105Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101G. Komplexa och symplektiska strukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99F. Kirillov-konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97E. Symplektiska superrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90D. Sfären som symplektiskt rum, prekvantisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89C. Partikel med spin i magnetfält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88B. Darboux’ teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87A. Poincarés lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .863.6 Några avslutande anmärkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .783.5 Hydrodynamik och gravitationsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.4 Exempel - kvantmekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .743.3 Exempel - galileisk fältteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713.2 Infinit symplektiskt rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703.1 Inledning - fält i fysiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703. Infinita Symplektiska System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .682.7 Infinitesimala symplektiska rum, strål-rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632.6 HJ-teorin och lagranska rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.5 Variationsprinciper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.4.3 Reducerat fasrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.4.2 Dynamisk grupp, impulsavbildningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.4.1 Lie-grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.4 Symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.3 Symplektisk mångfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.2 Fasrummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.1 Differentiabla mångfalder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262. Symplektisk geometri och dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.9 Några historiska anmärkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.8 Newtons ekvation i kurvlineära koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.7 Hamilton-Jacobi-ekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.6 Kontakt-transformationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.5 Symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.4 Legendre-transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.3 Hamiltons formulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.2 Lagranges ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.1 Newtons ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81. Analytisk mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“Classical mechanics is an eternal discipline,where harmony abounds. It is beautiful in the true sense of the term. It is new every time wegrow and look at it anew.”1

Inledning

Benämningen “symplektisk” inom matematiken är av ett relativt färskt datum. H Weyl infördebenämningen i sin bok Classical Groups (1939, 1946) med ordet “komplex” som modell. AWeinstein (1981) har också påträffat begreppet “symplectic” i Oxford English Dictionary där detsägs vara ett anatomiskt begrepp som hänvisar till ett litet ben i fiskhuvuden ... “it appears that thebone is quite small, but it serves to hold things together” (Weinstein (1981), s. 2). I lineär algebramenar vi med en symplektisk form en antisymmetrisk icke-degenererad 2-form. Avbildningar förvilka denna 2-form är invariant bildar den symplektiska gruppen. Symplektiska strukturerobserverades förstås redan innan själva begreppet myntades. Analytisk mekanik har bidragit med deparadigmatiska exemplen på symplektiska strukturer. J L Lagranges arbete från 1808 där hanpresenterar vad vi idag kallar Hamiltons ekvationer, brukar betraktas som startskottet för densymplektiska teorin. Men det var Hamilton som först insåg vidden av den “Hamiltonskadynamikens” betydelse, vars grunder han själv först upptäckte (1823) i studiet av geometrisk optik.Hamilton, Poisson, Legendre, Euler, Lagrange, Jacobi, Lie, Pfaff, m.fl., utvecklade den analytiskamekaniken till stor fulländning under 1700- och 1800-talet. Många av dessa resultat skulle direktinspirera utvecklingen av de symplektiska strukturernas matematik. Kanoniska transformationer,Hamilton-Jacobi-ekvationen, etc, kan direkt översättas i symplektiska termer.2 Emellertid är detförst i.o.m. utvecklingen av differentialgeometrin, differentialformer (Cartan, Poincaré, Goursat) ochglobal analys som möjligheterna skapats för en systematisk utveckling av symplektisk geometri.3 Idetta sammanhang hade inte minst Poincarés (1892) matematiska utveckling av dynamikenbetydelse. Den modärna definitionen av “mångfald” (manifold) är till stor del en skapelse av Weyloch Whitney. Abraham & Marsden (1978: 159) sammanfattar historien om densymplektiska/differentialgeometriska formuleringens utveckling i mekaniken i följande rader:

“The use of differential forms in mechanics and its eventual formulation in terms ofsymplectic manifolds has been slowly evolving since Cartan (1922).

2

3Begreppet “symplektisk geometri” förekommer enligt Cushman & Bates (1997) första gången hosSouriau (1954). Enligt samma källa skulle Wintner (1934) ha varit den första att inse i det lineärafallet att den symplektiska strukturen ligger till grund för hamiltonska system. Viktig för spridningenav den generella symplektiska formuleringen anses ha varit Ehresman (1948) och hans skola.Mackey (1963) betraktade den symplektiska formuleringen av mekaniken som allmänt känd blandmatematikerna i början av 60-talet, och Sternberg (1964) utnyttjade vid samma tid densymplektiska formuleringen i full utsträckning.

2Här kan det vara skäl att framhålla H G Grassmanns ofta förbisedda betydelse och hanspionjärarbete Lineale Ausdehnungslehre (Leipzig 1844). Modern matematik är i stor utsträckningen förädlad legering av klassisk analys och Grassmanns och Hamiltons lineära algebra. H G Gras-smann (1809 - 1877) var också en framstående sanskritforskare. (Även Hamilton intresserade sigför orientaliska språk.) Grassmanns “Gesammelte Werke” (3 bd, 1894 - 1911) redigerades av FEngel.

1E C G Sudarshan, N Mukunda, Classical Dynamics: A Modern Perspective (1974), s. 600.

The first modern exposition of Hamiltonian systems on symplectic manifoldsseems to be due to Reeb (1952). An early version of Lagrangian systems in thiscontext appears in Mackey (1963). This formulation was widely known inmathematical circles by 1962, and was explained in a letter by Richard Palais thatcirculated privately about that time4. The first systematic treatise concerningmechanics on Riemannian manifolds that we know of is Synge (1926).”

Ett par tidiga referenser till användning av differentialformer i mekaniken är Gallisot (1951, 1952).Betydelsefulla monografier har varit Abraham & Marsden (1967, 2. uppl. 1978), Souriau (1970,eng. övers. 1997) och Arnold (1978, rysk uppl. 1974) som grundar sig på en kurs i mekanikArnold höll 1966 - 1968 vid Moskva-universitetet. Abraham & Marsden (1967) baserar sig på RAbrahams föreläsningar våren 1966 vid Princeton University ... “aimed at recent mathematicalresults in mechanics, especially the work of Kolmogorov, Arnold and Moser and its application toLaplace’s question of the stability of the solar system” (Abraham, op. cit., preface). En inflytelserikbok inte att förglömma har varit H Flanders (1963) om differentialformers användning i fysiken. Imatematiskt hänseende kan man idag betrakta hamiltonsk dynamik som en underavdelning inomsymplektisk geometri. V I Arnold och A B Givental’ karaktäriserar symplektisk geometri iinledningen till deras översiktsartikel:

“Symplectic geometry is the mathematical apparatus of such areas of physics asclassical mechanics, geometrical optics and thermodynamics. Whenever theequations of the theory can be gotten out of a variational principle, symplecticgeometry clears up and systemizes the relations between quantities entering thetheory. Symplectic geometry simplifies and makes perceptible the frightening formalapparatus of Hamiltonian dynamics and the calculus of variations in the same waythat the ordinary geometry of linear spaces reduces cumbersome coordinatecomputations to a small number of simple basic principles.” (Arnold & Novikov,1990: 4.)

I korthet handlar symplektisk geometri om symplektiska rum och deras avbildningar som lämnar desymplektiska strukturerna invarianta (symplektomorfismer med en benämning införd av Souriau).Enligt ett teorem av Darboux (se Appendix B) kan den symplektiska formen ω, som är endifferentiabel icke-singulär sluten 2-form ( dω = 0 ), för en symplektisk mångfald P lokalt skrivas,

(1)z = Si=1

n

dq i . dp i

där (q, p) betecknar lokala (Darboux-)koordinater5 för P. Till skillnad från riemannsk geometri harsymplektiska rum en “kanonisk” form (1). I analytisk mekanik har vi en naturlig konstruktion avfasrummet som ett symplektiskt rum; nämligen, som kotangentrummet T*M till konfigurations-rummet M. Den symplektiska strukturen kan också formuleras algebraiskt i termer av en

3

5Symplektiska mångfalder har jämn dimension, 2n. I analytisk mekanik delar man upp koordinaternai n stycken q-koordinater (“position”) och n stycken p-koordinater (“impuls”).

4Detta rundbrev av R Palais från 1965 är veterligen fortfarande opublicerad. (Palais svarade på enförfrågan via e-post 18. mars 1999 att han inte har kvar någon kopia av brevet.)

Poisson-struktur som för varje par ( f, g ) av element i C∞(M) - mängden av reella∞-differentierbara funktioner över M - tillordnar ett nytt element f, g .

Ur matematisk-fysikalisk synvinkel inställer sig frågan huruvida den symplektiska geometrinbara är ett behändigt hjälpmedel, eller om den har ett “djupare” innehåll (en mer generellfrågeställning vore följande: Vad är den klassiska mekanikens geometriska innehåll ?). Man kanjämföra med differentialgeometrin som möjliggjorde en helt ny fysikalisk teori, den allmänna relativi-tetsteorin (Einstein). En förhoppning har varit att symplektisk geometri skulle visa på ett djuparesamband mellan klassisk fysik och kvantmekanik. Redan historiskt sett hade Hamilton-Jacobi teorin,adiabatiska invarianter, m.m., stor betydelse för kvantteorins utveckling. En möjlighet är att försökainföra symplektiska strukturer genom mer “primitiva” strukturer såsom presymplektiska struktureroch kontakt-strukturer6.

Symplektiska rum uppträder företrädesvis genom tre olika sorters konstruktioner: 1)kotangentrum 2) Kähler-rum 3) som banor till koadjungerade representationer av Lie-grupper(Kirillov-konstruktionen). Det tredje fallet är ett exempel på användningen av reduktionsmetoden försymplektiska system med symmetrier (se appendix F) för att konstruera ett reducerat symplektisktsystem (det nya rummet är en sorts kvot Mβ/Gβ av en nivåyta Mβ i det gamla rummet M). Entankegång är just att söka fysikens grundläggande modeller bland koadjungerade representationerav speciella Lie-grupper. En viktig poäng gällande reduktion är att den omvända proceduren i vissafall kan vara intressant. Nämligen, det finns dynamiska system vars rörelse-ekvationer förenklas ifallsystemet betraktas som en reduktion (kvot Mβ/Gβ) av matematiskt sett enklare dynamiska system M7.

Tonvikten i denna uppsats ligger på användningen av symplektisk geometri som ett medel attsystematisera den hamiltonska dynamiken. Vi koncentrerar oss på några “basala” tillämpningar inomklassisk mekanik och fältteori. Speciellt givande är den symplektiska formuleringen vid behandligenav symmetrier hos dynamiska system.

Symplektisk geometri har utöver mekaniken fått omfattande förgreningar: teorin förintegrerbara system; representationsteori (geometrisk kvantisering); teorin för lineära partielladifferentialekvationer; Fourier-integraloperatorer (Duistermaat (1995)); m.m. (se översiktenWeinstein (1981)). Vissa av dessa ämnen kommer här på sin höjd endast att beröras i förbifarten.

Första kapitlet ger en kort sammanfattning av analytisk mekanik i klassisk koordinat-formulering. Denna del motiverar de mer abstrakta formuleringarna baserade på symplektiskgeometri som följer i kapitel 2. Speciell uppmärksamhet ägnas här åt reduktionsmetoder varsmodärna formulering går tillbaka på Marsden & Weinstein (1974). Det tredje kapitlet utsträckerden symplektiska formuleringen till oändligt dimensionella system (fältteori). I appendixen behandlasett urval teman mera på djupet; t.ex. prekvantisering berörs i ett av appendixen. Exemplen som tasupp i uppsatsen behandlas tämligen ytligt eftersom avsikten med dem är främst att illustrera teorin

4

7För ett exempel (Calegero-system) se V Guillemin, S Sternberg, Symplectic Techniques inPhysics (1984), s. 381 ff. eller avhandlingen av P Pasanen (1996).

6En intressant omständighet är att varje symplektisk mångfald har en metrik definierad av densymplektiska formen via en s.k. nästan komplex struktur (almost complex structure). Densymplektiska strukturen är ekvivalent med en nästan Kähler-struktur och implicerar enrepresentation av su(2)-algebran. Omvänt härleds den symplektiska strukturen från en speciellsu(2)-representation. Denna väg att karaktärisera symplektiska rum kan formuleras inom s.k.icke-kommutativ geometri. Se J Frölich et al., Commun. Math. Phys. 193, 527 - 594 (1998).Se också appendix G i föreliggande uppsats.

och definitionerna. En ordentlig behandling av t.ex. snurran skulle kräva en egen särskild uppsats8.Ett alternativt tillvägagångssätt hade självfallit varit att behandla ett urval exempel på djupet, men vihar i detta fall valt att istället ge en översikt av de teoretiska ramarna för en symplektisk formuleringav i första hand klassisk mekanik.

Litteraturlistan upptar arbeten som kommit till användning för denna uppsats, samt utvaldaverk som täcker en del olika specialområden. Försök har också gjorts att få med ett urval av de“klassiska” verken som inte sällan i klarast form uttrycker de väsentliga idéerna i fråga, samt endelnyheter som spårats upp bl.a. via internet.

Några matematiska konventioner

Vad gäller teckenkonventioner följer vi i stora drag “fysiktraditionen” som används i Abraham &Marsden (1978). (Matematikerna skriver ofta t.ex. (1) med motsatt förtecken.) Här kan det vara påsin plats att ta upp ett par skrivsätt från matematisk fysik som används i uppsatsen. T.ex. skriver ekv(1) ovan som

dz = dq i . dpi

där en summation över upprepade index impliceras (sk Einsteins summationskonvention ). Förbeteckningen av partiella derivatorer används följande förkortning

A i,j hØA i

Øx j etc

Newtons beteckningssätt för derivata

x. = dxdt etc

används också ställvis. Är X en vektor i Rn och F en funktion F: Rn → R, då avser XF (ellerX(F)) detsamma som F:s derivata längs X,

XF = X i ØFØx i

Två viktiga standardtensorer i det kartesiska rummet är Levi-Civita- tensorn (här definierad i det3-dimensionella fallet) och Kroneckers delta definierade genom

5

8Snurran och pendeln behandlas utförligt t.ex. i R C Cushman, L M Bates, Global Aspects ofClassical Integrable Systems (1997). Boken har ca 136 sidor ägnade åt Euler- ochLagrange-snurran. Även enkla system såsom den harmoniska oscillatorn är rika på matematiskadetaljer.

eijk =+1 ifall i, j,k ar en jamn permutation av 1,2, 3−1 ifall i, j,k ar en udda permutation av 1,2, 30 i ovriga fall

d ji = 1 ifall i = j, 0 i ovriga fall

I matematisk fysik påträffas ofta Diracs delta-funktion δ (x) som är en distribution9 definieradgenom likheten

¶‘ d(x − a)f(x)dx = f(a)

för funktioner f : R → R i en lämplig mängd av “testfunktioner” (definitionen kan utsträckas till Rn

med n > 1).I kapitel 2 introduceras några element ur differentialkalkylen på mångfalder ( calculus on

manifolds10 ). Centrala begrepp är differentiabla mångfalder ( M, N, ... ) och differentiablaavbildningar f: M → N som också överför de lineära strukturerna via derivatan ( push-forward ) f* : TM → TN, och koderivatan ( pull-back ) f*: T*N → T*M, på tangentrummen ochkotangentrummen. Ett annat fundamentalt begrepp är vektorfält X på M och dess lokala flöde ft:M → M som satisfierar

X ) f t = df tdt samt

f s ) f t = f s+t

för reella tal s, t inom ett lämpligt intervall. En Riemann-metrik g på M definierar en positiv definitsymmetrisk form på TxM för varje punkt x ∈ M:

.gx : TxM % TxM d R

Ifall N ⊂ M utgör inklusionen

i :N d M

helt enkelt avblidningen ι(x) = x. Om t ex funktionen f är definierad på M så är ι∗ f definierad påN.

Vi använder också ofta begreppet “infinitesimal” t.ex. för den infinitesimala transformationen

6

10En behändig referens är H Flanders, Differential Forms with Applications to the PhysicalSciences (1989).

9Se t.ex. A I Saichev, W A Woyczynski, Distributions in The Physical and EngineeringSciences (1997).

q d Q = q + ef(q)

som är en förkortning av

q d Q = q + ef(q) + O(e2)

ed0lim

O(e)e < ∞

En matematisk standardkonstruktion som nyttjas ett par gånger i uppsatsen är användningenav ekvivalensrelationer (≈). Vi betecknar med [x] ekvivalensklassen som innehåller elementet x.Ur lineär algebra använder vi bl.a. begreppen tensorrum ( E, F, ... ) och deras tensorprodukt E⊗ F ⊗ ...

Vissa element ur teorin för Lie-grupper kommer också till användning.11 Härvid kan mananta att gruppen är en matrisgrupp vilket gör resonemangen enklare att följa. Ett viktigt begrepp ärtransformationsgrupp G och dess verkan (action) Φ på ett rum M:

F : G % M d M

F(gh,x) = F(g,F(h,x))

≤xcM F(e,x) = x (e ar enhetselementet i G)

för g, h ∈ G och x ∈ M. Ofta skriver man Φ (g, x) = Φg (x) = g ⋅ x. Då G är en Lie-grupp och M en differentiabel mångfald förutsätts verkan vara en differentiabel avbildning. Varje avbildning Φg

är en diffeomorfism av M. Verkan säges vara fri ifall det för varje x ∈ M gäller att g ⋅ x = x omoch endast om g = e. Givet x ∈ M så kallas mängden för banan (orbit)G $ x = g $ x : g c Ggenom x. (Ifall G ⋅ x = M kallas verkan för transitiv.) Den s.k. isotropi-gruppen Gx vid punktenx ∈ M definieras som . För en fri verkan t.ex. är Gx = e. Varje verkanGx = g c G : g $ x = xrealiserar en representation av gruppen G. Är M en differentiabel mångfald har vi enrepresentation på diffeomorfismer av M, Φg ∈ Diff(M). Är M ett vektorrum har vi en representationpå lineära transformationer av M; varje Φg är då en lineär transformation av M. I denna uppsatskommer vi att intressera oss för fallet då G representeras via symplektiska transformationer Φg påett symplektiskt rum M. En representation (Φ, M) av G säges vara irreducibel ifall det inte finnsnågot äkta (proper) invariant delrum S ⊂ M. (Att S är ett invariant rum betyder här att G⋅S ⊂ S.)

7

11För en koncis introduktion se D H Sattinger, O L Weaver, Lie Groups and Algebras withApplications to Physics, Geometry and Mechanics (1986). En annan populär referens är J FAdams, Lectures on Lie Groups (1969).

“What is surprising is that despite having been extensivelybeaten generation after generation, the old horse refuses todie and remains today a viable research area.”12

1. Analytisk mekanik

1.1 Newtons ekvation

Den analytiska mekanikens grundsituation är en punktpartikels rörelse i det tredimensionellakartesiska rummet13 i ett inertialt referenssystem. För en punktpartikel med massan m kanrörelsekvationen (Newton) skrivas

(1)m d2rdt2 = F(r, t)

r = (x,y, z)

där F betecknar kraften som verkar på partikeln. I det enklaste fallet, den “fria partikeln”, har vi F= 0 och lösningen r(t) = vt + ro (v betecknar den konstanta hastigheten). I ett inertialtreferenssystem rör sig den “fria partikeln” likformigt i en rätlinjig bana (tröghetsprincipen).

Ekvationen (1) av andra ordningen kan skrivas som en ekvation av första ordningen genomatt införa en hjälpvariabel p, “impulsen” (momentum)

(2)m dr

dt = p

dpdt = F

Lösningen (r(t), p(t)) utgör en bana i det sk fasrummet P som i detta fall är ett 6-dimensionellt rummed produktstrukturen R3 × R3. Konfigurationsrummet M är rummet för partikelns möjligapositioner och har i detta fall strukturen R3.

1.2 Lagranges ekvationer

En viktig grupp av krafter är de sk konservativa krafterna som kan uttryckas via en potentialfunktionV, . I detta fall skrivs ekv (1) på formenF = −∫V

8

13I detta kapitel förutsätter vi alltså en euklidisk metrik. Det moderna begreppet inertialt referens-system i mekaniken brukar tillskrivas Ludwig Lange (1885).

12R A Mann, The Classical Dynamics (1974), s. 1. Citatet fortsätter: “The science of mechanicsseeks to define those quantities that are vital to the description of motion, to discover thelaws governing that motion, and to establish a class of observers who agree on the lawsgoverning physical phenomena. We shall call these kinematics, dynamics, and relativity,respectively.”

(3)m d2r

dt2 = −∫V(r)

En enkel räkning visar att ekv (3) har en integral (konserverad storhet) (energi). EnE = 12 mr.2 + V

likaså enkel övning visar att ekv (3) kan skrivas på formen

(4)ddt

ØLØx. i

− ØL

Øx i = 0

L(x i,x. i, t) h 12 mr.2 − V(x i)

Funktionen L kallas för Lagranges funktion och ekv (4) för Lagranges ekvation. Lagrangesekvation har den viktiga egenskapen att vara “invariant” visavi koordinattransformationer. Antag attvi övergår till nya koordinater genom en transformation (explicit tidsberoende transformationerförekommer t.ex. om man övergår till ett roterande koordinatsystem)

(5)r = r(q i, t)

q i = q i(xj, t)

Lagranges funktion i det nya koordinatsystemet blir (summering över upprepade index14)

L(x i,x. i, t) d L(x i(q), Øx i

Øq j (q)q. j + Øx i

Øt(q), t) h L(q i, q. i, t)

från vilket det följer

ØLØq i = Øx j

Øq iØLØx j + Ø

Øq i Øx j

Øqk (q)q.k + Øx j

Øt (q) ØL

Øx. j

ddt

ØL

Øq. i

= d

dt Øx j

Øq iØLØx. j

= d

dt Øx j

Øq i ØL

Øx. j + Øx j

Øq iddt

ØLØx. j

Eftersom

ddt

Øxj

Øqi = Ø

Øq i Øx j

Øqk (q)q.k + Ø

Øt Øx j

Øq i

följer slutligen

9

14Vi använder i uppsatsen den vedertagna stenografiska konventionen och förkortar(Einsteins summationskonvention) när inte annat anges.S i=1

n a ib isom a ib i

(6)ddt

ØL

Øq. i

− ØL

Øq i = Øx j

Øq i

ddt

ØLØx. j

− ØL

Øx j (= 0)

som visar att Lagranges ekvation är invariant visavi koordinattransformationer. Den geometriskatolkningen behandlas nedan (avsnitt 1.8).

1.3 Hamiltons formulering

Hade vi valt plustecken i ekv (4) (varvid L sammanfallit med energin E) hade vi fått en ekvation sominte hade varit invariant utan endast gällt för de kartesiska koordinaterna. Emellertid, skriver vienergin som en funktion H av impulsen p,

(7)H(r,p) =p2

2m + V(r)

får rörelse-ekvationerna formen

(8)x. i = ØH

Øp i

p.

i = − ØHØx i

som kallas för Hamiltons ekvationer ; H benämnes Hamiltons funktion (konventionen medsub-index för impulsen får sin förklaring senare). Det visar sig att dessa ekvationer är invariantaunder en mer allmän grupp av transformationer än koordinattransformationerna ikonfigurationsrummet M. Vi hamnar alltså att studera transformationer i fasrummet P av typen (viföljer i detta kapitel den invanda konventionen och använder q för koordinaterna ikonfigurationsrummet istället för x som oftast står för det speciella kartesiska koordinatsystemetskoordinater)

(9)Q = Q(q, p, t)

P = P(q, p, t)

för vilka rörelse-ekvationerna behåller den hamiltonska formen (K betecknar Hamilton-funktionen idet nya koordinatsystemet),

(10)Q.

i = ØKØP i

P.

i = − ØKØQi

Från Hamiltons ekvation följer att tidsförändringen hos en allmän funktion f (q(t), p(t)) satisfierar

10

(11)

dfdt = Øf

Øq i q. i + ØfØp i

p. i = ØfØq i

ØHØp i

− ØfØp i

ØHØq i = f, H dar vi definierar

f, g h ØfØq i

ØgØp i

− ØfØp i

ØgØq i

Vi har infört beteckningen , för den sk Poisson-klammern i koordinatsystemet (p, q). Enligt ekv(10) kan vi alltså skriva en infinitesimal tids-evolution av funktionen f som (likheten gäller till förstaordningen i “infinitesimalen” dt)

(12)f(t + dt) = f(t) + f,H dt

Vi kan uppfatta tidsevolutionen som en infinitesimal transformation på fasrummet P,

(13)p i d P i = p i + p i,H dt

q i d Qi = q i + q i,H dt

där dt betecknar en infinitesimal parameter. Vi gör följande plausibla ansats: De hamiltonskarörelse-ekvationerna (10) behåller formen under gruppen av transformationer (9) somalstras av infinitesimala transformationer av typen (13, 14),

(14)

p i d P i = p i + p i,G e

q i d Qi = q i + q i,G e

(Q, P) = ge(q, p)

där gε betecknar den infinitesimala transformationen på fasrummet P, medan G(q, p) är en allmänfunktion på fasrummet P och benämnes transformationens generator, och ε är en infinitesimalparameter. Transformationerna (14) är infinitesimala varianter av de sk kanoniskatransformationerna.15

Variablerna (p, q) (samt (P, Q)) kallas för kanoniskt konjugerade. Vi observerar att förde kanoniskt konjugerade variablerna (p, q) gäller enligt definitionen (11)

11

15De hamiltonska rörelse-ekvationerna är invarianta för en något generellare grupp Kan* än gruppenför de kanoniska transformationerna, Kan; nämligen, de är invarianta för alla transformationer somkan skrivas som (resultatet framgår senare klart i samband med behandlingen av Cartan-formen)

, där α betecknar en reell konstant ≠ 0. För α = 1 erhåller viP idQi − Kdt = ap idq i − Hdt + dG

de kanoniska transformationerna. I klassisk mekanik kan α väljas godtyckligt men i kvantmekanikenär inte detta fallet längre p.g.a. att “fasens” (motsvarar verkan S längre fram) absoluta värde harfysikalisk betydelse. (I kvantmekaniken mäts verkan i enheter av Plancks konstant h.) I klassiskmekanik är Kan* en “trivial” utvidgning av Kan.

(15)

q i,p j = d ji

q i,q j = 0

p i,p j = 0

Vi skall visa att Poisson-klammern är invariant under kanoniska transformationer (14); dvs,

(16)f1 , f2 (p,q) h

Øf1

Øq iØf2

Øp i−

Øf1

Øp i

Øf2

Øq i =

Øf1

ØQiØf2

ØPi−

Øf1

ØP i

Øf2

ØQi h f1 , f2 (P,Q)

Nämligen, skriv den kanoniska transformationen (14) på formen

(17)dgs

i (n)ds = gs

i (n),G(n)

ns = qs,ps

= gs(q, p) = gs(n)

där vi med ξ betecknar punkter i fasrummet P, och s är transformationsparametern. Följande likhet(Jacobis likhet) bevisas direkt genom räkning från definitionen (11) för Poisson-klammern,

(18)f, g,h + g, h, f + h, f,g = 0

Denna likhet involverar alltså en summering över cykliska permutationer av de generella reella glattafunktionerna f, g, och h på fasrummet P. Genom att tillämpa Jacobis likhet erhåller vi (utelämnarkoordinatindexen här för enkelhets skull)

(19)

dds qs,ps =

dqs

ds ,ps + qs,dps

ds =

qs,G ,ps + qs, ps, G =

qs,ps ,G

Av detta inser vi generellt att Poisson-klammern är invariant för (p,q)-variablerna undertransformationen (17) (båda sidorna i ekv (20) satisfierar samma differential-ekvation)

(20)qs,ps = q,p s

(med dito relation för paren (q, q) och (p, p)). Sätter vi Q = qs, P = ps, betyder det att (P, Q) ocksåbildar kanoniskt konjugerade variabler för vilka gäller, mutatis mutandis, ekv (15). Därav följervidare ekv (16), som betyder att definitionen av Poisson-klammern är oberoende av valet avkanoniskt konjugerade koordinater, samt (härmed ekvivalent) att Poisson-klammern är invariant

12

under de kanoniska transformationerna. Nämligen, skriver vi , samt ditoØf2

Øqi = ØQ j

Øq iØf2

ØQ j +ØPj

ØqiØf2

ØPj

för differentialen i p, och substituerar dessa i uttrycket för f1, f2, erhåller vi likheten

(21)f1 , f2 (p,q) =

Øf1

ØQi Qi, f2 (p,q) +Øf1

ØP iP i, f2 (p,q)

Utnyttjar vi denna likhet tillsammans med

Qi,P j (p,q)

= d ji; Qi, Qj

(p,q) = P i,P j (p,q)= 0

erhåller vi först

. Qi, f1 (p,q) =

Øf1

ØQi ; P i, f1 (p,q) = −Øf1

ØP i

Insätter vi sedan motsvarande relationer för f2 i ekv (21) erhåller vi slutligen ekv (16),

.f1 , f2 (p,q) = f1, f2 (P,Q

Föregående undersökning kan preciseras på följande sätt. Vi har ett fasrum P med enPoisson-klammer (PK) struktur. PK-strukturen innebär att mängden C∞(P), bestående av de glattafunktionerna f: P → R, har en algebra-struktur där den algebraiska produkten av två element f, g ∈ C∞(P) definieras som deras PK, f, g ∈ C∞(P) . Gruppen Kan(P) av kanoniska transforma-tioner σ: P → P utmärkes av att PK-strukturen är invariant för dessa transformationer. Meraprecist: Denna grupp Kan(P) av transformationer har en naturlig representation på mängden C∞(P) enligt följande,

(22)r ü r : f ü f ) r−1

r c Kan(P); f c C∞(P)

Definitionen (med inversen av σ) innebär att vi har egenskapen som krävs av enr)t = r ) t

grupp-representation. PK-strukturens invarians under kanoniska transformationer betyder att

(23)r(f),r(g) = r f,g

Denna formulering framhäver koordinatoberoendet. Omvänt kan (23) användas för att definieragruppen av kanoniska transformationer.

1.4 Legendre-transformationen

Vi har nu gett två beskrivningar av mekanikens grundstruktur; den lagranska och den hamiltonska. Iden förra opererar vi med en funktion i termer av konfigurationsrummet M ochL(q,q., t)

13

hastighetsvektorer på denna (hastighetsrummet), den senare baseras på Hamiltons funktioner på fasrummet P (impulsrummet). I det kartesiska fallet har vi följande uttyck för impulsen,H(q,p, t)

(24)p i =ØL(q,q., t)

Øq. i

Låter vi denna ekvation gälla generellt kan vi konstruera en funktion i q och p enligt följande(Legendre-transformation som egentligen redan påträffas i Eulers arbeten),

(25)H(q,p, t) = p iq. i − L(q, q., t)

Nämligen, differentierar vi detta uttryck erhåller vi med hjälp av ekv (24)

(26)dH = q. idp i − ØL

Øq i dq i − ØLØt dt

som visar att H är en funktion i p och q. Legendre-transformationen förbyter ett explicit funktionelltberoendet av hastigheten till ett explicit funktionellt beroende av impulsen. Kombinerar vi ekv (26)med Lagranges ekvation (4) får vi Hamiltons ekvationer (8), vilket bevisar att definitionen (24)faktiskt ger kanoniskt konjugerade variabler. Omvänt kan vi från en hamiltonsk formulering kommatill en lagransk formulering via Legendre-transformationen (25). I denna mening är lagranska ochhamiltonska formuleringar ekvivalenta. (Hamilton- eller Lagrange-funktionen måste i dessa fall fyllavissa villkor. Nämligen, ekvation (24) bör definiera en omvändbar avbildning mellan impuls- ochhastighetsrummet. Om t.ex. Lagrange-funktionen är linjär i hastigheten är detta villkor inte uppfyllt.)

1.5 Symmetrier

Rörelsekonstanter är funktioner som är konstanta under tidsutvecklingen. I hamiltonsk formuleringmedför konstansen av en funktion F(q, p) att

(27)0 = dFdt = F, H u F, H = 0

vilket betyder att funktionen F kommuterar med Hamilton-funktionen H. Ekv (27) betyder vidareatt F samtidigt är en generator av en en-parametrig grupp (symmetrigrupp) av kanoniskatransformationer fs ∈ Kan(P), , under vilka Hamilton-funktionen är invariant,

qs,ps = f s(q, p)

(28)d(H ) f s)

ds = ØHØq i

dqsi

ds + ØHØp i

dp is

ds = ØHØq i

dFdp i

− ØHØp i

dFdq i

= H, F = 0 w H ) f s = H

I lagransk formulering antar vi existensen av en infinitesimal transformation (ε betecknar eninfinitesimal parameter)

14

(29)q d Q = q + eg(q)

sådan att Lagranges funktion L förblir invariant,

(30)

0 = L(Q, Q., t) − L(q, q., t) = e

g i ØL

Øq i + g. i ØLØq

. i =

egi d

dtØLØq

. i + g. i ØLØq

. i = e d

dtg i ØL

Øq. i

u

g i ØLØq

. i = konstant = I

I denna härledning använde vi Lagranges ekvation (vi negligerade också andra ochddt

ØLØq

. i = ØL

Øq i

högre ordningens termer i ε). Man observerar att rörelse-ekvationerna är invarianta undertransformationen

L(q,q., t) d L(Q,Q., t) = L(q, q., t) +

dF(q, t)dt

F : ‘4 d ‘

vilket betyder att villkoret i (30) kan generaliseras till

L(Q,Q., t) − L(q,q., t) =

dF(q, t)dt

Ekv (30) är kärnan i Noethers teorem som förbinder symmetri med invarianta storheter förlagranska system. Den invarianta storheten i (30) kan enligt ekv (24) skrivas

(30*)I = g ip i

Har vi t.ex. invarians under translationer, , visar ekv (30) att impulsen är enq d Q = q + e $ konströrelsekonstant (gi är en konstant parameter). Omvänt ser vi från ekv (14) att impulsen pi uppfattadsom en generator G alstrar translationer. I den lagranska-hamiltonska mekaniken framträder denduala rollen hos funktioner såsom både “observabler” och “generatorer” av transformationer.

Vi observerar att transformationen (29) motsvarar en kanonisk transformation med eninfinitesimal generator ,eG = ep ig i(q)

15

(31)q i d Qi = q i + e q i,G = q i + e ØG

Øp i= q i + ep ig i

p i d P i = p i + e p i,G = p i − e ØGØq i = p i − ep j

Øg j

Øq i

En direkt insättning visar att är invariant under transformationen (31), och attp iq. i

Hamilton-funktionens invarians under denna transformation, tillsammans med Hamiltons rörelse-ekvationer, leder till att (30) är en rörelsekonstant.

1.6 Kontakt-transformationer

Insätter vi transformationen (31) för en generell funktion i differentialen erhåller vi ett meraP idQi

allmänt resultat,

(32)P idQi = p idq i + dF dar

F = ep i

ØGØpi

− G

dvs, de båda formerna skiljer sig genom en total differential dF. Omvänt definierar ekv (32) förfunktionen F en sk kontakt-transformation. Ekv (32) är ekvivalent med att vi harintegralinvarianten (invariant visavi kontakt-transformationer)

(33)“p idqi

“dF = 0

där integrationen gäller slutna kurvor i fasrummet P. Skriver vi F som en funktion F(q, Q) leder (32)till följande transformationsformler ( F kallas dess genererande funktion ),

(34)P i = ØF

ØQi

p i = − ØFØq i

Vi kan också t.ex. formulera transformationen16 i term av en genererande funktion W(Q, p) genomatt skriva,

16

16Vi observerar att en genererande funktion av formen F(Q,q) i (32) inte t.ex. kan återge skpunkt-transformationer Q = Q(q) för vilka pdq = PdQ och F = konstant (från (32.b) ser vi ocksåatt F inte entydigt bestämmer generatorn G). Använder vi formen QdP + pdq = dW(P,q) kommerdäremot W(P,q) = Pi f i(q) att definiera punkt-transformationen Qi = f i(q). Allmänt kan varjekanonisk transformation beskrivas av en genererande funktion i ett lämpligt valt koordinatsystem. Isymplektisk geometri formuleras förhållandet i termer av lagranska delrum och deras genererande

(35)

F = W(Q,p) − p iq i som ger

P i = ØWØQi

q i = ØWØp i

Vi skall visa att en infinitesimal kontakt-transformation motsvarar en infinitesimal kanonisktransformation. Nämligen, en kontakt-transformation som infinitesimalt avviker från identitets-transformationen fås genom att vi i (35) sätter

(36)

W = p iQi − eG u

Qi = q i + e ØGØp i

P i = p i − e ØGØq i

(termer av andra eller högre ordning i ε har negligerats) i vilken vi återfinner den generellainfinitesimala kanoniska transformationen (14). Vi kan direkt utvidga kontakt-transformationer tillfallet där F är tidsberoende. Antar vi att G i (36) är tidsberoende och differentierar visavi tidenerhåller vi (negligerar andra och högre ordningar i ε)

(37)

Q.

i = ØKØPi

P.

i = − ØKØQi

K = H − ØFØt

Kontakt-transformationen av typen (37) kan därför skrivas som en likhet mellan differentialformer,

(38)pdq − Hdt + dF = PdQ − Kdt

Denna likhet utgör grundekvationen för mekanikens transformationsteori.

♠ Exempel - transformation till roterande koordinatsystem. En viktig grupp av kanoniskatransformationer utgörs av de sk punkt-transformationerna, Q = Q(q). Transformationen av q beroralltså inte av p i dessa fall. Punkt-transformationen beskrivs av en genererande funktion av typen

enligt,W(q,P) = f i q

P i

17

funktioner.

pdq + QdP = dW u

p i = ØWØq i =

Øf j(q)Øq i P j

Qi = ØWØPi

= f i(q).

Låt Q beteckna ett roterande kartesiskt koordinatsystem relaterat till ett inertialt kartesisktkoordinatsystem q via en rotation beskriven av en tidsberoende matris A(t) ∈ SO(3), Q = A(t)q.Hamilton-funktionen H för en partikel i det inertiala koordinatsystemet transformeras till

K = H + ØWØt

= H +ØA(t)

ØtA−1Q $ P = H − z $ L

L =impulsmoment

Q % P

(ekvationen kan direkt generaliseras till fler-partikel-system). Rotationsvektorn ω är definieradgenom komponenterna till den antisymmetriska matrisen

ØA(t)Øt A−1 =

0 z3 −z2

−z3 0 z1

z2 −z1 0

Hamiltons ekvationer i det roterande koordinatsystemet leder för Hamilton-funktionen (7) tillrörelse-ekvationerna

m Q = − ØVØQ

− m z. % Q − 2m z % Q.

− m z % z % Q

där vi i högra membrum känner igen Coriolis-termen och centrifugal-termen. ♠

Differentialformen p dq - H dt i (38) antyder att vi kunde uppfatta också tiden (t) ochHamilton-funktionen ( - H) som kanoniskt konjugerade variabler. Nämligen, sätt

q0 = t

H = H(q,p, t) + p0

där p0 betecknar den kanoniskt konjugerade variabeln till t. Inför sedan en utvecklingsparameter s,och skriv Hamiltons ekvationer i det utvidgade fasrummet som,

18

dq i

ds = dHdp i

dp i

ds = − dHdq i

samt

dq0

ds = dHdp 0

dp 0

ds = − dHdq0

Den senare ekvationen ger s = t + konst som tillsammans med de övriga ekvationernareproducerar de ursprungliga Hamiltons ekvationerna (8). Med hjälp av det utvidgade fasrummetkan vi generalisera de kanoniska transformationerna på en form som också inkluderar entransformation av tidsparametern. Ekv (38) blir då istället av typen,

p idqi + p0dq0 − Hds + dF = P idQi + P0dQ0 − Kds

Bl.a. en transformation som överför Kepler-banor på Hookes banor (harmonisk oscillator) tillhördenna sortens generaliserade kanoniska transformationer.17 Det kan anmärkas att ifall vi har enlösning q(t), p(t) av Hamiltons ekvationer, och löser ut tidsparametern som en funktion t(q, p), sågäller för denna att t, H = 1. Detta följer från Hamiltons ekvationer och kedjeregeln fördifferentation. Ett enkelt exempel är den fria partikeln i en dimension där vi har t = m q/p och H =p2/2m som ger direkt t, H = 1. Detta exempel har använts för att diskutera tid-energi relationeni kvantmekaniken.18

1.7 Hamilton-Jacobi-ekvationen

Sätter vi F = Pi Qi - S i (38) erhåller vi,

(39)

pdq − Hdt = −QdP − Kdt + dS u

p i =ØS(q, P, t)

Øq i

Qi =ØS(q, P, t)

ØP i

K = H + ØSØt

Antag vi väljer funktionen S sådan att K = 0, då reduceras Hamiltons ekvationer (10) på den trivialaformen

19

18Y Aharonov, D Bohm, Phys. Rev. 122: 1649 (1961). För analys av “tidsoperatorn” för denharmoniska oskillatorn se H R Lewis et al., Phys. Rev. Lett. 27, 26: 5157 (1996).

17Se artikeln av D R Stump (1998) listad i bibliografin. Kanoniska transformationer som involverartidstransformationer har också visat sig ha betydelse för evaluering av Feynmans vägintegraler.Intraktabla fall såsom Coulomb-potentialen kan transformeras på fallet med den harmoniskaoscillatorn vilken kan lösas explicit (s.k. Gaussiskt fall). Om detta se H Kleinert, Path Integrals inQuantum Mechanics ... (1995). Coulomb-potentialen och den harmoniska oscillatorn bildar ettintressant fall av duala potentialer. Dessa båda potentialer är också relaterade genom en s.k.Hopf-fibrering av 3-sfären; se t.ex. D Oliver, The Shaggy Steed of Physics (1994), s. 271 ff.

(40)Q.

i = 0

P.

i = 0

P och Q utgör alltså i detta fall rörelsekonstanter. Denna speciella generator S kallas för systemetsverkan (action). Från (39) härleder vi dess differential-ekvation för K = 0 (Hamilton--Jacobi-ekvationen),

(41)H(q, p, t)|p= ØS

Øq+

ØS(q,P, t)Øt = 0 w

Hq,

ØS(q,P, t)Øq , t

+

ØS(q,P, t)Øt = 0

Man löser för q(t) från ekvationen i term av initialvärden P och Q, Q i = ØS(q,P,t)ØPi

q = q(Q,P, t).För konstanta värden P och Q utgör denna funktion q(t) lösningen till rörelse-ekvationerna, eftersomden är en kanonisk transformation av lösningen (Q, P = konst) för (37) med K = 0.

Hamilton-Jacobi-ekvationen (HJ) är en av den matematiska fysikens centrala ekvationer.19

Från (39) observerar vi att verkan S kan framställas som en integral längs lösningskurvornaeftersom K = 0 och P, Q är konstanta,

(42)dS = pdq − Hdt|(Q,P)=konst u S(q, t) =

S(q0 , t0) + ¶(q 0,t0)

(q,t) pq. − H

dt = S(q0 , t0) + ¶(q0 ,t0)

(q,t)Ldt

där integralen utförs längs lösningskurvan mellan (q, t) och (q0, t0). I sista likheten har vi nyttjatLegendre-transformationen (25).

♠ Exempel - fri partikel i en dimension. HJ-ekvationen blir Som ansats12m

ØSØq

2+ ØS

Øt = 0.separerar vi en tidsberoende term, , där E enligt (42) motsvarar energin (= H iS(q, t) = W(q) − Et

detta fall). Vi har alltså att lösa ekvationen och får på så sätt den totala lösningen,12m

ØWØq

2= E

S = 2mE (q − q0) − E(t − t0)E= P2

2m

u

S(q,P, t) = P(q − q0) − P2

2m (t − t0) .

♠

20

19Diskretiserade versioner av transformationen (39) har kommit till användning inom Feynmansvägintegralformulering av kvantmekaniken i syfte att härleda en sorts kvantmekaniskHamilton-Jacobi-ekvation. Se V Periwal (1998).

HJ-ekvationen har haft stor betydelse för utvecklingen av kvantmekaniken samt kanoniskstörningsteori inom celest mekanik.

Den teoretiska formalismen som byggts upp i dessa avsnitt kan automatiskt generaliseras tillfler-partikel system med 3N frihetsgrader,

q = (q1 , ...,q3N)

p = (p1 , ...,p3N)

1.8 Newtons ekvation i kurvlineära koordinatsystem

Newtons ekv (3) kan omskrivas för ett generellt kurvlineärt koordinatsystem (q1, q2, q3).Positionsvektorn r uttrycks som en funktion r = r(q). Den “infinitesimala” vektorn dr (differential) fårformen (summation över upprepade index)

(43)dr = Ør

Øq i dq i = b idq i

b i h ØrØq i

Här definierar bi basvektorer i det kurvlineära koordinatsystemet. Hastighetsvektorn blir i detkurvlineära koordinatsystemet

(44)drdt = Ør

Øq i

dq i

dt = b idq i

dt = b iq. i

För accelerationen erhåller vi

(45)

d2rdt2 =

Øb i

Øq j q. jq

. i + b iq i = bkqk + G ij

k q. jq

. i

Øb i

Øq j = bkG ijk

h Ø2r

Øq iØq j

där vi uttryckt vektorn i term av basvektorerna bi . Christoffel-symbolerna Γ beräknas påØbi

Øqj

följande sätt. Från ekv (6) följer

21

(46)

bk $Øb i

Øq j = G ijl b l $ bk = G ij

l g lk h ij,k

g ij h b i $ b j = ØrØq i $ Ør

Øq j u

g ij,k hØg ij

Øqk = ki, j + jk, i u

2 ij,k = g ik,j + g jk,i − g ij,k

Den sista likheten har härletts med hjälp av symmetrin i indexen. Definierar viij,k = ji,kslutligen den inverterade matrisen enligt,g ij

g ikgkj = d ji

kan vi lösa ut Christoffel-symbolerna i term av den metriska tensorn g,

(47)G ijk = gkl ij, l = 1

2gkl g il,j + g jl,i − g ij,l

Newtons ekvation skrivs

(48)mqk + G ij

k q. jq. i = f k

F = f kbk

Samma ekvation kan skrivas på lagrangsk form (vi antar vi har en konservativ kraft given av enpotential),

(49)ddt

ØL

Øq. i

− ØL

Øq i = 0 dar

L(q,q.) = 12 mg ij(q)q. iq. j − V(q)

Detta resultat kan bevisas genom explicit räkning användande ekv (47). Resultatet följer också från“kovariansen” (6); första termen i Lagrange-funktionen i (49) är den kinetiska energin uttyckt ikurvlineära koordinater,

12 m

drdt

2= 1

2 m Ør

Øq i q. i

2

= 12mg ij(q)q

. iq. j

1.9 Några historiska anmärkningar

22

Den lagranska och hamiltonska formuleringen av analytisk matematik kan verka enkel, men deresultat och begrepp som beskrivits i de tidigare avsnitten utvecklades under ett par sekler efterNewtons banbrytande arbete Principia (1687). Vad som idag t.ex. kallas Hamiltons ekvationerbeskrevs förmodligen först av Lagrange 1808 i ett arbete om planetbanornas “störningar”. I dettaarbete lyckas Lagrange reducera en grupp komplicerade ekvationer för banelementens variationerpå en enklare form som vi idag kallar Hamiltons ekvationer. Lagrange tycktes dock inte ha insett attdynamikens grundekvationer kan föras på samma hamiltonska form. A Weinstein kommenterarfallet:

“In particular, Lagrange seems not to have observed that the motions themselves, and notjust their variations, could be described by equations in his simple form. Furthermore, Lagrange’suse of these equations was mainly computational; he did not explore their theoretical consequencesas did Hamilton and Jacobi”.20

Hamilton-ekvationernas förhistoria kan vidare spåras till teorin för partiella differentialekvationer(PDE) och lösningsmetoden baserad på karaktäristiska kurvor 21(Cauchy, Pfaff, Monge,Lagrange). Lagranges ekvationer publicerades i dennes Mécanique Analytique (1788), menantyddes redan i en uppsats av honom från 1760 (Euler skrev ned ekvationerna redan 1744, varförde med rätta också kallas Euler-Lagrange-ekvationer). Lagrange införde ocksåpotentialfunktionen i fysiken 1773 (beteckningen potential lanserades av Green 1828), även omden främst blev känd via Laplaces Mécanique Céleste (1799 - 1805) vilken också införde kutymenatt beteckna potentialen med V.

Hamilton leddes till sin omformulering av mekaniken (1834) via studiet av ettoptiskt-geometriskt problem (1824). Ljuset betraktades som ett knippe strålar som utbredde sigmed en ändlig hastighet omvänd proportionell till mediets brytningsindex. Huygens hade införtbegreppet vågfronter. Ändpunkterna till strålarna som utgår från en källa definierar vid varjetidpunkt en yta Σ, vågfronten. Enligt Huygens bild kan vi konstruera successiva vågfronter genom attbetrakta varje punkt på en vågfront Σ som en källa, och definiera en ny vågfront Σ’ som enveloppentill dessa punktkällors vågfronter. Matematiskt har vi alltså att göra med en transformation av en ytapå en annan yta, som Sophus Lie kom att kalla kontakt-transformationer22. (Två ytor som skäreller tangerar varandra - är i kontakt - överförs genom en dylik transformation på två ytor likaledes ikontakt.) Hamilton utgick i sin analys från vad han kallade en karaktäristisk funktion V(q, q’)(motsvarar eikonalen i modern geometrisk optik - inte att förväxla med potentialfunktionen somockså betecknats med V), som anger tiden för en stråle att nå punkten q’ från punkten q. Hamiltonvisade hur man kunde konstruera vågfronterna utgående från den karaktäristiska funktionen Vgenom det vi nu kallar Hamiltons ekvationer23 och kanoniska transformationer.

23

23För den historiska bakgrunden se E T Whittaker, A Treatise on Analytical Dynamics ofParticles and Rigid Bodies (1944), s. 288 ff. För en koncis men klar framställning av geometriskoptik, se L D Landau, E M Lifschitz, The Classical Theory of Fields (1975), kap. 7. V Guilleminoch S Sternberg inleder sin bok Symplectic Techniques in Physics (1984), med en grundligdiskussion av geometrisk optik och dess relation till symplektisk mekanik.

22Betydelsen av denna term varierar.

21För en skiss av metoden se t.ex. C von Westenholz, Differential Forms in MathematicalPhysics (1978), s. 239 ff. Klassikerkällan är C Carathéodory, Calculus of Variations and PartialDifferential Equations (Vol.1, 1965; Vol. 2, 1967; tysk uppl. Leipzig 1935).

20A Weinstein, Lectures on Symplectic Manifolds (1977), s. 16.

Σ(1)Σ(2)

Beteckningen kanoniska transformationer infördes av Jacobi 1837 och vann uppslutningtrots att ingen var riktigt på det klara med varför det hette så. “Why it has been so called would behard to say”, skrev Thomson och Tait24 1879. Jacobi var den förste som bevisade (1837) attkontakt-transformationer bevarar den hamiltonska formen för rörelse ekvationerna.

Poisson-klamrarna har faktiskt fått namn efter sin uppfinnare D Poisson (1809). Poissonbevisade bl.a., att om F och G är rörelsekonstanter, så är också F, G en rörelsekonstant.Nämligen, ifall vi betecknar systemets Hamilton-funktion med H har vi,

F,H = G,H = 0 u

F,G ,H = − G,H , F − H,F ,G = 0

där vi nyttjat Jacobis likhet (18).Hamilton-Jacobi-ekvationen (HJ) presenterades av Hamilton i sitt arbete från 1834 (Phil.

Trans.) som en utvidning av ett resultat ur arbetet i optiken (1824) till mekaniken. Jacobi bevisade(1837) att lösningen S(q, P, t) till HJ ger lösningen (q(t), p(t)) till rörelse-ekvationerna (Hamiltonsekvation) i term av rörelsekonstanterna Q och P via transformationen (39).

Pionjären framom andra när det gäller kontinuerliga transformationer är förstås Sophus Lie(tillsammans med F Engels). Men en systematisk undersökning av klassisk mekanik urgruppteoretisk synvinkel lät vänta på sig tills efter att gruppteorin förmälts med kvantmekaniken(Wigner, Bargmann, Newton, m.fl.).

Analytisk mekanik i kurvlineära koordinatsystem med hjälp av tensorkalkylen (Levi-Civita)och Riemanns geometri utvecklas i Synges “On the geometry of dynamics” (Phil. Trans. A, 226,1926). En approach som också tagits upp i introduktionskurser i mekanik25.

Vi har inte i detta kapitel berört variationsprinciperna eftersom huvudsyftet enbart varit attklarlägga den analytiska mekanikens matematiska grundstrukturer (däremot kan vilka som helstdifferentialekvationer formuleras med en variationsprincip). För en klassisk avhandling omvariationsprinciper med intressanta historiska kommentarer, se C Lanczos, The VariationalPrinciples of Mechanics (University of Toronto Press 1949, 4. ed. 1970). Denna bok innehåller

24

25Se t.ex. T C Bradbury, Theoretical Mechanics (1967), s. 81 ff.

24Cit. efter H Goldstein, Classical Mechanics (1980), s. 342, fotnot. Ursprungskällan är WThomson & Tait, “Treatise on Natural Philosophy”, 1879, vol. 1, p. 307.

också intressanta notiser om den analytiska mekanikens historia och referenser till äldre verk iämnet. Variationsprinciper behandlas kort i del 2 av denna uppsats.

Slutligen en liten lista på några centrala figurer och verk i den analytiska mekanikens historiafram till 1900-talet:

C Huygens (1629-1695)- Horologium Oscillatorum, Paris 1673.

I Newton (1642-1727)- Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London 1687.

L Euler (1707-1783)- Mechanica sive Motus Scientia, Petersburg 1736.

J d’Alembert (1717-1783)- Traité de Dynamique, Paris 1743.

J L Lagrange (1736-1813)- Mécanique Analytique, Paris 1788.- “Mémoire sur la théorie des variations des élements des planétes ... ”, Mem. Cl. Sci. Math. Phys. Inst. France (1808), 1-72.

P S Laplace (1749-1827)- Mécanique Céleste (1799-1805).

A M Legendre (1752-1833)S-D Poisson (1781-1840)

- Inför bl.a Poisson-klamrarna i en artikel i Journal de l’Ecole polytech. viii. (Cahier 15), 1809.

K G J Jacobi (1804-1861)- Vorlesungen über Dynamik (1842-1843), Berlin 1866. (Gesammelte Werke, Vol. 8, New York 1966.)

W R Hamilton (1805-1865)- “General method in dynamics ...”, London Phil. Trans. 1834, T. II; 1835 T. I .

J Liouville (1809-1882)C Delauney (1816-1872)

- “Théorie du mouvement de la lune”, Mem. 28 (1860); 29 (1867), Acad. Sci. France.

G W Hill- “Researches in lunar theory”, Am. J. Math. 1:5-26; 129-147; 245-260 (1878).

25

“Ce qui rend important la géométrie sympleqtique, c’est qu’elle s’imposed’elle-même”26

2. Symplektisk geometri och dynamik

2.1 Differentiabla mångfalder

I kapitel I har vi kort presenterat den analytiska mekanikens grundidéer. Det har i fysiken visat sigatt mekanikens matematiska strukturer har tillämplighet vida utöver enbart mekanikens traditionellaproblem. Den nutida fysikens alla fundamentala teorier formuleras enligt Lagranges och Hamiltonsmetoder. Det är därför av vikt att undersöka dessa metoders generella formuleringar och strukturellakärna. Utgångspunkten blir alltså allmänna rum, eller mer precist, differentiabla mångfalder. Endifferentiabel n-mångfald är helt enkelt en topologisk mängd M som lokalt “liknar” den kartesiskamängden Rn: För varje punkt q i M finns en öppen mängd U ∋ q och en isomorfism ϕ från U till enöppen mängd i Rn.

(1)q c U _ M

w : U d w(U) _ ‘n

Paret (ϕ, U) är ett koordinatsystem kring punkten q. Till definitionen av en mångfald M hör att dentäcks av koordinatsystem (ϕk, Uk) där M = ∪ Uk, och indexen k begränsas till en numrerbar(countable) mängd A. Att mångfalden är differentiabel innebär att koordinattransformationerna föröverlappande koordinatsystem är differentiabla: Om

(2)Uk 3 U l ! — saÿ ar

wk ) w l−1 : |w l(Uk 3 U l) d wk(Uk 3 U l)

en differentiabel ‘n-funktion.

En funktion f: M → N mellan två differentiabla mångfalder sägs vara differentiabel ifall

(3)y k ) f ) w l−1 : w l(Ul) d y k(Vk 3 f(U l))

är differentiabla Rn-funktioner. Här betecknar (ψk, Vk) koordinatsystem för mångfalden N.Egenskapen (2) innebär att definitionen av differentiablitet av f är oberoende av det speciella valet avdifferentiabla koordinatsystem. En viktig klass av differentiabla avbildningar består av kurvor på M,

(4)f :I _ ‘ d M

26

26J-M Souriau intervjuad i Le Journal de Maths november 1995 av P Iglesias (intervjun finns påinernet, se bibliografin på namnet Iglesias).

För en dylik differentiabel kurva är det naturligt att definiera dess hastighet df(t)/dt. Då kan videfiniera tangentmångfalden TM till M som mängden av alla hastighetsvektorer till alladifferentiabla kurvor på M. I lokala koordinatsystem kan df(t)/dt:s komponenter skrivas

(5)

d(wk ) f(t))dt = ( dx1

dt , ..., dx n

dt )

d(w l ) f(t))dt = (

dy1

dt , ...,dyn

dt ) vilket ger

dyi

dt =Øyi

Øxjdx j

dt |y(x)=w l)wk−1(x)

x(t)=wk )f(t)y(t)=w l)f(t)

Vi har i (5) den bekanta transformationsformeln för vektorkomponenter mellan olikakoordinatsystem. Formellt kan vi definiera tangentmångfalden till M som en 2n-mångfald TM,nyttjande följande ekvivalensrelation (≈) över mägden A × M × Rn:

(6)

k, p,v l l, q,wp c Uk; q c U l; v,w c ‘n ;k, l c A

w

q = p

w i =Øy i

Øx j v j|y(x)=w l)wk−1(x)

Tangentmångfalden definieras som mängden av ekvivalensklasserna [ k, p, v ] under dennaekvivalensrelation; definitionen formaliserar egenskapen att vektorbegreppet är oberoende avkoordinatsystem. Denna kvot-mängd A × M × Rn/≈ “ärver” den differentiabla strukturen från Mgenom att vi kan definiera koordinatomgivningar till TM som

(7)(y k, Uk % ‘n)

y k([k,p,v]) = (wk(p),v) c ‘n % ‘n

Tangentmångfalden TM är ett exempel på ett fiberknippe som här har fiberstrukturen Rn överbasmångfalden M med projektionsavbildningen π: TM → M definierad genom,

(8)o :TM d M

ok, p,v

= p

Tangentrummet vid en viss punkt q ∈ M betecknas med TqM, och tangentmångfalden kan intuitivtbeskrivas som en union över M av dessa tangentrum, TM = ∪ TqM. I och med att vi har definierattangentrum för differentiabla mångfalder kan vi överföra alla lineära strukturer till tangentmånfalder,såsom tensorrum.

Till varje vektorrum E hör det duala vektorrummet E* bestående av lineära funktioner f :E → E. Betecknar vi det duala vektorrummet till TqM med T*qM kan vi definierakotangentmångfalden T*M som T*M = ∪ T*qM. Konventionen är att skriva komponenterna

27

för kotangentvektorer med sub-index. Den formella definitionen av kotangentrum följer (6) medskillnaden att vi har den kovarianta (varifrån förleden ko- kommer) transformationsformeln(transformationen i (6) kallas traditionellt kontravariant)

(9)a i =Øyj

Øx i b j|y(x)=w l)wk−1(x)

Transformationen (9) garanterar att värdet av uttrycket för verkan ava, v = a iv i = b iw i

kovektorn a ∈ T*qM på vektorn v ∈ TqM är oberoende av koordinatsystemet. Traditionelltbetecknas koordinat(ko)vektorbaserna enligt

(10)

v c TqM med v = v i ØØxi och

a c Tq&M med a = a idxi dar

dx i( ØØxj ) = d j

i

Den sista raden definierar dx i som den duala basen till ∂/∂x i . Transformationsreglerna följergenom att i (10) sätta

(11)

dx i = Øx i

Øyj dyj och

ØØyi = Øx j

ØyiØ

Øx j dar

y(x) = wk ) w l−1(x)

Föregående definitioner kan enkelt generaliseras till att definiera allmänna tensormångfalder viatensorprodukten ⊗,

Tsr(M) = 4qcM

r

Tq&(M) 1 ... 1 Tq

&(M) 1s

Tq(M) 1 ... 1 Tq(M)

Differentiabla avbildningar f: M → N överför också de differentiabla strukturerna.Avbildningen f: M → N inducerar en naturlig avbildning, derivatan (“push-forward”) f*: TM → TN,som överför en hastighetsvektor v = ds/dt ∈TM till en kurva s: R → M på hastighetsvektorn f*(v) ≡df(s(t))/dt ∈ TN. Avbildningen f: M → N inducerar samtidigt en naturlig avbildning, koderivatan(“pull-back”) av kotangentrummen, f*: T*N → T*M, som avbildar kovektorn a ∈ T*f(q)N påkovektorn f*(a) vilken för v ∈ TqM antar värde a(f*(v)). På koordinatform:

(12)TM

f&d TN : v i üØyi

Øxj v j|y(x)=y l)f)wk−1(x)

T&N f&

d T&M : a i üØyj

Øxi a j|acT f(q)& N

28

Antisymmetriska lineära former på TM spelar en viktig roll (vi talar härefter bara om former). Dessaformer kan byggas upp från 1-former via kilprodukten som kan definieras enligt27

(13)a . b(v 1 , ...,v n+m ) =

1n!m! S sign(r)a(v r(1) , ..., vr(n))b(v r(n+1) , ...,v r(n+m))

(summering över alla permutationer av indexen där sign(σ) är 1 för jämna permutationer σ och -1för udda permutationer σ) för en n-form och en m-form som bildar en (m+n)-form. Vi har t.ex.28

(14)dx . dy = dx 1 dy − dy 1 dx

Given en n-form α, då kan vi definiera en (n+1)-form kallad dess differential dα genom endifferentialoperator d (“exterior derivative”, yttre derivatan ),

(15)

a = aIdx I u

da =ØaI

Øx j dx j . dx I

(dx I = dx i1 . ... . dx in)

Speciellt har vi identiteten (“Poincarés lemma”). En differentiabel avbildning dda = 0f: M → N kan naturligt utsträckas till en avbildning (koderivata) f*: D(N) → D(M) av differential-former över N på differentialformer över M29,

(16)f&(a)(v) = a(f&(v ))

a c T f(q)

& N; v c TqM

där D(N) betecknar rummet av differentialformer på N. Koderivatan “kommuterar” medkilprodukten och yttre derivatan,

(17)f&(a . b) = f&a . f&b

d(f&a) = f&da

Integrering av former på mångfalder definieras i relation till en orientering,

29

29I (16) ges definitionen explicit för 1-former, men kan direkt utsträckas till generella n-former.

28Givet två vektorer u och v, då är dx ⊗ dy (u, v) = dx(u) dy(v).

27Endel använder en faktor 1/(n+m)! istället för 1/n!m! i (13). Kilprodukten och differentialformer ärexempel på Grassmann-algebra.

(18)¶ a(x)dx 1 . ... . dx k = !¶ a(x)dx 1...dx k

där tecknet beror på orienteringen av koordinatsystemet (x). En n-mångfald M med rand kandefinieras som en union av en n-mångfald och en (n-1)-delmångfald, M = N ∪ ∂M. T.ex., försträckan M = [a, b] har vi N = (a, b); ∂M = a, b (= sträckans randpunkter). Förorienterbara n-mångfalder M och kontinuerligt differentierbara (n-1)-former α på M gäller följandesats (en generalisering av Gauss’, Kelvins, etc, sats för n = 2 och 3)

(19)¶M

da = ¶ØMa

Stokes’ sats

För en differentiabel avbildning f: M → N och en n-form α på n-mångfalden N har vi,

(20)¶

f(M)a = ¶

Mf&a

vilket generaliserar regeln om variabel-substitutioner i integraler.

2.2 Fasrummet

Antag mångfalden M är konfigurationsrummet för ett mekaniskt system med en Lagrange-funktionL. Vi skall visa att fasrummet motsvaras av kotangentmångfalden T*M. Nämligen,Lagrange-funktionen L är definierad på tangentrummet, L: TM → R. Legendre-transformationendefinierar en transformation mellan tangentrummet och kotangentrummet,

(21)(q,q.) c TqM ü (q, ØL

Øq. ) c Tq&M

L : TM d ‘

ty, definierar en kovariant vektor. Omvänt, har vi ett hamiltonsk system definierat påp i = ØLØq. i

kotangentrummet, H: T*M → R, kan vi definiera omvändningen till (13) genom

(22)(q,p) c Tq

&M ü (q, ØHØp ) c TqM

H : T&M d ‘

i term av Hamilton-funktionen H. Här definierar en kontravariant vektor i TqM. Alltså,q. i = ØHØpi

medan hastighet hör hemma i tangentrummet, hör impulsen hemma i kotangentrummet.

Vi har för fasrummet P = T*M ett naturligt kanoniskt koordinatsystem (q, p), och enPoisson-klammer struktur PK definierad genom,

30

(23)F,G = ØF

Øq iØGØpi

− ØFØp i

ØGØq i

F,G : T&M d ‘

Varierar vi F i (23) kan vi betrakta vi betrakta . , G som en lineär operator på funktionsrummetöver T*M. Denna operator kan identifieras med ett vektorfält XG,

(24)F,G = dF(XG) h XGF

XG = ØGØpi

ØØq i − ØG

Øq iØ

Øp i

Definierar vi den symplektiska 2-formen ω genom

(25)z = dq i . dp i

erhåller vi

(26)z(XG, .) = dG

z(XG,XF) = dG(XF) = G,F

Omvänt, given den symplektiska formen (25) kan vi för varje funktion G tillordna ett vektorfält XG genom (26a), och därefter införa PK genom (26b). Omvändningen av (26a) förutsätter att ω äricke-degenererad; dvs,

(27)≤YcTx T&M z(X, Y) = 0 u X = 0

Detta betyder att matrisen för ω har en icke-försvinnande determinant,

(27*)z(X, Y) = z ijX iYj

detz ij ! 0

Denna egenskap kan enkelt bekräftas för formen (25). Hamiltons ekvation för en kurva ξ: R → T*M kan nu skrivas på de två formerna

(28)

dndt = XH(n) och

i dndt

z = dH(n) dar

iXa(X1 , ...,Xn−1)def= a(X,X1, ...,Xn−1)

31

(vi har samtidigt infört den inre produkten iX som avbildar n-former α på (n-1)-former förvektorfält X). Enligt undersökningen i kapitel 1 innebär en kanonisk transformation f: T*M → T*M att den symplektiska formen (25) är invariant,

(29)dQi . dP i = dq i . dp i

f :(q, p) ü (Q(q, p),P(q,p))

Likheten i (29) betyder att (Q, P) är ett kanoniskt koordinatsystem som satisfierar (1-15).Invariansen (29) kan skrivas,

(29*)f&z = z

Likheten (29) följer direkt om vi skriver transformationen på den klassiska formen,

(30)p idqi + dF = P idQi

F :T&M d ‘

genom att ta den yttre derivatan och nyttja ddF = 0. Omvänt kan varje kanonisk transformation(29*) lokalt representeras på formen (30) eller dess kanoniska motsvarigheter (se diskussionen iavsnit 1.6). Den kanoniska 1-formen

(31)h = p idq i

kan för kotangentrum definieras globalt som koderivatan av projektionen π: TM → M fråntangentrummet,

(32)

T&M o&

d T&TM for vilken galler

o&(q,p)(q,v, q.,v.) = p(o&(q, v,q

.,v.)) =

hq. i Ø

Øq i = p iq

. i

På det utvidgade kotangentrummet T*M × R kan vi införa Cartan-formen som användes i kapitel 1(R syftar på tidsdimensionen),

(33)hH = p idq i − Hdt

hH : T&M % ‘ d T&(T&M % ‘)

Generella tidsberoende kanoniska transformationer kan lokalt skrivas som,

32

(34)p idqi − Hdt + dF = P idQi − Kdt

hH + dF = hK

Genom en direkt räkning finner vi att

(35)zH(

dfdt , .) = −dhH(

dfdt , .) =

q

. i − ØHØp i

dp i −

p. i + ØH

Øq i dq i +

ØH

Øq i q. i + ØHØp i

p. idt

där ζ är en kurva i det utvidgade fasrummet T*M × R, ζ(t) = (ξ(t), t). Uppenbarligen kanHamiltons rörelse-ekvationer (28) formuleras som

(36)i df

dtzH = 0

Eftersom Cartans 2-form ωH = -dθH är invariant under den generella kanoniska transformationen(34) (ta yttre derivatan) följer att de hamiltonska rörelse-ekvationerna är invarianta visavi dessatransformationer.

En orsak till intresset för symplektiska strukturer i fysiken är utsikten att kunna återföra allafysikens rörelse-ekvationer på den enkla grundformen (36, 28b).

♠ Exempel - en laddad partikels rörelse i ett elektromagnetiskt fält. Det elektromagnetiskafältet karaktäriserar av en 1-form över rumtiden (motsvarar den sk vektorpotentialen i klassiskelektrodynamik) - de grekiska indexen inkluderar summering över tidskoordinaten,

A = Al(x)dxl ger

F = dA = 12

Al,m − Am,l

dx m . dx l =

Scykl

Bidx j . dx k + E idx i . dt dar

B = Ã % A (magnetisk flodestathet)

E = − ØAØt − Ãv (elektriskt falt) och

v = −A t (elektrisk potential)

A = Ax, Ay,Az

(vektorpotential)

B betecknar alltså den magnetiska fältstyrkan, E betecknar det elektriska fältet. I klassisk elektro-dynamik härleds rörelse-ekvationerna genom att foga en hastighetsberoende term till den friapartikelns Lagrange-funktion L0 (e betecknar den elektriska laddningen hos partikeln),

33

L = L0 + eAlx.l u

p i = ØLØx. i =

ØL0

Øx. i + eA i(x)

Den kanoniska impulsen får alltså ett additivt tillskott. Vi kan anmärka att en transformation

p i d P i = p i + f i(q)

q i d Qi = q i

är ett specialfall av kanoniska transformationer ifall , som i fallet för vektorpotentialendf idq i

= 0betyder ett försvinnande em-fält. Enligt Lagrange-formalismen får vi rörelseekvationerna,

ddt

ØL0

Øx. i

= −edA idt + eAm,ix

. m = −e(A i,m − Am,i)x.m =

Lorentz kraften

ex. % B + eE

Vi får förstås samma ekvationer via Hamilton-formalismen (36) med den nya Hamilton-funktionen . Samma resultat erhålles också genom att till Cartan-formen (33)H(q,p) = H0(q,p − eA) + eA t

med Hamilton-funktionen H0 tillfoga vektorpotentialformen A, . Vi får en nyhH0 d he = hH0 + eA”elektromagnetisk” symplektisk 2-form genom . I detta fall beskrivs elektromagnetismenz e = −dhe

som en modifikation av den kanoniska symplektiska formen. Se Appendix C för fallet med enpartikel med spin i magnetfält. ♠

2.3 Symplektisk mångfald

Kotangentmångfalden är ett speciellt exempel på en symplektisk mångfald. Vi definierar allmänt ensymplektisk mångfald som en 2n-dimensionell differentiabel mångfald P med en differentiabel2-form ω som uppfyller kraven

ω är icke-degenererad (se (27)) ω är sluten; dvs, dω = 0. (37)

För kotangentmångfalder följer det automatiskt att den kanoniska symplektiska formen (25) ärsluten genom relationen ω = −dθ och dd = 0. Att ω är sluten garanterar omvänt att ω lokalt kanskrivas på formen (25) och att vi kan definiera Poisson-strukturen som satisfierar Jacobis likhet ochdärför bildar en algebra. För att närmare studera dessa frågor behöver vi beräkna formersförändringar under flöden. En parametriserad set av differentiabla funktioner

(38)f s : P d P

f s ) f t = f s+t

34

kallas ett flöde. T.ex. lösningen till Hamiltons ekvationer på kotangentmångfalden bildar ett(hamiltonskt) flöde där fs(x) är lösningkurvan som passerar punkten x ∈ P vid tiden s = 0, f0(x) = x. Varje flöde definierar ett vektorfält genom

(39)X(f s(x)) =df s(x)

ds

och omvänt definierar varje kontinuerligt vektorfält ett flöde (eventuellt för begränsade parameter-intervall). Flöden är omvändbara differentiabla avbildningar (diffeomorfismer) eftersom vi har

. Förändringar av vektorer och allmänna tensorfält under flöden studeras med hjälp avf s−1 = f−s

Lie-derivatan definierad genom

(40)LXa =

df s

&a

ds |s=0

X ) f s =df sds

Koderivatan avbildar kotangentrummet vid punkten fs(x) på kontangentrummet vid punkten x,

(41)f s

& : T f s(x)& P d Tx

&P

Derivatan i (40) av n-formen α är alltså gränsvärdet av en differens mellan former vid samma punkt,och derivatan (40) är därför också en n-form. Lie-derivatan kan generaliseras till allmänna tensorerpå P genom30,

(42)LXtlk =

d1k f s

& 1 l f s

−1 &

t lk

ds |s=0

X ) f s =df sds

Vi ger ett par exempel för Lie-derivatan av en 0-form F (funktion), 1-form ai dx i och ett vektorfält Y :

(43a,b)

LXF =d(F ) f s )

ds = ØFØx i X i = dF(X) h X(F)

LX(ai(x )dx i) = LX(a i(x))dx i + a i(x)d(LXxi) =

a i,jX jdx i + a iX ,ji dx j =

a i,jX j + a jX ,ij

dx i

35

30Beteckningarna torde vara självklara; vi har t.ex. då t är enf& 1 f& t(a,u) = t(f&a, f&u)(1,1)-tensor.

(43c)

LXY =d

(f−s )&Y

ds |s=0 =sd0lim

(f−s )&Y − Ys u

LXY(x)

i=

sd0lim

Ø(x i−sX i )Øxj Yj(x + sX) − Yi(x)

s =

X jY,ji − YjX,j

i h X,Yi

( [X, Y] betecknar den sk Lie-produkten för vektorfält). Vid uträkningen av LXY i (43) har vi använt

(44)f s : x i ü x i + sX i(x) + O(s2)

till första ordningen i s för infinitesimala värden på s. Vi har också använt följande egenskaper förLie-derivatan på former som följer direkt från (17) och Leibniz’ regel,

(45)LXa . b

= LXa . b + a . LXb

LX(da) = d(LXa)

Från (43) kan vi bekräfta för 0- och 1-former att LX kan uttryckas i termer av den inreprodukten isom (för funktioner f sätter vi iXf = 0),

(46)LXa = iXda + d(iXa)

Denna likhet kan genom induktion bevisas för 2-former och generella n-former.

Lie-derivatan kommer till användning när vi undersöker flöden som lämnar den symplektiskaformen invariant, de sk symplektomorfismerna,

(47)f s&z = z

Differentierar vi (47) visavi s och nyttjar (46) erhåller vi (X motsvarar flödets vektorfält)

(48)0 = LXz = iXdz + d(iXz)

Eftersom dω = 0, följer att,

(49)d(iXz) = 0 u iXz = dH

dvs, symplektomorfismerna på P, Sympl(P), motsvaras av de (hamiltonska/symplektiska) vektorfältsom lokalt genereras via en generator H enligt ekv (49b). Tack vare relationen (49) mellan

36

symplektiska vektorfält och funktioner på P, kan vi överföra definitionen (26) av Poisson-klamrar tillallmänna symplektiska mångfalder. Vi påstod tidigare att slutenheten dω = 0 garanterar attPoisson-strukturen defnierar en algebra. Slutenheten innebär att vi lokalt kan införa ett kanonisktkoordinatsystem med ω representerad genom (25) (Darboux’ teorem). Vi kan ge ett analytisktbevis som nyttjar följande två likheter för allmänna differentiabla k-former och vektorfält (“hatten”över en vektor betyder att den utesluts ur listningen),

(50)da(X0 , ...,Xk) = S

i=0

k(−)iX ia(X0 , ..., X i, ..., Xk) +

Si<j

(−)i+ja(X i, Xj , X0 , ..., X i, ..., X j, ...,Xk)

(51)(LXa)(X1 , ...,Xk ) = X(a(X1 , ...,Xk )) −

Si=1

ka(X1 , ..., X, X i , ...,Xk )

Ekv (51) följer från en tillämpning av Leibniz’ regel i versionen

LXa(X1 , ...,Xk)

= (LXa)(X1 , ...,Xk ) +

Si=1

ka(X1 , ...,LXX i, ..., Xk )

Ekv (50) kan bevisas genom induktion på graden av k-formen, nyttjande ekv:a (51) och (46).Tillämpar vi (50) på den symplektiska 2-formen erhåller vi,

(52)0 = dz(X, Y,Z) = S

cyklXz(Y, Z) − S

cyklz(X, Y, Z)

Vi antar att X, etc, är hamiltonska vektorfält; dvs, LXω = 0, etc. Tillämpning av (51) ger då,

(53)Xz(Y,Z) = z(X,Y,Z) + z(Z,X ,Y) u

Scykl

Xz(Y,Z) = 2 Scykl

z(X,Y,Z)

som i kombination med (52) innebär att,

(54)Scykl

Xz(Y,Z) = 0

Ifall X, Y, och Z genereras av funktionerna A, B, och C, är (54), enligt definitionen (26) förPoisson-klammer, detsamma som,

37

(55)Scykl

A, B , C = 0

dvs, Jacobis likhet för Poisson-klammern, vilket visar att de glatta funktionerna på P bildar enalgebra med Poisson-klammer produkten. Denna Poisson-algebra är relaterad till algebran X(P) avvektorfält på P med Lie-produkten [X, Y]. Med hjälp av likheten

(56)LX,Y = LXLY − LYLX

är det enkelt att bekräfta att vi för vektorfälten har Jacobis likhet,

(57)Scykl

X,Y,Z = 0

Likheten (56) bevisas t.ex. genom induktion på tensorgraden användande Leibniz’ regel. Vi skallslutligen härleda ett samband mellan vektorprodukten (Lie-klammern) och Poisson-klammern. LåtXA vara Hamilton-vektorfältet med generatorn A, etc, då har vi,

(58)

LX A,X B C = LX A LXB − LX B LXA

C = LX A C,B −

LX B C, A = C, A ,B + C, B, A −

C, B ,A − C, A, B u

LX A,X B C = − C, A,B

Tredje likheten i (58) följer från första leden i (53), sista likheten följer efter att ha tillämpat Jacobislikhet (55). Sista likheten i ekv (58) betyder att,

(59)X A,B = −XA ,XB

vilken ger relationen mellan Poisson-algebran (C∞ (P, R), , ) och vektoralgebran sympl(P) ⊂X(P) (begränsad till hamiltonska/symplektiska vektorfält). Ekv (59) bevisar att sympl(P) är slutenunder Lie-vektorprodukten (och därmed faktiskt utgör en algebra).

Omvänt kan vi bevisa, att ifall formen ω definierar en Poisson-algebra genom (26) måste ω vara en sluten form, dω (X, Y, Z ) = 0 för generella vektorer X, Y, Z. För att demonstrera dennalikhet kan vi anta att X, Y, och Z utgör hamiltonska vektorfält (LXω = 0, etc) som i en given punktkan anta godtyckliga värden ( dω (X, Y, Z ) beror ju bara på vektorernas värde vid den punktuttrycket beräknas, inte på själva vektorfältens derivator, etc). Från uttrycket i (52) för dω ser vi attdenna måste försvinna om vi använder första leden i (53), samt (59), med Jacobis likhet för PK.

38

2.4 Symmetrier

“Kant a proclamé que l’espace et le temps ètaient descatégories a priori de l’entendement inscrites dans notresensibilité. Je propose une variante: ce n’est pas l’espace et le temp, ce sont les groupes des déplacements euclidiéns et celui des translations temporelles, qui sont noscatégories a priori.”31

2.4.1 Lie-grupper

Symmetrier har en stor “praktiskt” betydelse - de underlättar ofta radikalt lösande avmatematisk-fysikaliska problem. Men deras betydelse ligger också på ett djupare plan. Självanaturen och naturlagarna tros följa generella symmetriprinciper, som antingen är av den manifestatypen eller av den dolda typen. Dolda symmetrier betyder att grundekvationerna har en visssymmetri, medan speciallösningar till dessa ekvationer saknar denna symmetri (symmetribrott).Matematiskt beskrivs symmetrier av en symmetrigrupp G som verkar på ett rum P,

(60)F :G % P d P : (g,p) ü F(g, p) h Fg(p) h g $ p

Fg ) Fh = Fgh

(Gruppkompositionen av två element g och h betecknas här gh, för gruppaktionen på G har viangivit ett par alternativa beteckningssätt.) Vi specialiserar oss på fallet med en kontinuerlig grupp G,en sk Lie-grupp. Det har visat sig att man utan inskränkningar kan anta att G är en analytiskmångfald. Lie-algebran L(G) till G definieras som tangentrummet vid enhetselementet e,

(61)L(G) = TeG

(algebra-produkten definieras i ekv (64)). På G har vi naturliga diffeomorfismer definierade genomhöger- och vänstermultiplikation,

(62)Rg : h ü hg

Lg : h ü gh

Genom derivatan till avbildningarna kan vi utsträcka vektorerna i L(G) till vektorfält över hela TG.Vi definierar speciellt de vänster-invarianta vektorfälten genom,

39

31J-M Souriau intervjuad i Le Journal de Maths, november 1995, av P Inglesias. H Primas (1983:348) anser att s.k. naturlagar är endast vårt sätt att betrakta verkligheten utgående från vissasymmetrier: “Natural laws are not discovered, they are human creations forced by a particular pointof view. We do no longer believe in ‘great natural laws’ since truisms are not the kind of statementsto believe in. Natural laws are compelling consequences of some presupposed grouptheoretical structure.” Stor betydelse för “grupp-paradigmets” spridning hade F Klein och hansmanifest från 1872 som fått gå under benämningen “Erlanger Programme” ( Mathematische Annalen 43 ).

(63)Va(g) = Lg

&a dar

a c TeG ; g c G

Algebra-produkten för två element i L(G) definieras traditionellt som Lie-produkten av derasvänster-invarianta vektorfält,

(64)a,b h Va ,Vb

Detta fullföljer definitionen av Lie-algebran L(G). Givet en vektor a ∈ L(G), då kan vi definiera en 1-parametergrupp, betecknad exp(ta)

(eller eta), genom differentialekvationen

(65)

dexp(ta)dt =

Lexp(ta) &

a

exp(ta)|t=0 =enhetselementet

e w

exp(s + t)a = exp(sa)exp(ta)

Denna avbildning generaliserar exponential-avbildningen bekant från reell analys på R. Sista likheteni (65) följer av att båda sidorna satisfierar samma differentialekvation visavi s.

2.4.2 Dynamisk grupp, impulsavbildningen

I det följande specialiserar vi (60) på fallet av en representation på en symplektisk mångfald(P, ω). Detta betyder att avbildningen Φg för varje element g i G utgör en kanonisk transformationav P - en dylik grupp med kanonisk representation kallas dynamisk grupp efter Souriau. Varjevektor a i L(G) alstrar ett symplektiskt vektorfält på P genom

(66)Xa(x) =

dFexp(ta)(x)dt |t=0 h

d(eta $ x )dt |t=0

Vi skall bevisa följande samband mellan algebra-produkten på L(G) och Lie-produkten för vektorfälten (66),

(67)Xa , Xb = −X a,b

a,b c L(G)

Vi har nämligen från definitionen av Lie-derivatan (42) och def (66),

40

(68)Xa , Xb (x) = LX aXb(x) =d

(e−ta)&Xb(eta $ x)

dt |t=0 =

d2

dtds(e−taesbeta $ x )|s,t=0

Å andra sidan, nyttjar vi definitionen (64) och skriver de vänster-invarianta vektorfälten på formen,

(69)Va(g) =df t(g)

dt |t=0

f t(g) = geat

erhåller vi,

(70)a,b = LVa Vb(e) = d

dtVb(eta)e−ta

|t=0 =

d2

dsdt(etaesbe−ta )|s,t=0

(vi har använt en aning stenografiska men självklara beteckningar). Detta tillsammans med (68) ger(67). (Ekv (70) visar att minustecknet i (67) härrör sig från konventionen att definieraalgebra-produkten i (64) i termer av vänster-invarianta vektorfält. Höger-invarianta vektorfält hadegett plustecken i stället.)

Varje vektorfält Xa (66) motsvarar en generator som vi här betecknar Ha,

(71)32z(Xa , .) = dHa w Xa = XHa

a c L(G)

Kombinerar vi (67) och (59) erhåller vi,

(72)X Ha .Hb

= Xa,b = XH a,b u Ha ,Hb = H a,b + C(a, b)

C : L(G) % L(G) d ‘

C(a, b) i (72) är en sorts integrationskonstant (förknippad med sk kohomologi). Givet ett element a ∈ L(G) så är funktionen Ha i (71) endast bestämd modulo en konstant. För en given bas ei förL(G) kan vi t.ex. ha två kanoniska representationer,

(73)He i ,C

; He i, C

u He i − Hei = ri

där ri är konstanter. Eftersom tillordningen

41

32Vi har valt en stenografisk notation där vektorfälten X kan ha både algebraelementen a ∈ L(G)och H ∈ L(Kan(P)) som subindex.

(74)a ü Xa

är en lineär funktion (följer från (66)), kan vi för en bestämd representation (73) definiera en avbildning

(74*)a ü Ha

genom en lineär utvidning av värdena för basvektorerna,

(75)a = a iei u Ha = a iHe i

Antag vi har två dylika avbildningar baserade på representationerna (73), då erhåller vi genominsättning i (72) följande relation,

(76)C(a,b) = C(a,b) − r(a, b )

r(a iei) h a iri

En gruppaktion för vilken vi kan välja C = 0 kallas för en Poisson/Hamilton-aktion, och densatisfierar alltså,

(77)Ha ,Hb = H a,b

Givet att vi har en lineär tillordning (74*, 75), då kan vi efter Kostant och Souriau definieraimpulsavbildningen (momentum map)33 enligt,

(78)J : P d L(G)& h Te&G

J(p) : a ü Ha(p)

Med hjälp av impulsavbildningen kan vi ge följande version av Noethers teorem (se avsnitt 1.5):Antag Hamilton-funktionen H är invariant under verkan av en Lie-grupp G,

(79)0 = LX a H = H, Ha

a c L(G)

Då är impulsavbildningen J konstant längs Hamilton-banorna x(t) till Hamilton-funktionen H,eftersom

42

33Impulsavbildningen studerades redan av S Lie. Den formella definitionen går tillbaka på Souriau(1967) som kallar avbildningen för moment.

(80)dJ(x(t))(a)

dt =dHa(x(t))

dt = LXH Ha = Ha, H = 0

a c L(G)

En del författare begränsar definitionen av impulsavbildningen till Poisson-aktioner.

♠ Exempel - symmetri i konfigurationsrummet. Antag att gruppen G verkar genomdiffeomorfismer på konfigurationsrummet M genom en aktion

(81)g ü qg : M d M

qg c C∞(M,M) ; g c G

Denna aktion kan utvidgas till en representation på fasrummet P = T*M,g ü Fg : T&M d T&M

(82)Fg = qg −1

&

u Fg ) Fh = Fgh

Under denna aktion är den kanoniska 1-formen θ automatiskt invariant, varför vi har,

(83)0 = LX a h = iX a dh + d

iX ah = −iXa z + d

iX ah vilket innebar for

Hadef= iX a h att iX az = dHa

Ha definierad genom (83) sammanfaller med Noether-invarianten i avsnitt 1.5. Vi kan explicit skrivauttrycket i (83) som,

(84)Ha(q,p) = p iXai (q)

a c L(G)

Av (84) kan man sluta sig till att denna verkan är en Poisson-aktion, ty i likheten

Ha ,Hb − H a,b = C(a,b)

är vänstra membrum enligt (84) en lineär ekvation i p, medan högra membrum är en konstant somdärmed måste försvinna; dvs, C = 0. Resultatet kan förstås bekräftas genom en enkel explicitberäkning av vänstra membrum. ♠

♠ Exempel - Galilei-gruppen. I klassisk fysik utgår man ifrån att fysiken är oberoende avreferens-systemets orientering, av dess lokalisering (i rum och tid), samt av likformigtranslationsrörelse. Motsvarande transformationer av referens-systemet bildar den sk Galilei--gruppen G,

43

(85)

RA : (x, t) ü (Ax, t) ; A c SO(3)

Lv : (x, t) ü (x − vt, t) ; v c ‘3

Da : (x, t) ü (x + a, t) ; a c ‘3

Tt : (x, t) ü (x, t − t)

Lie-algebra strukturen för gruppen (85) kan bestämmas med hjälp av (70). En annan metod är attrepresentera gruppen på mängden av glatta funktioner f: R4 → R,

(86)qg : f ü f ) g−1

Givet ett element a i Lie-algebran L(G ), då motsvarar ett infinitesimalt gruppelement (I står här föridentitetsavbildningen)

(87)I + ea

en infinitesimal transformation (till första ordningen i den infinitesimala parametern),

(88)f ü f I+ea = f + ena f

na f =df(e−ta $ x)

dt |t=0

Beteckna Lie-algebra elementen som motsvarar transformationerna (85) med resp li, gi, pi, och h.De motsvarande vektorfälten (88) beräknas till,

(89)

n l i = −(x % ∫)i = −eijkx j ØØx k

ng i = t ØØx i

np i = − ØØx i

nh = ØØt

Det är lätt att beräkna vektor Lie-produkten för vektorfälten (89) och därifrån bestämmaLie-algebra produkterna. Vi har t.ex.

np i ,nh = − ØØx i

ØØt + Ø

ØtØ

Øx i = 0

Resultaten för alla kommutatorer ges i (90).

44

(90)

li, lj = eijklk

li, g j = eijkgk

li, d j = eijkdk

li, h = 0

di, d j = 0

di, g j = 0

d i, h = 0

gi, g j = 0

g i, h = d i

Observera att vi för vektorfälten i (88) har

(91)na , nb = n a,b

a,b c L(G)

istället för (67), eftersom vi har en negativ exponent i definitionen (88) för ξa. Elementen lx, etc,motsvarar rotationen kring x-axeln, etc. För en verkan av Galilei-gruppen på en symplektiskmångfald P ges de motsvarande relationerna för Poisson-algebran (tidstranslationen motsvaras av ettHamilton-flöde genererat av en Hamilton-funktion H ) i (92). I det allmänna fallet hade vi borttillägga obestämda additiva konstanter i högra membra i relationerna (92) (jfr (72)), men det visarsig att alla dylika konstanter, förutom M-termen i (92), kan elimineras genom att addera konstantertill generatorerna som därmed omdefinieras (transformation till en kohomolog representation), ellerannars visas försvinna p.g.a. kommuteringsreglerna (bl.a. genom att tillämpa Jacobis likhet)34. Denkvarvarande konstanten, betecknad M, identifieras med massa i galileisk dynamik. Annorlundauttryckt: Massan i galileisk dynamik parametriserar de olika kohomologiklasserna förrepresentationer av Galilei-gruppen. Det är uppenbart att konstanten M i (92) inte kan påverkasgenom att omdefiniera Pi eller H via addition av konstanter.

Vi säger att ett dynamiskt system är Galilei-invariant/symmetriskt ifall desstidsutveckling är bestämd av en Hamilton-funktion H, som tillsammans med de övrigageneratorena uppfyller kommuteringsrelationerna (92).35

45

35En kort historisk diskussion av Galilei-gruppens roll i fysiken hittas hos H Primas, Chemistry,Quantum Mechanics and Reductionsim (1983), s 71 ff. V Bargmanns, P Wigners och T DNewtons idéer om de kinematiska symmetriernas roll inom kvantmekaniken tillämpades på klassiskmekanik för första gången av A Loinger 1962.

34En detaljerad genomgång av dessa procedurer ges t.ex. i E C G Sudarshan, N Mukunda,Classical Dynamics - A Modern Perspective (1974). Det var V Bargmann som i en studie 1954upptäckte massans gruppteoretiska roll hos Galilei-gruppen. Massans konstans iGalilei-representationerna kallades för supereselection.

(92)

Ji,Jj = eijkJk

Ji,P j = eijkPk

Ji,G j = eijkGk

Ji,H = 0

P i,P j = 0

P i,G j = −d jiM

P i,H = 0

G i,G j = 0

G i,H = P i

Vi specialiserar exemplet till fallet P = T*R3 (punktpartikel) och betraktar rotationsgruppenSO(3). En infinitesimal rotation kring axeln n ges i kartesiska koordinater som,

(93)x i d x i + tn jeijkx k j (etln $ x )i

där t betecknar en infinitesimal parameter. Motsvarande vektorfält blir,

(94)X ln =d(etln $ x)

dt |t=0 = n % x

därför kan den motsvarande impulsavbildningen skrivas enligt (84),

(95)JSO(3)(x,p)(n) = p $ (n % x) = n $ x % p

u

JSO(3)(x,p) = x % p

Resultatet i (95) betyder enligt Noethers sats att för rotationsinvarianta system är impulsmomentet(angular momentum) x × p en rörelsekonstant. Vi kan ge hela impulsavbildningen förGalilei-gruppen G i detta fall (fri partikel) på formen,

(96)J(x,p)(l,g, p,h) = l $

x % p + g $

Mx − pt +

p $ p + h $p2

2M

Observera att kommuteringsrelationerna är invarianta för en substitution

46

G i d G i +ingen summering

a i(t)P i

a i : ‘ d ‘

(kombinationen pt - Mx i (96) brukar kallas för mass-center). Ekv (96) motsvarar enrepresentation där vi har

P = p (= MV)

G = Mx − pt

x i, p j = d ji

Antag partikeln har hastigheten V, då implikerar Galilei-transformationen x → x’ = x - vt att p → p’= M(V - v) = p - Mv, vilken är exakt den transformation som genereras av G = Mx - pt (medtransformationsparametrarna gi = v i). Hamilton-funktionen är bestämd av symmetrin och har formenp2/2M, modulo en konstant. Detta följer t.ex. av att uttrycket

(97)C1 h P2 − 2MH

enligt relationerna (92) kommuterar med alla andra element,

, etc.C1,Ji = 0

C1 är alltså en konstant (en sk Casimir invariant), också kallat ett neutralt element i Lie-algebran,och H har därför omvänt formen

(98)H = P2

2M − C1

För flerpartikel-system kan man finna representationer av Galilei-gruppen som involverarväxelverkan; dvs, en Hamilton-funktion med en tämligen allmän potential som ärS i<j V

ri − rj

rotations- och translationsinvariant36. Vi kan också införa “spin” för Galileiska system. Skrivimpulsmomentet på formen

47

36I det relativistiska fallet ersätts Galilei-gruppen med Poincaré-gruppen. Kommuteringsrelationerna(92) modifieras genom att Gi ersätts av “boost”-observablerna Ki som satisfierar sammakommuteringsrelationer som Gi förutom, . Ett berömt resultat,K i,K j = −eijkJk, K i,P j = dj

iHdet s.k. “no interaction theorem” från 1963, visar att de enda möjliga kanoniskamångpartikel-representationerna av Poincaré-gruppen är de med fria partiklar; d.v.s., det finns ingenrelativistisk mångpartikel-potential. Detta visar att det klassiska partikel-begreppet blir problematiskti relativistisk mångpartikel-teori. Relativistisk växelverkan kan införas genom att övergå tilloändligt-dimensionella representationer vilket görs inom fältteorin. För “no interaction theorem” set.ex. E C G Sudarshan, N Mukunda, Classical Dynamics (1974), eller R M Mann, ClassicalDynamics of Particles (1974), vilka återger H Leutwylers förenklade bevis från 1965.

J = GM % P + S

där S betecknar en spin-vektor som kommuterar med alla andra generatorer, men vilken uppfyllerinnebördes rotationsalgebra-relationerna

S i,S j = eijkSk

De är uppenbart att magnituden av spin-vektorn utgör ett nytt neutralt element C2 som kommuterarmed alla övriga element,

C2 = S2 = J − G

M % P

2

De irreducibla representationerna av Galilei-gruppen kan klassifieras med hjälp av de två neutralaelementen massan M och spin-magnituden S.♠

2.4.3 Reducerat fasrum

Givet att vi har en dynamisk grupp G som verkar (Poisson-aktion) på en symplektiskmångfald (P, ω), och att Hamilton-funktionen H är invariant under gruppen G. Vi har visat att underdessa förutsättningar är impulsavbildningen konstant längs banorna till Hamilton-funktionen. Förreguljära värden β bildar alltså

(99)Mb = J−1(b)

b c L&(G)

en invariant delmångfald till fasrummet P visavi Hamilton-flöden till H. Frågan inställer sig huruvidaman kan definiera dynamiken enbart i term av denna delmångfald och en symplektisk struktur pådenna. Enklaste vägen verkar vara att direkt överta den symplektiska strukturen från P; dvs, om vibetecknar inklusionen kan vi definiera en inducerad 2-form©b : Mb d P

(100)z h ©b

&z

Denna inducerade 2-form är visserligen sluten,z

dz = d©b&z = ©b

&dz = 0

48

men den är i allmänhet singulär. Nämligen, enligt definitionen av mångfalden (99) och genomHamilton-funktionens invarians har vi,

(101)0 = LXHa(x) = z x(Xa ,X) dar Xa(x) =

d(eta $ x )dt |t=0 och X c TxMb

a c L(G)

Vektorerna Xa(x) uppspänner tangentrummen

(102)Tx(G $ x) = Xa(x) : a c L(G)

Detta innebär, tillsammans med (101), att

(103)≤YcTx Mb z x(X, Y) = 0 for X c TxMb w X c TxMb 3 Tx(G $ x )

Vänstra membrum i ekvivalensen (103) betyder detsamma som att X tillhör rummet TxMβ:s ω-ortogonala komplement i TxMβ

X c TxMb

Ω3 TxMb

Ekv (101) innebär nämligen

(103*)TxMb

Ω= Tx(G $ x )

w

TxMb = (Tx(G $ x))Ω

dvs, ifall en vektor X ∈ TxM satisfierar (101) måste den tillhöra tangentrummet tillkonstansmångfalden Mβ.

Om snittet i (103) är icke-tomt är den inducerade formen (100) på Mβ TxMb 3 Tx(G $ x )singulär. Man kan visa att

(104)TxMb 3 Tx(G $ x ) = Tx Gb $ x

dar Gb = g c G : g $ Mb ` Mb

På grund av (104) inducerar ω en icke-singlär 2-form Ω på kvot-rummet Mβ /Gβ som därförutgör ett nytt symplektiskt rum (för detaljerna se ekv (118) och det som följer).

♦ Bevis för likheten (104), :TxMb 3 Tx(G $ x ) = Tx Gb $ x

49

Relationen ⊇ för (104a) följer direkt. Relationen ⊆ visas genom att använda den symplektiskaformens invarians under G-aktionen. Nämligen, anta att vi har a ∈ L(G) sådan att,

(105)Xa(x) =df t(x)

dt |t=0 c TxMb dar

f t(x) = eta $ x

Vi skall först visa att

(106)f t(x) c Mb

Vi har nämligen, utnyttjande den symplektiska formens invarians under gruppaktionen,

(107)≤bcL(G)dHb(f t(x))

dt = z e ta $x(Xb ,Xa) =

((Fe ta )&z)x(Xa , Xb) = z x(Xa ,Xb) = 0

Sista likheten i (107) följer från (101, 105). Detta resultat (107) ger (106). Nästa steg är att visa att(106) gäller för alla x ∈ Mβ. I detta steg kommer Poisson-aktionens egenskap (77) till användning(följande resonemang syftar att leda i bevis ekv (114)). För gruppen G har vi de naturliga automorfismerna

(108)Ag : G d G

Ag = Lg ) Rg −1 :h ü ghg−1

vilka inducerar den sk adjungerade aktionen/representationen på L(G),

(109)

g ü Adg : L(G) d L(G) dar

Adg = Ag

&|TeG som betyder

Adg(a) =d

getag−1

dt |t=0 for a c L(G)

Vi observerar att

(110)

g(s) = gesbg−1 bildar en en-parametrig grupp:

g(s + t) = g(s)g(t)

b c L(G)

och åtminstone för små s-värden kan vi skriva,

50

(111)gesbg−1 = esAd g(b)

b c L(G)

Eftersom Ag Ah = Agh följer också att Adg Adh = Adgh. Speciellt har vi för en en-parametergruppeta,

(112)

ddt Ade ta(b) = d

dsAde sa Adeta (b)

|s=0 = ada(Ade ta(b)) som ger

Adeta (b) = etad a(b) och

ada(b) h ddt

Ade ta (b) t=0

= ddt

dds

(etaesbe−ta )|s,t=0 = a, b

För den sista likheten har vi använt definitionen (70) för algebra-produkten. Innebörden av (112) äratt,

(112*)Adeta (b) = b + tada(b) + t2

2!ada ada (b)

+ ... =

b + ta,b + t2

2! a, a,b + ...

Tack vare (112) kan vi bevisa följande likhet

(113)HAde −ta(b)(x) = Hb(eta $ x)

a, b c L(G)

Nämligen, eftersom är lineär (enligt premisserna) erhåller vi,a ü Ha

HAde −ta(b)(x) = HS (−t) n

n! (ad a) n(b)(x) =

S (−t)n

n! H(ad a) n(b )(x) = S (−t)n

n! Ha , Ha, ... Ha ,Hb .. =

etLX a Hb(x) = Hb(eta $ x)

För den mellersta likheten har vi använt egenskapen (77) för Poisson-aktioner. Slutligen, likheten(113) kan skrivas med hjälp av impulsavbildningen på formen,

(114)Adg−1

& ) J = J ) Fg

g c G

Ad* är den duala avbildningen till Ad (kallad koadjungerad aktion). Relationen (114) betyder attstabilitetsgruppen Gβ (104) kan också definieras via,

51

(115)Gb = g c G : Adg& b

= b

b c L(G)&

Vi kan nu återgå till problemet att visa att om

(116)eta $ x c Mb = J−1 b

t c (−ta , tb)

gäller för en punkt x i Mβ, så gäller det också för varje annan punkt y i Mβ. Ekv (114) ger nämligen,

(117)J(eta $ y) = Ade−ta

& Jy

= Ade−ta&

b

y c Mb = J−1 b

Uttrycket i (117) är oberoende av punkten y i Mβ vilket slutligen visar att eta ∈ Gβ och att Xa ∈Tx(Gβ ⋅ x) i (105). ♦

Uppenbarligen kan vi införa en icke-singulär 2-form inducerad av ω om vi identifierarvektorer modulo vektorrummet (104) och definierar,

(118)

Wx n,g

= z x(X,Y) dar

n,g c TxMb /Tx Gb $ x

n = [X],g = [Y] (ekvivalensklasser)

X,Y c TxMb

Formen Ω är alltså definierad för ekvivalensklasser [X] under ekvivalensrelationen

(119)X l Y w X − Y c Tx Gb $ x

dar

X, Y c TxMb

Kvot-tangentrummet (118) kan definieras som tangentrummet till en kvotmångfald Fβ konstrueradgenom en motsvarande ekvivalensrelation,

52

(120)

x l y w ≥gcGb : g $ x = y for vilken

[x] h y c Mb : x l y (ekvivalensklasser)

Fb h Mb /Gb = [x ] : x c Mb

ob : Mb d Fb ar definierad genom ob(x ) = [x ]

Definitionerna (120) innebär att (Mβ, Fβ, Gβ, πβ) bildar ett sk fiberknippe med basmångfalden Fβ,strukturgruppen Gβ, och den kanoniska projektionen πβ. Ett tillräckligt villkor för att Fβ skalldefiniera en differentiabel mångfald37 är att gruppen Gβ är kompakt och verkar fritt; dvs,

(121)≤xcMb ≥gcGb g $ x = x u g = e dvs

g ü Fg(x ) ar 1-1 for alla x c Mb

För att slutligen fastställa att (118) faktiskt definierar en symplektisk form överkvotmångfalden (120) återstår att visa att

(122)x l y u Wx = Wy

under ekvivalensrelationen (105). Detta följer igen av att ω är invariant under G-aktionen.

Om Hamilton-funktionen H är invariant visavi G-aktionen inducerar den en reduceradHamilton-funktion Hβ på Fβ som är entydigt bestämd genom kraven,

(123)

Hb ) ob = H ) ©b

H ) Fg = H

g c G,©b : Mb d M (inklusion)

Kvotmångfalden (120) kallas efter Marsden och Weinstein (1974) för det reducerade fas-rummet, medan själva reduktionskonstruktionen går tillbaka på idéer av S. Lie, E. Cartan och H.Poincaré. Poincarés metod i sin tur är en hamiltonsk formulering av Rouths procedur (1876). Dennagår ut på att reducera antalet frihetsgrader för lagranska system med cykliska variabler. Antag vihar ett system med två frihetsgrader och konfigurationsvariablerna x och y. IfallLagrange-funktionen inte explicit är en funktion av y säges denna variabel vara cyklisk,

(124)L = L(x.,y.,x)

Euler-Lagrange-ekvationen i variabeln y leder till en integral,

53

37För bevis se t.ex. Abraham & Marsden, Foundations of Mechanics (1978), s. 266.

(125)ddt

ØL

Øy. = ØL

Øy = 0 u py =ØL

x.,y.,x

Øy. = konstant

Vi kan använda ekv (125b) för att lösa ut tidsderivatan av y som en funktion av x-variablerna ochkonstanten p, och därefter definiera Rouths reducerade Lagrange-funktion (denna reduktionmotsvarar ett specialfall av den tidigare behandlade Legendre-transformationen)

(126)

L(x.,x) = L(x

.,y

.(x

.,x, py),x) − pyy

.(x

.,x, py) u

dL = ØLØx. dx. + ØL

Øy. dy. + ØLØx dx − pydy. =

ØLØx.

dx. + ØLØx

dx

Av (126) ser vi också att lösningen till Euler-Lagrange-ekvationerna för den reduceradeLagrange-funktionen återger lösningarna till den ursprungliga Lagrange-funktionen.

I hamiltonsk formulering (Poincaré) innebär en cyklisk variabel y att vi begränsar oss till enreducerad Hamilton-funktion av formen,

(127)

H(x,p) = H(x,p,py)

py = konstant

p. y = − ØH

Øy= 0

Generellt innebär k cykliska variabler att vi kan reducera Hamilton-funktionen till en funktion i 2n -2k variabler istället för 2n variabler. Rouths och Poincarés metoder begränsar sig till fall med globaltkoordinatsystem (proceduren kan generaliseras till allmännare fall).

E Cartan och S Lie betraktade följande generaliserade fall: Antag att vi för ett hamiltonsktsystem (P, ω, H) har en uppsättning integraler Fi som satisfierar,

(128)Fi, H = 0 (i = 1, ..., k )

F i,F j = a ij(F1 , ..., Fk )

Funktioner som satisfierar kommuteringsrelationer av typen (128b) kallades av S Lie för enfunktions-grupp. Försvinner alla funktioner aij bildar funktionerna Fi en sk involution (cykliskakoordinater är ett specialfall av involution). Betrakta avbildningen

(129)F : P d ‘k

F(x) = F1(x), ..., Fk(x)

54

Antag att denna avbildning har ett reguljärt värde c ∈ Rk; dvs, differentialformerna dFi

är lineärt oberoende för alla punkter i F-1(c). Detta kan genom kontinuitet antas gälla inom ett öppetområde U kring c. Antag vidare att rangen 2q för matrisen aij är konstant i detta område (rangenför en antisymmetrisk matris måste vara ett jämnt tal). Betrakta konstansmångfalderna

(130)Pc = F−1(c)

c c U

På en sådan konstansmångfald kan vi utföra en lineär transformation,

(131)F d F ∏ = CF

F i∏ = cijF j

sådan att,

(132)F1

∏ ,F2∏ = ... = F2q−1

∏ ,F2q∏ = 1

for ovriga index

F i∏,F j

∏ = 0

Dessa transformationer kan utsträckas till hela F-1(U). Nämligen, matrisen C i (131) blir en funktionpå P, men emedan den är konstant på nivåytorna (130) kommuterar C:s komponenter medfunktionerna Fi; dvs, kommuteringsrelationerna (132) bevaras intakta.

Betrakta den kommutativa gruppen av funktioner (härefter lämnar vi bort accenten för detransformerade funktionerna) Fi (i = 2q + 1,..., k). Dessa alstrar en kanonisk transformationsgruppGl, via deras Hamilton-flöden, av ordningen l = k - 2q. Konstansmångfalden (130) är uppenbarligeninvariant under aktionen av denna grupp. Det reducerade fasrummet är i detta fall givet som,

(133)Fc = Pc/G l

oc : Pc d Fc

Poisson-klammern på P definerar också en Poisson-klammer på Fc . Nämligen, funktioner A, B, ...på Fc kan representeras av funktioner A’, B’, på P, vars restriktioner på Fc sammanfaller med A, B,... . Vi sätter då

(134)A,B F c

(n) = A ∏,B∏ (x) dar

oc(x) = n ;

x c Pc ; n c Fc

55

Denna reduktionsmetod är ekvivalent till den föregående versionen av Marsden, Weinstein, Souriau,etc.38

Dirac (1950) studerade redan implicit vad som senare kallats för reducerat symplektisktrum; dvs, ett delrum S ⊂ P till ett symplektiskt rum (P, ω) vars symplektiska struktur induceras frånP.39 Är induceringen av ω på S icke-degenererad bildar S ett (reducerat) symplektiskt rum. Ifall vihar det svagare villkoret att induceringen av ω på S har konstant rang (S kallas i detta fall för enpresymplektisk mångfald) kommer vi till ett fall som erinrar om Lies och Cartans metod ovan. Härbildas gruppen Gl av alla Hamilton-flöden till vektorfälten X på S som satisfierar ω(X, Y) = 0 föralla Y i TS, och det reducerade symplektiska rummet R skrivs R = S/Gl.

♠ Exempel - den symmetriska snurran. Ett klassiskt exempel i mekaniken som utsatts föromfattande matematiska behandlingar är snurran (roterande fast kropp). De roterande kropparnasproblem har också fått betydande praktisk anknytning i och med gyrokompassen och rymdfarten(rymdsonders orientering, stabila rotationsaxlar, osv) - dessutom är ju jorden själv en gigantisksnurra. Vi studerar först specialfallet med en symmetrisk snurra roterande kring en fix punkt underverkan av tyngdkraften. I term av Euler-vinklarna kan dess Lagrange-funktion skrivas40

(135)L =

I12

z1

2 + z22

+I32 z3

2 − V(h) =

I12

h

.2 + v

.2 sin2h

+I32

y. + v

.cosh

2

− Mglcosh

Här betecknar I3 tröghetsmomentet längs längdaxeln, och I1 tröghetsmomentet i tvärsnittsplanetförflyttat till vilopunkten, l betecknar tyngdkraftscentrets avstånd från vilopunkten. (P.g.a. symmetrinhar vi I2 =I1.) En följd av symmetrin är att hastighetstermerna för axlarna 1 och 2 kan sammanslåsvarigenom det direkta beroendet på vinklarna φ och ψ bortfaller i Lagrange-funktionen; m.a.o.,dessa två vinklar utgör cykliska koordinater för problemet. (Vinkeln θ betecknar snurrans lutningvisavi den vertikala rumsriktningen, gravitationsfältets riktning; vinkeln φ anger nodlinjens -skärningslinjen mellan rumsplanet och snurrans tvärsnittsplan parallellförflyttad till vilopunkten -vinkel med en fix linje i rumsplanet; ψ slutligen anger vridningen av snurran kring längdaxeln räknatfrån nodlinjen.) De cykliska koordinaterna leder omedelbart till följande två integraler,

(136)py = ØL

Øy. = I3y. + v

.cosh

pv = ØLØv

. = I1v.sin2h + I3

y. + v

.cosh

cos h

(För en asymmetrisk snurra är endast vinkeln φ cyklisk vilket följer av symmetrin kring vertikalriktningen.) Dessa båda integraler tillsammans med energi-integralen leder till ett slutet ekvations-system utan att man behöver använda Lagranges rörelse-ekvationer. Man nyttjar först (136) för att

56

40En detaljerad och klar genomgång av den symmetriska snurran ges av H Goldstein, ClassicalMechanics (1980), s. 213 ff.

39Se E Binz, J Sniatycki, H Fischer, Geometry of Classical Fields (1988), s. 290.

38För en koncis översikt av reduktionsmetoder, se V I Arnold (Ed.), Dynamical Systems III(1988), Ch. 3, “Symmetry Groups and Reduction”.

lösa ut ψ och φ i term av θ , och substituerar dessa uttryck i energi-integralen som kommer endastatt innehålla variabeln θ. Lösningen för vinkeln θ kan formuleras med en elliptisk integral.41

Alternativt begagnar vi oss av Rouths procedur för de två cykliska variablerna som resulterar i enmodifierad Lagrange-funktion vilken endast beror på vinkeln θ.

(137)L d L = L − pvv

.− pyy. =

I12 h

.2 −

pv − py cosh

2

2I1 sin2h−

py2

2I3− Mglcos h

(nästsista termen är en konstant som kan negligeras). Detta motsvarar Lagrange-funktionen för ett1-dimensionellt problem för en partikel med “massan” I1 i en potential

V(h) =pv − py cos h

2

2I1 sin2h+ Mglcos h

Tänker vi oss ett rätvinkligt koordinatsystem fixerat i kroppen, med origo i vilopunkten,beskrivs dess konfigurationsrum av alla möjliga rotationer av detta koordinatsystem; dvs, avrotationsgruppen SO(3). Lagrange-funktionen L är definierad över tangentrummet som i detta fallkan trivialiseras; dvs, skrivas som en produktmängd, TSO(3) ≈ SO(3) × R3. Nämligen, förgruppmångfalder kan vi utsträcka basen för tangentrummmet vid enhetselementet e till helamångfalden genom att använda vänster- eller högermultiplikationen (se (63)). Vektoralgebran so(3)för SO(3) kan därför identifieras med det vanliga vektorrummet. Lie-produkten kan vid dennaisomorfism visas motsvara den vanliga kryssprodukten för vektorer. Fasrummet P = T*SO(3) harförstås samma produktstruktur SO(3) × R3 som tangentrummet. Systemets symmetrigrupp beståruppenbarligen av rotationer kring den vertikala axeln, samt kring snurrans längdaxel; dvs, gruppenhar strukturen G = SO(2) × SO(2). Impulsavbildningen blir,

J(x)(a) = aypy(x) + avpv(x)

För nivåmångfalden Mβ har vi strukturen SO(3) × R, medan stabilitetsgruppen Gβ sammanfaller medG. Det reducerade fasrummet får strukturen SO(3) × R/(SO(2) × SO(2)) ≈ I × R (= remsa iR2-planet). Vi har nämligen, SO(3)/SO(2) ≈ S2, S2/SO(2) ≈ I. Intervallet motsvarar sfärens diameter- för att få en mångfald hamnar vi att lämna bort diameterns ändpunkter. Detta har att göra medförhållandet att symmetrigruppen SO(2) × SO(2) krymper ihop till SO(2) när snurrans axelsammanfaller med den vertikala axeln. Vinkeln θ för det reducerade systemet (137) bör begränsastill det öppna intervallet (0, π).

Vi kan också analysera42 det besläktade Eulerska fallet med en fri kropp som roterarkring tyngdkraftscentrum (eller en godtycklig fix punkt). Konfigurationsrummet är igen samma

57

42Se t.ex. V I Arnold (Ed.) Dynamical Systems III (1988), s. 96-98.

41Lösningen i termer av elliptiska funktioner behandlas i D F Lawden, Elliptic Functions andApplications (1989), s. 196 - 199. Se också E T Whittaker, A Treatise on The AnalyticalDynamics of Particles and Rigid Bodies (1944), s. 157 ff.

Lie-grupp SO(3) och fasrummet har strukturen SO(3) × R3 och symmetrigruppen är G = SO(3) (allaorienteringar av kroppen är ekvivalenta). Eftersom impuls-momentet är konstant för det kraftfriafallet har nivåmångfalden strukturen SO(3). Nämligen, impulsmomentet skrivs,

li = Iijz j

Iij = troghetsmatrisen

eller l = I ω med vektor-beteckning. Under en ortogonal transformation S transformeras trög-hetsmatrisen I som S I St. Givet ett konstant impulsmoment l så består konstansmångfalden avmängden av paren (S, ω ) av rotationer S och de motsvarande unika lösningarna ω till l = S I St ω;dvs, konstansmångfalden är diffeomorf med SO(3). Stabilitetsgruppen i sin tur består av rotationerkring impulsmomentet, Gβ = SO(2). Det reducerade fasrummet får strukturen SO(3)/SO(2) ≈ S2 (=sfären). Detta fasrum korresponderar till en vektorekvation för en vektor med konstant magnitud.Låt bi beteckna basvektorer fixerade i kroppen med origo i den fixa punkten.Impulsmoment-vektorn och dess tidsderivata under en rotationsrörelse skrivs i detta bassystem som

(138)l = lib i u dldt = dli

dt b i + li db idt =

dldt

b

+ liz % b i

där ω betecknar rotationsvektorn. Följaktligen, för en kraftfri kropp har vi ekvationen (L Euler1758),

(139)0 =

kraftmomentN = dl

dt =

dldt

b

+ z % l

li = Iijz j

Den sista ekvationen i (139) ger relationen mellan impulsmomentet och rotationsvektorn. I betecknarden symmetriska tröghetsmatrisen som är konstant i “body-frame” (koordinatsystemet fixerat ikroppen). Av (139) följer genast att magnituden på impulsmomentet är också konstant ikropps-systemet. Rörelse-ekvationerna (139) kan skrivas på den hamiltonska formen,

(140)dli

dt = li,H dar

H = 12z iIijz j = 1

2 li(I−1 )ijlj

ifall vi definierar Poisson-strukturen genom

li, lj = −eijklk

Denna PK är degenererad (l 2 kommuterar med alla andra element) men detta hävs genombegränsningen till konstansmångfalden l 2 = konstant.♠

58

♠ Exempel - centralsymmetriskt system. Betrakta fallet med en partikel i planet R2 med encentralsymmetrisk potential; dvs, en potential V som endas beror av avståndet r från origo(kraftcentrum), V = V(r). Fasrummet har strukturen T*R2 ≈ R2 × R2 . I polära koordinater skrivsHamilton-funktionen som

H = 12m

pr

2 +ph

2

r2

− V(r)

( pr = mr., ph = mr2h.)

Hamilton-funktionen är invariant under gruppen G = SO(2) av rotationer kring origo. Impuls-avbildningen ges av impulsmomentet pθ i detta fall och konstansmånfalden Mβ av mängdenpθ = β = konstant, ett 3-dimensionellt delrum till fasrummet. Stabilitetsgruppen sammanfaller härmed G (rotationer kring impulsmomentet), varför det reducerade fasrummet blir ett 2-dimensionelltrum Mβ /G . Detta 2-dimensionella fasrum motsvarar formuleringen av det mekaniska problemet itermer av r och impulsen pr, genom att vinkeln θ eliminerats via integralen pθ = β = konstant. Ipolära koordinater hade det varit naturligt att beskriva konfigurationsrummet som S1 × R+ (R+ =mängden av positiva rella tal för radien) med motsvarande fasrum S1 × R+ × R × R.Konstansmångfalden blir då S1 × R+ × R och det reducerade fasrummet S1 × R+ × R/SO(2) ≈ R+ × R.

Vi kan göra en motsvarande analys för det centralsymmetriska fallet i tre dimensioner medfasrummet T*R3 ≈ R3 × R3 och symmetrigruppen SO(3). Konstansmångfalden är 3-dimensionelltdelrum med l = β = konstant. Stabilitetsgruppen består av rotationer kring det konstantaimpulsmomentet l, varför det reducerade fasrummet blir Mβ /SO(2), ett 2-dimensionellt fasrum avsamma struktur som i föregående exempel. Även här reduceras det mekaniska problemet till ettproblem i termer av r och impulsen pr. ♠

2.5 Variationsprinciper

Vi skall kort behandla att par variationsprinciper som intimt hänger samman med den symplektiskaformuleringen av mekaniken. Variationsformuleringar har också en viktig “heuristisk” betydelse ifysiken. Vi definierade tidigare Cartan-formen

hH = p idq i − Hdt

på det utvidgade fasrummet P × R. Vi antar i detta avsnitt att fasrummet är en kotangentmångfald, P= T*M . Lösningarna till Hamiltons ekvationer (i utvidgade fasrummet) för Hamilton-funktionen Hkaraktäriseras av att hastighetsvektorfältet X satisfierar

(141)

iXdhH = 0 dar

X =

dx(t)dt , 1

och

losning till Hamiltons ekv

x : ‘ d P

59

Rörelse-ekvationen (141) är en sorts variations-ekvation. Nämligen, betrakta

(142)c ü F(c) = ¶

chH

o(c(0)) = q0 ; o(c(1)) = q1

som en funktional på skaran Γ av kurvor γ: [0,1] → P × R vilka förbinder punkter med fixabaspunkter q0 och q1, samt utan variation av tiden. En variation kring en bestämd kurva γdefinieras som en differentiabel avbildning

(143)

a : (−e, e) d G

kurva med variationsparametern uc(−e,e)

s ü a(u, s)

variations-vektorfaltet

Y = dadu

Antag kurvan för variationsparametern u = 0 motsvarar lösningen till Hamiltons ekvationer (141).Då säger Hamiltons princip att funktionalen (142) är stationär för Hamilton-banan visavi allavariationskurvor (143) med samma ändpunkter i konfigurationsrummet och ingen variation av tiden.Vi har nämligen,

(144)ddu ¶a u0,1

hH = ddu ¶0,1

au&hH = ¶0,1

au&LYhH =

¶a u0,1

(iYdhH + d(iYhH ))

Vi skall visa att denna integral försvinner för u = 0 (Hamilton-banan), och omvänt: En stationär banaär lösningen till Hamiltons ekvation. Den första termen i den sista integralen försvinner längsHamilton-banan enligt (141a). För den andra termen får vi

(145)p i

dq i

du − H dtdu ∆s=0,u=0

s=1,u=0

variations-skaran uttryckt i lokala koordinater

a(u, s) = p(u, s),q(u, s), t(u, s)

som försvinner i och med att variationen av tiden försvinner, samt variationen av ändpunkterna förbaspunkterna i konfigurationsrummet försvinner. Man kan också föra resonemanget baklänges.Försvinnandet av (144) leder till ekvationen

(146)dhH(Y,X) = 0 dar

X =da(0, s)

ds

60

som gäller för alla möjliga variationsvektorfält Y längs banan med hastighetsvektorn X; dvs, X måstesatisfiera Hamiltons ekvation (141).

Det “klassiska” uttryckssättet för resultatet (145) av variationen skrivs

(147)d ¶a

bp idq i − Hdt = p idq i − Hdt∆a

b

d = du d

du

för en generell variation kring Hamilton-banan mellan punkterna a och b. Variationen i impulsenbegränsades inte ovan. Antag vi varierar kurvans projektion q(t) i konfigurations-rummet, ochbestämmer impulsen genom Legendre-transformationen,

(148)p i =ØL(q,q., t)

Øq. i

q = q(u, s)

Integranden i (137) sammanfaller då med Lagranges funktion. För variationer kring Hamilton-bananav q-kurvan med fixerade ändpunkter, och ingen variation i tiden, får vi alltså

(149)

d ¶q a

q bL(q,q., t)dt = 0 u

0 = ¶q a

qb ØL

Øq i dq i + ØLØq. i dq

. i dt =

¶q a

qb ØL

Øq i − ddt

ØL

Øq. i

dq idt + ØL

Øq. i dq i∆qaqb

Eftersom denna likhet gäller för generella variationer med δq = 0 vid ändpunkterna är den ekvivalentmed Euler-Lagrange-ekvationerna,

(150)ØLØq i − d

dt ØL

Øq. i

= 0

Vi behandlar slutligen den sk minsta verkans princip. (“Principen” förekommer i olikatappningar men alla har de en gemensam kärna). Denna gäller för system med en Hamilton-funktionH som inte explicit beror av tiden. H är alltså konstant längs Hamilton-banorna. Vi betraktarvariationer (143) i fasrummet sådana att Hamilton-funktionen är konstant för alla varierade banor.Dessutom förutsätter vi att ändpunkterna inte varieras; dvs,

(151)dq i(u, 0)

du =dq i(u, 1)

du = 0

u c (−e, e)

61

medan start- och sluttid kan variera. Eftersom Hamilton-funktionen är konstant för dessa variationerföljer från (147)

(152)d ¶a

bpidqi − Hdt = d

¶a

bpidqi

− Hd ¶a

bdt = −Hdt∆a

b u d ¶a

bpidqi = 0

Likheten (152b) uttrycker minsta verkans princip; aktionsintegralen är stationär för¶ab pidqi

Hamilton-banan visavi isoenergetiska variationskurvor i fasrummet med fixa ändpunkter ikonfigurationsrummet. Vi kan begränsa variationerna till kurvor q(t) i konfigurationsrummet för vilkaHamilton-funktionen definierad via Legendre-transformationen förblir konstant. Ikonfigurationsrummet får alltså minsta verkans princip formen,

(153)d ¶

a

b ØLØq. i q. idt = 0

Vi kan skriva integralen (153) på formen

(154)d ¶a

b(L + H)dt = ¶a

bdLdt + ¶a

b(H + L)d(dt) =

¶a

b ØL

Øqi dqi + ØLØq

. i dq. i dt + ¶

a

b(H + L)d(dt)

Variationen av hastigheten i (154) är på grund av tidsvariationen definierad enligt,

(155)dq.

= du

q ∏

t ∏

∏

= du

q ∏∏

t ∏ −

q ∏

t ∏ t ∏∏

t ∏ =

ddq

dt − q

. d(dt)dt

Här har vi nyttjat beteckningarna

(156)

d = du ddu

q ∏ =dqdu ; etc,

q = q(u, s) ; t = t(u, s)

Substituerar vi (155) i (154) får vi efter en partialintegration,

(157)¶a

b ØL

Øqi − ddt

ØL

Øq. i

dqidt + ØL

Øq. i dqi∆a

b + ¶a

bL + H − ØL

Øq. i q. i

d(dt)

Andra termen i (157) försvinner på grund av fixerade ändpunkter (jfr (151)), medan i den sistaintegralen dess integrand försvinner identiskt enligt sambandet mellan Hamilton och

62

Lagrange-funktionerna. Alltså implicerar försvinnandet av uttrycket (157) Euler-Lagrange--ekvationerna, och omvänt.

Ifall Lagrange- och Hamilton-funktionen kan skrivas på formen L = T - V respektive H = T + V = mv2/2 + V, blir aktionsintegralen (154) (vi lämnar bort en irrelevant faktor på 2)

(158)0 = d ¶a

bTdt = d ¶a

bT dl

v u d ¶a

bE − V(q) dl = 0 dar

E = 12 mv 2 + V(q)

Här betecknar l längdelementet längs banan. Formuleringen förutsätter att E > V. Ekv (158b) kantolkas som en ekvation för geodeser på konfiguraionsmångfalden med en metrik given avintegranden. Denna tolkning kan användas t.ex. för att bevisa förekomsten av slutna (periodiska)banor för vissa dynamiska system med topologiskt icke-triviala konfigurationsrum såsomdubbelpendeln (torus S1 × S1), rotation av en fast kropp kring en fix punkt (SO(3) ≈ RP3), etc.43

Tillexemepel, för torus-topologin har vi slutna kurvor som inte kan kontinuerligt deformeras till enpunkt (de är icke-nollhomotopa); dvs, bland dessa deformerade kurvor måste det finnas en(geodes) som minimerar längden definierad enligt ekv (158). För det dynamiska problemet utgördenna kurva en periodisk lösning.

2.6 HJ-teorin och lagranska rum

I avsnitt 1.7 studerade vi Hamilton-Jacobi teorin. Lösningen S till HJ-ekvationen definierar ettdelrum N i fasrummet P = T*M. Nämligen, vi har i lokala koordinater avbildningen,

(159)f : q ü q, ØS

Øq

N = f(M) = dS _ P

Mångfalden N i (159) är exempel på en sk isotropiskt delrum hos ett symplektiskt rum, dvs, denhar egenskapen att tangent-rummen är delrum i sina ω - ortogonala komplement,

(160)z|TN = 0

(w TxN ` TxNΩ,x c N)

Att (160) gäller för rummet definerat i (159) är klart eftersom den kanoniska formen θ är en exaktdifferential på N, pdq|TN = dS. Vi kan också skriva detta som (dS)*ω = 0, eftersom (dS)*ω = -

63

43Se t.ex.. V I Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics (1978), s. 248. Bådaexemplen diskuteras också i T Frankel, The Geometry of Physics (1997), s. 331, 284. Frankel (s.284) hänvisar också till ett resultat av Lyusternik som säger att varje sluten mångfald har slutnageodeser vilket implicerar, att varje dynamiskt system med slutet konfigurationsrum ochtillräcklig hög energi har slutna (periodiska) banor. Visavi slutna geodeser ger Frankel vidarereferensen, R Bott, “Lectures on Morse Theory, old and new”, Bul. Amer. Math. Soc. 7 ; 331 -358, 1982.

(dS)*dθ = - d(dS)*θ = - ddS = 0. I ett symplektiskt rum med dimensionen 2n kan ett isotropisktdelrum N ha högst n dimensioner. Nämligen, ifall vi har k = dim(TxN) > n, då kan vi finna en vektorv ∈ TxN, v ≠ 0, sådan att iv ω|TxM = 0, vilket strider mot att ω är icke-degenererad. Delrummet N i (159) är uppenbarligen av maximal dimension n. Ett maximalt isotropiskt delrum kallas för ettLagrange-rum.

Antag omvänt att N är ett Lagrange-rum i P = T*M. Då kan vi definiera en funktion Sgenom ( x0 är en fix punkt i N ),

(161)S(x) = S0 + ¶x0

xpidq i

x,x 0 c N

Integralen i (161) är för en godtycklig kurva i N som förbinder punkterna x0 och x. Integralen äroberoende av vägvalet vilket visas genom Stokes’ sats och den isotropa egenskapen (160).Definitionen (161) innebär att vi lokalt kan presentera Lagrange-rummet N enligt (159). FunktionenS i (161) och (159) kallas för rummet N:s generator.

Låt ft beteckna flödet för ett hamiltonskt system i T*M, och N ⊂ T*M ett Lagrange-rum.Då överför den symplektiska avbildningen ft rummet N på ett nytt Lagrange-rum ft(N). Ifall N gesav en generator S kan vi anta, åtminstone för ett begränsat tidsintervall, att ft(N) ges av engenerator St,

(162)f t(N) = dS t

t c (−a,a)

Funktionen St som konstruerats på detta sätt är Hamilton-Jacobis verkan från avsnitt 1.7. Vi kanvisa att den satsfierar HJ-ekvationen. Nämligen, låt (q(t), p(t)) beteckna en lösning till Hamitonsekvation. Då har vi i området (162),

(163)

p(t) = ØSØq(t)

− ØHØq i =

dp i(t)dt = Ø2S

ØqjØq i

dq j

dt + Ø2SØtØq i =

Ø2SØq jØq i

ØHØp j

+ Ø2SØtØq i =

Øp j

Øq iØHØp j

|p=∫S + ddq i

ØSØt

u

ØS(q, t)Øt

= −H(q,∫S(q, t), t)

Föregående situation kan formuleras på följande sätt44. Skriv S(q, t) som St(q), och definiera ettvektorfält XS på TM,

64

44Följande stycke är inspirerad av W D Curtis, F R Miller, Differential Manifolds and TheoreticalPhysics (1985), övningsuppgift 7.13, s. 125-6.

(164)XS = o& ) XH ) dSt c TM

o : T&M d M

XH betecknar det hamiltonska vektorfältet på T*M, medan π här betecknar den kanoniskaprojektionen från kotangentrummet på basmångfalden. Om c betecknar en integralkurva tillvektorfältet XS och S satisfierar HJ-ekvationen

(165)ØSt

Øt + Ht ) dS t = 0

Ht(q,p) = H(q,p, t)

följer att kurvan

(166)dS t(c(t)) c T&M

satisfierar Hamiltons ekvationer. Detta visas t.ex. genom att föra resonemanget (163) baklänges. Enannan väg är att definiera kurvan

(167)g : M % ‘ d T&M % ‘

g(x, t) = (dS t(x ), t),x c M

Då följer att g*dθH = 0 eftersom,

(168)

g&hH = p idq i − Ht(q,p)dt|p=∫S t = dS t − (Ht ) dS t)dt =

dS −

ØS t

Øt + Ht ) dS tdt

HJ= dS u

g&dhH = ddS = 0

(Tydligen kan vi vända på argumentet i (168) och från likheten g*dθH = 0 deducera HJ-ekvationen.)Antag c(t) = q(t) är integralkurva till vektorfältet XS, där S satisfierar HJ-ekvationen. Vi har alltså,

(169)dhH

g&(c.(t), 1), $ = q. i − ØH

Øp i

dp i −

p. i + ØH

Øq i dq i −

ØH

Øq i q. i + ØHØp i

p.

i dt

Emedan c är en integralkurva till XS gäller att, , och den första termen i (169) försvinnerq. i = ØHØpi

identiskt. Resultatet (168) visar att hela uttrycket försvinner för vektorer av formen g*(v), v ∈ TM;eftersom dessa har en godtycklig komponent i q-riktningen följer att den andra termen i (169) måste

65

försvinna. Därmed har vi visat att HJ-ekvationen implicerar att kurvan (166) definierad viaintegralkurvan c till XS satisfierar Hamiltons ekvationer.

Har vi två symplektiska rum (P1, ω1) och (P2, ω2) kan vi konstruera ett produktrum P = P1 ⊗ P2 . Beteckna projektionsavbildningarna från P på de båda komponenterna Pi med π i.

(170)P1 1 P2

o1 Å Ä o2

P1fd P2

Vi kan definiera en symplektisk form ω över P genom,

(171)z = o2&z2 − o1

&z1

Vi kallar en avbildning f: P1 → P2 symplektisk/kanonisk ifall f*ω2 = ω1. Detta är samma sak somatt grafen (x, f(x)), x ∈ P1, bildar ett lagranskt delrum till P, vilket ger en elegant beskrivning av ensymplektisk avbildning. Teorin för kanoniska transformationer (kap. 1) kan formuleras med hjälp avstrukturen (170). Ifall P1 och P2 är kotangentmångfalder T*Mi med lokala kanoniskakodinatsystem (q, p)i kan (171) skrivas,

(172)z (1,2) = −dh(1,2 )

h(1,2) = p(2 )idq(2 )i − p(1 )idq(1)

i

I detta fall motsvaras ett Lagrange-rum N ⊂ P av en generator F: M1 × M2 → R, satisfierande,

(173)p(2 )idq(2 )

i − p(1)idq(1 )i = dF

p(2)i = ØFØq(2)

i ,p(1 )i = − ØFØq(1 )

i

(motsvarande argument som för (161)).

Låt indexen 1 och 2 motsvara olika tidpunkter t1 och t2, och beteckna med f(t1, t2)

hamiltonflödet som över för en punkt x(t1 ) på x(t2 ). I detta fall kan vi, med hjälp av ekv:a (144,145), skriva (173) som

(174)

p(2)idq(2 )i − p(1 )idq(1 )

i = dS(t1 ,t2) dar

S(t1 ,t2) = ¶q 1,t1

q 2 ,t2 p idq i − Hdt

S(t1,t2) : M % M d ‘

66

Integralen i (174) är längs hamiltonbanan som förenar ändpunkterna. För Lagrange-rummen

(175)D(t1 ,t2) = g(t1 ,t2)(P) c P % P

g(t1 ,t2)(x) = x, f (t1 ,t2)(x )

kan vi definiera45 en kompositionsoperator sådan att

(176)

D(t1 ,t2) ) D(t2 ,t3) ) ... ) D(tn−1,tn) = D(t1 ,tn)

D(t1 ,t2) ) D(t2 ,t3) =

(x 1 ,x 3 ) c P % P :≥x 2 |f (t1,t2)(x 1) = x 2 &

f(t2 ,t3)(x 2) = x 3

Kompositionen motsvarar summationsreglerna

(177)

S(t1,tn )q1 , qn

= S(t1,t2)q1 ,q2

+ ... + S(tn−1 ,tn)

qn−1 ,qn

dS(t1 ,tn )q1 ,qn

= p(2 )idq(2 )

i − p(1 )idq(1)i

+

p(3 )idq(3 )

i − p(2)idq(2 )i

+ ... + p(n )idq(n )

i − p(n−1 )idq(n−1)i

=

p(n)idq(n )i − p(1 )idq(1 )

i

Mellanpunkterna (q2,...qn-1) i summan (177a) är valda så att punkterna (qi = q(ti)) ligger på enhamiltonbana. Detta förutsätts i summationen (177b) som faktiskt visar att summan i (177a) är engenerator för D(t1, tn). Mellanpunkterna (q2, ..., qn-1) kan också karaktäriseras som stationärapunkter till summan (177a),

(178)

ØØq(i)

S(t1 ,t2) + ... = Ø

Øq(i)S(t i−1 ,t i)

q(i−1) , q(i)

+

ØØq(i)

S(ti,t i+1)q(i), q(i+1)

= p(i) − p(i) = 0

(i = 2, ...,n − 1)

Kompositionen (176, 177) pekar i en mening fram mot Feynmans formulering av kvantmekaniken iterm av vägintegraler.46

67

46R P Feynman, A R Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill 1965.

45Denna metod utvecklas i J Kijowski, W M Tulczyjew, A Symplectic Framework for FieldTheories (1979), s. 47 ff.

2.7 Infinitesimala symplektiska rum, strål-rum

Låter vi tidpunkterna t1 och t2 närma sig varandra i D(t1, t2 ) erhåller vi en sorts infinitesimalbeskrivning av symplektisk mekanik.47 För infinitesimalt h erhåller vi,

(179)h(t,t+h) =

p i + p. ih d

q i + q. ih − p idq i =

p idq. i + p

.idq i

h

Ekvationen för Lagrange-rummet D(t, t + h ) ger Hamiltons ekvationer,h(t,t+h ) = dS(t,t+h )

(180)

pidq

. i + p.idq i

h = dS(t,t+h) = d¶t

t+hp idq i − Htdt

= dp iq

. i − Ht h u

q. i = ØH t

Øp i

p.i = − ØH t

Øq i

dar Ht(q, p) = H(q, p, t)

Vi har således en “infinitesimal beskrivning” av mekaniken genom att ta gränsvärdet h → 0,

(181)

Dti =

hd0lim D(t,t+h )

h ti =

hd0lim h(t,t+h)

h = p idq. i + p. idq i

z ti = −dh t

i = dq. i . dp i + dq i . dp. i

Använder vi definitionen av Lagrange-funktionen kan ekvationen (180) för de infinitesimalaLagrange-rummen Di(t) skrivas på formen,

(182)

hti = dL t som ger

p idq. i + p. idqi =ØL t

Øq i dq i +ØL t

Øq. i dq. i u

p i = ØL t

Øq. i

p. i = ØL t

Øq i

L t(q,q.) = L(q,q., t)

dvs, vi har rörelse-ekvationerna på Euler-Lagrange formen. Formerna i (181) är definierade på detinfinitesimala fasrummet Pi, som är ett strål-rum (jet-space) av banor på P.

Givet två mångfalder M och N, och mängden C∞(M, N) av glatta funktioner f: M → N.Två funktioner f, g ∈ C∞(M, N) sägs ha första gradens kontakt i punkten p ifall48,

68

48Vi har hämtat definitionen från E Binz, J Sniatycki, H Fischer, Geometry of Classical Fields(1988), s. 77.

47Se Kijowski, Tulczyjew, op. cit. s. 58 ff.

f(p) = g(p)

f&(p) = g&(p)

dvs, deras värden och derivator sammanfaller i punkten p. Vi definierar induktivt att f och g harn:te-ordningens kontakt i punkten p ifall f* och g* har (n-1):te-ordningens kontakt i punkten p.Kontakt-relationen är en ekvivalensrelation. Vi kan därför definiera ekvivalensklassen Jp,r

n (M,N)för alla funktioner f ∈ C∞(M, N), f(p) = r, under n:te-ordningens kontaktrelation. Vi definierarslutligen n:te-ordningens strål-rum som unionen

(183)Jn(M,N) = 4

p,rcM%NJp,r

n (M,N)

Det infinitesimala fasrummet Pi kan med denna terminologi beskrivas som strål-rummet

(184)Jt

1(‘,P) h 4xcP

Jt,x1 (‘,P)

(t c ‘)

som i detta fall är isomorft med tangentrummet TP. Kravet att en bana ξ(t) utgör en lösning tillrörelse-ekvationerna (180, 182) kan formuleras som,

(185)j1(n(t)) c Dti

n : ‘ d P

Här betecknar j1(ξ(t)) första ordningens stråle för banan ξ i punkten ξ(t); denna stråle (jet) bildasav ekvivalensklasser under ekvivlensrelationen där två banor som tangerar i en bestämd punkt ärekvivalenta. Definitionen av strål-rummen kommer speciellt till användning inom fält-teori därLagrange-funktionen är definierad över strål-rum av typen Jn(M, TrM) (strål-rum för tensorfält överrum-tiden M). Fält-ekvationerna (av första ordningen) har också den generella formen (185) (menistället för t har vi då en rum-tids punkt x i (185)).49

69

49Fält-teorin leder till en modifikation av j1 i (185); se J Kijowski, M Tulczyjew, A SymplecticFramework for Field Theories (1979), s. 103 - 109

3. Infinita Symplektiska System

3.1 Inledning - fält i fysiken

Våra fysikaliska exempel har tillsvidare begränsat sig till partikel-mekanik. Formalismen som viundersökt kan appliceras på godtyckligt antal partiklar. I det enklaste fallet blir konfigurations-rummet för ett n-partikelsystem Q = R3n. I kanoniska koordinater skrivs den symplektiska formenpå T*Q som,

(1)

z = Si=1

3ndq i . dp i

i = (1, 2, 3) = partikel nr 1

i = (4, 5, 6) = partikel nr 2

etc

Frågan inställer sig om system med stort antal partiklar (~ 1020) - t.ex. vätskor - matematiskt kanbeskrivas (“approximeras”) av symplektiska system med oändliga frihetsgrader; dvs, vi låter n i (1)gå mot ∞. Kontinuum-mekaniken och fältteorierna (t.ex. elektromagnetism) arbetar faktiskt medsystem som har infinita frihetsgrader. Deras konfigurationsrum består av fält. I det enklaste fallet harvi ett skalärfält som är en differentiabel funktion definierad på rum-tiden M. Ett vektorfält ges somen differentiabel tillordning av tangentvektorer i TM; dvs, vi har ett snitt,

(2)X : M d TM

oX(p) = p ; p c M

Definitionen säger att X tillordnar varje punkt p en vektor i TpM. Denna definition kan generaliserastill att definiera fält som snitt i allmänna fiberknippen. I “klassisk fysik” gäller det främst tensor- ochvektorfält.50 Exempel på skalärfält är täthetens och temperaturens variation i en gas eller vätska.Hastighetsfördelningen i en vätska är exempel på ett vektorfält.

Elektromagnetismens vektorpotential har i ljuset av modärn differentialgeometri tolkats somett sk måttfält (gauge field). Måttfält har att göra med sk konnektioner i fiberknippen. Enkonnektion (i fysiken också kallad Yang-Mills fält) beskriver hur man parallellförflyttar en vektor(t.ex.) från en punkt p till en punkt q längs en bestämd väg. Har vi p = q hamnar vi betrakta parallell-förflyttningar längs slutna banor vid punkten p. Dessa parallellförflyttningar bildar en grupp, den skholonomi-gruppen, som verkar på fibern Fp vid p. För en tangentmångfald TM utgör fibern TpM,och holonomi-gruppen är en delgrupp till alla omvändbara lineära transformationer på vektorrummetTpM. Holonomi-gruppen motsvarar den sk mått-gruppen. För elektromagnetismen utgörmått-gruppen U(1) för vilken vektorpotentialen är en konnektion som verkar på ett komplext

70

50En klassiker som behandlar matematiken för “klassisk fysik” är R Courant, D Hilbert, Methods ofMathematical Physics, Vol. 1, Interscience Publishers 1953. En koncis och klar framställning hittarman t.ex. i L A Segel, Mathematics Applied to Continuum Mechanics, Dover 1987. Till defysikaliska standardreferenserna hör L D Landau, E M Lifshitz, The Classical Theory of Fields(1975), som behandlar kärnan i Maxwells och Einsteins fältteorier med skärpa och elegans.

linje-knippe (komplexvärda vågfunktioner i kvantmekaniken). Matematiskt är konnektionen en1-form som antar värden i måttgruppens Lie-algebra - den förmedlar alltså en infinitesimal trans-formation längs en vektor (infinitesimal “vägstump”). Måttfälten kan förstås diskuteras med klassiskafältteoretiska metoder. I fysiken tror man allmänt att alla grundkrafter i naturen kan återföras påmåttfält.51 Tillsvidare har vi en mått-teori för elektrosvag växelverkan (Salam, Weinberg, m fl),och en mått-teori för stark växelverkan (kvantkromodynamik) som utvecklats från kvark--modellen (Gell-Mann). Mått-teorin för svag växelverkan baseras på mått-gruppen U(1) × SU(2),medan kvantkromodynamik baserar sig på måttgruppen SU(3). Frågan är huruvida dessaväxelverkan tillsammans med gravitationen kan förenas i en enhetlig mått-teori (grand unification).

Kvantfälten innebär en generalisering av den klassiska teorin.52 koordinaterna p och q i (1)som är reella tal generaliseras (Dirac, Heisenberg) till element i allmännare talkroppar (vi kan tänkaoss p och q ersatta med matriser). Alternativt ersätter man de kanoniska kordinaterna p och q medoperatorer (Schrödinger) som verkar på fält över konfigurationsrummet.

Partikelmekanik kan också uppfattas som en “fält-teori” med tidsaxeln R som enbasmångfald, och koordinatfunktionerna xµ(t) som “fält”. I strängteorin är koordinaterna funktionerav två parametrar, xµ(t,s). Ökar vi antalet parametrar kommer vi till de sk membranteorierna (härhar bl.a. klassisk matematik av L Dirichlet kommit till användning). Rörelse-ekvationer erhållesgenom att minimera volymen/arealen som sträng/membranen sveper över genom rum-tiden.Eftersom man har en Lagrange-funktion kan man nyttja den kanoniska formalismen för att utvecklateorin i hamiltonsk form. I sträng-fältteori studerar man fält med strängvariabler som argument,ψ(xµ). I super-strängteorierna tillkommer icke-kommuterande variabler θa varigenom man kanrealisera representationer av supersymmetrier. Supersymmetrierna utvidgar Poincaré-gruppen, somär en relativistisk generalisering av Galilei-gruppen, varigenom möjliggörs transformationer mellanbosoner och fermioner (heltals- och bråktals-spin representationer av Poincaré-gruppen). En viktigmotivation för “super-teorierna” är förhoppningen om att de skall kunna förena gravitationen ochkvantteorin.

3.2 Infinit symplektiskt rum

Vi skall behandla bara några elementära formella aspekter av fält-teori som infinitsymplektiskt system. Vi har redan mött oändliga mångfalder; t.ex. mängden av kontinuerligafunktioner på en (kompakt) mångfald N, C(N, R), är en oändlig mångfald. En oändlig mångfald Mdefineras i likhet med en Rn-mångfald, men istället för lokal homomorfism på Rn har vi enhomomorfims till ett Hilbert- eller Banach-rum B

(1)w : U d B

U _ M

71

52En översiktlig behandling av kvantfältteori återfinns i N N Bogoliubov, D V Shirkov, QuantumFields, Benjamin/Cummings 1983. En modern lärobok av en gengrens toppnamn är S Weinberg,The Quantum Theory of Fields, Cambridge UP, Vol. 1 1995, Vol. 2 1996.

51Alternativt kan man betona metrikens roll istället för konnektionen, såsom hos Einsteinsgravitationsteori och dess mångdimensionella generaliseringar i form av Nordström-KaluzaKleinteorierna vilka också försöker förena gravitationen med elektromagnetism, svag växelverkan, etc. Set.ex. översikten av L O’Raifeartaigh, N Straumann (1998).

Banach-rummets topologi bestäms av dess normstruktur.

♠ Exempel - oscillatorer. Ett ur fysikalisk synvinkel intressant exempel är en kollektion avoscillatorer. Systemets Hamilton-funktion skrivs,

(2)H = 1

2 Si=0

∞p i

2 + z2q i 2 u

rorelse-ekvation i q-rummet

q i + z2q i 2 = 0

Hamilton-funktionen i (2) är meningsfull om de infinita vektorerna p och q hör till Hilbert-rummet l 2

av reella kvadratsummerbara serier. ♠

Antag vi har ett differentiabelt skalärt fält φ över rumtiden R4. Då kan vi definierageneraliserade koordinater q för detta fält med hjälp av en ortonormal och komplett räcka (o.k.)funktioner u på R3 (vi förutsätter här att uk = uk, δ(x) står för Diracs “delta-funktion”),

(3)¶ uk(x)u l(x)dx = dlk

S uk(x)uk(y) = d(x − y)

koordinaterna för φ definieras som fältets Fourier-koefficienter visavi räckan u,

(4)v(x, t) = S qk (t)uk(x)

Vi definierar analogt ett kanoniskt konjugerat fält π via de kanoniska impuls-koordinaterna phörande till q, enligt (vi har i (5) samtidigt beräknat Poisson-klammern för de kanoniskt konjugeradefälten)

(5)o(x, t) = S pk(t)uk(x) u v(x, t),o(y, t) =

S qk (t),p l(t) uk(x)u l (y) = d(x − y)

En funktion F(q, p) är tillika en funktional F(φ, π) i fälten. Vi definierar funktional-derivatanδF/δφ, etc, genom likheterna

dF = ØFØqk dqk + ØF

Øpkdpk = ¶

dF

dv(x)dv(x) + dFdo(x) do(x)

dx

ØFØqk = ¶ dF

dv(x) uk(x)dx ; dv(x) = S uk(x)dqk

Speciellt erhåller vi

72

(6)F, G = S

ØF

ØqkØGØpk

− ØFØpk

ØGØqk

=

¶ dF

dv(x)dG

do(x) − dFdo(x)

dGdv(x)

dx h ¶ F,G #dx

Vi observerar vidare att vi kunde ha använt en annan o.k. i (4) och (5) med nya kanoniskaukoordinater som relateras till de gamla genom en symplektisk transformation (summering överupprepade index),

(7)

uk = aklu l, ajka jl = d lk

qk = aklq l , pk = aklp l

u dqk . dpk = aklakm dq l . dpm = dqk . dpk

Vi kan formellt överta konstruktioner och resultat från den finita symplektiska teorin. Med hjälp avfunktional-derivatan skrivs Hamiltons ekvation,

(8)

ØvØt

= dHdo

ØoØt = − dH

dv

dar

Øv(x, t)Øt =

dqk(t)dt uk(x) = ØH

Øpkuk(x) etc

♠ Exempel - oscillatorn. Hamilton-ekvationen för Hamilton-funktionen

(9.1)H = 12 ¶

o2 + z2v2 dx

blir

(9.2)

Øv(x, t)Øt

= dHdo(x, t) = ¶ o(y, t)

do(y, t)do(x, t) dy = o(x, t)

Øo(x, t)Øt

= − dHdv(x, t) = −z2v(x, t)

Rörelse-ekvationen (9) enbart i φ-fälten blir uppenbarligen,

(10)v + z2v = 0

vilken kan jämföras med exempel (2). Lagrange-formuleringen följer enligt Legendre-transforma-tionen,

73

(11)L(q, q.) = pkq.k − H(q, p)|q.= ØH

Øpu

Lv,v

. = ¶ o(x, t)v

.(x, t)dx − H(v,o) = 1

2 ¶v

.2 − z2v2

dx

Lagrange-ekvationen skrivs

(11*)ddt

dLv, v

.

dv.(x, t)

−dL

v,v.

dv(x, t) = 0

♠

3.3 Exempel - galileisk fältteori

Vi betraktar en speciell klass av fält-funktioner som kan skrivas på formen,

(12)Fv,o

= ¶ o(x, t)F(x, ØØx )v(x, t)dx

i termer av differentialoperatorer. Poisson-klamrar för dylika funktioner får en enkel form,

(13)F,G = ¶ o(x, t)F, G v(x, t)dx

F, G h FG − GF

dvs, Poisson-klamrar för fält-funktioner av typen (12) motsvarar kommutatorn av derasdifferentialoperatorer. Fält-ekvationer av typen (12) alstras t.ex. genom symmetrier på rummet.Antag vi har en Lie-grupp G som verkar på rummet R3, vilken inducerar en verkan ρ på fälten,

(14)Fg : ‘3 d ‘3 , x ü g $ x

gv = v ) Fg −1, g c G

Ifall transformationerna (14) är volym-invarianta över R3 inducerar dessa kanoniska transforma-tioner. Följer vi teorin för finita symplektiska system kan vi för ett Lie-algebra element a ansätta somgenerator av motsvarande kanoniska transformationer,

(15)Ha(v,o) = ¶ o(x, t)de sa

v(x, t)

ds |s=0dx

a c L(G)

74

Ekv (15) är en version av Noethers teorem.

Antag vi har translationstransformationen och betecknar motsvarande kanoniska generatormed P, då ger uträkning (a ∈ R3),

esa $ x = x + sa u Pa = ¶ o(x, t)d

v(x − sa, t)

ds |s=0dx =

− ¶ o(x, t)a i Øv(x, t)Øx i |s=0dx u Pa = −a i Ø

Øx i

Vi har samma differentialoperator som i kap 2, ekv (89). Det gäller också för rotationsgeneratorernaJ. Det är enkelt att verifiera att vi erhåller en representation av Gaililei-gruppen med hjälp avgeneratorerna,

(16)

P i = −¶ o(x, t) ØØx i v(x, t)dx

Ji = −¶ o(x, t)eijkx j ØØx k v(x, t)dx

G i = m ¶ o(x, t)x iv(x, t)dx

H = 12m ¶ o(x, t)Ã2v(x, t)dx

Vi observerar att kommutatorn mellan G och P inte är en konstant, utan

(17)G i, P j = d j

iM dar

M = m ¶ o(x, t)v(x, t)dx

Fältfunktionen M i (17) alstrar en 1-parameter-grupp S av transformationer definierad enligt,

(18)v d emtv

o d e−mto

Operatorn M är inte konstant på fasrummet P, men realiseras som en konstant på det reduceradefasrummet M-1(β)/S .

3.4 Exempel - kvantmekanik

Följande exempel visar på symplektiska strukturer i kvantmekanik. Exemplet är inspirerat av Heslot(1985) även om Heslot inte använder den fältteoretiska formuleringen. Bakgrunden till densymplektiska strukturen i kvantmekaniken är att den komplexa produkten kan uppdelas i en metriskoch symplektisk form (se ekv (29)).

75

Definiera ett komplext fält (“vågfunktionen”) ψ i term av de kanoniska fälten enligt,

(19)y = 1

2®v + io

® = Plancks konstant/2o

En enkel räkning visar att följande generatorer satisfierar Galilei-algebran (92)

(20)

P i = −i® ¶ y&(x, t) ØØx i y(x, t)dx

Ji = −i® ¶ y&(x, t)eijkx j ØØx k y(x, t)dx

G i = ¶ y&(x, t)xiy(x, t)dx

H = ¶ y&(x, t)−®2Ã2

2m y(x, t)dx

Hamiltons ekvationen för H i (20) ger den från kvantmekaniken bekanta Schrödingers ekvationen ifallet med en försvinnande potential,

(21)i®ØyØt

= − ®2

2m Ã2y

Igen gäller att kommutatorn mellan G och P är en icke-konstant term,

(22)G i,P j = d j

iM dar

M = m2® ¶

v2 + o2 dx = m ¶ y 2dx

Funktionen M alstrar en 1-parameter-grupp U vars transformationer kan skrivas på formen,

(23)y d e−ity

t c ‘

Inom kvantmekaniken är (23) invariansgruppen för globala fastransformationer. “Masstermen” Mblir en konstant, och vi erhåller en sann representation av Galilei-gruppen, om vi begränsar oss tilldet reducerade fasrummet M-1(β)/U. För fältfunktioner av formen,

(24)F = ¶ y&(x, t)F(x, ØØx )y(x, t)dx

F = hermitisk diff op u F = reell faltfunktion

76

blir Poisson-klammern,

(25)F,G = 1

i®F, G y med beteckningen

…X y h ¶ y&(x, t)Xy(x, t)dx

Poisson−klammern motsvaras av en operator-kommutator i kvantmekaniken. Fältfunktioner avtypen (24) kallas i kvantmekaniken för observabler. De bildar Lie-algebran till unitäratransformationer U,

(26)Uy, Uy = y,U @Uy = y,y dar

y, x h ¶ y&(x)x(x)dx

Nämligen, för en unitär transformation, U = 1 + iεA, som avviker infinitesimalt från identitets-transformationen följer

(27)1 = U @U l (1 − ieA@)(1 + ieA) u A@ = A

Unitära transformationer är en delgrupp av lineära kanoniska transformationer som kan uttryckas påformen

(28)

zi d zi∏ = a ijzj med

S zi∏ 2

= S zi2 dar

zi = 12®

q i + ip i

Invariansen av Hilbert-produkten,

(29)z, z∏ = S zk

&zk∏ = 1

2® Sqk

∏ qk + pk∏ pk

+ i

2® Sqk

∏ pk − pk∏ qk

=

metrisk produkt

(z, z∏ ) +symplektisk form

iz, z∏

implicerar automatiskt en invarians av den symplektiska formen. Ekvation (24) ger också dengenerella formen för impulsavbildningen i kvantmekaniken,

(30)J(iA)(y) = y,Ay dar

iA alstrar unit ar transformation eiA

A = hermitisk operator

77

Icke-relativistisk kvantmekanik kan karaktäriseras som en U(1)-invariant skalär fältteori.Generatorn av U(1)-transformationer (23) har den generiska formen (22b). För att undvika ytterliga neutrala element antar vi att denna operator sammanfaller, modulo en multiplikativ konstant,med mass-operatorn M. Med hjälp av mass-operatorn, och de geometriskt bestämda generatorernaför impuls-moment och impuls, kan man bestämma uttrycken för H och G. Man har en slutenalgebra av kvadratiska uttryck i (q, p), en egenskap som hänger samman med kvantmekanikenslinearitet.

3.5 Hydrodynamik och gravitationsteori

Vi definierade funktionalderivatan ovan via en o.k. räcka. Själva derivatan är dock oberoende avsjälva valet av räckan. Detta framgår tydligare om vi definierar derivatan genom,

(31)dF

dv(x) =dF(v(z) + ed(z − x))

de |e=0

u

dv(y)dv(x) = d

x − y

Att detta överensstämmer med den tidigare definitionen ses av följande slutledning,

(32)

v(z) = qkuk(z) u v(z) + ed(z − x) = qk(e)uk(z) dar

qk(e) = qk + euk(x) vilket gerdF

v(z) + ed(z − x)

de |e=0 =

dqk(e)de

dFdqk |e=0 = uk(x) dF

dqk = dFdv(x)

Vi har ovan betraktat fälten s.a.s. sui generis. Fälten uppträder också som approximationertill en N-partikel teori. För enkelhetens skulle väljer vi ett 1-dimensionellt fall där partiklarna harkoordinaterna x i. Definiera ett fält φ genom (täthetsfunktion)

(33)v(x) = 1

N Si=1

Nd(x − x i)

− L2 [ x [ L

2

Vi inför nya koordinater q genom en Fourier-transformation,

(34)v(x) = 1

L S qkeikx dar q0 = 1 och qk = ¶ e−ikxv(x)dx = 1N S e−ikx j

k = 2on

L , n = !1, !2, ...; k [ oLN

Givet (34) då måste det konjugerade fältet bli

78

(35)o(x) = S pkeikx u v(x), o(y) = 1L S eik(y−x) j d(x − y)

Den sista relationen övergår i en likhet (för distributioner) då N → ∞ . Antag Hamilton-funktioneni de ursprungliga koordinaterna har formen,

(36)H = 12 S

Pi2

2m + V(x 1 , ...,x N)

Transformationen x → q, motsvaras av en transformation P → p, så att vi har pdq = Pdx,

(37)pkdqk = P idx i u P i =Øqk

Øx i pk

Användning av (34) och (37) ger

(38)P j = −S ik

N e−ikx jpk = 1

NØo(x j )

Øx u

SP i

2

2m = 12mN2 S

j

Øo(x j )Øx

2

= 12mN ¶ v(x )

Øo(x )

Øx

2

dx

Resultatet i (38) ger den önskade fält-teoretiska formuleringen av N-partikelproblemet (36)(potentialtermen blir en funktional i φ-fältet). Fältet π kan uppfattas som en hastighetspotential,

(39)

v(x ) = 1mN

Øo(x )Øx ,

masst athet

q = Nmv vilket ger

S P i2

2m =

kinetisk energi

12 ¶ q(x)v 2(x )dx

Resultatet kan förstås, mutatis mutandis, överföras till det 3-dimensionella fallet. Det kan vidareanmärkas53 att transformationen också används för N-partikel Schrödinger-ekvation,

(40)i®ØyØt

= −S ®

2m ∫ i2 + V(x 1 , ...,x N)

y = Hy

y = y(x 1 , ...,x N, t)

som för N → ∞ kan skrivas som en Schrödinger-ekvation i den kollektiva variabeln φ,

79

53Se t.ex. B Sakita, Quantum Theory and Many-Variable Systems and Fields (1985), kap. VII.

(41.1)i®ØY

v

Øt = HeffYv

där är definierad genom,Heff

(41.2)Heff = 1

2Nm ¶ ∫o $ v∫odx + ®2N8m ¶

∫v

2

v dx + Vv

dar

o(x) = −i® ddv(x) = uk(x)

−i® d

dqk

“Dekvantiserar” vi (41.2) genom att ersätta -operatorn med π-funktionen i kan motsvarandeo Heff

Hamilton-ekvation (9) omskrivas på formen,

(42)i®

dxdt =

− ®2

2m ∫2 + dVdq

x dar

x = q eiS/® , q = Nv och S = oN

Fälten ρ och S är kanoniskt konjugerade enligt definitionen (42). De två representationerna (42b)och (19) av en “vågfunktion” är kanoniskt relaterade; transformationen ges t.ex. av generatorn,

(43)F(o,S) = − 12 ¶ o2(x )cot

S(x )

®

dx

(Det bör understrykas att den kollektiva vågfunktionen χ i (42) är s.a.s. en “kvasiklassisk” storhet tillskillnad från den egentliga vågfunktionen i Schrödingers ekvation.)

Vi har diskuterat några grundläggande aspekter av hamiltonsk/lagransk fält-teori. Den“konventionella” matematiska utvecklingen av fält-teori baseras på begreppet jet-spaces54 som tarfasta på fältens infinitesimala struktur (partialderivator) i motsats till “Fourier”- approachen ovan. Ifysiken har man dock oftast härlett de grundläggande rörelse-ekvationerna via Newtons lagar ochbestämda modeller av materia, eller via variationsprinciper. Vi kan ge två exempel. Det förstahandlar om en av den matematiska fysikens mest intressanta ekvationer, den skNavier-Stokes-ekvationen (1823, 1845) inom hydrodynamiken,

(44)q

ØvØt + (v $ ∫)v

= −∫P + g(∫2v + ∫(∫ $ v )) dar

v x, y, z, t

c ‘3 ,P(x,y, z, t) c ‘

80

54Se t.ex. J Kijowksi, W M Tulczyjew, A Symplectic Framework for Field Theories (1979); EBinz, J Sniatycki, H Fischer, Geometry of Classical Fields (1988).

Ekvationen beskriver en vätska med hastighetsfältet v, tätheten ρ, trycket P, och viskositeten η.Ekvationen tros vara “exakt” i den meningen att t.ex. fenomen som turbulens antas vara “innefattad”i ekvationen.55 Ett matematiskt problem är att utgående från rörelse-ekvationen (44) ge enhamiltonsk formulering av hydrodynamiken. I det enkla fallet där hastigheten ges av en “hastig-hetspotential” visar vårt tidigare exempel (38, 39) att tätheten och hastighetspotentialen utgörkanoniskt konjugerade fält. Men att härleda NS-ekvationen som en approximation av etthamiltonskt mångpartikelsystem, i analogi med det tidigare exemplet, har inte lyckats i “rigorös”mening. “Fenomenologiskt” kan man härleda den allmänna formen (44) via symmetrikrav.56

Som det andra exemplet behandlar vi Einsteins fält-ekvation för vakuum som kan formulerassom ett variationsproblem (Hilbert, Einstein, 1915),

(45)d ¶ −1

16o Rg,G

−g dxdt = 0

g = detgab

Här betecknar R den sk Riemann-skalären för en pseudo-metrik g över rum-tiden (den numeriskafaktorn 1/16π är en konvention; det negativa tecknet följer av kravet att jämviktslägen skallminimera verkan; gravitationskonstanten G och ljusets hastighet c har satts som 1). Metriken g ochkonnektionen Γ varieras oberoende i (45); variationen i g ger fält-ekvationerna, medan variationeni Γ ger sambandet mellan metriken och Christoffel- symbolerna Γ (jfr ekv (47) kap. 1).57 Härmöter vi igen det omvända problemet att finna en hamiltonsk formulering då fält-ekvationerna ärgivna. Detta är bl.a. av intresse visavi frågan om kanonisk kvantisering av gravitationen ochbehandlingen av initialvärdes problemen, förutom att en hamiltonsk formulering klargör hur man skalldefiniera begrepp som energi och impuls inom teorin (via impulsavbildningen) i allmänrelativitetsteori (ART).58 En klassisk kanonisk formulering - ADM-formalismen - av (ART) gårtillbaka på arbeten av bl.a. Dirac, Arnowitt, Deser, Misner, Kuchar och York (se Misner, Thorne,Wheeler, op. cit.). Grunden för denna metod är en speciell formulering av metriken (3 +1-uppdelning i “rum” och “tid”),

81

58I början behäftades begreppen impuls och energi av en sorts osäkerhet inom allmän relativi-tetsteori. Kanske är det detta som fortfarande skymtar i P Bergmanns not (Introduction to theTheory of Relativity (1964), s. 193): “As the concepts of energy and momentum are not of greatimportance in the general theory, the student may omit this section without losing the connection withthe following chapters.” Situationen har förändrats radikalt sedan dess, inte minst p.g.a.gravitationsteorins centrala ställning inom astrofysiken.

57Denna variationsprocedur kallas för Palatinis metod (efter A Palatini, 1919), se vidare C WMisner, K S Thorne, J A Wheeler, Gravitation (1973), kap. 21. Här förutsätts att Γ är symmetriski båda nedre indexen. E Cartan generaliserade Riemann geometrin till att omfatta icke-symmetriskakonnektioner. Han föreslog 1923 att den anti-symmetriska delen (torsionen) hänger samman medett intrinsiskt impulsmoment hos materien; ett förslag som då inte väckte någon uppmärksamhet.Spin upptäcktes experimentellt först ett par år senare (Uhlenbeck, Goudsmith, 1925).

56Se t.ex. L A Segal, Mathematics Applied to Continuum Mechanics, Dover 1987, s. 78 ff.Approximativ härledning av NS via mikroskopisk teori baseras på Boltzmanns ekvation inomtransportteori.

55För dessa frågor hänvisas till U Frisch, Turbulence, Cambridge UP 1995.

(46)ds2 = −(N2 − N iN i)dt2 + 2N idx idt + h ijdx idx j

i, j = 1, 2,3

varigenom Hilbert-Einstein-verkan får formen

(47)

¶ Lgdt = ¶ −N16o

G ijklK ijKkl + h (3)R

dxdt dar

K ij = 12N

−

Øh ij

Øt + N i|j + N j|i och

G ijkl = 12 h (h ikhjl + h ilhjk − 2h ijhkl )

Här bildar hij en metrik för en 3-geometri med Riemann-skalären (3)R, och en kovariant derivatabetecknad med Ni|j för vektorn Ni. Vi identifierar de dynamiska variablerna med (hij, Ni, N). Demotsvarande kanoniskt konjugerade variablerna betecknas (π ij, Hi, H0). Vi observerar emellertid attverkan i (47) saknar tidsderivator i N och Ni, varför vi inte kan definiera deras konjugeradevariabler enligt den övliga metoden, . För att hantera dylika situationer utvecklade P Dirac59p = ØL

Øq.

teorin för tvungna system (constrained systems). Antag att vi har en Lagrange-funktion i tvåvariabler x, y,

L = L(x,x.,y)

vilken är oberoende av tidsderivatan av y. Forma Hamilton-funktionen,

(48)H(x,px,y) = pxx

.− L dar

Legendre-transformation

px = ØLØx

.

Vi sätter py = 0 (primary constraint, enligt Dirac). Vi får konsistenskravet (secondary constraint),

(49)0 = p

.y = py, H = − ØH

Øy

w ØL

Øy= 0

Skriv lösningen till (49) som y = f(px, x). Forma Diracs Hamilton-funktion,

82

59P A M Dirac, “Generalized Hamiltonian dynamics”, Can. J. Math. 2: 129 - 148, 1950. Diracsteori presenteras t.ex. i R A Mann, The Classical Dynamics of Particles (1974), s. 128 - 131; V IArnold (Ed.), Dynamical Systems III (1988), s. 38 ff. Exemplet i texten följer V I Arnold, op. cit.s. 47.

(50)H = H + apy + by − f(px,x)

Koefficienterna (“Lagrange-multiplar”) α och β är bestämda genom konsistenskraven,

(51)

0 = py,H = py, H − b0 = y − f,H = − f, H + a

u

b = py, Ha = f, H

Hamiltons ekvationer för det tvungna systemet kan skrivas

(52)x. = ØHØpx

, p.

x = − ØHØx , py = 0, y = f dar

H(x, px) = H(x, px, f(x,px))

För den gravitationella verkan (47) motsvarar variablerna N, Ni variabeln y i exemplet. I analogimed (48) formar vi Hamilton-funktionen (53.1)

(53.1)H = ¶ o ij

Øh ij

Øt dx − Lg = ¶(NH0 + N iHi )dx dar

H0 = −16o G ijklo ijokl − 1

16o h (3 )R , Hi = −2o |j

ij

Vi inför samtidigt beteckningar i (53.2) som förenklar beräkningarna. Observera att π ij inte är entensor, utan en tensor multiplicerad med √h - en sk tensor med vikt ½. Detta möjliggör enpartialintegration och negligeringen av en ytintegral - efter användning av Stokes’ sats för divergensav en vektor - som leder till uttrycket för Hi.

. (53.2)

o ij =dLg

dh.ij

=h

16o(Kij − h ijK) = 1

16o GijklKkl eller

oA = 116o GABKB dar KA = 16oGABoB med

G ijkl = 12 h

h ikh jl + h ilh jk − h ijhkl

och GABGBC = dA

C

(Vi har skrivit GAB , etc, där A, B, ... motsvarar de olika ordnade indexparen (i, j ), etc.) Hamiltonsekvationer i N, Ni (i likhet med (49)) tillsammans med ekvationerna för hij och π ij skrivs,

(54)H0 = 0, Hi = 0

h.ij = dH

do ij , o. ij = − dHdh ij

83

Ekvationerna i övre raden i (54) är av typen Diracs tvångsekvationer (secondary constraints) och ärdesamma som (jfr ekv (49)). Observera att ekv (53.1) erinrar om formenH0 ,H = Hi,H = 0för en impulsavbildning. Faktiskt kan den tolkas som en impulsavbildning visavi gruppen avdiffeomorfismer Diff(M ) över 3-mångfalden (t = konstant) M som är en symmetrigrupp förART enär teorin bör vara invariant visavi koordinattransformationer. Konfigurationsrummet kanidentifieras med kvotrummet S(M) = Riem(M )/ Diff(M ) (Wheelers “superspace”) avgruppen Diff(M ) av diffeomorfismer och rummet Riem(M ) av riemannska metriker hij överM ; diffeomorfa metriker identifieras med en och samma geometri (“punkt i super-rummet”).

Vi skall visa på sambandet mellan impulsavbildning och Hamilton-funktionen (53.1). Antagvi har en 1-parametrig diffeomorfism fs: M → M . Vi beräknar motsvarande “generator” ianalogi med ekv (15); fs inducerar en avbildning på metriker genom koderivatan fs*. Vi betecknardess vektorfält enligt,

n ) f s =df sds

Beräkningen av “generatorn” förlöper enligt,

(55)J(h,o)(n) = ¶ o ij

df s

&h ij

ds dx = ¶ o ij Lnh

ijdx =

ignorerar en ytintegral

¶ o ij n i|j + n j|i

dx = −2 ¶ o |j

ijnidx = ¶ Hin idx

Resultatet motsvarar (53.1) med skift-funktionerna Ni = ξ i.

Eftersom tvångsekvationerna i (54) gäller för en lösning till fält-ekvationerna kan vi skriva H0 = 0 som en ekvation av Hamilton-Jacobi typ (A Peres, 1962),

(56)16o G ijkl

dSg

dh ij

dSg

dhkl− 1

16o h (3 )R = 0 dar

o ij =dSg

dh ij

Dessa ekvationer har varit utsatta för massiv forskning, inte minst beroende på att kanoniskkvantisering av gravitationen oftast tagit avstamp i ADM-formuleringen.60 Det finns också

84

60Se samlingsvolymen L Z Fang, R Ruffini (Eds.), Quantum Cosmology (1987). En översikt avolika kvantiseringsförsök ges i en artikel av E Alvarez, “Quantum gravity: an introduction to somerecent results” (1989). Som bekant har ingen invändningsfri kvantgravitation tillsvidare presenterats.Ett problem är att det inte finns någon unik kvantmotsvarighet eller “kvantiseringsprocedur” för varjeklassiskt system. Kanske det är mer “realistiskt” att förvänta sig att “klassisk” gravitation härledsfrån en mer omfattande kvantfältteori. Diverse aspekter av både klassisk och kvantgravitation

alternativa kanoniska formuleringar; t.ex. där konnektionen Γ tas som fält-variabel (medan metrikenblir en konjugerad variabel61). Ashtekar62 har också presenterat en alternativ formulering somresulterat i en hel del aktivitet på området, bl.a. därför att Ashtekars formulering visar på störrelikheter mellan ART och de sk Yang-Mills teorierna eftersom den utgår från enkonnektions-struktur istället för metriken.

Den kanoniska formuleringen av fältteorier såsom hydrodynamik och ART beror på hur manväljer att definiera konfigurationsrummet Q, som ger det naturliga fasrummet T*Q. Inomhydrodynamik för “ideala vätskor” i ett rum M kan vi t.ex välja konfigurationsrummet M sommängden D av volymbevarande diffeomorfismer f: M → M. Nämligen, vätskans flöde kanbeskrivas som en parametriserad diffeomorfism σt,s: M → M; partikeln som befinner sig i punkten xvid tiden s, befinner sig i punkten σt,s(x) vid tiden t,

(57)rs,t :M d M

rs,t ) r t,u = rs,u

Eulers ekvationer för den ideala vätskan fås genom följande variation, eller direkt via Newtonsekvation (p står för trycket som motsvarar -(potentiell energi); tätheten har satts som en konstant1),

(58)d ¶M

¶0

T

1

2

dr t,0(x )dt

2

+ pr t,0(x )

dxdt = 0

med villkoren drs,o = 0; s = T, 0

Variationen leder till ekvationerna,

(59)

Newtons ekvation

d2r t,0

dt2 = −∫p

d 2rt,0

dt2 = ØvØt + (v $ ∫)v

u

Eulers ekvation

ØvØt + (v $ ∫)v = −∫p

dr t,0(x)

dt =drs,t)r t,0(x )

ds |s=t = v r t,0(x ), t

v(x, t) h

drs,t(x)

ds |s=t

Till ekvationen tillkommer villkoret (volymbevarande flöde). Dessutom har vi randvillkoret ∫ $ v = 0 ; dvs, vätskan kan inte rinna genom väggarna. Ett intressant samband medv|ØM c T(ØM)

allmännare innebörd är att Eulers ekvation (59) kan uppfattas som ekvationen för en geodes på

85

62A Ashtekar, New Perspectives in Canonical Gravity (1988). Ashtekar ger en populär översikt i“Quantum mechanics of geometry” (1999) av gauge-formuleringen av Einsteins gravitationsteori.

61J Kijowski, W M Tulczyjew, A Symplectic Framework for Field Theories (1979), s. 209 ff.

penetreras i G Esposito, Quantum Gravity, Quantum Cosmology and Lorentzian Geometries (1994). En “pedagogisk” och intressant introduktion till området ges av J Mäkelä i Aspects ofCanonical Quantum Gravity (1994).

Lie-gruppen D av volymbevarande diffeomorfismer på M (satisfierande ovannämnda randvillkor).63

3.6 Några avslutande anmärkningar

Vi har illustrerat symplektisk geometri främst med tillämpningar inom analytisk mekanik. Andraintressanta tillämpningsområden är geometrisk optik, termodynamik, stabilitetsproblem inomplasmafysik och partikelacceleratorer, för att nämna några exempel. De symplektiska strukturerna ligger djupt rotade i fysiken. I enkla euklidiska fall kan dessa strukturer verka triviala. Desymplektiska strukturerna blev emellertid intressanta då man (H Poincaré) insåg att mekanikensfasrum generellt är icke-triviala mångfalder. De gamla “euklidiska” analysmetoderna blevotillräckliga. Därtill har också symmetriprincipernas växande roll i fysiken gett den symplektiskaformuleringen i fysiken en ordentlig skjuts framåt. Tillsvidare kan det knappast sägas att symplektiskgeometri direkt skulle ha gett upphov till nya grundläggande fysikaliska resultat, snarare har det varitfråga om ett förenhetligande och systematisering av tidigare vunna resultat. Situationen erinrar omintroduktionen av vektorbegreppet (J W Gibbs) som strömlinjeformade de matematiska metodernainom fysiken (främst inom hydrodynamik och elektrodynamik). Vektorkalkylens införande hade enganska lång diffusionstid. Nu är det differentialformer som är på långsam frammarsch i “ingenjörs-matematiken”. I takt med denna frammarsch torde också den symplektiska formuleringen vinnainträde i mekanikens grundkurser.

Symplektisk mekanik är ett av de områden där Grassmann-algebran slagit igenom i fysiken,och kan eventuellt peka vidare på fruktbara generaliseringar av de klassiska strukturerna. Kort sagthar de symplektiska formuleringarna accentuerat det geometriska innehållet hos fysiken.

Man kan förhoppningsvis få en djupare i inblick i de symplektiska strukturernas roll viastudiet av icke-kommutativ geometri som är ett snabbt växande fält. Allmänt sett är densymplektiska formuleringen en fortsättning på trenden att betrakta fysiken ur ett alltmer “kovariant”och globalt perspektiv. Ett sådant perspektiv får man tro att framhäver de fundamentala strukturernai fysiken. Samtidigt har den symplektiska formuleringen fördjupat sambanden mellan klassiskmekanik och den övriga fysiken.

86

63Se t.ex. R Abraham, J E Marsden, Foundations of Mechanics (1978), s. 472 - 474. En äldrereferens inom detta gebit är V I Arnold, “Sur le geometrie differentielle des groupes de Lie dedimension infinite et ses applications a l’hydrodynamique des fluids perfaits”, Ann. Inst. Fourier 16(1): 319 - 361, 1966.

Appendix

A. Poincarés lemma

Följande fundamentala sats brukar inom symplektisk geometri refereras till som Poincarés lemma64:

Givet en differentiabel sluten n-form ω (dω = 0) på en mångfald P. Då finns det endifferentiabel (n-1)-form α för vilken lokalt gäller att ω = dα; dvs, formen ω ärlokalt exakt.

Huruvida relationen ω = dα kan utsträckas att gälla globalt beror på rummets topologi. Ifall vi medBi(P) (coboundary group) betecknar de exakta i-formerna på P, och med Zi(P) (cocycle group) deslutna i-formerna på P, då har vi Bi(P) ⊆ Zi(P), och Hi(P) = Zi(P)/Bi(P) definierar en invariantstruktur ( de Rahm kohomolgi )65. Hi(P) = 0 (= R för i = 0) innebär att Poincarés sats gäller globaltför i-former. I fallet n = 1 betyder Poincarés lemma att vi för en sluten 1-form ω kan finna enfunktion α (modulo en konstant) sådan att ω = dα . Faktiskt kan vi definiera funktionen genom,

(1)a(x ) = ¶x0

xz

x 0 = fixerad punkt

Integralen i (1) är en linje-integral, och den är oberoende av integrationsvägen (enligt Stokes’teorem) p.g.a. formens slutenhet. Detta förutsatt att vi begränsar oss till ett område U ⊂ P där varjesluten kurva kan kontinuerligt deformeras till en punkt ( nollhomotop ).

För allmänna n-former kan vi begränsa oss till ett delrum U till Rm; P är ju lokalt diffeomorftill en dylik delmängd. Låt I beteckna enhetsintervallet [0, 1]. Definiera följande avbildning66,

(2)j t : U d I % U

x ü (t,x )

Definiera vidare följande operator K: Dn(I × U) → Dn-1(U) genom,

(3)K(a(t,x )dt . dx J ) =

¶0

1a(t,x )dt

dx J

K(a(t, x )dx J) = 0 dar

dx J = dx i1 . ... . dx in

dvs, differentialformer utan differentialfaktorn dt avbildas på 0. Då gäller för en generell n-form β på I × U,

87

66Följande argument är hämtat från H Flanders, Differential Forms with Applications to thePhysical Sciences (1998), s. 27 - 29.

65Dimension av vektorrummet Hi(P) (över R) kallas för det i:te Betti-talet bi för P.

64Eg. är det den triviala satsen ddα = 0 som brukar kallas Poincarés lemma, medan satsen vi anför itexten då kallas för dess omvändning.

(4)K(db) + dK

b

= j1

&b − j0&b

Denna relation bevisas genom direkt räkning för de båda fallen med en form β med och utanfaktorn dt (motsvarande (3a) och (3b)). Näst antar vi att U är ett område som kan differentiabeltdeformeras till en punkt; dvs, vi har en differentiabel avbildning,

(5)c : I % U d U

c(1,x ) = x

c(0,x ) = x 0 (fixerad punkt)

Låt ω vara en sluten form över U och definiera β genom β = γ*ω, då ger en insättning i (4),

(6)K

dc&z

+ d

Kc&z

= j1

&c&z − j0&c&z = z u z = d

Kc&z

d

c&z = c&dz = 0

vilket bevisar Poincarés lemma. Beviset gällde för en sluten form på Rm. Är ω en sluten form på en differentiabel mångfald P,

och är ϕ en lokal diffeomorfism ϕ; U ⊂ P→ W ⊂ Rm, då visar lemmat att vi har en form α på Wsådan att (ϕ*)-1 ω = dα; dvs, ω = d(ϕ*α), vilket bevisar lemmat generellt för differentiablamångfalder.

B. Darboux’ teorem

Vi har i uppsatsen åtskilliga gånger nyttjat egenskapen att den symplektiska formen ω lokalt alltidkan skrivas på den “kanoniska” formen ( ekv (1), Inledningen). Detta är innehållet i Darboux’teorem (1882):

Antag ω är en icke-degenererad sluten 2-form på en differentiabel mångfald P. Dåfinns kring varje punkt i P ett lokalt koordinatsystem (ϕ, U) där ω skrivs påformen

(7)z|U = S

i=1

n

dq i . dp i

w(x ) = q i(x ),p j(x )

c ‘2n

(Från antisymmetrin och icke-degenerariteten hos ω följer att mångfalden måsteha jämn dimension, 2n.67)

88

67Nämligen, ω representeras av en antisymmetrisk k × k matris A för vilken gäller att det(A) =det(At) = (-)k det(A); dvs, för att det(A) ≠ 0 (icke-degenererad) måste vi ha ( dim(P) = ) k = 2n.

Självfallet gäller också omvändningen till teoremet. För att bevisa Darboux’ teorem kan vi igen antaatt ω är en form över R2n. Vi kan utan inskränkning låta origo 0 vara vår referenspunkt. Vi skall visa68 att det finns en omgivning U kring 0 med ett koordinatsystem där formen ω är konstant. Dennakonstanta symplektiska form kan antas ha formen (7) - detta är ett resultat inom lineär algebra. Vikoncentrerar oss på att konstruera koordinatsystemet där ω är konstant. Definiera formen β = ω(0)- ω (som försvinner om ω är konstant) och ωt = ω + tβ för t ∈ [0,1]. Tack vare kontinuitet kanvi anta att det finns ett område U kring 0 där ωt, t ∈ [0,1], är icke-degenererad. Enligt Poincaréslemma har vi en 1-form α sådan att β = dα. Definiera ett vektorfält X och dess flöde Ft (F0 =Id) genom,

(8)iXz t = −a

dF t

dt = X ) F t

Enligt definitionen av Lie-derivatan erhåller vi,

(9)d

F t&z t

dt = F t

&LXz t + F t& dz t

dt =

F t& d(iXz t ) + b

= 0

Vi har alltså ; dvs, F1 är den sökta koordinattransformationen somz = F0&z0 = F1

&z1

transformerar ω på en konstant form ω1.

C. Partikel med spin i magnetfält

Begreppet spin brukar vanligen förknippas med kvantmekanik. En historisk orsak är att Diracsrelativistiska vågekvation (1928) för elektronen visade att den hade ett intrinsiskt impulsmoment somt.ex. växelverkade med magnetfält. Matematiskt blev det dock klarlagt att spin-kvanttaletkaraktäriserar representationen av rotationsgruppen i R3. Heltalsspin k motsvarar vektorer ochtensorer, medan halvtalsspin ½ + k motsvarar “spinorer”. Spinorer tillhör representationer av höljetSU(2) till SO(3). I en “klassisk” modell av en spin-partikel skrivs det totala impulsmomentet(rotations-generatorn) som summan av banimpulsmomentet och spin,

(10)Ji = eijkq jpk + S i

Spin-partikelns tillstånd givs av koordinaterna (qi, pj ,Sk ) som i vårt exempelfall motsvarar ett fasrummed strukturen P = R6 × S2, (S2 = 2-sfären). Magnituden av spinvektorn, |S|, är nämligen enkonstant r. Den symplektiska strukturen ω på P skall väljas sådan att för en generellrotationsvektor ni kring axeln i gäller (se kap 2, ekv (83))

89

68Argumentet följer R Abraham, J E Marsden, Foundations of Mechanics (1978), s. 175.

(11)in i z = dJi dar

n i = eijkq j Ø

Øqk + p jØ

Øpk+ S j

ØØSk

Lösningen på detta problem ges av 2-formen

(12)

z = dq i . dpi + 12r2 eijkS i dS j . dSk −

e2 eijkBidq j . dq j

S(S i )

2 = r2 (konstant)

vilket visas genom direkt uträkning (vi har till formen också fogat den magnetiska delen). Slutenhetendω = 0 följer emedan dS1 ∧ dS2 ∧ dS3 = 0 för tre funktionellt beroende variabler Si. Ifall partikelnsspin är asscocierat med ett magnetiskt moment µS kan partikelns energi i ett magnetfält B skrivas(e = partikelns elektriska laddning),

(13)H =p2

2m + eVq

− l(B $ S)

l = e

mc for elektronen

Hamiltons ekvationer ger partikelns rörelse-ekvationer och utvecklingen av spin-variabeln,

(14)iXz = dH u dSdt = l S % B

som visar att spin-vektorn roterar kring magnetfältet (“spin-precession”) med en hastighetproportionell till magnetfältets styrka69. Föregående system (12) kan direkt generaliseras till ettmångpartikel-system med spin-variablerna S(n), n = 1, ...., N. I detta fall kan den N-dimensionellaversionen av Hamilton-funktionen (13) kompletteras med en spin-interaktion. En populär form gesav

Hint = − Sm ,n

JmnS(m ) $ S (n )

Jmn = konstanta koeffcienter

som bildar en grundmodell för teoretiska studier av ferro- och paramagnetism(Heisenberg-Ising-modeller, etc).

D. Sfären som symplektiskt rum, prekvantisering

90

69På denna växelverkan mellan partikelns magnetiska moment och magnetfältet grundar sig teknikenför nukleär magnetisk resonans (NMR) (Garter, 1936).

I (12) definieras en symplektisk 2-form över sfären. Spin-delen i (12) är proportionell till S⋅dA,projektionen av yt-elementet på spin-vektorn. Det betyder att area-formen på 2-sfären definierar ensymplektisk form på 2-sfären70. Vi har här ett exempel på ett symplektisk rum som inte är isomorftmed ett kotangentrum T*M. “Spin-sfären” kan parametriseras med komplexa tal enligt (motsvararstereografisk projektion)71,

(15)z! |V! =S1 " iS2r ! S3

V! = x c P : r ! S3(x ) ! 0

Sfären täcks av de två överlappande koordinatomgivningarna V±. En direkt uträkning visar attytformen uttryckt i de komplexa variablerna blir,

(16)1

2r2 eijkS i dS j . dSk = 2ir(1 + z!z! )−2dz! . dz! = −dh!

h! = −2ir(1 + z!z! )−1z!dz!

Poisson-klammern mellan två funktioner F och G beräknas till,

(17)F,G = 1r2 S $ (XF % XG ) =

(1 + z!z!)2

2ir

ØFØz!

ØGØz!

− ØFØz!

ØGØz!

där vi gett två varianter; som funktioner i S, samt som funktioner i de komplexa variablerna. (XF ochXG betecknar de motsvarande Hamilton-fälten till funktionerna F och G.) Vidare uträkningar visaratt vi har

(18)z+z− = 1, z! c V+ 3 V−

h+ − h− |V+ 3 V− = −2irdz+z+

Modellen för klassiskt spin är ett exempel där vi saknar en direkt lagransk ekvivalent till denhamiltonska formuleringen. Den klassiska spin-modellen aktualiserar också frågan om“kvantisering”. Den sk kanoniska kvantiseringen går ut på att vi för klassiska system med fasrumP = T*R3n kan ersätta variablerna med följande operatorer,

(19)q :y(q) ü qy

q

p :y(q) ü −i®Øy

q

Øq

verkande på “vågfunktioner” ψ(q) (komplexa funktioner på R3n). Av (19) följer att

91

71Vi följer här J Sniatycki, Geometric Quantization and Quantum Mechanics (1980), s. 200 ff.

70Omvänt betyder detta att ytriktiga transformationer av sfären ges av Hamilton-flöden.

(20)q, p = i® = i® q,p

P Dirac antog (1925) på grundval av (20) att det föreligger en allmän relation mellan kvant-mekanikens operator-kommutator relationer och de motsvarande klassiska funktionernasPoisson-klamrar72. Efter Dirac definierar man en kvantisering av ett klassiskt system påfasrummet P som en lineär avbildning av de klassiska variablerna på (självadjungerade)operatorer som verkar på ett Hilbert-rum H,

(21)

f c C(P) ü f c L(H,H)

f,g . = 1i®

f, g

1 = Id

Emellertid visar det sig att t.ex. kvantiseringen (20) av de kanoniska variablerna beror påkoordinatsystemet; användande av olika koordinatsystem kan leda till olika kvantteorier. En annansvårighet tillkommer när vi studerar system i likhet med sfären ovan med fasrum som inte kan skrivassom ett kotangentrum T*M och inte har ett globalt kanoniskt koordinatsystem. Nyttjar viegenskapen för hamiltonska fält är det enkel att kolla att tillordningenX f,Xg = −X f,g

(22)f ü f = −i®LX f

(f c C(P))

satisfierar Diracs kvantiseringsvillkoret (21) förutom det sista kravet. I de fall fasrummet skrivs P =T*M har vi en generalisering av (22) som går tillbaka på Segal, van Hove och Koopman,

(23)

f ü f = f − h(X f ) − i®LX f h f − i®∫X f

dar h = p idq i vilket beyder

∫X fy h X fy − i® p i

ØfØq i y

y c C(P,Š)

En liknande räkning som för (22) visar att (23) satifierar Diracs kvantiseringsvillkor inklusive villkoretatt konstansfunktionen 1 överförs på identitetsoperatorn Id. Kostant och Souriau insåg attdefinitionen (23) inte förutsätter att den symplektiska formen θ är definierad globalt. Enligt

92

72Se t.ex. P Dirac, Principles of Quantum Mechanics (1930, 4. ed. 1957), § 21, s. 84 ff. “Thestrong analogy between the quantum P.B. (...) and the classical P.B (...) leads us to make theassumption that the quantum P.B.s, or at any rate the simpler ones of them, have the same values asthe corresponding classical P.B.s ” (a.a. s. 87). Dirac definierar kvant P.B. som högra membrum i(21.b).

Poincarés lemma har vi nämligen lokalt en “symplektisk potential” θ, ω = -dθ. För speciellamångfalder, de sk kvantiserbara rummen, kan dessa lokala potentialer sammanfogas så attdifferentialoperatorn ∇ i (23) är definierad globalt. En dylik operator ∇ är ett exempel på enkonnektion. I föreliggande fall kan detta villkor formuleras som så,

Den symplektiska mångfalden (P, ω) är kvantiserbar omm det finns ett cirkelknippe π: S → P över P, och en 1-form α på S sådan att, (Def-1) α är invariant under fibertransformationerna73 på S π*dα = ω/’.

Ett trivialt fall av cirkelknippe S över P har produktformen P × S1, men för ett generellt cirkel-knippe har vi endast lokala “trivialiseringar” för koordinatomgivningar U,

(24)w :o−1(U) _ S d U % S1

o :S d P

Till definitionen av cirkelknippet hör att gruppen U(1) verkar på denna (“fastransformationer”); dvs,vi har en verkan,

(25.1)S % U(1) d S

(u, z) ü u $ z c S, u $ (z1z2 ) = (u $ z1 ) $ z2

for vilken

(25.2)

o(u $ z) = o(u)

defintion for fri verkan

≥uu $ z = u u z = 1

u c S, z c U(1)

Elementen i U(1) kan representeras här som komplexa tal z = eia ( a ∈ R ). Definitionsvillkoret(25.2a) innebär att fibrerna är invarianta under U(1)-verkan (“fibertransformationer”). Slutligen harvi kravet att trivialiseringarna (24) kan väljas av formen,

(26)w(u) = o(u), y(u)

c P % U(1)

y(u $ z) = y(u)z, dar y : S d U(1)

Villkoren (25)-(26) ger den allmänna definitionen för ett principalt fiberknippe S(P,π ,G) medbasmångfalden P i speciallfallet G = U(1). Kravet på fri verkan (25c) innebär att basmångfaldenP kan skrivas som en kvotmångfald, P = S/U(1).

93

73Invariansgruppen för α kallas gruppen av kvantomorfismer.

Vågfunktioner på P beskrivs som snitt av ett komplext linjeknippe L över P74, i likhet meddefinitionen av vektorfält som snitt av tangentknippet/rummet TP. Linjeknippet L definieras som ettassocierat fiberknippet till det principala fiberknippet S. Vi ger den generella definitionen. Antag vihar en representation av gruppen G på ett rum F,

(27)

G % F d F

g, v

ü g $ v c F

g1g2

$ v = g1 $

g2 $ v

Verkan (27) tillsammans med (25) inducerar en verkan på S × F definierad genom,

(28)S % F % G d S % F

(u,v ),g

ü u $ g,g−1 $ v

Det associerade fiberknippet E(S, F) definieras därefter som kvotmångfalden S × F/G visavi verkan(28). Vi har den naturliga projektionen πE och avbildningen S × F → E(S, F) definierade genom,

(29)oE([(u, v )]) h o(u) c P

(u,v ) ü uv hekv.klass visavi (28)

[(u,v )] c E(S, F)

I det aktuella fallet är det komplexa linjeknippet L givet som ett associerat knippe till cirkelknippet. L har fibern F = C, och U(1) verkar på C genom komplex multiplikation.

Vi kommer äntligen till begreppet konnektion75. Antag F är ett vektorrum. Givet en väg γsom förbinder två punkter p och q i P. Uppgiften är att generalisera från den euklidiska geometrinbegreppet parallellförflyttning (p.f.) av en “vektor” ξ ∈ πE

-1(p) längs vägen γ till punkten q. I ettlokalt koordinatsystem kan p.f. skrivas som,

(30)

x(t),g(t) $ v

dar

x(t) = x ) c(t)

g(t) c G, v 0 c F

P.f. (30) motsvarar en bana i principala fiberknippet S som i de lokala koordinaterna skrivs (x(t),g(t)). Denna bana γ kallas för γ:s lyft (eng. lift). En konnektion på S innebar att vi för varje bana γpå P och initialvärde u0 ∈ S, π(u0 ) = γ(0), har ett lyft γ på S som är entydigt bestämt av γ ochkravet γ(0) = u0. Lyften definierar en p.f. på S; u1 sägs vara u0 parallellförflyttad längs banan γ omvi har lyftet γ med γ(0) = u0 och γ(1) = u1 (π(u1 ) = γ(1)). Omvänt kan vi beskriva p.f. på det

94

75En standardreferens är S Kobayashi, K Nomizu, Foundations of Differential Geometry (1963).

74Dvs, ψ: P → L, sådan att πL(ψ(p)) = p, där πL betecknar den naturliga projektionen πL: L → P.

associerade fiberknippet E som så: Givet ξ0 ∈ πE-1(γ(0)), då ges dess parallellförflyttning längs γ

med hjälp av lyftet γ som (vi använder beteckning från (29))

(31)n(t) = c(t)m0

initialvillkor

c(0)m0 = n0 , m0 c F

I lokala koordinater skrivs en infinitesimal p.f. av vektorn ξ som,

(32.1)dv = dg $ v0

= dg $ v 0 = dg g−1 $ v =

− g−1dg $ v = −Gkldx kgl $ v

där nyttjat beteckningen

(32.2)gl $ v hd

exp(sgl) $ v

ds |s=0

gl c L(G), v c F

I ekv (32) har vi definierat en Lie-algebravärd 1-form. Genom att för ett vektorfält i E ta differensenmellan ξ(x + dx) och parallellförflyttningen av ξ(x) till x + dx erhåller vi den kovarianta derivatani koordinatform,

(33)∫v = dv − dv =

ØvØx k + Gk

lgl $ v dx k

v = (v 1 , ...,v m )

Vi återvänder nu till (23). Vi följer Souriau och Konstant och definierar

(34)∫ = d − i

® h

∫Xy = Xy − i® h(X)y

som en konnektion i det komplexa linjeknippet L. Den imaginära enheten i står för baselementet iLie-algebran L(U(1)). Det finns ett kompatibilitetsvillkor för att (34) faktiskt skall globaltdefiniera en konnektion. Låt oss studera parallellförflyttning längs en sluten bana, en rand ∂A till eninfinitesimal delyta A i P. Ett parallellförflyttat vektorfält längs randen satisfierar,

(35)∫y|ØA = 0 u dy|ØA = i

®hy|ØA

95

Den totala förändringen för en parallellförflyttning av vektorn kring randen blir med hjälp av Stokesteorem för en yta A (vi tänker den uppdelad i infinitesimala delytor - se figuren - i strikt mening är ψ inte definierad i integranden i (36) över ytan A eftersom parallelltransport “beror av vägen”, menför infinitesimala ytor kan man förbigå denna invändning),

(36)“ØA

i® hy = ¶A d

i® hy

= i® ¶A

dhy − h . dy

=

i® ¶A

dh − i

®h0

h . h

y = − i

® ¶Azy

P

RS

Q

Skriver vi ψ lokalt på formen ψ = Qeiϕ, Q och ϕ (“fasen”) reella funktioner, innebär (36) attfasens ändring vid en parallellförflyttning längs en sluten bana blir,

(37)Dw = − 1® ¶

Az

dvs, ges av den symplektiska formen ω. Ekv (37) kan utsträckas till finita ytor A eftersom dettamotsvarar en summering av “fasförändringar” ∆ϕ över infinitesimala delytor. Låter vi A omfatta ensluten 2-mångfald (i fallet med 2-sfären S2 omfattar alltså A hela 2-sfären), för vilken randenkrymper till en punkt (infinitesimal kurva), ∂A = p, måste integralen (37) bli en multipel av 2π ,emedan vi har kravet ei∆ϕ = 1 (ingen förändring av vågfunktionen),

(38)A sluten 2-maÿngfald

¶A

z = n2o® h nh

(n c Z)

Detta ger kompatibilietsvillkoret för att den symplektiska mångfalden (P, ω) kan “kvantiseras”.Villkoret (38) är ekvivalent med att ω/h tillhör “heltals kohomologi klass”, ω/h ∈ H2(P,Z). Viapplicerar (38) på “spin-sfärens” form (16) som kan skrivas dA/r, där dA betecknar spin-sfärensareaelement. Integralen (38) blir alltså 4πr, och “kvantiseringsvillkoret” i (38) innebär att spin-magnituden är kvantiserad, |S| = r = n’/2.

96

Formen α i definitionen (Def-1) motsvarar den sk konnektionsformen som lokalt haruttrycket

(39)a = dw − 1® h

(Konnektionsformen är en Lie-algebravärd form men vi har lämnat bort faktorn i i (39) som ärtrivial för en 1-dimensionell Lie-algebra.) Dess “krökning” dα ger alltså den symplektiska formendividerad med Plancks konstant. Vi kan här återkalla att elektromagnetism kan införas genom att tillden symplektiska formen ω addera 2-formen d( e Aµdxµ ). Detta motsvarar en utvidgning avkonnektionsformen med en term e Aµdxµ . Elektromagnetism kan alltså uppfattas som enkonnektionsform (“måttfält”) tillhörande gruppen (“måttgruppen”) U(1). Numera antar man att allafysiken fundamentala krafter beskrivs av konnektionsformer.

“Vågfunktioner” definierade som snitt ψ : P → L ovan har det “felet” att de har 2nargument, medan vågfunktioner i kvantmekaniken har endast n-argument. I geometriskkvantisering (Souriau, Konstant) har man utvecklat en teori som försöker hantera denhärsituationen med hjälp av lagranska delrum (sk polarisationer). Till vissa delar har man kunnatreproducera “standard kvantmekaniken”, men teorin blir tämligen komplicerad. Poängen medgeometrisk kvantisering ligger kanske främst i att klarlägga likheter och skillnader mellan klassiskmekanik och kvantmekanik, samt i att försöka precisera/generalisera begreppet “kvantisering” ochkringgå Schrödinger-kvantiseringens begränsning till speciella (kartesiska) koordinatsystem.

E. Symplektiska superrum

All modärn fysik utgår från att de fundamentala teorierna skall vara relativistiskt invarianta; dvs, haPoincaré-gruppen som en invariansgrupp. (De relativistiska “Lorentz-transformationerna” härleddesredan 1887 av matematikern W Voigt76, men deras fysikaliska signifikans klarlades först 1905 av AEinstein i hans “relativitetsteori”.) Historiskt härleddes Lorentz-transformationerna somtransformationer under vilka Maxwells ekvationer är invarianta. Formellt är Poincaré-gruppen P invariansgruppen för den kvadratiska formen (“metrik”)

(40)g(x,y) = x 0y0 − x 1y1 − x 2y2 − x 3y3

x = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) dito for y

tillsammans med translationer i R4. Under 1960-talet konfronterades man med problemet att försökakombinera Poincaré gruppen P med interna symmetrier T (SU(2)-isospin etc). S Coleman

97

76W Voigt, “Über das Doppler’sche Prinzip”, Göttinger Nachr., 14, 1887; nytryck i Phys. Z.,16;381-386, 1915. Voigt betraktade t.formlerna som en formell metod att lösa Maxwells ekvationer.Voigts uppsats hade inget inflytande på fysikens utveckling. H A Lorentz och H Poincaréåterupptäckte dessa transformationsformler kring sekelskiftet. H Poincaré bevisade 1904-5 attdessa transformationer bildar en grupp. För historiska detaljer kring relativitetsteorins tillblivelse, seA I Miller, Albert Einstein’s Special Theory of Relativity, Springer 1998 (Addison-Wesley1981).

och J Mandula77 bevisade 1967 under tämligen generella villkor ett sk “no go theorem”: EnLie-grupp med Poincaré gruppen P och en intern symmetrigrupp T som delgrupper ärnödvändingtvis av den triviala faktortypen, P ⊗T (vilket innebär “trivial” fysik). Emellertid fannY A Golfand och E S Likhtman78 1971 ett sätt att kringgå Coleman-Mandulas “no go”-sats genomatt generalisera Lie-grupper. Medan konventionella Lie-grupper alstras via reella eller komplexakombinationer av elementen i dess Lie-algebra,

(41)exp

x ig i c G

gi c L(G), x i c ‘,Š

låter man för supergrupper och superalgebran koefficienterna x i omfatta Grassmann-variabler.Vi skisserar kort hur den symplektiska formalismen kan anpassas till detta nya schema. Antag att vihar ett superrum P (A Salam, J Strathedee, 1974) som lokalt har koordinaterna x i och ξα. Härbetecknar x i de jämna eller bosoniska (even) koordinaterna (i = 1, ..., 2n), medan ξα betecknarde (Grassmann) udda eller fermioniska (odd) koordinaterna. Grassmann-variablerna uppfyllerföljande antikommuteringsrelationer,

(42)nanb + nbna = 0

a,b = 1, ...,m

De udda variablerna kommuterar med de jämna variablerna. För ett symplektiskt superrum kan vilokalt välja koordinaterna så att vi har en symplektisk “kanonisk” form given genom,

(43)z = dq i . dpi + eadna 1 dna

(ea = !1)

Givet denna form kan vi följa den vanliga proceduren för att definiera hamiltonska vektorfält,Poisson-klamrar, osv. En generell (Grassmann-) funktion F på superrummet P kan skrivas,

(44)F(x,n) = f(x) + fa(x )na + ... + fa 1 ...am(x )na 1...na m

där funktionerna fαβ... är antisymmetriska i indexen. Innehåller F endast jämnt antal faktorer av deudda variablerna i (44) säges F vara jämn (eller ha pariteten 0); ifall F har endast termer med uddaantal faktorer av de udda variablerna säges F vara en udda funktion (eller ha pariteten 1). Engenerell funktion av typen (44) kan skriva som en summa av udda och jämna funktioner. Förfunktioner som antingen är udda eller jämna kan Poisson-klammern skrivas som (paritetsfaktornföljer av att dF(ξ) = ± ∂F/∂ξ dξ, tecknet beroende på paritet),

98

78JETP Lett. 13; 323, 1971.

77Phys. Rev. 159; 1251, 1967.

(45)F,G = ØF

Øq iØGØpi

− ØFØp i

ØGØq i + (−)o(F )ea

ØFØna

ØGØna

o(F) = F’s paritet

Derivatan av funktionen (44) visavi en udda variabel har definierats som,

ØF(x, n)Øna1

= fa 1(x ) + 2fa1a 2

(x )na 2 + ... + mfa 1 ...am(x )na 2...na m

Superrummen kan betraktas som en ganska naturlig generalisering av differentialgeometrin. LCastellani et alii79 menar att den sk “supergravitationen” baserad på denna teoretiska referensram ären “naturlig” utväxt från Einstein-Cartan teorin. Einstein-Cartan teorin är baserad på engeneralisering av riemannsk geometri med asymmetrisk konnektion (“torsion”)80. Medan geometrin iEinsteins “klassiska” gravitationsteorin endast bestäms av materiens mass-energi-täthet, inverkaräven materiens spin på geometrin i Einstein-Cartan teorin. “Superteoriernas” fysikaliska relevans ärfortfarande en öppen fråga.

F. Kirillov-konstruktionen

Såsom nämndes i inledningen till denna uppsats baserar sig en viktig konstruktion av symplektiskarum på banor till koadjungerade representationer av Lie-grupper G. Det klassiska exemplet ges avfallet G = SO(3), gruppen av rotationer i R3. Elementen i Lie-algebran so(3) kan identifieras medvektorer i R3. En bana genom vektorn x omfattar då alla punkter som nås via rotation av vektorn x;dvs, sfären med radien |x|. Ifall a och b är två tangentvektorer till sfären vid punkten x definierasden symplektiska strukturen på den koadjungerade banan genom,

Wx(a,b) = x $ (a % b)

% = kryssprodukten

Betrakta en allmän Lie-grupp G. I avsnitt 2.4 diskuterade vi dess adjungerade representation påLie-algebran L(G):

Adg(a) =d

getag−1

dt |t=0

g c G

99

80För en presentation se t.ex. V de Sabbata, M Gasperini, Introduction to Gravitation (1985),kap. X.

79L Castellani, R D’Auria, P Fré, Supergravity and Supersymmetry: A Geometric Perspective(1991), Vol. 1, s. 5.

Denna motsvaras av en dual koadjungerad representation somAdg −1& : L(G)& d L(G)&

satisfierar

Adg

&(b), a =

b,Adg(a)

b c L(G)&,a c L(G)

För givet , betrakta den koadjungerade banan genom β , .b c L(G)& Bb = Adg&(b) : g c G

Vidare, givet , då ges tangentvektorn till kurvan genom β enligt,a i c L(G) Ade tai& (b)

n i =d

Ade tai& (b)

dt |t=0 = adai

& (b)

ad& : L(G)& % L(G)& d L(G)&

där vi infört den duala avbildningen ad* till ad. Vi kan nu definiera en 2-form på tangentrummet tillbanan genom β som följer,

(46)Wb(n1 , n2) = b, ada 1 (a2)

= b, a1 ,a2

Genom att direkt utnyttja denna definition kan man visa att 2-formen definierar en symplektisk form;dvs, att den är icke-degenererad och sluten.

En annan väg att nå fram till denna Kirillovs konstruktion är via reducerat fasrum somdiskuterades i kap. 2. Härvid utgår vi från kotangentrummet M = T*G och dess kanoniskasymplektiska struktur. Vänstermultiplikationen (diffeomorfism på G) inducerar en hamiltonsk verkan(visavi den kanoniska symplektiska strukturen)

(47)Lg −1

& : M d M

g c G

För 1-parametergruppen g = eta motsvarar verkan (47) flödet för Hamilton-funktionen

Ha(x) = h

dLe−ta

& (x)dt |t=0

= x

do

Le−ta& (x)

dt |t=0

=

x

dLeta

g

dt |t=0

= x(Rg &

(a)) = a,Rg&(x )

dar o(x) = g och o ar den kanoniska projektionen o : T&G d G

100

(se avsnittet om impulsavbildningen). Innebörden av den föregående beräkningen är attimpulsavbildningen i detta fall ges genom,

P(x) = Ro(x)& (x)

då vi identifierar den duala Lie-algebran L(G)* med kotangentrummet T*eG. Härifrån behövs detblott ett par steg för att via konstruktionen av reducerat fasrum komma fram till den symplektiskaformen (46). Den symplektiska formen på de koadjungerad banorna brukar kallasKostant-Kirillov-Souriau-formen, men formen upptäcktes redan av S Lie.

G. Komplexa och symplektiska strukturer

För symplektiska system i euklidiska rum R2n kan vi beskriva den symplektiska strukturen viakomplexa koordinater. Vi sammanställer de konjugerade variablerna q och p till komplexa tal zenligt

(48)zk = qk + ipk

k = 1, ...,n

Vi betraktar R2n som ett komplext vektorrum Cn vars vektorkoordinater skrivs som (48). Denkanoniska hermitiska produkten kan då uppspjälkas enligt

(49)z, z∏ = S zk

&zk∏ = S

qk∏ qk + pk

∏ pk + i S

qk∏ pk − pk

∏ qk =

metrisk produkt

(z, z∏ ) +symplektisk form

iz, z∏

Den symplektiska formen finns alltså inrymd i den hermitiska produkten. Frågan inställer sig omliknande samband mellan komplexa och symplektiska strukturer kan göras för allmännare rum änjämna euklidiska rum. För det euklidiska fallet (48-49) har vi en operator J sådan att,

(50)

(z, z∏) h g(z, z∏) = −z(Jz, z∏) h −Jz, z∏

dar J definieras genom

J(z) = J(q1 , , ,qn ,p1 , ..., pn) = (−p1 , ...,−pn ,q1 , ..., qn) varfor

J2 = −I ( I, indentitetsavbildning)

Avbildningen J i (50), som förbinder en symplektisk form med en metrik, kallas för en nästankomplex struktur (almost complex structure), förkortat här som n.k.s. För en generelldifferentiabel mångfald M definieras en nästan komplex struktur som en (1,1)-tensor Jmed egenskapen J2 = -I, medan M kallas för en nästan komplex mångfald, förkortat härsom n.k.m. (En komplex mångfald definieras i likhet med en reell mångfald - se avsnitt 2.1 - medden skillnaden att koordinatfunktionerna ϕ avbildar områdena U ⊂ M på Cn istället för Rn, samt

101

att koordinatbytena ϕj ϕi-1 : Cn → Cn skall vara analytiska komplexa funktioner i de komplexa

koordinaterna.) Definitionen av J innebär att vi för varje punkt p i M har en lineär isomorfism Jp:TpM → TpM. En n.k.m. M måste ha en jämn reell dimension k = 2n eftersom det från J2 = -I följer att (det(Jp ))2 = (-1)k = 1.

Varje symplektiskt rum ( M, ω ) har en n.k.s. J. Nämligen, given en metrik81 g på M, dåkan vi definiera ett (1,1)-tensorfält K genom

(51)g(KX,Y) = z(X,Y)

X,Y c TpM

För varje punkt p ∈ M definierar K en lineär transformation K: TpM → TpM . Denna lineäratransformation kan enligt lineär algebra uppdelas på den polära formen K = RJ där R betecknaren positiv definit transformation, medan J betecknar en ortogonal transformation. Nämligen,R definieras som (den positiva) kvadratroten av KKt, varefter man kan definiera J,

(52)R = KK t

J = R−1K

Från definitionen (51) följer att Kt = -K som tillsammans med (52) ger

(53)JJt = R−1KK tR−1 = R−1(R2 )R−1 dvs

JJt = I

varför J är en ortogonal transformation (detta betyder att J också är en symplektisktransformation). Emedan Kt = -K följer från definitionen av R att R2K = KR2, vilket också ger RK= KR (enär R är positiv definit) som i sin tur betyder att JR = RJ. Kommuteringen mellan K och R(och R-1) ger slutligen,

(54)J2 = (R−1K)(R−1K) = (R−1K)(KR−1 ) = −R−1(KK t )R−1 = −R−1R2R−1

dvs J2 = −I

Föregående konstruktion ger en lokal n.k.s. J som är differentiabel och kan fortsättas över helamångfalden. Varje symplektiskt rum har alltså också en n.k.s. Frågan inställer sig huruvidaomvändningen också gäller: Är varje n.k.m. M också en symplektisk mångfald ? Dennafrågeställning leder till de s.k. Kähler-mångfalderna.

I den föregående konstruktionen kan vi absorbera operatorn R i metriken g och erhåller påså sätt en ny metrik för vilken gäller

102

81Ett grundresultat för differentiabla mångfalder är att varje differentiabel mångfald M kanmetriseras; dvs, den har en differentiabel Riemann-metrik g. Nämligen, varje koordinatomgivning (ϕ,U), ϕ: U → Rn, inducerar en lokal metrik gU på U via ϕ’s “pull-back” av metriken från Rn.Konsten är att lappa ihop dessa lokala metriker till en global metrik för M.

(55)g(JX,Y) = z(X,Y)

g(JX,JY) = g(X,Y)

Omvänt, har vi en n.k.m. M med en metrik som satisfierar (55b) kallas M för en nästan hermitiskmångfald (n.h.m.). För en dylik n.h.m. kan vi definiera en 2-form ω enligt (55a). Ifall denna formär sluten, dω = 0, har vi en s.k. nästan Kähler-mångfald. Därmed är metriska rum som samtidigtär nästan Kähler-mångfalder också symplektiska rum med en symplektisk form definierad via (55a).

Sfären S2 som behandlas i appendix D ger ett exempel på en komplex och kählerskmångfald. Man kan fråga sig huruvida någon av sfärerna S4, S6 , S8 ,.... har en symplektisk struktur.Vi har visat ovan att ett symplektiskt rum är nödvändigtvis också nästan komplex. Enligt ett resultat(N Steenrod (1951)) är S4 inte nästan komplex vilket alltså betyder att den ej heller är symplektisk.Hur det är med de övriga jämn-dimensionella sfärerna (n > 4) är obekant, men det är t.ex. känt attS6 är en n.k.m. utan att dock vara en komplex mångfald.82

Länge var det en olöst fråga huruvida det existerar symplektiska rum som inte ärKähler-rum. Det första exemplet på ett symplektiskt icke-Kähler rum gavs av Thurston och Kodairaoberoende av varandra (ett fiber-rum med torus-fibrer över en torus). Kodaira-Thurston-rummet ären kompakt symplektiskt 4-mångfald vars första Betti-tal har värdet 3, b1 = 3. Under 50-taletundersökte man aktivt Kähler-rummens struktur och visade bl.a. att de udda Betti-talen b2n+1 måste vara jämna för kompakta Kähler-rum (t.ex. för sfären S2 har vi b1 = 0, och för 2-torusen T har vi b1 = 2). Eftersom Kodaira-Thurston-rummet har b1 = 3 följer det att det är icke-Kähler.83

Thurstons exempel kan också beskrivas som en “orbifold”, nämligen som kvotrummet R4/G därgruppen G verkar på R4 enligt,

xyzw

d

x + iy + j

z + j $ w + kw + l

för heltal i, j, k, l. Den symplektiska formen ges av

z = dx . dy + dz . dw

Kompakta rum av formen N/Γ, där N är en enkelt sammanhängande nilpotent Lie-grupp och Γdess diskreta delgrupp (gitter) kallas för ett nilrum (nilmanifold), har varit av central betydelse för

103

83Betti-talet bn(P) är dimensionen av vektorrummet Hn(P) som definierades i Appendix A. För enöversikt om symplektiska icke-Kähler rum se Tralle A, Oprea J, Symplectic Manifolds with noKähler Structure (1997); en referens som Jerry Marsden uppmärksammade mig på. Ett bevis föratt Kähler-rummens udda Betti-tal b2n+1 är jämna, b2n+1 = 2k, återges av Nakahara, Geometry,Topology and Physics (1990), s. 296-297.

82A Frölicher, Math. Ann. 129, 60, (1955), citerad i Nakahara (1990, s. 298).

konstruktionen av symplektiska icke-Kähler rum. (Nilpotent Lie-grupp G betyder att det finns ettpositivt tal n sådant att

n produkter

L(G),L(G)..., L(G), L(G)= 0

där L(G) betecknar Lie-algebran till G med Lie-produkten [,] .)

104

Litteratur

1. Abraham R, Marsden J E, Foundations of Mechanics, 2. ed., Benjamin/Cummings 1978.(Första uppl. utkom 1967.)

2. Adams J F, Lectures on Lie Groups, W A Benjamin 1969.3. Alvarez E, “Quantum gravity: an introduction to some recent results”, Rev. Mod. Phys. Vol.

61, No. 3, 561 - 604, 1989.4. Anandan J, “A geometric view of quantum mechanics” i Quantum Coherence, J S

Anandan (Ed.), World Scientific 1990.5. Anderson A, York J W Jr, Hamiltonian Time Evolution for General Relativity, Phys.

Rev. Lett. 81, 6: 1154 - 1157, 1998.6. Anderson I M, Torre C G, Asymptotic Conservation Laws in Classical Field Theory,

Phys. Rev. Lett. 77, 20: 4109 - 4113.7. Arnold V I (Ed.), Dynamical Systems III (Encyclopaedia of Mathematical Sciences Vol.

3), Springer 1988. Omfattar bidraget “Mathematical aspects of classical and celestialmechanics”, av V I Arnold, VV Kozlov, A I Neustadt.

8. Arnold V I, Novikov S P (Eds.), Dynamical Systems IV : Symplectic Geometry and itsApplications (Encyclopaedia of Mathematical Sciences Vol. 4), Springer 1990. Omfattarbidragen “Symplectic geometry” (V I Arnold, A B Givental’); “Geometric quantization” (AA Kirillov); “Integrable systems, I” (B A Dubrovin, I M Krichever, S P Novikov).

9. Arnold V I, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer 1978.10. Arnold V I, Huygens and Barrow, Newton and Hooke, Birkhäuser 1990.11. Ashtekar A, New Perspectives in Canonical Gravity, Bibliopolis 1988.12. Ashtekar A, “Quantum mechanics of geometry”, gr-qc/9901023.13. Bacry H, Localizability and Space in Quantum Physics, Springer 1988.14. Baguis P, Stavracou T, “Marsden-Weinstein reduction on graded manifolds”, J. Math.

Phys. 38, No. 3: 1670 - 1684, 1997.15. Berezin F A, Lejtes D A,“Supermanifolds”, Sov. Math., Dokl. 16; 1218-1222, 1975.16. Bergmann P, Introduction to The Theory of Relativity, Prentice-Hall 1942, 1964.17. Berndt R, Einführung in die Symplektische Geometrie, Vieweg 1998.18. Binz E, Sniatycki J, Fischer H, Geometry of Classical Fields, North-Holland 1988.19. Blay M, La Naissance de la Mécanique Analytique, Presses Univ. de France 1992.20. Bleuler K, “Differential geometrical methods in theoretical physics” i Proceedings of The

Symposium on The Foundations of Modern Physics (Loma-Koli, Finland, August 11 -18, 1977), V Karimäki (Ed.), Publications of The University of Joensuu 1978. Uppsatsenbehandlar “The Hamilton-Jacobi theory in differential geometrical form”.

21. Bradbury T C, Theoretical Mechanics, Wiley 1968.22. Byers N, “Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and

conservation Laws”, hep-th/9807044. (To be published in the Procedings of aSymposium on the Heritage of Emmy Noether which was held in Bar-Illan University,Israel Dec. 2-4, 1996.)

23. Carathéodory C, Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen ersterOrdnung, Leipzig 1935; Calculus of Variations and Partial Differential Equations,Holden-Day 1965.

24. Cartan E, Leçons sur les Intégraux Invariants, Hermann 1922.

105

25. Castellani L, D’Auria R, Fré P, Supergravity and Supersymmetry: A GeometricPerspective (3 vols.), World Scientific 1991.

26. Chernoff P R, Marsden J E, Properties of Infinite Dimensional Hamiltonian Systems(Lecture notes mathematics, Vol. 425), Springer 1974.

27. Chin S A, Kidwell D W, “Higher order force gradient symplectic algorithms”,arXiv.physics/0006082 (30 June 2000).

28. Choquet-Bruhat Y, “An introduction to general relativity and its recent achievements” iRecent Developments in Gravitation (Cargése 1978), M Lévy, S Deser (Eds.), PlenumPress 1979.

29. Choquet-Bruhat Y, De Witt-Morette C, Dillard-Bleick M, Analysis, Manifold andPhysics, North-Holland 1982.

30. Cianci R, Francaviglia M, Volovich I, “Variational calculus and Poincaré-Cartan formalismon supermanifolds”, J. Phys. A, Math. Gen. 28, No. 3.: 723-34, 1995.

31. Ciufolini I, Wheeler J A, Gravitation and Inertia, Princeton UP 1995. 32. Connes A, Noncommutative Geometry, Academic Press 1994.33. Corben H C, Stehle P, Classical Mechanics, 2. ed., Dover 1994. 34. Crnkovic C, Witten E, “Covariant description of canonical formalism geometrical theories” i

Three Hundred Years of Gravitation, Cambridge UP 1987.35. Curtis W D, Miller F R, Differential Manifolds and Theoretical Physics, Academic Press

1985.36. Cushman R H, Bates L M, Global Aspects of Classical Integrable Systems, Birkhäuser

1997.37. Dayi Ö F, “Collective Coordinates and Constrained Hamiltonian Systems”, Ann. Phys.

217, No. 1: 21 - 50, 1992.38. de Sabbata V, Gasperini M, Introduction to Gravitation, World Scientific 1985.39. Dirac P, Principles of Quantum Mechanics, Oxford UP 1930, 4. ed. 1957.40. Dirac P, “On the analogy between classical and quantum mechanics”, Rev. Mod. Phys. 17,

No:s 2, 3: 195 - 199, 1945.41. Dittrich W, Reuter M, Classical and Quantum Dynamics: From Classical Paths to Path

Integrals, Springer 1992.42. Donato P (Ed.), Symplectic Geometry and Mathematical Physics (Actes du Colloque en

l’honneur de Jean-Marie Souriau, Progress in Mathematics, Vol. 99), Birkhäuser 1991.43. Duistermaat J J, Fourier Integral Operators, Birkhäuser 1995.44. Eguchi T, Gilkey P B, Hanson A J, “Gravitation, gauge theories and differential geometry”,

Physics Reports Vol. 66, No. 6, 1980.45. Ehresmann C, Liebermann P, “Sur les formes differentielles exterieurs de degré 2”,

Comptes Rendus Académie des Sciences, 227: 420 - 421, 1948.46. Emch G G, Mathematical and Conceptual Foundations of 20-th Century Physics,

North-Holland 1986.47. Esposito G, Quantum Gravity, Quantum Cosmology and Lorentzian Geometries

(Lecture notes in physics, m12), 2. ed., Springer 1994.48. Fang L Z, Ruffini R, Quantum Cosmology, World Scientific 1987.49. Feynman R P, Hibbs A R, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill 1965.50. Flanders H, Differential Forms with Applications to The Physical Sciences, Dover

1989. (Först publicerad av Academic Press 1963.)

106

51. Francaviglia M (Ed.), Mechanics, Analysis and Geometry : 200 Years After Lagrange(North-Holland Delta Series), North-Holland 1991 .

52. Frankel T, The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge UP 1997.53. Freed D S, Uhlenbeck K K (Eds.), Geometry and Quantum Field Theory, American

Mathematical Society 1995.54. Frölich J, Grandjean O, Recknagel A, “Supersymmetric Quantum Theory,

Non-Commutative Geometry, and Gravitation”, Course 3, Les Houches, Session LXIV,1995. Published in Symétries Quantiques - Quantum Symmetries, A Connes et al. (Eds.),Elsevier 1998.

55. Frölich J, Grandjean O, Recknagel A, “Supersymmetric Quantum Theory andNon-Commutative Geometry”, ETH-TH/96-45, math-ph/9807006.

56. Frölich J, Grandjean O, Recknagel A, “Supersymmetric Quantum Theory and DifferentialGeometry”, Communications in Mathematical Physics 193: 527 - 594, 1998.

57. Gallisot F, “Application des formes extérieurs de 2e ordre à la dynamique Newtonienne etrelativiste”, Annals de l’institute Fourier 3: 277 - 285, 1951; “Formes extérieurs enmécanique”, Annals de l’institute Fourier 4: 145 - 297, 1952.

58. Giachetta G, Mangiaro L, Sardanavashily G, New Lagrangian and Hamiltonian Methodsin Field Theory, World Scientific 1997.

59. Goldstein H, Classical Mechanics, 2. ed., Addison-Wesley 1980.60. Guillemin V, Sternberg S, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge UP 1984.61. Heslot A, “Quantum mechanics as a classical theory”, Phys. Rev. D 31 (1985) 6. 62. Heslot A, “Mechanics and the notion of observables” i Dynamical Systems and

Microphysics: Geometry and Mechanics, A Avez et al. (Eds.), Academic Press 1982.63. Heslot A, “Une caractérisation des espaces projectifs complexes” i C. R. Acad. Sc. Paris,

t. 298, Série I, No. 5, 1984.64. Hofer H, Zehnder E, Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics, Birkhäuser

1994.65. Horváthy P A, “Prequantization from path integral viewpoint” i Lecture Notes in

Mathematics, Vol. 905, Springer 1980.66. Hou Bo-Yu, Hou Bo-Yuan, Differential Geometry for Physicists, World Scientific 1997.67. Hurtubise J (Ed.), Gauge Theory and Symplectic Geometry, Kluwer 1997.68. Iglesias P, “Les origines du calcul du symplectique chez Lagrange” ( http://

www.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num3/IglesiasJME3/ ). Postscript-format.69. José J V, Saletan E J, Classical Dynamics. A Contemporary Approach. Cambridge UP

1998.70. Kahn D W, Introduction to Global Analysis, Academic Press 1980.71. Kijowski J, Tulczyjew W M, A Symplectic Framework for Field Theories, Springer

1979.72. Klauder J R, “Is quantization geometry?”, quant-ph/9604032 (26 Apr 1996).73. Kleinert H, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistic and Polymer Science, 2.

ed., World Scientific 1995.74. Kobayashi S, Nomizu K, Foundations of Differential Geometry, Wiley 1963.75. Kostant B, “Quantization and unitary representations” i Lecture Notes in Mathematics,

Vol. 170, Springer 1970.76. Koszul J L, Fiber Bundles and Differential Geometry, Springer 1986. (Nytryck av 1960

års uppl. från Tata förlag.)

107

77. Lagrange J L, Borssonade A C, Vagliente V N, Analytical Mechanics (Boston studies inthe philosophy of science, Vol. 191), Kluwer 1997.

78. Lanczos C, The Variational Principles in Mechanics, 4. ed., University of Toronto Press1970.

79. Landau L D, Lifschitz E M, Mechanics, 3. ed., Pergamon Press 1976.80. Landau L D, Lifschitz E M, The Classical Fields, 4. ed., Pergamon Press 1975, 1987.81. Lange L, “Über die wissenschaftliche Fassung des Galileischen Beharrungsgesetzes”, Ber.

kgl. Ges. Wiss. Math. - phys. Kl.: 333 -351, 1885.82. Landl G, An Introduction to Noncommutative Spaces and Their Geometries, Springer

1997.83. Lasenby A, Doran C, Gull S, “Grassmann calculus, pseudoclassical mechanics, and

geometric algebra”, J. Math. Phys. 34, No. 8: 3683-3712, 1993.84. Lawden D F, Elliptic Functions and Applications, Springer 1989.85. León M de, Rodrigues P R, Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics

(Mathematics Studies, Vol. 158), North Holland 1989.86. Lewis H R, Lawrence W E, Harris J D, “Quantum action-angle variables for the harmonic

oscillator”, Phys. Rev. Lett. 77, 26: 5157 - 5159, 1998.87. Lie S, Theorie der Transformationsgruppen, Unter Mitwirkung von F Engel, Band 1, 2,

3, B G Teubner 1888, 1890, 1893.88. Liebermann P, Marle S-M, Symplectic Geometry and Analytical Mechanics

(Mathematics and Its Applications, No. 35), Reidel 1987.89. Mac Lane S, “Hamiltonian mechanics and geometry”, Amer. Math. Monthly 77: 550 -

586, 1970.90. Mackey G W, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings

1963.91. Maeda Y (Ed.), Symplectic Geometry and Quantization (Two symposia on symplectic

geometry and quantization problems, July 1993, Japan, Contemporary Mathematics, Vol.1), American Mathematical Monthly 1994.

92. Mangiarotti L, Sardanashvily G, Gauge Mechanics, World Scientific 1998.93. Mann R A, The Classical Dynamics of Particles: Galilean and Lorentz Relativity,

Academic Press 1974.94. Marsden J E, Ratiu T S, Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition

of Classical Mechanical Systems (Texts in Applied Mathematics, 17), Springer 1994. 2.uppl. 1999.

95. Marsden J E, Lectures on Mechanics, Cambridge UP 1992. Publikationer, samt artiklarpå ps/pdf-format, av J E Marsden finns listade på dennes hemsida, http://www.cds.caltech.edu /~marsden/. Bl.a. de två följande värdefulla uppsatserna kan hämtasfrån Marsdens sajt (pdf-format):

96. Marsden J E, Park City Lectures on Mechanics, Dynamics, and Symmetry (July 17,1997; uppdaterad version 19/1/1998).

97. Marsden J E, Bloch A, Zenkov D, Dynamics and Stability for NonholonomicMechanical Systems (Arnoldfest, June, 1997).

98. Marsden J E, Weinstein A, “Reduction of symplectic manifolds with symmetry”, Rep. Math.Phys. 5: 121-130, 1974.

99. McDuff D, “Symplectic structures - a new approach to geometry”, Notices of the AMS,vol. 45, No. 6, 1998.

108

100.Miron R, “Sur la géométrie des espaces d’Hamilton”, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 306, Serie1: 195 - 198, 1988.

101.Misner C W, Thorne K S, Wheeler J A, Gravitation, W H Freeman 1973.102.Mäkelä J, Aspects of Canonical Quantum Gravity (Acad. diss.), Dept. of Physics,

University of Jyväskylä Research Report 5/1994.103.Nakahara M, Geometry, Topology and Physics, Adam Hilger 1990.104.Narlikar J V, Padmanabhan T, Gravity, Gauge Theories and Quantum Cosmology,

Reidel 1986.105.O’Raifeartaigh L, The Dawning of Gauge Theory, Princeton UP.106.O’Raifeartaigh L, Straumann N, “Early history of gauge theories and Kaluza-Klein

theories”, hep-ph/9810524.107.Pasanen P, Aspects of Topology, Path Integral Techniques and Integrability in

Quantum Field Theories (Acad. diss.), Report Series in Theoretical Physics, University ofHelsinki 1996.

108.Periwal V, “Quantum Hamilton-Jacobi Equation”, Phys. Rev. Lett. 80, No. 20: 4366 -4369, 1998.

109.Pestov V, “An analysis on superspace: an overview”, Bull. Aust. Math. Soc. 50, No. 1:135 - 165, 1994.

110.Poincaré H, Les Méthodes Nouvelles de la Méchanique Céleste (3. Vols.),Gauthier-Villars 1892, Dover 1957.

111.Prato E, “Sur une généralisation de la notion de V-variété”, math.SG/9904178.112.Primas H, Chemistry, Quantum Mechanics and Reductionism, Springer 1983.113.Puta M, Hamiltonian Mechanical Systems and Geometric Quantization (Mathematics

and Its Applications, Vol. 260), Kluwer 1993.114.Reeb G, “Variétés symplectiques, variétés presque-complexes et systèmes dynamiques”,

C. R. Acad. Sci. Paris 253: 776-778, 1952.115.Richtmeyer R D, Principles of Advanced Mathematical Physics, 2 vols., Springer 1981.116.Rieffel M A, “Questions in quantization”, quant-ph/9712009 v2 (23 Apr 1998).117.Saichev A I, Woyczynski W A, Distributions in The Physical and Engineering Sciences

(Volume 1): Distributional and Fractal Calculus, Integral Transforms and Wavelets,Birkhäuser 1997.

118.Sakita B, Quantum Theory of Many-Variable Systems and Fields, World Scientific1985.

119.Sattinger D H, Weaver O L, Lie Groups and Algebras with Applications to Physics,Geometry and Mechanics, Springer 1986.

120.Schmitt T, “Symplectic solution supermanifolds in field theory”, Suppl. Rend. Circ. Mat.Palermo, II. Ser. 46: 153 - 162, 1997.

121.Shadwick W F et al. (Eds), Mechanics Day, American Mathematical Society 1996. Enpublikation från en konferens 1992 anordnad för att fira Marsdens 50 års dag och det 25:eåret sedan den första upplagan av Foundations. (Booknews, Inc., 04/01/96: Presents 11 papersfrom a June 1992 workshop at the Field's Institute held to celebrate the 25th anniversary of thepublication of Foundations of Mechanics by Ralph Abraham and Jerrold Marsden. The topics includethe infinitesimal geometry of integrable systems, the planar filament equations, the Griffiths-Bryantalgorithm and the Dirac theory of constraints, and the optimal control of a rigid body with twooscillators. Abraham also reviews the first 40 years of experimental mechanics. No index.)

122.Simms D J, “Symplectic Geometry and Quantization” i Lecture Notes in MathematicsVol. 836, Springer 1980.

109

123.Singer S F, Symmetry in Mechanics. A Gentle Modern Introduction. Birkhäuser 2000. 124.Smale S, “Topology and mechanics”, Inv. Math. 10: 305 - 331; 11: 45 - 64, 1970.125.Sniatycki J, Geometric Quantization and Quantum Mechanics, Springer 1980.126.Souriau J-M, Structure of Dynamical Systems: A Symplectic View of Physics,

Birkhäuser 1997. (Översättning av Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1970.)127.Souriau J-M, “Physics and Geometry” i Quantum, Space and Time - The Quest

Continues, A O Barut et al. (Eds.), Cambridge UP 1984.128.Souriau J-M, “La structure symplectique de la mécanique decrite par Lagrange en 1811”,

Math. Sci. Hum.: 45 - 54, 1986.129.Souriau J-M, “Interpretation géométrique des etats quantiques” i Lecture Notes in

Mathematics, Vol. 570, Springer 1975.130.Souriau J-M, “Quantification géométrique” i Physique Quantique et Geometrie (Colloq.

Geom. Phys., Paris 1986), Trav. Cours 32: 141-193, 1988.131.Souriau J-M, “Quantification géométrique. Applications”, Annales de l’Institute Henri

Poincaré, 6: 311 - 341, 1967.132.Souriau J-M, “Equations canoniques et géometrie sympleqtique”, Alger Mathémetiques,

Series A, 1, no. 2: 239 - 265, 1954.133.Sternberg S, Lectures on Differential Geometry, Prentice Hall 1964.134.Steenrod N, The Topology of Fibre Bundles, Princeton UP 1951.135.Straumann N, Klassische Mechanik: Grundkurs über Systeme Endlich Vieler

Freiheitsgrade, Springer 1987.136.Stumpf D R, “Arnold’s transformation: An example of a generalized canonical

transformation”, Journal of Mathematical Physics, 39, no. 7: 3661 - 3669, 1998.137.Sudarshan E C G, Mukunda N, Classical Dynamics: A Modern Perspective, Wiley

1974 (2. ed., Krieber 1983).138.Synge J L, “On the geometry of dynamics”, Phil. Trans. A 220: 31-106, 1926.139.Szczyryba A, “A symplectic structure on the set of Einstein metric: a canonical formalism

for general relativity”, Comm. Math. Phys. 51: 163 - 182, 1976.140.Thiffeault J-L, Morrison, P J, “Invariants and labels in Lie-Poisson systems”,

chao-dyn/9804032.141.Thurston W P, “Some simple examples of symplectic manifolds”, Proc. Amer. Math. Soc.

55, no. 2, 467-468, 1976.142.Tralle A, Oprea J, Symplectic Manifolds with no Kähler Structure, Springer 1997.143.Vilasi G, Hamiltonian Dynamics, World Scientific 1998.144. von Westenholz C, Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland 1978.145.Weinstein A, Lectures on Symplectic Manifolds (Regional Conference Series in

Mathematics, No. 29), American Mathematical Society 1977.146.Weinstein A, “Symplectic Geometry”, Bulletin of The American Mathematical Society,

Vol. 5, No. 1, 1981.147.Weyl H, Classical Groups, Princeton UP 1997. (1. uppl. 1939.)148.Whittaker E T, A Treatise on Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (With

an Introduction to The Problem of Three Bodies), 4. ed. Dover 1944. (1. uppl.Cambridge UP 1904.)

149.Wintner A, “On linear conservative dynamical systems”, Annali di Mathematica 13: 105 -112, 1934.

110

150.Yourgrau W, Mandelstam S, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory,Sir Isaac Pitman & Sons 1955.

151.Yourgrau W, “The enigmatic role of variational principles in theoretical physics” iProceedings of The Symposium on The Foundations of Modern Physics, (Loma-Koli,Finland, August 11 - 18, 1977), V Karimäki (Ed.), Publications of The University ofJoensuu 1978.

Till de främsta online litteratur-databaserna hör Zentralblatt/MATH (abstracts och recensioner),som underhålles av European Mathematical Society och Springer Verlag på adressenhttp://www.emsi.de/cgi-bin/MATH, och preprint-arkivet LANL på adressen http://xxx.lanl.gov(har bl.a. en automatisk översättning av artiklarna till pdf-format). Online-journalen JHEP hittar mantillexempel på adressen http://jhep/sissa.it/journal med sökfunktioner och olika alternativa formatsåsom ps och pdf. Mathematical Physics Electronic Journal MPEJ har adressenhttp://rene.ma.utexas.edu/mpej/index.html, samt Mathematical Physics Preprint ArchiveMP-ARC på http://rene.ma.utexas.edu/mp_arc . Living Reviews in Relativity medöversiktsartiklar i relativitetsteori hittas på http://www.livingreviews.org och underhålls av MaxPlanck Institutet, Potsdam. New Journal of Physics NJP har lanserats på adressenhttp://njp.org. Historiskt material om matematik och matematiker återfinns mycket väl organiseratpå http://www-history.mes.st-andrews-ac.uk/ . American Mathematical Society har värdefullanotices-artiklar online på pdf-format vid www.ams.org/notices . Sökning via EncyclopediaBritannica på www.britannica.com kan också ge värdefulla vinkar och material.

−♥−

111