Sadržaj

Uvod 2

1. Neodređeni integral 2

1.1 Primitivna funkcija i neodređeni integral 2

1.2 Osnovne osobine neodređenog integrala 31.3 Integral dobijen iz diferencijala 31.4 Tablica integrala 5

2. Metoda smene (supstitucije) 6

2.1 Podintegralna funkcija f(x)=t 62.2 Promenljiva x je funkcija od t x=f(t) 92.3 Dekompozicija podintegralne funkcije 14

Zakljucak 18

1

Uvod

Opštu metodu diferencijacije i integracije, zasnovanu na potpunom shvatanju inverznosti ova dva procesa, mogli su pronaći tek oni ljudi koji su ovladali kako geometrijskim metodama Grka i Kavaljerija tako i algebarskim metodama Dekarta i Volisa. Ti ljudi su se mogli pojaviti tek posle 1660. godine, i oni su se svakako pojavili u ličnostima Njutna i Lajbnica.

Ustanovljeno je da su oni do svojih metoda došli nezavisno jedan od drugog. Njutn je prvi utvrdio analizu (1665-1666), a Lajbnic (1673-1676), ali su radovi Lajbnica prvi štampani (1684-1686) dok su radovi Njutna štampani tek posle njegove smrti (1736). Škola Lajbnica bila je blistavija i plodotvornija.

U radovima Lajbnica koji su objavljeni u časopisu (1686-Acta Eruditorum) pod karakterističnim naslovom „Nova metoda za maksimalne i minimalne, kao i za tangente,gde razlomljene i iracionalčne funkcije nisu prepreka i naročit vid iyračunavanja toga“. Način izlaganja je težak i nejasan (na latinskom jeziku), ali članak sadrži naše današnje oznake i simbole dx i dy i pravila diferenciranja.

Jednačina cikloide bila je data u obliku:

y = +

U ovim radovima prvi put pojavljuje se simbol .

1. Neodređeni integral

1.1 Primitivna funkcija i neodređeni integral

U diferencijalnom računu uvek je bila data neka funkcija a tražio se njen izvod (prvi,drugi itd. već prema prirodi problema). U integralnom računu situacija je obrnuta: dat je iyvod neke funkcije, a traži se funkcija čiji je to izvod. Dakle pod integralenjem podrazumevamo računsku operaciju suprotnu traženju izvoda. Funkciju f’(x) nazivamo izvodom funkcije f(x). Funkciju f(x) nazivamo primitivnom funkcijom ili neodređenim integralom funkcije f’(x).

Neka su f(x) i F(x) dve funkcije takve da je:F’(x)=f(x)

tada kažemo da je f(x) izvod funkcije F(x). Za funkciju F(x) kažemo da je primitivna funkcija ili neodređeni integral funkcije f(x).

Za izvod smo upotrebljavali sledeću oznaku:(.............)’

2

U zagradu dolazi funkcija na koju se operacija ima primeniti. Znak za inverznu operaciju (znak za integral) je sledeći:

U zagradu dolazi funkcija na koju se operacija ima primeniti.

1.2 Osnovne osobine neodređenog integrala

Gde su f(x) i g(x) neprekidne funkcije.

1.3 Integral dobijen iz diferencijala

Naći izvod neke funkcije ili naći diferencijal te funkcije je tako reći potpuno isti problem; ako se traži diferencijal neke funkcije f(x) treba naci f’(x) i pomnožiti ga sa dx. Integralenje sa definiše i kao operacija suprotna diferenciranju. Ako je:

dF(x)=f(x)dxonda je f(x)dx diferencijal neke funkcije F(x). Funkcija F(x) je integral diferencijala f(x)dx.

Znak za diferencijal je:

U zagradu dolazi funkcija na koju se operacija primenjuje. Znak za inverznu operaciju (za integral je sledeći):

Iza oznake za integral dolazi deferencijal na koji se operacija ima primeniti. Npr:

Primedba I: Dakle bilo da integral shvatimo na prvi ili drugi način u pisanju se ta razlika ne ispoljava.Primedba II: Kako su integral i diferencijal uzajamno inverzne operacije one se poništavaju ako se istovremeno primene. Npr:

1.

3

2.

Izvod funkcije je jednoznačno određen. Ako je data funkcija f(x) postoji samo jedna funkcija koja je izvod date funkcije. Međutim obrnuto,ako je dat izvod primitivna funkcija nije jednoznačno određena. Npr:

Dakle postoji beskonačno mnogo funkcija koje inaju za izvod funkciju 2x. Sve se one razlikuju za jednu aditivnu konstantu. Ovo je i geometrijski jasno:

Sve krive linije iz familije

dobijaju se paralelnim pomeranjem u pravcu ose 0y (dizanjem i spuštanjem) jedne iste krive. Sve krive na mestu imaju isti izvod jer su im tangente u tim tačkama međusobno paralelne.

Uopšte, ako je onda je takođe

pa je

4

gde je C neodređena konstanta (integraciona konstanta) zbog koje je i integral dobio ime neodređeni.

1.4 Tablica integrala

2. Metoda smene (supstitucije)

Ako se pri određivanju integrala ne može lako naći primitivna funkcija integrala , a znamo da ona postoji, tada se najčešće pribegava zameni integracione promenljive i to:

5

2.1

2.2

2.3 Vrlo često je neophodno podintegralnu funkciju dekomponovati pa tek tada izvršiti zamenu.

2.1 Definicija: smena

ako funkcija ima inverznu funkciju i ako si funkcije i neprekidne.

2.1.1

2.1.2

6

2.1.3

2.1.4

2.1.5

2.1.6

2.1.7

2.1.8

7

2.1.9

2.1.10 `

2.2 Definicija:

su neprekidne funkcije.

2.2.1

=

8

2.2.2

2.2.3

9

2.2.4

2.2.5

10

2.2.6

2.2.7

2.2.8

11

2.2.9

2.2.10

12

2.3 Dekompozicija podintegralne funkcije

Ponekad je vrlo teško naći odgovarajuću smenu jer je podintegralna funkcija vrlo komplikovana. Zbog toga je neophodno podintegralnu funkciju dekomponovati (napisati u drugom obliku) pa tek tada uvesti odgovarajuću smenu:

2.3.1

2.3.2

13

2.3.3

2.3.4

14

2.3.5

2.3.6

15

2.3.7

2.3.8

16

2.3.9

17

Zaključak

Metoda smene (supstitucije) je samo jedna od metoda rešavanja neodređenog integrala. U zavisnosti od podintegralne funkcije metoda smene (ili pak više smena) može da bude rešenje integrala ili pak da bude deo neke druge metode integracije (npr. metode parcijalne integracije).

18