INTEGRAL LEBESGUE PADAFUNGSI TERBATAS

Ahmad Sandi Nurmansyah (3125100129)

11th June 2013

1 Integral Lebesgue pada Fungsi Terbatas

Misalkan f adalah fungsi sederhana dan terukur dengan representasi kanonikf =

∑ni=1 aiχEi

, Ei = {x ∈ E : f(x) = ai} saling asing dan terukur. Bilan-gan ai, (i = 1, 2, ...., n) berbeda dan ai 6= 0. Asumsikan bahwa E berukuranberhingga, maka integral Lebesgue dari f didefinisikan dengan∫

f(x)dx =n∑i=1

aim(Ei)

Selanjutnya integral Lebesgue dari f dapat ditulis∫f jika E himpunan

terukur, maka∫E

f =∫fχE.

Contoh 1.1. Fungsi f : [0, 1] → < yang didefinisikan dengan

f(x) =

1, jika x ∈

[0, 1

3

]2, jika x ∈

(13, 2

3

]3, jika x ∈

(23, 1]

Hitunglah∫

[0,1]

f(x)dx

Penyelesaian :Interval [0,1] dibagi menjadi

[0, 1

3

]∪

(13, 2

3

]∪

(23, 1]

• m([

0, 13

])= 1

3− 0 = 1

3

1

• m((

13, 2

3

])= 2

3− 1

3= 1

3

• m((

23, 1]

)= 1− 2

3= 1

3∫[0,1]

f(x)dx =(1× 1

3

)+

(2× 1

3

)+

(3× 1

3

)= 2

Lemma 1. Misalkan f =∑n

i=1 aiχEidengan setiap Ei adalah himpunan

terukur berukuran berhingga dan saling asing, maka∫f =

n∑i=1

aim(Ei).

Bukti :

Fungsi sederhana f terdefinisi pada∞⋃i=1

Ei. Misalkan cj anggota dari range f .

Maka bentuk kanonik dari f adalah f =m∑j=1

cjxACJdengan c1 6= c2 6= ... 6= cn

dan himpunan ACJdiberikan sebagai berikut :

ACJ= (x : f(x) = cj) =

⋃ai=cj

Ei

sehingga

∫f =

m∑j=1

cjm(ACJ)

=m∑j=1

cjm(⋃ai=cj

Ei)

=m∑j=1

cj∑ai=cj

m(Ei)

=∑ai=cj

m∑j=1

cjm(Ei)

=n∑i=1

aim(Ei)

Terbukti bahwa∫f =

n∑i=1

aim(Ei) .

2

Teorema 1.1. Misalkan f dan g adalah fungsi sederhana pada himpunanterukur E berukuran berhingga, maka :

1.∫af + bg = a

∫f + b

∫g,untuk semua bilangan real a dan b.

2. Jika f ≥ g maka∫f ≥

∫g

Bukti :

1. Misalkan Ai dan Bj adalah himpunan dalam bentuk kanonik dari f

dan g. Karena χAi=

n∑j=1

χAi∩Bjdan χBj

=n∑j=1

χAi∩Bj, χAi

=n∑j=1

χAi∩Bjmaka

af + bg = a

m∑i=1

αixAi+b

n∑j=1

βJxBJ

= am∑i=1

n∑j=1

αiχAi∩Bj+ b

m∑i=1

n∑j=1

βjχAi∩Bj

=m∑i=1

n∑j=1

aαiχAi∩Bj+

m∑i=1

n∑j=1

bβjχAi∩Bj

=m∑i=1

n∑j=1

(aαi + bβj)χAi∩Bj

Karena koleksi dari himpunan Ai∩Ej(i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n) mem-bentuk koleksi saling asing berhingga dari himpunan terukur, maka denganlemma 1, didapatkan :

∫af + bg =

m∑i=1

n∑j=1

(aαi + bβj)m(Ai ∩Bj)

=m∑i=1

n∑j=1

aαim(Ai ∩Bj) +m∑i=1

n∑j=1

bβjm(Ai ∩Bj)

=m∑i=1

aαim(Ai ∩ [n⋃j=1

Bj) +m∑i=1

bβjm([n⋃j=1

Ai] ∩Bj)

3

karena Ai ∩ [n⋃j=1

Bj] = Ai dan [n⋃j=1

Ai] ∩Bj = Bj dengan (i = 1,2,...,m;

j = 1,2,...,n). maka∫af + bg = a

m∑i=1

αim(Ai)+bn∑j=1

βJm(BJ) = a∫ρ+ b

∫ψ

Jadi, terbukti∫af + bg = a

∫f + b

∫g

2. Fungsi f ≥ g, ambil a = 1 dan b = -1 pada (1) maka didapatkan∫f −

∫g =

∫(f − g)

Karena f ≥ g maka f − g ≥ 0 adalah fungsi sederhana, maka sesuai dengandefinisi integal elementer diperoleh

∫f −

∫g ≥ 0. Sehingga∫

f −∫g =

∫(f − g) ≥ 0∫

f −∫g ≥ 0∫

f ≥∫g

Terbukti, jika f ≥ g maka∫f ≥

∫g

Misalkan f : E − <. adalah fungsi terbatas dan E himpunan terukuryang berukuran berhingga. Misalkan ψ adalah fungsi sederhana terdefinisipada E dengan ψ ≥ f . Dan ρ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada Edengan ρ ≤ f . Jika dua bilangan inf

φ>f

∫E

ψ dan supρ<f

∫E

ρ ada, maka infφ>f

∫E

ψ

disebut integral Lebesgue atas dan supρ<f

∫E

ρ disebut integral Lebesgue bawah.

Selanjutnya integral Lebesgue atas ditulis dengan L−∫E

f(x)dx dan integral

Lebesgue bawah ditulis dengan L∫−E

f(x)dx.

4

Definisi 1.1. Misalkan f adalah fungsi terbatas terdefinisi pada himpunanE yang berukuran berhingga. Fungsi f dikatakan terintegral Lebesgue padaE, jika

L

−∫E

f(x)dx = L

∫−E

f(x)

Integral Lebesgue dari f pada E ditulis dengan L∫E

f(x)dx atau∫E

f .

Jadi, setiap fungsi terbatas, terdefinisi pada himpunan E berukuran berhinggajika mempunyai integral atas dan bawah yang sama, maka fungsi terintegralLebesgue.

Contoh 1.2. Fungsi f : [0, 1]−< dengan f(x) = 2x. Hitunglah1∫0

2xdx

Penyelesaian :

Fungsi f ∈ U(f) = {ψ : ψ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E,

dengan ψ ≥ f}. Fungsi ψ ∈ U(f) maka terdapat infφ>f

∫E

ψ(x)dx = L−∫E

f(x)dx = 1.

Fungsi f ∈ L(f) = {ρ : ρ adalah fungsi sederhana terdefinisi pada E danρ : f}. Fungsi ρ ∈ L(f) maka terdapat sup

ρ<f

∫E

ρ(x)dx =∫−E

f(x)dx = 1.

Karena L−∫E

f(x)dx =L∫−E

f(x)dx = 1, maka1∫0

2xdx = 1

Teorema 1.2. Misalkan f adalah fungsi terbatas yang terdefinisi pada him-punan terukur E yang berukuran berhingga. Fungsi f terintegral Lebesguejika dan hanya jika f terukur.

Bukti :

Misalkan f terintegral Lebesgue atas E maka

infφ>f

∫E

ψ(x)dx = supρ<f

∫E

ρ(x)dx =h

Untuk setiap fungsi sederhana ψ , ρ dan sebarang bilangan real h. Diberikanbilangan bulat n, maka terdapat himpunan sederhana ψn dan ρn sedemikian

5

sehingga ρn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x) berlaku∫E

ψn(x)dx < h+1

2n⇔

∫E

ψn(x)dx−1

2n< h

∫E

ρn(x)dx > h− 1

2n⇔

∫E

ρn(x)dx+1

2n> h

Maka ∫E

ψn(x)dx−1

2n<

∫E

ρn(x)dx+1

2n∫E

ψn(x)dx−∫E

ρn(x)dx <1

2n+

1

2n

sehingga∫E

ψn(x)dx−∫E

ρn(x)dx <1n

2 Keterkaitan antara Integral Lebesgue den-

gan Integral Riemann

Teorema 2.1. Misalkan f adalah fungsi terbatas yang didefinisikan pada[a,b]. Jika f terintegral Riemann pada [a,b], maka f terintegral Lebesgue

dan Rb∫a

f(x)dx =b∫a

f(x)dx.

Bukti :Karena f terintegral Riemann pada [a,b], maka

infψ1>f

b∫a

ψ1(x)dx = supρ1<f

b∫a

ρ1(x) =R

b∫a

f(x)dx

ψ1 dan ρ1 adalah fungsi tangga yang didefinisikan pada [a,b]. Sedangkansetiap fungsi tangga adalah fungsi sederhana. Maka

supρ1<f

∫E

ρn(x)dx ≤ supρ<f

∫E

ρ(x)dx

6

infψ1>f

∫E

ψn(x)dx ≥ infφ>f

∫E

ψ(x)dx

Dengan ψ dan ρadalah fungsi sederhana yang didefinisikan pada [a,b], maka

Rb∫a

f(x)dx ≤ supρ<f

∫E

ρ(x)dx ≤ infφ>f

∫E

ψ(x)dx ≤ Rb∫a

f(x)dx

= supρ<f

∫E

ρ(x)dx = infφ>f

∫E

ψ(x)dx = Rb∫a

f(x)dx

=b∫a

f(x)dx = Rb∫a

f(x)dx

Terbukti bahwab∫a

f(x)dx = Rb∫a

f(x)dx

Jadi, setiap fungsi terbatas yang terintegral Riemann pasti terintegralLebesgue. Tetapi, fungsi yang terintegral Lebesgue belum tentu terintegralRiemann.

Contoh 2.1. Diberikan f : [0, 2] → <. dengan f(x) =

{3, jika x ∈ rasional2, jika x ∈ irasional

Buktikan bahwa f(x) terintegral Lebesgue tetapi tidak terintegral Rie-mann.Penyelesaian :Misalkan, himpunan bilangan rasional = Q dan himpunan bilangan irasional= Qc. Fungsi f terukur dan terbatas pada [0,2], maka f terintegral Lebesgue,yaitu2∫0

f(x)dx = f (x1) .m([0, 2] ∩Q) + f (x2) .m([0, 2] ∩Qc)

2∫0

f(x)dx = 3.0 + 2.(2− 0) = 0 + 4 = 4

Fungsi f tidak kontinu dan untuk setiap fungsi tangga ψ ≥ f ,

R2̄∫0

f(x)dx = inf2∫0

ψ(x)dx =3(2− 0) = 6.

Untuk setiap fungsi tangga ψ ≥ f maka

R2∫̄0

f(x)dx = sup2∫0

ψ(x)dx =2(2− 0) = 4

Karena R2̄∫0

f(x)dx 6= R2∫̄0

f(x)dx maka f tidak terintegral Riemann.

7

3 Sifat dari integral Lebesgue pada fungsi terukur

terbatas

Teorema 3.1. Misalkan f dan g adalah fungsi terukur terbatas, terdefinisipada himpunan berukuran berhingga E , maka:

1. Fungsi af terintegralkan pada E untuk setiap bilangan real a dan∫E

af =

a∫E

f

2. Fungsi f+g terintegralkan pada E dan∫E

f + g =∫E

f+∫E

g, oleh karena

itu

∣∣∣∣∫E

f

∣∣∣∣ ≤ ∫E

|f |

3. Jika f ≤ g maka∫E

f ≤∫E

g

4. Jika A dan B adalah himpunan terukur dan A∩B = ∅ , dengan A,B ⊂E maka

∫A∪B

f =∫A

f +∫B

f

Bukti :

1. Jika a > 0 maka (af)+ = max (0, af) = a.max (0, f) = af+

(af)− = max (0,−af) = a.max (0,−f) = af−

Didefinisikan : af = (af)+ − (af)− Jadi∫E

af =

∫E

(af)+ −∫E

(af)−

=

∫E

af+ −∫E

af−

= a

∫E

f+ − a

∫E

f−

= a

∫E

f+ −∫E

f−

= a

∫E

f

8

Jika a < 0 maka (af)+ = max (0, af) = −a.max (0,−f) = −af−(af)− = max (0,−af) = −a.max (0, f) = −af+ Menurut definisi∫

E

af =

∫E

(af)+ −∫E

(af)−

=

∫E

−af− −∫E

−af+

= −a∫E

f− + a

∫E

f+

= a

∫E

f+ −∫E

f−

= a

∫E

f

Karena f terintegralkan, maka∫E

f <∞.

Akibatnya∫E

af =a∫E

f <∞ yang berarti af terintegralkan.

2. Misalkan f = f1 − f2 dengan f1, f2 ≥ 0Didefinisikan :

∫E

f + g =∫E

(f + g)+ +∫E

(f + g)− Pada (f + g)+ 6=

f+ + g+. maka

9

f = f1 − f2

f+ − f− = f1 − f2

f+ + f2 = f1 + f−∫E

f+ + f2 =

∫E

f1 + f−

∫E

f+ −∫E

f2 =

∫E

f1 +

∫E

f−

∫E

f+ −∫E

f− =

∫E

f1 −∫E

f2∫E

f =

∫E

f1 −∫E

f2

Jadi, ∫E

f + g =

∫E

(f+ − f−

)+

(g+ − g−

)=

∫E

(f+ + g+

)+

(f− + g−

)=

∫E

(f+ + g+

)+

∫E

(f− + g−

)=

∫E

f+ +

∫E

g+ −∫E

f− −∫E

g−

=

∫E

f+ −∫E

f− +

∫E

g+ −∫E

g−

=

∫E

f +

∫E

g <∞

Jadi f + g terintegralkan.

10

3. Karena f ≤ g maka g − f ≥ 0. Dengan menggunakan hasil pada 2)diperoleh ∫

E

g − f =

∫E

g −∫E

f ≥ 0 ⇔∫E

g ≥∫E

f

Diberikan fungsi sederhana ρ sedemikian sehingga ρ ≥ f . Fungsi fbernilai real dengan f+ = max(f, 0) dan f− = max(f, 0) sehinggaf = f+ − f− dan |f | = f+ − f− sehingga∣∣∣∣∫E

f

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫E

f+ − f−∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫E

f+ −∫E

f−∣∣∣∣ ≤ ∫

E

f+ +∫E

f−

=∫E

|f+ + f−| =∫E

|f |

Terbukti bahwa

∣∣∣∣∫E

f

∣∣∣∣ ≤ ∫E

|f |

4. Karena A ∩B = ∅ maka ψA∪B = ψA + ψB. Jadi,∫A∪B

f =

∫f.ψA∪B =

∫f.ψA+

∫f.ψB =

∫A

f +

∫B

f

4 Kekonvergenan Integral Lebesgue pada Fungsi

Terbatas

Teorema 4.1. Misalkan fn adalah barisan fungsi terukur yang terdefinisipada E. Himpunan E berukuran berhingga atau m(E) <∞.Terdapat bilanganreal M sedemikian sehingga |fn(x)| ≤M , untuk semua x dan semua n. Jikaf(x) = lim

n→∞

∫E

fn(x), untuk masing-masing x ∈ E maka

∫E

f = limn→∞

∫E

fn(x)

Bukti :fungsi f adalah limit dari barisan fn terukur pada E, maka f terukur.Karena f terukur maka f terintegral Lebesgue. Diberikan ε > 0, maka

11

terdapat himpunan terukur A ⊂ E dengan m(A) < 34M

dan bilangan bulatN > 0 sedemikian sehingga |fn(x)− f(x)| < ε

2m(E)pada E−A, untuk semua

n ≥ N .

Karena |fn(x)| ≤M , ∀n ∈ N dan x ∈ E.

⇔ |fn(x)| ≤M , x ∈ E

⇔ |fn(x)− f(x)| ≤ |fn(x)|+ |f(x)| ≤ 2M

⇔ |fn(x)− f(x)| ≤ 2M , x ∈ E dan x ∈ A.

Maka

∣∣∣∣∫E

fn −∫E

f

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫E

(fn − f)

∣∣∣∣ ≤ ∫E

(fn − f)

=∫

E−A|fn − f |+

∫E

|fn − f |

≤ ε2m(E)

m(E − A) + 2M.m(A)

< ε2

+ 4M ε2M

= ε, ∀n ≥ N

Sehingga limn→∞

∫E

fn(x) =∫E

f .

Teorema 4.2. Diberikan fn adalah barisan fungsi terukur yang terdefinisipada E. Himpunan E berukuran berhingga atau m(E) <∞, dengan |fn(x)| ≤M , untuk semua x dan semua n pada E. Jika f(x) = lim

n→∞

∫E

fn(x), hampir

dimana-mana pada E, maka f terintegral dan∫E

f = limn→∞

∫E

fn(x)

Bukti :Fungsi f adalah limit dari barisan fn hampir dimana-mana pada E.|f(x)| ≤M dan terukur pada E. Jika m(E) = 0 maka f(x) = lim

n→∞fn(x) Se-

hingga asumsikan bahwa m(E) > 0 dan ε > 0, maka untuk setiap bilanganasli i terdapat Ei = {x ∈ E : |fj(x)− f(x)| ≥ ε

2m(E), untuk beberapa j ≥ i}.

Maka Ei adalah barisan himpunan turun dengan m(E1) ≤ m(E2) <∞. Se-

12

hingga limi→∞

m(E1) = m∞⋂i=1

E1

Ambil sebarang bilangan N besar sedemikian sehingga m(EN) < ε4M

.Misalkan EN = A, maka |fn(x) − f(x)| ≥ ε

2m(E)pada E - A untuk semua

n ≥ N .Karena |fn(x)| ≤M , ∀n ∈ N dan x ∈ E.

⇔ |fn(x)| ≤M , x ∈ E

⇔ |fn(x)− f(x)| ≤ |fn(x)|+ |f(x)| ≤ 2M

⇔ |fn(x)− f(x)| ≤ 2M , x ∈ E dan x ∈ A.

Maka

∣∣∣∣∫E

fn −∫E

f

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫E

(fn − f)

∣∣∣∣ ≤ ∫E

(fn − f)

=∫

E−A|fn − f |+

∫E

|fn − f |

≤ ε2m(E)

m(E − A) + 2M.m(A)

< ε2

+ 4M ε2M

= ε, ∀n ≥ N

Sehingga limn→∞

∫E

fn(x) =∫E

f .

Contoh 4.1. Diberikan ri adalah enumerasi dari semua bilangan rasionalpada [0,2]. Sn = {ri : i = 1, 2, ..., n}, n ∈ NFungsi fn : [0, 2] → <, untuk setiap n ≥ N yang didefinisikan dengan

f(x) =

2, jika x ∈ Sn

0, jika x /∈ SnBarisan lim

n→∞fn(x) = f(x) hampir dimana-mana, maka hitunglah

∫[0,2]

f(x)dx

13

Penyelesaian :Diberikan fn : [0, 2] → <. Barisan lim

n→∞fn(x) = f(x) hampir dimana-mana,

dengan

f(x) =

2, jika x ∈ rasional

0, jika x ∈ irrasionalSehingga f(x) = 0 hampir dimana-mana, maka

∫[0,2]

f(x)dx = limn→∞

∫E

fn = limn→∞

(2.m(Sn) + 0.m(A− Sn))

= limn→∞

(2.0 + 0.2)

= limn→∞

0

= 0

Teorema 4.3. Misalkan fn adalah barisan dari fungsi yang terintegral Rie-mann terdefinisi pada [a,b] sedemikian sehingga |fn(x)| ≤ M , untuk semuan dan x ∈ [a, b]. Jika fn konvergen ke fungsi f (terintegral Riemann) yangdidefinisikan pada [a,b] maka

R

b∫a

fn(x)dx = limn→∞

R

b∫a

fn(x)dx

Bukti :

Karena fn terintegral Riemann maka Rb∫a

fn(x)dx = Lb∫a

fn(x)dx sehingga

limn→∞

R

b∫a

fn(x)dx = limn→∞

L

b∫a

fn(x)dx

Karena f terintegral Riemann maka f juga terintegral Lebesgue yaitu

R

b∫a

f =

b∫a

f

14

fn adalah barisan fungsi terintegral Lebesgue dan fn konvergen ke suatufungsi terintegral Lebesgue f maka diperoleh

b∫a

f = limn→∞

b∫a

fn

Jadi, Rb∫a

f(x)dx = limn→∞

Rb∫a

fn(x)dx

References

[1] Gupta. (1976). Lebesgue Measure and Integration. New Delhi: WilleyEastern Limited.

[2] Bartle, Robert G. (1966). Elements of Integration. United States ofAmerica: Jhon Wiley Sons, Inc.

[3] H.L. Royden. (1988). Real Analysis. Mc. Milan Pub. Newyork.

15