integracion numerica

INTEGRACION NUMERICA T2U4 PROBLEMARIO MÉTODOS NUMÉRICOS

GERARDO LEYVA ALVAREZ PROFESOR: M.C. ROBERTO ORAMAS BUSTILLOS

No. Lista 21 Hora:18:00 a 19:00 horas

TEPIC NAYARIT 12 DE MAYO DE 2015

Instituto Tecnológico de Tepic

INTEGRACION NUMERICA GERARDO LEYVA ALVAREZ

INTEGRACION NUMERICA

Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 2

Ejercicio 1 ............................................................................................................................................ 2

Ejercicio 1.1 ..................................................................................................................................... 2

Método del trapecio.................................................................................................................... 2

Método de 1/3 de Simpson ......................................................................................................... 4


Ejercicio 1.2 ..................................................................................................................................... 6

Método del trapecio.................................................................................................................... 6



Ejercicio 2 ............................................................................................................................................ 9

Romberg para R5, 5: ...................................................................................................................... 9

Romberg para R7, 7: .................................................................................................................... 10

Romberg para R10,10: .................................................................................................................. 11

Ejercicio 3 .......................................................................................................................................... 13



Introducción La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge por dos motivos

fundamentalmente: la dificultad o imposibilidad en el cálculo de una primitiva, la función a

integrar solo se conoce por una tabla de valores. Sea, entonces, una función f : [a, b] −→ R.

Supongamos que se conocen los valores de f en los (n + 1) nodos distintos x0, x1, . . . , xn.

Trataremos de aproximar la integral R b a f(x)dx por una fórmula de cuadratura del tipo:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑ 𝐴1 𝑓(𝑥1)

𝑛

𝑖=0

𝑏

𝑎

Entendiendo que la integracion numerica es aproximada, es n la que rige la aproximacion al

resultado verdadero, cuando n es mas grande mas exacto es el resultado de la integral definida de

alta dificultad o imposible, esto no quiere decir que no se pueda aplicar los distintos metodos de

integracion numerica a integrales de baja complejidad.

Problemario

Ejercicio 1 Desarrolle para cada ejercicio, por los métodos: trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 con n=8 las

siguientes integrales: ∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒 𝑦 ∫ √1 + 𝑥21

0

Ejercicio 1.1 Método del trapecio

En la fórmula del trapecio se aproxima la integral por el área del

trapecio, donde esta indica que:

∫ 𝑓(𝑥) ≈ ℎ

2

𝑏

𝑎

{𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥𝑛) + 2[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1)]}

Donde: ℎ =𝑏−𝑎

𝑛 , 𝑥0 = 𝑎 , 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + ℎ



Resolviendo la integral por el método del trapecio ∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈ℎ

2{𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥𝑛) + 2[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1)]}

𝑎 = 𝑒 𝑏 = 𝑒 + 1 𝑛 = 8 ℎ =1

8 ℎ =

𝑒+1−𝑒

8=

1

8

xi = f(xi) =

x0 e f(x0) 0.367879441

x1 e+1/8 f(x1) 0.336574227

x2 e+1/4 f(x2) 0.309651114

x3 e+3/8 f(x3) 0.286284015

x4 e+1/2 f(x4) 0.265838592

x5 e+5/8 f(x5) 0.247820191

x6 e+3/4 f(x6) 0.23183777

x7 e+7/8 f(x7) 0.217578402

x8 e+1 f(x8) 0.204788903

Aplicando y simplificando la fórmula:

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈1

16{0.572668345 + 2[1.895584311]}

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈1

16{0.572668345 + 3.791168622}

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈1

16{4.363836967}

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈ 𝟎. 𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟗𝟖𝟏𝟎𝟓



Método de 1/3 de Simpson

Se puede obtener una estimación más exacta de la integral. El

método consiste en usar polinomios de grado superior para

aproximar la curva de la función y tomar las integrales bajo

tales polinomios

∫ 𝑓(𝑥) ≈ 𝑏 − 𝑎

3𝑛

𝑏

𝑎

{𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 4𝑓(𝑥𝑛−1)

+ 𝑓(𝑥𝑛)}

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈𝑏 − 𝑎

3𝑛{𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)}

𝑎 = 𝑒 𝑏 = 𝑒 + 1 𝑛 = 8 ℎ =1

8

ℎ =𝑒+1−𝑒

8=

1

8

xi = f(xi) =

x0 e f(x0) 0.367879441

x1 e+1/8 f(x1) 0.336574227

x2 e+1/4 f(x2) 0.309651114

x3 e+3/8 f(x3) 0.286284015

x4 e+1/2 f(x4) 0.265838592

x5 e+5/8 f(x5) 0.247820191

x6 e+3/4 f(x6) 0.23183777

x7 e+7/8 f(x7) 0.217578402

x8 e+1 f(x8) 0.204788903

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈1

24{0.3678794412 + 4(0.336574227 + 0.286284015 + 0.2478201906 + 0.2175784023)

+ 2(0.309651114 + 0.2658385924 + 0.2318377698) + 0.2047889038}

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈1

24{6.540350637}

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑒+1

𝑒

≈ 𝟎. 𝟐𝟕𝟐𝟓𝟏𝟒𝟔𝟎𝟗𝟗



Método de 3/8 de Simpson La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es

similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área

bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre

una curva dada, en este método se necesita que n sea múltiplo

de 3 (3,6,9…)

∫ 𝑓(𝑥) ≈ 3ℎ

8

𝑏

𝑎

{𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥𝑛) + 3[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)]}

xi = f(xi) 0

x0 e f(x0) 0.367879441

x1 e+1/3 f(x1) 0.293720384

x2 e+2/3 f(x2) 0.242283356

x3 e+1/3 f(x3) 0.204788904

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥≈

1

8[0.3678794412 + 0.2047889038 + 3(0.2422833559 + 0.2937203838)]

𝑒+1

𝑒

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥≈

1

8[0.572668345 + 1.608011219]

𝑒+1

𝑒

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥≈ 𝟎. 𝟐𝟕𝟐𝟓𝟖𝟒𝟗𝟒𝟓𝟓

𝑒+1

𝑒

Evaluando la integral en un software matemático (mathematica 10) nos da que:

∫𝑑𝑥

𝑥𝑙𝑛𝑥= 0.2725138805

𝑒+1

𝑒

Método resultado valor evaluado en

software Error relativo

Trapecio 0.272739811 0.272513881 0.00022593000

Simpson 1/3 0.27251461 0.272513881 0.00000072949

Simpson 3/8 0.272584946 0.272513881 0.00007106500

Por lo tanto el método más aproximado para esta integral es: Simpson 1/3



Ejercicio 1.2

Método del trapecio En la fórmula del trapecio se aproxima la integral por el área del trapecio, donde esta indica que:

∫ √1 + 𝑥21

0

∫ √1 + 𝑥21

0

≈ℎ

2{𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥𝑛) + 2[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1)]}

𝑎 = 0 𝑏 = 1 𝑛 = 8 ℎ =1

8

ℎ =𝑒+1−𝑒

8=

1

8

xi = f(xi) =

x0 0 f(x0) 1

x1 1/8 f(x1) 1.007782219

x2 1/4 f(x2) 1.030776406

x3 3/8 f(x3) 1.068000468

x4 1/2 f(x4) 1.118033989

x5 5/8 f(x5) 1.17924

x6 3/4 f(x6) 1.25

x7 7/8 f(x7) 1.328768227

x8 1 f(x8) √2


∫ √1 + 𝑥21

0

≈1

16{1 + √2 + 2[7.98260895]}

∫ √1 + 𝑥21

0

≈1

16{18.37943146}

∫ √1 + 𝑥21

0

≈ 𝟏. 𝟏𝟒𝟖𝟕𝟏𝟒𝟒𝟔𝟔




∫ √1 + 𝑥21

0

≈𝑏 − 𝑎

3𝑛{𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)}

𝑎 = 0 𝑏 = 1 𝑛 = 8 ℎ =1

8

ℎ =𝑒+1−𝑒

8=

1

8

xi = f(xi) =

x0 0 f(x0) 1

x1 1/8 f(x1) 1.007782219

x2 1/4 f(x2) 1.030776406

x3 3/8 f(x3) 1.068000468

x4 1/2 f(x4) 1.118033989

x5 5/8 f(x5) 1.17924

x6 3/4 f(x6) 1.25

x7 7/8 f(x7) 1.328768227

x8 1 f(x8) √2


∫ √1 + 𝑥21

0

≈1

24{1 + 18.33519422 + 6.797620789 + √2}

∫ √1 + 𝑥21

0

≈1

24{27.54702857}

∫ √1 + 𝑥21

0

≈ 𝟏. 𝟏𝟒𝟕𝟕𝟗𝟐𝟖𝟓𝟕




∫ 𝑓(𝑥) ≈ 3ℎ

8

𝑏

𝑎

{𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥𝑛) + 3[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)]}

xi = f(xi) 0

x0 e f(x0) 1

x1 1/3 f(x1) 1.054092553

x2 2/3 f(x2) 1.201850425

x3 1/3 f(x3) √2

∫ √1 + 𝑥2 ≈1

8[1 + 3(1.054092553) + 3(1.201850425) + √2]

1

0

∫ √1 + 𝑥2 ≈1

8[9.182042498]

1

0

∫ √1 + 𝑥2 ≈ 𝟏. 𝟏𝟒𝟕𝟕𝟓𝟓𝟑𝟏𝟐1

0

Evaluando la integral en un software matemático (mathematica 10) nos da que:

∫ √1 + 𝑥21

0

= 1.147793575



Trapecio 1.14871466 1.147793575 0.00092108500

Simpson 1/3 1.147792857 1.147793575 -

0.00000071800

Simpson 3/8 1.147755312 1.147793575 -

0.00003826300

Por lo tanto el método más aproximado para esta integral es: Simpson 1/3



Ejercicio 2 Desarrolle utilizando el método de Romberg para R5, 5, R7, 7 y R10, 10

∫ √1 + cos2 𝑥48

0

𝑑𝑥

Evaluando la integral en software en mathematica 10:

∫ √1 + cos2 𝑥48

0

𝑑𝑥 = 58.47046916

Por el método de trapecio se construyen intervalos de ½ hasta 1/1024 Con la formula siguiente se

construye las ecuaciones para cada nivel:

4𝑘−1

4𝑘−1 − 1𝑙𝑚 −

1

4𝑘−1 − 1𝑙𝑡

Romberg para R5, 5:

Se evalúa el último valor en el siguiente nivel:

4096

4095(59.332787) −

1

4095(59.332787) = 𝟓𝟗. 𝟑𝟒𝟒𝟗𝟗𝟕𝟎𝟏

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5

62.4373714

55.57229169333

57.28856162 56.2014707

56.16214703333 56.2055988

56.44375068 56.2055343 56.204624

56.20282264000 56.2040684 59.332787

56.26305465 56.2040913 59.3297316

56.20401201000 59.317522

56.21877267 59.2688746

59.07732072333

58.36268371

4/3 lm-1/3 lt 16/15lm-1/3lt

16/15lm-

1/15lt

64/63lm-

1/63lt

256/255lm -

1/255lt

1024/1023lm-

1/1023lt



Romberg para R7, 7:


65536

65535(58.4707174) −

1

65535(58.4707174) = 𝟓𝟖. 𝟒𝟕𝟎𝟕𝟏𝟕𝟒

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Nivel 6 Nivel 7

62.4373714

55.5722917

57.28856162 56.2014707

56.1621470 56.2055989

56.44375068 56.2055343 56.204624

56.2028226 56.2040684 59.332787

56.26305465 56.2040913 59.3297316 58.422093

56.2040120 59.317522 58.4223153 58.4707174

56.21877267 59.2688746 58.4232015 58.4223153

59.0773207 58.4266949 58.4707026

58.36268371 58.439854 58.4706562

58.4796956 58.4704845

58.45044265 58.4700059

58.4706115

58.46556928

4096/4095l

m-1/4095lt

16384/1638

3lm-4/3 lm-1/3 lt 16/15lm-1/3lt

16/15lm-

1/15lt

64/63lm-

1/63lt

256/255lm -

1/255lt

1024/1023lm-

1/1023lt



Romberg para R10,10:


4194304

4194303(58.470469152) −

1

4194303(58.470469152) = 𝟓𝟖. 𝟒𝟕𝟎𝟒𝟔𝟗𝟏𝟓

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Nivel 6 Nivel 7 Nivel 8 Nivel 9 Nivel 10

62.4373714

55.5722917

57.28856162 56.2014707

56.1621470 56.2055989

56.44375068 56.2055343 56.204624

56.2028226 56.2040684 59.332787

56.26305465 56.2040913 59.3297316 58.422093

56.2040120 59.317522 58.4223153 58.4707174

56.21877267 59.2688746 58.4232015 58.4223153 58.4707174

59.0773207 58.4266949 58.4707026 58.4704791 58.4704691

58.36268371 58.439854 58.4706562 58.4704791 58.4704691 58.4704692

58.4796956 58.4704845 58.4704793 58.4704691 58.4704692

58.45044265 58.4700059 58.4704793 58.4704691 58.4704692

58.4706115 58.4704794 58.4704691 58.4704692

58.46556928 58.470472 58.4704691 58.4704692

58.4704807 58.4704691 58.4704692

58.46925283 58.4704691 58.4704692

58.4704699 58.4704692

58.47016561 58.4704692

58.4704692

58.4703933

4096/4095l

m-1/4095lt

16384/1638

3lm-4096/4095lm-

1/4095lt1048576/10

48575lm-

1/1048575lt

262144/262

143lm-

1/262143lt

4/3 lm-1/3 lt 16/15lm-1/3lt

16/15lm-

1/15lt

64/63lm-

1/63lt

256/255lm -

1/255lt

1024/1023lm-

1/1023lt

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Nivel 6 Nivel 7 Nivel 8 Nivel 9 Nivel 10

62.4373714

55.5722917

57.28856162 56.2014707

56.1621470 56.2055989

56.44375068 56.2055343 56.204624

56.2028226 56.2040684 59.332787

56.26305465 56.2040913 59.3297316 58.422093

56.2040120 59.317522 58.4223153 58.4707174

56.21877267 59.2688746 58.4232015 58.4223153 58.4707174

59.0773207 58.4266949 58.4707026 58.4704791 58.4704691

58.36268371 58.439854 58.4706562 58.4704791 58.4704691 58.4704692

58.4796956 58.4704845 58.4704793 58.4704691 58.4704692

58.45044265 58.4700059 58.4704793 58.4704691 58.4704692

58.4706115 58.4704794 58.4704691 58.4704692

58.46556928 58.470472 58.4704691 58.4704692

58.4704807 58.4704691 58.4704692

58.46925283 58.4704691 58.4704692

58.4704699 58.4704692

58.47016561 58.4704692

58.4704692

58.4703933

4096/4095l

m-1/4095lt

16384/1638

3lm-4096/4095lm-

1/4095lt1048576/10

48575lm-

1/1048575lt

262144/262

143lm-

1/262143lt

4/3 lm-1/3 lt 16/15lm-1/3lt

16/15lm-

1/15lt

64/63lm-

1/63lt

256/255lm -

1/255lt

1024/1023lm-

1/1023lt





Romberg para R5,5 59.34499701 58.47046916 0.87452785000

Romberg para R7,7 58.4707174 58.47046916 0.00024824000

Romberg para R10,10 58.47046915 58.47046916

-0.00000001000

Por lo tanto el método más aproximado para esta integral es: Romberg para

R10,10



Ejercicio 3 Desarrolle un ejemplo libre de Cuadratura Gaussiana

∫1

√2𝜋𝑒−

𝑥2

2

1.5

−0.8

𝑑𝑥

Dos puntos

𝑧 =2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)

𝑏 − 𝑎=

2𝑥 − 0.7

2.3

Si x=-0.8, z =-1; si x=1.5, z=1

Cambio de función en términos de nueva variable Z:

1

√2𝜋∫ 𝑒

−𝑥2

2

1.5

0.8

𝑑𝑥

=1

√2𝜋∫ (

1.5 − (−0.8)

2) 𝑒−(

1.5−(−0.8)2

2+−0.8+1.5

2 )2/21

−1

=2.3

√2𝜋∫ 𝑒−(23𝑧+0.7)2/2

1

−1

W1=w2=1.0; - z1, z2=0.5773502692

𝐹 = (0.5773502632) = 𝑒−(2.3(0.5773502692))2/2 = 0.5980684

𝐹 = (−0.5773502632) = 𝑒−(2.3(−0.5773502692))2/2 = 0.9519115

Se aplica la ecuación:

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝐴 ≈ 𝑤1𝑓(𝑍1) + 𝑤2𝑓(𝑍2) + 𝑤3𝑓(𝑍3) + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑓(𝑧𝑛)1

−1

𝐼 =2.3

2√2𝜋(1(+0.5980684) + 1(0.9519115) = 𝟎. 𝟕𝟏𝟏𝟏𝟎𝟓

Evaluando la integral con software matemático (mathematica 10)

∫1

√2𝜋𝑒−

𝑥2

21.5

−0.8𝑑𝑥=0.7213374001

Por lo tanto el error relativo es: 0.7213374001-0.711105=0.01023240015

integracion numerica

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