integrali i pacaktuar

Integrali i pacaktuar

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: (1) Le të jetë f funksion i përkufizuar në njëinterval .I Funksioni i derivueshëm F quhet funksion primitiv i funksionit f

nëse ).)(()(' IxxfxF (2) Nëse F është funksion primitiv i funksionit f në intervalin ,I atëherë çdofunksion tjetër primitiv i funksionit f në I ka formën ( ) ( ) .x F x C ku Cështë një konstantë e çfarëdoshme.(3) Bashkësia e të gjitha funksioneve primitive të funksionit f në intervalin ,I

quhet integral i pacaktuar i funksionit f dhe shënohet .)( dxxf Pra

dxxf )( .)( CxF

Funksioni f quhet funksion nënintegral, kurse shprehja dxxf )( quhet shprehjenënintegrale.

)4( Janë të vërteta barazimet :

1 ( ) ( ) .dF x dx F x C

'

2 ( ) ( ).f x dx f x

3 ( ) ( ) .d f x dx f x dx

4 ( ) ( ) .cf x dx c f x dx

5 ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx

Tabela e integraleve. Duke pasur parasysh tabelën e derivateve të funksioneveelementare, në vazhdim po e japim tabelën e integraleve të pacaktuar të disafunksioneve elementare.

).1(1

11

C

xdxx

.||ln2 Cxx

dx

.3 Cedxe xx

).11(ln

4 aaCa

adxa

xx

.cossin5 Cxxdx

136

.sincos6 Cxxdx

.cos

72

Ctgxx

dx

.sin

82

Cctgxx

dx

.sin1

92

Cxacx

dx

.cos1

102

Cxacx

dx

.1

112

Cactgxx

dx

.1

112

Cacctgxx

dx

.|1|ln1

12 2

2Cxx

x

dx

.|1|ln1

13 2

2Cxx

x

dx

Integralet e mëposhtme mund të sillen në integrale tabelore, provoni!

2.1.1. 2 12 .x x dx

x Rezultati:

32 ln .

3

xx x C

2.1.2. 2 .xdx Rezultati: 2 .x C

2.1.3. 3 .x dx Rezultati:4

.4

xC

2.1.4. 3( 4 ) .t dt Rezultati: 4 .t C

2.1.5. .xdx Rezultati:2

.3

x x C

2.1.6.3.

dx

x Rezultati:2

1.

2C

x

2.1.7.5

4.

dx

x Rezultati:4

1.C

x

2.1.8. 3 .xdx Rezultati: 1 33.

7x C

137

2.1.9.3

.dx

x Rezultati: Cx 34

43

.

2.1.10. xx

dx. Rezultati:

2.C

x

2.1.11. .x x x dx Rezultati: 8 158.

15x C

2.1.12. 3 2(5 4 3 5) .x x x dx Rezultati: 4 3 25 4 35 .

4 3 2x x x x C

2.1.13.4 7 26 8 5 2

.x x x

dxx

Rezultati:4 33 16

5 2ln .2 7

x x xx x C

2.1.14.3

4

10 3.

xdx

x

Rezultati:

3

110ln .x C

x

2.1.15.3

2.

xdx

x

Rezultati:

2

1.

xC

x

2.1.16.2

3

( 1).

xdx

x

Rezultati:

2

2 1ln .

2x C

x x

2.1.17.2

2

( 1)( 3).

3

x xdx

x

Rezultati:

2 1ln .

6 3

x xx C

x

2.1.18.34

1 1.dx

x x

Rezultati: 42 4 .x x C

2.1.19.3( 1)

.x

dxx

Rezultati:

23 6 ln .

3

x xx x x C

2.1.20.

dxx

xxx3

)1)((. Rezultati: Cxx 67613

76

136

.

2.1.21. 4 32

1.x x x x dx

x Rezultati:

53 2 7 32 3 1

.5 3 7

xx x C

x

2.1.22.2

11 .x xdx

x Rezultati:

2

4

4( 7).

7

xC

x

2.1.23. .b

ax dxx

Rezultati: 21

ln .2

ax b x C

2.1.24.1

.x

x

edx

e

Rezultati: .xx e C

2.1.25.2

1 .x

x ee dx

x

Rezultati:

1.xe C

x

138

2.1.26.3

1 .x

x aa dx

x

Rezultati:

2.

ln

xaC

a x

2.1.27. 3(3 ) .x xe dx Rezultati: 33.

ln3

xxe C

2.1.28.2

cos2.

cos sin

xdx

x x Rezultati: .ctgx tgx C

2.1.29. 2 .ctg xdx Rezultati: .ctgx x C

2.1.30.2 2

.sin cos

dx

x x Rezultati: .tgx ctgx C

2.1.31.2

2

3 2.

cos

ctg xdx

x

Rezultati: 3 2 .tgx ctgx C

2.1.32.

13 2

2

3.

x xdx

x

Rezultati: .

322

2

Cxx

x

2.1.33.31 21

3 32 2 .x x x dx

Rezultati:17 19 10

316 6 36 72 122 .

17 19 5x x x x C

2.1.34.31 1

2 2 .a x dx

Rezultati: .

52

23

2 2

522

1

2

3

2

3

Cxxaaxxa

2.1.35. 2cos .xdx Rezultati:sin 2

.2 4

x xC

2.1.36. 2 2(cos sin ) .x x dx Rezultati:sin 2

.2

xC

2.1.37. sin cos .x xdx Rezultati:cos2

.4

xC

2.1.38. 2cos 3 .xdx Rezultati:sin 6

.2 12

x xC

2.1.39.1

2(1 cos ) .x dx Rezultati: 2 2 cos .2

xC

2.2. Integrimi me metodën e zëvendësimit

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë )(uF funksion primitiv i funksionit)(uf dhe )(xu funksion i derivueshëm. Nëse ekziston funksioni i përbërë

139

( ( )),F x atëherë ))(( xF është funksion primitiv i funksionit '( ( )) ( ),f x x d.m.th.

'( ( )) ( ) ( ( )) .f x x dx F x C

D e t y r a t ë z g j i d h u r a

2.2.1. Njehsoni .sin

dx

xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën

2cos

2tg2

2cos

2sin2sin 2 xx

dxxx

dx

x

dx

e pastaj zëvendësojmë ,

2cos22 2

dtx

dxt

xtg kemi

2

ln | | ln tg ( ).sin 22 tg cos

2 2

dx dx d xt C C x k

x xx t

2.2.2. Njehsoni .cos

dx

xZgjidhje: Sipas detyrës 2.2.1, kemi

ln tg .cos 2 4 2

sin2

dx dx xC x k

xx

2.2.3. Njehsoni2

.3 2 5

dx

x x Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën

2 222

1 1 1,

2 53 2 5 3 3 31 1 5 1 143 3 3 9 3 3 9

dx dx dx dx

x x x x x x

e pastaj zëvendësojmë ,314

314

31

dtdxtx kemi

Ctt

dt

t

dt

xx

dx

arctg14

1114

9314

31

914

914

314

31

523 22

2

140

13

1 1 3 13arctg arctg .

14 14 14 14

xx

C C

2.2.4. Njehsoni2.

3 5

dx

x xZgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën

1009

1035

1

535

153 2

22

x

dx

xx

dx

xx

dx

e pastaj zëvendësojmë ,103

103

103

dtdxtx kemi

132

19100

103

51

1009

1009

103

51

53 222

2 t

dt

t

dt

t

dt

xx

dx

101 12 1 1 1 1 6 103ln ln ln .

103 2 1 3 3 101 13

xt xC C C

t xx

.

2.2.5. Njehsoni2

.1 3

dx

x x

Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën

31

313

1

31

313

1

31 222

xx

dx

xx

dx

xx

dx

22

61

36133

1

31

361

613

1

x

dx

x

dx

e pastaj zëvendësojmë1 13 13

,6 6 6

x t dx dt kemi:

2 2 2

131 1 63 31 3 13 1 13 13

36 6 36 6

dtdx dx

x xx t

141

2

1 13 6 1 1 6 1arcsin arcsin .

63 13 3 3 131

dt xt C C

t

2.2.6. Njehsoni2

.2 3 1

dx

x x

Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën

21

169

432

1

21

232

1

132 22

2

x

dx

xx

dx

xx

dx

161

432

12

x

dx


,4 4 4

x t dx dt kemi:

Cttt

dt

t

dt

xx

dx

1ln2

1

12

1

161

161

41

2

1

132

2

22

2

.1)34(34ln2

1 2 Cxx

2.2.7. Njehsoni2

.4 4 5

dx

x x

Zgjidhje:Integralin e dhënë e transformojmë në formën

1212

1

544 22

x

dx

xx

dx

e pastaj zëvendësojmë1

,2

x t dx dt kemi

2 2

2 2

1 1 1 1 5ln 1 ln .

2 2 2 2 44 4 5 1

dx dtt t x x x C

x x t

2.2.8. Njehsoni 2 2 .a x dxZgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x a t dx a tdt kemi :

2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2sin cos cos

2 2

ta x dx a a a t tdt a tdt a dt

142

2 1sin 2 .

2 2

at t C

Meqenëse sin arcsin ,x

x a t ta

atëherë

2 22 2

2

2sin 2 2sin cos 2 sin arcsin 1 2 1 .

x x x x xt t t a x

a a a a a

Rrjedhimisht2 2

2 2 2 22

1 1 2sin 2 arcsin

2 2 2 2

a a x xa x dx t t C a x C

a a

22 2arcsin .

2 2

a x xa x C

a

2.2.9. Njehsoni 21 4 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në këtë formë:

dxxdxxx 22 )2(541

e pastaj zëvendësojmë dtdxtx 552 dhe zbatojmë rezultatin egjetur në detyrën 2.2.8, kemi

dttdxxdxxx 222 15)2(541

21 25arcsin ( 2) 1 4 .

2 5

xx x x C

D e t u r a m e r e z u l t a t e

2.2.10.2

.1

dx

x x Rezultati: .3

12arctg

3

2C

x

2.2.11.2

.7 12

dx

x x Rezultati:4

ln .3

xC

x

2.2.12.2

.1

dx

x x Rezultati: 21

ln 1 .2

x x x C

2.2.13.2

.5 4

dx

x x Rezultati:

1 5 2arcsin .

25

xC

2.3. Integrimi në pjesë

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Integrimi me pjesë bëhet sipas kësaj formule:.udv u v vdu

143


2.3.1. Njehsoni 2 ln .x xdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë,

32( ln ) ,

3

dx xu x dv x dx du v

x

kemi

2 3 2 3 31 1 1 1ln ln ln .

3 3 3 9x xdx x x x dx x x x C

2.3.2. Njehsoni 2 .xxe dxZgjidhje: Integrojmë me pjesë 2 21

( )2

x xu x dv e dx du dx v e

dhe

kemi

2 2 2 21 1 1(2 1) .

2 2 4x x x xxe dx xe e dx e x C

2.3.3. Njehsoni .x arctgxdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë

2

2( ) ,

1 2

dx xu arctgx dv xdx du v

x

kemi

dxx

xarctgx

xxarctgxdx 2

22

121

2

2 1.

2 2

x xarctgx C

2.3.4. Njehsoni sin .xe xdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë ( sin ) ( cos ),x xu e dv xdx du e dx v x kemi

sin cos cos .x x xe xdx e x e xdx Përsëri integrojmë me pjesë ( cos ) ( sin ),x xu e dv xdx du e dx v x kemi

xexexdxexexdxe xxxxx sincoscoscossin xdxex sin

1sin (sin cos ) .

2x xe xdx e x x C

2.3.5. Njehsoni .ln

2 dxx

x

Zgjidhje: Integrojmë me pjesë2

1ln ,

dx dxu x dv du v

x x x

kemi:

144

.1lnln1lnln 2

2 Cxx

xdxx

x

x

x

dx

xx

xdx

x

x

2.3.6. Njehsoni .22 dxax

Zgjidhje: Vejmë 2 2

2 2,

xdxu x a dv dx du v x

x a

kemi:

dx

ax

aaxaxxdx

ax

xaxxdxax

22

22222

22

22222

22

2

22

2222 )(

ax

dxadx

ax

axaxx

2 2 2 2 2

2 2.

dxx x a x a dx a

x a

Meqenëse 2 2

2 2ln ,

dxx x a C

x a

atëherë

dxax 22 dxaxaxx 2222 Caxxa 222 ln

dxax 22 22

21

axx 2

2 2ln .2

ax x a C

2.3.7. Njehsoni 2 3 2 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën

dxxdxxx

41

23

232

2

e pastaj zëvendësojmë3

,2 2 2

t dtx dx kem

22 23 1 1

3 2 12 4 4

x x dx x dx t dt

2 21 1 11 ln 1 .

4 2 2t t t t C

.2323281

23)32(41 22 Cxxxxxx

2.3.8. Njehsoni .22 dxax

Zgjidhje:Vejmë 2 2

2 2,

xdxu x a dv dx du v x

x a

kemi:

145

dx

ax

aaxaxxdx

ax

xaxxdxax

22

22222

22

22222

22

2

22

2222 )(

ax

dxadx

ax

axaxx

2 2 2 2 2

2 2.

dxx x a x a dx a

x a

Meqenëse 2 2

2 2ln ,

dxx x a C

x a

atëherë

dxax 22 dxaxaxx 2222 Caxxa 222 ln

dxax 22 22

21

axx Caxxa

222

ln2

.

2.3.9. Njehsoni 2 2 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën

dxxx 22 dxx

47

21

2


,2 2 2

x t dx dt kemi

22 21 7 7

2 12 4 4

x x dx x dx t dt

1

21

47 2tt Ctt

1ln

21 2

2 21 7 2 1 2(2 1) 2 ln 2 .

4 8 7 7

xx x x x x C

D e t y r a m e r e z u l t a t e

2.3.10. arcsin .xdx Rezultati: 2arcsin 1 .x x x C

2.3.11. sin .x xdx Rezultati: sin cos .x x x C

2.3.12. cos3 .x xdx Rezultati:sin3 cos3

.3 9

x x xC

2.3.13. .x

xdx

e Rezultati:1

.x

xC

e

146

2.3.14. 2 .xx dx Rezultati:2

ln 2 1.

2 ln 2x

xC

2.3.15. 2 3 .xx e dx Rezultati:3

2(9 6 2) .27

xex x C

2.3.16. 2( 2 5) .xx x e dx Rezultati: 2( 5) .xe x C

2.3.17. sin cos .x x xdx Rezultati:cos2 sin 2

.4 8

x x xC

2.3.18. cos .x xdx Rezultati: sin cos .x x x C

2.3.19. ( 1) .xx e dx Rezultati: .xxe C

2.3.20. 2( 2 3)cos .x x xdx Rezultati: 2( 1) sin 2( 1)cos .x x x x C

2.4. Integrimi i funksioneve racionale

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Funksioni i formës)()(

)(xq

xpxf ku qp,

janë polinome quhet funksion racional . Nga algjebra lineare dihet se çdo funksionracional mund të paraqitet si shumë e një polinomi dhe një funksioni dhe një numritë fundmë funksionesh elementare racionale. Prandaj duke zbatuar vetitë eintegralit të pacaktuar,integrali i funksionit racional paraqitet si shumë e integralittë një polinomi dhe një numri të fundmë integralesh të funksioneve elementareracionale. Të shtojmë se integralet e mëposhtme :

(1) .A

dxx a

(2) ( 2).( )k

Adx k

x a

(3) 22

( 4 0).Ax B

dx p qx px q

(4)

222

( 2 4 0).Ax B

dx k p qx px q

,

janë integralet e funksioneve elementare racionale .


147

2.4.1. Njehsoni .

1 2x

dx

Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2 xxx atëherë funksionin nënintegralmund ta shkruajmë në formën

BAxBABxBAxAx

B

x

A

x

)(11

1111

2

1( 0) ( 1) .

2A B A B A B

Rrjedhimisht

2

1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln .

1 2 1 2 1 2 2 1

dx dx dx xx x C C

x x x x

2.4.2. Njehsoni

.45

122 dx

xx

x

Zgjidhje: Meqenëse ),4)(1(452 xxxx atëherë

BBxAAxxx

B

x

A

xx

x

4124145

122

)14()2()4()(12 BABABAxBAx).3()1( BA

Rrjedhimisht3

2

2 1 ( 4)3 ln( 1) 3ln( 4) ln .

5 4 1 4 1

x dx dx xdx x x C C

x x x x x

2.4.3. Njehsoni 2 3

.5 4

xdx

x

Zgjidhje: Kemi:

dxx

dxx

xdx

x

x

54

157

251

5432

51

4532

1 7 1 7 42 2 ln .

45 5 5 5 55

dxdx x x C

x

2.4.4. Njehsoni3 22 7 4 2

.2 3

x x xdx

x

Zgjidhje: Kemi

148

3 2 3 222 7 4 2 1 2 7 4 2 1 5

2 4 23 32 3 2 22 2

x x x x x xdx dx x x dx

x x x

2

35242

2

1 2

x

dxdxxdxdxx

Cxxxx

23

ln522

43

221 23

32 5 3

ln .3 2 2

xx x x C

2.4.5. Njehsoni2

3 4.

6

xdx

x x

Zgjidhje: Zerot e trinomit 62 xx janë 21 x dhe 2 3.x Prandaj

32)3)(2(43

643

2

x

B

x

A

xx

x

xx

x

3 4 ( 3) ( 2) 3 4 3 2x A x B x x Ax A Bx B 3 4 ( ) 3 2 3 3 2 4x A B x A B A B A B

.12423

3

BABA

BA

Prej nga rrjedh se

2

3 4 22ln 2 ln 3 .

6 2 3

x dxdx dx x x C

x x x x

.

2.4.6. Njehsoni2

5 7.

(2 4 6)

xdx

x x x

Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën:

dx

xxx

x

)642(75

2 2

1 5 7.

2 ( 2 3)

xdx

x x x

Meqenëse zerot e trinomit 0322 xx janë: ,1,3 21 xx 322 xx( 3)( 1).x x Prandaj

13)1)(3(

75

x

C

x

B

x

A

xxx

x

)3()1()1)(3(75 xCxxBxxxAx

CxCxBxBxAAxAxx 33275 222

149

)3()32()(75 2 AxCBAxCBAx ( 0) ( 2 3 5) ( 3 7)A B C A B C A

7,

3A 3,C .

32

B

Prej nga2

5 7 7 1 2 1 3.

( 2 3 3 3 3 1

x

x x x x x x

Rrjedhimisht

13

332

37

21

)32(75

21

2 x

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

x

1 7 2ln | | ln | 3 | 3ln | 1|

2 3 3x x x C

7 1 3ln | | ln | 3 | ln | 1|

6 3 2x x x C

7 26 7 33 6

9

( 3)ln ln 3 ln ( 1) ln .

( 1)

x xx x x C C

x

2.4.7. Njehsoni 1892 23

2

xxx

dxx.

Zgjidhje: 3 2 2 22 9 18 ( 2) 9( 2) ( 2)( 9) ( 2)( 3)( 3),x x x x x x x x x x x prandaj

332)3)(3)(2(

2

x

C

x

B

x

A

xxx

x

)3)(2()3)(2()3)(3(2 xxCxxBxxAx

.2

3,3rep

10

3,3rep

5

4,2rep

Cx

Bx

Ax

Rrjedhimisht3

123

31

103

21

54

1892 23

2

xxxxxx

x dhe

2

3 2

4 3 3ln 2 ln 3 ln 3 .

2 9 18 5 10 2

x dxx x x C

x x x

2.4.8. Njehsoni

2 2.

(3 15 18)

xdx

x x

150

Zgjidhje: Meqenëse

2222 )65(9

1

)65(9 xx

xdx

xx

xdx dhe meqenëse

zerot e trinomit 0652 xx janë 1 22, 3,x x atëherë

3)3(2)2()3()2( 2222

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

)3()2()2()3)(2()3( 2222 xxDxCxxBxAx.5,3,5,2 DCBA

Prej nga

35

)3(3

25

)2(2

)65( 2222

xxxxxx

x

dhe

35

)3(3

25

)2(2

)65( 2222 x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

xx

xdx

Rrjedhimisht

2 2

1 1 2 35ln | 2 | 5ln | 3 | .

9 ( 5 6) 9 2 3

xdxx x C

x x x x

2.4.9. Njehsoni .

)52( 2 xxx

dx

Zgjidhje: Meqenëse trinomi ,0522 xx nuk ka zero reale, atëherë

52)52(1

22

xx

CBx

x

A

xxx

xCBxxxA )()52(1 2 2 1 1 2

1 ( ) (2 ) 5 , ,5 5 5

A B x A C x A A B C

5252

51

51

)52(1

22

xx

x

xxxx

2 2

1 1 1 2.

( 2 5) 5 2 5

x

x x x x x x

2 2

1 2ln .

( 2 5 5 2 5

dx xx dx

x x x x x

Meqenëse

5252

)22(21

522

222 xx

dx

xx

dxxdx

xx

x

atëherë

151

52( 2 xxx

dx

5252)22(

21

ln51

22 xx

dx

xx

dxxx .

Tani nga se

52

)22(21

2 xx

dxx 21ln | 2 5 |

2x x C

2 2 2

1 2 1 1 1 1arctg

22 5 ( 1) 4 2 1 2 2 2

x tdx dx dt xt arctg

dx dtx x x t

rrjedh se

2 2

1 1 1ln .

( 2 5) 5 2 22 5

dx x xarctg C

x x x x x

2.4.10. Njehsoni4

.1

dx

x Zgjidhje: Meqë 4 2 2 21 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1),x x x x x x atëherë

4 2

1 1 1 1, , 0,

1 1 1 1 4 4 2

A B Cx DA B C D

x x x x

11

21

11

41

11

41

11

24

xxxx

4

1 1 1ln | 1| ln | 1|

1 4 4 2

dxx x arctgx C

x

44

1 1ln .

1 1 2

dx xarctgx C

x x

2.4.11. Njehsoni6 4 2

3 2 2

4 2.

( 1)

x x xdx

x x

Zgjidhje: Meqenëse

1)1()1(24

22223223

246

x

GFx

x

EDx

x

C

x

B

x

A

xx

xxx

)1()1()1(24 222222246 xCxxBxxAxxx323 )1)(()( xxGFxxEDx

456246 )2()()(24 xFDCAxGBxFCxxx ABxxCAxGEB 23 )2()2(

2, 0, 0, 2, 0, 1, 0.A B C D E F G Prej nga

1)1(2

2)1(

242223223

246

x

xdx

x

xdx

x

dxdx

xx

xxx

152

2 22 2 2 2

1 1 1 1ln( 1) ln 1 .

1 2 ( 1)x C x C

x x x x


2.4.12.3 2

1.

6

xdx

x x x

Rezultati:

3

10

1 2

6 15

( 2)ln .

( 3)

xC

x x

2.4.13.3 2

3 5.

1

xdx

x x x

Rezultati:

1 1 4ln .

2 1 1

xC

x x

2.4.14.2

4 7.

6

xdx

x x

Rezultati: 3ln ( 2) ( 3) .x x C

2.4.15.2

.6 13

dx

x x Rezultati:1 3

.2 2

xarctg C

2.4.16.2

.5

dx

x x Rezultati:1

ln .5 5

xC

x

2.4.17.2

4.

( 1)( 1)

xdx

x x Rezultati:1 1 1

ln .4 1 2( 1)

xC

x x

2.4.18.2

.5 6

dx

x x Rezultati: ln( 3) ln( 2) .x x C

2.4.19.2

3

1.

xdx

x x

Rezultati:

1ln .x C

x

2.4.20.5 2

.dx

x x

Rezultati:2

2

1 1 ( 1) 1 2 1ln .

6 1 3 3

x xarctg C

x x x

2.4.21.3 2

2

3 5 7.

2

x x xdx

x

.

Rezultati: 2 21 3 13 ln( 2) .

2 2 2 2

xx x x arctg C

2.4.22.2 2

.( 1)

dx

x x Rezultati:2

2 2

1 1ln .

2 1 2( 1)

xC

x x

2.4.23.3

.8

dx

x Rezultati: 21 1 1 1

ln( 2) ln( 2 4) .12 24 4 3 3

xx x x arctg C

153

2.4.24.2 2

1.

( 1)( 9)

xdx

x x

Rezultati:2

2

1 1 1 1ln .

16 9 8 24 2

x xarctgx arctg C

x

2.4.25.2

3

2.

1

xdx

x

Rezultati:

2 2 1ln( 1) .

3 3

xx arctg C

2.4.26.3

.1

dx

x Rezultati:2

2

1 ( 1) 1 2 1ln .

6 1 2 2

x xarctg C

x x

2.4.27.2 4

.( 1)

dx

x x Rezultati:1 1 1 1

ln .4 1 2

xarctgx C

x x

2.4.28.4 3

.( 1)

dx

x x Rezultati: 3 33

1ln | | ln | 1| .x x C

x

2.5. Integrimi i funksioneve irracionale

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e:

(1) Integralet e tipit , ,..., ( , ,..., , ),m r

n sR x x x dx m n r s

ku R është funksion

racional në lidhje me , ,..., .m r

n sx x x Këto integrale shndërrohen në integrale tëfunksioneve irracional me zëvendësimin ,ktx ku k është shumëfishi më i vogël ipërbashkët për .,..., sn

(2) Integralet e tipit , ,..., ( , ,..., , ),

m r

n sax b ax bR x dx m n r s

cx d cx d

ku R

është funksion racional në lidhje me , ,..., .

m r

n sax b ax bx

cx d cx d

Këto integrale

shndërrohen në integrale të funksioneve racionale me zëvendësimin ,ktdcx

bax

ku

k është shumëfishi më i vogël i përbashkët për .,..., sn


2.5.1. Njehsoni3

3.

xdx

x x x xZgjidhje: Zëvendësojmë ,6 56 dttdxtx kemi

154

dx

xxxx

x3

3

Ct

t

tt

dt 1ln6

)1(6 .

1ln6

6

6

Cx

x

2.5.2. Njehsoni2

2 1.

xdx

x

Zgjidhje: Zëvendësojmë ,12 2 tdtdxtx kemi

dxx

x

2

12 2 2

2 2 2 2

44 .

( 1) ( 1)

t tdt dt

t t

Meqenëse

1)1(1)1()1()1()1( 2222

2

22

2

t

D

t

C

t

B

t

A

tt

t

t

t

)1()1()1()1()1()1( 22222 ttDtCttBtAt

.41

,41

,41

,41

DCBA

dxx

x

2

12

dtt

t22

2

)1(

4

14

1

)1(4

12 t

dt

t

dt4

14

1

)1(4

12

t

dt

t

dt

Ctt

tt

|1|ln1

1|1|ln

1

1

Ct

t

t

tC

t

t

t

t

1

1ln

1

2

1

1ln

1

222

2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1ln ln .

2 1 1 2 1 1 2 1 1

x x x xC

x xx x

2.5.3. Njehsoni3

3

1 1.

1 1

xdx

x

Zgjidhje: Zëvendësojmë ,31 23 dttdxtx kemi

dx

x

x3

3

11

11

dtt

ttdtt

t

t

13

1

13

322

Ctttt

|1|ln22

33 2

3

.)11ln(12)1(3

13 2333 2 Cxxx

x

155

2.5.4. Njehsoni 37 4 .x x dxZgjidhje: Zëvendësojmë 3 24 3 ,x t dx t dt kemi

dxxx 3 47 dtttt 23 )4(37 CttCt

t )7(34

843 344

7

.4)12(3)3)(4(43 323 Cxxxxxx

2.5.5. Njehsoni2

1 1.

xdx

x x

Zgjidhje: Zëvendësojmë 22 2 2

1 1 2,

1 ( 1)

x tt x dx dt

x t t

kemi

332 2 2

2 2 2

1 1 2 12 ( 1) 2 2 .

( 1) 3 3

x t t xdx t t dt t dt C C

x x t x

2.5.6. Njehsoni4

3.

xdx

x xZgjidhje: Zëvendësojmë 12 1112 ,x t dx t dt kemi

dxxx

x 3

4

dt

tt

tdtt

tt

t

)1(1212 24

1411

64

3

dt

t

t

112

2

10

Ctarctgttttt

357912

3579

.121245

127

1234 1212412 512 74 3 Cxarctgxxxxx

2.5.7. Njehsoni3

.1 1

xdx

x x Zgjidhje: Zëvendësojmë 6 6 51 1 6 ,x t x t dx t dt kemi

113 xx

xdx

Ctttttt

dtttt

t

4567896

16

4567895

32

6

6 73 43 )1(76

)1(43

)1(32

xxx

.)1(23

)1(56

)1( 3 26 5 Cxxx


2.5.8.34

1 1.dx

x x

Rezultati: 42 4 .x x C

156

2.5.9.3( 1)

.x

dxx

Rezultati: .ln63

32

Cxxxxx

2.5.10.3

( )(1 ).

x x xdx

x

Rezultati: .

76

136 67613 Cxx

2.5.11. 4 32

1.x x x x dx

x

Rezultati: .1

73

32

53723

5

Cx

xxx

2.5.12.2

11 .x xdx

x Rezultati: .

7

)7(44

2

Cx

x

2.5.13. .1 1

xdx

x Rezultati:2

(1 ) 1 1 .3

x x C

2.5.14. .( 1) 1

dx

x x Rezultati:1 1 2

ln .2 1 2

xC

x

2.5.15.1 1

.1

xdx

x x

Rezultati:1 1 1

ln .11 1

x x xarctg C

xx x

2.5.16.4

.dx

x x Rezultati: 4 42 4 4ln 1 .x x x C

Integrali i formës 2( , ) .R x ax bx c dx Njehsimi i integraleve të kësaj forme

bëhet me zëvendësimet e Eulerit:

( )a Nëse 0a merret zëvendësimi 2 .ax bx c t ax

( )b Nëse 0c merret zëvendësimi 2 .ax bx c xt c

( )c Nëse ))(( 212 xxxxacbxax merret zëvendësimi

21( )ax bx c x x t ose .)( 2

2 txxcbxax


2.5.17. Njehsoni2

.4 4

dx

x x x

Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi xtxx 442

157

2 2 22

2

4 4 4 4 44 4 ,

2( 2) 2( 2) 2( 2)

t t t t tx x x dx dt

t t t

kemi

442 xxx

dx.

244

242

2

2 Cxxx

arctgct

arctgt

dt

2.5.18. Njehsoni2

.( 1) 1

dx

x x x

Zgjidhje:Meqenëse ,01c merret zëvendësimi 11 2 txxx2 2

22 2 2 2

1 2 1 2( 1)1 ,

1 1 ( 1)

t t t t tx x x dx

t t t

kemi

222 2 ( 1)

2 2( 1) 1

dx dtarctg t C

t tx x x

.111

22

Cx

xxarctg

2.5.19. Njehsoni2

.7 10

xdx

x x

Zgjidhje: Meqenëse ),2)(5(1072 xxxx merret zëvendësimi

1

3107

125

)5(107 22

2

22

t

txx

t

txtxxx

2 2

6,

( 1)

tdx

t

kemi

2

2 22

5 2 32 7

( 1) 17 10

xdx t tdt arctg t C

t tx x

.29142

)5)(2(352

7 2 Cxx

xx

x

xarctg

2.5.20. Njehsoni2

.2 3

dx

x x x

Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi xtxx 322

3 2 22

2

3 2 3 1 2 32 2 ,

2(1 ) 2(1 ) 2 (1 )

t t t t tx x x dx

t t t

kemi

2

2 2 22

1 ( 2 3) 2(1 ) 2(1 )

2 (1 ) ( 3)( 2 3)2 3

dx t t t tdt

t t t tx x x

158

2

1 3 1 32 2 ln ln

3 2 3 3 3 3

dt t tC C

t t t

.332

332ln

3

12

2

Cxxx

xxx

2.5.21. Njehsoni .11

112

2

dxx

x

Zgjidhje: Meqenëse ,01a zëvendësojmë

t

txtxx

21

12

2

dt

t

tdx

t

tx 2

222

21

21

1 dhe kemi:

2 2 2 3 2

2 2 22

1 1 ( 2 1)( 1) 1 1 4 2 1

( 2 1) 2 2 ( 1)1 1

x t t t t t tdx dt t dt

t t t t tx

dtttt

t 22 )1(841

21

21

Ct

tt

t

1

4||ln2

21

21

.1222

)1ln(222

2 Cx

xxxxx

2.5.22. Njehsoni2

.3 2

dx

x x x

Zgjidhje: Meqenëse ),1)(2(232 xxxx integrali i dhënë zgjidhet

me zëvendësimin )2()1)(2( xtxx

222

2

)1(2

112

t

tdtdx

t

tx

22

3 2 .1

tx x

t

Kemi:

2 2

2 2 2 22

2 ( 1)( 1)2 2 2

( 1) (2 1) 2 13 2

dx t t t dtdt arctg t C

t t tx x x

.2

12222 C

x

xarctgtarctg

2.5.23. Njehsoni2

2

1 1.

1 1

xdx

x

159

Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2 xxx atëherë merret zëvendësimi

2222

2

22

)1(4

12

111

)1(1t

tdtdx

t

tx

t

txxtx

dhe kemi

2 22

2 2 2 222 2

2

21 4

1 1 ( 1)14

2 ( 1) ( 1)1 1 1 ( 1)1

tt

x ttdx dt dt

t t tx tt

Ctarctgtt

)1(21

11

4 2

.1

1

11

12

1

11

1

14

2

22

2C

x

xarctg

x

xx

x


2.5.24.2

.1

dx

x x x Rezultati:

2

2

1 1ln .

1 1

x x xC

x x x

2.5.25.2

.1

dx

x x

Rezultati: 2 2 21 1( 1 ) ln 1 .

4 2x x x x C

2.5.26.2 2

.( 1) 4

dx

x x

Rezultati:2 2

2 2

1 1 4 5ln .

2 5 1 4 5

x x xC

x x x

2.5.27.2

.1 2

dx

x x x Rezultati:

2

2

1 2 2 1ln .

1 2 2 1

x x xC

x x x

2.5.28.2

.4

dx

x x x Rezultati:

24.

2

x xC

x

160

2.5.29.2

.3 5 8 4

dx

x x x

Rezultati: 319ln( 1) 12 13ln( 1) 5ln( 5) ,

39t arctg t t t C ku

25 8 4.

12

2

x xt

x

2.5.30.2

.1

dx

x x Rezultati:

2ln .

1 1

xC

x

2.5.31.2

.5 2

dx

x x Rezultati:

2

1ln .

5 5 5 2

xC

x

2.5.32.2

.( 2) 6 1

dx

x x x Rezultati: .

)2(8

5arcsin

7

1C

x

x

Integrimi i diferencialit binomial. Integrali i formës: dxbxax pnm )( ku

, ,m n p quhet integral i diferencialit binomial. Integralet e kësaj formereduktohet në integral të funksionit racional në këto raste :(1) Nëse ,p në këtë rast merret zëvendësimi stx ku s është emëruesi i

përbashkët për m dhe .n

(2) Nëse 1,

m

n

merret zëvendësimi sn tbxa ku s është emëruesi i .p

(3) Nëse 1,

mp

n

merret zëvendësimi

ns

n

a bxt

x

ku s është emëruesi i .p

2.5.33. Njehsoni 231 .x x dx

Zgjidhje: Meqenëse ,2p zëvendësojmë ,6 56 dttdxtx dhe kemi

82

5 332 2 2

6 31 6 4 18 21

( 1) 5 1

t dt tx x dx t t t arctg t C

t t

.211

3184

56 6

3

666 5 Cxarctg

x

xxxx

2.5.34. Njehsoni 5 2 2 / 3(1 ) .x x dxZgjidhje: Zëvendësojmë ,321 232 dttxdxtx kemi

dxxx 3/225 )1( 4 3 2 11 8 53 3 3 3( 1)

2 22 8 10t t dt t t t C

161

.)1(103

)1(83

)1(223 3 523 823 112 Cxxx

2.5.35. Njehsoni2 3 23

.(1 )

dx

x x

Zgjidhje:Zëvendësojmë2

3 3

3 431 ,

( 1)

t dtx t dx

t

kemi

3 3

2 3 23

1.

(1 )

dx xdt C

xx x

2.5.36. Njehsoni3 41

.x

dxx

Zgjidhje:Meqenëse ,21

41

31

21

n

mnpm merret zëvendësimi

3 4 2 3 3( 1) 12 ( 1) ,x t dx t t dt kemi

3 3 33 46 3 7 4

3 2

1 ( 1) 1212 12 ( ) 3

( 1) 7

x t tdx dt t t dt t t C

tx

.1317

12 43 4

73 4 Cxx

2.5.37. Njehsoni

.1

322 xx

dx

Zgjidhje: Meqenëse1 1 1

2 ,2

m mp

n n

merret zëvendësimi

1

11

2

222

uxxux

32 2

,

( 1)

ududx

u

kemi:

3 32 22 23

2 2 23 3 3

2 2

22 22 2

1 1( 1)

11 111 11 1

udu udu

u udxx x dx

ux x u u uu u

2

2 1

du

u

u

2 2

2 2

1 1 1.

1

u x xdu u C C

u u xx


162

2.5.38.3

3 2 2(1 2 ) .x x dx

Rezultati: Cx

x

2

2

21

121

.

2.5.37.44

.1

dx

x Rezultati: .1

21

11

11ln

41 4 4

4 4

4 4

Cxarctgx

x

2.5.38.4 2

.1

dx

x x Rezultati:

2 2

3

(2 1) 1.

3

x xC

x

2.5.39.3 5

.1

dx

x x

Rezultati:2

3 52

1 ( 1) 3 2 1ln , ku 1 .

10 1 5 3

t tarctg C t t

t t

2.5.40.2 3 5/ 3

.(2 )

dx

x x Rezultati:3

3 2 / 3

4 3.

(2 )

xC

x x

2.5.41.33 34

.1

dx

x x Rezultati:

23

432 1 .x C

2.5.42. 3 4 .x x dxRezultati: 2 3 21 1 2 1

( ) ln 1 .3 8 8

xx x x x x x C

2.5.43.23

.(1 )

xdx

x

Rezultati:5 11 1/ 6

1/ 66 621/ 3

6 34 18 21 .

5 1

xx x x arctgx C

x

2.5.44.3 2

.1

xdx

x Rezultati: 35 3 23

2 3 , ku 1 .5

t t t C t x

2.5.45.5

2.

1

x dx

x Rezultati:

53 22

, ku 1 .3 5

tt t C t x

2.5.46.3 3

.1

dx

x

Rezultati:32 3

2

1 1 1 2 1 1ln , ku .

6 ( 1) 3 3

t t t xarctg C t

t x

2.6. Integrimi i funksioneve trigonometrike

163

D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e:

(1) Integralet e tipit sin ,cos ,R x x dx ku R është funksion racional në lidhje

me xsin dhe cos .x Këto integrale shndërrohen në integrale të funksioneve

racionale me ndihmën e zëvendësimit ).(2

xx

tgt

Këto integrale mund të zgjidhen edhe me zëvendësime tjera në këto raste:( )a Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR merret zëvendësimi .cos tx ( )b Nëse ),cos,(sin)cos,(sin xxRxxR merret zëvendësimi .sin tx ( )c Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR merret zëvendësimi .sin tx

(2) Integralet e tipit sin cos .m nx xdx Këto integrale shndërrohen në integrale

të funksioneve racionale kështu:( )a Nëse m është numër tek ,merret zëvendësimi .cos tx ( )b Nëse n është numër tek , merret zëvendësimi .sin tx ( )c Nëse ,m n janë numra çift natyror, zbatohen formulat

.2

2cos1cos

22cos1

sin 22 xx

xx

( )d Nëse ,m n janë numra çift me shenja të kundërta, merret zëvendësimittgx ose .tctgx

(3) Integralet e tipit: dxnsmx sinsin

dxnsmx cossin

cos cos .mx nsdxKëto integrale zgjidhen duke zbatuar formulat:

xnmxnmnxmx )cos()cos(21

sinsin

xnmxnmnxmx )cos()cos(21

coscos

xnmxnmnxmx )sin()sin(21

cossin


2.6.1. Njehsoni .3sin 4cos

dx

x x

164

Zgjidhje: Zëvendësojmë2

2 2 2

2 1 2sin cos ,

2 1 1 1

x t t dtt tg x x dx

t t t

atëherë

2

22

2 2

2 11 11 2ln

36 4(1 )3sin 4cos 2 5 2121 1

dttdx dtt C

t tx x tt tt t

11 2 2ln .5 2

2

xtg

Cx

tg

2.6.2. Njehsoni 1 sin.

sin (1 cos )

xdx

x x

Zgjidhje: Zëvendësojmë2

2 2 2

2 1 2sin cos ,

2 1 1 1

x t t dtt tg x x dx

t t t

kemi

21 sin 1 1 12 ln | | 2

sin (1 cos ) 2 2 2

x tdx t dt t t C

x x t

.

.2

222

12

ln21 2 C

xtg

xtg

xtg

2.6.3. Njehsoni 1.

sin sin 2dx

x xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),b prandaj merret zëvendësimi

2

2sin cos 1 .

1

dtt x x t dx

t

Kemi:

Ct

t

ttt

dt

xx

dxdx

xx 1

1ln

2

1

2

1

)1(2

1

cossin2

1

2sinsin

1222

.sin1sin1

ln21

sin21

Cx

x

x

2.6.4. Njehsoni3

2

sin.

cos 1

xdx

x

Zgjidhje: Meqenëse3 3

2 2

( sin ) sin,

cos 1 cos 1

x x

x x

funksioni nënintegral është tek

sipas sin ,x prandaj zëvendësojmë cos sinx t xdx dt dhe kemi:3 2 2 2

2 2 2 2

sin sin 1 cos 1sin sin

cos 1 cos 1 1 cos 1

x x x tdx xdx xdx dt

x x x t

165

.)(cos2cos21

21 2 CxarctgxCarctgttdt

t

2.6.5. Njehsoni3

2

cos.

4sin 1

xdx

x Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është tek sipas cos ,x zëvendësojmë

dtxdxtx cossin dhe kemi:

dttt

dtt

tdx

x

x

121

83

121

83

41

141

1sin4cos

2

2

2

3

1 3 2 1 1 3 2sin 1ln sin ln .

4 16 2 1 4 16 2sin 1

t xt C x C

t x

2.6.6. Njehsoni2 2

2 3.

sin 2cos

tgxdx

x x

Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),c prandaj merret zëvendësimi tgx tdhe kemi:

22 2 2

2 3 2 3 3ln( 2) arctg

sin 2cos 2 2 2

tgx t tdx dt t C

x x t

2 3

ln( 2) arctg .2 2

tgxtg x C

2.6.7. Njehsoni2 2

.sin 4sin cos 5cos

dx

x x x x Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është çift sipas xsin dhe cos ,x

zëvendësojmë22 2

1sin cos

11 1

u dutgx t x x dx

uu u

dhe

kemi

1)2(54cos5cossin4sin 2222 u

du

uu

du

xxxx

dx

.)2( Ctgxarctg

2.6.8. Njehsoni3

6

cos.

sin

xdx

xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),b prandaj merret zëvendësimi

sint x dhe kemi:3

6 2 6 26

cossin cos cos sin (1 sin ) (sin )

sin

xdx x x xdx x x d x

x

)(sinsin 6 xxd Cxxxxd 354 sin31

sin51

)(sinsin

166

.sin5

1

sin3

153

Cxx

2.6.9. Njehsoni4

6

sin.

cos

xdx

xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),d prandaj merret zëvendësimi tgx tdhe kemi:

dxx

xtgdxx

x2

46

4

cos

1

cos

sin 54 ( ) .

5

tg xtg xd tgx C

2.6.10. Njehsoni 4 2sin cos .x xdxZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),c prandaj duke zbatuar formulat

2 21 cos2 1 cos2sin cos ,

2 2

x xx x

kemi

xdxx 24 cossin2

21 cos2 1 cos2 1(1 cos 2 )(1 cos2 )

2 2 8

x xdx x x dx

2 2 21 1 1sin 2 (1 cos2 ) sin 2 sin 2 cos2

8 8 8x x dx xdx x xdx

)2(sin2sin161

4cos1161 2 xxddxx

.48

2sin64

4sin16

2

Cxxx

2.6.11. Njehsoni sin 4 cos2 .x xdxZgjidhje: Meqenëse

1sin 4 cos2 (sin 6 sin 2 ),

2x x x x atëherë

1 1sin 4 cos2 (sin 6 sin 2 ) sin 6 (6 )

2 12x xdx x x dx xd x

1 1 1sin 2 (2 ) cos6 cos2 .

4 12 4xd x x x C

2.6.12. Njehsoni cos cos2 cos5 .x x xdxZgjidhje: Meqenëse

1 1cos cos2 cos5 (cos( ) cos3 )cos5 (cos cos5 cos3 cos5 )

2 2x x x x x x x x x x

1((cos( 4 ) cos6 ) (cos( 2 ) cos8 ))

4x x x x

1(cos2 cos4 cos6 cos8 ),

4x x x x

atëherë

167

xdxxx 5cos2coscos1

(cos2 cos4 cos6 cos8 )4

x x x x dx

.8sin321

6sin241

4sin161

2sin81

Cxxxx

5.6.13. Njehsoni .sin sin

dx

x a

Zgjidhje: Meqenëse ,22

coscos

axax

a atëherë

dx

ax

dx

sinsin

dxaxax

axax

a2

cos2

sin

22cos

cos21

sin1 2ln (cos 0 sin sin ).cos cos

2

x a

C a x ax aa

2.6.14. Njehsoni ( ) .tgxtg x a dxZgjidhje: Kemi

dxaxx

axxaxxdxaxtgtgx 1

)cos(cos)sin(sin)cos(cos

)(

Cax

xctgaxxdx

axx

a

)cos(

cosln

)cos(cos

cos

ku .0)cos(0cos axx

2.6.15. Njehsoni sin sin5 .x xdxZgjidhje: Kemi

.6sin121

4sin81

)6cos4(cos21

5sinsin Cxxdxxxxdxx

2.6.16. Njehsoni xdxx 5cos3cos .

Zgjidhje: Kemi

dxxxxxxdxx )]53cos()53[cos(21

5cos3cos

dxxxdxxx )8cos2(cos21

]8cos)2[cos(21

= .8sin161

2sin41

Cxx

168

2.6.17. Njehsoni xx

dx

2sinsin.

Zgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x t xdx dt kemi

2 2 2 2 2

cos 1

sin sin 2 2sin cos 2sin (1 sin ) 2 (1 )

dx dx xdx dt

x x x x x x t t

Ct

t

t

11

ln21

21

.sin1sin1

ln21

sin21

Cx

x

x

2.6.18. Njehsoni3sin

.2 cos

xdx

xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë cosx t

sin ,xdx dt kemi:3 2 2 2sin sin sin (1 cos )sin 1 3

22 cos 2 cos 2 cos 2 2

xdx x x x x tdx dx dt t dt

x x x t t

2

212 3ln | 2 | cos 2cos 3ln(cos 2) .

2 2

tt t C x x x C

2.6.19. Njehsoni dxxx

tgx

22 cos2sin

32.

Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë tgx t

2

1,

cosdx dt

x kemi:

22

2 2 2

(2 3)2 3 3cos ln | 2 | .sin 2cos 2 2 2

dxtgxtgx xxdx tg x arctg C

x x tg x

2.6.20. Njehsoni sin 5 sin 3 .x xdxZgjidhje: Kemi

1 sin8 sin 2sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .

2 16 4

x xx xdx x x dx C

2.6.21. Njehsoni xdxx 24 cossin .

Zgjidhje:Kemi2

4 2 (1 cos2 ) 1 cos2sin cos

4 2

x xx xdx dx

21

sin 2 (1 cos2 )8

x x dx

xdxxxdx cos2sin161

2sin81 22

3sin 4 sin 2.

16 64 48

x x xC .

169

2.6.22. Njehsoni sin 5 sin 3 .x xdxZgjidhje: Kemi

1 sin8 sin 2sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .

2 16 4

x xx xdx x x dx C

2.6.23. Njehsoni3

6

cos.

sin

xdx

xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë sin x t

cos ,xdx dt kemi:3

6 2 6 26

cossin cos cos sin (1 sin )cos

sin

xdx x xdx x x xdx

x

5 3

1 1... .

3sin 5sinC

x x

2.6.24. Njehsoni4

6

sin.

cos

xdx

xZgjidhje:Kemi

.5coscos

sin 5

24

6

4

Cxtg

x

dxxtgdx

x

x


2.6.25. .5 3cos

dx

x Rezultati:1

2 .2 2

xarctg tg C

2.6.26.

1 sin.

sin 1 cos

xdx

x x

Rezultati: 21 1

ln 2 .2 2 2 2 2

x x xtg tg tg C

2.6.27. .3 5cos

dx

x Rezultati: .2

2

22ln

41

Cx

tg

xtg

2.6.28.sin

.1 sin

xdx

x Rezultati:2

.1

2

x Cx

tg

2.6.29. 3sin .xdx Rezultati:3cos

cos .3

xx C

2.6.30. 4sin .xdx Rezultati:3 sin 2 sin 4

.8 4 32

x x xC

2.6.31. 3cos .xdx Rezultati: 31sin sin .

3x x C

170

2.6.32. 5sin .xdx Rezultati: 3 52 1cos cos cos .

3 5x x x C

2.6.33. 2 3sin cos .x xdx Rezultati:3 5sin sin

.3 5

x xC

2.6.34. 2 2sin cos .x xdx Rezultati:sin 4

.8 32

x xC

2.6.35. .(2 cos )sin

dx

x x Rezultati:2

3

1 (1 cos )(2 cos )ln .

6 (1 cos )

x xC

x

2.6.36.2 2

.4cos 9sin

dx

x x Rezultati:1 2

ln .24 2

tgxC

tgx

2.6.37.4

sin cos.

1 sin

x xdx

x

Rezultati: 21

sin .2

arctg x C

2.6.38.2

2

cos.

sin 4sin cos

xdx

x x xRezultati:

1 1ln | sin | ln | sin 4cos | .

17 4 16

xx x x C

2.6.39.3

4

sin.

cos

xdx

x Rezultati:3

1 1.

3cos cosC

x x

2.6.40.2

4

cos.

sin

xdx

x Rezultati: 31.

3ctg x C

2.6.41. 3 .tg xdx Rezultati:2

ln | cos | .2

tg xx C

2.6.42. sin cos .2 2

x xdx Rezultati:

3 5cos 3cos .

5 6 6

x xC

2.6.43.2 3

sin cos .3 2

x xdx Rezultati:

3 5 3 13cos cos .

5 6 16 6

x xC

2.6.44. sin cos2 sin3 .x x xdx Rezultati:sin2 sin4 sin6

.8 16 24 4

x x x xC

2.6.45. cos( )cos( ) .ax b ax b dx Rezultati:sin 2 cos2

.4 2

ax bxC

a

2.6.46. sin sin 2 sin 3 .x x xdx Rezultati:1 1 1

cos6 cos4 cos2 .24 16 8

x x x C

2.6.47.2

cos.

sin 6sin 5

xdx

x x Rezultati:1 5 sin

ln .4 1 sin

xC

x

2.6.48.3

sin.

(1 cos )

xdx

x Rezultati:2

1.

2(1 cos )C

x

171

2.6.49. .(2 sin )(3 sin )

dx

x x

Rezultati:2 1 3 12 12 2 .

3 3 2 2 2

x xtg tg

arctg arctg C

2.6.50.1 sin cos

.1 sin cos

x xdx

x x

Rezultati: 22ln .

12

xtg

x Cx

tg

2.6.51.3sin 2cos

.2sin 3cos

x xdx

x x

Rezultati:

12 5ln | 2sin 3cos | .

13 13x x x C

integrali i pacaktuar

Documents