inleiding tot het practicum

Practicum Natuurkunde Inleiding tot het Practicum - 1

- 1/19 -

1 INLEIDING

1.1 Het fysisch experimenteren De tijden dat de “geleerde” op zijn zolderkamer met allerhande bijeengezochte materialen toestellen in elkaar stak om waarnemingen en metingen uit te voeren lijken sinds lang vervlogen. Hoewel er nu gewerkt wordt in zeer goed uitgeruste laboratoria, is er in de fundamentele manier van werken slechts weinig veranderd. Nog steeds is het de belangrijkste taak van de experimentele wetenschapper om waarnemingen te doen en zo nauwkeurig mogelijk metingen te verrichten. Hiervoor moet hij nog steeds opstellingen bedenken, die hem in staat zullen stellen op zeer doelgerichte wijze bepaalde grootheden te meten, waarbij storende factoren zoveel mogelijk worden vermeden. Het verwerven van experimenteervaardigheid is dan ook één van de belangrijkste doelstellingen van het practicum natuurkunde.

1.2 Doelstellingen van het practicum fysica Het practicum in de eerste bachelor wordt soms als een noodzakelijk kwaad ervaren: het uitvoeren van eenvoudige experimenten lijkt in schril contrast te staan met de huidige geavanceerde technologie. Nochtans is het contact met dergelijke basisexperimenten onontbeerlijk in de opleiding omdat het (1) inzicht bijbrengt in de theorie van de fysica, (2) leert omgaan met fysische apparatuur en (3) toelaat experimenteerervaring te verkrijgen. Dit zijn in wezen de drie voornaamste doelstellingen van het natuurkundepracticum, die we even nader zullen bespreken.

a) Het bijbrengen van inzichten in de theorie van de fysica

De theoretische achtergrond van de fysische verschijnselen, die wordt uiteengezet in hoorcolleges, is door zijn abstractheid niet altijd onmiddellijk vatbaar. Zo is bijvoorbeeld de interferentie van licht een begrip dat niet voor zichzelf spreekt. Het feit dat twee lichtbundels elkaar kunnen tegenwerken en hierdoor duisternis opleveren, is niet evident. Het werkelijk zien van dit effect, door een demonstratie in de les, werkt verhelderend, maar vaak blijft de demonstratie nog een soort van een afstandelijk “magisch” gebeuren. Het zelf stap voor stap opstellen van een interferentieproef zal je meer inzicht geven in dit fenomeen.

b) Het leren omgaan met fysische apparatuur

De tweede doelstelling is het kennis maken met een aantal instrumenten zoals goniometer, voltmeter, optische bank, oscilloscoop, enz. Elk van deze toestellen vergt een specifieke manipulatie. Wie later wetenschappelijk werk gaat verrichten zal in zijn of haar loopbaan met heel wat meer (en veel ingewikkelder!) apparatuur te maken krijgen, waarbij praktische ervaring en in het bijzonder het leren omspringen met apparatuur een zeer belangrijke troef zal zijn.

c) Het verkrijgen van experimenteerervaring

Het natuurkundepracticum omvat vanzelfsprekend meer dan het leren omgaan met apparatuur. Aan elk experiment is er immers een strategie gekoppeld. In de eerste plaats dient een experiment gepland te worden, waarbij de nauwkeurigheid van de metingen moet beantwoorden aan de bedoeling van het experiment. Vervolgens worden metingen nauwgezet uitgevoerd om een zo betrouwbaar mogelijk resultaat te verkrijgen. Verder worden de meetresultaten zorgvuldig geanalyseerd om tot de juiste conclusies te kunnen komen. Tenslotte wordt een rapport opgesteld, dat de proef beknopt beschrijft, de metingen en berekeningen bevat, de eindresultaten met een foutenschatting weergeeft om uiteindelijk tot besluiten te komen. Het zijn precies deze facetten in de strategie van het experiment die je leren kritisch na te denken over het meten, de


- 2/19 -

gegevensverwerking en de resultaten en leiden tot het verkrijgen van experimenteerervaring.

Foto 1 - Fysische experimenten in de ruimte (space shuttle)

2. HET METEN VAN FYSISCHE GROOTHEDEN

2.1 Eenheden Experimentele fysica heeft te maken met de meting van grootheden zoals lengte, tijd, temperatuur enz. Aan deze grootheden moeten waarden kunnen toegekend worden, wat het invoeren van eenheden impliceert. Historisch bekeken was het invoeren van eenheden geen privilege van de fysica maar veeleer een dagdagelijkse noodzaak. Zo zijn er in de loop der tijden verschillende eenheden ontstaan om een lengte uit te drukken zoals duim, voet, el, vadem, mijl en voor massa bijvoorbeeld ons en pond. Het universeel karakter van de fysica en van de wetenschap in het algemeen vergt evenwel een gestandaardiseerd systeem voor eenheden, zodat men gemeten waarden direct kan vergelijken. Na het zogenaamde cgs-systeem (cgs = centimeter-gram-seconde) heeft men het mksA-systeem (mksA = meter-kilogram-seconde-ampère) ingevoerd, dat uiteindelijk is uitgemond in de zogenaamde SI-eenheden (SI = Système International).

Wanneer men de fysische grootheden bekijkt dan kan men vaststellen dat deze dikwijls uit een combinatie bestaan van andere grootheden. Zo is bijvoorbeeld de snelheid een lengte per tijd en de druk een kracht per oppervlakte-eenheid. Een kracht is op zichzelf dan weer een massa × versnelling, terwijl deze laatste dan weer als een lengte per (tijd)2

kan opgevat worden. Alle grootheden kunnen op die manier herleid worden tot zeven fundamentele grootheden met hun bijbehorende standaardeenheden. Deze zijn:

Zie ook Appendix 1: Eenheden

Basisgrootheid Basiseenheid naam symbool lengte meter m massa kilogram kg tijd seconde s stroomsterkte ampère A temperatuur kelvin K hoeveelheid stof mol mol lichtsterkte candela cd


- 3/19 -

Opmerking: schaalvergroting en –verkleining

Voor eenheden worden schaalfactoren gebruikt als de waarden zeer klein of zeer groot zijn.

Schaalvergroting

k (kilo) = M (Mega) = G (Giga) =

×10×10

3

×106

T (Tera) =

9 P (Peta) = E (Exa) =

×10×10

12

×1015

18

Schaalverkleining d (deci) c (centi) m (milli) =

×10×10

-1

×10-2

µ (micro) =

-3 n (nano) = p (pico) =

×10×10

-6

×10-9

-12

2.2. Gemeten waarden versus werkelijke waarden: de fouten Het experiment heeft tot doel de waarde van een bepaalde grootheid te bepalen. De werkelijke waarde van deze grootheid kan men echter nooit met oneindige zekerheid bepalen. Meetinstrumenten hebben immers een beperkte nauwkeurigheid en vertonen allerhande fouten, hoe klein deze fouten ook mogen zijn. De gemeten waarde zal dus altijd enigszins afwijken van de werkelijke waarde. Deze afwijkingen, die we kortweg fouten noemen, kunnen we indelen in drie categorieën: aflees(on)nauwkeurigheden, systematische fouten en toevallige fouten.

Meet men bijvoorbeeld een lengte, met een werkelijke waarde van 6,876539 cm, met een meetlat die als kleinste schaalverdeling 1 mm heeft, dan leest men een waarde van 6,9 cm af. De meting kan dus slechts tot op 1 mm nauwkeurig uitgevoerd worden. Men kan dan stellen dat de lengte 6,90 ± 0,05 cm bedraagt

2.2.1. Aflees(on)nauwkeurigheden

1

De gemeten waarde is dus duidelijk verschillend van de werkelijke waarde. Gebruikt men echter een schuifmaat met een nonius (zie fig. 2.1) met een nauwkeurigheid van bvb. 0,05 mm, dan kan deze waarde nauwkeuriger bepaald worden. Na een meting met dit instrument bekomen we dan 6,875 cm, waarbij we dan kunnen stellen dat de lengte 6,875 ± 0,005 cm bedraagt. Gebruik makend van andere technieken kan men nog nauwkeuriger meten, en zo kan men de werkelijke waarde steeds beter benaderen.

. Met “± 0,05 cm” wordt aangeduid dat de werkelijke waarde maximaal 0,05 cm groter of kleiner kan zijn dan 6,90 cm. Inderdaad, voor alle werkelijke waarden tussen 6,85 cm en 6,95 cm zou je op de lat 6,90 cm aflezen, aangezien dit de dichtstbijzijnde maatstreep is.

Fig. 2.1 – Schuifmaat: Door B in te drukken kan men het stuk A verschuiven waarmee men (1) een uitwendige afmeting d, (2) een inwendige afmeting d, of (3) een diepte d kan meten. De nonius laat toe de afmeting nauwkeurig te bepalen.

1 Hierbij nemen we voor de eenvoud aan dat er geen fout is op het nulpunt


- 4/19 -

Het is met dit voorbeeld duidelijk dat de precisie van het meetinstrument, de nauwkeurigheid van de meetwaarden bepaalt. Er kunnen evenwel nog andere afleesfouten voorkomen, die we moeten trachten te vermijden. Zo kunnen parallaxfouten optreden (door niet loodrecht op de schaal te kijken) of nulpuntfouten (bijv. als de naald van een ampèremeter niet op nul geregeld is voor de aanvang van de metingen).

Instrumenten dienen geijkt (of gekalibreerd) te worden. Dit kan enerzijds vooraf gebeurd zijn, waarbij het instrument geijkt werd aan de hand van een “standaard”. Anderzijds, kan het voorkomen dat het instrument voortdurend dient geijkt te worden aan de hand van een meting van een referentiemateriaal, waarvan de te meten grootheid zeer nauwkeurig is gekend. Het bijhouden en ijken van dergelijke referentiematerialen en primaire standaarden wordt verzekerd door standaardbureaus, zoals het NIST

2.2.2. Systematische fouten

2 (National Institute of Standards and Technology) in de Verenigde Staten en het Bureau International des Poids et Mesures3

Een afwijking t.o.v. de ijkwaarden is slechts een eenvoudig voorbeeld van hoe systematische fouten kunnen verkregen worden. Er zijn nog vele andere oorzaken van systematische fouten en het opsporen ervan ligt niet altijd voor de hand. Een wezenlijk kenmerk van de systematische fout is dat de afwijking tussen de gemeten en werkelijke waarde steeds in één bepaalde richting gebeurt en meestal constant is (zie fig. 2.2a).

in Frankrijk. Het is duidelijk dat de ijking zal meespelen in de nauwkeurigheid van de meting. Het voorbeeld van het meten van een lengte met een meetlat maakt dit duidelijk: een meetlat die onnauwkeurig werd geijkt of waarvan zijn lengte na een tijd lichtjes is veranderd kan aanleiding geven tot systematische afwijkingen in de meting, die niet rechtstreeks te maken hebben met de afleesnauwkeurigheid. Wanneer de lat bv. een halve millimeter gekrompen is, dan zal een lengte van 23,30 ± 0,05 cm worden gemeten terwijl de werkelijke waarde bv. 23,22592…cm is.

Werkelijkewaarde

Gemetenwaarde

Systematische fout

Werkelijkewaarde

Gemetenwaarden

Systematische fout

Toevalligefout

Werkelijkewaarde

Gemetenwaarden

Toevalligefout

(a)

(b)

(c)

Fig. 2.2 - Illustratie van systematische en toevallige fouten: (a) enkelvoudige meting met een systematische fout, (b) reeks metingen met louter toevallige fouten, (c) systematische en toevallige fouten bij een reeks metingen

2 zie http://physics.nist.gov 3 zie http://www.bipm.fr


- 5/19 -

Een ander aspect van de onnauwkeurigheid bij een meting zijn de toevallige fouten. Nemen we bijvoorbeeld een slinger waarvan we de periode willen meten met behulp van een chronometer. Bij de slingerbeweging starten we de chronometer bij doorgang door zijn laagste stand en stoppen we de chronometer bij een volgende doorgang door zijn laagste stand. De meting geeft bijvoorbeeld 3,23 s. Herhalen we echter dezelfde meting enkele malen dan vinden we achtereenvolgens 3,19 s; 3,25 s; 3,22 s; 3,21 s en 3,26 s. We stellen hierbij vast dat, alhoewel de chronometer op 0,01 s nauwkeurig kan afgelezen worden, er toch een grotere variatie optreedt in de bekomen meetwaarden.

2.2.3. Toevallige fouten

Deze afwijkingen vinden hier hun oorzaak in de menselijke fouten bij het op het juiste ogenblik starten en stoppen van de chronometer (reactietijd), fouten in het mechanisme (of in de elektronica) bij het starten en stoppen, kleine toevallige afwijkingen in het mechanisme (of in de elektronica) gedurende de looptijd, enz. Het belangrijkste kenmerk van deze fouten is dat zowel positieve als negatieve afwijkingen voorkomen als gevolg van toevallige fluctuaties. De waarden liggen bijgevolg gespreid t.o.v. de werkelijke waarde (zie fig. 2.2b). Deze fluctuaties kunnen niet alleen veroorzaakt worden door het instrument en/of door de experimentator, zoals in het voorbeeld van de chronometer, maar kunnen eveneens verscholen zitten in het fysisch fenomeen zelf. Men spreekt dan dikwijls ook over statistische fouten. Tenslotte willen we nog opmerken dat het onderscheid tussen systematische en toevallige fouten niet altijd even duidelijk is. Hernemen we het voorbeeld van de meting van de periode van een slinger met behulp van een chronometer. Een chronometer kan bijvoorbeeld iets achterlopen (= slecht geijkt). Verschillende metingen zullen resultaten geven die gespreid liggen rond een zekere waarde, doch deze laatste zal niet de werkelijke waarde benaderen omdat de chronometer steeds achterloopt op de reële tijd. We hebben hier dus te maken met een samenspel van een systematische fout en toevallige fouten (zie fig. 2.2c). Doen we telkens één meting met een hele resem verschillende chronometers, die verdeeld voor- of achterlopen, dan is de fout als zuiver toevallig te beschouwen, omdat de resultaten gelijkmatig verdeeld zullen zijn rond de werkelijke waarde. Een ander voorbeeld, dat een mogelijke verwarring tussen systematische en toevallige fout illustreert, is de meting van de lengte van een staafje met een schuifmaat. In de veronderstelling dat het staafje aan de uiteinden perfect parallelle vlakken heeft, zouden we kunnen aannemen dat de meting met een schuifmaat een eenduidig resultaat zal geven, waarvan de fout bepaald wordt door de onnauwkeurigheid van de aflezing. Verrichten we echter enkele opeenvolgende metingen, dan stellen we vast dat we waarden bekomen met een zekere spreiding. Bij het kritisch bekijken van deze meetmethode, merken we evenwel op dat de oorzaak van deze spreiding kan gezocht worden in het feit dat het staafje niet altijd mooi parallel ligt met de meetrichting. Hierdoor zijn sommige van de resultaten te groot en slechts de kleinste gemeten waarde zal de werkelijke lengte benaderen. We hebben hier dus niet te maken met een toevallige fout, maar veeleer met een systematische fout, waarvan de waarde bij de verschillende metingen niet constant is.

2.3. De meetnauwkeurigheid Het is een stelregel om zo nauwkeurig mogelijk te meten en zo een zeer betrouwbaar resultaat te bekomen. Toch moeten we dit enigszins relativeren. Het streven naar een grotere nauwkeurigheid vergt dikwijls zeer veel inspanningen en vaak is hiervoor ook meer gesofistikeerde apparatuur nodig, wat tijd en geld kost. Zo zal dus vaak de nauwkeurigheid van de meting gekozen worden op basis van het beoogde doel van de meting.

Dit wordt duidelijk met een voorbeeld: beschouwen we het eenvoudige voorbeeld van een elektrische weerstandsmeting van een bepaald materiaal, waarvan dient nagegaan


- 6/19 -

te worden hoe de weerstand verloopt als functie van de temperatuur. Veronderstel nu dat het instrument weerstanden meet tot op ± 0,02 Ω. Bij diverse temperaturen worden de volgende resultaten bekomen:

T (°C) 10 20 30 40 50 60 70 80 R (Ω) 0,18 0,19 0,18 0,20 0,19 0,21 0,19 0,22

We stellen vast dat alle waarden in het interval 0,20 ± 0,02 Ω vallen, dus binnen de meetfout. Hieruit zou men kunnen besluiten dat de weerstand van het materiaal temperatuuronafhankelijk is. Als men de resultaten echter kritisch bekijkt, merken we op dat de laatste waarden toch iets hoger liggen dan de eerste. Dit kan de experimentator nu stimuleren om nauwkeuriger te meten en een toestel te bedenken dat de weerstand kan meten tot op bijvoorbeeld ± 0,001 Ω. Dit zou de volgende resultaten kunnen opleveren:

T (°C) 10 20 30 40 50 60 70 80 R (Ω) 0,183 0,189 0,186 0,194 0,197 0,209 0,207 0,213

Hier zien we nu dat de meetwaarden zich in het interval 0,198 ± 0,015 Ω bevinden, wat veel groter is dan de meetfout. Bovendien is er nu wel een meer uitgesproken stijgende tendens met de temperatuur, zodat kan besloten worden dat de weerstand inderdaad stijgt met de temperatuur.

3. FOUTENBEREKENINGEN

3.1 Inleiding Weinig experimenten leveren direct de gezochte grootheid op. Gewoonlijk moeten eerst een aantal primaire grootheden worden gemeten. In het geval van het voorbeeld waarbij men de weerstand R van een cilindrisch monster meet, zal men als uiteindelijk resultaat veeleer de specifieke weerstand ρ = R A/l van het materiaal trachten te bepalen, omdat dit een materiaaleigenschap is, onafhankelijk van de grootte en vorm van het monster. De te meten primaire grootheden zijn hier dus de weerstand R, de lengte l en de doorsnede A van het meetmonster. Elk van deze gemeten primaire grootheden bevatten onnauwkeurigheden en dragen bij tot de fout op het uiteindelijke resultaat ρ.

Worden meerdere identieke metingen van een primaire grootheid verricht met verschillende waarden als resultaat, dan hebben we te maken met toevallige fouten. De vraag is echter: hoe halen we de beste waarde en een significante maat voor de fout uit de verschillende gemeten waarden? Het antwoord hierop is te vinden in de statistiek, en het vergt dus ook een aantal specifieke berekeningen om de fout op deze primaire grootheid te bepalen.

Aan ieder experiment is dus een bijhorende foutenberekening gekoppeld, met als finaal doel een maat voor de betrouwbaarheid van het eindresultaat bekomen.

3.2 Beduidende cijfers Voor we ingaan op de foutenberekening is het nuttig om het begrip “beduidende cijfers” op te frissen: het duidt aan welke getallen een concrete betekenis hebben, bijvoorbeeld omdat ze werden gemeten. Dit wordt duidelijk aan de hand van een voorbeeld. Veronderstel dat iemand een afstand gemeten heeft, en je vertelt dat deze 183 cm is. De 1 in 183 betekent concreet “1 meter”, de 8 duidt op “8 dm” en de 3 duidt uiteindelijk op “3 cm”. Er zijn dus in totaal 3 beduidende cijfers. Wanneer je echter als afstand 183,0 cm opgegeven zou krijgen, dan betekent de 0, dat ook de millimeters gemeten werden, en dat deze 0 zijn. Er is dus een duidelijk verschil tussen een afstand van 183 cm en één van 183,0 cm. In het eerste geval zijn er 3 beduidende cijfers, in het laatste geval 4. Schrijft iemand 0183,0 cm, dan is de eerste nul zonder betekenis. We zeggen dat dat cijfer niet beduidend is.


- 7/19 -

Samengevat spreken we het volgende af:

- Een nul vooraan is niet beduidend.

- Alle andere cijfers die geschreven worden, zijn beduidend. bv. 123,0450 123,0450

0,56050 0, 7 beduidende cijfers

56050 54300

5 beduidende cijfers 54300

5 beduidende cijfers

3.3 Foutenberekening bij reproduceerbare metingen: absolute en relatieve fouten

Keren we terug tot het voorbeeld van de eenvoudige meting van een staafje met werkelijke lengte 6,876539 cm met behulp van een meetlat die 1 mm als kleinste onderverdeling heeft. Verschillende metingen zullen identieke waarden geven, nl. 6,9 cm. Het is duidelijk dat de eventuele toevallige fouten hier kleiner zijn dan de afleesonnauwkeurigheid en dus niet van tel zijn. Wij zeggen dan dat dergelijke metingen reproduceerbaar zijn. Er is bijgevolg maar één enkele meting nodig om de waarde te kennen. Gezien we de meting hebben verricht door een schatting van het dichtstbij gelegen streepje op de meetlat kunnen we stellen dat de afwijking ± 0,05 cm zal zijn of kortweg een fout van 0,05 cm. Deze fout noemen we de absolute fout (AF) op de meting.

3.3.1 De absolute fout op een grootheid

Deze redenering kan veralgemeend worden: De absolute fout (AF) op een meting is de grootst mogelijke afwijking tussen de gemeten waarde en de exacte (echte) waarde.

Dit kunnen we als volgt formuleren: als A de exacte waarde en a de gemeten waarde voorstelt voor een bepaalde grootheid dan wordt de absolute fout AF gedefinieerd als de kleinste waarde waarvoor geldt :

A a AF− ≤ of a AF A a AF− ≤ ≤ + Een absolute fout legt dus twee grenzen vast waartussen de exacte waarde zich met een zekere waarschijnlijkheid zal bevinden. 1. De AF = de helft van de kleinste schaalverdeling, tenzij anders vermeld! 2. De AF is benoemd en heeft dezelfde eenheid als de waarde zelf! 3. Afspraak: We ronden de AF altijd af tot op 2 beduidende cijfers. 4. Afspraak: We ronden de AF steeds naar boven af. De reden voor dit laatste is dat we op deze wijze nooit de fout zullen onderschatten, wat wel het geval zou zijn als we de klassieke afrondingsregels zouden toepassen.

AF = 0,1256 cm We schrijven AF = 0,13 cm Voorbeelden:

AF = 167 N We schrijven AF = 17.10 N AF = 0,1204 Pa We schrijven AF = 0,13 Pa (merk het afronden naar boven op!) Opmerking:

Wanneer een AF maar op 1 beduidend cijfer gegeven is (bv. een lat met 1 mm schaalverdeling, dus AF=0,5 mm) dan mag je dit laten staat met 1 beduidend cijfer.

3.3.2 Het noteren van grootheden met hun absolute fout


- 8/19 -

De gemeten of berekende waarde wordt afgerond tot op dezelfde rang als de absolute fout.

Voorbeeld:

Stel, de waarde van je berekening is 23,530489 m, met AF = 0,045 m

De rang van de AF is 0,001 m = 1 mm, dus ronden we de waarde ook af tot op 1 mm: 23,530 m met AF = 0,045 m of kort: (23,530 ± 0,045) m

Merk op

dat voor metingen en berekeningen, de klassieke afrondingsregels gebruikt worden (naar boven indien het laatste cijfer groter of gelijk is aan 5)!

Als vuistregel dien je dus de waarde van een meting of berekening steeds op evenveel cijfers na de komma af te ronden als het aantal cijfers na de komma van de absolute fout (die we wel eerst afgerond hebben op 2 beduidende cijfers!)

Bij de meting met de meetlat hebben we echter iets over het hoofd gezien. Ook tussen het nulpunt van de meetlat en het andere uiteinde van het staafje kan eenzelfde fout optreden, nl. ± 0,05 cm. We kunnen de meting van de lengte l van het staafje als een verschilmeting beschouwen en als volgt schrijven:

3.3.3 De absolute fout op een som of verschil van grootheden

l = (6,90 ± 0,05 cm) – (0,00 ± 0,05 cm) In het slechtste geval zullen de twee fouten cumulatief werken en vermits we de hoogst mogelijke fout in acht dienen te nemen schrijven we uiteindelijk:

l = (6,90 ± 0,10) cm Hieruit volgt reeds een belangrijk besluit, namelijk dat de absolute fout op een verschil van grootheden de som zal zijn van de absolute fouten op de individuele grootheden. Dit geldt vanzelfsprekend ook voor een som van grootheden.

Regel voor som en verschil:

AF(A + B) = AF(A) + AF(B)AF(A - B) = AF(A) + AF(B)

Regel voor vermenigvuldiging met een getal:

⋅ ⋅AF(n A) = n AF(A)


- 9/19 -

Een maat voor de fout kan ook uitgedrukt worden als de verhouding van de absolute fout tot de waarde zelf. Dit noemen we de relatieve fout (RF).

3.3.4 De relatieve fout op een grootheid

( )( ) AF aRF aa

= en dus ook ( ) ( )AF a RF a a= ×

Voor de meting van het staafje hebben we dan

AF 0,1 1RF6,9 69l

= = =

We schrijven de RF altijd als een stambreuk (breuk met het getal 1 in de teller).

Aangezien de RF een verhouding is, heeft ze geen eenheid: de RF is dus onbenoemd!

We schrijven de noemer van de relatieve fout ook met twee beduidende cijfers. Let hierbij op met het afronden: opnieuw is de redenering dat we de fout nooit willen onderschatten. We ronden de RF dus naar boven af, wat betekent dat we de NOEMER van de RF naar onder afronden!

a = 15,67 ± 0,12 cm

Voorbeeld:

0, 12 1 1( )15, 67 130, 58 13.10

RF a = = =

3.3.5 De relatieve fout op een product of quotiënt van twee grootheden Voorbeeld:

A x B = 45 cm² ± ???

A = 9 cm ± 1 cm en B = 5 cm ± 1 cm

De kleinst mogelijke waarde voor A x B = 8 cm x 4 cm = 32 cm²

De meest waarschijnlijke waarde voor A x B = 9 cm x 5 cm = 45 cm²

De grootst mogelijke waarde voor A x B = 10 cm x 6 cm = 60 cm²

Daaruit volgt dat: AF(A x B) ≈ 14 cm² en we berekenen nu ook de RF:

AF RF

A = 9 cm 1 cm 1

9,0

B = 5 cm 1 cm 1

5,0

A x B = 45 cm² 14 cm² 14 145 3,2

=

Hieruit volgt dat: RF(A x B) = RF(A) + RF(B)

Dit kan eveneens aangetoond worden voor een quotiënt van grootheden.


- 10/19 -

Regel voor product en quotiënt:

⋅RF(A B) = RF(A) + RF(B)ARF( ) = RF(A) + RF(B)B

Regel voor een macht:

⋅nRF(A ) = n RF(A)

Hoe we praktisch tewerk gaan, kunnen we het best illustreren aan de hand van een numeriek voorbeeld. We wensen de specifieke weerstand te bepalen van een bepaald materiaal door weerstandsmeting van een staafje met een zekere lengte l en diameter d.

3.3.6 Voorbeeld

We berekenen de specifieke weerstand ρ volgens de formule: R A

lρ ⋅=

Hiervoor moeten we eerst de doorsnede berekenen: ²

4dA π ⋅

=

• We meten de lengte l van het staafje met een schuifmaat, die meet op 0,05 mm nauwkeurig en vinden l = 48,30 mm ± 0,05 mm.

• Vervolgens meten we de diameter d met een schroefmicrometer (zie fig. 3.1), die een afleesnauwkeurigheid van 0,01 mm heeft en vinden hiervoor d = 3,29 mm ± 0,01 mm.

• Tenslotte plaatsen we het staafje in een weerstandsbrug met een absolute fout van 0,001 Ω en meten we een weerstand van 0,392 Ω ± 0,001 Ω.

Fig. 3.1 - Schroefmicrometer: Het voorwerp wordt gemeten door D te draaien zodat het voorwerp tussen stiftuiteinde E en aambeeld A wordt geklemd met een zeker krachtmoment, ingebouwd in de micrometer. De trommel T heeft hier een spoed van 2 toeren per mm.

We resumeren de meetresultaten en de berekeningen in een tabel op de volgende bladzijde.


- 11/19 -

AF RF

l = 48,30 mm = 48,30·10-3 0,05·10 m -30, 05 1 148, 30 966 96.10

= ⇒ m

d = 3,29 mm = 3,29·10-3 0,01·10 m -30, 01 1 13, 29 329 32.10

= ⇒ m

R = 0,392 Ω 0,001 Ω 0, 001 1 10, 392 392 39.10

= ⇒

( )22 3

6 2

3, 29 10 m4 48,50122826... 10 m

A dπ π −

−

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅

-6 21 8,50 10 m16.10

⋅ ⋅

1 1232.10 16.10

× =

-6 28,501 10 mA⇒ = ⋅ -6 2= 0,054 10 m⋅

Eerst werd de relatieve fout op A berekend: ( ) ( ²) 2 ( )RF A RF d RF d= = ⋅

Merk op dat een constante, zoals π , zo wordt afgerond dat de afrondingsfout verwaarloosbaar is t.o.v. de andere fouten in de berekening.

Vervolgens werd de absolute fout op A berekend: ( ) ( )AF A RF A A= ×

Merk op dat we twee beduidende cijfers genomen hebben in de AF. Vervolgens kon de doorsnede zelf afgerond worden op dezelfde rang als haar AF, d.w.z. op evenveel cijfers na de komma. Dit toont nu aan dat we de doorsnede kunnen afronden op 3 cijfers na de komma. We kunnen dus nu als tussenresultaat schrijven :

A = (8,501 ± 0,054) × 10-6 m

2

We gaan nu verder met de berekening van de specifieke weerstand:

AF RF -6 2

-3

-6

0,392 8,501 10 m48,30 10 m

68,9936231 · 10 m

R Al

ρ ⋅ Ω× ⋅= =

⋅

= Ω

-61 68,99 · 10 m10.10

× Ω

1 1 1 1

39.10 16.10 96.10 10.10+ + =

668, 99 10 mρ −⇒ = ⋅ Ω -60,69 · 10 m= Ω

Ook hier werd eerst de RF berekend om vervolgens de AF te berekenen. Omdat voor product en quotiënt dezelfde regel geldt, kon de RF hier in 1 stap berekend worden.

Het eindresultaat kunnen we nu schrijven als: 6(68, 99 0, 69) 10 mρ −= ± ⋅ Ω


- 12/19 -

3.4 Absolute fout op een functiewaarde Beschouwen we de functie f(x) met AF(a) de absolute fout op het argument x = a, zodat

a – AF(a) < a < a + AF(a)

Is de functie monotoon stijgend of dalend dan hebben we respectievelijk:

f(a – AF(a)) < f(a) < f(a + AF(a)) ; f(a – AF(a)) > f(a) > f(a + AF(a)) Bij niet te sterke kromming, kan men voor beide gevallen stellen dat:

AF 2

f(a+ AF(a))- f(a - AF(a))f(a) =

Fig. 3.2 - Illustratie van de twee methodes voor de absolute fout op een functie

Een hoekmeting levert als resultaat α = 22°42’ ± 3’, waarbij we de fout op de functie sin α wensen te kennen. Gebruik makend van de eerste methode berekenen we:

Voorbeeld

sin (α + AF(α)) = sin 22°45’ = 0,38671 en sin (α - AF(α)) = sin 22°39’ = 0,38510 en is de absolute fout op de sinusfunctie

0,38671 0,38510AF(sin ) 0,000812

α −= =

zodat we kunnen schrijven voor de waarde: sin α = 0,38591 ± 0,00081


- 13/19 -

3.5 Foutenberekening bij het herhalen van metingen Als bij het herhalen van metingen de eventuele toevallige fouten kleiner zijn dan de afleesonnauwkeurigheid en dus niet van tel zijn, zeggen we dat dergelijke metingen reproduceerbaar zijn.

Wanneer door toevallige fouten de onderlinge verschillen in de metingen groter zijn dan de fout op het aflezen, m.a.w. groter dan de absolute fout, dan zeggen we dat die metingen niet reproduceerbaar zijn. De toevallige fouten werken dus storend op het meetresultaat.

Van een reeks herhaalde metingen bepalen we met de volgende methode het meetresultaat en een schatting van de fout erop via het opstellen van een tabel

:

1) men neemt als het meetresultaat het rekenkundig gemiddelde van de n metingen

1n i

ia a= ∑

2) men berekent het absoluut verschil AV i

van elke meting, namelijk

iAV ia a= − Als voor elke meting het absoluut verschil kleiner is dan de absolute fout op deze meting, dan zijn de metingen reproduceerbaar en moeten de stappen 3 en 4 niet meer uitgevoerd worden. De absolute fout op het meetresultaat is dan even groot als de afleesfout op een individuele meting. In het geval dat er minstens één meting is waarvoor het absolute verschil groter is dan of gelijk aan de absolute fout op deze meting, dan spreken we over een niet-reproduceerbare meting en gebruik je stap 3 en 4 om de absolute fout op het gemiddelde te bepalen. 3) men berekent het kwadraat van AV i

voor elke meting

4) de uiteindelijke absolute fout op het meetresultaat wordt best bepaald door de volgende betrekking (zie appendix A).

n2i

i=1

1AF( ) = 3 SF( ) = 3 AVn(n-1)

a a⋅ ⋅ ∑

[3.2]

Hierbij is n het aantal metingen.

In enkele gevallen kan dit leiden tot een absolute fout op het meetresultaat die kleiner is dan de afleesfout. Aangezien dit weinig zinvol is nemen we in dit geval opnieuw als absolute fout de afleesfout van een individuele meting.

Opmerking


- 14/19 -

Voorbeeld van reproduceerbare metingen

Met een balans wordt vijfmaal eenzelfde voorwerp gewogen. We zetten de resultaten in de volgende tabel:

Meting a

(g) i AF(ai

(g)

) AV

(g) i

2,24 0,01 0,004

2,24 0,01 0,004

2,23 0,01 0,006

2,23 0,01 0,006

2,24 0,01 0,004

g236,2=a AF( ) 0,010 ga =

Aangezien elk absoluut verschil kleiner is dan de afleesfout zijn de metingen reproduceerbaar en moet punt 3 en 4 niet uitgevoerd worden.

Het meetresultaat met absolute fout wordt dus: a = 2,236 g ± 0,010 g.

Voorbeeld van niet-reproduceerbare metingen

We meten zes keer de periode van een slinger met behulp van een chronometer, die kan afgelezen worden tot op 0,01 s. De gemeten waarden en berekeningen vatten we samen in de volgende tabel:

Meting a

(s) i AF(ai

(s)

) AV

(s) i 2

iAV (s2

3,23

) 0,01 0,003 0,000009

3,19 0,01 0,037 0,001369

3,25 0,01 0,023 0,000529

3,22 0,01 0,007 0,000049

3,21 0,01 0,017 0,000289

3,26 0,01 0,033 0,001089

s227,3=a 2 2i

1AV 0,003334 s

n

i==∑

We berekenen de absolute fout:

2 2i

1

1 1AF( ) 3 SF( ) 3 AV 3 0,003334 s 0,031626 sn(n-1) 30

n

ia a

=

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =∑

Het meetresultaat met absolute fout wordt dus: a = 3,227 s ± 0,032 s.


- 15/19 -

4. GRAFIEKEN Een grafiek van de metingen, laat onmiddellijk een visuele inspectie toe van het verloop van de afhankelijke grootheid (bvb. veranderingen in richtingscoëfficiënt, minima of maxima, abnormale meetpunten, ...), wat kan bijdragen tot de verdere interpretatie van de resultaten. Bij de opmaak van een grafiek dienen enkele algemene regels nageleefd te worden: • De onafhankelijke grootheid wordt uitgezet langs de horizontale as en de

afhankelijke grootheid langs de verticale as. • Elke as wordt benoemd: je noteert het symbool van de grootheid en tussen haakjes

de bijbehorende eenheid. • Elke as bevat een schaalverdeling met equidistante hoofdmarkeringen (streepjes),

die schaalwaarden bevatten, en eventueel tussenmarkeringen met kleine streepjes zonder waarden om de afleesbaarheid te vergroten (fig. 4.2). De schaalverdeling en de markeringen mogen de grafiek niet overladen. Zet nooit meetwaarden bij de assen!

• In het geval dat de grafiek gebruikt wordt om waarden uit af te lezen, voorzie je deze van een rooster en eventueel van meerdere tussenmarkeringen (fig. 4.2b).

• In de schaalwaarden wordt slechts het aantal cijfers weergegeven, dat beduidend is voor de ganse reeks schaalwaarden (bvb. in grafiek 4.2a worden op de verticale as gehele getallen vermeld en niet 1,0; 2,0; enz.).

• Machten van 10 noteer je bij de eenheden en niet bij de schaalwaarden (fig. 4.3).

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110T (oC)

0

1

2

3

4

5

V em

s (m

V)

(a)

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

T (οC)

0

1

2

3

4

5

V em

s (m

V)

(b)

Fig. 4.2 - De spanning van een thermokoppel Vems(T

als functie van de temperatuur T r

= 0°C ); (a) conventionele grafiek (b) grafiek met rooster.

50 100 150 200 250 300T (K)

1.5x10-7

2.0x10-7

2.5x10-7

3.0x10-7

χ-1

(kg/

m3 )

(a)

50 100 150 200 250 300

T (K)

1.5

2.0

2.5

3.0

χ-1 (

10-7

kg/

m3 )

(b)

Fig. 4.3 - De inverse magnetische susceptibiliteit χ-1 van een stof als functie van de temperatuur T. In (a) is de verticale as overladen door de macht van 10 bij de schaalwaarden te vermelden. Beter is grafiek (b): de macht staat bij de eenheid.


- 16/19 -

• Kies de schaal zodanig dat het grafiekpapier optimaal benut wordt. Het nulpunt op de as is niet noodzakelijk, vermijd hierbij wel dat meetpunten op de assen liggen.

• Anderzijds heeft het weinig zin dat de meetpunten over het volledig vlak verspreid liggen. In dat geval moet je nagaan of de verandering van de afhankelijke grootheid niet kleiner is dan de fout en dien je de verticale schaal aan te passen (fig. 4.4).

• Wanneer een exponentieel resp. logaritmisch verloop wordt verwacht, gebruik je een logaritmische schaal voor de verticale resp. de horizontale as (fig. 4.5).

• Wanneer je meerdere reeksen waarden op eenzelfde grafiek uitzet, gebruik je hiervoor verschillende symbolen. De betekenis van de symbolen vermeld je in een legende bij de grafiek (fig. 4.6).

Fig. 4.4 - De (met betrekkelijke grote fout) gemeten elektrische weerstand R van een materiaal als functie van de temperatuur T. Grafiek (a) toont een te grote spreiding door een slechte keuze van de schaal. Grafiek (b) is een betere voorstelling, waarbij een vermoedelijke stijging van de weerstand met de temperatuur kan worden waargenomen.

0 100 200 300 400 500 600 700d (µm)

102

103

104

105

N

Fig. 4.5 - Het aantal tellen N van een radioactieve bron (β-straler) gemeten door aluminiumfolie als functie van de dikte d. Hierbij wordt een enkelvoudige logaritmische schaal gebruikt zodat het exponentieel verloop wordt bevestigd (rechte in de grafiek).

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

R (Ω

)

T (°C)

(a)

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

R (Ω

)

T (°C)

(b)


- 17/19 -

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100T (K)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

c p (

103

Jkg-

1 K-1

) aluminiumkoperzilver

Fig. 4.6 - De specifieke warmtecapaciteit cp

van enkele metalen bij lage temperatuur

Fig. 4.7 - (a) De weerstand R van een materiaal als functie van de temperatuur T met aanduiding van de fout op de weerstand (± 0.005 Ω) en (b) zelfde grafiek, doch eveneens met aanduiding van de fout op de temperatuur (bvb. ± 2°C). • Indien de informatie van de fout belangrijk is, bvb. om de overeenkomst tussen de

theoretische kromme en de experimentele waarden te illustreren, duid je de fouten aan met behulp van foutenvlaggen. De lengte van de lijnstukken in de foutenvlaggen komt overeen met 2 × de grootte van de fout (fig. 4.7).

• Wanneer je op zicht een best passende kromme moet tekenen, trek je een fijne, vloeiende lijn waarbij de spreiding van de meetpunten boven en onder de kromme zo klein mogelijk is. Dit impliceert dat meetpunten niet noodzakelijk op de kromme liggen (fig. 4.8a). Rekening houdend met de fout is het fysisch onwaarschijnlijk dat de grootheid verloopt volgens de verbindingslijnen tussen de punten (fig. 4.8b).

Fig 4.8 - Aanduiding van het verloop: (a) goed (b) slecht

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

R (Ω

)

T (°C)

(b)(b)

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

R (Ω

)

T (°C)

(a)

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

R (Ω

)

T (°C)

(a)

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

R (Ω

)

T (°C)

(b)


- 18/19 -

5 HET RAPPORTEREN VAN RESULTATEN Bij het experimenteren hoort ook rapporteren: je maakt een verslag en dat verslag bevat de volgende onderdelen:

1. Naam, datum, richting en groepsnummer

2. Titel

Bij rapporten wordt de titel eerder sober gehouden en is meestal van de gedaante “Studie van....”, “Meting van ...”, “Onderzoek van....”, m.a.w. de titel staat in nauw verband met de doelstelling van het werk.

3. Doel

De onderzoeksvraag:

Noteer heel concreet welke grootheden je zult bepalen of welk verband je gaat onderzoeken.

(2-tal zinnen)

4. Methode

Het onderzoeksplan:

a. Teken een eenvoudige maar verzorgde schets van de opstelling.

(± ½ blz.)

b. Over welke gegevens beschik je?

c. Welke formules zul je gebruiken?

d. Leg kort uit welke variabelen je met deze opstelling zult meten en hoe je samen met de gegevens en de formules het doel van de proef zult bereiken.

De methode ≠ de werkopdracht die, net als een keukenrecept, een stappenplan is!

5. Metingen en berekeningen

Elke gemeten grootheid heeft: een meetwaarde, een eenheid en een absolute fout.

Een reeks metingen

Bereken bij niet reproduceerbare metingen de absolute fout met behulp van absolute verschillen (

noteer je in een TABEL, waarbij je bovenaan in de tabel de grootheden en hun eenheden vermeld, eventueel met hun meetnauwkeurigheid.

tabel!

Ook de vereiste

) en gebruik de afgeronde gemiddelde waarde van de metingen om mee verder te rekenen. Voor een praktisch voorbeeld zie paragraaf 3.5.

berekeningen noteer je in een TABEL. Indien er gevraagd wordt om foutberekening

Voor een praktisch voorbeeld zie paragraaf 3.3.6.

uit te voeren, dan is het noodzakelijk die ook op te nemen in de TABEL.

6. Grafieken

• Vermeld je naam, richting, groep + nummer op het grafiekblad.

• Geef de grafiek een geschikte titel.

• Volg de richtlijnen, besproken in paragraaf 4, nauwgezet op.


- 19/19 -

7. Besluit

Het besluit moet een rechtstreeks antwoord geven op de onderzoeksvraag.

Noteer de waarde van de gemeten grootheden (met fout) of bespreek welk verband je tussen de onderzochte grootheden gevonden hebt (vermeld eventueel de vergelijking van de gefitte curve).

Vergelijk eventueel de meetwaarde met de waarde uit de literatuur en ga na of je meetresultaat die waarde goed benadert.

8. Antwoorden op de vragen Hieronder vind je een beknopt overzicht/voorbeeld van een practicumverslag.

Naam Groep+nummer

Richting Datum

Titel: Benaming van de proef

1. Doel: Omschrijf hierbij in een 2-tal zinnen de bedoeling van de proef.

2. Methode (±½ blz.)

Schets van de opstelling

Gegevens + Formules

Onderzoeksplan (≠werkopdracht!)

3. Metingen-Berekeningen

• Gegeven waarden AF RF

M = 1000 g 5 g 1/20.10

• Metingen

T1 = 96,0°C 0,5°C 1/19.10

T2 = 71,05°C 0,05°C 1/14.10

• Berekeningen

T1 - T2 = 24,95°C 0,55°C 1/45

X = M(T1- T2) = 2495 g°C 70 g°C 1/20.10+1/45

=1/36

4. Besluit

De gezochte waarde X bedraagt (2495 ± 70) g°C

5. Antwoorden op de vragen

Beantwoord alle vragen die in de practicumnota’s staan.

inleiding tot het practicum

Documents