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• Dres. Löbel, Borndörfer und Weider GbR

• Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)

Steffen Weíder

LBWLBW

Integrierte Umlauf- und Dienstplanung im ÖPNV

Steffen Weider

Frico 2007

Steffe

n

Weider

LBW

LBW

Planung im

Nahverkehr

KostendeckungFahrpreiseBaukosten

NetzwerktopologieFahrzeiten

LinienBedienungshäufigkeit

TakteVerbindungen

FahrplanSensitivität

FahrzeugumläufeAblösestellen

DiensteDienstmix

DienstreihenfolgeFairness

PersonaleinsatzStörungen

Betriebsleitung

bereich

sübergreife

nd

Bereich

hofübergreife

nd

Betrie

bsh

of

gruppenübergreife

nd

Liniegruppen

linienübergreife

nd

Linien

umlaufübergreife

nd

Umläufe

B1

VS-O

PT

B1

DS-O

PT

TS-O

PT

IS-O

PT

B15

BS-O

PT

Roste

r

Steffen Weider

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Graphentheoretisches Modell� Umlaufplanung

� Integrierte Planung

� Dienstplanung

Steffen Weider

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IP Modell

=

1, falls Leerfahrt Dienstelement enthält:

0, sonstdt

d tC

=

1, falls Dienstelement von Dienst überdeckt wird:

0, sonstdt

t dD

δ δδ

κ∈

= = ∀

= ∀ ∈

≤ ∀ ∈ Κ

∈

+

− =

=

≤

∈

∑

T

out in

out

T

( ( )) ( ( )) 0, depots , trips

( ( )) 1, \ { , }

,

(ISP) min

(1a)

(1b)

(1c)

(2a)

{0,1} ,

1

(2b)

(3) 0

{0,1}

k

g g

ak a

A

m n

k

a

d y

Ay

B

c x

x v x v g v

x v v V s t

f x K

y b

y

Cx Dy

x

Steffen Weider

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Struktur des Problems

DSPVSP

Kopplungsbedingungen 150.000 Zeilen

28.000 Zeilen

6.000 Zeilen

700.000 Bögen 1.000.000 Dienste

Steffen Weider

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Branch-&-Generate Algorithmus

Rapid BranchingBündelmethode

Löse Umlauf-planungs-problem

Löse Dienst-planungs-problem

Bündel-Update

Stop?

Beginn

Branchingauf Leer-fahrten

Alle fixiert?Branching

auf Diensten

Ende

JaNein

Ja

Nein

Dienst-generator

LP Re-laxierung

Steffen Weider

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Untere Schranke

λλ

λ+− +T T T Tmax min min

s.t.

( )

ist Umlaufplan s.t

( )

ist Dienstp n. la

c D x

x

d C y

y

Problemeigenschaften:

• Das Lagrange-Problem liefert i.A. untere Schranken, keine kompatiblen Lösungen.

• Das Lösen der Einzelprobleme dauert lange.

• Die Einzelprobleme können nur approximativ gelöst werden.

Lagrange-Relaxierung der Kopplungsbedingungen

� Dekomposition in bekannte Einzelprobleme.

Gesuchtes Verfahren:

• Wenig Iterationen bis zu einer guten Lösung,

• Primale Information,

• Schnell.

���� Bündelmethode

Steffen Weider

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Bündel-Methode(Kiwiel [1990], Helmberg [2000])

� Max , X konvex

� � f polyedrisch (stückweise linear)

λ

f

λ1

1fλ

λ2

f̂

λ3

µ µ µλ λ= + −T T( ) ( )f c x b Ax

+ = − −2

1ˆ ˆargmax ( )

2k

k k k

uf

λλ λ λ λ

∈=ˆ ( ) : min ( )

k

kJ

f fµµ

λ λ

∈= + −T T( ) : min ( )x X

f c x b Axλ λ

Steffen Weider

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Dualisierung des quadratischen Problems

2ˆ ˆmax ( )2n

kk k

uf

Rλ

λ λ λ∈

− −(1)

µ µ µ µµ µ

µµ

µ

α λ α

α

α µ

∈ ∈

∈

− −

=

≤ ≤ ∈

∑ ∑

∑

2

1ˆmax ( ) ( )2

s.t. 1

0 1, for all

k k

k

kJ J

J

k

f b Axu

J

(2)⇔

und µ µµ

α ∗

∈

→∑kJ

x x so daß x* eine optimale Lösung von min c Tx , s.t. x ∈X, Ax=b

ist.

Steffen Weider

LBWLBW

Vergleich Bündel- u.a. Verfahrenauf einem Dienstplanungsproblem

Dienstplanungsproblem Ivu41:• 870.500 Spalten,• 3.570 Zeilen • 10,5 Non-zeroes pro Spalte

Primal+dual optimalDual Simplex:

Primal+dual optimalBarrier:

Konvergiert theoretischSubgradient:

Kovergenz + Primalapprox.Bundle+AS:

PrimalapproximationVolume:

SchnellCoordinate Ascent:

250

300

350

400

450

0 20 40 60 80 100

Coordinate Ascent Subgradient Volume Bundle+AS Dual Simplex Barrier

[s]

Steffen Weider

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Primal-Heuristik

� (ISP) zu komplex für einfache Diving/PlungingHeuristiken:

� Backtracking ist notwendig.

� Degeneriertes IP mit sehr vielen Spalten, daher versagen Standard-Branching-Regeln wie

� Branching on Arcs (Ryan, Foster) und

� Branching on Variables (Least Fractional, StrongBranching, etc.).

� LP-Relaxierung ist aufwändig zu berechnen

� Möglichst geringe Tiefe des Suchbaums.

Steffen Weider

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�Perturbation Branching

� Iteratives Perturbieren der Zielfunktion und Lösen des

LPs bis viele Variablen 1 sind.

�Node Selection

� „binäres“ Backtracking

�Untere Schranke mit approx. Bündelmethode

Rapid Branching

Qj2

Qjm/4

Qjm/2

Qjm

Qj-1i

Qj1

Qj4

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Vergleich: ZielfunktionswerteRapid Branching und CPLEX 10.0

0

100

200

300

400

500

600

Ivu01 Ivu06 Ivu41 Ivu52

LP Rapid Branching CPLEX

Zielfkt.wert

Steffen Weider

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Vergleich: LaufzeitenRapid Branching und CPLEX 10.0

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Ivu01 Ivu52 Ivu41 Ivu06

0

2000

4000

6000

8000

10000

Zeilen Spalten/1e2 NZ/Spalte*1e3

Rapid Branching CPLEX

Bis zu 3.600 Zeilen, 1.200.000 Spalten und durchschnittlich 14 Einträgen pro Spalte

Zeit [s]Anzahl

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Stand der Forschung

(ISP) mit Kapazitäts- und

Ressourcenbedingungen

2602093.6987Weider [2006]

(ISP)11767653--Huisman [2004]

(ISP)2394761Freling et al. [2000]

Zwei gekoppelte (SPP) (optimal gel.)----301Friberg & Haase [1997]

(ISP)90382961Freling [1997]

(ISP) ohne Ablösestellen654425728Gaffi & Nonato [1997]

Set Covering + Min. Cost Flow4520111--Patrikalakis et al. [1992]

(DSP) mit Nebenbedingungen41--1821Falkner & Ryan [1992]

Mehrgüterflußproblem mit

Nebenbedingungen

----30017Tosini & Vercellis [1988]

Kostenabschätzung--544561Scott [1985]

Sequentiell gelöst133--1.0001Ball et al. [1983]

AnmerkungdvfgArtikel

Steffen Weider

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Auftragnehmerplanung

6+1Dienstarten6.583 (3.966)Dienstelemente

3:2849:55CPU Std.

2Fahrzeugtypen5+2Depots

121.217Leerfahrten3.698Fahrgastfahrten

4Fahrzeugmengen25Dienstmengen

Dienstschnitt

Fahrzeuge

Dienste

Bezahlte Zeit

Lenkzeit

Methode

—

104

104

—

463:22

7:10

105

155

1.023:16

890:29

IS-OPT

Unternehmen Subunternehmen

DS-OPT

Unternehmen

160

6:45

—

1.032:43

895:47

Steffen Weider

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�Besonders geeignet für Probleme mit vielen 0/1-Variablen oder

mit Blockstruktur.

Weitere Anwendungen vonBündelmethode und Rapid Branching

� Airline Crew Scheduling + Rotationsplanung,

� Umlaufplanung + Wartungsplanung,

� ...

Vielleicht in Zukunft auch für:

� Airline Crew Scheduling (Netline Crew von LH Systems),

� Rostering (Prototyp),

� Umlaufplanung (VS-OPT2).

Wird bereits verwendet für:

Steffen Weider

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Vielen Dank für

Ihre Aufmerksamkeit