ingenieria y control de la calidad control estadistico del proceso graficas de control para...
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INGENIERIA Y CONTROL DE LA CALIDAD
CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO
GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
César A. Acosta-Mejía
GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
Atributo: característica de calidad que el bien o servicio posee o no.
Ejemplos:
1. El Color de la carrocería de un automovil
2. El acabado superficial de una lámina
Un producto defectuoso puede tener uno o más defectos
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOSCLASIFICACION
Gráficos de control para unidades defectuosas
• La gráfica p fracción defectuosa• La gráfica np número de unidades defectuosas
Gráficos de control para defectos
• La gráfica c número de defectos.• La gráfica u número de defectos por unidad.
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOSCLASIFICACION
Gráficos de control para unidades defectuosas muestras de:
• La gráfica p fracción defectuosa• La gráfica np número de unidades defectuosas (tamaño
constante)
Gráficos de control para defectos
• La gráfica c número de defectos. (tamaño
constante)• La gráfica u número de defectos por unidad.
GRAFICA DE CONTROL p
• Sea xi el número de unidades defectuosas observadas en muestras de tamaño ni .
• Sea pi la fracción defectuosa de la muestra i (de tamaño ni)
pi = Número de defectuosos xi
Número de Artículos ni
• Se grafica los valores de pi y se verifica que
se encuentren entre los límites de control
no se observan patrones sistemáticos
• En caso de haber puntos fuera de control, los límites se recalculan
GRAFICA DE CONTROL p
Si el proceso está estable con fracción defectuosa constante p; y si las observaciones se pueden considerar independientes entonces:
X : # de defectuosos en una muestra de tamaño n Binomial (n,p)
La distribución binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5
X Normal ( = np, = np(1-p) )
y los límites de control son: E [X/n] 3 DS [X/n]
p 3 p(1-p)/ n
GRAFICA DE CONTROL p
• Esta gráfica controla si el parámetro p de la distribución binomial permanece constante
• En un solo gráfico se puede controlar una, varias, o todas las características de calidad del producto
GRAFICA DE CONTROL pCálculo de los límites de control
Los Límites de control son: p ± 3
(binomial normal)
Si p no se conoce, se le estima
a partir de m muestras previas, con
p p
n
( )1
p
x
n
m
m
GRAFICA DE CONTROL pCálculo de los límites de control
Los Límites de control son: p ± 3
(binomial normal)
Si p no se conoce, se le estima
a partir de m muestras previas, con
Note que si n varía
los límites de control no seran constantes p ± 3
p p
n
( )1
p
x
n
m
m
in
pp )1(
GRAFICA DE CONTROL plos datos siguen una distribución binomial
Estadístico (x/n)
Límite Superior de Control (LSC)
Línea Central
Límite Inferior de Control (LIC)
muestra
X es una v. a. binomial(n, p)
El proceso está estable o en control (estadístico) si la distribución binomial se mantiene constante en el tiempo
tiempo
La distribucion binomial permanece constante si p no cambia
X/n
GRAFICA DE CONTROL plos datos siguen una distribución binomial
GRAFICA DE CONTROL pSelección del tamaño de muestra n
• La binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5
por tanto n > 5 / p
GRAFICA DE CONTROL pSelección del tamaño de muestra n
• La binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5
por tanto n > 5 / p
• Si se desea asegurar un LIC entonces p - 3 p(1-p)/ n > 0
por tanto n > 9 (1-p) / p
GRAFICA DE CONTROL pSelección del tamaño de muestra n
• La binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5
por tanto n > 5 / p
• Si se desea asegurar un LIC entonces p - 3 p(1-p)/ n > 0
por tanto n > 9 (1-p) / p
• Si el proceso tiene fracción p0 y se desea detectar que la fracción ha
cambiado a p1 con un 50% de probabilidad entonces
x/n
LSC p1
p0 p0
GRAFICA DE CONTROL pSelección del tamaño de muestra n
• La binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5
por tanto n > 5 / p
• Si se desea asegurar un LIC entonces p - 3 p(1-p)/ n > 0
por tanto n > 9 (1-p) / p
• Si el proceso tiene fracción p0 y se desea detectar que la fracción ha
cambiado a p1 con un 50% de probabilidad entonces
LSC = p1
p0 + 3 p0 (1-p0 )/ n = p1 p1
n = 3 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)
n = 9 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)2
GRAFICA DE CONTROL pSelección del tamaño de muestra n
• La binomial se aproxima por la distribución normal si np > 5
por tanto n > 5 / p
• Si se desea asegurar un LIC entonces p - 3 p(1-p)/ n > 0
por tanto n > 9 (1-p) / p
• Si el proceso tiene fracción p0 y se desea detectar que la fracción ha
cambiado a p1 con un 50% de probabilidad entonces
LSC p1
p0 + 3 p0 (1-p0 )/ n p1
n 3 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)
n 9 p0 (1-p0 ) / (p1 - p0)2
La compañía ABC fabrica cortadoras de césped. La producción diaria es de aproximadamente 200 cortadoras. Se ha decidido seleccionar cada día 40 cortadoras al azar de la línea de proceso para realizar la prueba de calidad. La prueba consiste en realizar dos ensayos tirando el cordón para ver si el motor arranca. El ingeniero de producción desea realizar un diagrama p para esta prueba crítica de funcionamiento. Los datos de mes de marzo con 22 días laborables se muestran en la tabla anexa.
a) Construya la gráfica p e identifique si el proceso está bajo control
b) Estime la fracción defectuosa del proceso suponiendo que se eliminan las causas especiales de variabilidad
c) Cuántas cortadoras se requieren probar cada día ?
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 1
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 1
Día Numero de artículos Fracción defectuosa (x/n)
defectuosos (x)
1 2 2/40 = 0.050
2 3 0.075
3 1 0.025
4 4 0.1
5 3 0.075
6 2 0.05
7 1 0.025
8 1 0.025
9 0 0
10 3 0.075
11 2 0.05
12 4 0.1
13 7 0.175
14 2 0.05
15 3 0.075
16 3 0.075
17 2 0.05
18 8 0.2
19 0 0
20 1 0.025
21 3 0.075
22 2 0.05
TOTAL 57
a) m = 22 número de muestras
n = 40 tamaño de cada muestra
M
jj
M
jj
n
x
p
1
1 06477.0)40(22
57
0LIC
06477.0LC
1816.040
06477.0106477.0306477.0LSC
20100
0.2
0.1
0.0
Sample Number
Prop
ortio
nP Chart
1
P=0.06477
UCL=0.1815
LCL=0
GRAFICA DE CONTROL pStat > Control Charts > P
b) El punto p18 cae fuera de los límites de control y el punto p13 está muy próximo. Al
determinar la causa que produjo su comportamiento se les elimina y se recalculan p y los límites de control (para usarlos durante abril):
Día (i) Numero de artículosno conformantes en el grupo
Fracción noconformante
1 2 2/40 = 0.0502 3 0.0753 1 0.0254 4 0.1005 3 0.0756 2 0.0507 1 0.0258 1 0.0259 0 0.00010 3 0.07511 2 0.05012 4 0.10013 7 0.17514 2 0.05015 3 0.07516 3 0.07517 2 0.05018 8 0.20019 0 020 1 0.02521 3 0.07522 2 0.050
57
b) El punto p18 cae fuera de los límites de control y el punto p13 está muy próximo. Al
determinar la causa que produjo su comportamiento se les elimina y se recalculan p y los límites de control (para usarlos durante abril):
pest = 42 = 0.0525
20(40)
0LIC
0525.0LC
1583.040
0525.010525.030525.0LSC
20100
0.2
0.1
0.0
Sample Number
Prop
ortio
nP Chart con límites revisados
1
1
P=0.0525
UCL=0.1583
LCL=0
GRAFICA DE CONTROL pP Chart > Estimate > Omit… > 13 18
c) Para el próximo mes se utilizarán estos límites revisados para que conforme se
tomen las muestras de cortadoras inmediatamente se verifique si el proceso
permanece en control o no.
Las muestras deberán ser de tamaño n (5 / 0.0525) = 95.24 para que los
límites sean válidos
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 1
d) Suponga que la fracción defectuosa real del proceso aumenta a 0.11. Cuál es la probabilidad de que la gráfica lo detecte en la siguiente muestra ?
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 1
d) Suponga que la fracción defectuosa real del proceso aumenta a 0.11. Cuál es la probabilidad de que la gráfica lo detecte en la siguiente muestra ?
Sea X BIN (n = 40, p = 0.11)
P [x / n > LSC] = P [x / n > 0.1583]
= P [ x > 40 (0.1583)]
= P [ x > 6.332]
= 1 - 0.8555
= 0.145
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 1
GRAFICA DE CONTROL p
ANALISIS DE PATRONESEl proceso es dado como fuera de control si se viola alguna de cuatro reglas:
Test 2 debe decir “ Eight points in a row ”
GRAFICA DE CONTROL p
ANALISIS DE PATRONESEl proceso es dado como fuera de control si se viola alguna de cuatro reglas:
Test 2 debe decir “ Eight points in a row ”
(si el tamaño de las muestras es variable, los límites de control no son constantes y entoncessolo aplica la regla Test 1)
El ingeniero de calidad de una empresa toma muestras de
la producción diaria con el objeto de elaborar una gráfica
p.
La tabla anexa muestra los rechazos encontrados y la
cantidad de piezas revisadas cada día. Si la fracción
defectuosa de cierto día excede los límites de control el
ingeniero debe inspeccionar al 100% el lote producido.
a) Determine los límites de control y contruya la gráfica
b) Determine los límites de control futuros, suponiendo
que se identifican las causas especiales de los puntos fuera
de control.
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2 – muestra variable
Rechazos Muestra
20 98
18 104
14 97
16 99
13 97
29 102
21 104
14 101
6 55
6 48
7 50
7 53
9 56
5 49
8 56
9 53
9 52
10 51
9 52
10 47
240 1424
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2
a) Límites de control
p = xi = 240 = 0.16854
ni 1424
LSCi = 0.168 + 3(0.168)(1-0.168)/ni
LICi = 0.168 - 3(0.168)(1-0.168)/ni
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2
a) Límites de control
p = xi = 240 = 0.16854
ni 1424
LSCi = 0.168 + 3(0.168)(1-0.168)/ni
LICi = 0.168 - 3(0.168)(1-0.168)/ni
En este caso los límites de control son variables dependiendo del
tamaño ni de la muestra
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2
20100
0.3
0.2
0.1
0.0
Sample Number
Pro
po
rtio
nP Chart for C1
P=0.1685
UCL=0.3324
LCL=0.004728
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2
b) Límites de control (después de eliminar punto p6)
pest = xi = 240 - 29 = 0.1596
ni 1424 - 102
LSC = 0.1596 + 3(0.1596)(1-0.1596)/ni
LSC = 0.1596 - 3(0.1596)(1-0.1596)/ni
Rechazos Muestra20 9818 10414 9716 9913 9729 10221 10414 1016 556 487 507 539 565 498 569 539 52
10 519 52
10 47
GRÁFICA DE CONTROL np
• Se grafica el número de unidades defectuosas en la muestra
• Es más fácilmente interpretado por el personal al no requerir de cálculos
• Si el tamaño de muestra es constante, las gráficas p y np muestran el mismo comportamiento pero a diferente escala
GRÁFICA DE CONTROL np
• La gráfica se basa en la aproximación normal a la binomial
• Si X : # de defectuosos en la muestra de tamaño n es
una Variable Binomial (n,p)
entoncesX ~ Normal ( np,np (1-p) ) aproximadamente si np 5
• Los límites de control son:
E[X] 3 D.S. [X]
np 3 np (1-p)
• Si el tamaño de muestra es variable, entonces los límites de control así como la línea central varían de muestra a muestra
GRÁFICA DE CONTROL np
• Si el tamaño de muestra no es constante la gráfica p tiene limites de control variables
LSCi = p + 3p (1-p)/ni
LICi = p - 3p (1-p)/ ni
GRÁFICA DE CONTROL np
• Si el tamaño de muestra no es constante la gráfica p tiene limites de control variables
LSCi = p + 3p (1-p)/ni
LICi = p - 3p (1-p)/ ni
• Si el tamaño de muestra no es constante en la gráfica np, los límites de control así como la línea central varían de muestra a muestra
LSCi = ni p 3 ni p (1-p)
LICi = ni p - 3 ni p (1-p)
El ingeniero de calidad de una empresa toma muestras de
la producción diaria con el objeto de elaborar una gráfica
np.
La tabla anexa muestra los rechazos encontrados y la
cantidad de piezas revisadas cada día. Si el número de
rechazos de cierto día excede los límites de control el
ingeniero debe inspeccionar al 100% el lote producido.
a) Determine los límites de control y contruya la gráfica
b) Determine los límites de control futuros, suponiendo
que se identifican las causas especiales de puntos fuera de
control.
GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3 – muestra variable
Rechazos Muestra
20 98
18 104
14 97
16 99
13 97
29 102
21 104
14 101
6 55
6 48
7 50
7 53
9 56
5 49
8 56
9 53
9 52
10 51
9 52
10 47
240 1424
GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3
a) Límites de control
p = xi = 240 = 0.16854
ni 1424
LSCi = 0.168ni + 3 ni (0.168)(1-0.168)
LCi = 0.168ni
LICi = 0.168ni - 3 ni (0.168)(1-0.168)
GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3
a) Límites de control
p = xi = 240 = 0.16854
ni 1424
LSCi = 0.168ni + 3 ni (0.168)(1-0.168)
LCi = 0.168ni
LICi = 0.168ni - 3 ni (0.168)(1-0.168)
GRAFICA DE CONTROL npEjemplo 3
20100
30
20
10
0
Sample Number
Sam
ple
Cou
nt
NP=7.921
UCL=15.62
LCL=0.2222
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2
0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
Sample Number
Prop
ortio
n
P Chart
P=0.1678
UCL=0.3313
LCL=0.004279
GRAFICA DE CONTROL pEjemplo 2
0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
Sample Number
Prop
ortio
n
P Chart
P=0.1678
UCL=0.3313
LCL=0.004279
20100
30
20
10
0
Sample Number
Sam
ple
Cou
nt
NP=7.921
UCL=15.62
LCL=0.2222
NP Chart
GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Inconvenientes
• Pueden no tener Límite Inferior de Control
• A medida que se mejora el proceso (p disminuye)
se requiere incrementar el tamaño de los subgrupos (n>5/p)
• Tienen desempeño sesgado
(no son muy sensibles para detectar mejoras en p )
• La práctica de identificar patrones sistemáticos ó no aleatorios debe modificarse ya que la distribución binomial es muy sesgada si p es pequeño
GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
• Se utilizan con muestras grandes (a veces cientos ó miles)
Por ejemplo, si p = 0.01 se requieren muestras de tamaño n > 500
• El Costo / unidad de revisar un atributo es menor que el de medir una característica variable
• Son útiles como medida del desempeño de un taller, departamento, empresa, etc.
• Generalmente el desempeño mejora después de introducir una gráfica para atributos pues la gráfica es una representación visual contínua del desempeño
OBJETIVOS DE LAS GRAFICAS DE ATRIBUTOS
• Estimar la fracción defectuosa de producto terminado
• Estimar el Costo estándar de retrabajo (Costos de Calidad)
• Determinar la eficacia de un programa de entrenamiento o de mantenimiento
• Sugerir dónde utilizar gráficas de control para variables y / o las gráficas c ó u .