interpolasi: metode lagrange - · pdf fileinterpolasi: metode lagrange dr.eng. agus s....
TRANSCRIPT
INTERPOLASI: METODE
LAGRANGE
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering 1
Pertemuan ke-12: 20 Desember 2012
Apa Interpolasi?
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
2
Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), nilai “y” diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.
Gambar 1 Interpolasi data diskrit.
Interpolan
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
3
Bentuk polinomial merupakan interpolan yang
paling sering dipilih karena mudah untuk
melakukan:
Evaluasi
Turunan, dan
Integral
Interpolasi Lagrangian
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
4
Interpolasi polinomial Langrangian dinyatakan sebagai
Dimana n = pangkat polinomial ke-n yang didekati
dengan fungsi y = f(x) untuk setiap (n+1) titik data
(x0,y0), (x1,y1),…,(xn-1,yn-1),(xn,yn) dan
Li(x) = fungsi bobot (weighting function) untuk hasil ke
(n-1) dimana untuk hasil j = I diabaikan
0
n
i i i
i
f x L x f x
0
nj
i
j i jj i
x xL x
x x
Contoh 1
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
5
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table 1 Data kecepatan dan waktu
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
s ,t m/s ,tv
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Lagrange.
Interpolasi Linier Lagrange (1)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
6
10 12 14 16 18 20 22 24350
400
450
500
550517.35
362.78
y s
f range( )
f x de sire d
x s1
10x s0
10 x s range x de sire d
1
0
0 0 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
i ii
v t L t v t
L t v t L t v t
0 0
1 1
15; 362.78
20; 517.35
t v t
t v t
Interpolasi Linier Lagrange (2)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
7
1
10
0 0 0 1
j
j jj i
t t t tL t
t t t t
1
01
0 1 1 0
j
j jj i
t t t tL t
t t t t
010 1
0 1 1 0
20 15 362.78 517.35
15 20 20 15
16 20 16 15 362.78 517.35
15 20 20 15
0.8 362.78 0.2 517.35 393.7
t tt tv t v t v t
t t t t
t t
m s
Interpolasi Kuadratik Lagrange
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
8
Interpolasi polinomial pangkat 2 atau kuadratik
dapat dinyatakan sebagai
2
0
0 0 1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i ii
v t L t v t
L t v t L t v t L t v t
Contoh 2
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
9
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table 1 Data kecepatan dan waktu
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
s ,t m/s ,tv
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kuadratik Lagrange.
Interpolasi Kuadratik Lagrange (2)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
10
10 12 14 16 18 20200
250
300
350
400
450
500
550517.35
227.04
y s
f range( )
f x de sire d
2010 x s range x de sire d
0 0
1 1
2 2
10; 227.04
15; 362.78
20; 517.35
t v t
t v t
t v t
2
1 20
0 0 0 1 0 2
j
j jj i
t t t t t tL t
t t t t t t
2
0 21
0 1 1 0 1 2
j
j jj i
t t t t t tL t
t t t t t t
2
0 12
0 2 2 0 2 1
j
j jj i
t t t t t tL t
t t t t t t
Interpolasi Kuadratik Lagrange (3)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
11
0 01 2 2 10 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
t t t tt t t t t t t tv t v t v t v t
t t t t t t t t t t t t
Kesalahan relatif terhadap interpolasi linier
392.19 393.70100 0.38410%
392.19a
16 15 16 20 16 10 16 2016 227.04 362.78
10 15 10 20 15 10 15 20
16 10 16 15517.35
20 10 20 15
0.08 227.04 0.96 362.78 0.12 527.35 392.19 m/s
v
Interpolasi Kubik Lagrange
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
12
Interpolasi polinomial pangkat 3 atau kubik dapat
dinyatakan sebagai
3
0
0 0 1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i ii
v t L t v t
L t v t L t v t L t v t L t v t
10 12 14 16 18 20 22 24200
300
400
500
600
700602.97
227.04
y s
f range( )
f x de sire d
22.510 x s range x de sire d
Contoh 3
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
13
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table 1 Data kecepatan dan waktu
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
s ,t m/s ,tv
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kubik Lagrange.
Interpolasi Kubik Lagrange (2)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
14
10 12 14 16 18 20 22 24200
300
400
500
600
700602.97
227.04
y s
f range( )
f x de sire d
22.510 x s range x de sire d
0 0 1 1
2 2 3 3
10; 227.04; 15; 362.78
20; 517.35; 22.5; 602.97
t v t t v t
t v t t v t
3
31 20
0 0 0 1 0 2 0 3
j
j jj i
t t t tt t t tL t
t t t t t t t t
3
0 321
0 1 1 0 1 2 1 3
j
j jj i
t t t t t tt tL t
t t t t t t t t
3
0 312
0 2 2 0 2 1 2 3
j
j jj i
t t t t t tt tL t
t t t t t t t t
3
0 1 23
0 3 3 0 3 1 3 2
j
j jj i
t t t t t t t tL t
t t t t t t t t
Cubic Interpolation (contd)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
15
3 0 3 0 31 2 2 11 2 2
0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 2 3
1 1 2
3 1 3 1 3 2
t t t t t t t t t tt t t t t t t tv t v t v t v t
t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t
t t t t t t
3v t
Kesalahan relatif terhadap interpolasi kuadratik
%033269.0
10006.392
19.39206.392
a
16 15 16 20 16 22.5 16 10 16 20 16 22.516 227.04 362.78
10 15 10 20 10 22.5 15 10 15 20 15 22.5
16 10 16 15 16 22.5 16 10 1517.35
20 10 20 15 20 22.5 22.5 10
v
6 15 16 20602.97
22.5 15 22.5 20
0.0416 227.04 0.832 362.78 0.312 517.35 0.1024 602.97 392.06 m/s
Perbandingan Hasil Hitungan Metode
Lagrange dan NDD
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
16
Pangkat Polinomial: 1 2 3
v(t=16) m/s 393.69 392.19 392.06
Kesalahan relatif -------- 0.38410% 0.033269%
Pangkat Polinomial: 1 2 3
v(t=16) m/s 393.69 392.19 392.06
Kesalahan relatif ---------- 0.38502 % 0.033427 %
Metode NDD
Metode Lagrange
Distance from Velocity Profile
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
17
Find the distance covered by the rocket from t=11s to
t=16s ?
,00544.013195.0265.21245.4)( 32 ttttv 5.2210 t
16
11
)()11()16( dttvss
16
11
32 )00544.013195.0265.21245.4( dtttt
16
11
432
]4
00544.03
13195.02
265.21245.4[ttt
t
1605 m
)5727.2)(300065045()1388.4)(33755.7125.47(
)9348.1)(45008755.52()36326.0)(67505.10875.57()(
2323
2323
tttttt
tttttttv
Acceleration from Velocity Profile
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
18
,
Find the acceleration of the rocket at t=16s given that
32 00544.013195.0265.21245.4 tttdt
dtv
dt
dta
201632.026390.0265.21 tt
2)16(01632.0)16(26390.0265.21)16( a
665.29 2/ sm
,00544.013195.0265.21245.4)( 32 ttttv 5.2210 t