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Fórmulas de integración

G. Edgar Mata Ortiz

න𝒇 𝒙 𝒅𝒙

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Función elevada a un exponente constante

Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a integrar es una expresión, generalmente entre paréntesis, elevada a un exponente constante.

Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Fórmula para el cociente de dos funciones

La fórmula se lee:

La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de

𝒗 es igual a:

𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏

Más la constante de integración C

Se emplean colores para identificar la función y el exponente.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Ejemplo

Resolver

La fórmula es:

Es necesario identificar claramente la función 𝒗, el

exponente 𝒏 y revisar si está completo el diferencial 𝒅𝒗

න 𝟏 − 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝒅𝒙 =

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Ejemplo

Resolver

Es evidente que, para aplicar la fórmula, será necesario reordenar el integrando para que se ajuste a la fórmula que vamos a aplicar.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න 𝟏 − 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝒅𝒙 =

න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

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න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral.

Para poder integrar, el diferencial “debe estar completo”, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

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Resolver

A primera vista no parece posible completar el diferencial, sin embargo, es posible hacerlo si factorizamos el diferencial:

න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

Ejemplo න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

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Resolver

A primera vista no parece posible completar el diferencial, sin embargo, es posible hacerlo si factorizamos el diferencial:

න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

Ejemplo න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

Solamente falta el -6 que

está multiplicando

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Resolver

Para no afectar la expresión original con este -6, es necesario compensarlo agregando su inverso multiplicativo fuera de la integral

න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐− 𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

Ejemplo න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

Agregamos el -6 para

completar el diferencial

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Resolver

Es necesario agregar el -6, pero estamos afectando el valor de la expresión original.

න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐−𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

Ejemplo න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

Agregamos el -6 para completar el diferencial, y compensamos con -1/6 fuera de la integral

−𝟏

𝟔

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Ejemplo

Resolver

El “menos un sexto” que se agregó, se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran.

Y entonces se aplica la fórmula de integración.

La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre ese mismo valor.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

−𝟏

𝟔න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝟐−𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

= −𝟏

𝟔

𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐+𝟏

𝟐 + 𝟏+ 𝑪

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Ejemplo

Resolver

Se efectúan operaciones:

Simplificando:

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න 𝟏− 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐𝒅𝒙 = −

𝟏

𝟔න 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝟐−𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝒅𝒗 = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 −𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙= −

𝟏

𝟔

𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐+𝟏

𝟐 + 𝟏+ 𝑪

= −𝟏

𝟔

𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟑

𝟑+ 𝑪

= −𝟏

𝟏𝟖𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙

𝟑+ 𝑪

Solución

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