introdução a probabilidade

Introduo Probabilidade

Notas de Aula

Leonardo T. Rolla

17 de novembro de 2014

c 20122014 Leonardo T. Rolla.

A qualquer pessoa que receba uma cpia deste trabalho, concedida licena para:

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17 de novembro de 2014.

Prefcio

Este livro foi produzido a partir de notas de aula das disciplinas Probabilidade, domestrado em Cincias Atuariais da PUC-Rio, ministrada em 2006, e Introduo Probabilidade, ministrada em 2012 e 2013 no IMPA.

Para seguir este livro no necessrio qualquer conhecimento prvio em Proba-bilidade. Os pr-requisitos so clculo de derivadas e integrais em Rd, limites desequncias, convergncia de sries, e limites laterais de funes. Para seguir asdemonstraes o leitor deve estar familiarizado com as propriedades elementaresde lim sup e lim inf, polinmios de Taylor e supremo de conjuntos.

Descrio e Interdependncia dos Captulos

Este livro se divide em quatro partes.

A primeira parte consiste de 4 captulos que devem ser estudados em sequncia,antes de passar para os captulos seguintes. No Captulo 1 introduzimos osespaos de probabilidade, probabilidade condicional e independncia de eventos.Os Captulos 2 e 3 estudam as variveis aleatrias e vetores aleatrios, com nfasenos casos discreto e absolutamente contnuo. No Captulo 4 estudada a esperanamatemtica, suas propriedades, momentos, varincia e algumas desigualdades.

A segunda parte contm uma escolha de assuntos comumente abordados em umcurso introdutrio de Probabilidade. O Captulo 5 trata do lema de Borel-Cantellie da convergncia de variveis aleatrias. Os Captulos 6 e 7 apresentam a Leidos Grandes Nmeros e o Teorema Central do Limite. O Captulo 8 introduz afuno geradora de momentos e a funo caracterstica, incluindo convergncia emdistribuio. No Captulo 9 estudamos a esperana condicional dada uma partio e

5

6 PREFCIO

a esperana condicional regular. Um curso de 60 horas-aula em nvel de bachareladoem matemtica pode no ser suficiente para cobrir esses tpicos com todos osdetalhes, mas os captulos desta segunda parte so basicamente independentes entresi, exceto que o Captulo 6 depende do Captulo 5.

Na terceira parte (ainda no escrita), estudamos tpicos menos cannicos paraum curso introdutrio: o princpio dos grandes desvios, passeios aleatrios na redehipercbica, e modelos de percolao. Esses so tpicos mais avanados do ponto devista conceitual, mas a exposio fica restrita aos casos que no tm pr-requisitostcnicos para alm da teoria vista nos captulos anteriores.

Na quarta parte (ainda no escrita), fazemos uma exposio resumida de resultadossobre mensurabilidade e convergncia da integral de Lebesgue, e apresentamosalgumas das demonstraes omitidas nos captulos anteriores.

Ao Professor

A escolha dos tpicos e o nvel de profundidade com que cada um ser visto serouma escolha pessoal do professor. Uma escolha simples ver os captulos emsequncia, at onde o tempo permitir.

Outra opo ainda segura ver com detalhes a primeira parte, e escolher quaistpicos da segunda parte sero vistos e em que ordem. A nica ressalva neste caso que a lei dos grande nmeros depende das noes de convergncia de variveisaleatrias.

O professor pode ir alm, e omitir alguns tpicos da primeira parte, como porexemplo o mtodo do Jacobiano, ou ainda, omitir tudo o que envolva variveisaleatrias contnuas. Neste caso um cuidado maior necessrio, e recomenda-seler atentamente as partes que se pretendem abordar para assegurar-se de que essasno dependam de outras anteriormente omitidas.

Comentrios, crticas e correes so muito bem-vindos.

Rigor Matemtico

A primeira parte deste livro auto-contida e matematicamente rigorosa, inclusivena construo da Esperana Matemtica como supremo sobre funes simples, suafrmula para os casos discreto e contnuo, e suas propriedades fundamentais.

PREFCIO 7

H uma omisso importante: a existncia de variveis aleatrias contnuas, oua existncia de uma sequncia infinita de variveis aleatrias com determinadadistribuio conjunta. Formalmente, estamos estudando propriedades de objetosque em princpio poderiam no existir. Sabe-se que esses objetos existem, mas aprova deste fato est fora dos objetivos deste livro.

Uma omisso secundria o significado de integral. As variveis aleatriasabsolutamente contnuas so definidas e estudadas em termos de uma integral,sem discutir o que significa a integral em si. Mas em todos os casos que vamosconsiderar, a noo de integral que temos do Clculo suficiente.

Na segunda parte, algumas demonstraes sero omitidas por depender da Teoriada Medida, com um aviso correspondente. Aquelas que envolvam apenas osteoremas de convergncia montona e dominada sero apresentadas no Captulo 15.

Tpicos Omitidos

De todo o trabalho inerente redao de um livro, sem dvida o mais delicado o de decidir os tpicos que devem ser cobertos e com qual profundidade. Algunstpicos importantes so omitidos, dentre eles: quantil de uma varivel aleatria;estatstica de ordem, mtodo do Jacobiano sem bijeo, distribuio normal multi-variada, funo geradora e funo caracterstica para vetores aleatrios, distribuiocondicional de vetores aleatrios.

17 de novembro de 2014.

8 PREFCIO

Sumrio

Prefcio 5

I 13

1 Espao de Probabilidade 15

1.1 Espao de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Probabilidade Condicional e Independncia . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Independncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Variveis Aleatrias 31

2.1 Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Variveis Aleatrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Variveis Aleatrias Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Distribuies Mistas e Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Distribuio Condicional dado um Evento . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Vetores Aleatrios 49

3.1 Vetores Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9

10 SUMRIO

3.2 Tipos de Vetores Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Independncia de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Mtodo do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Esperana Matemtica 67

4.1 Variveis Aleatrias Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Esperana Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Momentos, Varincia e Covarincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4 Desigualdades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5 Esperana Condicional dado um Evento . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II 95

5 Convergncia de Variveis Aleatrias 97

5.1 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2 Convergncia de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6 Lei dos Grandes Nmeros 109

6.1 Lei Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Lei Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Teorema Central do Limite 115

7.1 Teorema de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3 Frmula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

SUMRIO 11

7.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8 Funes Geradoras 125

8.1 Funo Geradora de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.2 Funo Caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9 Esperana Condicional 137

9.1 Esperana Condicional dada uma Partio . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.2 Distribuio Condicional Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.3 Esperana Condicional Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

III 153

10 Princpio dos Grandes Desvios 155

11 Percolao 157

12 Passeios Aleatrios 159

IV 161

13 Espao de Medida 163

14 Medida de Lebesgue 165

15 Integral e Convergncia 167

Lista de Figuras 169

Lista de Tabelas 171

12 SUMRIO

Notao 174

ndice Remissivo 175

Referncias Bibliogrficas 181

Parte I

13

Captulo 1

Espao de Probabilidade

O objetivo deste texto introduzir o estudo formal dos Espaos de Probabilidade, asvariveis aleatrias e suas propriedades. A Teoria da Probabilidade estuda eventosaleatrios, i.e., eventos que no possuem regularidade determinstica, mas possuemregularidade estatstica. A ausncia de regularidade determinstica significa queobservaes feitas nas mesmas condies no do o mesmo resultado, enquanto aregularidade estatstica se manifesta na estabilidade estatstica de frequncias.

Por exemplo, no lanamento de um dado, apesar de a trajetria do dado serdeterminstica do ponto de vista da mecnica Newtoniana, impraticvel tentarprever seu resultado: este experimento no possui regularidade determinstica. Noentanto, esse experimento possui regularidade estatstica e o tratamento probabi-lstico o mais adequado.

Um Espao de Probabilidade, ouModelo Probabilstico, ou aindaModelo Estatstico, uma abstrao matemtica, uma idealizao que busca representar os fenmenosaleatrios.

1.1 Espao de Probabilidade

Um modelo probabilstico tem trs componentes bsicas:

1. Um conjunto formado por todos os resultados possveis do experimento,

15

16 CAPTULO 1. ESPAO DE PROBABILIDADE

chamado espao amostral.

2. Uma classe apropriadaF de subconjuntos do espao amostral, chamada classede conjuntos mensurveis ou eventos aleatrios.

3. Uma funo P que associa a cada conjunto mensurvel um nmero real, querepresenta a ideia de chance, verossimilhana, confiana, credibilidade, ouprobabilidade. Esta funo chamada de probabilidade, medida, ou medidade probabilidade.

Resultados equiprovveis Nummodelo em que os resultados so equiprovveis,o espao amostral um conjunto finito e a medida de probabilidade proporcional quantidade de resultados que fazem parte de um dado evento:

P (B) =#B#

,

onde #B denota a cardinalidade do conjunto B , isto , a quantidade deelementos que pertencem a B.

Exemplo 1.1.1. Imagine o sorteio de uma carta em um baralho francs com52 cartas (numeradas A, 2, 3, . . . , 9, 10, J,Q,K e de naipes ,,,). Queremossaber a probabilidade de um jogador tirar 4, 7, A ou 7, evento que serdenotado por B. Temos ento:

P (B) =#B#

=452

=113 8%.

Exemplo 1.1.2. Imagine o lanamento de um dado em que um jogador precisaobter 5 ou 6. Neste caso temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {5, 6} e

P (B) =#B#

=26=

13 33%.

Espao discreto Outro exemplo um pouco mais complicado quando o es-pao amostral discreto, isto , pode ser escrito como uma sequncia ={x1, x2, x3, . . . }. Neste caso no faz sentido que todos os elementos sejam igual-mente provveis.

A cada possvel resultado xn associada uma probabilidade p(xn) de forma que

n=1

p(xn) = 1.

1.1. ESPAO DE PROBABILIDADE 17

Para um subconjunto B definimosP (B) =

xB

p(x).

Exemplo 1.1.3. Imagine que lanamos um dado em sequncia at obter onmero 3, e contamos o nmero de lanamentos necessrios, ou seja, o resultadodesse experimento o nmero de lanamentos efetuados. Ento caso o espaoamostral dado pelo conjunto N dos nmeros naturais

N = {1, 2, 3, . . .}.Neste caso, p(n) = 16 (

56 )n1. Seja A = obter um 3 em no mximo 5 tentativas e

B = no se obter o 3 nas primeiras 10 tentativas. Temos

P (A) = 16 +16 56 + + 16 (56 )4 =

16 (56 )5 161 56

= 1 (16 )5 = 46517776 60%.

e

P (B) = 16 (56 )

10 + 16 (56 )

11 + 16 (56 )

12 + =16 (

56 )

10

1 (56 )= (56 )

10 16%.

A seguir veremos uma formulao mais precisa desses conceitos.

Espao Amostral

Um conjunto no-vazio , cujos elementos representam todos os resultadospossveis de um determinado experimento, chamado de espao amostral. Oexperimento dado pela escolha de algum dos possveis , e dizemos queo escolhido representa a realizao do experimento.

Exemplo 1.1.4. Se o experimento consiste em lanar uma moeda, ento

= {0, 1},onde 1 representa a face cara e 0 representa a face coroa.

Exemplo 1.1.5. Se o experimento consiste em lanar um dado e observar a facesuperior, ento

= {1, 2, 3, 4, 5, 6},onde cada nmero representa o possvel valor da face observada.


Exemplo 1.1.6. Se o experimento consiste em lanar duas moedas, ento

= {0, 1}2 = {0, 1} {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},

onde a primeira coordenada representa o valor observado na primeira moeda, e asegunda coordenada, o da segunda moeda.

Exemplo 1.1.7. Se o experimento consiste em lanar dois dados e observar asfaces superiores, ento

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 = { = (1, 2) : 1, 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}} .Exemplo 1.1.8. Lanar uma moeda infinitas vezes em sequncia.

= {0, 1}N = {0, 1} {0, 1} = { = (n)nN : n {0, 1} para todo n} .Exemplo 1.1.9. Se o experimento consiste em medir a durao de uma lmpada,ento um possvel espao amostral dado por = [0,).

Eventos Aleatrios

Qualquer subconjunto A do espao amostral , isto , A , ao qualatribumos uma probabilidade, dito um evento aleatrio.

Dizemos que o evento A ocorre se a realizao tal que A. Vamos traduziralgumas operaes sobre conjuntos para a linguagem de eventos.

A unio A B o conjunto de todos os tais que pertence a A ou pertence a B, ou seja, o conjunto das realizaes tais que algum dos eventos Aou B ocorrem, portanto A B o evento A ou B.Analogamente, a interseo A B, que dada por { : A e B}, o conjunto das realizaes tais que ambos os eventos A e B ocorrem, portantoA B o evento A e B.Denotamos por Ac o complementar do conjunto A, dado por Ac = { : / A},ou seja, o conjunto das realizaes para as quais o evento A no ocorre, portantoAc o evento no A.


Dois eventos A e B so ditos mutuamente exclusivos ou incompatveis se AB = ,isto , se o evento A e B impossvel. O conjunto vazio denominado eventoimpossvel.

Suponha que, para dois eventos A e B dados, pelo menos um dos dois necessaria-mente ocorre. Isso quer dizer que A B = . O conjunto tambm um eventodenominado evento certo.

Se , o evento {} dito elementar. A relao A B significa que todo Asatisfaz B, ou seja, para qualquer realizao , se o evento A ocorre entonecessariamente o evento B ocorre. Portanto, A B significa que a ocorrncia doevento A implica a ocorrncia do evento B.

Quando o espao amostral um conjunto finito ou enumervel, natural tomara classe de eventos aleatrios F como F = P(), isto , o conjunto de todos ossubconjuntos de , dado por

P() = {A : A }

e chamado o conjunto das partes. Porm h casos em que no enumervel,como no Exemplo 1.1.8, e no possvel construir um modelo probabilstico emtoda essa classe P(). Em todo caso, faremos algumas suposies naturais sobre aclasse F P() de eventos aleatrios. Mais precisamente, vamos assumir que Fsatisfaz as seguintes propriedades:

(F1) F ;(F2) Para todo A F , tem-se que Ac F ;(F3) Se A1, A2, A3, F , ento (i=1Ai) F .

Chamaremos de -lgebra a uma classe de subconjuntos de satisfazendo as trspropriedades acima.

Espao de Probabilidade

Seja um espao amostral e F uma -lgebra para um dado experimento.Uma medida de probabilidade P uma aplicao P : F R satisfazendo asseguintes propriedades:


(P1) P (A) > 0 para todo A F .(P2) P () = 1.

(P3) Se A1, A2, F e AiAj = i 6= j, ento P (i=1Ai) =

i=1 P (Ai).

Teorema 1.1.10. Toda medida de probabilidade P satisfaz as seguintes proprie-dades:

1. P () = 0.2. P (Ac) = 1 P (A).3. Se A,B F e A B ento P (A) 6 P (B). (monotonicidade)4. Se A,B F e A B ento P (B \A) = P (B) P (A).5. Para todo A F , temos 0 6 P (A) 6 1.6. Se A1, A2, . . . , An F , ento P

( i=1

Ai

)6

i=1

P (Ai). (-subaditividade).

7. Sejam A e B F . Ento P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

Demonstrao. Feita em aula.

Uma medida de probabilidade P tambm tem a propriedade de ser contnua.Dizemos que An A se A1 A2 A3 e n=1 = A. Analogamente,An A se A1 A2 A3 e n=1 = A.Teorema 1.1.11 (Continuidade). Se An A ou An A, ento P (An) P (A).


Um espao de probabilidade um trio (,F , P ), onde

1. um conjunto no-vazio;

2. F uma -lgebra de subconjuntos de ;3. P uma probabilidade definida em F .


Exemplo 1.1.12. Lanamento de uma moeda. Este espao pequeno o suficientepara que possamos constru-lo explicitamente. Como fizemos anteriormente, asduas faces da moeda sero representadas em = {0, 1}. A -lgebra F dada porF = P() = {{}, {0}, {1}, {0, 1}}. A medida de probabilidade P : F R dadapor P ({}) = 0, P ({0}) = P ({1}) = 12 , P ({0, 1}) = 1.Exemplo 1.1.13. Sortear 4 cartas de um baralho francs, com reposio. Nestecaso temos

=( {A, 2, 3, . . . , 9, 10, J,Q,K} {,,,})4

e# = 524.

TomamosF = P()

e

P (A) =#A524

, A F .

Qual a probabilidade do evento A = as quatro cartas so valetes? Temos A =({J} {qualquer naipe})4, logo #A = 44 e portanto

P (A) =44

524=

1134

.

Qual a probabilidade do evento B = todas as cartas tm o mesmo naipe? Temos4 escolhas para o naipe, e 13 escolhas para cada uma das cartas retiradas, logo#B = 4 134 e portanto

P (B) =4.134

524=

143.

Qual a probabilidade do evento C = h um par de cartas de um naipe e um parde cartas de um outro naipe. Temos

(42

)escolhas para os naipes, onde

(nk

)denota

o nmero de combinaes de n, k a k, isto ,(nk

)= n!k!(nk)! . Escolhidos os naipes,

temos(42

)combinaes para quais retiradas correspondem a qual naipe. Escolhidos

os naipes e as posies, h 13 escolhas de cartas para cada retirada. Assim,

#C =(42

)(42

)134 = 62134

e portanto

P (C) =62134

524=

62

44=

964.


1.2 Probabilidade Condicional e Independncia

A probabilidade condicional uma nova medida de probabilidade, de forma arepresentar melhor as chances de eventos aleatrios a partir da informao de queum dado evento aconteceu. definida da seguinte maneira:

Definio 1.2.1 (Probabilidade Condicional). Dados A,B F em um espao(,F , P ), definimos a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B, ousimplesmente probabilidade de A dado B, por

P (A |B) = P (A B)P (B)

.

Quando P (B) = 0, definimos P (A|B) = P (A).

Proposio 1.2.2. A probabilidade condicional uma medida de probabilidade,isto , dado B F tal que P (B) > 0, a funo que leva A em P (A|B) satisfaz asPropriedades (P1)(P3).


Regra do produto

A regra do produto permite expressar a probabilidade da ocorrncia simultneade diversos eventos a partir do valor de cada probabilidade condicional dados oseventos anteriores.

Teorema 1.2.3 (Regra do Produto). Dados A1, A2, . . . , An em (,F , P ), vale

P (A1 An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1A2) P (An|A1A2 An1).

Demonstrao. Vamos provar por induo em n. Para n = 1 vale trivialmente:

1.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDNCIA 23

P (A1) = P (A1). Para n = 2, temos

P (A2|A1) = P (A2 A1)P (A1)

= P (A1 A2) = P (A1)P (A2|A1).

Para n = 3, temos

P (A3|A1 A2) = P (A1 A2 A3)P (A1 A2)

e portanto

P (A1 A2 A3) = P (A1 A2)P (A3|A1 A2)= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2).

Suponhamos a igualdade vlida para n = m, temos

P (Am+1|A1 Am) = P (A1 Am Am+1)P (A1 Am)

e portanto

P (A1 Am+1) = P (A1 Am) usando a hiptese

P (Am+1|A1 Am)

= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) P (Am+1|A1 Am),

completando a prova por induo.

Exemplo 1.2.4 ([Jam04]). Selecionar 3 cartas de um baralho francs de 52 cartas,ao acaso e sem reposio. Qual a probabilidade de tirar 3 reis? Seja Ai =tirar reina i-sima retirada e A =tirar 3 reis= A1 A2 A3. Temos

P (A) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) = 452351

250

=1

5525.

Lei da probabilidade total

Dizemos que B1, B2, B3, F formam uma partio de se Bi Bj = i 6= je i=1Bi = .


Teorema 1.2.5 (Lei da Probabilidade Total). Sejam A,B1, B2, B3, . . . even-tos aleatrios em (,F , P ) tais que B1, B2, B3, . . . formam uma partio de. Ento

P (A) =i=1

P (Bi)P (A|Bi).

Demonstrao. Usando a regra do produto temos

P (A) = P[i=1(A Bi)] =

i=1

P (A Bi) =i=1

P (Bi)P (A|Bi).

A primeira igualdade vale pois A = i=1(A Bi). Na segunda igualdade usamosque esses eventos so disjuntos, i.e., (A Bi) (A Bj) Bi Bj = paratodo i 6= j. Na ltima igualdade usamos a regra do produto. Exemplo 1.2.6. Um armrio tem duas gavetas, A e B. A gaveta A tem 2 meiasazuis e 3 meias pretas, e a gaveta B tem 3 meias azuis e 3 meias vermelhas. Abre-seuma gaveta ao acaso e retira-se uma meia ao acaso da gaveta escolhida. Qual aprobabilidade de escolher-se uma meia azul? Comeamos pelos valores conhecidos:P (A) = P (B) = 12 , P (azul|A) = 25 e P (azul|B) = 36 . Assim,

P (azul) = P (A)P (azul|A) + P (B)P (azul|B) = 1225+

1236=

920.

Exerccio 1.2.7. So dadas duas urnas, A e B. A urna A contm 1 bola azul e 1vermelha. A urna B contm 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola extrada aoacaso de A e colocada em B. Uma bola ento extrada ao acaso de B. Pergunta-se:

(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B?

(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor?

Frmula de Bayes

A frmula de Bayes determina a probabilidade condicional de eventos que precedemaquele efetivamente observado. Mais precisamente, quando conhecemos as proba-bilidades de uma sequncia de eventos Bj que particionam e a probabilidade

1.3. INDEPENDNCIA 25

condicional de um evento posterior A em termos dessa partio, podemos calcularas probabilidades condicionais de ocorrncia de cada Bj sabendo-se da ocorrnciaou no do evento A. Os valores originais so chamados de probabilidades a prioridos eventos Bj , e os valores das probabilidades condicionais so chamados deprobabilidades a posteriori desses eventos.

Teorema 1.2.8 (Frmula de Bayes). Dado um espao de probabilidade(,F , P ), uma partio B1, B2, B3, . . . , e um evento A, para todo j N valea frmula

P (Bj |A) = P (Bj)P (A|Bj)i P (Bi)P (A|Bi)

.


Exemplo 1.2.9. No Exemplo 1.2.6, sabendo-se que uma meia azul foi retirada,qual a probabilidade de ter sido aberta a gaveta A? Pela Frmula de Bayes temos

P (A|azul) = P (A)P (azul|A)P (A)P (azul|A) + P (B)P (azul|B) =

15920

=49.

Exerccio 1.2.10. Num certo certo pas, todos os membros de comit legislativoou so comunistas ou so republicanos. H trs comits. O Comit 1 tem 5comunistas, o Comit 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o Comit 3 consistede 3 comunistas e 4 republicanos. Um comit selecionado aleatoriamente e umapessoa selecionada aleatoriamente deste comit.

(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista.

(b) Dado que a pessoa selecionada comunista, qual a probabilidade de ela tervindo do comit 1?

1.3 Independncia

Dois eventos aleatrios so independentes quando a ocorrncia de um deles noaumenta nem diminui a chance relativa de que ocorra o outro.


Definio 1.3.1 (Eventos Independentes). Os eventos aleatrios A e B soditos independentes se

P (A B) = P (A)P (B).

Proposio 1.3.2. So equivalentes:

(i) A e B so independentes,

(ii) A e Bc so independentes,

(iii) Ac e B so independentes,

(iv) Ac e Bc so independentes,

(v) P (A|B) = P (A),

(vi) P (B|A) = P (B).


Definio 1.3.3 (Eventos Independentes Dois a Dois). Os eventos aleatrios(Ai)iI , onde I um conjunto qualquer de ndices, so ditos independentesdois a dois se Ai e Aj so independentes para todos i, j I com i 6= j.

Exemplo 1.3.4. Dois dados so lanados. Consideramos os eventos A = oprimeiro dado par, B = o segundo dado par C = a soma dos valores

1.3. INDEPENDNCIA 27

dos dados par. Ento

P (A) = P ({2, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1836

=12,

P (B) = P ({1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 4, 6}) = 1836

=12,

P (C) = P ({2, 4, 6}2 {1, 3, 5}2) = 1836

=12,

P (A B) = P ({2, 4, 6}2) = 936

=14= P (A)P (B),

P (A C) = P ({2, 4, 6}2) = 936

=14= P (A)P (C),

P (B C) = P ({2, 4, 6}2) = 936

=14= P (B)P (C).

Exemplo 1.3.5. Lanamento de um dado de 4 faces. Considere A =par,B =menor que 3, C =1 ou 4, i.e., A = {2, 4}, B = {1, 2}, C = {1, 4}. EntoA, B e C so independentes dois a dois. De fato,

P (A B) = P ({2}) = 14= P (A)P (B),

P (A C) = P ({4}) = 14= P (A)P (C),

P (B C) = P ({1}) = 14= P (B)P (C).

Definio 1.3.6 (Eventos Coletivamente Independentes). Os eventos ale-atrios (Ai)iI so ditos coletivamente independentes ou estocasticamenteindependentes se, dado qualquer conjunto de ndices distintos i1, i2, . . . , in I,vale

P (Ai1 Ai2 Ain) = P (Ai1)P (Ai2 ) P (Ain).

Exemplo 1.3.7. Lanamento de um dado de 12 faces. Seja A =mltiplo de 3,B =menor ou igual a 6 e C =par, i.e., A = {3, 6, 9, 12}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e


C = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Ento A, B e C so coletivamente independentes, pois

P (A B) = P ({3, 6}) = 16= P (A)P (B),

P (B C) = P ({2, 4, 6}) = 14= P (B)P (C),

P (A C) = P ({6, 12}) = 16= P (A)P (C),

P (A B C) = P ({6}) = 112

= P (A)P (B)P (C).

Contra-Exemplo 1.3.8. No Exemplo 1.3.5, os eventos A, B e C no socoletivamente independentes. De fato,

P (A B C) = P () = 0 6= 18= P (A)P (B)P (C).

Contra-Exemplo 1.3.9. No Exemplo 1.3.4, os eventos A, B e C no socoletivamente independentes. De fato,

P (A B C) = P ({2, 4, 6}2) = 146= 1

8= P (A)P (B)P (C).

1.4 Exerccios

Exerccio 1.4.1. Considere o experimento resultante do lanamento de dois dadosonde se observa o mnimo entre suas faces. Construa um modelo probabilsticoassociado.

Exerccio 1.4.2. Seja (,F , P ) um espao de probabilidade. Considere umasequncia de eventos aleatrios (An)n=1,2,3,... em F . Defina o evento Bm: oprimeiro evento a ocorrer da sequncia (An)n=1,2,3,... Am.

1. Expresse Bm em termos dos eventos An.

2. Os eventos B1, B2, . . . , Bm, . . . so disjuntos?

3. Quem o evento m=1Bm?Exerccio 1.4.3. Considere uma populao de indivduos capazes de gerar prolesdo mesmo tipo. O nmero de indivduos inicialmente presentes, denotado porX0, o tamanho da gerao zero. Todos as proles da gerao zero constituem

1.4. EXERCCIOS 29

a primeira gerao e o seu nmero denotado por X1. Em geral, Xn denota otamanho da n-sima gerao. Mostre que limn P (Xn = 0) existe e interprete oseu significado.

Exerccio 1.4.4. Um casal tem dois filhos que no sejam gmeos. Calcule aprobabilidade condicional de esse casal ter dois filhos homens, sabendo-se que:

(a) O casal tem um filho homem.

(b) O filho mais velho do casal homem.

(c) O casal tem um filho homem que nasceu num sbado.

(d) O casal tem um filho homem que no nasceu num sbado.

Respostas aproximadas: 33%, 50%, 48%, 36%. Comente o porqu de o resultadodo item (d) ser prximo ao do item (a) e o do item (c) ser prximo ao do item (b).

Exerccio 1.4.5. Se P (A) = P (A|B) = 14 e P (B|A) = 12 :

1. A e B so independentes?

2. A e B so mutuamente exclusivos?

3. Calcule P (Ac|Bc).

Exerccio 1.4.6. Em uma gaveta existem 2 maos de baralho fechados. Um deles um baralho comum de 52 cartas, {A, 2, 3, . . . , 9, 10, J,Q,K} {,,,}, eoutro um baralho de truco com 40 cartas (no possui as cartas de nmeros 8,9 e 10).

Um dos maos retirado da gaveta ao acaso e depois uma carta sorteada ao acasodo baralho retirado.

(a) Calcule a probabilidade de a carta sorteada ser uma das trs figuras reais(J,Q,K).

(b) Sabendo-se que foi sorteada uma figura real, calcule a probabilidade de obaralho retirado ter sido o baralho comum.

(c) Calcule a probabilidade de a carta sorteada ser de espadas .(d) Sabendo-se que foi sorteada uma carta de espadas, calcule a probabilidade

de o baralho retirado ter sido o baralho de truco.


(e) Sejam A =Foi retirado o baralho comum, B =Foi sorteada uma figurareal e C =Foi sorteada uma carta de espadas. A e B so independentes?A e C so independentes? A, B e C so coletivamente independentes?

(f) Qual a probabilidade de se sortear uma carta de nmero 5 ?

(g) Sabendo-se que foi sorteado um nmero (i.e., no foi sorteado A, J , Q nemK), qual a probabilidade de o baralho retirado ter sido o baralho de truco?

Exerccio 1.4.7. [Jam04, Captulo 1].Recomendados: 1, 2, 3, 4, 5, 11, 16, 18, 22.Sugeridos: 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21.

Captulo 2

Variveis Aleatrias

Na realizao de um fenmeno aleatrio, muitas vezes estamos interessados emuma ou mais quantidades, que so dadas em funo do resultado do fenmeno.Por exemplo, sortear 11 cartas do baralho e contar quantas dessas cartas so deespadas, ou sortear dois nmeros reais entre 0 e 1 e considerar o menor deles. Aessas quantidades damos o nome de variveis aleatrias. Uma varivel aleatria um observvel numrico resultante de um experimento.

2.1 Variveis Aleatrias

Uma varivel aleatria uma funo que associa a cada resultado do espaoamostral um nmero real, ou seja, uma funo

X : R 7 X()

.

Exemplo 2.1.1. Joga-se um dado e observa-se a face superior. Nesse caso temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e X() = .

Vamos colocar uma restrio sobre a funo X com o intuito de poder associarprobabilidade a eventos como o valor observado de X menor que 7. Para isso,introduzimos uma definio mais formal:

31

32 CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS

Definio 2.1.2 (Varivel Aleatria). Uma varivel aleatria X em um espaode probabilidade (,F , P ) uma funo real definida no espao tal que oconjunto { : X() 6 x} evento aleatrio para todo x R, isto ,

X : R

uma varivel aleatria se { : X() 6 x} F para todo x R.Daqui para frente denotaremos por [X 6 x] o evento { : X() 6 x}.

Exemplo 2.1.3 (Varivel aleatria constante). Se X() = c para todo ,ento

{ : X() 6 a} ={, se a > c,

, se a < c.Portanto, X varivel aleatria.

Exemplo 2.1.4 (Funo indicadora). Dado A , definimos

1A() =

{1, A,0, 6 A.

Se A F e X = 1A, ento

{ : X() 6 a} =

, se a > 1,

Ac, se 0 6 a < 1,

, se a < 0.

Portanto, X varivel aleatria.

Contra-Exemplo 2.1.5. Sejam = {1, 2, 3, 4} e F = {, {1, 2}, {3, 4},} econsidere os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 3}. Ento 1A varivel aleatriaem (,F), mas 1B no .

Espao de probabilidade induzido e lei de uma varivel aleatria A -lgebra de Borel na reta R, denotada por B, a menor -lgebra que contm

2.1. VARIVEIS ALEATRIAS 33

todos os intervalos da reta.1 Os conjuntos B R tais que B B so chamadosBorelianos. A -lgebra de Borel B muito menor que a -lgebra das partesP(R), e daqui em diante, sempre que aparecer B R, deve-se entender B B.Dado um espao de probabilidade (,F , P ) e uma varivel aleatria X , definimoso espao de probabilidade induzido por X como (R,B, PX), onde

PX(B) = P({ : X() B}) , B B.

Ou seja, o espao amostral o conjunto dos nmeros reais, os eventos aleatriosso os conjuntos Borelianos, e a medida de probabilidade aquela induzida por X .Chamaremos de lei da varivel aleatria X a medida de probabilidade PX em Rinduzida por X .

Funo de Distribuio

Definio 2.1.6 (Funo de Distribuio). A funo de distribuio, ou funode distribuio acumulada da varivel aleatriaX , denotada por FX , definidacomo

FX(x) = P (X 6 x), x R.

A funo de distribuio determina o comportamento estatstico da varivelaleatria, e vice-versa. Mais precisamente, dadas X e Y variveis aleatrias,FX(t) = FY (t) para todo t R se e somente se PX e PY em (R,B) so iguais. Nestecaso escrevemos X Y . Por isso a funo de distribuio uma caractersticafundamental da varivel aleatria.

Exemplo 2.1.7. Duas moedas honestas so lanadas. Seja a varivel X que conta

1Equivalentemente, B a menor -lgebra que contm todos os intervalos semi-infinitos, ou

ainda, a menor -lgebra que contm todos os conjuntos abertos. O leitor mais curioso pode

ver [Jam04, Exerccio 1.6] a respeito da existncia e unicidade da menor -lgebra contendo uma

classe de conjuntos qualquer.


o nmero de caras observadas. Temos que

FX(t) = P (X 6 t) =

P () = 0, t < 0;P ({(0, 0)}) = 14 , 0 6 t < 1;P ({(0, 0), (0, 1), (1, 0)}) = 34 , 1 6 t < 2;P () = 1, t > 2.

Observe que o salto da funo de distribuio acumulada corresponde probabi-

t

FX(t)

1/4

3/4

1

1 2

Figura 2.1: Grfico de uma funo de distribuio acumulada.

lidade de a varivel aleatria assumir aquele valor, como se v na Figura 2.1.

Exemplo 2.1.8. Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto aoacaso do intervalo [a, b] com a < b. Seja X a varivel aleatria que representa acoordenada do ponto.

t

FX(t)1

a b

Figura 2.2: Grfico de uma funo de distribuio acumulada.

Primeiro observamos que, ao selecionar um ponto ao acaso em um intervalo,estamos dizendo implicitamente que quaisquer subintervalos de mesmo tamanhocontm o ponto escolhido com a mesma probabilidade. Isso quer dizer que, dado

2.1. VARIVEIS ALEATRIAS 35

[c, d] [a, b], temos que P (X [c, d]) = dcba . Para t [a, b], tomando c = a temosque P (X 6 t) = taba . Para t < a temos que P (X 6 t) = 0, e para t > a temos queP (X 6 t) = 1. Portanto,

FX(t) = P (X 6 t) =

0, t 6 a;t ab a , a 6 t 6 b;1, t > b;

cujo grfico est ilustrado na Figura 2.2.

Proposio 2.1.9 (Propriedades da Funo de Distribuio). Se X uma varivelaleatria, sua funo de distribuio FX satisfaz as seguintes propriedades:

1. FX no-decrescente, i.e., x 6 y FX(x) 6 FX(y).2. FX contnua direita, i.e., xn x FX(xn) FX(x).3. limx FX(x) = 0 e limx+ FX(x) = 1.


Observao 2.1.10. Uma funo F : R R satisfazendo as propriedades acima chamada funo de distribuio.

Exerccio 2.1.11. Mostre que

1. P (X > a) = 1 FX(a).2. P (a < X 6 b) = FX(b) FX(a).3. P (X = a) = FX(a) FX(a).

Ou seja, P (X = a) o tamanho do salto da funo de distribuio em x = a.

4. P (X = a) = 0 se e somente se FX contnua em a.

5. P (a < X < b) = FX(b) FX(a).6. P (a 6 X < b) = FX(b) FX(a).7. P (a 6 X 6 b) = FX(b) FX(a).

Exerccio 2.1.12. Seja F (x) a funo

F (x) =

0, x < 0,

x+ 12 , 0 6 x 612

1, x > 12 .


Mostre que F de fato uma funo de distribuio e calcule:

(a) P (X > 18 )

(b) P (18 < X 18 )

2.2 Variveis Aleatrias Discretas

Definio 2.2.1 (Varivel Aleatria Discreta). Dizemos que uma varivelaleatria X , sua funo de distribuio FX e sua lei PX so discretas se existeum conjunto enumervel {x1, x2, x3, . . . } R tal que

n=1

P (X = xn) = 1.

Neste caso definimos a funo de probabilidade de uma varivel aleatriacontnua como

pX(x) = P (X = x).

Note que, se X discreta assumindo valores em {x1, x2, x3, . . . }, ento temos queP (X {x1, x2, . . . }) = 1 e P (X 6 {x1, x2, . . . }) = 0. No tratamento de variveisaleatrias discretas, tudo pode ser feito em termos de somatrios. A lei de umavarivel aleatria discreta dada por

PX(B) =xB

pX(x) B B.

Uma funo p() satisfazendop(x) > 0 x R,

xR

p(x) = 1,

2.2. VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS 37

chamada funo de probabilidade.

Exerccio 2.2.2. A probabilidade de um indivduo acertar um alvo 23 . Eledeve atirar at atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a varivel aleatria querepresenta o nmero de tentativas at que ele acerte o alvo.

(a) Encontre a funo de probabilidade de X .

(b) Mostre que pX funo de probabilidade.

(c) Calcule a probabilidade de serem necessrios exatamente cinco tiros para queele acerte o alvo.

Exerccio 2.2.3. Seja X uma varivel aleatria com funo de probabilidadeP (X = x) = cx2, onde c uma constante e k = 1, 2, 3, 4, 5.

(a) Encontre pX(x) e FX(x).

(b) Calcule P (X ser mpar).

Principais distribuies discretas

Para especificar a distribuio ou a lei de uma varivel aleatria discreta, suficientesaber sua funo de probabilidade, e vice-versa. Com efeito,

FX(t) =x6t

pX(x)

epX(x) = F (x) F (x).

Distribuio de Bernoulli Dizemos que X Bernoulli, X Bernoulli(p), sepX(1) = p e pX(0) = 1 p. Indicadores de eventos so Bernoulli e vice-versa. svezes associamos o evento [X = 1] a sucesso e [X = 0] a fracasso.

Distribuio uniforme discreta Dado I = {x1, x2, . . . , xk}, dizemos que Xtem distribuio uniforme discreta em I, denotado por X Ud[I], se

pX(xi) =1k, i = 1, 2, . . . , k.

Exemplo 2.2.4. Lanamento de um dado. Temos I = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e p(i) = 16 ,i = 1, 2, . . . , 6.


Distribuio binomial Considere n ensaios de Bernoulli independentes e commesmo parmetro p, e seja X o nmero de sucessos obtidos. Dizemos que X segueo modelo binomial com parmetros n e p, X b(n, p). A funo de probabilidade dada por

pX(x) =(nx

)px(1 p)nx, x = 0, 1, 2, . . . , n.

Exemplo 2.2.5. Lanar um dado 4 vezes e contar o nmero de vezes que se obtmo nmero 3. Temos X b(4, 16 ). A probabilidade de se obter 3 duas vezes dadapor

P (X = 2) = pX(2) =(42

) (16

)2 ( 56

)42=

4!2!(4 2)!

52

64=

25216

.

Exerccio 2.2.6. Seja X o nmero de caras obtidas em 4 lanamentos de umamoeda honesta. Construa a funo de probabilidade e a funo de distribuiode X esboando os seus grficos.

Distribuio geomtrica Numa sequncia de ensaios independentes com proba-bilidade de sucesso p, considere o nmero X de ensaios necessrios para a obtenode um sucesso. Dizemos que X segue o modelo geomtrico de parmetro p,X Geom(p), e sua funo de probabilidade dada por

pX(n) = p(1 p)n1, n = 1, 2, 3, 4, . . . .

Exemplo 2.2.7. Lanar um par de dados at obter nmeros iguais. Se X denotao nmero de lanamentos necessrios, ento X Geom(16 ).

Distribuio hipergeomtrica Suponha que numa caixa existemm bolas azuise n bolas brancas, de onde retiramos r bolas ao acaso. Contamos o nmero Xde bolas azuis retiradas. Se aps cada retirada a bola fosse devolvida caixa,teramos um experimento com reposio, e X b(r, mm+n ). No caso em que asbolas retiradas so guardadas fora da caixa, temos um experimento sem reposio,e nesse caso X segue o modelo hipergeomtrico com parmetrosm, n e r, denotadopor X Hgeo(m,n, r). A funo de probabilidade de X dada por

pX(k) =

(mk

)(n

rk)(

m+nr

) , para [0 r n] 6 k 6 [r m].Denotamos por a b e a b o mximo e o mnimo entre a e b, respectivamente.

2.3. VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS 39

Exemplo 2.2.8. Num jogo de bingo com 50 pedras, conta-se o nmeroX de pedraspares sorteadas nas 10 primeiras retiradas. Neste caso, X Hgeo(25, 25, 10).Exemplo 2.2.9. No jogo de buraco um jogador recebe 11 cartas de um baralhofrancs de 52 cartas. Conta-se o nmero X de cartas de espadas . Neste caso,X Hgeo(13, 39, 11).

Distribuio de Poisson Imagine uma grande quantidade de determinados ob-jetos (estrelas, chamadas telefnicas, uvas-passas, etc.) uniformemente distribudasem uma certa regio (o espao, a linha do tempo, uma massa de panetone, etc.)tambm muito grande, sendo a proporo entre a quantidade de objetos e otamanho dessa regio. Se contamos o nmero X de objetos encontrados em umaunidade de volume dessa regio, temos que X segue o modelo de Poisson comparmetro , denotado por X Poisson(), com funo de probabilidade

pX(k) =ek

k!, k = 0, 1, 2, 3, . . . .

De fato, se temos n grande e pn = n , ento para todo k fixado temos

P (X = k) =(nk

) (n

)k (1 n

)nk=

k

k!

(nnn1n nk+1n

) (1 n

)nk ekk!

.

Exemplo 2.2.10. Se em 1.000 horas de servio uma operadora recebe 50.000 cha-madas, essas chamadas acontecendo em instantes independentes e uniformementedistribudas ao longo dessas 1.000 horas, ento a distribuio da quantidade X dechamadas recebidas em 1 hora bem aproximada por X Poisson(50).

2.3 Variveis Aleatrias Contnuas

Definio 2.3.1. Uma varivel aleatria X dita contnua se P (X = a) = 0 paratodo a R, ou seja, se FX for contnua no sentido usual.

Definio 2.3.2. Dizemos que uma varivel aleatria X , sua funo dedistribuio FX e sua lei PX so absolutamente contnuas se existe fX() > 0tal que

PX(B) = P (X B) =B

fX(x) dx B B.


Neste caso, dizemos que fX a funo de densidade de probabilidade de X , ousimplesmente densidade de X .

Observao 2.3.3. No tratamento de variveis aleatrias absolutamente cont-nuas, tudo pode ser feito em termos de integrais. A funo de distribuio de umavarivel aleatria absolutamente contnua dada por

FX(t) = t

fX(s) ds.

Observao 2.3.4. Uma funo f() satisfazendo

f(x) > 0 x R, +

f(x) dx = 1,

chamada funo de densidade.

Observao 2.3.5. A densidade fX pode ser obtida por

fX(x) =ddx

FX(x),

para todo x R, exceto talvez para um conjunto pequeno.2 Portanto, paraespecificar a distribuio ou a lei de uma varivel aleatria absolutamente contnua, suficiente saber sua funo de densidade, e vice-versa.

2 Dizemos que um conjunto A B pequeno, isto , tem medida zero, se, para todo > 0,

existe uma sequncia de intervalos (an, bn) cuja unio contenha A e cujo tamanho total seja

pequeno, isto ,

n=1(bn an) 6 . Por exemplo, se A = {x1, x2, . . . } enumervel, ento

podemos tomar a sequncia de intervalos (xn 2n1, xn + 2n1), que contm A e cujo

tamanho total exatamente . Podemos modificar a densidade fX em um conjunto pequeno de

pontos e ainda teremos uma densidade para X, pois um conjunto pequeno no altera o valor da

integral.


Exemplo 2.3.6. Sortear um nmero em [0, 1]. Definimos

fX(x) =

{1, x [0, 1]0, caso contrrio,

e neste caso temos

FX(t) = t

fX(x) dx =

0, t 6 0,

t, 0 6 t 6 1,

1, t > 1.

Exerccio 2.3.7. Seja X uma varivel aleatria absolutamente contnua tal quesua funo de densidade par, isto , fX(x) = fX(x). Mostre que

(a) FX(x) = 1 FX(x);(b) FX(0) = 12 ;

(c) P (x < X < x) = 2FX(x) 1, x > 0;(d) P (X > x) = 12

x0fX(t)dt, x > 0.

Exerccio 2.3.8. Seja Z uma varivel aleatria contnua com funo de densidadede probabilidade

fZ(z) ={

10 e10z, z > 00, z 6 0

Obtenha a funo de distribuio de Z e esboce o seu grfico.

Distribuio uniforme Dizemos que a varivel aleatria X tem distribuiouniforme no intervalo [a, b], denotado por X U [a, b], se todos os subintervalosde [a, b] com mesmo comprimento tiverem a mesma probabilidade. Sua densidade

fX(x) =1

b a 1[a,b](x) ={

1ba , x [a, b],0, x 6 [a, b].

A distribuio uniforme a distribuio contnua mais simples. Segundo estadistribuio, a probabilidade de X estar em um dado subintervalo de [a, b] dependeapenas do comprimento desse subintervalo.

A distribuio uniforme pode ser pensada como o limite de uma distribuiouniforme discreta em {a, a+ ban , a+ 2 ban , . . . , a+ (n 2) ban , a+ (n 1) ban , b},quando n muito grande.


Exemplo 2.3.9. O ponto de ruptura X de algum cabo numa rede eltrica de 5 kmpode ser modelado por uma varivel aleatria com distribuio uniforme em [0, 5].Neste caso temos que fX = 151[0,5]. A probabilidade de um determinado cabo se

romper nos primeiros 800 m da rede igual a 0,80

15dx = 16%.

Distribuio exponencial Dizemos que X tem distribuio exponencial comparmetro > 0, denotado por X exp(), se sua funo de distribuio for dadapor

FX(x) =

{1 ex, x > 0,0, x 6 0.

A distribuio exponencial se caracteriza por ter uma funo de taxa de falhaconstante, o que chamamos de perda de memria.

Exemplo 2.3.10. Quando se diz que uma lmpada incandescente de uma deter-minada marca tem vida mdia de 1.000 horas, isso quer dizer que seu tempo devida T satisfaz T exp( 11000 ).A distribuio exponencial pode ser pensada como como o limite de distribuiesgeomtricas com pequenos intervalos de tempo. Isto , se X 1n Geom(n ) com nmuito grande, ento a distribuio de X se aproxima da distribuio exponencialcom parmetro . Essa a distribuio adequada para modelar a vida til deuma lmpada, ou de inmeros outros materiais, como leos isolantes, porque estesdeixam de funcionar no por deteriorao ao longo do tempo mas sim porque umdeterminado evento passvel de causar a falha pode ocorrer a qualquer instantecom uma probabilidade muito pequena.

Distribuio gama A distribuio gama tem dois parmetros, e , e incluicomo casos particulares a distribuio exponencial e as chamadas qui-quadrado eErlang. Dizemos que X tem distribuio gama com parmetros positivos e ,denotado por X Gama(, ), se X tem densidade dada por

fX(x) =

x1ex

(), x > 0,

0, x < 0,

onde

() = 0

x1ex dx.


Distribuio normal Dizemos que a varivel aleatria X tem distribuionormal com parmetros R e 2 > 0, denotado por X N (, 2), se Xtem como densidade

fX(x) =122

e(x)2

22 , x R.

A distribuio N = N (0, 1) chamada normal padro.Denotamos por a funo de distribuio acumulada de uma normal padro N ,dada por

(t) = FN (t) = P (N 6 t) = t

ex2/2

2

dx.

Em geral, a soluo de problemas numricos envolvendo a distribuio normal incluia consulta de uma tabela de valores de ((t); t > 0) com os valores de t apropriados.Na Tabela 2.1 exibimos os valores de (t) para t = 0, 00, 0, 01, 0, 02, . . . , 3, 49.

Para t < 0 usa-se a identidade

(t) = 1 (t).

Consequentemente,

P (+a < N < +b) = (b) (a)P (a < N < b) = (b) (a) = (a) (b)P (a < N < +b) = (b) (a) = (b) + (a) 1.

Em particular,P (a < N < a) = 2(a) 1.

Exemplo 2.3.11. Calculemos as seguintes probabilidades:

(a) P (0 < N < 1) = (1) (0) 0, 8413 0, 5000 = 0, 3413.(b) P (1.93 < N < 3) = (1.93) + (3) 1 0, 9732 + 0, 9988 1 = 0, 9720.(c) P (1.8 < N < 1.8) = 2(1.8) 1 2 0, 9641 1 = 0, 9282.(d) Para qual x tem-se P (x < N < x) = 0, 90?

2(x) 1 = 0, 90 (x) = 0, 95 x 1, 645.(e) Para qual x tem-se P (x < N < x) = 0, 6826?

2(x) 1 = 0, 6826 (x) = 0, 8413 x 1, 000.


Tabela 2.1: (x+ y), onde x so os valores das linhas e y os das colunas.0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

2.4. DISTRIBUIES MISTAS E SINGULARES 45

Exerccio 2.3.12. Mostre que, se Y = aX + b com a > 0 e b R, ento fY (y) =1afX(

yba ). Sugesto: determine FY (y), y R, em termos de fX(x), x R,

sabendo que FX(t) = t fX(x) dx, e depois tome a derivada.

Exerccio 2.3.13. Mostre que se X N (, 2) ento a varivel aleatria Xtem distribuio normal padro.

2.4 Distribuies Mistas e Singulares

Uma varivel aleatria discreta X vive em um conjunto enumervel de pontos cujaprobabilidade de ocorrncia positiva, e nesse contexto tudo se expressa em termosde somatrios ponderados pela funo pX . Uma varivel aleatria absolutamentecontnua X vive em R, sua distribuio em cada intervalo (n, n+ 1] similar deuma distribuio uniforme, apenas seu peso ponderado pela funo fX . Nessecontexto tudo se expressa em termos de integrais com fX(x) dx.

Existem variveis aleatrias que so misturas dos tipos discreto e absolutamentecontnuo. Neste caso a varivel pode ser decomposta, separando-se as suas partesdiscreta e absolutamente contnua, e suas propriedades sero determinadas porcombinaes de somatrios e integrais. Mais precisamente, dizemos que X umavarivel aleatria mista com componentes discreta e absolutamente contnua seexistem pX e fX tais que

P (X B) =xB

pX(x) +B

fX(x) dx.

Distribuies singulares Alm desses casos, existem variveis aleatrias cujaparte contnua no absolutamente contnua. Por um lado, nenhum ponto emparticular tem probabilidade positiva de ocorrer, o que afasta o tratamento porsomatrios do caso discreto. Por outro lado, sua distribuio no similar deuma distribuio uniforme, e de fato a varivel aleatria vive em um conjuntopequeno da reta, no sendo aplicvel tampouco o uso de integrais em f(x)dx paranenhuma f . A tais variveis chamamos de singulares.

Toda varivel aleatria pode ser decomposta em suas partes discreta, absoluta-mente contnua, e singular. Neste texto no daremos nfase a esse tpico. O leitorpode ler mais a respeito em [Jam04, pp. 44-48], e nas referncias ali citadas.


2.5 Distribuio Condicional dado um Evento

Dado um evento A com P (A) > 0, definimos a funo de distribuio condicionalde X dado A

FX(t|A) = FX|A(t) = P (X 6 t|A), t R.Exemplo 2.5.1. Considere dois lanamentos de uma moeda honesta e seja X onmero de caras obtidas. Temos

FX(t) =

0, t < 0,14 , 0 6 t < 1,34 , 1 6 t < 2,

1, t > 2.

Seja A o evento pelo menos uma moeda deu cara. Temos

FX(t|A) =

0, t < 1,23 , 1 6 t < 2,

1, t > 2.

Se X discreta, definimos ainda a funo de probabilidade condicional de X dadoA, pX( |A) ou pX|A( ), como a funo de probabilidade associada funo dedistribuio FX( |A). No exemplo acima, temos

pX(x|A) =

23 , x = 1,13 , x = 2,

0, caso contrrio.

Se X absolutamente contnua, definimos a funo de densidade condicional de Xdado A, fX( |A) ou fX|A( ), como a densidade associada funo de distribuioFX( |A).

2.6 Exerccios

Exerccio 2.6.1. Mostre que, se duas variveis aleatrias X e Y so iguais quasecertamente, isto , P (X = Y ) = 1, ento FX = FY .

2.6. EXERCCIOS 47

Exerccio 2.6.2. Encontre os valores das constantes reais e de modo que afuno F abaixo seja funo de distribuio acumulada de alguma varivel aleatriadefinida em algum espao de probabilidade:

F (x) =

{0, x 6 0,

+ ex2/2, x > 0.

Exerccio 2.6.3. Seja X o nmero de caras obtidas em 4 lanamentos de umamoeda honesta. Determine a funo de probabilidade de X . Desenhe o grfico dafuno de distribuio da varivel aleatria X .

Exerccio 2.6.4. Se

f(t) =

{e3t + c et, t > 0,

0, t 6 0,

funo de densidade, ache c.

Exerccio 2.6.5. Se f(t) = c 3t2et1[0,2](t) funo de densidade, ache c.

Exerccio 2.6.6. Mostre que a funo de probabilidade do modelo de Poisson de fato uma funo de probabilidade.

Exerccio 2.6.7. Perda de memria do modelo geomtrico.

1. Mostre que P (X > m+ n|X > n) = P (X > m) para inteiros no-negativos,se X segue o modelo geomtrico.

2. Se X segue o modelo geomtrico, prove que a distribuio de X dado queX > n igual distribuio de X + n.

Exerccio 2.6.8. Mostre que a densidade do modelo uniforme contnuo de fatouma funo de densidade.

Exerccio 2.6.9. Mostre que a distribuio do modelo exponencial de fato umadistribuio. Calcule a densidade associada.

Exerccio 2.6.10. Seja X uma varivel aleatria em (,F , P ) com distribuioexponencial de parmetro > 0. Considere N = X, o menor inteiro maior ouigual a X . Encontre a distribuio de N .

Exerccio 2.6.11. Uma pesquisa eleitoral determinou que a inteno de voto doCandidato A de 46%, com margem de erro de 3%, para mais ou para menos.


Ou seja, a inteno de voto desse candidato tem distribuio normal com mdia = 46% e desvio-padro = 3%. Calcule a probabilidade de o Candidato A termais de 50% das intenes de voto.

Exerccio 2.6.12. Uma caixa contm 10 parafusos, cujos tamanhos so normaisindependentes, com mdia 21, 4mm e desvio-padro 0, 5mm. Calcule a probabili-dade de que nenhum dos parafusos tenha mais de 22mm.

Exerccio 2.6.13. Perda de memria do modelo exponencial.

1. Mostre que P (X > t + s|X > s) = P (X > t) para t, s > 0 se X temdistribuio exponencial.

2. Mostre que a distribuio de X dado que X > s igual distribuio deX + s.

Exerccio 2.6.14. Se X exp() e Y = 5X , ache a distribuio acumulada de Y .Ache a funo de distribuio condicional e a densidade condicional de Y dadoque X > 3.

Exerccio 2.6.15. [Jam04, Captulo 2]. Recomendados: 1, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14.

Captulo 3

Vetores Aleatrios

Imagine que queremos produzir duas variveis aleatrias com distribuioBernoulli(12 ). A forma mais natural seria lanar uma moeda duas vezes e consideraro par X = (Z,W ). Uma outra forma de faz-lo seria, por exemplo, lanar a moedaapenas uma vez e copiar o resultado: Y = (Z,Z).

Em ambos os casos, produziu-se um par de variveis aleatrias distribudas comoBernoulli(12 ). Entretanto, o comportamento conjunto dessas variveis aleatrias bem diferente nos dois casos.

Neste captulo vamos estudar as principais propriedades dos vetores aleatrios,isto , a combinao de muitas variveis aleatrias em que se considera seucomportamento estatstico conjunto.

3.1 Vetores Aleatrios

Comeamos com um pouco de notao vetorial. x Rd representa uma d-upla denmeros reais, x = (x1, x2, . . . , xd). Uma funo X em associa a cada umad-upla, i.e., um vetor X() = (X1(), X2(), . . . , Xd()).

Denotamos por x 6 y o conjunto de desigualdades xi 6 yi, i = 1, . . . , d, isto, x 6 y se, e somente se, vale a desigualdade para todas as coordenadassimultaneamente. Analogamente denotamos por x < y o conjunto de desigualdadesxi < yi, i = 1, . . . , d. Dados a 6 b, denotamos por [a, b] o conjunto {x Rd : a 6

49

50 CAPTULO 3. VETORES ALEATRIOS

x 6 b}. Analogamente para (a, b], etc.

Definio 3.1.1 (Vetor aleatrio). Um vetor aleatrio X = (X1, . . . , Xd) uma funo X : Rd tal que cada coordenada Xi uma varivel aleatria.

Espao de probabilidade induzido e lei de um vetor aleatrio Como nareta, a -lgebra de Borel no espao Euclidiano Rd, denotada por Bd, a menor-lgebra que contm todos os octantes {x Rd : x 6 t}, t Rd. Dado umespao de probabilidade (,F , P ) e um vetor aleatrio X, definimos o espao deprobabilidade induzido por X como (Rd,Bd, PX), onde

PX(B) = P({ : X() B}) , B Bd.

Ou seja, o espao amostral o conjunto dos vetores d-dimensionais, os eventos ale-atrios so os conjuntos Borelianos, e a medida de probabilidade aquela induzidapor X. Chamaremos de lei do vetor aleatrio X a medida de probabilidade PXem Rd induzida por X.

Funo de Distribuio Conjunta

Definio 3.1.2 (Funo de Distribuio Conjunta). A funo de distribuioconjunta de um vetor aleatrio X, denotada por FX , uma funo FX : Rd R dada por

FX (t) = P(X 6 t

).

Exemplo 3.1.3. Lanamos duas moedas honestas e consideramos X1 = quan-tidade de caras, X2 = 1 se os resultados forem iguais, 0 se forem diferentes, e

3.1. VETORES ALEATRIOS 51

X = (X1, X2). Temos ento

P (X 6 t) =

0, t1 < 0 ou t2 < 0, pois [X 6 t] = ;0, t1, t2 [0, 1), pois [X 6 t] = [X1 = 0, X2 = 0] = ;12 , t1 > 1, t2 [0, 1), pois [X 6 t] = [X1 = 1, X2 = 0];14 , t1 [0, 1), t2 > 1, pois [X 6 t] = [X1 = 0, X2 = 0];34 , t1 [1, 2), t2 > 1, pois [X 6 t] = [X1 = 0 ou 1];1, t1 > 2, t2 > 1, pois [X 6 t] = .

Os valores de FX so ilustrados na Figura 3.1.

t1

t2

1/4

1/2

3/4

1

1

1

2

0

Figura 3.1: Valores assumidos por FX(t1, t2) para cada (t1, t2) R2.

Considere o operador ia,b sobre funes de Rd em R, dado por(

ia,bF)(x) = F (x1, . . . , xi1, b, xi+1, . . . , xd) F (x1, . . . , xi1, a, xi+1, . . . , xd).

Note que a funo ia,bF no depende da i-sima coordenada de x.

Proposio 3.1.4. Para a 6 b Rd, 1a1,b1 dad,bdFX = P (a < X 6 b).

Demonstrao. Para quaisquer x,a 6 b, temos

dad,bdFX(x) = P (X1 6 x1, . . . , Xd1 6 xd1, Xd 6 bd) P (X1 6 x1, . . . , Xd1 6 xd1, Xd 6 ad) == P (X1 6 x1, . . . , Xd1 6 xd1, ad < Xd 6 bd),


e sucessivamente obtemos

jaj ,bj dad,bdFX(x) =[jaj ,bj

(j+1aj+1,bj+1 dad,bdFX

)](x) =

= P (X1 6 x1, . . . , Xj1 6 xj1, Xj 6 bj, aj+1 < Xj+1 6 bj+1, . . . , ad < Xd 6 bd) P (X1 6 x1, . . . , Xj1 6 xj1, Xj 6 aj, aj+1 < Xj+1 6 bj+1, . . . , ad < Xd 6 bd) == P (X1 6 x1, . . . , Xj1 6 xj1, aj < Xj 6 bj , . . . , ad < Xd 6 bd).

Tomando j = 1 temos

1a1,b1 dad,bdFX(x) = P (a1 < X1 6 b1, . . . , ad < Xd 6 bd).

Proposio 3.1.5 (Propriedades da Funo de Distribuio Conjunta). Se X um vetor aleatrio em (,F , P ), ento sua funo de distribuio FX gozadas seguintes propriedades:

1. FX no-decrescente em cada uma de suas coordenadas.

2. FX contnua direita em cada uma de suas coordenadas.

3. Se (xk)k tal que, para algum j, xkj , ento FX(x) 0.4. Se (xk)k tal que, para todo j, xkj +, ento FX (x) 1.5. Para a 6 b Rd, 1a1,b1 dad,bdFX > 0.


Contra-Exemplo 3.1.6. Considere a seguinte funo:

F (x, y) =

{1, x > 0, y > 0, x+ y > 1,

0, caso contrrio.

Ento 10,120,1F = F (1, 1)F (1, 0)F (0, 1)+F (0, 0) = 1 1 1 + 0 = 1 < 0.

Portanto, F no pode ser funo de distribuio conjunta, ainda que satisfaa asPropriedades 14.

3.2. TIPOS DE VETORES ALEATRIOS 53

Funo de distribuio marginal

A partir da funo de distribuio conjunta, pode-se obter o comportamento decada varivel isoladamente.

A funo de distribuio de uma das coordenadas do vetor X denominadafuno de distribuio marginal e obtida da seguinte forma:

FXj (xj) = limxii6=j

FX (x1, . . . , xd),

em que o limite aplicado em todas as coordenadas, exceto j.


Exemplo 3.1.7. No Exemplo 3.1.3, temos

FX1 (t) =

0, t < 0,14 , 0 6 t < 1,34 , 1 6 t < 2,

1, t > 2,

FX2(t) =

0, t < 0,12 , 0 6 t < 1,

1, t > 1.

3.2 Tipos de Vetores Aleatrios

Os principais tipos de vetores aleatrios so o discreto, o absolutamente contnuo,e o misto com componentes discreta e absolutamente contnua. Porm, h muitosexemplos de vetores aleatrios que no so de nenhum desses tipos, e esses exemplosno so to artificiais como as variveis aleatrias singulares.

Vetores Aleatrios Discretos

Definio 3.2.1. Dizemos que um vetor aleatrio X, sua funo de distri-buio FX e sua lei PX so discretos se existem {x1,x2,x3, . . . } tais que


P(X {x1,x2,x3, . . . }) = 1. Neste caso, a funo de probabilidade de X

dada porpX(x) = P

(X = x

).

Um vetor aleatrio X discreto se e somente se suas coordenadas X1, . . . , Xd sodiscretas. Uma funo p() satisfazendo

x

p(x) = 1 e p(x) > 0, x Rd

chamada funo de probabilidade conjunta.

Funo de probabilidade marginal A funo de probabilidade marginalde uma varivel Xi obtida somando-se nas demais variveis:

pXi(xi) = P (Xi = xi) =x1

xi1

xi+1

xd

p(x1, . . . , xi1, xi, xi+1, . . . , xd).


Exerccio 3.2.2. No Exemplo 3.1.3, obtenha a funo de probabilidade de X, eas funes de probabilidade marginais de X1 e X2.

Vetores Aleatrios Absolutamente Contnuos

Definio 3.2.3. Dizemos que um vetor aleatrio X, sua funo de distri-buio FX e sua lei PX so absolutamente contnuos se existe fX() > 0 talque

P (X B) =B

fX(x) ddx B Bd.

3.2. TIPOS DE VETORES ALEATRIOS 55

Neste caso, dizemos que fX a funo de densidade conjunta de X, ousimplesmente densidade de X.

Uma funo f() satisfazendo

f(x) > 0, x Rd eRd

f(x) ddx = 1

chamada funo de densidade conjunta.

A funo de distribuio conjunta FX pode ser calculada integrando-se a funode densidade conjunta fX em cada coordenada, e esta sempre pode ser calculadaderivando-se aquela tambm em cada coordenada, isto ,

FX(t) = t1

td

fX(x) dxd dx1,

fX(x) =d

x1 xdFX(x1, . . . , xd).

Exemplo 3.2.4. Seja G Rd uma regio tal que VolG > 0, onde VolG o volumed-dimensional de G. Dizemos que X = (X1, X2, . . . , Xd) com funo de densidade

fX(x1, . . . , xd) =

{1

VolG , (x1, . . . , xd) G0, (x1, . . . , xd) / G

uniformemente distribudo em G.

Observao 3.2.5. Se um vetor aleatrio X absolutamente contnuo, entosuas coordenadas X1, . . . , Xd so absolutamente contnuas, mas no vale arecproca! De fato, muito fcil construir um vetor aleatrio contnuo que no absolutamente contnuo.


Exerccio 3.2.6. Seja X U [0, 1], Y = 1 X e X = (X,Y ). Encontrea funo de distribuio conjunta FX(x, y). Verifique que

2

yxFX (x, y) = 0para todo par (x, y) no plano R2, exceto em algumas retas ou segmentos dereta.1 As coordenadas de X so absolutamente contnuas, mas o vetor X no absolutamente contnuo!

Densidade marginal A densidade de uma varivelXi chamada densidademarginal, e pode ser calculada por

fXi(xi) = +

+

d1 vezes

f(x1, . . . , xi, . . . , xd) dx1 dxd exceto xi

.


Exerccio 3.2.7. Sejam trs variveis aleatriasX , Y e Z com funo de densidadeconjunta dada por

f(x, y, z) ={

kxy2z, se 0 < x 6 1, 0 < y 6 1 e 0 < z 62

0, caso contrrio

Encontre o valor de k e ache a funo de densidade marginal de X .

Vetores Aleatrios Mistos

Como no caso uni-dimensional, dizemos que um vetor aleatrio X do tipo mistocom componentes discreta e absolutamente contnua se existem pX e fX tais que

P (X B) =xB

pX(x) +B

fX(x) ddx B Bd.

1Dizemos que um Boreliano A Bd pequeno, isto , tem medida zero, se, para todo > 0,

existe uma sequncia de paraleleppedos (aj , bj) cuja unio contenha A e cujo tamanho total seja

pequeno, isto ,

j=1(bj1 a

j1) (b

j

d aj

d) 6 . Por exemplo, se A = {(x, y) : x > 0, y = 0}

uma semi-reta no plano, ento podemos tomar a sequncia (j 1, j) (2j1, 2j1). Essa

sequncia contm a semi-reta A e seu tamanho total exatamente .

3.3. INDEPENDNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS 57

3.3 Independncia de Variveis Aleatrias

Definio 3.3.1 (Variveis Aleatrias Independentes). Dizemos que as vari-veis aleatrias X1, X2, . . . , Xd em (,F , P ) so coletivamente independentes,ou simplesmente independentes, se

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) = P (X1 B1) P (Xd Bd)

para quaisquerB1, . . . , Bd B. Se I uma famlia qualquer de ndices, dizemosque (Xi)iI so coletivamente independentes seXi1 , . . . , Xin so independentespara todo n N e i1, . . . , in I.

Dada uma famlia de variveis aleatrias independentes, qualquer subfamlia tambm formada por variveis aleatrias independentes.

Muitas vezes vamos considerar uma famlia de variveis aleatrias que, alm deserem independentes, tm a mesma distribuio, o que chamamos de independentese identicamente distribudas, ou simplesmente i.i.d.

Proposio 3.3.2 (Critrio de Independncia). So equivalentes:

(i) X1, X2, . . . , Xd so independentes.

(ii) FX (t) = FX1 (t1)FX2 (t2) FXd(td) para todo t Rd.(iii) FX (t) = F1(t1)F2(t2) Fd(td) para todo t Rd, com F1, . . . , Fd funes

reais.

Ideia da prova. (i) (ii) (iii) so triviais. Suponha (iii). Calculando amarginal temos

FXi (xi) = limxjj 6=i

FX(x) = Fi(xi) j 6=i

limxj

Fj(xj) = ci Fi(xi),


onde ci 6= 0 pois FXi no pode ser uma funo constante. Assim,

FX(x1, . . . , xd) =1

c1 cd FX1(x1) FXd(xd).

Fazendo xi i, temos que c1 cd = 1, portanto (iii) (ii).Assumindo (ii), vamos mostrar (iii) supondo que os Bi so unies de intervalosdisjuntos. Observe que se Bi = (ai, bi] para i = 1, . . . , d, temos

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) = 1a1,b1 dad,bdFX(x)= 1a1,b1 dad,bd [FX1 (x1) FXd(xd)]= [1a1,b1FX1 (x1)] [dad,bdFXd(xd)]= P (X1 B1) P (Xd Bd).

A mesma identidade se estende para Bi = [ai, bi] tomando-se o limite a ai,analogamente para intervalos abertos ou semi-infinitos, e por linearidade vale paraunies de intervalos disjuntos. A extenso a todo Bi B envolve argumentos deTeoria da Medida e ser omitida.

Proposio 3.3.3 (Critrio de Independncia. Caso Discreto). Seja X umvetor aleatrio discreto. So equivalentes:


(ii) pX(t) = pX1(t1)pX2(t2) pXd(td) para todo t Rd.(iii) pX(t) = p1(t1)p2(t2) pd(td) para todo t Rd, com p1, . . . , pd funes

reais.

Demonstrao. (i) (ii) (iii) so triviais. Suponha (iii). Para xi tal quepXi(xi) > 0, calculando a marginal temos

pXi(xi) =xj

xi1

xi+1

xd

pX(x) = pi(xi) j 6=i

xj

pj(xj) = ci pi(xi),

onde ci 6= 0. Assim,

pX(x1, . . . , xd) =1

c1 cd pX1(x1) pXd(xd).

3.3. INDEPENDNCIA DE VARIVEIS ALEATRIAS 59

Somando em x, temos que c1 cd = 1, portanto (iii) (ii).Suponha (ii). Temos que

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) =

x1B1

xdBd

pX(x) =

=

[ x1B1

pX1(x1)

] [ xdBd

pXd(xd)

]= P (X1 B1) P (Xd Bd),

e portanto (ii) (i).

Proposio 3.3.4 (Critrio de Independncia. Caso Contnuo). Seja X umvetor aleatrio absolutamente contnuo. So equivalentes:


(ii) fX(t) = fX1(t1)fX2(t2) fXd(td) para todo t Rd.(iii) fX(t) = f1(t1)f2(t2) fd(td) para todo t Rd, com f1, . . . , fd funes

reais.

Demonstrao. (i) (ii) (iii) so triviais. Suponha (iii). Para Bi B tal queP (Xi Bi) > 0,

PXi(Bi) =Rd

1Bi(xi)fX(x) ddx =

Bi

fi(xi)dxij 6=i

R

fj(xj) dxj = ci

Bi

fi(xi)dxi,

onde ci 6= 0. Logo, fXi(xi) = ci fi(xi) para todo xi R. Assim,

fX(x1, . . . , xd) =1

c1 cd fX1(x1) fXd(xd).

Integrando em Rd, temos que c1 cd = 1, portanto (iii) (ii).Suponha (ii). Temos que

P (X1 B1, . . . , Xd Bd) =B1Bd

fX(x) ddx =

=[

B1

fX1(x1) dx1

] [

Bd

fXd(xd) dxd

]= P (X1 B1) P (Xd Bd),

e portanto (ii) (i).


Definio 3.3.5 (Variveis Aleatrias Independentes Duas a Duas). Se I uma famlia qualquer de ndices, dizemos que (Xi)iI so duas a duasindependentes se Xi e Xj so independentes para quaisquer i 6= j I.

Segue das definies que uma famlia de variveis aleatrias coletivamente indepen-dentes tambm independente duas a duas. Entretanto no vale a recproca.

Contra-Exemplo 3.3.6. Sejam X e Y independentes assumindo os valores 1ou +1 com probabilidade 12 cada, e tome Z = XY . Ento temos

pX,Y,Z(x, y, z) =

{14 , (x, y, z) = (1, 1, 1), (1,1, 1), (1,1,1), (1, 1,1),0, caso contrrio.

Ento X , Y e Z no so coletivamente independentes, pois

pX,Y,Z(1, 1, 1) =146= 1

8= pX(1)pY (1)pZ(1).

Entretanto, X , Y e Z so duas a duas independentes.

3.4 Mtodo do Jacobiano

Suponha que o vetor aleatrio X absolutamente contnuo e assume valores emum domnio G0 Rd, e que estamos interessados em estudar o vetor aleatrio Ydado por uma transformao Y = g(X). Vamos considerar o caso em queg : G0 G, G Rd, bijetiva e diferencivel, com inversa g1 = h : G G0tambm diferencivel. Escrevemos a transformada inversa como X = h(Y ) edefinimos os Jacobianos:

Jh(y) = det(x

y

)= det

x1y1

x1yd...

. . ....

xdy1

xdyd

e

Jg(x) = det(y

x

)= det

y1x1

y1xd...

. . ....

ydx1

ydxd

.

3.4. MTODO DO JACOBIANO 61

O Jacobiano satisfaz a seguinte identidade:

Jh(y) =1

Jg(x).

Proposio 3.4.1 (Mtodo do Jacobiano). Sejam G0, G Rd, g : G0 Guma bijeo e h = g1, e suponha que g e h sejam diferenciveis. Se X umvetor aleatrio absolutamente contnuo assumindo valores em G0, e Y = g(X),ento a densidade fY pode ser obtida a partir da densidade fX pela relao

fY (y) =Jh(y) fX(h(y)) = 1|Jg(x)| fX(h(y)).

Ideia da prova. Pelo clculo de vrias variveis, sabemos que se o jacobiano forno-nulo para todo y G, ento

A

f(x) ddx =g(A)

f(h(y)) |Jh(y)| ddy

para qualquer f integrvel em A, onde A G0. Como P (Y g(A)) dada porP (X A), e esta ltima dada pelo lado esquerdo da expresso acima com f = fX ,temos que o integrando do lado direito necessariamente dado por fY (y).

Exemplo 3.4.2. Considere o vetor aleatrio X = (X1, X2) com densidade

fX(x1, x2) =

{4x1x2, x1, x2 [0, 1],0, caso contrrio,

e o vetor Y dado por Y1 = X1/X2, Y2 = X1X2. Temos y = h(x) = (x1/x2, x1x2)e

y

x=[1/x2 x1/x22x2 x1

]e Jg(x) = 2x1/x2. Obtendo x em funo de y:

y1 = x1/x2 y1y2 = x21 y1 = x1 =y1y2

y2 = x1x2 y2/y1 = x22 y2 = x2 =y2/y1,


e os valores possveis de y so

G ={(y1, y2) : 0 < y2 < y1, 0 < y2 < 1y1

}.

Agora,

Jg(h(y)) =2y1y2y2/y1

= 2y1

efX(h(y)) = 4

y1y2

y2/y1 = 4y2.

Portanto,

fY (y) =1

|Jg(x)| fX(h(y)

)=

{2y2/y1, 0 < y2 < 1, y2 < y1 < 1/y2,

0, caso contrrio.

Exerccio 3.4.3. Sejam X e Y variveis aleatrias independentes, cada uma comdistribuio exponencial com parmetro 1, mostre que Z = X + Y e W = XY sotambm independentes com densidades

fZ(z) ={

zez, z > 00, z 6 0

e

fW (w) =

{1

(w+1)2 , w > 00, w 6 0

.

Exemplo 3.4.4. Se X e Y so independentes e distribudas como N (0, 1), entoX + Y e X Y so independentes e ambas distribudas como N (0, 2).Ponha Z = (X,Y ) e W = (X +Y,X Y ). Temos que W = g(Z), onde g(x, y) =(x+ y, x y). Logo,

w

z=[1 11 1

],

assim Jg(z) = 2. Obtendo z como funo de w:

w1 = x+ y x =w1 + w2

2

w2 = x y y = w1 w22 .

3.5. EXERCCIOS 63

Ainda,

fZ(z) = fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) =12

ex2

2 12

ey2

2 ,

logo

fZ(h(w)) =12

e(w1+w22 )

2

2 e(w1w22 )

2

2 =e

w21

+w22

+2w1w2+w21

+w222w1w2

8

2=

12

ew2

14 e

w22

4

e, substituindo,

fW (w) =1

|Jg(h(w))| fZ(h(w)) =14

ew2

14 e

w22

4 = fN (0,2)(w1)fN (0,2)(w2).

Portanto, W1 e W2 so independentes e distribudas como N (0, 2).Exerccio 3.4.5. Se X e Y so independentes e distribudas como N (0, 1), ento4X + 3Y e 3X 4Y so independentes e ambas distribudas como N (0, 25).

3.5 Exerccios

Exerccio 3.5.1. Considere um vetor aleatrio (X,Y ) absolutamente contnuocom distribuio uniforme em

A ={(x, y) R2 : 0 < y < x e x+ y < 1} .

Encontre FX,Y .

Exerccio 3.5.2. Considere um vetor aleatrio (Z,W ) absolutamente contnuocom densidade

fZ,W (z, w) =

{c, 0 < z < 1, 0 < w < z,

0, caso contrrio.

Encontre FZ,W .

Exerccio 3.5.3. Sejam Y e U duas variveis aleatrias em um mesmo espaode probabilidade, independentes e com leis Y N (0, 1) e P (U = 1) = P (U =+1) = 12 . Ache a lei de Z = UY .Dica: estudar diretamente a funo de distribuio acumulada.

Exerccio 3.5.4.


(a) A densidade conjunta de X e Y dada por

f(x, y) =

{c ey

x3 , x > 1, y > 0

0, caso contrrio.

Encontre c. Diga se X e Y so independentes e por qu.

(b) Suponha que (X,Y ) um vetor aleatrio absolutamente contnuo com funode distribuio conjunta dada por

FXY (x, y) =

{1 ex + exy xex ey + xexy, x, y > 00, caso contrrio.

Encontre a densidade conjunta fXY e diga se X e Y so independentes.

(c) Com X e Y dadas no item anterior, encontre a distribuio marginal FY .

Exerccio 3.5.5. Sejam X e Y variveis aleatrias discretas e independentes.Mostre que

pX+Y (t) =s

pX(s) pY (t s).

Sugesto: particione segundo o valor de X .

Exerccio 3.5.6. Mostre por induo finita que, se X1, X2, . . . , Xn so variveisaleatrias independentes com Xi b(mi, p), i = 1, 2, . . . , n, ento

ni=1

Xi b(

ni=1

mi, p

).

Dica:(a+bn

)=n

k=0

(ak

)(b

nk).

Exerccio 3.5.7. Se X e Y so independentes e distribudas respectivamente comoPoisson(1) e Poisson(2), mostre que

X + Y Poisson(1 + 2).

Dica: (a+ b)k =k

j=0

(kj

)ajbkj .

Exerccio 3.5.8. Sejam X e Y variveis aleatrias definidas no mesmo espaode probabilidade, independentes, discretas e com distribuies Poisson(1) e

3.5. EXERCCIOS 65

Poisson(2), respectivamente. Mostre que, dada a ocorrncia do evento [X + Y =n], a probabilidade condicional de X = k

P (X = k|X + Y = n) =(n

k

)(1

1 + 2

)k (2

1 + 2

)nk.

Como voc interpreta essa identidade?

Exerccio 3.5.9. O nmero X de uvas-passas encontradas em um panetone temdistribuio Poisson(). O panetone, estando com a data de validade vencidah alguns meses, pode ter uvas-passas estragadas. Cada uva-passa pode estarestragada independente das demais, com probabilidade p. Encontre a distribuiodo nmero de uvas-passas estragadas e calcule a probabilidade de no havernenhuma estragada.

Exerccio 3.5.10. Sejam X e Y variveis aleatrias independentes, ambas comdistribuio exp(1). Use o mtodo do Jacobiano para determinar a distribuioconjunta de X + Y e XX+Y . Diga se X + Y e

XX+Y so independentes. Encontre a

distribuio de XX+Y .

Exerccio 3.5.11. Sejam X e Y i.i.d. absolutamente contnuas com densidade f .Mostre que

fX+Y (t) =R

f(t s)f(s) ds t R.

Sugesto: faa Z = X + Y e W = Y , e calcule a densidade conjunta de Z e W .

Exerccio 3.5.12. [Jam04, Captulo 2].Recomendados: 2, 17, 18, 21, 30, 33, 34, 41, 46.

Captulo 4

Esperana Matemtica

A esperana EX de uma varivel aleatria X a mdia dos valores assumidospor X , ponderada pela probabilidade de X assumir esses valores. Podemos pensarem EX como sendo o centro de massa de X . A esperana de X , em vriossentidos, a melhor aproximao determinstica para a varivel aleatria X . Umadas justificativas mais importantes, que veremos mais adiante, a lei dos grandesnmeros: se X1, . . . , Xn so independentes e tm a mesma distribuio de X , entoa mdia amostral 1n

ni=1Xi se aproxima de EX quando fazemos n grande.

4.1 Variveis Aleatrias Simples

Uma varivel aleatria X dita simples se assume apenas finitos valores.

Definio 4.1.1. Dada uma varivel aleatria simples X , definimos a espe-rana de X , ou mdia de X , ou ainda o valor esperado de X , denotada porEX , por

EX =x

x P (X = x).

A esperana de X pode ser pensada como o centro de massa da varivel

67

68 CAPTULO 4. ESPERANA MATEMTICA

aleatria X , como ilustrado na Figura 4.1.

Exemplo 4.1.2. Lanar um dado e observar sua face superior. Temos

EX = 1.P (X = 1) + + 6.P (X = 6) = 16+

26+ + 6

6=

216

=72.

Exemplo 4.1.3. Lanar uma moeda 4 vezes e contar quantas vezes saem cara.Temos

EX = 0116

+ 1416

+ 2616

+ 3416

+ 4116

=3216

= 2.

Exemplo 4.1.4. Seja X dada por X = 1A para algum A F . Nesse caso temosEX = 0.P (Ac) + 1.P (A) = P (A). Ou seja, se X Bernoulli(p) ento EX = p.

EXx

pX(x)

Figura 4.1: A esperana de X como o centro de massa de pX .

Sejam a1, . . . , ak os valores assumidos por X . Observe que os eventos aleatriosAi = [X = ai] F formam uma partio de , logo cada pertence a um, esomente um, dos A1, . . . , Ak, ou seja,

i 1Ai() = 1 . Portanto, a menos

de permutao dos ndices, existe uma nica forma de escrever

X =i

ai1Ai

com ai 6= aj i 6= j e A1, . . . , Ak formando uma partio de . Ademais,

EX =i

aiP (Ai).

Outra interpretao de EX vem dos jogos em cassinos. Sejam X o resultado quese ganha em um dado jogo, e a1, . . . , ak os possveis valores. Suponhamos tambmque jogaremos esse jogo n vezes, e denotamos o resultado de cada jogada porX1, . . . , Xn, independentes e com a mesma distribuio de X . A noo intuitivade probabilidade como frequncia relativa diz que a proporo dentre essas nrepeties em que o resultado ai se aproxima de P (X = ai) para n grande,

4.1. VARIVEIS ALEATRIAS SIMPLES 69

ou seja, 1nn

j=1 1[Xj=ai] P (X = ai). Dessa forma, para o ganho total divididopelo nmero de jogadas, 1n

nj=1Xj , temos

1n

nj=1

Xj =1n

nj=1

ki=1

ai1[Xj=ai] =ki=1

ai

(1n

nj=1

1[Xj=ai]

)

ki=1

aiP (X = ai) = EX.

Proposio 4.1.5. Sejam X e Y variveis aleatrias simples.

(i) Se X > 0 ento EX > 0.

(ii) Se X = c ento EX = c.

(iii) E[aX + bY ] = aEX + bEY .

(iv) Se X > Y ento EX > EY .

Demonstrao. Os itens (i) e (ii) so triviais, e (iv) segue de (iii) e (i) se tomamosZ = X Y . Resta provar (iii).Primeiro vamos verificar que se X = a11A1 + +an1An , onde A1, . . . , An formamuma partio, ento EX =

i aiP (Ai), mesmo que alguns ai coincidam. Com

efeito, primeiro escrevemos X =

j cj1Cj onde os cj so distintos e C1, . . . , Ckformam uma partio. Observe que para todo j = 1, . . . , k, Cj = [Xj = cj ] ={Ai : ai = cj}. Usando a definio de esperana e agrupando corretamente ostermos dos somatrios, temos

EX =k

j=1

cjP (Cj) =k

j=1

cj

i:ai=cj

P (Ai) =k

j=1

i:ai=a

j

aiP (Ai) =ni=1

aiP (Ai).

Agora sejam X e Y variveis aleatrias simples dadas por X =

i ai1Ai e Y =j bj1Bj , onde A1, . . . , Ak particionam e B1, . . . , Bn tambm. Temos

aX + bY = ai

ai1Aij

1Bj + bj

bi1Bji

1Ai =i,j

(aai + bbj)1AiBj .


Mas {Ai Bj : i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m} forma uma partio de , e portanto

E[aX + bY ] =i,j

(aai + bbj)P (Ai Bj)

=i,j

aaiP (Ai Bj) +i,j

bbjP (Ai Bj)

=i

aaij

P (Ai Bj) +j

bbji

P (Ai Bj)

=i

aaiP (Ai) +j

bbjP (Bj)

= ai

aiP (Ai) + bj

bjP (Bj) = aEX + bEY.

Exemplo 4.1.6. No Exemplo 4.1.3, temos X = X1 + X2 + X3 + X4, onde Xirepresenta o lanamento da i-sima moeda. Logo EX = EX1 + EX2 + EX3 +EX4 = 4. 12 = 2.

Exemplo 4.1.7. Lanar um dado duas vezes e somar os valores observados. Temos

EX = 2136

+3236

+4336

+5436

+6536

+7636

+8536

+9436

+10336

+11236

+12136

=25236

= 7.

Alternativamente, observamos que X = Y +Z, onde Y e Z representam o primeiroe segundo lanamento do dado. Logo

EX = EY + EZ =72+

72= 7.

Exemplo 4.1.8. Retirar 3 cartas de um baralho francs e contar quantas so reis.

EX = 048.47.4652.51.50

+ 13.48.47.452.51.50

+ 23.48.4.352.51.50

+ 34.3.2

52.51.50=

30600132600

=313.

Alternativamente, observamos que X = X1 +X2 +X3, onde Xi o indicador deque a i-sima carta retirada rei, e que, apesar da influncia que cada Xi possater sobre as demais, cada uma individualmente satisfaz EXi = 113 . Logo

EX = EX1 + EX2 + EX3 = 3113.

4.1. VARIVEIS ALEATRIAS SIMPLES 71

Exemplo 4.1.9. Em geral, se X b(n, p), ento

EX =n

k=0

k

(n

k

)pk(1 p)nk =

nk=1

kn!

k!(n k)!pk(1 p)nk

= npn

k=1

(n 1)!(k 1)!(n k)!p

k1(1 p)nk

= npn1j=0

(n 1)!j!(n 1 j)!p

j(1 p)n1j = np[p+ (1 p)]n1 = np.

Alternativamente, X tem a mesma distribuio de X1 + + Xn, com Xi i.i.d.Bernoulli(p), e portanto

EX = EX1 + + EXn = (p+ + p) = np.

Proposio 4.1.10. Se X e Y so simples e independentes, ento

E[XY ] = EX EY.

Demonstrao. Fazendo Ai = [X = ai] e Bj = [Y = bj], temos

E[XY ] = E

[(i

ai1Ai

)(j

bj1Bj

)]= E

[i,j

aibj1Ai1Bj

]

= E

[i,j

aibj1AiBj

]=i,j

aibj E[1AiBj ] =i,j

aibjP (Ai Bj)

=i,j

aibjP (Ai)P (Bj) =

[i

aiP (Ai)

] [j

bjP (Bj)

]= EX EY.

Exemplo 4.1.11. Lanar um dado duas vezes e multiplicar os valores observados.

EX =136

(1.1 + 2.2 + 3.2 + 4.3 + 5.2 + 6.4 + 8.2 + 9.1 + 10.2 + 12.4+

+ 15.2 + 16.1 + 18.2 + 20.2 + 24.2 + 25.1 + 30.2 + 36.1)=

44136

=494.

Alternativamente, observamos que X = Y Z, onde Y e Z representam o primeiro esegundo lanamento do dado. Logo EX = EY EZ = 72 72 = 494 .


4.2 Esperana Matemtica

Nesta seo definimos a esperana de uma varivel aleatria qualquer. Comeamospelas variveis aleatrias no-negativas, que por sua vez so aproximadas porvariveis aleatrias simples.

Aproximao por Variveis Aleatrias Simples

Primeiro observamos que qualquer varivel aleatria no-negativa X pode seraproximada por variveis aleatrias simples. De fato, considere gk : R+ R+dada por

gk(x) = 2k max{j {0, 1, . . . , 2kk} 2kj 6 x} ,

ilustrada na Figura 4.2.

g1(x)

g2(x)

g3(x)

g2(y)

x

x y

Figura 4.2: Grfico de g2(y) e aproximao de gk(x) x para um x fixado.

Observe que gk assume no mximo 2kk + 1 valores. Alm disso,

gk(x) > gk1(x)

ex 2k < gk(x) 6 x para todo k > x.

Portanto, para todo x > 0,

gk(x) x quando k .

4.2. ESPERANA MATEMTICA 73

Tomando Xk = gk(X), temos que Xk uma varivel aleatria simples e Xk Xpara todo . Veja a Figura 4.3.

X()

g1(X())

g2(X())

Figura 4.3: Aproximao de X por g1(X) e g2(X).

Definio da Esperana

A esperana de uma varivel aleatria no-negativa definida aproximando-se porvariveis aleatrias simples.

Definio 4.2.1. Seja X uma varivel aleatria tal que X > 0. Definimos aesperana de X por

EX = sup {EZ : Z varivel aleatria simples com 0 6 Z 6 X}.

Para definir a esperana no caso geral, observe que uma varivel aleatria semprepode ser decomposta em suas partes positiva e negativa. De fato, temos

X = X+ X,

onde

X+ =

{X, X > 0,

0, X 6 0,X =

{X, X 6 0,0, X > 0,

satisfazem X+ > 0 e X > 0. Observe tambm que |X | = X+ +X.


Definio 4.2.2 (Esperana de uma Varivel Aleatria). Seja X uma varivelaleatria. Definimos a esperana de X por

EX = EX+ EX

sempre que EX+ ou EX for finita.

Definio 4.2.3. Dizemos que X integrvel se ambas EX+ e EX so finitas.

A definio de esperana parecida com a definio de integral. A rea sob a curvado grfico de uma funo g : R R+ constante por partes dada pela soma dereas de retngulos, e cada uma dessas reas dada pelo comprimento da basedo respectivo retngulo multiplicado por sua altura. Por outro lado, a esperanade uma varivel aleatria simples X : R+ dada pela soma da contribuiode cada um dos seus valores, e a contribuio de cada valor dada pelo prpriovalor multiplicado por sua respectiva probabilidade. Para uma funo g : R R+qualquer, a integral

xg(x)dx equivale noo de rea sob a curva do seu grfico,

e definida a partir de aproximaes em que o domnio dividido em pequenaspartes. Para a esperana de uma varivel aleatria X : R+ qualquer, a ideia tambm de usar aproximaes, mas como no h uma forma razovel de dividir odomnio em pequenas partes, o que se faz dividir o contra-domnio, como i

introdução a probabilidade

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