zisťujú, že keď sa približujú k senzoru – krivka je klesajúca, vzdialením sa od senzora krivka rastie. Z nameraných údajov vypočítali priemernú rýchlosť pohybu.

20

Problémová úloha: Naplánujte svoj pohyb tak, aby vaša počiatočná pozícia bola v ľavom hornom rohu grafického kalkulátora a konečná pozícia na pravom dolnom rohu. Ich pohyb musí začať v blízkosti senzora a postupne sa od neho vzdialiť. Žiaci si prezreli obrázok – výstup z grafického kalkulátora:

Obrázok 9: Graf získaný pomocou grafického kalkulátora.

Prameň: Fourier.edu, výstup grafického kalkulátora, 2012 Ďalšia skupina študentov riešila problém pohybu po triede tak, aby výsledným grafom bola priamka rovnobežná s vodorovnou osou.

Obrázok 10: Graf získaný pomocou grafického kalkulátora.

Prameň: Fourier.edu, výstup grafického kalkulátora, 2012 Objasnili sme si predpis konštantnej funkcie a vypočítali rýchlosť rovnomerného priamočiareho pohybu. Vyššia začiatočná rýchlosť študenta v smere od senzora a jej grafické zobrazenie:

Obrázok 11: Graf získaný pomocou grafického kalkulátora.

Prameň: Fourier.edu, výstup z grafického kalkulátora, 2012 Z grafu odčítame: t = 3,275 s s = 2,132 m

21

Žiaci svojím pohyb modelovali priebeh funkcie. Pohybom po triede konštruovali lineárnu funkciu a uvedomovali si ako rýchlosť ich pohybu ovplyvňuje priebeh rastúcej a klesajúcej funkcie. V rámci integrovanej tematickej výučby sme zostavili predpis funkcie, ktorá zodpovedá príslušnému grafu. Ďalšie praktické cvičenie: Žiaci svojím pohybom po triede modelujú graf paraboly, zisťujú priemernú rýchlosť pohybu.

Obrázok 11: Práca žiakov s grafickým kalkulátorom.

Prameň: foto Ľubová, 2013

Obrázok 12: Grafické znázornenie rôznych druhov pohybu

Prameň: Žiacká práca, Ľuba 2013 Žiak vykonáva pohyb, ktorého trajektória má tvar krivky – snaží sa o modelovanie grafu kvadratickej funkcie. Stredná krivka predstavuje graf funkcie f:y =x² + x +1. Pomocou grafického kalkulátora môže meniť priebeh kvadratickej funkcie f: y =ax²+ bx +c zvolíme hodnoty a,b, c tak, aby sme sa čo najviac priblížili pôvodnej funkcii opisujúcej pohyb žiaka po triede. Experimentálne overuje ako sa mení priebeh funkcie vzhľadom na rýchlosť ktorou sa pohybuje smerom k senzoru a smerom od senzora. Modelovanie konštantnej funkcie – žiak nemenil svoju polohu vzhľadom na vzdialenosť od senzora. Reálnou skúsenosťou opisuje vlastnosti konštantnej funkcie. Pozícia žiaka vzhľadom na vzdialenosť od senzora predstavuje hodnotu premennej b, v predpise f:y =b. Pri pohybe

22

po priamke a pri dodržaní rovnakej vzdialenosti od senzora dedukuje ďalšie vlastnosti funkcie:

D(f)= R , H(f) = b - nie je prostá - je ohraničená - v každom bode x má funkcia maximum aj minimum.

Obrázok13: Grafické riešenie úlohy.

Prameň: Ľubová, 2013 Senzor merania vzdialenosti sme využili aj na zakresľovanie grafického výstupu pohybu do google mapy. Žiak sa pohyboval vzhľadom na senzor v rôznych vzdialenostiach. Zostavil krivku ktorú zaznačil do mapy a snažil sa zistiť akú dráhu prešiel a aká by bola jeho rýchlosť pohybu v reálnych podmienkach. Námet č. 3 - Striedanie ročných období

Prepojenie na vzdelávací štandard:

Vzťahy, funkcie, tabuľky a diagramy.

Úvodné informácie/Evokačná fáza: Príčinou striedania ročných období je fakt, že zemská os nie je kolmá na rovinu svojej obežnej dráhy, ale je od kolmice na túto rovinu odchýlená stále rovnakým smerom o 23,5°, čo spôsobuje, že sa počas roka sa na danom mieste Zeme stále mení uhol dopadu a intenzita slnečných lúčov. Na pologuli, ktorá je naklonená smerom k Slnku je leto – dlhšie a teplejšie dni, na odklonenej pologuli je zima s typickými kratšími a chladnejšími dňami. Situácia je ale v skutočnosti o čosi komplikovanejšia: Jednotlivé ročné obdobia by podľa vyššie uvedeného opisu museli vrcholiť počas rovnodenností a slnovratov (teda jar počas jarnej rovnodennosti, leto počas letného slnovratu, jeseň počas jesennej rovnodennosti a zima počas zimného slnovratu), pretože v týchto bodoch sa daná pologuľa Zeme nachádza extrémnych štyroch polohách k Slnku (v lete je najnaklonenejšia k Slnku, v zime najodklonenejšia od Slnka a na jar a jeseň "najmiernejšie" odklonená). V skutočnosti však jednotlivé ročné obdobia vrcholia až po jednotlivých rovnodennostiach/slnovratoch, pretože Zem (najmä vďaka oceánom) má istú termickú zotrvačnosť, ktorá spôsobuje oneskorenie nástupu globálnej zmeny teploty počas roka (spravidla o mesiac či dva mesiace, miestami aj oveľa viac) po príslušnej zmene polohy Zeme voči Slnku.

23

Prostredníctvom žiackeho bádania sme určovali priebeh zvýšenia teploty v závislosti od uhla dopadajúcich slnečných lúčov. Pomôcky:

Grafická kalkulačka HP 39, senzor na meranie teploty, čierny papier, svetelný zdroj- lampa.

V rámci integrovanej tematickej výučby žiaci pracujú v skupinách. Samostatne si stanovia

veľkosti troch uhlov, pod ktorými bude dopadať svetlo na čierny papier. Pod papierom je

umiestnený senzor na meranie teploty. Každé meranie uskutočňujú v rovnakých časových

intervaloch. Pomocou uhlomera namierili lampu na papier, pod ktorým je umiestnený senzor

na snímanie teploty.

Merania:

Prvé meranie Uhol :30° Nameraná hodnota: 22°C

Druhé meranie Uhol : 90 ° Nameraná hodnota: 38°C

Tretie meranie Uhol : 120 ° Nameraná hodnota : 29 °C

Obrázok 14: Jednoduché zostavenie zapojenia senzorov.

Prameň: Ľubová, 2013

Obrázok 15: Zaznamenie nameraných údajov

Prameň: fourier.edu, výstup z kalkulátora, 2013

Aktivizujúce úlohy / Uvedomenie si významu:

1. Identifikujte premenné v prebiehajúcom experimente.

2. Ako sa menia namerané hodnoty teploty v závislosti od uhla dopadu svetla?

3. Počas ktorej časti dňa sa dostáva na povrch Zeme najviac žiarenia? 4. Ako by sa zmenili výsledky merania, ak miesto čierneho papiera použijeme biely? 5. Popíš ako môžu výsledky tohto experimentu vysvetliť zmenu ročných období na Zemi.

24

Námet č. 4: „Hrdo vzpriamený“

V tejto aktivite použijeme senzor vzdialenosti na meranie výšky všetkých študentov našej triedy. Pomocou grafického tabletu prevedieme analýzu získaných údajov a objasníme jednotlivé charakteristiky štatistického súboru. Námet môžeme použiť napríklad v rámci obsahového štandardu: Kombinátorika, pravdepodobnosť, štatistika a v rámci témy: Štatistika –grafické spracovanie dát. Pomôcky: 1 HP 39gs or HP 40gs grafický kalkulátor

1 HP StreamSmart 410 1 Fourier Distance Sensor

Obrázok 16: Proces merania

Prameň: Ľubová, 2013 Pomocou grafického kalkulátora sme vyhodnotili charakteristiky polohy štatistického súboru, ktorý sme vytvorili z nameraných výšok: modus, medián a aritmetický priemer a zostavili histogram. Aktivizujúce úlohy / Uvedomenie si významu:

Určte minimálnu, maximálnu a priemernú výšku vašich spolužiakov.

Z histogramu vyvoďte bežnú výšku vašich spolužiakov.

Je priemerná hodnota výšky odlišná od bežnej výšky príslušnej vekovej kategórie?

Ako sa zmení rozloženie grafu ak prevedieme rovnaký experiment so študentmi,

z ktorých polovica bude vo veku 7 rokov?

Zmenila by sa hodnota maximálnej výšky? Ak áno, ako by sa zmenila?

Zmenila by sa hodnota minimálnej výšky?

Zmenila by sa priemerná hodnota? Ak áno, tak vysvetlite ako.

Obrázok 17: Histogram – zostavený pomocou grafického kalkulátora

Prameň: fourier.edu, výstup z kalkulátora 2013

25

Aktivita predstavuje reálne priblíženie k tvorbe a vyhodnocovaniu štatistických údajov. Štatistický súbor konštruujú samotní žiaci svojou aktívnou činnosťou. Námet č. 5: Spoznaj svoj pot Evokácia: Vďaka potu sa naše telo ochladzuje. Pot sa uvoľňuje cez póry. Ako sa pot vyparuje – ochladzuje sa. Proces potenia a vyparovania potu môže viesť k dehydratácií, pokiaľ neprijímame dostatok tekutín. Prepojenie na vzdelávací štandard: Štatistika. Čo budeme skúmať:

Zmenu teploty ruky po jej umiestnení do plastového vrecka

Zmenu vlhkosti ruky v plastovom vrecku

Koreláciu medzi teplotou, tvorbou a vyparovaním sa potu.

Pomôcky: HP39 GS grafický kalkulátor

HP stream smart

Teplotný senzor

Senzor vlhkosti

Plastové vrecko

Žiak držal koniec teplotného senzora v jednej ruke a do dlane tej istej ruky si vložil senzor na meranie vlhkosti. Meranie prebiehalo 60 sekúnd. V ďalšom kroku si žiak zakryl ruku plastovým vrecúškom. Meranie prebiehalo aj za týchto zmenených podmienok.

Obrázok 18: Proces merania.

Prameň: Ľubová, 2013

Obrázok 19: Zvyšovanie teploty ruky v závislosti od času.

Prameň: fourier.edu, výstup z kalkulátora, 2013

26

Pomocou grafického kalkulátora sme pozorovali vzťah medzi zvyšovaním teploty ruky a zvyšovaním vlhkosti v priebehu času, v ktorom prebiehalo meranie. Žiakov zaujal aj princíp fungovania senzora vlhkosti, nakoľko nie je tak známy ako sú senzory teploty alebo tlaku. Prezreli sme si tieto informácie, ktoré boli postačujúce pre naše výskumy. Ako funguje senzor relatívnej vlhkosti: Jadrom senzora je integrovaný obvod Hy-Cal Engineering IH-3602-L, ktorý používa ako element citlivý na vlhkosť kapacitný polymér. Výstupom integrovaného obvodu je napätie, ktoré sa mení so zmenou relatívnej vlhkosti. Čas odozvy v prúdiacom vzduchu je oveľa kratší ako v stojatom vzduchu. V niektorých prípadoch je vhodné preto na zrýchlenie odozvy senzora vytvoriť prúd vzduchu buď pohybom senzora alebo pohybom vzduchu ventilátorom. Senzor je mierne citlivý na svetlo. Puzdro senzora je vytvorené tak, aby sa minimalizoval vplyv svetla. Kalibrácia senzora je čiastočne ovplyvnená teplotou. Pri malých relatívnych vlhkostiach je efekt zanedbateľný, pri vyšších vlhkostiach je však väčší. Ak potrebujete korigovať túto chybu, môžete si vytvoriť viacero kalibračných súborov pri rôznych teplotách. Vo väčšine prípadov to však nie je potrebné. Analýzou týchto informácií a ďalšou diskusiou sme rozvíjali medzi -predmetové vzťahy v rámci odborných predmetov, hlavne elektrické merania a základy elektrotechniky. Tieto odborné predmety sú súčasťou školského vzdelávacieho programu.

Obrázok 20: Namerané hodnoty relatívnej vlhkosti a teploty – výstup grafického

kalkulátora Prameň: fourier.edu, 2013

Zisťovali sme, či je závislosť medzi teplotou ruky a jej vlhkosťou silná, mierne silná alebo veľmi slabá.

Obrázok 21: Analýza nameraných údajov

Prameň: Ľubová, 2013

27

Uvedomenie si významu: Na základe analýzy dát žiaci zistili, že hodnota koeficienta korelácie je r = 0, 86. Ide o silnú pozitívnu závislosť. Ďalšie aktivizujúce otázky:

1. Aká bola teplota ruky na začiatku a na konci merania?

2. koľko stupňov sa zvýšila teplota ruky pokým bola vo vrecku?

3. Aká bola relatívna vlhkosť na začiatku a na konci merania?

4. koľko percent sa zvýšila vlhkosť pokým bola ruka vo vrecku?

5. Čo môžeme z tohto experimentu vyvodiť v súvislosti s procesom straty tepla po

odstránení vrecka?

Aktivita sa zameriava na tieto vzdelávacie ciele - žiak sa naučí: Vysvetliť základné vlastnosti korelácie ako miery závislosti medzi dvomi

premennými

Charakterizovať štatistickú a príčinnú závislosť

Využívať pri ďalšom spracovaní výsledkov rôzne zdroje na analýzu dát

Námet č. 6 Meranie hodnoty pH dažďovej vody, destilovanej vody a pitnej vody -porovnanie nameraných hodnôt. Túto aktivitu sme použili v rámci tematického celku: štatistika. V rámci prvej časti vyučovacej hodiny – evokácie sme diskutovali na tému kyslý dážď a jeho nepriaznivé vplyvy. Žiaci si priniesli vzorky dažďovej vody, prípadne vzorky pitnej vody z vodovodu, ktoré sme použili v našom pokuse. Kyslý dážď vzniká následkom úniku oxidu siričitého a oxidov dusíka do atmosféry, kde prejdú chemickými premenami a sú rozpustené v kvapkách vody v oblakoch. Kvapky padajú na zem vo forme dažďa, alebo snehu, čo môže zvýšiť kyslosť pôdy a ovplyvniť chemickú rovnováhu v jazerách a vodných tokoch. Pojem kyslý dážď je niekedy použitý vo všeobecnejšom význame, ktorý zahŕňa všetky formy kyslého spádu - mokrý spád, kedy kyselinotvorné plyny a častice sú splachované dažďom a inými zrážkami, a suchý spád, keď sa plyny a častice ukladajú na povrch Zeme bez prítomnosti zrážok. Namerané hodnoty pH dažďovej vody z nášho regiónu sme porovnávali s hodnotami nameranými na rôznych kontinentoch, napríklad:

Wheeling v USA pH l,5 (najkyslejší dážď, ktorý bol vôbec zaznamenaný)

Najkyslejší dážď v Európe sa doteraz nameral v roku 1974 nad Škótskou vysočinou s pH

2,4

Pensilvánia okolo pH 2,7

Severné Čechy pH 6,4- 6,6,

Vysoké Tatry pH 4,3-5,5,

Bratislava pH 4,9-5,7.

Pre porovnanie - ocot používaný v domácnosti ma pH 2,5. Nie všetky lokality reagujú na kyslý dážď rovnako. Niektoré miesta znesú veľké dávky kyslého dažďa bez výraznej zmeny celkového pH prostredia, ide o lokality s alkalickou pôdou. Čo budeme potrebovať:

Vzorky dažďovej vody, pitnej vody a destilovanej vody

HP40 gs grafická kalkulačka

pH senzor

28

Obrázok 22: Meranie pH destilovanej vody

Prameň: výstup z grafického kalkulátora fourier.edu, 2013 Meranie pH dažďovej vody – vzorky žiakov:

Vzorka NO1 5,95 Vzorka NO2 6,12 Vzorka TS1 5,76 Vzorka TS2 5,84 Vzorka TS3 5,78 Vzorka NN1 6,02 Vzorka NN2 5,98 Vzorka NN3 5,96

Meranie pH pitnej vody – vzorky žiakov:

Vzorka NO1 7,52 Vzorka NO2 7, 65 Vzorka TS1 7,83 Vzorka TS2 7,92 Vzorka TS3 7,78 Vzorka NN1 7,76 Vzorka NN2 7,80 Vzorka NN3 7,67

Aktivizujúce otázky – práca s nameranými hodnotami / uvedomenie si významu: 1. Je dažďová voda kyslá, zásaditá alebo neutrálna? Zdôvodni svoju odpoveď.

2. Porovnajte pH dažďovej vody a pitnej vody ( z vodovodu). Aké sú rozdiely?

3. Existuje štatistická závislosť medzi nameranými hodnotami pitnej vody a dažďovej

vody z rovnaký geografických oblastí?

4. Zostav regresný model s nameranými hodnotami pH pitnej vody a pH dažďovej

vody vo vybraných lokalitách.

Regresné modely umožňujú lepšie, hlbšie poznanie spoznanie skúmaných javov v súvislostiach, pomocou vzťahov medzi premennými. Vhodnosť typu regresného modelu sa hodnotí pomocou korelácie, t.j. číselného vyjadrenia tesnosti, pevnosti väzby medzi premennými.

29

Obrázok 23: Analýza nameraných hodnôt.

Prameň: Ľubová, 2013 Nasledovalo vyhodnotenie regresného modelu. Ukážka: Konštanta bₒ pri grafickom zobrazení regresnej priamky určuje bod, v ktorom priamka pretína os y. Koeficient bₒ ( hodnota 11) posúva priamku v priestore, preto sa nazýva aj lokujúcou konštantou. Koeficient b1( hodnota -0,55), je smernica regresnej priamky a udáva, o koľko merných jednotiek sa v priemere zmení závisle premenná, ak sa nezávisle premenná zmení o jednu mernú jednotku. Práve tento koeficient dáva informácie o priebehu závislosti a nazýva sa regresným koeficientom. Nasleduje zhodnotenie stredných hodnôt a tvorba hypotézy čím je táto závislosť zapríčinená – podmienená. Vyhodnotenie regresného modelu prebiehalo v rámci tímovej práce.

30

3 EXPERIMENTÁLNE PRÁCE ŽIAKOV ZALOŽENÉ NA TVORBE MODELOV Prvá ukážka je prácou žiaka, ktorý skúmal závislosť medzi hodnotami - dĺžka slnečného svitu a globálne slnečné žiarenie. Vytvoril model závislosti medzi týmito veličinami, ktorý predstavuje reálne aspekty efektívnosti fotovoltického systému v regiónoch Slovenska. Názov: Korelácia medzi dvoma významnými veličinami pri zisťovaní efektívnosti fotovoltického systému. Práca bola prihlásená do medzinárodnej súťaže Euromath 2013, dostala sa do finále a je publikovaná spoločnosťou Lambert Academic Publishing, ktoré prejavilo záujem aj o ďalšiu spoluprácu. Tento faktor môže tiež žiakov motivovať zaoberať sa riešením rôznych problémov z reálneho sveta pomocou tvorby matematických modelov. Krátka ukážka: Correlation between 2 important values ( quantities ) in design of photovoltaic powerplant. Preview of work - Abstract. Name and surname of author: Peter Luba, Spojená škola Nižná, Slovakia Time of daylight , measured in months : march , may , june ( in hours ) (maximal values ) March 2012

1.3.2012 8,3 10.3.2012/ 8,9 2.3.2012 9,2 11.3.2012/ 8,7 3.3.2012 9,5 12.3.2012 / 9,6 4.3.2012 8,2 13.3.2012 / 9,2 5.3.2012 6,3 14.3.2012/ 9,6 6.3.2012 6,7 15.3.2012 / 9,2 7.3.2012 6,5 16.3.2012/ 10,2 8.3.2012 9,3 17.3.2012 / 9,8 9.3.2012 8,3 18.3.2012 / 10,2 20.3.2012 8,9 19.3.2012 / 10,3 22.3.2012 9,2 21.3.2012/ 10,7 24.3.2012 9,2 23.3.2012 /10,8 26.3.2012 10,5 25.3.2012/ 10,5 28.3.2012 10,2 27.3.2012/ 10,6 30.3.2012 10,1 29.3.2012 /10,9 31.3.2012 10,9

Values of global radiaton : March 2012 (Kwh/m²) 1.3.2012/ 2,3 9.3.2012/2,1 17.3.2012/2,2 23.3.2012/2,4 2.3.2012/ 3,2 10.3.2012/2,3 18.3.2012/ 2,4 24.3.2012/2,6 3.3.2012/ 3,2 11.3.2012/2,3 19.3.2012/3,2 25.3.2012/2,7 4.3.2012/2,5 12.3.2012/2,4 20.3.2012/2,4 26.3.2012/2,8 5.3.2012/ 2,1 13.3.2012/2,6 21.3.2012/ 2,6 27.3.2012/2,8

6.3.2012/ 1,9 14.3.2012/2,7 22.3.2012/2,6 28.3.2012/3,1 7.3.2012 / 1,8 15.3.2012/2,8 29.3.2012/ 3,4 31.3.2012/3,2

8.3.2012 / 2,3 16.3.2012/2,7 30.3.2012/3,2

31

Enstablishment of solution of regression task :

- Determination of type of regression model After laying down values{xi, yi} , if the scatter plot is likely to have direct dependence ( the points are lying on a straight line (Y´ = B0 + B1X) or there is only a slight derivation,) point estimated of this regression straight line is y´j = b0 + b1xj and this dependence is the best estimation of direct regression model. In our case it’s y = 0,052 x + 21,3 Constant 21,3 in graphical view of regression straight line determine point , in wich straight line crosses the axis y. Coefficient 21,3 is pushing straight line in space, that is why it’s named localization constant. Is there any direct tependence between data ? Is the dependence between the values (quantities) strong, mild or very weak? Is the dependence between the values (quantities) positive or negative? My work is trying to find an answers for these questions. Krátky preklad: Korelácia medzi dvoma významnými veličinami ( globálne žiarenie, dĺžka slnečného svitu)a jej vplyv pri rozhodnutí o efektívnosti navrhovanej fotovoltickej elektrárne. Žiak sa zaoberal zhodnotením efektívnosti fotovoltického systému( s rovnakými parametrami) v rôznych oblastiach Slovenska. Zisťoval aká je závislosť medzi dĺžkou slnečného svitu a hodnotou globálneho slnečného žiarenia. Hodnoty získaval jednoduchým meradlom, ktoré si zostavil podľa návodu . Hodnoty globálneho slnečného žiarenia sú dôležité pri posudzovaní týchto situácií:

Optimálne nasmerovanie slnečných kolektorov pre zvolené miesto Optimálna lokalizácia fotovoltaických zariadení a elektrární Možnosť maximalizácie energetických ziskov pomocou otáčania panelov v

závislosti od pohybu slnka Posúdenie vhodnosti / nevhodnosti lokality pre umiestnenie fotovoltaických

panelov, resp. slnečných kolektorov Výpočet očakávaných energetických príkonov Analýza zatienenia plôch okolitým reliéfom, resp. stavbami Životné prostredie a poľnohospodárstvo Vplyv na vysušovanie pôd a tým nepriamo na eolické procesy a eróziu Vplyv na kvalitu poľnohospodárskej produkcie a zdravotný stav vegetácie Vplyv na potrebné zavlažovanie Vplyv na tvorbu plynov na skládkach

32

Ukážka z práce – Abstrakt Meno a priezvisko autora: Peter Ľuba, Spojená škola Nižná Dĺžka denného svitu a globálneho žiarenia meraná v mesiacoch: marec, máj, jún (v hodinách) (maximálne hodnoty) – viď tabuľka vyššie; - určenie typu regresného modelu Ak po vynesení hodnôt {xi, yi} má bodový diagram trend priamej závislosti (jednotlivé body ležia na priamke (Y´ = B0 + B1X) alebo sa od nej nepatrne odchyľujú), bodovým odhadom tejto regresnej priamky je y´j = b0 + b1xj a táto závislosť je najlepším odhadom lineárneho regresného modelu.V našom prípade je to:

y = 0,052 x + 21,3 Konštanta 21,3 pri grafickom zobrazení regresnej priamky určuje bod, v ktorom priamka pretína os y. Koeficient 21,3 posúva priamku v rovine, preto sa nazýva aj lokujúcou konštantou. Existuje medzi údajmi lineárna závislosť? Je závislosť medzi veličinami silná, mierna alebo veľmi slabá? Je závislosť medzi veličinami pozitívna, alebo negatívna? Moja práca sa snaží nájsť odpovede na tieto otázky. Viac informácií nájdete na stránke: http://www.euromath.org/index.php?id=106 Vektor tvojej vodnej stopy ako súčasť ekostopy Jedna z možností ako motivovať žiakov k tvorbe modelu zážitkovou a hravou formou. Spracovaná vyučovacia hodina je uvedená v tabuľke:

Aktivita Vektor tvojej vodnej stopy ako súčasť ekostopy

Cesta na kurikulum

PREDMET ROČNÍK TEMATICKÝ CELOK

Matematika štvrtý Analytická geometria

Fyzika prvý Fyzikálne veličiny- vektory

Evokácia

... Jedna vyučovacia hodina, zvolený konštruktivistický prístup - žiak sám konštruuje poznatok prostredníctvom vyhodnocovania informácií a údajov, rozvíjame kľúčové kompetencie žiaka - jeho kritické myslenie. Konštruktivizmus, ako inovatívna metóda vzdelávania sa spája s tvorbou projektov, so zážitkovou výučbou. Žiak vytvára model svojej vodnej stopy, prepája skutočne namerané hodnoty s matematickým vyjadrením pomocou vektorov.

Pomôcky:

...Hodina prebieha v odbornej učebni, vybavenej počítačmi. V počítačoch je nainštalovaný voľne dostupný softvér Geogebry.

Uvedomenie si významu, tvorba modelu

... Koľko litrov vody spotrebuješ za jeden týždeň? Sledujte svoju dennú spotrebu počas jedného týždňa, údaje z každého dňa si zaznačte.

33

1. Pred začatím preberania tematického celku analytická geometria, zadáme žiakom domácu úlohu: denne, po dobu jedného týždňa, sledovať svoju spotrebu pitnej vody a údaje si zapisovať. Žiaci sa učia systematicky pracovať na úlohe, organizovať svoju prácu, odhadovať údaje. Rozvíjame ich kľúčové kompetencie.

2. Po uplynutí ich žiackeho bádania nastupuje vyučovacia fáza : uvedomenie si významu a práca s údajmi a informáciami. Po teoretickom vysvetlení a porozumení pojmu vektor nastáva aplikácia vektorovej veličiny do znázornenia reálnej situácie. Tvorba modelu.

3. Žiak podľa dennej spotreby pitnej vody nanáša do mriežky softvéru Geogebra jednotlivé vektory spotrebovanej vody.

4. Napríklad, ak žiak za jeden deň spotreboval 15 litrov vody, jeho vektor je (1,15) a smer nahor. Postupne nanášame vektory spotreby za 7 dní, v ktorých pozorovanie prebiehalo.

5. Diskusia a vyhodnotenie získaných podkladov. Žiaci vzájomne porovnávajú svoje výsledky, zisťujú rozdiely vo výslednom nákrese vektorov, skúmajú dôveryhodnosť takto získaných výsledkov.

6. Vo fáze reflexie sa spoločne zamýšľali nad možnosťami znížiť spotrebu pitnej vody. Riadeným rozhovorom sme si povedali o význame vody v našom živote. Táto aktivita rozvíja takmer všetky kľúčové kompetencie uvedené v štátnom vzdelávacom programe a zodpovedá najnovšej metodike a členeniu vyučovacej hodiny EUR.

Ukážka žiackých prác- Vektor tvojej vodnej stopy ako súčasť ekostopy – zostavenie modelov:

Obrázok 24: Model mojej vodnej stopy I. Prameň: archív Ľubová, 2013

Obrázok 25: Model mojej vodnej stopy II.

Prameň: archív Ľubová, 2013

34

Obrázok 26: Model mojej vodnej stopy III.

Prameň: archív Ľubová, 2013

35

4 NÁMETY NA MATEMATICKÉ MODELOVANIE – LINEÁRNA OPTIMALIZÁCIA.

1. Zmiešavací problém – nutričná úloha Úlohou je vyrobiť pri minimálnych nákladoch zmes o obsahu minimálne 60 jednotiek zložky A, minimálne 40 jednotiek zložky B a minimálne 50 jednotiek zložky C. K dispozícii sú suroviny S1 a S2 o jednotkových cenách 200 a 300 jednotiek. Pričom surovina S1 obsahuje v jednotkovom množstve 2 jednotky zložky A, jednu jednotku zložky B a tri jednotky zložky C. Surovina S2 obsahuje 3 jednotky zložky A, 2 jednotky zložky B a 2 jednotky zložky C. Formalizácia úlohy: Suroviny→ Zložky ↓

S1 S2 požiadavky

A 2 3 60 B 1 2 45 C 3 2 50 ceny 200 300 min Matematický model: 200 x₁ +300x₂ →min 2x₁ + 3x₂ ≥ 60 x₁ + 2x₂≥ 45 3x₁ + 2x₂≥ 50 x₁≥0 x₂≥0 Uplatnili sme grafické riešenie úlohy:

Obrázok 27: Grafické riešenie úlohy

Prameň: Ľuba, 2013 2. Úloha/námet - modelovanie na základe poznatkov zo študijného odboru, integrovaná tématická výučba matematiky s odbornými predmetmi. Študijný odbor – mechanik elektrotechnik ( autoelektronika). Pred zadaním úlohy prebiehala diskusia, brainstorming a podčiarkli sme niekoľko opráv, ktoré by mohli byť zahrnuté do nášho zadania príkladu.

Egalizácia a brúsenie kľukových hriadeľov, Zarovnanie povrchu blokov aj hláv valcov,

36

Zváranie prasklín, Oprava či výmena sediel ventilov, Výmena vodítok ventilov, Výbrusy valcov, Tlaková skúška hláv valcov, Rovnanie a honovanie ojníc, Vákuová skúška tesnosti ventilov.

V autodielni sa robia tri druhy základných oprav motora O1,O2, O3. Na tieto opravy sa spotrebúvajú hlavne 2 druhy súčiastok S1 a S2. Zisky z jednotlivých opráv sú : O1-35 jednotiek, O2 -28 jednotiek a O3 -32 jednotiek. Na opravu O1 sa spotrebúvajú 2 súčiastky S1 a 3 súčiastky S2. Na opravu O2 je potrebná 1 súčiastka S1 a 2 súčiastky S2 a na opravu O3 je potrebné mať 3 súčiastky S1 a 2 súčiastky S2. Na sklade máme 500 súčiastok S1 a 600 súčiastok S2. Pre zabezpečenie chodu autodielne je potrebné zabezpečiť minimálne 30 opráv O1, 60 opráv O2 a 50 opráv O3. Naplánujte počet opráv tak, aby zisk autodielne bol maximálny. Formalizácia úlohy do tabuľky: Opravy Súčiastky

O1 O2 O3 zásoba

S1 2 1 3 500 S2 3 2 2 600 Minimálne počty opráv

30 60 50

Zisk 35 28 32 max Zostavenie matematického modelu: 35x₁ + 28 x₂ + 32x₃→ max 2x₁ + x₂ + 3x₃≤ 500 3x₁ + 2x₂ +2x₃≤ 600 x₁ ≥30 x₂ ≥60 x₃ ≥ 50 Uplatnili sme grafické riešenie ( wolfram alpha). 3. Úloha/námet – matematické modelovanie v procese výučby ekonomiky (odborných ekonomických predmetov). Problém som zadefinovala tak, aby zodpovedal obsahovému štandardu odborných predmetov študijnému zamerania autoelektronika. Podnik vyrába 2 typy krytov kolies, jedny s označením Chromo a druhé s označením Toro, pričom spotrebúva dva druhy základných surovín S1, S2. Za jeden výrobok Chromo realizuje zisk 5 jednotiek a za jeden výrobok Toro realizuje zisk 3 jednotky. Na výrobu výrobku Chromo sú potrebné 2 jednotky suroviny S1 a 3 jednotky suroviny S2. Na výrobu výrobku Toro sú potrebné 1 jednotka S1 a 2 jednotky S2. Zásoba suroviny S1 je 100 jednotiek a suroviny S2 je 150 jednotiek. Naplánujte výrobu tak, aby podnik dosiahol maximálny zisk.

37

Formálny zápis do tabuľky: Výrobok→ Prevádzka ↓

Chromo

Toro

Kapacita

S1 2 1 100

S2 3 2 150 zisk 5 3 max Matematický model úlohy: 5x₁+3x₂→ max 2x₁+ x₂ ≤ 100 3x₁+ 2x₂ ≤ 150 x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0 Na grafické riešenie môžeme využiť softvér Derive alebo iný voľne dostupný softvér (napr. Funkce, wolfram alpha).

38

ZÁVER

Riešenie problémových úloh tvorbou modelov je pre žiakov zaujímavý spôsob ako rozvíjať matematické myslenie. Model predstavuje reálny objekt alebo situáciu a umožňuje pochopiť mnohé prírodné javy a vzťahy medzi veličinami. Aktivitu na vyučovacej hodine preberá žiak a učiteľ sa stáva koordinátorom výučby. Matematické modelovanie vyjadruje kompetenciu používať matematický jazyk a metódy pri reprezentovaní a interpretovaní javov odohrávajúcich sa v reálnom svete. OECD PISA vyčlenila osem typických matematických kompetencií, medzi ktorými je aj modelovanie (PISA, 2003). V jednotlivých kapitolách som sa snažila podať rôzne pohľady na proces modelovania. Od aktivít papier –pero, cez využitie voľne dostupného matematického softvéru až po vynikajúcu pomôcku – senzory. Senzory nám umožnili vytvoriť v učebni malé prírodovedné laboratórium. Žiaci si pri tvorbe modelov vyskúšali zásady práce vedcov a učili sa vlastnou skúsenosťou. Cieľom mojej práce nie je podať podrobné návody na prácu - napríklad so senzormi, pretože týchto informácií je na internete dostatok. Sústredila som sa viac na opis mojich osobných skúseností, ktoré som získala pri učení žiakov tvoriť modely. V práci som uviedla jednotlivé aktivity, ktorých cieľom je motivácia – vzbudenie záujmu a opísala som tie aktivity, v ktorých žiaci preukázali najlepšiu spätnú väzbu. Spätnú väzbu som realizovala sebahodnotiacím dotazníkom žiaka, ktorý uvádzam v prílohe. Ak by som mala povedať, čo je to matematická gramotnosť niekoľkými slovami - označila by som ju, ako schopnosť využívať matematiku v reálnych situáciach. Práve uplatnením tejto metódy tvorby modelov som u žiakov najvýraznejšie vnímala záujem zapojiť sa do aktivít, prejaviť sa a komunikovať. Každý chcel byť súčasťou tohto dynamického procesu.

39

ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ZDROJOV

1. Algoritmy v každodennej matematike[online]. 2013. Dostupné na:

<http://www.everydaymath.edu/>

2. Blomhoj, M. Vzdelávacie výskumy zamerané na matematické modelovanie [online]. 2013.

Dostupné na: <http://www.tsg.icme11.org/>

3. Carlson, M.,Larsen,S. 2003.Integrating a Models and Modeling Perspective With Existing

Research and Practice.ISBN:978-8058-3822-0

4. Dantzig,G.B. 1996. Lineárne programovanie a jeho rozvoj, SNTL, Bratislava ISBN: 80-210-

1996-2.

5. Demkanin,P. a kol. 2006. Počítačom podporované prírodovedné laboratórium, 1.vydanie.

FMFI UK Bratislava. 2006 ISBN: 80-89186-10-6

6. Digitálna encyklopédia[online]. 2013. Dostupné na: <http://www.wikipedia.org/>

7. Hodnotiacia tabuľka kľúčových kompetencií[online]. 2011. Dostupné na: <http://www.nuov.cz/kk-a-tvorba-svp?highlightWords=klicove+kompetence>

8. Hvorecký, J. (1992). Tabuľkové kalkulátory a stredoškolská matematika. ročník 2, 3/1992,

ISSN 1210-1761.

9. Lucie Slejäkov�, Eva Zelendov a�kolektív autorov.: Priklady dobré praxe. 1.vyd. Praha:

Výzkumný ústav pedagogický, 2008, s.93. ISBN 978-80-87000-21-2

10. Lukáč, S. a kol. 2010. Využitie IKT v predmete matematika pre stredné školy. 1.vydanie. Elfa

s.r.o. Košice. 2010 ISBN: 978-80-149-0

11. Matematika6f[online]. 2013. Dostupné na: <http://matematika.6f.sk/index.php?tema=14>

12. National council of Teachers of Mathematics[online]. 2013. Dostupné na:

<http://www.nctm.org/>

13. Národná správa PISA 2009 [online].2012. Dostupné na:

http://www.nucem.sk/documents//27/medzinarodne_merania/pisa/publikacie_a_disemin

acia/1_narodne_spravy/N%C3%A1rodn%C3%A1_spr%C3%A1va_PISA_2009.pdf

14. Štátny vzdelávací program[online]. 2013. Dostupné na: http://www.statpedu.sk/sk/Statny-

vzdelavaci-program/Statny-vzdelavaci-program-pre-gymnaziaISCED-3a.alej

15. Timková, D. Analytická geometria verzus lineárna optimalizácia [online]. 2013.Dostupné na:

<http://www.gta.sk/>

16. Turek, I. 2008. Didaktika. IURA EDITIONS.2008 ISBN: 8080781989

17. Výskum o využívaní moderných technológií v USA [online].2012. Dostupné na:

<http://www.pewinternet.org/>

Príloha 1: Sebahodnotiaci dotazník a hodnotenie skupinovej práce Tabuľka 1: Dotazník

Prameň: vlastný zdroj, Ľubová 2012 Sebahodnotenie Člen tímu 1 Člen tímu 2 Člen tímu 3 Zapájam sa do rozboru a plánovania riešenia úlohy

Som dobrý tímový hráč, spolupracujem s ostatnými

Prijímam zodpovednosť za riešenie úlohy

Vypočujem si názory ostatných a dokážem sformulovať vlastný názor

Spolu so skupinou prezentujem výsledok úlohy

Prispievam novými inovatívnymi nápadmi

Dodržiavam pravidlá na ktorých sme sa dohodli

3 body – áno; 2 body - niekedy; 1 bod - nikdy

Poznámka: Zmysel ( funkcia) seba - hodnotenia žiaka:

Pochopí aktuálny stav svojich vedomostí, zručnosti a dosiahnutých kompetencií

Hľadá príčiny a vyvodzuje dôsledky svojej aktivity vo vyučovacom procese

Získava vnútornú motiváciu k vyššiemu pracovnému výkonu

Analyzuje svoje postupy v rámci tímovej práce

Pracuje s chybou, uvedomuje si a vie vymenovať svoje silné stránky, na ktorých je

vybudovaná jeho sebadôvera, je stimulovaný k ďalšiemu osobnostnému rozvoju

Prijíma zodpovednosť za svoje učenie

Získava spätnú väzbu

Rozvíja svoje komunikačné a prezentačné schopnosti

Spolu - dotvára pozitívnu sociálnu klímu v triede

41

Veľmi dôležitou časťou sebahodnotenia je práca s chybou. Vždy je potrebné analyzovať a hľadať príčinu chybného riešenia. Práca s chybou má následujúce fázy:

Uvedomenie si chyby, slabých stránok a neúspechu Nájdenie odpovede na otázky: Prečo sa mi nedarí, Čo môžem urobiť pre

zlepšenie svojich výsledkov? Návrh stratégie, ktorá bude viesť k zlepšeniu výsledkov Posilnenie sebavedomia žiaka

Sebahodnotenie je ovplyvnené:

Vonkajšími činiteľmi: výchova v rodine, vzťah učiteľa a žiaka, objektivita a spravodlivosť hodnotenia žiaka, komunikačné schopnosti učiteľa, pestrosť učiva.

Vnútornými činiteľmi: skúsenosti žiaka s prežívaním úspechu a neúspechu v škole, identifikácia žiaka s kolektívom triedy, vzťah žiaka k učiteľovi.

Uvedený dotazník žiaci vyplnili po uskutočnení aktivít s matematickým modelovaním. Priemerné hodnotenie predstavovalo vysoké hodnoty hlavne v porovnaní s inými metódami výučby. Myslím si, že to bolo spôsobené hlavne tým, že tvorbu matematických modelov považovali za atraktívnu a riešili sme reálne problémy – s mnohými sa už stretli vo svojej praktickej zložke vzdelávania.